автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование устойчивых случайных векторов

О1

На правах рукописи

БАГРОВА Инна Александровна

МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕКТОРОВ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Г* г* — . ,

о .чси ¿иа

Тверь - 2012

005056546

Работа выполнена на кафедре математической статистики и системного анализа факультета прикладной математики и кибернетики ФГБОУ ВПО «Тверской государственный университет».

Научный руководитель -Официальные оппоненты

Ведущая организация -

кандидат физико-математических наук доцент Архипов Сергей Викторович

доктор физико-матсматичсских наук профессор, профессор кафедры математической статистики Московского государственного университета Бенинг Владимир Евгеньевич;

доктор физико-математических наук профессор, декан факультета прикладной математики и компьютерных технологий, заведующий кафедрой прикладной математики Зейфман Александр Израилевич

Российский университет дружбы народов

Защита состоится 21 декабря 2012 года в 14:00 на заседании диссертационного совета Д212.263.04 при Тверском государственном университете но адресу: 170002, г. Тверь, Садовый переулок, 35, ауд. 200.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тверского государственного университета по адресу: 170100, г. Тверь, ул. Володарского, 44а.

Объявление о защите диссертации и автореферат опубликованы 21 ноября 2012 года на официальном сайте ВАК Министерства образования и науки РФ по адресу: http://vak.ed.gov.ru, а также на официальном сайте Тверского государственного университета по адресу: http://univcrsity.tversu.ru/aspirants/abstracts/.

Автореферат разослан 21 ноября 2012 года.

И.о. ученого секретаря диссертационного совета доктор физико-математических наук —■'¡ылг К.М.Зингерман

доцент

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Устойчивые законы в последнее двадцатилетие стали использоваться во многих прикладных задачах, связанных с физикой, экономикой, радиотехникой, гидрологией, астрономией и т.д. Особенно интенсивно онн используются в математических моделях, имеющих «тяжелые» хвосты распределения. В силу того, что многие эмпирические данные имеют такое распределение, необходимо строить модели, обладающие этими свойствами. Кроме того, устойчивые законы применяются в математических моделях точечных источников влияния, примерами которых являются гравитационное поле звезд, распределение температур в ядерном реакторе, распределение напряжений в кристаллических решетках. Моделирование устойчивых случайных векторов необходимо также для проверки робастности методов оценки их параметров. В силу сказанного тема диссертационной работы является актуальной.

Устойчивые распределения описывались в монографиях Б. В. Гнеденко п А. Н. Колмогорова, В. Феллера, И. А. Ибрагимова и 10. В. Линника и В. В. Петрова. Основные результаты, касающиеся характеризацин устойчивых законов, вошли в книгу А. М.Кагана, Ю.В. Линника и С. Р. Pao. Вопросы, связанные с аналитическими свойствами устойчивых законов, рассматривались в монографиях В. Феллера, И. А. Ибрагимова п Ю. В. Лннника, в книге Е. Лукача, а также в статье Д. Холта и Е. Кроу. Труды следующих авторов специально посвящены устойчивым распределениям и процессам: Золотарев В.М., Учайкпн В.В., Janicki А., Weron A., Samorodnitsky G., Taqqu M.S., Nolan J. P.

Исторически первым появился датчик для односторонних устойчивых случайных величин, использующий интегральное представление функции распределения, полученное в статьях Ибрагимова, Чернина (1959) и Кап-tcr'a (1975). Затем на основе интегрального представления Золотарева Chambers, Mallows, Stuck (1976) разработали датчик устойчивых чисел с произвольными параметрами, использующий экспоненциально и равномерно распределенные случайные величины. Другая методика, основанная на представлении устойчивых величин с помощью случайных рядов LePage'a была предложена A. Janicki и A.Weron'oM (1994).

Цели и научные задачи. Целью работы является разработка и программная реализация метода моделирования устойчивых случайных величин и векторов, основанного на обобщенной центральной предельной теореме (ОЦПТ).

Основные задачи. Для достижения поставленной цели в диссертации решены следующие задачи:

— получены асимптотические представления параметров в ОЦПТ для устойчивых случайных величин с бесконечным математическим ожиданием (в случае, когда показатель устойчивости а € (0,1]);

— получены асимптотические представления параметров в ОЦПТ для устойчивых случайных величин с конечным математическим ожиданием (а 6 (1,2));

— получены асимптотические представления параметров в ОЦПТ для устойчивых случайных векторов в случае дискретной спектральной меры;

— получены асимптотические представления параметров в ОЦПТ для устойчивых случайных векторов в случае сферически симметричной спектральной меры.

Методы исследований. Для построения алгоритмов моделирования используется ОЦПТ. Для вывода формул применяется метод характеристических функций, асимптотические методы математического анализа, численные методы и комплексный анализ. Программная часть была реализована в системе МаШЬ.

Научная новизна. В диссертационной работе реализован подход к моделированию устойчивых случайных величин и векторов, основанный на ОЦПТ. Основные результаты работы являются новыми:

1) разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных величин с бесконечным математическим ожиданием (а € (0,1]);

2) разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных величин с конечным математическим ожиданием (а € (1,2));

3) разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных векторов в случае дискретной спектральной меры;

4) разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных векторов для сферически симметричной спектральной меры;

5) получены представления характеристических функций смеси распределений Парето;

6) получены асимптотические представления характеристических функций нормированной суммы независимых центрированных (при а > 1) случайных величин, являющихся смесью распределений Парето.

Теоретическая и практическая значимость. К настоящему времени разработаны два метода моделирования устойчивых величин:

а) с помощью интегрального представления Золотарева;

б) с помощью представления устойчивых случайных величин рядами

ЬеРа§е'а.

Однако эти методы не допускают обобщения на многомерный случай. Предложенный в работе метод, основанный на ОЦПТ, может быть использован для моделирования устойчивых случайных векторов в с произвольной спектральной мерой, как дискретной, так и непрерывной. Поэтому он может использоваться для построения математических моделей с «тяжелыми хвостами» распределения, появляющихся в различных разделах науки.

В ходе работы над диссертацией был разработан комплекс программ, реализующий разработанные методы и алгоритмы моделирования устойчивых случайных величин п векторов.

Достоверность и обоснованность полученных результатов. Достоверность полученных результатов основана на использовании ОЦПТ, а также на подтверждении результатов моделирования теоретическими результатами, полученными аналитическими методами.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты, полученные в ходе диссертационной работы:

1. алгоритм моделирования устойчивых случайных величин с бесконечным математическим ожиданием (а £ (0,1]), основанный на применении ОЦПТ;

2. алгоритм моделирования устойчивых случайных величин с конечным математическим ожиданием а € (1,2), основанный на применении ОЦПТ;

3. алгоритм моделирования устойчивых случайных векторов в случае дискретной спектральной меры, основанный на применении ОЦПТ;

4. алгоритм моделирования устойчивых случайных векторов для сферически симметричной спектральной меры, основанный на применении ОЦПТ;

5. программная реализация разработанных алгоритмов моделирования устойчивых случайных величин и векторов.

Внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс на факультете прикладной математики и кибернетики Тверского госуниверситета. Методы моделирования устойчивых случайных векторов, полученные в диссертации, представлены в дисциплине «Моделирование трейдинговых стратегий».

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Второй Российской школе-конференции для молодых ученых с международным участием «Математика, информатика, их приложения и

роль в образовании» (8-12 декабря 2010 года, Тверской государственный университет, Тверь), на XIV Всероссийском симпозиуме с международным участием по теории и приложениям непараметрических и робастных статистических методов «НЕПАРАМЕТРИКА- XIV» (1-3 июля 2012 года, Томский государственный университет, Томск).

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах, приведенных в конце автореферата, 4 из которых опубликованы в журналах, рекомендуемых ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и изложена на 132 страницах. Список литературы содержит 80 наименований, включая работы автора.

Содержание работы. Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулированы цель п задачи диссертационной работы, приведен обзор работ, посвященных описанию, моделированию и применению устойчивых законов, кратко изложены структура н содержание диссертации.

В первой главе введены основные определения, понятия и теоретические результаты теории устойчивых распределений, необходимые в дальнейшем. Кратно изложена история появления интереса к устойчивым распределениям.

В разделе 1.1 даны наиболее часто используемые определения устойчивых распределений. В качестве основных определений выделены два их них. Первое отражает главное свойство устойчивых законов:

Определение 1 Случайная величина У € В? называется устойчивой, если для любых ее независимых копий У\ и Уч и для УСх, С% > 0 существуют такие Сз > 0 и О €Е В?, что

С1У1 + С2У2 = С3У + О.

Если 0 = 0, то с.в. У называется строго устойчивой (с.у.).

Замечание. Знак «=» обозначает совпадение распределений случайных величин.

Второе определение основано на обобщенной центральной предельной теореме и положено в основу способа моделирования, описанного в представленной диссертации:

Определение 2 Устойчивые законы являются предельными распределениями для нормированной суммы независимых одинаково распределенных

центрированных (при а > \) случайных величин Хх,...,Хп £ И'1, входящих в область притяжения устойчивого распределения У

„ +... + Хп .

Ьп =-;-—.-=> У при п —¥ оо. (1)

Ь ■ п1/0 г у '

Показано, что устойчивые распределения характеризуются асимметрией, а также «тяжелыми хвостами». Для описания характеристических функций устойчивых законов был выбран параметрический подход. В общем случае, устойчивые распределения описываются четырьмя параметрами: параметр устойчивости а 6 (0,2), параметр асимметрии ¡3 6 [—1,1], параметр сдвига ц € (—оо,оо) и параметр масштаба а > 0. Дана интерпретация перечисленных параметров.

В связи с тем, что только для четырёх наборов параметров выражения для плотностей /(х, а, /3, /к, а) имеют достаточно простой вид, существует трудность в изучении аналитических свойств устойчивых распределений. Поэтому описание устойчивых законов осуществляется через нх характеристические функции.

Во втором разделе первой главы приведены формулировки основных параметризации характеристических функций устойчивых законов: (А), (В), (М). Например, характеристическая функция в форме (А) имеет вид:

, ехр{-<гЗ|*|а[1 - 1(5А ^ + «>л«}, <* ? 1,

= | ехр{-<7ЛИ[1 + г0А^дп(г) 1п(г)] + а = 1.

Дано обоснование существования многочисленных форм записи, представлены взаимосвязи между параметризациями. Кроме того, описана предельная форма параметризации для устойчивых законов— форма (Ь).

В разделе 1.3 перечислены наиболее важные свойства устойчивых распределений и их функций плотностей. Рассмотрено понятно области притяжения устойчивых законов. Описаны распределения, которые входят в область притяжения устойчивых законов.

В заключении главы 1 приведены области применения устойчивых законов. Показана практическая значимость и актуальность темы исследования.

Во второй главе рассмотрено моделирование одномерных устойчивых распределений.

В первом разделе второй главы описаны ранее известные методы: метод, основанный на интегральном представлении Золотарева, и метод,

использующий представление устойчивой случайной величины в виде ряда LePage'a. Главным недостатком этих представлений является то, что их аналоги в многомерном случае не были получены. Например, для вывода многомерного аналога представления Золотарева необходимо применение теоремы Коши в Zd, что является практически невыполнимой задачей.

Остается путь, связанный с обобщенной центральной предельной теоремой. Ранее1 были получены выражения для параметров в ОЦПТ, при этом в качестве слагаемых рассматривались случайные величины из области притяжения устойчивых законов. Но эти выражения, справедливые при количестве слагаемых п —¥ оо, не подходят для моделирования.

В разделе 2.2.1 описаны вспомогательные понятия. Обоснован выбор распределения Парето, которое обеспечивает получение наиболее простых формул для параметров в обобщенной ЦПТ. Это свойство приобретает значение в условиях ограниченности ресурсов, как временных, так и аппаратных. Для проверки влияния поведения случайных величин Xj около нуля на формирование устойчивых чисел была использована смесь распределений Парето и равномерного на положительной и отрицательной полуосях.

Поскольку устойчивые распределения имеют явные представления для характеристических функций, то необходимо получить выражение для характеристической функции суммы из ОЦПТ и произвести подбор параметров, имея в виду, что

fs„(0 f v{t), Vie Я при n ^ оо. (2)

Процесс моделирования накладывает ограничение на теоретическое положение п —¥ оо, п может быть достаточно большим, но не бесконечным. Поэтому для конечного п необходимо подобрать параметры, минимизирующие выбранное расстояние между характеристическими функциями S л и Y.

Изложены теоретические результаты, используемые в дальнейшем при описании предлагаемого подхода к моделированию. В силу равномерной сходимости, следующей из (2), необходимо определить границу области D, в которой рассматриваются характеристические функции. Для этого воспользуемся равенством Парсеваля2. Показано существование

'Ucliailîin V.V., Zolotarev V.M. Chance and Stability. Stable Distributions and their Applications. -Utrecht: VSP, 1999. - 594 p.

2Маслов О.H. Устойчивые распределения и их применение в радиотехнике. - М: Радио п связь, 1У9-1. - 1S2 с.

специфики при переходе от неполной гамма-функции Эйлера к полной.

В записи характеристической функции устойчивого закона присутствует параметр сдвига ц, который предполагается равным нулю.

В разделе 2.2.2 описан алгоритм моделирования устойчивых чисел при а £ (0,1). Подробно приведены доказательства с выводом соответствующих формул для параметризации (А), т.к. она является наиболее распространенной. С помощью формул перехода между параметризациями можно подобрать параметры для форм (В), (М). Кроме того, описана предельная форма для устойчивых законов - форма (Ь), которая является более естественной при а —¥ 1.

Как было отмечено выше, значение нормирующего параметра

„ , , ______1/а

ь =

¿(г(.-^ф)'

полученное в ОЦПТ из (1) при допущении п оо не позволяет правильно моделировать устойчивое распределение при конечном п. Поэтому были получены выражения для характеристической функции распределения Парето, а также для смеси распределений Парето с носителями на положительной п отрицательной полуосях.

Показано, что несмотря на отсутствие математического ожидания, необходим сдвиг. В силу сказанного, формулу (1) для £>„ необходимо изменить следующим образом:

+ +

5» = Ь-пЧ* +а' (3)

В следующей теореме получены асимптотические представления для параметров Ь и а из (3):

Теорема 1 Пусть Аь А'г,..., Хп - независимые одинаково распределенные случайные величины, представимые как

Х} = V ■ Х+ + ч ■ Х~, [0,1], ц = 1 - р, (4)

где слагаемые имеют распределение Парето с носителем па положительной и отрицательной полуосях и имеют функции распределения вида (г, I > 0):

Рх+(х) = { I - Х ^ г' и Рх-(х) = { р Х ^ (5)

х> w 10, кг Х3 w I о, х > -I. '

Если в сумме (3) определять параметры следующим образом:

6» = pr° [cos f • Г (l - a, - f

cosf.r^-a.^-fÄl^]!

+

-Р

+ q

a = aaAßA tgHite«-

г Л _ _1ФЛ

t 1 V1 Q' ¡Я!'/« )

im1/"-'

Ti-rsint 2 ') 2 im1/""1

+

l „I sin(^ll)

bnl/o-1 "Г 2 im1/»-1

, i 7^0,

то 5„ У при п оо, где У ~ 5,0(ал, Ра, 0) при а € (0,1).

Система взаимосвязи параметров смеси распределений Парето и устойчивого закона выглядит следующим образом:

P + q = 1,

рг" + gl" = а%

= я.

(6)

Вследствие того, что нормирующий и центрирующий параметры зависят от t, был разработан алгоритм нахождения оптимальной пары параметров в (3), которая минимизирует максимальное отклонение характеристических функций в области D:

(Ьопт, Оонт) = arg min max |fs„ (tj) - fr{tj)\-

(b(tj),a(tj))

В приложении помещены значения параметров для моделирования устойчивых случайных величин в форме (А).

Примеры моделирования устойчивых случайных величине в форме (А) можно увидеть на рисунке 1.

Кроме того, показано, каким образом необходимо определить параметры а и Ъ для получения устойчивых случайных чисел в формах (М), (В) и (L).

Рис. 1: График функций плотности -распределения сгенерированных случайных чисел и устойчивой случайной величины в форме (А) при п = 104. К = 10 , а) а = 0.3, о а = 1. Ь)

а = 0.9, оА = 1

В разделе 2.2.3 описано моделирование устойчивого распределения при а = 1 в случае смеси распределений Парето, а также для смеси распределений Парето и равномерного. Проведено вычисление характеристической функции суммы распределений Парето и смеси распределений Парето на положительной и отрицательной полуосях. При а = 1 соответствующая сумма Бп также имеет вид (3). Для того, чтобы характеристическая функция суммы имела в пределе вид характеристической функции устойчивого распределения с а = 1, необходимо определить параметры а и Ь следующим образом:

а = (рг - д/)(1 - 7 + 1п(6п)) - рг 1п(г) + 1п(0, ,

и 2,

где у- постоянная Эйлера.

Система взаимосвязи параметров имеет вид (6) с а = 1. Кроме того, для моделирования двухстороннего устойчивого распределения при а = 1 можно также использовать смеси распределений Парето и равномерного на положительной и отрицательной полуосях:

= 91 ' + ® " Хг2 + Р1 • Х+ + р2 ■ Х+,

где Р1 + Рг = Р, <?1 + 92 = 9, р + 9 = 1, Х~1: Xравномерно распределенные случайные величины соответственно на интервалах (—0) и (0; г),

-случайные величины, распределенные по Парето соответственно на лучах (—оо; — I] и [г; оо), г, ^ > 0. Для этого случая также были получены соответствующие выражения для вычисления параметров 6 и а и система соотношений параметров смеси распределений Парето и равномерных. Результаты моделирования продемонстрированы на графиках.

В разделе 2.2.4 разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных величин с характеристическим показателем а € (1,2). В этом случае слагаемые X) необходимо центрировать:

Х^=р-Х;+д-Хг, ре [0,1], <7=1-?, (8)

где Х+ = Х+ - МХ+, Хг = X]- - МХ~, Х+, X+ - распределенные по Парето (см. (4)) случайные величины с носителями на положительной и отрицательной оси соответственно, а МХ^ и МХ~ их математические ожидания.

Полученное выражение для параметра Ь в предположении, что п имеет порядок 103 — 106, можно применять при а 6 (1, а*(п)]. В то же время оно не позволяет моделировать устойчивые случайные величины при а £ (а*(п), 2). Это происходит вследствие того, что с ростом а функция плотности /у(ж) становится все более симметричной, несмотря на различные значения коэффициента /Зд. Этим свойством должна обладать и эмпирическая функция плотности Ее симметричности можно

добиться подбором скорректированного коэффициента асимметрии (3*А за счет изменения вероятностей смеси р и д в (8).

Теорема 2 Пусть Х\, Хъ, ■.., Хп имеют вид (8). Если вычислять поправочное значение для вероятности р по итерационной формуле

д (т> _ \АаааАРАЧтзгдп® -р^Мр - д

Мр - Мд

где

Va -sm(^f)sign(t)T(2-a, J^) , к t2r2 cos f sign{t)

Mp = ^rr---w , -+

M,=

ba (a - 1) 2 b2n2/"~l(a - 1) !

8in(^)3»gn(f)r(2 - a, ^Ь) V t2l2 cos fsignjt) b° ' (a - 1) 2 b2n2'°-\a - 1) '

а нормирующий множитель b находить из соотношения:

1 (J гЧ> I l^°cos(*f)r(2-0,^) ftysill¥ N

PF5J 4" (o-l) ^ f-'n'/'-'Ca-l)/^

I / IV , l<l"rcos(^)r(2-,,^) ^Psin^ Л

"y2b2~a(a—l)2n2/a_1 (a-1) ^ i(°-l)/у '

(10)

mo fsn{t) будет равномерно сходиться к fy(í) в области D при п оо.

Разработан алгоритм для нахождения оптимальных параметров (3*А и Ъ. Результаты работы алгоритма показаны на графиках (см. рисунок 2).

(а) (Ь)

Рис. 2: График функций плотности распределения сгенерированных случайных чисел и устойчивой случайной величгты в форл1е (А) при п = 104, К = 10° а) при а — 1.2, Па = I и разных (На, Ь) при [~>а = 0.5 и разных а, о а

Аналогичные выражения для (9) и (10) и алгоритм моделирования получены для смеси распределений Парето и равномерного.

Составлена таблица, в которую помещены значения параметров (3*А и Ь для случая смеси распределений Парето при г = I = а а, применяемые для моделирования устойчивых случайных величин 5а(1. Ра, 0).

Замечание. Отметим, что критерии согласия Колмогорова-Смирнова и X2 Пирсона показали согласие распределения смоделированных данных с устойчивым. Кроме этого, для оценки качества аппроксимации использовались средняя абсолютная ошибка МАЕ и средняя абсолютная процентная ошибка МАРЕ.

В третьей главе описано моделирование устойчивых случайных векторов.

В первом разделе третьей главы изложены некоторые сведения о многомерных устойчивых законах. Описаны формы представления характеристических функций.

Во втором разделе третьей главы описано моделирование устойчивых векторов на основе ОЦТП с дискретной спектральной мерой:

I

г(.) = $>«*<,,

1=1

где ад; >0- веса, 5точечная единичная масса в 6 Б^1.

Характеристическая функция в форме (А) многомерного устойчивого вектора с дискретной спектральной мерой имеет вид:

I 1=1

В этом случае слагаемые X) имеют распределение Парето с функцией плотности:

/рМ = Г

О, иначе,

(11)

Получены формулы для нормирующего параметра. Например, для случая а £ (0,1) Ь должен вычисляться из соотношения:

ь

Ъп =

¿й|(*.6)№(1 - С, «$>!:) соз^. 1=1

¡=1

Соответствующие веса гщ связаны с параметрами распределения Парето следующим образом: ги; =

Адекватность разработанного метода для й = 2 продемонстрирована на графиках. В частности, было сгенерировано одномерное распределение, когда спектральная мера имеет два противоположных направления.

Пример моделирования устойчивого вектора, имеющего дискретную спектральную меру в трех направлениях:

-2 0 2 (Ь)

-0.5 0 0.5

Рис. 3: а) График функции плотности распределения сгенерированных случайных векторов при а = 0.5, п = 103, К = 104, Р1 = 0.5, р2 = 0.3, р3 = 0.2, ^ = 0, = х, (£>з = Ъ) точечное распределение, с) линии уровня

Выражение для нахождения нормирующего параметра b при а € (1,2) имеет вид:

i £ PtlC.6)МТ(2 — а, cos f

ъа =

а - 1

1=1

Пример моделирования симметричного устойчивого вектора для а = 1.9 и заданных направлений спектральной меры ipi:

f(*,y)

<Ь)

(а)

Рис. 4: а) График функции плотности распределения сгенерированных случайных векторов при а = 1.9. п = 103, К = 104, р1 — 1/6, = (I — 1)тг/3. 1 = 1,6, Ь) точечное распределение,

с) линии уровня.

Третий раздел третьей главы посвящен моделированию сферически симметричных распределений, которые имеют характеристическую функцию

Функция плотности слагаемых X^ будет иметь вид:

г, |г| ^С^"1

I 0, иначе,

где IS^1! - площадь поверхности единичной сферы.

Тогда нормирующий параметр Ъ при а £ (0,1) удовлетворяет соотношению:

а _ 1 ( Г(1 — a) cos 2^-|i|nrnr(d/2)r(e;^-) r|iI1"0 cos 2^r(d/2)\

b V^W) + r(¥i/'

Пример моделирования сферически вектора для а = 0.5:

симметричного устойчивого

Рис. 5: а) График функции плотности распределения сгенерированных случайных векторов при а — 0.5. п = К = 10''; Ь) точечное распределение, с) линии уровня

В случае а 6 (1,2) параметр Ь находится из уравнения:

Ь° =

1 ( Г(1 - а) соз ^¿|УТ(сг/2)Г(^) 1 гЩ2

ч^Г(^)

-2 , Ъ2~а{а — 1)(а — 2)п*<1/

На рисунке 6 показан пример моделирования сферически симметричног о вектора при а = 1.3.

м

Рис. 6: а) График функции плотности распределения сгенерированных случайных векторов при а = 1.3, п = 103, К = 104, Ь) точечное распределение, с) линии уровня

Программная реализация разработанных алгоритмов и методик осуществлена в системе МаНаЬ. Для упрощения ввода параметров, сохранения и загрузки сгенерированных случайных чисел использован графический интерфейс. Программный комплекс состоит их двух модулей: модуль моделирования устойчивых величин и модуль моделирования устойчивых векторов. На вход подаются параметры требуемого устойчивого распределения У, а также параметры распределения X) из области притяжения У. Результатом работы программы являются К случайных чисел, имеющих устойчивое распределение в выбранной форме параметризации.

Основные результаты. В ходе решения поставленных в диссертационной работе задач были достигнуты следующие результаты:

1. разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных величин с бесконечным математическим ожиданием (а 6 (0,1]): уточнена формула для й,, и получены выражения для се характеристической функции

^ выявлена взаимосвязь параметров распределений У и Xполучены асимптотические представления параметров Ь и сдвига а в 5„;

2. разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных величин с конечным математическим ожиданием (о € (1,2)): выведены формулы для характеристической функции ,!?„, получены выражения и разработан алгоритм для вычисления скорректированного коэффициента В*л и нормирующего множителя 6;

3. разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных векторов в случае дискретной спектральной меры: определен вид характеристической функции суммы 51,,, получены формулы для нормирующего параметра Ъ;

4. разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных векторов для сферически симметричной спектральной меры: получены формулы для нормирующего множителя отдельно для случаев а 6 (0,1) и а 6 (1,2);

5. разработанные алгоритмы реализованы в программном комплексе, использование которого позволяет моделировать устойчивые случайные величины и векторы.

Результаты, полученные в диссертации, позволяют расширить круг практических задач, решаемых в математических моделях с «тяжелыми хвостами», за счет возможности использования датчика устойчивых случайных векторов.

Публикации автора по теме диссертации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Архипов C.B., Багрова И.А. О моделировании односторонних устойчивых случайных величин // Вестник Тверского госуниверсптета. Серия: Прикладная математика, выпуск 4(15). -Тверь: изд-во Тверского государственного университета, 2009. -с. 53-62.

2. Архипов C.B., Багрова И.А. О моделировании устойчивых случайных величин при а близких к единице // Вестник Тверского госуниверсптета. Серия: Прикладная математика, выпуск 3(18). -Тверь: изд-во Тверского государственного университета, 2010. -с. 5-14.

3. Архипов C.B., Багрова И.А. О моделировании двухсторонних устойчивых случайных чисел при а £ (0,1) // Вестник Тверского госуниверситета. Серия: Прикладная математика, выпуск 1(24). -Тверь: изд-во Тверского государственного университета, 2012. - с. 103116.

4. Багрова И.А.Моделирование устойчивых случайных величин в случае альфа равном единице // Вестник Тверского госуниверсптета. Серия: Прикладная математика, выпуск 4(23) - Тверь: изд-во Тверского государственного университета, 2011. - с. 51-62.

Прочие публикации автора по теме диссертации

1. Багрова И.А. О моделировании устойчивых случайных величин// Математика, информатика, их приложения и роль в образовании: материалы второй Российской школы-конференции для молодых ученых с международным участием: статьи, обзоры, тезисы докладов. - Тверь: Твер. гос. ун-т, 2010. - с. 32-37.

Технический редактор A.B. Жильцов Подписано в печать 20.11.2012. Формат 60 х 80 Бумага типографская №1. Печать офсетная. Усл. печ.л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ № 580. Тверской государственный университет. Редакционно-издательское управление. Адрес: Россия, 170000, г. Тверь, ул. Желябова, 33. Тел. РИУ: (4822) 42-60-63.

Введение.

1 Об устойчивых случайных величинах

1.1 Определения и параметры устойчивых распределений.

1.2 Параметризации устойчивых распределений.

1.3 Свойства устойчивых законов.

1.4 Применения устойчивых распределений.

2 Моделирование одномерных устойчивых случайных величин

2.1 Ранее известные методы моделирования.

2.2 Моделирование устойчивых случайных величин на основе обобщенной ЦПТ.

2.2.1 Вспомогательные утверждения.

2.2.2 Моделирование устойчивых случайных величин с бесконечным математическим ожиданием при а е (0,1).

2.2.3 Моделирование устойчивых случайных величин с бесконечным математическим ожиданием при а = 1.

2.2.4 Моделирование устойчивых случайных величин с конечным математическим ожиданием при а 6 (1,2).

3 Моделирование устойчивых случайных векторов.

3.1 Некоторые сведения о многомерных устойчивых законах

3.2 Моделирование устойчивыхучайных векторов дискретной спектральной мерой на основе ОЦПТ.

3.3 Моделирование сферически симметричных. устойчивых распределений в ^.

Актуальность

При изучении и построении вероятностных моделей различных явлений часто используется хорошо исследованное нормальное распределение, зависящее от двух параметров, описывающих его. Но нормальное распределение, в свою очередь, принадлежит более широкому классу устойчивых распределений, обладающих набором четырех параметров, благодаря чему при их применении возможна более тонкая настройка модели под реальные данные. Кроме того, использование нормального распределения не приводит к удовлетворительным результатам для описания явлений, имеющих импульсный характер, когда вероятность появления экстремального значения отлична от нуля. Поэтому устойчивые распределения, главной особенностью которых являются «тяжелые хвосты», нашли широкое применение во многих областях [12], [69], [72]. В силу того, что многие эмпирические данные имеют такое распределение, необходимо строить модели, обладающие этими свойствами. Например, при описании и получении характеристик процессов в теории лазерного охлаждения атомов [7] и радиотехнике [17]. В [63] устойчивые распределения использовались для получения оптимального портфеля акций на основе методологии УаЯ. В работе [10] авторы используют устойчивые распределения и предлагают алгоритм определения параметров регрессионных уравнений, обеспечивающий максимально правдоподобное оценивание даже в ситуациях, когда распределение случайных ошибок имеет большую дисперсию. Кроме того, устойчивые законы применяются в математических моделях точечных источников влияния, примерами которых являются гравитационное поле звезд, распределение температур в ядерном реакторе, распределение напряжений в кристаллических решетках. Моделирование устойчивых случайных векторов необходимо также для проверки робастности методов оценки их параметров. Таким образом, имеющаяся потребность оценивания параметров эмпирического распределения и построения моделей с использованием устойчивых распределений делает актуальной задачу настоящего исследования по разработке датчика для моделирования этих законов с заданными параметрами.

Обзор литературы

Устойчивые распределения описывались в монографиях Б.В.Гнеденко и А. Н. Колмогорова [9], В. Феллера [21], И. А. Ибрагимова и Ю. В. Лхшника [13] и В. В. Петрова [19]. Основные результаты, касающиеся характеризации устойчивых законов, вошли в книгу A.M.Кагана, Ю.В. Линника и С. Р. Pao [14]. Вопросы, связанные с аналитическими свойствами устойчивых законов, рассматривались в монографиях В. Феллера, И. А. Ибрагимова и Ю. В. Линника, в книге Е. Лукача [16], а также в статье Д. Холта и Е. Кроу [37]. Труды следующих авторов специально посвящены устойчивым распределениям и процессам: Золотарев В.М., Учайкин В.В., Janicki A., Weron А., Samorodnitsky G., Taqqu M.S., Nolan J. P.

Исторически первым появился датчик для односторонних устойчивых случайных величин, использующий интегральное представление функции распределения, полученное в статьях Ибрагимова, Чернина [35] и Kanter'a [43]. Затем на основе интегрального представления Золотарева [32], [51] Chambers, Mallows, Stuck разработали датчик устойчивых чисел с произвольными параметрами, использующий экспоненциально и равномерно распределенные случайные величины. Другая методика, основанная на представлении устойчивых величин с помощью случайных рядов LePage'a была предложена A. Janicki и A.Weron'oM [42].

Цель работы

Целью работы является разработка метода моделирования устойчивых случайных величин и векторов, основанного на обобщенной центральной предельной теореме (ОЦПТ) [12]:

Х\ + . + Хп а оп =---=> У, при п —> оо, а £ (0, 2). где Х3 - центрированные (при а > 1) независимые одинаково распределенные случайные величины со значениями из (¿-мерного евклидова пространства В!1, принадлежащие области притяжения устойчивых законов, а нормирующий множитель 6 зависит от формы параметризации устойчивой случайной величины У.

Таким образом, стоит задача получить такие значения параметра 6, чтобы распределение суммы сходилось к распределению устойчивой случайной величины У. Эту задачу можно решить через рассмотрение соответствующих им характеристических функций. Следовательно, необходимо получить характеристическую функцию суммы 5П. Первым шагом является разработка датчика для одномерного случая.

Основные задачи I

Для достижения поставленной цели в диссертации решены следующие задачи: получены асимптотические представления параметров в ОЦПТ для устойчивых случайных величин с бесконечным математическим ожиданием (в случае, когда показатель устойчивости а £ (0,1]); получены асимптотические представления параметров в ОЦПТ для устойчивых случайных величин с конечным математическим ожиданием (а 6 (1,2)); получены асимптотические представления параметров в ОЦПТ для устойчивых случайных векторов в случае дискретной спектральной меры; получены асимптотические представления параметров в ОЦПТ для устойчивых случайных векторов в случае сферически симметричной спектральной меры.

Методика исследования

Для построения алгоритмов моделирования используется ОЦПТ. Для вывода формул применяется метод характеристических функций, асимптотические методы математического анализа, численные методы и комплексный анализ. Программная реализация разработанных алгоритмов и методик осуществлена в системе Ма^аЬ.

Практическая и теоретическая значимость работы

К настоящему времени разработаны два метода моделирования устойчивых величин: а) с помощью интегрального представления Золотарева; б) с помощью представления устойчивых случайных величин рядами LePage'a.

Однако для этих методов не были получены обобщения для многомерного случая. Предложенный в диссертационной работе метод, основанный на ОЦПТ, может быть использован для моделирования устойчивых случайных векторов в Яа с произвольной спектральной мерой, как дискретной, так и непрерывной. Поэтому он может применяться для построения математических моделей с «тяжелыми хвостами» распределения, появляющихся в различных разделах науки.

В ходе работы над диссертацией был разработан комплекс программ, реализующий разработанные методы и алгоритмы моделирования устойчивых случайных величин и векторов.

Для упрощения ввода параметров, сохранения и загрузки сгенерированных случайных чисел использован графический интерфейс. Программный комплекс состоит их двух модулей: модуль моделирования устойчивых величин и модуль моделирования устойчивых векторов.

На вход подаются параметры требуемого устойчивого распределения У, а также параметры распределения Х^ из области притяжения У. Результатом работы программы являются К случайных чисел, имеющих устойчивое распределение в выбранной форме параметризации.

Внедрение результатов работы

Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс на факультете прикладной математики и кибернетики Тверского госуниверситета. Методы моделирования устойчивых случайных векторов, полученные в диссертации, представлены в дисциплине «Моделирование трейдинговых стратегий».

Апробация

Основные результаты работы докладывались на Второй Российской школе-конференции для молодых ученых с международным участием «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (812 декабря 2010 года, Тверской государственный университет, Тверь), на XIV Всероссийском симпозиуме с международным участием по теории и приложениям непараметрических и робастных статистических методов «НЕПАРАМЕТРИКА- XIV» (1-3 июля 2012 года, Томский государственный университет, Томск).

Достоверность и обоснованность

Достоверность полученных результатов основана па использовании ОЦПТ, а также на подтверждении результатов моделирования теоретическими результатами, полученными аналитическими методами.

Структура работы и ее содержание

Структурно диссертация состоит из введения, трех глав основного содержания, заключения, приложений и библиографии.

Заключение

В ходе решения поставленных в диссертационной работе задач были достигнуты следующие результаты:

1. разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных величин с бесконечным математическим ожиданием (а £ (0,1]): уточнена формула для ¿>п и получены выражения для ее характеристической функции выявлена взаимосвязь параметров распределений У и Х^, получены асимптотические представления параметров 6 и сдвига а в5„;

2. разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных величин с конечным математическим ожиданием (а € (1,2)): выведены формулы для характеристической функции 5П, получены выражения и разработан алгоритм для вычисления скорректированного коэффициента /Зд и нормирующего множителя 6;

3. разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных векторов в случае дискретной спектральной меры: определен вид характеристической функции суммы получены формулы для нормирующего параметра Ь\

4. разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных векторов для сферически симметричной спектральной меры: получены формулы для нормирующего множителя отдельно для случаев а Е (0,1) и а 6 (1,2);

5. разработанные алгоритмы реализованы в программном комплексе, использование которого позволяет моделировать устойчивые случайные величины и векторы.

Результаты, полученные в диссертации, позволяют расширить круг практических задач, решаемых в математических моделях с «тяжелыми хвостами», за счет возможности использования датчика устойчивых случайных векторов.

1. Архипов C.B., Багрова И.А. О моделировании устойчивых случайных величин при а близких к единице // Вестник Тверского госуниверситета. Серия: Прикладная математика, выпуск 3(18). -Тверь: изд-во Тверского государственного университета, 2010. -с. 5 14.

2. Архипов C.B., Багрова И.А. О моделировании двухсторонних устойчивых случайных чисел при а е (0,1) // Вестник Тверского госуниверситета. Серия: Прикладная математика, выпуск 1(24). -Тверь: изд-во Тверского государственного университета, 2012. -с.103-116.

3. Багрова И.А. Моделирование устойчивых случайных величин в случае альфа равном единице. Вестник Тверского госуниверситета. Серия: Прикладная математика, выпуск 4(23) Тверь: изд-во Тверского государственного университета, 2011. - с. 51-62.

4. Барду Ф., Бушо Ж.-Ф., Acne А., Коэн-Таннуджи К. Статистика Леви и лазерное охлаждение. Как редкие события останавливают атомы // Пер. с англ. под ред. В.П. Яковлева. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 216 с.

5. Гнеденко Б.В. К теории областей притяжения устойчивых законов. Учёные записки Московского университета 30, 1939, с. 61—82.

6. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.;Л.: Гостехиздат, 1949. -264 с.

7. Денисов В.П., Тимофеев B.C. Устойчивые распределения и оценивание параметров регрессионных зависимостей // Известия Томского политехнического университета. Томск: Изд-во ТПУ. -2011. - Т.318, №2. - с. 10-15.

8. Золотарев В.М. Устойчивые законы и их применения. М.: Знание, 1984. - с.64

9. Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения. М.: Наука, 1983. - 304 с.

10. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М., 1965 г. - с. 524

11. Каган A.M., Линник Ю. В., Pao С.Р. Характеризационные задачи математической статистики. М.: Наука, 1972.- 656 с.

12. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. М.: Наука, 1972. - 375 с.

13. Лукач Е. Характеристические функции. М: Наука, 1979. - 249 с.

14. Маслов О.Н. Устойчивые распределения и их применение в радиотехнике. М: Радио и связь, 1994. - 152 с.

15. Маслов О.Н. Моделирование вероятностных распределений с «тяжелыми хвостами». // Инфокоммуникациопные технологии.-2011- Т.9, Nl.-c. 8-15.

16. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972,- 416с.

17. Хинчнн А. Я. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. ГОНТИ, 1938.

18. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2.-М.: Мир. 1967.-752 с.

19. Abdul-Hamid Н. Approximation of multivariate stable densities. Ph. D. thesis, American University. 1996

20. Abdul-Hamid H. and Nolan J. P. Multivariate stable densities as functions. of one dimensional projections. J. Multivar. Anal. 67, 1998. -p. 80-89.

21. Achim, A., Tsakalides P. and A. Bezerianos . SAR image denoising via Bayesian wavelet shrinkage based on heavy-tailed modeling. IEEE Transactions on Geoscicnce and Remote Sensing 41, 2003. p. 1773-1784.

22. Araujo, A. and E. Gine The Central Limit Theorem for Real and Banach Valued Random Variables. NY: Wiley. 1980.

23. Bak. P. How Nature Works. Copernicus, Springer-Verlag, New-York (1996).

24. Borak S. , Hardle W., Weron R. Statistical Tools in Finance and Insurance. Springer, 2005.- 517p.

25. Bouchaud J.P., Georges. A. // Anomalous diffusion in disordered media: statistical mechanisms, models and physical applications. Phys. Rep. 195, 1990. p. 127-293 .

26. Bouchaud J.P., Potters. M. Theory of Financial Risks. Cambridge University Press, 2000.

27. Byczkowski T., Nolan J. P., Rajput B. Approximation of multidimensional stable densities. J. Multivar. Anal. 46, 1993. -p. 13-31.

28. Chambers J., Mallows C., Stuck B. A method for simulating stable random variables. // Journal of the American Statistical Association. Theory and Methods Section. 1976. Vol. 71, № 354. - p. 340-344.

29. Combe G., Roux J. N. Stress versus strain in granular materials: A Devil staircase. Phys. Rev. Lett. 85, 3628 (2000).

30. Dance C. R., Kuruoglu E.E. Estimation of the Parameters of Skewed cv-Stable Distributions American University, Washington, DC, 3-5 June 1999- 9p. http://www.eurasip.org/Proceedings/Ext/NSIP99/Nsip99/papers/45.pdf

31. Ibragimov I.A., Chernin, K.E. On the unimodality of Geometric stable laws //Theory of Probability and Its Applications, 4, No. 4 (1959), 417-19.

32. Heath D., Resnick S., Samorodnitsky G. Heavy tails and long range dependence in on/off processes and associate fluid models. Math. Op-er.res., 23(1), 1998.-pp. 125-165.

33. Holt D.R., Crow E.L. Tables and graphs of the stable probability density functions. J. Research Nat. Bur. of Standarts, Sect. B, 1973, v. 1973, N 3-4, 143-197.

34. Fama E. F. The behaviour of stock prices //Journal of Business 60,1965. -p. 401-424.

35. Fama, E. F., French, K. R. Common risk factors in the returns on stocks and bonds //Journal of Financial Economics 33, 1993. p.3-56.

36. Fama E. F., French K. R. Size and book-to-market factors in earnings and returns // The Journal of Finance 50, 1995. p.131-155.

37. Fofack H., Nolan J.P. Tail Behavior, Modes and Other Characteristics of Stable Distributions.

38. Extremes, Vol.2, No.l., 1 March 1999.-p. 39-58,

39. Janicki A., Weron A. Simulation and Chaotic Behavior of o-Stable Stochastic Processes. -New York: Marcel Dekker, 1994. 355 p.

40. Kanter M. Stable densities under change of scale and total variation inequalities. The Annals of Probability. - 1981. Vol. 9, No4. - p. 624-632.

41. LePage P., Woodroofe M., Zinn J. Convergence to a stable distribution via opder statistics41st Conference on Simulation and Modelling, Scandinavian Simulation Society, 2000.-p. 87-94.

42. Levy P. Theorie de 1'addition des variables aleatoires. Paris (1937, also 1954).

43. Nolan. J. // http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/stable.html

44. Nolan, J. Maximum likelihood estimation amd diagnostics for stable distributions. URL:http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/stable.html

45. Nolan, J. P. and B. Rajput. Calculation of multidimensional stable densities. Commun. Statist. Simula. 24, 1995. - 551-556.

46. Nolan, J. P. Numerical calculation of stable densities and distribution functions. Commun. Statist. -Stochastic Models 13, 1997.- p. 759-774.

47. Nolan, J. P. Parameterizations and modes of stable distributions. Statistics and Probability Letters, Volume 38, Number 2, 1 June 1998.-p. 187-195

48. Nolan J. P., Swami A. (Eds.) Proceedings of the ASA-IMS Conference on Heavy Tailed Distributions, Washington, DC, 1999

49. Nolan J. P. Modeling financial data with stable distributions. 2005. URL: http://academic2.american.edu/ jp-nolan / stable/StableFinance23Mar2005.pdf

50. Nolan J. P. An overview of multivariate stable distributions. 2008. URL:http://academic2.american.edu/ jpnolan/stable/overview.pdf

51. Mandelbrot B. Sur certain prix spéculatifs: faits empiriques et modèle basé sur les processes stables additifs de Paul Lévy. Comptes Rendus. 254,1962,- p. 3968-3970.

52. Mandelbrot, B. New methods in statistical economics. Journal of Political Econ. 71,1963a.- p.421-440.

53. Mandelbrot B. The variation of some other speculative prices. Journal of Business 40, 1967,- p. 393-413.

54. Mandelbrot B. B. Fractals and Scaling in Finance. Discontinuity, Concentration, Risk. Springer-Verlag, Berlin, 1997.

55. Mandelbrot B. B., Hudson R.L. The (Mis)Behavior of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin, and Reward. Basic Books, 2004. 328 p.

56. Mantegna R., Stanley .H. E. Introduction to Econophysics. Cambridge University Press, 1999.

57. Mittnik S., Rachev S., Schwartz E. Value-at-risk and asset allocation with stable return distributions. Allgemeines Statistisches Archiv, 86:1, 2002,- p. 53-68.

58. Mohammad Ali Baradaran Ghahfarokhi, Baradaran Ghahfarokhi. Applications of Stable Distributions in Time scries analysis, Computer sci-. ences and Financial markets// Word Academy of Science, Engineering and Techology 49 2009, pp. 1027-1031

59. Modarres R., Nolan J. P. A method for simulating stable random vectors. // Computational Statistics 9, 1994.- p. 11-19.

60. Authors: P. Olivares, L. Seco. Stable distribution: A survey on simulation and calibration methodologies. Technical Report, 2003. URL: http://www.risklab.ca/Stableproject.pdf

61. Paul W., Baschnagel. J. Stochastic Processes: From Physics to Finance. Berlin, Springer, 1999.- 232p.

62. Pesquet-Popescu B., Pesquet J.-C. Synthesis of bidimensional a-stable models with long-range dependence

63. Signal Processing, Volume 82, Number 12, December 2002. p. 19271940

64. Rachev S., Mittnik S. Stable paretian models in finance. Wiley, 2000,855 p.

65. Rachev, S., ed. Handbook of Heavy-tailed Distributions in Finance. North Holland, 2003

66. Rachel Kuske, Joseph B. Keller Rate of convergence to a stable law Society for Industrial and Applied Mathematics.Vol. 61, No. 4, Nov., 2000 Jan., 2001,- p. 1308-1323.

67. Samorodnitsky G., Taqqu M.S. Stable Non-Gaussian Random Processes, Chapman and Hall. New York, New York, 1994

68. Shlesinger M.F. , Zaslavsky G.M.,Frisch U. (Eds). Levy Flights and Related Topics in Physics. Lecture Notes in Physics 450, Springer-Verlag, 1995.

69. Stuck B. W., Kleiner B. A statistical analysis of telephone noise. Bell Syst. Tech. J. 53,1974. 1263-1320

70. Tsakalides P., Nikias C. Maximum likelihood localization of sources in noise modeled as a stable processes. IEEE Trans, on Signal Proc. 43, 1995 -2700-2713.

71. Veillet M. http://math.bu.edu/people/mvcillet/research.html

72. Uchaikin V.V., Zolotarev V.M. Chance and Stability. Stable Distributions and their Applications. Utrecht: VSP, 1999. - 594 p.

73. Uchaikin V. V., Gusarov G. G. Simulation of random vectors from three-dimensional spherically symmetric stable distributions // Journal of Mathematical Sciences, Vol. 93, No. 4, 1999,- p.591-599.

74. Zaslavsky. G. M. Chaotic Dynamics and the Origin of Statistical Laws. Physics Today, p. 39-45 (August 1999).

75. Zolotarev, V.M. On Representation of Stable Laws by Integrals // Selected Translations in Mathematical Statistics and Probability, Vol. 6, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1966.- p. 84-88.