автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Некоторые аспекты математического моделирования в электронной оптике

; ч РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

^ , ^ , ОРДЕНА ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

? Р <

> ^ ■■ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ СО РАН

) ¿К :

го

Специализированный совет К 002.23.04

На правах рукописи УДК 537.533.3+517.926.4

Мищенко Евгения Васильевна

НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЭЛЕКТРОННОЙ ОПТИКЕ

05.13.16 - применение вычислительной техники математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1994

Работа выполнена в Институте математики СО РАН

Научный руководитель -доктор физико-математических

наук, профессор А.М. Блохин

Официальные оппоненты -доктор физико-математических

наук, профессор В.В.Бухначев

-доктор физико-математических наук, доцент С.И.Фадеев

Ведущая организация Вычислительный центр СО РАН Защита диссертации состоится" " 1994 г.

в часов на заседании специализированного совета К 002.23.04

по присуждению ученой степени кандидата физико-математических

наук в Институте математики СО РАН (630090, Новосибирск-90,

Университетский проспект, 4).

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан" " 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук, доцент Г.ВДемиденко

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Основной трудностью математического моделирования электронно-оптических систем, в частности катодных осесимметричных систем, является наличие малых параметров в математических моделях этих систем. Это затрудняет либо делает невозможным применение грубых численных методов. Многочисленные публикации по этому вопросу (среди них работы Е. Брюхе, О. Шерцера, A.A. Сапаргалиева, В.А. Катешо-ва, В.П. Ильина и других) направлены на преодоление указанных трудностей. В качестве единственной разумной альтернативы называют теорию аберраций.

Специалисты отмечают, что значительному числу работ по теории аберраций ЭОС свойственно отсутствие четкой классификации аберраций катодных линз, не уделяется должного внимания хроматическим аберрациям. Большое разнообразие подходов к проблеме делает результаты работ зачастую несопоставимыми.

Кроме того, не указываются границы применимости теории, практически отсутствуют публикации по решению модельных задач и сравнению результатов теоретических расчетов с экспериментом.

Впервые методически правильные выражения для хроматических аберраций были получены в работах М.А. Монастырского, Ю.В.Куликова, где на базе теории сингулярно-возмущенных систем рассматриваются вопросы асимптотического поведения решений одного специального дифференциального уравнения — параксиального, которое содержит малый параметр в коэффициенте при старшей производной. Асимптотика решений построена отдельно в пограничном слое и вне его.

Возможность находить решения вышеупомянутого уравнения

не совершая предельного перехода по малому параметру и получить в результате решения справедливые как внутри погранслоя, так и вне его, возможность осуществить единый подход при отыскании временных и пространственных аберраций явилось побудительной причиной для проведения данного исследования.

Цель работы. Целью работы является: используя новый подход к решению параксиального уравнения, построить строгую теорию аберраций для катодных электронно-оптических осесимме-тричных систем. Новизна подхода к решению параксиального уравнения состоит в следующем: решать параксиальное уравнение не используя предельного перехода по малому параметру р, содержащемуся в коэффициенте при старшей производной. Вместо этого вблизи нуля свести параксиальное уравнение к интегральному уравнению Вольтерра второго рода и находить интересующие нас решения как решения интегрального уравнения в виде рядов по степеням функции и(х) = х + р2. При выполнении указанных в работе условий на коэффициенты уравнения такие разложения справедливы как внутри пограничного слоя, так и вне его. При удалении от нулевой точки решения находятся в виде регулярных разложений по степеням ц. Численная реализация полученных результатов также входит в задачу.

Общая методика исследования. Для получения аналитических представлений функций вблизи нуля в работе используются методы решения интегральных уравнений Вольтерра второго рода, а также результаты классической теории обыкновенных уравнений.

Численные расчеты организованы следующим образом: в окрестности нуля вычисления ведутся по полученным в работе аналитическим формулам. Вне окрестности нуля для проведения вычисления нужно знать два линейно-независимых решения парак-

спального уравнения. Они находятся с помощью метода Рунге— Кутта. После этого искомые функции вычисляются по формулам, полученным варьированием произвольных постоянных. В качестве модельной задачи выступает сферический конденсатор.

Основные результаты.

1. В работе предложен и реализован новый подход к решению параксиального уравнения в окрестности нулевой точки.

2. С использованием этого подхода в окрестности нуля найдены разложения в виде рядов для пространственных аберраций 1-го и 3-го порядков и временных аберраций.

3. Показана применимость полученных результатов для нахождения пространственных и временных аберраций для катод!го-зеркальной системы, т.е., когда потенциал на оси принимает нулевое значение в двух точках.

4. По полученным формулам произведены численные расчеты.

Все основные результаты являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность. В теоретическом отношении представленные в работе результаты являются развитием теории аберраций в применении к катодным электронно-оптическим системам. Практическая ценность полученных результатов обусловлена возможностью применения их для расчета конкретных ЭОС.

Апробация результатов. Результаты докладывались —на семинаре кафедры математики физического факультета МГУ под руководством профессора A.B. Васильевой, —на семинаре по линейным задачам под руководством академика АН СССР А.Ф. Сидорова в Институте математики и механики УЯЦ АН СССР,

—на 2 Всесоюзной конференции "Новые подходы к решению дифферен-

циальных уравнений",

—на семинаре под руководством профессора С.А. Ломова в Московском энергетическом институте,

—на семинаре под руководством профессора А.И. Хисамутдинова в Институте математики СО РАН.

Работа получила поддержку Фонда общества математики Франции РЯО-МАТНЕМАТГСА.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых помещен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, приложения I и приложения II, списка литературы и изложена на 135 страницах. Главы дополнительно разбиты на параграфы. Нумерация формул ведется отдельно для каждой главы. Нумерация теорем и лемм сквозная. Список литературы содержит 74 наименований.

Содержание работы

Глава I. В первой главе рассмотрена задача отыскания на отрезке [0, га\ двух линейно-независимых решений и(г), хи(г) параксиального уравнения, содержащего малый параметр ц в коэффициенте при старшей производной:

Ф'(г) ¿А , *'Ь)А

¿г* 2(Ф(г) + ¿2 + 4(Ф(*) + 1Л>) ' 1 ;

удовлетворяющих начальным данным, которые также зависят от

«;(0) = 0, 1/(0) =

и>(0) = 1, го'(0) = 0.

Здесь ц —малый параметр.

Относительно функции Ф(г) предполагаются выполненными следующие условия:

1) Ф(г) аналитична на отрезке [0,za\, za > 0;

2) Ф(0) = 0, Ф(г) > 0 при 0 < г < za;

3) Ф'(г) ф 0 при 0 < z < z\ < га; Ф(г) > у? при г >

4) функция Q(x) = щг(г(х)), где х = Ф(г), аналитична при О z < z\ и предст&вима в следующем виде:

Q(s) = Е QmXm,

m=О

где

1 «Г^ж), d _ 1 d

Qm — 1

m! dx"> ll"0' da; Ф'(г)Лг' В параграфе 1.1 доказана Лемма 1 о возможности приведения дифференциального уравнения определенного типа к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Используя эту Лемму, показываем в параграфе 1.2, что если условия 1)—4) выполнены, то уравнению (1) соответствует интегральное уравнение Вольтерра второго рода. Следовательно, функции v(z), w(z) на отрезке [0, zi] могут быть найдены как решения следующих интегральных уравнений ,

X

w(x) = 1 + 2/iQ(0)(ti(*,/i) - р) + / K{x,t)w(£)dt,

о

с ядром

К{х,0 = - 3) + ЩОи[!,ц)(ф,р) - и(Ш,

и7(х,ц) = х + (I2 = Ф(г) + fi?. Сформулирована и доказана Теорема 1: Пусть выполнены предположения 1)~4)- Тогда при 0<z<zi для функций v(z), w(z) имеют место представления:

Ф) = ЕШ*У+1(х,м) + (2)

jm 0

1=0

где (j(x), T}¡(x), aj(x), /?;(х) — некоторые аналитические функг ции.

При доказательстве Теоремы 1 используем Лемму 2 о виде повторных ядер и резольвенты приведенных интегральных уравнений. Единственность представлений (2) доказана в Лемме 3.

В параграфе 1.3 приведен другой, рекуррентный способ определения коэффициентов &(а:), r/¡(x), а,(х), Д(х). Поскольку определение этих коэффициентов по рекуррентным формулам при больших г весьма утомительно, здесь же даны более компактные формулы для приблизительного нахождения указанных функций при больших г.

Параграф 1.4 посвящен нахождению функций r(z), w(z) вне окрестности нулевой точки.

Глава II. В главе II определяются 6 весьма важных с точки зрения моделирования катодных линз функций, B(z), C(z), D(z), F(z), G(z), E(z), удовлетворяющих неоднородному уравнению (1) с различными правыми частями и начальными данными. Формулировки этих задач можно найти в параграфе 2.1. Подробный анализ правых частей и начальных данных, проведенный там же, показывает, что вместо сформулированных б задач нужно рассмотреть две задачи, более общего вида.

Задача I.

Пусть функция ffr(z) имеет вид: H¡(z)= ZHUzWW + n'y-V' + vH! в2(г)(Ф(г) + д')»-\ (3)

п-0

Коэффициенты H¡ni, Нш —некоторые аналитические функции.

Мы ищем функцию А/ — решение задачи Копш— удовлетво-

ряющую уравнению

<РА, . Ф'(з) dAj Ф"(z)Ai ~ : dz* 2(Ф(г) + ц2) dz 4(Ф(г) + ц?) 1

и начальным данным

■л f<n - 2%(0) 1 л'т- ïïm{0) 1 Задача II.

Пусть функция Нц(х) имеет вид:

_ 00 _ _

n=0

Коэффициенты Нцпi, — некоторые аналитические функции.

Мы ищем функцию Ац — решение задачи Коши— удовлетворяющую уравнению

à2 Аи Ф'(г) dAu УЩ„ т dz* 2(Ф(z) + ii2) dz 4(Ф(г) + М2) 11

и начальным данным

При этом задачи для нахождения функций В, С, D являются задачами типа I; а задачи для нахождения функций F, G, Е — задачами типа II.

Следующие Теоремы 2 и 3 сформулированы и доказаны в параграфе 2.3.

Теорема 2. Пусть дана задача I. Пусть выполнены условия 1)-4) из Пусть функции z{x)) и п = 0,1,...,

аполитичны no х на отрезке [0,xi], xi = Ф(г)) и выполнено условие: __

^ - |<гя,01 + Я,„ s 0. (5)

Тогда на отрезке [0,¿i] функция A¡(z) представима в виде: М*) = £ {¿/»lOO«""1**, А») + »Аш(хУ\х, /i)}, (6)

n-0

где A/ai(¡e), Aini{x) —аналитические по х функции.

Теорема 3. Пусть дана задача II. Пусть выполнены условия 1)—4) из Щ. Пусть функции j#ft(z{x)) и ^КФ)), п = 0,1,..., аполитичны no х на отрезке [0,x¡], Xi = Ф(^) и выполнено условие:

^-lQBjm+Hnu = о. (7)

Тогда на отрезке [0, zí\ функция A¡i{z) представима в виде:

Aii(z) = E{A//„i(a;)u2,'-1(x,/i) + цА1М(х)и2п(х,»)}, (8) я»0

где Ацпi(x), A¡¡nj(x) —аналитические по х функции.

Используя Теоремы 2,3, в параграфе 2.4. находим представления для интересующих нас функций вблизи нулевой точки. Утверждения сформулированы в виде Теорем 4,5: Теорема 4. Пусть выполнены условия 1)—4) 113

Тогда на отрезке [0,zi] функция В, С, D представимы в виде:

B(z) = £{Вя1(х)и2"-1(х,1м)+»Вп2(х)и2*(х,ц)}, (9)

Я=0

C(z) = tiCniWu2"-1^) +цСя2(х)и2*(х,р)}, (10) ll=0

D{z) = £ {Dnl{x)uin~l(x,n) + MD„2(x)u*4x,v)}, (11)

ПшО

где функции Bin, C¡n, Dm, i — 1,2, п = 0,1..— аполитичны по

X.

Теорема 5. Пусть выполнены условия 1)—4) 113

Тогда на отрезке [0,zi] функция F, G, Е представимы в виде:

П*) = £шх)ь*-\х,ц) + nFn2(x)u3*(*,rih (12)

пвО

G(z) = Е{С»1(*)и,""1(*,/и) + /К?*2(*)и2я(*,/х)}, (13)

п=0

Е{г) = + (14)

n=«0

где функции F{n, Gin, Ein, » = 1,2, n = 0,1..— аполитичны по х.

Здесь же сформулированы необходимое и достаточное условие существования представлений (9)-(14) (таким условием является некое дифференциальное тождество, которому удовлетворяют правые части) и найдены рекуррентные соотношения на коэффициенты полученных разложений.

В параграфе 2.5. искомые функции определяются на отрезке

z > z\.

Глава III. Глава носит прикладной характер. В этой главе результаты и идеи первых двух глав находят применение при нахождении коэффициентов временных аберраций для катодных ЭООС и коэффициентов аберраций для одной из разновидностей ЭООС — катодно-зеркальной системы.

Математические формулировки задач выглядят следующим образом. Аберрационное выражение для времени пролета t в случае катодных ЭООС имеет вид :

t{z,ß) = tM{z,n) +

+tll(z,H)6po + ^02(*,/i)/>o + •••. (15)

где коэффициенты временных аберраций ioo» *ог> in, ho определяются как решения следующих задач Коши.

*oo(0,/i) = 0, (16)

Ai —некая физическая постоянная,

<11(0'") = 0 (18) Ч>Ы - иЧфи) , (19)

«2 —некая физическая постоянная, Х(х), У(х), J(x) были определены в параграфе 2.2.

Аналогично вышеизложенному, находим интересующие нас функции вблизи нуля в виде ряда по степеням и(х,/х), коэффициенты при них находятся из рекуррентных соотношений, и вне нулевой окрестности.

Параграф 3.2. содержит результаты, касающиеся весьма интересной разновидности ЭОС — катодно-зеркальных систем. В этом случае потенциал Ф(г) принимает нулевое значение в двух точках: Ф(0) = Ф(г7) = 0. В этом случае траектория частицы имеет прямую и отраженную ветви. При этом на некотором отрезке [¿1, г-,] коэффициенты аберрации становятся двузначными функциями: они имеют различные значения на отрезке [г?, г7] на прямой ветви (до поворота) и отраженной ветви (после поворота). Предположения относительно малости ра, ¡л позволяет считать, что отражение происходит в точке г7.

В предположении, что выполнено следующее:

1) Ф(г) аналитична на отрезке [0,гЛ], га > г7;

2) ф(г) > 0 при 0 < г < г7;

3) ф'(г) ф 0 при 0 < г < я\ и г\ < гг < 2 < г7; Ф(гг) > цг при < г < г2;

4) функция Q(x) = ^т(г(г)), где г = Ф(г), аналитична при 0 < г < гх и представима в следующем виде:

«(*) = £ <3»*"\ (20) тчО

где

О = ± = 1 Л

Чт т\ ¿х™ 1х=<" ¿х Ф'(г)с1г'

5) функция С?4(ж) = ^т(у(а;)), где х = = Ф(л7 - у) = Ф(г), у = г7 — г, аналитична при 0 < у < у\ (гг < г < г7), 1/1 = г7 — «2 и представима в следующем виде:

оо

9#(а) = £ (20')

т=0

где

О = 1 ± = -1 Л

Чт т! йхт 1г=0' йх <Ь\г)йу мы доказываем, что задача о нахождении коэффициентов аберрации на отрезках [22,-7] (прямая и отраженная ветви) и [21,22] (отраженная ветвь) сводится к уже рассмотренной в главах I, II задаче о нахождении коэффициентов аберраций на отрезке [0, г2} и находим их.

Приложение I. Содержит результаты численных расчетов коэффициентов аберраций (пространственных и временных) на ЭВМ. В качестве модельной задачи выбран сферический конденсатор, для которого известны аналитические выражения для коэффициентов аберраций. Вычисления организованы следующим образом: в окрестности нуля вычисления ведутся по полученным в работе аналитическим формулам. Вне окрестности нуля для проведения вычисления нужно знать два линейно-независимых решения параксиального уравнения. Они находятся с помощью метода Рунге—Кутта. После этого искомые функции вычисляются по формулам, полученным варьированием произвольных постоянных.

Таблицы 1,2 содержат результаты вычислений по точным формулам ( в таблице помечены "т") и формулам, полученным в работе (помечены "в").

Приложение II. Формулы, по которым производились вычисления вынесены в приложение II.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Построена строгая теория аберраций для катодных электронно-оптических осесимметричных систем. Приведены математические формулировки задач для нахождения коэффициентов аберраций этих систем.

2. Получены коэффициенты аберраций первого порядка для катодных ЭООС. С этой целью доказана лемма о приведении параксиального уравнения к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Доказана лемма о виде повторных ядер и резольвенты этого уравнения. Доказана теорема о виде двух линейно— независимых решений однородного параксиального уравнения.

3. Получены коэффициенты аберраций третьего порядка катодных ЭООС. С этой целью доказано, что решение множества поставленных задач сводимо к решению двух задач ( задача I и задача II) более общего вида. Доказана теорема о виде решений задач I, II. С ее помощью доказана теорема о виде решений исходных задач. Указаны необходимые и достаточные условия существования найденных представлений, которыми должны обладать правые части неоднородного параксиального уравнения.

4. Получены временные коэффициенты аберраций для катодных ЭООС и коэффициенты аберраций для катодных зеркальных систем.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю профессору А. М. Блохину за постановку задачи и постоянное внимание и помощь в работе.

Список работ по теме диссертации.

1.Блохин A.M., Мищенко Е.В. О нахождении решений одного уравнения второго порядка. Новосибирск. 1986. -51 с. (Препринт/СО АН СССР, Ян-т математики, No. 14).

2. Блохин A.M., Мищенко Е.В. О нахождении решений одного уравнения второго порядка. // Дифференциальные уравнения с частными производными : Сб. науч. трудов ИМ СО АН СССР.-Новосибирск, 1987. - с.5-20.

3. Мищенко Е.В., Блохин A.M. Нахождение решений одного уравнения второго порядка. // Математический анализ и дифференциальные уравнения : Межвузовский сборник науч. трудов. -Новосибирск, 1987. - с. 89-101.

4. Мищенко Е.В. О представлении решений одного класса сингулярно возмущенных уравнений.// Дифференциальные уравнения с частными производными : Сб. науч. трудов ИМ СО АН СССР. - Новосибирск, 1989. - с.125-135.

5. Блохин A.M., Дружинин И.Ю., Мищенко Е.В. Теория и расчет аберраций третьего порядка катодных систем. // Труды ИМ СО АН СССР, т.18 - Новосибирск,1990. -с.3-75.

6. Blokbin A.M., Dmzhinin I.Yu., Mishchenko E.V. Theory and computation of third order aberrations for cathode systems, part I. // Siberian Advanced in Mathematics, v.2, No.3 -1992. -pp.1-52.

7. Blokhin A.M., Druzhmin I.Yu., Mishchenko E.V. Theory and computation of third order aberrations for cathods systems, part II. II Siberian Advanced in Mathematics, v.2, No.4 -1992. -pp.1-42.

Подписано к печати 1 о. 1 о. 1994

Формат бумаги 60x84 1/16 Объем I п.л. Уч.-изд.л. 0,75 Тираж 100 экз. Заказ

Отпечатано на ротапринте Института математики СО РАН

630090, Новосибирск-90.