автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Моделирование процессов локального фазового перехода в структурно неоднородных средах

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО

КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ Р ГО ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) .

На правах рукописи

САВАТОРОВА Виктория Леонидовна

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ЛОКАЛЬНОГО ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА В СТРУКТУРНО НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ.

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

(

Москва-1995

Работа выполнена на кафедре Физики Московского государственного горного университета и на кафедре Прикладной математической физики Московского государственного инженерно-физического института (Технического университета).

доктор физико-математических наук, профессор Н.А. Кудряшов доктор физико-математических наук, профессор В.Е. Трощиев; кандидат физико-математических наук, доцент О.В. Нагорнов Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится "//" января 1996 года в /£> часов на заседании диссертационного совета Д-053.03.08 в Московском государственном инженерно - физическом институте (Техническом университете) по адресу: 115409 , Москва , Каширское шоссе, д.31 , МИФИ тел.: 324-84-98,323-91-67.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИФИ. Автореферат разослан " ^ " ^¿¿^¿/S 199^. года.

Просим принять участие в работе Совета или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью. ,

Ученый секретарь ^ A.C. Леонов

диссертационного совета, профессор, д.ф.-м.н.

> ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы ' Многочисленные экспериментальные исследования показывают, что свойства неоднородных материалов (горных пород, композиционных материалов и др.) могут существенно отличаться от свойств отдельных компонент, входящих в состав материала. .Физические характеристики неоднородных материалов зависят от состава, структуры, которую образуют различные компоненты и масштабного фактора, что затрудняет использование экспериментальных методов для предсказания поведения данных материалов при различных условиях воздействия. Особенно сложным является поведение многокомпонентных и многофазных систем, примером которых являются мерзлые породы. Процесс деформирования подобных материалов представляет собой совокупность процессов на различных масштабных уровнях, таких как локальное плавление, фильтрация расплава, замерзание фильтрующей жидкости и др.

Математическое моделирование поведения многокомпонентных и многофазных систем на основе моделей, адекватно описывающих физические процессы на различных масштабных уровнях, позволяет во многих случаях' упростить проведение крупных натурных экспериментов.

При теоретическом изучении поведения неоднородных сред при внешнем воздействии большое внимание уделяется разработке различных методов осреднения, основная идея которых сводится к замене реального материала некоей однородной средой, характеризуемой эффективными осредненными характеристиками. Однако, в рамках таких подходов не удается учесть влияние

структурных изменений на уровне микронеоднородностей и, в частости, не учитываются процессы локальных фазовых переходов.

Поэтому разработка эффективной методики осреднения, создание програмного комплекса, позволяющего моделировать процессы локальных фазовых переходов в неоднородных средах, и исследование влияния структуры материала на эти процессы является актуальной задачей.

Цель работы Разработка методики математического моделирования процессов • локальных фазовых переходов в неоднородных средах и исследование влияния локальных структурных изменений в окрестности микронеоднородностей на макроскопические свойства сред с большим числом включений.

Научная новизна В рамках метода асимптотического осреднения впервые разработана методика решения задач теплопроводности в периодических неоднородных средах с учетом возможности фазовых переходов в отдельных компонентах материала. Получено аналитическое решение задачи теплопроводности в полубесконечной периодической среде с учетом динамики плавления отдельных компонент системы. Рассмотрена задача о фильтрации в зоне плавления периодической слоистой среды и проведена оценка влияния конвективного механизма теплопередачи на процесс плавления.

Разработана методика совместного решения двумерной задачи теории упругости и теплопроводности для случая нагруженной на бесконечности среды, представляющей собой упругую бесконечную матрицу с изолированным осесимметричным включением, с учетом возможности процессов локального фазового перехода в окрестности включения. На основе этой методики создан програмный комплекс,

позволяющий моделировать динамику процессов локальных фазовых переходов.

Впервые сформулирована и численно решена задача о локальном плавлении в окрестности твердого циллиндрического включения в упругой матрице в условиях одноосного сжатия. Показано, что наблюдается локализация зоны фазового перехода вблизи границы раздела включение-матрица.

Впервые проанализировано влияние процессов фазового перехода на масштабе характерных размеров неоднородносгей в условиях длительного нагружения на изменение деформационных свойств среды, содержащей большое число изолированных включений.

Результаты этих исследований, а также методика математического моделирования процессов локальных фазовых переходов в неоднородных средах представляются автором к защите.

Результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту:

Методика решения задачи теплопроводности в периодических структурно неоднородных средах с учетом возможности фазовых переходов.

Методика численного исследования динамики локальных фазовых переходов в неоднородных средах при длительном нагружении.

Результаты и выводы исследований структурных изменений в неоднородных средах, происходящих в процессе локальных фазовых переходов компонент среды.

Анализ влияния изменения локальной структуры материала на макроскопические свойства неоднородных сред.

Научная и практическая ценность результатов диссертации Диссертация демонстрирует большие возможности использования

Г

математических методов и средств вычислительной техники при исследовании процессов переноса и локальных фазовых переходов в структурно неоднородных средах. Разработанная в работе математическая модель применима при изучении деформационных и фильтрационных свойств геоматериалов и композиционных материалов в условиях длительного нагружения и температурного воздействия. Разработанная методика исследования процессов локальных фазовых переходов в неоднородных средах может быть использована для предсказания прочностных свойств реальных мерзлых пород в зависимости от микроструктуры материалов.

Апробация результатов диссертации проводилась на научных семинарах Московского государственного горного университета, кафедры Прикладной математической физики МИФИ, кафедры композиционных материалов ' Московского государственного университета, а также на научном семинаре "Механика горных пород" академика Е.И.Шемякина. Результаты работы докладывались на II Международном симпозиуме по исследованию неоднородных сред (Москва, 1995г).

Публикации Результаты проведенных исследований изложены в 4 работах, список которых приведен ниже.

Структура и объем диссертации Диссертация содержит 157 страниц текста, состоящего из Введения, четырех глав , Основных выводов по диссертации и двух приложений, включает в себя 41 рисунок, 2 таблицы и список литературы из 88 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первом разделе определен круг вопросов, исследованных в диссертации, сформулированы цели работы, обоснована актуальность

6

темы исследования, дан обзор основополагающих работ по теме диссертации, а также статей, отражающих современное состояние исследований, и кратко изложено содержание диссертации.

Обсуждаются различные методы описания процессов переноса в структурно-неоднородныз средах. Проводится классификация неоднородных сред по признаку особенностей их внутреннего строения. Основное внимание в работе уделяется средам, образованным непрерывной фазой с изолированными включениями. Проводится разбор различных методов осреднения для описания физических процессов в структурно неоднородных средах. В качестве основного условия применимости гипотезы сплошности рассматривается возможность выделения масштаба длины осреднения 8 значительно большего характерного размера неоднородности ¿у ,

но достаточно малого по сравнению с характерным размером системы-I/. ^ «3 «Ь- При этом условии реальный материал

может быть представлен однородной средой, характеризующейся эффективными свойствами, ассоциированными с масштабом § .

Принятие гипотезы эквивалентной гомогенности позволяет сформулировать задачу о свойствах гетерогенной среды. Для определения эффективных свойств идеализированной. гомогенной среды необходимо использование процедуры осреднения с учетом физических свойств отдельных фаз и структурных особенностей реального образца. На примере описания деформационных свойств неоднородных сред, для методов коэффициентного осреднения (геометрическое осреднение по объему, энергетические методы осреднения) проведен анализ их применимости в зависимости от характера неоднор'одностей, их концентрации и пространственного распределения. Сделан вывод, о том, что методы коэффициентного

У

обеднения с успехом могут применяться при определении эффективных коэффициентов в уравнениях линейной теплопроводности и фильтрации. Однако существуют границы применимости данных методов при описании процессов теплопроводности в структурно неоднородных средах. В частности показано, что в структурно неоднородных средах под действием внешнего нагружения в окрестности изолированных неоднородностей изменяется температура фазового перехода материала вещества матрицы, и возможны процессы фазовых переходов, локализованные на масштабах размеров неоднородностей. Для описания подобных процессов необходимо знать локальные характеристики материала, и методы коэффициентного усреднения, не могут быть использованы для этих целей.

В следующем разделе содержатся постановка и решение задачи о распространении тепла в неоднородных периодических средах в рамках метода асимптотического осреднения.

Под средой с периодической структурой следует понимать материал, составленный из периодически повторяющегося элемента (ячейки периодичности). Требованиям периодичности удовлетворяют как искусственно созданные материалы (композиты, каркасные структуры), так и многие геоматериалы.

Асимптотический метод осреднения дифференциальных уравнений в частных производных с быстроосциллирующими коэффициентами был впервые описан в работах Н.С.Бахвалова, Г.П. Панасенко '> , Б.Е.ПобедриЗ. Этот метод дает возможность

» Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах.-М.: Наука, 1984.-352с.

2> Победря Б.Е. Механика композиционных материалов..-М.: МГУ,

1984.-336с. '•"■.- '//:':

асимптотически правильно описать микроскопическую структуру процессов на основе решения локальных задач на ячейке периодичности и решения краевой задачи для эквивалентной однородной среды с полученными эффективными характеристиками.

Рассматривается неоднородная среда с периодической структурой, занимающая область: в и состоящая из периодически повторяющегося элемента с характерным размером Н. Предполагается, что характерный размер Ь области С> много больше размера ячейки периодичное™ Н«Ь. Решение линейной задачи теплопроводности для периодической среды ищется в виде ряда по степеням малого параметра е ~Н¡Ь <<1 с коэффициентами,

зависящими как от переменных х, (медленных), так и от переменных

£ (быстрых), ¡=1,2,...-.в (в-размерностьпространства):

Медленные переменные соответствуют глобальной структуре процесса теплопроводности, а быстрые - локальной структуре на ячейке периодичности.

Асимптотический метод осреднения применялся для решения задачи теплопроводности в полубесконечной слоистой периодической среде. Слои располагались параллельно свободной поверхности, на которой поддерживалась температура у, . Предполагалось, что температура 7", выше начальной температуры среды у,. Подстановка разложения (1) в нестационарное уравнение теплопроводности, граничные и начальные условия задачи, дает для определения функций ^[хг^,^) 0=1.2.....п) цепочку

дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими начальными и граничными условиями. Интегрирование полученных уравнений с учетом периодичности функций Т^х-^'/) 0=1>2,...,п) по ^ , показывает, что нулевая поправка у*0' не зависит от переменной ^ и , значит, "не чувствует"

наличия неоднородностей в среде. Для определения у"" решалось осредненное по ячейке периодичности уравнение с постоянным коэффициентом, аналогичным эффективному коэффициенту температуропроводности в методе коэффициентного осреднения. Для учета микроструктуры среды требовался учет последующих поправок Т^Хе^,»/) 0=1.2,.„,п) ряда (1). Для их определения были выведены

рекуррентные соотношения, позволяющие получать решение линейной задачи теплопроводности с любой, наперед заданной степенью точности.

Полученные аналитические соотношения были использованы при расчете температурного распределения в среде, ячейка периодичности которой содержала три слоя различных материалов. На рис.1 приведено распределение температуры, расчитаннос с учетом двух первых членов асимптотического разложения. Показано, что учет последующих поправок не превышает 0.01% от значения первого члена в разложении (1).

В полубесконечной слоистой среде с периодической структурой при условии, что температура на свободной границе у, превышает

температуру плавления у" хотя бы одной из компонент материала, происходят фазовые переходы. В третьем разделе содержится постановка и решение задачи теплопроводности в периодической среде с учетом фазовых переходов. Плавление рассматривается как

270.5

269.5

«

4268.5

СО О. и,

267.5

266 5

1 Л »

' \ч

* ч.

0.0 6.0 12.0 18.0 24.0 30.0

х /см/

Рис 1. Распределение температуры, расчитаннос с учетом двух первых членов асимптотического разложения (пунктиром показан результат численного интегрирования исходной задачи).

мгновенный процесс. В рамках такого подхода различные фазы разделяются плоской движущейся поверхностью (фронтом плавления). В этом случае исходная задача теплопроводности будет иметь дополнительные условия, заданные на фронте плавления Х/ - Наличие

фронта плавления нарушает сгрогую периодичность задачи/ поэтому,. непосредственное использование асимптотического метода осреднения становится невозможным. Однако, с учетом того факта, что за фронтом плавления и перед ним геометрическая периодичность среды сохраняется, в работе было проведено обобщение асимптотического метода осреднения на данный класс задач.

Было показано, что, как и при отсутствии фазовых переходов, нулевая поправка к температуре 71"" такжз не зависит от быстрой переменной £ . Задача, полученная для ее определения, аналогична

известной задаче Стефана3) и представляет собой уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами (эффективные коэффициенты температуропроводности среды по разные стороны фронта % и % ), дополненные соответствующими начальными и граничными условиями. Положение фронта плавления меняется со временем по корневому закону Х/~СС Полученное для нулевой поправки 71"" выражение имеет вид:

зГсм)=

То+(7*1 ~ То) . / ^ , *>*/(0

3) Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.-М.: Наука, 1977.-736с.

Л ■ • '

где уо- начальная температура среды.

Постоянная # определяется из решения трансцендентного уравнения, . полученного подстановкой нулевой поправки к температуре у"" в граничное условие на скачок потока тепла при переходе через границу х = х .

Пространственное распределение нулевой поправки у"" для слоистой среды, состоящей из чередующихся слоев льда и глины, моделирующих мерзлый грунт, приведено на рис.2.

Учет вшмния реальной слоистой структуры в задаче теплопроводности с учетом фазовых переходов, как и в случае линейной задачи теплопроводности, осуществлялся с помощью следующих поправок в разложении (1). Для определения у"' использовалось условие выполнения предельного перехода к решеншо задачи теплопроводности в периодической среде без учета плавления при Л , где X " удельная теплота плавления.

На рис.3 показано распределение температуры, расчитанное с учетом двух первых членов ассимптотического разложения у » у^Ч £ у"' .

Сравнивая рис.2 и рис.3 , можно видеть, что учет уже первой поправки приводит к появлению точек излома на границах слоев и на фронте плавления. Сравнение результатов расчета по динамике изменения температуры в периодической среде, полученной с помощью метода асимптотического осреднения и численных методов показало хорошее совпадение (с точностью до 5%).

Локальные фазовые переходы "твердая фаза-жидкость" в структурно неоднородной среде приводят в существенному изменению их проницаемости и перераспределению жидкой фазы. Для учета, влияния, процесса фильтрации на перенос тепла на примере - ■ •' .-■ /3

278.0

276.0

« Я

а.

274.0

272.0

270.0

Х(. 10.0

20.0 X /см /

Рис. 3.

и

мерзлых геоматериалов в рамках метода асимптотического осреднения построено решение задачи о фильтрации воды в ограниченной зоне протаивания, возникающей в результате таяния порового пьда. Фильтрация жидкости описывалась законом Дарен. Капилярные и пленочные механизмы миграции влаги не учитывались. Были определены зависимости давления и скорости фильтрации жидкости от координаты и времени. Было показано, что для широкого класса мерзлых геоматериалов выполняется условие:

Рет~«1 (3).

где Ре- число Пекле, - эффективный коэффициент

теплопроводности среды, к- коэффициент теплопроводности жидкости. Поэтому конвективный механизм теплопередачи не играет существенной роли при описании процесса плавления в большинстве мерзлых геоматериалов.

Для реальных геоматериалов и композиционных материалов характерно1 наличие большого числа микронеоднородностей типа включений, которые вносят значительные изменения в распределение напряжений при нагружении^ образца. Согласно уравнению Клаузиуса-Клапейрона, температура фазовых переходов в окрестности включений может меняться. Поскольку изменение поля напряжении в окрестности включений носит существенно местный характер, то процессы фазовых переходов локализованы также в окрестности неоднородностей.

В четвертом разделе рассматривалась задача о динамике процессов локального фазового перехода в окрестности включения в упругой матрице, нагруженной на бесконечности сжимающим напряжением. Общая постановка задачи включала в себя: уравнения теории упругости о равновесии изолированного включения в упругой

/5*

среде с учетом температурного расширения; уравнение теплопроводности; уравнение Клаузиуса-Клапейрона; граничные условия на бесконечности, границе включение- упругая матрица, границе зоны фазовых переходов; начальные условия. Предполагалось, что вне зоны фазовых переходов отсутствует проскальзывание между включением и матрицей. Фазовые переходы в окрестности включений приводят к изменению условий контакта на границе включение-матрица и появлению границы между различными фазами вещества матрицы.

В результате задача определения напряженного состояния в окрестности включения с учетом локальных фазовых переходов становится самосогласованной, и для ее решения необходимо использование численных методов.

Напряженное состояние в упругой матрице и включении расчитывалось с помощью метода конечных элементов (МКЭ). В качестве основного элемента использовался четырехугольный конечный элемент с узлами, расположенными в его вершинах. По мере развития процесса плавления предусматривалась перестройка сетки и изменение числа элементов в зоне фазового перехода.

Для расчета конкретной задачи был выбран случай одноосного нагружения. упругой среды с изолированным упругим цилиндрическим включением. Решение двумерной осесимметричной задачи в рамках МКЭ проводилось с помощью разработанной программы "ESHLB". Для учета динамики процессов теплопроводности и плавления наряду с программой "ESHLB" использовалась программа "LUCH", позволяющая в лучевом приближении решать уравнение теплопроводности. Результатом вычислений по программам "ESHLB" и "LUCH" является определение распределения поля напряжений, температуры плавления

46

Рис.4 Распределения первого инварианта на различные моменты

времени: а)-начало процесса; б)- 1=7часов; в)-1= 15часов; г)-1=21 час. Радиус включения 11=2мм.

Рис.5. Пространственное распределение доли расплавленного льда.

Рис.6. Деформация прй одноосном сжатии образца мерзлого грунта: сплошная линия - расчет; штриховая линия - эксперимент

а

и процентного содержания жидкости в окрестности включения (см. рис.4-5). Анализ распределения первого инварианта /, , а , значит, и температуры фазового перехода, на различные моменты времени позволяет сделать вывод о том, что со временем происходит локализация зоны плавления вблизи границы раздела включение -матрица.

Результаты численного моделирования развития зоны фазовых переходов в окрестности изолированного включения были использованы для оценки изменения эффективных деформационных свойств среды, содержащей большое число включений. В предположении малой концентрации включений, когда не происходит пересечения локальных зон плавления, в рамках гипотезы эквивалентной гомогенности получены соотношения для эффективных деформационных свойств в зависимости от динамики изменения концентрации жидкой фазы. На рис.6 приведены результаты расчета длительной ползучести под нагрузкой в образцах мерзлых пород и проведено сравнение результатов расчета с экспериментом.

Основные научные результаты, полученные в диссертации:

1. Показана эффективность применения асимптотического метода осреднения дифференциальных уравнений с быстроосциллирующими коэффициентами при описании процессов переноса в средах с периодической структурой. Для линейной задачи теплопроводности построено асимптотическое разложение, дающее возможность получать решение с заданной точностью.

2. Разработан подход, позволяющий в рамках метода асимптотического осреднения описывать процессы теплопроводности в периодических средах с учетом возможных фазовых переходов первого рода в отдельных компонентах неоднородного материала. Проведен анализ влияния фильтрации жидкой фазы на перенос тепла.

13

3. Показано, что под действием внешнего поля напряжений в среде с изолированными включениями возможны фазовые переходы первого рода, локализованные на масштабах размеров неоднородностей.

4. Составлен алгоритм и вычислительная программа математического моделирования динамики процесса локального фазового перехода в окрестности изолированного включения в упругой среде во внешнем поле напряжений. Изучен процесс локализации зоны фазового перехода в окрестности границы раздела включение-матрица.

5. С использованием результатов численного моделирования фазовых переходов изучены временные зависимости деформационных характеристик сред, содержащих большое число включений, при длительном нагружении.

Основные результаты опубликованы в работах:

1. Власов А.Н., Саваторова B.JÏ., Талонов A.B. Асимптотическое усреднение для решения задач теплопроводности с фазовыми переходами в слоистых средах // Прикладная механика и техническая физика.-1 995.-t.36.-N5.-c. 155-163.

2. Власов А.Н., Саваторова B.JI., Талонов A.B. Аналитические методы исследования фазовых' переходов в средах с неоднородной структурой // Механика композиционных материалов и конструкций.-1995.-T.I. -N.2.

3. Саваторова B.JI., Талонов A.B. Использование метода асимптотического усреднения для решения задач теплопроводности с учетом фазовых переходов // Been:. Моск. ун-та. Сер.1. Математика. Механика.-1995.-N.4.-c. 108.

4.Vlasov A.N., Savatorova V.L., Talonov A.V. Analytical methods of phase transition investigation in media with inhomogenious structure// Abstracts of 2-nd Symposium: Advances in Structured and Heterogenious Continua. Moscow, Russia.- 1995.-p. 16.

Подписано к печати /3 ' /Я УЗаказ N ^^ Тираж 80

Типография МИФИ; Москва, Каширское шоссе, 31.

го