автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Некоторые классы обратных задач для математических моделей тепломассопереноса

На правах рукописи

Сафонов Егор Иванович

НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

г О ПАЯ 2015

ЧЕЛЯБИНСК - 2015

005569170

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Югорский Государственный Университет»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Пятков Сергей Григорьевич Официальные оппоненты:

Кризский Владимир Николаевич, доктор физико-математических наук,

Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета,

профессор кафедры «Математическое моделрование»;

Какушкин Сергей Николаевич, кандидат физико-математических наук,

Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова,

ст. пр. кафедры «Прикладная математика и информатика». Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет».

Защита состоится 01 июля 2015 г. в 11:30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.298.14 при Южно-Уральском государственном университете, по адресу: 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 76, ауд. 1001.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЮжноУральского государственного университета, а так же на сайте http://www.susu.ac.ru/ru/dissertation/d-21229814/safonov-egor-ivanovich.

Автореферат разослан апреля 2015 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

доктор физ.-мат. наук, доцент

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Модели конвекции-диффузии (тепломассопереноса) возникают в самых различных областях математической физики, в частности, в теории фильтрации, в динамике популяций, при описании процессов фазовых переходов, механической дисперсии и молекулярной диффузии, а также диффузии и вязко-упругой релаксации в полимерах.

Обратные задачи для таких систем сравнительно новая область исследования. Они возникают в геофизике, сейсмике, экологии, и многих других областях. Основные классы исследуемых обратных задач отличаются по виду условий переопределения: интегральные условия с данными зависящими от времени и (или) пространственных переменных, условие финального переопределения (в этом случае в финальный момент времени задано решение), оператор Дирихле-Неймана или Неймана-Дирихле, эволюционные данные переопределения (в этом случае данные зависят от времени, как правило решение или его производные задаются на некоторых пространственных многообразиях или в отдельных точках). Среди работ, посвященных обратным задачам для параболических уравнений и систем выделим работы: А.И. Прилепко, Д.Г. Орловский, A.M. Денисов, В Л. Камынин, В. Исаков, М. Ямамото, А.И. Кожанов, А. Лоренци, Ю.Я. Белов и многие другие. Стоит отметить большое количество работ Новосибирской школы по обратным задачам (это в основном работы, посвященные гиперболическим уравнениям и системам): М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, В. Яхно, Ю.Е. Аниконов, А.Л. Бухгейм, С.И. Кабанихин, а также работы М.И. Белишева, М. Клибанова, Г. Ульмана.

Самая распространённая модель описывающая процессы тепломассопереноса - система уравнений Навье-Стокса, дополненная уравнениями для температуры и концентраций переносимых веществ. Простейшая модель такого вида - модель Обербека-Буссинеска, в которой уравнение для концентрации и переносимого вещества имеет вид

щ — div(c( х, i)Vu) + b(x, t)Vu + a(x, t)u — /,

где b - вектор скорости течения, a - коэффициент определяющий скорость осаждения в результате химических реакций, с - коэффициент диффузии и правая часть / - плотность функции источников. Опишем некоторые другие модели. Модель планового фильтрационного потока имеет вид

Ц^ - div(eHUc) + 7С = div{sHDWc) + f(t, М),

где I - время, М - точка пространства, с - концентрация загрязнешы, в - объёмная пористость грунта, е - кинематическая пористость, Я - уровень грунтовых

3

вод, 17 - скорость фильтрационного потока, О - коэффициент дисперсии, 7 - постоянная распада загрязняющего мигранта, / - функция источника загрязнения. Модели динамики популяции записывается в виде

д/Пг + <Цу]т(м) = итдт{и) в О, {Зг{и)\у) = 0 на сЮ,

где г — 1,2, где и = (111,112) вектор плотности населения, ] - вектор потока, записываемый в виде ]г(и) — — У[(аг 4- Рг\щ + /3Г2И2)«г] — 7гигУу?, где аг > О, Ргэ > 0,7 > 0 - константы, а (р известный внешний потенциал. Модель фазового поля для изучения фазовых переходов представима как

— \(<р,Т)д^ = —V(M(^p,T)V(í/T)) В

Здесь к, А, [I, М и /1 некоторые известные гладкие функции такие, что к, /г и М положительны. Модель смешивания пресной и морской грунтовых вод имеет вид

дги + (Ну] = 0 в ПсМ2,

где ] — —+ ци и М(ф - гидродинамическая дисперсионная матрица. Модель диффузии и вязко-упругой релаксации в полимерах:

+ ^ = ° в О

ог ~ ф{и)щ = р{и)и - (3(и)а '

и функция плотности жидкости, а - напряжение показывающее проникновение молекул, ср, р н Р неотрицательны а вектор потока задаётся в виде ] = —0(и)их — Н{и)ах — М(и, а)и, где О > 0 и Я, ртл ¡3 неотрицательны, а М и гр некоторые гладкие функции.

Целью данной работы является исследование обратных задач с интегральными условиями переопределения для математических моделей тепломассоперено-са и их обобщений, с последующими разработкой, обоснованием и программной реализацией эффективных численных методов решения.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Исследовать вопросы корректности постановок обратных задач с интегральными условиями переопределения для математических моделей теп-ломассопереноса и получить оценки устойчивости.

2. Показать, что при подходящем выборе весовых функций зависящих от параметра в интегральных операторах, решения задач с точечными условиями переопределения можно приблизить решениями задач с интегральными

условиями переопределения и установить порядок сходимости по параметру-

3. Разработать эффективные численные методы и алгоритмы поиска приближённых решений с помощью методов конечных элементов и конечных разностей, получить соответствующие оценки погрешности решений, которые позволили бы судить о степени надежности полученных результатов.

4. Реализовать в виде комплекса программ для решения задач на компьютере разработанные численные методы и алгоритмы, провести вычислительные эксперименты на модельных примерах и проанализировать полученные результаты.

Научная новизна. Впервые исследованы вопросы корректности для многомерных достаточно общих классов обратных задач для математических моделей тепломассопереноса и более общих моделей с интегральными условиями переопределения. В отличие от предыдущих работ в диссертации рассмотрены вопросы о построении неизвестных функций, входящих в уравнение, в виде конечных отрезков ряда по известному базису. Впервые, рассмотрен вопрос о возможности приближения решений задач с точечными условиями переопределения решениями задач с интегральными условиями переопределения.Теоретические результаты работы позволяют строить большое количество новых методов, основанных на методе конечных разностей, методе конечных элементов и других классических методах численного решения задач математической физики. Построен и реализован новый прямой итерационный численный метод для нахождения плотности функции источника или коэффициентов уравнения характеризующих параметров среды. Создан новый комплекс программ для решения ряда модельных обратных задача тепломассопереноса.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретические результаты работы развивают теорию обратных задач для дифференциальных уравнений математической физики и теорию дифференциальных уравнений в целом. Новые методы и подходы к решению обратных задач, описанные в работе, могут быть использованы в дальнейшем при изучении самых разных задач экологии, теории фильтрации, динамики популяций, теории диффузии и в многих других областях. Предлагаемый численный алгоритм позволяет разрабатывать новые программы и информационно-моделирующие комплексы, а также системы поддержки принятия решений в задачах рационального природопользования и предупреждения чрезвычайных ситуаций. Разработанный программный комплекс позволяет проводить вычислительные эксперименты и может быть использован в практических задачах построения и определения функции источника загрязнения по данным замера.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгими математическими доказательствами всех утверждений, приведённых в диссертации, подтверждается согласием между теоретическими положениями и результатами вы-

числительных экспериментов, проведённых в датой работе и исследованиями других авторов. Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми и получены автором лично.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных семинарах ЮГУ, а также на 5-и научных и научно-практических конференциях: LII Международная научная студенческая конференция «Стуцент и научно-технический прогресс» (Новосибирск 2014); III Молодежная научно-практическая конференция «Информационные технологии Югры» (Ханты-Мансийск 2014); VII Международная конференция по математическому моделированию (Якутск 2014); Международная научная конференция «Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций» (Казань 2014); Международная конференция «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Челябинск 2014).

Публикации. Результаты диссертационной работы опубликованы в 11 научных работах, в их числе 4 статьи в ведущих российских рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ, 2 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ и 1 свидетельство о государственной регистрации базы данных. Список работ приводится в конце автореферата. В совместных с научным руководителем работах С.Г. Пяткову принадлежит постановка задачи, в диссертацию вошли только результаты, полученные её автором.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Объём диссертации составляет 126 страниц. Список литературы содержит 97 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формулируется цель, ставятся задачи работы, сформулированы научная новизна и практическая значимость представляемой работы.

Все приведённые выше модели тепломассопереноса являются частными случаями систем уравнений

Lu = ut + A{t,x,D)u = fe, (x,t)eQ = Gx (0,Т), (1)

где G - ограниченная область в!" с границей Г € С2ш. Матричный эллиптический оператор А порядка 2т имеет вид А = ]Г) aa(x,t)Da, где aa(x,t)

\a\<2m

матрицы-функции размерности hxh, в обратных задачах об определении правой

6

части и

г

А= 53 + 53 (2)

>=Л>+1 |а1<2тп

в коэффициентных обратных задачах (здесь функции подлежат определению). Уравнение (1) дополняется начальными и граничными условиями

и|(=о = «о, 53 Ь^{х,г)Оаи\з = д^х), 5 = Гх (0,Т). (3)

Правая часть в (1) имеет вид:

Го

л = ь(их)ф)+/. (4)

г=1

Неизвестными в (1), (2) являются решение и и функции <&(£) (г = 1,2,... ,г), входящие в правую часть (1) и оператор А (в случае коэффициентных обратных задач). В работе рассматриваются 2 вида условий переопределения. В первом случае условия переопределения имеют вид

Ju^pi(x)dx = г = 1,2,(5)

где (¿>г(х), у,(£) - известные функции и С, С С некоторые области. Во втором случае рассматриваем условия вида

и{хи г) = Хг € С, г = 1,2,..., е. (6)

Параметры з, г связаны равенством г — в/г (или го = в/г для линейных обратных задач, в этом случае полагаем г = го).

В первой главе приводится ряд вспомогательных утверждений, используемых в доказательствах основных результатов диссертации.

Во второй главе рассматривается обратная задача (1), (3), (4), с интегральным условием переопределения вида (5) и предполагаем, что неизвестные функции <?;(£) входят только, в правую часть уравнения (1). Обратная задача в таком случае является линейной. Приведем используемые ниже условия на данные задачи. Считаем, что параметр р удовлетворяет условию р > п + 2т.

Фг(1) € И^([0,Т]) , = J щ(х)^{х)йх, г = 1,2,... ,5. (7)

Так же считаем, что граница областей {С^} (] = 1,2,..., а) из условия (5) принадлежит классу С1. Условия на весовые функции {^(х)}, записывается в виде:

зиррщсЦ, + з = 1,2,...,5. (8)

Определим матрицу B(t) размера rQ х г0, строки которой с номерами (к — 1 )/г + 1, kh, (к = 1,2, ...,s) занимают матрицы размера h х г со столбцами ia b\¥kdx,..., JG bra<fi-dx и потребуем, чтобы существовала постоянная > О такая, что

| det B(t) I > ¿o, для п.в. t е [0,Т]. (9)

Мы требуем, чтобы были выполнены условия

/ е LP(Q), и0(х) е W?r2n¡p(G), 9j(x, t) е W^(S), (10)

где i = l121...,mHÍí = l-25-¿H

%(х,0) = Я,-(х,0)«0(я)|с>с, i = 1,2,..., m. (11)

Мы считаем, что

aQ(t,x) € LooíQ) (И < 2m), ae £ C{Q) (|а| = 2m), bj0 € С2"""'(5) (i = 1,..., m, |/?| < m,-).

Говорим, что оператор dt + А, (А = J2¡o <2m t)Dn) параболичен, если найдется постоянная Si > 0 такая, что любой корень р многочлена

det (¿0(t,x,¿0 +рЕ) = О, (Л0 = ^ aaDau)

|u|=2 т.

(Е - единичная матрица) удовлетворяет неравенству

Rep < -Ji|?|2m, VC 6 R", V(x, t) e Q, (13)

и выполнено условие Лопатинского, т.е. для любой точки (¿о, хо) S система

(АЕ + Л0(гГ,3J)u(*) = 0, Bj0{i?,dyJv(0) = hJt (14)

(£' = (Сь • • ■ i Cn-i), Уп € R+, j = 1,2,..., т) имеет единственное решение из C(R+) убывающее на бесконечности для всех € R"-1, |arg А[ < 7г/2 и hj ё Е таких что |£'| + |А| ф 0.

Кроме введённых ранее условий также нужны условия вида

bj &Lx{0,T,Lv(G)), j = 1,2,...,го, a„(x,OeLoo(0,T;W¿(Go)), (15)

аа(х, t) 6 Loo(0,T; W¿(G0)), |a| = 2m. (16)

В разделе 2.1 доказывается следующая теорема существования и единственности для задачи с интегральным условием переопределения.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (7)-(16). Тогда существует единственное решение (и, .., дГо) задачи (1), (3), (4), (5) такое, что

и £ НТ^Ю), ф) € Ьр(0, Т), г = 1,2,г0. Решение удовлетворяет оценке

Гц

И^И^-^сс?) + Е 11®(£)Ныо,х) <

г=1

т з

с(||/|и„«г) + Е И^И^'2^^) + ||^о||1у2т-2т/Р(с) + £ ||^,:||цП(0.Т))-

В разделе 2.2 записываются следствия из предыдущего раздела для моделей тепломассопереноса (т = 1). В разделе 23 рассматривается случай, когда условия на весовые функции в интегральных условиях переопределения сводятся к минимальным

вирр ^ С в,, щ 6 ¿1((7,-), 3 = 1,2,..., е. (17)

Пусть во = и?=1Сп Яо = Со х (О, Т), ОЪ = Со х (0,7), С<у, = {х е С?,- :

> = х (о,7), = и^, и = с6 х (о,т), д] =

С7<5 х (0,7) (5 > 0), <57 = (3 х (0,7). Нам потребуются дополнительные условия вида:

V/ 6 ¿р(<Зо), Щ е 1/оо(0,т, ^(С70», (18)

2т——

Чщ е И^р р (Со), Уаа(1,£) 6 М<Эо), (Н < 2т). (19)

Теорема 2. Пусть выполнены условия (7), (9)-(15), (17)-(19). ГогЭя существует единственное решение (и, <71,.., дГо) задачи (1), (3), (4), (5) такое, что

и 6 И^2т(<3), Ф) е Ьр(0,Т), г = 1,2, ...,г, Vхи е для всех 5 > 0. При фиксированном 6 > 0 решение удовлетворяет оценке

ИчИи^Ю) + И^иИи^ад + £ 11^(0|ир(0,Г) < с(\\Пьрт + ||У1/||Ьр(до) +

г=1

т 5

Е Ня»!!^-*^,« + 1М1 »»-а* + 1^ги0|| + Е Мда(о,г))-

В разделе 2.4 приводятся следствия полученных результатов для моделей тепломассопереноса. В разделе 2.5 рассматривается вопрос о приближении реше-пий обратных задач с точечными условиями переопределения решениями задач с интегральными условиями переопределения. В точечпых задачам вместо интегрального условия (5) рассматриваются условия вида = О' = 1,2,..., з). Обозначим решение обратной задачи с этими условиями через

9

и. Рассмотрим функцию if(x) G Cq°(Bi), Bj = {i £ R" : |xj < 1} такую, что fR„ <p(x)dx = 1 и ip(x) > 0 для всех x. Определим <PjE(x) — Мы

заменяем точечтте условия интегральными условиями вида (5) где в качестве плотностей берем функции tpi€. Основной результат этого раздела оценка для нормы ||iie — которая показывает её стремление к нулю. Здесь uf -

решение задачи (1)-(4),(5) с функциями <pje вместо функций ipj.

Третья глава посвящена рассмотрению коэффициентных обратных задач в самом общем виде, где неизвестные функции входят как в правую часть уравнения, так и в оператор А как коэффициенты и таким образом оператор А представим в виде (2). Определим матрицу В размера г х г, строки которой с номерами (к — l)/i+1, kh, (к = 1,2,..., s) занимают матрицы размера h х г со столбцами:

f bi(:г, 0)y>kdx, ...,f bro(x, 0 )<pkdx, G G

J-Aro+i(x, 0)uOfkdx, ...,f -Ar(x, 0)u0<pkdx. G G

Мы требуем, чтобы

det В ф 0. (20)

Определим постоянные (i = 1,2.... ,г) исходя из решений системы

г

^ji(O) + £ q° f AiUopj dx + f Ar+iUQtpj dx = i=r0+l G G

r0

E 1i f 0 )ipj dx + f ftpj dx, j = 1,2,..., s. ¿=1 G G

В разделе 3.1 рассматривается случай, когда у нас выполнено условие (8). Мы требуем, чтобы:

bj, f G С([0, Г]; LP(G0)) Л Lp(Q) (j = 1,2,..., r0), (21)

< e C([0,T]; W£(Go)) при \a\ = 2m, (22)

a'a € C([0,T];Lp(G0)) (i = r0 + l,r0 + 2,... ,r + 1) при \a\ < 2m - 1, (23)

ipi(t) e CHfO.T]), = Juo(x)<pi(x)dx, i = 1,2,... (24)

Gi

_ ai(t,x) в Loo(Q) (H < 2m), ai G C(Q) (H = 2m, г = r0 + l,r0 + 2,... ,r + 1) (25)

bjP G C2m^(S) (j = 1, ■ ■ ■, m, \P\ < mj). Так же считаем, что выполнены условия (13), (14) для вспомогательного опера-

г

тора Л° = Е + Лг+1 или, что

¿=г0+1

оператор dt + А0 параболичен. (26)

10

Теорема 3. Пусть выполнены условия (8), (10), (11), (20)-(26). Тогда существует 7о > 0 такое, что на промежутке £ 6 [0,7о] существует единственное решение (и, д) (<7 = (<?!,.., <7Г)) задачи (1)-(5) такое, что

и е И^(С^), д,(£) € С([0,7о]), * = 1,2,..., г.

Решение непрерывно зависит от данных задачи в следующем смысле. Фиксируем Я > 0 и рассмотрим класс данных задачи Бц. состоящий из наборов (/, «о, {^Л^и) таких, что выполнены условия (10), (11), (24), % 6 С1+/5([0, Т]) для некоторого Р € (0,1] и всех ] и

в

НЛк«?) + Е 1|^||С'+"([0,Г]) + ||/||с([0,Г];Ьр(Со)) +

7 = 1

т

||и0||н,2т-2т/Р((7) + Е < Л, г = 1,2.

7=1 р ^ '

Гогдд найдется 71 > О такое, что для любого набора данных (/,и6 существует единственное решение (и,д) (д = (?ь ■•, 9г)) задачи (1)-(5) такое, что

и € и*2"*^), «(«) е С([0,71]), г = 1,2, ...,г,

и для любых двух решений (и\ д\,..., с/Г) (г = 1,2) задачи (1)-(5) из класса

и' е И^«?71), $ € С([0,71]), (¿=1,2, 7 = 1,2.....Г),

отвечающих двум различным наборам данных р, 1р'у и'0, д^ (] = 1,2,..., в, г = 1,2, 77 = 1,2,... ,т) из 5я справедлива оценка устойчивости

г

Пи1 - + х; н?] - 9Ц1с([О,71]) <

с(\\Г - /2||да) + ЕЩ - + II/1 - /2|1с([0,71];мс0))+

7=1

т

11«о - «о11и*~*"/..(С) + Е 1!<?] -

7=1 р * '

где постоянная С - зависит от И. и Б**1 = 9(7 х (0,71).

В разделе 3.2 записываются следствия для моделей тепломассопереноса. В разделе 3.3 рассматривается случай, когда условия на весовые функции имеют вид:

вирръ ^ е ¿1(0,), = 1,2,...,е. (27)

Также требуем выполнения условий:

/€£„(<3), УЬк,У/е£р(д0) (*: = 1,2,...,г0), (28) 11

2т— —

Vuo 6 Wp * (Go), V<4(x, t) e LM) (|aj < 2m), (29)

4 € C([0,T], Loo(Go)) (|a| < 2m - 1, г = r0 + 1,r0 + 2,..., r + 1)), (30) bfc, /GC([0,Tj;UGo))(bl,21...,ro). (31)

Матрица В размера г x г определяется как и в разделе 3.1.

Теорема 4. Пусть выполнены условия (10), (11), (20), (24)-(31) . Тогда существует 7о > 0 такое, что на промежутке t € [0,70] существует единственное решение (u,q) (q = {q\,.., qr)) задачи (l)-(5) такое, что

и € W^m(Q->% Vu е W^m{Qf), Vi > 0, Ф) € G([0,70]), г = 1,2, ...,r.

Решение непрерывно зависит от данных задачи в следующем смысле. Фиксируем R > 0 и рассмотрим класс данных задачи 5д, состоящий из наборов (/, Щ, и {9j}]L 1) таких, что выполнены условия (10), (11), (24), (28), (29),

(31) , -0J е C1+/J([0, Т]) для некоторого ß 6 (0,1] и всех j и я

ИЛ1м<?) + S Ш\с^ф,Т}) + Н/'НсЦОД!*«,«*,)) + l|V/'||MQo) i=l

m

ll«olliv=—+ ||Vuil|,y|».-2»./i.(G) + E <R, г = 1,2,

Тогда найдется 71 > 0 такое, что для любого набора данных (/,«о, {Sj}j=i) е Sr существует единственное решение (u,q) (q =

(<7ь Яг)) задачи (1)-(5) такое, что

и е Vu £ H^2n!(Q?) VÄ > 0, ф) 6 С([0,71]), i = 1,2,..., r,

и для любых двух решений {и1, q\,...,qlT) (г = 1,2) задачи (1)-(5) из класса

ui е W^W), Vu € W*'2m(Qf), q\ £ C([0,7i]), (i = 1,2, j = 1,2,... ,r),

отвечающих двум различным наборам данных f, ul0, g*v (j = 1,2, ...,s, г = 1,2, i] = 1,2,..., т) из Sr и для фиксированного 5 > 0 справедлива оценка устойчивости

г

II«1 - и2!!^««^) +- и2)||^,=".(сг?) + Е Ikj - 9|11сао,71]) <

1 j=i

cm1 - Я1 + Е \Щ - V-Шсчкы) + II/1 - Пс^т]Мс>))+ ,

j'=1 (32)

im/1 - /2)||лр(с?0) + н - ui\\W2^r,„e[G)+

т

liv(«5 - и2)||и^-2т/Р(Со) + е Iis] - ö]llllvw(s1I)),

где постоянная С -зависит от R и S71 = dG х (0,7х).

12

В разделе 3.4 записываются следствия для моделей тепломассопереноса. В разделе 3.5 рассматриваются вопросы приближения решений обратных задач с точечными условиями переопределения решениями задач с интегральными условиями переопределения. Фиксируем достаточно малый параметр ^ > 0 и возьмём в качестве областей ^-окрестности точек из условий (6). Мы потребуем, чтобы:

€ СЯЦО, Т\), ф{(0) = щ(х{), г = 1,2,.... в, (33)

Ьк, /€С([0,Т];С"(Со)) (А; = 1,2,...,г0), а = 1 - (п + 2т)/р, (34) V/ е £р(Зо), VЬ, е ¿ос(О, Т; 1Р(С0)), з = 1,..., Г0, (35)

Ь^(хь£), /(х|,4), О £ С([0,Т]), (36)

где к = 1,2,...,г0, г = г0 4- 1,г0 + 2,...,г, I = 1,2,...и |а| < 2т. Определим матрицу В размера г х г, строки которой с номерами (к — 1)к + 1, кИ, (к = 1,2,..., ¿') занимают матрицы размера к х г со столбцами: Ь1{хк,0),...,Ьг(хк,0),-АГо+1щ(хк),... ,—Аги0(хк). Определим постоянные г/г° (г = 1,2,..., г) исходя из решений системы

<М0) + £ дМ,-ио(х,0 + Лг+1«0(.^) = £ 0) + 0),

г=г0+1 ¡=1

г

где = 1,2,..., в и построим оператор Л° = £ + Лг+1.

г=г0+1

Теорема 5. Пусть выполнены условия (10), (11), (20), (25)-(26), (29), (30), (33)-(36). Тогда найдется промежуток [0, Го], не зависящий от г такой, что:

1) на [0, го] существует единственное решение задачи (1)-(4), (6) такое, что дб С([0,г0]),и € е №р2т{ЯТь), 46 € (0,й).

2) при всех е < £о и некоторого £0 > 0 на [0, То] существует единственное решение {и£1де) задачи (1)-(5), где = такое, что це € С([0,г0]),и£ € Ц/12пг^гау е \\А<0-т(С1Т°) "Ри вСеХ 5 6 (0,^).

3) Справедлива оценка

г

1!«£ - + 1ГУЫе ~ + Ы - ^1!с([о,го1) < С£а-

7=1

Четвертая глава посвящена построению численного алгоритма решения обратных задач тепломассопереноса об определении функции источника в случае двух пространственных переменных и его программной реализации. Алгоритм является итерационным, основан на методе конечных элементов и методе конечных разностей.

Искомая модель имеет вид

щ — div{c(x, t)4u) + b(x, t) Vu + a(x, t)u = /, /= ЕЛ(*,*Ы*)+/о, b(x,t) = (h(x,t),b2(x,t))T, = (3?)

где неизвестными являются концентрация переносимого вещества и и функции qi, входящие в функцию источников /.

Условия теоремы 3 в применении к задаче (37) имеют вид:

bJ-eLoo(0,T,Lp(G)), j = 1,2,...,ro^s, (38)

/о е LP(Q), щ(х) е %2-2/P(G), f) е W^/^-i/Pfs), (39)

д(х,0) = ^\ав, (40) b[t,x) е LM, (|a|<2m), c€Loo(0,T;H^(G))nC(g), (41)

c(x, t) > ¿о > 0 для некоторой постоягаюй ¿о, (42)

iPj 6 И£(0, T), ^(0) = u0(xj), j = 1,2,..., s = r0, (43)

V/o € LP(Q0), Vbj € ^(0, T, LP(G0)), j = 1,2,..., r0. (44)

Определим матрицу B(t) размера г x г, строки, которой занимают вектора br„{xk,t)- Требуется, чтобы существовала постоянная <5ц > 0 такая,

что

| del B(t) I > ¿о, для п.в. t е [0,Т]. (45)

Пятая глава описывает используемые программные решения при реализации алгоритма и программы решения задач. Также в главе обсуждаются результаты вычислительных экспериментов. Реализация алгоритма осуществлялась в среде инженерных и научных расчётов Matlab 2013b, полученные функции Matlab компилировались при помощи Matlab Compiler и Builder NE, в dll-библиотеку, которая используется в .Net веб-приложении. Серверная и клиентская части программы писались на языке С# и Html5 в среде разработки Visual Studio 2012 Express. Для вывода графиков решения, трёхмерный график функции и и графики функций q(t), использовались JavaScript-библиотеки Three.js и flot.js соответственно.

В численных экспериментах в качестве области рассматривается круг единичного радиуса с центром в точке (0,0). Будем считать, что fi = 1, /2 = х, /з = у и дополнительная информация задаётся в трёх точках наблюдения: (0.3, -0.3); (0.1,0); (-0.5,0.5). Задаём две сетки с количеством узлов iVi = 263 и ДГ2 = 1015. Данные для модельной задачи: искомые коэффициенты Я\ = t, <72 = 2t2, q3 = 3i3; граничные условия Неймана: J^ = 2; коэффициенты уравнения: d = 1, с = ^ 6Х = Ь2 = фщ, a = правая

14

часть: / = 3 • (х2 + у2) - 4 - I - 2х • Ь2 - Зу • Погрешность между итерациями задаётся пользователем, обозначается через е. Через т обозначим время затраченное на вычисление в секундах. На рисунке ниже представлены графики реальных функций q\, д2, 9з и результаты работы программы, в случае когда данные возмущены 10-процептным случайным шумом (в его отсутствие графики сливаются).

Рисунок 1 — Результаты вычислений.

а) Сетка ЛГЬ е = Ю-3, г = 12.35;

б) Сетка ЛГ2> е = 10~3, г = 245.66.

В заключении приведены основные выводы по теме диссертации, обсуждаются перспективы дальнейшего развития программного продукта и оптимизация алгоритма для приложения к практическим задачам.

Публикации автора по теме диссертации

1. Пятков, С.Г. Определение функции источников в математических моделях тепломассопереноса / С.Г. Пятков, Е.И. Сафонов // Междунар. конф. «Студент и научно-технический прогресс»: тез. докл. - Новосибирск, 2014. - С. 97.

2. Пятков, С.Г. Численное моделирование в задачах тепломассопереноса / С.Г. Пятков, Е.И. Сафонов // Междунар. конф. : тез. докл. - Якутск, 2014. - С. 162.

3. Пятков, С.Г. Численный метод определения функции источников в параболических уравнениях и системах / С.Г. Пятков, Е.И. Сафонов // Междунар. науч. конф. «Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций - 2014.»: тез. докл. - Казань, 2014. - Т. 49. - С. 272.

4. Сафонов, Е.И. Определение функции источников в математических моделях тепломассопереноса / Е.И. Сафонов // Всерос. конф. с междунар. участием

15

«Алгоритмический анализ неустойчивых задач», посвященная памяти В.К. Иванова: тез. докл. - Челябинск, 2014. - С. 141.

5. Пятков, С.Г. О некоторых классах лилейных обратных задач для параболических систем уравнений / С.Г. Пятков, Е.И. Сафонов // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. - 2014. № 12 (183), вып. 35. - С. 61-75.

6. Пятков, С.Г. О некоторых классах линейных обратных задач для параболических систем уравнений / С.Г. Пятков, Е.И. Сафонов // Сибирские электронные математические известия. Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление. - 2014. - Т. 11. - С. 777-799.

7. Пятков, С.Г. Об определении функции источника в математических моделях конвекции-диффузии / С.Г. Пятюов, Е.И. Сафонов // Математические заметки СВФУ. - 2014. - Т. 21, № 2 (82). - С. 117-130.

8. Pyatkov, S.G. Some inverse problems for convection-diflusion equations / S.G. Pyatkov, E.I. Safonov // Bulletin of the south ural state university. Series: «Mathematical modelling, programming & computer software». - 2014. - T. 7, № 24. - C. 36-50.

9. Программа численного решения обратных задач для математических моделей тепломассопереноса. (Клиентская часть) № 2014619479 / Пятков С.Г., Сафонов Е.И. (RU); правообладатель ФГБОУ ВПО «Югорский государственный университет». - 2014619058; заявл. 21.07.2014; зарегистр. 08.09.2014, реестр программ для ЭВМ.

10. Программа численного решения обратных задач для математических моделей тепломассопереноса. (Серверная часть) № 2014619479 / Пятков С.Г., Сафонов Е.И. (RU); правообладатель ФГБОУ ВПО «Югорский государственный университет». - 2014619479; заявл. 21.07.2014; зарегистр. 17.09.2014, реестр программ для ЭВМ.

11. База данных для программы численного решения обратных задач для математических моделей тепломассопереноса № 2015620208 / Пятков С.Г., Сафонов Е. И. (RU); правообладатель ФГБОУ ВПО «Югорский государственный университет». - 2015620208; заявл. 25.09.2014; зарегистр. 06.02.2015, реестр баз данных.

Подписано в печать 23.04.2015. Усл.печл. 1,87 Формат 60 х 84 1/16 Тираж 110 Заказ 326

Отпечатано в типографии "Сити-Принт". 454080, г. Челябинск, ул. Энгельса, 61-а ИП Мякотин И. В.