автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование трехмерных нестационарных течений вязкого сжимаемого газа на многопроцессорных вычислительных системах

Введение.

Содержание

Г Л 81 В с1 1. КСРС как новая модель для описания течений совершенного газа.

1.1. Свойства и особенности применения КСРС

1.2. Постановка модельной задачи

1Г Л 81 В с! 2. Численное моделирование нестационарных пульсационных режимов обтекания прямоугольной трехмерной каверны.

2.1. Картина течения газа в каверне и вблизи нее при различных углах вдува

2.2. Принципы работы и структура разработанного параллельного программного комплекса

Уравнения газовой динамики, как известно, охватывают чрезвычайно широкий круг природных явлений. Проведение необходимого количества достоверных натурных экспериментов для многих входящих в этот круг интересных и практически важных научных и индустриальных задач либо слишком дорого, либо по тем или иным причинам в настоящее время и даже в обозримом будущем технически невыполнимо. Сочетание этих обстоятельств обуславливает большую значимость газодинамических расчетов, являющихся главной компонентой математического моделирования любых более или менее сложных газовых течений. Нет никаких сомнений в том, что и в дальнейшем актуальность компьютерного моделирования всевозможных газодинамических процессов будет только возрастать.

Классическими проблемами, для которых такие расчеты всегда играли важную роль, являются порождаемые потребностями аэрокосмической промышленности, а также различными разделами физики плазмы, включая специальные приложения, сильно нелинейные задачи обтекания тел различной формы скоростными газовыми потоками. Относительно недавно газодинамические расчеты получили широкое распространение в метеорологии, автомобильной промышленности (создание аэродинамически оптимальных корпусов современных автомобилей и численное моделирование физических процессов внутри двигателей внутреннего сгорания), экологии (исследование распространения загрязнений в атмосфере) и многих других областях современных наукоемких технологий [1], [2], [69]. Практическая необходимость постоянно повышать достоверность результатов численного моделирования вынуждает производить эти расчеты со все более высокой точностью.

В связи с этим во всем мире наблюдается неослабевающий интерес к математическому моделированию всевозможных газодинамических процессов и не прекращаются интенсивные работы по созданию эффективных алгоритмов, позволяющих выполнять требуемые вычисления на современной технике за приемлемое время. Одновременно этот процесс стимулируется продолжающимся бурным развитием и непрерывным удешевлением аппаратной базы современных ЭВМ, причем центр тяжести технологической эволюции аппаратуры все сильнее смещается в область параллельных вычислений со все возрастающей степенью параллелизма. Все более широкое распространение получают многопроцессорные установки различных типов и продолжается непрерывное наращивание объемов их выпуска всеми ведущими мировыми производителями ЭВМ (IBM, HP, SUN, SGI и др.). В то же время удельная стоимость на единицу вычислительной мощности неизменно снижается.

На сегодняшний день (в настоящее время) уже созданы образцы процессоров с производительностью порядка 2GFLOPS (1GFLOPS = 109 floating point instructions per second) и вычислительные установки общей мощностью более 1TFLOPS (= 103GFLC)PS). В ближайшем десятилетии прогнозируется появление систем с пиковой производительностью около 103TFL()PS.

Классические подходы к математическому моделированию газовых течений базируются на численном решении уравнений Навье-Стокса на основе различных феноменологических соображений. При этом в определенной степени игнорируется кинетическая основа описываемых этими уравнениями газодинамических явлений, которая непосредственно опирается на тот факт, что уравнения Навье-Стокса могут быть выведены из основополагающего кинетического уравнения Больцмана при подстановке в него слабо отличающейся от максвелловской функции распределения, разложенной по малому параметру (числу Кнудсена), и отбрасыванию всех старших членов в этом разложении, начиная с третьего [1], [39].

В рамках идеологии, основанной на принятии в качестве базовой системы уравнений Навье-Стокса, было разработано множество методов построения разностных схем, предназначенных для их численного решения. К наиболее известным и получившим распространение на практике относятся разностные схемы, строящиеся по интегро-интерполяционному методу A.A. Самарского [25], схемы Годунова [30], метод крупных частиц Белоцер-ковского [32], схемы Мак-Кормака [57], [58], а также некоторые другие.

Пространственно-одномерные задачи, как правило, удобно моделировать лагранжевыми схемами, которым свойственны малая аппроксимаци-онная вязкость и высокая точность расчета контактных разрывов. Однако из-за жесткой привязки расчетной сетки к движущемуся веществу такие схемы менее пригодны для расчетов сложных 2D и 3D течений, так как резко неравномерная деформация сеточных ячеек вызывает большие трудности вычислительного характера. Во всяком случае построение разумных лагранжевых и смешанных лагранжево-эйлеровых алгоритмов требует применения специальных подходов, рассмотрение которых выходит за рамки данной работы.

При моделировании двухмерных газовых течений широко используются относящиеся к эйлеровым схемам методы Лакса-Вендроффа [56], [63], Бориса-Бука [64], Русанова [65], [66] и различные разновидности метода Мак-Кормака [57]-[59]. С их помощью удается исследовать и некоторые трехмерные газовые потоки. Схемы в эйлеровых переменных часто предъявляют более высокие требования к быстродействию ЭВМ.

Одним из первых методов, успешно примененных к численному решению задач обтекания, были предложенный Харлоу [61] метод частиц в ячейке и Харлоу и Уэлчем [62] метод маркеров и ячеек, дальнейшее развитие которых привело к разработке метода "крупных частиц" [32], в развитие которого большой вклад был внесен О.М. Белоцерковским с учениками. Эти методы получаются с помощью использования приема расщепления по физическим процессам и обладают достоинствами как лагранжевых, так и эйлеровых схем.

Оригинальный и во многом классический подход к созданию эйлеровых разностных схем был развит С.К. Годуновым в [68]. При таком подходе явно учитывается дискретность среды и на каждом шаге по времени решается задача о распаде разрыва. Первоначально предложенная схема обладала первым порядком аппроксимации, в дальнейшем на основе ее обобщения были построены схемы второго порядка. Важным достоинством этой схемы является отсутствие нефизичных счетных осцилляций решения в окрестности фронта ударной волны. Много интересных расчетов по этой схеме было выполнено Забродиным A.B. с сотрудниками [29], [30].

Большое значение при построении как лагранжевых, так и эйлеровых разностных схем играет предложенный A.A. Самарским и Ю.П. Поповым в [67] принцип полной консервативности. С его помощью удается строить схемы, правильно передающие быстро изменяющиеся решения даже на относительно грубых сетках с не очень хорошей аппроксимацией исследуемой задачи.

Для численного решения задач, возникающих при моделировании задач управляемого термоядерного синтеза хорошо зарекомендовала себя методика, развиваемая под руководством В.Ф. Тишкина [48] - [53].

Одной из важнейших составных частей теории разностных схем является теория устойчивости. Большой вклад в ее создание и развитие был внесен А.В. Гулиным и А.А. Самарским [23].

Тем не менее большинство этих методов даже при современном уровне развития вычислительной техники сталкивается с большими трудностями при попытках использовать их в расчетах практически важных течений вязкого теплопроводного сжимаемого газа при больших значениях числа Рейнольдса.

Каждый из этих методов обладает своими достоинствами, которые наиболее ярко проявляются на определенных важных классах газогидродинамических задач, к которым данный метод наиболее соответствует и "под которые" данный метод специально разрабатывался, в то время как он плохо считает другие ("чужие") задачи. Можно утверждать, что на сегодняшний день не существует универсального эффективного метода численного решения газодинамических задач и маловероятно, что такой метод появится в недалеком будущем.

Почти все эти упомянутые методы употреблялись преимущественно для расчетов одномерных (1D) и двумерных (2D) задач на последовательных (Single Instruction Single Data) ЭВМ. Очень многие из этих алгоритмов (неявные прежде всего, хотя они и обладают таким ценным свойством, как безусловная устойчивость) встречаются с очень серьезными проблемами при попытках их адаптации на многопроцессорные ЭВМ. Источником этих трудностей является несоответствие внутренней логики алгоритмов архитектуре многопроцессорных ЭВМ. Известно, что архитектура такой вычислительной техники налагает свои жесткие специфические условия, которые являются необходимыми для высокоэффективного использования всей мощности многопроцессорных ЭВМ (равномерная балансировка загруженности процессоров, отсутствие фатальных конфликтов во время межпроцессорных обменов данными, соблюдение определенных соотношений между объемом пересылаемых данных и количеством вычислений на одном узле и т.д. и т.п.).

Раньше, и в определенной мере до сих пор, при численном решении многих (в первую очередь, естественно, стационарных) задач математической физики предпочтительным считали применение неявных схем в силу их абсолютной устойчивости, что позволяло проводить вычисления с большим шагом по времени и, следовательно, с меньшими затратами вычислительных ресурсов. Хотя надо также учитывать, что, как правило, неявные схемы требуют существенно больше арифметических действий на один шаг по времени. Но в употреблении очень большого шага по времени скрыта и определенная опасность, заключающаяся в том, что при слишком большом шаге по времени совершенно незаметно для пользователя может произойти полная потеря физического смысла искомого численного решения, которая может интерпретироваться как потеря разностной схемой аппроксимации по времени.

С этой точки зрения явные схемы обладают тем преимуществом, что для каждой выбранной сетки по пространственным переменным, они обладают некоторым внутренним (присущим по способу их построения) пределом увеличения шага по времени, выше которого счет по данной схеме на данной сетке становятся неустойчивыми (т.е. они условно устойчивы). Поэтому при их использовании риск получить физически бессмысленное решение значительно меньше. Допуская некоторую терминологическую вольность их можно назвать более физичными в том смысле, что они явно отражают распространение физических возмущений, скорость которых никогда не может превосходить некоторой предельной, разумеется, зависящей от конкретной задачи величины [21]. Кроме того, в них наглядно прослеживается причинно-следственная связь между прошлым и будущим.

Это может оказаться весьма существенным при численном моделировании сложных нелинейных, прежде всего нестационарных задач, для которых отсутствует априорная информация даже о качественном поведении решения. Именно к таким задачам относятся многие газо-гидродинамичес-кие задачи обтекания при больших числах Рейнольдса Яе.

Среди явных схем желательно выбирать такие, которые имеют менее жесткие ограничения на шаг по времени т (не г < С/г,2, а т < С К) и предложенные Б.Н. Четверушкиным и Т.Г. Елизаровой в [3]-[13] кинетически-согласованные разностные схемы (КСРС) дают очень важный и удобный для практического применения пример явных схем с нежестким критерием устойчивости для шага по времени. Для их построения был применен подход, заключающийся в использовании дискретных кинетических моделей, описывающих одночастичную функцию распределения в качестве основы для конструирования методов расчета газодинамических течений в плотном газе. Точный теоретический анализ (спектральный или энергетический) ввиду его большой сложности не проводился, но способ вывода КСРС позволяет надеяться на курантовский тип условия устойчивости и при расчетах около и сверхзвуковых газовых течений эта гипотеза в основном подтверждается.

Другим важным достоинством явных разностных схем является то, что они легко поддаются распараллеливанию на основе принципа геометрического параллелизма. При этом обмен информацией происходит лишь за счет значений функций в приграничных узлах подобластей. Если число узлов в подобластях велико, то удельная доля приграничных узлов в каждой подобласти мала, благодаря чему объем пересылаемой информации растет медленнее, чем объем вычислений для подобластей. Это означает, что при возрастании числа узлов в подобластях эффективность параллельной обработки увеличивается и стремится к теоретическому пределу 100%.

Все более широкое распространение многопроцессорной вычислительной техники и продолжающийся рост ее производительности прежде всего за счет увеличения числа процессоров, входящих в состав одной МВС (Многопроцессорной Вычислительной Системы), способствует применению для расчетов на таких ЭВМ явных разностных схем.

Еще одним импульсом, подпитывающим стремление строить новые типы разностных схем для расчетов течений вязкого сжимаемого газа, служат неединичные случаи получения явно физически бессмысленных решений при попытках сильного измельчения пространственной сетки (например, для прямого моделирования крупномасштабной турбулентности) во многих упомянутых выше классических методах. На возможность возникновения такой ситуации обращалось внимание в работах [22], [33]. Точные причины возникновения такого рода неприятностей до сих пор не выяснены и вполне могут быть связаны с проблемой корректности уравнений Навье-Стокса [36], [37].

Вплоть до самого недавнего времени (примерно 5-7 лет назад) подавляющее большинство расчетов реальных трехмерных задач, выполняемых любыми методами, носили почти всегда только качественный характер. КСРС принадлежат к числу не слишком многочисленных методов, которые позволяют эффективно выполнять количественные расчеты трехмерных задач нестационарного обтекания реальных трехмерных объектов на современной многопроцессорной MIMD (Multiple Instructions Multiple Data) вычислительной технике. Они с успехом применялись к достаточно сложным задачам химической кинетики [76] и распространения слабых акустических колебаний в сильно возмущенной газовой среде [77].

В качестве модельной задачи выбрана задача о течении около трехмерной прямоугольной выемки. Несмотря на свою простоту, такая конфигурация с успехом может моделировать, например, углубление в обшивке летательного аппарата для какого-либо прибора, механическое повреждение обшивки, открытый бомбовый отсек, отсек для шасси, углубление от выпавшей теплозащитной плитки многоразового космического корабля типа Space Shuttle/Буран и так далее. Кроме того, именно на таких несложных геометриях удобно "обкатывать" новые алгоритмы и вводить в эксплуатацию и "доводить до ума" только что созданные сложные комплексы программ, а также проводить сравнительное тестирование различных образцов современной вычислительной техники. И, наконец, прямоугольная выемка является одним из наиболее удобных объектов для изучения фундаментальных закономерностей течений вязких сжимаемых газов.

Наибольший интерес с инженерной точки зрения представляют исследования различного рода колебательных режимов течения. Это связано, в частности, с возможным негативным воздействием газодинамических колебаний в натекающем потоке на прочностные характеристики летательных аппаратов, особенно в случаях, когда частоты акустических колебаний газа близки к собственным частотам элементов конструкции. К тому же, такие колебания способны выводить из строя аппаратуру авиационнокосмической техники. Для успешного моделирования подобных режимов необходимо знание подробной картины газодинамических полей вблизи обтекаемого тела. Это требует применения мощных многопроцессорных ЭВМ в сочетании с алгоритмами, способными эффективно использовать весь их вычислительный потенциал.

В работах [88], [90], [92] моделировались колебательные режимы обтекания трехмерной прямоугольной каверны при вдуве под нулевым углом на достаточно грубой пространственной сетке. При такой постановке задачи в силу ее продольной симметрии можно проводить расчеты только для половины каверны. Были получены результаты, в целом согласующиеся с экспериментальными данными. Вместе с тем очевидно, в реальных условиях вдув под строго нулевым углом представляет собой исключительное явление и на практике не осуществляется. Совершенно ясно, что для получения более или менее целостной картины происходящих явлений необходимо провести моделирование газовых течений вблизи полной выемки при нескольких небольших углах вдува на сравнительно подробных сетках. То есть выполнить принципиально пространственно-трехмерные расчеты.

Целями диссертационной работы являются:

• разработка параллельного программного комплекса, предназначенного для детального численного моделирования трансзвуковых нестационарных колебательных режимов обтекания трехмерных объектов сложной формы вязким сжимаемым газом при больших значениях Ке. В качестве основного вычислительного алгоритма используются явные кинетически—согласованные разностные схемы. Пакет должен обладать высокой переносимостью, то есть обладать способностью эксплуатироваться на современных многопроцессорных Супер-ЭВМ с различной архитектурой.

• Исследование картины течения внутри трехмерной прямоугольной выемки и вблизи нее при осциллирующих режимах ее обтекания сверхзвуковым потоком вязкого сжимаемого теплопроводного газа при косом вдуве под небольшими углами (0° — 6°).

• Тестирование различных многопроцессорных вычислительных установок на модельной задаче, а также проверка эффективности алгоритмов КСРС.

Новизна и практическая значимость работы заключается в том, что созданный и успешно апробированный параллельный программный комплекс имеет очень небольшое количество отечественных аналогов. С его помощью изучена картина трансзвукового нестационарного колебательного режима обтекания прямоугольной трехмерной выемки в полной постановке при косом вдуве под небольшими углами с недостижимой ранее степенью подробности. Подтверждена его пригодность для практического моделирования реальных научно-технических задач. Расчеты производились на различных типах многопроцессорных ЭВМ: МВС-1000, Parsytec СС, HP V2250, Beowulf cluster. В процессе расчетов проведено тестирование этих ЭВМ и выполнены замеры их производительности на расчетах газодинамических задач.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Первая глава посвящена изучению свойств и особенностей употребления кинетически-согласованных разностных схем и постановке модельной задачи.

В первом параграфе описывается методика вывода КСРС и формулируются гипотезы, на которых они базируются, а также очерчивается область их применимости и обсуждаются их свойства. Основное внимание уделяется тем свойствам КСРС, которые позволяют их эффективно применять для моделирования газодинамических задач на многопроцессорных ЭВМ.

Второй параграф посвящен постановке модельной задачи. Задаются ее геометрия и параметры набегающего потока. Приводится использовавшаяся разностная схема, ставятся граничные условия.

Вторая глава посвящена результатам расчетов, структуре и принципам работы программного комплекса.

В первом параграфе подробно исследуется сложная картина течения внутри выемки и вблизи нее при различных углах вдува. Даются изображения проекций трехмерных векторных полей скорости на наиболее интересные продольные и поперечные сечения. Рассматриваются распределения компонент скоростей в этих сечениях. Изучаются особенности спектров давления в характерных точках выемки.

Во втором параграфе обсуждаются некоторые основополагающие идеи, в соответствии с которыми разрабатывался программный комплекс. Показывается влияние этих идей на его структуру. Описываются функции каждой из компонент пакета. В общем виде приводятся входные и выходные данные для каждой составляющей программного комплекса.

В третьей главе освещаются основные проблемы и тенденции развития современной многопроцессорной вычислительной техники и ее математического обеспечения. Проводится сравнение нескольких образцов параллельных ЭВМ и указываются пути дальнейшего совершенствования пакета.

В первом параграфе описываются основные архитектуры современных Супер-ЭВМ, модели программирования математического обеспечения для них, взаимосвязь между архитектурой ЭВМ и моделью программирования, наиболее употребительные пользовательские параллельные интерфейсы и их свойства, а также наиболее известные отладочные средства.

Во втором параграфе приводятся параметры применявшихся ЭВМ и дается сравнение их производительности.

Третий параграф намечает план перспективного развития программного комплекса.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Результаты диссертации докладывались на Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования" (пос. Дюр-со Ростовской области, сентябрь 1999); на Международной школе-семинаре "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность" (пансионат "Березовая роща" Мытищенского района Московской области, февраль 2000); на Международном семинаре "Супервычисления и математическое моделирование" (Саров, сентябрь 2000), на 2-ой Международной конференции "Modern trends in Computational Physics" (Дубна, июль 2000); на "European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering" (Barcelona, Испания, сентябрь 2000); на Международной конференции "Parallel Computational Fluid Dynamics" (Trondheim, Норвегия, май 2000).

Материалы диссертации опубликованы в работах [70] - [75].

Основные результаты диссертации

1. Создан оригинальный параллельный программный комплекс, ориентированный на детальное численное моделирование нестационарных колебательных режимов обтекания вязким сжимаемым газом трехмерных объектов сложной формы. В качестве основного вычислительного алгоритма используются явные кинетически—согласованные разностные схемы. Текущая версия пакета базируется на применении неравномерных прямоугольных сеток. Параллельная часть пакета реализована на функциях стандарта MPI. Обсуждаемый программный комплекс предназначен для эксплуатации на современных многопроцессорных СуперЭВМ.

2. Проведено численное моделирование нестационарных пульсационных режимов сверхзвукового течения вязкого сжимаемого газа при M — 1.35 вблизи трехмерной каверны при ламинарном вдуве под небольшими углами (0 — 6°). Максимальное число узлов сеточной области при расчетах превышало 1.2 * 106. С помощью построения проекций мгновенных полей скоростей на некоторые поперечные и продольные сечения выемки изучена сложная асимметричная картина получаемых трехмерных течений. Проведено ее сравнение с картиной течения при вдуве под нулевым углом, а также с двумерной задачей. Для полученных течений проанализированы спектры колебаний давления в характерных точках выемки.

3. Разработанный параллельный программный комплекс адаптирован на многопроцессорные вычислительные установки различных архитектур как отечественного, так и зарубежного производства (МВС-1000, Parsytec-CC-12, НР У-2250 и некоторые другие). Произведено их тестирование и сравнение производительности на расчетах нестационарного трехмерного течения вязкого сжимаемого газа вблизи выемки, имеющей форму параллелепипеда. Данный сравнительный расчет выполнялся в 10-процессорном варианте.

Автор выражает глубокую благодарность Б.Н. Четверушкину и Е.В Шильникову за научное руководство, доброжелательную поддержку и постоянное внимание к работе, а также И.А.Траур и Т.Г. Елизаровой за многочисленные полезные обсуждения.

1. Б.Н. Четверушкин. Кинетически—согласованные схемы в газовой динамике. М.: МГУ, 1999, 231с.

2. Б.Н. Четверушкин. Математическое моделирование задач динамики излучающего газа. М.: Наука, 1985, 304с.

3. Волчинская М.И., Павлов А.Н., Четверушкин. Б.Н. Об одной схеме интегрирования уравнений газовой динамики. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1983, №113, 21с.

4. Елизарова Т.Г., Павлов А.Н., Четверушкин. Б.Н. Использование кинетической модели для вывода уравнений, описывающих газодинамические течения. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1983, №144, 12с.

5. Елизарова Т.Г., Павлов А.Н., Четверушкин Б.Н. Применение кинетического алгоритма для расчета газодинамических течений. // Дифференциальные уравнения, 1985, т.21, №7, с.1179-1185.

6. Т.Г. Елизарова, Б.Н. Четверушкин. Использование кинетических моделей для расчета газодинамических течений. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1984, №165, 23с.

7. Т.Г. Елизарова, Б.Н. Четверушкин. Об одном вычислительном алгоритме для расчета газодинамических течений. // ДАН СССР, 1984, т.289, №1, с.80-83.

8. И.А. Граур, Т.Г. Елизарова, Б.Н. Четверушкин. Использование кинетических алгоритмов для расчета газодинамических задач, моделирующих вязкие течения. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1985, №85, 18с.

9. Т.Г. Елизарова, Б.Н. Четверушкин. Кинетические алгоритмы для расчета газодинамических течений // ЖВМ и МФ, 1985, т.25, №10, с.1526-1533.

10. Т.Г. Елизарова, Б.Н. Четверушкин. Использование кинетических моделей для расчета газодинамических течений // Мат. моделирование. Процессы в нелинейных средах. М: Наука, 1986, с.261-278.

11. И.А. Граур, Т.Г Елизарова, Б.Н. Четверушкин. Моделирование сложных газодинамических течений на основе кинетических алгоритмов // Дифференциальные уравнения, 1986, т.22, №7, с.1173-1180.

12. Четверушкин. Б.Н., Чурбанова Н.Г. Консервативные кинетические схемы для решения задач газовой динамики. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1986, №78, 13с.

13. Елизарова Т.Г., Четверушкин. Б.Н. О моделировании течений вязкого теплопроводного газа на основе кинетически-согласованных разностных схем. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1987, №120, 23с.

14. Граур И.А., Елизарова Т.Г, Четверушкин. Б.Н. О применении кинетически-согласованных разностных схем для расчета теплообмена в сверхзвуковых газодинамических потоках. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1988, №90, 22.

15. Т.Г. Елизарова, Б.Н. Четверушкин. Кинетически-согласованные разностные схемы для моделирования течений вязкого теплопроводного газа. // Журнал вычислительной математики и математической физики, т.28, №11, 1988, с.695-710.

16. И.А. Траур, JI.B. Дородницын, Т.Г. Елизарова, Б.Н. Четверушкин. Кинетически-согласованные схемы газовой динамики с неполной коррекцией. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1987, №5, 21с.

17. И.А. Траур, Б.Н. Четверушкин. К обоснованию кинетически-согласованных схем с коррекцией. // Математическое моделирование, т.9, №11, 1997, с.111-118.

18. Л.В. Дородницын, Б.Н. Четверушкин. Об одной неявной схеме для моделирования дозвукового течения газа. // Математическое моделирование, т.9, №5, 1997, с.108-119.

19. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Супер-компьютер на базе транспьютерных элементов. // Сб.: Вычислительные системы на базе транспьютеров и параллельные вычисления. М., 1992, с.24-27.

20. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Применение многопроцессорных транспьютерных систем для решения задач математической физики. // Математическое моделирование, т.4, №11, 1992, с.75-100.

21. Власов A.A. Статистические функции распределения. М.: Наука, 1966, 440с.

22. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989, 616с.

23. Самарский A.A., Тулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973, 416с.

24. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989, 430с.

25. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1980, 352с.

26. Самарский A.A., Николаев E.H. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978, 592с.

27. Самарский A.A., Четверушкин Б.Н. Использование и перспективы применения многопроцессорных транспьютерных систем для решения задач науки и техники. // М.: Юбилейный Сб. Трудов институтов ОИВТА РАН, 1993.

28. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989, 608с.

29. Забродин A.B., Черкашин В.А. Расчет сверхзвукового обтекания тела с выступающей иглой. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1980, №73, 44с.

30. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г. П. Численные методы решения многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976, 400с.

31. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980, 616с.

32. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Нестационарный метод крупных частиц для газодинамических расчетов. // ЖВМ и МФ, т.11, №1, 1971, с.182-207.

33. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод "крупных частиц" в газовой динамике. М.: Наука, 1982, 392с.

34. Белоцерковский О.М. Прямое численное моделирование свободно развитой турбулентности. // ЖВМ и МФ, т.25, 1985, с.1857-1882.

35. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Физматлит, 1994, 448с.

36. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970, 288с.

37. Тетат R. Navier-Stokes Equations. Theory and Numerical Analysis. -Amsterdam, North-Holland 1974.

38. M.H. Коган Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967, 440с.

39. Л. Больцман Лекции по теории газов. М.: ГТТИ, 1956, 554с.

40. Г. Шлихтинг. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974, 712 с.

41. Л.Г. Лойцянский. Механмка жидкости и газа. М.: Наука, 1987, 840 с.

42. С. Чепмен., Т. Каулинг. Математическая теория неоднородных газов. М.: ИЛ, 1960, 510 с.

43. Р. Либов. Введение в теорию кинетических уравнений. М.: Мир, 1974, 371 с.

44. К. Черчиньяни. Математические методы в кинетической теории газов. М.: Мир, 1973, 245 с.

45. К. Черчиньяни. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978, 495 с.

46. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика. Т.6. Гидродинамика. М.: Наука, 1986, 736 с.

47. Кэфлиш Р.Е. Газовая динамика и уравнения Больцмана. // Сб.: Неравновесные явления: Уравнения Больцмана, (Под ред. Дж. J1. Ли-бовица и др.), М.: Мир, 1986, с.205-236.

48. И.Г. Лебо, А.В. Неледова, В.Ф. Тишкин Решение задачи о развитии неустойчивости Рихтмайера-Мешкова на нерегулярных адаптивных сетках. Препринт ФИ им. П.Н.Лебедева РАН СССР, 1996, №46, 21с.

49. I.G. Lebo, V.B. Rozanov V.F. Tishkin, V.V. Nikishin Computational Modeling of the Hydrodynamic Instability Development in Shock Tube and Laser Driven Experiments. Препринт ФИ им. П.Н.Лебедева РАН СССР, 1997, №31, 24с.

50. Пономарев С.Г., Тишкин В.Ф. Моделирование газодинамических течений в каверне с помощью квазимонотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации. // Математическое моделирование, т.7, №11, 1995, с.55-65.

51. Courant R., Friedrichs К. О., Lewy Н. Uber die partiellen Differenzengleichungen der mathematishen Physik // Math. Ann., 1928, 100, 32.

52. Рихтмайер P.Д., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Наука, 1972, 418с.

53. MacCormack R.W. The Effect of Viscosity in Hypervelocity Impact Cratering. // AIAA Paper 69-354, 1969, Cincinnati, Ohio.

54. MacCormack R.W., Baldwin B.S. A Numerical Method for Solving the Navier Stokes Equations with Application to Shock-Boundary Layer Interactions // AIAA Paper 75-1, 1975, Pasadena, California.

55. Маккормак P. В. Численный метод решения уравнений вязких течений. // Аэрокосмическая техника, 1983, т.1, №4, с.114-123.

56. Тихонов А.H., Самарский А. А. Об однородных разностных схемах. // ЖВМ и МФ, 1961, т. 1, №1, с.5-64.

57. Харлоу. Ф.Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики. В кн.: Вычислительные методы в гидродинамике. - М.: Мир, 1967, с.316-342.

58. Harlow F., Welch J. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow with free surface. // Phys. of fluids., 1965, 8, №12.

59. Lax P.D., Wendroff B. Difference schemes for hyperbolic equations with high order of accuracy. // Comm. Pure Appl. Math., 1964, 17, p.381.

60. Boris J.P., Book D.L. Flux-correct transport. I. SHASTA: a fluid algorithm that works. J.Comput. Phys., 1975, v.18, №1, p.38-69.

61. Русанов В. В. Расчет взаимодействия нестационарных ударных волн с препятствиями. ЖВМ и МФ, 1961, т.1, №2, с.267-279.

62. Русанов В. В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного расчета разрывных течений. ДАН СССР, 1968, т. 180, №6, с.1303-1305.

63. Попов Ю.П., Самарский А. А. Полностью консервативные разностные схемы. ЖВМ и МФ, 1969, т.9, №4, с.953-958.

64. Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. // Мат. сб.б 1959, 47, с.271.

65. Book of Abstracts of the Parallel Computational Fluid Dynamics 2000, Trondheim, Norway, May 22-25, 2000.

66. Е.В. Шильников, М.А. Шумков. Трехмерный расчет обтекания каверны сверхзвуковым потоком вязкого сжимаемого газа. // Математическое моделирование, т. 11, №10, 1999 с.17-30.

67. Е.В. Шильников, М.А. Шумков. Моделирование трехмерных нестационарных течений газа на МВС с распределенной памятью. // Математическое моделирование, т.13, №4, 2001, с.35-46.

68. Shilnikov Е. V. and Shoomkov М.А. Numerical Simulation of 3D Unsteady Viscous Gas Flows Using Multiprocessor Computer Systems. // Second International Conference Modern Trends in Computational Physics, 24-29 July 2000, Dubna, Book of Abstracts, p. 151.

69. Четверушкин B.H., Е.В. Шильников, М.А. Шумков. Using massively parallel computer systems for numerical simulation of 3D viscous gas flows. // Parallel Computational Fluid Dynamics 2000, Trondheim, Norway, May 22-25, 2000, Book of Abstracts.

70. Маликов К.Ю., Романюха Н.Ю., Четверушкин Б.Н. Образование окислов азота в промышленных печах струйно-факельного нагрева. // Математическое моделирование, т.10, №9, 1998, с.41-52.

71. Antonov A.N., Kozubskya Т.К. Acoustic noise simulation for supersonic viscous compressible gas flows. // Computational Fluid Dynamics'98 (Eds. K.D. Papailiou et al.), Vol. 1, Pt. 1, Wiley, Chichester, 1998, p49-53.

72. A.H. Антонов, В.M. Купцов, B.B. Комаров. Пульсации давления при струйных и отрывных течениях. М.: Машиностроение, 1990, 271 с.

73. Д. Ризетта. Численный расчет сверхзвукового обтекания трехмерной выемки. // Аэрокосмическая техника, 1989, №7, с.55-64.

74. Антонов А.Н., Вишняков А.Н., Шалаев С.П. Экспериментальное исследование пульсаций давления в выемке, обтекаемой дозвуковым или сверхзвуковым потоком газа. // Журн. прикладн. механики и технич. физики. №2, 1981, с.89-98.

75. Морозов М.Г. Акустическое излучение полостей, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа. // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, №2, 1960.

76. Морозов М.Г. Самовозбуждение колебаний при сверхзвуковых отрывных течениях. // ИФЖ, т.27, №5, 1974.

77. R.L. Clark, L.G. Kaufman, A. Macinlaitis. Aero-acoustic measurements for Mach 0.6 to 3.0 flows past rectangular cavities. // AIAA Paper, 800036, Jan 1980.

78. J.E. Rossiter. Wind-tunnel experiment on the flow over rectangular cavities at subsonic and transonic speed. // British Aeronautical Research Council, London, England, R&M 3438, Oct 1964.

79. Hankey W.L., Shang J.S. Analysis of pressure oscillations in an open cavity. // AIAA J., Vol.18, №8, 1980, c.892-898.

80. Shih S.H., Hamed A., Yeuan J.J. Unsteady supersonic cavity flow simulation using coupled k-S and Navier-Stokes equations. // AIAA J., Vol.32, №10, 1994, c.2015-2021.

81. И.А. Граур, Т. Г. Елизарова, Б.Н. Четверушкин. Численное моделирование обтекания каверн сверхзвуковым потоком вязкого сжимаемого газа. // ИФЖ, т.61, №4, 1993, с.570-577.

82. И.А. Граур, Т.Г. Елизарова, JI.B. Косарев, Б.Н. Четверушкин. Численное моделирование тепломассообмена в трехмерных кавернах. // Математическое моделирование, т.6, №5, 1994, с.37-54.

83. М.А. Антонов, И.А. Граур. Исследование турбулентного отрывного обтекания выемки. // Математическое моделирование, т.5, №5, 1993, с.92-105.

84. М.А. Антонов, И.А. Граур, JI.B. Косарев, Б.Н. Четверушкин. Численное моделирование пульсационного режима обтекания выемки. // Математическое моделирование, т.7, №11, 1995, с.3-15.

85. М.А. Антонов, И.А. Граур, Б.Н. Четверушкин, Е.В. Шильников. Моделирование течений при наличии колебаний граничных поверхностей. Препринт ИММ РАН, 1995, №15, 19с.

86. М.А. Антонов, И.А. Граур, Л. В. Косарев, Б.Н. Четверушкин. Численное моделирование пульсаций давления в трехмерных выемках. // Математическое моделирование, т.8, №5, 1996, с.76-90.

87. Chetverushkin B.N. Solution of gas dynamics problems on massively parallel computer systems. // In: Computational Fluid Dynamics'94, (Eds. S. Wagner et al.), Wiley, Chichester, 1994, p.397-400.

88. Chetverushkin B.N. Kinetically-consistent finite difference schemes and simulation of unsteady flows. // In: Computational Fluid Dynamics'96, (Eds. J.A. Desideri et al), Wiley, Chichester, 1996, p.780-783.

89. A.B. Лукшин, Б.H. Четверушкин. К теории кинетически-согласованных разностных схем. // Математическое моделирование, т.7, №11, 1995, с.109-125.

90. Воеводин В.В. Параллелизм в алгоритмах и программах. // Сб.: Вычислительные процессы и системы (Под ред. Г.И. Марчука), М.: Наука, 1993, с.253-270.104. http://www.parallel.ru

91. William Gropp, Ewing Lusk and Anthony Skjellum. Using MPI: Portable Parallel Programming with the Message Passing Interface. MIT Press, 1994.

92. Edward Karrels and Ewing Lusk. Performance analysis in MPI programs. // In: Proceedings of the Workshop on Environments and Tools for Scientific Computing, (Eds. Jack Dongarra and Bernard Tourancheau), SIAM Publications, 1994.