автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование взаимосвязанного тепломассопереноса в многолетнемерзлых горных породах

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

Государственный комитет по высшей школе, науке и технической политике Республики Саха (Якутия) Якутский ордена Дружбы народов государственный университет имени М. К. Аммосова

На правах рукописи ПРОТОДЬЯКОНОВА Татьяна Гаврильевна

УДК 551.345:536.421

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОСВЯЗАННОГО ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В МНОГОЛЕТНЕМЕРЗЛЫХ ГОРНЫХ ПОРОДАХ

Специальность: 05.13.18 - Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Якутск 1994

Работа выполнена в Якутском государственном университета и в Институте тепломассообмена имени А.В5.Яйкова АН Белоруссии.

Научный руководитель - доктор технических наук,

профессор Е.Е.Петров,

Научный консультант - доктор технических наук,

профессор II.И.Колесников

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н..профессор

Дробыаевич В.И., I к.ф.-м.н..доцент

Павлов А.Р.

Ведущая организация - Институт гидродинамики

им. 1!.А.Лаврентьева СО РАН

Защита-диссертации состоится /^ 1994 г_

в ЛГ- (ГО часов на заседании' К 064.57.02 в Якутском

государстввнном университете ( 677891 г. Якутск, ул. Белинского, 58, Якутский государственный университет).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Якутского государственного университета.

Автореферат разослан " ^ " Ое^Р^Л^Л 1Й94 г>

Ученый секретарь совета, кандидат физико-математических „

наук, с.н.с. Васильев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Дальнейшее хозяйственное освоение обдирных территория Севера и Севоро-Ностока России, все возрастающие .темпы .развития добывающей, создание и развитие по-рерабатывакщей промышленности в этих районах требуют интенсивного использования существующих энерго-и гидроресурсов, строительства горнодобывающих сооружений, мелиоративных систем, ¿ранспчртных коммуникаций и гидротехнических сооружений, .предназначенных не только для обеспечения промышленного и питьевого водоснабжения,но и орошения, осушения, защиты от затоплений, технологического назначения в горнодобывающей промциленнос.ти и пр.

.Обдий гидроэнергетический потенциал СНГ дocтиraeY 450

¿Кат, из которых на зону распространения многолетнемерз-лух грунтов в Сибири приходится 55 '/.. Технически возможные к использованию гидроэнергоресурсы используются при этом в пределах 5'/., в США - ЗОЯ, в Японии - 75, Швейцарии - 70.

Успеиное строительство и эксплуатация технических сооружений на Крайнем Сенере невозможны без учета сложных геокриологических условий оснований сооружений, тщательного изучения свойств грунтов, умения прогнозировать их изменения под влиянием внешних факторов, т.к. изменения состояния массива многолетнемерзлых горных пород могут привести как к разрувению самих сооружений, так и к негативным экологическим последствиям.

Достоверность прогнозирования температурного и влажност-ного режима в многолетнемерзлых горных породах (ММГП) зависит от точности знания феноменологических характеристик с, л, д, К, 5, характеризующих теплофизические и массообменные свойства: видов их функциональных зависимостей и значений параметров, входящих в данные функции. Экспериментальные методы определения теплофизических параметров основываются на соотноиениях, получающихся из реиений линейных задач теплопроводности при некоторых упрощениях, например, путем осреднения температуры и т.д.

Дороговизна лабораторных экспериментов и погрешности в определении характеристик привели к необходимости поиска других путей их нахождения. В последнее время, в связи с большими возможностями, представленными современными вычислительными методами совместно с широким использованием компьютеров, весьма важное значение и интенсивное развитие в теории нестационарной теплопроводности приобрели обратные задачи. Причем в ряде случаев обратные задачи являются практически единственным средством получения необходимых результатов, дают возможность исследовать сложные нестационарные нелинейные процессы теплообмена, обладаит высокой информативностью и намли важные практические приложения в различных областях техники.

Цель работы. Разработка методов геокриологического прогноза последствий технологического воздействия на многолетне-мерзлые горные породы на основе использования математических моделей. Построение эффективных вычислительных алгоритмов восстановления теплофизических и массообменных характеристик дисперсных сред и их реализация в виде комплекса прикладных программ.

Задачами исследования являются: -'*

- проведение анализа существующих теоретических моделей тепломассообмена ЫМГП, функциональных зависимостей теплофизических и массообменных характеристик от температуры и влажности и прогноза динамики изменения полей температуры и влажности с учетом фазовых переходов поровой влаги;

- разработка и реализация алгоритмов решения обратных коэффициентных задач определения тепломассообменных характеристик дисперсных сред;

- обоснование алгоритмов и анализ условий сходимости итерационно-разностных процессов определения теплофизических и массообменных характеристик.

Научная новизна. Построена итерационно-разностная

схема и обоснована методика численного расчета методом сквозного счета со сглаживанием коэффициентов взаимосвязанных задач тепломассопереноса при наличии фазовых переходов, являющийся модификацией метода, предложенного А.А.Самарским и

другими для решения задач типа Стефана.

- Предложены разностные схемы и разработаны итерационные алгоритмы численного решения обратных задач восстановления нелинейных коэффициентов тепломассопереноса дисперсных сред.

- Исследованы влияние начальных приближений, количества И координат установки гермодатчиков, используемых для получения дополнительных данных, на скорость сходимости итерационного процесса.

- На основе модульного принципа построения программных систем создан комплекс прикладных программ реиения обратных задач тепломассопераиоса.

Достоверность выводов и результатов, полученных в диссертационной работе обеспечиваются:

- обоснованностью используемых математических моделей;

- применением теоретически обоснованных и апробированных численных методов ре*ения задач тепломассообмена;

- проверкой работоспособности разработанных алгоритмов и оценкой точности счета на тестовых примерах;

- сравнением полученных результатов с данными других авторов.

Практическая ценность работы заключается в следующем:

математические модели и разработанные итерационно-разностные схемы для их реализации могут использоваться для прогнозирования динамики температурного поля с учетом фильтрации влаги в массиве многолетнемерзлых пород, вмецакщем различные инженерные сооружения;

разработанные численные алгоритмы решения обратных коэффициентных нелинейных задач тепломассообмена и созданный комплекс программ могут быть использованы для определения теплофизических и массообменных характеристик конкретных дисперсных сред, а полученные условия для количества и координат размецвния термодатчиков, обеспечивакщие сходимость итерационного процесса, в планировании эксперимента.

Апробация работы. Отдельные разделы и основные результаты диссертации докладывались на конференциях молодых ученых ИТМО АН БССР, на семинарах лаборатории математических

методов теории переноса ИТМО им. A.B. йыкова АН БССР, на всесоюзной конференции по тепломассообмену ^Минск, 1985), на VI всесоюзном семинару по обратим задачам (Москва, МАИ, 1987), ^а теоретической конференции преподавателей и сотрудников ЯГУ и ЯНЦ СО РАН (г.Якутск).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах / 1- 10/ .

Структура иобьем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложений и списка литературы из 95 наименований. Изложена на 126 страницах машинописного текста. •

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование актуальноети выбранной темы, определены цели работы и приведены основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена изучению задач тепломассолереноса в дисперсных средах с фазовыми переходами, анализу зависимости тепломассообменных характеристик ММГП от температуры и влажности, исследованию динамики температурных полей в гидротехнических сооружениях. На территории Севера России и в частности в Якутии распространено строительство различных плотин, как высоконапорных для нужд гидроэнергетики, так и низконапорных для оросительной мелиорации, для дражных полигонов, хвостохранилищ и для водохранилищ различного назначения. Прочность, проницаемость пород основания и тела плотины зависят от температурногЬ режима, фазовых превращений поровой влаги. Исследованию процессов тепломассолереноса в дисперсных средах посвящены работы A.B. Лыкова, Н.С. Иванова, Г.М. Фельдмана, А.Ф. Чудновского, Э.Д. Ершова, А.А.Ананяна, В,Г. Меламеда, A.B. Медведева, Р.В. Чжан и других. В работах Биянова Г.Ф., Когодовского O.A., Макарова В.И. приводятся описания многочисленных гидротехнических сооружений, возведенных в зоне распространения вечной мерзлоты, данные по их тепловому режиму и термомеханическому состоянию.

Приводится анализ математических моделей, рассмотрена

зависимость теплофизических и массообменных характеристик от влажности, температуры, фазового состояния и структуры многолетнемерзлых горных пород. Дана математическая постановка задачи. Для описания процессов взаимосвязанного тепломас-сопереноса, как наиболее полно учитывающее происходящие процессы, выбрана система уравнении A.B. Лыкова для температуры Т и влажности w

С(Т ,w) 5 (T,v)Tt= div(\ (Т, v) -qrad Т + + K(T,w)ü^-grad w)+y gw t, (1)

wß = div(K (T,v) • (grad v +B grrad T)) , (2)

Изучению зависимости от температуры и влажности коэффициентов С, к, 5, характеризующих теплофизические и массообменные свойства дисперсных сред и определению параметров, входяиих в эти зависимости для различных сред посвящены работы Балобаева В.Т., Вотякова И.Н., Иванова Н.С., Манларова А.А, Скрябина П.Н., Угарова И.С., Чудновского А.Ф. и др.

Процесс фазового перехода поровой влаги зависит от свойств дисперсной среды. В крупнодисперсных средах фазовый переход происходит при постоянной температуре т = и. Процесс промерзания - протаивания в тонкодисперсных средах происходит в спектре температур и в формулы для определения тепломассо-обменных коэффициентов входит функция незамерзией воды

Рассмотрена методика численного ремения поставленной задачи. Модифицирован метод сквозного счета A.A.

Самарского, обоснована замена поставленной задачи задачей со сглаженными коэффициентами.

Для задачи (1)-(2) построены локально-одномерные схемы.

Приведены результаты численных расчетов. Для изучения зависимости глубины сезонного протаивания от влажности проведена серия расчетов при различных значениях влажности, при этом при изменении w от 0,1 до 0,2 глубина сезонного протаивания меняется на Z0-3O5C Проведены расчеты динамики температурного поля и получены многолетние изотермы для низконапорных плотин. Приведены результаты численного исследо-

а

вания по прогнозировании теплового режима дорожной насыпи с учетом атмосферных осадков и испарения. Результаты расчетов представлены в виде графиков.

Во второй главе рассматривается задача тепломассообмена в инженерных сооружениях с жидкостными замораживающими устройствами, основанными на свободно- конвективной циркуляции хладоагента. Жидкостные замораживающие устройства (ЖЗУ) применяются уже много лет. Впервые в мировой практике массовое применение ЖЗУ в капитальном строительстве начато с 1970 года вчг. Мирном. В практике гидротехнического строительства 13У впервые были применены в 1973 году на Сытыканскоы гидроузле в Якутии для промораживания суглинистого ядра плотины и подруслового талика.

Приведен обзор литературы по методам определения теплового потока, эффективного коэффициента теплоотдачи. Они рассмотрены в работах В.И. Макарова, Я.Б. Горелика, С.Л. Вааз и других. Дана постановка задачи свободно -конвективного теплообмена в замораживающих устройствах, описываемая системой уравнений Навье - Стокса, для решения которой использованы переменные функция тока, вихрь. Построены разностные схемы для решения данной системы. Задача Пуассона для функции тока реиена с помощь» быстрого преобразования Фурье. В третьем параграфе второй главы приведены результаты численных расчетов. Для апробации алгоритма проведен тестовый расчет свободно - конвективного теплообмена в квадратной полости. Полученные результаты сравнены с данными Е.Л. Тарунина. Рассчитаны многолетние изотермы гидротехнических сооружений с ЖЗУ. Проведено численное прогнозирование температурного режима вмещающих вертикальные стволы многолетнемерзлого породного массива рудника "Интернациональный". Для предотвращения протаивания и просадки грунта и сохранения устойчивой отрицательной температуры в основании башенного копра и вокруг вертикального ствола применяются коаксиальные ХЗУ системы В.И. Макарова.

В третьей главе рассматривается обратная задача восстановления теплофизических и массообменных характеристик дисперсных сред.

Характерной особенностью обратных задач теплообмена является некорректность исходной постановки, связанная с возможной неоднозначностью и неустойчивостью их решения, что требует разработки специальных математических методов и вычислительных алгоритмов. Наиболее развитыми методами идентификации математической модели тепломассопереноса являются методы, основанные на сведении обратной задачи к экстремальной - минимизации функционала невязки т

m

J = j (l Ht(t) (Tly^tf-u^t))2 +E 4j(t) (WÎZytl-Vjft))2 jdt о

зависящей от неизвестных функций C(T,w), \(T,w), K(T,w) и характеризующей согласованность расчетных и измеренных значений температуры и влажности в точках у( и z^.

В работах О.М. Алифанова, Е.А.Артюхина, C.B. Румянцева, Б.И. Панкратова, П.П. Пермякова и других развиты методи итерационной регуляризации и приведены алгоритмы с применением градиентных методов реиения задач минимизации.

Рассмотрена задача восстановления нелинейных коэффициентов теплоемкости и теплопроводности: определяемые функции С(т) и х(Т) должны быть такими, что температурное поле T(x,t), являющееся решением уравнения

с(Т) Г( =х~ " (хп \ (Т) т^ ) х+ Ц (T)T^+f (Т)

и удовлетворяющее соответствующим начальному и краевым условиям должно удовлетворять дополнительным условиям T(y{.t)=ut(t) , в точках х = у( , i = 1.....к.

Задачу определения функций С(Т) и х(Т) можно свести к задаче параметрической идентификации: определению параметров

Я— ,С • А ,i,tI

1 о' ' к ' о' к,'

о А

входящих в функции С(Т) И X (Т) .

Для минимизации функционала невязки

т

m

J(a) = | fit(t) (T(yf,t) - ut(t))" dt

О

воспользуемся градиентными методами и построим итерационный

алгоритм определения а - компонент вектора а:

(В)

если известно некоторое начальное приближение а^, то я+1 приближение определим но формулам

с г |'э; с я 1 ( з )

Я = а - ,1 • р , н = где

.< J .<

I о ) (о) (9 3 (в) С а > (1 >

д J ¡да] , pJ = д J ¡да}- р • ,

ся; ( в - 1 >

(3 = - | дгасЗ J |г/|дгас1 J |г, з 1,2 .

Для определения компонент градиента функционала невязки ¿Ча; введем функции чувствительности у ^дт / , являюииеся решением системы уравнений

гп(кп к <Г) У]х)х х'"(х" хт т^

+ см т + I - с т ;ч>,+ х~" (хп х т ) - с г ,

' Т X Т Т I' } ' а ^ X а^ !

I < X < 1 , 0 < Ь < X

О 1 т

^ рС.О; = 0, 1оЧ X < 1г,

(а + а Л т - а )ю + а \ (т) у + А Л Г = 0, Х=1 ,

1 ( 2 т х з.т TJ га* о

(В - в а т-в - в -б а т = о, х=1 ,

1 1 2 Таг Э.T'^J 2 ^ , г а X 1

и компоненты градиента функционала невязки определим по форт

т

мулам = 2 | р (Ь)(Т(у(,ь> - гь;; Ф.ГУ(.Ь; ^

да

Л о

Для численного ревения данной задачи построены неявные разностные схемы.

Приведены результаты тестовых расчетов для проверки работоспособности алгоритма и результаты восстановления тепло-физических характеристик химико-фармацевтических препаратов. По результатам термограмм, снятых на дериватографе, левомицетина и его полупродуктов, в частности левоамина, получены коэффициенты температуропроводности.

Рассмотрена задача определения нелинейных тепломассо-бменных характеристик в процессах взаимосвязанного процесса

тепломассопереноса в дисперсных средах. Задачу определении параметров aJ , входящих в определение функций С(Т,ы), \(Т,ы) К(Т,ы), сведем также к задаче минимизации функционала невязки. Функционал з(а) достигает минимума при ограничениях

С(Т, Т = Х~ ( X А (Т,ы) Т ) 4- Ц (Т,ы) V +

(3)

v = х ( х К(Т,ы) и ) , 1 < х < 1 , 0 < С < г ,

С 1 1 * 3- о I

Т(х,0) = Т , 1<(х,0) ы , 1 < х < I (4)

В Т -В \ (Т,ы) Т =В (Ъ) ,

1 2 ' ' х з 1 '

С V +С К(Т,ы)ы =С (t),

I 2 ' ' X 3 1 '

, о <(:< х ,

О /л

х—1 , о <ы г ,

1 т

х=1 , 0 <t< С ,

(5)

О* -Ог К(Т,*)Ых

х—1 , О <И I ,

в точках стационарности расширенного функционала

J^J + J I +1 ,

О 1 2

составленного с помощь» метода неопределенных множителей Лаг-ранха.

Необходимым условием стационарности функционала 1(а) является равенство нули его полной вариации. Из выражения полной вариации расширенного функционала Г(а,| найдем компоненты градиента функционала они определяются по

следующим формулам

Т 1

ш - ] ь ш .

аз ш

дх

I I х" «V,

дз

- I 1

Ш

где ч>( и ф - решения сопряженной системы уравнений с<т,уо9 <р( [ + \(т,п) х'п (хп ч>( - х'п ,'х" ч>,;г>

(6)

V. + К(Т,*) х-"(х" Фг + Кт т1 ч>г1 - Тх ч>, ^ +

+ <Р, С^ г^ + - с^ д тс) ' о, (7)

91(х,гт) - о, ч^сх-.т^ =о. 1о <. х < 11 , (8)

Аг лгг.к; (А^ - А£ ?>,+ 2Ь1( е,гг - о,

* ' 1

- В Ь(Т,Ч) <> + (В + В ЩТ.Г)) 1р + 26 0 (Т - и )/1 = О,

2 1 ' ' >.а: ' » г 1 ' " И.< 1 « 1" 1 *

>1 * 1

С к(т,н) (р + С <р + 25 г) (v - v ) /1 = о, 3 1 ' 2. а: 1 г ' °

- о к(т,к) <р + о <ф + 2Ъ р (v - v 1/1 - о, (9)

а 1 ' г.* 11 к.и *11 » ./'' 1 4 '

лг

[»,]„ - О» [»*" " 2 Р1< Т<У,>*) ~

[92]г - О, [ К х" « 2 VJ( - У^Ь)).

Для численного решения дифференциальная задача (3) - (9) аппроксимирована неявными разностными уравнениями. Значения неизвестных параметров aJ определяются с помощью итерационного процесса, аналогичного описанному в первом параграфе.

С целью апробации алгоритма и изучения влияния начальных приближений и координат установки термодатчика, для получения дополнительных данных, были проведены серии численных

( о;

расчетов при различных значениях начальных приближений а^ и различных значениях у(и Сходимость итерационного процесса существенно зависит от координат у( и г . Параметр итерационной регуляризации, ограничивающий количество итераций зависит от количества одновременно определяемых параметров, входящих в запись неизвестных функций и не превышает 10-и .

а

Результаты численной апробации приведенных вычислительных алгоритмов показали их высокую эффективность. Они представлены в виде графиков.

В п 3.4 дано описание комплекса прикладных программ оти. Данный программный комплекс предназначен для численного

решения нелинейных обратных задач взаимосвязанного тепломассопереноса с помощью итерационных градиентных методов, рассмотренных в настоящей работе. Он имеат модульную структуру, все его модули написаны на алгоритмическом языке Паскаль и реализованы на персональных компьютерах типа IBM PC с помощью компилятора Turbo Pascal фирмы Borland International версии 6.0. Для нормальной работы комплекса требуется IBM совместимый персональный компьютер с оперативной памятью не менее 640 Кб и жестким диском любой емкости, ega или Vga монитор, и если требуется распечатка результатов счета, п том числе и графиков - матричный или лазерный принтер.

В заключении отмечается, что в диссертации дано решение актуальной научной задачи, состоящее в разработке математических моделей, описывающих задачи тепломассопереноса с фазовыми переходами и численных алгоритмов для их реализации, в разработке алгоритмов определения тепломассообменных характо-ристик дисперсных сред. Сформулированы основные результаты диссертационной работы, выдвигаемые на защиту, которые сводятся к следующему:

1. Построена итерационно-разностная схема и обоснована методика численного расчета методом сквозного счета со сглаживанием коэффициентов взаимосвязанных задач тепломассопереноса при наличии фазовых переходов.

2. Построена разностная схема и итерационный алгоритм численного решения задачи свободно-конвективного теплообмена в замораживающих устройствах.

3. Разработаны алгоритмы численного решения обратных коэффициентных задач и восстановления коэффициентов тепломассопереноса дисперсных сред. Задача идентификации математической модели сведена к решению экстремальной задачи минимизации функционала невязки с использованием градиентных методов.

4. Исследованы влияние начальных приближений и количества и координат установки термодатчиков, для получения дополнительных данных, в задачах идентификации математических моделей задач тепломассопереноса. Скорость сходимости итерационного процесса зависит от количества и выбора координат . точек у( и z , в которых задаются дополнительные данные для

температуры и4 и влажности у . При этом для одновременного восстановления коэффициента теплопроводности \(т,и) и коэффициента диффузии К(Т,к) достаточно задания значений дополнительных данных в одной точке, а при определении коэффициентов теплоемкости С(Т,*г) и теплопроводности \(Т,ы) необходимо точно задать хотя бы один параметр, входящий в эти функции и для сходимости итерационного процесса необходимо использовать не менее двух дополнительных данных для температуры, замеренных в различных точках.

5. Проведены расчеты динамики температурного поля и приведены многолетние изотермы для различных инженерных сооружений с учетом фильтрации влаги и при искусственном замораживании. Используя приведенные в работе алгоритмы решения обратных задач, восстановлены коэффициенты тепломассопереноса различных материалов, в частности, фармацевтических препаратов: левоамина и его полупродуктов.

6. Разработаны комплексы прикладных программ для персональных компьютеров, реализующие предложенные алгоритмы решения задач:

- тепломассопереноса с фазовыми переходами - в различных инженерных сооружениях;

- восстановления коэффициентов тепломассопереноса дисперсных средах.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах: '

1. Колесников П.И., Абрамов Р.Г., Веселов В.П., Прото-дьяконова Т.Г., Крейчи Л., Фогел И. Прямые и обратные задачи нелинейной теплопроводности при взаимодействии высокотемпературного потока с медными стенками // Теплообмен - VII: Тр./ Всес. конференция, Минск, 1984. - Минск, 1984. -1.7. - С. 93 - 97.

2. Колесников П.М., Борухов В.Т., Сергеев В.Л., Веселов В.П., Протодьяконова Т.Г. Некоторые обратные задачи теории энергопереноса // Обратные задачи и идентификация процессов теплообмена: Тр./ Всес. семинар, Уфа, 1984. - Уфа, 1984 - С. 106.

3. Колесников П.M., Протодьяконова Т.Г. Нелинейная обратная задача восстановления коэффициентов переноса // Инженерно- физич. журнал. - 1985, - Т. 49, и 6. - С. 909 - 915.

4. Колесников П.М., Протодьяконова Т.Г. Численное исследование динамики температурного поля плотины с замораживаю-цими колонками. // Инхенорно- физич. журнал. - 1985. - Т. 49, и 2. - С. 298 - 303.

5. Колесников П.М., Протодьяконова Т.Г., Борисович Л.Е., Федорович Н.В. Прямые и обратные задачи как метод определения теплофизичоских характеристик при суаке лекарственных препаратов . // Обратные задачи и идентификация процессов теплообмена: Тр./VI Всес. семинара, Москва, 1988. - М.: с. 165-166.

6. Колесников П.!,!., Куц П.С., Протодьяконова Т.Г., Федорович Н.В. Опрзделенив теплофизических свойств лекарственных препаратов. // Ингенерно- физич. журнал. - 1986. - Т. 51, M 3. - С. 455 - 470.

7. Петров Е.Е,, Протодьяконова Т.Г. Об одном варианте метода ловли фронта в узел сетки. // Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики: Тр./ Всес. яколы молодых ученых , Москва, 1981 г. - М. : ИПМ АН СССР, 1981. - С. 138 - 140.

8. Протодьяконова Т.Г. Нелинейная обратная задача восстановления коэффициентов переноса. // Тепломассообмен и физико механические процессы в энергетических установках.

- Минск: ИТМО АН БССР,1985. - С. 46 - 50.

9. Протодьяконова Т.Г. Численное исследование взаимосвязанного тепло - и влагопереноса при замораживании плотин. // Энергоперенос в нелинейных, неоднородных и неравновесных средах. - Минск: ИТМО АН БССР. - 1984. - С. 79 - 89.

10. Протодьяконова Т.Г. Численное исследование процессов теплообмена при замораживании плотин с учетом влагопереноса. // Гидрогазодинамика, тепло - и массообмен в энергетических установках. - Минск: ИТМО АН БССР. - 1984. - С. 171-174.