автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Моделирование устойчивости систем при стохастическом аэродинамическом воздействии

На правах рукописи

ПАНАЕВ МИХАИЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ПРИ СТОХАСТИЧЕСКОМ АЭРОДИНАМИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

05.23.17 - «Строительная механика»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

|1 9 {-;оя 2ьСЗ

Москва - 2009

003483644

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» (МИИТ)

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Потапов Вадим Дмитриевич.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Чирков Виктор Петрович,

доктор технических наук, профессор Сидоров Владимир Николаевич.

Ведущая организация: Научно исследовательский центр СтаДиО.

Защита состоится « ¿5» ноября 2009 г. в — на заседании диссертационного совета ДМ 218.005.05 при Московском государственном университете путей сообщения, по адресу: 127994, ГСП-4, Москва, ул. Образцова, д.9, стр. 9, ауд. 75~0/.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного университета путей сообщения. Отзывы на автореферат диссертации в двух экземплярах, заверенные гербовой печатью, просим направлять по адресу совета университета.

Автореферат разослан «с?с?» октября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доцент

Шапыкнна М. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

Проблема устойчивости колебаний сооружений, вызванных ветровой нагрузкой, привлекает всё большее внимание инженерного сообщества. Колебания конструкций, возбуждаемые ветровым потоком, могут явиться причиной нарушения их нормальной эксплуатации, а в некоторых случаях стать причиной аварийной ситуации. В работе принципиальные Еопросы устойчивости систем рассматриваются на примере висячих и вантовых мостов, которые, как известно, обладают целым рядом технических, экономических и эстетических достоинств. Большая протяжённость мостов, низкие частоты собственных колебаний, малые значения логарифмических декрементов колебаний делают их особо чувствительными к ветровому воздействию, которое может стать причиной аэродинамической потери устойчивости. Учёт действительного характера случайной нагрузки позволяет максимально приблизить математическую модель, используемую а расчётах, к реальному сооружению, а применение производительных компьютеров в сочетании с современными универсальными программными комплексами для расчётов методом конечных элементов позволяет наиболее обоснованно подойти к решению задач при проектировании и строительстве ответственных сооружений.

Работа выполнялась в рамках гранта Российского фонда фундаментальных исследований №06-01-00095.

Цель диссертационной работы состоит в разработке методики расчёта деформируемых систем при стохастическом аэродинамическом воздействии и создании программ, позволяющих выполнять расчёты на устойчивость динамическим методом с помощью максимального показателя Ляпунова. Практически значимой является задача сопоставления критических параметров системы, получаемых при моделировании ветрового воздействия по данным аэродинамических испытаний, имеющихся в литературных источниках, при установившемся и неустановившемся режиме обтекания конструкций.

Научная новизна работы:

1. Исследуется поведение и устойчивость систем с одной и с конечным числом степеней свободы на основе различных моделей, находящихся под действием детерминированной и случайно изменяющейся во времени нагрузки с помощью максимального показателя Ляпунова.

2. Проанализировано влияние параметров случайных процессов и демпфирования на устойчивость систем. Рассмотрены и сопоставлены различные варианты моделирования аэродинамического воздействия.

3. Разработана универсальная методика и макрос-программы, которые применены к расчёту устойчивости в динамической постановке при воздействии случайно изменяющейся во времени нагрузки.

Практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при проектировании висячих и вантовых мостов, высотных зданий и других инженерных сооружений, восприимчивых к действию ветровой нагрузки, с целью расчётного обоснования принятия решений.

Достоверность результатов. В диссертации используется динамический метод исследования устойчивости систем, являющийся наиболее общим для определения критических параметров. Практическая невозможность получения аналитического решения большинства задач динамики предполагает активное применение в расчётах численных методов, которые позволяют с достаточной степенью точности учесть сложные явления динамической неустойчивости под действием случайной нагрузки. При этом вне зависимости от выбранного метода интегрирования наиболее остро встают проблемы, сопряжённые с выбором временного шага. Устойчивость решения контролировалась путём последовательного уменьшения шага вплоть до значений, приводящих к одинаковым результатам. Кроме того, в некоторых случаях были получены аналитические решения, позволяющие выполнить контроль решения, получаемого численным методом, и удостовериться в их корректности.

Апробация работы была проведена на:

Научно-технической конференции «Наука МИИТа - транспорту», (Москва, 2007 г.) [2];

- XXXV международной научно-практической конференции «Summer School Advanced Problems in Mechanics Conference» (Санкт-Петербург, 2007 г.) [3];

- 66 научно-методической и научно-исследовательской конференции, Московского автодорожного института (Москва, 2003 г.) [5];

- V международной научно-практической конференции «Traiis-Mech-Art-Chem» (Москва, 2008 г.) [6];

Hay чно-технической конференции «Наука МИИТа - транспорту», (Москва, 2008 г.) [7];

Московской городской конференции молодых ученых «Современные проблемы инженерных исследований» (Москва, 2008 г.) [8];

- Девятой научно-практической конференции «Безопасность движения поездов» (Москва, 2008г.) [9];

- заседании кафедры строительной механики Московского государственного университета путей сообщения (Москва, 2009 г). Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в 11 печатных работах, 2 из которых в изданиях, рекомендованных ВАКом.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа включает в себя введение, четыре главы, заключение и четыре приложения, изложена на 173 страницах машинописного текста, включая 76 рисунков, 13 таблиц и список литературы из 113 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении представлено обоснование актуальности темы диссертации, определены цели и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость диссертационной работы.

Первая глава содержит литературный обзор работ, посвященных задачам устойчивости. В этой главе показаны основные направления развития дан-

ной области строительной механики, отмечены работы отечественных и зарубежных учёных. Рассмотрены некоторые работы, посвящённые устойчивости систем, нагруженных неконсервативными силами, среди которых наиболее значимые были выполнены Циглером (Ziegler Н.), В. В. Болотиным, В. П. Радиным и В. П. Чирковым, Е. Л. Николаи, Г. Ю. Джанелидзе, И. Е. Шашковым, К. С. Дейнеко и М. Я. Леоновым, Беком (Beck М.), Германом (Herrman G.), Пфлюге-ром (Pflüger А.), Плаутом (Plaut R. Н.), Лейпхольцем (Leipholz), Хаугером (Hauger W.), Немат-Нассером (Nemat-Nasser S.), Жинжером Н. И., Сейраняном А. П., Мануйловым Г. А.

Обширный цикл работ посвящён исследованию устойчивости упругих и вязкоупругих систем, находящихся под действием случайных нагрузок. Наиболее значимые результаты получены В. В. Болотиным и его школой, М. Ф. Ди-ментбсргом, А. С. Гусевым, В. А. Светлицким, В. Д. Потаповым.

Другой цикл работ посвящён исследованию аэродинамической устойчивости систем, находящихся в ветровом потоке. Как показывает обзор литературы, этими проблемами занимаются многие исследователи как в России, так и за рубежом. Наиболее существенные результаты получили: В. В. Болотин и его ученики, М. И. Казакевич, А. А. Петропавловский, А. А. Потапкин, А. А. Петров, В. Д. Потапов, Б. В. Остроумов, С. Д. Алгазин и И. А. Кийко, Э. Симиу и Р. Сканлан, Alexandrou G., Larsen A., Matsumoto М, Thorbek L., D'Asdia, Miyazaki M., Hernandez S., Yoneda M., Shinozuka M.

Основные положения теории исследования устойчивости рассмотрены в работах Ляпунова А. М., Четаева Н. Г., Неймарка Ю. И., Демидовича Б. П., Бен-нетина (Bennetin G.).

Кроме того, в рамках первой главы рассматриваются некоторые прикладные вопросы теории случайных стационарных процессов, а именно методы моделирования гауссовских случайных стационарных процессов, обладающих свойством эргодичности: метод формирующих фильтров и метод канонических разложений; рассмотрен метод обработки численных реализаций случайного процесса.

Во второй главе рассматривается динамическая устойчивость системы с одной степенью свободы при детерминированном воздействии. На примере уравнения крутильных колебаний балки жёсткости пролётного строения висячего моста проанализировано влияние параметров воздействия, а также демпфирования на значения критических параметров системы 1(а + 2(,иа + ига) =

да

(1)

дт

Здесь первое слагаемое в левой части учитывает силу инерции, второе слагаемое - конструкционное демпфирование, а третье слагаемое учитывает упругий отпор системы. В правой части содержатся слагаемые, учитывающие аэродинамическое демпфирование пропорциональное квадрату скорости ветра и(() и в виде интегрального слагаемого. / - крутильный момент инерции модели, а - угол закручивания, со - частота собственных колебаний, ^ -- коэффициент демпфирования колебаний, Ха, ЗСм/да - аэродинамические постоянные, Хта((-х) - функция, которая определяет значение крутящего момента в момент времени I в зависимости от приращения угла атаки в предыдущие моменты времени т, р - плотность воздуха, В -ширина пролётного строения.

Скорость ветрового потока рассматривается в виде суммы средней и пульсациовной составляющих

и Ц) = и[1+ £(/)], (2)

где и - средняя составляющая скорости ветрового потока (постоянная во времени), - доля пульсационной составляющей скорости ветра.

Поведение системы рассматривается в случае детерминированного воздействия, т. е. когда доля пульсационной составляющей ветровой нагрузки представлена периодической функцией

£(0 = Сяп(е/), (3)

где С - безразмерная амплитуда колебаний скорости ветра, 0 - частота.

Рассматриваются три варианта решения уравнения (1):

s

- аэродинамическое демпфирование не учитывается, т. е. Ха = 0, и интегральное слагаемое равно нулю (вариант 1);

- учитывается аэродинамическое демпфирование, пропорциональное квадрату скорости ветра, т.е. Ха 0, а интегральное слагаемое равно нулю (вариант 2);

- учитывается «полное» аэродинамическое демпфирование, пропорциональное квадрату скорости ветра и в виде интегрального слагаемого (вариант 3).

При численном решении исходное дифференциальное уравнение преобразуется в систему дифференциальных уравнений первого порядка

Х = АХ, W

где Х = {*, (t),x2(i),...,■*„(')} - вектор неизвестных, А - матрица коэффициентов, элементы которой в общем случае являются функциями времени t. Здесь и далее точкой обозначена производная по времени t. Решение уравнений (4) должно удовлетворять начальным условиям ХЦ=Х0, причём X0={x10,x20,...,x„0}, xl0 = const.

Уравнение (4) описывает возмущённое движение линейной упругой системы, записываемое в возмущённых X, (?). Нулевое решение уравнений (4) соответствует невозмущённому движению системы, в частном случае - положению равновесия. При анализе устойчивости невозмущённого движения системы в дальнейшем используется Ляпуновский подход.

Нулевое решение уравнений (4) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого положительного числа е > 0 найдётся такое число 6 > 0, зависящее только от s, что для всякого |.г,0|<£ (¡' = 1,2,....л) справедливо неравенство

|дг, (/)| < е для каждого момента времени t > t«.

Если в дополнение к сказанному при достаточно малых xl0 соблюдается условие lim х{/) =0, то нулевое решение уравнений (4) называется асимптотически устойчивым по Ляпунову.

При исследовании устойчивости стохастических систем используется большое число различных определений устойчивости. В дальнейшем ограничимся определением устойчивости «почти наверное».

Нулевое решение называется устойчивым почти наверное, если

На ЧхМ,0),фо} = 1, (5)

где Р{...} - вероятность события, заключённого в скобках. То же самое решение называется асимптотически устойчивым почти наверное, если оно устойчиво почти наверное и дополнительно выполняется условие

р\Бир 1!х(''х(0>го )|==1 •

Г-юо I 1>т

Для оценки устойчивости невозмущённого движения системы используется максимальный показатель Ляпунова

Л = Нш-1п

N01

|х(ОГ

(7)

где |х(')||= .(^-^(г) - норма вектора X в Евклидовом пространстве, X—

компоненты вектора X, ||Х(*0)| - норма вектора X в начальный момент времени 10.

Известно, что формула (7) при рассмотрении неустойчивой системы может порождать ошибку переполнения буфера ЭВМ, поэтому непосредственный расчёт показателя Ляпунова выполнялся по алгоритму, предложенному Бенне-тиным и др. Решение уравнений выполняется при таких начальных условиях, что ¡!Х(1о)!|=1. На следующем шаге по времени I вектор Х(0 получит значение Х^). Длину вектора Х(Ъ) обозначим с!.. Далее решение уравнений продолжим с другого начального условия , как показано на рис. 1. Значение

Х(Ъ+0 в момент времени обозначим Х(Ъ+1), а длину вектора Х(Ъ-ц) обозначим с!1+1. В результате многократного применения описанной процедуры полу-

чим последовательность чисел с!,, где ¡=1,2,3...ш=Т/Ь (причём Ь - шаг интегрирования).

Рис. 1. Иллюстрация алгоритма, предложенного Бен-нетиным и др. для вычисления

%

показателя Ляпунова Максимальный показатель Ляпунова определяется при этом по формуле

1

Я = lira —-—У In di

(8)

Если при изменении какого-либо параметра системы максимальный показатель Ляпунова оказывается положительным Х>0, то положение равновесия системы неустойчиво, а если Х<0 - асимптотически устойчиво по Ляпунову. Значению Х=0 соответствует критическая величина параметра системы.

При численном интегрировании уравнения (1) применяется метод Рунге-Кутга четвёртого порядка. Алгоритм решения реализован на языке программирования Visual Basic.

Для трёх рассматриваемых вариантов при постоянной скорости ветра, т. е. при 0=0, критические значения скорости ветра получены аналитически и сопоставлены с результатами численного решения.

На рис. 2 представлены графики изменения угла закручивания пролётного строения во времени при различных значениях скорости ветра и, полученные при численном решении уравнения (1) для первого варианта. Видно, что по мере увеличения скорости ветра и частота крутильных колебаний уменьшается и стремится к нулю, когда скорость ветра стремится к критическому значению. При скорости ветра и~127 м/с, превышающей критическую, наблюдается монотонное увеличение угла закручивания, т. е. система обнаруживает дивергентную форму потери устойчивости. При рассмотрении первого варианта показано, что при постоянной скорости ветра значение коэффициента конструкционного демпфирования не влияет на критическую скорость ветра.

и

Рис. 2. Графики изменения угла

закручивания во времени, при

постоянной скорости ветра для

случая, когда аэродинамическое

демпфирование не учитывается О 20 40 60 80 100

На рис. 3 представлены графики изменения угла закручивания пролётного строения во времени, полученные в результате численного решения при различных значениях скорости ветра для второго варианта.

О 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80

Рис. 3. Графики изменения угла закручивания во времени

Видно, что в этом случае форма потери устойчивости - флатгерная.

При рассмотрении третьего варианта система также обнаруживает флат-терную форму потери устойчивости.

На рис. 4 приведены графики, отображающие зависимость значений критических параметров от частоты пульсационной составляющей скорости ветра 0 при различных значениях конструкционного демпфирования полученные при численном исследовании устойчивости уравнения (1).

Из представленных графиков видно, что при частотах, близких к удвоенной частоте собственных колебаний ©«2со = 2-0.74 = 1.48 рад ¡с, наблюдается уменьшение значений критических скоростей ветра. Также видно, что аэродинамическое демпфирование может оказывать существенное дестабилизирующее влияние на устойчивость висячих систем.

а) ик„, м/с

140 г РТ П~Г"

120 100 80 60 40 20 0

х Я ,"т~1 г-

■Т"

" Г "1 ~ Г Т "1 ■с-о-и' ^Ь'Г 10

0.0

В)40 ^.м/с

0.6

1.2

раде

рад'с

Рис. 4. Зависимости критической

скорости ветра от частоты пулъсациопной составляющей для варианта 1 - а; варианта 2 - б;

0.6 1.2 1.-8 варианта 3-е

В третьей главе рассматривается устойчивость интегро-дифференциального уравнения (1) при стохастическом изменении скорости ветра и. В качестве вариантов случайного воздействия рассмотрены гауссов-ские стационарные случайные процессы, обладающие свойством эргодичности с корреляционной функцией вида

—<

V ©'

где а2 - дисперсия процесса, 5 - параметр, характеризующий масштаб корреляции, 0 - частота скрытой периодичности случайного процесса.

Как и в главе 2, рассматривается три варианта решения уравнения (1): без учёта аэродинамического демпфирования, с учётом аэродинамического демпфирования, пропорционального квадрату скорости ветра, и при «полном» варианте учёта аэродинамического демпфирования.

На рис. 5 представлен график изменения угла закручивания но времени при параметрах случайного процесса £ = 0.1, сг = 0.25, 0 = 1.4 и и-80 м/с. Он наглядно демонстрирует, что в случае, когда воздействие на систему является случайным, невозможно достоверно оценить устойчивость системы «на глаз».

к =<Т2^|Т! СО50Г + — 5т©1г

(9)

Оценка максимального показателя Ляпунова при повторении решения с одинаковыми начальными условиями и исходными данными и разными реализациями случайного процесса с,(\.) стремится к одному и тому же значению, равному максимальном)' показателю Ляпунова, что показано на рис. 6.

а. ... ____________________ о

1

0.5 0

-0 5 -1

-0.002

Т, с

ад

Рис. 5. График изменения угла закручи- Рис. 6. Реализации оценки максималь-вания при случайном воздействии ного показателя Ляпунова

В рамках третьей главы рассмотрены варианты случайного воздействия с различными сочетаниями дисперсии о2, параметра 5, характеризующего масштаб корреляции случайного процесса, и частоты скрытой периодичности 0.

На рис. 7 частично представлены полученные в третьей главе результаты определения критической скорости ветра при 3 = 0.1 иег = 0.5 в диапазоне частот 0=0.1+1.7 при различных вариантах учёта аэродинамического демпфирования. Видно, что при стохастическом воздействии зависимость критической скорости ветра от частоты воздействия несколько изменилась по сравнению с детерминированным воздействием, однако характерный спад критической скорости ветра для частот, близких к удвоенной частоте собственных колебаний равной 0.74x2 рад/с, сохранился.

На рис. 8 показано влияние параметров случайного процесса о и 5 на значение критического параметра системы при ¡¡=0.01 и 0=1.3 рад/с. Видно, что для всех рассматриваемых вариантов решения уравнения (1) увеличение о приводит к уменьшению критических скоростей, а увеличение параметра, характеризующего масштаб корреляции 5 случайного процесса, приводит к увеличению критической скорости ветра.

'140 120 100 80 60 40 20 о

Ггтп- Г1

~Г7~Г 1 1 1 1 íc-o-K С MI JZ 1

¡THiEK 'f 1 1 I

1 1 1 1 1 1 1 1 1

5),п U™ м/с

"Or""rn:£osri:izc:ij

0.0

в)40

/40 30 20 10 о

0.6 1.2 1.Í

й-CiniCID

рзд/с

/40 30 20 10 О

-4-=ta! f i i i-

w-t-t-t-f-i

ГТ1~ГТ1

0.0

1.2

J *

рад/с 1.8

-t-t-

i

Sai SwF i

i i i

Рис. 7. Зависимости критической скорости ветра от частоты пулъсационной составляющей скорости ветра для варианта

0.0

а) Р/с

рад/с / _ а- варианта 2 - б; варианта 3-е

б)

22.3

В)

Рис. 8. Влияние параметров случайного процесса о и дна значение критического параметра

системы и при 0=1.3 рад/с: для варианта 1 — а; варианта 2 - б; варианта 3-е

В четвёртой главе исследуется устойчивость систем с конечным числом степеней свободы при ветровом воздействии для случаев, когда скорость ветра

является постоянной, периодической и случайной стационарной функцией времени. Колебания системы с конечным числом степеней свободы описываются системой дифференциальных уравнений 2-го порядка, которая записывается в матричной форме следующим образом

мг+сг+кг=сг+дг, (Ю)

где М - матрица масс; К - матрица жёсткости; С - матрица демпфирования, пропорциональная матрице жёсткости; в - матрица, учитывающая воздействие постоянных нагрузок и лобовое давление ветра; А - матрица, учитывающая воздействие от аэродинамического крутящего момента и подъемной силы.

Элементы матрицы в формируются с помощью базисных балочных из-гибных и крутильных функций. Элементы матрицы А, имеющей несимметричную, относительно главной диагонали структуру, формируются на основе испытаний отсечных моделей в аэродинамической трубе.

Решение уравнения (10) может быть разложено по формам собственных колебаний данной системы (к=1,...,п).

= + (П)

где дк(1) - неизвестные обобщённые перемещения (координаты).

С целью верификации матриц в и А на примере Такомского моста выполнены расчёты по двум моделям: первая, конечноэлементная модель, составленная в ПК АКБУБ, и вторая, описывающая колебания балки жёсткости системой двух дифференциальных уравнений в частных производных. В этих моделях рассматривается только главный пролёт моста и не учитываются многие факторы (вес плиты проезжей части, тротуары, технологическая нагрузка). Кроме того, балка жёсткости, в действительности являющаяся трёхпролётной и неразрезной, представляется однопролётной и шарнирно опёртой по концам. Такой вариант выбран для того, чтобы результаты расчётов с использованием двух моделей можно было сопоставить между собой. Основная задача состоит в рассмотрении принципиальных вопросов поведения системы с конечным чис-

лом степеней свободы при действии переменной случайно изменяющейся во времени ветровой нагрузки, а не в выполнении поверочного расчёта моста.

Совместные изгибно-крутильные колебания балки жёсткости моста, представляемой в виде тонкостенного стержня, сечение которой имеет две оси симметрии, описываются системой дифференциальных уравнений в частных производных предложенной Власовым В.З.

д*и „дги yI, о1 и у F d2v д1 /. , \ , с'и . , ■.

мЦ+ыр^-а^-н-—^-^* (12)

уЪгг " Sz* " &г 2 &г g dz'dt1

yFr2 д2а , d'à . , ч g et1 1 ôz^t '

где v - вертикальное перемещение балки жёсткости, а - угол закручивания, g - ускорение свободного падения, H - распор от постоянной нагрузки в одном кабеле, F - площадь поперечного сечения, Е1Ш - секто риальная жесткость поперечного сечения, Е1Х - изгибная жёсткость относительно горизонтальной центральной оси поперечного сечения, GU - жёсткость при свободном кручении того же сечения, В - ширина балки, г - полярный радиус инерции сечения, у - плотность материала, к¡, к2 - коэффициенты демпфирования изгибных и крутильных колебаний, Му - изгибающий момент относительно вертикальной оси поперечного сечения, возникающий от лобового давления ветра, Lv(v,a), La(v,a) - погонные интенсивности аэродинамической подъемной силы и крутильного момента.

В дальнейшем при моделировании аэродинамического воздействия на основе данных аэродинамических испытаний при установившемся обтекании конструкции подъемная сила не учитывалась, как оказывающая малое влияние на окончательный результат, а погонная интенсивность аэродинамического крутильного момента определялась выражением

La=CapBll-f-a, (13)

2g

где С0 - коэффициент, определяемый при аэродинамических испытаниях

пролётного строения; р - плотность воздуха.

Одним из способов сведения дифференциальных уравнений в частных

производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений является

метод Бубнова-Галсркина. Представим неизвестные перемещения и а(г,1)

в виде разложения по базисным функциям:

I \ ¡я

1-—г.

у (г) = sin у Г, q>{z) = sm* t

(14)

где i,j - количество полуволн в главном пролёте, £ - длина балки жёсткости.

После стандартных преобразований для метода Бубнова-Галеркина получим систему разрешающих обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, в общем случае позволяющих учитывать произвольное количество форм колебаний.

При рассмотрении задачи устойчивости колебаний Такомского моста при детерминированном и стохастическом воздействии для модели 1 ANSYS используется в качестве препроцессора, а определение критической скорости выполняется в программе, составленной на языке Visual Basic. Численное решение систем дифференциальных уравнений осуществлялось по методу Рунге-Кутта 4-го порядка.

Критическая скорость ветра определялась с помощью максимального показателя Ляпунова (8). На рис. 9 представлены графики изменения оценки максимального показателя Ляпунова во времени, полученные для случая, когда скорость ветра постоянная.

т, с

юоо

10000

Рис. 9. Графики изменения оценки

максимального показателя Ляпунова во времени при различных скоростях ветра для модели 1

Оценка максимального показателя Ляпунова стремится к постоянному значению равному значению максимального показателя Ляпунова. По мере увеличения скорости ветра значение максимального показателя Ляпунова увеличивается и становится положительным, что указывает на неустойчивое состояние системы. Критическое значение скорости равно 49.23 м/с. Аналогичным образом получено значение критической скорости ветра для модели 2 равное 53.32 м/с. Расхождение в значениях критической скорости ветра объясняется учётом в КЭ-модели работы подвесной системы.

На основе двух моделей проанализировано влияние параметров случайного процесса на значение критического параметра. На. графиках, представленных на рис. 10, показано влияние частоты скрытой периоличности случайного процесса 0 в диапазоне от 0.05 до 4 рад/с на значение критической скорости ветра при 5=0.1 и а=0.1-Ю.707. Как видно из графиков, на частотах скрытой периодичности от 1 до 2.5 рад/с наблюдается уменьшение критического параметра системы. По мере увеличения дисперсии случайного процесса значение критической скорости уменьшается, а резонансная частота смещается в область больших частот.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 Рис. 10. Влияние частоты скрытой периодичности на значение критического

параметра системы при различных дисперсиях случайного процесса:

кривые 1,2 - <т=0.707; кривые 3,4 - <т=0.5; кривые 5,6 - а=0.25;

кривые 7,8 - 0=0.1; сплошная линия соответствует результатам,

полученным для модели 1; штриховая - для модели 2

При моделировании ветрового воздействия на основе данных аэродинамических испытаний отдельных секций моста, упруго опёртых по концам, возможно определить характеристики конструкции, возникающие при её колеба-

ниях, т. е. при неустановившемся режиме обтекания. В этом случае погонные интенсивности аэродинамической подъемной силы и крутильного момента будут пропорциональны как перемещениям, так и скорости перемещений и описываются выражениями:

КЫ) = ~р\]1{ 2В2)

кн; — + КН*2 — + К2Н*,а и 2 и 3

КА* —+ КА* —+ К2А*а

'и 2 и 3

(15)

(16)

где К - Всо/и - безразмерная частота, Н', А* - функции, определяемые при аэродинамических испытаниях и имеющиеся в литературных источниках.

На графиках, представленных на рис. 11, показано влияние частоты скрытой периодичности случайного процесса в на значение критической скорости ветра при 5=0.1, ст=0.1 и а=0.25: кривые 1, 2 получены при постоянной скорости ветра; кривые 3,4 при изменении пульсационной составляющей скорости ветра по периодическому закону сгзт(ОГ); кривые 5, 6 - при пульсационной составляющей скорости ветра в виде случайного процесса £(/). Кривые с чётными номерами соответствуют модели 1; с нечётными - модели 2. 55 "я» м/С______

Рис. 11. Влияние частоты

скрытой периодичности на

значение критического

параметра системы при

©> различных дисперсиях

^ рад/с случайного процесса

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

Как видно из грэ.фиков, на частотах от 2.0 до 2.5 рад/с наблюдается уменьшение критического значения параметра системы. При этом в том случае, когда пульсационная составляющая скорости ветра изменяется по периодическому закону, скачок на графике носит более локальный и вместе с тем более резкий характер. Значительное уменьшение критической скорости ветра по сравнению с результатами, представленными на рис. 10 и полученными при установившемся обтекании, по-видимому, можно объяснить тем, что при таких

5.0

скоростях коэффициент аэродинамического демпфирования Н' для данного типа поперечного сечения принимает отрицательные значения. В рамках допущенных упрощений полученные результаты коррелируются с данными натурных наблюдений, при которых значительные колебания пролётного строения наблюдались при скорости ветра 6.5 м/с.

В 2005 м году в России был введён в эксплуатацию Сургутский вантовый автодорожный мост, строительство которого стало одним из крупнейших транспортных проектов России в конце XX века. Он стал первым вантовым мостом в азиатской части России и вошёл в историю мостостроения как мост с рекордным для однопилонных вантовых мостов пролётом 408 м.

Для исследования устойчивости вантового пролётного строения моста использовалась конечноэлементная модель, разработанная на стадии его проектирования. Рассмотрим результаты расчёта моста, основанные на данных стационарных аэродинамических испытаний, выполненных в ЦАГИ на стадии проектирования. В этом случае подъёмная сила ¿и и крутящий момент Ьа на балку жёсткости, создаваемые ветровым потоком (вариант 1), определяются выражениями

Ц,= 0.447(1 + 23.772а)С/\ 07)

¿а = 4.270(-1-9.36а){/2. 08)

Количество учитываемых форм при разложении вектора Ъ принято равным 12.

Критическая скорость при рассмотрении задачи ;в детерминированной постановке составляет 88.5 м/с.

На рис. 12 приведены графики, отображающие зависимость значения критической скорости ветра от частоты скрытой периодичности случайного процесса при а=0.1 и 8=0.10.

Также рассмотрена модель Сургутского моста с учётом аэродинамических добавок, полученных при неустановившемся реямме обтекания конструкции (вариант 2). На рис. 13 приведены графики, отображающие зависимость значения критической скорости ветра от частоты скрытой периодичности случайного процесса при с=0.1 и 5=0.10.

100 г -

80 60 40

58 56 54 52 50 48

Рис. 12. Влияние частоты скрытой периодичности случайного процесса на значение критического параметра системы при стационарной

Рад/'с модели ветрового воздействия

и^, м/с

п

рад/с

Рис. 13. Влияние частоты скрытой периодичности случайного процесса на значение критического параметра системы при нестационарной модели ветрового воздействия

0 1 2 3 4 5 Как видно из представленных на рис. 12 и рис. 13 результатов расчёта Сургутского моста в детерминированной постановке критическая скорость ветра при учете коэффициентов лобового сопротивления, подъёмной силы и момента, полученных в ЦАГИ, оказывается на 36 % больше (вариант I), чем для случая, когда аэродинамическое воздействие учитывается с помощью коэффициентов Н* и А* (вариант 2). Учёт случайного характера ветрового воздействия уменьшает значение критического параметра. Для учёта ветрового воздействия по 1-му варианту это снижение достигает 30 % при частоте скрытой периодичности случайного процесса 2.7 рад/с. В случае, когда ветровое воздействие учитывается по 2-му варианту, наличие случайной добавки скорости ветра снижает значение критических скоростей ветра до 12% при частоте скрытой периодичности случайного процесса 2.6 рад/с. Таким образом, учёт действительного характера ветрового воздействия, носящего случайный характер, оказывает заметное влияние на значение критической скорости ветра и является необходимым при проектировании конструкций, восприимчивых к ветровому воздействию. Значения критических параметров, получаемых при моделирова-

нии ветрового воздействия на основе продувки, при неустановившемся обтекании конструкции оказываются меньше, чем аналогичные результаты, получаемые при моделировании ветрового воздействия на основе данных при установившемся обтекании как в детерминированной, так и и стохастической постановке.

Основные выводы и результаты

1. На примере системы с одной степенью свободы предложен метод моделирования случайного стационарного ветрового ноздействия и аэродинамического демпфирования. Проведён анализ влияния различных форм аэродинамического демпфирования, а также параметров детерминированного и стохастического воздействия на критические характеристики системы.

2. На основе метода конечных элементов разработана модель деформируемой системы, описывающей её движение при параметрическом аэродинамическом детерминированном и стохастическом воздействии.

3. Разработан метод исследования устойчивости систем с конечным числом степеней свободы при параметрическом аэродинамическом воздействии в детерминированной и стохастической постановке. На примере Такомско-го моста результаты, полученные на основе МКЭ, подтверждаются результатами, полученными из рассмотрения дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих изгибно-крутильные колебания тонкостенных стержней.

4. Проанализировано влияние параметров стохастического воздействия и аэродинамического демпфирования на устойчивость деформируемых систем. Отмечено, что увеличение дисперсии пульса.ционной составляющей скорости ветрового потока приводит к уменьшению значения критического параметра системы. Для рассматриваемых систем обнаружено влияние частоты скрытой периодичности случайного процесса, проявляющегося в виде параметрического резонанса.

5. Показано, что для некоторых типов поперечных сечений элементов конструкции аэродинамическое демпфирование может оказывать дестабилизирующее влияние. Критические скорости ветра, получаемые при моделировании аэродинамического воздействия на основе данных аэродинамических испыта-

ний, имеющихся в литературных источниках, при неустановившемся обтекании конструкции оказываются существенно меньшими, чем при его моделировании на основе данных, полученных при установившемся обтекании.

Основные положения диссертации и результаты исследований

изложены в следующих работах:

1. Потапов В.Д., Панаев М: А. Об устойчивости висячих и вантовых мостов, находящихся под действием ветровых нагрузок в детерминированной и стохастической постановках // Строительная механика и расчет сооружений. -М, 2006. К°5. С. 32 -37.

2. Папаев М. А., Потапов В.Д. Исследование устойчивости висячих мостов при стохастическом ветровом воздействии П Труды научно-практической конференции Неделя науки - 2007 «Наука МИИТа - транспорту», часть 1. М.: МИИТ, 2007. - С. 11-27 -11-28.

3. Papaev М.А. About stability of suspension and cable-braced bridges under wind action, in the determined and stochastic statements // Book of Abstracts of XXXV Summer Schoo! Advanced Problems in Mechanics Conference. -С.Петербург: Изд-во «Осипов», 20 - 28 июня, 2007. - С. 92.

4. Папаев М. А. Исследование устойчивости висячих мостов при стохастическом ветровом воздействии // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - М, 2007. №4. С. 61 - 68.

5. Папаев М. А. Устойчивость систем при различных вариантах стохастического воздействия II 66 Научно-методическая и научно-исследовательская конференция, МАДИ (ГТУ), 29 января - 07 февраля 2008 г. Сборник научных трудов МАДИ (ГТУ) - М.: 2008.

6. Папаев М. А. Исследование динамической устойчивости упругих систем с помощью метода канонических разложений // Труды V международной научно-практической конференции «Trans-Mech-Art-Chem». М.: МИИТ, 2008.

7. Папаев М. А., Потапов В.Д. Исследование устойчивости висячих мостов при случайных ветровых воздействиях методом канонических разложений // Труды научно-практической конференции Неделя науки - 2007 «Наука МИИТа - транспорту», М.: МИИТ, 2008. - С. ÍÍ-48 - 11-49.

. 8. Папаев М. А. О влиянии стохастического воздействия на устойчивость колебаний упругих систем, // Московская городская конференция молодых ученых «Современные проблемы инженерных исследований» 14-16 мая 2008. - М.: РУДН (Российский университет дружбы народов), 2008. С. 32.

9. Папаев М. А. Устойчивость колебаний системы с конечным числом степеней свободы при стохастическом воздействии // Труды девятой научно-практической конференции «Безопасность движения поездов». Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ), - М.: 2008,

10. Папаев М. А. Устойчивость колебаний системы с конечным числом степеней свободы при стохастическом воздействии // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - М, 2009. №2. С. 44 - 54.

11. Потапов В.Д., Папаев М. А. Аэродинамическая устойчивость висячих и ванговых мостов при стохастическом воздействии // Строительная механика и расчет сооружений. - М, 2009. №3. С. 38 - 47.

ПАПАЕВ Михаил Александрович

МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ПРИ СТОХАСТИЧЕСКОМ АЭРОДИНАМИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

Подписано к печати- /•£. 10. 09: Формат 60x80 1/16 Объем 1,5 п.л. Заказ 624-, Тираж 80 экз.

Типография МИИТ 127994, ГСП-4, Москва, ул. Образцова, д. 9, стр. 9

Введение.

Глава 1. Обзор работ, посвящённых исследованию устойчивости стохастических деформируемых систем, моделированию случайных процессов.

1.1. Общие сведения о расчёте на устойчивость.

1.2. Явления аэроупругости.

1.3. Моделирование и обработка численных реализаций случайных процессов.

1.4. Цель диссертации.

Глава 2. Динамическая устойчивость системы с одной степенью свободы в детерминированной постановке.

2.1. Дифференциальное уравнение колебаний системы с одной степенью свободы при аэродинамическом воздействии.

2.2. Аналитическое решение дифференциального уравнения колебаний системы с одной степенью свободы без учета аэродинамического демпфирования.

2.3. Применение максимального показателя Ляпунова для оценки устойчивости детерминированных и стохастических систем.

2.4. Численное решение дифференциального уравнения колебаний системы с одной степенью свободы без учёта аэродинамического демпфирования.

2.5. Устойчивость системы с одной степенью свободы при учёте аэродинамического демпфирования, пропорционального квадрату скорости ветра.

2.6. Устойчивость системы с одной степенью свободы при «полном» варианте учёта аэродинамического демпфирования.

Глава 3. Динамическая устойчивость системы с одной степенью свободы в стохастической постановке.

3.1. Устойчивость системы с одной степенью свободы без учёта аэродинамического демпфирования в стохастической постановке.

3.2. Устойчивость системы с одной степенью свободы при учёте аэродинамического демпфирования, пропорционального квадрату скорости ветра, в стохастической постановке.

3.4. Устойчивость системы с одной степенью свободы при «полном» варианте учёта аэродинамического демпфирования.

3.5. Влияние метода моделирования случайного процесса на устойчивость системы.

Глава 4. Динамическая устойчивость систем с конечным числом степеней свободы в стохастической постановке.

4.1. Колебания системы с конечным числом степеней свободы при аэродинамическом воздействии (модель 1).

4.2. Исследования устойчивости изгибно-крутильных колебаний при аэродинамическом воздействии, описываемых системой дифференциальных уравнений в частных производных (модель 2)

4.3. Описание Такомского моста и обстоятельств крушения.

4.4. Определение критической скорости ветра в детерминированной постановке.

4.5. Определение критической скорости ветра в стохастической постановке.

4.6. Исследование устойчивости системы при учёте ветрового воздействия по данным аэродинамических испытаний при неустановившемся обтекании конструкции.

4.7. Аэродинамическая устойчивость Сургутского моста.

Данная работа посвящена исследованию устойчивости деформируемых систем при воздействии стохастических аэродинамических нагрузок. В качестве примера таких систем можно привести: висячие и вантовые мосты, высотные здания гибкие валы с регулируемым числом оборотов, элементы наружной обшивки летательных аппаратов, крылья самолётов, пластины в набегающем потоке воздуха, и многое др.

Стоит отметить, что в строительной практике часто встречаются нагрузки, имеющие случайный характер. В качестве примера можно привести ветровые воздействия, воздействия волн и течений, воздействия взрывной волны, сейсмическое воздействие, воздействие от подвижной нагрузки.

Применительно к висячим и вантовым мостам ветровая нагрузка играет первостепенную роль. Большая протяжённость мостов, низкие частоты собственных колебаний, малые значения логарифмических декрементов колебаний делают их особо чувствительными к ветровому воздействию, которое может стать причиной аэродинамической потери устойчивости.

Учёт действительного характера случайной нагрузки позволяет максимально приблизить математическую модель, используемую в расчётах, к реальному сооружению, а применение производительных компьютеров в сочетании с современными универсальными программными комплексами для расчётов методом конечных элементов позволяет наиболее обоснованно подойти к решению задач при проектировании и строительстве ответственных сооружений.

Результаты исследования могут быть использованы при выполнении проектирования висячих и вантовых мостов, высотных зданий, других инженерных сооружений, восприимчивых к действию ветровой нагрузки, с целью расчётного обоснования принятия решений. Также рассматриваемая методика применима при расчёте зданий и сооружений на сейсмическое воздействие.

Аэродинамическая устойчивость висячих мостов, возникнув как отдельное направление исследований в 40-х годах XX века, привлекла к себе внимание не только инженеров-строителей, но и многих выдающихся исследователей в области механики и гидро-газодинамики. Столь широкий интерес объясняется катастрофой, случившейся с висячим мостом через каньон Такома в США в 1940 году.

Этот мост с главным пролётом 854 м, весьма успешно противостоявший значительным ветровым нагрузкам, оказался весьма чувствительным к слабому ветру. После катастрофы последовали интенсивное изучение причин аварии, обстоятельные эксперименты в аэродинамических трубах и поиски удовлетворительных физических моделей и математических теорий обтекания висячих мостов ветровым потоком.

Поскольку ветровая нагрузка является объективно случайной во времени, то для исследования устойчивости необходимо применять вероятностные подходы.

Современный вероятностный подход при проектировании состоит в выполнении квазистатического расчёта, из которого на основании расчётных нагрузок вычисляют предполагаемые внутренние усилия и определяют размеры поперечных сечений. Учёт случайного характера нагрузки состоит во введении соответствующих поправочных коэффициентов корреляции, пульсации и динамичности. Таким образом, суть расчёта состоит в том, что элементы проверяются по предельным состояниям на величину динамической нагрузки. Однако запроектированное сооружение может не обеспечить безотказной работы из-за колебаний, возбуждаемых переменным действием нагрузки. Следовательно, необходимо подкрепить квазистатический расчёт проверкой аэродинамической устойчивости конструкции в воздушном потоке.

Основная цель аэродинамического расчёта сооружений, подверженных действию ветровых нагрузок, заключается в проверке возможности возникновения аэродинамической неустойчивости. Из условия возникновения аэродинамической неустойчивости определяется соответствующая критическая скорость ветрового потока, что является завершающей стадией расчёта.

Возможны два подхода к решению этой задачи. Первый — экспериментальный подход состоит в испытаниях модели сооружения в аэродинамической трубе. Недостатками такого подхода являются его дороговизна, длительные сроки, сложность построения динамически подобной модели, несоответствие демпфирующих свойств модели действительным свойствам реальной конструкции, трудоёмкости, возникающие при вариантном проектировании. Кроме того, возникают сложности с воспроизводством аэродинамического подобия модели из-за несоответствия чисел Рейнольдса, воспроизводимых в эксперименте, натурным условиям. Второй подход состоит в выполнении численных экспериментов на математической модели сооружения. В данном случае существуют сложности в точном описании механизма воздействия ветрового потока на конструкцию ввиду возникающей взаимосвязи между потоком и объектом обтекания. Одним из возможных выходов из подобной ситуации является сочетание аэродинамических испытаний модели с аналитическим моделированием поведения конструкции. В этом случае, расчётчик в дополнение к имеющимся матрицам жёсткости и демпфирования на основе результатов испытания модели получает матрицы, характеризующие особенности ветрового воздействия на конструкцию. В дальнейшем в расчётах применимы накопленные эмпирические данные о характере ветрового воздействия, привязанные к местным условиям. В пользу такого подхода говорит возможность получения практически неограниченного количества данных о напряжённо-деформированном состоянии конструкции, в то время как при испытаниях это количество ограничено немногочисленными датчиками, точность показаний которых в значительной мере обуславливается тарированием.

Актуальность темы

Интенсивное развитие численных методов строительной механики, сопровождаемое ростом вычислительной мощности персональных электронно-вычислительных машин (ПЭВМ), даёт возможность проектировщикам воплощать в жизнь смелые идеи архитекторов и принимать обоснованные, подтверждённые расчётами решения. Современные тенденции расчётов зданий и сооружений предполагают создание математических моделей, максимально приближающих их работу к реальному сооружению. Учёт действительного характера нагрузок, имеющих случайную природу, также вносит свой вклад в уточнение расчётной модели.

Проблема устойчивости сооружений, находящихся под действием ветровой нагрузки привлекает всё большее внимание проектировщиков строительных конструкций. При ветре наиболее часто наблюдаются вибрации проводов, стальных канатов, труб различного назначения, элементов трубчатых конструкций, радиомачт, большепролётных покрытий, висячих мостов, трубопроводных переходов, высотных зданий, что может быть сопряжено с нарушением возможности нормальной эксплуатации. Для возбуждения и поддержания многих видов колебаний достаточна скорость ветра до 10 м/с, т. е. наблюдаемая не так редко. Скорость ветра около 20 м/с способна заставить колебаться крупные сооружения, такие как большепролётные висячие мосты.

В данной работе принципиальные вопросы устойчивости систем рассматриваются на примере висячих мостов, которые, как известно, обладают целым рядом технических, экономических и эстетических достоинств и являют собой замечательные инженерные сооружения, перекрывают наибольшие пролеты, но чрезвычайно восприимчивы к действию ветровых нагрузок. Как показывает история, ветровая нагрузка способна вызывать колебания пролётного строения со значительными амплитудами и последующий выход из строя конструкции. Так, например, в 1852 г. рухнул мост Ларош-Бернар (Франция), имевший пролёт 196 м. Мост вскоре был восстановлен и снова обрушился в 1871 г. В 1873 году обрушился мост пролётом 336 м через реку

Огайо у города Уиллинг. Следующие крупные катастрофы произошли в 1864 г. и 1889 г. с висячими мостами через реку Ниагару. Пролёты мостов составляли соответственно 320 и 386 м. Из обстоятельств катастроф было известно только то, что все они происходили в сильную бурю и им предшествовали чрезвычайно большие колебания. Эти аварии не воспрепятствовали строительству новых висячих мостов, особенно в тех случаях, когда было необходимо перекрыть большие пролёты. В таблице 1 приведён список мостов, построенных в XX веке, обладающих рекордными пролётами [68].

Таблица 1

Год постройки Длина главного пролёта, м Место расположения моста

1903 488 Вильямсбург, США

1926 533 р. Делавар, США

1929 563 Детройт, США

1931 1067 р. Гудзон, США

1937 1280 Золотые Ворота, США

1965 1298 Верразано Нерроуз, США

1998 1991 Акаси-Кайкё, Япония

После строительства моста Акаси-Кайкё японцы приступили к проектированию висячего моста с углепластиковыми кабелями через пролив Гибралтар, имеющий глубину до 350 м, в двух вариантах: с тремя пролётами по 3000 м и двумя - по 5000 м.

В России висячие и вантовые мосты не получили широкого распространения, однако Сургутский автодорожный мост, являющийся одним из крупнейших транспортных проектов России в конце XX века и ставший первым вантовым мостом в азиатской части России вошёл в историю мостостроения как мост с рекордным для однопилонных вантовых мостов пролётом длиной 408 м.

Таким образом, представленная работа затрагивает актуальные проблемы в рамках развития и модернизации дорожной сети в России, а также в связи с активным строительством большепролётных покрытий спортивных сооружений и высотных зданий.

Работа выполнялась в рамках гранта Российского фонда фундаментальных исследований №06-01-00095. Цели и задачи исследования Целями данной диссертационной работы являются:

- разработка метода оценки устойчивости колебаний линейных упругих систем, находящихся под действием случайной нагрузки, с помощью максимального показателя Ляпунова;

- исследование влияния вариантов учёта аэродинамического демпфирования, конструкционного демпфирования, а также параметров случайного воздействия на устойчивость системы;

- моделирование ветрового воздействия на основе данных аэродинамических испытаний, имеющихся в литературных источниках, при установившемся и неустановившемся режиме обтекания конструкций, сопоставление и анализ полученных результатов;

- разработка макрос-программ для выполнения расчётов сооружений. Обоснованность и достоверность научных положений

В диссертации используется динамический метод исследования устойчивости систем, являющийся наиболее общим для определения критических нагрузок.

Практическая невозможность получения аналитического решения большинства задач динамики предполагает активное применение в расчётах численных методов, которые позволяют с достаточной степенью точности учесть сложные явления динамической неустойчивости под действием случайной нагрузки. При этом вне зависимости от выбранного метода интегрирования наиболее остро встают проблемы, сопряжённые с выбором временного шага. Устойчивость решения контролировалась путём последовательного уменьшения шага вплоть до значений, приводящих к одинаковым результатам. Кроме того, в некоторых случаях были получены аналитические решения, позволяющие выполнить контроль решения получаемого численным методом и удостовериться в их корректности.

При моделировании систем по методу конечных элементов использовался программный комплекс АК8У8, версия 11.0.

Научная новизна

Исследуется поведение и устойчивость систем на основе различных моделей, находящихся под действием детерминированной и случайно изменяющейся во времени нагрузки, с помощью максимального показателя Ляпунова. Проанализировано влияние параметров случайных процессов и демпфирования на устойчивость систем. Рассмотрены и сопоставлены различные варианты моделирования аэродинамического воздействия.

Разработана универсальная методика и макрос-программы, которые применены к расчёту устойчивости в динамической постановке при воздействии случайно изменяющейся во времени нагрузки вантового моста через реку Объ у города Сургут.

Диссертационная работа состоит из четырёх глав и четрёх приложений.

Первая глава посвящена обзору литературы, относящейся к данному вопросу. В ней кратко освещаются некоторые из источников и приводятся основные теоретические положения по теме работы. Кратко рассмотрены некоторые теоретические вопросы касающиеся случайных процессов и методов их моделирования. В конце главы формулируются основные задачи, решаемые в диссертационной работе.

Во второй главе рассматривается динамическая устойчивость системы с одной степенью свободы при детерминированном гармоническом воздействии на примере уравнения крутильных колебаний балки жёсткости пролётного строения висячего моста. Рассматриваются три варианта учёта аэродинамического демпфирования. Для случая, когда скорость ветра является постоянной, значения критических скоростей ветра определены аналитически и сопоставлены со значениями, получаемыми на основе численных методов.

Проанализировано влияние параметров воздействия, а также демпфирования на динамическую устойчивость системы.

В третьей главе рассматривается динамическая устойчивость этой же системы, но при стохастическом изменении скорости ветра. Проанализировано влияние параметров случайного воздействия, вариантов его моделирования, а также демпфирования системы на её динамическую устойчивость. В качестве вариантов случайных воздействий рассмотрены гауссовские, стационарные процессы, обладающие свойством эргодичности, с различными функциями спектральной плотности.

В четвёртой главе на примере модели висячего Такомского моста и вантового моста через р. Обь у г. Сургута исследуется устойчивость систем с конечным числом степеней свободы при ветровом воздействии для случаев, когда скорость ветра является постоянной, периодической и случайной стационарной функцией времени. Для Такомского моста расчёты выполнены по двум моделям: первая описывает колебания балки жёсткости системой двух дифференциальных уравнений в частных производных, и вторая, конечно-элементная модель, составленная в ПК ANS YS. Для этих мостов рассмотрены две модели аэродинамического воздействия, показано, что критические значения скорости ветра, получаемые на основе статической (стационарной) продувки моделей моста в аэродинамической трубе, могут оказаться заметно выше по сравнению с аналогичными значениями, получаемыми на основании нестационарной продувки моделей. Проанализировано влияние параметров случайного воздействия на устойчивость.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты, полученные в диссертационной работе.

Включённые в работу приложения содержат:

- текст программы для определения критической скорости ветра системы с одной степенью свободы в стохастической постановке;

- текст макрос-программы на алгоритмическом языке программирования APDL, реализующей последовательность действий по созданию конечноэлементной модели Такомского моста в ПК и определение частот и форм собственных колебаний;

- текст программы для определения критических скоростей ветра Такомского моста на основе конечноэлементной модели;

- текст программы для определения критических скоростей ветра Сургутского моста на основе конечноэлементной модели.

Общие выводы и результаты исследования

1. На примере системы с одной степенью свободы предложен метод моделирования случайного стационарного ветрового воздействия и аэродинамического демпфирования. Проведён анализ влияния различных форм аэродинамического демпфирования, а также параметров детерминированного и стохастического воздействия на критические характеристики системы.

2. На основе метода конечных элементов разработана модель деформируемой системы, описывающей её движение при параметрическом аэродинамическом детерминированном и стохастическом воздействии.

3. Разработан метод исследования устойчивости систем с конечным числом степеней свободы при параметрическом аэродинамическом воздействии в детерминированной и стохастической постановке. На примере Такомского моста результаты, полученные на основе МКЭ, подтверждаются результатами, полученными из рассмотрения дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих изгибно-крутильные колебания тонкостенных стержней.

4. Проанализировано влияние параметров стохастического воздействия и аэродинамического демпфирования на устойчивость деформируемых систем. Отмечено, что увеличение дисперсии пульсационной составляющей скорости ветрового потока приводит к уменьшению значения критического параметра системы. Для рассматриваемых систем обнаружено влияние частоты скрытой периодичности случайного процесса, проявляющегося в виде параметрического резонанса.

5. Показано, что для некоторых типов поперечных сечений элементов конструкции аэродинамическое демпфирование может оказывать дестабилизирующее влияние. Критические скорости ветра, получаемые при моделировании аэродинамического воздействия на основе данных аэродинамических испытаний, имеющихся в литературных источниках, при неустановившемся обтекании конструкции оказываются существенно меньшими, чем при его моделировании на основе данных, полученных при установившемся обтекании.

1. Аварии и катастрофы. Предупреждение и ликвидация последствий, Книга 4, под редакцией В. А. Котляровского и А. В. Забегаева, изд. Ассоциации строительных ВУЗов, Москва 1998.

2. Алгазин С. Д., Кийко И. А., Флаттер пластин и оболочек. М.: Наука, 2006. - 247 с.

3. Александров А. В., Потапов В. Д., Зылев В. Б., Строительная механика. Кн. 2. Динамика и устойчивость упругих систем. — М.: Высш. шк., 2008.-384с.

4. Басов К. А., ANS YS: справочник пользователя. М.: ДМК Пресс, 2005. - 604 с.

5. Болотин В. В., Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. — М.: Физматгиз, 1961. 340 с.

6. Болотин В. В. Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчётах сооружений. М.: Стройиздат, 1971. - 256с.

7. Болотин В. В., Случайные колебания упругих систем. М.: Наука, 1979.-335с.

8. Болотин В. В. Статистические методы в строительной механике. -М.: Госстройиздат, 1961 —202 с.

9. Болотин В. В., Динамическая устойчивость упругих систем. — М.: Физматгиз, 1956. 600 с.

10. Ю.Болотин В. В., Гришко А. А., Петровский А. П., О влиянии демпфирующих сил на после критическое поведение существенно не потенциальных сил, Изв. РАН, МТТ №2, 1995, 158 - 167 с.

11. Болотин В. В., Радин В. П., Чирков В. П., Применение метода статистического моделирования для оценки сейсмического риска конструкций, Изв. РАН, МТТ №6, 1997, 168 - 175 с.

12. Болотин В.В., Радин В. П, Трифонов О. В., Чирков В. П., Влияние спектрального состава сейсмического воздействия на динамическую реакцию конструкций, Изв. РАН, МТТ №3, 1999, 150 - 158с.

13. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике. М.: ГИТТЛ, 1955, -608 с.

14. Бронштейн И. Н., Ильичев В. А., Коренев Б. Г., Динамический расчет зданий и сооружений. — М.: Стройиздат, 1984, — 303 с.

15. Быков В. В., Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. -М.:изд. Сов. радио, 1971.-326 с.

16. Вентцель Е. С., Теория вероятностей. -М.: Академия, 2005. 576 с.

17. Вентцель Е. С., Овчаров Л.А., Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Высш. шк., 2007. - 479 с.

18. Власов В. 3., Тонкостенные упругие стержни. — М.: Физматгиз, 1959.-568 с.

19. Вольмир А. С., Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967.-984 с.

20. Вержбицкий В. М., Основы численных методов— М.: Высш. шк., 2005. 840 с.

21. Гринченко В. Т., Мацыпура В. Т., Снарский А. А., Введение в нелинейную динамику: Хаос и фракталы. М.: Издательство ЛЕСИ, 2007. - 264 с.

22. Гусев А. С., Светлицкий В. А., Расчёт конструкций при случайных воздействиях, М.: Машиностроение, 1984. - 240с.

23. Дейнеко К. С., Леонов М. Я., Динамический метод исследования устойчивости сжатого стержня, ПММ. 19, №6, 1955.

24. Демидович Б. П., Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Наука, 1967.-472 с.

25. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. 3., Численные методы анализа. Приближенные функции, дифференциальные и интегральные уравнения. М.: Наука, 1967.-368 с.

26. Джанелидзе Г. Ю., Об устойчивости стержня при действии следящей силы. Тр. Ленингр. политех, ин-та, №192, 1958.

27. Диментберг М. Ф., Случайные процессы в динамических системах с переменными параметрами М.: Наука, 1989. — 176 с.

28. Дмитриев Ф. Д., Крушения инженерных сооружений. М.: Стройиздат, 1953.- 188 с.

29. Жинжер Н. И., Влияние диссипативных сил с неполной диссипацией на устойчивость упругих систем, Изв. РАН, МТТ №1, 1994, -149-155 с.

30. ЗО.Зенкевич О., Метод конечных элементов в технике. — М.: Мир, 1975.—541с.

31. Казакевич М. И. Аэродинамика висячих покрытий. -Киев: Будевшьник, 1983.- 104 с.

32. Казакевич М. И., Аэродинамика мостов. М.: Транспорт, 1987, - 240 с.

33. Казакевич М. И., Аэродинамическая устойчивость надземных и висячих трубопроводов. -М.: Недра, 1977. 150 с.

34. Качурин В. К., Брагин А. В., Ерунов Б. Г., Проектирование висячих и вантовых мостов. -М.: Транспорт, 1971. 280 с.

35. Кириллов О. Н., Анализ границ областей устойчивости и оптимизация циркуляционных систем. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук, институт механики МГУ., 2000.

36. Корн Г., Корн Т., Справочник по математике для научных работников и инженеров М.: Наука, 1978. - 832 с.

37. Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.-471 с.

38. Мануйлов Г. А., О границе между статической и динамической потерей устойчивости неконсервативных упругих систем. — Вестник МИИТа, Научно-технический журнал. Москва, МИИТ, 2001, Вып.6, - 63-68 с

39. Неймарк Ю. И., Ланда П. С., Стохастические и хаотические колебания. -М.: Наука, 1987.-424 с.

40. Остроумов Б. В., Бредов А. В., Уточнение методики динамического расчёта высотных сооружений на воздействие порывов ветра. // Теория и практика расчёта сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы. М.: МГСУ, 2008. 304 - 310 с.

41. Пановко Я. Г., Губанова И. И., Устойчивость и колебания упругих систем: современные концепции, парадоксы, ошибки. М.: Наука, 1987. — 336 с.

42. Пановко Я. Г., Основы прикладной теории колебаний и удара. — Л.: Машиностроение, 1976. 320 с.

43. Перельмутер А. В., Нагрузки и воздействия на здания и сооружения. К.: Изд-во «Сталь», 2005. 500 с.

44. Перельмутер А. В., Сливкер В. И., Устойчивость равновесия конструкций и родственные проблемы. Том 1. М.: Изд-во СКАД СОФТ, 2007. 670 с.

45. Петров А. А., Вероятностный метод оценки сейсмической реакции мостов с большими пролетами, АН СССР Сейсмостойкость транспортных сетевых сооружений, отв. ред. чл.-корр. Ш.Г. Напетваридзе, М.: Наука, 1986,-19-30 с.

46. Петропавловский А. А., Крыльцов Е. И., Богданов Н. Н., Байтовые мосты. М.: Транспорт, 1985. 224 с.

47. Пичугин С. Ф., Вероятностный анализ ветровой нагрузки. Изв. вузов. Строительство, №12, 1997, - 13 - 20 с.

48. Потапкин А. А., Агеев А. В., Флаттер пролетных строений мостов. Наука и практика транспортного строительства, М.: Издатель ООО Центр «Транс-стройиздат» 2003. 9 - 12 с.

49. Потапов В. Д., Устойчивость вязкоупругих элементов конструкций. -М.: Стройиздат, 1985. 312 с.

50. Потапов В. Д., Устойчивость упругих и вязкоупругих систем при стохастическом параметрическом возбуждении. Изв. РАН, МТТ №3, 2005. — 123 — 136 с.

51. Потапов В. Д., Косицын С. Б., Скрябина Т. А., Сильницкий И. А., Некоторые проблемы оценки работы вантового пролетного строения. Вестник мостостроения №1 -2, 2001, М.: Издатель Центр «ТИМИР». 51 - 60 с.

52. Пугачев В. С., Теория случайных функций и её применение к задачам автоматического управления. -М.:Физматгиз, 1962. 883 с.

53. Пугачев В. С., Синицын И. Н., Теория стохастических систем. М.: Логос, — 2000. -1000 с.

54. Реут В.И., О теории упругой устойчивости. Тр. Одесск. ин-та инж. гражд. и комм, стр-ва, вып. 1, 1939.

55. Руководство по расчету зданий и сооружений на воздействие ветра. М.: Стройиздат, 1978

56. Савицкий Г. А. Ветровая нагрузка на сооружения. М.: Стройиздат, 1972. -110с.

57. Сайлер Б., Споттс Д., Использование Visual Basic 6. Специальное издание. — М.: Издательский дом «Вильяме», 2005 832 с.

58. Сейранян А. П., Парадокс дестабилизации и критерии колебательной устойчивости, Москва, Институт механики МГУ им. Ломоносова, Препринт №301, 1987, - 59 с.

59. Сейранян А. П., О границах областей устойчивости флаттера и дивергенции. М.: Институт механики МГУ им. Ломоносова, Препринт №11, 1995. — 39 с.

60. Светлицкий В. А., Введение в статистическую динамику механических систем: М.: Изд-во МГТУ, 1995. - 77с.

61. Светлицкий В. А., Случайные колебания механических систем. — М.: Машиностроение, 1991. 320 с.

62. Свешников А. А., Прикладные методы случайных функций. М.: Наука, 1968.-464 с.

63. Симиу Э., Сканлан Р., Воздействие ветра на здания и сооружения. М.: Стройиздат, 1984. - 358 с.

64. Симиу Э. Хаотические переходы в детерминированных и стохастических системах. Применение метода Мельникова в технике, физике и нейрофизиологии. М.: Физматлит, 2007. - 208 с.

65. Смирнов А. Ф., Александров A.B., Лащенников Б.Я., Шапошников H.H., Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений. -М.: Стройиздат, 1984. 416 с.

66. Смирнов В. А. Висячие мосты больших пролетов. М.: «Высшая школа», 1970 г.-408 с.

67. СНиП 2.01.07-85* (с измен. № 1, 2). Нагрузки и воздействия. М.: ФГУП ЦПП, 2005.

68. Справочник по теории вероятностей и математической статистике под редакцией академика АН УССР B.C. Королюка., Киев, Наукова думка, 1978 -582 с.

69. Филлипов А. П. Колебания деформируемых систем. М.: «Машиностроение», 1970.-736 с.

70. Цаплин С. А., Висячие мосты, М., 1949 284 с.

71. Циглер Г., Сб. Проблемы механики, под ред. Драйдена X. и Т. Кармана, вып. 2, М.: ил, 1959.

72. Четаев Г. Н., Устойчивость движения. М.: Наука, 1965.

73. Чирков В. П., Радин В. П., Щугорев А. В., Устойчивость стержня на упругом основании при непотенциальном нагружении, Строительная механика и расчёт сооружений, 2008. №5. С. 5 11.

74. Шахтарин Б. И., Кобылкина П. И., Сидоркина Ю. А., Кондратьев А. В., Митин С. В., Генераторы хаотических колебаний. М.: Гелиос АРВ, 2007. — 248 с.

75. Шалыгин А. С., Палагин Ю. И. Прикладные методы статистического моделирования. Л.: Машиностроение, Ленинградское отделение, -1986. — 320 с.

76. Шестаков А. А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М.: КомКнига, 2007. - 320 с.

77. Шашков И. Е., Об устойчивости сжатого и скрученного призматического стержня с произвольной формой поперечного сечения, Инж. сборн. 7, 1950.

78. Beck M., Die Knicklast der einseitig eingenspannten tangenzial gedrückten Stabes, Zeitschrift angew. Math. Phys., 3, №3, 1952.

79. Benettin G., Galgani L., Giorgilli D. and Strelcyn J. M., Liapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltoman systems; a method for computing all of them. Parts 1 & 2, Meccanica 15, 1980, 9-20, 21-30.

80. Billah K.Y.R., Shinozuka M., Random Vibration Response and Stability Study of Long-Span Bridges, Journal of Applied Mechanics, June 1994, Vol.61, p. 303

81. D'Asdia p., Sepe V., Aeroelastic instability of long span suspended bridges: a multimode approach, Proc. 2nd Eur. And Afr. Conf. Wind Eng., Genova, June 2226, 1997: 2EACWE. Vol.2. Padova, 1997,-p. 1505-1512.

82. Ibrahim R.A. Parametric random vibration. Research Studies Press LTD, John Wiley & Sohn INC, New-York, Chichester, Toronto-Brisben-Singapure, 1985.-342 p.

83. Hauger W., Vetter K., Influence of an elastic foundation on the stability of a tangentially loaded column, Journal of Sound and Vibration, 47, 2, 1976, p. 296-299.

84. Hernandez S., Ajoint formulation of structural analysis and visualisation of aeroelastic response of long span bridges, Forth International Colloquium on Bluff Body Aerodynamics and Applications, Bohum, Sept. 11-14, 2000, p. 43-46.

85. Herrmann G., Stability of Equilibrium of Elastic Systems Subjected to Non-conservative Forces. Appl. Mech. Rev., Vol. 20, 1967, p. 103-108.

86. Herrmann G., Jong I.-C, On the Destabilizing Effect of Damping in Noncon-servative Elastic Systems, J. Appl. Mech., 32, 1965, p. 592-597.

87. Lanczos Cornelius, Applied analysis, справочное руководство. M.:, Физмат-гиз,1961. 524 с.

88. Larsen A., Advances in aeroelastic analyses of suspension and cable-stayed bridges, Proc. 2nd Eur. And Afr. Conf. Wind Eng., Genova, June 22-26, 1997: 2 EACWE. Vol.1. -Padova, 1997,-p. 61-75.

89. Leipholz H., Stability Theory, John Wiley & Sons Ltd and B.G. Teubner, Stuttgart, 1987,-359 c.

90. Leipholz H., Stability of elastic systems, Sijthoff & Noordhoff, 1980, 475c.

91. Markert R., Seidler M., Analytically based estimation of the maximum amplitude during passage through resonance, International Journal of Solids and Structures 38, 2001.

92. Matsumoto M., Nakajima N., Taniwaki Y., Shijo R., Grating effect on flutter instability, Forth International Colloquium on Bluff Body Aerodynamics and Applications, Bohum, Sept. 11-14, 2000, p. 263-266.

93. Miyazaki M., Arai M., Kazama K., Kubota H., Stay-Cable Systems of Long Span Suspension Bridges for Coupled Flutter, Proc. 2nd Eur. And Afr. Conf. Wind Eng., Genova, June 22-26, 1997: 2 EACWE. Vol.2. Padova, 1997, - p. 15291536

94. Nemat-Nasser S., Instability of a cantilever under a follower force according to Timoshenko beam theory, Journal of Applied Mechanics, Trans, of the ASME Ser. E., 34, 1967,-p. 484-485.

95. Petrov A.A., Wind induced dynamic response of long-span ridges, Structural Dynamics EURODYN'96, Augusti, Borri & Spinelli, Balkema, Rotterdam, 1996, -p. 321-324.

96. Pfluger A., Stabilitatsprobleme der Elastostatik, Springer Verlag, Berlin, 1950,-p. 217

97. Plaut R.H., A new destabilization phenomen in nonconservative systems, ZAMM, 1971, Vol. 51, N4, p. 319-321.

98. Potapov V.D., Stability of stochastic elastic and viscoelastic systems, Chichester, Wiley, 1999.

99. Potapov V. D., Bondar P. A., Stochastic plates in a supersonic flow, European Journal of Mechanics, A/Solids, Vol. 15, N.5, 1996, p. 883-900.

100. Potapov V.D., Marasanov A. Y., The investigation of the stability of elastic and viscoelastic rods under a stochastic excitation, Int. J. Solids Structures, Vol. 34, № 11, 1997.

101. Potapov V., Mitropolskii N. Deterministic and stochastic aerodynamic stability of cable-stayed bridges. Structual Dynamics, EURDYN2002, Grundmann & Schueller (eds.), 2002 Swets & Zeitlinger, Lisse. P. 1111-1116.

102. Pfluger A., Stabilitatsprobleme der Elastostatik, Springer Verlag, Berlin, 1950,-217 c.

103. Scanlan R.H., Tomko J.J. Air foil and bridge deck flutter gerivatives// Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, 1971, Vol. 97. P. 1717 -1737.

104. Seyranian A.P., Interaction of Eigenvalues in Mechanical Problems, 3 Eu-romech Solid Mechanics Conference KTH, Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden, August 18 -22, 1997, Book of abstracts, p.5.

105. Smith T.E., Herrmann G., Stability of a beam on an elastic foundation subjected to a follower force, Journal of Applied Mechanics, Trans, of the ASME Ser. E., 39, 1972,-p. 628-629.

106. Thorbek L., Hansen S.O., Coupled Buffeting Response of Suspension Bridges, Proc. 2nd Eur. And Afr. Conf. Wind Eng., Genova, June 22-26, 1997: 2 EACWE. Vol.2.-Padova, 1997,-p. 1489-1496.

107. Wiens G.J., Sinha S.C., On Application of Liapunov's Direct Method to Discrete Dynamic Systems with Stochastic Parameters, Journal of Sound and Vibration, 94, 1984,-p. 19-31.

108. Yoneda M., A consideration on aerodynamic stability of bridge structures due to isolating devices at movable supports, Forth International Colloquium on Bluff Body Aerodynamics and Applications, Bohum, Sept. 11-14, 2000, p. 665668.

109. Ziegler H., Principles of structural stability, 2n ed. Basel; Stuttgart, Birk-hauser, 1977,-p. 150.