автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Моделирование процессов распространения сейсмических волн в упругой среде

0 8 АВГ российская академия наук

Институт математического моделирования

На правах рукописи УДК 519.633

РЫНШНА Нина Чжуновна

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЛН В УПРУГОЙ СРЕДЕ

Специальность 05.13.18 Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

/

Москва 1994

Рэоота выполнена в Московском государственном университете им.И.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

В.Ф,Тишкин.

Официальные оппоненты: локтор физико-математических наук,

профессор П.П.Волосевич доктор физико-математических наук, профессор А.П.Фаворский.

Ведущая организация: Вычислительный центр Ростовского

государственного университета.

Зашита диссертации состоится "_" _ 1994г.

в _ часов на заседании специализированного совета

К 003.91.01 по зашите диссертации на соискание ученой степени кандидата наук в Институте математического моделирования РАН по адресу: 125047, Москва, А-47, Миусская площадь, д.4

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ИПМ.

Автореферат разослан " ¿0 " _1994г.

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат физико-математических

наук и/г^____ С.Р.Свиршевский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Диссертация посвящена развитию численных и аналитических методов решения нестационарных задач теории упругости.

Актуальность темы. Задачи механики твердого тела, связанные с процессами распространения упругих волн, возникающие в сейсмологии при анализе проблем прогнозирования землетрясений, локализации их очага, а также контроля подземных ядерных испытаний, относятся к числу актуальных проблем современного естествознания. Для разработки методов раннего прогнозирования землетрясений большое значение имеет учет начальных напряжений, присутствующих в земной коре. Линеаризованная теория наложения малых деформаций на конечные позволяет учесть ряд важных с этой точки зрения эффектов, например, влияние начальных напряжений на скорости и амплитуды поверхностных и объемных волн. К сожалению, точное аналитическое рассмотрение этих задач можно осуществить лишь для простейших пространственных областей и видов нагружения. При численном исследовании возникает трудность, связанная с необходимостью передачи резких волновых фронтов при описании ударных процессов. В связи с этим особую важность приобретает разработка надежных численных методов для математического моделирования нестационарных процессов в предварительно напряженном упругом теле.

Цель работы: создание, апробация и применение методики решения динамических задач теории упругости, возникающих при моделировании землетрясений.

Научная новизна. Предложена модель очага землетрясения, учитывающая предварительно напряженное состояние среды. Исследованы краевые задачи, допускающие аналитическое

рассмотрение. Разработаны разностные схемы, обладающие свойством монотонности и повышенным порядком аппроксимации, предназначенные для решения широкого класса задач теории упругости. С их помощью получено решение ряда нестационарных задач о распространении волн в предварительно напряженной среде от заглубленных протяженных источников.

Достоверность полученных результатов обусловлена корректностью обшей постановки задачи, строгостью использования известных математических методов. Сравнение численных решений, полученных в диссертации, с аналитическими, проведенное на достаточно реалистичных задачах о моделировании сейсмических волн от некоторых источников возмущения в преднапряженной упругой среде, подтверждает высокую точность и надежность предложенной методики.

Практическая ценность. Предложенные в диссертации методики могут сыть использованы в задачах интерпретации сейсмических данных, прогнозирования землетрясений, контроля подземных ядерных испытаний, а также в некоторых задачах механики хрупкого разрушения твердого тела.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на конференции "Динамические задачи механики сплошной среды" (Краснодар, 1988), на семинаре под руководством А.А.Самарского кафедры вычислительных методов ИГУ им.М.В.Ломоносова, на объединенном семинаре отделов 4,5,10 Института математического моделирования РАН.

Публикации. Результаты исследований по теме диссертации опубликованы в работах [1-5].

Структура и ооьем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Работа изложена на 139 страницах машинописного текста, содержит 46 рисунков, I таблицу

и список литературы из 66 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, поставлены цели, приведен обзор литературы по теме исследований, дано краткое изложение содержания диссертации.

В первой главе рассмотрены некоторые математические модели динамики сейсмических процессов. Здесь приведена модель упругой преднапряженной среды, смысл которой состоит в линеаризации уравнений теории упругости относительно некоторого равновесного состояния, называемого преднапряженным, т.е. используются определяющие соотношения линеаризованной теории наложения малых деформаций на конечную. В качестве упругого материала среды рассматривается сжимаемый гармонический материал (материал Джона), для которого удельная потенциальная энергия деформации является квадратичной формой главных значений тензора конечных деформаций Коши- Грина. Начальное напряженное состояние среды предполагается однородным. Исследования проводятся в координатах, связанных с начальным недеформированным состоянием.

Рассмотрены постановки краевых задач о возбуждении нестационарных волновых полей в преднапряженной полуплоскости (у £ ь, |х| < м) со свободной верхней гранью (у=ь) заглубленными протяженными источниками возмущения. В этом случае смешения среды описываются системой двух уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами гиперболического типа.

Рассматриваются два типа источников: источники, заданные скачком напряжений

б

22 | у-- 0-

21 | у=0.

- э

21 |

у = 0-

-Р(х^) , |х| 5а

О , |х|>а

-О(х^), |х|*а

О , IхI>а

и источники, заданные в виде нагруженной трещины

°22 =-р(*''ь)< 1х1<а

°21 1*1<а-

(2)

где

21 '

о - компоненты линеаризованного тензора Пиолы.

Предполагается, что на бесконечности источники возмущения отсутствуют. Начальные условия задачи принимаются нулевыми.

Вторая глава посвящена аналитическим методам решения задач о распространении упругих волн от источников, описанных формулой (I). Для решения задачи применяется метод интегральных преобразовании. По продольной координате х применяется преобразование Фурье, а по времени 1 - преобразование Лапласа. В случае мгновенного импульсного источника возмущений, заданного скачком нормальных либо касательных напряжений приводятся формулы для смешений среды, записанные в виде однократных интегралов по конечным промежуткам. По полученным формулам проведен расчет смещений поверхности полуплоскости в различные моменты времени. Проведен количественный анализ влияния геометрических параметров и величины преднапряжения среды на возникающие поверхностные волны. Установлено, что начальные напряжения существенно влияют на амплитуды волн смещений, скорости поперечной и релеевской волн. Получены формулы для вычисления относительного заглубления источника, при котором

о

амплитуда горизонтальных смешений на поверхности в случае нормального источника (вертикальных смешений для сдвигового источника) достигает максимального значения.

Третья глава посвящена численным методам решения нестационарных задач теории упругости, рассматриваются вопросы построения монотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации для систем линейных гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами. Основная идея построения таких схем заключается в добавлении к исходной монотонной схеме первого порядка антидиффузионных потоков, ограниченных так, чтобы полученная схема сохраняла свойство монотонности и обладала вторым или третьим порядком локальной аппроксимации на гладких решениях всюду, за исключением точек экстремума решения. В данной главе построены подобные схемы для уравнений движения предварительно напряженного упругого тела из материала Джона. ПРоведена аппроксимация краевых условий, не нарушающая свойств схемы, для задач с источниками (I) и (2). Условие отсутствия возмушений на бесконечности позволяет вместо полуплоскости рассматривать конечную, но расширяющуюся со временен область. Для обеспечения однородности расчетного алгоритма граничные условия (1), задающие источник возмущения, исключены из рассмотрения путем введения в разностную схему корректирующего свободного члена. В задаче с источником вида (2) трещина моделируется линией, через которую не передаются усилия. Спецификой задач о трещинах в упругой среде является наличие у напряжений особенности типа х~'/г при х - 0 в вершине трещины. Точное распределение напряжений вокруг вершины трещины не может быть найдено с помошью сетки обычных структурных элементов. Поэтому для получения достаточно хорошего численного решения в ячейки, окружавшие вершину трещины, вводится теоретически точное

поле напряжений и смешений, которое дается известными асимптотическими формулами.

В четвертой главе предложенные разностные схемы применяются к задачам оо источниках возмущений в упругой среде. Для задачи с источником (I) во второй главе получены формулы для смещений среды, что позволяет использовать ее как тестовую для проверки эффективности разностной схемы. Проведено сравнение результатов, полученных по схемам первого и повышенного порядков аппроксимации. Установлено, что схема повышенного порядка дает существенно лучшие результаты, особенно в областях резкого изменения решения. В случае отсутствия преднапряжений или в случае предварительного сжатия среды лучшее решение дает схема повышенного порядка точности типа распада разрыва. В случае предварительного растяжения среды эта схема становится неустойчивой, и для проведения расчетов целесообразно пользоваться схемой повышенного порядка точности с искусственной вязкостью.

Задача с трешиной (2) содержит особенность по напряжениям и требует дополнительного исследования. В связи с этим была рассмотрена вспомогательная нестационарная задача о полубесконечной трешине продольного сдвига, подверженной воздействию мгновенной импульсной нагрузки. Приведено точное решение данной задачи и асимптотические формулы для смещений и напряжений у вершины трещины. Проведено сравнение результатов расчетов по схемам первого и повышенного порядков аппроксимации типа распада разрыва как с использованием асимптотики, так и без нее.

Далее приведены результаты численного моделирования нестационарной задачи о преднапряженной полуплоскости, ослабленной трещиной нормального отрыва (2). Рассмотрен случай

мгновенной импульсной нагрузки, приложенной к берегам трешины. Комбинированный метол с использованием аналитических асимптотик при реализации разностных схем позволил установить количественную картину эволюции динамических процессов. Подробно изучены поля смешений трешины и свободной поверхности полуплоскости.

В заключении сформулированы основные выводы диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Предложена математическая модель очага землетрясения, описывающая процесс распространения упругих волн с учетом предварительного напряжения среды,

2. Получены аналитические решения залач о моделировании сейсмических процессов с учетом предварительного напряжения упругой среды с импульсными заглубленными протяженными источниками возмущений, связанными с разрывами напряжений. С помошью аналитических формул определены:

а) зависимость скоростей смешений от величины преднапря-женности среды;

б) зависимость изменения амплидуд смешений от преднапря-женности среды;

в) величина заглубления источника возмущения при которой достигается экстремум амплитуд смешений поверхности в зависимости от величины преднапряженности среды.

3. Для задач моделирования нестационарных волновых процессов в преднапряженной упругой среде разработаны новые разностные схемы, обладающие свойствами монотонности и повышенным порядком аппроксимации.

4. Решен ряд нестационарных залач теории упругости, связанных с наличием трещин в упругой преднапряженной среде.

Метол позволил получить решение задачи во всей рассматриваемой области, в том числе, и в окрестности особых точек, являющихся концентраторами напряжений.

Публикации по теме диссертации:

1. Зеленцов В.Б. Рындина Н.Ч. , Исследование нестационарных поверхностных и внутренних волн в преднапряжённой упругой среде от заглубленного протяженного источника возмущений. // Тезисы докладов региональной научной конференции "Динамические задачи механики сплошной среды", Краснодар, 1988.

2 Зеленцов В. Б. Рындина Н. Ч, О моделировании очага землетрясения в преднапряжённой упругой среде импульсным источником возмущения. // Деп. в ВИНИТИ 04. 04. 90 N 18В6-В90, 27 с.

3 Зеленцов В. Б. Рындина Н. Ч. , Нестационарные волны в преднапряжённой упругой среде. // Изв. РАН. МТТ., 1992, N3, с. 125-131.

4. Рындина Н. Ч. , Тишкин В. Ф Квазимонотонные разностные схемы повышенного порядка аппроксимации для линеаризованных уравнений предварительно напряжённого упругого тела. // М: 1992, препринт ВЦМН РАН, N 13, 15 С.

5. Зеленцов В.Б. , Рындина Н. Ч. , Тишкин В.Ф. Применение квазимонотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации к нестационарной задаче о трещине продольного сдвига. // М: 1993, препринт ИММ РАН, N 20, 18 с.