автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели распространения плоских сейсмических волн в нелинейных упругих и флюидо-насыщенных средах

На правах рукописи

Гурьянов Вадим Владимирович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПЛОСКИХ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНЫХ УПРУГИХ И ФЛЮИДО-НАСЬПЦЕННЫХ СПЛОШНЫХ СРЕДАХ

Специальность 05 13 18-Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Саратов 2007

□ОЗ174221

003174221

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет»

Научный консультант

доктор технических наук, профессор Крысько Вадим Анатольевич

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН Николаев Алексей Всеволодович

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор

Губатенко Валерий Петрович

доктор физико-математических наук, профессор

Ерофеев Владимир Иванович

Институт теоретической и прикладной механики СО РАН (г Новосибирск)

Защита диссертации состоится 31 октября 2007 г в 14 00 на заседании диссертационного совета Д 212 242 08 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» по адресу. 410054, г Саратов, ул Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет, корп 1, ауд 419.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет»

Автореферат разослан " ¿У " смоги*ЯЧ^У2007 г

Ученый секретарь У)

диссертационного совета Терентьев А А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Сейсмические волны - колебания горных пород в Земле, возникающие в результате естественных (землетрясения) или искусственных процессов их возбуждения Изучение сейсмических волн, порождаемых землетрясениями, необходимо для понимания природы землетрясений и их предсказания С другой стороны, сейсмические волны являются главным источником информации о глубинном строении земных недр

Длительное время при математическом моделировании сейсмических волновых процессов использовалась линейно-упругая модель. Об этом свидетельствуют научные школы акад Г А. Гамбурцева, акад АС Алексеева, акад НН Пузырева, акад С В Гольдина, чл-корр РАН Б Г Михайленко, проф. И С Берзон, проф Г И Петрашень и др Современная теория распространения сейсмических волн, основанная на линейно-упругой модели, изложена в классической монографии К Аки и П Ри-чардса

В конце прошлого столетия накопилось много экспериментальных фактов, показавших недостаточность линейно-упругой модели описания волновых процессов в горных породах Эти факты были обнаружены благодаря существенному повышению точности измерения регистрируемых волн различного происхождения тектонических процессов в Земле и возбуждения колебаний техническими средствами с высокой управляемостью и возможностью контроля излучения.

Было обнаружено нелинейное упругое поведение горных пород при прохождении через них сейсмических волн обращение волнового фронта, возникновение высокочастотных колебаний (сотни и тысячи герц) на расстояниях 100 - 300 км от очага землетрясения (сейсмическая эмиссия), регулярное изменение спектрального состава волн и другие «Экспериментально показано, что, начиная с некоторого рубежа, пренебрежение нелинейными эффектами приводит к существенным отклонениям решения от истинного явления», - писал член-корреспондент РАН А В. Николаев -создатель и руководитель научной школы нелинейной сейсмики В числе первых экспериментальных работ следует отметить работы А А Гвоздева, В В Кузнецова, Л Н Рыкунова, О Б Хаврошкина, В В Цыплакова

Работы теоретического плана по нелинейным сейсмическим упругим волнам содержали методы линеаризации и возмущений для получения приближенных уравнений динамики волн (работы И А Береснева, Г М Шалашова, Б Я Гуревича, А Л Литвина, И Д Цванкина, Т 3 Вербицкого).

О неупругом поведении горных пород свидетельствуют экспериментальные работы по изучению процессов, предшествующих землетрясениям Было обнаружено уменьшение скорости распространения сейсмиче-

ских волн, и этот феномен был связан с образованием зон дилатансии горных пород и опубликован акад М А Садовским в 1979 г Далее был выяснен процесс формирования флюидо-насыщенных резервуаров в результате разрушения горной породы, проникновения в зону разрушения флюидов и последующего геохимического преобразования минералов в этой зоне с образованием диссипативно-дисперсных флюидо-насыщенных резервуаров (В Н Николаевский, обзор Дж Райе). Неупругое поведение этих резервуаров, особенно в зоне их контакта с упругой средой, представляет собой наиболее значительный интерес, оно вызывает дисперсию скоростей в виде связи поглощения с частотой колебаний, необъяснимое уменьшение скорости распространения волн и разрастание амплитуд колебаний (феномен «яркого пятна» на сейсмограммах) По этим признакам можно осуществлять поиск и разведку резервуаров Экспериментальные работы в этом направлении проводились в ОАО «Центральная геофизическая экспедиция» под руководством доктора физико-математических наук В Б Левян-та.

Математическим моделям исследования волновых процессов в твердых телах с микроструктурой, представляющих собой диссипативно-дисперсные сплошные среды, посвящены научные работы и монографии доктора физико-математических наук В И Ерофеева

Перечисленные факты нелинейного упругого и неупругого поведения горных пород до сих пор являются малоизученными с теоретической точки зрения Необходимость создания новых математических моделей распространения сейсмических волн в моногенных и гетерогенных горных породах, учитывающих нелинейность и флюидо-насыщенность, была подтверждена на Международной конференции «Математические методы в геофизике», прошедшей в 2003 г в г Новосибирске в Сибирском отделении Российской академии наук

Предметом исследований диссертационной работы является математическое моделирование процессов распространения сейсмических волн в нелинейных упругих средах, во флюидо-насыщенных резервуарах и в зоне контакта резервуара с упругой средой

Цель диссертационной работы: построение математических моделей процессов распространения сейсмических волн в сплошных средах нелинейных упругих изотропных и анизотропных, неупругих флюидо-насыщенных резервуарах, зонах контакта линейных упругих сред и неупругих флюидо-насыщенных резервуаров, изучение особенностей распространения в них сейсмических волн, объяснение наблюдаемых природных явлений, таких как обращение волнового фронта, происхождение сейсмической эмиссии, регулярное изменение спектрального состава волн, связь поглощения с частотой колебаний, феномен «яркого пятна» на сейсмограмме, значительное уменьшение скоростей волн в флюидо-насыщенных резервуарах и появление запаздывающих волн Сравнение модельных ре-

зультатов с наблюдаемыми в природе явлениями с целью установления адекватности модели природным явлениям и дальнейшего изучения этих явлений с помощью выбранной модели

Формулирование и обоснование идеи использования интегральных законов сохранения в прямых задачах количественной сейсмологии с целью упрощения решения этих задач с получением результатов в усредненном виде

Направление исследований Построение математических моделей плоских сейсмических волн в нелинейных упругих и флюидо-насыщенных средах Изучение особенностей распространения таких волн Сопоставление теоретических результатов с экспериментальными

Использование интегральных законов сохранения для решения задач распространения волн

Методы исследований. При решении поставленных задач в диссертации использовались методы математической физики, теории дифференциальных уравнений и методы компьютерного моделирования Научная новизна:

1 Введено понятие монотипных плоских упругих волн конечных деформаций, квазипродольных, квазипоперечных и поперечных - волн, распространяющихся независимо друг от друга Определено условие их существования — направленность векторов внутренних, внешних сил и силы инерции по собственному вектору матрицы уравнений движения Компоненты собственного вектора содержат нелинейно-упругие параметры среды В случае линейно-упругой среды квазипродольная волна вырождается в продольную, квазипоперечная - в поперечную, поляризованную с другой поперечной волной Получено аналитическое общее решение дифференциальных уравнений динамики монотипных волн на основе инвариантов Римана Дифференциальные уравнения характеристик, описывающие кинематику монотипных волн, решаются численно модифицированным методом Рунге-Кутта Таким образом, предложен метод решения задачи распространения монотипных волн

Получены волны Римана как частный случай монотипных волн Волна Римана распространяется в одном направлении. Монотипная волна представляется как результат взаимодействия двух волн Римана одинакового типа, распространяющихся в противоположных друг другу направлениях. В нелинейных средах в процессе движения происходит локальное перераспределение энергии (что показано на примере волны Римана), приводящее к образованию ударной волны Построена ударная волна в виде ее фронта, несущего динамические переменные, заданные инициирующей их известной волной Римана Локальное перераспределение энергии в распространяющейся волне и образование ударной волны объясняют феномены обращения волнового фронта (возникновение обратной волны в среде

без границ разрыва упругих параметров), сейсмической эмиссии, регулярного изменения спектрального состава волн

Дано обобщение результатов на анизотропные упругие нелинейные среды

2 Построена линейная математическая модель распространения волн во флюидо-насыщенных резервуарах и зонах контакта их с упругой средой с учетом диссипативно-дисперсных свойств резервуаров Обосновано использование в модели плоских волн Модель объясняет наблюдаемые в природе эффекты понижения скорости распространения волн в резервуаре, смещение амплитудного спектра волны в сторону низких частот, затухание волн в резервуарах, разрастание амплитуд колебаний в окрестности границы контакта упругой среды и резервуара (феномен «яркого пятна» на сейсмограмме)

Полученные результаты по нелинейным волнам и волнам в флюидо-насыщенных резервуарах обобщены в виде модели, которая содержит нелинейную, диссипативную и дисперсную части и является комбинацией уравнений нелинейной упругости, Бюргерса и Кортевега де Фриза Уравнение Кортевега де Фриза в качестве решения дает солитоны, которые возникают при движении вместо ударных волн и тем сильнее обеспечивают появление очень яркого пятна на сейсмограмме

3 Предложен принципиально новый подход к построению математической модели явления распространения сейсмических волн в геологической среде. Это явление изучается не в точках среды, а в их окрестностях в усредненном виде на основе использования интегральных законов сохранения механики сплошной среды. Это согласуется с реальной гетерогенностью среды и с тем, что измеряемые механические параметры среды имеют усредненные значения Предложенный подход формализован в виде математической модели, которая представляется обыкновенными дифференциальными уравнениями вместо уравнений с частными производными и позволяет естественным образом учитывать неоднородности среды типа границ контакта различных горных пород При этом форму и объем усреднения исследователь может выбирать, исходя из конкретного типа гетерогенности среды

Разработан численный метод решения смешанных краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений распространения сейсмических волн в рамках предложенной модели Метод полностью ориентирован на компьютерную обработку с едиными алгоритмами расчетов для линейных и нелинейных волн, гетерогенных, упругих и вязкоупру-гих сред и т.п, причем условия контакта различных сред удовлетворяются автоматически

Достоверность результатов работы. Достоверность и обоснованность научных положений и выводов обеспечивается строгим соблюдением законов сохранения механики сплошной среды и определяющих урав-

нений, а также применением аппарата математического анализа Сопоставление модельных результатов с наблюдаемыми в природе говорит о достоверности и обоснованности научных положений и выводов

Научная и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы заключается в получении результатов, объясняющих наблюдаемые экспериментально явления нелинейного упругого и неупругого поведения горных пород Это явление сейсмической эмиссии, происходящей за счет образования и распада ударных волн, что доказано на моделях и спектрах вибросейсморазведки, дисперсия скоростей в рыхлых породах, феномен «яркого пятна», объясняемый появлением солитонов и т д

Практическая значимость работы заключается в возможности перехода в сейсморазведке от косвенного метода поиска зон скопления углеводородов сейсмическим профилированием к прямому методу сейсмического зондирования, особенно при поиске неструктурных зон скопления углеводородов, что значительно дешевле

Результаты использовались в совместных работах в ОАО «Центральная геофизическая экспедиция» (г Москва) и Нижневолжском НИИ геологии и геофизики (г Саратов) и используются в учебном процессе при чтении спецкурсов по геофизике, прикладной математике и механике в Саратовском государственном университете

На защиту выносятся следующие положения:

1. Математическая модель изоэнтропических плоских монотипных нелинейных волн конечных деформаций (квазипродольных, квазипоперечных, поперечных) на основе инвариантов Римана позволяет решать задачи распространения нелинейных сейсмических волн с получением результатов, совпадающих с наблюдаемыми природными явлениями

2. Математическая модель движения плоских волн в зоне контакта линейных упругой и общей флюидо-насыщенной сред при нормальном падении волн на границу раздела этих сред дает возможность для реализации на ее основе метода адаптивной вибросейсморазведки, при котором режим работы сейсмовибратора определяется по отклику среды

3 Нелинейная модель движения плоских волн во флюидо-насыщенной среде и ее низкочастотное приближение, учитывающая все изученные в рамках данной работы эффекты нелинейного и неупрутого поведения горных пород, при прохождении в них сейсмических волн, в том числе и солитоны

4 Идея использования интегральных законов сохранения в прямых задачах сейсмологии, которая предполагает изучение явления распространения сейсмических волн не в точках среды, а в их окрестностях в усредненном виде В этом случае не делается переход к дифференциальным уравнениям в частных производных, а для окрестностей точек из интегральных законов сохранения формируется система обыкновенных диффе-

ренциальных уравнений по времени, описывающая динамику окрестностей, заключенных в ограниченной области

5 Разработанный численный метод решения смешанных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений движения сейсмических волн в функции времени позволяет решать задачи распространения сейсмических волн единообразно как в однородных средах, так и в средах с границами разрыва параметров, описывающих юс свойства

Апробация результатов работы. Основные результаты исследований, выполненных в диссертации, докладывались на научных конференциях «XXV Гагаринские чтения» (Москва, 1999), «Проблемы колебаний» (Москва, 2001), «Petropatch» (New Delhi, 2001), «Поверхностные волны в анизотропных и сложных средах и обнаружение дефектов» (Москва, 2002), «Математические методы в геофизике» (Новосибирск, 2003), систематически докладывались на научных семинарах Института физики Земли РАН, Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, госуниверситета и технического университета г Саратова, применялись на договорных началах в ОАО «Центральная геофизическая экспедиция» (г Москва) и Нижневолжском НИИ геологии и геофизики (г Саратов), что отражено в совместных работах, использовались при чтении спецкурсов для студентов в Саратовском госуниверситете

Публикации По теме диссертации опубликована 31 научная работа, в том числе 9 работ в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка использованной литературы и приложений Общее число страниц 192 Диссертация иллюстрирована 92 рисунками

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении представлен обзор основных работ по нелинейному моделированию сейсмических волн в упругих и неупругих средах применительно к диссертационным исследованиям. Сформулированы цели исследования и положения, выносимые на защиту, дано краткое описание работы по главам

В первой главе поставлена задача распространения плоских нелинейных сейсмических волн и предложен численный метод ее решения Для постановки задачи сравниваются два классических способа получения дифференциальных уравнений движения 1) на основе аналитической связи между тензорами напряжений и деформаций, 2) энергетический способ

Сравнение способов производится на матричных уравнениях представления плоских нелинейных волн и показывается, что матрицы соответствующие различным связям между напряжениями и деформациями

имеют совершенно одинаковый вид с точностью до обозначения элементов — функций от производной вектора смещения по пространственной переменной. Поэтому с точки зрения теоретического изучения общих свойств волновых процессов безразлично, какая связь между напряжениями и деформациями имеет место

В п 1 1 диссертации приведены уравнения движения плоских волн на основе связи между тензорами напряжений и деформаций

В п 1 2 принят энергетический подход как более прозрачный, компактный, обеспечивающий изучение волн конечных деформаций Использована идея КФридрихса о переходе от дифференциальных уравнений второго порядка к дифференциальным уравнениям первого порядка Введены следующие обозначения-

и = (и„г/2,и3)-смещение, р = (р1,р2,р3), Р,=^>

ди2 дщ

№ = И) - функция энергии ^ = рои(р,И,8)^=0, где ра - начальная плотность среды, V

динамического деформирования, внутренняя

энергия среды, 5

А( р) =

энтропия

' г.

1

Ро

рр

Л Л

РтР^т

Л аА

(1)

В принятых обозначениях уравнения движения записываются в матричной форме для вектора смещения в виде

или для вектора градиента смещения р и вектора скорости смещения q в виде

Уравнения системы (2) являются основными уравнениями распространения изоэнтропических плоских волн в изотропной среде. Функция IV = IV(р, А) энергии динамического деформирования является заданной функцией для каждой конкретной сплошной среды, х- координата Ла-гранжа, I- время, нижние индексы I, ( у обозначений функций обозначают производные по этим переменным

В математической формулировке задача распространения волн эквивалентна задаче Коши для системы дифференциальных уравнений гиперболического типа первого порядка (2) с данными Коши

' = 4(0 , * = *0(О, q(*0(OЛO = Чо(0. (3)

где р0(О. Чо(0 — заданные вектор-функции

По известным вектор-функциям qfЗc,í^ можно найти интегри-

рованием смещение м(х,()

В силу того, что А — симметричная матрица третьего порядка, у нее существуют три различных действительных собственных значения у,г и три собственных вектора 1,

+ (4)

¿>о у Ро

где +

1, = (1,тр2,тръ), 12= (-2кт,р2,р3), 13 = (0,р3,р2), (5)

цг

где т- т(р,к)= ■, рН=-

В п.1 3 система уравнений движения (2) известным методом Куранта приводится к нормальной форме, что позволяет воспользоваться известным численным методом характеристик с использованием интерполяции и метода Эйлера интегрирования уравнений движения по характеристикам (Г.И Петровский) В п 1 4 этот метод обобщен на метод Рунге-Кутта

П 1 5 содержит основные уравнения нелинейной динамической теории упругости по монографии Д Бленда «Нелинейная динамическая теория упругости», которые приводятся справочно

Во второй главе вводится понятие монотипных волн Это квазипродольные, квазипоперечные и поперечные волны, распространяющиеся независимо друг от друга Получено точно общее решение дифференциальных уравнений динамики этих волн в виде инвариантов Римана Это позволило точно решить задачу распространения монотипных волн с учетом и без учета действия внешних сил частного вида

Получены волны Римана как частный случай монотипных волн Волна Римана распространяется в одном направлении Монотипная волна представляется как результат взаимодействия двух волн Римана одинакового типа, распространяющихся в противоположных друг другу направлениях. В случае линейно-упругой среды монотипная квазипродольная волна вырождается в продольную, квазипоперечная — в поперечную, поляризованную с другой поперечной волной, эти линейные волны распадаются каждая на две не взаимодействующие друг с другом волны, распространяющиеся в противоположных направлениях

В нелинейных средах в процессе движения происходит локальное перераспределение энергии (что показано на примере волны Римана), приводящее к образованию ударной волны - источника колебаний, который, как всегда, дает волны, распространяющиеся в разные стороны по линии их движения. Построена продольная ударная волна в виде ее фронта, несущего динамические переменные, заданные инициирующей их известной

и

волной Римана Локальное перераспределение энергии в распространяющейся волне и образование ударной волны объясняют феномены обращения волнового фронта (возникновение обратной волны в среде без границ разрыва упругих параметров), сейсмической эмиссии, регулярного изменения спектрального состава волн

В п 2 1 излагаются основные положения математической модели монотипных волн.

Выберем векторы р* и р, так, чтобы они были направлены по собственному вектору 1(р) = (4, Ь, Н) матрицы А(р) (1) системы (2), соответствующему собственному значению у2(р), те р, = Ьх(х, /)1, р, = ¿((дг, ¿)1, — дважды непрерывно дифференцируемая функция Тогда р = р(Ь) — решение обыкновенного дифференциального уравнения

^ = КР). (6)

аЪ

Система (2) в этом случае примет вид

(7)

Ч(-у21Ьх=0,

В зависимости от направления вектора I система (6)-(7) определяет монотипные волны поперечные, квазипоперечные или квазипродольные

Пусть г^сог^, фс, {")=сотХ — два семейства характеристических кривых системы (7), тогда, переходя к характеристическим переменным % и г/, получим систему уравнений движения в этих переменных

б)^-у(р(Ь))^=0, г){дк~ъЩ=0, (/с = 1,2,3,1к ФО) Проинтегрировав уравнения (8в) и (8г), получим инварианты Римана «Й.Ж7)

не изменяющие своих значений на характеристиках £(х,/)=соп81 и

Инварианты Римана имеют важнейшее значение в изучении монотипных волн, поскольку представляют собой общее решение динамических уравнений (8в) и (8г) с произвольными функциями «*(£), Д(//) Эти произвольные функции выбираются в зависимости от конкретной решаемой задачи

Например, решение задачи распространения сейсмических волн с данными Коши

$=гк, ь(£О=А0(& ч(£0=ч 0(3

на нехарактеристической кривой л: t = /о(4) имеет вид.

Чк<Л, V) +<&<Л)+<РкЩ&) - <РкФаШ,

П Л (10)

Ц&ч)=%1 %(&„(£))+йСШ)}

где (р^ - функция, обратная <рк

По функции Ъ(%,т]) определяются (}Фк, г = 1,2,3)

Переход к переменным х,? осуществляется в процессе решения уравнений (8а) и (86). Из них для получается линейное уравнение

2^+(1ПУ)^,+ (1ПУ),^=0 (11)

Однако эффективнее другой способ решения уравнений характеристик (8), удобный для численной реализации с использованием метода Рунге-Кутга

Введем в рассмотрение функции а>\ и аь

Тогда уравнения характеристик (8а) и (86) для этих функций запишутся в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений

вдоль характеристик т} =const,

Л! V

(14)

_ v,

drj 2v вдоль характеристик £=const.

Таким образом, численное решение уравнений (13) и (14) дает решение кинематической части задачи распространения монотипных волн, решение динамической части определяется инвариантами Римана

Монотипные волны представляют собой результат взаимодействия волн Римана (простых волн), бегущих в противоположных направлениях по оси Ох Теория этих волн хорошо известна Наиболее компактное их представление описывается в п 2 2 инвариантами Римана (9): для волны, бегущей в направлении оси Ох:

«(£) =0. Р=Ро(т7), 4=40(77), b=bo( rj), х=х0( fj)+v(po( rj)){t -t0( 77)), для волны, бегущей в противоположном направлении

Р(л) =0, Р=Ро(£), Ч=Чо(Я, b=bo(^), ^o(^)-v(po(m -x = x0(Q, t = io(4) - кривая, на которой задаются данные Коши при

В п.2.3 рассматриваются продольные изоэнтропическйе ударные волны Для построения ударной продольной волны система уравнений продольной монотипной волны записывается в дивергентной форме =qt~v(p)x=0, qx-pt=0, i/(p)=v\p) и осуществляется переход к характеристическим переменным

ср\р) = у{р), у'{р) = у\р). Принимается, что волна Римана бежит в направлении оси (к и х = х0( т]),

(=Чп), =0,Р=Ро(п), Я=Ча(л)-

Характеристики - однопараметрическое семейство прямых

х = !7 + 1<17)*. (15)

Для краткости кодификации сложных функций имена функций не меняются, поэтому v{p{■r|)) = у(7)и т.п.

В общем случае прямые, описываемые соотношением (15), непараллельны. Есть зоны их сходимости и расходимости с ростом времени / (см. рис. 2). Пусть для определенности прямые (15) сходятся для /7 = г/~ <г/3 и расходятся для 17 = г)* >г]$ (рис. 1).

По теореме о существовании неявной функции т} = т](х,1), определенной равенством (15), эта функция будет неоднозначной при условии

l + v'{rf)t = 0, (16)

которое определяет огибающую С характеристик (15) с параметром rj = rj~ в виде

t = tc(n) = -1 /v\n), х = xc(t]) = tj + v(T])(tc(n)-ts) (17)

Таким образом, если исходить из картины на рис 1, то функции p(rj ) и q{t]~) будут однозначными всюду, кроме клиновидной области Д ограниченной огибающей С и характеристикой R, проходящей через точку t]s В этой области возможно нарушение однозначности. Точка S (острие клина) на рис 1 - точка начала разрыва функций pirj) и q(r[) вследствие неоднозначности определения tj = rj(x,t) Координаты точки S x — xc(ij), t = tc(rj), являются решением трансцендентного уравнения v"(77) = 0 Характеристика R имеет уравнение x = ijs+ v(rjs)t

Далее известным способом определяются локально соотношения для функций, определяющих динамику ударной волны в случае

Ударная волна располагается на предполагаемой кривой W x = xw(6), t-tw{ff) и на ней известны соотношения р = р(9),

V — дДv(p)/р, q = -pV. Их связь с кривой W следующая.

V = dx/dt = xw/tw

Для выхода за пределы локальности определим кривую W в неявной форме 6{x,t) = const Для V = V(&) будем иметь дифференциальное уравнение У(в)вх +9t =0, характеристики которого удобно взять такими: x — 0 + V(e)t. Они отличаются от характеристик (15) только скоростью V(0). Связь между параметрами в и т] определяется ts= 0 и равенством в = rf для p{jf) = q{rf ) s 0.

Известно, что огибающая однопараметрического семейства решений дифференциального уравнения в частных производных первого порядка также является решением этого уравнения, поэтому параметрические уравнения кривой ^определяются так же,как кривая С•

t = tw(0) = -l/VXe), x = xw(e) = e + V{0)tw{e), 0=77-, разница только в скоростях V и v

На ударной волне инварианты Римана принимают вид a(p) = <-p(p)-pV(p), Р(р) = <р{р)+pV{p\ а(р) Ф 0. Поэтому за счет скачка смещения q и образования скорости V<vволна Римана порождает монотипную волну с ог^Ои 0, то есть за ударной волной образуется отраженная от нее волна, бегущая в противоположном оси Ох направлении (ее характеристики располагаются в области F на рис 1) Это явление согласуется с феноменом обращения фронта волны,

наблюдаемым в натурных экспериментах Кроме этого, в зонах сгущения характеристик происходит повышение плотности энергии, приводящее к генерации высоких частот с образованием кратных частот в зависимости от характера нелинейности среды (см рис 4 и 5) Разрыв р ид порождает весь спектр частот, в дальнейшем эти разрывы сглаживаются в результате диссипативных процессов в реальной среде, в спектре начинают преобладать низкие частоты

Образование ударной волны и ее движение описывают феномен сейсмической эмиссии

Для того чтобы монотипная волна оставалась таковой при действии внешних сш (п 2 4), их вектор Р должен быть коллинеарен собственному вектору ¥ = Инварианты Римана в этом случае такие'

<рк№,пЪ+Чк{£, 7)+= «*<#).

I

1

Интегралы вычисляются численно совместно с решением дифференциальных уравнений характеристик

В п 2 5 дано обобщение полученных результатов на анизотропные среды

Пусть и — внутренняя энергия деформируемой идеально-упругой однородной сплошной среды при нулевом значении энтропии Не уменьшая общности, можно считать, что 17 является полиномом в случае изотропной среды - инвариантов (1ь Ь, 1з), а в случае анизотропной среды — компонентов (уу) тензора конечных деформаций, записанного в декартовой лагранжевой системе координат (х, у, г) Коэффициенты полинома в упомянутых случаях являются упругими константами

Функция энергии динамического деформирования для плоских волн IV = р0и =Т¥(р1,р2,рз}=Щр) в отличие от случая изотропного тела, когда

Система уравнений, описывающих явление распространения безударных плоских волн, записывается так же, как для изотропной среды

а, - Жр)р =0,

ч,-р, = о

/ 1 \ 1 д№

Только в этой системе А(р) ---— квадратная симметрично

др1др]

ная матрица третьего порядка, у которой все ее собственные значения (X £=1,2,3) вещественные и положительные, чем и обеспечивается гиперболичность системы В общем случае волна и(х,1) состоит из одной квази-

продольной и двух квазипоперечных волн. В изотропной среде одна волна обязательно поперечная

Уравнения (18) ничем не отличаются по форме от уравнений для изотропной среды Коренное отличие заключается в том, что при повороте системы координат (х, у, г) и переходе при этом к системе (х', у', г') коэффициенты полиномов рг, рз) и Ш=Ш(р\, р\, р'3), где р! = ди1 /дх', будут различны, что и приводит к различию скоростей у и V' В изотропной среде скорость V не зависит от направления распространения плоской волны

Таким образом, при качественном изучении особенностей распространения упругих волн в анизотропных средах можно пользоваться методами, разработанными в данной главе для изотропных сред При количественном изучении нужно иметь в виду, что упругие константы зависят от принятого направления оси Ох и это скажется на скоростях распространения волн ук и собственных векторах \ (¿=1,2,3) В этом вся сложность изучения явления распространения волн в конкретных анизотропных средах Следует отметить, что для анизотропных сред дифференциальные уравнения всегда строго гиперболические в изоэнтропическом случае в отличие от изотропных сред, для которых дифференциальные уравнения перестают быть строго гиперболическими

В третьей главе рассмотрены частные модели сред со степенной нелинейностью, которые заданием конкретного вида функции энергии динамического деформирования получаются из модели, предложенной в главе 2 Рассматриваются среды с квадратичной нелинейностью (модель Мурнагана) и с кубичной нелинейностью Модель среды с кубичной нелинейностью построена, исходя из предположения, что сжатие элемента среды равно его растяжению, взятому с обратным знаком, т.е диаграмма растяжения-сжатия имеет вид кубической параболы Получены формулы для решения динамической части задачи распространения монотипных волн, формулы для волн Римана Для получения решения кинематической части задачи распространения монотипных волн, т е решения уравнений характеристик, предложена модификация метода Рунге-Кутта и описан алгоритм решения. Приведены в графическом виде результаты компьютерных расчетов по этому алгоритму с помощью созданной программы - моделирование процесса распространения монотипной волны с формированием из нее волн Римана. На полученных картинках представлено изменение формы волны, зоны сгущения характеристик - зоны возникновения ударных волн. Получены спектры продольных волн Римана в средах с квадратичной и кубичной нелинейностью Показано совпадение полученного теоретически спектра для среды с квадратичной нелинейностью со спектром сигнала, зарегистрированного в результате эксперимента в поле

В п 3.1 рассмотрены разделенные волны

Положим 1¥рЛ = 0в матрице А Тогда IV(р,И) = 0 представляется в виде

Ж(р,к)^Щ(р)+Ж2(Ь) (19)

Волны, как монотипные, разделяются на продольную и две поперечные, распространяющиеся с различными скоростями V,, v2, у3.

В случае (^"=0 имеем V2 = /и/ра, те. одинаковые скорости линейных поперечных волн

В п 3 2 приведены примеры волн в конкретных средах Функция энергии динамического деформирования (IV) разлагается в обобщенный ряд Тейлора по инвариантам Для плоских волн получается представление

Ж = (-Л + ц)т2 +—/тг + р0(—Лт3+—Втп2 +—Ьт* +—Мт2п1+—Рп4), (20) 2 2 6 2 12 12 12

в котором т = рх=иХх, п2 - р1 + р1= + и^, А,В,Ь,М,Р - реологические константы

В п 3 2 1 рассмотрен пример среды с квадратичной нелинейностью (Мурнагана).

Примем в (20) следующие обозначения

Х + = раА = в, р0В = у, т = р1=р, я2 =р22+р32 =2й В этих обозначениях частные производные функции энергии деформаций (IV) будут такими

Жрр=у+вр, Жрк = у, Жм=0, ЖИ=м+Гр

Выбор знака у модуля О определяется из экспериментов При у = 0 в соответствии с п 3 1 нелинейной будет только продольная волна (V2 = (у+6р)/р0)

Принято р(Ъ) = Ь и в соответствии с п 2 3

... . . г \у + вр. 2 (у + 0р)зп ,, 1 (з<р(4,7])УП и

Ч(£л) = ^Ы&+Ш+<Р(Ро(&)-<Р(Рот), (21)

<Р(£,'7)=\(Яа(£) - 9о(.П)+<Р(Ро^)) + <КР0(п)У)

при данныхКоши # = ^ = * = х0(О, '='<>00 = Ч = Яа(41

Формулы (21) определяют решение динамической части задачи Коши. Приведен конкретный вид волн Римана

В п 3 2 2 рассмотрен пример среды с кубичной нелинейностью, для которой поставлено требование, чтобы диаграмма растяжения удовлетворяла условию сжатие есть растяжение с обратным знаком Вследствие

этого условия функция энергии деформаций 1У(р,/г) должна быть четной по р

Тогда Жрр=у+вр2 + ГН, №рк=ур, ТГьь=т, 1¥к=+ + тк Здесь

введенные в п. 3 2 обозначения

Л + 2р = у, = \р„М = Г, -раР = т, А = В = 0. ^ о

Уравнение, описывающее продольные волны, имеет вид

(у+вих) —щ= 0. При данных Коши / = 0, дс = £, и-для волны Ри-Ро

мана, бегущей в направлении оси О* получаются формулы

V у

АгаЦ^Ио'(О)

Для волны, бегущей в противоположном направлении, нужно сменить знак у скорости V

В п 3.3 описан алгоритм решения задачи распространения монотипной волны (задачи Коши). Решение задачи разделяется на динамическую и кинематическую части В п. 2 1 главы 2 получено решение (10) динамической части задачи Коши Для получения кинематики (характеристик) предложено решать обыкновенные дифференциальные уравнения вдоль характеристик (13), (14) Для этого случая модифицирован обычный метод Рунге-Кутта и дано его описание

В п 3 4 представлены результаты компьютерного моделирования распространения монотипных волн На рис 2 представлены характеристики квазипродольной волны в среде с кубичной нелинейностью. Видно, что характеристики близки к прямым в зоне взаимодействия волн и прямые в зоне их превращения в волны Римана. Это свойство характеристик обусловило численный метод, описанный ранее

На рис. 3 представлена продольная составляющая квазипродольной волны в среде с кубичной нелинейностью Виден переход от взаимодействия волн к их независимому движению в виде волн Римана

Рис. 2. Характеристики квазипродольной волны в среде с кубичной нелинейностью

Рис. 3. Продольная составляющая квазипродольной волны в среде с кубичной нелинейностью

В п.3.5 исследуются спектры продольных волн Римана в средах со степенной нелинейностью. На рис. 4 приведен теоретический амплитудный спектр продольных волн Римана для среды с квадратичной нелинейностью. Спектр представлен в логарифмическом масштабе. Спектр волны без учета нелинейности представлен пунктирной линией.

Этот спектр получен на 10 лет ранее полевого спектра на рис. 5 в нормальном масштабе. Полное совпадение кратных частот 2со, Зсо, 4со исходной частоты ю определяет выбор модели с квадратичной нелинейностью для описания данной геологической среды.

Рис. 4. Спектр сигнала для среды с квадратичной нелинейностью

.....1

^•ииУауУ«. Л 1

Рис. 5. Спектр сигнала по результатам полевых наблюдений

На рис. 6 приведен амплитудный спектр для среды с кубичной нелинейностью. Видно возникновение кратных частот со, Зсо, 5со и т.д.

Рис. 6. Спектр сигнала для среды с кубичной нелинейностью

В четвертой главе, носящей прикладной характер, описаны математические модели распространения сейсмических волн во флюидо-насыщенных резервуарах и зонах их контакта с упругими средами.

Различают два случая неупругого поведения гетерогенной двухфазной геологической среды:

а) взаимодействие деформационно-диффузионных процессов движения жидкости в горных породах, подверженных дилатансии и образованию зон деструкции за счет флюидо-геохимических преобразований минералов с движением флюидов. В результате взаимодействия образуется диссипа-тивно-дисперсная среда. Этот процесс очень медленный и длится столетиями и более. Важно, что при математическом моделировании описанного взаимодействия используется шаровая часть тензоров напряжений и деформаций и закон фильтрации Дарси. В среде происходят неупругая деформация и релаксация давления;

б) кратковременное волновое воздействие на геологическую среду, применяемое в сейсмике, когда изучаются сейсмические волны во флюи-до-насыщенной среде. В этом случае для математического моделирования волновых движений в такой среде используют девиаторы соосных тензоров напряжений и деформаций. В этом случае квадраты интенсивностей касательных напряжений и деформаций сдвига пропорциональны вторым инвариантам соответствующих девиаторов.

Вследствие существенно разных временных масштабов процесса б на фоне процесса а последний можно считать стационарным и не учитывать.

Если релаксационные процессы, происходящие в сплошной среде, обусловливаются взаимодействием между упругой (твердой) и вязкой (жидкой) фазами квазиизотропной среды, то соответствующие соотношения между напряжениями и деформациями называются вязкоупругими. В зависимости от того, определяется ли при таком взаимодействии доминирование твердой или жидкой фазы, простые вязкоупругие среды называются упругозапаздывающими или релаксирующими.

Простейшая упругозапаздывающая среда - Кельвина-Фойгта Среда с линейной релаксацией - Максвелла

Приведено общее линейное дифференциальное уравнение описания механических движений во флюидо-насыщенном резервуаре в диссипа-тивно-дисперсном состоянии Принято доминирование твердой фазы, и для изучения выбрано волновое уравнение для диссипативно-дисперсной среды. Поскольку поперечные волны очень быстро затухают (опыты Н Н Пузырева), то рассматриваются только продольные волны

Для изучения свойств решения использован метод разделения переменных Показано, что все особенности, связанные с диссипативными и дисперсными процессами, описываются уравнением для функции времени в разделенных переменных Уравнения для функции пространственных переменных одинаковы для любых сред Поэтому изучаются только плоские волны

Смоделирована природная ловушка для флюидов (резервуар) и рассмотрены случаи отражения волн от окрестности резервуара (от упругой среды) и от разных зон внутри резервуара Показано, что диссипативно-дисперсные свойства среды влияют на уменьшение скорости распространения волн, на сдвиг частот в сторону низких в амплитудном спектре волны, на увеличение амплитуды отраженных от резервуара волн (феномен яркого пятна на сейсмограмме) и на появление запаздывающих по фазе волн. Тем самым обеспечивается адаптивный метод вибросейсморазведки, т е подбор частоты вибратора в зависимости от свойств исследуемой среды по параметрам отраженной волны Эти результаты были получены в рамках работы по заказу ОАО «Центральная геофизическая экспедиция» при участии ее представителя В Б Левянта

Полученные ранее результаты по нелинейным волнам и волнам во флюидо-насыщенных резервуарах обобщены в виде модели, содержащей нелинейную, диссипативную и дисперсную части и являющейся комбинацией уравнений нелинейной упругости, Бюргерса и Кортевега де Фриза, которые хорошо изучены Уравнение Кортевега де Фриза в качестве решения дает солитоны, которые возникают при движении вместо ударных волн и тем сильнее обеспечивают появление очень яркого пятна на сейсмограмме

В п41 описана линейная математическая модель флюидо-насыщенных сплошных сред

Общий случай упругосжимаемой линейной вязкоупругой среды описывается определяющими уравнениями

Ро- = 2/иКе+((Я+1 /Ж) ¿IV и£~а(ЗЛ+2/и)Рд£ (22)

Здесь Р и Л.— линейные дифференциальные операторы д дт „ , , д , д"

ак (к = 0,1, , т), Ък (к - ОД, , п) - материальные (реологические) константы, являющиеся комбинациями времен релаксации и модулей сдвига, <т- тензор напряжений, е— тензор малых деформаций, Е- единичный тензор, и-вектор смещений, Q- абсолютная температура, X, ß- константы Ламе, «-коэффициент объемного температурного расширения, t— время

Следует подчеркнуть, что уравнение (22) содержит только равенства девиаторов тензоров напряжений и деформаций с включением влияния объемного температурного расширения Учитывая кратковременность волнового воздействия на вязкоупругую среду, принимается Q = const и в дальнейшем Р = 1, т е в среде доминирует твердая фаза в дисперсном состоянии.

В п 4 2 рассмотрена задача распространения волн в зоне контакта резервуара с упругой средой.

Упругозапаздывающая диссипативная среда Кельвина-Фойгта опре-0

деляется оператором R = l + r— (т — время запаздывания).

dt

При плотности массовых сил F = V/4Vxg уравнения движения в потенциалах Ф и А такие-

Д((2 + 2//)Ф + ^?7Ф<)-рФ„+// = 0, (23)

А(//А + Г)А}) - рА„ + рА = 0, divA=0 (24)

Здесь р—плотность, rj = fir—коэффициент вязкости

Векторный потенциал описывает поперечные волны Экспериментальными работами Н Н Пузырева было показано их быстрое затухание, и поэтому их изучение опускается

К этим уравнениям можно применить метод разделения переменных. Для скалярных волн (23) при / = 0 полагаем

<& = <p(x,y,z)T(t)

В результате применения метода разделения переменных получаем уравнения

А<р + к?<р = 0,

к2 4 (25)

Т" +—((Л + 2р)Т+-?1Т') = 0 Р 3

При 77 = 0 уравнения (25) превращаются в уравнения колебаний упругой среды, т е первое уравнение (25) одинаково как для упругой, так и для вязкоупругой сред. Свойства решений этого уравнения достаточно хорошо изучены Второе уравнение (25) описывает специфику распространения волн в вязкоупругой среде и по форме совпадает с уравнением

Т" + 2пТ' + а2Т = 0 (и > 0, а > 0) (26)

затухающих упругих колебаний классической теоретической механики

Уравнение для смещения и = и(х,1), описывающее движение плоских волн в направлении оси (к представляется в виде

у2ихх+2Ьихх1-щ=0 (27)

Здесь v1 =(Х + 2ц)!р, &=(2»$(3р), р = (\-кл)рм, Рм- плотность среды до дилатансии (плотность монолитной горной породы), кп — коэффициент пористости, р - вычисляемая плотность вязкоупругой среды

Дифференциальное уравнение (27) при Ъ = 0 превращается в уравнение плоских продольных волн, при у = 0 — е уравнение диффузии, т е оно соединяет в себе упругие и диффузионные свойства Метод разделения переменных дает

и = Х(х)Т(() (28)

Х" + к2Х = 0 (29)

Т" + 2Ьк2Т' + к2у2Т = 0 (30)

Заметим, что уравнение (29) не зависит от коэффициентов V2 и 2Ъ исходного уравнения (27), и его общее решение запишем так

Х(х) = А&Щкх + у), (31)

в этом решении А, к, у—пока произвольные константы.

Для исследования свойств решений уравнения (30) введем обозначения п = Ьк2, а = ку и получим уравнение (26) Оно описывает свободные упругие колебания при наличии сопротивления, а при п = 0 — свободные гармонические колебания Его общее решение зависит от знака разности я — и и представляется так

при а - и > 0 Т = Ве'т &т^аг-п2 + /3) (32а)

при а — и = 0. Г = + А2) (326)

при а—п<0: Т-А1 ехр(-(и-\/и2-д2» + А1 ехр(-(и+4п2-а2)^(32в) Здесь А1, А2, В, р — произвольные константы Случаи (326) и (32в) не являются колебаниями, а представляют собой процесс диффузионного рассеяния (диссипации) механической энергии На временном разрезе регистрации результатов наблюдений в сейсморазведке случаи (326) и (32в) дают нерегулярные помехи Сосредоточим свое внимание на случае (32а), т е принимаем

Т = Ве~"' вт (?л/а2 - и2 + р), (а-п> 0) (33)

Общее решение исходного уравнения (27) представляется суперпозицией бегущих волн вида

Хк(.х)ТЛ1) = е"'{с1Со%{ш (1±р) + С^т(со (34)

Здесь V-т/к Из (27), (33) и (34) следует, что угловая частота со колебаний меньше, чем частота свободных гармонических колебаний (идеально упругая среда), амплитуда колебаний уменьшается за счет увеличения как параметра к, так и времени t

6) — ^Ja2—n2 =kV<kv (35)

При увеличении параметра п увеличивается затухание колебаний (поглощение), чем и описывается диссипативность среды

Рассмотрим в окрестности границы (х = 0) раздела упругой и вязко-упругой сред явление отражения и преломления при нормальном падении на эту границу продольной упругой волны. Считаем известными следующие константы, характеризующие среды упругие - Ли /г,, р1, а„- принятый в сейсморазведке коэффициент поглощения; вязкоупругие —Я, р, р, т

Используя эти константы, вычисляем

V? V2 = 6 = If, „ = аЛ, *2 r = ® = *к

Основные константы подобраны так, чтобы можно было согласовать отдельные затухающие гармоники в контактирующих средах с тем, чтобы легче было разобраться в физической сущности изучаемого явления

Известную падающую (ип) волну при условии, что ип&0 перед фронтом волны t—jc/v; (те среда находится в покое), искомые отраженную (и0) и преломленную (мпр) волны представим так.

е-«(/-Дг/у,) sm(c3(f_A)) Vf,x. f-— > О v, v,

«„Н 1 1 (36)

О \/t,x t-—< О vi

vi

ищ = е'а (ct cos(®(i - р) + Сг sm(«(i -

Следует отметить, что падающая волна - не импульс, а затухающая синусоида, определенная на координатной полуоси, поэтому она имеет большую протяженность во времени

Функция <р определяется из условия непрерывности смещений на границе х=0

Мп+М0="пр

и имеет вид

(p(a>t) = Сх cos at + (С2 -1) sm cot

Константы С] и С2 определяются из условия непрерывности нормальных составляющих тензоров напряжений упругой и вязкоупругой сред

4

(4 + 2 А, Ж^ + иох) = (Л + 2ц)и^х + - /итипрх,

Так как со8ог = -81п(а-яг/2), отраженная волна в окрестности границы отражения-преломления приобретает вид

м0 = С эш а>1 - С, 81п(а>/ - (С, > 0),

т е. состоит из двух волн- первой — основной и второй — запаздывающей по фазе на тс¡2 Здесь уместно заметить, что если время т запаздывания равно нулю, то и вязкость среды (цт), поглощение п и коэффициент С, будут нулевыми, следовательно никакой диссипации энергии не будет

Таким же образом рассматривается движение волн из вязкоупругой среды в упругую с плотностью ри и скоростью распространения волн

т>м

В п 4 3 описана математическая модель адаптивного метода вибрационной сейсморазведки

Получена связь между падающей нормально к границе вязкоупруго-го слоя плоской продольной волной в виде затухающей синусоиды и волной, отраженной от этого слоя Вязкоупругий слой обладает не только дис-сипативными свойствами, но и дисперсными Это приводит к уменьшению скорости распространения и поглощению волн в слое Рассмотренная модель ориентирована на адаптивную форму вибросейсморазведки, поскольку можно определять по форме возбуждаемой волны форму регистрируемой отраженной от слоя волны. Это позволяет подобрать режим работы виброустановки

Уравнение движения берем в форме

(Л+2/ф„ + +г\и:а1,)-ри11 =0 (37)

Здесь введен параметр т2, учитывающий дисперсность среды Применив к уравнению (37) метод разделения переменных (и(дг,0 = Х{х)Т(1)), получим, как обычно, два уравнения

Х" + к2Х = 0, Т" + 2пТ' + а2Т = 0 (и>0,д>0).

Здесь

„- П, кЧ 2 ,2 2 2 _ Л +

Ур, у? - квадраты скоростей продольных и поперечных волн Параметр к разделения переменных - волновое число

Решение u(x,t) уравнения (37) представляется в форме бегущих простых волн

и - е"' (A, cos(cot ±кх))+А2 sin(oi ± foc))). (39)

Из формул (38) и (39) следует соотношение<о = л1а2-п2 =kV<ка, и влияние реологической константы г2 такое, что с ее ростом скорость К уменьшается, следовательно уменьшается частота колебаний т. Это объясняет сдвиг частоты в сторону низких частот, увеличение амплитуды отраженных от резервуара волн (феномен «яркого пятна») (см рис 7, 8, 9), В окрестностях границ х = 0 и х = h вязкоупрутого слоя толщиной h, лежащего между упругими средами, рассмотрено явление отражения и преломления при нормальном падении на эти границы продольной упругой волны

В п 4 4 рассмотрен общий случай упругосжимаемой линейной вязкоуп-ругой среды при постоянной температуре

Уравнение движения имеет вид 2 4

(Л + -/Л + - иЩи^ - рии = О

После разделения переменных u(x,t) = X(x)T(t) для T(t) при выборе констант в операторе R такими, чтобы b0= 1, Ьх = г,, Ъ2=т\, а остальные константы bj (j =3,4, ) удовлетворяли бы равенству

iV, 2 4 „v fa2 „ а Д 3м ЪИ ) l^i2 dt

Т = О,

получается решение

Г(0 = А/ ехр(~п1 ± Ну}а1 - п2 ) (5 = 0,1,2, .)

Здесь А) — произвольные феноменологические константы, и и а2 определены формулами (38), I - мнимая единица Феноменологические константы позволяют по форме изучаемых конкретных источников получить их влияние на форму регистрируемых колебаний

Смещение ик(х,(), соответствующее константе к разделения переменных, имеет вид

ик (х, I) = с, (0 соэ(Ш ± кх) + сг (?)± кх)

5 £

Здесь = , сг(() = ^_1С2/е~'", V = со!к —скорость распро-

1=0 ' 1=0

странения волн в резервуаре, а> = 4аг -г? =кУ~ угловая частота, к - волновое число

Получена формула а = упрощающая разрешение условий кон-

такта упругой и вязкоупругой сред. Эти условия разрешены в общем виде движения из среды упругой в вязкоупругую и наоборот при нормальном падении волн на границу контакта.

В п. 4.5 приведены примеры расчетов волновых полей в зоне контакта флюидо-насьпценных резервуаров с упругой средой.

Для конкретных сред получены результаты в графическом виде для сопоставления форм падающей упругой волны (импульс Берлаге) на границу флюидо-насыщенного резервуара, отраженной волны от него и от монолитной породы в зависимости от характера содержащихся в резервуаре флюидов: вода, переходная зона вода-нефть, нефть. Схематично резервуар изображен на рис. 7. Здесь монолит — горная порода, в которой образовался резервуар, осадочный чехол - слои пород, покрывающие резервуар. Монолит и осадочный чехол обладают упругими свойствами. Скорость распространения волн в монолите больше, чем в чехле.

Рис. 7. Схема резервуара

Результаты представлены в виде отдельных кривых (трасс) и в виде временных разрезов, используемых в геофизике. В случае вязкого флюида (нефть) видны запаздывающая по фазе волна и уменьшение ее амплитуды. Пример представлен на рис. 8. На рис. 9 представлен синтетический сейсмический разрез резервуара, на котором выделяются «яркие пятна» - увеличенные амплитуды отраженных от резервуара волн.

Эти результаты были получены в рамках работы по заказу ОАО «Центральная геофизическая экспедиция» при участии ее представителя В.Б. Левянта. На рис. 10, 11 представлены экспериментальные данные, полученные В.Б.Левянтом: трасса временного разреза, полученного для резервуара с нефтью, и ее амплитудный спектр.

0 0.022 0.044 0.06(5 0.088 0.11 0.13 0.15 0.18 0.2 0.22 024 026 029 031 033 0.35 027 0.4 0.42 0.44

Время (с)

Рис.8. Отраженные волны от резервуара

О 200 400 600 800 10001200140016001300200022002400260028003000320034003600380040004200440046004800

1200' 1ЭОО-14001500 1600' 1700' 1800' 1900'

Рис. 9. Синтетический сейсмический разрез резервуара

55555555550555555555555555555

Рис. 10. Трасса временного разреза, полученного для резервуара с нефтью (отраженный сигнал)

Рис. 11. Амплитудно-частотный спектр сигнала, отраженного от резервуара с нефтью

В п 4 6 рассмотрена нелинейная модель волнового движения во флюидо-насыхценном резервуаре

Нелинейное дифференциальное уравнение с совместным действием нелинейных, диссипативных и дисперсных членов в правой части имеет вид

Щ -= е(а«X, + К* + с2ия„) (40)

Известным методом получается его низкочастотная аппроксимация в координатах £,-х-ур1, Т~е1

2 Урдт+ад"д(-Ьурд^ + с2у2рд((( = 0 (41)

Связь между уравнениями (40) и (41) осуществляется в соответствии с заданием начального профиля волны, те м(х,0) = /(х,0), /'(*, 0) = <?(*,0)

В зависимости от значений параметров п, с, Ь получаются дифференциальные уравнения « = 1, с = 0 - Бюргерса для диссипативных сред, с = 1, 6 = 0 - Кортевега де Фриза порядка и для сред в дисперсном состоянии, а при п ~ 1 - классическое уравнение Кортевега де Фриза

Решением уравнения Кортевега де Фриза являются солитоны, появляющиеся в дисперсной среде вместо ударной волны, возникающей в монотипной среде. Солитоны обладают очень большими амплитудами

Таким образом, в четвертой главе

- построена и исследована математическая модель явления распространения сейсмических волн во флюидо-насыщенных резервуарах с доминированием части твердого тела Все особенности волн заключены в функции 7Т(г), не зависят от геометрии границы резервуара и точно описываются плоскими волнами,

- получены точное общее представление плоских волн, которое можно рассматривать как обобщение импульса Берлаге, и выражение тензора напряжений для случая плоских волн,

- определены границы основных измеряемых параметров модели, определяющие особенности волнового движения диапазон изменения скорости распространения волн в резервуаре (V), влияние вязкости среды на затухание волн, влияние частоты и скорости на волновое число, важное для представления движения в форме бегущих или стоячих волн при прикладном использовании модели

Скорость в вязкоупругой среде (V) уменьшается не только за счет увеличения вязкости среды, но и за счет времени дисперсии волн Вариацией их значений можно получить любую скорость V (в допустимом диапазоне ее изменения), вплоть до близкой к нулю, т е получить отсутствие волнового движения в вязкоупругой среде или, иными словами, полное отражение от границы резервуара Резкое понижение скорости V в случае

линейной модели и возникновение солитонов в нелинейной объясняет феномен «яркого пятна».

В пятой главе предложен принципиально новый подход к построению математической модели явления распространения сейсмических волн в геологической среде Это явление изучается не в точках среды, а в их окрестностях в усредненном виде на основе использования интегральных законов сохранения механики сплошной среды, что ближе к реальности и позволяет естественным образом учитывать неоднородности среды типа границ контакта различных горных пород Математическая модель представляется обыкновенными дифференциальными уравнениями вместо уравнений с частными производными Такой подход может быть использован и для изучения других эволюционных процессов в Земле (например, электромагнитных), в основе которых лежат интегральные законы сохранения.

Геологическая среда весьма неоднородна по своему составу и структуре, в сущности гетерогенна Ее механические параметры имеют усредненные значения в силу способа их измерения При математическом моделировании волновых процессов в геологических средах по традиции используют дифференциальные уравнения, невольно считая при этом среду сплошной (континуальной)

Между тем в основе механики деформируемого твердого тела лежат интегральные законы сохранения и определяющие уравнения, предписывающие изучать явления распространения волн не в точках, а в их окрестностях в усредненном виде При этом форму и объем усреднения исследователь может выбирать, исходя из конкретного типа гетерогенности среды Следует добавить, что границы разрыва материальных параметров (границы контакта геологических сред с различными горными породами) учитываются при вычислении интегралов, входящих в законы сохранения, и должным образом влияют на процесс распространения волн. Заметим также, что граничные условия контакта, необходимые для построения математической модели в виде дифференциальных уравнений, получаются из законов сохранения. Таким образом, интегральные законы сохранения не только ближе к реальности, но и упрощают постановку задач распространения волн в слоистых средах.

В случае малых деформаций, симметрии тензора напряжений, пренебрежения термодинамикой деформаций и использования энергетически допустимых определяющих уравнений (что сделано для более прозрачного изложения сути предлагаемого численного метода) остается только закон сохранения импульса и определяющее уравнение-

а = сг(х,у,г,р1,р2,р-л),

в которых р— плотность среды, у = (у1,у2,у3) = м,- скорость смещения и=и(х,у,г,1), рт=Уит=(р1т,р2т,р3т), а- тензор напряжений, /плотность объемных сил, х, у, г — декартовы координаты, С?, 3(7, (С? | — область усреднения, ее граница, объем в пространстве {х,у,г}, п- единичная внешняя к дС нормаль, /-время

Согласование векторов V и рт (т = 1,2,3) возьмем также в интегральной форме, пригодной в случае непрерывности упругих параметров среды

Нормировка объемных интегралов в (42) и (43) произведена с целью показа, что эти интегралы можно рассматривать как математические ожидания функций случайных величин с постоянной плотностью их распределения или как средние функции, широко используемые в математическом анализе Фактически (42)-(43) — уравнения для средних значений искомых величин Соотношения (42)-(43) точные и являются основой построения предлагаемого численного метода

Отнесем к введенной системе координат {х,у,г} открытую связную область 2) с кусочно-гладкой границей 5 В этой области ищется распределение усредненных величин у и рк (к-1,2,3) По ним, в случае необходимости, можно вычислить усредненные величины а и и

В качестве основы построения областей усреднения (С?) в (42)-(43) возьмем куб Схуг с центром в точке (х,у, г) и ребром длиной 2Н Ребра

куба направим по осям координат

Введем регулярную сетку узлов {x¡,yJ,zk} (г,у,£ = 0,±1,±2, ) с постоянным шагом к = Н!п (п = 1,2,3, ) Сетка такая, что (¿¡=х,у,г)

Ребро 2Н определяет размер области окрестности точки (х,у, г), шаг к— точность аппроксимации интегралов численными формулами с условием, чтобы не нарушался баланс соотношений (42)-(43) Назовем куб Схуг основным элементом

Если Сх п Я = 0 и [х,у,г) еО, то такой основной элемент будем называть внутренним и обозначать Охуг.

Если Схуг и (х,у,г) еЛ, то такой основной элемент будем

называть граничным и обозначать Таким образом,

Все регулярные узлы сетки {х1,у],гк}, расположенные внутри области 2>, будем считать в (42)-(43) центрами элементов Ог ] к = Д^ у ^

(43)

и = ■ Таким образом, в (42)-(43) область С? возьмем в виде

= или Ои]к =3Х1У^Ч Покроем этими элементами замкну-

тую область 1)и5 Покрытие обозначим ПН п; очевидно, оно многократно перекрывает все точки покрываемой области Ясно, что покрытие области можно осуществить многими способами, например, ввести регулярную сетку узлов с переменным шагом, криволинейную систему координат, в качестве основных элементов выбрать равнореберные тетраэдры и т п

Для всех элементов покрытия Пя „ запишем уравнения (42)-(43)

Получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений с независимой переменной I и искомыми усредненными величинами ч1];к и ртм%к

(т-1,2,3), отнесенными условно ко всем точкам (х,

Проиллюстрируем метод на случае, когда определяющим уравнением является закон Гука

а вектор плотности объемных сил / равен нулю. Здесь тензоры Е, а — единичный и малых деформаций

Переменную плотность р = р(х, у,г) аппроксимируем в рамках областей С1}к постоянной р1]к = р(х1,у1,гк) и запишем уравнения (42)-(43) так

Здесь поверхность Г,у к является пересечением поверхности (Г) разрыва упругих параметров (контакта различных горных пород) и элемента С?г>;>*. Этот элемент разрезается границей Г на части 0]1]к и Часть

0\1]к — та, в которой располагается центр элемента 0, }<к; она имеет внешнюю единичную нормаль пГ =(пГ1,пГ2,пГз) и для нее определены упругие параметры Л,, ¡лх Часть (?2,:,ла имеет упругие параметры Х^,

<у = X(х, у, г)V иЕ + 2р{х,у,г)е,

н

Алгоритмы расчетов для этих частей те же, что и для граничных элементов покрытия При необходимости по вычисленному тензору напряжений (а), используя известные формулы, можно найти тензор деформаций («) и вектор смещений (и)

Важно отметить, что неоднородность геологической среды обычно вызывает большие вычислительные сложности при решении сейсмических задач из-за того, что в дифференциальные уравнения движения входят не только функциональные материальные параметры, но и их производные, на границах разрыва этих параметров требуется разрешение граничных условий, в случае ограниченных твердых тел со сложной геометрией границы или финитных данных Коши необходимо преобразование физической области в расчетную Компьютерная реализация вычислительных алгоритмов сложна и требует большой «ручной» работы при решении конкретных задач Предложенное покрытие с введением граничных элементов освобождает от ручной работы по преобразованию физической области в расчетную, как это делается обычно В данном случае ручная подготовка вычислительного процесса минимальна, однако колоссально возрастает объем автоматических вычислений, но современные компьютеры могут справиться с этой работой

В заключении содержатся результаты, полученные в диссертационной работе.

Из известной математической модели распространения нелинейно-упругих волн впервые выделена математическая модель волн четко определенного типа - квазипродольных, квазипоперечных и поперечных, в совокупности названных монотипными. Общая нелинейно-упругая волна представляется как результат взаимодействия монотипных волн. Монотипные волны распространяются независимо одна от другой

Построена теория монотипных волн на основе полученного общего решения нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих их динамику, в форме инвариантов Римана, без учета действия внешних сил и с учетом их Получены волны Римана как частный случай монотипных волн В фазовой плоскости получено уравнение фронта ударной волны и все динамические величины на ней в зависимости от формы волны Римана, породившей ударную волну

Нелинейная упругая среда при прохождении через нее сейсмических волн вызывает локальное перераспределение энергии внутри волн в виде зон увеличения и уменьшения ее плотности Локальное увеличение плотности энергии в волне вызывает появление сейсмической эмиссии волн и источников колебаний Сейсмическая эмиссия проявляется в спектрах волн в виде появления кратных частот Источники колебаний образуются в виде ударных волн с феноменом уменьшения скорости их распространения и появлением «отраженных» волн от ударной

Эти процессы проливают свет на геофизическое понятие «энергонасыщенности» реальной среды, наблюдаемое, но не объясненное

Построена линейная и нелинейная математические модели распространения сейсмических волн в неупругих диссипативно-дисперсных средах - флюидо-насыщенных резервуарах Эти модели параметрические и объясняют происхождение эффекта увеличения амплитуд отраженных от резервуара волн - феномен «яркого пятна» на сейсмограмме, уменьшение скорости и частоты колебаний, теоретически вплоть до нуля. В случае наличия вязкости среды происходит затухание колебаний и появление запаздывающей волны по отношению к основной По этим особенностям отраженных от резервуара волн возможно проводить их поиск

Предложен близкий к реальности подход к построению математических моделей сейсмических процессов в Земле, описываемых; интегральными законами сохранения В основе лежит положение, что все явления изучаются не в точках среды, а в их окрестностях в усредненном виде с использованием интегральных законов сохранения механики сплошной среды, для чего рассматриваемая физическая область покрывается внутренними и граничными элементами с характерным размером (в качестве элементов могут быть выбраны, например, кубы, равнореберные тетраэдры и т п.) Размер покрывающих областей определяет усреднение свойств среды и выбирается из условий конкретной задачи Для этих элементов записываются интегральные законы сохранения. Получена система обыкновенных дифференциальных уравнений для элементов покрытия со временем в качестве независимой переменной

Предложен один из вариантов такого покрытия и приведен пример численной реализации метода для задач распространения сейсмических волн. Метод полностью ориентирован на компьютерную обработку с едиными алгоритмами расчетов для линейных и нелинейных волн, гетерогенных, упругих и вязкоупругих сред и т п , причем условия контакта различных сред удовлетворяются автоматически, а физическая и расчетная области совпадают.

Основные публикации по теме диссертации 1 Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Гурьянов В В Математическая модель плоских сейсмических ударных волн / В В Гурьянов // Вестник Саратовского государственного технического университета 2007. №1.Вып 2 С.7-14.

2. Гурьянов В В. Особенности распространения сейсмических волн в коллекторах, влияющих на их выявление и дифференциацию 42 / В В Гурьянов, В М Гурьянов, В Б Левянт // Геофизика науч -техн. журн ЕАГО М„ 2003. №4 С 6-10

3 Гурьянов В В Интегральные законы сохранения в прямых задачах сейсмологии / В В. Гурьянов//Доклады РАН. 2002 Т385 №1 С 107-109

4 Гурьянов В В Особенности распространения сейсмических волн в коллекторах, влияющих на их выявление и дифференциацию Ч1/

В В Гурьянов, В М Гурьянов, В Б Левянт // Геофизика науч -техн журн ЕАГО М,2001 №6 С 10-15

5. Гурьянов В В Монотипные плоские нелинейные сейсмические волны / В.В. Гурьянов//Известия АН СССР Сер Физика Земли 1992 №7 С 81-88

6 Гурьянов В В Обобщение формулы Кирхгофа / В В Гурьянов, ВМ Гурьянов // Известия АН СССР Сер Физика Земли 1992 №3 С 93-96

7 Гурьянов В В Монотипные плоские нелинейные сейсмические волны / В В. Гурьянов // Доклады АН СССР 1991 Т 319 №1 С 121-124

8 Гурьянов В В Особенности распространения нелинейных сейсмических волн в изотропных средах / В В Гурьянов // Доклады АН СССР 1991 Т 316. №4 С 875-879

9 Гурьянов В В Взаимодействие плоских нелинейных сейсмических волн/В В Гурьянов//Известия АН СССР Сер Физика Земли 1990 №11 С 57-70

2 Другие публикации

10. Гурьянов В В Спектры нелинейных сейсмических волн и их особенности / В В Гурьянов, М И Буслаева // Математика, механика сб науч тр Вып 7 Саратов Изд-во СГУ, 2005. С. 165-168

11 Гурьянов В.В Математическая модель сейсмических волн во флюидо-насыщенных резервуарах / В.В Гурьянов, М А Антонова // Математика, механика сб. науч тр Вып 6 Саратов Изд-во СГУ, 2004 С 186189

12. Гурьянов В В Особенности распространения сейсмических волн в коллекторах, влияющие на их выявление и дифференциацию/ , В В Гурьянов, В М Гурьянов, В Б Левянт // Математические методы в геофизике тр. Междунар конф Ч 1 Новосибирск Изд-во НВМиМГ СО РАН, 2003 С 93-98.

13 Гурьянов В В Интегральные законы сохранения в прямых задачах сейсмологии / В В Гурьянов // Математические методы в геофизике тр Междунар конф Ч 1 Новосибирск Изд-во НВМиМГ СО РАН, 2003 С 64-68

14 Гурьянов В В Совершенствование глубинных построений с использованием программ ТЬ5 и RAZEEZ / В В Гурьянов, О И Шкуратов, В М Гурьянов // Недра Поволжья и Прикаспия регион науч -техн журнал Вып 34 Саратов Изд-во НВНИИГГ, 2003 С 59-64

15 Гурьянов В В Численный метод решения задач распространения сейсмических волн на основе интегральных законов сохранения/

В В Гурьянов // Недра Поволжья и Прикаспия регион науч -техн. журнал Вып 34 Саратов Изд-во НВНИИГГ, 2003 С 43-46

16 Гурьянов В В Математическая модель эффективного метода вибрационной сейсморазведки для изучения особенностей распространения сейсмических волн в коллекторах / В В Гурьянов, С И Михеев, М В Живодрова // Недра Поволжья и Прикаспия регион науч -техн журнал Вып 31. Саратов Изд-во НВНИИГГ, 2002 С 30-34.

17. Гурьянов В В Identification of cavernous fractured reservoirs in compact and consolidated rocks by seismic methods / В В Гурьянов, В Б Левянт // Petropatch тез докладов на Междунар конф геофизиков в Нью-Дели (Индия), январь 2001 New-Delhi, 2001.

18 Гурьянов В В Ударные волны обобщенного уравнения Кармана-Фальковича / В В Гурьянов, В М Гурьянов // Аэродинамика Ударно-волновые процессы межвуз сб науч тр Вып 15(18) Саратов Изд-во Са-рат. ун-та, 2001 С 45-52

19 Гурьянов В В Численный метод решения волнового уравнения на основе усреднения дифференциального оператора / В В Гурьянов, В М Гурьянов // Математика, механика- сб науч. тр. Вып 2. Саратов Изд-во СГУ, 2000. С 165-167.

20. Гурьянов В В. Плоские упругие волны конечных деформаций в анизотропных средах / ВВ. Гурьянов, В М Гурьянов // Математика, механика, математическая кибернетика- межвуз науч сб Саратов Изд-во СГУ, 1999. С 86-88

21. Гурьянов В В Влияние термодинамики на механику плоских волн конечных деформаций / В В Гурьянов // Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами межвуз. науч сб. Саратов. СГГУ, 1999 С 58-64.

22. Гурьянов В В. Продольные плоские упругие волны конечных деформаций с учетом термодинамики / ВВ. Гурьянов, СГУ Саратов, 1998 9 с. Деп в ВИНИТИ 27.02 98, №596-В98

23 Гурьянов В В Дифференциальные уравнения ударных плоских волн / ВВ. Гурьянов // Математика, механика и их приложения тр науч -практ конф Саратов- Изд-во Сарат ун-та, 1998 С 63

24. Гурьянов В В Плоские изэнгропические волны конечных деформаций- учеб пособие для студентов механико-математического факультета / В В Гурьянов, Ю.Д Каплунов Саратов. Изд-во Сарат ун-та, 1997 45 с.

25. Гурьянов В В Приведение системы дифференциальных уравнений нелинейных плоских волн к нормальной характеристической форме / В В. Гурьянов, В.М Гурьянов // Аэродинамика Нелинейные проблемы межвуз. сб. науч. тр Вып 14(17). Саратов Изд-во Сарат ун-та, 1997 С 128-130

26 Гурьянов В В Ударные волны уравнения Кармана-Фальковича / В В Гурьянов, В М Гурьянов // Аэродинамика Нелинейные проблемы

межвуз. сб науч тр Вып 14(17) Саратов- Изд-во Сарат ун-та, 1997 С 34-39

27. Гурьянов ВВ. Ударные волны в упругой среде Мурнагана / В В Гурьянов // Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемых сред и конструкций сб науч тр Вып 2 Н Новгород1 Изд-во Нижегород ун-та, 1995 С 79-86

28 Гурьянов В В Монотипные плоские изэнтропические волны конечных деформаций / В В Гурьянов // Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемых сред и конструкций сб науч тр Вып 1 Н Новгород Изд-во Нижегород ун-та, 1993 С 149-157

29 Гурьянов В В Алгоритмы решения задач распространения безударных волн в средах Генки отчет по НИР СГУ Ч 1 / В В Гурьянов, Л В Борисова, О А Шитова, СГУ Саратов, 1994 31 с Деп в ВНТИЦ, инв №02 930002392

30 Гурьянов В В Распространение и взаимодействие нелинейных сейсмических волн / ВВ. Гурьянов // Динамические задачи механики сплошной среды Теоретические и прикладные вопросы вибрационного просвечивания Земли Краснодар Изд-во Кубанск ун-та, 1990 41 С 71

31 Гурьянов В В Распространение и взаимодействие нелинейных сейсмических волн в изотропных средах / В В Гурьянов, Институт физики Земли АН СССР М, 1991 37 с Деп в ВИНИТИ, 16 01 1991, №476-В91

Подписано в печать 25 09 07 Формат 60x84 1/16

Бум офсет Уел печл 2,0 Уч-издл1,8

Тираж 100 экз Заказ 321 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054 г Саратов, Политехническая ул, 77 Отпечатано в РИЦ СГТУ 410054 г Саратов, Политехническая ул, 77

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЛН В УПРУГОЙ СРЕДЕ.

1.1. Уравнения движения на основе связи между тензорами напряжений и деформаций.

1.2. Уравнения движения на основе энергетического подхода.

1.3. Приведение системы дифференциальных уравнений движения плоских волн к нормальной характеристической форме.

1.4. Алгоритм решения задачи Коши для дифференциальных уравнений движения.

Сейсмические волны - колебания горных пород в Земле, возникающие в результате естественных (землетрясения) или искусственных процессов их возбуждения. Изучение сейсмических волн, порождаемых землетрясениями, необходимо для понимания природы землетрясений и их предсказания. С другой стороны, сейсмические волны являются главным источником информации о глубинном строении земных недр.

В изучении сейсмических волн всегда доминировал натурный эксперимент, обеспечиваемый как природными, так и техническими источниками механических колебаний. Б.В. Дерягин [53,54] заметил феномен затухания и дисперсии сейсмических волн, а также зависимость затухания от частоты колебаний. И.С. Берзон с сотрудниками [9] наблюдали дисперсию скоростей в верхней части осадочного чехла. И.И. Гурвич и П.Г. Гильберштейн на дырчатых материалах физически моделировали процесс поглощения упругих волн. Подобные работы появляются время от времени [17].

Длительное время при математическом моделировании сейсмических волновых процессов использовалась линейно-упругая модель. Об этом свидетельствуют научные школы акад. Г.А. Гамбурцева, акад. A.C. Алексеева, акад. H.H. Пузырева, акад. C.B. Гольдина, чл-корр. РАН Б.Г. Михайленко, проф. И.С. Берзон, проф. Г.И. Петрашеня и др. Современная теория распространения сейсмических волн, основанная на линейно-упругой модели, изложена в классической монографии К. Аки и П. Ричардса [2].

В конце прошлого столетия накопилось много экспериментальных фактов, показавших недостаточность линейно-упругой модели описания волновых процессов в горных породах. Эти факты были обнаружены благодаря существенному повышению точности измерения регистрируемых волн различного происхождения: тектонических процессов в Земле и возбуждения колебаний техническими средствами с высокой управляемостью и возможностью контроля излучения.

В этом большая заслуга члена-корреспондента РАН A.B. Николаева, что легко проследить по его научным работам [98-135] и увидеть организационную работу по созданию новой научной школы нелинейной сейсмики и ее руководству.

Было обнаружено нелинейное упругое поведение горных пород при прохождении через них сейсмических волн: обращение волнового фронта, возникновение высокочастотных колебаний (сотни и тысячи герц) на расстояниях 100-300 км от очага землетрясения (сейсмическая эмиссия), регулярное изменение спектрального состава волн и другое. «Экспериментально показано, что, начиная с некоторого рубежа, пренебрежение нелинейными эффектами приводит к существенным отклонениям решения от истинного явления», - писал A.B. Николаев.

В числе первых экспериментальных работ, кроме работ A.B. Николаева, отметим работы С.И. Александрова [3], A.C. Алешина [4], Ю.И. Васильева [12], И.Н. Галкина [14], A.A. Гвоздева, В.В. Кузнецова [16], JI.H. Рыкунова, О.Б. Хаврошкина, В.В. Цыплакова [143-145].

Работы теоретического плана по нелинейным сейсмическим упругим волнам содержали методы линеаризации и возмущений для получения приближенных уравнений динамики волн. Отметим работы И.А. Береснева, Г.М. Шалашова, Б.Я. Гуревича [10], Т.З. Вербицкого [13], Н.Г. Гамбурцевой, О.Б. Хаврошкина, В.В. Цыплакова [15], М.А. Гринфельда [21].

К сожалению, в геофизике часто при линеаризации нелинейных уравнений наблюдается следование работе [19], в которой при решении методом последовательных приближений нелинейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка для смещений, описывающего распространение волн в среде Мурнагана, выделяется линейная часть дифференциального оператора, а нелинейная становится в последовательных приближениях источником (метод возмущений, метод малого параметра). Поскольку при этом характеристики получающихся уравнений являются характеристиками линейных уравнений (не зависят от смещений, что нехарактерно для изучения нелинейности), то кинематика с динамикой не связаны, и поэтому решение может быть весьма далеким от истинного, хотя некоторые правильные эффекты имеют место.

Этот метод используется, например, в работе [97], где анализируется спектральный состав продольной нелинейной волны, распространяющейся в среде с сильной акустической нелинейностью, закон состояния которой представляет собой квадратичную зависимость напряжений от деформаций. Несмотря на то, что результаты анализа для этого частного случая, рассматриваемого в статье, не противоречат данным, полученным в результате строгого решения подобных задач (например, [153]) — нам представляется сомнительным делать какие-либо выводы на основании решения задачи с использованием неправильного метода его получения.

О неупругом поведении горных пород свидетельствуют экспериментальные работы по изучению процессов, предшествующих землетрясениям. Было обнаружено уменьшение скорости распространения сейсмических волн, и этот феномен был связан с образованием зон дилатансии горных пород и опубликован акад. М.А. Садовским в 1979 г. Далее был выяснен процесс формирования флюидо-насыщенных резервуаров в результате разрушения горной породы, проникновения в зону разрушения флюидов и последующего геохимического преобразования минералов в этой зоне с образованием диссипативно-дисперсных флюидо-насыщенных резервуаров [136, 141]. Неупругое поведение этих резервуаров, особенно в зоне их контакта с упругой средой, представляет собой наиболее значительный интерес; оно вызывает дисперсию скоростей в виде связи поглощения с частотой колебаний, необъяснимое уменьшение скорости распространения волн и разрастание амплитуд колебаний (феномен «яркого пятна» на сейсмограммах). По этим признакам можно осуществлять поиск и разведку резервуаров. Экспериментальные работы в этом направлении проводились в ОАО «Центральная reoфизическая экспедиция» под руководством кандидата геолого-минералогических наук В.Б. Левянта.

Несмотря на то, что фундаментальная работа А. Фрейденталя и X. Гейрингер «Математические теории неупругой сплошной среды» была опубликована на русском языке в 1962г., она долгое время оставалась в тени для геофизиков, хотя в ней подробно описана общая математическая модель распространения волн в флюидо-насыщенных средах (коллекторах). По механике деформируемого вязко-упругого тела достаточно много работ, но они отношения к сейсмике не имеют, так как преследуют другие цели.

Массовый живой интерес к изучению явлений в диссипативно-дисперсных средах, а именно такими средами моделируются флюидо-насыщенные резервуары, проявился в начале этого столетия. Это показали международные конференции геофизиков в Нью-Дели (Индия) 2001г. и в Новосибирске 2003г. На обеих конференциях были представлены доклады автора диссертации по распространению волн в флюидо-насыщенных резервуарах.

Упомянутый интерес вызван тем, что стандартные методы сейсморазведки в основном нацелены на поиск и разведку структурных ловушек углеводородов субгоризонтального типа (МОГТ и миграция). Основаны они на математической модели линейной теории упругости.

В то же время в поисковый и разведочный процессы вовлекаются объекты с резко изменчивыми характеристиками пустотности, обусловленной наличием поровых коллекторов, трещиноватостью и кавернозностью. Роль последних возрастает в более древних и, как правило, более плотных породах, которые становятся объектами разведки. В этих условиях типичны ситуации, когда по соседству с высокопродуктивной скважиной оказываются «сухие» или малодебитные скважины. Коллекторы оказались и по форме, контакту с вмещающими их породами и по расположению относительно поверхности Земли весьма разнообразны. Это четкие и нечеткие границы контакта, субвертикальное расположение и многое другое. Об этом свидетельствуют открытые месторождения углеводородов в кристаллическом фундаменте, плотных карбонатах, рифтовых структурах, подсолевых отложениях осадочного чехла, в том числе такие крупные и хорошо изученные, как Jla Пас и Мара в Венесуэле, Белый Тигр и Дракон во Вьетнаме, Бомбей Хай в Индии [149].

В механике известно [95], что симметричный тензор второго ранга разлагается на шаровую его часть и девиатор. Шаровым тензором описываются «гидростатическое» давление и деформации всестороннего расширения. Де-виатором описываются касательные напряжения и сдвиговые деформации.

Имея это в виду, рассмотрим качественные элементы физики рассеяния механической энергии в дисперсных двухфазных сплошных средах: твердое тело - жидкость [150].

Случай А. Взаимодействие деформационно-диффузных процессов движения жидкости (или изменений температуры) в пористом упругом теле. Тектонические процессы в Земле приводят к образованию зон дилатансии и деструкции горных пород за счет их деформации с разрушением и флюидо-электрохимических преобразований минералов [88,136,141]. В этих зонах могут накапливаться углеводороды. Зоны становятся флюидо-насыщенными резервуарами (коллекторами).

Это наиболее изученный случай хорошо представлен в механико-термодинамической теории Био [154-163]. Взаимодействие процессов осуществляется через избыточное давление жидкости, находящейся в порах твердого тела. Математическая модель такой среды описывается связанными между собой дифференциальными уравнениями деформации твердого тела и фильтрации в нем жидкости. Важно, что при этом используется шаровая часть тензора деформаций и закон фильтрации Дарси.

В представленной таким образом сплошной среде происходит неупругая деформация и релаксация давления.

Теория Био была успешно использована в изучении землетрясений

Случай Б. Кратковременное волновое воздействие на геологическую среду, применяемое в сейсмике, когда изучаются сейсмические волны во флюидо-насыщенной среде.

Здесь для математического моделирования волновых движений в такой среде используют девиаторы соосных тензоров напряжений и деформаций. В этом случае квадраты интенсивностей касательных напряжений и деформаций сдвига пропорциональны вторым инвариантам соответствующих де-виаторов [94]. Это говорит о принципиальном различии случаев А и Б рассеяния механической энергии. Кроме того, если учесть различные временные масштабы, характеризующие случаи А и Б, то можно сказать, что при одновременности процессов А и Б процесс А является квазистационарным и не влияет на процесс Б.

В диссертации математическое моделирование соответствует случаю Б.

Наметилась тенденция математического моделирования распространения волн в многофазных средах состоящих из перемежающихся жидких и твердых слоев [165], а также из упругой твердой среды с включением в нее случайно-распределенных малых объемов идеальной жидкости [92].

Математическим моделям исследования волновых процессов в твердых телах с микроструктурой, представляющих собой диссипативно-дисперсные сплошные среды, посвящены научные работы и монографии доктора физико-математических наук В.И. Ерофеева - представителя Нижегородской школы исследователей по нелинейной волновой динамике [57-81].

Перечисленные факты нелинейного упругого и неупругого поведения горных пород до сих пор являются малоизученными с теоретической точки зрения. Необходимость создания новых математических моделей распространения сейсмических волн в моногенных и гетерогенных горных породах, учитывающих нелинейность и флюидо-насыщенность, была подтверждена на Международной конференции «Математические методы в геофизике», прошедшей в 2003 г. в Сибирском отделении Российской академии наук . в г.Новосибирске [5-8].

Целью данной диссертационной работы является построение математических моделей процессов распространения сейсмических волн в сплошных средах: нелинейных упругих изотропных и анизотропных, неупругих флюидо-насыщенных резервуарах; зонах контакта линейных упругих сред и неупругих флюидо-насыщенных резервуаров, изучение особенностей распространения в них сейсмических волн, объяснение наблюдаемых природных явлений, таких, как обращение волнового фронта, происхождение сейсмической эмиссии, регулярное изменение спектрального состава волн, связь поглощения с частотой колебаний, феномен «яркого пятна» на сейсмограмме, значительное уменьшение скоростей волн в флюидо-насыщенных резервуарах и появление запаздывающих волн. Сравнение модельных результатов с наблюдаемыми в природе явлениями с целью установления адекватности модели природным явлениям и дальнейшего изучения этих явлений с помощью выбранной модели. Формулирование и обоснование идеи использования интегральных законов сохранения в прямых задачах количественной сейсмологии с целью упрощения решения этих задач с получением результатов в усредненном виде.

Научная новизна:

1. Введено понятие монотипных плоских упругих волн конечных деформаций: квазипродольных, квазипоперечных и поперечных, как волн, распространяющихся независимо друг от друга. Определено условие их существования - направленность векторов внутренних, внешних сил и силы инерции по собственному вектору матрицы уравнений движения. Компоненты собственного вектора содержат нелинейно-упругие параметры среды. В случае линейно-упругой среды квазипродольная волна вырождается в продольную, квазипоперечная - в поперечную, поляризованную с другой поперечной волной. Получено аналитическое общее решение дифференциальных уравнений динамики монотипных волн в виде инвариантов Римана с двумя произвольными функциями одной переменной. Дифференциальные уравнения характеристик, описывающие кинематику монотипных волн, становятся линейными и решаются разработанной модификацией метода Рунге-Кутта. Таким образом, предложена математическая модель для изучения монотипных волн, с точным представлением их динамики.

Получены волны Римана как частный случай монотипных волн. Волна Римана распространяется в одном направлении. Монотипная волна представляется как результат взаимодействия двух волн Римана одинакового типа, распространяющихся в противоположных друг другу направлениях. В нелинейных средах в процессе движения происходит локальное перераспределение энергии (что показано на примере волны Римана), приводящее к образованию ударной волны. Построена ударная волна в виде ее фронта, несущего динамические переменные, заданные инициирующей их известной волной Римана. Локальное перераспределение энергии в распространяющейся волне и образование ударной волны объясняют феномены обращения волнового фронта (возникновение обратной волны в среде без границ разрыва упругих параметров), сейсмической эмиссии, регулярного изменения спектрального состава волн.

Дано обобщение результатов на анизотропные упругие нелинейные среды.

2. Построена линейная математическая модель распространения волн во флюидо-насыщенных резервуарах и зонах контакта их с упругой средой с учетом диссипативно-дисперсных свойств резервуаров. Обосновано использование в модели плоских волн. Модель объясняет наблюдаемые в природе эффекты понижения скорости распространения волн в резервуаре, смещение амплитудного спектра волны в сторону низких частот, затухание волн в резервуарах, разрастание амплитуд колебаний в окрестности границы контакта упругой среды и резервуара (феномен «яркого пятна» на сейсмограмме).

Полученные результаты по нелинейным волнам и волнам в флюидо-насыщенных резервуарах обобщены в виде модели, которая содержит нелинейную, диссипативную и дисперсную части и является комбинацией уравнений нелинейной упругости, Бюргерса и Кортевега де Фриза. Уравнение

Кортевега де Фриза в качестве решения дает солитоны, которые возникают при движении вместо ударных волн и тем сильнее обеспечивают появление очень «яркого пятна» на сейсмограмме.

3. Предложен принципиально новый подход к построению математической модели явления распространения сейсмических волн в геологической среде. Это явление изучается не в точках среды, а в их окрестностях в усредненном виде на основе использования интегральных законов сохранения механики сплошной среды. Это согласуется с реальной гетерогенностью среды и с тем, что измеряемые механические параметры среды имеют усредненные значения. Предложенный подход формализован в виде математической модели, которая представляется обыкновенными дифференциальными уравнениями вместо уравнений с частными производными и позволяет естественным образом учитывать неоднородности среды типа границ контакта различных горных пород. При этом форму и объем усреднения исследователь может выбирать, исходя из конкретного типа гетерогенности среды.

Разработан численный метод решения смешанных краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений распространения сейсмических волн в рамках предложенной модели. Метод полностью ориентирован на компьютерную обработку с едиными алгоритмами расчетов для линейных и нелинейных волн, гетерогенных, упругих и вязкоупругих сред и т.п., причем условия контакта различных сред удовлетворяются автоматически.

Научная и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы заключается в получении результатов, объясняющих наблюдаемые экспериментально явления нелинейного упругого и неупругого поведения горных пород. Это явление сейсмической эмиссии, происходящей за счет образования и действия ударных волн, что доказано на моделях и спектрах вибросейсморазведки, дисперсия скоростей в рыхлых породах, феномен «яркого пятна», объясняемый разрастанием амплитуд колебаний на границе и т.д.

Практическая значимость работы заключается в возможности перехода в сейсморазведке от косвенного метода поиска зон скопления углеводородов сейсмическим профилированием к прямому методу сейсмического зондирования, особенно при поиске неструктурных зон скопления углеводородов, что значительно дешевле.

Результаты использовались в совместных работах в ОАО «Центральная геофизическая экспедиция» (г. Москва) и Нижневолжском НИИ геологии и геофизики (г. Саратов) и используются в учебном процессе при чтении спецкурсов по геофизике, прикладной математике и механике в Саратовском государственном университете.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Математическая модель изоэнтропических плоских монотипных нелинейных волн конечных деформаций (квазипродольных, квазипоперечных, поперечных) на основе инвариантов Римана позволяет решать задачи распространения нелинейных сейсмических волн с получением результатов, совпадающих с наблюдаемыми природными явлениями.

2. Математическая модель движения плоских волн в зоне контакта линейных упругой и общей флюидо-насыщенной сред при нормальном падении волн на границу раздела этих сред дает возможность для реализации на ее основе метода адаптивной вибросейсморазведки, при котором режим работы сейсмовибратора определяется по отклику среды.

3. Нелинейная модель движения плоских волн во флюидо-насыщенной среде и ее низкочастотное приближение, учитывающая все изученные в рамках данной работы эффекты нелинейного и неупругого поведения горных пород, при прохождении в них сейсмических волн, в том числе и солитоны.

4. Идея использования интегральных законов сохранения в прямых задачах сейсмологии, которая предполагает изучение явления распространения сейсмических волн не в точках среды, а в их окрестностях в усредненном виде. В этом случае не делается переход к дифференциальным уравнениям в частных производных, а для окрестностей точек из интегральных законов со

- 14хранения формируется система обыкновенных дифференциальных уравнений по времени, описывающая динамику окрестностей, заключенных в ограниченной области.

5. Разработанный численный метод решения смешанных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений движения сейсмических волн в функции времени позволяет решать задачи распространения сейсмических волн единообразно как в однородных средах, так и в средах с границами разрыва параметров, описывающих их свойства.

Публикации. По теме диссертации опубликована 31 научная работа, в том числе 9 работ в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка использованной литературы и приложений. Общее число страниц 192. Диссертация иллюстрирована 92 рисунками.

5.1. Выводы к главе 5

1. Предложена принципиально новая идея построения математической модели явления распространения сейсмических волн в геологической среде. Это явление изучается не в точках среды, а в их окрестностях в усредненном виде на основе использования интегральных законов сохранения механики сплошной среды, что ближе к реальности и позволяет естественным образом учитывать неоднородность среды типа границ контакта различных горных

- 171 пород. Математическая модель представляется обыкновенными дифференциальными уравнениями вместо уравнений с частными производными.

2. Идея проиллюстрирована на интегральных законах механики деформируемого упругого тела без учета термодинамики деформаций. В качестве определяющего уравнения принят закон Гука.

3. Предложенная идея легла в основу численного усреднения решения задачи Коши для волнового уравнения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа возникла из необходимости дать научное объяснение наблюдаемых природных явлений, таких как обращение волнового фронта, происхождение сейсмической эмиссии, регулярное изменение спектрального состава волн, связь поглощения с частотой колебаний, феномен «яркого пятна» на сейсмограмме, значительное уменьшение скоростей волн в флюидо-насыщенных резервуарах и появление запаздывающих волн.

В диссертационной работе осуществлено математическое моделирование распространения сейсмических волн в нелинейных упругих и флюидо-насыщенных сплошных средах; предложена принципиально новая идея изучения явления распространения сейсмических волн не в точках геологической среды, а в их окрестностях в усредненном виде на основе интегральных законов сохранения механики сплошной среды, что ближе к реальности.

Произведено сравнение модельных результатов с наблюдаемыми количественно в природе явлениями и установлена качественная адекватность моделей натурным экспериментам.

Основные научные результаты работы и их иллюстрации сводятся к следующему:

1. Приведена к нормальной характеристической форме система дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, описывающая движение сейсмических волн; дано развитие численного метода характеристик Г.И.Петровского.

2. Введено понятие монотипных плоских нелинейных волн конечных деформаций распространяющихся независимо друг от друга. Определено условие их существования.

3. Получено точное общее решение дифференциальных уравнений динамики монотипных волн в виде инвариантов Римана с двумя произвольными функциями одной характеристической переменной. Такая структура общего решения позволяет достаточно просто решать многие задачи распространения сейсмических волн и обеспечивает линейность дифференциальных уравнений характеристик.

4. Дифференциальные уравнения характеристик преобразованы в обыкновенные дифференциальные уравнения и разработан метод типа Рунге-Кутта их численного решения.

5. Показано, что в процессе движения монотипных волн происходит локальное перераспределение энергии, приводящее к образованию ударной волны - источника колебаний, который возбуждает волны, распространяющиеся в разные стороны по линии их движения.

6. Аналитически построена продольная ударная волна в виде ее фронта несущего динамические переменные, заданные инициирующей их известной волной Римана.

7. Локальное перераспределение энергии в распространяющейся волне и образование ударной волны объясняют феномен обращения волнового фронта (возникновение обратной волны в среде без границ разрыва упругих параметров), сейсмической эмиссии, регулярного изменения спектрального состава волн.

8. Показано, что дифференциальные уравнения движения для анизотропной среды по форме ничем не отличаются от уравнений изотропной среды. Коренное отличие заключается в том, что при повороте системы координат упругие параметры в функции энергии динамического деформирования изменяют свое значение. Выделены монотипные волны.

9. При качественном изучении особенностей распространения упругих волн в анизотропной среде можно пользоваться методами, разработанными для изотропных сред. При количественном изучении следует учитывать изменение упругих параметров в зависимости от направления движения волны.

10. Впервые разделение математического моделирования медленного образования флюидо-насыщенных резервуаров и быстрого волнового воздействия на них связано с разделением тензоров напряжений и деформаций на шаровой и девиатор. Показано, что это совершенно различные модели.

11. На основе известной общей математической модели механики упруго-сжимаемой линейной вязкоупругой трехмерной сплошной среды выделена общая математическая модель движения сейсмических волн во флюидо-насыщенном резервуаре с доминированием твердого скелета при волновом воздействии на него. Используя метод разделения переменных для дифференциальных уравнений этой модели, получены уравнения в разделенных переменных для скалярного потенциала объемных волн, из которого следует, что все особенности распространения волны в вязкоупругой сплошной среде сосредоточены во временном уравнении и не зависят от пространственных переменных. Поэтому можно ограничиться рассмотрением только плоских волн.

12. Геофизическим методом эффективных параметров построена математическая модель динамики волн в флюидо-насыщенных резервуарах, позволяющая дать их классификацию по флюидам и решать прямую задачу сейсморазведки. В модели используются шесть измеряемых параметров, определяющих основные свойства и характеристики движения реальной среды: коэффициент вязкости, плотность среды, два модуля упругости Ламе, частота колебаний и скорость распространения волны.

13. Полученные точные представления плоской волны в флюидо-насыщенном резервуаре и тензора напряжений позволяют строго разрешить в акустическом приближении условия жесткого контакта резервуара и упругой среды при нормальном падении волн на границу контакта. В совокупности с независимостью свойств волнового поля от геометрии резервуара это позволяет решать прямую задачу движения волны от резервуара к дневной поверхности вдоль нормального (центрового) луча в локальном приближении плоской волной движущейся волны в окрестности этого луча. Это может быть волна как отраженная от поверхности резервуара, так и выходящая из него преломленная. В упругой среде все пересчеты волновых полей давно известны. Этим решается задача о движении волн в зоне контакта.

14. Вариацией коэффициентов в представлении плоской волны в коллекторе можно аппроксимировать любую форму источника. Особенно просто это сделать, если источник является вибратором, поскольку импульс Берлаге естественен для вибросейсморазведки.

15. Вариацией значений скорости распространения и частоты колебаний волн, коэффициента вязкости и плотности среды при известных константах Ламе монолита подвергшегося процессу дилатансии и породившего резервуар, можно подобрать эти параметры так, чтобы модельное волновое поле совпало на дневной поверхности с наблюденным. Тогда сопоставлением этих параметров с измеренными на известных флюидо-насыщенных резервуарах можно установить соответствие между параметрами и типами флюидов. Тем самым осуществится классификация резервуаров в рамках модели по насыщающим их флюидам.

16. Получена математическая модель распространения сейсмических волн в нелинейной диссипативно-дисперсной среде с тремя числовыми параметрами. Изменение параметров приводит к дифференциальным уравнениям Бюргерса для диссипативных сред, Кортевега де Фриза для сред в дисперсном состоянии.

17. Для различных флюидо-насыщенных резервуаров приведены результаты компьютерного моделирования волнового поля. Показано понижение скорости по сравнению с чистой компонентой без дисперсии, например, чистая вода имеет скорость 1600 м/сек, а в резервуаре 1000 м/сек и т.п.

18. Показано качественное совпадение понижения частот в резервуаре и повышения амплитуды отраженной волны в окрестности границ резервуара и упругой среды в вычислительном и натурном экспериментах, что говорит о правильности математической модели.

- 17619. Предложена принципиально новая идея построения математической модели явления распространения сейсмических волн в геологической среде. Это явление изучается не в точках среды, а в их окрестностях в усредненном виде на основе использования интегральных законов сохранения механики сплошной среды, что ближе к реальности и позволяет естественным образом учитывать неоднородность среды типа границ контакта различных горных пород. Математическая модель представляется обыкновенными дифференциальными уравнениями вместо уравнений с частными производными.

20. Идея проиллюстрирована на интегральных законах механики деформируемого упругого тела без учета термодинамики деформаций. В качестве определяющего уравнения принят закон Гука.

21. Предложенная идея легла в основу численного усреднения решения задачи Коши для волнового уравнения.

В результате научных исследований и их иллюстраций достигнута цель диссертационной работы.

1. Авербух А.Г. Изучение состава и свойств горных пород при сейсморазведке. М.: Недра, 1982. 230 с.

2. Аки К, Ричарде П. Количественная сейсмология (теория и методы). М.: Мир, 1983. 880 с.

3. Александров С.И., Гамбурцев А.Г., Николаев A.B. и др. Нелинейные свойства поверхностных слоев волн от импульсных источников // Проблемы нелинейной сейсмики. М.: Наука, 1987. С. 152-159.

4. Алешин A.C., Кузнецов В.В. Исследование физико-механических свойств рыхлого грунта под плитой вибратора // Проблемы нелинейной сейсмики. М.: Наука, 1987. С.261-213.

5. Алексеев A.C. Некоторые математические модели и прикладные технологии динамической сейсмики (теория, алгоритмы, тенденции) // Математические методы в геофизике: Тр. Междунар. конф. Новосибирск: Изд-во НВМ и МГ СО РАН, 2003. С.3-10.

6. Алексеев A.C., Кабанихин С.И. Обратные задачи и новые технологии в геофизике // Математические методы в геофизике: Тр. Междунар. конф. Новосибирск: Изд-во НВМ и МГ СО РАН, 2003. С. 11-20.

7. Алексеев A.C., Имомназаров Х.Х., Грачев E.B. и др. Прямые и обратные динамические задачи для системы уравнений однородных упруго-пористых сред // Математические методы в геофизике: Тр. Междунар. конф. Новосибирск: Изд-во НВМ и МГ СО РАН, 2003. С.99-106.

8. Береснев И.А., Шалашов Г.М., Гуревич Б.Я. Комбинационное взаимодействие сейсмических волн в нелинейной пятиконстантной среде // Проблемы нелинейной сейсмики: Сб. статей / Под ред. A.B. Николаева, И.Н. Галкина. М.: Наука, 1987. С. 120-128.

9. Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости. М.: Мир. 1972. 184 с.

10. Васильев Ю.И., Видмонт H.A. Прямые измерения сейсмографического напряжения в мягком грунте // Проблемы нелинейной сейсмики. М.: Наука, 1987. С. 149-152.

11. Вербицкий Т.З. Особенности распространения упругих волн в нелинейно-упругих пористых средах // Проблемы нелинейной сейсмики: Сб. статей / Под ред. A.B. Николаева, И.Н. Галкина М.: Наука, 1987. С.94-103.

12. Галкин И.Н., Григоръянц Э.А. Нелинейные и неупругие эффекты при распространении интенсивных волн в горном массиве // Проблемы нелинейной сейсмики. М.: Наука, 1987. С. 186-190.

13. Гамбурцева Н.Г., Николаев A.B., Хаврошкин O.E. и др. Солитонные свойства телесейсмических волн // Доклады АН СССР. 1986. Т.291. №4.

14. Гвоздев A.A., Кузнецов В.В. О явлении частичного откола // Известия АН СССР. Физика Земли. 1967. №5. С.21-27.

15. Гшъберштейн П.Г., Гурвич ИИ. Скорости упругих волн в дырчатых материалах для сейсмического моделирования // Изв. вузов. Сер. Геология и разведка. 1962. №5.

16. Гольдберг З.А. О взаимодействии плоских продольных и поперечных упругих волн // Акуст. журн. 1960. Т.6. №3. С.307-310.- 17919. Голъденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука, 1969. 336 с.

17. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 530 с.

18. Гринфельд М.А. Геофизические и сейсмологические аспекты нелинейной механики континуума // Проблемы нелинейной сейсмики: Сб. статей / Под ред. A.B. Николаева, И.Н. Галкина М.: Наука, 1987. С.20-34.

19. Гулин A.B., Самарский A.A. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с.

20. Гурьянов В.В. Математическая модель плоских сейсмических ударных волн / В.В. Гурьянов // Вестник Сарат. гос. техн. ун-та. 2007. №1. Вып. 2. С.7-14.

21. Гурьянов В.В. Особенности распространения сейсмических волн в коллекторах, влияющих на их выявление и дифференциацию. 4.2 / В.В. Гурьянов, В.М. Гурьянов, В.Б. Левянт // Геофизика: науч.-техн. журн. ЕАГО. М., 2003. №4. С.6-10.

22. Гурьянов В.В. Интегральные законы сохранения в прямых задачах сейсмологии / В.В. Гурьянов // Доклады РАН. 2002. Т.385. №1. С.107-109.

23. Гурьянов В.В. Особенности распространения сейсмических волн в коллекторах, влияющих на их выявление и дифференциацию. 4.1 / В.В. Гурьянов, В.М. Гурьянов, В.Б. Левянт // Геофизика: науч.-техн. журн. ЕАГО. М., 2001. №6. С.10-15.

24. Гурьянов В.В. Монотипные плоские нелинейные сейсмические волны / В.В. Гурьянов // Известия АН СССР. Сер. Физика Земли. 1992. №7. С. 81-88.

25. Гурьянов В.В. Обобщение формулы Кирхгофа / В.В. Гурьянов,

26. B.М.Гурьянов // Известия АН СССР. Сер. Физика Земли. 1992. №3.1. C.93-96.

27. Гурьянов В.В. Взаимодействие плоских нелинейных сейсмических волн / В.В. Гурьянов // Известия АН СССР. Сер. Физика Земли. 1990. №11. С. 57-70.

28. Гурьянов В.В. Спектры нелинейных сейсмических волн и их особенности /В.В. Гурьянов, М.И. Буслаева // Математика, механика. Саратов: Изд-во СГУ, 2005. Вып.7. С.165-168.

29. Гурьянов В.В. Математическая модель сейсмических волн во флюидо-насыщенных резервуарах / В.В. Гурьянов, М.А. Антонова // Математика, механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во СГУ, 2004. Вып.6. С. 186189.

30. Гурьянов В.В. Интегральные законы сохранения в прямых задачах сейсмологии /В.В. Гурьянов // Математические методы в геофизике: тр. Междунар. конф. Ч. 1. Новосибирск: Изд-во НВМиМГ СО РАН, 2003. С.64-68.

31. Гурьянов В.В. Совершенствование глубинных построений с использованием программ TL5 и RAZREZ /В.В. Гурьянов, О.И. Шкура-тов, В.М. Гурьянов // Недра Поволжья и Прикаспия: регион, науч.-техн. жур-нал. Вып.34. Саратов: Изд-во НВНИИГГ, 2003. С.59-64.

32. Гурьянов В.В. Численный метод решения задач распространения сейсмических волн на основе интегральных законов сохранения / В.В. Гурьянов // Недра Поволжья и Прикаспия: Регион, науч.-техн. журн. Вып.34. Саратов: Изд-во НВНИИГГ, 2003. С.43^6.

33. Гурьянов В.В. Identification of cavernous fractured reservoirs in compact and consolidated rocks by seismic methods / В.В. Гурьянов, В.Б. Левянт // Petropatch: Тез. докл. на Междунар. конф. геофизиков в Нью-Дели (Индия), январь 2001. New-Delhi, 2001.

34. Гурьянов В.В. Ударные волны обобщенного уравнения Кармана-Фальковича / В.В. Гурьянов, В.М. Гурьянов // Аэродинамика. Ударно-волновые процессы: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 15(18). Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та, 2001. С.45-52.

35. Гурьянов В.В. Численный метод решения волнового уравнения на основе усреднения дифференциального оператора /В.В. Гурьянов, В.М. Гурьянов // Математика, механика: сб. науч. тр. Вып.2. Саратов: Изд-во СГУ, 2000. С. 165-167.

36. Гурьянов В.В. Плоские упругие волны конечных деформаций в анизотропных средах /В.В. Гурьянов, В.М. Гурьянов // Математика, механика, математическая кибернетика: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во СГУ, 1999. С.86-88.

37. Гурьянов В.В. Влияние термодинамики на механику плоских волн конечных деформаций /В.В. Гурьянов // Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами: межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 1999. С.58-64.

38. Гурьянов В.В. Продольные плоские упругие волны конечных деформаций с учетом термодинамики / В.В. Гурьянов; СГУ. Саратов, 1998. 9 с. Деп. в ВИНИТИ 27.02.98, №596-В98.- 18245. Гурьянов В.В. Дифференциальные уравнения ударных плоских волн /

39. B.В. Гурьянов // Математика, механика и их приложения: тр. науч.-практ. конф. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1998. С.63.

40. Гурьянов В.В. Ударные волны уравнения Кармана-Фальковича / В.В. Гурьянов, В.М. Гурьянов // Аэродинамика. Нелинейные проблемы: Межвуз. сб. науч. тр. Вып.14(17). Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. С.34-39.

41. Гурьянов В.В. Ударные волны в упругой среде Мурнагана / В.В. Гурьянов // Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемых сред и конструкций: сб. науч. тр. Вып.2. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 1995. С.79-86.

42. Гурьянов В.В. Монотипные плоские изэнтропические волны конечных деформаций /В.В. Гурьянов // Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемых сред и конструкций: сб. науч. тр. Вып.1. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 1993. С.149-157.

43. Гурьянов В.В. Алгоритмы решения задач распространения безударных волн в средах Генки: Отчет по НИР СГУ. 4.1 / В.В. Гурьянов, JI.B. Борисова, О.А.Шитова; СГУ. Саратов, 1994. 31 с. Деп. в ВНТИЦ, инв. №02.930002392.

44. Гурьянов В.В. Распространение и взаимодействие нелинейных сейсмических волн в изотропных средах / В.В. Гурьянов; Институт физики

45. Земли АН СССР. М., 1991. 37 с. Деп. в ВИНИТИ, 16.01.1991, №476-В91.53 .Дерягин Б.В. О затухании дисперсных сейсмических волн // Геофизика, №1-2, 1931.

46. Дерягин Б.В. Затухание сейсмических и акустических волн и его зависимость от частоты // Геофизика, №3-4, 1932.

47. Додд Р., Эйпбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные уравнения. М.:Мир, 1988. 694 с.

48. Донской ДМ., Сутин A.M. Нелинейное рассеяние и распространение продольных акустических волн в пористых средах // Акуст. журн. 1984, Т.30. № 5. С.605-611.

49. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М.: Изд-во МГУ, 1999. 326с.

50. Ерофеев В.И. Нелинейные математические модели динамики упругих тел с микроструктурой // Нелинейные эволюц. уравнения в прикл. задачах. Киев:Ин-т мат. АН УССР, 1991. С.38-39.

51. Ерофеев В.И. Стационарные волны сдвига вращения нелинейном континууме Коссера // Изв. АН Арм.ССР, Сер. Механика, 1991. Т.44. № 4. С.49-55.

52. Ерофеев В.И. Стационарные магнитоупругие волны в нелинейной среде с моментными напряжениями // Волновые задачи механики: Сб. на-учн. тр. Н.Новгород: Изд.Нф ИМАШ АН СССР, 1991. С.139-142.

53. Ерофеев В.И. Распростанение нелинейных сдвиговых волн в твердом теле с микроструктурой // Прикл. механика 1993. Т.29. № 4. С. 18-22.

54. Ерофеев В.И. Плоские стационарные волны в поврежденной среде с микроструктурой // Акуст. журнал. 1994. Т.40. № 1.С. 67-70.

55. Ерофеев В.И. Синхронные взаимодействия продольных волн и волн вращений в нелинейно-упругой среде Коссера // Акуст. журнал. 1994. Т. 40. № 2. С. 247-252.

56. Ерофеев В.И. О зависимости скорости упругих волн от величины зерна в материале // Волновые механич. системы. Каунас: Академия, 1994. С 133-134.

57. Ерофеев В.И. О некоторых факторах, влияющих на эффект модуляции звука динамическим полем деформаций // Акуст. журнал. 1995. Т. 41. №6. С. 897-901.

58. Ерофеев В.И. Плоские нелинейные волны в двухкомпонентной смеси твердых деформируемых тел // Акуст. журнал. 1996. Т. 42. № 1. С.65-69.

59. Ерофеев В.И. Модуляционная неустойчивость волн сдвига-вращения в нелинейно-упругой среде Коссера // Акуст. журнал. 1996. Т. 42. №5. С. 715-717.

60. Ерофеев В.И. Исследование распространения упругих волн в горных породах с помощью уравнений разномодульной среды с микроструктурой // Проблемы геоакустики: Методы и средства. Сб. трудов V сессии Рос. акустич. общ-ва. М.: Изд-во МГГУ, 1996. С. 62-65.

61. Ерофеев В.И. Нелинейные взаимодействия продольных и спиральных сдвиговых волн в твердом теле с микроструктурой // Акуст. журнал. 1997. Т. 43. №2. С. 182-186.

62. Ерофеев В.И, Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Осциллятор с нелинейностью в отрицательной степени // Испытания материалов и конструкций: Сб. научн. тр. Н.Новгород: Интелсервис, 1996. С. 166-179.

63. Ерофеев В.И, Ковалев С.И Магнитоупругие солитоны // Нелинейная акустика твердого тела: Сб. трудов VIII сессии Рос. акустич. общества. Н.Новгород: Интелсервис, 1998. С. 183-187.

64. Ерофеев В.И., Ковалев С.И. Самомодуляция квазигармонических сдвиговых волн // Вестник ННГУ. Сер. Механика, 1999. № 1. С. 64-71.

65. Ерофеев В.И., Моничев С.А. Волны в поврежденной среде с микроструктурой // Труды 24-й и 25-й школ "Анализ и синтез нелинейныхмеханических колебательных систем". С.-Петербург: Изд-во ИПМаш РАН, 1998. Т. 2. С. 236-245.

66. Ерофеев В.И., Потапов А.И., Солдатов И.Н. Распространение волн конечной амплитуды в микрополярной среде // Тез. докл. II Всесоюз. конф. по теории упругости. Тбилиси: Мациниереба, 1984. С. 101-102.

67. Ерофеев В.К, Потапов А.И., Солдатов И.Н. Солитоны в упругой микрополярной среде // Волны и дифракция. Тбилиси: Изд-во Тби-лисск. ун-та, 1985. Т.2. С. 150-153.

68. Ерофеев В.И., Потапов А.И., Солдатов И.Н. Нелинейные волны в упругих телах с пространственной дисперсией // Горьковский ун-т. Деп. в ВИНИТИ 25.07.86. № 5440-В86. 224 с.

69. Ерофеев В.И., Потапов А.И. О некоторых волновых эффектах в нелинейно-упругих микрополярных средах // Изв. АН Арм.ССР. Сер. Механика, 1990. Т. 43. № 3. С. 55-60.

70. Ерофеев В.И., Потапов А.И. Нелинейные продольные волны в упругих средах с моментными напряжениями // Акуст. журнал. 1991. Т. 37. № 3. С. 477-483.

71. Ерофеев В.И, Раскин ИГ. О распространении сдвиговых волн в нелинейно-упругом теле // Прикл. механика. 1991. Т. 27. № 1. С. 127-129.

72. Ерофеев В.И, Родюшкин В.М. Наблюдение дисперсии упругих волн в зернистом композите и математическая модель для ее описания // Акуст. журнал. 1992. Т. 38. № 6. С. 1116-1117.

73. Ерофеев В.И., Солдатов И.Н. Поверхностная сдвиговая волна на границе упругого тела с микрополярной жидкостью // ПММ, 1999. Т. 63. № 2. С. 289-294.

74. Жермен П. Курс механики сплошных сред. М.: Высш. шк. 1983. 399с.

75. Жуков А.П., Шнеерсон М.Б. Адаптивные и нелинейные методы вибрационной сейсморазведки. М.: ООО «Недра-Бизнесцентр», 2000. 160 с.

76. Зарембо JI.K, Красилъников В.А. Введение в нелинейную акустику. М.: Наука, 1966. 520 с.

77. Зарембо Л.К., Красильников В. А. Нелинейные явления при распространении упругих волн в твердых телах. // Успехи физических наук, 1970, Т. 102. №4, С.549-586.

78. Зельдович Б.Я., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука, 1966. 686 с.

79. Зельдович Б.Я., Пилипецкий Н.Ф., Шкунов В.В. Обращение волнового фронта. М.: Наука, 1985. 240 с.

80. Костров Б.В., Никитин Л.В. Влияние предварительного напряженного состояния на распространение плоских сейсмических волн // Известия АН СССР. Сер. Физика Земли. 1968. №9, С.30-38.

81. КоулДж., Кук Л. Трансзвуковая аэродинамика. М.: Мир, 1989. 360 с.

82. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830с.

83. Курант Р., Фридрикс КО. Сверхзвуковые течения и ударные волны. М.: Иностр. лит., 1950. 300 с.

84. Левянт В.Б., Антоненко М.Н., Антонова И.Ю. Исследование методами численного моделирования сейсмического поля, обусловленного рассеиванием на зонах диффузной поверхности и трещиноватости // Геофизика: науч.-техн. журн. ЕАГО. М., 2004. № 2. С.8-20.

85. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Гостехиз-дат, 1950, 230 с.

86. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 600 с.

87. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

88. Михайлов А.А. Моделирование сейсмических полей для 2.5Б неоднородных вязкоупругих сред // Математические методы в геофизике: Тр. Междунар. конф. Новосибирск: Изд-во НВМ и МГ СО РАН, 2003. С.146-150.

89. Николаев A.B. Сейсмические свойства рыхлых сред // Известия АН СССР. Сер. Физика Земли. 1967. №2, С.23-31.

90. Николаев A.B. Изучение Земли невзрывными сейсмическими источниками // Исследование Земли невзрывными сейсмическими источниками. М.: Наука, 1981. С.5-29.

91. Николаев A.B. Просвечивание Земли сейсмическими волнами // Земля и Вселенная. 1983. №1. С.11-15.

92. Николаев A.B. Проблемы нелинейной сейсмики // Проблемы нелинейной сейсмики: Сб. статей / Под ред. A.B. Николаева, И.Н. Галкина. М.: Наука, 1987. С.5-20.

93. Николаев A.B. Сейсмические свойства грунтов. М.: Наука, 1965. 184 с.

94. Николаев A.B. Сейсмическая мутность реальных сред и возможность ее исследования // Доклады АН СССР. 1967. Т. 177. №5. С. 10721074.

95. Николаев A.B. Возможности исследования сред со случайными неоднородностями в присутствии микросейсм // Известия АН СССР. Сер. Физика Земли. 1968. №6. С.26-38.

96. Николаев A.B., Трегуб Ф.С. Результаты исследования статистической модели земной коры //Доклады АН СССР. 1969. Т. 189. №6. С.1236-1239.

97. Николаев A.B. Сейсмика неоднородных и мутных сред. М.: Наука, 1972. 175 с.

98. Николаев A.B., Нерсесов И.Л., Седова E.H. Характер горизонтальной неоднородности мантии Земли по сейсмическим данным // Доклады АН СССР. 1972. Т. 207, №4. С.846-849.

99. Николаев A.B., Артюшков Е.В., Галкин H.H. и др. Вибрационное просвечивание Земли // Деп. ВИНИТИ, №2549-74,1974. 158 с.

100. Николаев A.B., Виноградов С.Д., Троицкий П.А. Ультразвуковая сейсмическая томография // Доклады АН СССР. 1974. Т. 219. №1. С.81-83.

101. Николаев A.B. Возможность вибрационного просвечивания Земли // Известия АН СССР. Сер. Физика Земли. 1975. №4. С. 10-21.

102. Николаев A.B. Вибрационное просвечивание метод исследования Земли // Проблемы вибрационного просвечивания Земли. М.: Наука, 1977. С.80-85.

103. Николаев A.B., Аптикаев Ф.Ф., Нерсесов И.Л. и др. Экспериментальные сейсмические исследования недр Земли. М.: Наука, 1977. 157 с.

104. Николаев A.B., Ким Н.И. Характер временных изменений параметров телесейсмических волн Р на Северном Тянь-Шане // Доклады АН СССР. 1978. №5. С.562-564.

105. Николаев A.B. Изучение Земли невзрывными сейсмическими источниками // Исследование Земли невзрывными сейсмическими источниками. М., Наука, 1981. С.5-28.

106. Николаев A.B., Санина И.А. Метод и результаты сеейсмического просвечивания литосферы Тянь-Шаня и Памира // Доклады АН СССР. 1982. Т. 264. №1. С.69-72.

107. Николаев A.B., Садовский М.А. Новые методы сейсмической разведки: перспективы развития // Вестник АН СССР. 1982. №1. С.57-64.

108. Николаев A.B. Развитие физических основ новых методов сейсмической разведки // Вестник АН СССР. 1985. №3, С. 18-27.

109. Николаев A.B. Проблемы нелинейной сейсмики // Проблемы нелинейной сейсмики. М.: Наука, 1987. С.5-20.

110. Николаев A.B. Развитие нетрадиционных методов в геофизике // Физические основы сейсмического метода. М.: Наука, 1991. С.5-17.

111. Николаев A.B., Верещагина Г.М. Об инициировании землетрясений землетрясениями // Доклады АН СССР. 1991. Т. 318. №2. С.320-324.

112. Николаев A.B., Верещагина Г.М. Об инициировании землетрясений подземными ядерными взрывами // Доклады АН СССР. 1991. Т. 319. №2. С.333-336.

113. Николаев A.B., Беляков A.C., Кузнецов В.В. Акустическая эмиссия в верхней части земной коры // Известия АН СССР. Сер. Физика Земли. 1991. №10. С.79-84.

114. Николаев A.B., Николаев В.А. Связь афтершоков сильных землетрясений с приливными фазами как индикатор напряженного состояния среды // Доклады АН. 1993. Т. 330. №2. С.261-266.

115. Николаев A.B. Проблемы наведенной сейсмичности //Наведенная сейсмичность. М.: Наука, 1994. С.5-15.

116. Николаев A.B., Багмет Ф.Л., Назаров В.Е. Статическая деформация земной поверхности вблизи гармонического источника сейсмических колебаний // Известия АН СССР. Сер. Физика Земли. 1996. №7. С.72-74.

117. Николаев A.B. Проблемы геотомографии // Проблемы геотомографии. М.: Наука, 1997. С.4-38.

118. Николаев A.B. О возможности искусственной разрядки тектонических напряжений с помощью электрических и сейсмических воздействий // Двойные технологии. 1999. №2. С. 6-10.

119. Николаев A.B. Проблемы искусственной разрядки тектонических напряжений и снижения сейсмической опасности // Геоэкология. 1999. №5, С.430-436.

120. Николаев A.B. Черты геофизики XXI века // Геофизика на рубеже веков. М.: ОИФЗ РАН, 1999. С.319-323.

121. Николаев A.B. Развитие методов нелинейной геофизики // ВЕСТНИК ОГГГГН РАН. 2002. № 1(20).

122. Николаевский В.Н. Обзор: Земная кора, дилатансия и землетрясения // Дж. Райе. Механика очага землетрясения. М.: Мир, 1982. С.135-216.

123. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989. 324 с.

124. Пелиновский E.H., Фридман В.Е., Энгелъбрехт Ю.К. Нелинейные волновые уравнения. Таллин: Валгус, 1984. 164 с.

125. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961. 400с.

126. Пузырев H.H. Временные поля отраженных волн и метод эффективных параметров. Новосибирск: Наука, 1979. 294 с.

127. РайсДж. Механика очага землетрясения. М.: Мир, 1982. 216 с.

128. Ризниченко Ю.В. О распространении сейсмических волн в дискретных и гетерогенных средах // Известия АН СССР. Сер. География и геодезия. 1949. №2.

129. Рыкунов H.H., Хаврошкин О.Б., Цыплаков В.В. Методика и некоторые результаты статического исследования высокочастотных микро-сейсм // Вулканология и сейсмология. 1981. №1. С.64-69.

130. Рыкунов Л.Н., Хаврошкин О.Б., Цыплаков В.В. Модуляция высокочастотных микросейсм // Доклады АН СССР. 1978. Т.238. №2. С.303-306.

131. Рыкунов JI.H., Хаврошкин О.Б., Цыплаков В.В. Анализ спектров огибающей высокочастотных микросейсм после Аляскинского и Мексиканского землетрясений в марте 1979г. // Доклады АН СССР. 1980. Т. 252. №4. С.836-838.

132. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Физматгиз, 1953. Т.2. 804 с.

133. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Физматгиз, 1953. Т.4. 804 с.

134. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.:Физматгиз, 1953. 468 с.

135. Федоров Д.Л. Нефть и газ как продукт взаимодействия геосфер // Недра Поволжья и Прикаспия: Регион, науч.-техн. журнал. Саратов: Изд-во HB НИИГГ, 2001. Вып. 27. С.3-7.

136. Фрейденталъ А., Гейрингер X. Математические теории неупругой сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. 432 с.

137. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. 424 с.

138. Энгелъбрехт Ю.К. О моделировании нелинейных эффектов в сейсмических волнах // Проблемы нелинейной сейсмики: Сб. статей // Под ред. A.B. Николаева, И.Н. Галкина. М.: Наука, 1987. С.35-41.

139. Энгелъбрехт Ю.К., Фельдман М.В. Изменение спектрального состава сейсмических импульсов при распространении в нелинейной среде // Проблемы нелинейной сейсмики: Сб. статей // Под ред. A.B. Николаева, И.Н. Галкина. М.: Наука, 1987. С. 103-108.

140. Biot М.А. Generalized theory of acoustic propagation in porous dissi-pative media//J.Acoust.Soc.Amer., 54, 1254-1264,1962b.

141. Biot M.A. Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media //J.Appl.Phys., 33, 1482-1498, 1962a.- 192156. Biot M.A. Mechanics of Incremental Deformations. 497pp., John Wiley, New York, 1965.

142. Biot M.A. Theory of buckling of a porous slab and its thermoelastic analogy // J.Appl.Mech., 31, 194-198,1964.

143. Biot M.A. Theory of deformation of a porous viscoelastic anisotropic solid // J.Appl.Phys., 27, 459^167, 1956b.

144. Biot M.A. Theory of finite deformations of porous solids // Ind.Univ.Math. J., 21, 597-620,1972.

145. Biot M.A. Theory of Propagation of Elastic waves in a Fluid Saturated Porous Solid, Part I and II. // J.Acoust. Soc. Am, Vol. 28, № 2, 168-178, 1956.

146. Biot M.A. Theory of stability and consolidation of a porous medium under initial stress // J.Math.Mech., 12, 521-542, 1963.

147. Biot M.A. Theory of stress strain relations in anisotropic viscoelastic-ity and relaxation phenomena // J.Appl.Phys., 25, 1385-1391, 1954.

148. Biot M.A. Variational and Lagrangian methods in viscoelasticity // Deformation and Flow of Solids, Springer, New York, 251-263, 1956a.

149. Gassman F. Ueber die Elastizit porser Medien // Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Ges, Zurich, v.96, 1951, pp. 1-23.

150. Molotkov L.A., Bakulin A.V. Effective model of layered fluid-solid media as partial case of Biot model // Seventh International Workshop on Seismic Anisotropy: Program and Abstracts. Miami, USA, 1996, Paper 56.