автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование спектра генерируемых частот при нелинейном взаимодействии волновых пакетов с учетом граничных условий

На правах рукописи

ЗАКАРЛЮКА Алексей Васильевич

Моделирование спектра генерируемых частот при нелинейном взаимодействии волновых пакетов с учетом граничных

условий

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск — 2005

Работа выполнена в Красноярском государственном техническом университете на кафедре Высокоэнергетических процессов обработки материалов

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор,

Слабко Виталий Васильевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Добронец Борис Станиславович

кандидат физико-математических наук Александровский Александр Сергеевич.

Ведущая организация: Государственное научное учреждение «Научно-

исследовательский физико-технический институт» при Красноярском государственном университете.)

Защита состоится 10 июня 2005 года в 16:00 на заседании диссертационного совета Д 212.098.04 при Красноярском государственном техническом университете по адресу: ул. академика Киренского, 26, Красноярск, 660074, ауд. Д 501.

Факс: (3912) 43-06-92 (КГТУ, для каф. ВЭПОМ)

E-mail: sovet@front.ru

Телефон: (391 -2) 49-77-28 (КГТУ, каф. ВЭПОМ)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан 6_ мая 2005 года.

Учёный секретарь диссертационного совета

Д.™. С"А- БР°нов

Актуальность работы. Периодическая модуляция параметров колебательной системы приводит к возникновению в спектре колебаний компонент, частоты которых (о, являются линейной комбинацией частоты собственных колебаний со и частот, кратных частоте модуляции сот (со, - ю ± пют, п — целое число), в дальнейшем называемые комбинационными. В случае, когда размеры системы много меньше длины испускаемой ею волн, в качестве единственной переменной задачи выступает время. Более сложная ситуация возникает тогда, когда выполняется обратное неравенство, и необходимо рассматривать, в качестве переменных задачи, и пространственные переменные. Так, временная модуляция линейной восприимчивости среды, связанная с внутренними движениями в атомах и молекулах вещества приводит к комбинационному рассеянию света. Временная и пространственная модуляция показателя преломления, вызванная акустическими волнами, является причиной рассеяния Манделыптамма-Бриллюэна. Аналогичные процессы происходят при взаимодействии света с волнами различной природы, распространяющимися в среде. При распространении мощного лазерного излучения через среду, вызванная им нелинейно-оптическая модуляция показателя преломления является причиной генерации гармоник, суммарных и разностных частот оптических излучений, участвующих в процессе.

Процессы генерации на комбинационных частотах со, при пространственно-временной модуляции параметров среды, обусловленной волнами различной природы, идут наиболее эффективно в случае выполнения условий к^-к±пкт, названными условиями фазового синхронизма. Здесь кг волновой вектор генерируемой волны, кт — волновой вектор волны модуляции, к - волновой вектор преобразуемой волны, которая распространяется в немодулированной среде. В средах с дисперсией эти соотношения не всегда выполняются одновременно. В отсутствии фазового синхронизма взаимодействие происходит менее эффективно, но всегда предполагается, что частоты генерируемых волн соответствуют комбинационным частотам, а условия фазового синхронизма могут не выполняться Вместе с тем, в волновое уравнение, являющееся основой для описания процессов взаимодействия волн, временные и пространственные координаты входят равноправно, и асимметрия пространственного и временного спектра генерируемого излучения не является следствием принципиально физической природы явления, а может быть связана с условиями наблюдения. Последнее, как правило, находит отражение при математической формулировке задачи в виде начальных и граничных условий.

Существует несколько экспериментальных работ, в которых наблюдались дополнительные к комбинационным частоты при нелинейно-оптическом взаимодействии волн, появление которых не нашло достаточно убедительного объяснения. В дальнейшем эти частоты будем называть некомбинационными. Неадекватность математических моделей явления генерации некомбинационных частот, и не ясность его физических механизмов вызывает определенные сомнения в правильности интерпретации результатов измерений, полученных на основе методик, имеющих большое прикладное

значение. Кроме того, выяснение механизмов появления некомбинационных частот имеет и большое значение, с точки зрения фундаментальной науки. Сказанное выше, в достаточной мере обосновывает актуальность исследований, приведенных в диссертации.

Научная проблема. На данный момент существует только одна математическая модель появления некомбинационных частот в процессах параметрического взаимодействия волновых пакетов в среде с дисперсией, где рассматривались нерезонансные процессы взаимодействия импульсов только прямоугольной формы. Необходимо доработать существующую модель и построить математическую модель появления некомбинационных частот в процессах параметрического взаимодействия волновых пакетов произвольной формы в среде с дисперсией для резонансных процессов взаимодействия.

Объект исследования - математическая модель взаимодействия волновых пакетов в нелинейной среде с дисперсией.

Предмет исследования - влияние граничных и начальных условий на спектр частот генерации при взаимодействии волновых пакетов.

Цель исследований: построение математической модели взаимодействия волновых пакетов в нелинейной среде с дисперсией, описывающей генерацию некомбинационных частот для нерезонансных и резонансных взаимодействий и сопоставление результатов с имеющимися экспериментальными данными.

При достижении этой цели решались следующие задачи:

- Доработка моделей нерезонансного взаимодействия волновых пакетов и сопоставление результатов с имеющимися экспериментальными данными;

- Разработка моделей резонансного взаимодействия волновых пакетов в нелинейной среде;

- Исследование влияния когерентности на эффективность генерации некомбинационных частот;

- Исследование влияния формы импульса на эффективность генерации некомбинационных частот.

Основная идея: заключается в учете движения области нелинейного взаимодействия, связанной с волновым пакетом модуляции. Движение области генерации приводит к отличию комбинационных частот от некомбинационных частот на величину доплеровского сдвига.

Методы исследования. Математические модели строились на основе укороченного волнового уравнения, в приближении заданного поля, и интегрального подхода, основанного на интерференции полей, испускаемых всеми точками области нелинейного взаимодействия. Основные результаты:

- Математическая модель генерации некомбинационных частот в случае нерезонансного взаимодействия волновых пакетов со средой, хорошо согласуется с экспериментальными данными;

- Построена модель резонансного взаимодействия волновых пакетов в нелинейной среде;

1

5

-«•*•*>(» * I

,,» ш «о

I

- При наличии резонанса излучения накачки со средой, возникновение некомбинационных частот обусловлено когерентным возбуждением молекулярных колебаний, в отсутствии когерентных молекулярных колебаний генерация идет только на комбинационных частотах;

- В пренебрежении движением заселенностей при резонансном взаимодействии наличие времени релаксации, большего или равного длительности импульса модуляции, приводит к уменьшению амплитуды, генерируемого излучения.

Научная новизна:

- Впервые, на основе построенных моделей дано объяснение наблюдавшихся ранее в экспериментах частот отличных от частоты второй гармоники при ее генерации вблизи направления синхронизма;

- Показана возможность генерации некомбинационных частот для случая резонансного взаимодействия волновых пакетов со средой;

- Показано, что некомбинационные частоты возникают только при когерентном возбуждении колебательного перехода молекул среды;

- На основе построенных математических моделей генерации некомбинационных частот в случае нерезонансного и резонансного взаимодействия волновых пакетов со средой показано, что максимальная эффективность генерации достигается при выполнении приближенного равенства ЛкЬ « 2ж.

Значение для теории. Развит подход, позволяющий уточнить спектр генерируемых частот при нестационарном взаимодействии волн в нелинейной среде.

Значение для практики. Результаты работы могут быть использованы в интерпретации результатов экспериментов по исследованию спектра частот, возникающих при параметрическом взаимодействии волновых пакетов с веществом.

Достоверность полученных результатов, подтверждается корректным использованием математического аппарата, совпадением полученных результатов в предельных случаях с известными результатами, полученными в других работах, а также хорошим соответствием с имеющимися экспериментальными данными.

Рекомендации по использовании результатов диссертации. Результаты диссертации применимы для описания взаимодействия волновых пакетов в нелинейной среде с дисперсией если размеры среды больше длины импульса. Они могут быть использованы в ИФ СО РАН, институте Оптики Атмосферы СО РАН, институте спектроскопии РАН, а также в других научных учреждениях, занимающихся изучением распространения сверхкоротких световых импульсов в веществе.

Личный вклад. Основные результаты, выносимые на защиту, получены лично автором. Автором также выполнено подтверждение модели генерации некомбинационных частот, в случае нерезонансного взаимодействия волновых пакетов со средой.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационных исследований докладывались на международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (16—21.08.2001, г. Красноярск), на всероссийской конференции студентов физиков и молодых ученых (ВНКСФ-9) (28.03—3.04.2003, г. Красноярск), на Ставеровских чтениях (12.04.2001, 3.04.2003, г. Красноярск).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 научных работ, из которых: 1 статья в сборнике трудов международной конференции, 3 статьи в сборниках научных трудов, 1 статья в электронном журнале, 3 работы в межрегиональных конференциях, 1 работа в трудах всероссийской студенческой конференции.

Общая характеристика диссертации. Диссертация состоит из 4 глав, содержит основной текст на 125 е., 39 иллюстраций, 1 таблицу, список использованных источников из 114 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность, основные принципы построения модели для адекватного описания экспериментальных данных, сформулирована цель работы и ее основные задачи.

В главе 1 проводится краткий обзор работ, посвященных экспериментальному исследованию генерации излучения и построению математических моделей, описывающих нелинейно-оптические явления. В результате анализа представленных в обзоре работ сформулированы цель и задачи исследований.

Глава 2 посвящена обоснованию выбора и уточнению моделей, описывающих взаимодействие волновых пакетов в нелинейной среде с дисперсией. Приводится описание двух математических моделей: нерезонансное взаимодействие (частоты, участвующих в процессе волн, и их комбинации не равняются собственным частотам среды) и резонансное взаимодействие волновых пакетов в среде.

В нерезонансном случае уравнение для амплитуды —

генерируемой волны на частоте а>5 в лабораторной системе координат, для распространяющихся вдоль оси 2 плоских волн в приближении медленно меняющихся амплитуд для генерируемого излучения и заданного поля для излучений накачки, имеет вид:

дг V, Зг

: Д, (г - - V. {1}

Здесь Am(z ~vmt), A(z — vt) - амплитуды волн накачки, - модуляции и преобразуемой волны, соответственно, - волновые векторы, частоты

и групповые скорости взаимодействующих полей;

er, =2ft(ü)j +cokY/{kjC2} - коэффициент нелинейной связи; с -

(2) - -скорость света; X, ~ компонента тензора нелинейной восприимчивости

второго порядка. Уравнение (1) описывает поведение амплитуды генерируемой волны (выражение в левой части), источником которой является волна нелинейной поляризации (выражение в правой части), испускающая свет на комбинационной частоте О — (От + (О, и имеющая волновой вектор К = к+к.

ТП

Выражение (1) справедливо в случае, когда частоты всех взаимодействующих волн, а также их комбинации далеки от всех резонансов со средой, поэтому нелинейный отклик среды считается мгновенным и локальным во времени.

Для резонансного случая, в оговоренных выше приближениях, связь между амплитудой генерируемого излучения As(z — vst) и амплитудой колебаний молекул Q, описывается следующей системой линейных уравнений:

dt t2j

d_ + J_d_

dz v, dt

у, ¿„^e'K--(2)

\

(3)

Здесь 7*2 - время релаксации фазы молекулярных колебаний, ю0 - частота колебаний молекул среды, уч = а'/(4та>а), а' - константа для данной среды, тп - эффективная масса ядер в молекуле, V, - групповая скорость генерируемой волны, у, =яЛгог'«1/(ги1с), N - плотность молекул, п! -показатель преломления генерируемой волны на частоте . Время релаксации Т2 принято называть временем дефазировки; оно служит мерой скорости затухания когерентности амплитуды (), обусловленного столкновениями и другими механизмами. Система уравнений (2) - (3) записана в пренебрежении движением заселенностей для состояния, близкого к равновесному, пк (пк -разность заселенностей между основным состоянием и первым колебательным состоянием, нормированная на ее равновесное значение). Это означает, что молекулы находятся в невозбужденном состоянии, на нижнем энергетическом уровне.

Главной целью 2-ой главы является рассмотрение модели генерации излучения в нерезонансном случае трехфотонного взаимодействия волн (рис. 1.а), с использованием уравнения (1) и интерпретация результатов экспериментальных работ других авторов, на ее основе. Для определенности,

амплитуды полей, участвующих во взаимодействии, заданы следующим образом: амплитуда поля на частоте (О постоянна и излучение непрерывно, амплитуду модулирующего поля О) т , в виде прямоугольного импульса

длительностью г и длиной ¿ = , здесь V т - групповая скорость импульса модулирующего поля (импульс модуляции) (рис. 1.6). Процессы взаимодействия волн рассматриваются на расстояниях, от начала нелинейной среды больших, чем групповая длина: 2 > ^ =\п,тУ1/Ь'г При

выполнении этого условия можно не учитывать волны, возникшие при прохождении импульса модуляции границы среды.

Решение уравнения (1) зависит от условий, заданных на границах импульса модуляции. Для упрощения задачи выполняется переход из лабораторной системы координат в подвижную систему, связанную с импульсом модуляции с помощью преобразования Галилея:

£ = = (4)

В подвижной системе координат, связанной с импульсом модуляции, решение, в области ограниченной этим импульсом, не зависит от времени, следовательно, производная по времени равна нулю и выражение (1) принимает следующий вид:

— а {£ ¿'ук«"'= / д-а

(5)

Поскольку ни граничные условия, ни амплитуды волн накачки Ат, А в движущейся системе координат, с учетом оговоренных выше условий, не зависят от времени, то и решение от времени так же не зависит. Последнее означает, что частотные коэффициенты, стоящие при времени /' в экспонентах правой и левой частей уравнения (5) так же должны быть равны:

О», -)=К. + а)-(кт+к);т. (6)

Данное равенство означает, что частоты в подвижной системе отличаются от частот в лабораторной системе на величину доплеровского сдвига к,ут и (кя +*>>„.

Из (6) легко получить выражение для аг:

(О

К

А АЛ/У

У1 I 2

а) б)

Рис 1 а) Схема трехфотонного взаимодействия б) Схема распространения взаимодействующих вола в среде.

/ ч + <у) - (кт + ¿V,

которая отлична от комбинационной частоты при Лк 1=0, здесь Лк — кт + к - к5 - волновая расстройка, кг = п{саг)о)г / с, и(й^) - показатель преломления света, зависящий от частоты излучения. Частоту со3 в дальнейшем будем называть некомбинационной.

Запишем решение уравнения (5) с учетом вышесказанного и с учетом граничных условий. В случае V, > ут генерируемое поле опережает поле

модуляции и на заднем фронте импульса модуляции амплитуда = 0)

равна нулю, решение имеет вид:

-АтА{е-Ш4~ О-

(8)

Лк V, - ут

Я щ

В случае vl < ут генерируемое поле опережает поле модуляции и на переднем фронте импульса модуляции амплитуда = Ь) равна нулю, решение имеет

вид:

(9)

Выражение для напряженности электрического поля Е3{г,{) для обоих случаев в лабораторной системе в пределах импульса модуляции имеет вид:

V

Таким образом, в лабораторной системе координат генерируемое поле Е3 (г, представляет собой сумму двух полей с одинаковьши амплитудами, но отличающимися значениями волнового вектора и частоты. Одно слагаемое имеет волновой вектор и частоту, равные волновому вектору и частоте нелинейной поляризации. Другое слагаемое представляет собой собственную для данной среды волну, частота которой определяется соотношением (7), а соответствующий этой частоте волновой вектор связан с ней соотношением К =п{а>,)а>,1с.

Выражение для напряженности электрического поля генерируемой волны Е3 (г, {) для обоих случаев в лабораторной системе вне импульса модуляции имеет вид:

а

Лк

и содержит только одну спектральную компоненту на частоте а),.

Таким образом, в лабораторной системе координат на выходе из нелинейной среды спектр генерируемого излучения будет содержать две

компоненты: комбинационную со! = сот + а>, и некомбинационную, определяемую соотношением (7), которая зависит от дисперсионных свойств среды.

Рассмотрен также и интерференционный подход, основанный на суммировании излучения на комбинационной частоте, обусловленного нелинейной поляризацией по области, связанной с движущимся импульсом модуляции. В результате интегрирования, с учетом поставленных условий на подвижной границе (передний и задний фронт импульса модуляции), получено выражение для некомбинационной частоты, полностью совпадающее с выражением (7). Выражения для амплитуды генерируемого поля совпадают с точностью до коэффициента пропорциональности.

В работе проводится сравнение теоретических значений частот генерируемого излучения (выражение (7)) с экспериментальными данными, полученными в работах других авторов, в которых наблюдались частоты, дополнительные к частотам второй гармоники. В этих работах приведены результаты исследования, с использованием кристаллов йодата лития, КОР (появление добавочной компоненты при отклонении кристалла от направления синхронизма) и ниобата лития (появление добавочной компоненты при изменении температуры кристалла). Длины волны модулирующего и преобразуемого лазерного излучения равны лт = Л, = ] .06 мкм. Кристаллы вырезаны в направлении синхронизма (йодат лития — под углом 30°, тип синхронизма о-о—>е, ЮЭР - 42.2°, тип синхронизма о-о - >е и 59.2°, тип синхронизма о-е—>е, ниобат лития - тип синхронизма о-о-»е). Результаты сравнения приведены на рисунке 2.

Для кристалла ЮЭР, вырезанного под углом 59.2° к направлению синхронизма (тип синхронизма о-е—>е), в эксперименте наблюдали две перестраиваемые спектральные компоненты. Расчеты по формуле (7), также дают значения для двух спектральных компонент, которые хорошо согласуются с экспериментом (см. рис 2.6). Одна из спектральных компонент соответствует групповой скорости импульса модуляции обыкновенной компоненты (у°(<9 = 42.2°)=1.967х1010 см/с, на рисунке 2.6 отмечена плюсами), другая -необыкновенной (^{в-59.2о)=2.02х10ш см/с, на рисунке 2.6 отмечена крестиками). Из-за различия зависимостей групповых скоростей от типа волн, левая и правая части выражения (7) достигают равенства при значениях некомбинационной частоты либо больших, либо меньших, чем частота второй гармоники.

Проведено так же сравнение ранее экспериментально полученной зависимости интенсивности излучения на некомбинационной частоте от длины волны, с зависимостью полученной на основании выражений (10) и (11). Результаты сравнения подтверждают справедливость выбранной модели.

В работе получено оценочное соотношение, для сравнения энергии генерируемого излучения на некомбинационной частоте с энергией генерируемого излучения на комбинационной частоте в полосе частот

т,"с

а)

б)

в)

Рис. 2. а) Зависимость длины волны добавочной компоненты от угла поворота

кристалла при ГВГ в кристалле йодата лития (тип синхронизма о-о—>е) (-) -

теоретические расчеты, (+++) - экспериментальные данные, б) Зависимость длины волны добавочной компоненты от угла поворота кристалла при ГВГ в кристалле КВР (в =59 2°. тип

синхронизма о-е—>е). (•••) (ооо) - экспериментальные данные. (-) - частота, полученная

по формуле (7) для обыкновенного луча, (---) - для необыкновенного луча в) Зависимость

длины волны добавочной компоненты от температуры кристалла ниобата лития. (+-Н-)-теоретические расчеты, (•••) - экспериментальные данные.

со 5 ± Л со/2 (здесь а>1 - некомбинационная частота, Лео = 1/г - спектральная ширина импульса модуляции) в зависимости от длины нелинейной среды I и Ь = ух :

/я

ч2

Ж, /

к \

_1_

гЯ 1

/ ) 8ж

(12)

Из (12) следует, что энергия волны на некомбинационной частоте больше энергии волны на комбинационной частоте в случае выполнения неравенства

Таким образом, рассмотренная математическая модель генерации некомбинационных частот хорошо описывает имеющиеся экспериментальные данные. Но на практике чаще приходится иметь дело с резонансными процессами, следовательно, следующей задачей диссертации является построение математической модели взаимодействия волновых пакетов в нелинейной среде с дисперсией при наличии резонанса.

В главе 3 рассматривается процесс параметрического смешения частот с целью построения математической модели генерации волн на некомбинационной частоте при наличии резонанса. Схема взаимодействия изображена на рис. З.а (четырехфотонное взаимодействие). Пусть в среду, состоящую из молекул с частотой колебательного перехода а>0, входит импульс

излучения с частотой а>т и амплитудой Лт(г - у(л/). В среде распространяется так же непрерывное излучение с амплитудой А(г - V/) и частотой со, которое представляет собой стоксову компоненту рассеянного излучения на колебаниях среды. Поля на частотах а>т и со приводят к когерентному возбуждению молекулярных колебаний = 0(г, ?)ехрг'(й>00, модулирующих

восприимчивость среды, здесь д — обобщенная координата. Волна накачки с частотой ют и среда, восприимчивость которой модулирована с частотой сап, создают поляризацию на частоте антистоксовой компоненты (рис. З.а):

сот=а>, =а>я+а)0=2а)т-а>. (13)

Данная поляризация является источником излучения, амплитуда которого А, (г - V,/) меняется при распространении через среду.

Рассмотрение проводится на основе системы уравнений (2) - (3). Для упрощения рассмотрения предполагается, что Ат(г-у„г) - представляет собой импульс прямоугольной формы с длительностью г (волна модуляции), а поле на частоте со — непрерывно и задано (преобразуемая волна). Волны распространяются в положительном направлении оси 2 (рис. З.б).

Аналогично нерезонансному взаимодействию, решение уравнений (2) и (3) в подвижной системе координат, связанной с импульсом модуляции, определяется следующим равенством:

о. =(2 Ф„-а>)-АЬ„ = к ■ > \ - (И)

Здесь - генерируемая частота, которая отлична от комбинационной частоты при М*О, Ак = 2кт — к —к3 (к} = п(а>г)а>г 1с ).

Решение (2) для колебаний молекул в подвижной системе координат, с учетом начальных условий ((){£ = Ь)= 0) выглядит следующим образом:

Я = ГчЛтА Т2 здесь к0=кт+к.

и (е-*-4)

1 - ехр

2 у

е>„

а

<о„

0)п

а) б)

Рис. 3. а) Схема четырехфотояного взаимодействия, б) Схема распространения взаимодействующих волн в среде с возбуждением колебаний молекул среды.

Решение (3) для амплитуды генерируемой волны в случае у,>у„, имеет вид:

1йк ¡Ак - \

v„Г1

1-ехр

\\

))

.(16)

Здесь К = Уч7А1А * /(у, - уи ).

Выражение (16), с учетом равенства Ь = гут, для амплитуды генерируемого поля в лабораторной системе координат имеет вид.

¿О-ехр {-гАк{г-ут1)))-

ехр(-г/Г2)

¡¿к-1/утТ2

1-ехр

2

- — ¿Ак

//у

(17)

Напряженность электромагнитного поля генерируемой волны в пределах импульса модуляции и вне импульса модуляции определяется следующими равенствами, соответственно:

/V Т

2 V

= ^ ехр(г(ю1/ - х 1

¡Лк ¡Ак- У

(18)

• (19)

ЛЛ

В лабораторной системе координат, аналогично предыдущему случаю, генерируемое поле Е, (г, () в пределах импульса модуляции представляет собой сумму двух полей с одинаковыми амплитудами, но отличающимися значениями волнового вектора и частоты (18). Одно слагаемое имеет волновой вектор и частоту, равные волновому вектору и частоте нелинейной поляризации. Другое слагаемое представляет собой собственную для данной среды волну, частота которой определяется соотношением (14), а соответствующий этой частоте волновой вектор связан с ней соотношением к5 = п(й)5 )со5 / с. Вне импульса модуляции, согласно рассмотренной модели, генерируемое излучение представляет собой одно поле на частоте (05 (см. (14)).

Качественное отличие выражений (18) и (19), описывающих поведение А3 в резонансном случае, от выражений (10) и (11), соответствующим

нерезонансному случаю заключается в наличии второго члена, пропорционального ехр(-т/Г2). Физически, наличие этого члена означает возбуждение молекулярных колебаний под действием полей накачки Ат и А, и отражает временную нелокальность отклика резонансной среды. Очевидно, что при выполнении условия Т2 «г (длительность импульса много больше времени релаксации) выражения (18) и (19) с точностью до коэффициента пропорциональности переходят в (10) и (11).

Рассмотрен также процесс генерации некомбинационной частоты с помощью интерференционного подхода с учетом резонансного взаимодействия со средой в условиях, аналогичных рассмотренным во второй главе. В результате интегрирования, с учетом поставленных условий на подвижной границе (передний и задний фронт импульса модуляции), получено выражение для некомбинационной частоты, полностью совпадающее с выражением, полученным ранее. Выражения для амплитуды генерируемого поля с точностью до коэффициента пропорциональности также совпадают.

Проведено исследование влияния когерентности молекулярных колебаний на эффективность генерации некомбинационных частот. Показано, что при некогерентных молекулярных колебаниях излучение на некомбинационных частотах отсутствует.

Основные результаты 3-й главы сформулированы следующим образом: построена математическая модель генерации некомбинационных частот в случае резонансного взаимодействия со средой волновых пакетов. В отличие от нерезонансного взаимодействия, в резонансном взаимодействии некомбинационные частоты генерируются только в случае когерентного колебания молекул среды. Если время релаксации молекулярных колебаний много меньше длительности импульса модуляции, то можно говорить о резонансном случае как о нерезонансном. Если время релаксации молекулярных колебаний много больше или равно длительности волны модуляции, то можно так же рассматривать резонансный случай как нерезонансный, но с импульсом модуляции, у которого передний фронт сглажен.

В главе 4 исследовалось влияние формы импульса на эффективность генерации, как в нерезонансном, так и в резонансном случае. Очевидно, что использовавшееся в предыдущем рассмотрении приближение прямоугольного импульса позволяет получить значение 0)2, однако амплитуда генерируемой волны АI зависит от вида Ат. Для анализа влияния формы импульса волны модуляции на Л,, рассмотрим функцию которая описывает импульс

модуляции в движущейся системе, и имеет нулевое значение амплитуды на переднем фронте импульса и на заднем Ат (0) = Ат (ь) = 0:

= (20)

од

здесь В = -IаАу1/(у3 -V,,!)- коэффициент пропорциональности.

В) Г)

Рис. 4. Нерезонансное взаимодействие, а) Графики зависимости амплитуды волны модуляции от координаты; б) Графики зависимости амплитуды генерируемой волны от координаты, в) Нормированная зависимость амплитуды генерируемого излучения от длины импульса Ь \ г) Нормированная зависимость амплитуды генерируемого излучения от

волновой расстройки Лк. Импульс с косинусоидной огибающей (--), импульс с

несимметричной косинусоидной огибающей (--), импульс с параболической огибающей

(----), импульс в форме кривой Гаусса для ч> = 1 (•••), прямоугольный импульс

(-). тп= 3.557х10,5Гц, и = 1.33, г = Ю-12с ¿ = 0.022 см, Ут=2.21хЮ10

см/с,

о-« А V* /(?, - У=1. Киш* = 1. -А = 1000 см-'

210

1.5-10

110°

5-10

210

1.5-10° -

1-10"

5 10 ' -

а)

410

2-10

б)

А,(Дк)

110

510

В) г)

Рис. 5. Резонансное взаимодействие а) Графики зависимости амплитуды генерируемой волны от координаты (генерируемая волна опережает волну модуляции); б) Графики зависимости амплитуды генерируемой волны от координаты (генерируемая волна отстает от волны модуляции); в) Нормированная зависимость амплитуды генерируемого излучения от длины импульса Ь; г) Нормированная зависимость амплитуды генерируемого

излучения от волновой расстройки Лк. Импульс с косинусоидной огибающей (-),

импульс с несимметричной косинусоидной огибающей (--), импульс с параболической

огибающей (----), прямоугольный импульс (»••). 0)т =3.557x1015 Гц, я = 1.33,

г = НГ12с, ¿ = 0.022 см, \т =2.21x10'° см/с, УЧГшТгАгтА'^ vas-vm) = \, А^ = 1 ,Ак = 1000 см1, Тг = 10^ с.

Предполагали, что Ат (£) медленная функция по сравнению с , т.

е. Ак4 » Ь, после интегрирования по частям (20) записывается следующим образом:

1

{-¡¿к)

(21)

Аналогично, для исследования влияния формы импульса на эффективность генерации, в случае резонансного взаимодействия, правую часть выражения (3) в подвижной системе координат представили в следующем виде:

\*тТ2 )

(22)

здесь В = учу5А'тА*Тгч!1{у! -vm). Для упрощения задачи в общем случае полагали поведение молекулярных колебаний соответствующее импульсу модуляции прямоугольной формы А'т.

В приближении Ак^ » Ь, после интегрирования по частям, решение выражения (21) представлено в следующем виде:

г Г е-1- >

4=0

1

1

."„Г,

А (*)

.(23)

Из выражений (21) и (23) видно, что амплитуда генерируемого излучения будет меньше, чем в случае прямоугольной формы импульса модуляции, так как, согласно условию Ая (0) = Ат (Ь) = 0, нулевой член будет равен нулю, а все последующие будут меньше.

Далее в работе проводится анализ полученных результатов и эффективности генерации для следующих форм импульса модуляции: Импульс с косинусоидной огибающей

Импульс с несимметричной косинусоидной огибающей

1.088x1

Импульс с параболической огибающей / . - -чгЛ

-¿И \ 4 ' /

= А„

, 0<£<£;

. 4£

I) Ь

(24)

(25)

0<£<1; (26)

Импульс в форме кривой Гаусса

~ 0<£<1. (27)

Здесь Ат0 = 1 - максимальное значение амплитуды импульса модуляции, где

А = Ат/{ек -1), лм - параметр, определяющий ширину импульса.

Снижение эффективности генерации объясняется интерференцией излучения, генерируемого различными участками импульса. В случае прямоугольного импульса модуляции максимальное значение амплитуды не меняется с увеличением длительности импульса. При переходе к импульсу с плавной огибающей наблюдается снижение эффективности Причем на больших длительностях импульса модуляции снижение происходит значительнее. Максимальное значение генерации для импульсов непрямоугольной формы наблюдается при приближенном выполнении соотношения АкЬ ~ 1п (см. рис. 4,5).

Из представленных зависимостей (см. рис. 4, 5), наиболее эффективная генерация идет в случае параболической формы импульса, так как первая производная не равна нулю. Приблизительно одинаковая эффективность генерации для импульсов косинусоидной и несимметричной косинусоидной формы. При АкЬ < 2л эффективность больше для симметричной формы. При ДкЬ > 2/г эффективность сильно уменьшается из-за интерференции генерируемых волн, но на несимметричный импульс она влияет слабее и там эффективность становится больше.

Заключение

1. Дано объяснение наблюдавшегося ранее в экспериментах появления некомбинационных частот при генерации второй гармоники вблизи направления синхронизма в поле пикосекундных лазерных импульсов.

2. Физическая интерпретация наличия некомбинационных частот связана с Доплеровским сдвигом частот взаимодействующих волн, возникающим при движении области нелинейного взаимодействия с групповой скоростью волны модуляции.

3. Проведено сравнение экспериментальных данных с данными, полученными с помощью рассмотренной модели. Хорошее согласие теории с экспериментом подтверждает правомерность выбранной модели.

4. Получено оценочное соотношение для сравнения энергии генерируемого излучения на некомбинационной частоте с энергией генерируемого излучения на комбинационной частоте.

5. Построена математическая модель генерации некомбинационных частот в условии резонансного взаимодействия распространяющихся волновых пакетов в нелинейной среде с дисперсией на основе дифференциальных уравнений и на основе интегрального подхода.

6. Некомбинационные частоты генерируются только в случае когерентных колебаний молекул среды, в случае некогерентных колебаний излучение на некомбинационной частоте отсутствует.

-И 2^-1

7. Выражение для генерируемой частоты для резонансного взаимодействия совпадает с выражением для нерезонансного взаимодействия.

8. В случае, когда время релаксации молекулярных колебаний больше или равно длительности импульса, резонансное взаимодействие можно рассматривать как нерезонансное, но с импульсом модуляции, у которого передний фронт сглажен.

9. При переходе от прямоугольной формы импульса модуляции к гладкой непрямоугольной происходит снижение эффективности генерации излучения на некомбинационной частоте.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Закарлюка, А. В. Спектр частот генерации при четырехволновом нелинейнооптическом резонансном взаимодействии волновых пакетов / А. В. Закарлюка, В. В. Слабко // Математические модели и методы их исследования. Труды междунар. конф, т. 1./ Под ред. В.К.Андреева и Ю. В. Шанько. — Красноярск: Институт вычислительного моделирования СО РАН, 2001. — С. 243—247.

2. Закарлюка, А. В. Влияние формы импульса накачки на амплитуду излучения при параметрической генерации некомбинационных частот / А. В. Закарлюка, В. В. Слабко // Вестник красноярского регионального отделения Сибирской Академии наук высшей школы. / Под ред. С. А. Подлесного. — Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2003. — вып. 10, С. 6—11.

3. Закарлюка, А. В. Эффективность генерации спектральных компонент при параметрическом нестационарном взаимодействии волн для различных форм импульса / А. В. Закарлюка // Вестник НИИ СУВПТ. / Под ред. Н. В. Василенко. — Красноярск: НИИ СУВПТ, 2003. — вып. 14, стр. 241—248.

4. Закарлюка, А. В. Оценка и сравнение энергий спектральных компонент при параметрическом нестационарном взаимодействии волн / А. В. Закарлюка// Информатика и системы управления: межвуз. сб. науч. тр. / Отв. ред. С. А. Бронов. — Красноярск: ГУ НИИ ИПУ КГТУ, 2004. — вып. 10, стр. 132—136.

5. Закарлюка, А. В. Зависимость амплитуды спектральных компонент от формы импульса при параметрическом нестационарном взаимодействии волн /

A. В. Закарлюка// Электронный журнал «Исследовано в России», 219, стр. 2549—2554,2003 г. http://zhurnal.ape.relam.ru/articles/2003/219.pdf

6. Закарлюка, А. В. Генерация некомбинационного излучения. Высокоэнергетические процессы и наноструктуры / А. В. Закарлюка,

B. В. Слабко // Ставеровские чтения: материалы межрегиональной конф. / Отв. ред. В. В. Слабко. — Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2001. — С. 84.

7. Закарлюка, А. В. Нелинейнооптическое резонансное взаимодействие волновых пакетов/ А. В. Закарлюка// Ставеровские чтения: материалы межрегиональной конф. / Отв. ред. В. В. Слабко. — Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2002. —С. 26.

8. Закарлюка, А. В. Моделирование генерации некомбинационных частот в параметрических процессах / А. В. Закарлюка // Решетневские чтения:

р - 8 8 7 в

Тез. докл. VI Всерос. науч. конф., проводимой в составе 2-го Междунар. Сибир. авиац.-космич. салона «САКС-2002» (11—14 нояб. 2002, г. Красноярск)/ СибГАУ. —Красноярск, 2002, С. 140—141.

9. Закарлюка, А. В. Анализ спектра комбинационных и некомбинационных частот при нестационарном взаимодействии волн в диспергирующих средах / А. В. Закарлюка // Сборник тезисов Девятой Всерос. науч. конф. студентов-физиков и молодых ученых (28.03.—3 04. 2003, г. Красноярск) / Тезисы докладов: В 2 т. Т. 1. —/ Екатеринбург-Красноярск: издательство АСФ России, 2003, С. 532—533.

РНБ Русский фонд

2006-4 14756

Закарлюка Алексей Васильевич

Моделирование спектра генерируемых частот при нелинейном взаимодействии волновых пакетов с учетом граничных условий Автореф. дисс. на соискание учёной степени кандидата физ.-мат. наук. Подписано в печать 05.05.2005. Заказ Na ЮЪ. Формат 60*90/16. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Типография Красноярского государственного технического университета

Оглавление.

Введение.

Глава 1. Обзор литературы.

Глава 2. Взаимодействие волновых пакетов в нелинейной среде с дисперсией в отсутствии фазового синхронизма. Нерезонансное взаимодействие.

2.1. Основные математические модели.

2.1.1. Нерезонансное взаимодействие.

2.1.2. Резонансное взаимодействие.

2.2. Влияние граничных условий на частоту генерируемой волны. Рассмотрение на основе дифференциальных уравнений.

2.2.1. Граничные условия.

2.2.2. Начальные условия.

2.2.3. Граничные условия типа Коши.

2.2.3.1. Постановка задачи.

2.2.3.2. Выбор и обоснование физической модели для решения задачи Коши.

2.2.3.3. Анализ решения.

2.3. Влияние граничных условий на частоту генерируемой волны. Интерференционный механизм.

2.4. Сравнение теоретических данных, по предложенной модели, с экспериментальными данными и с теоретическими, по альтернативным моделям.

2.4.1. Сравнение теоретических и экспериментальных данных по генерации некомбинационных частот вблизи направления синхронизма для генерации второй гармоники.

2.4.1.1. В йодате лития.

2.4.1.2. В KDP.

2.4.1.3. В ниобате лития.

2.4.2. Анализ альтернативных моделей.

2.4.2.1. Взаимодействие по схеме сот +сот =cos.

2.4.2.2. Взаимодействие с участием пикосекундного континуума.

2.4.3. Сравнение энергий волн на комбинационной частоте и некомбинационной частоте.

2.4.3.1. Энергия генерируемой волны на некомбинационной частоте.

2.4.3.2. Энергия генерируемой волны на комбинационной частоте.

2.4.3.3. Сравнение энергий.

Актуальность проблемы. Периодическая модуляция параметров колебательной системы приводит к возникновению в спектре колебаний компонент, частоты которых являются линейной комбинацией частоты собственных колебаний и частот, кратных частоте модуляции. В случае, когда размеры системы много меньше длины испускаемой ею волн, система называется системой с сосредоточенными параметрами, и в качестве единственной переменной задачи выступает время. Более сложная ситуация возникает тогда, когда выполняется обратное неравенство, и необходимо рассматривать, в качестве переменных задачи, и пространственные переменные. Так, временная модуляция линейной восприимчивости среды, связанная с внутренними движениями в атомах и молекулах вещества приводит к комбинационному рассеянию света. Периодическая пространственная модуляция параметров среды обуславливает возникновение в пространственном спектре волн Елоховских компонент. Временная и пространственная модуляция преломления, вызванная акустическими волнами, приводит к рассеянию Манделыитамма-Бриллюэна. Аналогичные процессы происходят при взаимодействии света, а так же других волн с волнами различной природы, распространяющимися в среде. При распространении мощного лазерного излучения через среду, вызванная им нелинейно-оптическая модуляция показателя преломления является причиной генерации гармоник, суммарных и разностных частот оптических излучений, участвующих в процессе.

Процессы генерации на комбинационных частотах cos при пространственно временной модуляции параметров среды, обусловленной волнами различной природы, идут наиболее эффективно в случае выполнения условий фазового синхронизма. ks=k±km.

Данное выражение совместно с соотношением на частоты представляют собой законы сохранения импульса и энергии в квантовой форме, соответственно. Здесь ks, соs - волновой вектор и частота генерируемой волны, кт, сот - волновой вектор и частота волны модуляции, к, со - волновой вектор и частота преобразуемой волны, которая распространяется в смодулированной среде.

В диспергирующих средах эти соотношения не всегда выполняются одновременно. В отсутствии фазового синхронизма взаимодействие происходит менее эффективно, но всегда предполагается, что частоты генерируемых волн удовлетворяют закону сохранения энергии, в то время клк закон сохранения импульса может не выполняться. Вместе с тем, в волновое уравнение, являющееся основой для описания процессов взаимодействия волн, временные и пространственные координаты входят равноправно, и асимметрия пространственного и временного спектра генерируемого излучения не является следствием принципиально физической природы явления, а может быть связана с условиями наблюдения. Последнее, как правило, находит отражение при математической формулировке задачи в виде начальных и граничных условий [1], [2].

Существует несколько экспериментальных работ, в которлх наблюдались дополнительные к комбинационным частоты при нелинейно-оптическом взаимодействии волн, появление которых не нашло достаточно убедительного объяснения. Неадекватность математических моделей явления генерации некомбинационных частот, и не ясность его физических механизмов вызывает определенные сомнения в правильности интерпретации результатов измерений, полученных на основе методик, имеющих большое прикладное значение. Кроме того, выяснение механизмов появления некомбинационных частот имеет и большое значение, с точки зрения фундаментальной науки.

Сказанное выше, в достаточное мере, обосновывает актуальность исследований, приведенных в диссертации.

В работах [1], [2] была предложена математическая модель появления некомбинационных частот в процессах параметрического взаимодействия волновых пакетов в диспергирующей среде, где рассматривались нерезонансные процессы взаимодействия когерентных волновых пакетов только прямоугольной формы.

Целью данной работы является: Построение математической модели взаимодействия волновых пакетов в нелинейной среде с дисперсией, описывающей генерацию некомбинационных частот для нерезонансных и резонансных взаимодействий и сопоставление результатов с имеющимися экспериментальными данными.

При достижении этой цели решались следующие задачи:

- Доработка моделей нерезонансного взаимодействия волновых пакетов и сопоставление результатов с имеющимися экспериментальными данными;.

- Разработка моделей резонансного взаимодействия волновых пакетов в нелинейной среде;

- Исследование влияния когерентности на эффективность генерации некомбинационных частот;

- Исследование влияния формы импульса на эффективность генерации некомбинационных частот.

Приведем краткое содержание глав диссертации.

Во введении обоснована актуальность, основные принципы построения модели для адекватного описания экспериментальных данных, сформулиров&'на цель работы и ее основные задачи.

5. Заключение

1. Дано объяснение наблюдавшегося ранее в экспериментах появления некомбинационных частот при генерации второй гармоники вблизи направления синхронизма в поле пикосекундных лазерных импульсов.

2. Физическая интерпретация наличия некомбинационных частот связана с Доплеровским сдвигом частот взаимодействующих волн, возникающим при движении области нелинейного взаимодействия с групповой скоростью волны модуляции.

3. Проведено сравнение экспериментальных данных с данными, полученными с помощью рассмотренной модели. Хорошее согласие теории с экспериментом подтверждает правомерность выбранной модели.

4. Получено оценочное соотношение для сравнения энергии генерируемого излучения на некомбинационной частоте с энергией генерируемого излучения на комбинационной частоте.

5. Построена математическая модель генерации некомбинационных частот в условии резонансного взаимодействия распространяющихся волновых пакетов в нелинейной среде с дисперсией на основе дифференциальных уравнений и на основе интегрального подхода.

6. Некомбинационные частоты генерируются только в случае когерентных колебаний молекул среды, в случае некогерентных колебаний излучение на некомбинационной частоте отсутствует.

7. Выражение для генерируемой частоты для резонансного взаимодействия совпадает с выражением для нерезонансного взаимодействия.

8. В случае, когда время релаксации молекулярных колебаний больше или равно длительности импульса, резонансное взаимодействие можно рассматривать как нерезонансное, но с импульсом модуляции, у которого передний фронт сглажен.

9. При переходе от прямоугольной формы импульса модуляции к гладкой непрямоугольной происходит снижение эффективности генерации излучения на некомбинационной частоте.

114

1. В. В. Слабко. Генерация некомбинационных частот при когерентномнестационарном параметрическом взаимодействии волн (Часть 1,2). Электронный журнал "Исследовано в Росси", 2001, т. 62, с. 688 695.

2. В. В. Слабко. Влияние граничных и начальных условий на спектр частотгенерации в нестационарных задачах нелинейной оптики. Математические модели и методы их исследования. Международная конференция, Красноярск 2001, т. 2, с. 195-201.

3. А. В. Закарлюка, В. В. Слабко. Спектр частот генерации причетырехволновом нелинейнооптическом резонансном взаимодействии волновых пакетов. Математические модели и методы их исследования. Международная конференция. Красноярск, 2001, т. 1, с. 243 247.

4. А. В. Закарлюка. Анализ спектра комбинационных и некомбинационныхчастот при нестационарном взаимодействии волн в диспергирующих средах. Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-9). Красноярск, 2003, т. 1, с. 532 533.

5. А. В. Закарлюка, В. В. Слабко. Генерация некомбинационного излучения.

6. Высокоэнергетические процессы и наноструктуры. Ставеровские чтения. Красноярск, 2001, с. 84.

7. А. В. Закарлюка. Нелинейнооптическое резонансное взаимодействиеволновых пакетов. Высокоэнергетические процессы и наноструктуры. Ставеровские чтения. Красноярск, 2002, с. 26.

8. Woodbury Е. J.,Ng W. К., Proc. IRE, 1962, vol. 50, p. 2367.

9. Eckhardt G. Et al. Stimulated Raman scattering from organic liquids. Phys. Rev.1.tt., 1962, vol. 9, № 11, p. 455-458.

10. В. Т. Платоненко, P. В. Хохлов. О механизме работы комбинационноголазера. ЖЭТФ, 1964, т. 46, № 2, с. 555 559.

11. А. М. Вельский, И. М. Гулис, К. А. Саечников. Лазер на основе ВКР сплавной перестройкой частоты излучения в видимой области при рассеянии на поляритонах. Квантовая электроника, 1994, т. 21, № 4, с. 371 -372.

12. А. М. Вельский, И. М. Гулис, К. А. Саечников. Дискретная и непрерывнаяперестройка в видимом диапазоне внутрирезонаторного ВКР на нелинейных кристаллах. Квантовая электроника, 1994, т. 21, № 8, 767 -768.

13. А. М. Иванюк, М. А. Тер-Петросян, П. А Шахвердов, В.Д.Беляев,

14. В. JT. Ермолаев, Н. П. Тихонова. Пикосекундные световые импульсы при внутрирезонаторном вынужденном комбинационном рассеянии на активном элементе неодимового лазера. Оптика и спектроскопия, 1985, т. 59, № 5, с. 950 952.

15. С. А. Вицинский, В. К. Исанов, С.Н.Карпухин, И. JI. Ловчий. ВКРизлучения лазера на парах меди в кристалле нитрата бария. Квантовая электроника, 1993, т. 20, № 12, с. 1155 1158.

16. А. Н. Арбатская, М. М. Сущинский. Исследования углового распределениявысших стоксовых компонент ВКР в бензоле, сероуглероде и нитробензоле. Журнал прикладной спектроскопии, 1975, т. 23, № 2, с. 228 2329.

17. В. Г. Беспалов, В. И. Макаров. ВКР-генерация антистоксового излучения вусловиях фазового квазисинхронизма. Оптика и спектроскопия, 2001, т. 90, №6, с. 1035- 1038.

18. А. И. Иванисик, В. И. Малый, Г. В. Понежа. Спектрально-угловыепроявления конкуренции комбинационных и параметрических процессов при ВКР в самофокусирующих средах. Оптика и спектроскопия, 1988, т. 85, № 3, с. 512 516.

19. А. И. Иванисик, В. И. Малый, Г. В. Понежа. О влиянии самофокусировкина угловые спектры ВКР. Оптика и спектроскопия, 1988, т. 85, № 1, с. 88 -94.

20. С. А. Ахманов, Б. В. Жданов, А. И. Ковригин, С. М. Першин. Эффективноевынужденное рассеяние в УФ области спектра и дисперсия усиления в диапазоне 1.06 0.26 мкм. Письма в ЖЭТФ, 1972, т. 15, № 5, с. 266 - 269

21. В. Г. Беспалов, Д. И. Стаселько, В. Н. Крылов, А. Ребанэ, У. Вилд, Д. Эрни,

22. О. Олликайнен. Структура спектров вынужденного комбинационного рассеяния в сжатом водороде. Возбуждение фемтосекундными импульсами света. Оптика и спектроскопия, 1997, т. 82, № 3, с. 421 426.

23. С. С. Букалов, Л. А. Лейтес. О так называемом «фоне» в спектрах КР.

24. Оптика и спектроскопия, 1984, т. 56, № 1, с. 10-12.

25. В. Н. Моисеенко, В. С. Горелик, Т. В. Швец, Б. Абусаль. О возможностикомбинационного рассеяния света с распадом падающего фотона на два фотона и фонон. Оптика и спектроскопия, 1999, т. 86, № 1, с. 77 79.

26. А. С. Cheung, D. М. Rank, R. Y. Chiao, С. Н. Townes. Phase mpdulation of Qswitched laser beams on small-scale filaments. Phys. Rev. Lett., 1968, vol. 20, № 15, p. 768-789.

27. N. Bloembergen, P. Lallemand. Complex intensity-dependent index ofrefraction, frequency broadening of stimulated Raman lines, and stimulated rayleigh scattering. Phys. Rev. Lett., 1966, vol. 16, № 3, p. 81 84.

28. P. Lallemand. Appl. Temperature variation of the width of stimulated Ramanlines in liquids. Phys. Lett., 1966, vol. 8, № 11, p. 276 279.

29. N. Bloembergen, P. Lallemand, A. Pine. IEEE J. Quantum Electr., 1966, QE-2,p. 246.

30. Д. И.Маш, В.В.Морозов, В. С. Старунов, И. Л. Фабелинский.

31. Вынужденное рассеяние света крыла линии Релея. Письма в ЖЭТФ, 1965, т. 2, № 1, с. 41 -45.

32. W. J. Jones, В. P. Stoicheff. Inverse Raman spectra: induced absorption atoptical frequncies. Phys. Rev. Lett., 1964, vol, 13, № 22, p. 657 659.

33. B. P. Stoicheff. Phys. Characteristics of stimulated Raman radiation generatedby coherent light. Lett., 1963, vol. 7, № 3, p. 186 188.

34. H. П. Андреева, А. Ф. Бункин, С. M. Першин. Деформация спектра КРС вольду Ih при локальном лазерном нагреве вблизи 0°С. Оптика и спектроскопия, 2002, т. 93, № 2, с. 269 — 273.

35. В. И. Емельянов, Н, И. Коротеев. Эффект гигантского комбинационногорассеяния света молекулами, адсорбированными на поверхности металла. Успехи физических наук, 1981, т. 135, № 2, с. 345 361.

36. И. Р. Набиев. Р. Г. Ефремов, Г, Д. Чуманов. Гигантское комбинационноерассеяние света и его применение к изучению биологических молекул. Успехи физических наук, 1988, т. 154, № 3, с. 459 496.

37. А. В. Феофанов, А. И. Януль, В. А. Олейников, И. Р. Набиев. Определениеметодом спектроскопии ГКР равновесных констант образования комплексов с ионами Mg2+ некоторых краун эфирных ионофоров. Оптика и спектроскопия, 1997, т. 82, № 3, с. 413 420.

38. Сверхкороткие световые импульсы. Под редакцией С. Шапиро. М.: "Мир",с. 188, 1981.

39. Н. И. Шамров. Генерация антистоксова излучения при усилении стоксовыхимпульсов в нестационарном вынужденном комбинационном рассеянии. Оптика и спектроскопия, 2002, т. 93, № 1, с. 102 109.

40. Р. Г. Запорожченко, С. Я. Килин, А. Г. Смирнов. Вынужденноекомбинационное рассеяние света в фотонном кристалле. Квантовая электроника, 2000, т. 30, № 11, с. 997 1001.

41. Н. И. Шамров. Флуктуации энергии стоксовых импульсов резонансногокогерентного ВКР. Квантовая электроника, 2000, т. 30, № 11, с. 986 909.

42. А. Я. Дадасян, В. В. Шкунов. Вынужденные рассеяния при импульснопериодическом возбуждении. Квантовая электроника, 1993, т. 20, № 8, с. 808-816.

43. В. Г. Беспалов, Ю. Н. Ефимов, Д. И. Стаселько. Влияние квантовыхфлуктуаций на спектр вынужденного комбинационного рассеяния. Оптика и спектроскопия, 1994, т. 76, № 5, с. 745 750.

44. К. Hakyta, М. Suzuki, М. Katsuragawa, and J. Z. Li. Self-Induced Phase

45. Matching in Parametric Anti-Stokes Stimulated Raman Scattering. Physical Review Letters, 1997, vol. 79, № 2, 209 219.

46. С. Б. Борисов, H. H. Дадоенкова, И. Л. Любчанский. КРС в магнитныхсверхрешетках. Оптика и спектроскопия, 1994, т. 76, № 6, с. 1030 1036.

47. С. Goldberg, J. Koplow, D. С. Lankaster, R. F. Gurl, F. K. Tittel. Mid-infrareddifference-frequency generation source pumped by a 1.1-1.5 pm dualwavelength fiber amplifier for trace-gas detection. Optics Letters, 1998, vol. 23,№ 19, 1517-1519.

48. А. А. Каминский, С. H. Багаев, Д. Гребе, Г. Эйхлер, А. А. Павлюк,

49. Р. Макдональд. Эффективная, многоволновая стоксова и антистокссза генерация комбинационно-параметрического лазера на основе тетрагонального кристалла NaLa(Mo04)2- Квантовая электроника, 1996, т. 23, №3, с. 199-201.

50. А. А. Каминский, Г. Й. Эйхлер, К. Уеда, П. Рейхе, Г. М. А. Гадд. Первоенаблюдение ВКР в тригональном кристалле LiCaAIF6. Квантовая электроника, 2000, т. 30, № 12, с. 1035 1036.

51. А. А. Каминский, А. В. Буташев, С. Н. Багаев, Г. Эйхлер, Д. Гребе,

52. Р. Макдональд. Наблюдение ВКР в лейкосапфире а-А120з. Квантовая электроника, 1977, т. 24, № 7, с. 629 630.

53. И. Б. Левинсон, И. Л. Максимов. Пороговые явления при комбинационномрассеянии света на поляритонах. Письма в ЖЭТФ, 1976, т. 23, № 1, с. 3.

54. В. А. Алекшевич, В. А. Выслоух, Я. В. Карташов. ВКР кноидальных волн.

55. Квантовая электроника, 2001, т. 31, № 4, с. 327-332.

56. П. Г. Зверев, Т. Т. Басиев, А. А. Соболь, В. В. Скорняков, Л. И. Ивлева,

57. Н. М. Полозков, В. В. Осико. Вынужденное комбинационное рассеяние в кристаллах щелочноземельных вольфраматов. Квантовая электроника,2000, т. 30, № 1, с. 55 -59.

58. Т. М. Махвиладзе, М. Е. Сарычев. Об угловых распределенияхвынужденного комбинационного рассеяния свет в изотропной среде. Журнал прикладной спектроскопии, 1976, т. 25, № 6, с. 1062 1067.

59. Н. В. Кравцов, Н. И. Наумкин. Особенности динамики ВКР припересечении пучков накачки в активной среде. Квантовая электроника,2001, т. 31, № 6, с. 552-554.

60. В. В. Коробкин, В. Н. Луговой, А. М. Прохоров, Р. В. Серов.

61. Ф. X. Тухватуллин, А. Ж. Жумабаев У. Н. Ташкенбаев, Б. С. Османов

62. У. Маматов, X. Хушвактов. Изучение молекулярной агрегации в жидком диметилсульфоксиде по спектрам КР. Оптика и спектроскопия, 2002, т. 92, №6, с. 938-943.

63. Я. С. Бобович. Последние достижения динамической спектроскопии КРС.

64. Успехи физических наук, 1992, т. 162, № 6, с. 81 128.

65. Г. А. Аскарьян. Самофокусировка луча света при возбуждении атомов имолекул среды в луче. Письма в ЖЭТФ, т. 4, № 10, с. 400 404.

66. Н. В. Зубова, М. М. Сущинский, В. А. Зубов. О сложной структуре линий вспектрах вынужденного комбинационного рассеяния света. Письма в ЖЭТФ, 1967, т. 2, № .2, с. 63 67.

67. Н. В. Зубова, Н. П. Кузьмина, В. А. Зубов, М. М. Сущинский,

68. И. К. Шувалов. Интенсивность и структура линий в спектрах вынужденного комбинационного рассеяния. ЖЭТФ, 1966, т. 51, № 1, с. 101-107.

69. Вынужденное комбинационное рассеяние. Под редакцией

70. М. М. Сущинского. М.: «Наука», 1977, Труды ордена Ленина физического института им. П. Н. Лебедева академии наук СССР, т. 99, с. 100- 144.

71. М. М. Сущинский. Вынужденное рассеяние света. М.: «Наука», 1985.

72. R. R. Alfano, S. L. Shapiro. Phys. Rev. Lett., Establishment of a molecularvibration decay route in a liquid. 1979, vol. 29, № 25, p. 1655 1658.

73. A. Laubereau, G. Kehl, W. Kaiser. Picosecond spectroscopy of molecularvibrations on liquids a vibrational bottleneck in ethanol. Opt. Commun., 1974, vol. 11, № l,p. 74-77.

74. И. JI. Фабелинский. Спектры света молекулярного рассеяния и некоторыеих применения. Успехи физических наук, 1994, т. 164, № 9, 897 935. .

75. В. Г. Беспалов, Ю. Н. Ефимов, Д. И. Стаселько. Временная динамикатонкой структуры спектров вынужденного рассеяния Манделыитамма-Бриллюэна в ССЦ. Оптика и спектроскопия, 1985, т. 85, № 6, с. 958 962.

76. Г. Э. Некрасов, М. В. Пятахин. Динамика генерации многомодового лазерас учетом ВРМБ. Квантовая электроника, 1992, т. 19, № 9, с. 856 859.

77. А. И. Ерохин, В. Ф. Ефимков И. Г. Зубарев, С. И. Михайлов. Тонкаяструктура линии ВРМБ квазимонохроматической накачки из спонтанных шумов. Квантовая электроника, 1999, т. 26, № 2, с. 144 146.

78. И. М. Бельдюгин, М. Г. Галушкин, Ф. Ф. Каменец, О. И. Речккн,

79. К. А. Свиридов. О параметрическом взаимодействии стоксовой и антистоксовой компонент при вынужденном рассеянии под малыми углами. Оптика и спектроскопия, 1989, т. 66, № 3, с. 586 589.

80. А. В. Matsko, V. V. Rostovtsev, М. Fleschhaver, and М. О. Scully. Anomalous

81. Stimulated Brillouin Scattering via Ultraslow Light. Physical Review Letters, 2001, vol. 86, № 10, p. 2006 2009.

82. Т. M. Лысак, В. А. Трофимов. Эффективная генерация второй гармоникифемтосекундного импульса вдали от фазового синхронизма. Оптика и спектроскопия, 2002, т. 92, № 2, с. 323 326.

83. И. И. Золотоверх, Н. В. Кравцов, Е. Г. Ларионцев. Увеличениеэффективности генерации второй гармоники в микролазере. Квантовая электроника, 2000, т. 30, № 7, с. 565 566.

84. В. Д. Волосов, В. Н. Крылов, В. А. Серебряков, Д. В. Соколов.

85. Высокоэффективная генерация второй и четвертой гармонипикосекундных импульсов большой мощности. Письма в ЖЭТФ, 1974, т. 19, № 1,с. 38.

86. Е. W. Meijer, Е. Е. Havinga, and G. L. J. A. Rikken. Second-harmonicgeneration in centrosymmetric crystals of chiral molecules. Physical Review Letters, 1990, vol. 65, № 1, p. 37-39.

87. M. Scalora, M. J. Bloener, A. S. Manka, J. P. Dowling, С. M. Bowden,

88. R. Viswanathan, and J. W. Haus. Pulsed second-harmonic generation in nonlinear, one-dimensional, periodic structures. Review A, 1997, vol. 56, № 4, p. 3166-3174.

89. Kenneth J. Schafer, and Kenneth C. Kulander. High Harmonic Generation from

90. Ultrafast Pymplasers. Physical Review Letters, 1997, vol. 78, № 4, p. 638 -641.

91. L. D. Bhawalkar, V. Mao, H. Po. A. K. Goyal, p. Garrilovic, Y. Conturie, and

92. S. Singh. High-Power 390-nm laser sours based on efficient frequency doubling of a tupered diod laser in external resonant cavity. Optics Letters, 1999, vol. 24, № 12, p. 823 825.

93. Antonio Mecozzi. Analytical theory of four-wave mixing in semiconductoramplifiers. Optics Letters, 1994, vol. 19, № 12, p. 892 894.

94. J. M. Gabriagues, and H. Fevrier. Analysis of frequency-doubling processes inoptical fibers using Raman spectroscopy. Optics Letters, 1987, vol. 12, № 9, p. 720 722.

95. P. Г. Запорожченко, В. А. Запорожченко. О регулировке длительностисверхкоротких импульсов в ОКГ с вынужденной синхронизацией мод. Журнал прикладной спектроскопии, 1977, т. 26, № 1, с. 37 40.

96. В. Г. Дмитриев, Ю. В. Юрьев. Ширины квазисинхронизма для ГВГ вкристаллах с регулярной доменной структурой. Квантовая электроника, 1999, т. 28, № 3, с. 259-261.

97. И. И. Золотоверх, Е. Г. Ларионцев. Нелинейный фазовый сдвиг и скачкичастоты при ГВГ в лазере с двойным резонатором. Квантовая электроника, 2001, т. 31, № 2, с. 143 146.

98. P. JI. Ганив, И. А. Кулагин, У. К. Сапаев, Т. Усманов. Об особенностяхсамовоздействия при генерации 2-й гармоники лазерного излучения в нелинейных кристаллах. Оптика и спектроскопия, 2000, т. 89, № 2, с. 336 -340.

99. С. А. Ахманов, А. Н. Дубовик, С. М. Салтиел, И. В. Томов, В. Г. Тункин.

100. Нелинейные оптические эффекты четвертого порядка по полю в кристалле формиата лития. Письма в ЖЭТФ, 1976, т. 20, № 4, с. 264.

101. Y. J. Ding and А. Е. Kaplan. Nonlinear magneto-optics of vacuum: secondharmonic generation. Physical Review Letters, 1989, vol. 63, № 25, p. 2725 -2728.

102. В. Т. Платоненко, В. Т. Стрелков. Пространственно-временная структурасуммарного поля гармоник высокого порядка и формирование аттосекундных импульсов. Квантовая электроника, 1977, т. 24, № 9, с. 799 -804.

103. Philippe Antoine, Anne L'Huillier, and Maciej Lewenstein. Attosecond Pulse

104. Trains Using High-Order Harmonics. Physical Review Letters, 1996, vol. 77, №7, p. 1234- 1237.

105. M. W. Walser, С. H. Keitel, A. Scrinzi, and T. Brabec. High Harmonic

106. Generation Beyond the Electric Dipole Approximation. Physical Review Letters, 2000, vol. 85, № 24, p. 5082 5085.

107. I. P. Chistov, M. M. Murnane, and H. C. Kapteyn. High-Harmonic Generation of

108. Attosecond Pulses in "Single-Cycle". Physical Review Letters, 1997, vol. 78, №7, p. 1251-1254.

109. В. Г. Атанесян, К. В. Карменян, С. А. Саркисян. Перестраиваемый вширокой области источник излучения при ГВГ в йодате лития. Письма в ЖЭТФ, 1973, т. 20, № 8, с. 537 540.

110. В. Г. Атанесян, B.C. Григорян, К. В. Карменян. Перестройка частоты пригенерации второй гармоники пикосекундных импульсов света. Квантовая электроника, 1976, т. 3, № 10, с. 2135 2138.

111. D. W. Meltzer, L. S. Goldberg. Opt. Commun., 5, №3, 1972.

112. M. D. Martin, E. L. Thomas. Up-conversion of a laser-induced quasi-continuum.

113. J. Phys. C., 1969, vol. 2, № 4, p. 577 582.

114. P. H. Гюзалян, Д. Г. Саркисян, М. JI. Тер-Микаелян. Пикосекундн&йисточник когерентного оптического излучения с перестройкой в интервале 350 680 нм. Квантовая электроника, 1977, т. 4, №. 5, с. 1138 -1140.

115. Д. Г. Саркисян. Об одной возможности получения перестраиваемых почастоте пикосекундных импульсов света в видимой и УФ областях. Квантовая электроника, 1978, т. 5, № 4, с. 982 930.

116. В. Г. Дмитриев, JI. В. Тарасов. Прикладная нелинейная оптика. М.: «Радиои связь», 1982г.

117. М. М. Сущинский. Спектры комбинационного рассеяния молекул * и кристаллов. М.; «Наука», главная редакция физико-математической литературы, 1969г.

118. С. А. Ахманов, Ю.Е.Дьяков, А. С. Чиркин. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: "Наука", 1981г.

119. С. А. Ахманов, С.Ю.Никитин. Физическая оптика. М.: Издательство московского университета, 1998г.

120. Placzek G., в книге Handbook der Radiologic, ed. By Marx E., part 2, Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1934, p. 209.

121. S. A. Akmanov, A. S. Chirkin, K. N. Drabovich, A. I. Kovrigin, R. V. Khokhlov, A. P. Sukhorukov. Nonstationary nonlinear optical effects and ultrashort light pulse formation. IEEE J. QE, 1968, vol. 4, p. 598 605.

122. M. Maier, W. Kaiser, J. A. Giormaine. Backward stimulated Raman scattering. Phys. Rev., 1969, vol. 177, p. 580 599.

123. В. Кайзер. Нестационарное вынужденное рассеяние света. Времена релаксации молекулярных колебаний. Квантовая электроника, 1974, т. 1, №9, с. 2036-2042.

124. Справочник по лазерам. Под редакцией А. М. Прохорова. М.: «Советское радио», т. 2. 1978.

125. Параметрические генераторы света и пикосекундная спектроскопия. Под редакцией Пискарскаса. Вильнюс: "Мокслас", 1983 стр. 184.

126. Р. Данелрос, А. Пискарскас, В. Сируткайтис, А. Стапинис, Я. Ясевичюте. Параметрические генераторы света и пикосекундная спектроскопия. Вильнюс.: «Мокслас». 1989.

127. A. Penzkofer, A. Laubereau, and Q. Kaiser. Stimulated Short-Wave Radiation dye to Single-Frequency Resonances of %(3). Phys. Rev. Lett., 1973, vol. 31, № 14, p. 863-866.

128. A. Penzkofer, A. Seilmeier, and Q. Kaiser. Parametric four-photon generation of picosecond light at high conversion efficiency. Opt. Commun., 1975, vol. 14, №3, p. 363-367. *

129. E. С. Вентцель. Теория вероятностей. M.: «Высшая школа». 1999.

130. Справочник физических величин. Под редакцией Кикоина.

131. И. Н. Поликарпов, В. В. Слабко. Влияние формы импульса накачки на амплитуды некомбинационных компонент в задачах нелинейной оптики. Математические модели и методы их исследования. Международная конференция, Красноярск 2001, т. 2, с. 136 143.