автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование упругих свойств двумерных электрически стабилизированных коллоидных кристаллов

На правах рукописи

Александров Юрий Владимирович

МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГИХ СВОЙСТВ ДВУМЕРНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИ СТАБИЛИЗИРОВАННЫХ КОЛЛОИДНЫХ КРИСТАЛЛОВ

Специальность: 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 с2012

Ульяновск — 2012

005017000

Работа выполнена на кафедре

«Системы автоматизированного проектирования»

Ульяновского государственного технического университета.

Научный руководитель — кандидат физико-математических наук, доцент

Дышловенко Павел Евгеньевич

Официальные оппоненты:

Самохвалов Михаил Константинович, д.ф-м.н., профессор, зав. кафедрой «Проектирование и технология электронных средств» Ульяновского государственного технического университета;

Нагорпов Юрий Сергеевич, к.ф-м.н., доцент, доцент кафедры высшей математики Ульяновского государственного педагогического университета им. И.Н. Ульянова.

Ведущая организация - Ульяновский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова Российской академии наук.

Защита состоится 23 мая 2012 г. в 10 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.277.02 при Ульяновском государственном техническом университете по адресу: 432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32, ауд. 211 (Главный корпус).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного технического университета.

Автореферат разослан «

^СЬиуЛ-А^ 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

д.т.н., профессор

В. Р. Крашенинников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования

Электрически стабилизированные коллоидные системы - это простейшие представители обширного класса суспензий заряженных объектов. Примерами таких систем чрезвычайно разнообразны и имеют многочисленные технологические применения [1]. Эти системы также играют огромную роль в молекулярной биологии, поскольку практически все протеины в каждой живой клетке, также как и сама молекула ДНК, являются заряженными макромолекулами, растворенными в соленой воде. За последние десятилетия предложено несколько способов описания таких систем, отличающихся разной степенью детальности. Теория на основе нелинейного дифференциального уравнения Пуассона-Больцмана занимает в этой связи центральное место, поскольку, с одной стороны, с хорошей точностью описывает многие особенности электрического взаимодействия коллоидных систем, а с другой стороны, является базой, относительно которой проверяются все остальные теории. Значение этой теории особенно возросло в связи с появлением технологических возможностей получения коллоидных систем с частицами все меньшего размера, соизмеримого с длиной Дебая. Для таких систем становятся существенными нелинейные эффекты, не описываемые линеаризованными теориями.

Несмотря на то, что теоретические основы описания элекгрически стабилизированных коллоидных систем па основе уравнения Пуассона-Больцмана хорошо разработаны [2, 3], применение этой теории ограничивается в основном простейшими системами, что связано со сложностью численного решения нелинейного дифференциального уравнения. В связи с этим особое значение приобретает разработка точных и универсальных методов математического моделирования физически интересных систем, то есть систем с разнообразием электрических свойств, сложной геометрией и большим числом частиц.

Важным примером таких систем являются электрически стабилизированные коллоидные кристаллы, то есть системы, в которых частицы пространственно упорядочены. Как и обычные кристаллы, они обладают определенными свойствами упругости, но, в отличие от них, являются системами с начальным напряжением. Математическое моделирование упругих свойств электрически стабилизированных коллоидных кристаллов дополняет натурный эксперимент и позволяет получить сведения о силовых постоянных и модулях упругости этих сред. Сведения об упругих свойствах важны для технологических применений. Кроме того, моделирование позволяет получить информацию о характере взаимодействия в электрически стабилизированных системах, об их акустических свойствах и о фазовых переходах в них, а также о свойствах эффективных взаимодействий частиц. Все вышесказанное обосновывает актуальность темы диссертационного исследования.

Цель и задачи исследования

Целыо работы является исследование силовых и упругих постоянных двумерных электрически-стабилизированных коллоидных кристаллов средствами математического моделирования.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Разработка методики компьютерного эксперимента по определению силовых и упругих постоянных двумерных электрически-стабилизированных коллоидных кристаллов.

2. Создание программного комплекса, реализующего методику определения силовых и упругих постоянных.

3. Проведение экспериментов по определению зависимостей силовых и упругих постоянных двумерных электрически-стабилизированных коллоидных кристаллов от параметров моделей.

4. Анализ результатов экспериментов, формулировка выводов по их итогам.

Методы исследования

При решении поставленных задач применялись методы теории дифференциальных уравнений, математического моделирования, вычислительной математики, теории упругости, а также средства программирования на языках высокого уровня и библиотеки программ.

Научная новизна положений, выносимых на защиту

1. В рамках классической теории на основе нелинейного дифференциального уравнения Пуассона-Больцмана построены четыре модели двумерных электрически стабилизированных коллоидных структур, отличающихся: 1) наличием пространственной периодичностью, 2) включением большого число взаимодействующих частиц.

2. Разработан новый алгоритм определения силовых и упругих постоянных коллоидных кристаллов в рамках построенных моделей, в котором учтены: 1) свойства симметрии моделей, 2) вклады ближайших соседей высоких порядков.

3. Разработан новый программный комплекс, позволяющий проводить вычислительные эксперименты по определению силовых и упругих постоянных двумерных электрически стабилизированных коллоидных кристаллов в рамках теории на основе уравнения Пуассона-Больцмана при различных межчастичных расстояниях, размерах и электрических параметрах макроионов.

4. Обнаружены существенные отклонения от соотношений Коши для упругих постоянных коллоидных кристаллов рассматриваемых типов, что свидетельствует о многочастичном характере эффективного взаимодействия макроионов в таких системах.

5. Впервые установлено, что упругие свойства двумерных электрически стабилизированных коллоидных кристаллов практически полностью

исчерпываются вкладами ближайших соседей 1-го и 2-го порядков. Вклады соседей более высокого порядка пренебрежимо малы.

Достоверность результатов, представленных в диссертации, обеспечивается корректным применением классической теории на основе уравнения Пуассона-Больцмана, применением апробированного математического аппарата и численных методов, проверкой предельных и специальных случаев, сопоставлением результатов с литературными данными.

Практическая ценность результатов работы

Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы при разработке технологических процессов создания фотонных и фононных кристаллов, а также новых перспективных материалов на основе глобулярных структур.

Реализация результатов работы

Результаты диссертационной работы использованы при выполнении гранта РФФИ №09-01-97012 «Математическое моделирование упругих и решеточных свойств наноразмерных коллоидных кристаллов».

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на 42-й, 43-й, 44-й и 45-й научно-технических конференциях УлГТУ «Вузовская наука в современных условиях» (Ульяновск, УлГТУ, 28 января - 4 февраля 2008 г., 26-31 января 2009 г., 1-7 февраля 2010 г., 24-29 января 2011 г.), Всероссийской конференций «Проведение научных исследований в области обработки, хранения, передачи и защиты информации» (Ульяновск, 1-5 декабря 2009 г.), 7-й Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 3-6 июня 2010 г.), 3-й Российской научно-технической конференции аспирантов, студентов и молодых ученых «ИВТ-2011 ;> (Ульяновск, 24-25 мая 2011 г.), 7-й Всероссийской научно-практической конференции (с участием стран СНГ) «Современные проблемы создания и эксплуатации радиотехнических систем» (Ульяновск, 22-23 сентября 2011 г.)

Получены два свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ «Двумерный коллоидный кристалл с квадратной решеткой в модели уравнения Пуассона-Больцмана (циа<15)», № 2011616981, М.: РОСПАТЕНТ, 08.09.2011 и «Численное решение уравнения Пуассона-Больцмана для двумерных коллоидных кристаллов с квадратной решеткой», № 2011617862, М.: РОСПАТЕНТ, 07.10.2011.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ, одна из которых в издании из перечня ВАК, два зарегистрированных программных продукта,

и десять в других изданиях, включая тематические сборники и материалы международных и всероссийских научно-технических конференций.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 126 наименований, и 3 приложений. Общий объем диссертации составляет 138 страниц и содержит 16 таблиц и 50 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулирована цель работы и основные решаемые задачи, представлены научные положения, выносимые на защиту и отмечена их новизна, охарактеризована достоверность результатов и их практическая значимость.

В первой глапе на основе литературных источников дана характеристика электрически стабилизированных коллоидных систем и способов описания электростатических взаимодействий в таких системах. Проанализирован подход к описанию электрических свойств коллоидов па основе нелинейного дифференциального уравнения Пуассона-Больцмана (ПБ), его обоснованность, основные приближения и связь с другими подходами, в том числе линеаризованными теориями. Отмечается, что точные численные решения были получены только для простых систем с небольшим числом частиц и простой геометрией; часто высокая точность решения достигалась за счет использования специфических свойств системы и ее симметрии.

Также проведен обзор литературы по упругим свойствам электрически стабилизированных коллоидных кристаллов.

Ввиду того, что коллоидные кристаллы являются системами с начальным напряжением, описание их упругих свойств имеет ряд особенностей по сравнению с обычными кристаллами. Поэтому отдельный параграф посвящен справке по теории упругости сред с начальным напряжением и уточнению определений и обозначений.

Во второй главе дается описание четырех математических моделей исследуемых двумерных коллоидных кристаллов, разрабатывается методика вычислительного эксперимента по определению силовых постоянных этих кристаллов, дается описание структуры матриц силовых постоянных, проводится анализ свойств симметрии моделей для сокращения требуемого объема вычислений.

Модель коллоидного кристалла представляет собой систему частиц, находящуюся в жидком электролите. Частицы являются абсолютно твердыми диэлектриками и могут рассматриваться как бесконечно длинные круглые стержни (в трех измерениях) либо диски (в плоской двумерной задаче). Электролит является бинарным симметричным одновалентным с

валентностям ионов = +1, г2 = —1. В положении равновесия частицы находятся в узлах своей решетки Краю, при этом используются два типа двумерных решеток: гексагональная и квадратная. Соответствующие модели показаны на рисунке 1.

О О О О О О о о О о о о о

О О О" О" О* О О о о" о" о" о" о' о

о ; o'ftf; о\ о°' о о о" о4 о\ о! о" о

О fojoy6i['oTo'j о о о" о1 о: о' о8 о

о о"; о5; о', о" о о о" О' О'; о' о" о

О О"! 0:е О" О О о о" о2* О" о21 о" о

о * о о о',! О "О V о "■о о о" о PQ о

Рисунок 1. Модели двумерных коллоидных кристаллов с гексагональной и квадратной кристаллическими решетками. R - радиус частицы, d параметр

решетки

Область определения задачи включает в себя ячейки Вигпера-Зейтца частиц, являющихся ближайшими соседями произвольно выбранной центральной частицы. В модели с гексагональной решеткой учитываются соседи до третьего порядка, а с квадратной - до пятого порядка включительно.

Для электрического потенциала ср в области электролита справедливо уравнение ПБ [3], безразмерная форма которого для рассматриваемых моделей имеет вид

V2=sh<p. (1)

При этом единицей измерения длины является длина Дебая к"1 = (2n0q^ /ЕЕ0кТ)~1/г, а электрический потенциал измеряется в единицах kT/qe, где п0[- — равновесная концентрация I-й компоненты в объеме электролита, qe — элементарный заряд, £ — относительная диэлектрическая проницаемость электролита, е0 - электрическая постоянная, Zj — валентность i-й компоненты электролита, к - постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура.

Рассматриваются две модели поведения заряда на поверхности частиц: модель постоянного потенциала (ГШ) и модель постоянной плотности заряда (ПЗ). Выбор модели определяет граничные условия на поверхности частиц. Для модели ПП это граничное условие имеет вид

Ч> ~ <Ро — const, (2)

где (р0 - заданный потенциал на границе. Для модели ПЗ рассматривается приближение большой, но сравнению с материалом частиц, диэлектрической проницаемости электролита, что типично для водных растворов. В этом случае граничное условие в безразмерной форме имеет вид

Еп = &о = const, (3)

где Еп = —4<р - нормальная компонента электрического поля, а <т0 -постоянная плотность заряда на поверхности частицы. На внешней границе области определения действуют однородные граничные условия Неймана вида

Еп = 0. (4)

Таким образом, в обеих моделях, как Г1П, так и ПЗ, задача вычисления электрического потенциала в системе сводится к краевой задаче для уравнения (1) исключительно для области электролита и не включает области внутри частиц.

Характеристика математических моделей двумерных коллоидных кристаллов представлена в таблице 1.

Таблица 1

Характеристика математических моделей коллоидных кристаллов

Название характеристики гексагональная квадратная

ПП ПЗ ПП ПЗ

Ближайшие соседи До 3-го порядка До 5-го порядка

Область определения 19 ячеек Вигнера-Зейтца (гексагоны) за вычетом области частиц 25 ячеек Вигнера-Зейтца (квадраты) за вычетом области частиц

Дифференциальное уравнение Уравнение ПБ для 1:1 электролита V2- яку

Граничные условия на частицах <р = СОПЭЬ Еп — сопяС <р = СОПБЬ Еп — соп^г

Граничные условия на внешних границах Еп = 0

Параметры модели й, й, <р0 /?, й, а0 Я, й, (р0 /?, й, сг0

Силовые постоянные определяются как коэффициенты при квадратичном члене в разложении энергии кристалла по малым смещениям частиц из их положений равновесия:

Гм д2у гъ

где М есть от-компонента смещения Ъ частицы из ее положения равновесия, задаваемого вектором М, N и М — векторы решетки Бравэ, а = х,у, Р = х,у. Методика вычислительного эксперимента по определению силовых постоянных основана на формуле

гМ — дРаМ

вытекающей из (5), где Ра М есть -компонента силы, действующей на частицу М. Существенным преимуществом подхода на основы формулы (6) но сравнению с определение (5) является отсутствие необходимости вычислять энергию системы для множественных смещений различных пар частиц, что значительно снижает объем вычислений, требования к вычислительным ресурсам и к точности решения, а также избавляет от необходимости двойного численного дифференцирования. Вычисление силы в безразмерной форме осуществляется по формуле

I"

Е®Е-| ^Е2 +сИ<р-\

п сИ, а-х,у, (7)

где выражение в квадратных скобках является тензором напряжения, связанным с уравнением ГТБ. Здесь Г — произвольный контур, охватывающий частицу, I — единичный тензор, п — вектор внешней единичной нормали к элементу с!1 контура интегрирования, еа -соответствующий единичный базисный вектор декартовой системы координат. В качестве контура интегрирования Г выбирается граница соответствующей ячейки Вигнсра-Зейтца. Процедура численного интегрирования предпочтительна в вычислительном отношении по сравнению с дифференцирование. Дополнительным преимуществом является необходимость интегрировать только по периметру области определения.

Основная идея методики определения силовых постоянных состоит во внесении в равновесную систему возмущения в виде смещения единственной частицы и определении сил, действующих на все частицы системы. Смещению подвергается только центральная частица. Силовые постоянные согласно (6) получаются затем однократным численным дифференцированием зависимостей сил от смещений.

Систематический учет симметрии моделей позволяет дополнительно снизить объем вычислений. В ходе исследования было показано, что для полного определения силовых постоянных всех рассматриваемых моделей достаточно смещений вдоль только одной из осей, причем только в одном из двух направлений. В работе осуществляется смещение в положительном направлении оси х. Детальный анализ свойств симметрии и структура матриц силовых постоянных для четырех исследуемых моделей приведены в диссертации.

Поскольку при смещении центральной частицы в положительном направлении оси х сохраняется зеркальная симметрия относительно этой оси, при численном решении использовалась только половина (верхняя) исходной области определения, что также снижает объем вычислений и требования к вычислительным ресурсам.

В третьей главе описывается программный комплекс, реализующий алгоритм нахождения силовых и упругих постоянных коллоидных кристаллов, описанный в главе 2, процедура обработки первичных данных и приводятся результаты математического моделирования для силовых постоянных всех исследуемых моделей коллоидных кристаллов.

Алгоритм нахождения силовых и упругих постоянных коллоидных кристаллов реализован в виде комплекса программ. Блок-схема комплекса программ показана на рисунке 2.

В состав комплекса входит программа-драйвер, реализующая методику определения силовых и упругих постоянных, а также программы генерации исходной геометрии, адаптивного перестроения сеток, численного решения краевой задачи для дифференциального уравнения ПБ, обработки данных первичных протоколов и определения силовых постоянных, вычисления упругих постоянных и другие программы постпроцессорной обработки. Программы комплекса написаны на языках Fortran 90, COMSOL Script, MATLAB.

Уравнение ПБ решалось методом конечных элементов с использованием нерегулярных треугольных сеток. Программа реализована в двух вариантах: с адаптивным перестроением сеток и с использованием градиентных сеток без адаптации. Использовались лагранжевы элементы второго порядка.

Входными данными являются тип решетки и параметры модели, указанные в таблице 1: радиус частиц R, параметр решетки d и один из двух электрических параметров, (р{) или а0, для модели ТТЛ и ПЗ соответственно. Для любого из параметров может быть задан желаемый диапазон изменения значений.

После ввода исходных данных осуществляется развертка по смещениям центральной частицы. Смещения совершаются в положительном направлении оси х. Всего проводится 10 одинаковых шагов смещения так, что максимальное смещение составляло 10% от расстояния d-2R (край-край) между ближайшими частицами. На каждом шаге смещения решается краевая задача для дифференциального уравнения ПБ с надлежащими граничными условиями, соответствующими заданной модели. По получении решения дифференциального уравнения вычисляются силы, действующие на частицы системы. Кроме того, вычисляется давление в равновесной конфигурации. Полученные данные для всех смещений выводятся в файл протокола первичных данных, образец которого находится в приложении к диссертации.

Рисунок 2. Блок-схема комплекса программ для определения силовых и упругих постоянных двумерных электрически стабилизированных коллоидных кристаллов

На рисунке 3 показан пример типичных зависимостей компонент сил, действующих на частицы системы, от смещения центральной частицы. Значения компонент сил для положительных берутся непосредственно из протоколов первичных данных. Данные для отрицательных смещений формируются из данных для положительных на основании соображений симметрии, изложенных в главе 2. Как показано в диссертации, силовые постоянные являются производными представленных зависимостей, вычисленными в нуле. Кривые на графиках аппроксимировались кубическими полиномами методом наименьших квадратов. Силовые постоянные получаются тогда как коэффициенты при линейном члене в полиномиальной аппроксимации, при этом определяются как сами постоянные, так и их ошибки.

Выходными данными являются значения силовых и упругих постоянных кристалла. Упругие постоянные вычисляются по данным о силовых постоянных согласно формулам, представленным в главе 4. Образец итогового протокола находится в приложении к диссертации.

з

5 0,2

Е о

I)

1-0.2

"-0.4

Н; — р«си)

1 Н | | | 1- ____

-0,05 О 0,05

Смещение Б

-0,05 0 0,Сб

Смещение 5

Рисунок 3. Зависимости компонент сил от смещений центральной частицы для кристалла с квадратной решеткой в модели ГШ, Я = 1, (I = 3,0, <р = 2,0

Решение краевой задачи в ходе вычислительного эксперимента проводилось с использованием градиентных сеток. Для оценки точности полученного решения проводилось сравнение величины силы, действующей на центральную частицу, при ее максимальном смещении из положения равновесия, с точным решением, в качестве которого выбиралось аналогичное решение, полученное с адаптивным перестроением сеток. В обоих случаях компоненты силы вычислялись как по границе ячейки Вигнера-Зейтца, 1\^гас1> и 1\^ар1), так и по поверхности частицы, и

Вычисления проводились для тестовой модели кристалла с гексагональной решеткой в модели ПЗ с включением ближайших соседей только 1-го порядка. Адаптивные сетки конечных элементов содержали порядка 500 ООО степеней свободы, что соответствовало предельным возможностям имеющейся вычислительной техники. Градиентные сетки насчитывали только около 200 ООО степеней свободы.

Анализ данных для тестовой модели показал, что относительная ошибка решения (Г^1"'"^ — Р^1 р^ не превьипает 0.01% для всех с/. Это свидетельствует о том, что градиентные сетки дают для величины силы результаты, по точности сопоставимые с аналогичными результатами для адаптивных сеток, при условии, что интегрирование осуществляется по границе ячейки Вигнера-Зейтца. Это обстоятельство позволяет использовать градиентные сетки в задачах с большим числом частиц, когда адаптивное решение для достижения той же точности требует числа степеней свободы, которое превышает имеющиеся вычислительные возможности. Типичное

г,(дгай) „(агай)

значение относительного отклонения величин Ррагс и 'игу >

гг,(дгаЛ) „(дгай)\ .-(агай)

\Spart ~ )/му.<г > также составляло несколько сотых долей

процента. Это позволило численно убедиться в независимости интеграла для силы от контура интегрирования, что, в свою очередь, свидетельствовало о высоком качестве численного решения. Последнее обстоятельство постоянно контролировалось в ходе моделирования. 6

!5 X

В3

о = 2 «к

о 1 и0

0,02

<£-0,02

4)

х 0,04

х

«

£-0,06

0

ё-ода

1 -од

0

1 0,12

и

-0,14

Рисунок 4. Силовые постоянные Ла центральной частицы, л, и д, соседей 1-го порядка, Л, и Д соседей 2-го порядка для кристалла с квадратной решеткой в

модели Г1П

Были проведены систематические исследования силовых постоянных четырех моделей коллоидных кристаллов в диапазоне значений параметров решетки с! — 2,1... 8,0. В качестве примера на рисунке 4 представлены результаты для кристалла с квадратной решеткой в модели ПП. В обозначении констант нижний индекс указывает порядок ближайших соседей центральной частицы, которая имеет номер 0. Полные численные и

Параметр решетки с!

_.. . } • А, - В, . /г _ »4

■ 1

Постоянная решетки с]

•~АгТ - Вг Г

1 ------Л- — / (X.. .....-Г- -

' ■ ' 1 1 ■ ' ■ 1 I ' ■ ' ' ' ' ' гТ-^'-гт-г-г-г-гт-г

2 3 4 5 6 7 8 Постоянная решетки с!

графические данные по силовым постоянным для всех исследуемых моделей приведены в диссертации.

В четвертой главе на основе полученной в ходе вычислительного эксперимента информации о силовых постоянных модельных кристаллов исследуются такие вопросы, как упругие постоянные кристаллов, наличие многочастичных взаимодействий в таких системах и оценка вкладов ближайших соседей различных порядков в их упругие свойства.

Упругие постоянные 1-го порядка Сц — это напряжение в исходной конфигурации при отсутствии деформации. Для кристаллов как с гексагональной, так и с квадратной решеткой напряжение в исходной конфигурации изотропно и определяется осмотическим давлением р. Давление вычисляется с помощью тензора напряжений с помощью выражения, аналогичного (7) [3].

Параметр решетки (1 Параметр решетки 6

а) б)

Рисунок 5. Упругие постоянные 1-го (давление) и 2-го (модули упругости) порядка для кристалла с гексагональной решеткой в модели ПП

Упругие постоянные Сцк1 2-го порядка (модули упругости) могут быть выражены через силовые постоянные и упругие постоянные 1-го порядка [4]. Для обоих типов решеток исследуемых моделей имеется только три нетривиальные упругие постоянные: С1111( С1122, С1212- Полные выражения, учитывающие вклады соседей различных порядков в выражения для модулей упругости гексагональной и квадратной решеток приведены в диссертации.

В качестве примера на рисунке 5 показаны зависимости упругих постоянных кристалла с гексагональной решеткой в модели 1111. Аналогичные результаты для остальных трех моделей представлены в диссертации.

Информация об упругих постоянных кристалла позволяет сделать некоторые выводы о том, является ли эффективное взаимодействие в системе парным. Если частицы, составляющие кристалл, взаимодействуют посредством центрального парного потенциала, то на упругие постоянные кристалла налагаются дополнительные условия, известные как соотношения Коши [5]. Для всех моделей, рассматриваемых в данной работе, как с гексагональной, так и с квадратной решеткой, имеется одно соотношение Коши вида

= СГ

(8)

Для оценки степени присутствия многочастичных эффективных взаимодействий в исследуемых системах вводится параметр

(9)

<-1212

Параметр ц = 1 для систем с парным взаимодействием и отклоняется от 1 в случае присутствия многочастичиых эффективных взаимодействий. Зависимость ¡.I от параметра решетки <1 для кристалла с гексагональной решеткой в модели ПП и ПЗ показаны на рисунке 6. Аналогичные результаты для квадратной решетки представлены в диссертации.

Параметр решетки с| Параметр решетки д

а) б)

Рис. 6. Проверка выполнимости соотношения Коши для кристалла с гексагональной решеткой в модели а) ПП и б) ПЗ

Из представленных данных следует, что имеют место отклонения от соотношения Коши для упругих постоянных всех исследуемых моделей. Преимущественно реализуется соотношение С1122 < С1212- Однако в случае кристалла с гексагональной решеткой в модели ПЗ при приближении параметра решетки к области контакта наблюдается обратное соотношение £1122 > С1212- Наибольшие отклонения наблюдаются при малых и средних значениях параметра решетки. При увеличении параметра решетки парный характер эффективного взаимодействия усиливается. Таким образом, эффективное парное взаимодействие в коллоидных кристаллах, вообще говоря, не исчерпывается суммой парных взаимодействий независимо от

конкретного вида парного потенциала. Наряду с парными должны учитываться и многочастичные вклады, роль которых, особенно при высоких плотностях, может быть значительна.

Полученные данные о силовых постоянных позволяют провести оценку относительного вклада соседей различных порядков в общее силовое взаимодействие в кристалле. Оценка основана на одном из свойств силовых постоянных, которое может быть записано в виде

сю)

шо

Оно справедливо для любой фиксированной пары индексов (а, /?). При суммировании лишь по ограниченному числу ближайших соседей соотношение будет выполняться лишь приближенно. Были предложены

параметры и 5'2 следующего вида: 51, = С°х и /с"хх,

где М, - вектор решетки Бравэ для ближайших соседей только первого порядка, а М2 — для ближайших соседей первого и второго порядка вместе. Близость этих параметров к единице является мерой влияния ближайших соседей указанных порядков.

Зависимость параметров 5, и Б2 от параметра решетки (I для кристалла с гексагональной решеткой в модели ПП и ПЗ показаны на рисунке 7. Аналогичные результаты для квадратной решетки представлены в диссертации. На графиках всех моделей наблюдаются минимумы значений, приходящиеся на область средних значений параметра решетки. Наибольшее отклонение параметра 5, от 1 имеет место в кристалле с квадратной решеткой в модели ПЗ. В то же время максимальное отклонение от 1 параметра 52 для всех моделей не превышает 1%.

а) б)

Рисунок 7. Параметры 8, и 82 от параметра решетки для для кристалла с гексагональной решеткой в модели а) ПП и б) ПЗ

Из полученных данных следует, что силовое взаимодействие в двумерных коллоидных кристаллах всех рассматриваемых типов практически полностью исчерпывается взаимодействием ближайших соседей первого и второго порядков; вклады соседей более высоких порядков

пренебрежимо малы для любых плотностей вплоть до полного контакта макроионов. Более детальные заключения для каждой из моделей представлены в диссертации.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

1. В рамках теории на основе нелинейного дифференциального уравнения Пуассона-Больцмана построены четыре математические модели двумерных коллоидных кристаллов с гексагональной и квадратной кристаллической решеткой с постоянным потенциалом и постоянной плотностью заряда частиц, в которых учтены взаимодействия ближайших соседей высоких порядков.

2. Для предложенных моделей коллоидных кристаллов разработан алгоритм определения силовых и упругих постоянных, основанный на внесении возмущения в равновесное состояние кристалла путем смещения одной из частиц.

3. Показано, что учет симметрии моделей дает возможность значительно, на порядок, снизить объем вычислений при математическом моделировании, а также снизить требования к оперативной памяти.

4. Разработан программный комплекс, реализующий алгоритм определения силовых и упругих постоянных двумерных коллоидных кристаллов в рамках теории на основе уравнения Пуассона-Больцмана.

5. Проведено математическое моделирование упругих свойств двумерных коллоидных кристаллов в рамках предложенных моделей. В результате получены высокоточные данные о силовых и упругих постоянных кристалла в диапазоне параметров решетки от (почти) контакта частиц до расстояний, на которых взаимодействие ничтожно мало.

6. Обнаружены существенные отклонения от соотношений Коши для упругих постоянных коллоидных кристаллов рассматриваемых типов, что свидетельствует о многочастичном характере эффективного взаимодействия макроионов в таких системах.

7. Получено выражение для оценки относительных вкладов ближайших соседей различных порядков в упругие свойства двумерных коллоидных кристаллов. Показано, что в рассматриваемых моделях упругие свойства практически полностью исчерпываются вкладами ближайших соседей 1-го и 2-го порядков. Вклады соседей более высокого порядка пренебрежимо малы.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Ролдугин, В. И. Физикохимия поверхности / В. И. Ролдугин. -Долгопрудный: Изда- гельский дом «Интеллект», 2008. — 568 с.

2. Дерягин, Б. В. Поверхностные силы / Б. В. Дерягин, Н. В. Чураев, В. М. Муллер. - М. : Наука, 1987. - 398 с.

3. Belloni, L. Colloidal interaction / L. Belloni //J. Phys.: Condens. Matter, 2000. - Vol. 12. - Pp. R549-R587.

4. Wallace D. С. Lattice Dynamics and Elasticity of Stressed Crystals / D. C. Wallace // Rev. Mod. Phys. - 1965. - V. 37. - Pp. 57-67.

5. Bairon, T. H. K. Second-order elastic constants of a solid under stress / T. H. K. Barron, M. L. Klein // Proc. Phys. Soc. - 1965. - V.85. - Pp. 523-532.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Научные статьи, опубликованные в изданиях из списка ВАК:

1. Александров, 10. В. Силовые постоянные двумерного коллоидного кристалла с квадратной статической решеткой / Ю. В. Александров, П. Е. Дышловенко // Известия вузов. Электроника. - 2011. - № 1 (87). - С. 9-16.

Свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ:

2. Дышловенко, П. Е. Двумерный коллоидный кристалл с квадратной решеткой в модели уравнения Пуассона-Больцмана (quad5) / П. Е. Дышловенко, Ю. В. Александров // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011616981, М.: РОСПАТЕНТ, 08.09.2011.

3. Дышловенко, П. Е. Численное решение уравнения Пуассона-Больцмана для двумерных коллоидных кристаллов с квадратной решеткой / П. Е. Дышловенко, Ю. В. Александров // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011617862, М.: РОСПАТЕНТ, 07.10.2011.

Публикации в других изданиях:

4. Александров, 10. В. Наноразмерный коллоидный кристалл с постоянным потенциалом макроионов / Ю. В. Александров, П. Е. Дышловенко // Вузовская наука в современных условиях: тезисы докладов 42-й научно-технической конференции УлГТУ. - Ульяновск : УлГТУ, 2008. - С. 135.

5. Александров, Ю. В. Модель электрически стабилизированного двумерного коллоидного кристалла / Ю. В. Александров // Радиоэлектронная техника: межвузовский сборник научных трудов. - Ульяновск : УлГТУ, 2008. -С. 130-132.

6. Александров, Ю. В. Роль граничных условий в задаче определения силовых постоянных двумерного коллоидного кристалла / Ю. В. Александров, П. Е. Дышловенко // Вузовская наука в современных условиях: тезисы докладов 43-й научно-технической конференции УлГТУ. -Ульяновск : УлГТУ, 2009. - С. 27.

7. Александров, Ю. В. Роль граничных условий при моделировании силовых постоянных электрически стабилизированных коллоидных

кристаллов / Ю. В. Александров, Г1. Е. Дышловенко // Сборник научных трудов всероссийской конференции «Проведение научных исследований в области обработки, хранения, передачи и защиты информации», т.З. -Ульяновск : УлГТУ, 2009,- С. 214-218.

8. Александров, Ю. В. Эффекты конечности области определения задачи при численном моделировании силовых постоянных коллоидного кристалла / Ю. В. Александров, П. Е. Дышловенко // Радиоэлектронная техника: межвузовский сборник научных трудов. — Ульяновск : УлГТУ, 2009. -С. 147-150.

9. Александров, Ю. В. Силовые постоянные коллоидного наноразмерного кристалла с постоянным потенциалом частиц / Ю. В. Александров, П. Е. Дышловенко // Вузовская наука в современных условиях: тезисы докладов 44-й научно-технической конференции УлГТУ. — Ульяновск : УлГТУ, 2010. - С. 164.

10. Александров, Ю. В. Моделирование упругих и решеточных свойств электрически стабилизированных коллоидных кристаллов со статической квадратной решеткой / Ю. В. Александров, Г1. Е. Дышловенко, А. Ф. Низаметдинов // Математическое моделирование и краевые задачи: МЗЗ. Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 1: Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. — Самара : СамГТУ, 2010. — С.12-15.

П. Александров, Ю. В. Силовые и упругие постоянные двумерных коллоидных кристаллов / Ю. В. Александров, Г1. Е. Дышловенко // Вузовская наука в современных условиях: тезисы докладов 45-й научно-технической конференции УлГТУ. - Ульяновск : УлГТУ, 2011. - С. 185.

12. Александров, Ю. В. Упругие свойства коллоидного кристалла с квадратной решеткой в модели постоянного по тенциала / Ю. В. Александров // Сборник научных трудов 3-й Российской научно-технической конференции аспирантов, студентов и молодых ученых ИВТ-2011. — Ульяновск : УлГТУ, 2011.-С. 18-22.

13. Александров, Ю. В. Моделирование силовых постоянных двумерного коллоидного кристалла с гексагональной статической решеткой / Ю. В. Александров, П. Е. Дышловенко, А. Ф. Низаметдинов, Д. В. Чернятьев // Современные проблемы создания и эксплуатации радиотехнических систем: труды седьмой всероссийской научно-практической конференции (с участием стран СНГ. - Ульяновск : УлГТУ, 2011. — С. 177-180.

Александров Юрий Владимирович

Моделирование упругих свойств двумерных электрически стабилизированных коллоидных кристаллов

Автореферат

Подписано в печать 17.04.2012. Формат 60x84/16. Усл. псч. л. 1,16. Тираж 100 экз. Заказ424. Типография УлГТ У, 432027, г. Ульяновск, Северный Венец, 32.

61 12-1/1065

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

Александров Юрий Владимирович

МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГИХ СВОЙСТВ ДВУМЕРНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИ СТАБИЛИЗИРОВАННЫХ КОЛЛОИДНЫХ

КРИСТАЛЛОВ

Специальность: 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ»

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель к.ф.-м.н., доцент П. Е. Дышловенко

Список сокращений...............................................................................................5

Введение...................................................................................................................6

Глава 1. Электрически стабилизированные коллоидные системы...........11

1.1. Теоретическое описание электрически стабилизированных систем . 11

1.1.1. Ранние и упрощенные теории..............................................................11

1.1.2. Теория уравнения ПБ............................................................................13

1.1.3. Связь теории ПБ с более фундаментальными подходами...............16

1.2. Основные модели систем, описываемых уравнением ПБ...........................17

1.3. Экспериментальные исследования упругих свойств электрически стабилизированных коллоидных кристаллов......................................................21

1.4. Теория упругости сред с начальным напряжением......................................24

1.4.1. Основные понятия................................................................................25

1.4.2. Упругие постоянные для среды без начального напряжения..........27

1.4.3. Среда под действием произвольного начального напряжения........28

1.4.4. Связь упругих и силовых постоянных для случая статической примитивной решетки...................................................................................30

1.5. Выводы..............................................................................................................31

Глава 2. Модели, методика..................................................................................32

2.1. Описание моделей....................................................................................32

2.1.1. Основные уравнения.............................................................................33

2.1.2. Граничные условия на поверхности частиц, модели 7777 и ПЗ........35

2.1.3. Граничные условия на внешней границе области определения........36

2.1.4. Вычисление сил и давления, выбор контура интегрирования..........38

2.2. Методика определения силовых постоянных.......................................41

2.3. Силовые постоянные коллоидного кристалла с гексагональной решеткой..........................................................................................................46

2.3.1. Ближайшие соседи нулевого порядка.................................................46

2.3.2. Ближайшие соседи 1-го порядка.........................................................47

2.3.3. Ближайшие соседи 2-го порядка.........................................................49

2.3.4. Ближайшие соседи 3-го порядка.........................................................51

2.4. Силовые постоянные коллоидного кристалла с квадратной решеткой..........................................................................................................52

2.4.1. Ближайшие соседи нулевого порядка.................................................54

2.4.2. Ближайшие соседи 1-го порядка.........................................................55

2.4.3. Ближайшие соседи 2-го порядка.........................................................56

2.5. Алгоритм определения силовых постоянных.......................................58

2.6. Выводы......................................................................................................59

Глава 3. Комплекс программ и вычислительный эксперимент по определению силовых постоянных двумерных коллоидных кристаллов..............................................................................................................60

3.1. Комплекс программ для математического моделирования

упругих свойств коллоидных кристаллов....................................................60

3.1.1. Программы для создания исходной геометрии.................................63

3.1.2. Программа получения первичных данных..........................................64

3.1.3. Программа, реализующая алгоритм определения силовых и упругих постоянных........................................................................................66

3.1.4. Вспомогательная программа для обработки данных......................68

3.2. Метод конечных элементов и триангуляция области определения задачи.........................................................................................68

3.2.1. Метод конечных элементов......................... .......................................68

3.2.2. Триангуляция области определения задачи........................................70

3.3. Проверка точности решения...................................................................77

3.4. Результаты компьютерного эксперимента............................................79

3.5. Оценка влияния размера области определения и типа граничных условий, налагаемых на внешнюю границу области определения, на точность вычислений......................................................................................83

3.6. Выводы......................................................................................................89

Глава 4. Анализ результатов экспериментов..................................................90

4.1. Упругие постоянные коллоидных кристаллов.....................................90

4.1.1. Упругие постоянные 1-го порядка......................................................90

4.1.2. Упругие постоянные 2-го порядка......................................................91

4.2. Проверка выполнимости соотношения Коши......................................99

4.3. Оценка вкладов соседей различных порядков в упругие свойства коллоидных кристаллов................................................................................104

4.4. Выводы.....................................................................................................112

Заключение............................................................................................................113

Список литературы.............................................................................................115

Приложение 1........................................................................................................128

Приложение 2........................................................................................................130

Приложение 3........................................................................................................131

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

гцк- гранецентрированная кубическая

ДЛФО- Дерягина-Ландау-Фервея-Овербека

мд- Молекулярная динамика

мк- Монте-Карло

ПБ- Пуассона-Больцмана

пз- постоянная плотность заряда

пп- постоянный потенциал

TMV- Tobacco Mosaic Vims

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования

Электрически стабилизированные коллоидные системы - это простейшие представители обширного класса суспензий заряженных объектов. Примерами таких систем чрезвычайно разнообразны и имеют многочисленные технологические применения [1]. Эти системы также играют огромную роль в молекулярной биологии, поскольку практически все протеины в каждой живой клетке, также как и сама молекула ДНК, являются заряженными макромолекулами, растворенными в соленой воде. За последние десятилетия предложено несколько способов описания таких систем, отличающихся разной степенью детальности. Теория на основе нелинейного дифференциального уравнения Пуассона-Больцмана занимает в этой связи центральное место, поскольку, с одной стороны, с хорошей точностью описывает многие особенности электрического взаимодействия коллоидных систем, а с другой стороны, является базой, относительно которой проверяются все остальные теории. Значение этой теории особенно возросло в связи с появлением технологических возможностей получения коллоидных систем с частицами все меньшего размера, соизмеримого с длиной Дебая. Для таких систем становятся существенными нелинейные эффекты, не описываемые линеаризованными теориями.

Несмотря на то, что теоретические основы описания электрически стабилизированных коллоидных систем на основе уравнения Пуассона-Больцмана хорошо разработаны [2, 3], применение этой теории ограничивается в основном простейшими системами, что связано со сложностью численного решения нелинейного дифференциального уравнения. В связи с этим особое значение приобретает разработка точных и универсальных методов математического моделирования физически интересных систем, то есть систем с разнообразием электрических свойств, сложной геометрией и большим числом частиц.

Важным примером таких систем являются электрически стабилизированные коллоидные кристаллы, то есть системы, в которых частицы пространственно упорядочены. Как и обычные кристаллы, они обладают определенными свойствами упругости, но, в отличие от них, являются системами с начальным напряжением. Математическое моделирование упругих свойств электрически стабилизированных коллоидных кристаллов дополняет натурный эксперимент и позволяет получить сведения о силовых постоянных и модулях упругости этих сред. Сведения об упругих свойствах важны для технологических применений. Кроме того, моделирование позволяет получить информацию о характере взаимодействия в электрически стабилизированных системах, об их акустических свойствах и о фазовых переходах в них, а также о свойствах эффективных взаимодействий частиц. Все вышесказанное обосновывает актуальность темы диссертационного исследования.

Цель и задачи исследования

Цель работы: Исследование силовых и упругих постоянных двумерных электрически-стабилизированных коллоидных кристаллов средствами математического моделирования.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Разработка методики компьютерного эксперимента по определению силовых и упругих постоянных двумерных электрически-стабилизированных коллоидных кристаллов.

2. Создание программного комплекса, реализующего методику определения силовых и упругих постоянных.

3. Проведение экспериментов по определению зависимостей силовых и упругих постоянных двумерных электрически-стабилизированных коллоидных кристаллов от параметров моделей.

4. Анализ результатов экспериментов, формулировка выводов по их итогам.

Методы исследования

При решении поставленных задач применялись методы теории дифференциальных уравнений, математического моделирования, вычислительной математики, теории упругости, а также средства программирования на языках высокого уровня и библиотеки программ.

Научная новизна положений, выносимых на защиту

1. В рамках классической теории на основе нелинейного дифференциального уравнения Пуассона-Больцмана построены четыре модели двумерных электрически стабилизированных коллоидных структур, отличающихся: 1) наличием пространственной периодичностью, 2) включением большого число взаимодействующих частиц.

2. Разработан новый алгоритм определения силовых и упругих постоянных коллоидных кристаллов в рамках построенных моделей, в котором учтены: 1) свойства симметрии моделей, 2) вклады ближайших соседей высоких порядков.

3. Разработан новый программный комплекс, позволяющий проводить вычислительные эксперименты по определению силовых и упругих постоянных двумерных электрически стабилизированных коллоидных кристаллов в рамках теории на основе уравнения Пуассона-Больцмана при различных межчастичных расстояниях, размерах и электрических параметрах макроионов.

4. Обнаружены существенные отклонения от соотношений Коши для упругих постоянных коллоидных кристаллов рассматриваемых типов, что свидетельствует о многочастичном характере эффективного взаимодействия макроионов в таких системах.

5. Впервые установлено, что упругие свойства двумерных электрически стабилизированных коллоидных кристаллов практически полностью

Достоверность результатов, представленных в диссертации, обеспечивается применением классической теории на основе уравнения Пуассона-Больцмана, корректностью применения математического аппарата и численных методов, проверкой предельных и специальных случаев, сопоставлением результатов с литературными данными.

Практическая ценность результатов работы

Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы в практике научных и технологических лабораторий для компьютерного моделирования упругих свойств электрически стабилизированных коллоидных кристаллов.

Реализация результатов работы

Результаты диссертационной работы использованы при выполнении гранта РФФИ №09-01-97012 «Математическое моделирование упругих и решеточных свойств наноразмерных коллоидных кристаллов».

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на 42-й, 43-й, 44-й и 45-й научно-технических конференциях УлГТУ «Вузовская наука в современных условиях» (Ульяновск, УлГТУ, 28 января - 4 февраля 2008 г., 26-31 января 2009 г., 1-7 февраля 2010 г., 24-29 января 2011 г.), Всероссийской конференций «Проведение научных исследований в области обработки, хранения, передачи и защиты информации» (Ульяновск, 1-5 декабря 2009 г.), 7-й Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 3-6 июня 2010 г.), 3-й Российской научно-технической конференции аспирантов, студентов и молодых ученых

«ИВТ-2011» (Ульяновск, 24-25 мая 2011 г.), 7-й Всероссийской научно-практической конференции (с участием стран СНГ) «Современные проблемы создания и эксплуатации радиотехнических систем» (Ульяновск, 22-23 сентября 2011 г.)

Получены два свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ «Двумерный коллоидный кристалл с квадратной решеткой в модели уравнения Пуассона-Больцмана ^иас15)», № 2011616981, М.: РОСПАТЕНТ, 08.09.2011 и «Численное решение уравнения Пуассона-Больцмана для двумерных коллоидных кристаллов с квадратной решеткой», № 2011617862, М.: РОСПАТЕНТ, 07.10.2011.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ, одна из которых в издании из перечня ВАК, два зарегистрированных программных продукта, и десять в других изданиях, включая тематические сборники и материалы международных и всероссийских научно-технических конференций.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 126 наименований, и 3 приложений. Общий объем диссертации составляет 138 страниц и содержит 16 таблиц и 50 рисунков.

1.1. Теоретическое описание электрически стабилизированных систем

С физической точки зрения электрически стабилизированные коллоидные системы и, в частности, коллоидные кристаллы являются суспензиями заряженных объектов. Примерами таких систем чрезвычайно разнообразны и имеют многочисленные технологические применения [1], наиболее важным из которых, по-видимому, является возможность создания на их основе фотонных и фононных кристаллов [4, 5, 6, 7]. Кроме того, эти системы играют важную роль в молекулярной биологии, поскольку многие биологические объекты, включая молекулы ДНК, являются электрически заряженными, а жидкие биологические среды часто представляют собой электролиты.

Теоретическим исследованиям электрически стабилизированных систем уже около ста лет, и к настоящему времени разработано несколько теорий, отличающихся той или иной степенью приближения, среди которых теория на основе уравнения ПБ занимает центральное место. В данном разделе

1) рассматриваются ранние упрощенные и линеаризованные теории,

2) дается описание теории ПБ 3) обсуждается связь теории ПБ с более фундаментальными подходами.

1.1.1. Ранние и упрощенные теории

Примитивная модель

Рассмотрим теперь растворы, содержащие заряженные коллоиды и малые ионы. При рассмотрении таких систем используется, главным образом, подход, известный как «примитивная модель». Согласно этой

модели дискретной природой полярного растворителя пренебрегается. Система рассматривается как смесь заряженных твердых сфер диаметром ст., валентностью и концентрацией , погруженная в непрерывный растворитель с диэлектрической проницаемостью е [1, 8].

Теория Дебая-Хюккеля Теория Дебая-Хюккеля [9] дает точное описание предельного случая бесконечно разбавленных растворов. По этой причине практическое применение ее к коллоидным системам ограничено. Согласно этой теории все заряженные компоненты системы, как ионы, так и коллоиды, рассматриваются как точечные объекты, то есть сг = 0 для всех I. Корреляции описываются в рамках линеаризованной теории среднего поля. Одной из черт теории Дебая-Хюккеля является наличие двух несовпадающих между собой определений давления в растворе. Такая термодинамическая противоречивость является следствием приближенного характера теории. Еще одним недостатком теории является появление в парной функции распределения нефизических отрицательных значений.

Скорректированные теории на основе теории Дебая-Хюккеля Теорию Дебая-Хюккеля можно улучшить в нескольких направлениях [10, 11, 12]. Прежде всего, можно учесть конечный размер коллоидов, сх = 2а. Кроме того, коллоид-коллоидные корреляции можно учесть в рамках нелинейного подхода. Однако эти улучшения качественно не меняют основных результатов классической теории Дебая-Хюккеля. Остаются неустраненными и все термодинамические противоречия теории, связанные, в частности, с неоднозначностью определения давления.

Описание электрически заряженных коллоидных систем на основе уравнения ПБ позволяет вычислить средние локальные плотности ионов р1(г) и средний локальный электростатический потенциал (р(г) вокруг

коллоидов, находящихся в фиксированном положении в конфигурации гк. Неоднородная ионная жидкость находится в равновесии с резервуаром солевого раствора и испытывает внешнее воздействие со сто�