автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов распространения чистых мод упругих волн в кристаллах и супракристаллах

КОЧАЕВ Алексей Иванович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЧИСТЫХ МОД УПРУГИХ ВОЛН В КРИСТАЛЛАХ И СУПРАКРИСТАЛЛАХ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 МДР 1Ш

Ульяновск-2012

005011893

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный технический университет» на кафедре «Физика»

Научный руководитель: Браже Рудольф Александрович -

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: Леонтьев Виктор Леонтьевич -

доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Математическое моделирование технических систем» Ульяновского государственного университета;

Шевяхов Николай Сергеевич -

доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры общей физики Саровского физико-технического института Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ»

Ведущая организация: Ульяновский филиал Института радиотехники

и электроники им В. А. Котельникова РАН

Защита диссертации состоится 4 апреля 2012 г. в 12.00 на заседании диссертационного совета Д212.277.02 при Ульяновском государственном техническом университете по адресу. 432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного технического университета.

Автореферат разослан с^&^Сы^) 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Крашенинников В. Р.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Упругие волны в кристаллах, благодаря малой по сравнению с электромагнитными волнами скорости распространения, находят широкое применение в акустоэлектронике и акустооптике. При этом практический интерес представляют, главным образом, чисто продольные и чисто поперечные упругие волны, в которых направления фазовой и групповой скоростей совпадают. Проблеме поиска чистых мод упругих волн в анизотропных средах уделялось внимание в работах Ф. Е. Боргниса [1], К. Браггера [2], 3. Р. Чанга [3], В. Н. Любимова [4], К. Р. Пелэза [5], М. Дуарте [6] и др. исследователей. Однако, из-за математических сложностей, Данная задача до сих пор была решена для каждого класса симметрии кристаллов в отдельности, причем для наименее симметричных кристаллов моноклинной и триклинной симметрии лишь для отдельных кристаллографических направлений. Вклад пьезоэлектрического эффекта в увеличение эффективной жесткости кристалла также не всегда учитывался.

Появление новых двумерных (20) и трехмерных (ЗО) наноразмерных материалов и структур, в частности, супракристаллов [7], обнаружение у них интересных с точки зрения возможностей практического применения упругих свойств с новой остротой поставило актуальную задачу построения математических моделей процессов распространения чистых мод упругих волн в произвольной анизотропной среде в самой общей постановке.

Предметом исследования являются процессы распространения и характеристики чистых мод упругих волн в кристаллах и супракристаллах.

Цель работы - упрощение и унификация процедуры поиска чистых мод упругих волн в произвольной кристаллической (супракристаллической) среде, в общем случае обладающей пьезоэлектрическими свойствами.

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1. Построение математических моделей распространения объемных упругих волн в кристаллах, позволяющих по известным значениям материальных констант находить направления распространения и поляризации чисто продольных и чисто поперечных упругих волн в кристаллах произвольного класса симметрии.

2. Разработка комплекса программ, позволяющего по заданным значениям плотности кристалла, его упругих, диэлектрических и пьезоэлектрических постоянных вычислять направления распространения и поляризации, скорости распространения и коэффициенты электромеханической связи (в случае пьезоэлектрика) чистых мод упругих волн и строить поверхности их фазовых скоростей для данного кристалла.

3. Исследование в рамках построенных моделей и разработанных программ особенностей распространения продольных, поперечных и изгибных волн в 21>супракристаллах, в частности, в углеродных, графеноподобных пла-нарных структурах.

4. Исследование в рамках построенных моделей и разработанных программ акустических свойств 3 О-супракристаллов, в частности, углеродного суп-ракристалла (С)сю-

Методы исследований. В работе использованы известные методы математического, в том числе компьютерного, моделирования, основные положения теории сплошных сред, теории упругих волн в кристаллах и оболочках, теории сильной связи в приближении связывающих орбиталей.

Научная новизна положений, выносимых на защиту

1. Построены две математические модели распространения упругих волн в произвольном кристаллическом диэлектрике, обладающем, в общем случае, пьезоэффектом, позволяющие находить их чистые моды следующими двумя способами:

- на основе метода диагонализации коэффициентов волнового уравнения;

- на основе построения и анализа ЗВ-поверхностей фазовых скоростей. Обе модели в совокупности позволяют унифицировать проблему поиска

чисто продольных и чисто поперечных волн в кристаллах.

2. Разработан комплекс из двух компьютерных программ, основанных на построенных математических моделях, позволяющий отыскивать продольные и поперечные нормали не только в обычных кристаллах, но и в 20- и ЗО-супракристаллах, если известен их класс симметрии и материальные константы.

3. Для графеноподобных 2В-супракристаллов впервые численными методами вычислены компоненты тензоров упругих жесткостей, двумерный модуль Юнга, коэффициент Пуассона и скорости распространения продольных и поперечных упругих волн, а также впервые вычислены модуль изгиба и скорости распространения изгибных волн в зависимости от частоты и амплитуды.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным использованием известных математических методов и физически обусловленных приближений, а также подтверждается экспериментальными и теоретическими результатами других авторов.

Практическая значимость работы. Построенные математические модели и разработанные компьютерные программы значительно упрощают, унифицируют и, благодаря учету пьезоэффекта, в ряде случаев повышают точность отыскания направлений распространения, поляризации и величины скорости распространения чисто продольных и чисто поперечных волн в 2Б-и ЗБ-кристаллах и супракристаллах.

Кроме того, полученные результаты показывают перспективность 20- и ЗБ-супракристаллов как новых сред для наноакустоэлектроники.

Работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований (проект №10-02_97002-р_повольжье_а), Премией Московского Физического общества, Премией Правительства Ульяновской области.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 44-, 45-, 46-й научно-технических конференциях УлГТУ «Вузовская наука в современных условиях» (Ульяновск,

2010-2012), 13- и 14-й региональных научных школах-семинарах «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники» (Ульяновск, 2010, 2011), Всероссийской научно-практической конференции «Формирование учебных умений и навыков» (Ульяновск, 2011), V Всероссийской конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная оптика» (Саратов, 2010), Международной школе-семинаре «Физика в системе высшего и среднего образования» (Москва, 2011), Шестой всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, 2011).

Отдельные результаты работы были представлены на следующих выставках и конкурсах: Конференция-конкурс молодых физиков (Москва, ФИ им. П. Н. Лебедева РАН, 2011) - диплом лауреата (2-е место), Молодежный инновационный форум Приволжского федерального округа (Ульяновск, 2011) - диплом лауреата (1-е место), XI Всероссийская выставка научно-технического творчества молодежи (Москва, ВВЦ, 2011) - диплом, IV Международный конкурс научных работ молодых ученых в области нано-технологий (Москва, Rusnanotech, 2011) - диплом.

Личный вклад автора. Основные теоретические положения и требования к математическим моделям разработаны совместно с научным руководителем. Разработка алгоритмов численного расчета, программных продуктов и их модификация, а также сами расчеты выполнены лично автором. В публикациях с соавторами на долю автора приходятся разработка математических моделей и численные расчеты.

Публикации. Результаты диссертационной работы отражены в 20 публикациях: 9 в рецензируемых журналах из перечня изданий, рекомендованного ВАК, 1 в нерецензируемом журнале, 9 в материалах международных и российских конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, 2 приложений и списка литературы из 150 наименований. Работа изложена на 122 страницах машинописного текста, содержит 13 таблиц, 24 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследования, отмечена практическая значимость полученных результатов, приводятся структура, объем и содержание диссертации.

В первой главе дан обзор и проведен сравнительный анализ существующих методов поиска продольных и поперечных нормалей в кристаллах. В силу сложной зависимости акустических свойств среды от заданного направления, до сих пор поиск чистых мод упругих волн выполнялся для кристаллов каждого класса симметрии в отдельности. Более того, в кристаллах наименее симметричных моноклинной и триклинной сингонии этот поиск выполнен лишь для отдельных направлений. Систематического учета пьезо-эффекта также не было произведено, он был учтен лишь для некоторых кри-

сталлов. Отмечена целесообразность разработки математических моделей, позволяющих решить задачу поиска направлений распространения и поляризации чистых мод упругих волн в кристаллической среде в самом общем виде, зная ее плотность, упругие и электрические свойства.

Во второй главе описаны две разработанные математические модели распространения упругих волн в произвольной кристаллической среде, позволяющие исследовать условия существования чисто продольных и чисто поперечных объемных волн.

Рассматриваются плоские упругие волны в неограниченной анизотропной непроводящей, в общем случае пьезоэлектрической, среде, в условиях адиабатического приближения. Предполагается, что магнитные эффекты отсутствуют, а электромеханические поля являются квазистатическими. Кристалл считается электрически разомкнутым.

Первая модель основана на методе диагонализации коэффициентов волнового уравнения, выведенного для случая плоских упругих волн, распространяющихся в произвольном направлении х\ рассматриваемой среды;

Здесь р - плотность среды, иа', н/ - компоненты вектора смещения частиц, / -время, с'а{у1 - компоненты тензора модулей упругости (упругих жесткостей),

е[у1, е{иУ - компоненты тензора пьезомодулей, - компоненты тензора диэлектрических проницаемостей.

Стоящие в круглых скобках коэффициенты уравнения (1) образуют действительную симметричную матрицу эффективных модулей упругости [с„1у1]; в общем случае «ужесточенных» за счет пьезоэффекта. Эта матрица

может быть приведена к диагональному или неполному диагональному виду с помощью преобразования подобия с действительной ортогональной преобразующей матрицей [аш], элементами которой являются направляющие косинусы преобразования подвижной системы координат (*]', х2, х3') относительно кристаллофизической системы координат (х,, х2, х3), причем греческие индексы соответствуют подвижным осям, а латинские - кристаллофизиче-ским.

Случай равенства нулю недиагональных элементов матрицы [Сд^] дает условия продольных нормалей:

(1)

'-а, 1а12[а,2,(с14 + 2с56) + а'2с24 + а^(Зс34 -2с,4 - 4с56)] + +аиап[а?1(си -с,3 -2с55) + а,22(с,2 +с22-2см + 2с66) + + 2с55)] +

+а12а13[а?1(Зс16 - 2с36 - 4с45) + а^с26 + а^(с36 + 2 с45)] -

2 2 2 2 2 2 2 2 2 -а, 2 (с2 5 + 2с4б )(а,, - а, 3) - а, 3 (За,, - а, 3 )с35 + а,, (За, 3 - а,, )с, 5 = О,

«1 \ап[аи^\5 + а12(ё25 + 2с46) + а,2з(Зс35 - 2с25 - 4с46)]-

-а, ,л,з[а,2,с16 + а?2(3с26 - 4с45 - 2с36) + а?3(с36 + 2с45)] -

-а,2а,3[а^(с,2-с,3 -2с55 + 2с66) + а?2(с22-с23-2с44)~ (3)

~ап(С33 ~ с23 ~ 2С44)] +

+д|2,(С|4 +2С56)(Д|22 -й|23)-а,22(а|22 -За,23)с24 + а23(За,22 -а23)с34 =0,

апа12[«п(с12 +Щб -С1,) + а22(с22 -с,2 -2с66) + +а,23(с32 + 2с44 -с31 -2с55)] +

+аиа,3[а^(си + 2с56) + а}г(Зс24 -2с,4 -4с5б) + а,3с34]- (4)

-о12а13[а^(Зс15 -4с46 -2с25) + а122(с25 +2с46) + а,2зс35] +

+ап(ап -Зд22)с16 н-а^Зй,2 -а22)с26 + а2з(л21 ~^2)(с36 +2?45) = 0.

Входящие в (2)-{4) «ужесточенные» модули упругости выражаются через «неужесточенные» модули упругости и добавочную жесткость:

* -с> , /о

са\у\ ~ а!у1 , • У3'

£\1

Направления поляризации чисто поперечных волн, распространяющихся вдоль продольных нормалей, можно найти, используя соотношения ортогональности

ааРр! = 3а/)> (6)

где д^ - символ Кронекера. Скорости распространения чистых мод упругих волн, распространяющихся вдоль продольных нормалей, легко получить подстановкой найденных направляющих косинусов в диагональные элементы матрицы:

Для отыскания поперечных нормалей следует перебирать все найденные ранее направления поляризации чисто поперечных мод и подставлять их в систему

аъ\а\\+а1га\2+агъа\ъ=()-

С,вычислительной точки зрения задача отыскания направляющих косинусов продольных и поперечных нормалей в кристалле затруднена решением системы нелинейных уравнений (2)-(4) с дополнительными условиями (5), (6), (8). Поэтому нами разработана компьютерная программа, использующая

пакет Maple 9 Student Edition в операционной системе Windows 7, решающая весь круг перечисленных выше вопросов. Для получения исчерпывающих сведений об особенностях распространения упругих волн в конкретном пьезоэлектрическом кристалле пользователю нужно лишь ввести табличные значения плотности среды и компонентов тензоров модулей упругости, пье-зомодулей и диэлектрических проницаемостей.

В табл. 1-2 приведены примеры использования разработанной программы для отыскания чисто продольных мод в непьезоэлектрическом кристалле сапфира (а-АЬОз) и в пьезоэлектрическом кристалле ниобата лития (LiNb03) из класса симметрии Ът.

Таблица 1

Срез Направление рас- Смещение частиц Тип Скорость

пространения волны v, 103 м/с

(0;0; 1) L 11,19

(0; 0; 1) (1;0;0) Тг 6,09

(0;1;0) Тъ 6,09

(1;0;0) L 11,17

Х\ (1;0; 0) (0; 0,831;-0,558) Тг 5,91

(0; 0,558; 0,831) Тз 6,63

(0; 0,064; 0,998) L 11,29

х2+86° (0; 0,064; 0,998) (0; -0,998; 0,064) т2 6,08

(1;0;0) Т3 6,25

(0; 0,922; 0,386) L 10,33

*2+23° (0; 0,922; 0,386) (0; 0,386;-0,922) Тг 7,11

(1;0;0) Тз 6,70

(0; 0,789;-0,614) L 10,88

х2-38° (0; 0,789;-0,614) (0; 0,614; 0,789) Тг 6,98

(1;0;0) Тз 5,75

(0,500; 0,866; 0) L 11,19

х,+30° (0,500; 0,866; 0) (-0,514; 0,297;-0,805) Тг 5,91

(-0,697; 0,402; 0,593) Тз 6,64

Таблица 2

Упругие и электромеханические свойства продольных нормалей ниобата лития (ГлКЬоз)

Срез Направление распространения Смещение частиц Тип волны Скорость v, 103 м/с Коэфф. эл/мех. связи

Хз (0; 0; 1) (0; 0; 1) (1;0;0) (0; 1;0) L Т2 Т3 7,32 3,58 3,58 0,16

Х\ (1;0;0) (1;0;0) (0; 0,755; 0,656) (0;-0,656; 0,755) L Тг Тз 6,57 4,08 4,80 0,10 0,68

Х2+22° (0; 0,923; 0,386) (0; 0,923; 0,386) (0; -0,386; 0,923) (1;0;0) L Тг Тз 6,70 3,85 4,52 0,10 0,09 0,57

Вторая модель основана на использовании уравнения Грина-Кристоффеля (в тех же допущениях) и построении поверхностей фазовых

скоростей в общем случае одной квазипродольной и двух квазипоперечных

упругих волн. Уравнение Грина - Кристоффеля записывается в виде

/• \

а\па\тетуепк1

pv2ua =

ст +"

a\ra\s£n

Ur, (9)

а соответствующее ему характеристическое уравнение /

, a\na\memijenkl cijU+ ~

alra\sErs у

= 0. (10)

Кубическое относительно pv2 уравнение (10) успешно решается с использованием программного пакета Maple 9 Student Edition в операционной системе Windows 7. Его решением являются три явно установленные функциональные зависимости (fufi,fi) скорости волны v от модулей упругости, пьезоконстант, диэлектрических проницаемостей, плотности кристалла и трех направляющих косинусов направлений распространения. Величина скорости будет определяться длиной вектора, проведенного из начала сферической системы координат к соответствующей поверхности. Пробегая по всем направляющим косинусам, получим трехмерные изображения поверхностей фазовых скоростей упругих волн в кристаллах.

Если геометрический образ поверхности сложен для обозрения, удобно построить ее сечения различными плоскостями, в том числе и координатными.

Условие для чистых мод формулируется так: равенство нулю производной / по характеристическим углам сферической системы координат, через которые выражаются <яц, а]2,

С вычислительной точки зрения задача построения поверхностей фазовых скоростей упругих волн в кристаллах и отыскание на ней направлений продольных и поперечных нормалей представляет собой задачу построения трехмерного геометрического образа. Такого рода построения реализуемы в пакете Maple 9 Student Edition (операционная система Windows 7). Нами разработана другая компьютерная программа, использующая данный пакет и решающая эту задачу. Для получения всех сведений об особенностях распространения упругих волн в конкретном кристалле пользователю нужно также ввести табличные значения плотности среды и компонентов тензоров модулей упругости, пьезомодулей и диэлектрических проницаемостей.

В качестве примера рассмотрим непьезоэлектрический кристалл сапфира (а-А120з), принадлежащего к классу симметрии Зт тригональной синго-нии. На рис. 1 приведены примеры построения трехмерной поверхности фазовых скоростей квазипродольной упругой волны, а также сечения этой поверхности координатными плоскостями, где стрелками указаны направления распространения чистых мод упругих волн. Числа при осях указывают скорость распространения волны.

км/с

а)

Рис. 1. Поверхность фазовых скоростей продольной волны в сапфире (а) и сечения этой поверхности плоскостями (100) (б), (010) (в) и (001) (г)

Обе разработанные модели имеют свои достоинства и недостатки. Первая модель дает более точные в количественном отношении результаты, но не обладает наглядностью. Вторая модель, наоборот, более наглядная, но менее точная. В совокупности обе математические модели полностью описывают акустические свойства кристаллов, а разработанные компьютерные программы автоматизируют эту задачу.

В третьей главе разработанные математические модели используются в численных расчетах упругих характеристик и поиске чистых мод упругих волн в 20-супракристаллах (рис. 2).

Рис. 2. 20-супракристаллические структуры и вид соответствующей супракристаллической ячейки

Достоинством описанных моделей является простота их применимости к различным кристаллическим средам, в том числе и супракристаллическим (надкристаллическим), возможность существования которых была обоснована ранее (Браже, Каренин [7]) посредством квантово-механических расчетов. На рис. 2 показаны структуры двумерных супракристаллов и супракристал-лических решеток. В их обозначении X - символ химического элемента, а индексы за скобками располагаются в следующем порядке: первый индекс определяет вид супраячейки, последующие индексы описывают вид ячеек вложения. Сначала указывается количество сторон узловой ячейки, затем то же самое у окружающих ячеек (если они существуют). Числа в скобках указывают вид многоугольника в центре ячейки.

Численный расчет упругих характеристик наноразмерных и макрораз-мерных структур и материалов традиционно рассматривается в терминах силовых констант. Он основывается на двух подходах: модели Китинга-Мартина (метод жестких связей) и квантово-механическом подходе (метод валентных связей). Здесь мы воспользовались вариантом квантово-механического подхода - приближением сильной связи Харрисона. Этот подход был использован Давыдовым [8] для двумерных систем - графена и силицена.

Силовые константы центрального взаимодействия а и нецентрального взаимодействия /? атомов выражаются как

Здесь / - длина связи, - угол поворота каждой из входящих в а-связь орби-талей, ЕШот - энергия, приходящаяся на один атом, Еъоы - энергия, приходящаяся на одну связь, получающаяся путем деления энергии Eatom на количество ближайших соседей. Выражения (11) применимы для структур различной размерности, как двумерных, так и трехмерных. В то же время они могут быть использованы для описания структур, состоящих из атомов одного или двух сортов в гибридизациях sp, sp2, sp3.

В результате применения (11) для графена Давыдовым были получены выражение для силовых констант центрального и нецентрального взаимодействия через энергии металлической V\ и ковалентной связей V2\

где Л - безразмерный коэффициент, который выражается через матричные элементы оператора ковалентной энергии между соответствующими атомными волновыми функциями 5- и /»-состояний.

Выражения (12) были использованы далее для расчета силовых констант углеродных 20-супракристаллов. Используя рассчитанные константы и руководствуясь основанной на модели Китинга схемой, предложенной Давыдо-

(П)

(12)

вым, можно определить упругие постоянные 20-супракристаллов и оценить скорости распространения в них упругих волн.

Выведенные выражения для отличных от нуля компонентов тензора модулей упругости для 2Б-супракристалла типа (Х)44 имеют вид

4(2а + 3/?) 4(2 д-р) сп —

с„ =

2 а + р

+ ' " (1 + ^2)' ' " (\ + Щ2

а для 20-супракристаллов с гексагональной супраячейкой

(13)

С" = >/3

с,2_7з

4а + /? + 18 4а + /?-18

аР Аа + Р

аР 4а + р

(14)

При переходе к двумерным кристаллам матрица направляющих косинусов подвижной системы координат х2',хз) относительно неподвижной (хь х2, *з) принимает вид (рис. 3)

' соэб) 81П6> О' -вт^ соб^ О

О

О 1

(15)

Рис. 3. Расположение координатных осей для двумерных кристаллов

Для класса 4тт система (2)-(4), определяющая направления продольных нормалей, при подстановке в нее (15) и компонентов двумерного тензора модулей упругости приводит к условию

в = п~, /1 = 0,1,2.....7.

4'

(16)

Для классов 6, 6тт система (2)—(4) допускает любые решения, т. е. кристаллы этих классов акустически изотропны.

Скорости распространения квазипродольной и квазипоперечной волны являются корнями соответствующего характеристического уравнения (10) и

зависят от модулей упругости кристалла, его плотности и направляющих косинусов. Направления распространения чисто продольных и чисто поперечных упругих волн соответствуют экстремальным значениям фазовых скоростей и перпендикулярны касательным к линиям скоростей в точках экстремумов.

Для отыскания распространяющихся вдоль определяемых вышеуказанными условиями продольных нормалей скоростей чистых мод упругих волн следует воспользоваться формулой

. — > ут ~\1стЛ>

(17)

где = р2 - удельная поверхность кристалла, обратная его двумерной плотности.

В табл. 3 представлены результаты вычислений скоростей распространения продольной и поперечной упругих волн в углеродных 2Б-структурах. Края диапазона значений скорости соответствуют чисто продольным и чисто поперечным волнам, распространяющихся под углами <р\ = 0° и <рг = 45° к оси х) (рис. 4).

Таблица 3

Параметр (С)6 (С)44 (С)бзм (С)бз<12) (С)б64 (С)б34

сц, Н/м 533 328 9,84 75,7 361 10,5

¿12, Н/м 331 215 6,15 47,1 226 6,52

сзз, Н/м 68

v¿, 103 м/с 37,4 31,3-31,9 6,30 20,9 37,7 7,30

уг, 103 м/с 29,5 13,0-14,3 5,00 16,5 29,8 5,80

Из анализа результатов, представленных в табл. 3, следует, что скорости распространения упругих волн в графене почти вдвое превышают их значения для объемных волн в алмазе. Близки к ним значения скоростей упругих волн и в 2Б-супракристаллах (С)м, (С)ш. Правда, за счет малой величины с33 по сравнению с С\\ и сц скорость чисто поперечной волны в структуре (С)« существенно меньше, чем в графене и в структуре (С)бб4- Несколько меньшими значениями характеризуются скорости распространения упругих волн в структуре (С)6з(12)- Что касается двумерных углеродных ,ур3-наноаллотропов, то в них скорости распространения упругих волн в несколько раз меньше, чем в ,$р2-наноаллотропах углерода, что связано с их гораздо худшими упругими характеристиками.

На рис. 4 показаны линии фазовых скоростей упругих волн в 20-супракристалле (С)^ и в графене, построенные с использованием второй компьютерной программы. Из него видно, что в структуре (С)44, принадлежащей к классу симметрии 4тт, существуют четыре направления (через каждые 45°), в которых могут распространяться чистые моды упругих волн.

Графен, как и остальные 20-супракристаллы, принадлежащие к классу симметрии 6тт, является акустически изотропной двумерной средой.

Рис. 4. Линии фазовых скоростей продольных (/) и поперечных (2) упругих волн в 20-супракристалле (С)44 (а) и в графене (б)

Отметим, что в двумерных кристаллах, в отличие от трехмерных, не встречаются случаи, когда поперечные нормали не совпадают с продольными нормалями.

Выше были рассчитаны упругие характеристики углеродных 2В-супракристаллов в сравнении с их частным случаем - графеном и исследованы особенности распространения в них продольных и поперечных (сдвиговых) упругих волн. Однако в графеноподобных планарных нанораз-мерных структурах наряду с деформациями растяжения/сжатия и деформациями сдвига возможны также упругие деформации изгиба, обусловливающие существование изгибных волн. Такие деформации необходимо учитывать при разработке устройств гибкой наноэлектроники, а сами изгибные волны могут найти применение в устройствах наноакустоэлектроники.

Волновое уравнение, описывающее изгибные волны в оболочке одноатомной толщины, можно записать в виде

рг + ДД2й = 0, (18)

где р2 - двумерная плотность кристалла, 02 - двумерный модуль изгиба, А -оператор Лапласа по координатам х, и х2 (в плоскости оболочки), й -смещение частиц.

Подставляя уравнение монохроматической волны в (18) получаем дисперсионное уравнение

со = к2 ±3. . (19)

I Рг)

Из (19) легко найти фазовую у/И групповую скорости распространения изгибных (Йехига1 - англ.) волн:

у(20)

иг=2^[Щ71кА. (21)

Видно, что изгибные волны в планарных супракристаллических структурах, в отличие от продольных и поперечных упругих волн, обладают дисперсией: их скорость распространения зависит от частоты (волнового числа). Значения уг1^2л/А приведены в табл. 4.

Таблица 4

Характеристики изгибных волн в графене и углеродных 2Р-супракристаллах

Параметр (С)б (С)44 (С)бЗ(б) (С)бЗ(!2) (С)664 (С)б34

171 152; 117 69,8 155 172 75,5

Примечание: для структуры (С)44 левое значение соответствуют направлению <11>, а правое - направлению <10>.

Как следует из табл. 4, скорости распространения изгибных волн в несколько раз меньше соответствующих значений для продольных и поперечных упругих волн. На рис. 5 представлены результаты расчета по формуле (20) фазовой скорости изгибной волны в графене как функции частоты и амплитуды.

Рис. 5. Зависимость фазовой скорости изгибной волны в графене от ее частоты и амплитуды

В целом, фазовая скорость изгибных волн в 20-супракристаллах в несколько раз меньше фазовой скорости продольных и поперечных упругих волн в этих же структурах.

В четвертой главе исследованы упругие и акустические характеристики ЗО-супракристаллов на примере супракристалла (С)сто- В модельном

представлении под ЗЭ-супракристаллами понимают бесконечные трехмерные кристаллические структуры, в которых отдельные атомы, ионы или молекулы, составляющие узловой элемент кристаллической решетки, замещены симметричными атомными ассоциатами. Атомные ассоциаты должны иметь форму правильных (Платоновых) или полуправильных (Архимедовых) геометрических тел (рис. 6).

(Х)ссо (Х)с1*со

Рис. 6. ЗО-супракристашшческие структуры Структура ЗБ-супракристалла (С)сто изображена на рис. 7 более деталь-

но.

Рис. 7. Пространственная структура супракристалла (С)сто

Выражения для силовых констант центрального а и нецентрального р взаимодействий атомов углерода в (С)сто имеют вид

4

уГ2

д Л

, В-—а. 3

(22)

Выражения для компонентов тензора упругих жесткостей в случае кристаллов кубической сингонии имеют следующий вид:

_ а+Ър _ а-р ар

4 а 4 а а(а + р)

(23)

где 4а - постоянная решетки. В табл. 4 приведены результаты расчета по формулам (22), (23). Значения величин во втором столбце слева рассчитаны

по нашей методике для алмаза, во втором столбце справа - их экспериментальные значения.

Таблица 4

Результаты расчета упр;

-тих характеристик (С)сто в сравнении с алмазом

Параметр С (алмаз) (С)сто

ДА 1,54 1,69

4а, А 3,57 2,90

|£<ио/»1.эВ 15,9 13,0

|Г2|,эВ 10,35 8,61

|К,|,эВ 2,08 1,62

а, Н/м 119 129 83,6

Р, Н/м 78,5 85 55,2

сп, 10*1 Па 9,93 10,73 8,59

сц, 10" Па 1,13 1,25 0,98

С44, Ю" Па 5,30 5,76 4,59

Чисто продольные и чисто поперечные моды отвечают направлениям, проходящим через точки экстремумов изображенных поверхностей. Это кри-сталлофизические направления <001> (а-мода), <011> (у-мода) и <111> (/?-мода). Соответствующие результаты приведены в табл. 5.

Таблица 5

Скорости распространения чистых мод упругих волн в супракристалле (С)сто

в сравнении с алмазом

Мода Тип ^эфф с-нм,, 10" Па V, Ю-'м/с

волны С (С)сто С (С)сто

£ (Сп+2С|2+4С44)/3 12,10 9,64 18,6 19,7

Р Ъ.Гз (Сц+С44-Си)/3 5,09_ 4,07 12,0 12,8

£ (СП+С|2+2С44)/2 11,77 9,38 18,3 19,4

У Т2 (С,,-С[2)/2 4,76 3,81 11,6 12,3

Г3 С44 5,76 4,59 12,8 13,6

а £ С)1 10,76 8,59 17,5 18,6

Тг,Т3 С44 5,76 4,59 12,8 13,6

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы:

1. Построена математическая модель распространения упругих волн в кристаллах, позволяющая исследовать условия существования чистых мод таких волн на основе метода диагонализации коэффициентов волнового уравнения. Модель позволяет находить направления, поляризацию, а также скорости распространения и коэффициенты электромеханической связи (в случае пьезоэлекгрика) чисто продольных и чисто поперечных упругих волн в ЗБ- и 20-кристаллах и супракристаллах.

2. Построена математическая модель распространения упругих волн в кристаллах, позволяющая исследовать условия существования чистых мод таких волн на основе метода построения и анализа поверхностей (линий) фа-

зовых скоростей. Наряду с моделью, указанной в п. 1, данная модель позволяет упростить и унифицировать проблему поиска чистых мод упругих волн в кристаллах и супракристаллах.

3. Разработан комплекс программ, основанных на построенных математических моделях, позволяющий по заданным значениям плотности кристалла, его упругих, диэлектрических и пьезоэлектрических постоянных полностью описать особенности распространения упругих волн в 3D- и 2В-кристаллах и супракристаллах, если известен их класс симметрии.

4. Впервые на основе численных методов и разработанных программ вычислены компоненты тензоров упругих жесткостей, двумерные модули Юнга, коэффициенты Пуассона и скорости распространения продольных и поперечных упругих волн в графеноподобных 2Б-супракристаллах.

5. Впервые рассчитаны модули изгиба, дисперсия и скорости распространения изгибных волн в планарных графеноподобных 2В-супракристаллах.

6. Впервые на основе численных методов и разработанных программ вычислены компоненты тензора упругих жесткостей и скорости распространения продольных и поперечных упругих волн в углеродном супракристалле (С)сто-

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Borgnis, F. Е. Specific directions of longitudinal wave propagation in anisotropic media/ F. E. Borgnis // Phys. Rev. - 1955. - V. 98. - P. 1000-1005.

2. Brugger, K. Pure modes for elastic waves in crystals / K. Brugger// J. Appl. Phys. - 1965. -V. 36.-№3.-Parti.-P. 759-768.

3. Chang, Z. P. Pure transverse modes for elastic waves in crystals / Z. P. Chang // J. Appl. Phys.-1968.-V. 39.~№ 12.-P.5669-5681.

4. Любимов, В. H. Учет пьезоэффекта в теории упругих волн для кристаллов различной симметрии/Докл. АН СССР.-1969,-Т. 186.-№5.-С. 1055-1058.

5. Pelaez, К. P. Calculation of phase and group angels, slowness surface and ray tracing in transversely isotropic media / K. P. Pelaez // Ciencia, Tecnologia у Futuro. - 2006. - V. 3. -P. 41-56.

6. Duarte, M. Slowness surface calculation for different media using the symbolic mathematics language Maple / M. Duarte // Earth Sciences Research Journal. - 2004. - V. 8(1), P. 63-67.

7. Браже, P. А. Компьютерное моделирование физических свойств супракристаллов / Р. А. Браже, А. А. Каренин // Известия ВУЗов. Поволжский регион. Физико-математические науки.-2011.-Т. 18.-№2.-С. 105-112.

8. Давыдов, С. Ю. Об упругих характеристиках графена и силицена / С. Ю. Давыдов // ФТТ. - 2010. -Т. 52. -№1. - С. 172-174.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В изданиях, рекомендуемых ВАК РФ

1. Kochaev, A. I. Pure modes for elastic waves in crystals: mathematical modeling and search / A. I. Kochaev, R. A. Brazhe // Acta Mechanica. - 2011. - V. 220. - № 1-4. -P. 199-207.

2. Kochaev, A. I. Mathematical modeling of elastic wave propagation in crystals: 3D-wave surfaces / A. I. Kochaev, R. A. Brazhe // Acta Mechanics - 2011. - V. 222. - № 1-2. -P. 193-198.

3. Kochaev, A. 1.2D supracrystals as a promising materials for planar nanoacoustoelectron-ics / A. I. Kochaev [et al] // J. Phys.: Conf. Ser. - 2012. - V. 345. - P. 012007.

4. Браже, P. А. Упругие характеристики углеродных 20-супракристаллов в сравнении с графеном / Р. А. Браже, А. А. Каренин, А. И. Кочаев, Р. М. Мефтахутдинов II ФТТ. - 2011. - Т. 53. - Вып. 7 - С. 1406-1408.

5. Браже, Р. А. Упругие волны в углеродных 20-супракристаллах / Р. А. Браже, А. И. Кочаев Р. М. Мефтахутдинов // ФТТ. - 2011. - Т. 53. - Вып. 8 - С. 1614-1618.

6. Браже, Р. А. Общий метод поиска чистых мод упругих волн в кристаллах / Р. А. Браже, А. И. Кочаев // Известия ВУЗов. Поволжский регион. Физико-математические науки, - 2010. - Т. 15. - № 3. - С. 115-125.

7. Браже, Р. А. Метод поиска чистых мод упругих волн в кристаллах из 3D-поверхностей фазовых скоростей / Р. А. Браже, А. И. Кочаев II Известия ВУЗов. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2011. — Т. 17. — № 1. — С. 116-125.

8.. Кочаев, А. И. Супракристаллы - новый класс наноразмерных материалов и структур для наноэлектроники и водородной энергетики / А. И. Кочаев, П. А. Арефьева, А. А. Каренин, И. С. Оленин, Р. А. Браже // Физическое образование в вузах. Приложение.-2011.-Т. 17.-I&1.-C. 115.

9. Кочаев, А. И. Упругие волны в 2D- и 3D-супракристаллах / А. И. Кочаев // Физическое образование в вузах. Приложение.-2012.-Т. 18. -№ 1. - С. П18.

В других изданиях

10. Браже, Р. А. Чистые моды упругих волн в двумерных кристаллах / Р. А. Браже, А. И. Кочаев // Радиоэлектронная техника: межвузовский сб. науч. тр. - Ульяновск, 2010,- С. 40-45.

11. Браже, Р. А. О преодолении стереотипов в преподавании физики в связи с появлением нано- и метаматериалов / Р. А. Браже, А. А. Гришина, А. А. Каренин, П. А. Арефьева, А. И. Кочаев // Мат. Межд. шк.-сем. «Физика в системе высшего и среднего образования». - Москва: МИФИ, 2011. - С. 69-71.

12: Арефьева, П. А. Математическое моделирование супракристаллических наноразмерных структур / П. А. Арефьева, Р. А. Браже, А. А. Каренин, А. И. Кочаев, Р. М. Мефтахутдинов II Мат. Шестой Всеросс. конф. «Необратимые процессы в природе и технике», Ч. II. - Москва: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011. - С. 30-38.

13. Кочаев, А. И. Разработка теоретических основ физики супракристаллических наноразмерных материалов / А. И. Кочаев, А. А. Каренин, П. А. Арефьева // Молодежный инновационный форум Приволжского федерального округа. Конкурс научно-технического творчества молодежи (НТТМ). - Ульяновск, 2011. - [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://ify.ulstu.ru.

14. Кочаев, А. И. О применении принципа Гюйгенсат-Френеля к поиску чистых мод упругих волн в кристаллах / А. И. Кочаев // Мат. Межд. науч.-практ. конференции «Формирование учебных умений в процессе реализации стандартов образования». - Ульяновск: УлГПУ им. И. Н. Ульянова, 2011. - С. 86-89.

15. Кочаев, А. И. Математические модели и компьютерные программы поиска чистых мод упругих волн в кристаллах / А. И. Кочаев II Тез. докл. V Всеросс. конф. молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика». - Саратов: СФИРЭ РАН, 2010. - С. 142-143.

16. Кочаев, А. И. Акустика супракристаллов / А. И. Кочаев // Мат. 13-й регион, науч. ыпс.-сем. «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники». -Ульяновск: УФИРЭ им. В. А. Котельннкова РАН, 2010. - С. 34.

17. Кочаев, А. И. Особенности распространения упругих волн в ЗО-супракристаллах / А. И. Кочаев // Мат. 14-й регион, науч. шк.-сем. «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники». - Ульяновск: УФИРЭ им. В. А. Котельннкова РАН, 2011. - С. 20-21.

18. Кочаев, А. И. Чистые моды упругих волн в пьезоэлектрических кристаллах: математическая модель и компьютерная программа / А. И. Кочаев // Тез. докл. 44-й на-уч.-техн. конференции УлГТУ «Вузовская наука в современных условиях». - Ульяновск: УлГТУ, 2010. - С. 142.

19. Браже, Р. А. Акустика супракристаллов / Р. А. Браже, Р. М. Мефтахутдинов, А. И. Кочаев // Тез. докл. 45-й науч.-техн. конференции УлГТУ «Вузовская наука в современных условиях». - Ульяновск: УлГТУ, 2010. - С. 208.

20. Кочаев, А. И. Программа поиска направлений и скоростей распространения чистых мод упругих волн в кристаллах, в общем случае, обладающих пьезоэффектом. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ №2011614305 от31 мая 2011 г.

Кочаев Алексей Иванович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И КОМПЬЮТЕРНЫЕ ПРОГРАММЫ ПОИСКА ЧИСТЫХ МОД УПРУГИХ ВОЛН В КРИСТАЛЛАХ И СУПРАКРИСТАЛЛАХ

Подписано в печать 21.02.2012. Формат 60x84/16. Бумага писчая. Усл. печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ 189. Типография УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32.

61 12-1/1032

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

КОЧАЕВ Алексей Иванович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЧИСТЫХ МОД УПРУГИХ ВОЛН В КРИСТАЛЛАХ И СУПРАКРИСТАЛЛАХ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Браже Рудольф Александрович

Ульяновск - 2012

СОДЕРЖАНИЕ

Список основных обозначений.............................................................6

Введение.....................................................................................................10

Глава 1. Акустическая анизотропия кристаллов

(аналитический обзор)............................................................................18

1.1. Распространение упругих волн в анизотропных средах.

Продольные и поперечные акустические нормали.....................18

Упругая анизотропия кристаллов (18). Закон распространения упругих волн в кристаллах (19). Продольные и поперечные нормали (21). Перенос энергии упругими волнами в кристаллах (22).

1.2. Отыскание продольных акустических нормалей. Методы

Боргниса и Браггера........................................................................23

Отыскание продольных нормалей Боргнисом (23). Отыскание продольных нормалей Браггером (26).

1.3. Отыскание поперечных акустических нормалей. Методы Чанга и Тинга...................................................................................28

1.4. Чистые моды упругих волн в пьезоэлектрических кристаллах..............................................................................................30

Координатные и ковариантные методы (30). «Ужесточенные» модули упругости (32).

1.5. Отыскание продольных и поперечных акустических

нормалей методом построения поверхностей скоростей............34

Поверхности фазовых скоростей упругих волн(34).

1.6. Выводы по главе 1...........................................................................38

Глава 2. Математические модели распространения упругих волн в кристаллах. Методы и программы поиска чистых мод упругих волн.................................

2.1. Метод диагонализации элементов матрицы эффективных модулей упругости. Математическая модель...............................39

2.1.1. Продольные нормали......................................................................39

Суть метода (39). Уравнения продольных нормалей (41).

2.1.2. Поперечные нормали......................................................................44

2.1.3. Описание программы......................................................................44

2.1.4. Примеры реализации метода..........................................................47

2.2. Метод построения поверхностей фазовых скоростей. Математическая модель.......................................................................50

2.2.1. Продольные нормали......................................................................50

2.2.2. Поперечные нормали......................................................................52

2.2.3. Описание программы......................................................................53

2.2.4. Примеры реализации метода..........................................................56

2.3. Верификация построенных моделей.............................................63

2.4. Выводы по главе 2...........................................................................64

Глава 3. Математические модели, численные расчеты упругих характеристик и поиск чистых мод упругих волн в 2В-супракристаллах...................................................66

3.1. 20-супракристаллы, их симметрия и упругие свойства.............66

3.1.1. Типы симметрии 20-супракристаллических решеток................66

Наноразмерные материалы (66). Супракристаллы: модели и симметрия (67).

3.1.2. Численный расчет упругих характеристик

2Б-супракристаллов. Математическая модель.......................................68

3.1.3. Упругие характеристики углеродных

2Б-супракристаллов..................................................................................71

Силовые константы углеродных 2Б-супракристаллов (71). Модули упругости углеродных 2В-супракристаллов (72).

3.2. Упругие волны в 20-супракристаллах..........................................75

3.2.1. Модификация математической модели.........................................75

3.2.2. Продольные и поперечные нормали в углеродных 2Б-супракристаллах..................................................................................78

3.3. Изгибные волны в 2Б-супракристаллах.......................................80

3.3.1. Математическая модель. Вывод волнового уравнения...............80

3.3.2. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона для 2Б-супракристаллов..................................................................................83

3.3.3. Численные расчеты скоростей распространения изгибных

волн в 2Б-супракристаллах......................................................................88

3.4. Выводы по главе 3...........................................................................90

Глава 4. Математические модели, численные расчеты упругих характеристик и поиск чистых мод упругих волн в ЗБ-су пракристаллах................................................................................92

4.1. ЗВ-супракристаллы, их симметрия и упругие свойства.............92

4.1.1. Типы симметрии ЗБ-супракристаллических решеток................92

4.1.2. Численный расчет упругих характеристик

ЗБ-супракристаллов. Математическая модель......................................94

4.1.3. Упругие характеристики углеродного

супракристалла (С)СТо...............................................................................96

4.2. Упругие волны в ЗБ-супракристаллах..........................................97

4.2.1. Модификация математической модели.........................................97

4.2.2. Продольные и поперечные нормали в углеродном

супракристалле (С)СТо...............................................................................97

4.3. Выводы по главе 4...........................................................................101

Заключение...............................................................................................102

Приложение 1............................................................................................104

Приложение II..........................................................................................105

Список используемой литературы.......................................................108

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

4а - постоянная решетки;

А - амплитуда волны; выражение, зависящее от направляющих косинусов направления распространения волны;

а - характерный радиус-вектор сферической системы координат; ао - боровский радиус;

аш - направляющие косинусы подвижной системы координат относительно кристаллофизической;

сц...с66 - компоненты тензора модулей упругости при постоянной энтропии;

В, С - выражения, зависящие от направляющих косинусов направления распространения волны;

Ov, Сзу - классы симметрии (обозначение по Шенфлису);

Cikim ~ тензор модулей упругости;

~сМт - «ужесточенный» тензор модулей упругости;

Rlyl] - матрица эффективных модулей упругости; Z)2 - двумерный модуль изгиба;

D4> D4h, D3, D3d- классы симметрии (обозначение по Шенфлису);

Dç— вектор индукции электрического поля;

d - длина ребра супраячейки;

Ег - двумерный модуль Юнга;

£Bf - энергия образования связи;

Eatom ~ энергия, приходящаяся на один атом;

Ebond ~ энергия, приходящаяся на одну связь;

Ее— вектор напряженности электрического поля;

Emet - энергия металлической связи;

Epair - энергия связи на пару атомов;

Ерег - энергия отталкивания;

ем - тензор пьезоэлектрических модулей; П— быстрая квазипоперечная волна; /- частота волны;

/ь/ьУз _ функции, зависящие от компонент модулей упругости, пьезо-констант, диэлектрических проницаемостей, плотности кристалла и трех направляющих косинусов направления распространения; к - приведенная постоянная Планка;

к - волновой вектор;

кг] - коэффициент электромеханической связи;

Ь - чисто продольная волна; Ьк - ось симметрии А:-го порядка; / - межатомное расстояние;

т - плоскость симметрии, масса свободного электрона;

ИА - число Авогадро;

п - вектор волновой нормали;

п2 - число ближайших соседей атома;

р - вектор, параллельный вектору смещения;

QL - квазипродольная волна;

ОТ— квазипоперечная волна;

Ц - вектор, ортогональный векторам п и и;

Я - радиус инерции оболочки относительно оси, перпендикулярной плоскости изгиба; г -радиус-вектор;

- интеграл перекрытия электронных орбиталей; 5Т- медленная квазипоперечная волна;

- удельная поверхность;

Буи - тензор упругих податливостей;

Т2 - чисто поперечная упругая волна, поляризованная вдоль х2'; Т3 - чисто поперечная упругая волна, поляризованная вдоль х3';

? - время;

V— групповая скорость изгибной волны; й - вектор смещения частиц (поляризации волны); и\ V' - внутренние смещения;

У] - матричный элемент оператора энергии металлизации; У2 - матричный элемент оператора ковалентной энергии; Уз - матричный элемент оператора полярной энергии; Ус{ - класс симметрии (обозначение по Шенфлису); V - фазовая скорость волны;

- энергия центрального межатомного взаимодействия; РУус ~ энергия нецентрального межатомного взаимодействия; XV - плотность энергии упругой волны;

(X, У, Т) — кристаллографическая система координат; (хь х2, х3) - кристаллофизическая система координат; {х\,х2\хт,') - произвольная подвижная ортогональная система координат;

а - константа центрального межатомного взаимодействия; ас - степень ковалентности;

а, р,к, ж — типы чистых мод упругих волн в кристаллах; Р - константа нецентрального межатомного взаимодействия; Тш, Г - тензор Грина - Кристоффеля; у!т - тензор деформаций; А - оператор Лапласа; ¿¡т - символ Кронекера;

- тензор Леви-Чивита;

- тензор диэлектрических проницаемостей;

С, - угол поворота каждой из входящих в <т-связь орбиталей; г\2 - коэффициент, зависящий от типа гибридизации; в - характерный угол сферической системы координат;

X - коэффициент, который выражается через матричные элементы оператора ковалентной энергии между соответствующими атомными волновыми функциями и р-состояний; /л - молярная масса; а - коэффициент Пуассона; а,к - тензор механических напряжений; р - плотность; Р2 - двумерная плотность;

ср - характерный угол сферической системы координат; со - циклическая частота волны.

ВВЕДЕНИЕ

Упругие волны в кристаллах, благодаря малой по сравнению с электромагнитными волнами скорости распространения, находят широкое применение в акустоэлектронике и акустооптике по двум причинам. Во-первых, упругие волны ультразвуковой частоты являются эффективным средством исследования физических свойств кристаллов: молекулярной структуры, неоднородностей и дефектов. Гиперзвуковые упругие волны применяются при исследовании электронной структуры металлов, электрон-фононных взаимодействий, механизмов фазовых переходов и некоторых других физических явлений. Во-вторых, упругие волны нашли важное практическое применение в таких устройствах, как акустические линии задержки, электромеханические и пьезоэлектрические преобразователи, резонаторы, усилители и генераторы электромагнитных волн сверхвысокой частоты.

Практический интерес представляют, главным образом, чисто продольные и чисто поперечные упругие волны, поскольку в таких направлениях их фазовая и групповая скорости совпадают по направлению. Проблеме поиска чистых мод упругих волн в анизотропных средах уделялось внимание в работах Ф. Е. Боргниса, К. Браггера, 3. Р. Чанга, В. Н. Любимова, К. Р. Пелэза, М. Дуарте и др. исследователей.

Однако, из-за математических сложностей, данная задача до сих пор была решена для каждого класса симметрии кристаллов в отдельности, причем для наименее симметричных кристаллов моноклинной и триклинной симметрии лишь для отдельных кристаллографических направлений. Вклад пьезоэлектрического эффекта в увеличение эффективной жесткости кристалла также не всегда учитывался. Он, в свою очередь, зачастую обусловливает изменение характеристик чистых мод.

Появление новых двумерных (2В) и трехмерных (ЗБ) наноразмер-ных материалов и структур, в частности, супракристаллов, обнаружение

у них интересных с точки зрения возможностей практического применения упругих свойств с новой остротой поставило актуальную задачу построения математических моделей процессов распространения чистых мод упругих волн в произвольной анизотропной среде в самой общей постановке.

Предметом исследования являются процессы распространения и характеристики чистых мод упругих волн в кристаллах и супракристал-лах.

Цель работы - упрощение и унификация процедуры поиска чистых мод упругих волн в произвольной кристаллической (супракристал-лической) среде, в общем случае обладающей пьезоэлектрическими свойствами.

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1. Построение математических моделей распространения объемных упругих волн в кристаллах, позволяющих по известным значениям материальных констант находить направления распространения и поляризации чисто продольных и чисто поперечных упругих волн в кристаллах произвольного класса симметрии.

2. Разработка комплекса программ, позволяющего по заданным значениям плотности кристалла, его упругих, диэлектрических и пьезоэлектрических постоянных вычислять направления распространения и поляризации, скорости распространения и коэффициенты электромеханической связи (в случае пьезоэлектрика) чистых мод упругих волн и строить поверхности их фазовых скоростей для данного кристалла.

3. Исследование в рамках построенных моделей и разработанных программ особенностей распространения продольных, поперечных и из-гибных волн в 2Б-супракристаллах, в частности, в углеродных, гра-феноподобных планарных структурах.

4. Исследование в рамках построенных моделей и разработанных программ акустических свойств ЗБ-супракристаллов, в частности, углеродного супракристалла (С)сто-

Методы исследований. В работе использованы известные методы математического и компьютерного моделирования, методы программирования в среде Maple, численные методы решения систем нелинейных уравнений, основные положения теории сплошных сред, теории упругих волн в кристаллах и оболочках, теории сильной связи в приближении связывающих орбиталей Харрисона.

Научная новизна положений, выносимых на защиту

1. Построены две математические модели распространения упругих волн в произвольном кристаллическом диэлектрике, обладающем, в общем случае, пьезоэффектом, позволяющие находить их чистые моды следующими двумя способами:

- на основе метода диагонализации коэффициентов волнового уравнения;

- на основе построения и анализа ЗО-поверхностей фазовых скоростей. Обе модели в совокупности позволяют упростить и унифицировать проблему поиска чисто продольных и чисто поперечных волн в кристаллах.

2. Разработан комплекс из двух компьютерных программ, основанных на построенных математических моделях, позволяющий отыскивать продольные и поперечные нормали не только в обычных кристаллах, но и в 2D- и ЗБ-супракристаллах, если известен их класс симметрии и материальные константы.

3. Для графеноподобных 20-супракристаллов впервые численными методами вычислены компоненты тензоров упругих жесткостей, двумерный модуль Юнга, коэффициент Пуассона и скорости распростра-

нения продольных и поперечных упругих волн, а также впервые вычислены модуль изгиба и скорости распространения изгибных волн в зависимости от частоты и амплитуды.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным использованием известных математических методов и физически обусловленных приближений, а также подтверждается экспериментальными и теоретическими результатами других авторов.

Практическая значимость работы. Построенные математические модели и разработанные компьютерные программы значительно упрощают, унифицируют и, благодаря учету пьезоэффекта, в ряде случаев повышают точность отыскания направлений распространения, поляризации и величины скорости распространения чисто продольных и чисто поперечных волн в 2D- и ЗБ-кристаллах и супракристаллах.

Кроме того, полученные результаты показывают перспективность 2В- и ЗБ-супракристаллов как новых сред для наноакустоэлектроники.

Работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 10-02_97002-р_повольжье_а), Премией Московского Физического общества, Премией Правительства Ульяновской области.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 44-, 45-, 46-й научно-технических конференциях УлГТУ «Вузовская наука в современных условиях» (Ульяновск, 2010-2012), 13- и 14-й региональных научных школах-семинарах «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники» (Ульяновск, 2010, 2011), Всероссийской научно-практической конференции «Формирование учебных умений и навыков» (Ульяновск, 2011), V Всероссийской конференции молодых ученых «Наноэлектро-

ника, нанофотоника и нелинейная оптика» (Саратов, 2010), Международной школе-семинаре «Физика в системе высшего и среднего образования» (Москва, 2011), Шестой всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, 2011).

Отдельные результаты работы были представлены на следующих выставках и конкурсах: Конференция-конкурс молодых физиков (Москва, ФИ им. П. Н. Лебедева РАН, 2011) - диплом лауреата (2-е место), Молодежный инновационный форум Приволжского федерального округа (Ульяновск, УлГТУ, 2011) - диплом лауреата (1-е место), XI Всероссийская выставка научно-технического творчества молодежи (Москва, ВВЦ, 2011) - диплом, IV Международный конкурс научных работ молодых ученых