автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование замкнутых линейных систем в представлении полиномами Уолша в пространстве состояний

На правах рукописи

НИКОНОРОВ АЛЕКСАНДР ВАЛЕНТИНОВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАМКНУТЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛИНОМАМИ УОЛША В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Воронеж - 2008

003454015

Работа выполнена на кафедре информационных и управляющих систем Воронежской государственной технологической академии.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Лебедев Владимир Федосеевич (Воронежская государственная технологическая академия)

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук,

профессор

Семёнов Михаил Евгеньевич

(Воронежский государственный политехнический университет) кандидат физико - математических наук, доцент

Провоторов Вячеслав Васильевич

(Воронежский государственный университет)

Ведущая организация: Белгородский государственный университет

Защита состоится «11» декабря 2008 г. в 15 час. 20мин. на заседании диссертационного совета Д 212.035.02 в ГОУ ВПО "Воронежская государственная технологическая академия" по адресу: 394000, г. Воронеж, проспект Революции, 19.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах), заверенные гербовой печатью учреждения, просим направлять в адрес совета академии.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке академии.

Автореферат размещён на официальном сайте ВГТА www.vgta.vrn.ru «11» ноября 2008 г.

Автореферат разослан «11» ноября 2008 г.

Ученый секретарь у,

диссертационного совета //И.А. Хаустов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время интенсивно развиваются методы и средства информационного и математического обеспечения, среди которых важное значение отводится методам синтеза оптимальных систем управления.

Развиваются и совершенствуются методы синтеза и проектирования систем управления, основанные на применении современной технологии моделирования и оптимизации многомерных динамических процессов, математические модели которых в окрестности, допустимой технологическими ограничениями, можно описать системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными или медленно изменяющимися параметрами. Для такого класса моделей задача оптимизации интегрального квадратиче-ского критерия взвешенных отклонений относительно векторов состояния и управления при ограничениях заданными линейными дифференциальными уравнениями с изменяющимися параметрами имеет аналитическое решение относительно вектора управления выраженное через неизмеряемую сопряженную переменную. Однако получить решение через вектор переменных состояния не удается. Это имеет место и в случае постоянных параметров, так как для получения решения необходимо интегрировать систему уравнений с граничными условиями. Можно преобразовать полученную систему к задаче с начальными условиями, но при этом необходимо решить нелинейное матричное уравнение Риккати. На основе проведенных исследований, в работе предложен новый подход моделирования оптимальных систем стабилизации на основе аппроксимации системы дифференциальных уравнений, описывающих оптимальный динамический процесс с граничными условиями, алгебраическими уравнениями, с использованием обобщенных ортогональных полиномов Уолша. Положительным фактором применения полиномов Уолша является разработка типовой формализации решения задачи моделирования систем стабилизации для рассматриваемого класса моделей процессов. Преобразование в быстро сходящийся ряд Уолша системы дифференциальных уравнений осуществляется в вещественном пространстве, коэффициенты разложения представляются вещественными числами. Интегрирование выполняется с применением матричного оператора и все последующие действия осуществ-

ляются простыми арифметическими операциями с действительными числами.

Диссертация выполнена в соответствии с планом НИР ГОУВПОВГТА № г.р.01960007315 по теме «Разработка и совершенствование математических моделей, средств и систем автоматического управления технологических процессов».

Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка математического метода моделирования линейных многомерных систем стабилизации, на основе полиномов Уолша в пространстве состояний.

Для достижения поставленной цели сформулированы следующие задачи исследования:

— разработать метод моделирования многомерных линейных систем с постоянными и переменными параметрами ортогональными полиномами Уолша;

— получить и обосновать метод моделирования линейных многомерных систем, замкнутых оптимальной обратной связью на основе принципа максимума;

— разработать методику получения устойчивого решения задачи оптимизации замкнутой системы;

— разработать алгоритмы и программы моделирования замкнутых систем, обеспечивающих устойчивые оптимальные решения с применением функций Уолша;

— проведение вычислительных экспериментов и сравнительный анализ решений на моделях дифференциальных уравнений различных порядков рассматриваемого класса задач.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы применялись: качественная теория дифференциальных уравнений, теория автоматического управления, алгебра матриц, системный анализ.

Научная новизна работы. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

— метод решения задач моделирования оптимальной стабилизации многомерных стационарных и нестационарных линейных динамических систем на основе принципа максимума с применением ортогональных полиномов Уолша;

— прямой метод решения граничной задачи оптимальной стабилизации, не решая матричное уравнение Риккати;

— методика моделирования и синтеза оптимальной стабилизации с использованием инар}ментальных средств вычислительной техники.

— метод решения линейных дифференциальных \ равнении с неременными параметрами на основе полиномов Уолша используя метод «замораживания» коэффициентов;

— алгоритмы и программы моделирования систем стабилизации, численное решение получения оптимальных траекторий моделей линейных систем с постоянными и переменными параметрами с применением полиномов Уолша.

Практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы при модернизации существующих и проектировании новых систем управления многомерными стационарными и нестационарными процессами. Практическое значение имеет подход, позволяющий получать эффективные алгоритмы моделирования многомерных нестационарных систем стабилизации.

Комплекс алгоритмов и программ можно рекомендовать для разработки оптимальных замкнутых систем управления многомерными стационарными и нестационарными процессами, в различных предметных об.!астях

А проб ¡шин работы. Основные рслльпиы по 1смс ци.сери-ционнои работы доложены на международных конференциях «Научные исследования наносиаемы и ресурсосберегающие технологии в стройиндустрии» (Белгород 2007 г.), «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж 2007 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, из которых 2 в изданиях, рекомендуемых ВАК и 2 программных проаукта

Личный вклад автора. Личный вклад автора заключается в постановке задач и их решении Автором представлены математические модели [1,2.3,4,5] методы и алгоритмы их расчета [6,7]. Участие соавтора заключается и постановке задач, обсуждении и интерпретации результатов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 100 страницах, включает 20 таблиц и 35 рисунков; состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений Библиография включае! I 10 наименовании

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, определена научная новизна работы и практическая значимость.

В первой главе на основании обзора литературы выполнен анализ проблемы моделирования многомерных линейных динамических систем стабилизации с постоянными и переменными параметрами.

Уровень современных микропроцессорных средств, их высокая надёжность открыли новые возможности моделирования сложных многомерных систем с постоянными и переменными параметрами, систем стабилизации, законов управления на основе применения методов оптимизации. В диссертации предлагается новый подход к моделированию процессов оптимальной стабилизации технологических режимов для непрерывных процессов, протекающих в окрестностях стационарного режима, т. е. в области, допускающей линеаризацию, позволяющей получить апериодический устойчивый режим управления. Этот подход основан на моделировании процессов, описываемых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными и переменными параметрами, с применением ортогональных полиномов Уолша.

Во второй главе исследуются особенности синтеза оптимальных устойчивых систем стабилизации многомерных линейных систем. Рассматривается линейная многомерная динамическая модель объекта с переменными параметрами: dx

^ = A(t)-x(t) + B(t)-u(t); х(0) = х0, (1)

dt

частным случаем которой является система с постоянными параметрами:

dx

^ = A-x{t) + B-u(t); х(0)=х0, (2)

dt

где A{t), А [п, п\- характеристические матрицы системы, B(t),B[n,n]~ матрицы управления; x{t)[n, l], - вектор переменных состояния динамического процесса, u{t)\n, 1]- вектор управляющих воздействий.

Задача стабилизации заключается в оптимизации квадратичного критерия качества:

1 т

J = - \{(x(t),Q{t)m + {u(t\R(t)u{t))]dt-> mill, (3)

О

при ограничении (1, 2) и z/(/)e(7, где U - область допустимых

управлений. Здесь 0{t) [и, п\ R(t) [/?, и] - положительно определённые

матрицы, являющиеся мерой оценки отклонений от номинальных значений.

Управление, обеспечивающее минимум критерия (3) в соответствии с принципом максимума определяется из условия максимума функции Гамильтона:

Я(л-(0, КО,m = Q(t)x(t) + u(t), R{t)u(t)} + [pit), A{x)x(t) + B{x)u{t)}, (4)

где p(t) сопряженная переменная. Используя принцип максимума Понтрягина, из (4) следует каноническая система уравнений:

A(t)x(t)+B(t)u(t),

dx SH _

It i I

dp дН

lit дхт

(5)

= -Q(t)x(t)~A(tf р(Ц

и условие оптимальности:

днш,Р(0МФ = Л(/)и(/) + тт p{t) = 0i (б)

он

откуда функция оптимального управления получается виде:

uomn{t) = -R{tyX -B{t)T -p{t). (7)

Из (5-7) получена система уравнений для замкнутой оптимальной траектории x{t) и сопряженной переменной p(t) в форме однородной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с переменными параметрами и граничными условиями:

~ = A{t)x{t)-S{l)p{t), х(О) = х0, dt (8)

~ = -Q(t)x(t) - A(tf p(t), р(Т) = О, .dt

где S(t) = B(t)-R(ty] -B(t)T.

В частном случае, когда матрицы A(t), S(t), Q(t) не зависят от времени, получаем систему с постоянными параметрами: dx

—- = Ax(t)-Sp(t), х(0) = х0, dt (9)

-f = -Qx(t)-AT p(t), p(0 = 0. at

Для системы (8) временной интервал от 0 до Г разделяется на участки на которых можно считать её, как систему с постоянными параметрами, применяя для решения метод «замороженных коэффициентов». В дальнейшем методы, разработанные для системы (9), будут применяться для системы (8).

Система (9) является системой однородных дифференциальных уравнений порядка 2п, характеристическая матрица которой примет вид:

(a -s Л

М= . (10)

1-е -ат)

Матрица M называется гамильтоновой, и в случае разных вещественных корней её характеристическое уравнение имеет п -отрицательных и п - положительных значений, которые расположены в произвольном порядке, аналогично и в случае комплексных сопряжённых корней с разными знаками вещественной части.

Численное решение системы (9) можно получить следующим образом. Необходимо начальное условие х0, дополнить приближенно заданным начальным условием р{0) для вектора p{t). Если получено решение системы при t-^-T и lim p(t) —> s, где s - допусти-

l-*T

мая погрешность, то решение можно считать полученным. В противном случае, поиск решения продолжается с другим начальным условием, до тех пор, пока не будет удовлетворено условие на границе для переменной p{t). Если для системы второго порядка процесс поиска не очень трудоемкий, то для системы пятого или шестого порядка, это достаточно сложно.

В работе предлагается альтернативный подход, основанный на анализе матрицы M и спектра её характеристического уравнения, основанный на следующих теоремах:

Терема 1.

Спектр характеристической матрицы (10) является симметрическим по отношению к осям координат плоскости корней.

Теорема 2.

Характеристическое уравнение матрицы М содержит только чётные степени Я, его решение для случая разных вещественных корней имеет равное количество положительных и отрицательных корней. Это справедливо и для комплексно сопряжённых корней.

Теорема 3.

Из упорядоченной матрицы собственных векторов размерности 2/7x2«, приводящей матрищ М к диагональной форме можно выделить блок размерностью п х п обеспечивающий получение устойчивого решения х(/).

Доказательство теорем приводится в диссертационной работе.

На основании вышеперечисленных теорем для систем (8-9) разработана методика выделения единственного устойчивого решения на основе эквевалентного преобразования системной матрицы М упорядочения корней характеристического уравнения и собственных векторов:

— находятся собственные значения Я и собственные вектора матрицы М, соответствующие полученным собственным значениям;

— упорядочиваются корни по знаку и величине в порядке начиная от самого большого по абсолютному значению до наименьшего для отрицательных и положительных корней;

— в том же порядке формируется упорядоченная матрица собственных векторов и путём перестановки столбцов матрицы Т в соответствии с порядком перестановленных собственных значений:

и =

и и и,

12

и2Х и-

(11)

22;

— полученная матрица и приводит к диагональному виду матрицу М, которая уже имеет упорядоченные по знаку и величине корни характеристического уравнения:

Гп.. и..\ г,Л

(12)

Из (12) получаем два уравнения, соответствующие устойчивым собственным значениям:

(А -5 л ^12 ^ (ии Г-л (П

-о -АТ) 1^2. и22) ^21 ^22; л,

А-ии -Б-Щ, =-ицА,

-д-ип-Ат-и21=-и21А

Матрице системы А соответствует невырожденная матрица ип, которая имеет определитель, не равный нулю. Тогда, умножив

первое уравнение (13) на щ} , получим следующее соотношение:

(И)

А-Б-и2} -иу1, =-1Уи-Л-и~ц. Выражение (14) можно записать в виде:

ии=-л.

(15)

Следовательно, полученное уравнение, обеспечивающее устойчивое решение вектора состояния, примет вид: с£с(0

л

(16)

В третьей главе разработана методика использования функции Уолша для решения систем с постоянными и переменными параметрами.

Вектор выходной величины х(/), абсолютно интегрируемый на интервале [0,1), может представить рядом Уолша покомпонентно:

(0 = с,,оМО + (0 + + « (0, (17)

где и^/) - функции Уолша. Коэффициенты разложения с, „ опре-

деляются по формуле: 1

(18)

Для интегрируемой квадратичной функции справедливо выражение

вида

Цщ (

п—>00 Д)

Й& = 0.

-2.^(0

1=0

Вектор выходной величины многомерной динамической системы может быть записан в матричном виде:

хо

с00 с0\ с02 СЮ СП с\2

^тО ст\ ст2

с0 п С„

П(0

Н',(/)

= с'

(19)

Интегрирование функций м>0(0, (0 осуществля-

ется с применением матричного оператора интегрирования: 1

¡кпт=рп*п-™п( о, (20)

о

где - разреженная матрица интегрирования. В общем виде её можно представить блочной структурой размерности пхп, которая примет вид:

(п'п) '

1 2 ^(и/8) л/2 4) и Е(п12) 2л

л/2

4) п 0(п/4)

£(н/2) 2л °(«/2)

(21)

Функции Уолша определены на интервале [0,1), при этом задача может быть нормализована с введением ;тогда (16) примет вид:

0- (22)

а

Переменная состояния х(?) может быть получена путём интегрирования уравнения (22) с применением матрицы интегрирования (21):

I

х(0 = (л-Я-и21 -Он1]-\х{1)Ж + д*0. (23)

о

Подставляя выражения (19), (23) в (22) получаем: (? ^¡/■{А-Б-и21-иЩ-СТ0 0 0)Г (24)

Решая уравнение (24) относительно неизвестных коэффици-т

ентов С получаем выражение:

1 N4-1

(25)

О

где ® - прямое произведение матриц.

Решая алгебраическое уравнение (25) относительно С,, получаем х(/) через коэффициенты разложения в ряд Уолша:

*1(0 = С1о,о • щО)+С10д • +... + С1о,„ • №„(/);

(26)

хп(0 = Сп0 0 ■ м>0(0 + Си01 ■И](г) + ...+ О?0„ • Ч'п (/).

В четвёртой главе выполнено моделирование синтеза оптимальной стабилизации для линейного объекта третьего порядка. Представлены алгоритмы нахождения переменных состояния объекта управления и оптимального управления.

Задаются параметры системы (9):

'0.1/ 1.5/ 1.2/4 '3.3/ 2/ 1.»] ( 5 0 (\ 0 0^

40= 2.2/ а» 2/ ,5(0 = 0.1/ 41 0.8/ 0 2 0 , е= 0 2 0

^0.4/ 0.7/ 0.7/ 0.9/ ' ) 0 Ь 0 0 4,

Левая часть система (9) может быть разложена в ряд Уолша и проинтегрирована (18,20, 21):

Раскладывая правую часть системы (9) через функции Уолша и используя (27) запишем:

(27)

С^Р'ЫО = ~<2С[*>„{()-АТСТгч>п{1).

(28)

Представим систему (28) в виде:

— = М-г{ 0,

где г(/) - вектор начальных условий.

Используя выражения (27-29) запишем:

С2п = [^2их2п +(.Г0,0,0,../.

Преобразуя (30) полухим:

С-) ^

Е-Л

2лх2и

® А/

■(х0,о,о,...у.

(30)

(31)

Применяя разработанные теоремы получим устойчивое решение через функции Уолша которое записывается в виде (26).

х1Ю х2Щ

/

и1(1 ? и2Щ « иЗЩ »

03 04 1)& 5®

Рис. 1 Переменная состояния объекта

\

/

•А

х1Щ •"Ц

О О? 01 | и. се »

Рис. 2 Оптимальное управление

хад ход

V

та «ж) \

"2(4

т\

1Я»!

\

--уг«!

I

Рис. 3 Переменная состояния объекта

хЩ х2Ш о

хЭД /

ъ-г

Рис. 4 Оптимальное управление

г

и2Щ . «3(4 .

/

о -а.1 ^ еа оз о »л я- | ис то! >

Рис. 5 Переменная состояния объекта Рис. 6 Оптимальное управление

13

Х1Щ ь

хЩ *3(1) г

П.,'

' !ИШг

1ГЩ <иш!!

т

«а

а*

1

«з

<!2 { йе »«

Рис. 7 Переменная состояния объекта Рис. 8 Оптимальное управление

С

3

/ Формируем / каноническую систему уравнений (5)

Применяем метод "замоу /роженньгх коэффициентов^ запишем (10)

Применяем Теоремы

Получаем устойчивое решение

Вывод графиков переменных состояния и управления

С

Конец

3

На рис. 1, 3, 5, 7 х1(/), х2(0, *3(0 - переменные состояния объекта, а на рис. 2, 4, 6, 8 г/1(0, и2(0, мЗ(/) - оптимальное управление линейной динамической системой (1) с переменными параметрами на основании предложенного метода, используя ортогональные функций Уолша.

При проведении численных экспериментов на моделях разных порядков использовалось и различное количество функций Уолша, так для примера на рис. 1-4, при решении использовалось 128 функций Уолша, а на рис. 5-8 всего 32.

В зависимости от количества взятых функций получаем решения заданной точности, а это позволяет применять данный метод для различных задач.

На рис. 9 приведён алгоритм поиска переменных состояния, оптимального управления многомерной линейной динамической системы с переменными параметрами на основе функций Уолша.

Рис. 9 Алгоритм разработанного метода

В приложениях к диссертационной работе приведены листинги программ решения систем с переменными и постоянными параметрами через функции Уолша, табличные и графические данные.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана методика моделирования многомерных линейных динамических систем с постоянными и переменными параметрами. представленных ортогональными ф\нкция\ш Vonna

2. Разработан метод моделирования линейных мнотмерных систем, замкнутых обратной связью с применением принципа максимума.

3. Получено явное решение для оптимальных уравнений и оптимальных траекторий в пространстве состояний с использованием ортогональных функций Уолша без введения компенсаторов перекрёстных связей.

4. Исследованы свойства блочной матрицы, выделены вещественные корни характеристического уравнения, обеспечивающие устойчивое решение исходной системы.

5. Разработаны и доказаны три теоремы, которые используются в процессе решения многомерных линейных динамических систем с переменными параметрами.

6. Разработан комплекс алгоритмов и программ моделирования систем оптимальной стабилизации для моделей различных порядков, позволяющий осуществлять вычислительные эксперименты в процессе модельною проектирования ciicicm \iip.m юния

7 Выполнена модельная апробация и обоснование пол\чеп-ных результатов на основе численных экспериментов с моделями различных порядков.

Основные результаты диссертации опубликованы

в следующих работах: Публикации в изданиях, рекомендованные ВАК РФ

1 Лебедев, В.Ф. Оптимальное управление линейными стационарными системами [Текст] / В.Ф Лебедев, А.В Никоноров // Вестник Воронежского государственного технического университета. - Воронеж: Изд-во Воронеж гос техн. ун-та, 2007. - Т.З, № 11.-С. 152-155.

2. Лебедев, В.Ф. Оптимальное управление линейными нестационарными системами [Текст] / В.Ф. Лебедев, A.B. Никоноров // Системы управления и информационные технологии. -2008. - № 1.2 (31).-С. 240-243.

Статьи и материалы конференций

3. Лебедев, В.Ф. Решение задач оптимизации для систем с постоянными параметрами [Текст] / В.Ф. Лебедев, A.B. Никоноров // Научные исследования, наносистемы и ресурсосберегающие в стройиндустрии: сб. докл. Междунар. науч.- практ. конф. - Белгород: Изд-во Белгород гос. техн. ун-та, 2007.- 4.6. - С. 58-60.

4. Лебедев, В.Ф. Синтез систем с переменными параметрами [Текст] / В.Ф. Лебедев, A.B. Никоноров // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования, материалы 2 Междунар. науч.- практ. конф. / Воронеж, гос. технол акад - Воронеж,

2007.-С. 116-117.

5. Лебедев, В.Ф. Определение и использование функций Уолша [Текст] / В.Ф Лебедев, A.B. Никоноров // Теоретические основы проектирования технологических систем и оборудования автоматизированных производств: сб. науч. тр. В 2 ч. / Воронеж гос. технол акад. - Воронеж, 2007 -Ч 1, вып. 5.-С 194-199

6 Лебедев. ВФ Программа расчета опшма n.noi и мцкж ю-ния линейными многомерными динамическими сиасмами l переменными параметрами на основе функций Уолша [Текст]' свидетельство об отраслевой регистрации разработки № 1 ] 167: зарегистрировано в отраслевом фонде алгоритмов и программ 30.06.2008 г. / В.Ф. Лебедев, A.B. Никоноров; Воронеж, гос. технол. акад. - М.,

2008.- 1 с.

7. Лебедев, В.Ф. Программа решения многомерных динамических систем с переменными параметрами на основе функций Уолша [Текст]: свидетельство об отраслевой регистрации разработки № 11168: зарегистрировано в отраслевом фонде алгоритмов и программ 30.06 2008 г. / В.Ф. Лебедев, A.B. Никоноров; Воронеж, гос. технол. акад. - М., 2008.- 1 с.

Подписано в печать ? .//.2008 Формат 60 х 84 1/16.

Усл. печ л. 1,0 Тираж ЮОэкз Заказ № 385 ГОУВПО«Воронежская государственная технологическая акалемия»( ГОУВПОВГГ \ •) Отдел оперативной полиграфии 1 OVB1IO »151 I л» Адрес академии и участка оперативной полиграфии 394000 Воронеж, пр Революции, 19

Введение.

Глава 1 Проблема синтеза систем управления.

1.1 Обзор современного состояния и развития методов синтеза систем управления с использованием ортогональных полиномов.

1.2 Современные системы управления процессами.

1.2.1 Математические модели динамических систем.

1.2.2 Представление математической модели динамической системы.

1.3 Оптимизация процессов с использованием математических моделей

1.3.1 Математические модели процессов и их роль в решении задач оптимизации

1.3.2 Характеристика методов решения задач оптимизации.

1.4 Постановка задачи синтеза оптимального управления с переменными параметрами.

1.5 Цель работы и задачи исследования.

Выводы.

Глава 2 Метод синтеза линейных систем управления.

2.1 Задача оптимальной стабилизации.

2.1.1 Постановка задачи об оптимальной стабилизации.

2.2 Метод замороженных коэффициентов.

2.3 Задача слежения.

2.4 Теоремы и их доказательства для систем с постоянными параметрами.

2.5 Устойчивость движения многомерных систем.

2.5.1 Устойчивость, управляемость и наблюдаемость объектов управления

Выводы.

Глава 3 Полиномы Уолша в задачах моделирования и синтеза многомерных динамических систем оптимального управления.

3.1 Использование ортогональных полиномов Уолша.

3.2 Свойства полиномов Уолша. Прямое и обратное интегрирование. Операционная матрица интегрирования.

3.3 Многомерные динамические модели в представлении рядами Уолша

3.4 Аппроксимация с применением функции Уолша.

Выводы.

Глава 4 Разработка численных методов решения и приложение к задачам управления химико-технологическими процессами.

4.1 Численный метод решения задач с постоянными параметрами.

4.2 Численный метод решения задач оптимизации для систем с постоянными параметрами.

4.3 Численный метод решения задач с переменными параметрами

4.3.1 Анализ оптимального управления линейной нестационарной системы с применением функций Уолша.

4.3.2 Моделирование замкнутой обратной связью линейной нестационарной системой с применением функций Уолша.

4.4 Алгоритмы решения задач управления химико-технологическими процессами.

4.4.1 Алгоритм задач управления химико-технологическими процессами с переменными параметрами.

4.4.2 Алгоритм решения системы дифференциальных уравнений с переменными параметрами.

Выводы.

Актуальность темы. В настоящее время интенсивно развиваются методы и средства информационного и математического обеспечения, среди которых важное значение отводится методам синтеза оптимальных систем управления.

Развиваются и совершенствуются методы синтеза и проектирования систем управления, основанные на применении современной технологии моделирования и оптимизации многомерных динамических процессов, математические модели которых в окрестности, допустимой технологическими ограничениями, молено описать системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными или медленно изменяющимися параметрами. Для такого класса моделей задача оптимизации интегрального квадра-тического критерия взвешенных отклонений относительно векторов состояния и управления при ограничениях заданными линейными дифференциальными уравнениями с изменяющимися параметрами имеет аналитическое решение относительно вектора управления. Однако получить решение относительно вектора переменных состояния не удается. Это имеет место и в случае постоянных параметров, так как для получения решения необходимо интегрировать систему уравнений с граничными условиями. Можно преобразовать полученную систему к задаче с начальными условиями, но при этом необходимо решить нелинейное матричное уравнение Риккати. На основе проведенных исследований, в работе предложен новый подход моделирования оптимальных систем стабилизации на основе аппроксимации системы дифференциальных уравнений, описывающих оптимальный динамический процесс с граничными условиями, алгебраическими уравнениями, с использованием обобщенных ортогональных полиномов Уолша. Положительным фактором применения полиномов Уолша является разработка типовой формализации решения задачи моделирования систем стабилизации для рассматриваемого класса моделей процессов. Преобразование в быстро сходящийся ряд Уолша системы дифференциальных уравнений осуществляется в вещественном пространстве, коэффициенты разложения представляются вещественными числами. Интегрирование выполняется матричным оператором и все последующие действия осуществляются простыми арифметическими операциями с действительными числами.

Диссертация выполнена в соответствии с планом НИР ГОУВПОВГТА № г.р.01960007315 по теме «Разработка и совершенствование математических моделей, средств и систем автоматического управления технологических процессов».

Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка математического метода моделирования линейных многомерных систем стабилизации, на основе полиномов Уолша в пространстве состояний.

Для достижения поставленной цели сформулированы следующие задачи исследования: разработать метод моделирования многомерных линейных систем с постоянными и переменными параметрами, ортогональными полиномами Уолша; получить и обосновать метод моделирования линейных многомерных систем, замкнутых оптимальной обратной связью на основе принципа максимума; разработать методику получения устойчивого решения задачи оптимизации замкнутой системы; разработать алгоритмы и программы моделирования замкнутых систем, обеспечивающих устойчивые оптимальные решения с применением функций Уолша; выполнить численное моделирование полученных результатов проведение вычислительных экспериментов сравнительный анализ результатов с моделями различных порядков рассматриваемого класса уравнений.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы применялись: качественная теория дифференциальных уравнений, теория автоматического управления, алгебра матриц, системный анализ.

Научная новизна работы. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной: метод решения задач моделирования оптимальной стабилизации многомерных стационарных и нестационарных линейных динамических систем на основе принципа максимума с применением ортогональных полиномов Уолша; метод решения граничной задачи оптимизации, без решения матричного уравнения Риккати; методика моделирования и синтеза оптимальной стабилизации с использованием инструментальных средств вычислительной техники; метод решения линейных дифференциальных уравнений с переменными параметрами на основе полиномов Уолша используя метод «замораживания» коэффициентов; алгоритмы и программы моделирования систем стабилизации, решение уравнений оптимальных траекторий моделей линейных систем с постоянными и переменными параметрами с применением полиномов Уолша.

Практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы при модернизации существующих и проектировании новых систем управления многомерными стационарными и нестационарными процессами. Практическое значение имеет подход, позволяющий получать эффективные алгоритмы моделирования многомерных нестационарных систем стабилизации.

Комплекс алгоритмов и программ можно рекомендовать для разработки оптимальных замкнутых систем управления многомерными стационарными и нестационарными процессами, в различных предметных областях.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационной работы доложены на международных конференциях «Научные исследования наносистемы и ресурсосберегающие технологии в стройиндустрии» (Белгород 2007 г.), «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж 2007 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, из которых 2 в изданиях, рекомендуемых ВАК и 2 программных продукта.

Личный вклад автора. Личный вклад автора заключается в постановке задач и их решении. Автором представлены математические модели [1,2,3,4,5] методы и алгоритмы их расчёта [6,7]. участие соавтора заключается в постановке задач, обсуждении и интерпретации результатов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 100 страницах, включает 20 таблиц и 42 рисунка; состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений. Библиография включает 110 наименований.

Основные результаты исследований:

1. Разработана методика моделирования многомерных линейных динамических систем с постоянными и переменными параметрами, представленных ортогональными функциями Уолша.

2. Разработан метод моделирования линейных многомерных систем, замкнутых обратной связью с применением принципа максимума.

3. Получено явное решение для оптимальных уравнений и оптимальных траекторий в пространстве состояний с использованием ортогональных функций Уолша без введения компенсаторов перекрёстных связей.

4. Исследованы свойства блочной матрицы, выделены вещественные корни характеристического уравнения, обеспечивающие устойчивое решение исходной системы.

5. Разработаны и доказаны три теоремы, которые используются в процессе решения многомерных линейных динамических систем с переменными параметрами.

6. Разработан комплекс алгоритмов и программ моделирования систем оптимальной стабилизации для моделей различных порядков, позволяющий осуществлять вычислительные эксперименты в процессе модельного проектирования систем управления.

7. Выполнена модельная апробация и обоснование полученных результатов на основе численных экспериментов с моделями различных порядков.

Заключение

В диссертационной работе решена актуальная задача разработки математического метода моделирования линейных многомерных систем стабилизации, на основе полиномов Уолша в пространстве состояний.

1. «Управление с использованием ЭВМ процессами полимеризации в произ-водстве синтетического каучука»/ Абрамзон И.М. Габбасов Р.К. Автоматизация и КИП М.: ЦНИИТ Энефтехим 1980 г. 203 с

2. Алексеев В.М., Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. М. - 1984.

3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление.1. М. 1979

4. Александров А.Ю., Об устойчивости решений одного класса нелинейныхсистем с запаздыванием Текст. / А.Ю. Александров, А.П. Жабко// ж. Автоматика и телемеханика 2006. - № 9. - С. 3 - 12.

5. Аоки М. Введение в методы оптимизации. - М. - 1977.

6. Андреев Н.И. «Теория стахостических оптимальных систем управления»1. М.: Наука 1983 г.-415 с.

7. Астапов Ю.М. Медведев B.C. «Статическая теория систем автоматического регулирования и управления» М.: Наука 1982 г. 304 с.

8. М. Атанс и П. Фалб «Оптимальное управление». Из-во «Машиностроение», Москва 1968 г. 763 с.

9. Артюшенко М.В. «Специальные численные методы моделирования линейных САУ» // Инс-т кибернетики. Киев, 1982 г. 3-12 с.

10. Ахмед, Pao, Адиссаттар «Преобразование Адамара (BIFORE)» Зарубежная радиоэлектроника, 1972 г. №4, 62 с.

11. Батков A.M. Методы оптимизации в статистических задачах управления

12. Текст. / A.M. Батков и др. М.: Машиностроение, 1975.

13. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.1987.

14. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического управления Текст. /

15. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов Спб.: Профессия, 2003. - 752 е.- (серия: специалист)

16. Болакирев B.C. «Принцип максимума в теории оптимальных систем второго порядка» Автоматика и телемеханика Т. 23, 1962 г., № 8 16141022 с

17. Бесветтер «Анализ и синтез сигналов с помощью функций Уолша» Зарубежная радиоэлектроника 1972 г., № 5, 18 с.16.