автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование регулярных и хаотических режимов в небесно-механических задачах

На правах

БАТХИНА НАТАЛЬЯ ВЛАДИМИРОВНА

МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ И ХАОТИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ В НЕБЕСНО-МЕХАНИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ (НА ПРИМЕРЕ МОДЕЛИ ХИЛЛА)

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Волгоград 2005

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и информатики Волжского гуманитарного института (филиала) Волгоградского государственного университета.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук Сумароков С. И.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Сидоренко В. В.

кандидат физико-математических наук Ходыкин С. А.

Ведущая организация: Государственный астрономический институт им. П. К. Штернберга

Защита состоится "29" июня 2005 г. в /Л час. на заседании диссертационного совета К 212.029.03 при Волгоградском государственном университете по адресу: 400062, Волгоград, пр-т Университетский, д. 100.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного университета.

Автореферат разослан мая 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Затрудина Р. Ш.

А. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Формулируя основные фундаментальные направления развития математической науки в XXI столетии, С. Смейл [7] отнес к ним систематическое развитие компьютерной динамики. Вместе с тем далеко не все задачи численного исследования динамических систем решены. Этому отчасти мешает сложившаяся традиция отдельно рассматривать системы с непрерывным временем и порождаемые ими потоки с дискретным временем. В каждом из этих направлений разработаны методы обнаружения, продолжения и анализа перестроек инвариантных структур. Известно значительное число пакетов прикладных программ, реализующих различные методы исследования динамических систем общего вида (см. информацию на сайте http://www.dynamicalsystems.org/), но не использующих сущностных свойств гамильтоновых систем. Возникла необходимость создания алгоритмов и программ для комплексного исследования гамильтоновых систем, позволяющих изучать разные объекты динамической системы, которые играют ключевую роль в ее динамике. Традиционные алгоритмы поиска и продолжения инвариантных динамических структур должны быть дополнены алгоритмами, позволяющими исследовать явления динамического хаоса и получать некоторые количественные характеристики последнего.

Целью работы является разработка пакета прикладных программ для комплексного исследования небесно-механических задач, использующего современные методы компьютерного исследования гамильтоновых динамических систем, и проведение средствами пакета изучения основных регулярных и хаотических структур конкретной небесно-механической модели — плоской круговой модели Хилла.

Методы исследования: Теоретической основой построения алгоритмов, реализованных в пакете прикладных программ, являются такие разделы теории обыкновенных дифференциальных уравнений как теория линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, теория устойчивости, теория гамильтоновых систем, теория орбит, а также методы теории возмущений, методы симплектической геометрии, вычислительные методы линейной алгебры. Для исследования регулярных и хаотических режимов конкретной небесно-механической модели используется интенсивный численный эксперимент.

Положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритмы поиска, продолжения и бифуркационного анализа семейств периодических решений (ПР) автономных гамильтоновых систем с непрерывным и дискретным временем и алгоритмы обнаружения и определения количественных характеристик каскадов кратного увеличения периода и расщепления сепаратрисных поверхност

2. Пакет прикладных программ для комплексного исследования инвариантных структур гамильтоновых систем, использующий указанные в п. 1 алгоритмы.

3. Полученные с помощью комплекса новые семейства периодических решений второго рода плоской задачи Хилла; бифуркации этих периодических решений; сценарии перехода к динамическому хаосу и его количественные характеристики.

Научная новизна результатов исследования:

В программном комплексе для продолжения по параметру и анализа ветвления семейств ПР гамильтоновых систем используется метод Б.Б. Крейсмана, дополненный методом продолжения по длине дуги, что позволяет проводить полный бифуркационный анализ без построения нормальных форм. Применяются современные вычислительные алгоритмы, использующие высокоточную арифметику и параллельные вычисления.

Для задачи Хилла новыми являются следующие результаты: большинство описанных в работе семейств ПР второго рода; явление транскритической бифуркации некоторых ПР; замкнутые семейства ПР второго рода; каскады удвоения периода и их количественные характеристики; количественные характеристики явления расщепления инвариантных многообразий.

Достоверность результатов исследования. Достоверность результатов обеспечивается четкой постановкой задач, использованием современного математического аппарата исследования гамильтоновых систем. Для подтверждения достоверности результатов численных экспериментов были воспроизведены с высокой точностью результаты, полученные ранее другими авторами с применением иных методов. Все полученные результаты находятся в соответствии с теорией гамильтоновых систем.

Научная и практическая ценность результатов исследования. Созданный автором пакет прикладных программ может быть использован для комплексного исследования произвольной автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы.

Полученные с помощью этого пакета новые семейства периодических орбит задачи Хилла могут быть использованы как предельные для продолжения периодических орбит пространственной задачи Хилла, плоской круговой задачи трех тел, задачи Хилла с несферическим потенциалом и других небесно-механических моделей.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены на международной конференции «Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века» (Санкт-Петербург, 2000 г.); на всероссийской научной конференции «Новые результаты аналитической и качественной небесной механики» (Москва, 2000 г.); на международной конференции «Celestial Mechanics» (Санкт-Петербург, 2002 г.);

на международной конференции «Колмогоров и современная математика» (Москва, 2003 г.); на международном конгрессе «New Geometry of Nature» (Казань, 2003 г.); на всероссийской астрономической конференции «Горизонты Вселенной» (Москва, 2004 г.); на семинарах отдела небесной механики Государственного астрономического института им. П.К. Штернберга МГУ (Москва) в 2003 г. и 2005 г.; на семинаре «Механика. Управление. Информатика.» Института космических исследований РАН в 2005 г.; на семинаре им. В.А. Егорова по динамике космического полета при кафедре теоретической механики МГУ в 2005 г.; на семинарах кафедры математического анализа и теории функций ВолГУ в 2003-2004 г.; на семинаре кафедры информатики и экспериментальной математики ВолГУ в 2004 г.; на др. конференциях.

Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в 19 научных работах, включая 11 статей и 8 тезисов докладов.

Личный вклад автора. В совместно опубликованных работах автору принадлежат: участие в постановке задачи, разработки алгоритмов, постановка численного эксперимента и анализ результатов. Положения, выносимые на защиту, содержат только те результаты и выводы, в которых вклад автора является определяющим.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений. Работа имеет объем 123 страницы, содержит 50 рисунков, 3 таблицы и список обозначений. Список литературы включает в себя 85 наименований.

Введение. Обоснована актуальность работы, сформулированы цели исследования, проведен обзор литературы. Описана структура работы, кратко обсуждены полученные результаты.

Глава I. Моделирование регулярных и хаотических режимов динамических систем. Первая глава носит методологический характер и содержит описание современных методов исследования автономных гамиль-тоновых систем.

§1. Современные принципы исследования динамических систем.

Автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений

X = f(х), где X € Rn, a f : R" R" (1)

определяет векторное поле. Теорема о существовании и единственности для систем дифференциальных уравнений утверждает, что векторное поле, непрерывное по Липшицу, имеет единственный поток Ф: К" х R —> М", задаваемый в окрестности R" х 0 свойствами: Ф(х, 0) = х, Ф(х, t) = f^(x,t)). Временное отображение Ф< : К" —► R" определяется как <£t(x) = Ф(x,f), кривые Ф(х,<), заданные путем фиксирования х и изменения t, есть траектории системы (1). Неподвижной точкой хо системы (1) называется траектория, такая что Ф(хо,£) = хо при всех t. Периоди-

ческой траекторией называется траектория, не являющаяся неподвижной точкой и такая, что для некоторого Т и произвольного t выполнено равенство Ф(х,£ + Т) = Ф(х, i). Наименьшее Т > О, для которого справедливо последнее соотношение, называется периодом.

В динамической системе есть объекты, играющие ключевую роль в ее динамике. Эта динамика будет понятна, если мы знаем эти объекты, знаем, как они связаны, знаем возможные переходы от одного к другому и как долго эти переходы могут реализовываться. К таким объектам относятся: неподвижные точки и периодические орбиты, инвариантные кривые, торы и другие инвариантные многообразия, устойчивые и неустойчивые инвариантные многообразия гиперболических объектов, пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий (гомоклинические и гетероклинические).

Исследуя эти объекты, будем отдавать предпочтение параметрическому подходу к динамическим системам, который предполагает изучение зависимости всех найденных объектов от параметров, возможное продолжение по параметру и поиск бифуркаций. Математический аппарат и инструментальные средства изучения выбирались соответствующими указанному подходу.

Сечение Пуанкаре [5] устанавливает связь между динамическими системами с непрерывным и дискретным временем. Это особенно удобно для гамильтоновых систем с двумя степенями свободы на заданном уровне энергии.

Пусть динамическая система задана гамильтонианом Я(х), хёК4, В качестве «плоскости сечения» выберем подмногообразие Г с К4, полученное путём пересечения гиперплоскости 7 : {х е К4| (х, п) = п0} с многообразием Я(х) = С для фиксированного значения параметра С:

Г = Я-1 (С) П 7. (2)

Т. о. dim Г = 2, и точки этого многообразия можно описывать двумерным вектором z.

Фазовый поток Ф* : Ж4 —► К4, определённый гамильтонианом Я(х), корректно индуцирует отображение Пуанкаре Р : Г —> Г при условии, что векторное поле гамильтониана Я трансверсально в каждой точке из Г. Обозначим через дг : Г К4 отображение вложения. Выберем z € Г, тогда через r(z) будем обозначать наименьшее время, необходимое для возвращения фазовой траектории ф1 (5r(z)) на плоскость сечения с тем же направлением вектора фазовой скорости. Тогда отображение Р задаётся формулой

P(z) = 0Г1 (^г(г) (flr(z)))

Определение отображения Пуанкаре гарантирует, что его предельные множества соответствуют предельным множествам исходного фазового потока [12].

§2. Методы построения отображения Пуанкаре. Рассматриваются основные методы численного определения отображения Пуанкаре для автономных гамильтоновых систем. Дискретная реализация непрерывной фазовой кривой требует уточнения точки пересечения последней с секущей гиперплоскостью. Такое уточнение может быть реализовано стандартной итерационной схемой:

= (Н - где 3 = ( °е! *П • (3)

<п, 34Н {ф1{т) {дг{г)))) \~Е 0 )

Если в качестве секущей гиперплоскости выбрана одна из координатных плоскостей, например, хи то применяется метод, предложенный М. Эно [16]. В окрестности плоскости сечения дифференциальные уравнения движения заменяются уравнениями с новой независимой переменной — координатой Х{. Тогда условие пересечения фазовой кривой с секущей гиперплоскостью выглядит наиболее просто: Xi = щ.

Однако сходимость вышеуказанных методов резко ухудшается, если условие трансверсальности становится плохо обусловленным. В этом случае можно применять вариант метода дихотомии. Поскольку на каждом шаге интегрирования известны фазовые координаты вместе с фазовыми скоростями, то время пересечения фазовой кривой с секущей гиперплоскостью эффективно определяется методом кубической интерполяции [5].

§3. Поиск периодических решений и анализ их устойчивости. В этом параграфе рассматривается два подхода к поиску периодических решений автономной гамильтоновой системы с фазовым вектором размерности п, которые были использованы в соответствующих алгоритмах комплекса. Оба подхода сводят задачу поиска ПР к задаче поиска нулей некоторого векторного поля, т. е. позволяют применять методы поиска положения равновесия, использующие ньютоновы итерации.

Первый подход является разновидностью метода пристрелки, адаптированного для автономных систем ДУ. Периодическим решениям соответствуют нули векторного поля невязок /"(X), где X = (х, Т)

Т : Кп+1 Еп : X »-» фт(х) - х.

Пусть известно начальное приближение Хо периодического решения, тогда вектор поправок ДХ должен удовлетворять в линейном приближении матричному уравнению

(М-Е | Г (Фг(хо))) ■ АХ = —Т (Хо). (4)

В системе (4) число уравнений меньше числа неизвестных, поэтому либо стандартная процедура ньютоновых интераций должна быть модифицирована (например, с использованием псевдообратной матрицы), либо

должно быть добавлено дополнительное условие (например, условие изо-энергетической редукции или условие Мея [16]).

Основной недостаток метода связан с тем, что матрица монодромии М автономной гамильтоновой системы имеет два собственных числа равных 4-1, что делает матрицу М —Е особенной, поэтому эффективность численного решения системы (4) резко снижается.

Второй подход сводит проблему поиска периодического решения к проблеме поиска неподвижной точки к-й итерации отображения Пуанкаре, индуцированного фазовым потоком, т. е. к поиску нулей векторного поля Т вида

Т: И""2 Кп~2 : (2) ~ Рк(г) - ъ с помощью стандартной ньютоновой схемы

= - {БРк (*) - Е)-1 (Рк (»,) - гг) . (5)

Условие трансверсальности фазового потока секущей гиперплоскости вместе с условием изоэнергетической редукции (2) гарантируют невырожденность матрицы ИРк — Е для всех точек сечения, кроме бифуркационных. Использование отображения Пуанкаре снижает размерность системы (5), а отсутствие периода Т в качестве параметра избавляет от необходимости накладывать на систему дополнительные условия.

Тем не менее, неглобальность сечения Пуанкаре и наличие петель периодических орбит приводит либо к нарушению условия трансверсальности, либо к скачкообразному изменению порядка итерации к. Заметим, что этот параметр априорно не задан и должен выбираться из некоторого диапазона [11]. Более того, вследствие отсутствия для конкретных гамильтоновых систем аналитического способа задания отображения Пуанкаре, приходится и точки, и производные отображения строить численно путем интегрирования уравнения в вариациях.

§4. Продолжение семейств периодических решений по параметру. В четвертом параграфе обсуждаются методы продолжения семейств периодических решений гамильтоновых систем по параметру. Пусть известно некоторое периодическое (с периодом Т) решение исходной системы ДУ х(Т, Хо) = хо. Для нахождения близкого к нему периодического решения х(<) = хо(<) + у(£) с периодом Т + сГГ нужно решить систему уравнений

хо (Г + <ГГ) + у (Г + <ЯГ) = хо(0) + у(0), или, в линейном приближении,

(М - Е)у(Г) + ОГЛ7Н{хо(0)) = 0. (6)

Ранг матрицы этой системы линейных уравнений всегда меньше числа неизвестных, так как для гамильтоновых систем матрица монодромии

имеет по крайней мере два собственных числа, равных +1. Справиться с этой проблемой позволяет метод, предложенный Б.Б. Крейсманом [2]. Этот метод предлагает переход в так называемый сопутствующий базис с помощью ортогональной и симплектической матрицы, элементами которой являются компоненты нормированного вектора VЯ. Структура матрицы (М - Е) в новом базисе позволяет описывать периодические решения вектором, лежащим в ортогональном дополнении к линейному подпространству, задаваемому касательным к решению хо вектором. Это позволяет избавиться от одного собственного значения +1, связанного с движением по циклу. Решая полученную систему уравнений, находим касательный к продолжаемому семейству вектор и поправки к периоду.

Зная нормированный вектор, касательный к ветви продолжения семейства, можем найти следующее периодическое решение этого семейства, пользуясь методом Келлера [14] продолжения семейства ПР по длине дуги. Особенностью метода продолжения по длине дуги является то, что матрица Якоби, используемая в ньютоновых итерациях, является невырожденной во всех регулярных точках бифуркационной диаграммы, в т. ч. в точках поворота («складках»).

Кроме того, метод Б.Б. Крейсмана позволяет определять направление продолжения не только данного семейства, но и всех взаимодействующих с ним семейств. Продолжая последние, находим направление ветвления взаимодействующих с ними семейств и т. д. Метод оказался чрезвычайно эффективным, чем и обусловлен его выбор для последующего построения алгоритмов исследования периодических решений.

§5. Симметричные периодические решения. Для симметричных периодических решений стандартное условие периодичности вида х(0) = х(Т) может быть заменено условием ортогонального пересечения орбиты с осью симметрии через половину (для орбит с одной симметрией) или четверть (для орбит с двумя симметриями) периода [б]. Поэтому симметричное периодическое решение однозначно определяется трехмерным вектором X = £_,(()),Т), г = \,2, ] — 3,4, для него упрощается структура поля невязок Т и процедура вычисления матрицы монодромии (см. [16] в списке работ автора). Анализ решений системы (6) позволяет сделать выводы о наличии симметрий у продолжаемых решений. Автором получен следующий результат: окрестность дважды симметричного ^/^-резонансного периодического решения устроена таким образом: если числа рид нечетные, то через него проходит одно дважды симметричное семейство д-кратных периодических решений; если же хотя бы одно из чисел р или q четное, то на нем заканчиваются два семейства ^-кратных периодических решений с одной симметрией.

§6. Исследование сценариев перехода к динамическому хаосу. Последовательность усложняющих структуру фазового пространства би-

фуркаций может приводить к возникновению хаотических режимов. Методы, описанные в двух предыдущих параграфах, позволяют определять наличие у семейства ПР бифуркации удвоения периода, а также каскадов таких бифуркаций и их количественных характеристик, таких, как постоянная Фейгенбаума [8, 9] и масштабные константы [1]. Аналогично можно проанализировать каскады 9-кратного увеличения периода, например, для

Возникновение расщепленных асимптотических поверхностей в окрестности седловых точек может быть причиной появления сложных динамических режимов. Определим, как это сделано в [12] устойчивые и неустойчивые инвариантные многообразия (сепаратрисы):

где го - седловая точка отображения Р. Сепаратрису можно реализовать как вложение вещественной прямой К в многообразие Г с помощью функций Ф"'": К —► Г, удовлетворяющих условию

где - собственные числа линейной части отображения Р в точке го-

Представляя сепаратрисы в виде ряда по степеням малого параметра С, который есть расстояние вдоль дуги сепаратрисы до гиперболической точки, получим бесконечную систему реккурентных линейных уравнений относительно коэффициентов этого разложения. Последовательное определение компонентов г"^, г = 1,2,... этих коэффициентов возможно при условии, что матрица (Е — 27Р(г^'")) обратима, т. е. Хща ф ±1. Реккурент-ные уравнения, начиная со второго, содержат значения производных отображения Р, вычисленных в седловой точке. Сложность выражений для вычисления производных с увеличением их порядка значительно возрастает [12], поэтому в работе используется вычисление производных отображения через аппроксимацию последнего с помощью полиномов Чебышева.

§7. Особенности небесно-механических задач как динамических систем. В седьмом параграфе отмечены особенности небесно-механических задач как динамических систем. Поскольку гамильтонианы небесно-механических моделей содержат особенности в окрестности тяготеющих тел, то при интегрировании уравнений движения вблизи этих особенностей накапливаются большие ошибки. Наличие в семействе периодических решений столкновительных траекторий приводит к невозможности продолжения этого семейства. Для преодоления этих трудностей предлагается использовать регуляризацию уравнений движения. Если глобальная регуляризация или невозможна, или сильно усложняет понимание динамики фазового пространства, то применяется локальная регуляризация

Ф^А^) = Р( Фи'я(0) = 20,

Леви-Чивита [6] для уравнений движения и для уравнений в вариациях. В этом случае используется техника производящих функций, описанная в работе М.Лидова [3]. Также гамильтонианы большого числа небесно-механических моделей допускают некоторые виды симметрий, что делает возможным применение к их исследованию методов § 1.5. Например, ограниченная задача трех тел (ОЗТТ) обладает одной симметрией относительно оси абсцисс [6].

Глава II. Описание комплекса программ.

§1. Общая структура комплекса программ. Комплекс программ представляет собой набор исходных текстов программ и сценариев сборки исполняемых файлов для операционных систем, поддерживающих стандарт POSIX. 1. Весь программный код комплекса и большая часть программ написаны на языках С и С++, а сценарии сборки комплекса написаны с использованием средств make. Наличие свободно распространяемых средств разработки открытых приложений GNU таких как эффективный компилятор С и С++, отладчик, загрузчик и другие, делает программный код комплекса мобильным. Объектно-ориентированные свойства языка программирования С++ позволяют перегружать стандартные арифметические операции, операции ввода-вывода и использовать один и тот же код алгоритма для различных классов данных, поддерживающих высокоразрядную арифметику. Для нормального функционирования программного комплекса программная среда должна удовлетворять стандартным требованиям, предъявляемым к разработке открытых программ в среде Linux.

В состав комплекса входят различные свободно распространяемые библиотеки и вспомогательные программные средства. Это позволяет свободно переносить комплекс с одной платформы на другую и дополнять его новыми компонентами по мере необходимости. Программы комплекса были испытаны на платформах Linux и Win32. Основной особенностью комплекса является то, что он ориентирован на использование высокоточной арифметики.

В структуре комплекса выделяются три уровня: библиотеки алгоритмов низкого уровня, которые содержат описание базовых типов данных и различных функций, используемых алгоритмами высокого уровня; вспомогательные программы и модули, которые обеспечивают получение начальных данных, их хранение и визуализацию; программы верхнего уровня, специализированные следующим образом: программы построения траекторий (орбит) и отображений Пуанкаре; программа поиска и продолжения периодических решений; программа поиска и продолжения неподвижных точек отображения; программа исследования сценариев перехода к динамическому хаосу.

В этом параграфе обсуждаются взаимосвязи различных компонент комплекса, представленные на рис. 1, а также дана общая последователь-

ность использования программ комплекса с точки зрения пользователя.

Рис. 1: Структура программного комплекса

§2. Программы численного интегрирования динамических систем. В качестве базового алгоритма интегрирования уравнений движения комплекс использует метод рядов Тейлора, реализованный в пакете Taylor версии 1.4. Выбор данного метода интегрирования связан со следующими особенностями: метод рядов Тейлора является методом интегрирования с автоматическим выбором шага и порядка разложения, для чего используется эффективный алгоритм вычисления производных любого порядка правых частей уравнений движения; метод поддерживает как стандартные типы данных, так и типы из библиотек высокоточной арифметики; сравнение этого метода с другими показало высокую его эффективность [13]. Для программ поиска и продолжения периодических решений необходимо вычислять матрицу монодромии или матрицу производных отображения Пуанкаре, а для исследования эффекта расщепления необходимо знание производных отображения высоких порядков. Определение этих объектов осуществляется либо путем интегрирования уравнений в вариациях совместно с уравнениями движения, либо средствами интерполяции. В первом случае алгоритм является строго последовательным, а во втором допускает несложное распараллеливание, что приводит к существенному сокращению времени счета даже на высокоточной раз-

рядной сетке.

§3. Программы поиска и продолжения семейств периодических решений. Поиск периодических решений может осуществляться или с применением метода «грубой силы», или с помощью ньютоновых итераций. В первом случае пользователю представляется возможность исследовать структуру фазового пространства путем построения и визуализации отображения Пуанкаре с помощью программы POINCAREMAP. Особенностью этой программы является то, что вычисления могут осуществляться как последовательно, так и параллельно (средствами вычислительного кластера). Если в качестве секущей гиперплоскости выступает одна из координатных плоскостей, то для вычисления отображения применяется метод М. Эно (см.§2 гл.1), иначе «работает» итерационная схема уточнений (3) с использованием кубической интерполяции. Визулиазация отображений Пуанкаре позволяет определить начальные приближения для программ уточнения и продолжения семейств периодических решений DERPAR или CONTPER.

Для работы программ пользователь должен задать начальное приближение, погрешности интегратора и определения ПР, начальный шаг смещения вдоль семейства, максимальное число ньютоновых итераций. Программа DERPAR основана на известном алгоритме продолжения по параметру нулей векторного поля [5] и может применяться к системам общего вида, но обладает рядом недостатков. Во-первых, в процессе продолжения семейства может происходить скачек числа пересечений ПР с секущей плоскостью, что приводит к отказам в работе, а, во-вторых, алгоритм в силу своей универсальности не использует структуру матрицы производных отображения для определения направления ветвления ПР второго рода. Рекомендуется использование программы DERPAR для поиска и продолжения несимметричных периодических решений. Программа " CONTPER свободна от указанных выше недостатков, но является специализированной для поиска и продолжения семейств симметричных ПР. Следует отметить, что в обеих программах применяется адаптивный метод выбора шага продолжения, учитывающий число итераций, потраченных на уточнение ПР.

§4. Программы исследования перехода к динамическому хаосу.

В этом параграфе дано описание трех программ: CASCADE - для поиска каскадов бифуркации удвоения периода, LYAPUNOV - для определения показателей Ляпунова и SEPSPLIT - для исследования явления расщепления сепаратрисы. Первая из программ основана на алгоритме CONTPER и позволяет, используя анализ структуры матрицы монодромии М, находить бифуркации удвоения периода, а также определять количественные показатели - постоянную Фейгенбаума и масштабные константы. Характерной особенностью алгоритма является использование высокоточ-

ной арифметики, которая обеспечивает необходимую точность вычисления ПР. Алгоритм вычисления показателей Ляпунова использует стандартную технику ортогонализации Грамма-Шмидта [4] в процессе интегрирования уравнения в вариациях методом рядов Тейлора. Для изучения эффекта расщепления сепаратрис применяется несколько описанных выше алгоритмов, однако существенным является то, что для разложения сепаратрисы в окрестности гиперболической точки, требуется вычисление производных отображения Пуанкаре высоких порядков. В отличие от методики работы [12] в программе БЕРБРЫТ применяется аппроксимация отображения с помощью двумерных многочленов Чебышева. Для вычисления производных отображения Пуанкаре применяется дискретный аналог уравнения в вариациях, с помощью которого строятся интерполяционные многочлены Чебышева, обеспечивающие равномерную аппроксимацию на интервале и простую оценку погрешности аппроксимации. Для интенсификации вычислений могут использоваться параллельные вычисления. Узлы прямоугольной сетки рассматриваются как независимые начальные условия задачи Коши, и последняя решается численным интегрированием на подчиненных узлах вычислительного кластера. Таким образом, параллелизм затрагивает самую трудоемкую часть алгоритма.

Глава 3. Результаты исследования плоской задачи Хилла с помощью комплекса программ.

§1. Общие свойства задачи Хилла. В этом параграфе обсуждаются общие свойства задачи Хилла. Показано, как уравнения этой задачи получаются из уравнений плоской ограниченной задачи трех тел при стремлении массового параметра к нулю; записаны гамильтониан и канонические уравнения; доказано, что дифференциальные уравнения задачи Хилла эквивариантны относительно некоторой дискретной группы сим-метрий. Проведена, в соответствии с [6] и [3], регуляризация уравнений движения и гамильтониана. Рассмотрены положения равновесия задачи Хилла и условия их существования.

Плоская задача Хилла является предельным (отношение тяготеющих масс стремится к нулю) случаем плоской круговой ОЗТТ и интересна как модель начального уровня, содержащая характерные черты распространенных небесно-механических моделей. Уравнения задачи Хилла во вращающейся системе координат с центром во втором теле имеют вид:

х

х = 2у + Зх - -д, _

^ где г = у/х2 + у2.

Они имеют первый интеграл — интеграл Якоби

х2 + у2 = Зж2 + - - С, г

где С — постоянная Якоби. Гамильтониан задачи Хилла имеет вид

I 2 1 ЛАГМТ

Уравнения задачи Хилла обладают лишь одной особенностью в начале координат, эта особенность может быть устранена процедурой глобальной регуляризации Леви-Чивита [6], описанной в разделе 1.7.

Положения равновесия задачи Хилла — две коллинеарные точки либрации Ь\ (^3,0) и Ь2 (-№,0). В этих точках значение интеграла Якоби равно Сх = З4/3. Для С > З4/3 точки либрации отсутствуют, а кривая нулевой скорости разделяет фазовое пространство на две несвязные области финитного и инфинитного движения. При С < З4/3 точки либрации существуют, области финитного и инфинитного движения становятся связными.

§2. Основные семейства периодических решений задачи Хилла.

Основные семейства ПР задачи Хилла а, с, /, д, д' изучались ранее численно Дж. Хиллом, Кельвином, Дж. Джексоном, Т. Матукумой, М. Эно [10]. Автором выполнены аналогичные численные исследования для этих семейств с более высокой точностью для подтверждения достоверности результатов, получаемых с помощью предложенного комплекса программ. В работе приведены графики устойчивости, характеристики для основных семейств и описана эволюция орбит каждого семейства при изменении константы Якоби. Ранее проводились аналитические исследования основных семейств [10, 15] и др. Автором применен метод Депри-Хори [4] для аналитического исследования однооборотного семейства д и его бифуркаций (см. [7,10] в списке работ автора).

§3. Классификация и свойства периодических решений второго рода. Предлагается некоторая классификация и подробно описаны свойства периодических решений второго рода задачи Хилла. Большинство из исследованных семейств являются новыми, в том смысле, что они не описаны ранее в работах других авторов. Для каждого из семейств построены графики устойчивости, характеристики, показаны основные перестройки орбит семейства. Установлены различия между взаимодействием периодического решения второго рода с порождающим семейством с одной и двумя симметриями. Например, семейство / обладает двумя симметри-ями, появление резонансов р[ц происходит по-разному в зависимости от четности чисел р ид. Для случая, когда либо р, либо д четное, все периодические решения второго рода обладают только одной симметрией (см. рис. 2, 3), а когда и р и д нечетные, все порожденные решения двукратно симметричны.

С.-1И542 С »-Л51137

Рис. 2: Четырехоборотная орбита с сим- Рис. 3: Четырехоборотная орбита с симметрией относительно оси ОХ метрией относительно оси ОУ

Обнаружены замкнутые периодические решения, для которых кривые устойчивости и характеристики являются кривыми, определенными на отрезке. Эти семейства либо дважды взаимодействуют с семейством /, либо взаимодействуют с семействами / ид. Все они являются высокооборотными. График устойчивости одного из таких семейств показан на рис. 4. На рис. 5 изображены характеристики порождающего семейства / и некоторых семейств периодических решений второго рода, ответвившихся от /. Сильный резонанс 1/3 разделяет замкнутые и незамкнутые семейства.

Рис. 4: График устойчивости резонанса Рис. 5: Характеристики некоторых резо-7/19 нансов семейства /

Выявлены возможные бифуркации периодических решений второго рода и их роль в формировании динамического хаоса. К ним относятся: бифуркация рождения-гибели, бифуркация потери симметрии, бифуркация удвоения периода (кратного увеличения периода), транскритическая бифуркация. Для таких семейств определены бифуркационные значения параметра С с высокой точностью.

Так, например, все эти виды бифуркаций характерны для периодических решений второго рода, ответвившихся от семейства </. Прежде всего для </ сильным является не только резонанс 1/3, но и 1/4. Эти резонансы

разрушают инвариантные торы в окрестности д'. Графики устойчивости для ветвей слабых резонансов с <1/4 идентичны кривой устойчивости порождающего семейства д', поэтому сечение Пуанкаре в окрестности каждого из них выглядит подобно сечению в окрестности д', т. е. наблюдается некоторая фрактальная структура фазового пространства. Семейства периодических решений с 1/4 < р/д < 1/3 отличаются от других слабых резонансов наличием в сечении меандровых кривых (рис. б)1 и характерной только для них транскритичекой бифуркацией (рис. 7).

Рис. в: Меандровые кривые, связанные с Рис. 7: Кривая устойчивости семейства появлением семейства /(2/7) /(3/11)

Впервые М. Эно [10] обнаружил еще одно интересное свойство семейства д': при отрицательных значениях постоянной С оно вновь становится устойчивым, а затем испытывает бифуркацию потери симметрии. Удалось установить, что аналогичным свойством обладают и семейства периодических решений второго рода, ответвившиеся от семейства <f с соизмеримо-стями 1/2 и 1/3.

§4. Каскады бифуркаций удвоения периода. Четвертый параграф посвящен описанию каскадов бифуркаций удвоения периода некоторых периодических решений задачи Хилла, которые были впервые обнаружены автором в ходе численных экспериментов. Была построена бифуркационная последовательность для орбит с 1—2 - 4 - 8-16 - 32 - 64-128-256- 512 оборотами. Бифуркационные значения параметра С образуют сходящуюся геометрическую прогрессию, знаменатель которой достаточно быстро стремится к универсальной постоянной Фейгенбаума. Координата х0, значения константы Якоби, постоянной Фейгенбаума и масштабной константы а для этого каскада приведены в таблице 1, а на рис. 8 и 9 показано «дерево» удвоений этого каскада.

Высокая скорость сходимости бифуркационных значений параметра к точке накопления С«, приводит к быстрому уменьшению упорядоченно-

1 Сечение Пуанкаре на рис 6 построены в системе координат (х,х).

сти движения и усложнению фазовых траекторий при малом изменении константы Якоби. Этот процесс носит лавинообразный характер.

Таблица 1: Параметры каскада удвоения периода для 1-2—4—8 — 16 — 32-64-128—256

Обороты Хо С 6 С00 а

2 0,073664265 4,27142800769 — 4,267936410486 —

4 0,085013346 4,26833677296 — 4,267927068619 —

8 0,081651482 4,26797404719 8,5222 4,267927695895 -3.313

16 0,082439611 4,26793301075 8,8391 4,267927693987 -4,184

32 0,082239438 4,26792830363 8,7179 4,267927694096 -3,985

64 0,082288829 4,26792776399 8,7226 4,267927694096 -4,026

128 0,082276491 4,26792770211 8,7210 4,267927694096 -4,016

256 0,082279556 4,26792769502 8,7213 4,267927694096 -4,018

512 0,082278793 4,26792769420 8,7210 4,267927694096 -4,018

Рис. 8: Дерево удвоений каскада, порож- ^ 9. Увеличенная с6яааь 8 денного семейством д г

Аналогичные расчеты проводились и для других орбит. Так, например, для резонанса 1/5 семейства д', неподвижная точка отображения которого лежит на оси симметрии, был построен каскад бифуркаций удвоения 5-10—20—40-80-160 и вычислены не только постоянная 8, но и скейлин-говые константы аир. При предельном значении С — Сх каждый каскад завершается появлением цикла бесконечного периода. Для семейства д' и его периодических решений второго рода эти циклы располагаются вблизи сепаратрисной поверхности, соответствующей семейству д. Наличие каскадов является причиной появления хаоса в окрестности неподвижных точек, соответствующих семейству д.

§5. Расщепление инвариантных многообразий. При изучении глобального фазового портрета задачи Хилла было обнаружено появление

в окрестности гиперболических точек стохастических слоев при определенных значениях константы Якоби. Этот эффект был исследован более детально с помощью программы, описанной в §4 гл. 2.

На рис. 13 показано отображение первого возвращения в окрестности семейства д при С = 4,40, в центре ясно видна зона хаоса. Рис. 10 демонстрирует расщепление сепаратрисы неподвижной гиперболической точки отображения, соответствующей этому семейству. Были определены численно такие количественные характеристики расщепления, как площадь луночки и гомоклинический инвариант, а также исследована их зависимость от собственных чисел матрицы производной отображения в неподвижной гиперболической точке. Эта зависимость представлена на рис. 11.

занной с семейством д расщепления

Подобным образом были исследованы расщепления инвариантных многообразий в окрестностях неподвижных гиперболических точек отображения, соответствующих резонансам 1/9, 1/7, 1/8, 1/6 семейства /, и др. Проведенное исследование позволяет утверждать, что при значениях параметра, близких к бифуркационному, наблюдается эффект экспоненциальной малости расщепления сепаратрис. Разрушение сепаратрисных поверхностей является еще одной причиной возникновения локального хаоса.

§6. Глобальная динамика задачи Хилла. Описанные выше результаты, а также расчеты показателей Ляпунова для определенных областей фазового пространства позволяют дать описание глобальной динамики задачи Хилла при различных значениях интеграла энергии. При больших С система близка к интегрируемой, неподвижные точки сечения, соответствующие семействам / и д, окружены инвариантными торами, кривая нулевой скорости замкнута, рис 122. При С = 4,499986 происходит бифуркация типа «вилки» с семейством д, в сечении появляются две эллиптических и одна гиперболическая точки, разделенные восьмеркой сепаратрисы. При С = 4,70 начинает формироваться зона хаоса вблизи резонанса 1/9

'Сечения Пуанкаре на рис. 12-15 построены в системе координат (х,±).

семейства /, который при этих С уже является прямым семиоборотным. В сечении видно, что цепочки «островов», соответствующих резонансам с нечетными р ид (1/7, 1/9) шире, чем у резонансов с четными р или д (1/6, 1/8), которые в сечении Пуанкаре задают цепочки 2д «островов».

Ряс. 12: Сечение Пуанкаре до бифуркации Рис. 13: Сечение Пуанкаре после бифурка-семейства д ции семейства д

Рис. 14: Разрастание зоны хаоса в области Рис. 15: Появление орбит убегания вблизи прямооборотных орбит семейства д

При дальнейшем уменьшении С резонанс 1/7 поглощает узкие резо-нансы с большими и меньшими числами вращения и, наконец, сливается с хаотической зоной в форме «восьмерки», рис. 14. При С — 4,3267487 происходит размыкание кривой нулевой скорости, размеры «островов» устойчивости в области прямооборотных орбит резко уменьшаются, а между ними появляются орбиты убегания, рис. 15. В тоже время, в области обратно оборотных орбит структура инвариантных торов остается регулярной для всех значений С, кроме С = 0,02 и С = -1,41, при которых происходит взаимодействие с сильным резонансом 1/3. Это трехоборотное семейство дважды приближается к /, разрушая инвариантные торы.

В. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработан комплекс программ для изучения регулярных и хаотических режимов в небесно-механических задачах (автономных гамиль-тоновых системах с 2 степенями свободы), использующий современные методы исследования гамильтоновых систем, высокоточную арифметику и параллельные вычисления.

2. С помощью этого комплекса проведено систематическое исследование семейств периодических решений задачи Хилла, параметризованных значением постоянной Якоби. Для каждого из семейств построены кривые устойчивости, бифуркационные диаграммы, показаны основные перестройки орбит. Обнаружены замкнутые периодические решения, для которых кривые устойчивости и характеристики являются кривыми, определенными на отрезке.

3. Выявлены возможные бифуркации периодических решений задачи Хилла и их роль в формировании динамического хаоса. К ним относятся: бифуркация рождения-гибели, бифуркация потери симметрии, бифуркация удвоения периода (кратного увеличения периода), бифуркация обмена устойчивостями. Определены бифуркационные значения параметра С. Обнаружены и исследованы каскады бифуркаций удвоения периода, для которых вычислены значения постоянной Фейгенбаума и масштабные константы.

4. Обнаружено явление расщепления асимптотических поверхностей в окрестности седловых точек отображения Пуанкаре, вычислены значения некоторых величин, с помощью которых принято количественно оценивать эффект расщепления (таких, как площадь луночки и гомоклинический инвариант).

Цитируемая литература

[1] Борисов А. В., Симаков Н. Н. Бифуркации удвоения периода в динамике твердого тела. // Regular and Chaotic Dynamics. - 1997. - Т. 2, № 1. - С. 64-74.

[2] Крейсман Б. Б. Семейства периодических решений гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Несимметричные периодические решения плоской ограниченной задачи трех тел. — 2003. — Препринт ФИАН им. П.Н. Лебедева. № 66.

[3] Лидов М. Л. Метод построения семейств пространственных периодических орбит в задаче Хилла. // Космические исследования. — 1982. — Т. XX, № 6. — С. 787-807.

[4] Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. — М.: «Мир», 1984.

[5] Методы анализа нелинейных динамических моделей / М. Холодниок, А. Клич, М. Кубичек, М. Марек. — Москва: «Мир», 1991.

[6] Себехей В. Теория орбит: ограниченная задача трех тел. — М.: Наука, 1982.

[7] Смейл С. Математические проблемы следующего столетия // Современные проблемы хаоса и нелинейности.— Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - С. 280-303.

[8] Теория бифуркаций / В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников.- М.: ВИНИТИ АН СССР, 1985. - Т. 5 из Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.

[9] Feigenbaum М. J. Quantative universality for a class of non-linear transformation ¡¡ J. Stat. Phys. - 1978. - Vol. 19. - Pp. 25-52.

[10] Hénon M. Numerical exploration of the restricted problem. V. Hill's case: Periodic orbits and their stability // Astron. & Astrophys. - 1969. - Vol. 1. - Pp. 223-238.

[11] Hénon M. New families of periodic orbits in Hill's problem of three bodies ¡I Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. — 2003. — no. 85. — Pp. 223-246.

[12] Ivanov A. V. Study of the double mathematical pendulum-numerical investigation of homoclinic transversal intersections. // Regular and Chaotic Dynamics.— 1999.— Vol. 4, no. l.-Pp. 104-116.

[13] Jorba A., Zou M. A software package for the numerical integration of ODE by means of high order Taylor methods. - 2004. - P. 32. - Preprint.

[14] Kuznetsoo Y. A. Elements of Applied Bifurcation Theory. — 2nd ed. edition. — New York: Springer-Verlag, 1998. — Vol. 112 of Applied Mathematical Sciences.

[15] Perko L. Families of symmetric periodic solutions of Hill's problem II:Second species periodic solutions for С < -1 // Amer. J. Math. — 1981. - Vol. 104, no. 2. - Pp. 353397.

[16] Wiggins S. Global Bifurcations and Chaos: Analytical Methods. — New York, Heidelber, Berlin: Springer-Verlag, 1988.

ПЕЧАТНЫЕ РАБОТЫ АВТОРА

1. Батхина H.В. Исследование задачи Хилла с использованием численного эксперимента // Межвузовский сборник научных трудов, Волжский, 1996 - С. 151.

2. Батхина Н.В. Возникновение, эволюция, разрушение некоторых периодических траекторий задачи Хилла // Тез. докл. российской научной конференции «Новые теоретические результаты и практические задачи небесной механики», Москва, 1997 - С. 17.

3. Сумароков С.И., Батхина Н.В., Батхин А.Б. Бифуркации периодических решений в модели Хилла // Вестник ВолГУ, сер. 1 Математика. Физика, 1997, вып. 2 - С. 49-57.

4. Сумароков С.И., Батхина Н.В., Батхин А.Б. Сравнительный анализ численных методов построения сечений Пуанкаре задачи Хилла // Вестник ВолГУ, сер. 1 Математика. Физика, 1998, вып. 3 - С. 116-126.

5. Батхина H.В., Батхин А.Б. Исследование периодических решений задачи Хилла // Материалы научной конференции профессорско-преподавательского состава Волжского гуманитарного института ВолГУ, Волжский, 1998 - С. 79-82.

6. Сумароков С.И., Батхина Н.В., Батхин А.Б. Бифуркации удвоения в задаче Хилла // Околоземная астрономия и проблемы изучения малых тел Солнечной системы, Москва, 2000 - С. 218-225.

7. Батхин А.Б., Батхина Н.В. Применение рядов Депри-Хори для исследования периодических решений задачи Хилла // Тез. докл. конференции «Новые результаты аналитической и качественной небесной механики», Москва, 2000 - С. 21.

8. Батхина Н.В., Батхин А.Б. Некоторые результаты численно-аналитического исследования модели Хилла // Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века, СПб., 2000 - С. 237-238.

9. Батхин А.Б., Батхина Н.В., Сумароков С.И. Бифуркации удвоения периода в задаче Хилла // Вестник ВолГУ, сер. 1 Математика. Физика, 2000, вып. 5, - С. 6-11.

10. Батхин А.Б., Батхина Н.В., Сумароков С.И. Применение метода Депри-Хори для исследования периодических решений задачи Хилла // Вестник ВолГУ, сер. 1 Математика. Физика, 2001, вып. 6, - С. 6-11.

11. Batkhina N.V., Batkhin A.B. High precision parallel algorithms of numerical integration of celestial mechanics problems // IAA Transactions. № 8. Celestial Mechanics, St. Petersburg, 2002 - P. 22-23.

12. Батхин А.Б., Батхина H.B. Численно-аналитическое исследование сепаратрисных поверхностей задачи Хилла // Вестник ВолГУ, сер. 1 Математика. Физика, 2002, вып. 7, - С. 127-133.

13. Batkhina N.V., Batkhin A.B. Separatrix splitting in the Hill's problem // Abstracts of international conference "Kolmogorov and contemporary mathematics", Moscow, 2003, - P. 20-21.

14. Батхина H.В., Батхин А.Б. Моделирование регулярных и хаотических режимов в задаче Хилла // Proc. of JISC "New Geometry of Nature", vol. 1, "Mathematics and Geophysics", Kazan, 2003 - P. 30-34.

15. Батхина H.B. Семейства прямооборотных периодических решений задачи Хилла // Деп. в ВИНИТИ 29.01.2004, № 152-В2004, 29 стр.

16. Крейсман Б.Б., Батхина Н.В., Батхин А.Б. Адаптивный алгоритм продолжения семейств симметричных периодических решений // Выч. методы и программирование, т. 5, № 1, 2004 - С. 100-110.

17. Батхина Н.В, Батхин А.Б. Продолжение семейств периодических решений через точку соударения // Труды ГАИШ, том LXXV, тез. докл. на Всероссийской астрономической конференции ВАК-2004 «Горизонты Вселенной», Москва, 2004 - С. 205.

18. Батхин А.Б., Батхина Н.В. Продолжение семейств симметрич-

ных периодических решений гамильтоновых систем через точки соударения // Вестник ВолГУ, сер. 1 Математика. Физика, 2003-2004, вып. 8, -С. 83-97.

19. Батхин А.Б., Батхина Н.В. Периодические решения второго рода в окрестности семейства д задачи Хилла // Вестник ВолГУ, сер. 1 Математика. Физика, 2003-2004, вып. 8, - С. 112-128.

»11368

РНБ Русский фонд

2006-4 6844

Подписано в печать 19.05.05. Формат 60x84/16. Бумага писчая. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 0,93. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. ЪшъъЗбО

Отпечатано в Волжском гуманитарном институте (филиале) ВолГУ 404132, Волжский, ул. 40 лет Победы, 37.

Введение

1. Моделирование регулярных и хаотических режимов динамических систем

1.1. Современные принципы исследования динамических систем

1.2. Методы построения отображения Пуанкаре

1.3. Поиск периодических решений и анализ их устойчивости

1.4. Продолжение семейств периодических решений.

1.5. Симметричные периодические решения.

1.6. Исследование сценариев перехода к динамическому хаосу

1.7. Особенности небесно-механических задач.

2. Описание комплекса программ

2.1. Общая структура комплекса программ.

2.2. Программы численного интегрирования.

2.3. Программы поиска и продолжения периодических решений

2.4. Программы исследования перехода к динамическому хаосу

3. Результаты исследования плоской задачи Хилла

3.1. Общие свойства задачи Хилла.

3.2. Основные семейства периодических решений задачи Хилла

3.3. Классификация периодических решений второго рода

3.4. Каскады бифуркаций удвоения периода в задаче Хилла

3.5. Расщепление инвариантных многообразий.

3.6. Глобальная динамика.

Формулируя основные фундаментальные направления развития математической науки в XXI столетии, С. Смейл [1] отнес к ним систематическое развитие компьютерной динамики. Вместе с тем далеко не все задачи численного исследования динамических систем решены. Этому отчасти мешает сложившаяся традиция отдельно рассматривать системы с непрерывным временем и порождаемые ими потоки с дискретным временем. В каждом из этих направлений разработаны методы обнаружения, продолжения и анализа перестроек инвариантных структур. Известно значительное число пакетов прикладных программ, реализующих различные методы исследования динамических систем общего вида. Существует сайт http : //www. dynamicalsystems. org/, содержащий обзор программного обеспечения для исследования динамических систем. В этом обзоре имеется информация о двух десятках программных пакетов, относящихся к данной теме.

На начальном этапе исследования гамильтоновых систем, возникающих при изучении небесно-механических задач, автору пришлось применять различные пакеты прикладных программ. Однако, ни один из таких программных комплексов, ни даже их комбинация не могли обеспечить необходимого качества численных исследований. Дадим описание комплексов программ для исследования динамических систем. Выбор комплексов определялся на основании следующих факторов:

• доступность пакета в виде исполняемого модуля или исходных текстов;

• наличие в пакете средств исследования инвариантных структур динамической системы;

• адаптивность пакета.

Этим требованиям удовлетворяют пакеты WinSet, DESIR, CONTENT, AUT02000.

Программа WinSet предназначена для исследования и демонстрации инвариантных множеств целого ряда динамических систем. Она является приложением к книге [2]. Заявленная в описании к программе возможность построения отображений Пуанкаре реализована либо для аналитически заданных отображений, либо для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с полутора степенями свободы. В качестве встроенного интегратора систему ОДУ используется явный метод Рунге-Кутты 4-го порядка с автоматическим выбором шага интегрирования в соответствии с априорно заданной локальной погрешностью на шаге. Использование этого метода для сильно неустойчивых фазовых траекторий приводит к быстрому накоплению ошибки и, как следствие, к неадекватному представлению траекторий и сечений Пуанкаре. Таким образом, применение этого программного средства возможно исключительно с целью первоначального ознакомления со структурой фазового пространства исследуемой системы, но не для ее количественного изучения.

Пакет DESIR разработан на механико-математическом факультете Ростовского государственного университета Говорухиным В.Н. Этот программный комплекс представляет собой набор исполняемых в операционной системе DOS модулей, позволяющих в интерактивном режиме исследовать систему ОДУ в нормальной форме. Возможно также исследование отображений. Следует отметить, что после определения исходных данных пользователь получает готовый исполняемый модуль с откомпилированными процедурами интегрирования системы ОДУ и ее уравнения в вариациях. Пакет предлагает широкий выбор современных интеграторов (в частности, хорошо зарекомендовавшие себя алгоритмы Дормана-Принса и Грэгга-Булирша-Штера), включает необходимые для анализа положений равновесия и предельных циклов алгоритмы определения собственных чисел. Пакет позволяет исследовать и консервативные системы ОДУ, используя в процессе численного интегрирования коррекцию Накози [3]. Но основным недостатком пакета является то, что практически все методы численного исследования инвариантных структур фазового пространства динамической системы доступны только для систем общего вида, и, следовательно, совершенно не используют сущностных свойств фазового потока канонических уравнений гамиль-тоновых систем. Продолжение семейств положений равновесия или периодических решений возможно только при условии, что параметр явно присутствует в правой части уравнений. Была предпринята попытка применения данного пакета к исследованию периодических решений задачи Хилла, но пакет смог лишь визуализировать проекции фазовой траектории на двумерные подпространства.

Пакет CONTENT был разработан Ю. Кузнецовым [4] и его группой в 90-х годах. В отличие от описанных выше средств он является открытым проектом и реализован на различных платформах, таких, как UNIX и Windows. Пакет предназначен для работы с динамическими системами, задаваемыми в виде систем ОДУ, дифференциально-алгебраических уравнений, отображений и уравнений в частных производных первого порядка. Он содержит средства визуализации инвариантных структур и бифуркационных диаграмм, а также большой набор библиотек, реализующих алгоритмы численного интегрирования систем ОДУ, поиска и продолжения по параметру положений равновесия и предельных циклов, алгоритмы бифуркационного анализа. Работая совместно со средствами компиляции, этот пакет позволяет создавать пользователю высокоэффективные исполняемые модули, вычисляющие правые части систем ОДУ, не используя при этом навыки программирования последних. Предлагая оконный пользовательский интерфейс, пакет CONTENT обеспечивает интерактивный режим работы пользователя. Существенным недостатком данного пакета является то, что все алгоритмы поиска и продолжения инвариантных структур предназначены исключительно для работы с системами, правые части которых явно содержат внешние параметры. Пакет не использует первые интегралы системы ОДУ. Поэтому применить реализованные в нем алгоритмы для исследования, например, задачи Хилла не удалось. Построение отображений Пуанкаре средствами CONTENT возможно только для систем, заданных аналитически, но не для отображений, индуцированных непрерывным фазовым потоком.

Наиболее близким по архитектуре является пакет AUT02000, разработанный Е. Доделем и др. Этот пакет является дальнейшим развитием пакета AUT094 [5], написанного на языке FORTRAN. Он поставляется в исходных текстах, предназначен для работы в среде UNIX, хотя удалось его без каких-либо изменений перенести на платформу Windows. Он позволяет исследовать алгебраические системы и системы автономных ОДУ с внешними параметрами, осуществлять продолжение периодических решений и применять к ним различные бифуркационные алгоритмы. Основной техникой исследования периодических решений является сведение последней к двухточечной краевой задаче на единичном интервале. Имеется возможность использовать программы пакета в среде кластерных вычислений. К сожалению, из-за отсутствия поддержки пакетом гамильтоновых систем и возможности использования библиотек высокоточной арифметики возникают трудности с применением AUT02000 к исследованию интересующих автора небесно-механических моделей.

Возникла необходимость создания алгоритмов и программ для комплексного исследования гамильтоновых систем, позволяющих изучать разные объекты динамической системы, которые играют ключевую роль в ее динамике. Традиционные алгоритмы поиска и продолжения инвариантных динамических структур должны быть дополнены алгоритмами, позволяющими исследовать явления динамического хаоса и получать некоторые количественные характеристики последнего. Различные проекты космонавтики, такие как низкоэнергетические переходы, движение специализированных космических аппаратов, требуют информации об инвариантных структурах небесно-механических задач, обладающих специфическими свойствами.

Целью работы является разработка пакета прикладных программ для комплексного исследования небесно-механических задач, использующего современные методы компьютерного исследования гамильто-новых динамических систем, и проведение средствами пакета изучения основных регулярных и хаотических структур конкретной небесно-механической модели — плоской круговой модели Хилла.

Первая глава носит методологический характер и содержит описание современных методов исследования автономных гамильтоновых систем.

В первом параграфе излагаются современные принципы исследования динамических систем в соответствии с работами [6,7,8,9,10, И, 12, 13,14,15].

В динамической системе есть объекты, играющие ключевую роль в ее динамике. Они образуют в некотором роде «скелет» поведения системы, и ее динамика будет достаточно понятна, если мы знаем эти объекты, знаем, как они связаны, знаем возможные переходы от одного к другому и как долго эти переходы могут реализовываться. К таким объектам относятся: неподвижные точки и периодические орбиты, инвариантные кривые, торы и другие инвариантные многообразия, устойчивые и неустойчивые инвариантные многообразия гиперболических объектов, пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий (гомоклинические и гетероклинические).

Исследуя эти объекты, будем отдавать предпочтение параметрическому подходу к динамическим системам, который предполагает изучение зависимости всех найденных объектов от параметров, возможное продолжение по параметру и поиск бифуркаций. В диссертационной работе математический аппарат и инструментальные средства изучения выбирались соответствующими указанному подходу [16].

Сечение Пуанкаре устанавливает связь между динамическими системами с непрерывным и дискретным временем. Это особенно удобно для гамильтоновых систем с двумя степенями свободы на заданном уровне энергии. Пусть некоторая динамическая система задана гамильтонианом Н(х), х 6 М4. В качестве «плоскости сечения» выберем подмногообразие Г С М4, полученное путём пересечения гиперплоскости с многообразием Н(х) = С для фиксированного значения параметра энергии С:Г = Н1(С)П7. Фазовый поток Ф, : К4 —► Е4, определённый гамильтонианом Н(х), корректно индуцирует отображение Пуанкаре Р : Г —> Г при условии, что векторное поле гамильтониана Н трансверсально в каждой точке из Г. Обозначим через gг : Г М4 отображение вложения. Выберем г е Г, тогда через т(г) будем обозначать наименьшее время, необходимое для возвращения фазовой траектории ф1 на плоскость сечения с тем же направлением вектора фазовой скорости. Тем самым отображение Р задаётся формулой

P(z)=gг1 (Фт(ж) Ы*))).

Определение отображения Пуанкаре гарантирует, что его предельные множества соответствуют предельным множествам исходного фазового потока [17].

Во втором параграфе рассматриваются основные методы численного определения отображения Пуанкаре для автономных гамильтоновых систем. Дискретная реализация непрерывной фазовой кривой требует уточнения точки пересечения последней с секущей гиперплоскостью. Такое уточнение может быть реализовано стандартной итерационной ньютоновой схемой [10]. Если в качестве секущей гиперплоскости выбрана одна из координатных плоскостей, например, то применяется метод, предложенный М. Непоп (см., например, [10]). В окрестности плоскости сечения дифференциальные уравнения движения заменяются уравнениями с новой независимой переменной — координатой Тогда условие пересечения фазовой кривой с секущей гиперплоскостью выглядит наиболее просто: Х{ = щ. Однако сходимость вышеуказанных методов резко ухудшается, если условие трансверсальности становится плохо обусловленным. В этом случае можно применять вариант метода дихотомии. Поскольку на каждом шаге интегрирования известны фазовые координаты вместе с фазовыми скоростями, то время пересечения фазовой кривой с секущей гиперплоскостью эффективно определяется методом кубической интерполяции.

В третьем параграфе рассматриваются два подхода к поиску периодических решений (ПР) автономной гамильтоновой системы. Оба подхода сводят задачу поиска ПР к задаче поиска нулей некоторого векторного поля, то есть позволяют применять методы поиска положения равновесия, использующие ньютоновы итерации. Первый подход является разновидностью метода пристрелки, адаптированного для автономных систем ДУ. Периодическим решениям соответствуют нули векторного поля невязок ^"(Х), где X = (х,Т)

Т : Ки+1 —► К" : X н-фт(х) - х.

Пусть известно начальное приближение Хо периодического решения, тогда вектор поправок АХ должен удовлетворять в линейном приближении матричному уравнению

М-Е | í{фт{xo)))'ЛK = -Jг(\o)

В этой системе число уравнений меньше числа неизвестных, поэтому, либо стандартная процедура ньютоновых интераций должна быть модифицирована (например, с использованием псевдообратной матрицы), либо должно быть добавлено дополнительное условие (например, условие изоэнергетической редукции или условие Мея [10]).

Основной недостаток метода связан с тем, что матрица монодромии М автономной гамильтоновой системы имеет два собственных числа равных +1, что делает матрицу М — Е особенной, поэтому эффективность численного решения системы, определяющей поправки, резко снижается.

Второй подход сводит проблему поиска периодического решения к проблеме поиска неподвижной точки к-й итерации отображения Пуанкаре. Условие трансверсальности фазового потока секущей гиперплоскости вместе с условием изоэнергетической редукции гарантируют невырожденность матрицы иРк — Е для всех точек сечения, кроме бифуркационных. Использование отображения Пуанкаре снижает размерность системы для определения поправок АХ, а отсутствие периода Т решения, как параметра, избавляет от необходимости накладывать на систему дополнительные условия. Тем не менее, неглобальность сечения Пуанкаре и наличие петель периодических орбит приводит либо к нарушению условия трансверсальности, либо к скачкообразному изменению порядка итерации к. Заметим, что этот параметр априорно не задан и должен выбираться из некоторого диапазона [18]. Более того, вследствие отсутствия для конкретных гамильтоновых систем аналитического способа задания отображения Пуанкаре, приходится и точки, и производные отображения строить численно путем интегрирования уравнения в вариациях.

Поиск периодического решения автономной системы общего вида без привлечения дополнительной информации достаточно сложен, поэтому обычно ему предшествует определенная аналитическая работа позволяющая установить наличие таких решений и определить области их существования. Возможен и так называемый метод «грубой силы», позволяющий путем интенсивных вычислений получить представление о структуре фазового потока в некоторых областях фазового пространства.

В четвертом параграфе обсуждаются методы продолжения семейств периодических решений гамильтоновых систем по параметру. Пусть известно некоторое периодическое (с периодом Т) решение исходной системы ОДУ х(Т,хо) = хо. Для нахождения близкого к нему периодического решения х(£) = хо(0 + у(0 с периодом Т + 4Т нужно решить систему уравнений хо (Т + <ГГ) + у(Г + йТ) = хо(0) + у(0), или, в линейном приближении

М - Е)у(Т) + ¿Т]ЪН(хо(0)) = 0.

Ранг матрицы этой системы линейных уравнений всегда меньше числа неизвестных, так как для гамильтоновых систем матрица монодро-мии имеет по крайней мере два собственных числа, равных +1. Справиться с этой проблемой позволяет метод, предложенный Б.Б. Крей-сманом [19]. Этот метод предлагает переход в так называемый сопутствующий базис с помощью ортогональной и симплектической матрицы, элементами которой являются компоненты нормированного вектора УН. Структура матрицы (М — Е) в новом базисе позволяет описывать периодические решения вектором, лежащим в ортогональном дополнении к линейному подпространству, задаваемому касательным к решению хо вектором. Это позволяет избавиться от одного собственного значения +1, связанного с движением по циклу. Решая полученную систему уравнений, находим вектор, касательный к продолжаемому семейству, и поправки к периоду.

Зная нормированный вектор, касательный к ветви продолжения семейства, можем найти следующее периодическое решение этого семейства, пользуясь методом Келлера [4] продолжения семейства ПР по длине дуги. Особенностью метода продолжения по длине дуги является то, что матрица Якоби, используемая в ньютоновых итерациях, является невырожденной во всех регулярных точках бифуркационной диаграммы, в том числе в точках поворота («складках»).

Кроме того, метод Б.Б. Крейсмана позволяет определять направление продолжения не только данного семейства, но и всех взаимодействующих с ним семейств. Продолжая последние, находим направление ветвления взаимодействующих с ними семейств и так далее. Метод оказался чрезвычайно эффективным, чем и обусловлен его выбор для последующего построения алгоритмов исследования периодических решений.

Пятый параграф посвящен методам поиска и продолжения симметричных периодических решений. Для симметричных периодических решений стандартное условие периодичности вида х(0) = х(Г) может быть заменено условием ортогонального пересечения орбиты с осью симметрии через половину (для орбит с одной симметрией) или четверть (для орбит с двумя симметриями) периода [20]. Поэтому симметричное периодическое решение однозначно определяется трехмерным вектором X = (х1(0),х;(0),'Г), { = 1,2, ; = 3,4, и все формулы §5 значительно упрощаются [21]. Анализ решений системы ( * на предшествующей странице) позволяет сделать выводы о наличии симметрии у продолжаемых решений. Установлено, что окрестность дважды симметричного р/(\-резонансного периодического решения устроена следующим образом: если числа р и <7 нечетные, то через него проходит одно дважды симметричное семейство ¿/-кратных периодических решений; если же хотя бы одно из чисел р или ц четное, то на нем заканчиваются два семейства (/-кратных периодических решений с одной симметрией.

Методы исследования сценариев перехода к динамическому хаосу обсуждаются в шестом параграфе. Последовательность усложняющих структуру фазового пространства бифуркаций может приводить к возникновению хаотических режимов. Методы, описанные в двух предыдущих параграфах, позволяют определять наличие у семейства ПР бифуркации удвоения периода, а также каскадов этих бифуркаций и их количественных характеристик, таких, как постоянная Фейгенбаума [22,23] и масштабные константы [24]. Аналогично можно проанализировать каскады ^-кратного увеличения периода, например, для ц = 3.

Возникновение расщепленных асимптотических поверхностей в окрестности седловых точек может быть причиной появления сложных динамических режимов. Определим, как это сделано в [17] устойчивые и неустойчивые инвариантные многообразия (сепаратрисы): где г0 - седловая точка отображения Р. Сепаратрису можно реализовать как вложение вещественной прямой М в многообразие Г с помощью функций : К —► Г, удовлетворяющих условию где ЛМ/5 - собственные числа линейной части отображения Р в точке г0.

Представляя сепаратрисы в виде ряда по степеням малого параметра который есть расстояние вдоль дуги сепаратрисы до гиперболической точки, получим бесконечную систему реккурентных линейных уравнений относительно коэффициентов этого разложения. Последовательное определение компонентов I = 1,2,. этих коэффициентов возможно при условии, что матрица (Е — ОР^'*5)) обратима, то есть ЛЫ/5 ф ±1. Реккурентные уравнения, начиная со второго, содержат значения производных отображения Р, вычисленных в седловой точке. Сложность выражений для вычисления производных с увеличением их порядка значительно возрастает [17], поэтому в работе используется вычисление производных отображения через аппроксимацию последнего с помощью полиномов Чебышева.

В седьмом параграфе отмечены особенности небесно-механических задач как динамических систем. Поскольку гамильтонианы небесно-механических моделей содержат особенности в окрестности тяготеющих тел, то при интегрировании уравнений движения вблизи этих особенностей накапливаются большие ошибки. Наличие в семействе периодических решений столкновительных траекторий приводит к невозможности продолжения этого семейства. Для преодоления этих трудностей предлагается использовать регуляризацию уравнений движения. Если глобальная регуляризация или невозможна, или сильно усложняет понимание динамики фазового пространства, то применяется локальная регуляризация Леви-Чивита [20] для уравнений движения и для уравнений в вариациях. В этом случае используется техника производящих функций, описанная в работе М. Лидова [25]. Также гамильтонианы большого числа небесно-механических моделей допускают некоторые виды сим-метрий, что делает возможным применение к их исследованию методов параграфа 1.5 на с. 42. Например, ограниченная задача трех тел (ОЗТТ) обладает одной симметрией относительно оси абсцисс [20].

Вторая глава содержит описание разработанного автором комплекса программ по исследованию динамических систем. Общая структура комплекса программ приведена в первом параграфе. Комплекс программ представляет собой набор исходных текстов программ и сценариев сборки исполняемых файлов для операционных систем, поддерживающих стандарт POSIX.1. Весь программный код комплекса и большая часть программ написаны на языках С и С++, а сценарии сборки комплекса написаны с использованием средств make. Наличие свободно распространяемых средств разработки открытых приложений GNU таких как эффективный компилятор С и С++, отладчик, загрузчик и другие, делает программный код комплекса мобильным. Объектно-ориентированные свойства языка программирования С++ позволяют перегружать стандартные арифметические операции, операции ввода-вывода и использовать один и тот же код алгоритма для различных классов данных, поддерживающих высокоразрядную арифметику. Для нормального функционирования программного комплекса программная среда должна удовлетворять стандартным требованиям, предъявляемым к разработке открытых программ в среде Linux.

В состав комплекса входят различные свободно распространяемые библиотеки и вспомогательные программные средства. Это позволяет свободно переносить комплекс с одной платформы на другую и дополнять его новыми компонентами по мере необходимости. Программы комплекса были испытаны на платформах Linux и Win32. Основной особенностью комплекса является то, что он ориентирован на использование высокоточной арифметики.

В структуре комплекса выделяются три уровня: библиотеки алгоритмов низкого уровня, которые содержат описание базовых типов данных и различных функций, используемых алгоритмами высокого уровня; вспомогательные программы и модули, которые обеспечивают получение начальных данных, их хранение и визуализацию; программы верхнего уровня, специализированные следующим образом: программы построения траекторий (орбит) и отображений Пуанкаре; программа поиска и продолжения периодических решений; программа поиска и продолжения неподвижных точек отображения; программа исследования сценариев перехода к динамическому хаосу.

В первом параграфе обсуждаются взаимосвязи различных компонент комплекса, а также описана общая последовательность использования программ комплекса с точки зрения пользователя.

Второй параграф посвящен программам численного интегрирования динамических систем. В качестве базового алгоритма интегрирования уравнений движения комплекс использует метод рядов Тейлора, реализованный в пакете Taylor версии 1.4. Выбор данного метода интегрирования связан со следующими особенностями: метод рядов Тейлора является методом интегрирования с автоматическим выбором шага и порядка разложения, для чего используется эффективный алгоритм вычисления производных любого порядка правых частей уравнений движения; метод поддерживает как стандартные типы данных, так и типы из библиотек высокоточной арифметики; сравнение этого метода с другими показало высокую его эффективность [26]. Для программ поиска и продолжения периодических решений необходимо вычислять матрицу монодромии или матрицу производных отображения Пуанкаре, а для исследования эффекта расщепления необходимо знание производных отображения высоких порядков. Определение этих объектов осуществляется либо путем интегрирования уравнений в вариациях совместно с уравнениями движения, либо средствами интерполяции. В первом случае алгоритм является строго последовательным, а во втором допускает несложное распараллеливание, что приводит существенному сокращению времени счета даже на высокоточной разрядной сетке.

Программы поиска и продолжения семейств периодических решений описаны в третьем параграфе. Поиск периодических решений может осуществляться или с применением метода «грубой силы», или с помощью ньютоновых итераций. В первом случае пользователю представляется возможность исследовать структуру фазового пространства путем построения и визуализации отображения Пуанкаре с помощью программы POINCAREMAP. Особенностью этой программы является то, что вычисления могут осуществляться как последовательно, так и параллельно (средствами вычислительного кластера). Если в качестве секущей гиперплоскости выступает одна из координатных плоскостей, то для вычисления отображения применяется метод М. Эно, иначе «работает» итерационная схема уточнений с использованием кубической интерполяции. Визулиазация отображений Пуанкаре позволяет определить начальные приближения для программ уточнения и продолжения семейств периодических решений DERPAR или CONTPER.

Для работы программ пользователь должен задать начальное приближение, погрешности интегратора и определения ПР, начальный шаг смещения вдоль семейства, максимальное число ньютоновых итераций. Программа DERPAR основана на известном алгоритме продолжения по параметру нулей векторного поля [12] и может применяться к системам общего вида, но обладает рядом недостатков. Во-первых, в процессе продолжения семейства может происходить скачок числа пересечений ПР с секущей плоскостью, что приводит к отказам в работе, а, во-вторых, алгоритм в силу своей универсальности не использует структуру матрицы производных отображения для определения направления ветвления ПР второго рода. Рекомендуется использование программы DERPAR для поиска и продолжения несимметричных периодических решений. Вторая из программ свободна от указанных выше недостатков, но является специализированной для поиска и продолжения семейств симметричных ПР. Следует отметить, что в обеих программах применяется адаптивный метод выбора шага продолжения, учитывающий число итераций, потраченных на уточнение ПР.

Программы исследования перехода к динамическому хаосу описаны в 2.4 на с. 72. Здесь дано описание трех программ: CASCADE - для поиска каскадов бифуркации удвоения периода, LYAPUNOV - для определения показателей Ляпунова и SEPSPLIT - для исследования явления расщепления сепаратрисы. Первая из программ основана на алгоритме CONTPER и позволяет, используя анализ структуры матрицы монодро-мии М, находить бифуркации удвоения периода, а также определять количественные показатели - постоянную Фейгенбаума и масштабные константы. Характерной особенностью алгоритма является использова-* ние высокоточной арифметики, которая обеспечивает необходимую точность вычисления ПР Алгоритм вычисления показателей Ляпунова использует стандартную технику ортогонализации Грамма-Шмидта [27] в процессе интегрирования уравнения в вариациях методом рядов Тейлора. Для изучения эффекта расщепления сепаратрис применяется несколько описанных выше алгоритмов, однако существенным является то, что для разложения сепаратрисы в окрестности гиперболической точки, требуется вычисление производных отображения Пуанкаре высоких порядков. В отличие от методики работы [17] в программе SEPSPLIT применяется аппроксимация отображения с помощью двумерных многочленов Чебы-шева. Для вычисления производных отображения Пуанкаре применяется дискретный аналог уравнения в вариациях, с помощью которого строятся интерполяционные многочлены Чебышева, обеспечивающие равномерную аппроксимацию на интервале и простую оценку погрешности ^ аппроксимации. Для интенсификации вычислений может использоваться параллельный компьютинг. Узлы прямоугольной сетки рассматриваются как независимые начальные условия задачи Коши, и последняя решается численным интегрированием на подчиненных узлах вычислительного кластера. Таким образом, параллелизм затрагивает самую трудоемкую часть алгоритма.

В третьей главе излагаются результаты изучения регулярных и хаотических режимов задачи Хилла, полученные с использованием комплекса программ, описанного во второй главе.

Задача Хилла имеет чрезвычайно интересную историю, связанную с именами JI. Эйлера, А. Пуанкаре, Дж. Хилла, A.M. Ляпунова. Ею занимались советские ученые. Эта задача явилась источником целого ряда ярких идей и замечательных достижений, составивших эпоху в развитии небесной механики.

Четкую математическую формулировку рассматриваемой задачи дал Хилл в своем знаменитом мемуаре «Исследования по теории Луны» [28]. Однако, ранее, Эйлер в «Новой теории Луны» составляет уравнения движения Луны в прямоугольных геоцентрических эклиптических координатах, равномерно вращающихся с угловой скоростью, равной среднему движению Луны. Он разлагает правые части уравнений в ряды, используя малые параметры (параллакс Солнца, наклон и эксцентриситет лунной орбиты), и последовательно «перебирая» все слагаемые правых частей, находит решение в периодических функциях. Эйлер показывает, как возмущения каждого класса могут быть найдены путем быстро сходящихся последовательных приближений [29].

Многие идеи Эйлера были развиты Хиллом далее. Вместе с тем он внес в рассматриваемую проблему много своих весьма оригинальных идей. Хилл пользуется прямоугольной геоцентрической эклиптической системой координат, равномерно вращающейся с угловой скоростью, равной среднему движению Солнца. Ось абсцисс он направляет по прямой, соединяющей Землю и Солнце. В этих координатах дифференциальные уравнения задачи имеют вид: х = 2у + Ъх где г = у/х2 + у2. Они имеют первый интеграл — интеграл Якоби

2 + у2 = 3*2 + --С, г где С — постоянная Якоби.

Модель Хилла представляет собой модель нулевого уровня в исследованиях сложных небесно-механических динамических систем (см., например, [20,30,31]). Занимая в некотором роде «промежуточное» положение между интегрируемой кеплеровой задачей и неинтегрируемой ограниченной задачей трех тел, гамильтониан задачи Хилла обладает лишь одной особенностью, как и гамильтониан первой задачи, но при этом задача Хилла является неинтегрируемой, как вторая (см. [32], [33]). Поэтому модель Хилла можно рассматривать как возмущение кеплеровой задачи, а ограниченную задачу трех тел — как возмущение задачи Хилла, представляющей начальный уровень сложности в иерархии моделей ограниченной задачи трех тел. Модель Хилла — это реальная динамическая система, которую можно использовать не только в теории Луны, но и в других спутниковых задачах, в которых отношение планетоцентрических расстояний спутника и внешнего тела является малой величиной, а орбита внешнего тела близка к круговой. Её можно применять и в исследовании тройных звездных систем, у которых одно из взаимных расстояний мало по сравнению с двумя другими. С помощью этой модели исследовалось движение звезд шарового скопления в поле галактики [34].

В первом параграфе обсуждаются общие свойства задачи Хилла. Показано, как уравнения этой задачи получаются из уравнений плоской ограниченной задачи трех тел (ОЗТТ) при стремлении массового параметра к нулю; записаны гамильтониан и канонические уравнения; доказано, что дифференциальные уравнения задачи Хилла эквивариант-ны относительно некоторой дискретной группы симметрий. Проведена, в соответствии с [20] и [25], регуляризация уравнений движения и гамильтониана. Рассмотрены положения равновесия задачи Хилла и условия их существования.

Второй параграф посвящен основным семействам периодических решений задачи Хилла. Эти семейства изучались ранее численно Дж. Хил-лом, Кельвином, Дж. Джексоном, Т. Матукумой, М. Эно [35]. Автором выполнены аналогичные численные исследования с более высокой точностью для подтверждения достоверности результатов, получаемых с помощью предложенного комплекса программ. В работе приведены графики устойчивости, характеристики для основных семейств и описана эволюция орбит каждого семейства при изменении константы Якоби. Ранее проводились аналитические исследования основных семейств [35,36,37] и др. Автором применен метод Депри-Хори [27] для аналитического исследования однооборотного семейства g и его бифуркаций [38,39].

В третьем параграфе предлагается некоторая классификация и подробно описаны свойства периодических решений второго рода задачи Хилла. Большинство из исследованных семейств являются новыми, в том смысле, что они не описаны ранее в работах других авторов. Для каждого из семейств построены графики устойчивости, характеристики, показаны основные перестройки орбит семейства. Установлены различия между взаимодействием периодического решения второго рода с порождающим семейством с одной и двумя симметриями.

Обнаружены замкнутые периодические решения, для которых кривые устойчивости и характеристики являются кривыми, определенными на отрезке. Эти семейства либо дважды взаимодействуют с семейством /, либо взаимодействуют с семействами / и g. Все они являются высокооборотными.

Выявлены возможные бифуркации [40] периодических решений второго рода и их роль в формировании динамического хаоса. К ним относятся: бифуркация рождения-гибели, бифуркация потери симметрии, бифуркация удвоения периода (кратного увеличения периода), транскритическая бифуркация. Для таких семейств определены бифуркационные значения параметра С с высокой точностью. Семейства прямооборотных периодических решений описаны в работах [41,42].

Четвертый параграф посвящен описанию каскадов бифуркаций удвоения периода некоторых периодических решений задачи Хилла, которые были впервые обнаружены автором в ходе численных экспериментов. Была построена бифуркационная последовательность для орбит с 1 2 - 4 - 8 - 16 - 32 - 64 - 128 - 256 - 512 оборотами. Бифуркационные значения параметра С образуют сходящуюся геометрическую прогрессию, знаменатель которой достаточно быстро стремится к универсальной постоянной Фейгенбаума. Аналогичные расчеты проводились и для других орбит. Так, например, для семейства #^(1/5)(£1), неподвижная точка отображения которого лежит на оси симметрии, был построен каскад бифуркаций удвоения 5 — 10 — 20 — 40 — 80 —160 и вычислены не только постоянная 5, но и масштабные константы и и /5. Значения всех констант оказались близкими к теоретическим. При предельном значении С = С«, каждый каскад завершается появлением цикла бесконечного периода. Для семейства и его периодических решений второго рода эти циклы располагаются вблизи сепаратрисной поверхности, соответствующей семейству g. Наличие каскадов является причиной появления хаоса в окрестности неподвижных точек, соответствующих семейству g. Результаты этого параграфа изложены в работах [43,44].

Еще одной причиной возникновения локального хаоса является расщепление инвариантных многообразий гиперболических точек отображения Пуанкаре. Исследованию этого явления в задаче Хилла посвящен 5-ый параграф 3-ей главы. Сначала было получено расщепление сепаратрисы неподвижной гиперболической точки отображения, соответствующей семейству g, а затем и точек, соответствующих семействам /(1/9)(ад), /(1/7)(ад), /(1/8)(Г1), /(1/6)№). Были определены численно такие количественные характеристики расщепления, как площадь луночки и гомоклинический инвариант, а также исследована их зависимость от собственных чисел матрицы производной отображения в неподвижной гиперболической точке. Проведенное исследование позволяет утверждать, что при значениях параметра, близких к бифуркационному, наблюдается эффект экспоненциальной малости расщепления сепаратрис. Результаты этого параграфа опубликованы в работах [45], [46]. Гомоклинические и гетероклинические пересечения инвариантных многообразий, соответствующих ляпуновским периодическим орбитам а и с, изучены подробно К.Симо в работе [47], поэтому они в данной работе не рассматривались.

Последний параграф настоящей диссертации содержит описание глобальной динамики задачи Хилла при различных значениях интеграла энергии, полученное на основе изложенных выше результатов. Изложение, в основном, следует работам автора [48,49,50].

В конце диссертации приводится список основных обозначений и список литературы, содержащий 67 наименований.

По теме диссертации опубликовано 19 работ [48,49,51,52,53,43,38, 54,44,39,45,55,46,50,41,21,56,57,42].

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международной конференции «Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века» (Санкт-Петербург, 2000 г.); на всероссийской научной конференции «Новые результаты аналитической и качественной небесной механики» (Москва, 2000 г.); на международной конференции «Celestial Mechanics» (Санкт-Петербург, 2002 г.); на международной конференции «Колмогоров и современная математика» (Москва, 2003 г.); на международном конгрессе «New Geometry of Nature» (Казань, 2003 г.); на всероссийской астрономической конференции «Горизонты Вселенной» (Москва, 2004 г.); на семинарах отдела небесной механики Государственного астрономического института им. П.К. Штернберга МГУ (Москва) в 2003 и 2005 г.г.; на семинаре «Механика. Управление. Информатика.» Института космических исследований РАН в 2005 г.; на семинаре им. В.А. Егорова по динамике космического полета при кафедре теоретической механики МГУ в 2005 г.; на семинарах кафедры математического анализа и теории функций ВолГУ в 2003-2004 г.г.; на семинаре кафедры экспериментальной математики и информатики ВолГУ в 2004 г.; на научных конференциях профессорско-преподавательского состава ВГИ ВолГУ в 1997-2004 г.; на других международных и всероссийских конференциях.

Пользуясь случаем, автор выражает глубокую благодарность к.ф.-м.н. Сумарокову С.И. за руководство работой, а также к.т.н. Крейсма-ну Б.Б. за постоянное внимание и поддержку в работе.

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертационной работы и возможные применения полученных результатов.

Разработан комплекс программ для изучения регулярных и хаотических режимов в небесно-механических задачах (автономных гамильто-новых системах с 2-мя степенями свободы), использующий современные методы исследования гамильтоновых систем, высокоточную арифметику и параллельные вычисления.

С помощью этого комплекса проведено систематическое исследование семейств периодических решений задачи Хилла, параметризованных значением постоянной Якоби. Для каждого из семейств построены кривые устойчивости, характеристики, показаны основные перестройки орбит семейства.

Установлено, что окрестность дважды симметричного p/q-резонансного периодического решения М устроена следующим образом: если числа р и q нечетные, то через М проходит одно дважды симметричное семейство ¿/-кратных периодических решений; если же хотя бы одно из чисел р или q четное, то на М заканчиваются два семейства ¿/-кратных односимметричных периодических решений.

Обнаружены замкнутые периодические решения, для которых кривые устойчивости и характеристики являются кривыми, определенными на отрезке. Эти семейства либо дважды взаимодействуют с семейством /, либо взаимодействуют с семействами / и g. Все они являются высокооборотными.

Выявлены возможные бифуркации периодических решений и их роль в формировании динамического хаоса. К ним относятся: бифуркация рождения-гибели, бифуркация потери симметрии, бифуркация удвоения периода (кратного увеличения периода), транскритическая бифуркация. Определены бифуркационные значения параметра С. Обнаружены и исследованы каскады бифуркаций удвоения периода, для которых вычислены значения постоянной Фейгенбаума и масштабные константы.

Другим сценарием перехода к сложному динамическому режиму является возникновение расщепленных асимптотических поверхностей в окрестности седловых точек отображения Пуанкаре. Разработанная автором программа численного исследования расщепления позволила не только обнаружить и визуализировать это явление, но и вычислить значения некоторых величин, с помощью которых принято количественно оценивать эффект расщепления (таких, как площадь луночки и гомо-клинический инвариант).

Описана глобальная динамика задачи Хилла при различных значениях постоянной Якоби.

Выделим отдельно положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритмы поиска, продолжения и бифуркационного анализа семейств периодических решений (ПР) автономных гамильтоновых систем с непрерывным и дискретным временем и алгоритмы обнаружения и определения количественных характеристик каскадов кратного увеличения периода и расщепления сепаратрисных поверхностей.

2. Пакет прикладных программ для комплексного исследования ин-Ъ вариантных структур гамильтоновых систем, использующий указанные в п. 1 алгоритмы.

3. Полученные с помощью комплекса новые семейства периодических решений второго рода плоской задачи Хилла; бифуркации этих периодических решений; сценарии перехода к динамическому хаосу и его количественные характеристики.

Модель Хилла имеет многочисленные, а иногда не совсем традиционные [82], применения. Укажем некоторые из них.

В работе [83] используются основные семейства периодических решений задачи Хилла как порождающие для построения семейств симметричных периодических решений плоской круговой ОЗТТ при малых значениях массового параметра ц. <* Гетероклинические пересечения инвариантных многообразий в окрестности второго тела [47] и очень неустойчивые орбиты [63] могут быть использованы для осуществления гравитационного маневра между номинальными орбитами при малых затратах топлива.

Движение космического аппарата (робота) в системе Марс-Фобос в рамках классической модели Хилла рассматривается в статье [84]. Предполагается, что робот может приземляться на спутник и вновь стартовать, причем их контакт мгновенный и происходит по законам абсолютно упругого удара. Модель имеет, кроме интеграла Якоби, еще один параметр — радиус спутника. Методом сечения Пуанкаре определяются возможные траектории движения робота.

В работе [85] используются некоторые орбиты задачи Хилла для решения задачи Ламберта об определении траектории перелета между двумя точками за установленный промежуток времени. Если одна из этих точек совпадает с центральным телом, то в качестве начальных ^ орбит выбираются ударные орбиты задачи Хилла.

1. Смейл С. Математические проблемы следующего столетия // Современные проблемы хаоса и нелинейности. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — С. 280-303.

2. Морозов А. Д. Инвариантные множества динамических систем в Windows. M.: «УРСС», 1998.

3. Nacozy P. Е. The use of integrals in numerical integration of N-body problem // Astrophys. Space Science. — 1971.— Vol. 14.— Pp. 4052.

4. Kuznetsov Y. A. Elements of Applied Bifurcation Theory. — 2nd ed. edition. — New York: Springer-Verlag, 1998.— Vol. 112 of Applied Mathematical Sciences.

5. Doedel E. J., Wang X. J. AUT094 : Software for continuation and bifurcation problems in ordinary differential equations: Technical report. — Pasadena CA: Center for Research on Parallel Computing, California Institute of Technology, 1995.

6. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1974.

7. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1985. — Т. 3 из Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.

8. Poincaré H. Les métods nouvelles de la mécanique céleste. — Paris: Gauthier-Villars, 1893.-Vol. 1.

9. Poincaré H. Les métods nouvelles de la mécanique céleste. — Paris: Gauthier-Villars, 1893.- Vol. 2.

10. Wiggins S. Global Bifurcations and Chaos: Analytical Methods.— New York, Heidelber, Berlin: Springer-Verlag, 1988.

11. Симо К., Смейл СШенсине А. Современные проблемы хаоса и нелинейности. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

12. Методы анализа нелинейных динамических моделей / М. Холод-ниок, А. Клич, М. Кубичек, М. Марек. — Москва: «Мир», 1991.

13. Гукенхеймер Д., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

14. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. — М.: Едиториал УРСС, 2002.

15. Козлов В. В. Симметрии, топологии и резонансы в гамильтоно-вой механике. — Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. университета, 1995. С. 432.

16. Simd С. Analitycal and numerical computation of invariant manifolds // Modern methods in celestial mechanics. — Editions Fronieres, 1990.- Pp. 285-330.

17. Ivanov A. V. Study of the double mathematical pendulum-numerical investigation of homoclinic transversal intersections 11 Reg. & Chaot. Dyn. 1999. - Vol. 4, no. 1. - Pp. 104-116.

18. Нёпоп M. New families of periodic orbits in Hill's problem of three bodies // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. — 2003. — no. 85. Pp. 223-246.

19. Крейсман Б. Б. Семейства периодических решений гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Несимметричные периодические решения плоской ограниченной задачи трех тел. — 2003. — Препринт ФИАН им. П.Н. Лебедева. № 66.

20. Себехей В. Теория орбит: ограниченная задача трех тел. — М.: Наука, 1982.

21. Крейсман Б. Б., Батхина Н. В., Батхин А. Б. Адаптивный алгоритм продолжения семейств симметричных периодичских решений // Вычислительные методы и программирование. — 2004.— Т. 5, № 1.-С. 100-110.

22. Теория бифуркаций / В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. М.: ВИНИТИ АН СССР,1985. — Т. 5 из Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.

23. Feigenbaum М. J. Qualitative universality for a class of non-linear transformation 11 J. Stat. Phys. 1978. - Vol. 19. - Pp. 25-52.

24. Борисов А. В., Симаков H. H. Бифуркации удвоения периода в динамике твердого тела. // Reg. & Chaot. Dyn. — 1997. — Т. 2, № 1. — С. 64-74.

25. Лидов М. Л. Метод построения семейств пространственных периодических орбит в задаче Хилла. // Космические исследования. — 1982. Т. XX, № 6. - С. 787-807.

26. Jorba A., Zou М. A software package for the numerical integration of ODE by means of high order Taylor methods. — 2004. — P. 32. — Preprint.

27. Лихтенберг А., Либерман M. Регулярная и стохастическая динамика. — М.: «Мир», 1984.

28. Hill G. W. Researches in the lunar theory 11 The Collected Mathematical Works of G. W. Hill. 1905. - Vol. 1. - P. 284.

29. Аксенов E. П. Задача Хилла и ее периодические решения // Почти периодические орбиты в небесной механике / Под ред. Е. Аксенова. — М.: Издательство МГУ, 1990. — С. 26-46.

30. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. — М.: «Наука», 1978.

31. Зигель К., Мозер Ю. Лекции по небесной механике.— Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

32. Morales-Ruiz J., Simd С., Simon S. Algebraic proof of the non-integrability of Hill's Problem. — Barcelona, 2004. — Preprint.

33. Meletlidou E., Ichtiaroglou S., Winterberg F. J. Non-integrability of Hill's lunar problem 11 Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2001. - T. 80. - C. 145-156.

34. Нёпоп M. Numerical exploration of the restricted problem. Hill's case: non-periodic orbits 11 Astron. & Astr. — 1970. — no. 9. — Pp. 24-36.

35. Нёпоп M. Numerical exploration of the restricted problem. V. Hill's case: Periodic orbits and their stability // Astron. & Astrophys. — 1969. Vol. 1. - Pp. 223-238.

36. Perko L. Families of symmetric periodic solutions of Hill's problem I: First species periodic solutions for С <C — 1 // Amer. J. Math. — 1981. Vol. 104, no. 2. - Pp. 321-352.

37. Perko L. Families of symmetric periodic solutions of Hill's problem II:Second species periodic solutions for С — 1 // Amer. J. Math. — 1981. Vol. 104, no. 2. - Pp. 353-397.

38. Батхин А. Б., Батхина H. В. Применение рядов Депри-Хори для исследования периодических решений задачи Хилла // Тез. докл. конференции «Новые результаты аналитической и качественной небесной механики». — Москва: 2000. — С. 21.

39. Батхин А. Б., Батхина Н. В., Сумароков С. И. Применение ме-t тода Депри-Хори для исследования периодических решений задачи

40. Хилла // Вестник ВолГУ, Сер. 1. Математика. Физика. — 2001. — №6. -С. 6-11.

41. Структуры в динамике. Конечномерные детерминированные системы / X. В. Брур, Ф. Дюмортье, С. ван Стрин, Ф. Такенс. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

42. Батхина Н. В. — Семейства прямооборотных периодических решений задачи Хилла, 2004.- Деп. в ВИНИТИ 29.01.2004, №152В-2004.

43. Батхин А. Б., Батхина Н. В. Периодические решения второго рода * в окрестности семейства g задачи Хилла // Вестник ВолГУ, Сер. 1.

44. Математика.Физика. 2003-2004. - № 8. - С. 167-181.

45. Сумароков С. И., Батхина Н. В., Батхин А. Б. Бифуркации удвоения в задаче Хилла // Околоземная астрономия и проблемы изучения малых тел Солнечной системы. — М.: «Космоинформ», 2000. — С. 218-225.

46. Сумароков С. И., Батхина Н. В., Батхин А. Б. Бифуркации удвоения периода в модели Хилла // Вестник ВолГУ, Сер. 1. Математика.Физика. — 2000. — № 5. — С. 6-11.

47. Батхин А. Б., Батхина Н. В. Численно-аналитическое исследование сепаратрисных поверхностей задачи Хилла // Вестник ВолГУ, Сер. 1. Математика.Физика. — 2002. — № 7. — С. 127-133.

48. Batkhina N. V., Batkhin А. В. Separatrix splitting in the Hill's problem // Колмогоров и современная математика. Тезисы докладов. — МГУ, 2003.- Pp. 20-21.

49. Sim6 C., Stuchi T. J. Central stable/unstable manifolds and the destruction of KAM tori in the planar Hill problem // Physica D. — 2000.- Vol. 140.- Pp. 1-32.

50. Батхина H. В. Исследование задачи Хилла с использованием численного эксперимента // Межвузовский сборник научных трудов. — Волжский: 1996.— С. 151.

51. Батхина Н. В. Возникновение, эволюция, разрушение некоторых периодических траекторий задачи Хилла // Тез. докл. российской научной конференции «Новые теоретические результаты и практические задачи небесной механики». — Москва: 1997. — С. 17.

52. Батхина Н. ВБатхин А. Б. Моделирование регулярных и хаотических режимов задачи Хилла // Proc. of JISC "New Geometry of Nature". — T. 1 из "Mathematics and Geophysics". — Kazan University Press, 2003. C. 30-34.

53. Сумароков С. И., Батхина H. ВБатхин А. Б. Бифуркации периодических решений в модели Хилла // Вестник ВолГУ. Сер. 1. Математика. Физика. — 1997. — № 2. — С. 49-57.

54. Батхина Н. В., Батхин А. Б. Исследование периодических решений задачи Хилла // Материалы научной конференции профессорско-преподавательского состава Волжского гуманитарного института ВолГУ. — Волжский: 1998. — С. 79-82.

55. Сумароков С. И., Батхина Н. В., Батхин А. Б. Сравнительныйанализ численных методов построения сечений Пуанкаре задачи Хилла // Вестник ВолГУ, Сер. 1. Математика.Физика. — 1998. — № 3.— С. 116-126.

56. Батхина Н. В., Батхин А. Б. Некоторые результаты численно-аналитического исследования модели Хилла // Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века. — СПб.: ИПА РАН, 2000. С. 237-238.

57. Batkhina N. V., Batkhin А. В. High précision parallel algorithm of numerical intégration of celestial mechanics problems // IAA Transactions. 2002. - Vol. 8. - Pp. 22-23. - "Celestial Mechanics".

58. Батхина H. В., Батхин A. Б. Продолжение семейств периодиче-^ ских решений через точку соударения // Тез. докладов Всероссийской астрономической конференции ВАК-2004 «Горизонты Вселенной». М.: МГУ, 2004. - С. 205.

59. Батхин А. Б., Батхина Н. В. Продолжение семейств симметричных периодических решений гамильтоновых систем через точку соударения // Вестник ВолГУ, Сер. 1. Математика.Физика. — 2003-2004. № 8. - С. 83-97.

60. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. — Москва: «Мир», 1990.-С. 512.

61. Everhart Е. Implicit single-sequence methods for integrating orbits // Celestial Mechanics. — 1974. — Vol. 10. — Pp. 35-55.

62. Бордовицина Т. В. Современные численные методы в задачах небесной механики. — Москва: Наука, 1984.— С. 136.

63. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 4-е изд. изд. — М.: «Наука», 1988.

64. Markellos V. V. Numerical investigation of the planar restricted three-body problem. I.Periodic orbits of the second generation in the Sun-Jupiter system // Celestial Mechanics. — 1974.— no. 9.— Pp. 365380.

65. Kreisman В. B. Gravitation maneuver using the families of super-unstable orbits around the libration points 11 Cosmic Research. — 2003.- Vol. 41, no. 1.- Pp. 51-62.

66. Арнольд В. И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. — Ижевск: Ижевская республиканская типография, 1999.

67. Якубович В. А., Старжинский В. М. Параметрический резонанс в линейных системах. — М.: Наука, 1987.

68. Hénon M. Exploration numérique du problème restreint. Masses égales, stabilité des orbites périodiques. // Annales d'Astrophysique. 1965. - Vol. 28, no. 6. - Pp. 992-1007.

69. Гуляев В., Зубрицкая A. JJ., Кошкин В. Универсальная последовательность бифуркаций удвоения периода вынужденных колебаний маятника // ПММ. 1989. - Т. 53, № 5. - С. 715-720.

70. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — Ижевск: Ижевская республиканскаятипография, 2000.

71. Брюно А. Д. Исследование по ограниченной задаче трех тел. Периодические решения системы Гамильтона. — 1972.— Препринт 18 ИПМ АН СССР.

72. Гельфрейх В. Г., Лазуткин В. Ф. Расщепление сепаратрис: теория возмущений, экспоненциальная малость // УМН.— 2001.— Т. 56, № 3.- С. 79-146.

73. Kinoshita Н., Nakai Н. Numerical integration methods in dynamical astronomy // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. — 1989. no. 45. - Pp. 231-244.

74. Bulirsh R., Stóer J. Fehlerabschazunger und extrapolation mit rationalen functionen bei verfahren vom richardson-typus // Num. Math. —

75. Ь 1964. Vol. 6. - Pp. 413-427.

76. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. Д. Холл, Д. Уатт. — Москва: «Мир», 1979.- С. 312.

77. Leimkuhler В., Reich S. Simulating Hamiltonian mechanics. — Cambridge University Press, 2004.

78. Numerical Recipes in C. The Art of Scientific Computing / W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery. — 2nd edition edition. — Cambridge, New York, Port Chester, Melbourne, Sydney: Cambridge University Press, 2002.

79. Куликовский П. Г. Справочник любителя астрономии. — Изд. 5-е, перераб. и полн. обновл. изд. — М.: Эдиториал УРСС, 2002. — Под ред. В.Г. Сурдина.

80. Hénon М. Generating Families in the Restricted Tree-Body Problem. — Springer, 1997.

81. Deprit A. Canonical transformations depending on a small parameter // Celestial Mechanics. 1969. - Vol. 1. - Pp. 12-30.

82. Сумароков С., Батхин А. Переменные действие-угол в задаче Хил-ла // Вестник ВолГУ. Сер. 1. Математика. Физика.— 1999.— № 4.- С. 131-139.

83. Брюно А. Д. Ограниченная задача трех тел. — М.: Наука, 1990.i* 81. Simó С. Invariant curves of analytic perturbed nontwist area preserving maps // Reg. & Chaot. Dyn. 1998. - Vol. 3, no. 3. - Pp. 180195.

84. Stuchi Т. J., Antunes A., Andreu M. A. Helium-like atom as a classical three body problem. — 1999. — Preprint.

85. Брюно А. Д. Нулькратные и обратные периодические решения ограниченной задачи трех тел. — 1996. — препринт ИПМ РАН.

86. Белецкий В. В., Салимова О. П. Задача Хилла как динамический биллиард // Reg. & Chaot. Dyn. 1996. - Т. 1, № 2. - С. 47-58.

87. Sukhanov A., Prado А. F. В. A. Lambert problem solution in the Hill model of motion // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. — 2004. Vol. 90. - Pp. 331-354.1. Основные обозначения1. х = f(х, t) — исходная система ОДУ.2. Ф(М) — фазовый поток.

88. H(x,y,pXfpy) — гамильтониан задачи Хилла.

89. H(u,v,pu,pv) — регуляризованный гамильтониан задачи Хилла.12. 7 : {х е М4| (х,п) = по} — секущая гиперплоскость.

90. Г = 7ПН-1 (С) — многообразие, на котором определяется отображение Пуанкаре.14. Р — отображение Пуанкаре.15. gr : Г —^► R4 — вложение многообразия Г в фазовое пространство.16. z(zi,z2) — координаты на многообразии Г.

91. Т — период замкнутой орбиты.18. s — индекс устойчивости периодического решения.

92. S — длина дуги бифуркационной диаграммы.

93. J — симплектическая единница.

94. М — матрица монодромии периодического решения.22. h — шаг интегрирования.