автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование поведения тел из вязкоупругого материала при образовании в них концентраторов напряжений при конечных деформациях

005042954

На правах рукописи УДК 539.3

ПЕКАРЬ ГРИГОРИЙ ЕВГЕНЬЕВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ТЕЛ ИЗ ВЯЗКОУПРУГОГО МАТЕРИАЛА ПРИ ОБРАЗОВАНИИ В НИХ КОНЦЕНТРАТОРОВ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 7 МАЙ 2012

Тверь 2012

005042954

Работа выполнена на кафедре вычислительной механики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Левин Владимир Анатольевич

Официальные оппоненты:

Шешенин Сергей Владимирович,

доктор физико-математических наук, профессор,

профессор МГУ им. М.В. Ломоносова

Шеретов Юрий Владимирович,

доктор физико-математических наук профессор,

профессор Тверского госуниверситета

Ведущая организация

ООО «Научно-технический центр «НИИШП»

Защита состоится «29» мая 2012 года в 14:00 часов на заседании диссертационного совета Д212.263.04 при Тверском государственном университете по адресу: 170002, г. Тверь, Садовый пер., 35, ауд. 200

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тверского государственного университета по адресу: 170100, г. Тверь, ул. Володарского, 44а

Объявление о защите диссертации опубликовано «28» апреля 2012 года на сайте ВАК и на официальном сайте Тверского государственного университета по адресу: http://university.tversu.ru/aspirants/abstracts/

Автореферат разослан «28» апреля 2012 года

И.О. ученого секретаря диссертационного совета,

доктор физико-математических наук tyffJr Зингерман K.M.

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена моделированию напряженно-деформированного состояния (НДС) при образовании концентраторов напряжений в нелинейно-вязкоупругом нагруженном теле при конечных деформациях. В диссертационной работе предложена учитывающая динамические эффекты модификация модели образования концентратора напряжений в предварительно нагруженном теле для случая сжимаемых и несжимаемых изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов, разработан алгоритм решения квазистатической и динамической задачи о НДС при образовании концентраторов напряжений в нелинейно-вязкоупругом нагруженном теле при конечных деформациях на основе метода конечных элементов и программный модуль, реализующий этот алгоритм. С помощью данного программного модуля проведен ряд численных экспериментов.

Свойства материала описываются известными соотношениями для сжимаемых и несжимаемых изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов. Учитывается, что возникновение в теле концентратора напряжений приводит (по крайней мере, в окрестности образованной граничной поверхности) к появлению в теле больших дополнительных деформаций, которые «физически» накладываются на уже имеющиеся в теле большие деформации. Отметим, что именно "физически накладываются". Так как в рамках малых деформаций возможна суперпозиция деформаций, когда параметры напряженно-деформированного состояния тела от суммарного внешнего воздействия на тело определяются как сложение параметров напряженно-деформированного состояния тела от каждого воздействия на тело, а в случае конечных деформаций это не так. И поэтому мы говорим о "физическом наложении" (о физическом перераспределении) в теле деформаций и напряжений.

Задачам нелинейной теории упругости посвящено большое количество как отечественных, так и зарубежных работ, в частности работы Г.М. Бартенева, М.Ф. Бухиной, И.И. Блоха, JI.M. Зубова, Ю.И. Койфмана, Л.И. Кутилина, А.И.Лурье, Н.Ф.Морозова, В.В.Новожилова, В.А. Пальмова, П.М. Риза, Л.И. Седова, Г.С. Тарасьева, Л.А. Толоконникова, Т.Н. Хазановича, К.Ф. Черныха, P.J.Blats, A.E.Green, W.L.Ko, М.А.Moony, F.D.Murnaghan, W.Noll, R.S.Rivlin, L.R.G. Treloar, C. Truesdell, O. Watanabe, W. Zerna и многих других.

Более сложными являются задачи связанные с анализом поведения элементов конструкций, когда необходимо учитывать вязкоупругие процессы, происходящие в материале тела. Теории и эксперименту задач вязкоупругости посвящены работы A.A. Адамова, В.П. Матвеенко, H.A. Труфанова, И.Н. Шардакова, Ю.Н. Работнова и его учеников, цикл работ A.A. Ильюшина и Б.Е. ГТобедри, работы Н.Х. Арутюняна и его учеников, а также работы

з

Р. Кристенсена. В этих работах построены модели и дано теоретическое обоснование для малых и конечных деформаций.

Создание и развитие теории многократного наложения больших деформаций для тел из упругого материала было осуществлено Г.С. Тарасьевым, В.А. Левиным. Совместно с этими авторами, A.B. Вершининым были разработаны численные методы и программные модули для решения таких задач. Обобщение моделей вязкоупругости на случай многоэтапного нагружения получено В.А. Левиным и K.M. Зингерманом с использованием теории многократного наложения больших деформаций и найдены численно-аналитические решения для квазистатических задач с учетом нелинейностей 2-го порядка. Методы решения и программные модули для решения таких задач с учетом нелинейностей высших порядков разработаны не были.

Модель образования концентратора напряжений в предварительно нагруженном теле из нелинейно-вязкоупругих материалов с учетом динамических воздействий ранее не рассматривалась.

Для получения результатов данной работы использовался метод конечных элементов (МКЭ). Применение метода конечных элементов к задачам линейной и нелинейной теории упругости подробно рассмотрено в работах Л. Сегерлинда, О. Зенкевича, Дж. Джу и Р. Тейлора.

Актуальность темы. В связи с разработкой новых материалов (в том числе резиноподобных и полимерных), конструкции из которых способны испытывать в процессе изготовления и эксплуатации конечные деформации, а также усложнением самих конструкций и сложностью нагружения на них, возникает необходимость в создании адекватных механических моделей и разработке систем инженерного анализа (либо программных модулей способных интегрироваться в существующие системы инженерного анализа) для оценки прочностных характеристик элементов таких конструкций. В ряде случаев необходимо учитывать вязкоупругие (в частности, релаксационные) процессы, происходящие в таких конструкциях при их эксплуатации и хранении. Анализ напряженно-деформированного состояния в телах с образующимися отверстиями важен потому, что позволяет конструктору еще на этапе проектирования оценить возможность разрушения элемента конструкции при наличии в нем дефектов.

Целями работы являются:

- разработка модифицированной модели деформирования предварительно нагруженных тел из сжимаемых (в том числе и слабосжимаемых) или несжимаемых изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов при образовании в них концентраторов напряжений; модификация модели состоит в учете динамических эффектов и граничных условий на внешней границе тела;

- разработка детализированного алгоритма решения квазистатических задач с учетом нелинейностей высших порядков и алгоритма решения динамических задач в рамках описанной модели;

— разработка программного модуля для решения задач;

— проведение численных экспериментов для конкретных задач.

Научная новизна работы заключается в адаптации ранее разработанных численных методов решения задач вязкоупругости (включая метод Прони) для сжимаемых (в том числе и слабосжимаемых) и несжимаемых материалов для случая квазистатического и динамического нагружения тела в несколько этапов, а также в решении задач нового класса, в которых при конечных деформациях образуются дефекты (включения и трещины ненулевого раскрытия) в телах из сжимаемых (в том числе и слабосжимаемых) и несжимаемых изотропных вязкоупругих материалов, с учетом квазистатического или динамического перераспределения конечных деформаций.

Достоверность результатов основывается на применении апробированной теории многократного наложения больших деформаций, применении определяющих соотношений и использовании для решения задач методов, апробированных ранее другими авторами. Проводится анализ полученных разложений в ряд Прони, а также результатов, полученных при интегрировании некоторых функций с использованием такого разложения. Также проводится численный (сеточный) анализ сходимости, как по пространству, так и по времени для динамических модельных задач. Полученные в работе результаты согласуются с точным решением, полученным для частного случая.

Практическая ценность работы заключается в возможности использования результатов расчета на начальных стадиях проектирования изделий из резиноподобных и полимерных материалов, а также в задачах мониторинга (например, когда в процессе эксплуатации возникает и может начать развиваться дефект). Разработанный программный модуль использовался при выполнении работ по грантам РФФИ (проекты 11-01-12043-офи-м-2011, 11-08-01284-а), госконтракту № 8757р / 14004 от 14 января 2011 г. с «Фондом содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере» по программе «Участник Молодёжного Научно-Инновационного Конкурса» («У.М.Н.И.К.») и при разработке CAE FIDESYS (Проект поддержан фондом Сколково).

На защиту выносятся:

— модификация модели образования концентратора напряжений в предварительно нагруженном теле для случая сжимаемых (в том числе и слабосжимаемых) и несжимаемых изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов с учетом динамических воздействий;

— детализированный алгоритм решения задач в рамках описанной модели и его программная реализация;

— результаты численных экспериментов для конкретных задач.

Апробация работы.

Результаты работы полностью или частично докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях: Научные конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в 2005, 2006, 2008, 2011 гг. (г.Тула); Научные конференции «Ломоносовские чтения» в 2006, 2007, 2008, 2009, 2010. гг. в МГУ им. М.В. Ломоносова (г. Москва); 7 научная конференция «Актуальные проблемы состояния и развития нефтегазового комплекса России» в Российском государственном университете нефти и газа им. И. М. Губкина в 2007 г. (г. Москва); Научно - практическая конференция «инженерные системы - 2009», 6-9 апреля 2009 года, Москва; Восемнадцатый и Девятнадцатый симпозиум «Проблемы шин и резинокордных композитов» в 2007 и в 2008г. соответственно (г. Москва); Всероссийской научно-практической конференции «Математика, информатика, естествознание в экономике и в обществе» в 2007 году (г. Москва); 73rd EAGE Conference & Exhibition incorporating SPE EUROPEC 2011, Vienna, Austria.

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 17 публикациях, 2 из которых в изданиях из списка ВАК.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка использованных источников из 115 наименований. Работа изложена на 121 странице машинописного текста, содержит 33 рисунка.

Краткое изложение диссертации

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи данной работы, приведена аннотация содержания диссертации.

В первой главе кратко изложены основные соотношения теории многократного наложения больших деформаций.

В п. 1.1 приводятся основные термины и обозначения, используемые в работе:

п

R - радиус-вектор частицы вй-м состоянии;

— лагранжевы (материальные) координаты частицы;

п

э, - базисные векторы вй-м состоянии;

п п-1

ип = R— R — вектор перемещений, характеризующий переход из

предыдущего (и-1)-го состояния в последующее п-е состояние;

р

V — градиент в базисе р-го состояния;

б

Р ц р

= 1 + 2 = V ~ X Vм») ~ аффинор деформаций,

п=9+1 н=</+1

характеризующий переход из </-го состояния в р-е;

в = 4х ■ - тензорная мера деформаций, описывающая изменение деформаций при переходе тела из состояния д в состояние р и соответствующая мере Грина ( О0, — тензорная мера Грина);

Р„, f„ , Р„- плотность, массовая сила и давление в И-м состоянии; Атп - относительное изменение объема при переходе из т-го в я -е состояние;

ег0п - тензор истинных напряжений, накопленных в теле при переходе из начального в П-в состояние;

ао,п =(Ч'„/Г1 • &<>.„' - энергетический тензор напряжений, накопленных в теле при переходе из начального в П-в состояние; " / \ "

¿¿0,ГТ — І I ~Ь Ал 1(7О,П - тензор обобщенных (полных для П-го состояния) напряжений, определенный в координатном базисе и-го состояния;

т

2 о,л - тензор обобщенных (полных для п-го состояния) напряжений, определенный в координатном базисе произвольного т- го состояния:

т п

т т т

=Ео,Р-Ео,« — тензор обобщенных дополнительных напряжений,

определенный в координатном базисе произвольного т -го состояния; к

Г„ — граница тела в п -м состоянии в координатах к -го состояния; к к И„ - нормаль к Г»; • - знак двойной скалярной свертки; Т — знак транспонирования.

В п. 1.2 описан класс решаемых задач, а также рассмотрены выражения для характеристик напряженно-деформированного состояния тела (аффиноры деформаций, тензоры деформаций) в различных состояниях и уравнения, связывающие их между собой.

В п.1.3. приведены уравнения равновесия и движения на момент времени в координатном базисе состояния на момент времени т„, а также уравнения равновесия и движения на момент времени т„ в координатном базисе состояния на момент времени тк{к < п).

В п. 1.4. описаны граничные условия, используемые в работе.

В п. 1.5 рассмотрены определяющие соотношения для сжимаемых (в том числе и слабосжимаемых) и несжимаемых изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов, используемых далее в работе при решении задач.

Для несжимаемого материала

= (1) где № — интегральный оператор вида:

/4<Р(?)] = Н,

ср{1)- \К(1-тЩт)с1т

= (2)

Для сжимаемого материала

где И - интефальный оператор вида:

<р( 0- ¡К(1-тУр(т)с/т

= (4)

Вторая глава посвящена механической и математической постановке граничных задач теории многократного наложения больших деформаций об образовании концентраторов напряжений в предварительно нагруженных телах. Постановка задачи осуществляется с использованием теории многократного наложения больших деформаций.

В п.2.1 рассмотрено несколько примеров механической постановки задач. В частности, приведены механическая постановка задачи об одновременном образовании отверстий в нагруженной однородной пластине из вязкоупругого материала и механическая постановка задачи о последовательном образовании отверстий в нагруженной однородной пластине из вязкоупругого материала. Механическая постановка задачи об одновременном образовании отверстий следующая. В начальном состоянии (в момент времени г0=0) в нелинейно-вязкоупругой пластине отсутствуют напряжения и деформации. Затем под воздействием внешних нагрузок в ней накапливаются большие напряжения и

деформации (Рис. 1.а). Далее, в момент времени в пластине намечаются замкнутые контуры (будущие границы отверстий). Затем области, ограниченные данными контурами, удаляются. Под удалением понимаем «откол» одной части от другой части тела таким образом, что она не взаимодействует с оставшейся частью тела. Действие удаленных частей тела на оставшуюся часть тела заменяется по принципу освобождаемости от связей силами, распределенными по данному контуру (Рис. 1.6). Это не приводит к изменению напряженно-деформированного состояния в оставшейся части тела. Далее предполагается, что эти силы, перешедшие в разряд внешних, квазистатически или динамически (в

8

зависимости от типа решаемой задачи) значительно изменяются (например, уменьшаются до нуля, или задается некоторое ненулевое давление, приложенное к границам образованных отверстий), что вызывает появление в оставшейся части тела дополнительных больших (по крайней мере, в окрестности образованных граничных поверхностей) деформаций, которые накладываются на уже имеющиеся большие начальные деформации. Изменяется граница тела, и оно продолжает деформироваться во времени (Рис. 1 .в).

,1 і І I ! ! Г .МНІМ,

1 0 £/<г.

НИМ)

ттттттт

Рис. 1.а

гтттт

Рис. 1.6

о г,

І І І І II і

Рис. 1.В

Отметим, что форма и взаимное расположение отверстий могут задаваться как в момент образования, так и в другой, заранее заданный, момент времени ( Г[' > г,). И это, естественно, обуславливает математическую постановку задачи.

В п.2.2 рассмотрено восемь случаев полной математической постановки задач об образовании концентраторов напряжений в телах из нелинейно-вязко-упругих тел: форма концентратора может быть задана как в момент образования тк, так и в момент т„ >тк; материал может моделироваться как сжимаемым (в том числе и слабосжимаемым), так и несжимаемым материалом; постановка задачи может быть как квазистатической, так и динамической.

Постановка задачи об образовании концентратора напряжений, форма которого задана в момент образования, в теле из несжимаемого вязкоупругого материала с учетом динамических эффектов, включает в себя следующие соотношения.

Уравнение движения:

^-0, (5)

(1 + ДМ)" хио-У^О

~ р^

де

здесь

и(0

вектор перемещении, характеризующий переход из состояния на момент тк в состояние на момент и выраженный в координатах к-го состояния.

Граничные условия:

= • (1 + Л,,„(/)) • N„(1) •Ч'—'О) • •

(6)

Начальные условия:

где - скорости, накопленные к моменту времени тк; они равны нулю для г0 = 0. Уравнение несжимаемости:

л„,„=0. (8)

Определяющие соотношения для несжимаемого вязкоупругого материала (1),(2).

Геометрические соотношения:

1 + \„(0 = ^^„„(О, (9)

= (Ю)

Ук,„=1 + Уи({). (11) Связь между плотностями в различные моменты времени

Рк =(1 + Ао,*) 'а- (12)

Завершает постановку задачи связь между тензором обобщенных напряжений в различных координатных базисах:

ЕоДО^о.^оДО-Ч'о,*. (13)

Решение этой задачи позволяет найти, в частности, вектор и(1)

к

перемещений из к-го состояния в п-е как функцию радиус-вектора Я, т.е. в координатах к-го состояния.

В п.2.3 приведен общий алгоритм решения задач о последовательном образовании концентраторов напряжений в телах из вязкоупругих материалов.

Третья глава посвящена методам решения задач.

В п.3.1 описан пример применения метода конечных элементов к задачам теории наложения больших деформаций.

В п.3.2 обсуждаются особенности применения метода конечных элементов для несжимаемых материалов и слабосжимаемых материалов.

В п.3.3 обсуждаются методы сглаживания полученных результатов (в частности аффиноров и напряжений).

В п.3.4 обсуждаются методы переноса результатов при решении динамических и статических задач о последовательном образовании концентраторов напряжений.

В п.3.5 описывается численная схема для решения динамических задач теории наложения больших деформаций. Для решения задач использовалась дискретизация по времени по методу ОЫ22 (Схема Ньюмарка):

ю

г2 т2

7 „ л ч .к т „ 4+,

tr+' = [/' +тГ +у (1-у02)/Г + у/М , (14)

K<+1 =Vl+T(l-/3t)Al+T/}lAM. (15)

Схема обладает вторым порядком аппроксимации. Безусловная устойчивость данного метода гарантирована при р2 > Д >0.5.

В п.3.6 описывается общий алгоритм расчета интеграла (2) и (4) из вязкоупругих определяющих соотношений.

г

Пусть необходимо вычислить интеграл вида: I(T)= ^K(T-T)g(r)dr ■

о

Предположим, что каким-то образом нам удалось получить приближение функции ядра m из (2) или (4), линейной комбинации конечного числа экспонент на отрезке [0, Г], то есть удалось подобрать такие С, и а,, что

K{t)-Yctea> <s,\/t <е [0, Г]. /=i

Такая комбинация j^C.e-"'' называется рядом Прони. Тогда вычисление интеграла можно производить по следующей рекуррентной формуле

где h = \е '(к }g(T)dT — интегралы, вычисленные на предыдущем шаге по

о

времени, a S, определяются как Si = а gMC') =

Преимуществом использования такого метода вычисления интеграла является то, что для использования формулы необходимо хранить в памяти лишь интегралы, вычисленные на предыдущем шаге.

В п.3.7 описывается алгоритм получения разложения в ряд Прони. Для получения результатов данной работы использовался метод Прони.

В п.3.8 описано отделение от сингулярности в интеграле из определяющих соотношений. В нашем случае ядро K(t) в (2) имеет особенность при t = 0, а ряд Прони ограничен при t = 0, поэтому для любых фиксированных С,, а, верно, что:

->оо /—►о '

поэтому необходимо провести корректировку формулы (16), «отступив» от точки t = 0. Так как K(t) - ^, то необходимо раскладывать в ряд Прони лишь

1 1 _ V-1 I —от, V

функцию -рг • Пусть у-1 ~ 2-1 > , тогда, с учетом отделения от

* ^ I

сингулярности формула для вычисления интеграла из (2) примет вид

/с«.)»(п)

где II = У^'^Е^т^е-^^Г^ +^(0-

а Л = [(Л"'(Пг]-Пу,Жи-'.И)]Л/]= {г'-'е-'Л.

О I

В четвертой главе рассматриваются результаты решения задач, постановка и методы решения которых, приведены во второй и третьей главах соответственно. Приводятся примеры решения двумерных квазистатических и динамических задач. Решения даны для различных типов материалов: сжимаемых (в том числе и слабосжимаемых) и несжимаемых. Приведено распределение напряжений, отнесенных к параметру материала, а также контуры полостей до и после деформирования тела при различных видах нагружения.

В п. 4.1 рассматриваются примеры решения квазистатических задач об образовании концентраторов напряжений в двумерных телах из сжимаемых (в том числе и слабосжимаемых) и несжимаемых изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов.

В п. 4.1.1 рассматривается задача об одноосном растяжении I (о-* (0

(сг|г=^ ^ ^ Однородной квадратной пластины (сторона 10, центр (0,0)) из

несжимаемого вязкоупругого материала. Механические свойства материала моделировались определяющими соотношениями (1) со значением констант //„ = \МПа, / = 0.016, р = 0.000167с, А = О.ОШс1"''. Задача решается при плоской деформации. Для этой задачи было найдено как численное, так и аналитическое решения и произведено их сравнение. Аналитическое решение данной задачи выглядит следующим образом:

А=--

** П 81

= !' - ++1' -р.

*

Из уравнений (18) аналитически была получена величина сг для =1+0.15т(500 на отрезке [0, 0.5] в точках 0,005-/,/= 0,100. Затем, для

полученных граничных условий, было найдено численное решение для для различных шагов по времени ( г = 0.005 / j, j = 1,10,100,1000).

0,015

fc o,oi w

0,005 о

о o,i 0,2 0,3 0,4 0,5 Время t, с

Рис. 2.а Рис. 2.6

На рис. 2 представлена зависимость величины относительной разности между численным и аналитическим решением -Ч,™с"е")/ЧР™'""™|.100 от

времени: для а) j = 100, для б) j =1000. Как видно из рисунка 4, численное решение сходится к аналитическому решению при измельчении шага по времени. При этом максимальная относительная разность между решениями для j=l равна 3,8464%, для j=10 равна 0.1508%, для] =100 равна 0,0138% и для] = 1000 равна 0.002224%.

В п. 4.1.2 решается серия задач о квазистатической деформации квадратной пластинки (сторона 10, центр (0,0)) с круговым отверстием (радиус 1, центр (0,0)) под воздействием растягивающих напряжений сгя,|г / ц, = С, где

С = 0.01, 0.02, 0.05, 0.1. Механические свойства материала моделировались определяющими соотношениями (1) со значением констант fий = \МПа,

у = 0.016, ß = 0.000167с, А = 0.0135с1 г . Задача решается при плоской деформации.

На рис. 3 представлена форма пластины и распределение компоненты <Jyy

тензора полных истинных напряжений для растяжения на границе —¿ = 0.1 (рис.

З.а: г0 =0, рис. З.б: г, =2).

Для данной задачи было проведено сравнение с численно-аналитическим решением, полученным K.M. Зингерманом с учетом нелинейностей только второго порядка. Сравнивались значения перемещений их в точке пересечения границы отверстия и оси X .

0,003

£ 0,002 W

0,001

0,1 о,2 0,3 о,4 о,5 Время t, с

Рис. З.а

На рис. 4 изображена относительная разница 0 =

тах(и')

между решением

их. полученным с учетом нелинейностей только 2-го порядка и решением полученным с учетом нелинейностей высших порядков.

Как видно из графиков, на рис. 4.а при малых деформациях (около 5%) учет нелинейностей выше 2-го несущественен (_0«1%). При больших деформациях (более 5%) разница между решениями начинает возрастать. В частности, при деформациях около 15% а при деформациях в 30% (рис.4.б) £>»32%. Этот

факт показывает необходимость учета нелинейностей высших порядков при решении задач такого типа.

В п.4.2 рассматриваются примеры решения динамических задач об образовании концентраторов напряжений в двумерных телах из сжимаемых (в том числе и слабосжимаемых) и несжимаемых изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов.

В п.4.2.3 решается серия задач о динамическом деформировании квадратной пластинки (сторона 1О, центр (0,0)) с эллиптическим отверстием (большая полуось 0.6, эксцентриситет 3, центр (0,0)) под воздействием растягивающих напряжений

Рис. 4.а

Время с

Рис. 4.6

—^ = 0.1 и дальнейшем динамическом образовании (1=3.8) эллиптического

отверстия (большая полуось 0.6, эксцентриситет 3, центр 0.6,0.6 + 1*0.2), где ¡=0,2,4,6. Механические свойства материала моделировались определяющими соотношениями (1) со значением констант /л0 = \МПа, у = 0.016; Р = 0.001с, А = 0.0139с1-''

. Задача решается при плоской деформации.

Рис. 5.а. Рис. 5.6.

На рис. 5 представлена форма пластины и распределение компоненты тензора <Ууу полных истинных напряжений для различных моментов времени

На рис. 6.а и рис. 6.6 показаны зависимости компоненты тензора сг^ полных истинных напряжений для 2-х точек первой полости (6.а. - правой, 6.6. - левой).

Как видно из графиков, расположение второго эллипса существенно влияет на напряжения в точках первого. В частности, различия для решений без возникновения второй полости и для решения с центром второго эллипса в точке (0.6, 0.6) достигают 95%.

Основные результаты и выводы диссертационной работы

1. Модифицирована модель образования концентратора напряжений в предварительно нагруженном теле из сжимаемых (в том числе и слабосжимаемых) или несжимаемых изотропных нелинейно-вязко-упругих материалов. Модификация состоит в учете динамических воздействий и граничных условий на внешней границе тела.

2. Разработан детализированный алгоритм решения квазистатических задач с учетом нелинейностей высших порядков и алгоритм решения динамических задач в рамках описанной модели.

3. Проведены численные эксперименты и получены следующие эффекты:

a. Показано, что учет нелинейностей порядка выше 2-го является существенным. Выявлено, что разница в решениях, полученных с учетом нелинейностей только 2-го порядка и нелинейностей высших порядков, рассмотренных в работе, достигает 30%

b. Показано, что учет динамических эффектов в задачах рассмотренного типа является существенным. Выявлено, что разница в решениях задач, рассмотренных в работе и полученных с учетом динамических эффектов и без него, достигает 30%

c. Показано, что учет возникновения второго отверстия в задаче о динамическом последовательном образовании является существенным. Выявлено, что различия для решений без возникновения второй полости и для решения с центром второго, расположенного близко к первому, достигают 95%.

Публикации по теме диссертации

1. Левин В.А., Калинин В.В., Вершинин A.B., Пекарь Г.Е. Решение плоской задачи о концентраторе произвольной формы образованном в нагруженном теле. Конечные деформации // Известия Тульского госуниверситета. Серия "Дифференциальные уравнения и прикладные задачи". — Тула: изд-во ТулГУ, 2006. — Т. 12., Вып. 1. — С. 167-172.

2. Пекарь Г.Е. Об одной нестационарной задаче образования концентратора напряжений в нагруженном теле из несжимаемого вязкоупругого материала. Конечные деформации и их перераспределение // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — Нижний Новгород, 2011. — № 4 (4) — С. 1689-1690

3. Левин В. А., Вершинин А. В., Пекарь Г.Е., Саяхова Л. Ф., Труфен К. Н., Филипенко Е. В., Яковлев М. Я. Использование нелокального критерия прочности в задачах теории многократного наложения больших деформаций // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. — М., 2006. — С. 45.

4. Левин В. А., Пекарь Г. Е., Филипенко Е. В., Яковлев М. Я. Плоская задача об образовании полости произвольной формы в нагруженном теле из нелинейно-упругого материала. Конечные деформации // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. — М., 2007. — С. 106-107.

5. Левин В.А., Пекарь Г.Е. О модели образования дефекта в нагруженном теле из вязкоупругого материала. Конечные деформации // Проблемы шин и резинокордных композитов (Материалы восемнадцатого симпозиума). — М.: ООО «Научно-технический центр «НИИШП», 2007. — Т. 2, С. 42-51

6. Пекарь Г.Е., Левин В.А. Вариант алгоритма решения на базе мкэ плоской задачи об образовании концентратора напряжений произвольной формы в предварительно нагруженном теле из вязкоупругого несжимаемого материала. Конечные деформации // Труды всероссийской научно-практической конференции «Математика, информатика, естествознание в экономике и обществе». Секция физики, техники и электроники. — М., 2007. — С. 26.

7. Левин В.А., Калинин В.В., Агапов H.A., Кукушкин A.B., Саяхова Л.Ф., Труфен К.Н., Пекарь Г.Е. Моделирование взаимовлияния нановключений в рамках механики деформируемого твердого тела с помощью пакета ABAQUS // Тезисы доклада "Современные проблемы математики, механики, информатики". Тула, 2005. — С. 227.

8. Левин В.А., Вершинин A.B., Пекарь Г.Е., Саяхова Л.Ф., Труфен К.Н. Некоторые возможности использования многофункционального специализированного программного комплекса «Наложение» // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. — М., 2007. — С. 48.

9. Вершинин А. В., Калинин В. В., Пекарь Г. Е.Некоторые результаты решения плоской задачи о концентраторе напряжений произвольной формы, образованном в нагруженном теле. Конечные деформации // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики". — Тула, 2006. — С. 106-107.

10. Левин В. А., Вершинин А. В., Пекарь Г. Е.К решению плоской задачи о принудительном образовании дефекта в нагруженном вязкоупругом теле.Конечные деформации.//Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики". — Тула, 2008. — С. 249-251.

11. Левин В.А., Вершинин А.В., Пекарь Г.Е., Фрейман Е.И. О разработке совместимого специализированного программного комплекса "НАЛОЖЕНИЕ", предназначенного для учета изменения нагрузок, дефектов и свойств материала в процессе нагружения при больших деформациях // Инженерные системы — 2009. материалы международной научно-практической конференции. — М., 2009. — Т 1. — С. 125-132.

12. Левин В.А., Пекарь Г.Е. Алгоритм и вариант программной реализации задачи об учете перераспределения в теле конечных деформаций (для различных типов определяющих соотношений) // Проблемы шин и резинокордных композитов (Материалы девятнадцатого симпозиума). — М.: ООО «Научно-технический центр «НИИШП», 2008. — Т. 2, С. 67 - 73

13. Левин В.А., Пекарь Г.Е. Оценка взаимодействия и взаимовлияния концентраторов напряжений, последовательно образуемых в теле из вязкоупругого материала. Конечные деформации // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. — М., 2008. — С. 117-118 .

14. Левин В.А., Пекарь Г.Е. Некоторые результаты решения задач об образовании концентраторов напряжений различной формы в телах из вязкоупругого материала. Конечные деформации // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. — М., 2009. — С. 103.

15. Левин В.А., Пекарь Г.Е. Разработка программного модуля для решения задач вязкоупругости. Слабосингулярные ядра // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. — М., 2010. — С. 124-125.

16. Пекарь Г.Е. Разработка модуля САЕ Fidesys для вычисления интегралов свертки. Решение задачи об образовании отверстия в пластине из нелинейно вязкоупругого материала // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики". — Тула, 2011,— С. 175.

17. M. Charara, A. Vershinin, D. Sabitov, G. Pekar. Solving the 3D Acoustic Wave Equation with Higher-order Mass-lumped Tetrahedral Finite Eléments // 73rd European Association of Geoscientists and Engineers Conférence and Exhibition 2011. — Vienna, Austria, 2011. — P. 41-45.

Заказ № 369-1/04/2012 Подписано в печать 27.04.12 Тираж 100 экз. Усл. п.л. 0,8

ООО "Цифровичок", тел. (495) 649-83-30 www.cfr.ru; е-таП:zak@cfr.ru

61 12-1/1124

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

На правах рукописи

Пекарь Григорий Евгеньевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ТЕЛ ИЗ ВЯЗКОУПРУГОГО МАТЕРИАЛА ПРИ ОБРАЗОВАНИИ В НИХ КОНЦЕНТРАТОРОВ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Левин Владимир Анатольевич

Тверь 2012

Содержание

Введение..............................................................................................................................................4

Основные положения диссертации...................................................................................................8

Содержание работы..........................................................................................................................11

1 Основные соотношения теории многократного наложения больших деформаций...........14

1.1 Основные термины и обозначения, используемые в работе.........................................14

1.2 Кинематика деформаций, геометрические соотношения..............................................16

1.3 Уравнения равновесия и уравнения движения...............................................................22

1.4 Граничные условия............................................................................................................24

1.5 Определяющие соотношения...........................................................................................25

2 Постановка задач.......................................................................................................................27

2.1 О механической постановке граничных задач теории наложения больших деформаций...................................................................................................................................27

2.2 Модель образования концентратора напряжений. Полная математическая постановка квазистатических и динамических задач об образовании концентраторов напряжений в телах из вязкоупругих материалов.....................................................................30

2.3 Общий алгоритм решения задач о последовательном образовании концентраторов напряжений в телах из вязкоупругих материалов.....................................................................39

3 Методы решения задач.............................................................................................................44

3.1 Метод конечных элементов для решения дифференциальных уравнений теории наложения больших деформаций...............................................................................................44

3.2 Особенности применения метода конечных элементов для несжимаемых материалов и слабосжимаемых материалов...................................................................................................51

3.3 Метод согласованных результантов. Сглаживание аффиноров и напряжений..........56

3.4 Методы «переноса» результатов при решении задачи о последовательном образовании концентраторов напряжений................................. ................................................58

3.5 Решение динамических задач теории наложения больших деформаций. Схема Ньюмарка......................................................................................................................................62

3.6 Метод расчета интеграла из вязкоупругих определяющих соотношений...................66

3.7 Разложение в ряд Прони. Метод Прони..........................................................................69

3.8 Отделение от сингулярности в интеграле из определяющих соотношений................72

4 Результаты.................................................................................................................................74

4.1 Квазистатические задачи..................................................................................................74

4.1.1 Задача о квазистатическом одноосном растяжении однородной квадратной пластины 74

4.1.2 Задача о квазистатическом одноосном растяжении квадратной пластины с круговым отверстием...............................................................................................................................................77

4.1.3 Задача о квазистатическом образовании кругового отверстия в предварительно нагруженной однородной квадратной пластине.................................................................................79

4.1.4 Задача об одновременном квазистатическом образовании 2х круговых отверстий в предварительно нагруженной однородной квадратной пластине....................................................82

4.1.5 Задача о последовательном квазистатическом образовании 2-х круговых отверстий в предварительно нагруженной однородной квадратной пластине....................................................86

4.2 Динамические задачи........................................................................................................92

4.2.1 Задача о динамическом образовании кругового отверстия в предварительно нагруженной однородной квадратной пластине.................................................................................92

4.2.2 Задача о динамическом образовании 2-х круговых отверстий в предварительно нагруженной однородной квадратной пластине.................................................................................97

4.2.3 Задача о квазистатическом одноосном растяжении однородной квадратной пластины ... .................................................................................................................................................100

Заключение......................................................................................................................................103

Приложение.....................................................................................................................................104

Приложение 1. Анализ результатов разложения в ряд Прони и интегрирования с применением метода с разложением в ряд Прони......................................................................104

Приложение 2. Сравнительный анализ различных методов «переноса».................................106

Приложение 3. Анализ сходимости по пространству и времени для динамических задач.... 107

Приложение 4 . Проявление невыполнения LBB - условия сходимости.................................110

Список литературы.........................................................................................................................111

Введение

Диссертационная работа посвящена моделированию напряженно-деформированного состояния (НДС) при образовании концентраторов напряжений в нелинейно-вязкоупругом нагруженном теле при конечных деформациях. В диссертационной работе предложена учитывающая динамические эффекты модификация модели образования концентратора напряжений в предварительно нагруженном теле для случая сжимаемых и несжимаемых изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов, разработан алгоритм решения квазистатической и динамической задач о НДС при образовании концентраторов напряжений в нелинейно-вязкоупругом нагруженном теле при конечных деформациях на основе метода конечных элементов и программный модуль, реализующий этот алгоритм. С помощью данного программного модуля проведен ряд численных экспериментов.

Свойства материала описываются соотношениями для сжимаемых и несжимаемых изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов, рассмотренными A.A. Адамовым в своих работах [1]. Учитывается, что возникновение в теле концентратора напряжений приводит (по крайней мере, в окрестности образованной граничной поверхности) к появлению в теле больших дополнительных деформаций, которые «физически» накладываются на уже имеющиеся в теле большие деформации. Отметим, что именно "физически накладываются". Так как в рамках малых деформаций возможна суперпозиция деформаций, когда параметры напряженно-деформированного состояния тела от суммарного внешнего воздействия на тело определяются как сложение параметров напряженно-деформированного состояния тела от каждого воздействия на тело, а в случае конечных деформаций это не так. И поэтому мы говорим о "физическом наложении" (о физическом перераспределении) в теле деформаций и напряжений.

Задачам нелинейной теории упругости посвящено большое количество как отечественных, так и зарубежных работ, в частности работы Г.М. Бартенева [8,9], М.Ф. Бухиной [13], И.В. Блоха [11], Л.М. Зубова [115, 21], Ю.И. Койфмана[65], Д.И. Кутилина [25], А.И. Лурье [44,45], Н.Ф. Морозова [47], В.В.Новожилова [51,52], В.А. Пальмова [54,55], Л.И. Седова [67-69], Г.С. Тарасьева [72-74], Л.А. Толоконникова [75-63], Т.Н. Хазановича [8], К.Ф. Черныха [84,85], P.J. Blatz [89], А.Е. Green [93,94], W.L. Ко [89], М.А.Moony [102], F.D. Murnaghan [103], W.Noll [109], R.S. Rivlin [104], L.R.G. Treloar [79,80], C. Truesdell [81, 109], W. Zerna [93] и многих других.

Более сложными являются задачи связанные с анализом поведения элементов конструкций, когда необходимо учитывать вязкоупругие процессы, происходящие в материале тела. Теория линейной вязкоупругости зародилась еще в XIX веке, когда ведущие физики того времени, такие как Максвелл, Больцман и Кельвин исследовали и экспериментировали с ползучестью стекла, металлов и резин, тогда же были разработаны первые модели — модели Максвелла и Кельвина-Фойхта. Такие модели рассматривались в цикле работ A.A. Ильюшина и Б.Е. Победри [22,23], работах Р. Кристенсена [24], Tchoegl [110], Wineman and Rajagopal [112]. В дальнейшем эти модели получили многочисленные обобщения: в частности, обобщенная модель Максвелла, известная в иностранной литературе как Maxwell-Wiechert model, рассматривалась в [111]. Еще одна модель на основе модели Максвелла — это модель Зенера, известная также как модель стандартного тела, рассматривалась в [87]. Модель стандартного твердого тела так же получила обобщение -обобщенная модель стандартного твердого тела была рассмотрена в работах Lisitsa V.V., Lys E.V. [99].

Описанные выше линейные модели для одномерного случая удобно

трактовать при помощи механических моделей, которые наглядно

демонстрируют поведение различных вязкоупругих материалов. Эти модели

5

строятся из механических элементов двух типов: линейно-упругая пружина с модулем упругости G (массой этой пружины пренебрегают); вязкий элемент (демпфер) с коэффициентом вязкости 11 (вязкий элемент представляет собой поршень движущийся в цилиндре с вязкой жидкостью).

Рост интереса к нелинейной теории вязкоупругости пришелся на вторую половину XX века, когда начали разрабатываться синтетические полимеры (такие как нейлон, тефлон и т.д.). На сегодняшний день модели и методы решения задач в данной области достаточно подробно проработаны. Теории и эксперименту задач нелинейной теории вязкоупругости посвящены работы Ю.А. Гамлицкого [17], А.А.Адамова, В.П. Матвеенко, H.A. Труфанова, И.Н. Шардакова [1], Ю.Н. Работнова и его учеников [60-59,62], работы Н.Х. Арутюняна и его учеников [5], А.Д. Дроздова [90], П.М. Огибалова [53], В.В. Москвитина [49], W.N. Findley [92], L.K.Talybly [108]. В этих работах построены модели и дано теоретическое обоснование для малых и конечных деформаций.

Для учета перераспределения конечных деформаций использовалась

теория многократного наложения больших деформаций. Создание и развитие

теории многократного наложения больших деформаций для тел из упругого

материала было осуществлено Г.С. Тарасьевым [50,72-74] и

В.А. Левиным[96,98,20,29,30,37,38]. Совместно с этими авторами,

A.B. Вершининым были разработаны численные методы и программные модули

для решения таких задач [33,36,37]. Обобщение моделей вязкоупругости на

случай многоэтапного нагружения получено В.А. Левиным и K.M. Зингерманом

[97, 19,34] с использованием теории многократного наложения больших

деформаций и найдены численно-аналитические решения для

квазистатических задач с учетом нелинейностей 2-го порядка. Методы

решения и программные модули для решения таких задач с учетом

нелинейностей высших порядков разработаны не были. Модель образования

6

концентратора напряжений в предварительно нагруженном теле из нелинейно-вязкоупругих материалов с учетом динамических воздействий ранее не рассматривалась.

Для получения результатов данной работы использовался метод конечных элементов (МКЭ) в совокупности с методом Галеркина. Данный метод был предложен Б.Г. Галеркиным в 1915 г. как приближенный метод решения краевых задач [16]. Ранее в 1913г. метод применялся для решения конкретных задач теории упругости И.Г. Бубновым, в связи с чем именуется также методом Бубнова-Галеркина. Теоретическое обоснование метода принадлежит М.В. Келдышу (1942). Применение метода конечных элементов к задачам линейной и нелинейной теории упругости подробно рассмотрено в работах JI. Сегерлинда [66], О. Зенкевича [18], Дж. Джу и Р. Тейлора [113,114]. При этом исходная система нелинейных дифференциальных уравнений сводится посредством метода Галеркина к системе нелинейных алгебраических уравнений, которая затем решается с использованием метода Ньютона [10,2]. Полученная на каждой итерации метода Ньютона система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), решается прямым методом решения СЛАУ с использованием LU - разложения[14,86].

Недостатком рассмотренных методов является нерешенность (в общем случае) вопроса об их сходимости в случае применения к нелинейным задачам теории наложения больших деформаций. Поэтому очень важным является сравнение результатов, полученных с использованием этих методов, с результатами расчетов иными методами и с известными точными решениями. В данной работе приводится сравнение с аналитическим решением, полученным для одноосного растяжения однородной пластины, а также сравнение с численно — аналитическим решением, полученным ранее с учетом нелинейностей только 2-го порядка K.M. Зингерманом в [34].

Как уже упоминалось выше, для получения результатов данной работы использовались определяющие соотношения, рассмотренные A.A. Адамовым в его работах [1]. Эти соотношения являются определяющими соотношениями интегрального типа, что приводит к тому, что на каждой итерации метода Ньютона необходимо вычислять интеграл свертки по времени. Ядро свертки в используемых определяющих соотношениях имеет сингулярность в точке t = О. В случае сингулярных ядер методы трапеций и прямоугольников не позволяют рассчитывать интегралы с достаточной точностью, а для использования кубатурных формул более высокого порядка необходимо хранить полную историю перемещений для каждого шага по времени, что является очень неэкономичным с точки зрения используемой памяти. В этом случае, для вычисления интеграла свертки удобно использовать рекуррентную формулу, которую можно получить, разложив исходное ядро в линейную комбинацию экспонент — ряд (конечный) Прони. Этот метод также использовался в [113,99]. Для разложения в ряд Прони использовался метод, полученный Г. Прони в 1795 году [88].

Основные положения диссертации

Актуальность темы. В связи с разработкой новых материалов (в том числе резиноподобных и полимерных), конструкции из которых способны испытывать в процессе изготовления и эксплуатации конечные деформации, а также усложнением самих конструкций и сложностью нагружения на них, возникает необходимость в создании адекватных механических моделей и разработке систем инженерного анализа (либо программных модулей способных интегрироваться в существующие системы инженерного анализа) для оценки прочностных характеристик элементов таких конструкций. В ряде случаев необходимо учитывать вязкоупругие (в частности, релаксационные)

процессы, происходящие в таких конструкциях при их эксплуатации и хранении. Анализ напряженно-деформированного состояния в телах с образующимися отверстиями важен потому, что позволяет конструктору еще на этапе проектирования оценить возможность разрушения элемента конструкции при наличии в нем дефектов.

Целями работы являются:

— разработка модифицированной модели деформирования предварительно нагруженных тел из сжимаемых (в том числе и слабосжимаемых) или несжимаемых изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов при образовании в них концентраторов напряжений; модификация модели состоит в учете динамических эффектов и граничных условий на внешней границе тела;

— разработка детализированного алгоритма решения квазистатических задач с учетом нелинейностей высших порядков и алгоритма решения динамических задач в рамках описанной модели;

— разработка программного модуля для решения задач;

— проведение численных экспериментов для конкретных задач.

Научная новизна работы заключается в адаптации ранее разработанных

численных методов решения задач вязкоупругости (включая метод Прони) для сжимаемых (в том числе и слабосжимаемых) и несжимаемых материалов для случая квазистатического и динамического нагружения тела в несколько этапов, а также в решении задач нового класса, в которых при конечных деформациях образуются дефекты (включения и трещины ненулевого раскрытия) в телах из сжимаемых (в том числе и слабосжимаемых) и несжимаемых изотропных вязкоупругих материалов, с учетом квазистатического или динамического перераспределения конечных деформаций.

Достоверность результатов основывается на применении

апробированной теории многократного наложения больших деформаций,

9

применении определяющих соотношений и использовании для решения задач методов, апробированных ранее другими авторами. Проводится анализ полученных разложений в ряд Прони, а также результатов, полученных при интегрировании некоторых функций с использованием такого разложения. Также проводится численный (сеточный) анализ сходимости, как по пространству, так и по времени для динамических модельных задач. Полученные в работе результаты согласуются с точным решением, полученным для частного случая.

Практическая ценность работы заключается в возможности использования результатов расчета на начальных стадиях пр�