автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Нечеткие интервальные модели функциональных систем

Введение .2

Глава 1. Основы теории нечетких интервальных множеств .11

§1. Основные алгебраические структуры .11

1.1. Алгебраические системы. Алгебры. Модели .11

1.2. Классические алгебры .13

1.3. Реляционные системы .16

1.4. Частично упорядоченные полукольца .18

1.5. Многоосновные алгебры .19

§2. Интервальные обобщения теории нечетких множеств .25

2.1. Нечеткие интервальные множества .26

2.2. /-нечеткие отношения и их свойства .34

2.3. Нечеткие интервальные функции .38

§3. Алгебраическая структура множества I-нечетких контант .40

3.1. Нечеткие псевдоинтервальные константы .40

3.2. Отношение порядка на множестве PIHK .43

3.3. Критерий сравнимости PIHK .45

3.4. Алгебраические системы на множествах IHK и PIHK .49

3.5. /-нечеткие множества и обобщение Гогена .52

3.6. Структурно-алгебраические свойства IHK .54

Глава 2. Регулярные нечеткие интервальные языки.63

§1. Базовые понятия и определения .64

1.1. Алфавиты и слова над ними .64

1.2. Нечеткие интервальные языки .66

1.3. Операции над /-нечеткими языками .68

§2. Структурно—алгебраические свойства I-нечетких языков .74

2.1. Алгебраические свойства основных операций .74

2.2. Структура /-нечетких языков .83

§3. Уравнения над I-нечеткими языками .88

3.1. Предварительные замечания .88

3.2. Простейшие уравнения в алгебре /-нечетких языков .91

3.3. Методы решения систем линейных уравнений . .99

Глава 3. Нечеткая интервальная логика. .109

§1. Алгебра нечеткой интервальной логики .110

1.1. Элементарные функции /-нечеткой логики. .110

1.2. Реализация функций формулами .112

1.3. Равносильность формул.113

1.4. Полиномиальные формы представления формул .117

1.5. Канонические формы представления формул НИЛ.121

§2. Логика нечетких интервальных высказываний .130

2.1. Нечеткие интервальные высказывания .130

2.2. Анализ базовых законов /-нечеткой логики.133

2.3. Критерии значимости /-нечеткой резольвенты.138

2.4. Пороговые /-нечеткие логики .148

§3. Некоторые приложения I-нечеткой логики .152

3.1. Схемы из /-нечетких функциональных элементов .152

3.2. Выявление некорректных экспертных знаний .155

Глава 4. Нечеткие интервальные автоматы: проблемы анализа и синтеза .158

§1. Модели нечетких интервальных автоматов .158

1.1. Основные понятия и определения.159

1.2. Автоматы частного вида .163

1.3. Языки, представимые /-нечеткими автоматами .166

§2. Анализ нечетких интервальных автоматов .174

2.1. Прямые методы анализа .174

2.2. Метод неизвестных языков .178

§3. Синтез нечетких интервальных автоматов .180

3.1. Метод последовательного синтеза.180

3.2. Графо-аналитический метод синтеза .183

3.3. Композиции /-нечетких автоматов .186

3.4. Универсальное замещение /-нечетких автоматов .191

Глава 5. Теория гомоморфизмов и эквивалентность автоматов .196

§1. Поведенческая эквивалентность I-нечетких автоматов .197

1.1. Эквивалентность состояний и /-нечетких автоматов .197

1.2. Эксперименты с/-нечеткими автоматами.200

1.3. Критерий инициальной эквивалентности.203

§2. Гомоморфизмы конечных обобщенных автоматов .207

2.1. Отображения и разбиения автоматов .207

2.2. Свойства косых гомоморфизмов обобщенных автоматов .210

2.3. Специальные виды косых гомоморфизмов ока .216

§3. V-гомоморфизм и эквивалентность автоматов .222

3.1. Теоремы о V-гомоморфизмах автоматов .222

3.2. Множества эквивалентных состояний .225

Теория функциональных систем (ФС) образует ядро одного из главных направлений исследований в современной математике [49,39]. Особое значение ФС прежде всего обусловлено тем, что (наряду с конечными графами и сетями) конечнопорожденные функциональные системы представляют собой универсальный математический аппарат описания основных объектов исследования дискретной математики, математической кибернетики и теоретической информатики. Становление проблематики функциональных систем и начало широкого их изучения неразрывно связано с именами целого ряда выдающихся математиков, среди них Дж. Буль, Г. Фреге, А. Пирс, М. Шеффер, П.С. Порецкий, А. Туэ, Э. Пост, G.K. Клини, И.И. Жегалкин, А.И. Мальцев, К. Шеннон, В.М. Глушков, C.B. Яблонский, О.Б. Лупанов, A.B. Кузнецов, А. Саломаа.

Широко известными примерами (точнее, моделями) ФС являются булева алгебра и многозначные логики [135,136,50,26,138,173], восходящие к Дж. Булю [139], Я. Лукасеви-чу [165] и Э. Посту [172]; конечные автоматы и их алгебры [1,185,72,92,93,14,68,38,129]; алгебры вычислимых функций [52,53,62]; нечеткие [187,188,37], Z-нечеткие [151,152], /¿-нечеткие [185,89] подмножества; и т. п. Существующие подходы к исследованию ФС также позволяют в общих чертах охарактеризовать роль и значение последних для современной математики и ее разнообразных приложений. Так, с точки зрения математической кибернетики, ФС принято рассматривать как специальные языки, описывающие функционирование сложных динамических систем. С позиций математической логики ФС представляют собой далеко идущие обобщения классической логики, отражающие, с одной стороны, разнообразие возможных подходов к оценке истинности суждений, а с другой — ясно подчеркивающие философский аспект конкретности всякой истины в свете безусловной относительности конкретно-научных знаний (см., например, [19]). И, наконец, с точки зрения современной абстрактной алгебры, ФС являются ни чем иным, как многосортными (многоосновными) алгебраическими системами [51,90].

Хорошо известна роль перечисленных моделей ФС и при реальном моделировании в слабоструктурированных предметных областях (СПО), в которых существенную роль играют качественные, трудно формализуемые средствами обычной математики знания и умения квалифицированных предметных специалистов (экспертов) [78,27,28,18]. Традиционно к названным предметным областям принято относить задачи: прогнозирования поведения и управления социально-экономическими системами; принятия ответственных организационных решений; разработки систем автоматизации научных исследований; адекватного описания технологических процессов; построения математических моделей природно-промышленных объектов или комплексов и т.д. и т.п. [161].

Здесь уместно будет особо подчеркнуть факт, что с информационной точки зрения весомую долю представлений о СПО составляют так называемые неформализованные в смысле А. Ньюэлла, [170]) знания, являющиеся результатом личностного обобщения позитивной индивидуальной деятельности. Такого рода неформализованные знания образуют то, что обычно принято называть опытом и интуицией специалистов, и, как правило, оказываются неполными, неточными, неоднозначными и даже противоречивыми (далее также будем использовать обобщающий термин — неопределенные знания). Объективно сказанное может быть увязано с неизбежной фрагментарностью процессов наблюдений за исследуемыми объектами в СПО и принципиальной ограниченностью точности измерений сопутствующих физических величин. Вместе с тем заслуживает внимания и субъективная сторона дела. Информация об объектах СПО, извлекаемая в результате натурных наблюдений или основанная на предыдущих исследованиях, с большой степенью вероятности может быть получена в ситуациях, когда определяющую совокупность внешних условий нельзя считать неизменной. Поэтому, строго говоря, она всегда подвергается предварительному преломлению (возможно не всегда осмысленному) в индивидуальном опыте исследователя и лишь затем получает подходящую интерпретацию. Очевидно, что степень доверия к такой информации если и может быть установлена, то весьма ориентировочно. В обозначенных условиях, как справедливо отмечают некоторые исследователи (см., например, [44,129] и литературу к ним), представляется не только оправданным, но и крайне желательным такое построение математических теорий и (или) моделей, при котором учитывалась бы всегда имеющая место на практике неопределенность человеческих знаний и умений.

Отмеченные выше характерные особенности доступной на практике информации о реальных объектах, вполне естественным образом приводят к мысли, что проблематика математического моделирования в СПО должна каким-то разумным образом соотноситься с человеческой системой переработки информации. На это обратил внимание еще Г. Джеффрис [156], остроумно заметив, что даже не считая человеческий разум совершенным мыслительным инструментом, мы вынуждены принять его как полезный инструмент, а также как единственный, которым располагаем. По этой причине математическая теория хотя и не обязана детально отображать реальные мыслительные процессы, она все же должна согласовываться с ними хотя бы в общей схеме.

Множество или совокупность объектов — одно из базовных понятий современной математики. Однако, как убедительно показывают исследования последних двух десяти-лений по психологии и искусственному интеллекту [78,28,169,82], большинство человеческих представлений о внешнем мире основаны на таких конструкциях и построениях, которые нельзя уверенно назвать множествами в классическом смысле. Это, скорее, нечеткие подмножества, представляющие собой классы с размытыми ("нечеткими") границами, в которых принадлежность объекта к классу или его непринадлежность не могут быть сформулированы в терминах "да" или "нет". При этом грань допустимых возможностей изменяется плавно, без резких скачков, т.е. носит явно не дискретный характер. Уже не вызывает сомнений и то, что логика рассуждений человека основывается не на классической двузначной логике, а, скорее всего, опираясь на свойственное человеку нечеткое восприятие окружающей действительности, должна оперировать с нечеткими суждениями и базироваться на нечетких правилах рассуждений (вывода) [98,158,157,159,56]. Острое ощущение этого факта на протяжении последних десятилетий выступало и продолжает выступать неиссякаемым стимулом устойчивого интереса исследователей во всем мире к модельным построениям, основанным на парадигме нечеткости [37,161]. Убедительным свидетельством сказанному может служить неубывающий поток научных публикаций и обилие разнообразных международных нучных совещаний, непосредственно связанных с проблематикой "нечеткой" математики.

В настоящее время уже уверенно можно констатировать, что нечеткая парадигма прочно завоевала свое особое место наряду с другими (зарекомендовавшими себя ранее) математическими формализмами, явным образом не укладывающимися в рамки причинно-следственного детерминизма. Тем не менее нет и каких-либо веских оснований смешивать нечеткие представления с неизбежной неопределенностью человеческих знаний. В данном случае ситуация оказывается вполне симметричной для аналогичной ситуации, имеющей место для давно уже ставшего привычным вероятностного формализма. Действительно, крайне неразумно было бы считать неопределенными представления, скажем, квантовой механики о поведении элементарных частиц лишь на том основании, что оно (поведение) описывается стохастическими законами. В этой связи для термина "неопределенная" величина имеет смысл использовать стандартную теоретико-множественную трактовку, широко принятую в математике, и толковать его как "точно неизвестая" (известная с недостаточной точностью) или "частично определенная" величина в конкретных условиях принятого для описания предметной области формализма (например, вероятностного, нечеткого, возможностного, /¿-нечеткого и т.п.). При этом в основу самого понятия "частично определенная" величина может быть положен следующий очевидный факт. Каждая "частично определенная" величина при различных допустимых способах доопределения задает некоторое множество вполне определенных величин [143,93]. Ярким примером тому может служить широко принятый в квантовой механике принцип неопределенности В. Гейзенберга.

Необходимо еще раз подчеркнуть, что случайность, нечеткость и т.п. формализмы далее рассматриваются нами как имманентные свойства характеристик или параметров моделируемых объектов, а степень незнания точных количественных значений этих характеристик трактуется как степень неопределенности [114,109].

В контексте сказанного становится прозрачной важность и своевременность систематического исследования нечетких математических моделей ФС, непосредственно ориентированных на представление неопределенных знаний. Как уже отмечалось, теоретико-множественный подход к оценке неопределенности вполне естественным образом согласуется с общематематическими представлениями об неоднозначности. Однако применение наиболее общих типов подмножеств для этих целей представляется не вполне естественным в силу интуитивного сопоставления с нечеткостью некоторой достаточно гладкой "размытости". Более подходящими здесь являются связные подмножества и, в частности, интервальные. В действительности имеется еще один существенный объективный фактор, обусловливающий актуальность систематического изучения именно интервальных нечетких моделелей ФС. В настоящее время все стадии математического моделирования сложных систем уже не мыслимы без широкого использования средств цифровой вычислительной техники [27-29,141]. Но точное представление чисел в принципе невозможно в компьютерах с конечной разрядной сеткой. Поэтому результат каждого достаточно сложного расчета содержит некоторую ошибку, обусловленную погрешностями округлений входных данных и промежуточных результатов. Для учета этой ошибки принято каждую величину представлять парой чисел, которые ограничивают ее снизу и сверху и имеют точное представление в ЦВМ [168,162,2]. Т.о. каждая числовая величина заменяется некоторым содержащим ее интервалом. В результате интервальный анализ дает возможность автоматически учитывать погрешность в задании исходных данных и погрешности, вызываемые машинными округлениями [29].

Современная проблематика ФС достаточно обширна. Важнейшими задачами для ФС являются проблемы: (1) выразимости и полноты [39,11,12,51,134,135]; (2) эквивалентных преобразований [134,135,143]; (3) синтеза и (4) анализа [14,62,72,92,93,134,185]; (5) сложности представления формулами [134,1,92,68]; и некоторые другие [49]. Основополагающую роль в формировании проблематики ФС сыглали работа Э. Поста [172] и известная статья C.B. Яблонского [135] по теории функций fc-значной логики.

Изучение функциональных систем традиционно проводится на ряде модельных объектов, упорядоченных по мере нарастания их сложности и имеющих важное значение для приложений дискретной математики, информатики и кибернетики [39,38]. Основные (базовые) типы нечетких моделей ФС, такие как конечные нечеткие автоматы, представимые этими автоматами нечеткие регулярные языки и отдельные конёчнопоро-жденные модели нечетких (непрерывных) логик, исследовались на протяжении последних лет рядом математиков как в нашей стране, так и за рубежом. Текущее состояние проблем выразимости и полноты для нечетких ФС достаточно подробно изложены в [50,175, 176,16,43]. Вопросы эквивалентных преобразований для некоторых моделей нечетких ФС нашли свое отражение в [187,37,169,183,125,56,16]. Решению специфических задач анализа и синтеза посвящены [160,181,89,93]. В свою очередь, проблемы сложности представления систем функций формулами рассматривались в [173,160,132] и ряде других работ. Для функций алгебры непрерывной логики эта проблема в общем виде решена П.Н. Шимбиревым в [133]. В целом теория основных моделей нечетких ФС в настоящее время уже достаточна продвинута, имеет собственную проблематику, характерные методы исследования и свою востребованную область приложений [43,16,35,28].

В то же время (несмотря на настоятельную потребность приложений) печатных работ, ориентированных на систематическое исследование нечетких интервальных ФС, крайне недостаточно. К тому же значительная часть имеющихся публикаций все же носит заметно выраженный теоретико-познавательный характер (см., например, [5,184] и список литературы к ним). Отчасти сложившееся положение связано с попытками некоторых исследователей изначально толковать уже саму концепцию нечеткости как удобную форму математического описания "всепроникающей неточности реального мира" [26,28]. Отчасти — с возникающими при этом техническими трудностями.

Главной целью работы являлась разработка основ единой теории базовых типов моделей ФС, основанной на нечетком интервальном подходе к оценкам неопределенности и ориентированной на различные уровни достоверности априорных и экспертных знаний о моделирумых объектах в слабоструктурированных предметных областях.

В целом представленное здесь исследование сосредоточено на решении проблем типа (2) — (4) для перечисленных выше базовых моделей нечетких интервальных ФС.

Основной материал диссертационной работы изложен в пяти главах, разбитых на озаглавленные параграфы и подразделы. Для обозначения выделенных определений, предложений и формул применена двузначная нумерация. Первое число пары является номером параграфа текущей главы, второе — порядковым номером соответственно определения, предложения или формулы в пределах указанного параграфа, что однозначно определяет перечисленные элементы текста при ссылках внутри каждой из глав работы. Символ □ указывает на окончание формулировок определений или предложений, сопровождаемых доказательствами, а ■ — на окончание доказательства или его отсутствие. Для перекрестных ссылок между главами используется расширенная трехзначная нумерация, первое число которой указывает на номер главы, а два последующих идентифицируют обычным образом предмет ссылки внутри каждой главы.

Для облегчения пользования представленным материалом после списка литературы приведены предметный указатель и указатель использованных обозначений.

В первой главе "Основы теории нечетких интервальных множеств" в первом ее параграфе дана краткая сводка основных алгебраических структур, используемых в работе, и попутно вводятся необходимые терминология и система обозначений. Второй параграф полностью посвящен интервальным обобщениям формализма нечеткости JI.A. Заде [187,37]. В основу подхода положена теоретико-множественная интерпретация неопределенности. Вводятся и исследуются свойства таких основных нечетких интервальных ФС, какими являются нечеткие интервальные подмножества, отношения и функции. В третьем параграфе установлен базовый критерий сравнимости и детально описана решетка множества нечетких интервальных констант (IHK). Здесь же кратко описаны основные алгебраические системы на множестве IHK, а также дана интерпретация интервальной нечеткости в терминах известного решеточного обобщения Дж. Гогена [152]. Изложенный здесь материал является теоретической основой для рассматриваемых далее моделей нечетких интервальных функциональных систем.

В первом параграфе второй главы введены в рассмотрение нечеткие интервальные (J-нечеткие) языки, их важный подкласс — регулярные /-нечеткие языки и множество основных операций над ними. Во втором параграфе исследованы свойства основных операций над /-нечеткими языками (теоремы 2.2.1-2.2.6, 2.2.8, 2.2.12) и описана алгебраическая структура этих языков (теоремы 2.2.9-2.2.11 и следствие 2.2.1).

Установлен ряд тождеств (2.2.4), (2.2.7), (2.2.8), (2.2.13-2.2.24), позволяющих сравнительно легко осуществлять эквивалентные преобразования формульных представлений регулярных 7-нечетких языков. В третьем параграфе исследованы три типа уравнений над нечеткими интервальными языками, представляющих особый интерес для рассматриваемых в работе ФС. Первые два из них (2.3.9) и (2.3.10) простейшие, а третье (2.3.11) — уравнение арденовского типа относительно неизвестного языка [137,120]. Для простейших уравнений найдены критерии разрешимости, а также необходимые и достаточные условия единственности решения. Доказано, что уравнения арденовского типа (2.3.11) всегда разрешимы. Установлен простой критерий единственности решений (теорема 2.3.5). Построены аналитические выражения для фундаментального и общего решений таких уравнений. В заключение главы исследованы системы порядка т линейных уравнений типа (2.3.11), зависящих от п неизвестных 7-нечетких языков. Найдены критерии совместности и определенности названных систем (теорема 2.3.12, следствие 2.3.4). Обоснована эффективная рекуррентная процедура (2.3.53) — (2.3.55) вычисления корней через коэффициенты (известные языки) исходных систем.

В третьей главе "Нечеткая интервальная логика" главным объектом исследования являются функции нечеткой интервальной логики (ФИЛ), определяемые как однозначные отображения конечных декартовых степеней множества IHK в себя. В первом параграфе исследуется алгебра аналитических ФИЛ. Алгебра строится конструктивным образом. В множестве ФИЛ выделено подмножество простейших функций: функции-константы, функции, тождественно равные своему аргументу, отрицание, дизъюнкция и конъюнкция. Последние три из перечисленных функций рассматриваются как базовые операции и включены в сигнатуру алгебры. Множество аналитических ФИЛ отождествляется с замыканием простейших функций, относительно совокупности базовых операций. Далее построена конечнопорожденная формульная модель, которой обычным образом однозначно сопоставлено множество аналитических функций, и на множестве формул исследовано отношение равносильности. Доказан ряд важных тождеств (теоремы 3.1.1, 3.1.2, 3.1.4, 3.1.5, 3.1.7, 3.1.8) алгебры ФИЛ. С целью решения проблемы эквивалентности формульных представлений исследована структура множества аналитических ФИЛ. Показано, что совместно с отношением частичного порядка, индуцируемого бинарными операциями дизъюнкцией и конъюнкцией, множество ФИЛ образует полную дистрибутивную решетку без дополнений. На этом факте основано положительное решение основной структурной проблемы алгебры аналитических ФИЛ (теорема 3.1.12, следствие 3.1.4). Из полученного фундаментального результата уже сравнительно легко следует решение классических задач о минимизации (теорема 3.1.14) и канонических (уникальных) представлениях (теорема 3.1.13) аналитических ФИЛ. Второй параграф посвящен моделям логики нечетких интервальных высказываний. Стандартным способом (но с учетом спецификации рабочего формализма) вводятся /-нечеткие высказывания и соответствующий формульный язык. Определены интерпретации введенного языка. Показана идентичность формульного языка Iнечетких высказываний и алгебры /-нечеткой логики для введенных интерпретаций в смысле реализации одних и тех же аналитических ФИЛ. С целью анализа действующих законов в логике /-нечетких высказываний рассмотрен постулат (3.2.2), согласно которому следствие значимо тогда и только тогда, когда степень истинности заключения доминирует степень истинности соответствующей посылки. Доказано (теорема 3.2.1), что в условиях постулата значимости в логике /-нечетких высказываний справедливы закон двойного отрицания, правила простой и сложной контрапозиции и правило импортации при любом определении семантики достоверности на множестве IHK. Возможность использования других широко известных правил логического вывода (modus ponens, категорический силлогизм и т.д.) оказывается тесно увязанной с выбором семантики на множестве степеней истинности высказываний (лемма 3.2.1). В этой связи далее проведено подробное исследование условий, при которых /-нечеткая резольвента становится или не становится значимой в смысле постулата (3.2.2) в зависимости от текущей интерпретации своей ключевой переменной. Теоремы 3.2.2 и 3.2.3 обосновывают базовый критерий значимости /-нечеткой резольвенты (3.2.30). В свою очередь теоремы 3.2.4, 3.2.5 позволяют охарактеризовать критерий ее значимости в терминах тотального согласования на множестве IHK, а теоремы 3.2.6 и 3.2.7 распространяют этот результат на конечные резолюционные множества произвольного натурального порядка. Дополнительно, теорема 3.2.7 позволяет ввести рациональную семантику на решетке IHK с множеством парадоксальных значений, описанную в разделе 3.2.4. Названная семантика порождает предельную пороговую /-нечеткую (Р/-нечеткую) логику и придает аналогу материальной импликации все необходимые атрибуты уровневой идентификации. В результате чего в Р/-нечеткой логике оказываются действующими правила вывода: modus ponens, категорический силлогизм, конструктивные и сложная деструктивная дилеммы, правило введения импликации и правило сведения к абсурду. При этом основополагающий принцип классической логики преобретает следующее звучание: "Ложь влечет все что угодно, парадоксальные посылки могут приводить к любым парадоксам, а из Истины может следовать только Истина того же или большего уровня достоверности". В третьем параграфе рассмотрены приложения /-нечеткой логики к синтезу схем из функциональных элементов (автоматов без памяти) и выявлению некорректных экспертных знаний. Основным результатом является шенноновская оценка сложности схем из /-нечетких функциональных элементов (теорема 3.3.1).

Четвертая глава посвящена решению двух центральных проблем теории конечных /-нечетких автоматов — задачам анализа и синтеза. В первом параграфе введены основные модели названных автоматов и исследовано их функциональное поведение. Установлена универсальная характеризация задаваемых этими автоматами /нечетких подмножеств: доказана тождественность семейства регулярных /-нечетких языков множеству языков, представимых конечными /-нечеткими автоматами (теорема 4.1.6). Во втором параграфе изложены методы анализа конечных /-нечетких автоматов. Прямые методы анализа непосредственно базируются на доказательстве достаточности условий теоремы 4.1.6. Метод неизвестных языков является косвенным методом и основан на возможности свести задачу анализа автоматов к решению систем уравнений арденовского типа над I-нечеткими языками (теорема 4.2.1). В первых двух разделах третьего параграфа представлены методы синтеза автоматов: метод последовательного синтеза и графо-аналитический метод. Теоретическим обоснованием методов служат леммы 4.1.2 — 4.1.6. В третьем разделе описаны основные типы композиций /-нечетких автоматов и обоснован универсальный способ их замещения в виде объединения автомата с отмеченными состояниями и комбинационной схемы.

В первом параграфе пятой главы доказана разрешимость проблемы поведенческой эквивалентности для класса конечных /-нечетких автоматов (теоремы 5.1.5, 5.1.6). Основы теории косых гомоморфизмов конечных автоматов, заданных над унитарными полукольцами, представлены во втором параграфе. Наиболее общий результат этой теории состоит в том, что совокупность косогомоморфных образов каждого конечного автомата с точностью до косого изоморфизма исчерпывается множеством факторав-томатов по попарно различным согласованным тройкам эквивалентностей, определенных на его образующих множествах (теорема 5.2.4). В третьем, заключительном, параграфе исследована взаимосвязь гомоморфизмов по состояниям и поведенческой эквивалентности конечных /-нечетких автоматов. В терминах названных гомоморфизмов найдено необходимое и достаточное условие эквивалентности /-нечетких автоматов (теорема 5.3.3). Установлен простой матричный критерий эквивалентности внутренних /-нечетких состояний автоматов (теорема 5.3.4). Непосредственно из теоремы 5.3.4 следует также безусловная применимость метода редукции фиктивных внутренних состояний [129] для задач минимизации конечных /-нечетких автоматов.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Установлены критерии совместности и определенности систем уравнений арденовского типа, заданных над регулярными /-нечеткими языками. Обоснована эффективная рекуррентная процедура вычисления корней таких систем уравнений;

2. Решена основная структурная проблема алгебры нечеткой интервальной логики, состоящая в пречислении У-неразложимых ( А-неразложимых) форм представления аналитических функций. На ее основе построено конструктивное доказательство разрешимости проблемы тождества в множестве полиномиальных форм представления и найдено решение задачи минимизации в классе /-нечетких аналитических функций;

3. Построена шенноновская оценка сложности 0(22п) схем из функциональных элементов, реализующих аналитические функции /-нечеткой логики от п переменных;

4. Найдены критерии значимости /-нечеткой резольвенты. Обоснована рациональная семантика истинности нечеткой интервальной логики. Построена предельная пороговая /-нечеткая логика с развитой системой правил логического вывода;

5. Установлена универсальная характеризация множеств, определяемых /-нечеткими автоматами: доказана тождественность семейства регулярных /-нечетких языков множеству языков, представимых конечными /-нечеткими автоматами;

6. Доказана разрешимость проблемы поведенческой эквивалентности для класса конечных /-нечетких автоматов. Разработаны эффективные методы решения задач анализа и синтеза названного класса конечных автоматов;

7. В терминах гомоморфизмов по состояниям найдено необходимое и достаточное условие эквивалентности /-нечетких автоматов. Установлен простой матричный критерий эквивалентности внутренних состояний /-нечетких автоматов.

Основные результаты изложенных в диссертации исследований опубликованы в работах автора [67, 94-131, 178], в том числе двух монографиях; докладывались и обсуждались в ведущих научных центрах страны: Московском государственном университете (механико-математический факультет и факультет вычислительной математики и кибернетики), Санкт-Петербургском государственном университете (математико-механический факультет и НИИ математики и механики), Иркутском (кафедра алгебры, логики и кибернетики) и Казанском (кафедра математическиой кибернетики) государственных университетах; на научных совещаниях: VII Всесоюзной конференции "Проблемы теоретической кибернетики" (Иркутск, 1985), II международной школе по автоматизации научных исследований (Пущино, 1986), Всесоюзном совещании "Структура и организация диалоговых систем реального времени и ЭВМ" (Иркутск, 1986), Сибирской школе-семинаре по алгебре (б. Песчанная, 1989), XXIV Всесоюзной школе "Автоматизация научных исследований" (Апатиты, 1990), международной конференции "Устойчивое развитие севера" (Мурманск, 1996), Международном симпозиуме "Оп Advanced Technology in Environmental and Natural Resources" (Finland, Rovaniemi, 1998), III-ей международной конференции "Дискретные модели в теории управляющих систем" (Красновидово, 1998) и других конференциях; а также вошли в качестве составной части в фундаментальные исследования Института информатики и математического моделирования Кольского научного центра РАН, выполненные по темам НИР: "Модели и процедуры принятия решений в условиях неопределенности исходных знаний: нечеткий интервальный подход", "Развитие теории и математических методов эквивалентных преобразований обобщенных регулярных языков" и двух инициативных проектов: "Диагностика и прогнозирование техногенных землетрясений в условиях неопределенности исходных данных", "Развитие теории и численно-аналитических методов оптимизации внутренней структуры обобщенных конечных автоматов", выполненных при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований.

В заключение считаю своим приятным долгом особо выразить глубокую благодарность и признательность моему учителю и научному консультанту настоящей квалификационной работы профессору М.К. Чиркову за многолетнее плодотворное сотрудничество, всестороннюю поддержку и неизменно доброжелетельное отношение.

2 Основные результаты работы представлены на страницах 9 — 10.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Построенные в настоящей работе основы единой теории базовых типов нечетких интервальных функциональных систем открывают широкие возможности использования математически обоснованных методов моделирования в условиях неизбежной на практике неопределенности человеческих знаний и представлений о моделируемых объектах в слабоструктурированных предметных областях. Определяющее влияние названные модели ФС могут оказать и на внедрение компьютерных технологий в такие трудно поддающиеся формализации области деятельности человека, какими являются задачи упреждающей оценки и прогноза развития кризисных ситуаций и конфликтов, принятия (или поиск компромиссных) решений в условиях дефицита или противоречивости имеющейся в распоряжении релевантной информации, планирования действий, и т.п.

Имеется ряд объективных причин, делающих весьма привлекательными нечеткие интервальные модели ФС для разнообразных задач реального моделирования. Во-первых, основанные на нечеткой парадигме Л.А. Заде, /-нечеткие функциональные системы наиболее полно, по сравнению с другими известными математическими формализмами, отвечают человеческой системе обработки информации. Во-вторых, они непосредственно ориентированы на описание всегда имеющей место быть неопределенности человеческих знаний и умений. Таким образом, и в этой части нечеткий интервальный подход хорошо согласуется с реальными мыслительными процессами. И, в-третьих, базовые конечнопорожденные модели /-нечетких ФС, как правило, наследуют все "хорошие" алгебраические свойства полукольца нечетких интервальных констант (¿1, над которым они заданы. Прямым следствием последнего замечательного факта является разрешимость для нечетких интервальных функциональных систем существенно важных с прикладной точки зрения проблем (2) — (5), перечисленных во введении к настоящей работе.

Проблема функциональной полноты из блока (1) в общем случае оказывается весьма трудной для базовых моделей /-нечетких ФС. Как и для любых других представителей непрерывных ФС, в нечетком интервальном случае |С/| > К0 и множество всех предполных классов имеет мощность 22*0 . По этой причине для /-нечетких ФС неприменим критерий полноты, базирующийся на привлечении существенных частей семейства предполных классов1. В то же время, проблема выразимости из (1) для ко-нечнопорожденных /-нечетких ФС, в силу теоремы 3.1.1, оказывается тривиальной.

Состояние главных для базовых нечетких интервальных ФС проблем (2) —(5) нашло отражение в основных результатах, перечисленных во введении, а их решение доста

1 Гаврилов Г.П. О полных системах в бесконечнозначных логиках // Дискретные модели в теории управляющих систем: Тр. III междунар. конф,- М.: Диалог-МГУ, 1998.- С. 19-21. См. также работу: Гаврилов Г.П. О квазипеановости функций // ДАН СССР, 1964.- Т. 156.- № 5.- С. 1011-1013. точно подробно освящено в соответствущих разделах диссертации. В этой связи, для целостности картины, далее кратко охарактеризуем их лишь в совокупности.

Проблема (2) в алгоритмических терминах обычно сводится к установлению факта эквивалентности (равенства) или неэквивалентности двух произвольных представлений1 однотипных ФС. Для логических моделей (включая /-нечеткие автоматы без памяти) решение названной проблемы дает теорема 3.1.3, что отражено в основных результатах2 под номером 2. Для конечных /-нечетких автоматов проблема эквивалентных преобразований непосредственно исчерпывается теоремами 5.1.6, 5.3.3 и 5.3.4 (основной результат 7). В более сложном случае регулярных /-нечетких языков ее можно решить косвенным путем. Основной результат 5 позволяет от языков перейти к представляющим их конечным автоматам, с однозначно определенными подмножествами терминальных состояний. В итоге проблема сводится к установлению эквивалентности соответствующих состояний автоматов, представляющих исходные языки.

Описанные в работе методы решения проблем синтеза (3) и анализа (4) основаны на теоремах 4.1.6, 4.1.5 и сопутствующих им леммах 4.1.2 — 4.1.6 и каких-либо дополнительных пояснений не требуют. Здесь уместно будет обратить внимание лишь на метод неизвестных языков и метод синтеза схем из функциональных элементов, устанавливающих глубокую взаимосвязь между основными результатами 2, 1 и 6.

Ставшая уже классической проблема (5) для аналитических ФИЛ оказалась тесно увязанной с основной структурной проблемой алгебры нечетких интервальных функций, а ее решение, сформулированное в теореме 3.1.14, выпукло оттеняет хорошие алгебраические свойства определяющего полукольца (£/ . Построенная на этом факте шен-ноновская оценка сложности схем из /-нечетких функциональных элементов и вынесенная в основной результат 3, является убедительным свидетельством сказанному.

В целом предложенные в настоящей диссертационной работе методы решения проблем (2) —(5) для основных нечетких интервальных ФС оказались достаточно эффективными и удобными для приложений в информатике. Большая часть из них была успешно опробирована при разработке исследовательского прототипа коммерческой экспертной системы "Business" [67], при обосновании рационального метода предварительной классификации и отбора инновационных проектов [178], при создании автоматизированной системы диагностики и прогнозирования техногенных землетрясений, а также использована в игровой интеллектуальной программе "Ловозерские спички" [58].

1 Алгебраический вариант проблемы состоит в построении полной системы тождеств, порождающей разбиение множества представлений ФС на соответствующие классы эквивалентности.

1. Алгебраическая теория автоматов, языков и полугрупп / Под ред. М. Арбиба,-М.: Статистика, 1975.- 335 с.

2. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления-М.: Мир, 1987.- 360 с.

3. Ауфенкамп Д.Д., Хон Ф.Е. Анализ последовательностных машин / Сб. перев. ин. переод. лит. Математика.- 1959 Вып. 3.- № 3.- С. 129-146.

4. Ахоу A.B., Улман Дж.Д. Теория языков // Кибернетический сборник. Новая серия.- М.: Мир, 1969.- Вып. 6.- С. 145-183.

5. Бакаев A.A., Гриценко В.И., Козлов Д.Н. Интервальный вероятностный подход к работе с неопределенностью в базах знаний // Управляющие системы и машины,- 1990.- № 4.- С. 40-48.

6. Баранов С.И. Синтез микропрограммных автоматов (граф-схемы и автоматы).- Л.: Энергия, 1979.- 232 с.

7. Биркгоф Г. Теория решеток- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984.- 568 с.

8. Боднарчук В.Г. Системы уравнений в алгебре событий // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1963.- Т. 3 № 6.- С. 1077-1088.

9. Бочвар Д.А. Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов классического расширенного функционального исчисления //Математический сборник, 1938.- Т. 4 (46).- № 7.- С. 43-48.

10. Брауэр В. Введение в теорию конечных автоматов: Пер. с нем.- М.: Радио и связь, 1987.- 392 с.

11. Буевич В.А. Условие А-полноты для конечных автоматов. Ч. 1- М.: Изд-во Московского ун-та, 1986.- 104 с.

12. Буевич В.А. Условие А-полноты для конечных автоматов. Ч. 2,- М.: Изд-во Московского ун-та, 1987.- 109 с.

13. Бухараев Р.Г. Вероятностные автоматы Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1977,- 248 с.

14. Бухараев Р.Г. Основы теории вероятностных автоматов.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985.- 288 с.

15. Бухараев Р.Г. Теория вероятностных автоматов // Кибернетика.- 1968.- № 2,- С. 6-23.

16. Волгин JI.И., Левин В.И. Непрерывная логика. Теория применения.- Таллин: Изд-во Академии наук Эстонии, 1990.- 210 с.

17. Выявление экспертных знаний / О.И. Ларичев, А.И. Мечитов, Е.М. Мошкович, Е.М. Фуремс,- М.: Наука, 1989,- 128 с.

18. Гергей Т., Финн В.К. Об интеллектуальных системах // Экспертные системы: состояние и перспективы.- М.: Наука, 1989.- С. 9-20.

19. Гетманова А.Д. Логика- М.: Высшая школа, 1986 288 с.

20. Гладкий A.B. Формальные грамматики и языки.- М.: Наука, 1973.- 368 с.

21. Гладкий A.B., Диковский А.Я. Теория формальных грамматик // Итоги науки, сер. Теория вероятностей, 1972. Т. 10 С. 107-142.

22. Глушков В.М. Абстрактная теореия автоматов // Успехи математических наук,- 1961.- Т. XVI, вып. 5 (101).- С. 3-62.

23. Глушков В.М. Синтез цифровых автоматов М.: Физматгиз, 1962.- 476 с.

24. Дидидзе Ц.Е. О гомоморфизмах автоматов // Тр. ВЦ АН ГССР,- 1973,- Т. 12,- № 1.- С. 118-131.

25. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979.- 320 с.

26. Заде Л. А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений М.: Мир,1976.- 168 с.

27. Искусственный интеллект: В 3-х кн. Кн.1. Системы общения и экспертные системы / Под ред. Э.В. Попова. М.: Радио и Связь, 1990.- 464 с.

28. Искусственный интеллект: В 3-х кн. Кн.2. Модели и методы / Под ред. д.а. Поспелова. М.: Радио и Связь, 1990 304 с.

29. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа- Новосибирск: Наука, 1986.- 224 с.

30. Карлайл Е.У. Приведенные формы для стохастических последовательностных машин // Кибернетический сборник. Новая серия.- М.: Мир, 1966.- Вып. 3.-С. 101-110.

31. Карри Х.Б. Основания математической логики М.: Мир, 1969.- 568 с.

32. Каш Ф. Модули и кольца.- М.: Мир, 1981.- 386 с.

33. Клини С.К. Введение в метаматематику- М.: Иностранная литература, 1957,- 526 с.

34. Клини С.К. Представление событий в нервных сетях и автоматах // Автоматы.- М.: Иностранная литература, 1965.- С. 15-67.

35. Ковальски Р. Логика в решении проблем М.: Наука, 1990.- 280 с.

36. Косовский Н.К. Уровневые логики // Исследования по конструктивной математике и математической логике. IX. (Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 220).— СПб.: Наука, 1995.- С. 72-82.

37. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств: Пер. с франц.- М.: Радио и связь, 1982,- 432 с.

38. Кудрявцев В.Б. О функциональных системах автоматов // Дискретная математика,- 1995.- Т. 7.- № 4.- С. 3-28.

39. Кудрявцев В.Б. Функциональные системы.- М,: Наука, 1982.- 157 с.

40. Кудрявцев В.Б., Алешин C.B., Подколзин A.C. Введение в теорию абстрактных автоматов М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985.- 173 с.

41. Лалиеман Ж. Полугруппы и комбинаторные приложения: Пер. с франц.- М.: Мир, 1985,- 439 с.

42. Ламбек И. Кольца и модули М.: Мир, 1971 - 279 с.

43. Левин В.И. Бесконечнозначная логика в задачах кибернетики,- М.: Радио и связь, 1982 176 с.

44. Лимер Э.Э. Статистический анализ неэкспериментальных данных.- М.: Финансы и статистика, 1983.- 381 с.

45. Логический подход к искусственному интеллекту: от классической логики к логическому программированию / А. Тейз, П. Грибомон, Ж. Луи и др.- М.: Мир, 1990.- 432 с.

46. Лупанов О.Б. Об одном подходе к синтезу управляющих систем — принципе локального кодирования // Проблемы кибернетики.- Вып. 14,- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965.- С. 31-110.

47. Лупанов О.Б. О возможностях синтеза схем из произвольных элементов // Труды МИАН СССР, 1958.- Т. 51.- С. 158-183.

48. Лупанов О.Б. О синтезе некоторых классов управляющих систем // Проблемы кибернетики.- Вып. 10.- М.: Физматгиз, 1963.- С. 88-96.

49. Ляпунов A.A., Яблонский C.B. Теоретические проблемы кибернетики // Проблемы кибернетики. Вып. 9.- М.: Наука, 1963.- С. 5-22.

50. Мак-Нотон Р. Теорема о бесконечнозначной логике высказываний // Кибернетический сборник, Вып. 3.- М.: Иностранная литература, 1961.- С. 59-78.

51. Мальцев А.И. Алгебраические системы М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1970.- 392 с.

52. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.- 368 с.

53. Мальцев А.И. Итеративные алгебры Поста Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1976.- 99 с.

54. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1970,- 400 с.

55. Манин Ю.И. Доказуемое и недоказуемое.- М.: "Сов. радио", 1979.- 168 с.

56. Мелихов А.Н., Бернштейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой М.: Наука, 1990.- 272 с.

57. Мендельсон Э. Введение в математическую логику.- М.: Наука, 1976.- 320 с.

58. Минзарь И. Тысяча долларов за "Ловозерские спички" // Полярн. правда.-1997.- 6 мая.

59. Мукаидоно М. Нечеткий вывод резолюционного типа // Нечеткие множества и теория возможностей.- М.: Радио и связь, 1986.- 408 с.

60. Мур Э.Ф. Умозрительные эксперименты с последовательностными машинами // Автоматы.- М.: Иностранная литература, 1965.- С. 179-210.

61. Мучник A.A. Общие линейные автоматы // Проблемы кибернетики.- М.: Наука, 1970.- Вып. 23.- С. 171-208.

62. Мучник A.A., Маслов А.Н. Регулярные, линейные и вероятностные события И Труды матем. ин-та, 1973.- Т. 133 С. 149-168.

63. Общая алгебра. Т.1 / Под общ. ред. JI.A. Скорнякова- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.- 592 с.

64. Общая алгебра. Т.2/ Под общ. ред. JI.A. Скорнякова.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.- 480 с.

65. Однородные структуры / В.И. Варшавский, В.Б. Мараховский, В.А. Песчан-ский, Л.Я. Розенблюм.- М.: Энергия, 1973.- 151 с.

66. Оре О. Теория графов.- М.: Наука, 1980.- 336 с.

67. Павлова С.В., Смирнова P.A., Шестаков A.A. AIS "BUSINESS": шаг от статических интеллектуальных систем к системам динамическим? // Региональные информационные системы. Ч. 1,- Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 1995.- С. 69-76.

68. Плоткин Б.И., Гринглаз Л.Я., Гварамия A.A. Элементы алгебраической теории автоматов М.: Высшая школа, 1994.- 191 с.

69. Плоткин Б.И., Дидидзе Ц.Е., Кубланова Е.М. Многообразия автоматов I // Кибернетика,- 1977.- № 1.- С. 47-54.

70. Плоткин Б.И., Дидидзе Ц.Е., Кубланова Е.М. Многообразия автоматов II // Кибернетика,- 1977,- № 3.- С. 16-25.

71. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения- М.: Наука Гл. ред. физ.-мат. лит., 1975.- 464с.

72. Поспелов Д.А. Вероятностные автоматы.- М.: Энергия, 1970.- 88 с.

73. Поспелов Д.А. Логические методы анализа и синтеза схем.- М.: Энергия, 1974,- 368 с.

74. Пупырев Е.И. Перестраевыемые автоматы и микропроцессорные системы-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984.- 192 с.

75. Пухальский Н. Логическое проектирование цифровых устройств радиотехнических систем.- Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1976.- 231 с.

76. Рабин М.О. Вероятностные автоматы / Кибернетический сборник,- Вып. 9.-М.: Иностранная литература, 1964.- С. 123-141.

77. Риге Ж. Бинарные отношения, замыкания, соответствия Галуа // Кибернетический сборник.- М.: Мир, 1963.- Вып. 2,- С. 129-185.

78. Саймон Г. Науки об искусственном.- М.: Мир, 1972.- 147 с.

79. Саломаа А. Жемчужины теории формальных языков-М.: Мир, 1986.- 159 с.

80. Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983,- 272 с.

81. Справочная книга по математической логике: Ч. IV. Теория доказательств и конструктивная математика / Под ред. Дж. Барвайса- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983.- 392 с.

82. Тихомиров O.K. Информатика и новые проблемы психологической науки // Вопросы психологии.- 1986.- № 2.- С. 39-52.

83. Трахтенброт Б.А., Барздинь Я.М. Конечные автоматы: Поведение и синтез-М.: Наука, 1970.- 400 с.

84. Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М. Современная математика: Пер. с франц.-М.: Мир, 1966.- 271 с.

85. Фукс JI. Частично упорядоченные алгебраические системы.- М.: Мир, 1965. 432 с.

86. Хомский Н. О некоторых формальных свойствах грамматик / / Кибернетический сборник. Новая серия.- М.: Иностранная литература, 1962,- Вып. 5.- С. 279-311.

87. Хомский Н. Три модели описания языка // Кибернетический сборник,- М.: Иностранная литература, 1961,- Вып. 2.- С. 237-266.

88. Хон Ф.Е., Сешу С., Ауфенкамп Д.Д. Теория сетей / Сб. перев. ин. переод. лит. Математика,- 1959,- Вып. 3,- № 3,- С. 115-128.

89. Хунядвари Л. Синтез и анализ R-нечетких автоматов с переменной структурой: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук,- Л., 1981.- 22 с.

90. Цаленко М.Ш. Моделирование семантики в базах данных,- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.- 288 с.

91. Чирков М.К. Композиции вероятностных автоматов // Вычислительная техника и вопросы кибернетики.- Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1968.- С. 31-59.

92. Чирков М.К. Основы общей теории конечных автоматов Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975.- 280 с.

93. Чирков М.К. Частичные автоматы.- Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983.- 260 с.

94. Чирков М.К., Шестаков A.A. О минимизации обобщенных конечных автоматов // Проблемы теоретической кибернетики: Тез. докл. VII Всесоюз. конф,-Иркутск, 1985.- С. 201-202.

95. Чирков М.К., Шестаков A.A. Подобие и минимизация обобщенных конечных автоматов // Математические проблемы информатики.- Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1987.- С. 158-173.

96. Чирков М.К., Шестаков A.A. Подобие частичных обобщенных автоматов // Роботы и робототехнические системы.- Иркутск: ИПИ, 1985.- С. 95-101.

97. Чирков М.К., Шестаков A.A. Проблема редукции входного алфавита автоматов II Проблемы оптимизации дискретных систем.- Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990.- С. 33-42.

98. Шенк Р., Хантер Л. Познать механизмы мышления // Реальность и прогнозы искусственного интеллекта.- М.: Мир, 1987.- С. 15-26.

99. Шенфилд Дж. Математическая логика М.: Наука, 1975.- 268 с.

100. Шестаков A.A. Алгебра блочных матриц в задаче о композициях частичных обобщенных автоматов // Вычислительная техника и вопросы кибернетики.-Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1984,- С. 69-86.

101. Шестаков A.A. Алгебра нечеткой интервальной логики: Препр,- Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 1998.- 50 с.

102. Шестаков A.A. Алгебраическая структура нормальных R-нечетких языков: Препр Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 1996 - 27 с.

103. Шестаков A.A. Алгоритм матричной оптимизации обобщенных конечных автоматов // Синтез систем вычислительного эксперимента. Ч. 1,- Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 1995.- С. 20-26.

104. Шестаков A.A. Гомоморфизмы обобщенных конечных автоматов // Проблемы теоретической кибернетики: Тез. докл. VII Всесоюз. конф.- Иркутск, 1985.-С. 205-206.

105. Шестаков A.A. Интервальные обобщения теории нечетких множеств: Препр.-Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 1998.- 39 с.

106. Шестаков A.A. Критерии эквивалентности обобщенных конечных автоматов // Вычислительный эксперимент в исследованиях технологических процессов и систем,- Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 1991.- С. 71-78.

107. Шестаков A.A. Линейные уравнения над обобщенными языками // Региональные информационные системы.- Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 1995.- С. 29-57.

108. Шестаков A.A. Логические методы имитационного моделирования в условиях неполной определенности исходных знаний // Устойчивое развитие Севера: Докл. междунар. конф,- Мурманск: Изд-во ИЭП КНЦ РАН,- 1997.- С. 27-39.

109. Шестаков A.A. Логическое моделирование в условиях неопределенности Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 1996.- 182 с.

110. Шестаков A.A. Матричные гомоморфизмы обобщенных конечных автоматов: Препр.- Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 1994 20 с.

111. Шестаков A.A. Матричные методы оптимизации обобщенных конечных автоматов ¡I Синтез систем вычислительного эксперимента. Ч. 1.— Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 1995.- С. 7-19.

112. Шестаков A.A. Методы анализа I-нечетких автоматов // Дискретные модели в теории управляющих систем: Тр. III междунар. конф.- М.: Диалог-МГУ, 1998.- С. 128-130.

113. ИЗ. Шестаков A.A. Минимизация обобщенных автоматов общего вида //Тр. II конф. молодых ученых ИГУ.- Иркутск, 1984.- С. 73-75.

114. Шестаков A.A. Нечеткий интервальный вывод: Методы выявления противоречий в формализованных знаниях // Вычислительный эксперимент в задачах прогнозирования Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 1994 - С. 35-50.

115. Шестаков A.A. Нечеткий интервальный вывод: Системы дедукции революционного типа // Интеллектуальные инструментальные средства вычислительного эксперимента.- Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 1997.- С. 123-139.

116. Шестаков A.A. О некоторых свойствах отношений эквивалентности на обобщенных автоматах // Структура и организация диалоговых систем реального времени: Материалы Всесоюз. совещ.- Иркутск, 1986.- С. 188-189.

117. Шестаков A.A. Резолюционые множества // Интеллектуальные инструментальные средства вычислительного эксперимента.- Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 1997.- С. 140-145.

118. Шестаков A.A. Системы простейших линейных уравнений над нормальными R-нечеткими языками: Препр,- Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 1996.- 29 с.

119. Шестаков A.A. Системы уравнений в полукольце нечетких интервальных языков // Дискретные модели в теории управляющих систем: Тр. III меж-дунар. конф.— М.: Диалог-МГУ, 1998.- С. 124-127.

120. Шестаков A.A. Специальные свойства гомоморфных отображений конечных автоматов // Вычислительный эксперимент в задачах прогнозирования.-Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 1994,- С. 164-179.

121. Шестаков A.A. Эквивалентность и гомоморфизмы обобщенных автоматов I // Алгоритмические и комбинаторные проблемы дискретных систем и ЭВМ. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1991.- С. 157-170.

122. Шестаков A.A. Эквивалентность и гомоморфизмы обобщенных автоматов II // Алгоритмические и комбинаторные проблемы дискретных систем и ЭВМ,-Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1994,- С. 136-147.

123. Шестаков A.A. Эквивалентность и гомоморфизмы обобщенных конечных автоматов // Иркут. ун-т.- Иркутск, 1986.- 29 е.- Деп. в ВИНИТИ 03.03.86, № 1410-В-86.

124. Шестаков A.A. Эквивалентность и оптимизация обобщенных конечных автоматов II Вопросы анализа и синтеза сложных систем.- Иркутск: Изд-во ИПИ, 1989,- С. 73-81.

125. Шестаков A.A. Эквивалентные преобразования конечных автоматов, заданных над ассоциативными телами // Вопросы анализа и синтеза сложных систем,- Иркутск: Изд-во ИПИ, 1989.- С. 65-72.

126. Шестаков A.A., Ветров Ю.М. Приведенные формы обобщенных автоматов // Тр. II конф. молодых ученых ИГУ,- Иркутск, 1984.- С. 71-72.

127. Шестаков A.A., Никифоров С.А Гомоморфизмы частичных обобщенных автоматов II Тр. II конф. молодых ученых ИГУ.- Иркутск, 1984.- С. 69-70.

128. Шестаков A.A., Чирков М.К. Обобщенные конечные автоматы: поведенческая эквивалентность и проблемы оптимизации- Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 1992,- 160 с.

129. Шестаков А.А., Чирков М.К. Оптимизация внутренней структуры обобщенных автоматов // Роботы и робототехнические системы,- Иркутск: Изд-во ИПИ, 1986,- С. 128-135.

130. Шестаков А.А., Чирков М.К. Эффективный алгоритм оптимизации конечных автоматов // Автоматизация физического эксперимента,- Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1988.- С. 37-39.

131. Шимбирев П.Н.' Гибридные непрерывнологические устройства.- М.: Энер-гоиздат, 1990.- 174 с.

132. Шимбирев П.Н. Структура непрерывнологических функций // Автоматика и телемеханика, 1987 № 7.- С. 125-135.

133. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979.- 272 с.

134. Яблонский С.В. Функциональные построения в k-значной логике // Труды Матем. инст. им В.А. Стеклова АН СССР, 1958, Т. 51, № 5.- С. 5-142.

135. Яблонский С.В., Гаврилов Г.П., Кудрявцев В.Б. Функции алгебры логики и классы Поста М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966.- 202 с.

136. Arden D.N. Delayed-logic and Unite-state machines // Proc. 2nd Ann. Symp. on Switching Circuit Theory and Logical Design.- Detroit, 1961.- P. 133-151.

137. Arruda A.I. A survey of paraconsistent Logic // Mathematical Logic in Latin America.- Amsterdam: Noth-Holland, 1980.- P. 1-41.

138. Boole G. The investigation of the laws ot thought, on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities London, 1854.

139. Bikel P.J., Nair V.N., Wang P.C.C. Nonparametric inference under biased sampling from finite population // Ann. Statist.- 1992,- V. 20.- N° 2,- P. 853-878.

140. Braddock R.C., Epstein G., Yamanaka H. Multiple-valued logic disign and applications in binary computers // Computer science and multiple-valued logic: theory and applications.- Amsterdam: North-Holland, 1977.- P. 35-44.

141. Carlyle J.W. Equivalent stochastic sequentinal machines: Thesis D. Phil.- Berkeley: Univ. of California, 1961.- 58 p.

142. Chirkov M.K. On some types of incompletely specified automata // Acta Cyber-netica (Szeged).- 1978.- T. 4, fasc. 2,- P. 151-165.

143. Devis M., Weyuker E. Computability, complexity and languages: fundametals of theoretical computer sience N.Y.: Academic Press, 1983.- XV, 425 p.

144. Eilenberg S. Atomata, languages and mashines.- N.Y.: Academic Press, 1976.

145. Gecseg F. Algebraic theory of automata Budapest: Akademi ai Kiado, 1972.

146. Gill A. Linear sequentional circuits: analysis, synthesis and applications.- N.Y.: McGraw-Hill Book Company, 1966.- 216 p.

147. Ginzburg A. Algebraic theory of automata New York: Academic Press, 1968.165 p.149.150.151.152.153.154.155.156,157,158,159,160161162163164165166167168169

148. Ginzburg A., Yoeli М. Products of automata and problem of covering // Trans, of the American Math. Society.- 1965.- Vol. 116 № 4.- P. 223-226.

149. Ginzburg S. Some remarks on abstract mashines // Trans, of the American Math. Society.- I960 Vol. 96.- № 3 - P. 400-444.

150. Goguen J. A. Categories of L-fuzzy sets // Bull. American Math. Soc., 1969, Vol. 75, no 3,- P. 622-624.

151. Goguen J.A. L-fuzzy sets // Journal of Math. Analysis and Appl., 1967, Vol. 18.-P. 145-174.

152. Gratzer G. Universal algebra.- Berlin: Springer, 1979.- 224 s.

153. Hartmanis J., Stearns R.E. Algebraic structure theory of sequential mashines-N.-Y.: Prentice Hall, 1966.- 212 p.

154. Hunyadvari L. L-fuzzy kleenean theorem // Ann. Comput. (Budapest).- 1981.- № 2,- P. 39-48.

155. Jeffreys H. Theory of probability Oxford: Clarendon Press, 1996.- 428 p.

156. Kahn G., Nowlan S., McDermott J. Strategies for knowledge acquisition // IEEE Trans. Pattern Analysis and Mashine Intelligence 1985 - V. 7 - № 5.- P. 151-158.

157. Kahneman D., Slovic P., Tversky A. Judgment under uncertainty: heuristics and biases Cambridge: Univ. Press., 1982.- 555 p.

158. Kanal L., Lemmer D. Uncertainty in artificial intelligence.- New York: Eddison Wesley, 1986.- 231 p.

159. Kandel A., Lee S.C. Fuzzy switching and automata: theory and applications.- New York; London: Russak and Company, 1979.- 300 p.

160. Kaufmann A., Gupta M. Fuzzy mathematical models in engineering and management science Amsterdam: North-Holland, 1988.- 338 p.

161. Kreinovich V., Berhard A. Parallel algorithms for interval computations: an introduction/ /Interval Computations.- 1994.- № 3.- P. 6-62.

162. McNaughton R., Yamada H. Regular expressions and state graphs for automata // IRE Trans, on Electronic Computers.- I960.- EC-9 P. 39-47.

163. Mizumoto M., Toyoda J., Tanaka K. Fuzzy languages // Systems, Computer, Controls, 1970, vol. 1.- P. 334-340.

164. Moor R.E. Interval analysis.- Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1966.- 145 p.

165. Mukaidono M. On some properties of fuzzy logic // Compmuter Control.- 1975.-V. 6, № 2,- P. 36-43.

166. Newell A. Heuristic programming: III structured problems // Progress in Operation Research.- Vol. 3 New York: Weley and Sons, 1969.- P. 102-111.

167. Paz A. Introduction to probabilistic automata- New York; London: Academic Press, 1971.- 228 p.

168. Post E.L. Introduction to a general theory of elementary propositions// Amarican Journal of Mathematics 1921,- Vol. 43.- № 3.- P. 163-185.

169. Preparata F.P., Yeh R.T. Continuously valued logic // J. Сотр. Sys. Sci.- 1972 -V. 6.- № 5.- P. 397-418.

170. Quine W.V. A way to simplify truth functions // Americ. Math. Monthly.- 1955.-V. 62, № 9.- P. 627-631.

171. Rosenberg I.G. Completeness properties of multiple-valued logic algebras // Computer science and multiple-valued logic: theory and applications.- Amsterdam: North-Holland, 1977.- P. 144-186.

172. Rosenberg J., Hikata T. Completeness for uniformly delayed circuits // Proc. XIII Intern. Symp. Multiple-Valued Logic.- Kioto, 1983.- P. 1-9.

173. Salomaa A. Formal languages New York: Academic Press, 1973.- 305 p.

174. Shestakov A. A., Tsukermam V.A. The method to provide the choice of proposals // On Advanced Technology in Environmental and Natural Resources: Proc. Int. Sympoz.- Rovaniemi, 1998.- www.metla.fi/event/rt98

175. Starke P.H. Die Reduktion von stochastischen automaten // Elektron. Informationsverarb. und Kibern.- 1968,- № 2,- Z. 93-99.

176. Topencarov V., Peeva I. Algebraic theory of stochastic automata — a Categorical Approach 11 Сердика Бълг. мат. списание.- 1978.- Vol. 4.- № 4.- P. 277-288.

177. Topencarov V., Peeva K. Equivalence, reduction and minimization of finite automata 11 Jorn. Math. Anal, and Appl.- 1981- Vol. 84,- № 1- P. 270-281.

178. Turakainen P. Generalized automata and stochastic languages // Proc. Amer. Math. Soc- 1969.- Vol. 21.- № 2.- P. 303-309.

179. Turakainen P. On some transducer equivalence problems for families of languages /1 Inter. J. Comput. Math.-1988 № 23.- P. 99-124.

180. Tiirk§en I.B. Non-specificity and interval fuzzy sets // Fuzzy Sets and Systems.-1996.- V. 80, № 1,- P. 87-100.

181. Wechler W., Dimitrov V. R-fuzzy automata // Information Processing 74 (proceedings of the IFIP congress 74).- Amsterdam; London, 1974.- P. 657-600.

182. Wolfram S. Statistical mechanics of cellular automata: Preprint CALT 68-915.-California, 1982,- 74 p.

183. Zadeh L.A. Fuzzy sets // Inform, and Contr., 1965, Vol. 8.- P. 338-353.

184. АС 11 А* 38 1т 36 2 161 6Т(Ф) 142

185. АУП 14 (Э)| 114 НК 26 й 178 X 67

186. БЗ 155 А 83 1п{Щ 199 К 18 2}(С/) 162

187. ОКА 162 (£,//) 20 1НК 27 П 161 21(6) 211. УМ 16 Ф 130 ЦХ) 67 К 178

188. ЧУП 18 Фл 119 М? 125 131 0 49

189. ФИЛ 109 Фу 117 Мей(А) 26 Хк 131 I 49

190. ФП 152 ФИ из Р1НК 40 хлс 131 0 27

191. ФЭД 126 Ф*ж. 116 йея 136 Хпр 131 и 27, 53

192. ФЭК 126 19 А"тс 131 П 26, 52

193. ФЭС 152 Ьд 186 У/тт 22 . 111

194. ЭФ 152 66 \¥(а) 11 Н 65 V 68, 111

195. ЭД-1 121 УС 186 X* 66 А 68, 112

196. ЭД-П 121 а; Ь. 18 64 21 с 83 112

197. ЭК-1 121 X* 65 21(£7) 161 ^ 112

198. ЭК-П 121 с 29 \Х+) 65 Я/тг, 208 х 3421/тга 208 © 29, 31х,у) 47 си 120 ^(С/) 110 21/п<8 198 0 33у) 47 с' 53 *7(Ф) 128 198 ® 297 39 ¿(¿(X)) 67 "На 225 Сот? 21 205 О 29, 31

199. С(^,у) 54 ¿(к>) 65 ¿ив 131 <£Р 42 о 34, 691. Л 65 о 119 67 Сг 26 и 187цА(х) 26 <*,/) 27 СА(Х) 67 С/ 27 * 6527 х 40 Г^Л") 79 3а. 18 * 69

200. Д(о | №) 160 А 26 \ЦХ)\ 67 аа. 45 о 187к{х) 37 Л 27 М*) 67 0М(А) 16 С 26, 28п(х,ЦА) 36 Л"1 34 4а М 163 ат(Ф) 141 :=: 167Г,) 208 Л" 34 Сф. 174 Ъа] 18 -< 40тга 207 Агйу 11 4а Н Я 177 3а. 45 ■< 40

201. ФдМ 198 С/ 27 М 160 Зм(А) 16 С 27ет(£,у) 54 С/ 27 Л? 178 3Т(Ф).141 ~ 19843 СР 40 Ж 186 £(Х) 67 » 204в 121 Сг 29 N И ЯоРО 67 —>• 27х,у) 54 Со1т 37 И ^(Х) 67 н* 39т(Ф) 130 199 О 160 ЯяРО 72 39ш(х,у) 54 и<2 186 Т{Сг) 29 ЩХ) 73 Л 39