автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и численные расчеты энергетических, упругих и электрических характеристик супракристаллических наноразмерных структур

На правах рукописи

005008552

КАРЕНИН Алексей Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ, УПРУГИХ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СУПРАКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ НАНОРАЗМЕРНЫХ

СТРУКТУР

Специальности: 05. 13. 18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ, 01. 04. 07 — Физика конденсированного состояния

1 9 Я Н В 2012

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск - 2011

005008552

Работа выполнена на кафедре «Физика» Ульяновского государственного технического университета

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Браже Рудольф Александрович

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор

Самохвалов Михаил Константинович, доктор физико-математических наук, профессор Семенцов Дмитрий Игоревич

Ведущая организация - Пензенский государственный университет

г

Защита диссертации состоится «8» февраля 2012 г. в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.277.02 при Ульяновском государственном техническом университете по адресу: 432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32, ауд. 211 (Гл. корпус).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Ульяновского государственного технического университета

Автореферат разослан « Ц »ДК'&РУ 201ХГ.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

В. Р. Крашенинников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теоретическое предсказание, а затем и экспериментальное получение фуллерепов, углеродных и неуглеродпьтх нанотрубок, графена, графана, хаекелитных структур, суперкубана и других трехмерных кристаллических наноматериалов ознаменовало собой настоящий прорыв в наноэлектронике, нанофотонике, спшггрогшке, водородной энергетике и биомедицинских технологиях начала XXI. В попытках сократить время и расходы на синтез новых наноматериалов родилось новое научное направление - компьютерное материаловедение [1], основанное на методах математического моделирования и численного решения уравнений квантовой механики с целью прогностического выяснения стабильности, энергетических, механических, электрических и других свойств таких материалов. При этом используются методы молекулярной динамики, различные полуэмпирические методы (например, метод сильной связи) и так называемые первопринципные (ab initio) методы расчета (в частности, теория функционала плотности) [2], под которые создан целый ряд программных пакетов [3-5] и другие, часть из которых находится в свободном доступе.

В 2009-2011 гг. нами впервые был предложен новый класс паноразмерных материалов - супракристаплы [6J, которые представляют собой обобщение обычных кристаллов в том смысле, что атомы или ионы в узлах их кристаллической решетки заменены на симметрично организованные атомные комплексы. Благодаря широкой вариативности своих физических свойств из-за возможности их управления подбором химического состава, типа симметрии супраячейки, диаметра и хиралыюсти (в случае супракристаллических нанотрубок) такие "рыхлые" структуры в ряде случаев могут обладать лучшими характеристиками по сравнению с известными наноструктурами

В связи с этим возникает актуальная задача построения математических моделей двумерных (2D), трехмерных (3D) и квазиодномерных (нанотубулярных) супракристаческих структур и модификации известных программ расчета их основных физических характеристик, учитывающих специфику строения супракристаллов.

Цель работы — методами математического, в частности, численного моделирования выявить допустимые по симметрии типы 2D-, 3D- и нанотубулярных супракристаллических структур, исследовать их термическую стабильность, рассчитать энергетические, механические и электрические характеристики.

Поставленная цель достигается решением следующих задач

1. Анализ известных 2D-, 3D- и нанотубулярных как углеродных, так и неуглеродных кристаллических материалов и структур (графен, хаекелитные структуры, нанотрубки и др.) с точки зрения используемых методов их математического моделирования и численных методов расчета термической устойчивости, равновесных параметров кристаллической решетки, энергетических, механических и электрических характеристик. Выявление

моделей и программных продуктов, которые после соответствующей модификации и включения дополнительных алгоритмов могут быть использованы для компьютерного моделирования супракристаллов.

2. Выявление возможной симметрии двумерных, трехмерных и квазиодномерных (нанотубулярных) супракристаллических структур и симметрии их физических свойств.

3. Оптимизация равновесной геометрии супраячеек найденных структур средствами компьютерного моделирования, реализующими первопринципные (ab initio) методы приближенного решения уравнений квантовой механики.

4. Проведение численных расчетов энергетических, механических и электрических параметров 2D-, 3D- и нанотубулярных супракристаллических структур.

5. Верификация полученных результатов путем их сравнения с известными значениями из теоретических и экспериментальных исследований для частных случаев более простых структур, в которые вырождаются супракристаллы, и независимых расчетов на основе более простых, но одновременно более грубых приближений.

Методы исследования. В работе использованы следующие методы математического моделирования и численного эксперимента: метод итераций Бройдена для приближенного вычисления матриц Якоби, метод функционала плотности в приближении Хартри-Фока, метод Монкхорста-Пака для генерации ¿-точек в зоне Брюллюэна, методы программирования в среде Abinit, методы программирования в среде GridMd, метод сильной связи для верификации полученных результатов, метод Давыдова для получения констант центрального и нецентрального взаимодействия атомов.

Научная новизна положений, выносимых на защиту

1. Впервые построены математические модели двумерных, трехмерных и квазиодномерных (нанотубулярных) новых пространственно периодических структур - супракристаллов, в узлах кристаллической решетки которых находятся не отдельные атомы или ионы, а симметрично организованные атомные комплексы. Произведен численный расчет равновесной геометрии таких структур и доказана возможность их существования при комнатной температуре.

2. На основе модификации известных численных методов приближенного решения уравнений квантовой механики (метод функционала электронной плотности, метод сильной связи) путем включения в них новых алгоритмов, впервые рассчитаны энергетические и электрические характеристики 2D-, 3D- и нанотубулярных супракристаллических структур, состоящих из атомов углерода, кремния, бора и азота, серы, фосфора.

3. На основе модифицированного метода Давыдова впервые вычислены константы центрального и нецентрального взаимодействия атомов в двумерных супракристаллических sp2- и 5р3-наноаллотропах. Показано, что характеризуемые этими константами упругие свойства 20-супракристаллов

могут значительно отличаться от аналогичных свойств графена и, в некоторых случаях, даже превышать их.

Достоверность полученных результатов обусловлена корректным использованием математических методов, непротиворечивостью полученных численных оценок известным характеристикам уже полученных структур, а также подтверждается экспериментальными и теоретическими результатами других авторов и собственными вычислениями известными методами.

Практическая значимость работы. Предложенный класс новых наноразмерных кристаллических материалов и структур — супракристаллы — существенно расширит возможности разработки новых устройств наноэлектроники, спинтроинки, нанофотоники и водородной энергетики благодаря широкой вариативности своих физических свойств за счет выбора химического состава, типа структуры и симметрии.

Разработанные математические модели 20-, ЗЭ- и нанотубулярных супракристаллических структур, методы и алгоритмы численного расчета их устойчивости, энергетических, механических и электрических характеристик позволят значительно сократить время и расходы на проведение экспериментальных работ по синтезу и исследованию свойств новых наноматериалов, обеспечивая адекватное прогнозирование этих свойств.

Работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 10-02_97002-р_повольжье_а).

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 43-, 44-, 45-й научно-технических конференциях УлГТУ "Вузовская наука в современных условиях" (Ульяновск, 2009-2011 гг.), Седьмой Международной конференции "Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов" (Ульяновск, 2009 г.), 12- и13-й региональных научных школах-семинарах "Актуальные проблемы физической и функциональной электроники" (Ульяновск, 2009, 2010 гг.), Всероссийской научно-практической конференции "Формирование учебных умений и навыков" (Ульяновск, 2009, 2011гг.), V Всероссийской конференции молодых ученых "Наноэлектроника, нанофо-тоника и нелинейная оптика" (Саратов, 2010 г.), Международной школе-семинаре "Физика в системе высшего и среднего образования" (Москва, 2011), Шестой всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике" (Москва, МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011).

Отдельные результаты работы были представлены на следующих выставках и конкурсах: Конференция-конкурс молодых физиков (Москва, ФИ им. П. Н. Лебедева РАН, 2011 г.) - диплом лауреата (2-е место), Молодежный инновационный форум Приволжского федерального округа (Ульяновск, 2011 г.) - диплом лауреата, XI Всероссийская выставка научно-технического творчества молодежи (Москва, ВВЦ, 2011 г.) - диплом, IV Международный

конкурс научных работ молодых ученых в области нанотехнологий (Москва, КшпапогесЬ-2011 г.) — диплом лауреата (2-е место).

Личный вклад автора. Основные теоретические положения и требования к математическим моделям разработаны совместно с научным руководителем. Разработка моделей, алгоритмов численного расчета, модификация программных продуктов и сами расчеты выполнены лично автором. В публикациях с соавторами на долю автора приходятся разработка математических моделей и численные расчеты.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 18 научных работ, из них 7 статей и 11 тезисов докладов, в том числе три статьи в рецензируемых журналах из перечня изданий, рекомендованного ВАК.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 128 страницах и состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 145 наименований и двух приложений. Работа проиллюстрирована 33 рисунками и 17 таблицами.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы исследования, сформулированы цель и задачи работы, показана ее практическая значимость.

В первой главе диссертации приведен аналитический обзор работ, посвященных симметрии кристаллов. Описаны подходы к классификации кристаллов на основе симметрии их кристаллической решетки. Основная часть посвящена обзору гшанарных наноразмерных углеродных структур и способов их сворачивания в нанотрубки, а также квазинульмерных наноразмерных углеродных структур - фуллерепов. Отмечено существование неуглеродных планарных структур. Описаны бор-азотные хаекелитные структуры, являющиеся частным случаем двумерных супракристаллов.

Приведен обзор методов расчета равновесной геометрии и энергетической стабильности кристаллических структур и комплексов программ, позволяющих их реализовать. В частности, рассмотрены методы теории функционала плотности в приближении Хартри - Фока, используемые в пакете программ АЫпк, и метод сильной связи, используемый для верификации полученных результатов. При расчете методом функционала плотности возникает необходимость вычислять матрицы Якоби. Следует отметить, что такие матрицы, в общем случае, нельзя вычислить аналитически. Поэтому, для их вычисления используются квазиньютоновские итерационные методы. Для вычисления таких матриц, пакет программ АЫпк использует метод итераций Бройдена, подробно рассмотренный в тексте диссертации.

Вторая глава посвящена построению моделей углеродных и иеуглеродных двухмерных супракристаллов, выявлению их возможных типов, определению их симметрии. С геометрической точки зрения двумерные супра-

кристаллы представляют собой сетки Кеплера - плоские мозаики, составленные только из правильных многоугольников. Показано, что из 11 существующих сеток Кеплера только 5 могут быть реализованы в строении супракристаллов. Это следует из необходимости обеспечить получение всей двумерной кристалл-лической решетки путем трансляции супраячейки вдоль двух базисных направлений на плоскости. Рис. 1 иллюстрирует возможные типы супракрис-таллических ячеек, образующих 20-супракристаллы. В силу одинаковости всех связей, они должны быть образованны либо одинаковыми атомами, либо атомами двух разных видов. Во втором случае гомогенные связи, как энергетически менее выгодные по сравнению с гетерогенными, должны отсутствовать.

В обозначении супраячеек 20-сунракристаллов (рис. 1) буквы X или У, стоящие в скобках, определяют символ химического элемента. Индексы за скобками располагаются в следующем порядке: первый индекс определяет вид супраячейки, последующие индексы описывают вид ячеек вложения. Сначала указывается количество сторон узловой ячейки, затем - то же самое у окружающих ячеек (если они существуют). В супраячейках (Х)вз(б) и (Х)Ы(12) числа в скобках указывают вид многоугольника в центре ячейки.

В табл. 1, для экономии места, представлены результаты оптимизации параметров супраячеек из рис. 1 и расчетные значения длины связи /, энергии £, приходящейся на один атом, энергии связи Еь лишь для углеродных 20-супракристаллов. В диссертации приведены значения этих параметров также для структур из Б!, В-Ы и Б.

Таблица 1

Геометрические параметры углеродных 21>супракристаллов

Структура /. А Е, эВ/атом Еь, эВ

(С)44 1,35 - 13,1 -3,0

(С)бЗ( 6) 2,20 - 13,2 -3,6

(С)б.1<12) 1,71 - 14,7 -4,6

(С)(,й4 1,56 - 11,3 - 1,2

(С)б34 1,10 - 12,3 -2,2

Для верификации полученных результатов приведены результаты расчетов, выполненных по этой же методике для графеновых сеток и хаекелитных структур, также приведены параметры двумерных супракристаллов, полученные в приближения сильной связи. Программа расчета реализована в пакете Grid MD, а результаты сравнения с вычислениями в модифицированном пакете Abinit приведены в табл. 2.

(Х)6;

63(12)

Рис. 1. Супраячейки 2В-супракристаллов и их обозначение

Таблица 2

Сравнение результатов расчетов энергетических параметров 20-супракристаллов, полученных методом функционала плотности (Abinit), и приближения сильной связи в ортогональной (GridMd Orth) и не ортогональной (GridMd north) параметризации

Структура Е, эВ/атом Е, эВ/атом Е, эВ/атом

Abinit GridMd Orth GridMd north

(С)44 - 13,1 -13.2 -12,4

(С)бз(б) - 13,2 -14,3 -15,7

(С)бЗ(12) - 14,7 -14,6 -12,5

(С)бб4 - 11,3 -13,2 -11,7

(С)б34 -12,3 -13,6 -14,9

В табл. 3 представлены результаты расчета в пакете АЫпЬ ширины запрещенной зоны Ей для углеродных 20-супракристаллов из рис. 1 и табл. 2. Указывающие направления верхние индексы заданы индексами Миллера.

Таблица 3

Электрические параметры углеродных 20-супракристаллов

Структура Es<w>, эВ Eg"", эВ Eg<1">, эВ и W

(С)44 0,06 0,09

(С)бЗ(6) 1,37 1,45

(С)бЗ(12) 0,69 0,91

(С)б64 1,72 2,21

(С)б34 1,12 1,41

Ввиду обнаружения исключительно большой механической жесткости у графена представляет интерес исследование упругих характеристик и других углеродных 2Б-структур. В работе приведен расчет силовых констант для углеродных 20-супракристаллов. Его суть сводится к выражению констант центрального и нецентрального взаимодействий атомов через энергию системы, приходящуюся на один атом.

Особенностью использованного подхода является вычисление энергии металлизации V) не через энергии л- и /»-состояний, как это было предложено ранее С. Ю. Давыдовым, поскольку их нахождение затруднительно из-за сложного характера гибридизации атомных орбиталей в супракристаллах, а из выражения для энергии связи на один атом:

/г = п2 \у а1от у Г 2

где «2 _ число ближайших соседей в 20-структурах, а ковалентная энергия

1 +

10

[УЛг

где ц2 - -3,26 для л/?2-орбитали и -3,22 для .у/Аорбитали, й - приведенная постоянная Планка, т0 - масса свободного электрона, / — длина связи.

Зная У2 и Edtom, можно найти V\:

Определив I и ЕМот и вычислив [К||, |Р2|, можно было найти константы центрального (а) и нецентрального(Р) взаимодействий:

а = ■

■2 I 2

1-12 з

где коэффициент А. выражается через матричные элементы оператора ковалентной энергии между соответствующими атомными волновыми функциями 5- и /^-состояний. Для 20-структур типа графена Давыдовым было принято значение X = 0,66. Применительно к углеродным 2В-супракристаллам используется значение X = 0,69, рекомендованное Харрисоном [8]. Результаты вычислений сведены в табл. 4.

Таблица 4

Упругие характеристики углеродных 20-супракриеталлов в сравнении с графепом

Параметр (С)б (С>44 (С)бз(« (С)бЗП2) (С)664 (С)б34

Гибридизация sp SPZ SPj Sp* SP2 spJ

"2 3 3 4 3 3 4

/.А 1,42 1,43 1,86 1,71 1,56 2Д7

\Еают\, ЭВ 13,5 12,9 14,2 14.7 11,3 13,3

т, эв 12,32 12,10 7,10 8,50 10,20 5,20

|Г||,эВ 2,08 1,70 2,75 3,98 1,83 2,73

а, Н/м 177 177 3,27 25,1 120 3,47

Р, Н/м 38,9 40,8 0,75 5,80 27,6 0,80

Третья глава посвящена теоретическому исследованию возможности свертки двумерных супракристаллов в нанотрубки (НТ) различного диаметра. Диаметры нанотрубок, а также их электрические свойства зависят от хираль-

ности, определяемой целочисленными индексами п, т. В табл. 5 представлены возможные типы соответствующих супраячеек, выражения для диаметра £> НТ и угла хиральности 0 (/ - длина связи). Пунктиром обозначено направление сворачивания НТ из наноленты. Формулы для Ди0 получены из условия, что на периметре НТ укладывается целое число супраячеек.

Таблица 5

Геометрические параметры супракристаллических нанотрубок

Вид супраячейки Обозначение Диаметр НТ Угол хиральности

(XV)« (Х)44 _ (1+Л)/ гт—2 £> = —--—Ят +т я т в = агй§— и

(XV«., (Х)бз(б) . 1 , 2 ¿) =— у л +т +тп я я . в — - 2 п + т

О (Х)бЗ(12) "^^т/и2 +М1 +пт я а , &т 2п + т

(Х)б64 п (з + л/з )1 , , , 0 = --— л/и +т +п ж а , ^т в = агОД- 2 т + п

& (Х)б34 я а . ^т 0 = агОД- 2и + т

В диссертационной работе рассмотрены трубки хиральностыо (п,0) и (п,п). Возможные варианты представлены на рис. 3.

(Х)44(п,0)

(Х)44(п,п)

(Х)бз(б)(п,0)

(Х)бЗ(б)(п,п)

(Х)бЗ(12)(п,0)

(Х)<й(12)(п,п)

(Х)664(п,0)

(Х)664(П,П)

(Х)бз4(п,0)

(Х)634(п,п)

Рис. 3. Возможные типы супракристаплических нанотрубок

С использованием программного пакета АЫш1-5.8.4 получены следующих параметры супракристаллических НТ: разница энергий между тубулярной структурой и ее планарной основой Е, приходящейся на один атом, число супраячеек, укладывающихся по периметру НТ, ширина запрещенной зоны Ея. В табл. 6 представлены результаты, относящиеся к супракристаллической нанотрубке класса (Х)44. Числа в фигурных скобках соответствуют ширине запрещенной зоны плоского супракристаллического листа для данной структуры в направлении сворачивания.

Таблица б

Энергетические и электрические характеристики супракристаллической наиотрубки

класса (Х)44

Структура Тип атомов д эВ/атом Число элементарных ячеек на длине окружности эВ

(Х)44 С 0,076 0,065 0,062 (6) (8) (9) 0 0 0

(аО) 0,041 (И) 0,03 {0,06}

(П.П) 0,112 0,098 0,086 (6) (8) (9) 0 0 0

0,077 (И) 0,06 {0,09}

Si (п.О) 0,068 0,059 0,051 0,031 (6) (8) (9) (П) 0 0 0,29 0,59 (0,8}

(п.п) 0,101 0,091 0,089 0,073 (6) (8) (9) (И) 0 0,49 0,62 0,85 {0,9}

Верификация полученных результатов производилась сравнением данных, полученных с использованием построенного алгоритма для графеновых нанотрубок различной хиральности, с экспериментальными данными (табл. 7).

Таблица 7

Сравнение физических параметров углеродных неспиральных нанотрубок графенового типа, полученных экспериментально и с использованием составленного алгоритма

Структура \Ецг-Е2О\, эВ/атом (эксперимент) эВ/атом (расчет) Ширина запрещенной зоны, эВ (эксперимент) Ширина запрещенной зоны, эВ (расчет)

(С) (10,0) 0,067 0,065 0 0

(С)(10,10) 0,112 0,102 0 0

(С)(8,0) 0,087 0,082 0 0,010

(С)(12,0) 0,034 0,041 0 0

(С)(6,0) 0,095 0,087 0 0,015

(С)(20,0) 0,001 0,0 0 0

Четвертая глава посвящена построению моделей углеродных и неуглеродных трехмерных супракристаллов, выявлению их возможных типов, определению их симметрии. Элементы строения ЗО-еупракристаллов показаны на рис. 4. Здесь использована та же, что и для 20-супракристаллов, система обозначений. Буквы X или Y определяют символ химического элемента. Первый индекс "С" за скобкой определят вид супраячейки (кубическая). Последующие буквенные индексы обозначают вид правильного или полуправилыюго многогранника, образующего узловой элемент: О - octahedron (октаэдр), ТО — truncated octahedron (усеченный октаэдр), СО - cuboctaliedron (кубооктаэдр), RCO -rhombicubooctahedron (ромбокубооктаэдр).

Обратим внимание, что ЗО-супракристаллы могут быть получены путем кристаллизации 4-, 5-, или 6-валентных атомов, в то время как для получения 2В-супракристаллов требуются 3- или 4-валентные атомы. Все 3D -супрзкристаллы принадлежат к кубической сингонии, причем (XY)cto — к классу 432, а остальные - к классу шЗт.

В табл. 8 представлены результаты расчета параметров ЗЦ-супракристал-лов на основе модифицированной программы в пакете Abinit.

Таблица 8

Геометрические параметры 20-супракристаллов

Структура u E, эВ/атом Eb, эВ

(S)co 1,75 -11,21 -5,7

(Р)со 1,95 -9,21 -4,2

(С)сго 1,69 -13,01 -7,5

(S)cto 1,85 - 10,02 -5,6

(S)cco 1,82 -10,03 -5,9

(S)crco 1,83 - 10,01 -5,7

(P)cr(x) 1,97 -9,62 -4,1

Рис. 4. Супраячейка ЗВ-суиракристаллов (вверху слева) и возможные типы узловых элементов. Обращенные к наблюдателю связующие кубы у неоктаэдрических элементов

не показаны

В табл. 9 приведены результаты расчета ширины запрещенной зоны для ЗО-супракристаллов из рис. 4 по основным кристаллографическим направлениям, заданным в индексах Миллера.

Таблица 9

Электрические параметры ЗО-супракристалов

Структура Е/'00>,эВ ЕЁ<0|0>,эВ Е8<|и>, ЭВ

($)со 6,6 6,8 7,3

(Р)со 3,2 4,0 4,4

(С)сто 1,1 1,2 1,6

(8)сто 6,4 6,6 6,8

(8)ссо 6,3 6,5 6,8

(Р)сксо 1,9 2,6 3,8

Напрямую сравнивать смоделированные структуры не с чем. Так, фуллерен является единым образованием, схожим со структурами узлов супракристаллов, но сам не является кристаллом. Фуллерит образуется посредством Ван-дер-Ваальсового взаимодействия между молекулами фуллеренов, следовательно, энергия образующихся связей и их длина существенно меньше этих параметров, как для молекулы фуллерена, так и для структуры Ссто, где все связи ковалент-ные, и их энергия сопоставима с энергией связей в фуллерене. Сравнивать сам узел супракристаллической решетки с молекулой фуллерена можно - их параметры очень схожи, по следует помнить, что структура, играющая роль узла Ссто, может существовать, только в составе супракристалла.

Однако имеется возможность сравнить параметры кристаллов фосфора. Супракристаллы фосфора занимают место между его красной и черной модификацией. По параметрам связей между атомами (длина связи, энергия связи) супракристаллы схожи с черной фазой, но полная энергия (по модулю) чуть меньше, чем у его менее устойчивой красной фазы (см. табл. 10).

Таблица 10

Энергетические параметры аллотропов фосфора

Структура Е, эВ/атом Еь, эВ

(Р)ш -9,2 -4,2

(P)crco -9,6 -4,1

Красный фосфор -10,3 -3,1

Черный фосфор - 19,6 -4,5

Кроме сравнения с известными величинами, приводится сравнение с результатами, полученными с использованием метода сильной связи, подробно описанного во второй главе. Метод сильной связи нуждается в некоторых экспериментальных или полученных иным путем параметрах структуры, но он позволяет значительно сократить время расчета. В данном случае использовались данные предварительного расчета, полученные из log файлов программы Abinit, и параметры Харрисона - Слейтера, полученные путем аппроксимации экспериментальных данных по фуллеренам, фуллеритам и алмазу. Естественно, данное приближение справедливо лишь для структуры Ссто, Для остальных структур параметры Харрисона - Слейтера не определены. Так, для красного и черного фосфора расхождение таких параметров составляет около 80%.

Сопоставление результатов моделирования в пакете программ Abinit и расчета методом сильной связи приведено в табл. 11.

Таблица 11

Сравнение результатов расчетов геометрических параметров 31)-супракристаллов методом функционала плотности (Abinit) и приближения сильной связи

Структура Е, эВ/атом Abinit Е, эВ/атом GridMd

(С)сто -13,0 -11,8

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы

1. Разработана математическая модель нового класса двумерных, трехмерных и квазиодномерных (нанотубулярных) супракристаллических структур, заданная геометрией и симметрией соответствующей супракристаллической ячейки, векторами её трансляции и схемой расчета параметров, отмечающих термодинамически равновесному состоянию.

2. Разработаны алгоритмы, основанные на математическом представлении супраячейки и способах ее трансляции, приводящих к построению 20-супра-кристаллов. На основе пакета программ АЫпй, модифицированного путем вставки в него разработанных алгоритмов, произведены численные расчеты энергии на один атом, энергии связи и ширины запрещенной зоны 20-супракристаллов, состоящих из следующих х элементов: С, 51, В-Ы, Б.

3. Предложен модифицированный метод расчета силовых констант, описывающих центральное и нецентральное взаимодействия атомов в супракристаллической решетке, отличающийся нахождением энергии металлизации из предварительно найденной при помощи разработанной программы энергии, приходящейся на один атом. Вычислены константы силового взаимодействия для графеноподобных супракристаллических наноаллогропов углерода с яр2- и л/Лгибридизацией.

4. Разработаны алгоритмы построения ЗО-супракристаллов, путем вставки которых в пакет программ АЫпк произведены численные расчеты энергии на один атом, энергии связи и ширины запрещенной зоны ЗО-супра-кристаллов, состоящих из следующих химических элементов: С, 81, Р, Б.

5. Разработаны алгоритмы построения супракристаллических иано-трубок различного диаметра и хиральности, путем вставки которых в пакет программ АЫпН произведены численные расчеты разности энергии на один атом между тубулярной и соответствующей планарной структурой и ширины запрещенной зоны для нанотрубок.

6. Показано, что, подбирая химический состав, тип структуры, размеры и хиралыюсть (в случае нанотрубок), можно в широких пределах изменять электрические свойства супракристаллов: от металлических до диэлектричеких.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Беленков, Е. А. Наноалмазы и родственные углеродные наноматери-алы. Компьютерное материаловедение / Е. А. Беленков, В. В. Ивановская, А. Л. Ивановский. - Екатеринбург: УрО РАН, 2008.

2. Федоров, А. С. Моделирование свойств, электронной структуры ряда углеродных и неуглеродных нанокластеров и их взаимодействия с легкими элементами / А. С. Федоров, П. Б. Сорокин, П. В. Аврамов, С. Г. Овчинников. -Новосибирск: СО РАН, 2006.

3. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: ЬИр:// abinit.org. - Дата обращения 23.12.11.

4. [Электронный ресурс]. — Режим доступа: ЬИр:// sourceforge.net ргсцес1з/ gridmd.- Дата обращения 12.03.11.

5. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http:// nanoengineer-l.com. -Дата обращения 3.04.11.

6. Браже, Р. А. Компьютерное моделирование свойств супракристаллов / Р. А. Браже, А. А. Каренин // Известия ВУЗов. Поволжский регион. Физико-математические науки.-2011.-Т. 18. - №2. — С. 105-112.

7. Давыдов, С. Ю. Упругие свойства графена: Модель Китгинга / С. Ю. Давыдов // ФТТ. - 2010. - Т. 52. - Вып. 4. - С. 756-758.

8. Харрисон, У. Электронная структура и свойства твердых тел / У. Харрисон. -М.: Мир, 1983. - Т. 1.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Браже, Р. А. Компьютерное моделирование физических свойств супракристаллов / Р. А. Браже, А. А. Каренин // Известия ВУЗов. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - Т. 18. -№ 2. - С. 105-112.

2. Браже, Р. А. Упругие характеристики углеродных 20-супракристаллов в сравнении с графеном / Р. А. Браже, А. А. Каренин, Р. М. Мефтахутдинов, А. И. Кочаев // ФТТ. - 2011. - Т. 53. - Вып. 7 - С. 1406-1408.

3. Кочаев, А. И. Супракристаллы - новый класс наноразмерных материалов и структур для наноэлектроники и водородной энергетики / А. И. Кочаев, П. А. Арефьева, А. А. Каренин и др. // Физическое образование в вузах. Приложение.-2011.-Т. 17.-№ 1.-С. 115.

В других изданиях:

4. Браже, Р. А Математические модели двумерных супракристаллов / Р. А. Браже, А. А. Каренин // Тр. Седьмой Межд. коиф. «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов». - Ульяновск: УлГУ, 2009.- С. 51-52.

5. Арефьева, П. А. Супракристаллические наноленты / П. А. Арефьева, Р. А. Браже, А. А. Каренин // Радиоэлектронная техника: межвузовский сб. науч. тр.-Ульяновск, 2010.- С. 141-147.

6. Браже, Р. А. Супракристаллические нанотрубки / Р. А. Браже, А. А Каренин // Радиоэлектронная техника: межвузовский сб. науч. тр. - Ульяновск, 2010. -С.148-155.

7. Оленин, И. С. Углеродные и супракристаллические аккумуляторы водорода: сравнительный анализ сорбционных характеристик / И. С. Оленин, Р. А. Браже, А. А. Каренин // Радиоэлектронная техника: межвузовский сб. науч. тр. - Ульяновск, 2010. - С. 155-159.

8. Браже, Р. А. Симметрия и физические свойства 20-супракристаллов / Р. А. Браже, А. А. Каренин // Мат. Всеросс. науч.-нракт. конференции «Формирование учебных умений в процессе реализации стандартов образования». - Ульяновск: УлГПУ им. И. Н. Ульянова, 2009. - С. 59-62.

9. Каренин, А. А. Формирование у студентов современных представлений о фазовых состояниях вещества на примере наноразмерных супракристал-

лических структур (наноаллотропов) / А. А. Каренин // Мат. Всеросс. науч-практ. конференции «Формирование учебных умений в процессе реализации стандартов образования». - Ульяновск: УлГПУ им. И. Н. Ульянова, 2011. -С. 122-129.

10. Браже, Р. А. 20- и ЗВ-супракристаллы - новые материалы для наноэлектроники и нанофотоники / Р. А. Браже, А. А. Каренин // Тез. докл. V Всеросс. конф. молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика». - Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 2010. - С. 38-39.

11. Каренин, А. А. Графеновые и супракристаллические углеродные нанотрубки: сравнительный анализ физических характеристик / А. А. Каренин // Мат. 13-й Регион, науч. шк.-сем. «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники». - Ульяновск: УФИРЭ им. В. А. Котелышкова РАН, 2010.-С. 10-11.

12. Каренин, А. А. Двумерные супракристаллы: математические модели, симметрия и устойчивость / А. А. Каренин // Тез. докл. 43-й науч.-техн. конференции УлГТУ «Вузовская наука в современных условиях». - Ульяновск: УлГТУ, 2009. - С. 114.

13. Каренин, А. А. 2Э- и ЗО-супракристаллы: математические модели, симметрия и устойчивость / А. А. Каренин // Тез. докл. 44-й науч.-техн. конференции УлГТУ «Вузовская наука в современных условиях». - Ульяновск: УлГТУ, 2010.- С. 191-192.

14. Мефтахутдинов, Р. М. Электрические свойства 20- и ЗО-супракристал-лов / Р. М. Мефтахутдинов, А. А. Каренин // Тез. докл. 44-й науч.-техн. конференции УлГТУ «Вузовская наука в современных условиях». — Ульяновск: УлГТУ, 2010,- С. 192-193.

15. Каренин, А. А. Управление электрическими свойствами супракристаллических нанотрубок / А. А. Каренин // Тез. докл. 45-й науч.-техн. конференции УлГТУ «Вузовская наука в современных условиях». - Ульяновск: УлГТУ, 2011.- С. 209.

16. Браже, Р. А. О преодолении стереотипов в преподавании физики в связи с появлением нано- и метаматериапов / Р. А. Браже, А. А, Гришина, А. А. Каренин и др. // Мат. Межд. шк.-сем. «Физика в системе высшего и среднего образования». - М., 2011, - С. 69-71.

17. Арефьева, П. А. Математическое моделирование супракристаллических наноразмерных структур / П. А. Арефьева, Р. А. Браже, А. А. Каренин и др. // Мат. Шестой Всеросс. конф. «Необратимые процессы в природе и технике», Ч. И. -М.: МГГУим. Н. Э. Баумана, 2011. - С. 30-38.

18. Кочаев, А. И. Разработка теоретических основ физики супракристаллических наноразмерных материалов / А. И. Кочаев, А. А. Каренин, П. А. Арефьева // Молодежный инновационный форум Приволжского федерального округа. Конкурс научно-технического творчества молодежи (НТТМ). - Ульяновск, 2011. - [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://ify.ulstu.ru.

I I

Каренин Алексей Александрович

Математическое моделирование и численные расчеты энергетических, упругих и электрических характеристик сунракристаллических наиоразмерных структур

Автореферат

Подписано в печать 28.12.2011. Формат 60x84 1/16. Усл. печ.л. 1,16. Тираж 100 экз. Заказ 1364. Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, Северный Венец, 32.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

_ На правах рукописи

61 12-1/530

Каренин Алексей Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ, УПРУГИХ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СУПРАКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ НАНОРАЗМЕРНЫХ СТРУКТУР

Специальности

05. 13. 18 - Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

01. 04. 07 - Физика конденсированного состояния

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -д. ф.-м. н., профессор Браже Рудольф Александрович

Ульяновск 2011

СОДЕРЖАНИЕ

Список основных обозначений...................................... 5

Введение.......................................................................................... 4

Глава 1. Математические модели, численные методы и 7 программы расчета физических свойств обычных кристаллических структур (аналитический обзор)

1.1. Симметрия кристаллов............................................. 17

Пространственные группы симметрии кристаллов (17). Двумерные кристаллы (21). Хаекелитные структуры (24). Нанотрубки (25).

1.2. Методы расчета физических свойств кристаллов............ 28

Метод Хартри-Фока (28). Метод функционала плотности (30). Приближение сильной связи (34). Метод математических итераций Бройдена (38).

1.3. Имеющиеся программные продукты............................ 41

1.4. Выводы по главе 1 ................................................... 43

Глава 2. Математические модели дввумерныхсупракристаллов

2.1. Классы и группы симметрии 2Б-супракристаллов........... 45

Сетки Кеплера (45). Возможные типы 2В-супракристаллов (47). Симметрия 20-супракристаллов (50).

2.2. Численное моделирование 2П супракристаллов...,.......... 55

Оптимизация геометрических параметров супраячеек (55). Энергия связи (56). Ширина запрещенной зоны 20-супракристаллов (58). Упругие характеристики углеродных 2Б-супракристаллов (61).

2.3. Верификация расчетных величин............................................................63

Сопоставление с известными результатами (63). Применение

приближения сильной связи для расчета электронной структуры 2Б-супракристаллов (64).

2.4. Выводы по главе 2................................................... 67

Глава 3. Математические модели супракристаллических нанотрубок

3.1. Супракристаллические нанотрубоки..........................................................69

Супракристаллические наноленты, сворачиваемые в нанотрубки (69).

Типы и симметрия супракристаллических нанотрубок (70).

3.2. Численное моделирование супракристаллических 77 нанотрубок..

Электрические свойства супракристаллических нанотрубок (77).

3.3. Верификация расчетных величин................................. 82

Сопоставление с планарными структурами (82). Сопоставление с известными результатами (83).

3.4. Выводы по главе 3...................................................

Глава 4. Математические модели трехмерных супракристаллов

4.1. Классы и группы симметрии ЗБ-супракристаллов............ 86

Тела Платона и Архимеда (86).

Возможные типы 3 О-супракристаллов (90). Симметрия ЗБ-супракристаллов (94).

4.2. Численное моделирование ЗБ супракристаллов............ 95

Оптимизация геометрических параметров супраячеек

ЗБ-супракристаллов (95). Ширина запрещенной зоны ЗВ-супракристаллов (96).

4.3. Верификация полученных результатов......................... 98

Сравнение с экспериментальными данными (98). Верификация методом сильной связи (99).

4.4. Выводы по главе 4................................................... 100

Заключение............................................................... 102

Литература................................................................ 104

Приложение 1.............................................................. 116

Приложение 2.............................................................. 122

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

\Sh-~, ёп\ - совокупность операций симметрии;

(Лесь Угесь 2геё) ~ координаты атома в системе, связанной с центром

элементарной ячейки и имеющей в качестве единичных векторов осей

вектора примитивных трансляций;

(,т, п) - хиральность нанотрубок;

\Ент-Е2в\ - разница между энергией атома в тубулярной структуре и исходной планарной структурой; А- оператор Лапласа;

(1) - к] (1) - операторы, определяющие взаимодействие

рассматриваемого электрона с усреднённым полем остальных электронов;

Ь - приведенная постоянная Планка;

а - угол хиральности; константа центрального взаимодействия атомов; |3 - константа нецентрального взаимодействия; //г - постоянная, определяемая типом гибридизации; (р - молекулярные орбитали;

у/А - волновая функция;

ц/п- собственные волновые функции;

¥т (г) - комплексно сопряженная волновая функция атомного состояния;

а - период кристаллической решетки;

Вк - матрица Гессе;

£> - диаметр нанотрубки;

Е - энергия, приходящаяся на один атом;

Еь - энергия связи;

Еш - ширина запрещенной зоны;

Еп - собственное значение энергии атома;

^[{РлЬ) - фокиан;

gi - операция симметрии;

g(хк) - градиент исходной функции;

G - группа симметрии;

Acore (1) - одноэлектронный оператор;

Hat ~ атомный гамильтониан;

L - длина связи;

т0 - масса свободного электрона;

п2 - число ближайших соседей в 2Б-структурах;

рл - направление поиска;

г;- - узлы кристаллической решетки;

sk - шаг алгоритма;

U(г) - потенциальная энергия;

Uk — матрица, характеризующая поправку, вносимую на очередном шаге;

V2 - ковалентная энергия; V\ - энергия металлизации;

хк - окрестность точки очередного приближения; Ф(г) - функция Ванье

ВВЕДЕНИЕ

Возможность существования двумерных (2D) кристаллических пленок долгое время ставилась под сомнение, ссылаясь на авторитет Л. Д. Ландау и Р. Пайерлса, показавших в 30-х гг. прошлого века, что силы межатомного взаимодействия неизбежно должны свернуть их в трубку или смять в гармошку [1, 2]. Однако в 2004 г. К. С. Новоселов и др. сумели получить приемлемые для исследования и использования монослои 20-кристаллов углерода (графена) простым отшелушиванием от графита при помощи обыкновенного скотча [3]. Затем были предложены и другие способы получения графена: термическим разложением карбида кремния (81С), химическим расслоением графита, под действием серной или соляной кислот, в растворе аммиака [4-6]. Обладая, по сравнению с кремнием, высокой термической устойчивостью, большей подвижностью электронов, особенностями энергетических зон электронных и дырочных состояний, графен представляется весьма перспективным материалом для наноэлектроники и нано-фотоники [7-11].

Большой интерес представляют также так называемые хаекелитные структуры [12-13] - двумерные углеродные и бор-азотные планарные монослои, состоящие из пяти- и семиугольников, из пяти-, шести- и семиугольников, либо из четырех- и восьмиугольников.

На данный момент наиболее популярным элементом при конструировании наноструктур, следует признать углерод. В первую очередь это обусловлено широким распространением данного элемента в природе и дешевизной получения исходного материала. Также стоит отметить большое число аллотропов и соединений углерода, и их востребованость в технике и, следовательно, изученность.

Теоретически доказана возможность существования и более сложных, чем графен, 2Б-углеродных сетей из ер -гибридизированных атомов углерода [14, 15], образующих структуры, состоящие из трех- и двенадцатиугольников, четырех-, шести- и двенадцатиугольников. Их можно рассматривать, как двумерные кристаллы, образованные квадратными или шестиугольными ячейками, в узлах которых находятся не отдельные атомы или ионы, а симметрично организованные атомарные комплексы. Мы назвали такие кристаллические структуры супракристаллами [16, 17].

Одним из факторов, ограничивающих применение графено-подобных углеродных структур, является невозможность получения на их основе диэлектриков. Все они либо металлы, либо весьма узкозонные полупроводники. Несмотря на это, долгое время другие химические элементы не использовались для получения наноструктур, однако, получение селицена и хаекелитных бор-азотных структур, позволяет надеяться на получение неуглеродных супракристаллических наноструктур.

В связи с этим возникает актуальная задача построения математических моделей возможных типов супракристаллов, расчета их термической устойчивости, основных энергетических и электрических свойств с целью прогнозирования целесообразности синтеза таких структур и их практического применения.

Цель и задачи исследования. Цель работы - методами математического, в частности, численного моделирования выявить допустимые по симметрии типы 2Б-, ЗБ- и нанотубулярных супракристаллических структур, исследовать их термическую стабильность, рассчитать энергетические, механические и электрические характеристики.

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1. Анализ известных 2D- , 3D- углеродных, неуглеродных и тубулярных кристаллических материалов и структур (графен, хаекелитные структуры, нанотрубки и др.) с точки зрения используемых методов их математического моделирования и численных методов расчета термической устойчивости, равновесных параметров кристаллической решетки, энергетических, механических и электрических характеристик. Выявление моделей и програмных продуктов, после соответствующей модификации и включения дополнительных алгоритмов могут быть использованы для компьютерного моделирования супракристаллов.

2. Выявление возможной симметрии двумерных, трехмерных и квазиодномерных (нанотубулярных) супракристал-лических структур и симметрии их физических свойств.

3. Оптимизация равновесной геометрии супраячеек найденных структур средствами компьютерного моделирования, реализующими первопринципные (ab initio) методы приближенного решения уравнений квантовой механики.

4. Проведение численных расчетов энергетических, механических и электрических параметров 2D-, 3D- и нанотубулярных супракристаллических структур.

5. Верификация полученых результатов путем их сравнения с известными значениями из теоретических и экспериментальных исследований для частных случаев, более простых структур, в которые вырождаются супракристаллы, и независимых расчетов на основе более простых, но одновременно более грубых приближений.

Методы исследования. В работе использованы следующие методы

математического моделирования и численного эксперимента:

- метод итераций Бройдена, для приближенного вычисления матриц

Якоби;

- метод функционала плотности в приближении Хартри-Фока;

- метод Монкхорста-Пака, для генерации А-точек в зоне Брюллюэна;

- методы программирования в среде АЫпк;

- методы программирования в среде впёМс!;

- метод сильной связи, для верификации полученных результатов;

- метод Давыдова для получения констант центрального и

нецентрального взаимодействия атомов.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Впервые построены математические модели двумерных, трехмерных и квазиодномерных (нанотубулярных) новых прстранственно периодических структур -супракристаллов, в узлах кристаллической решетки которых находятся не отдельные атомы или ионы, а симметрично организованные атомарные комплексы. Произведен численный расчет равновесной геометрии таких структур и доказана возможность их существования при комнатной температуре.

2. На основе модификации известных численных методов приближенного решения уравнений квантовой механики (метод функционала электронной плотности, метод сильной связи) путем включения в них новых алгоритмов. Впервые рассчитаны энергетические и электрические характеристики 2Б-, ЗЭ- и нанотубулярных супракристал-

лических структур, состоящих из атомов углерода, кремния, бора и азота, серы, фосфора.

3. На основе модифицированного метода Давыдова впервые

вычислены константы центрального и нецентрального взаимодействия атомов в двумерных супракристалличе-ских эр2- и 8р3-наноаллотропах. Показано, что характеризуемые этими константами упругие свойства 21)-супракристаллов могут значительно отличаться от аналогичных свойств графена и, в некоторых случаях, даже превышать их.

Достоверность полученных результатов обусловлена корректным использованием математических методов и приближений, непротиворечивостью полученных численных оценок известным характеристикам уже полученных структур, а также подтверждается экспериментальными и теоретическими результатами других авторов и собственными вычислениями независимыми методами.

Практическая значимость работы. Предложенный класс новых наноразмерных кристаллических материалов и структур -супракристаллы - существенно расширит возможности разработки новых устройств наноэлектроники, спинтроники, нанофотоники и водородной энергетики благодаря широкой вариативности своих физических свойств за счет выбора химического состава, типа структуры и симметрии.

Разработанные математические модели 2В-, ЗБ- и нанотубулярных супракристаллических структур, методы и алгоритмы численного расчета их устойчивости, энергетических, механических и электрических характеристик позволят значительно сократить время и

расходы на проведение экспериментальных работ по синтезу и исследованию свойств новых наноматериалов, обеспечивая адекватное прогнозирование этих свойств.

Работа поддержана грантом Российского фонда фундоментальных исследований (проект №; 10-02_97002-р_повольжье_а).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель нового класса наноразмерных кристаллических материалов - супракристаллов и методика расчета их термической устойчивости, энергетических, упругих и электрических характеристик.

2. Модифицированная путем включения новых алгоритмов программа численного расчета энергетических и электрических характеристик 20-супракристаллов.

3. Модифицированный метод расчета силовых констант, описывающих центральное и нецентральное взаимодействия атомов в супракристаллической решетки, отличающаяся вычислением энергии металлизации не через энергии б- и р- термов, а из предварительного расчета энергии, приходящейся на один атом.

4. Модифицированная путем включения новых алгоритмов программа численного расчета энергетических и электрических характеристик ЗО-супракристаллов.

5. Модифицированная путем включения новых алгоритмов программа численного расчета энергетических и электрических характеристик супракристаллических нанотрубок.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 43-, 44-, 45-й научно-технических конференциях УлГТУ "Вузовская наука в современных условиях" (Ульяновск, 2009-2011 гг.), Седьмой Международной конференции "Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов" (Ульяновск, 2009г.), 12- и 13-й региональных научных школах-семинарах "Актуальные проблемы физической и функциональной электроники " (Ульяновск, 2009, 2010 гг.), Всероссийской научно-практической конференции "Формирование учебных умений и навыков" (Ульяновск, 2009, 2011гг.), V Всероссийской конференции молодых ученых "Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная оптика" (Саратов, 2010 г.), Международной школе-семинаре "Физика в системе высшего и среднего образования" (Москва, 2011), Шестой всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике" (Москва, МГТУ им. Н. Э. Баумна, 2011).

Отдельные результаты работы представлены на следующих выставках и конкурсах: Конференция-конкурс молодых физиков (Москва, ФИ им. II. II. Лебедева РАН, 2011г.) - диплом лауреата

(2-е место), Молодежный инновационный форум Приволжского федерального округа (Ульяновск, 2011г.) - диплом лауреата, XI Всероссийская выставка научно-технического творчества молодежи (Москва, ВВЦ, 2011г.) - диплом, IV Международный конкурс научных работ молодых ученых в области нанотехнологий (Москва, Ки88папо1ссЬ-2011) - диплом лауреата (2-е место).

Личный вклад автора в проведенные исследования отражен в публикациях и в работах, выполненных в соавторстве. Основные теоретические положения и требования к математическим моделям разработаны совместно с научным руководителем профессором Браже Р. А. Все численные расчеты и компьютерные программы их получения сделаны

автором лично. Результаты, содержащиеся в работе [119,135,137,146], получены совместно с профессором Браже Р. А. доцентом Мефтахутдиновым P.M. и ассистентом Кочаевым А.И. Результаты, содержащиеся в работе [147], получены совместно с профессором Браже Р. А. и ассистентом Олениным И.С. Результаты, содержащиеся в работе [136], получены совместно с профессором Браже Р. А. и ассистентом Арефьевой П.А. При этом на долю автора приходится исследование равновесной геометрии, составление модели и алгоритма расчета, расчет электрических и энергетических постоянных супракри-сталлов и супракристаллических нанотрубок.

Содержание работы

Во введении к диссертации обоснованы цель и задачи работы, её нуучная новизна, практическая значимость конечных результатов и научные положения выносимые на защиту.

В п