автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модифицированный алгоритм чувствительности в идентификации динамических моделей: синтез, программная реализация и применения

На правах рукописи

Пронин Алексей Сергеевич

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ АЛГОРИТМ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ В ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ: СИНТЕЗ, ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Томск — 2006

Работа выполнена в Томском государственном университете систем управления и радиоэлектроники.

Научный руководитель — доктор технических наук, профессор

Светлаков Анатолий Антонович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Мицель Артур Александрович

доктор технических наук, профессор Гончаров Валерий Иванович

Ведущая организация — Красноярский государственный технический

университет

Защита состоится «14» декабря 2006 г. в 17 ч 00 мин на заседании диссертационного совета Д 212.268.02 при Томском государственном университете систем управления и радиоэлектроники по адресу: 634050, г. Томск, ул. Ленина, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники по адресу: г. Томск, ул. Вершинина, 74.

Автореферат разослан «11» ноября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор технических наук

Клименко А.Я.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Идентификация объектов в настоящее время является обязательным элементом и наиболее сложной стадией выполнения ряда прикладных проектов. Оперативное и адекватное решение ее проблем создает необходимые условия эффективного практического использования математических методов и сложных наукоемких технологий. Разработка методов и алгоритмов идентификации приобретает в настоящее время исключительно важное значение для фундаментальной науки. Развитие теории идентификации в классическом направлении сейчас также актуально и практически значимо, как и 50-е годы XX века, когда она зарождалась под влиянием насущных проблем практики. Постоянная необходимость в оптимизации процесса решения практических проблем за счет рациональной идентификации стимулирует прогресс теории в классическом направлении. В связи с этим по-прежнему актуальны для фундаментальной науки такие области исследования, как математические методы параметрической и непараметрической идентификаций, математическая теория структурной идентификации, математическое моделирование систем, математические проблемы управления с оперативным идентификатором, методологии идентификации при известной адекватной математической постановке практической проблемы.

Для решения многих классов задач управления и идентификации используется широко известный среди специалистов по автоматическому управлению и специалистов, занимающихся проблемами идентификации исследуемых процессов, явлений, объектов и т. п., алгоритм чувствительности. На его основе можно с единых позиций подходить к вопросам идентификации различных классов динамических объектов (непрерывных, дискретных, сосредоточенных, распределенных и др.), а также решать краевые задачи алгоритмического конструирования оптимальных регуляторов.

В стандартном алгоритме чувствительности в критерии качества подстройки оценок неизвестных параметров обыкновенного дифференциального уравнения используется метрика, учитывающая расстояние между экспериментальными данными и решением этого уравнения, но не учитывающая расстояние между производной, вычисленной по экспериментальным данным, и производной решения уравнения. Настоящая работа направлена на устранение данного пробела, а именно на создание нового алгоритма, который будем называть модифицированным алгоритмом чувствительности. Это позволит применять данный алгоритм в тех задачах, где необходимо описать как экспериментальные данные, так и производную с наименьшей суммарной ошибкой аппроксимации. Кроме этого, плохая обусловленность матриц, возникающих при подстройке неизвестных параметров обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью алгоритма чувствительности, привела к идее о модификации данного алгоритма с целью улучшения обусловленности матриц.

Цель работы

Целью диссертационной работы является синтез, исследование, программная реализация и применение модифицированного алгоритма чувствительности подстройки неизвестных параметров обыкновенных дифференциальных уравнений, являющегося обобщением стандартного алгоритма чувствительности.

Научная новизна

В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1) модифицированный алгоритм чувствительности, позволяющий:

• оценить неизвестные параметры обыкновенного дифференциального уравнения;

• получить решение и производтгую решения обыкновенного дифференциального уравнения с заданной точностью, описывающие экспериментальные данные и производную, вычисленную по этим данным, соответственно;

• получить более устойчивую к ошибкам систему линейных алгебраических уравнений, которая формируется в результате подстройки неизвестных параметров, и лучше обусловленную матрицу, которая возникает при этом;

2) программный комплекс, реализующий модифицированный алгоритм чувствительности и позволяющий:

• производить оценку неизвестных параметров обыкновенных дифференциальных уравнений;

• строить графики и выводить значения погрешностей аппроксимации функции и ее производной;

• проводить исследования нового алгоритма на скорость сходимости и точность аппроксимации экспериментальных данных и производной в зависимости от выбора значений начальных условий, начальных приближений неизвестных параметров и значения весового коэффициента, варьируя который придавать больший вес одной из двух составляющих метрики, используемой в модифицированном алгоритме чувствительности;

3) алгоритм для формирования обобщенных матриц Гильберта, являющихся лучше обусловленными и более помехоустойчивыми, по сравнению с обычными матрицами Гильберта;

4) применение модифицированного алгоритма для оценки плотности распределения дефектных центров, определяющих примесное поглощение света по энергии их ионизации;

5) применения модифицированного алгоритма чувствительности к обработке экспериментальных данных процессов калориметрии и тепловлажностной обработке железобетонных изделий, а также для уменьшения погрешности, обусловливаемой нелинейностью выходной характеристики тензопреобразователей давления., позволяющие снизить затраты в производстве.

Методы выполнения исследований

Для решения поставленных научных задач использовались элементы математического анализа, методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, численные методы, методы функционального анализа и методы системного программирования.

Практическая ценность работы

В ходе проведенного исследования разработаны структура, математическое, информационное и программное обеспечение модифицированного алгоритма чувствительности.

Полученные результаты диссертационной работы можно рекомендовать для изучения динамики многомерных объектов с целью оптимального управления ими. Результаты следует применять там, где необходимо аппроксимировать не только экспериментальные данные, но и первую производную, а также при решении следующих задач:

1) выбор экономически эффективных систем управления реальными объектами;

2) получение реальных динамических параметров самолетов, кораблей и других объектов;

3) расчет оптимальных значений параметров различных устройств, например, радиотехнических устройств, форма выходной переменной которых должна иметь минимальное отклонение от заданной;

4) изучение математических моделей трансформации прошедших через какую-либо среду или отраженных от ее поверхности сигналов;

5) исследование функционального состояния органов и систем человека и животных в медицине, биологии и физиологии.

Положения, выносимые на защиту

1) модифицированный алгоритм чувствительности, позволяющий оценить неизвестные параметры обыкновенного дифференциального уравнения произвольного ограниченного порядка;

2) программный комплекс, реализующий модифицированный, алгоритм чувствительности и позволяющий находить решение и производную,

описывающие с заданной точностью экспериментальные данные и производную, вычисленную по этим данным, соответственно;

3) оценка для плотности распределения дефектных центров, определяющих примесное поглощение по энергии их ионизации, построенная на основе эмпирической гладкой функции спектральной зависимости примесного поглощения света в кристалле титаната висмута и ее производной, полученных на основе модифицированного алгоритма чувствительности;

4) модификация матриц Гильберта и оценка чисел их обусловленности;

Внедрение результатов работы

Результаты диссертационной работы успешно реализованы и получены следующие разработки:

1. Методика применения модифицированного алгоритма чувствительности с целью нахождения плотности распределения дефектных центров, определяющих примесное поглощение по энергии их ионизации, в кристалле титаната висмута использована на кафедре электронных приборов факультета электронной техники ТУ СУ Ра.

2. Программный модуль, в основе которого лежит разработанный алгоритм, автоматизации калориметрического процесса установлен на ОАО «Западно-Сибирский Испытательный Центр» г. Прокопьевска Кемеровской области. Данный модуль позволяет значительно сократить по времени весь анализ пробы угля.

3. Методика аппроксимации выходной характеристики тензорезисторного преобразователя давления с использованием нового алгоритма внедрена на ОАО «Манотомь» г. Томска. Методика позволяет уменьшить погрешность в тензорезисторном сенсоре давления, обусловливаемой нелинейностью выходной характеристики.

4. Программное обеспечение, выполненное в виде программного модуля на языке С++, в основе которого лежит предложенный алгоритм, внедрено на ОАО «Железобетонные конструкции № 100» г. Томска. Данная разработка позволяет аппроксимировать и отслеживать процесс затвердевания железобетонных конструкций в пропарочной камере, строить математическую модель данного процесса, прогнозировать его исход во время тепловлажностной обработки железобетонных конструкций.

5. Руководство к лабораторной работе и программное обеспечение с применением разработанного алгоритма внедрено на кафедре информационно-измерительной техники факультета вычислительных систем ТУСУРа для студентов, обучающихся по специальности 220301 - Автоматизация технологических процессов и производств, по дисциплине «Моделирование систем». Руководство и программа позволяют ознакомиться с данным алгоритмом и провести его экспериментальное исследование.

6. Программная реализация модифицированного алгоритма, выполненная в системе программирования С++Вш1с1ег, позволяющая проводить исследования алгоритма на скорость сходимости и точность аппроксимации экспериментальных данных и производной для различных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Апробация работы

Научные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международных научно-практических конференциях «Современные техника и технологии» (Томск, 2004, 2005); Всероссийских научно-практических конференциях «Электронные средства и системы управления» (Томск, 2003, 2004); Региональных научно-технических конференциях «Научная сессия ТУСУР» (Томск, 2003,2004).

Публикации

По теме диссертационной работы опубликованы 19 печатных работ: 1 статья в журнале, рекомендованном ВАК; 7 депонированных в ВИНИТИ рукописей; 2 зарегистрированные разработки в отраслевом фонде алгоритмов и программ; 9 публикаций в рецензируемых сборниках трудов конференций, из них 1 публикация была представлена на английском языке.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из вводной части, четырех глав, каждая из которой содержит введение и заключение, заключительной части, списка литературы, включающего 151 наименований, и 3-х приложений. Материал изложен на 172 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, ставится цель и основные задачи исследования, раскрываются научная новизна и практическая ценность работы, формулируются положения, выносимые на защиту.

В первой главе на основании обзора отечественной и зарубежной литературы рассмотрены вопросы, связанные с методами и задачами теории чувствительности, в основе которых лежит использование функций чувствительности, по существу представляющих собой градиенты показателей качества системы по некоторым совокупностям параметров, характеризующих саму систему и внешнюю среду. Рассмотрены вопросы, связанные с созданием и развитием теории чувствительности, которая сформировалась как самостоятельное научное направление в шестидесятых годах прошлого столетия в связи с бурным развитием теории и практики адаптивных

(самонастраивающихся) систем управления, создаваемых для эффективной работы при наличии параметрических возмущающих воздействий. Обсуждены вопросы, связанные с созданием и применением стандартного алгоритма чувствительности.

В теории чувствительности в 70-х годах прошлого столетия возникла необходимость в создании алгоритма, требующего умеренного количества вычислений (например, как в градиентном алгоритме) и обладающего высокой скоростью сходимости. Такой алгоритм для минимизации определенного класса функционалов был предложен в 1961 году математиками С.Н. Соколовым и И.Н. Силиным и был назван алгоритмом линеаризации. По причине динамичности объекта существенным элементом алгоритма является получение и решение уравнений чувствительности. Из-за этой специфичности алгоритм линеаризации стали называть алгоритмом чувствительности. Отмечено, что в стандартном алгоритме чувствительности подстройка параметров осуществляется на основе той же информации, что и в градиентных алгоритмах, но перемещения по каждой координате совершаются оптимальным (в смысле выбранного критерия квадратичного вида) образом, т. е. среди всех градиентных методов данный алгоритм является наилучшим. Аналогичная ситуация возникает в методах наискорейшего спуска и квазилинеаризации, в которых используется одинаковая информация, но гораздо большего объема, чем в предыдущем случае.

В конце главы приведен ряд работ, в которых в основном показана принципиальная возможность применения стандартного алгоритма чувствительности для решения тех или иных задач параметрической идентификации.

Во второй главе представлен метод аналитического описания экспериментальных данных, основанный на использовании в качестве аппроксимирующих операторов обыкновенные дифференциальные уравнения вида

¿Л"

где а=(а1}а2,...,а„+1) — неизвестны параметры, и хорошо известного среди специалистов, занимающихся проблемами идентификации и оценивания параметров математических моделей процессов и объектов, стандартного алгоритма чувствительности, основанного на использовании так называемых функций чувствительности Щ по параметрам а,- уравнения (1), определяемых равенствами

ду((,а)

IV. (Л а) = ^ ' ' , / = 1, п + 1. (2)

да1

Здесь }'{/,а) - решение уравнения (1).

Неизвестные параметры а,, / = 1,л + 1 и порядок п дифференциального уравнения (1) подбираются на основании имеющихся N измерений вида

Я , (3)

таким образом, чтобы решение у = у((,а) полученного при этом уравнения доставляло минимум метрике 5":

^ = ->шш. (4)

где /дг - единичная матрица порядка N. ' - " '

В главе изложены подходы к заданию начальных условий для решения однородных дифференциальных уравнений с помощью алгоритма и начальных приближений неизвестных параметров, приведена блок-схема, позволяющая наглядно представить итерационную процедуру алгоритма чувствительности.

В третьей главе предложена модификация стандартного алгоритма чувствительности.

Одно из направлений в развитии теории чувствительности — усовершенствование хорошо известного в данной теории алгоритма чувствительности. Причина неудовлетворенности этим алгоритмом заключается в том, что в данном алгоритме в критерии качества подстройки неизвестных параметров обыкновенных дифференциальных уравнений используется метрика, не учитывающая расстояние между производной, вычисленной по экспериментальным данным, и производной решения данного уравнения с найденными оценками. В модифицированном алгоритме чувствительности предложен новый критерий качества подстройки искомых параметров, который позволит убрать этот недостаток. Данный критерий имеет следующий вид:

1 I

$ = рку-у)Т1м(у-у)]2+(1-р)[(у-/)Т1х-1(у-у')]2, (5)

где /дл_! — единичная матрица порядка N— р — известный параметр, значение которого задается исследователем из интервала [0,1]; У = (У\,У2>"->Ун-\) ~ вектоР размерности N-1, компоненты которого определяются в соответствии с формулой

(6)

у' = (>>'(/!,а),~ вектор размерности N-I, компоненты которого вычисляются согласно выражению

Используя критерий (5), был построен итерационный процесс модифицированного алгоритма чувствительности. Была получена формула для вычисления поправок неизвестных параметров дифференциального уравнения.

На основании проведенных исследований относительно вопроса сходимости модифицированного алгоритма чувствительности на многочисленных примерах было получено, что он обладает высокой скоростью сходимости, которая зависит от выбора начальных приближений искомых параметров. В частности, сходимость была проверена на уравнении нелинейного маятника

à1 У ày . .2п /ЛЧ , . ¿КО) л

—jf + ~ + siny = ûr3 sin~*> Я°) = 1Д = О

cit-

ât

1.9

dt

(8)

с начальными значениями неизвестных параметров ах =3.1, а2 =2.9 и а3 = 3.0 и параметром р = 0.9. Были получены следующие зависимости ошибок аппроксимации функции и производной от номера итерации к :

Рис. 1. Зависимость ошибок аппроксимации: а) функции от номера итерации к; б) производной от номера итерации к.

На рис. 1 5| и 52 — ошибки аппроксимации функции и производной соответственно, определяемые согласно следующим выражениям:

I 1

а) =[(У-ЛТ/*<У-.)0]2 и б) (9)

На следующих графиках представлена аппроксимация функции и производной на 1-ой и 4-ой итерациях для уравнения нелинейного маятника:

Рис. 2. Аппроксимация на 1-ой итерации: а) функции, 5*1 =0.016; б) производной, — 0.031

а) б)

Рис. 3. Аппроксимация на 4-ой итерации: а) функции, ^ =4.1 • Ю~10; б) производной, £2 = 4.3 • Ю-6

В работе были приведены некоторые результаты выполненных исследований, связанных с вычислением чисел обусловленности матриц, возникающих при оценивании неизвестных параметров. В частности, это было сделано на примерах двух уравнений: нелинейного маятника (8)

и химической реакции

— = а1[&-у\-а2уг, 0 = 0.09966, ><0) = 0- (Ю)

вх

Ниже представлены полученные графики, характеризующие зависимость между значениями вычисленных чисел обусловленности и значениями параметра р.

а) б)

Рис. 4. Зависимость значений чисел обусловленности от значений р для уравнения: а) нелинейного маятника; б) химической реакции

Из результатов, представленных на рис. 4 видно, что с уменьшением значения параметра р значения чисел обусловленности уменьшаются. Другими словами можно сказать, что чем большее значение отдается второму слагаемому в метрике (5), тем лучше обусловлена матрица системы линейных уравнений, возникающая при оценке неизвестных параметров дифференциального уравнения.

На основании результатов проверки помехоустойчивости, которые были проведены на многочисленных примерах, было получено, что применение модифицированного алгоритма чувствительности позволяет получить более

устойчивую к ошибкам систему алгебраических уравнений по сравнению с базовым алгоритмом чувствительности.

Были проведены исследования влияния метрики (5) на обусловленность матриц Гильберта. В отличие от используемой ошибки аппроксимации

и . .

функции у = /(х) полиномом Р„(х) = Хс/х квадратичной метрики 5,

/=1

вычисляемой в соответствии с равенством

(п)

О '=1

была использована квадратичная метрика, определяемая согласно выражению \ п !• п

о м

О г=1

где )' и /'(*) - производные полинома Рп(х) = и функции

/=1 »=1 у = /(л), соответственно. На основании метрики (12) была получена формула

Щ = ¡и-1)0-1 = { и = 1,

(13)

о /+У-3

для формирования названных в данной работе обобщенных матриц Гильберта.

Ниже представлены полученные графики, характеризующие зависимость между значениями вычисленных чисел обусловленности обобщенных матриц Гильберта и значениями параметра р для матриц 3-го и 10-го порядков:

600

400" -С 011(1 200

У

2-10"

ио

соп<1

—

0.2

0.4

0.6 Р

0.8

0.2

0.4

а)

0.6 б)

0.8

Рис. 5. Зависимость значений чисел обусловленности от значений р для: а) матрицы 3-го порядка; б) для матрицы 10-го порядка

Приведенные графики позволяют наглядно видеть, что, во-первых, с уменьшением параметра р в пределах от 1.0 до 0.1 наблюдается монотонное уменьшение числа обусловленности. Это, очевидно, означает, что чем большее предпочтение отдается второму слагаемому в метрике (12), тем меньше становится число обусловленности обобщенной матрицы Гильберта. Отсюда

же видно, что наиболее резко число обусловленности уменьшается при уменьшении р в пределах от 1.00 до 0.90 и практически остается неизменным при дальнейшем уменьшении параметра р. Во-вторых, несмотря на то, что порядки исследуемых матриц различаются более чем в три раза, зависимости чисел обусловленности обеих матриц от параметра р имеют одинаковый качественный характер. В-третьих, при изменении параметра р в пределах от 0.1 до 0.9 скорость изменения чисел обусловленности в обоих случаях существенно меньше, чем при изменении р в пределах от 0.9 до 1.0.

На примере многочлена 6-го порядка была проверена помехоустойчивость обобщенных матриц Гильберта. Оказалось, что данные матрицы более помехоустойчивы, по сравнению со стандартными матрицами Гильберта.

Было получено, что введение параметра регуляризации г в обобщенные матрицы Гильберта позволяет улучшить обусловленность данных матриц. Ниже представлены графики, отображающие значения чисел обусловленности в зависимости от значений параметра р и параметра регуляризации г для обобщенной матрицы Гильберта 7-го порядка:

6-10

4-Ю5 сошЦН?) 2-Ю8

г=0 )

1.5-10

1-10°

5-10

0.2 0.4 0.6 0.8 Р

1

---- —

г=0 .0001 1 1 -

1.5-10

мо:

3000

( 1 |

г=0 „ ! и

0 0.2 0.4 0.6 0.8 I Р Р

Рис. 6. Зависимости чисел обусловленности от коэффициента р

Из результатов, представленных на рис. 6 видно, что, во-первых, числа обусловленности уменьшаются при увеличении параметра регуляризации г и, во-вторых, они уменьшаются при уменьшении параметра р, т. е. тогда, когда отдается предпочтение второму слагаемому в метрике (12).

Ниже на графике изображена зависимость, показывающая изменение значения числа обусловленности от значений параметра регуляризации при фиксированном параметре р=0.8 для обобщенной матрицы Гильберта 7-го порядка.

МО5-

но4

1-10

сот! (/4") 100

Рис. 7. Изменение значений числа обусловленности от значений параметра

регуляризации

Из графика видно, что при увеличении параметра регуляризации, происходит уменьшение числа обусловленности. При этом было получено, что при увеличении параметра регуляризации точность решения задачи аппроксимации уменьшается. Ниже представлены графики, отображающие зависимость значений ошибок

а) 5, = -/(*)]2иб)52 =}[Х(с/х'-1)'-/'(х)]2£гх (14)

о 1=1 О '=1

от значений параметра р при г =0.0001 и 0.01.

Р ■ р

а) б)

Рис. 8. Зависимость значений ошибок аппроксимации: а) функции от значений параметра р; б) производной от значений параметра р

Анализируя данные графики, можно заключить, что, во-первых, с увеличением параметра регуляризации, значения ошибок ^ и ^ увеличиваются и, во-вторых, при увеличении значения параметра р ошибка аппроксимации функции уменьшается, а ошибка аппроксимации производной увеличивается.

Таким образом, на основании проведенных исследований, можно заключить, что модифицированный алгоритм чувствительности позволяет улучшить обусловленность матриц системы линейных алгебраических уравнений, приблизиться к желаемой точности получаемого решения и его помехоустойчивости, формулировать и решать задачу аппроксимации как функции, так и производной, влиять на точность аппроксимации функции и производной и за приемлемые отрезки времени находить неизвестные параметры. Использование нового критерия качества подстройки неизвестных параметров позволяет получить формулу для расчета элементов обобщенных матриц Гильберта, которые, как оказалось, лучше обусловлены и более помехоустойчивы.

В четвертой главе рассмотрены вопросы, связанные с применением модифицированного алгоритма чувствительности к решению прикладных задач. Данная глава состоит из пяти самостоятельных разделов. Полученные результаты иллюстрируются графиками и таблицами.

В первом разделе была произведена оценка для плотности распределения дефектных центров, определяющих примесное поглощение по энергии их ионизации, построенная на основе эмпирической гладкой функции спектральной зависимости примесного поглощения света в кристалле титаната висмута и ее производной, полученных на основе модифицированного алгоритма чувствительности.

Эксперимент проводился на монокристаллическом образце титаната висмута, выращенном методом кристаллизации из специального раствора в лаборатории физико-химического анализа оксидов.

Плотность распределения дефектных центров в данном кристалле может быть найдена с помощью следующего выражения:

1

0.196

Используя экспериментальные данные, представленные на рис. 9,

(15)

Рис. 9. Зависимость коэффициента поглощения кристалла титаната висмута от энергии кванта излучения

и дифференциальное уравнение

[-И*-*.)1]. (16)

были аппроксимированы как имеющиеся данные, так и производная, вычисленная по ним, таким образом, что суммарная ошибка описания функции и производной получилась наименьшей. Было получено, что при р=0 суммарная ошибка имеет наименьшее значение.

Подставив в выражение (15) найденное решение и производную дифференциального уравнения (16) при оцененных значениях неизвестных параметров с помощью модифицированного алгоритма чувствительности при р=0, была получена плотность распределения дефектных центров.

По найденной оценке плотности распределения дефектных центров можно судить о качестве кристаллов и производить их отбор для каких-либо целей.

Во втором разделе четвертой главы предложен метод аналитического описания экспериментальных данных калориметрического анализа теплотворной способности угля, основанный на использовании в качестве аппроксимирующих операторов обыкновенное дифференциальное уравнения 3-го порядка

<ГТ

йгТ

ат

, + а2--Уа{Г-¥аЛ

2 2 Л

(17)

• ' ' аР * а^

и разработанный в диссертации алгоритм оценивания неизвестных параметров. Были получены следующие графики аппроксимации функции и производной процесса калориметризации:

0.5 1 1.5

2.5 3 3.5

-2

, 1 1

\ ! I

1 1

0 0.5 ¡1 ! 1 I2 Р'5 3 3.5

а) б)

Рис. 10. Аппроксимация: а) функции; б) производной

Наличие подобного описания открывает широкие возможности для формулирования задачи прогнозирования и управления длительностью процесса калориметрического анализа проб угля, что в свою очередь позволяет существенно ускорить данный процесс.

В третьем разделе решена задача аппроксимации выходной характеристики тензорезисторного преобразователя давления с применением обыкновенного дифференциального уравнения (17) и модифицированного алгоритма чувствительности, с целью уменьшения погрешности, обусловливаемой нелинейностью выходной характеристики.

Полученные результаты позволяют компенсировать температурную погрешность в измерительном преобразователе давления.

В четвертом разделе проведены эксперименты, связанные с применением нового алгоритма к построению математической модели процесса тепловлажностной обработки железобетонных изделий. Используя данный алгоритм и обыкновенное дифференциальное уравнение (17), был аппроксимирован процесс набора прочности железобетонных изделий на всем этапе пропаривания, т. е. подобрано такое дифференциальное уравнение, решение которого с высокой точностью описывает процесс пропаривания железобетонного изделия на всем интервале его тепловлажностной обработки.

Это дает возможность уменьшить расход электроэнергии и воды, что, в свою очередь, позволяет снизить себестоимость изготавливаемых железобетонных изделий.

В пятом, заключительном разделе главы предложены руководство и программа к лабораторной работе с применением модифицированного алгоритма чувствительности. Они предназначены для обучения студентов специальности 220301 — «Автоматизация технологических процессов и производств (в приборостроении)» данному алгоритму и экспериментальному его исследованию, а именно изучению вопросов, связанных со сходимостью и точностью подстройки неизвестных параметров обыкновенного дифференциального уравнения в зависимости от изменения значения параметра р е [0,1], начальных условий и приближений.

В заключении представлены основные результаты диссертационной работы, которые сводятся к следующему:

1. Дано общее представление теории чувствительности, а также функций чувствительности, которые играют одну из ключевых ролей в данной теории. Рассмотрены задачи и методы теории чувствительности.

2. Обсуждены некоторые вопросы, связанные с базовым алгоритмом чувствительности: причины создания и применение. Приведен ряд работ, в которых с успехом был применен данный алгоритм. На основании обзора литературы выяснено, что за все время существования этого алгоритма было предложено несколько его модификаций. Рассмотренные источники литературы позволяют заключить, что базовый алгоритм используется для широкого класса задач у нас в стране и за рубежом до настоящего момента.

3. Показано, что базовый алгоритм чувствительности является эффективным методом для оценивания порядка и неизвестных параметров обыкновенных дифференциальных уравнений.

4. На основании базового алгоритма предложена его модификация и для нее построена итерационная процедура. Отличие нового алгоритма заключается в том, что метрика, которая используется в нем, позволяет учитывать не только расстояние между экспериментальными данными и решением обыкновенного дифференциального уравнения, но и разность между производной, вычисленной по этим данным, и производной решения уравнения. Данный алгоритм позволяет влиять на точность аппроксимации как экспериментальных данных, так и производной.

5. Модифицированный алгоритм чувствительности позволяет оценить неизвестные параметры дифференциального уравнения таким образом, что его решение и производная решения адекватно описывают экспериментальные данные и производную, вычисленную по этим данным, соответственно.

6. На примерах показана хорошая сходимость и скорость сходимости полученного алгоритма.

7. Использование нового алгоритма приводит к тому, что система линейных алгебраических уравнений, которая получается в результате подстройки неизвестных параметров однородных дифференциальных уравнений, становится более устойчива к ошибкам; матрица данной системы становится лучше обусловленной.

8. Базовый алгоритм чувствительности является частным случаем его модификации, т. к. при р=1 модифицированный алгоритм превращается в стандартный.

9. Получены формулы для обобщенных матриц Гильберта. Оказалось, что эти матрицы лучше обусловлены и более помехоустойчивы, по сравнению с обычными матрицами Гильберта.

Полученные в диссертации результаты автор рекомендует применять при решении широкого круга задач идентификации динамических процессов. Алгоритм чувствительности и предложенная его модификация с методами статистической обработки данных позволит осуществить новые научные исследования в различных областях наук. Изложенные результаты представляют интерес для специалистов, занимающихся проблемами математического моделирования реальных объектов, процессов, явлений и т. д. и, прежде всего, для тех из них, кто в качестве математических моделей исследуемых или управляемых объектов использует различные классы дифференциальных уравнений.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Арцер П.А., Пронин A.C., Светланов A.A. Аналитическое описание экспериментальных данных калориметрического анализа угля с применением обыкновенных дифференциальных уравнений и алгоритма чувствительности. Томск, 2004.-21 е.-Деп. в ВИНИТИ 02.03.2004, № 379-В2004.

2. Бычков В.В., Пронин A.C., Свинолупов Ю.Г. и др. Исследование некоторых классов функций для аппроксимации выходной характеристики тензопреобразователей давления. // Приборы. - 2005. -№ 9. - С. 45 - 67.

3. Пронин A.C., Светлаков A.A. Применение алгоритма чувствительности в построении профиля скоростей движения жидкости в круглом трубопроводе. Томск, 2003. - 20 с. - Деп. в ВИНИТИ 09.02.2004, № 213-В2004.

4. Пронин A.C. Построение математической модели дифференциального трансформатора и влияние масштабирования исследуемой функции на адекватность модели. // Научная сессия ТУСУР: Региональная научно-техническая конференция, 13-15 мая 2003. - Томск, 2003. - Ч. 111. - С. 89-92.

5. Пронин A.C., Светлаков A.A. Построение профиля скоростей движения жидкости в трубопроводе с применением алгоритма чувствительности. // Электронные средства и системы управления: Всероссийская научно-практическая конференция, 21-23 октября 2003. - Томск, 2003. - С. 198 -200.

6. Пронин A.C., Светлаков A.A. Программная реализация алгоритма чувствительности. М., 2003. — Зарег. в Отраслевом фонде алгоритмов и программ 15 декабря 2003, № 50200301004.

7. Пронин A.C. Построение математической модели дифференциального трансформатора на основе алгоритма чувствительности и экспериментальных данных. // Современная техника и технологии: X Юбилейная международная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых, 29 марта - 2 апреля 2004. - Томск, 2004. - Т. 2.-С. 190-192.

8. Пронин A.C. Применение алгоритма чувствительности к описанию зависимости хода мембраны, применяемой при сборке датчика давления МС2000, от давления. // Научная сессия ТУСУР: Всероссийская научно-техническая конференция, 18-20 мая 2004. - Томск, 2004. - Ч. II. - С. 188-190.

9. Пронин A.C. Исследование зависимости хода мембраны, используемой при сборке датчика давления MC 2000, от давления. // Научная сессия ТУСУР: Всероссийская научно-техническая конференция, 18-20 мая 2004. - Томск, 2004,- Ч. II.-С. 185- 188.

10.Пронин A.C., Светланов A.A. Исследование возможности аппроксимации выходной характеристики тензорезисторного преобразователя давления с целью уменьшения погрешности от нелинейности. // Электронные средства и системы управления: Всероссийская научно-практическая конференция, 21-23 октября 2004. - Томск, 2004. - С. 198 - 200.

11. Пронин A.C., Светланов A.A. Новый алгоритм чувствительности. М., 2004. — Зарег. в Отраслевом фонде алгоритмов и программ 27 сентября 2004, № 50200401151.

12.Пронин A.C., Светланов A.A. Построение математической модели процесса тепловлажностной обработки железобетонных изделий с применением алгоритма чувствительности. Томск, 2005. - 25 с. - Деп. в ВИНИТИ

19.05.2005, № 717-В2005.

13.Пронин A.C. Применение алгоритма чувствительности к процессу тепловлажностной обработки железобетонных изделий. // Современная техника и технологии: XI Международная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых, 28 марта - 1 апреля 2005. - Томск, 2005. - Т. 2. - С. 193 - 194.

14.Пронин A.C. Модернизация алгоритма чувствительности. // Современная техника и технологии: XI Международная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых, 28 марта — 1 апреля 2005. - Томск, 2005. - Т. 2. - С. 195 - 196.

15.Пронин A.C., Светланов A.A. Обобщенные матрицы Гильберта и их обусловленность. Томск, 2006. - 26 с. - Деп. в ВИНИТИ 03.05.2006, № 590-В2006.

16. Пронин A.C., Светланов A.A. Обусловленность матриц и помехоустойчивость в модифицированном алгоритме чувствительности. Томск, 2006. - 32 с. - Деп. в ВИНИТИ 03.05.2006, № 592-В2006.

П.Пронин A.C. Модификация алгоритма чувствительности и исследование его сходимости. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники. Томск, 2006. - 28 с. - Деп. в ВИНИТИ 03.05.2006, № 591-В2006.

18.Пронин A.C., Шандаров С.М., Светланов A.A. и др. Применение модифицированного алгоритма чувствительности к нахождению плотности распределения дефектных центров по энергии ионизации в кристалле титаната висмута. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники. Томск, 2006. — 26 с. - Деп. в ВИНИТИ

24.05.2006, № 701-В2006.

\9.Pronin A.S. Sensitivity algorith application in designing velocities profile of the liquid flow in circular pipe line. 11 Modern techniques and technologies: X Jubilee International Scientific and Practical Conference of Students, Post-graduates and Young Scientist, March 29 - April 2 2004, Tomsk, Russia. ^P. 156- 157.

Тираж 100. Заказ № 1047. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЗОР МЕТОДОВ ТЕОРИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ.

ВВЕДЕНИЕ.

1.1. ТЕОРИЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ

1.11 СОЗДАНИЕ И РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ

1 1 2 ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ТЕОРИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ

1 2. АЛГОРИТМ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ

1 2 1 СОЗДАНИЕ АЛГОРИТМА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ

1 2 2 ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ

1 2 3 НЕКОТОРЫЕ МОДИФИКАЦИИ АЛГОРИТМА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ 29 ВЫВОДЫ

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ НА ОСНОВЕ АЛГОРИТМА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ.

ВВЕДЕНИЕ

2.1. СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ СУЩНОСТЬ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

ИДЕНТИФИКАЦИИ ^

2 2. ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

2 2 1. ЗАДАЧА ИДЕНТИФИКАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА

2 2 2 ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ.

2 2 3 ПОДХОДЫ К ЗАДАНИЮ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НАЧАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ НЕИЗВЕСТНЫХ

ПАРАМЕТРОВ.

22 3 1 ЗАДАНИЕ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

2 2 3 2 ЗАДАНИЕ НАЧАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ

2 2 4 БЛОК-СХЕМА АЛГОРИТМА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ ЕГО НА ПК

ВЫВОДЫ.

ГЛАВА 3. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ АЛГОРИТМ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ.

ВВЕДЕНИЕ.

3 1 СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ СУЩНОСТЬ МОДИФИЦИРОВАННОГО АЛГОРИТМА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ

3 2 СХОДИМОСТЬ МОДИФИЦИРОВАННОГО АЛГОРИТМА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ.

3 3 ОБУСЛОВЛЕННОСТЬ МАТРИЦ И ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ АЛГОРИТМА

3 3 1 РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ НА ПРИМЕРЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАЯТНИКА 69 3 3 2 РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ НА ПРИМЕРЕ УРАВНЕНИЯ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ

3 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ МЕТРИКИ (3.1.1) НА ОБУСЛОВЛЕННОСТЬ МАТРИЦ ГИЛЬБЕРТА

3 4 1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ И ФОРМИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ МАТРИЦ ГИЛЬБЕРТА.

3 4 2 НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ ОБОБЩЕННЫХ МАТРИЦ ГИЛЬБЕРТА

3 4 3 ТЕСТОВЫЙ ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ АППРОКСИМАЦИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ОБОБЩЕННЫХ МАТРИЦ ГИЛЬБЕРТА

ВЫВОДЫ

ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО АЛГОРИТМА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ.

ВВЕДЕНИЕ.

4 1 ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО АЛГОРИТМА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ К НАХОЖДЕНИЮ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕФЕКТНЫХ ЦЕНТРОВ ПО ЭНЕРГИИ ИОНИЗАЦИИ В КРИСТАЛЛЕ ТИТАНАТА ВИСМУТА

4 1 1 ЭКСПЕРИМЕНТ.

4.1 2 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

4 1 3 АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

4.1 4 ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕФЕКТНЫХ ЦЕНТРОВ.

4 2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ КАЛОРИМЕТРИЧЕСКОГО АНАЛИЗА УГЛЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И МОДИФИЦИРОВАННОГО АЛГОРИТМА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ

4 2 I ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ ПРОЦЕССА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕПЛОТВОРНОЙ СПОСОБНОСТИ УГЛЯ КАЛОРИМЕТРОМ IKA С4000А

4 2 2 ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО АЛГОРИТМА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ К ПОСТРОЕНИЮ ПРОЦЕССА ВЫДЕЛЕНИЯ ТЕПЛА ПРИ СЖИГАНИИ УГЛЯ

4 3. ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО АЛГОРИТМА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ ВЫХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕНЗОПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ДАВЛЕНИЯ

4 3 I МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ

4 3 2. ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО АЛГОРИТМА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ

4 4 ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ТЕПЛОВЛАЖНОСТНОЙ ОБРАБОТКИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ИЗДЕЛИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ МОДИФИЦИРОВАННОГО АЛГОРИТМА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ

441 АНАЛИЗ СУЩЕСТВУЮЩЕГО ПРОИЗВОДСТВА.

4 4 2 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

4 4 3 ОБОРУДОВАНИЕ И МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ИСПЫТАНИЙ

4 4 4 ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО АЛГОРИТМА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ

4 5. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ АЛГОРИТМ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ РУКОВОДСТВО К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ.

4 5 I ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ

4 5 2 ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

4 5 3 ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

45 4 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ.

ВЫВОДЫ

Актуальность темы диссертации. Идентификация объектов в настоящее время является обязательным элементом и наиболее сложной стадией выполнения ряда прикладных проектов. Оперативное и адекватное решение ее проблем создает необходимые условия эффективного практического использования математических методов и сложных наукоемких технологий. Разработка методов и алгоритмов идентификации приобретает в настоящее время исключительно важное значение для фундаментальной науки. Развитие теории идентификации в классическом направлении сейчас также актуально и практически значимо, как и 50-е годы XX века, когда она зарождалась под влиянием насущных проблем практики. Постоянная необходимость в оптимизации процесса решения практических проблем за счет рациональной идентификации стимулирует прогресс теории в классическом направлении. В связи с этим по-прежнему актуальны для фундаментальной науки такие области исследования, как математические методы параметрической и непараметрической идентификаций, математическая теория структурной идентификации, математическое моделирование систем, математические проблемы управления с оперативным идентификатором, методологии идентификации при известной адекватной математической постановке практической проблемы.

Для решения многих классов задач управления и идентификации используется широко известный среди специалистов по автоматическому управлению и специалистов, занимающихся проблемами идентификации исследуемых процессов, явлений, объектов и т. п., алгоритм чувствительности (будем называть его базовым или стандартным). На его основе можно с единых позиций подходить к вопросам идентификации различных классов динамических объектов (непрерывных, дискретных, сосредоточенных, распределенных и др.), а также решать краевые задачи алгоритмического конструирования оптимальных регуляторов.

В стандартном алгоритме чувствительности (САЧ) в критерии качества подстройки оценок неизвестных параметров обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) используется метрика, учитывающая расстояние между экспериментальными данными и решением этого уравнения, но не учитывающая расстояние между производной, вычисленной по экспериментальным данным, и производной решения уравнения. Настоящая работа направлена на устранение данного пробела, а именно на создание нового алгоритма, который будем называть модифицированным алгоритмом чувствительности (МАЧ). Это позволит применять данный алгоритм в тех задачах, где необходимо описать как экспериментальные данные, так и производную с наименьшей суммарной ошибкой аппроксимации. Кроме этого, плохая обусловленность матриц, возникающих при подстройке неизвестных параметров обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью алгоритма чувствительности, привела к идее о модификации данного алгоритма с целью улучшения обусловленности матриц.

Цель работы. Целью диссертационной работы является синтез, исследование, программная реализация и применение МАЧ подстройки неизвестных параметров ОДУ, являющегося обобщением САЧ.

Задачи исследований. Для достижения поставленной цели в диссертационной работе необходимо решить следующие задачи:

1) построить новый критерий качества подстройки неизвестных параметров ОДУ;

2) построить рекуррентный процесс, реализующий МАЧ;

3) исследовать полученный МАЧ на сходимость, обусловленность и помехоустойчивость;

4) применить критерий, используемый в МАЧ, для формирования обобщенных матриц Гильберта;

5) использовать МАЧ для решения прикладных задач.

Методы исследований. Для решения поставленных научных задач использовались элементы математического анализа, методы решения ОДУ, численные методы, методы функционального анализа и методы системного программирования.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1) МАЧ, позволяющий:

• оценить неизвестные параметры ОДУ;

• получить решение и производную решения ОДУ с заданной точностью описывающие экспериментальные данные и производную, вычисленную по этим данным;

• получить более устойчивую к ошибкам систему линейных алгебраических уравнений, которая формируется в результате подстройки неизвестных параметров, и лучше обусловленную матрицу, которая возникает при этом;

2) программный комплекс, реализующий МАЧ и позволяющий:

• производить оценку неизвестных параметров ОДУ;

• строить графики и выводить значения погрешностей аппроксимации функции и ее производной;

• проводить исследования нового алгоритма на скорость сходимости и точность аппроксимации экспериментальных данных и производной в зависимости от выбора значений начальных условий, начальных приближений неизвестных параметров и значения весового коэффициента, варьируя который придавать больший вес одной из двух составляющих метрики, используемой в МАЧ;

3) алгоритм для формирования обобщенных матриц Гильберта, являющихся лучше обусловленными, по сравнению с обычными матрицами Гильберта;

4) применение МАЧ для оценки плотности распределения дефектных центров, определяющих примесное поглощение света по энергии их ионизации;

5) применения МАЧ к обработке экспериментальных данных процессов калориметрии и тепловлажностной обработке железобетонных изделий, а также для уменьшения погрешности, обусловливаемой нелинейностью выходной характеристики тензопреобразователей давления, позволяющие снизить затраты в производстве.

Практическая ценность работы. В ходе проведенного исследования разработаны структура, математическое, информационное и программное обеспечение МАЧ.

Полученные результаты диссертационной работы можно рекомендовать для изучения динамики многомерных объектов с целью оптимального управления ими. Результаты следует применять там, где необходимо аппроксимировать не только экспериментальные данные, но и первую производную, а также при решении следующих задач:

1) выбор экономически эффективных систем управления реальными объектами;

2) получение реальных динамических параметров самолетов, кораблей и др. объектов;

3) расчет оптимальных значений параметров различных устройств, например, радиотехнических устройств, форма выходной переменной которых должна иметь минимальное отклонение от заданной;

4) изучение математических моделей трансформации прошедших через какую-либо среду или отраженных от ее поверхности сигналов;

5) исследование функционального состояния органов и систем человека и животных в медицине, биологии и физиологии.

Реализации и внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы успешно реализованы и получены следующие разработки:

1. Методика применения МАЧ с целью нахождения плотности распределения дефектных центров по энергии ионизации в кристалле титаната висмута использована на кафедре электронных приборов факультета электронной техники ТУСУРа.

2. Программный модуль, в основе которого лежит МАЧ, автоматизации калориметрического процесса установлен на ОАО «Западно-Сибирский Испытательный Центр» г. Прокопьевска Кемеровской области. Данный модуль позволяет значительно сократить по времени весь анализ пробы угля.

3. Методика аппроксимации выходной характеристики тензорезисторного преобразователя давления с использованием МАЧ внедрена на ОАО «Манотомь» г. Томска. Методика позволяет уменьшить погрешность в тензорезисторном сенсоре давления, обусловливаемой нелинейностью выходной характеристики.

4. Программное обеспечение, выполненное в виде программного модуля на языке С++, в основе которого лежит МАЧ, внедрено на ОАО

Железобетонные конструкции № 100» г. Томска. Данная разработка позволяет аппроксимировать и отслеживать процесс затвердевания железобетонных конструкций в пропарочной камере, строить математическую модель данного процесса, прогнозировать его исход во время тепловлажностной обработки железобетонных конструкций.

5. Руководство к лабораторной работе и программное обеспечение с применением МАЧ внедрено на кафедре информационно-измерительной техники факультета вычислительных систем ТУСУРа для студентов, обучающихся по специальности 220301 - Автоматизация технологических процессов и производств, по дисциплине «Моделирование систем». Руководство и программа позволяют ознакомиться с данным алгоритмом и провести его экспериментальное исследование.

6. Программная реализация МАЧ, выполненная в системе программирования С++Вш1с1ег, позволяющая проводить исследования алгоритма на скорость сходимости и точность аппроксимации экспериментальных данных и производной для различных ОДУ.

Во всех случаях результаты прошли экспертную проверку и признаны полезными.

Основные научные положения, выносимые на защиту. К основным научным положениям, выносимым на защиту, относятся:

1) МАЧ, позволяющий оценить неизвестные параметры ОДУ произвольного ограниченного порядка;

2) программный комплекс, реализующий МАЧ и позволяющий находить решение и производную, описывающие с заданной точностью экспериментальные данные и производную, вычисленную по этим данным, соответственно;

3) оценка для плотности распределения дефектных центров, определяющих примесное поглощение по энергии их ионизации, построенная на основе эмпирической гладкой функции спектральной зависимости примесного поглощения света в кристалле титаната висмута и ее производной, полученных на основе МАЧ;

4) модификация матриц Гильберта и оценка чисел их обусловленности.

Апробация результатов диссертации. Научные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международных научно-практических конференциях «Современные техника и технологии» (Томск, 2004, 2005); Всероссийских научно-практических конференциях «Электронные средства и системы управления» (Томск, 2003, 2004); Региональных научно-технических конференциях «Научная сессия ТУСУР» (Томск, 2003,2004).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликованы 19 печатных работ: 1 статья в журнале, рекомендованном ВАК; 7 депонированных в ВИНИТИ рукописей; 2 зарегистрированные разработки в отраслевом фонде алгоритмов и программ; 9 публикаций в рецензируемых сборниках трудов конференций, из них 1 публикация была представлена на английском языке.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертационная работа состоит из вводной части, четырех глав, каждая из которой содержит введение и заключение, заключительной части, списка литературы, включающего 151 наименований, и 3-х приложений. Материал изложен на 172 страницах.

Основные результаты настоящей диссертационной работы сводятся к следующему:

1. Дано общее представление ТЧ, а также ФЧ, которые играют одну из ключевых ролей в данной теории. Рассмотрены задачи и методы ТЧ.

2. Обсуждены некоторые вопросы, связанные с САЧ: причины создания и применение. Приведен ряд работ, в которых с успехом был применен САЧ. На основании обзора литературы выяснено, что за все время существования этого алгоритма было предложено несколько его модификаций. Рассмотренные источники литературы позволяют заключить, что САЧ используется для широкого класса задач у нас в стране и за рубежом до настоящего момента.

3. Показано, что САЧ является эффективным методом для оценивания порядка и неизвестных параметров ОДУ.

4. На основании САЧ предложена его модификация и для нее построена итерационная процедура. Отличие нового алгоритма заключается в том, что метрика, которая используется в нем, позволяет учитывать не только расстояние между экспериментальными данными и решением ОДУ, но и разность между производной, вычисленной по этим данным, и производной решения уравнения. Данный алгоритм позволяет влиять на точность аппроксимации как экспериментальных данных, так и производной.

5. МАЧ позволяет оценить неизвестные параметры дифференциального уравнения таким образом, что его решение и производная решения адекватно описывают экспериментальные данные и производную, вычисленную по этим данным, соответственно.

6. На примерах показана хорошая сходимость и скорость сходимости полученного алгоритма.

7. Использование МАЧ приводит к тому, что система линейных алгебраических уравнений, которая получается в результате подстройки неизвестных параметров ОДУ, становится более устойчива к ошибкам; матрица данной системы становится лучше обусловленной.

8. САЧ является частным случаем его модификации, т. к. при р=1 модифицированный алгоритм превращается в стандартный.

9. Получены формулы для обобщенных матриц Гильберта. Оказалось, что эти матрицы лучше обусловлены и более помехоустойчивы, по сравнению с обычными матрицами Гильберта.

Полученные в диссертации результаты автор рекомендует применять при решении широкого круга задач идентификации динамических процессов. Алгоритм чувствительности и предложенная его модификация с методами статистической обработки данных позволит осуществить новые научные исследования в различных областях наук. Изложенные результаты представляют интерес для специалистов, занимающихся проблемами математического моделирования реальных объектов, процессов, явлений и т. д. и, прежде всего, для тех из них, кто в качестве математических моделей исследуемых или управляемых объектов использует различные классы дифференциальных уравнений.

Заключение

1. Алейников А.Ф., Гридчин В.А., Цапенко М.П. Датчики (перспективные направления развития): Учеб. пособие / Под ред. проф. М.П. Цапенко. -Новосибирск: Издательство НГТУ, 2001. 176 с.

2. АльтшульАД. Гидравлические сопротивления. 2-ое изд., перераб. и доп. -М.: Издательство «Медра», 1982. 224 с.

3. Аммосов И.И., Еремин И.В., Бабинкова H.H. и др. Петрографические особенности и свойства углей. М.: Изд. АН СССР, 1963. - 380 с.

4. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М.: Физматгиз, 1963.-130 с.

5. Арбачаускене #., Балтрунас И., Немура А. и др. Идентификация динамических систем. Вильнюс: Издательство «Минтис», 1974. - 312 с.

6. Арцер A.C., Протасов С.И. Угли Кузбасса: происхождение, качество, использование. В двух книгах. Кемерово: Изд-во Кузбас. гос. техн. ун-та, 1999. -336 с.

7. Аш Ж., Андре П., Боффон Ж. и др. Датчики измерительных систем: Т. 2. -М.: Мир, 1992.-442 с.

8. Вальян Р.Х. Трансформаторы для радиоэлектроники. М.: Издательство «Советское радио», 1971. - 720 с.

9. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. -М.: Мир, 1968.-320 с.

10. Воде Г. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью. Издательство иностр. лит., 1948. 112 с.

11. Бударель Р., Дельмас Дж., АнриДж. и др. Применение алгоритма Гаусса -Ньютона к задаче оптимизации и идентификации // Управление в космосе.-М.: Наука, 1972.-Т. 1.-С. 135-154.

12. Бурков В.И., Егорышева A.B., Каргин Ю.Ф. Оптические и хиротропические свойства кристаллов со структурой силленита (обзор) // Кристаллография. 2001. Т. 46. - № 2. - С. 356 - 380.

13. Математический анализ в вопросах и задачах: Учебное пособие для вузов / В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Г.Н. Медведев, A.A. Шишкину Под ред. В.Ф. Бутузова. 3-е изд., испр. - М.: Физико-математическая литература, 2000. -479 с.

14. Быховский M.JI. Основы динамической точности электрических цепей. Издательство АН СССР, 1958. 213 с.

15. Быховский M.JI. Чувствительность и динамическая точность систем управления // Известия АН СССР / Техническая кибернетика. 1964. -№6.-С. 38-43.

16. Быховский M.JI. Чувствительность динамических систем // Теория и методы математического моделирования: Труды 4 Всесоюзной конференции. Издательство «Наука», 1966. С. 56-58.

17. Бычков ВВ. Микропроцессорные измерители давления ОАО «Манотомь» // Проблемы современной радиоэлектроники и систем управления: Сборник трудов всероссийской научно-практической конференции. -Томск, 2002. 144 с.

18. Бычков В В., Пронин A.C., Свинолупов Ю. Г. идр Исследование некоторых классов функций для аппроксимации выходной характеристики тензопреобразователей давления. // Приборы. 2005. - № 9. - С. 45 - 67.

19. Ваганов В.И. Интегральные тензопреобразователи. М.: Энергоиздат, 1983.-137 с.

20. Гавурин М.К., Фарфоровская Ю.Б. Об одном итеративном методе разыскания минимума суммы квадратов // Вычислительная математика и математика физики. 1966. - № 6. - С. 1094 - 1097.

21. Гершберг O.A. Исследование особенностей процесса разогрева бетонных смесей паром и последующего ускорения твердения бетона // Труды ВНИИ Железобетона. -1972. Вып. 19. - С. 21 - 25.

22. Гехер К. Теория чувствительности и допусков электронных цепей. М.: Сов. радио, 1973. - 245 с.

23. Городецкий В.И., Юсупов P.M. Метод последовательной оптимизации в задачах идентификации // Изв. АН СССР / Техническая кибернетика. -1972.-№3.-С. 72-79.

24. Городецкий В.И., Захарин Ф.М Розенвассер E.H. и др. Методы теории чувствительности в автоматическом управлении. Ленинград: Энергия, 1971.- 179 с.

25. Городецкий В.И, Юсупов P.M. Методы оптимизации // Изв. АН СССР / Техническая кибернетика, 1973. - № 2. - С. 79 - 86.

26. Горский В.Г., Бродский В.З. Симплексный метод планирования экстремальных экспериментов // Заводская лаборатория. 1965. - № 7. -С. 132-139.

27. Гумнова И.И., Золотарев В.А., Новиков В.Н. Многофункциональный микропроцессорный преобразователь // Радиотехник. 1995. - № 10. -С. 34-40.

28. Гусев В.П., Рубан A.M. Идентификация линейных динамических объектов на основе алгоритма чувствительности // Системы управления. 1975. -320 с.

29. Демин Н.С., Решетникова Г.Н., Семенов М.Е. Решение задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем методами Рунге-Кутты и Эйлера. Учебное пособие. Томск: Издательство Томского университета, 1999. - 27 с.

30. Егорышева A.B. Край поглощения кристаллов Bi12Mx02o±£ (М = Zn, В, Ga, Р, V, А1,Р., [Ga,P], [Fe,P], [Zn,V]) со структурой силленита // Неорган, химия. 2005. - Т. 50. - № 3. - С. 1 - 6.

31. Елисеев А.П., Надолинный В.А., Гусев В.А. Вакансионные центры в монокристаллах Bi.2R02o (R = Si, Ti, Ge) // Структ. химия. 1982. - Т. 23. -№ 3. - С. 181-182.

32. Еремин ИВ., Арцер A.C., Броновец Т.М. Петрология и химико-технологические параметры углей Кузбасса. Кемерово, 2001. - 399 с.

33. Еремин КВ., Лебедев В.В., Цикарев Д.А. Петрография и физические свойства углей. М.: Недра, 1980. - 263 с.

34. Ермаченко А.И, Юсупов P.M. Применение функций чувствительности в задачах синтеза линейных многосвязных систем управления // Изв. АН СССР / Техническая кибернетика. 1976. - № 2. - С. 67 - 70.

35. Живоглядов В.П., Каипов В.Х. О применении метода стохастических аппроксимаций в проблеме идентификации // Автоматика и телемеханика. 1966. - № 10.-С. 67-70.

36. Живоглядов В.П., Каипов В.Х. Оценка величины чистого запаздывания и параметров распределенных объектов при наличии помех. // Идентификация и аппаратура для статистических исследований. 1970. -С. 50-55.

37. Зегжда А.П. Гидравлические потери на трение в каналах и трубопроводах.- JI.-M.: Гос. издательство литер, по строит и архитект., 1957. 280 с.

38. Зимин В.Н., Данилова В.В., Панков В.В. и др. Датчики и системы. М.: Наука, 1999. -152 с.

39. Зоркалъцев В.И. Метод наименьших квадратов. Новосибирск: ВО "Наука", 1995.-220 с.

40. Избаш C.B. Основы гидравлики. М.: Гос. издательство по строит, и архитект., 1952.-426 с.

41. Ицковж Э.Л. Современные интеллектуальные датчики общепромышленного назначения, их особенности и достоинства // Датчики и системы. 2002. - № 2. - С. 121 -130.

42. Калоусек Д. Гидротермальная обработка бетона при высоком давлении. // Пятый международный конгресс по химии цемента. М.: Стройиздат, 1973. -160 с.

43. Калман Р. Когда линейная система управления является оптимальной // Теоретические основы инженерных расчетов: Труды американского общества инженеров-химиков. 1964. - № 1. - С. 89 - 93.

44. Козлов ЮМ, Юсупов P.M. Беспоисковые самонастраивающиеся системы. М.: Наука, 1969. - 211 с.

45. Кокотович П.В., Рутман P.C. Чувствительность систем автоматического управления // Автоматика и телемеханика. 1965. - Т. 26. - № 4. - С. 85 -87.

46. Кокотович П. В. Метод точек чувствительности в исследовании и оптимизации линейных систем управления // Автоматика и телемеханика.- 1964. Т. 25.-№ 12.-С. 79-83.

47. Кокотович П.В., Рутман P.C. Матрица чувствительности и ее моделирование // Автоматика и телемеханика. 1966. - Т. 27. - № 6. -С. 93 - 97.

48. Костров В.П., Пипин В.И., Рудницкий В.И. Погрешность линеаризации характеристик измерительных преобразователей // Электротехника. 2001. - №6. - С. 67-70.

49. Крутько П.Д. Алгоритмическая процедура решения задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов // Автоматика и телемеханика. -1973. -№ 10.-С. 104-108.

50. Крылов В.И. Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы высшей математики. Минск: Издательство «Вышэйшая школа», 1972. -584 с.

51. Кухтенков Л.П., Рубан A.M. Сопряженные уравнения в задачах идентификации динамических объектов, описываемых уравнениями с запаздывающим аргументом // Системы управления 1975. - № 3. - С. 98 -100.

52. Малинина JI.A. Тепловлажностная обработка тяжелого бетона. М.: Стройиздат, 1977.- 158 с.

53. Малиновский В.К, Гудаев О.А., Гусев В.А. и др. Фотоиндуцированные явления в силленитах. Новосибирск: Наука, 1990. - 160 с.

54. Мандель А.Е., Плесовских A.M., Шандаров С.М. и др. Фотоиндуцированное поглощение в кристаллах титаната висмута для узкополосного светового излучения // Изв. вузов. Физика. 2003. - № 12. - С. 48 - 54.

55. Миронов С.А., Малинина JI.A. Ускорение твердения бетона. М.: Стройиздат, 1964. - 97 с.

56. Моин B.C. Стабилизированные транзисторные преобразователи. М.: Энергоатомиздат, 1986.-376 с.

57. Немура А.А. Исследование некоторых статистических задач идентификации динамических систем: Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук. Рига, 1973. - 32 с.

58. Никурадзе И. Закономерности турбулентного движения жидкостей в гладких трубах // Проблемы турбулентности / Под ред. М.А. Великанова и Н.Т. Швейковского. M.-JL: Объед. науч.-техн. изд-во НКТП СССР, 1936. - С. 75 - 150.

59. Новицкий П.В., Зограф И. А. Оценка погрешностей результатов измерений. Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. Отд-ние, 1985. - 248 е., ил.

60. Островский Г.М., Волин Ю.М. Методы оптимизации химических реакторов. М.: Химия, 1967. - 112 с.

61. Пагурек Б. Чувствительность оптимальных систем регулирования к изменениям параметров объекта // Чувствительность автоматических систем. Издательство «Наука», 1968. - С. 209 - 216.

62. Панков Ж. Оптические процессы в полупроводниках. М.: Мир, 1973. -456 с.

63. Патрашев A.M. Гидромеханика. М.: Военно-морское издательство военно-морского министерства СССР, 1953. - 720 с.

64. Петров Б.Н., Крутько ПД. Применение теории чувствительности в задачах автоматического управления // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика. -1970. №2. - С. 134 - 140.

65. Пихтин А.Н. Оптическая и квантовая электроника: Учебник для вузов. -М.: Высш. шк., 2001.-573 с.

66. Поляков O.A., Усиевич H.A. О сравнительной эффективности методов оценки параметров в задаче идентификации // Статистические методы в процессах управления: 3 Всес. совещ., сентябрь 1973. М., 1973. - С. 103 -105.

67. Пономарев К.К. Составление и решение дифференциальных уравнений инженерно-технических задач: Пособие для физ.-матем. пед. ин-тов. М.: Издательство «Учпедгиз», 1962. - 184 с.

68. Пономарев K.K Составление дифференциальных уравнений. Минск: Издательство «Вышэйшая школа», 1973. - 500 с.

69. Преображенский В.П., Иванова Г.М, Стучебников В.М. // Приборы и системы управления. 1974. - № 8. - С. 36 - 38.

70. Пронин A.C., Светлаков A.A. Применение алгоритма чувствительности в построении профиля скоростей движения жидкости в круглом трубопроводе. Томск, 2003. 20 с. - Деп. в ВИНИТИ 09.02.2004, № 213-В2004.

71. Пронин A.C., Светлаков A.A. Программная реализация алгоритма чувствительности. М., 2003. Зарег. в Отраслевом фонде алгоритмов и программ 15 декабря 2003, № 50200301004.

72. Пронин A.C. Исследование зависимости хода мембраны, используемой при сборке датчика давления MC 2000, от давления. // Научная сессия ТУСУР: Всероссийская научно-техническая конференция, 18-20 мая 2004. -Томск, 2004. Ч. II. - С. 185 - 188.

73. Пронин A.C., Светлаков A.A. Новый алгоритм чувствительности. М., 2004. Зарег. в Отраслевом фонде алгоритмов и программ 27 сентября 2004, №50200401151.

74. Пронин А.С, Светлаков A.A. Построение математической модели процесса тепловлажностной обработки железобетонных изделий с применением алгоритма чувствительности. Томск, 2005. 25 с. - Деп. в ВИНИТИ 19.05.2005, №717-В2005.

75. Пронин A.C. Модернизация алгоритма чувствительности. // Современная техника и технологии: XI Международная научно-практическаяконференция студентов, аспирантов и молодых ученых, 28 марта 1 апреля 2005. - Томск, 2005. - Т. 2. - С. 195 - 196.

76. Пронин А.С, Светланов А А. Обобщенные матрицы Гильберта и их обусловленность. Томск, 2006. 26 с. - Деп. в ВИНИТИ 03.05.2006, № 590-В2006.

77. Пронин A.C., Светланов A.A. Обусловленность матриц и помехоустойчивость в модифицированном алгоритме чувствительности. Томск, 2006. 32 с. - Деп. в ВИНИТИ 03.05.2006, № 592-В2006.

78. Пронин A.C. Модификация алгоритма чувствительности и исследование его сходимости. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники. Томск, 2006. 28 с. - Деп. в ВИНИТИ 03.05.2006, № 591-В2006.

79. Райбман Н.С. Что такое идентификация? М.: Наука, 1971. - 210 с.

80. Решетникова Г.Н., Хлебников А.А, Арцер П.А. и др. MathCAD PLUS 6.0 PRO: Учебное пособие / Под редакцией к.т.н., доцента Г.Н. Решетниковой. Томск: Изд-во ТГУ, 2000. - 140с.

81. Роговенко В.М. Интенсификация тепловой обработки бетона за счет совершенствования пароразогрева бетонных смесей: Автореф. дис. канд. техн. наук. Днепропетровск, 1975. - 20 с.

82. Розенблат МА. Микротроника новое направление развития датчиков и исполнительных устройств // Приборы и системы управления. - 1996. -№ 12.-С. 49-57.

83. Розенвассер E.H. Об исследовании чувствительности неавтономных колебательных систем по отношению к частоте возбуждения // Автоматика и телемеханика. -1980. № 00. - С. 100 - 102.

84. Высокочастотные транзисторные преобразователи / Э.М. Ромаш, ЮИ Драбович, H.H. Юрченко, П.Н. Шевченко. М.: Радио и связь, 1988. 288 с.

85. Рубан А.И. Применение алгоритма чувствительности при решении нелинейных краевых задач // Теория инвариантности и теория чувствительности в автоматическом управлении. Киев, 1971. - ч. III. -С. 491-501.

86. Рубан А.И. Сходимость двух алгоритмов метода линеаризации // Труды СФТИ. Томск, 1973. - вып. 64. - С. 56 - 71.

87. Рубан А.И. Применение алгоритма чувствительности при решении нелинейных краевых задач // Теория инвариантности и теория чувствительности в автоматическом управлении. Киев, 1971. - ч. III. -С. 491-501.

88. Рубан А.И. Идентификация распределенных динамических объектов на основе алгоритма чувствительности // Изв. АН СССР / Техническая кибернетика. Киев, 1971. - № 6. - С. 191 - 196.

89. Рубан А.И. Идентификация химических реакторов на основе использования метода линеаризации // Моделирование химических процессов и реакторов. 1972. - т. 4. - ч. I. - С. 92 - 106.

90. Рубан А.И. Идентификация дискретных динамических систем на основе использования метода линеаризации // Автоматика и вычислительная техника. -1972. № 6. - С. 98 - 100.

91. Рубан А.И. Некоторые вопросы математического описания динамических объектов: Кандидатская диссертация. Томск. 1969. - 234 с.

92. Светланов А.А. Обобщенные обратные матрицы: некоторые вопросы теории и применения в задачах автоматизации управления процессами. -Томск: Изд-во НТЛ, 2003. 388 с.

93. Соколов О.Н., Силин И.Н. Нахождение минимумов функционалов методом линеаризации / Объединенный институт ядерных исследований. -Препринт, Д-810,1961. 57 с.

94. Cnudu К, Браун Р., Гудвин Дж. Теория управления. М.: Мир, 1973. -201 с.

95. Томович Р., Вукобратович М. Общая теория чувствительности. М: Издательство «Советское радио», 1972. - 240 с.

96. Уханов Ю.И. Оптические свойства полупроводников. М.: Наука, 1977.-366 с.

97. Фаддеев Д.К., Фаддеева В Н Вычислительные методы линейной алгебры. М. - Л.: ГФ-МЛ, 1963. - 754 с.

98. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969. - 167 с.

99. Цветков B.B. Тепловая обработка изделий на заводах сборного железобетона. К.: Буд1вельник, 1978. - 109 с.

100. Шкловский Б.И., Эфрос A.JI. Электронные свойства легированных полупроводников. М.: Наука, 1979. - 416 с.

101. Элъсголъц Л.Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебник для вузов / Л.Э. Эльсгольц. СПб.: Лань, 2002. - 218 с.114 .Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Издательство «Мир», 1975. - 683 с.

102. Юсупов P.M., Захарин Ф.М. Методы теории чувствительности в задачах идентификации динамических систем // Теория и применение адаптивных систем.-1971. С. 145-158.

103. Юсупов P.M., Остов ЮЯ. Решение задачи наблюдения и идентификации возмущающих воздействий методом инверсной чувствительности // Вопросы кибернетики / Адаптивные системы. 1971. - С. 175 - 186.

104. Baird С.A. Modified quasilization technique for the solution of boundary -value problems for ordinary differential equations 11 Optimization theory appl. -1969. vol. 3. - № 4. - P. 78 - 80.

105. Bedienungsanleitung: IKA Kalorimeter system C4000A adiabatisch // IKA -Analysentechnik. -1989. - 52 p.

106. Brown R.F., Goodwin G.C. Hybrid method of state and parameter estimation for use in gradient techniques 11 Electronics letters. December 1967. - № 12. - P. 45-48.

107. Ciric V., Leeds J.V. Sensitivity Consideration of Multiple Input Compensator Design for Dynamic Optimization 11 Circuits and Theory: Proc. Of 6-th Allerton Conf. University of Illinois, Urbana, Illinois, 1968. - P. 123 - 125.

108. YlX.Ciric V, Leeds J.V. Design of Minimum Sensitivity Control Systems // Joint Automatic Control Conference. Boulder, Colorado, 1968. - P. 67 - 69.

109. Ciric V. Design of Minimum Sensitivity Control Systems: Ph. D. Thesis. Rice University, Houston, Texas, 1969. - 20 p.

110. Choi K.K., Haug EJ. Shape design sensitivity analysis of elastic structures. Structural Mechanics. 1983. - P. 231 - 269.

111. Choi K.K., SeongH.G. Domain method for shape design sensitivity analysis of built-up structures // Computer methods in applied mechanics and engineering. -1986.-№4.-P. 1-15.

112. Dems K, Mroz Z. Variational approach by means of adjoint systems to structural optimization and sensitivity analysis // Solids and structures. 1984. - № 20. -P. 527-552.

113. Dorato P. On Sensitivity in Optimal Control Systems // Automatic Control: IEEE Trans, July 1963. vol. AC-8 - 1963. - P. 43 - 45.

114. Fairman F.W., Shen D.W.C. Parameter identification for a class of distributed systems I I Int. J. Control. 1970. - vol. 11. - No. 6. - P. 78 - 80.

115. Goodwin G.C. The application of curvature methods to parameter and state estimation // Proc. HE. 1969. - № 6. -116 p.

116. Klein V., Williams D.A. On some problems related to the identification of aircraft parameters // Identification and system Parameter Estimation: Proc. Of the 3rd IFAC Symposium, 12 15 June 1973. - p. 1. - P. 435 - 444.

117. Kokotovic P., Cruz JB Jr., Heller J.E. and oth. Synthesis of Optimally Sensitive Systems // Proc. IEEE. 1968. - vol. 56. - № 8. - P. 78 - 80.

118. Kumar K.SP., Sridhar R. On the identification of control systems by the quasi-linearization method // IEEE on Automatic Control. 1964. - vol. AC-9. - № 2. -P. 89-95.

119. Y55.Lavi A., Strauss J.C. Parameter identification in continuous dynamic systems // IEEE International Convention Record. 1965. - p. 6. - P. 90 - 92.

120. Yil.Medler Ch.L., Hsu Chih-Chi. An algorithm for nonlinear parameter identification // IEEE Trans. Aut. Cont. 1969. - v. 14. - № 6. - P. 69 - 73.

121. Mehra R.K., Tyler J.S. Case studies in aircraft parameter identification //Identification and System Parameter Estimation: Proc. of the 3-rd IFAC Symp., 1973. The Netherlands, 1973. - p. 1. - P. 201 - 213.

122. Park C.W., YooY.M., Kwon K.H. Shape design sensitivity analysis of an axisymmetric turbine disk using the boundary element method // Computers and structures. 1989. - № 33. - P. 7 - 16.

123. Pearson J.B. Compensator Design for Dynamic Optimization // International Journal of Control. -1969. vol. 9. - № 4. - P. 157 - 160.

124. Rodenas J.J., Fuenmayor F.J. Tarancon J.E. A numerical methodology to access the quality of the design velocity field computation methods in shape sensitivity analysis // Numerical methods in engineering. 2004. - № 59. - P. 1725 -1747.

125. A5.Rohrer R.A., Sobrar M. Sensitivity Considerations in Optimal System Design. // IEEE Trans. 1965. - vol. AC-10. - P. 265 - 270.

126. Rousselet B., Haug E J. Design sensitivity of shape variation // Optimization of distributed parameter structures. The Netherlands, 1981. - P. 1397 - 1442.

127. Ul.Sobral M. Sensitivity in Optimal Systems // Proc. IEEE. 1968. - vol. 56. - № 10. - P. 124 - 130.

128. Szopa R. Sensitivity analysis of soldification with respect to grains shape // Computational methods in applied sciences and engineering: Europen Congress, 24 28 July 2004. - Poland, 2004. - P. 175 - 195.

129. Tomovic R. Sensitivity analysis of dynamic systems. Belgrade, 1963. - 314 p.

130. Yang R.J., Botkin M.E. Accuracy of the domain material derivative approach to shape design sensitivities // AIAA. 1987. - № 25. - P. 1606 - 1610.

131. Yang R.J., Choi K.K. Accuracy of finite element based shape design sensitivity analysis // Structural Mechanics. 1985. - № 13. - P. 223 - 239.161