автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модернизация полустатистического метода численного решения интегральных уравнений

/О"""

На правах рукописи

БЕРКОВСКИЙ Николай Андреевич

0030БТ320

модернизация полустатистического метода численного решения интегральных уравнений

Специальность: 05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2006

003067320

Работа выполнена на кафедре общей физики Института Международных Образовательных Программ Государственного образовательного учреждения Высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет»

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Д Г. Арсеньев

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А К Беляев кандидат физико-математических наук, А.А. Марданов

Ведущая организация - Институт проблем машиноведения РАН, г. Санкт-Петербург.

Защита диссертации состоится </-1 (^ООУрО/Щро ^^ года часов

на заседании диссертационного совета Д 212.229.13 ГОУ ВПО «СПбГПУ» по адресу: 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул , 29, корп 1, ауд. 41

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ГОУ ВПО «СПбГПУ».

Автореферат разослан года

/ченый секретарь диссертационного совета Д. 212.229.13

доктор биологических наук, профессор A.B. Зинковский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность.

Интегральные уравнения встречаются в различных областях фундаментальной науки и многочисленных приложениях (теории упругости, аэро- и гидродинамике, теории теплопроводности, электростатике, биомеханике, теории управления, теории массового обслуживания, экономике, медицине и др.) В прикладных задачах переход к решению интегральных уравнений вместо решения дифференциальных уравнений зачастую позволяет получать менее трудоемкие численные методы решения, требующие значительно меньше усилий при постановке на машину. Так. в свое время при решении задач теории упругости альтернативой методу конечных элементов явился метод граничных интегральных уравнений, который позволил вычислителям упростить процесс подготовки задач для расчета на ЭВМ, в частности, избавиться от необходимости разбивать на элементы весь объем рассчитываемого тела То же самое относится и к некоторым задачам теплопроводности и гидродинамики Эти обстоятельства, а также теоретическая значимость интегральных уравнений (например, с их помощью доказаны теоремы существования для краевых задач математической физики) вызвали большую работу по разработке численных методов решения интегральных уравнений Численные методы решения интегральных уравнений можно условно разделить на две категории детерминированные и статистические. Под детерминированными можно понимать методы решения интегральных уравнений, не использующие генерацию случайных чисел, а под статистическими-методы, использующие ее. Ввиду того, что статистические методы основаны на законе больших чисел, от них, на первый взгляд, неправомерно ожидать высокой скорости сходимости, так как выборочные средние сходятся к генеральному среднему со скоростью, обратно пропорциональной корню квадратному из размера выборки Процедуры интегрирования, лежащие в основе детерминированных методов (например, квадратурные формулы) имеют, вообще говоря, более высокую скорость сходимости, особенно при большой гладкости подынтегральной функции. Однако, детерминированным методам присущи следующие недостатки- а)большая трудоемкость, особенно в многомерном случае, и б)некоторая негибкость- сетка интегрирования или координатные функции задаются вычислителем заранее и уже не могут быть изменены в зависимости от информации, которую доставляют приближенные решения, получаемые данным методом на определенном шаге вычислительной процедуры. От этих двух недостатков свободны статистические

(адаптивно-стохастические) методы, которые сравнительно мало освещены в математической литературе. Привлекательность этих методов в том, что, меняя плотность распределения узлов случайной сетки интегрирования в зависимости от свойств приближенного решения, полученного на определенной стадии вычислительного процесса, можно автоматически оптимизировать сетку интегрирования Кроме того, переход ко многим измерениям, в отличие о г детерминированных методов, при адаптивно-стохастическом подходе не затруднен В настоящее время адаптивно-стохастические методы решения интегральных уравнений изучены значительно меньше, чем детерминированные. Следовательно, представляется актуальным исследование этих методов как в чисто математическом направлении (доказательство теорем сходимости), так и в прикладном аспекте (модернизация и приложения к практическим задачам). Данная диссертация посвящена всестороннему исследованию и совершенствованию одного из адаптивно-стохастических методов решения интегральных уравнений, именно, полустатистическому методу, разработанному в основном в 80-90 годах прошлого века учеными СПбГТУ Д.Г. Арсеньевым, В.М.Ивановым, О.Ю.Кульчицким, М Л Кореневским и успешно примененному к задачам теории упругости и теории вибропроводности Цель работы.

В ходе предшествовавшей написанию диссертации научной работы выяснилось, что при численном решении некоторых прикладных и тестовых вычислительных задач полустатистический метод, применяемый согласно схеме, описанной в первоисточниках, недостаточно эффективен. Кроме того, была слабо развита теоретическая база метода, сходимость в основных источниках доказывалась при чрезмерно жестких предположениях В этой ситуации логически определились следующие основные цели диссертационной работы

1) Модернизация полустатистического метода с целью повышения эффективности его применения к прикладным задачам. Разработка теоретических основ модернизации.

2) Строгое доказательство теорем сходимости для полустатистического метода

3) Успешное применение полученных модификаций полустатистического метода к задачам, представляющим трудность для первоначальной («классической») схемы метода.

4) Выявление класса задач, для которых полустатистический метод будет являться более эффективным, чем его детерминированные аналоги.

Во всех четырех направлениях в диссертации сделано существенное движение вперед, кроме того, рассмотрены некоторые смежные математические вопросы, возникшие по ходу исследовательской работы. Научная новизна.

На основе обширной вычислительной практики и теоретических исследований предложена модернизированная, в сравнении с первоначальными источниками, схема полустатистического метода Вычислительными экспериментами подтверждена эффективность модернизации. Разработана теоретическая база модернизации, доказаны соответствующие теоремы

Полустатистический метод применен к задачам математической физики, к которым он ранее не применялся (задача об обтекании плоской решетки газотурбинных профилей, стационарная задача теплопроводности) Выполнено сравнение с точными решениями или детерминированными аналогами, проанализированы адаптивные возможности метода, предложены новые формулы для оптимизации сетки интегрирования и построения приближенных решений.

Строго доказана сходимость полустатистического метода в пространстве непрерывных функций.

На основе вычислительной практики выдвинута гипотеза о классе задач, для которых адаптивно-стохастические методы, возможно, более эффективны, чем детерм и н ирован ные

Пересмотрены и уточнены математические вопросы, связанные с выводом интегральных уравнений для задачи обтекания гидродинамических решеток Практическая значимость работы

Полученные в работе результаты могут служить, с одной стороны, прикладным целям, именно, они могут быть полезны в задачах, решение которых приводит к необходимости численного решения интегральных уравнений, с др\гой стороны, теоретическую часть работы можно использовать для дальнейшего теоретического осмысления, развития и совершенствования адашивно-стохасгнчсских методов интегрирования.

Защищаемые положения

Основными результатами работы, выносимыми на защиту, являются следующие.

1) Проведено теоретическое исследование сходимости полустатистического метода в пространстве непрерывных функций. Доказаны леммы и теоремы о сходимости полустатистического метода в пространстве непрерывных функций. Доказательство сходимости представляет собой синтез идей функционального анализа и теоретико-вероятностных рассуждений. Все результаты по сходимости метода в пространстве непрерывных функций получены впервые.

2) На основе теоретических исследований проведена модернизация метода, заключающаяся в развитии первоначальной схемы, доказаны соответствующие теоремы. Теоретически прояснен вопрос об источниках погрешности полустатистического метода (смещение и вариация) и о том, когда модернизированная версия метода должна быть эффективнее «классической» схемы Модернизация, а также формулировка и доказательства связанных с ней теорем осуществлены впервые.

3) Вычислительными экспериментами подтверждена эффективность модернизации, найдены задачи, для которых с помощью модернизированного метода можно получить решения требуемой точности, а по первоначальной схеме-нельзя, в силу ограниченных возможностей современной вычислительной техники. На конкретных вычислительных примерах показана роль основных теоретических положений модернизации. По результатам обширных численных экспериментов выделен класс задач, в применении к которым полустатистический метод является более эффективным, чем детерминированные.

4) Рассмотрен новый, альтернативный основным источникам, подход к вопросу оптимизации метода Численными экспериментами подтверждена эффективность этого подхода

5) Осуществлено применение модернизированного полустатистического метода к задачам математической физики, на которых метод еще не апробировался (задача обтекания плоской решетки газотурбинных профилей и первая краевая стационарная задача теплопроводности). В случае задачи обтекания решетки обсчитывались реальные профиля, данные по которым взяты из расчетно-конструкторской практики. Везде проведено сравнение результатов с точными решениями или решениями, полученными при помощи детерминированных методов При численном решении задачи теплопроводности предложена эффективная формула

для расчета температуры, хорошо работающая как вблизи, так и вдали от границы тела. Строго доказаны непрерывные свойства ядра в задаче обтекания решетки 6) В процессе применения метода к задаче обтекания плоской решетки газотурбинных профилей строго исследована так называемая «обобщенная интегральная формула Коши», используемая в литературе, посвященной обтеканию гидродинамических решеток, но ни в каком из известных автору источников не доказанная строго. Рассмотрены математические вопросы, связанные с этой формулой, не поднимавшиеся, по-видимому, до настоящего диссертационного исследования. Апробация работы

По результатам проведенных исследований сделаны доклады на семинарах кафедр математики и общей физики ИМОП СПбГПУ. Работа обсуждена на совместном научном семинаре кафедры «Механика и процессы управления» (ФМФ) и кафедр общей физики, математики и информатики ИМОП под председательством заслуженного деятеля науки РФ проф. В.А. Пальмова. Публикации

По теме диссертации опубликовано 7 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы Диссертация содержит 129 страниц и 45 рисунков. Список литературы содержит 50 наименований.

Краткое содержание работы Во введении обоснован выбор темы диссертации, ее актуальность и значимость, проведен краткий обзор литературы по численным методам решения интегральных уравнений. Кратко описана структура диссертации.

В первой главе изложена первоначальная, не модернизированная схема полустатистического метода и доказана вероятностная сходимость этой схемы в

пространстве функций непрерывных на компакте, принадлежащем /? Л . Полустатистическим методом можно решать интегральные уравнения вида

ф( х)-\\К(х,уЫу)с1у = /(х), (1)

5

где 5-гладкая (от — 1) -мерная поверхность в Ят, х еБ , у <= 51 ,), ей, К -ядро уравнения, /"-известная функция, ф-неизвестная функция.

Коротко рассмотрим схему его применения в случае непрерывного ядра

а) При помощи генератора случайных чисел на поверхности 5 создается N независимых случайных точек (векторов) д:,, х2, . . ,ХХ с произвольной плотностью распределения р(х) («случайная сетка интегрирования»),

б)Эти точки по очереди подставляются в (1), получается N уравнений вида

ф(*,)-я, = /(*,), (/ = ÜV) (2)

S

в) Интегралы в (2) заменяются суммами методом Моте-Карло по cj)чанном выборке xt, Xj, . xN и возникает система линейных алгебраических уравнений

Здесь {ф(} (/ = 1, iV) - вектор неизвестных системы (3). Решив (3), ф( принимают за приближенные значения ф(х() соответственно Приближенное значение ф(х) Vx е S определяется «обратным ходом» по правилу

/(Ф/мДЕ^ттФ, (4)

/К*,)

Верхний индекс у функции фЛ (х) указывает на то, что это приближенное решение, полученное на выборке размером N. Чем больше N, тем точнее приближаются интегралы конечными суммами по методу Монте-Карло, следовательно, мы вправе рассчитывать на то, что, увеличивая N, мы сможем сделать погрешность приближений ф, из (3) и ф(х) из (4) столь малой, сколь потребует точность расчета Чтобы доказать вероятностную сходимость метода в непрерывной норме, следует показать, что при неограниченном увеличении N практически достоверно матрица системы (3) будет обратима, а приближенное

значение фЛ (х) из (4) будет отличаться от точного значения ф(х) по абсолютной величине бесконечно мало. Оказывается, что доказательство этого факта равносильно доказательству разрешимости функционального уравнения в пространстве непрерывных функций. Далее доказывается разрешимость указанного функционального уравнения, формулируются теоремы и следствия, в которых содержатся основные утверждения о сходимости метода Полученные теоремы используются при теоретическом обосновании модернизации метода

Доказательство представляет последовательность из 4 лемм Теорема сходимости

имеет следующий вид:

Теорема

Т Пусть ф* (х)-точное решение уравнения (1).

Тогда Уе > 0 \/ст > О ЗЫ' : V/1/ > N * с вероятностью большей, чем (1 - ст). система уравнений (3) будет разрешима, и для приближенного решения фЛ (х), построенного по формуле (4), будет выполняться неравенство Цф^ — ф*| < Е; или

тахфЛ,(х)-ф*(л:1 < е.Т

хеО I I

Следствие

Т \/о > О ЭЫ* : УЛГ > /V* с вероятностью большей, чем (1 - о), система уравнений (3) будет разрешима, а первые матричные нормы обратных матриц в

системах (3) (согласованные с кубической нормой в ЛЛ ) будут ограничены равномерно по А^. Т

Методика доказательства сходимости в какой-то степени является стандартным применением линейного функционального анализа к вычислительной математике, однако, вероятностная природа полустатистического метода внесла коррективы в ход доказательства.

Во второй главе, наиболее объемной, речь идет о модернизации полустатистического метода и приводятся результаты вычислительных экспериментов, подтверждающие эффективность модернизации Основная проблема, связанная с применением полустатистического метода, заключается в невозможности неограниченного увеличения числа узлов случайной сетки интегрирования. С целью преодоления этой проблемы в «классической» версии полустатистического метода разработан адаптивный алгоритм, осуществляющий приближенный выбор оптимальной плотности распределения узлов случайной сетки интегрирования. При оптимальном выборе плотности распределения узлов

интегрирования можно достичь требуемой точности при генерации меньшего числа узлов случайной сетки интегрирования, чем при генерации произвольной случайной сетки. Однако, по ходу вычислительной практики, выяснилось, что, даже при использовании адаптивного алгоритма, в ряде задач не удается достичь удовлетворительной точности вычислений с помощью первоначальной схемы полустатистического метода.

Идея модернизации состоит в следующем. При фиксированных N и хеХ рассмотрим случайную величину фЛ (х) из соотношения (4) Допустим, (рЛ (л:) имеет математическое ожидание и дисперсию. Тогда, усредняя Ь реализаций

N / \

случайной величины ф (х), мы получим приближенное значение

математического

ожидания Л/{ф Л (х)| Чем больше значение Ь, тем точнее приближение. Погрешность полустатистического метода |ф 4 (х) — ф*(х)| можно разложить на две составляющие: первая составляющая-смещение статистической оценки ф Д (х) относительно точного значения ф'(х), вторая составляющая-абсолютное отклонение отдельной реализации фЛ (л:) от Л/|фЛ (*)}, которое, в

среднем, тем больше, чем больше дисперсия ф * (х). Но, если от оценки N1 \

ф (х) переити к оценке

^ (5)

ь к=I

где |ф ^ (х)|к-реализация фЛ (х), полученная при А:-ой генерации N случайных точек (всего Ь реализаций) , то математическое ожидание новой оценки останется равным А/{<рЛ (х)}, а дисперсия уменьшится в Ь раз, согласно закону больших чисел Наряду с дисперсией при увеличении Ь буде стремиться к нулю вторая составляющая погрешности ф^(х) — ф*(х|, при этом программная

реализация вычислительного процесса не встречает никаких затруднений, так как число узлов случайной сетки не увеличивается. Требуется лишь циклически повторять одну и ту же вычислительную операцию при фиксированном числе N. После проведения достаточно большого количества итераций погрешность

|фЛ (х)- ф* (х)| будет практически равна первой составляющей

Отметим, что в вычислительной практике довольно часто

встречалась ситуация, когда «классический» полустатистический метод давал неудовлетворительные результаты именно по причине большой дисперсии оценки

фЛ(х), а не по причине большого смещения фЛ (х). В таких ситуациях

модернизация, бесспорно, эффективна Однако, математическое ожидание и

дисперсия фЛ (л) могут не существовать, и тогда усреднения по формуле (5) не ведут к цели Это препятствие преодолевается при помощи перехода о г случайных величин ф Х (.*■) к условным случайным величинам (рЛ (.г) | В, где Б-условие, заключающееся в том, что первая матричная норма обратной матрицы системы (3) находится в некотором допустимом диапазоне Верхнюю границу этого диапазона следует определять статистически по реализациям обратной матрицы системы (3). полученным на первых итерациях метода В итоге вместо оценки <р' '' (х) имеем статистическую оценку точного решения 1 1

Г^И V -/.-,« (б)

ь *=1

Для оценки (6) в непрерывном случае доказывается существование математического ожидания и дисперсии, кроме того, доказывается, что при неограниченном

увеличении N смещение оценки (6) относительно точного значения ф*(.г) стремится к нулю. Доказательства сходимости модернизированной схемы оформлены в виде леммы и трех теорем. Далее предлагается отличный от приведенного в первоисточниках механизм адаптивного алгоритма выбора плотности распределения случайной сетки интегрирования, приведено теоретическое обоснование этого алгоритма и указываются случаи, в которых он наверняка повышает качество вычислений.

Предлагаются два способа статистической оценки дисперсии приближенных решений, построенных по формуле (6). По статистическим оценкам дисперсии следует осуществлять контроль точности вычислений, то есть, если эти оценки достаточно малы, то дальнейшие вычисления при фиксированном N не имеют

смысла, вторая составляющая погрешности |ф ' — Ф

минимизирована. К сожалению, для оценки первой составляющей погрешносш

|д/|ф'"Л (л:)| /?}— ф (х| в общей ситуации ничего нельзя предложить, кроме

приемов, аналогичным применяемым в детерминированных методах, и основным способом минимизации смещения остается увеличение узлов случайной сетки интегрирования Приведены соответствующие рекомендации. В ряде случаев можно

варьировать условие В исключения «лишних» реализаций фЛ (х) из усредняющей суммы (6), этот прием может уменьшить смещение оценки ф ' В

В конце второй главы расположен большой параграф, посвященный результатам численных экспериментов, в начале которого подробно изложено, какие цели преследовал каждый отдельный численный эксперимент. Сравниваются результаты, полученные по «классической» и модернизированной схеме полустатистического метода и делается вывод об эффективности модернизации Изучается степень важности основных компонент модернизации, проводится проверка того, насколько развитая теория соответствует результатам вычислительных экспериментов. Анализируется эффективность работы адаптивного алгоритма, оптимизирующего случайную сетку интегрирования. Один из тестовых численных экспериментов демонстрирует ситуацию, в которой модернизированный полустатистический метод является более эффективным, чем метод механических квадратур, по итогам этого эксперимента выдвигается гипотеза о классе задач, наиболее «подходящих» для решения адаптивно-стохастическими методами. На примере задачи об обтекании плоской решетки газотурбинных профилей показывается необходимость введения условных статистических оценок (6) (случай разрывного ядра), еще одним численным экспериментом проиллюстрирована эффективность введения критерия «отсева» при непрерывных условиях. Результаты снабжены большим количеством подробных графиков и рисунков

В третьей главе изложено применение модернизированного полустатистического метода к задаче обтекания плоской решетки газотурбинных профилей

Рассмотрим плоскую решетку профилей с шагом ?, на которую под заданным углом входа (3, натекает потенциальный поток идеальной жидкости Этот поток вытекает из решетки под заданным углом выхода (32 . Требуется найти абсолютную величину нормированной скорости потока на обводе профилей.

Известно, что эту скорость можно найти из интегрального уравнения.

[Л

где нормированная скорость потока,

(7)

Ь{5) = _2. ^ - ^. ЫГВ,Н со^В,)) + - •

Здесь I-длина контура, *($), у(ь) -натуральная параметризация. К уравнению (7) применяется полустатистический метод, выписаны основные соо| ношения метда применительно к данной задаче Изложено описание кош ура кишки мбнческимн сплайнам« Вычислительные зкеперимешы проводились на ш\\ р.н 1нчны\ лопаточных профилях, данные по которым были взяты из расчетпо-конс1р\кюрскои пракшки, а также на тестовых профилях для лучшего уяснения ¡ависимости сходимости полустагистического метода от геометрии решетки Подтвердились интуитивные соображения о том, что сильно вытяну 1ые контуры хуже поддаются расчетам, чем более скругленные.

Результаты представлены в виде графиков и рисунков. Проанализирована работа адаптивного алгоритма, оптимизирующего случайную сетку интегрирования В конце главы помещена теоретическая часть, где исследуются математические вопросы, связанные с обобщением хорошо известной формулы Коши и! комплексного анализа на случай бесконечной периодической решетки профилей В последнем параграфе главы доказывается непрерывность ядра интегрального уравнения (7) в точках, не являющихся точками стыка звеньев сплайна

Четвертая глава посвящена применению модернизированною полустатистического метода к внутренней задаче Дирихле в трехмерном пространстве Хрестоматийным физическим проявлением этой задачи является стационарное уравнение теплопроводности (первая краевая задача) Внутренняя

задача Дирихле в ограниченной области V е 7?3 состоит в нахождении такой функции и(х). которая в V удовлетворяет уравнению Лапласа'

Известно, что функцию V(х), удовлетворяющую (8) и (9), можно представить в виде интеграла от параметра (потенциал двойного слоя)

(8)

а на границе 5-граничному условию.

1/|4 = г(*).

(9)

(Ю)

и что функция ф, стоящая под знаком интеграла, находится из интегрального уравнения

Уравнение (11) можно решить полустатистическим методом, затем, по найденной ф(.т) из (10), найти приближенное значение U(х) Vx 6 V В соответствии с общей схемой метода проведена регуляризация интегрального уравнения, соответствующего данной задаче, приведены тестовые вычислительные примеры. Предложена новая относительно первоисточников формула для расчета температуры, которая эффективна как вдалеке, так и вблизи границы рассматриваемой трехмерной области. В одном из тестовых примеров проведено сравнение с точным решением, другой тестовый пример исследует эффективность адаптивного алгоритма, оптимизирующего случайную сетку итерирования и апеллирует к физическим свойствам точного решения.

В заключении кратко перечислены основные результаты работы, выносимые на защиту.

Синеок работ, опубликованных по теме диссертации.

1 Лрсеньев, Д.Г. Применение полустатистического метода к решению внутренней задачи Дирихле в трехмерном пространстве / Арсеньев Д Г., Иванов В М., Берковский Н.А // Научно-технические ведомости СПбГТУ - 2004 - № 4 (38) - С. 52-59

2 Арсеньев, Д.Г. Исследование сходимости полустатистического метода в пространстве непрерывных функций на компакте / Арсеньев Д Г , Иванов В М , Берковский H.A. // Труды СПбГТУ Сер. Вычислительная математика и механика №498.- СПб.-С. 17-29.

3. Арсеньев, Д.Г. Модернизация полустатистического метода / Арсеньев Д Г.. Иванов В М., Берковский H.A. // Труды СПбГТУ. Сер. Вычислительная математика и механика № 498 - СПб. - С 29-57.

4. Арсеньев, Д.Г. Применение полустатистнческого метода к задаче обтекания плоской решетки профилей / Арсеньев Д Г., Иванов В.М., Берковский НА // Труды СПбГТУ. Сер Вычислительная математика и механика № 498 - СПб - С 57-73.

(И)

5 Арсеньев, Д.Г. Решение задачи потенциального обтекания решетки газотурбинных профилей полустатистическим методом / Арсеньев Д Г, Берковский Н А. // Материалы Всероссийской межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов 29 ноября-4 декабря 2004 года Часть 9 - С 73 -75

6. Берковский, H.A. Модификация обобщенной формулы Коши для обтекания решетки профилей / Берковский H.A. // Материалы Всероссийской межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов 28 ноября-3 декабря 2005 года Часть 9. - С 54-55.

7. Arsenjev, D.G. Applying semi-statistic Method to the problem of Streamline over a flat grid of profiles. / Arsenjev D G , Ivanov V.M , Berkovsky N A. // Simulation 2005 Proceedings of the 5"' St Petersburg Workshop on Simulation. St-Peteisbuig VVM com Ltd. 2005. - p 156-201.

Лицензия ЛР №020593 от 07.08.97

Подписано в печать 25.12.2006. Формат 60x84/16 Мсчлп> цифровая Уел печ. л. 1,0 Тираж 100 Заказ 1112Ь

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленною авюром, в Цифровом типографском центре Издательства Политехнического университета 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул , 29. Тел.: 550-40-14 Тел /факс. 297-57-76

Введение

1. Исходная схема полустатистического метода и доказательство сходимости в пространстве непрерывных функций.

1.1 .Краткая схема полустатистического метода.

1.2.Некоторые соглашения и обозначения.

1.3. Доказательство сходимости полустатистического метода в пространстве непрерывных функций (основные теоремы).

1.3.1. Вспомогательные рассуждения и леммы.

1.3.2. Основные теоремы о сходимости полустатистического

Ф метода и следствия из них.

1.4. Основные итоги главы 1.

2. Модернизация полу статистического метода.

2.1. Наводящие соображения и мотивировка модернизации.

2.2.Теоремы сходимости для модернизированного полу статистического метода.

2.3. Описание модернизированного полустатистического метода.

2.3.1. Методика расчета. Формула для приближенного решения.

2.3.2. Способы оценивания дисперсии в процессе вычислений.

2.3.3. Оптимизация расстановки узлов случайной сетки

• интегрирования.

3.2.Формулировка задачи обтекания лопатки.79

3.4.0сновные соотношения модернизированного полустатистического метода для задачи обтекания.82

3.5.Аналитическое задание контура лопатки.83

3.6.Алгоритм применения модернизированного полустатистического метода к задаче обтекания решетки профилей.87

Результаты численного моделирования.89

3.6.1. Расчет скорости на лопаточных профилях.89

3.6.2. Анализ эффективности адаптации плотности.95

3.6.3. Расчеты на тестовых решетках.97

3.7. О выводе обобщенной формулы Коши для обтекания решетки профилей.102

3.8. Исследование непрерывности ядра интегрального уравнения задачи обтекания.107

3.9. Основные итоги главы 3.111

4. Применение модернизированного полустатистического метода к решению внутренней задачи Дирихле в трехмерном пространстве.113

4.1. Введение.113

4.2. Формулировка задачи и переход к интегральному уравнению.114

4.3. Регуляризация интегрального уравнения и формулы для приближенного решения.115

4.4. Оценка точности решения и алгоритм численного расчета.118

4.5. Оптимизация алгоритма.120

4.6. Примеры численного моделирования.122

4.7. Основные итоги главы 4.129

Заключение.130

Список литературы.132

Введение.

Целью настоящего диссертационного исследования является совершенствование численных методов решения интегральных уравнений. В качестве «готового» метода, подлежащего изучению и совершенствованию, выбран сравнительно новый полустатистический (адаптивно-стохастический) метод решения интегральных уравнений, разработанный в 80-90 годах прошлого века в основном Д.Г Арсеньевым, В.М. Ивановым, и О.Ю. Кульчицким. [1,7,8,37] Следует отметить, что к интегральным уравнениям сводятся многие задачи математической физики [34,31,46] поэтому развитие приближенных методов решения этих уравнений имеет прикладной интерес. Приближенным методам решения интегральных уравнений, разработанным ранее полустатистического, уделено много места в физико-математической литературе [13,17,25]. Дадим краткий обзор основных приближенных методов решения интегральных уравнений:

1) Метод замены ядра уравнения вырожденным ядром, хорошо аппроксимирующем исходное ядро. [17,49,34] Достоинством этого метода является простота, с которой (по крайней мере, при малом ранге вырожденного ядра) оценивается погрешность [17]. Однако, этот метод трудно поддается постановке на машину, так как удачный выбор вырожденного ядра требует большого искусства от вычислителя. Кроме того, чтобы найти элементы системы алгебраических уравнений, нужно вычислить большое число интегралов. [17]

2) Метод механических квадратур. [17,13 ] Суть этого метода заключается в замене интеграла конечной суммой по какой-либо квадратурной формуле. [9] Этот метод значительно более прост в машинной реализации, чем предыдущий. При достаточно гладких ядре и решении интегрального уравнения он имеет высокую скорость сходимости. К недостаткам метода можно отнести сильное усложнение квадратурных формул при переходе к многомерному случаю [12,23,42] и тот факт, что узлы интегрирования задаются заранее самим вычислителем (невозможность автоматической адаптации сетки интегрирования).

3)Метод Галеркина [17,25,13,49], в котором приближенные решения ищутся в виде конечных разложений по какой-либо полной координатной системе функций. Недостатки метода-трудность получения системы алгебраических уравнений: надо взять большое количество интегралов. Преимущество метода Галеркина в сравнении с методом механических квадратур состоит в том, что скорость сходимости зависит от гладкости решения , но не от гладкости ядра. [17]

Заметим, что никакой из перечисленных методов не использует статистические операции, поэтому условимся называть их детерминированными [1,19], в противовес методам, использующим генерацию случайных чисел и статистические оценки для получения приближенных решений. Из приведенного беглого обзора видно, что основным детерминированным методам свойственны следующие недостатки:

1)болыпая трудоемкость при постановке на машину, особенно в многомерном случае (в случае уравнений на отрезке прост только метод квадратур).

2) невозможность автоматической оптимизации вычислений в силу жесткой фиксации узлов интегрирования или координатных функций.

Поэтому оправдано обращение к статистическим методам интегрирования, которые, хотя и проигрывают в скорости сходимости, но свободны от вышеозначенных недостатков. Разумеется, что речь не идет об абсолютной замене детерминированных методов статистическими, однако, по-видимому, существуют классы задач, при решении которых статистические методы, будучи усовершенствованными, будут более эффективны, чем детерминированные. Поэтому в диссертации проделана работа по сравнению эффективности полустатистического метода и метода квадратур при решении задач различного рода.

Помимо изучаемого в диссертации полустатистического метода, из разработок в области статистического решения интегральных уравнений следует отметить еще более молодой проекционно-статистический метод[6], теоретически разработанный В.М.Ивановым и М.Л. Кореневским. Кроме того, автору представляется плодотворным изучение вопроса об эффективности подхода к решению интегральных уравнений при помощи случайных квадратурных формул. [19,32] Однако, по этой теме серьезных исследований пока не осуществлялось и литературу по ней обнаружить не удалось, хотя, на первый взгляд, идея достаточно очевидная.

Что касается решения задач математической физики, решаемых при помощи интегральных уравнений, то следует отметить , что многие задачи (например, стационарная задача теплопроводности, задача обтекания решетки потенциальным потоком идеальной жидкости, задачи теории упругости) могут быть решены без использования интегральных уравнений, в частности методом конечных элементов [36], методом контрольных объемов [39], методом конформных отображений. [44] Вышеперечисленные методы также весьма трудоемки, поэтому нуждаются в конкуренции, которую и призваны составить хорошо разработанные численные методы решения интегральных уравнений.

Впервые метод решения интегральных уравнений, содержащий детерминированные и статистические операции, и поэтому названный полустатистическим, был предложен в [1,9,37] и использовался при решении стационарных задач вибропроводности и теории упругости, где его применение было достаточно успешным [1, 12, 37].

Полустатистический метод имеет ряд приятных особенностей сравнительно с детерминированными (методами, не использующими генерацию случайных чисел для расстановки узлов интегрирования), в частности:

1) оптимизация расстановки узлов сетки численного интегрирования с целью уменьшения погрешности вычислений производится автоматизировано, на основе адаптивного алгоритма.

2) для многомерных областей основные соотношения метода остаются почти неизменными по сравнению с одномерным случаем, тогда как в случае детерминированных методов формулы численного интегрирования усложняются при переходе к большим размерностям.

3) имеется возможность получения оценки точности приближенного решения в процессе вычислений, используя тот или иной выборочный показатель статистической вариации.

К недостаткам полустатистического метода относится сравнительно невысокая скорость сходимости, свойственная, впрочем, всем методам, основанным на законе больших чисел.

В ходе вычислительной практики, предшествовавшей написанию диссертации, выяснилось, что при численном решении стационарной задачи теплопроводности и задачи потенциального обтекания газотурбинных профилей потоком идеальной жидкости полустатистический метод, применяемый согласно «классической», первоначальной схеме, приведенной в основных источниках [1,7,37] работает недостаточно эффективно. Даже при использовании адаптивного алгоритма оптимальной расстановки узлов интегрирования, который традиционно считается одной из сильнейших сторон метода, при некоторых граничных условиях не удавалось получить приближенные решения удовлетворительной точности. Причины тому могло быть две: либо при данных параметрах интегрального уравнения сходимость полустатистического метода не имеет места, либо количество узлов случайной сетки интегрирования, ограниченное возможностями современной вычислительной техники, слишком мало для решения данных задач. Последнее рассуждение привело к идее модернизации полустатистического метода (с целью обойти проблему нехватки узлов сетки интегрирования), и к необходимости математически строго исследовать вопрос о том, при каких условиях имеет место сходимость метода. Решению этих проблем, а также применению полустатистического метода в усовершенствованном, «модернизированном» виде к двум задачам математической физики: задаче обтекания решетки газотурбинных профилей и стационарной задаче теплопроводности посвящено настоящее диссертационное исследование. Ввиду того, что, как выше указано, полустатистический метод имеет ряд неоспоримых достоинств по сравнению с другими методами, данное исследование представляется актуальным.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение

Основными результатами работы, выносимыми на защиту, являются следующие:

1) Проведено теоретическое исследование сходимости полустатистического метода в пространстве непрерывных функций. Доказаны леммы и теоремы о сходимости полустатистического метода в пространстве непрерывных функций. Доказательство сходимости представляет собой синтез идей функционального анализа и теоретико-вероятностных рассуждений. Все результаты по сходимости метода в пространстве непрерывных функций получены впервые.

2) На основе теоретических исследований проведена модернизация метода, заключающаяся в развитии первоначальной схемы, доказаны соответствующие теоремы. Теоретически прояснен вопрос об источниках погрешности полустатистического метода (смещение и вариация) и о том, когда модернизированная версия метода должна быть эффективнее «классической» схемы. Модернизация, а также формулировка и доказательства связанных с ней теорем осуществлены впервые.

3) Вычислительными экспериментами подтверждена эффективность модернизации, найдены задачи, для которых с помощью модернизированного метода можно получить решения удовлетворительной точности, а по первоначальной схеме-нельзя, в силу ограниченных возможностей современной вычислительной техники. На конкретных вычислительных примерах показана роль основных теоретических положений модернизации. По результатам вычислительной практики выделен класс задач, в применении к которым полустатистический метод является более эффективным, чем детерминированные.

4) Рассмотрен новый, альтернативный основным источникам, подход к вопросу оптимизации метода. Численными экспериментами подтверждена эффективность этого подхода.

5) Осуществлено применение модернизированного полу статистического метода к задачам математической физики, на которых метод еще не апробировался (задача обтекания плоской решетки газотурбинных профилей и трехмерная задача Дирихле). В случае задачи обтекания решетки обсчитывались реальные профиля, данные по которым взяты из расчетно-конструкторской практики. Везде проведено сравнение результатов с точными решениями или решениями, полученными при помощи детерминированных методов. При численном решении задачи теплопроводности предложена эффективная формула для расчета температуры, хорошо работающая как вблизи, так и вдали от границы тела. Строго доказаны непрерывные свойства ядра в задаче обтекания решетки.

6) В процессе применения метода к задаче обтекания решетки строго исследована так называемая «обобщенная интегральная формула Коши», используемая во всех основных источниках, посвященных обтеканию гидродинамических решеток, но ни в каком из известных автору источников не доказанная строго. Рассмотрены математические вопросы, связанные с этой формулой, не поднимавшиеся, по-видимому, до настоящего диссертационного исследования.

1. Арсеньев Д. Г., Иванов В. М., Кульчицкий О. Ю. Адаптивные методы вычислительной математики и механики. Стохастический вариант. СПб.: Наука.-1996.-c.366

2. Арсеньев Д. Г., Иванов В. М., Берковский Н. А. Применение полустатистического метода к решению внутренней задачи Дирихле в трехмерном пространстве.//Научно-технические ведомости СПбГТУ, № 4 (3 8).-2004.-с.52-59.

3. Арсеньев Д. Г., Иванов В. М., Берковский Н. А. Исследование сходимости полустатистического метода в пространстве непрерывных функций на компакте. // Вычислительная математика и механика. Труды СПбГТУ №498 СП6.-2006.-С. 17-29.

4. Арсеньев Д. Г., Иванов В. М., Берковский Н. А. Модернизация полустатистического метода // Вычислительная математика и механика. Труды СПбГТУ № 498 СПб.-2006.-с.29-57.

5. Арсеньев Д. Г., Иванов В. М., Берковский Н. А. Применение полустатистического метода к задаче обтекания плоской решетки профилей. // Вычислительная математика и механика. Труды СПбГТУ № 498 СПб.-2006.-с.57-73.

6. Арсеньев Д. Г. Адаптивное управление стохастическими вычислительными процессами // Вычислительная математика и механика. Труды СПбГТУ № 498 СП6.-2006.-С.З-17

7. Арсеньев Д.Г. Разработка статистических методов решения интегральных уравнений теории упругости. Диссертация на соискание уч. степ, к.т.н. СПбГТУ.-1994.-с. 163

8. Арсеньев Д.Г., Иванов В.М. Решение интегральных уравнений первой основной задачи теории упругости полустатистическим методом. Деп. в ВИНИТИ 05.04.86, № 6644-В86 Л.-1986.-С.52

9. Бахвалов Н.С. Численные методы. М:, Наука.-1973.-с.632

10. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.Наука.-1966-с.520

11. Боровков А. А. Курс теории вероятностей. М.: Наука.-1972.-с.287

12. Бусленко Н.П, Голенко Д.И., Соболь. И.М. Метод статистических испытаний, (метод Монте-Карло) Главное издательство физико-математической литературы. М:-1962.-с.331

13. Гавурин М. К. Лекции по методам вычислений. М: «Наука»-1971 .-с.248

14. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М: «Наука»-1988.-е.448

15. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.:Высшая школа.-2002.-с.575

16. Вохмянин С.М. Роост Э.Г. Богов И.А. Расчет систем охлаждения лопаток газовых турбин. Программный комплекс COLD. СПб, Международная Академия Наук Высшей Школы. Санкт-Петербургское отделение. ВТУЗ-ЛМЗ.-1997.-е. 110

17. Даугавет И. К. Приближенное решение линейных функциональных уравнений. Ленинград: Издательство Ленинградского университета-1985.-c.252

18. Дьяконов В. Mathcad 2001 ¡специальный справочник. СПб.:Питер2002.-c.832

19. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. «Наука».-1975.-c.472

20. Жуковский М.И. Расчет обтекания решеток профилей турбомашин Машгиз, Ленинград.-1960.-с.260

21. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А. Интегральные уравнения. М:Наука.-1968.-с.448

22. Зорич В.А. Математический анализ. Часть2. М.:МЦНМО.-2002.-с.794

23. Иванов. В.М., Кореневский М.Л. Адаптивно-статистические методы численного интегрирования. Санкт-Петербург , издательство СПбГПУ2003.-е. 139.

24. Канторович JI.B. Функциональный анализ и прикладная математика //Успехи мат. наук. 1948. Т.З, вып 6(28).

25. Канторович Л. В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.:Наука-1977.-c.744

26. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.:Наука.-1981.-с.544

27. Кочин Н.Е. Гидродинамическая теория решеток. М.,Л.: Гостехиздат-1949.-е. 125

28. Краснов М.П. Интегральные уравнения (введение в теорию). «Наука».-1975.-c.298

29. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы функций комплексного переменного. М:,Наука.-1965 -с.716

30. Математический энциклопедический словарь. М: «Советская энциклопедия».-1988.-с.847

31. Михайлов Г.А. Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло. «Наука», Сибирское отделение, Новосибирск.-1974.-е. 141

32. Михлин С. Г. Курс математической физики М.:Наука-1968.-е.576

33. Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. Главное издательство физико-математической литературы. M-1959.-c.232

34. Михлин С.Г. Натансон Г.И., Риз П.М. Линейные уравнения математической физики. М:Наука.-1964.-с.368

35. Норри Д.,Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. Издательство «Мир» Москва.-1981.-с.304

36. Пальмов В.А., Кульчицкий О.Ю., Иванов В.М. Интегральные уравнения теории вибропроводности и полустатистический метод их численного решения. Деп. в ВИНИТИ 28.06.79, № 2369-79.Л.-1979.-С.64

37. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М:.Наука.-1977.-с.312

38. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (пер. с англ.).М.: Энергоатомиздат.-1984.-е. 150

39. Рудин У. Основы математического анализа. СПб.: «Лань».-2002.-с.320

40. А.Г.Свешников, А.Н. Тихонов. Теория функций комплексной переменной. М: Наука, Физматлит.-1999.-с.319

41. Соболь И. М. Метод Монте-Карло. М.:Наука.-1968.-с.64

42. Справочник по прикладной статистике, т2. М.: «Финансы и статистика»-1990.-с.525

43. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М., Физматгиз-1962.-c.512

44. Сухаревский И.В. Об эффективном вычислении скорости и циркуляции потока при потенциальном обтекании решетки.//Труды Харьковского Политехнического института 1955. Том 5. Инженерно-физическая серия, выпуск 1.-1955 .-с.5 7-56.

45. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М: Наука.-1972.-е.736

46. Товстик Т.М., Алексеева Н.П. Практикум по математической статистике. СпбГУ.-2002.-е. 119

47. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т2. «Лань».-1997.-с.800

48. Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. Главное издательство физико-математической литературы. М.-1966.-е. 176

49. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ,М.: «Наука»-1969-с.576