автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Моделирование осесимметричных термокапиллярных течений

На правах рукописи

Адмаев Олег Васильевич

Моделирование осесимметричных

термокапиллярных течений

05.13.16. - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов б научных исследованиях (механика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск 1997

Работа выполнена в Институте Вычислительного Моделирования СО РАН (г.Красноярск)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор (ИВМ СО РАН, г. Красноярск)

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор

(ИВМ СО РАН, г. Красноярск)

кандидат физико-математических наук, с.н.с. Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН (г. Новосибирск)

Ведущая организация:

Андреев В.К.

Б ело липецкий В.М.

Кузнецов В.В.

Алтайский государственный университет (г. Барнаул)

Защита диссертации состоится " 1998 года в \Н

часов на заседании Диссертационного совета К 064.54.01 при Красноярском государственном техническом университете по адресу: 660074, г.Красноярск, ул.Киренского, 26.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан " ^-в&Я1997 года

Ученый секретарь диссертационного совета к.т.н., доцент

Н.Г.Кузьменко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В условиях, когда неравномерно нагретая жидкость со свободной поверхностью находится и состоянии близком к невесомости, существенное влияние на се движение оказывает зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры и порождаемый ею термокапиллярный эффект.

Несмотря на то, что о существовании этого эффекта известно уже давно, интенсивное изучение этого явления началось около 30 лет па-зад. Был получен принципиальный результат: наличие только термокапиллярных сил может приводить к возникновению движения в жидкости.

В последние годы, в связи с развитием космической технологии значительно возросла необходимость теоретического и экспериментального изучения термокапиллярного эффекта. В отсутствии гидростатического давления в условиях невесомости форма жидкости определяется только ее поверхностным натяжением, что позволяет осуществлять плавление и затвердевание веществ без физического контакта со стенками. Такая бесконтактная технология исключает внесение загрязнений материалами контейнера или тигеля, с ее можно использовать для получения сверхчистых веществ. При этом на свободной поверхности расплава под действием перепада температуры возникает термокапиллярное движение (конвекция Марангони), которая может привести к неоднородному распределению вещества в кристаллах. Термокапил-лярпая неустойчивость равновесного состояния и стационарного движения также является важнейшим фактором, влияющим на качество кристаллов, выращиваемых в слабых силовых полях.

В связи с развитием современных технологий появились задачи, когда необходимо учитывать термокапиллярный эффект и в земных условиях. Например, при лазерном отжиге полупроводников илп при лазерной обработке материалов с плавлением, которая применяется для легирования поверхностного слоя металла. При этом на поверхности материала появляются относительно протяжные тонкие слои расплава (глубиной порядка нескольких мкм), в которых термокапиллярные силы доминируют над силами термогравитацип.

Вопрос о движении газовых пузырьков в жидкостях представляет

также значительный, практический интерес для многих отраслей промышленности: химической, пищевой, металлургической, обогатительной. Это в свою очередь вызывает обострение интереса к механизмам термокапиллярных и капиллярно - концентрационных явлений, вызывающих дрейф пузырьков в процессе роста кристаллов как на Земле, так н в космосе.

Для чистых пар жидкостей зависимость коэффициента поверхностного натяжения на границе раздела от температуры подчиняется соотношению йо/¿О = — в < 0, где « — удельная поверхностная энтропия. Для растворов знакопредельность величины ¿а/¿в уже не является необходимой. Эксперименты обнаружили аномальную зависимость о(0) на границе раздела воздуха с раствором тг — гептанола в дистиллированной воде. Немонотонный характер зависимости о(0) обнаружен также у некоторых жидких сталей и сплавов на границе с воздухом.Прямые наблюдения проявлений аномального термокапнллярпого эффекта в условиях невесомости проводились на борту орбитальных станций. Но подобные эксперименты требуют значительного финансового обеспечения, поэтому математическое моделирование данного физического явления остается актуальным.

Из вышесказаного следует, что оценка эффекта Марангони (влияния термокапиллярных сил) в той или иной выбранной математической модели является актуальной задачей.

Основной целью диссертации является численное моделирование влияния термокапиллярных эффектов в задачах получения монокристаллов из расплавов, движения микропузырьков и течений в тонких слоях.

Научная новизна определяется следующими результатами. Исследованы модели осесимметричных термокапиллярных течений жидкости в различных геометрических конфигурациях. Изучены частично - инвариантные решения относительно четырехпараметрической группы преобразований, которые описывают задачу о деформации цилиндра термокапиллярными силами. Установлено, что для стационарного течения жидкости в цилиндрическом слое как при линейной, так и при нелинейной (аномальной) зависимости коэффициента поверхностного натяжения от температуры при определенных значениях чисел

Марангони и Прапдтля решение может быть несдинствеипым. Изучены автомодельные решения уравнения термокаднллярного течения в тонком слое вязкой жидкости со свободной границей при аномальной зависимости коэффициента поверхностного натяжения от температуры. Исследовано решение типа источника для квазилинейного параболического уравнения четвертого порядка. Численно получены решения данного уравпения, образующие однопараметрическое семейство. Разработаны численные алгоритмы и компьютерные программы для перечисленных моделей с графическим сервисом по обработке результатов расчетов.

Практическая ценность разработанных численных алгоритмов и компьютерных программ заключается в том, что они применимы для исследования осесиммегричных термокапиллярных течений вязкой теплопроводной жидкости со свободной поверхностью. В частности, в диссертации показало, что путем изменения внешнего температурного поля становится возможным регулирование толщины жидкого цилиндра в необходимых диапазонах. С помощью полученного программного обеспечения исследована зависимость изменения радиуса жидкого цилиндра от входящих в систему параметров. Численные расчеты нестационарного дрейфа пузырька в расплаве серы, вызываемого неоднородным температурным полем в жидкости и силами плавучести, демонстрируют возможность управления всплытием или погружением пузырька в расплавах. Результаты расчетов использовались для оценки действующих на пузырек сил в СКТБ "Кристалл" (ИГФ СО РАН, г. Новосибирск) при моделировании процесса выращивания кристаллов. Разработанные в диссертации компьютерные программы представляют практический интерес для изучения задач, связанных с моделированием процесса легирования поверхностей, расплавы которых характеризуются аномальной зависимостью коэффициента поверхностного натяжения от температуры.

Методы исследования. Для численного решения начально - краевых задач применялись метод Галеркина, метод Рунге-Кутта, метод продолжения по параметру, метод пристрелки, пакеты прикладных программ решения нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и численного обращения преобра-

зования Лапласа. Кроме того, использовались методы математической физики, асимптотические методы и метод априорных оценок решения краевых задач.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях, школах и семинарах:

XXVII Всесоюзная студенческая научная конференция (1985, Новосибирск); 1 школа молодых ученых по численным методам механики вязкой жидкости (1987, Шушенское); IV Всесоюзный семинар по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости (1987, Новосибирск); XI Всесоюзный семпнар по численным методам механики вязкой жидкости (Свердловск, 1988); XXI региональная школа молодых ученых (Свердловск, 1990); XII Всесоюзный семинар по численным методам механики вязкой жидкости (Абакан, 1990); IX Зимняя школа по механике сплошных сред (Пермь, 1991); IV Всесоюзная конференция молодых исследователей "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодипамики" (Новосибирск, 1991); Международный симпозиум по гидромеханике и тепломассопереносу в невесомости (Пермь-Москва, 1991); VII Всесоюзная школа молодых ученых и специалистов "Современные проблемы теплофизики" (Новосибирск, 1992); XXV региональная школа молодых ученых (Екатеринбург, 1994); I Международная научно-техническая конференция "Проблемы обеспечения качества изделий в машиностроении" (Красноярск, 1994); Международная конференция "Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов)" (Красноярск, 1997), а также на семинарах Института вычислительного моделирования СО РАН в г. Красноярске, института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева в г. Новосибирске.

Часть работы проводилась при финансовой поддержке Красноярского краевого Фонда науки (грант 2F0059, 1994 год: "Вращателыю - симметричные движения и их устойчивость"), Российского Фодда фундаментальных исследований (грант 95-01-0034 "а": "Исследование устойчивости движений жидкости с поверхностями раздела"). По теме диссертации выпущен отчет по хоздоговору "Математическое моделирование термокапиллярпых и капиллярно-концентрационных явлений в расплавах" совместно с СКТБ "Кристалл" (г. Новосибирск).

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, выводов, списка используемых источников (68 наименований), содержит 120 страниц машинописного текста, 39 рисунков, 1 таблицу.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору В.К.Андрееву за постоянное внимание п научное руководство в процессе работы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Построение модели. Задача о термокапиллярном течении жидкости сложна прежде всего потому, что поверхность раздела заранее неизвестна и должна определяться вместе с решением. Эти трудности усугубляются нелинейностью и высоким порядком определяющих уравнений. Каких-либо результатов, гарантирующих однозначную разрешимость полной задачи о таком движении не имеется. Приведем математическую модель для того, чтобы более полно обозначить результаты диссертации в исследовании таких задач.

Пусть ii(x,t),p(x,t),9(x,t) — соответственно вектор скорости, давление, температура вязкой теплопроводной жидкости, которая занимает область fit с границей Г; и удовлетворяет уравнениям в

щ + йХ7и+ -р = V&U+g(x,t), (1) Р

divu = 0, (2)

0t+uV0 = xA0. С3)

где д(х,Ь) — вектор внешних массовых сил.

Система (1) — (3) —- модель вязкой несжимаемой теплопроводной жидкости с постоянной плотностью р, кинематической вязкостью и, температуропроводностью х-

Пусть рВн, ввн — заданное давление и температура на поверхности Г*. Процессами переноса в газе пне жидкости пренебрегаем: газ пассивный. Тогда на Гг должны быть выполнены условия

(рвн ~ р)1п + 2puD{u)n = 2(7Кп + V//C, (4)

да

= (5)

an

ft + u-vf = 0, X ети (6) 7

где п — вектор внешней нормали к Г*, I — единичный тензор, D(u) — тензор скоростей деформации, К — средняя кривизна поверхности Tt,K > 0, если Г( выпукла внутрь области flt', V// = V — V)fi — поверхностный градиент, Л = const — коэффициент теплопроводности, ß — const — коэффициент межфазного теплообмена, /(¡г, t) = 0 — уравнение 1\.

Соотношение (4) означает равенство всех сил, действующих на поверхности жидкости: сил давления, сил трения, сил поверхностного натяжения и термокапиллярных сил. Последние силы, связанные с V//0": действуют в тангенциальном направлении к поверхности Ft и возникают за счет изменения поверхностного натяжения от температуры. Проявление этих сил и будет представлять для нас основной интерес. Уравнение (5) — есть уравнение притока тепла через границу Гг, а (6) — уравнение для определения неизвестной поверхности Г/. Таким образом, задачу (1) — (6) можно определить как задачу с неизвестной границей.

Также необходимо добавить начальные условия

й(х,0) = щ(х),6(х,0) = во(х), (7)

Г4|1=о = Г0, divu0 = 0 (8)

и условие прилипания на твердой стенке S

й = V, (9)

где V - скорость стенки.

Кроме этого, при наличии твердой "стенки и ее контактов с поверхностью Гг возникают дополнительные граничные условия, связанные с наличием краевого угла. Это приводит к определенным трудностям в постановке краевых условий на линии контакта. В задачах, рассматриваемых в диссертации, линия контакта поверхности раздела и твердой фазы отсутствует.

Для определенного класса жидкостей зависимость а{0) в широком диапазоне хорошо аппроксимируется линейной функцией:

а(0) ~ а0 — к(в — 0°), (10)

где к — температурный коэффициент поверхностного натяжения, к = —da/¿в. Однако, как уже отмечалось, возможна (также для опреде-

ленного класса растворов) и аномальная зависимость поверхностного натяжения от температуры

а(в) = а0 + к{0 - вп)2. (11)

^Уравнения (1) — (11) образуют основную математическую модель гравитационно-капиллярной конвекции в однородной жидкости. Относительная роль того и другого механизмов конвекции характеризуется безразмерным параметром Ь = рд/ЗР/к , где I — протяженность области Qt в направлении действия силы тяжести, £ = Если Ь << 1, то вклад термокапиллярного эффекта в возникновении конвекции является доминирующим. При проведении технологических экспериментов в невесомости величина имеет порядок 10~2м/с2,1 < 0.05л«. Для большинства расплавов /э/З/с-1 < 10~2с2/м3 и параметр Ь < 0, 25 + 10~6. Поэтому мы будем пренебрегать силой тяжести и считать (за исключением задачи о движении микропузырьков) д = 0 — полная невесомость.

Интенсивность термокапиллярной конвекции характеризуется числом Марангони Ма — кв±1/рух, где 0* — характерный перепад температур вдоль поверхности. Это число играет столь же важную роль при рассмотрении термокапиллярных явлений, как и число Рейнольд-са в классической гидродинамике. Диапазон изменения параметра Ма весьма велик: от величины порядка единицы в процессах термокапиллярного дрейфа микропузырьков до 104 в экспериментах по направленной кристаллизации полупроводниковых материалов в условиях невесомости. Существенно также и влияние числа Прандтля Рг = и/х, диапазон его изменения лежит в пределах от Ю-2 для жидких металлов до 102 и выше для расплавов стекла, числа Вебе-ра ]¥е = а-(]1/{(шх) (0 < И/Ге < 10б), коэффициента теплоотдачи Био, В1 = Ц3/Х (0 < Вг < оо).

В уравнении энергии (3) не учтено слагаемое, описывающее диссипацию кинетической энергии. Это связано с тем, что отношение порядков данного слагаемого и й V в для большинства процессов не превосходит 10~т.

Заметим, что все параметры модели (1) — (11) предполагаются постоянными и они надёжно определяются экспериментально.

По высказанным выше соображениям задача (1) — (11) довольно трудна для исследования п в полной постановке во всем диапазоне параметров еще не изучена. В диссертации числепными и аналитическими методамп исследуются осесимметрические аналоги модели (1) — (11), возникающие в задачах получения монокристаллов из расплавов, движения микропузырьков, течений в тонких слоях.

В главе I рассматривается термокапиллярная конвекция в жидком цилиндре в условиях невесомости. Эта задача возникает при моделировании гидродинамических процессов в расплавленной зоне при выращивании монокристалла методом зонной плавки. Свободная граница предполагается неизвестной и определяется в процессе решения задачи.

В § 1.1 получены необходимые для дальнейшего исследования уравнения и граничные условия движения вязкой теплопроводной жидкости в цилиндрической системе координат.

Полная система уравнений и граничных условий в силу нелинейности, неизвестной свободной границы довольно сложна даже для численного решения. Поэтому целесообразно принять некоторые упрощающие предположения.

В § 1.2 рассмотрена четырехдараметрическая подгруппа Н £ G, порожденная операторами d/dz,td/dt->rd/dw,d/dO,d/dip, где G — группа Галилея. Оказалось, что частично инвариантные решения относительно группы Я описывают нестационарные термокаппллярные течения в жидком цилиндре со свободной цилиндрической поверхностью и = h(t). Такие решения имеют вид

и — u(r, t), v = v(r, t), w = w(r. z,t),p = p(r, t), (12)

где и - радиальная, w - осевая компопепта вектора скорости, р - давление. Для линейной зависимости а(в) из (10), температура распределена по закону

6(r,z,t) = a(r,t)z2 + b(r,t), (13)

а для квадратичной зависимости (11)

9{r, гЛ) = a{r,t)z + b{r,t). (14)

Интерпретация решения (12), (13) такова. Пусть при осесимме-тричном нагревании достаточно длинного цилиндра вязкой жидкости

внешняя температура на его границе имеет максимум (а < 0) пли минимум (а > 0) в толке г = 0. Тогда в окрестности этой точки внешнюю температуру можно аппроксимировать по параболическому закону, а движение внутри жидкости описывается функциями (12), (13).

При общем локальном нагреве линейный закон (14) хорошо согласуется с аномальной зависимостью (11), внешняя температура здесь аппроксимируется линейной функцией осевой координаты: 0вн = aeH(t)z+ beH(t).

Таким образом, эти решения опнсывагот движение жидкости вблизи точек локального нагрева и могут моделировать нестационарную конвекцию в процессе получения монокристаллов из расплавов (имеются в виду конвективные зоны вдали от твердых фаз, когда h/l << 1, где h — радиус, а I — длина расплавленной зоны).

Подстановка выражений (12), (13), (14) в (1) — (9) приводит к нелинейной краевой задаче об отыскании функций u(r,t), w(r,t), p(r,t), a(r,t), b(r,t) только двух переменных г и t в области с неизвестной границей, которой является радиус цилиндра h(t).

В § 1.3 при специальных начальных данных найдены два точных решения полученной начально-краевой задачи. Одно из них описывает изотермическое движение цилиндра и имеет простое аналитическое выражение. В другом поверхность является теплоизолированной и решение для температуры внутри него находится в виде ряда по функциям Бесселя. В обоих решениях радиус цилиндра уменьшается по закону h = ущр h = const > 0, к — const > 0. Эти решения использовались в качестве тестовых при численном решении общей задачи.

§ 1.4 посвящен численному решению задачи при зависимости (10). С помощью специальной замены переменных удается преобразовать задачу к начально-краевой задаче для системы нелинейных интегро-днфференциальных уравнений в фиксированной области, а именно рассматривать ее на отрезке [0,1] по пространственной переменной. Кроме этого, эта задача оказалась разрешенной относительно производной по времени.

Приближенное решение искалось в виде ряда по смещенным полиномам Якоби. В процессе решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений возникает необходимость расчета определенных

интегралов от произведений полиномов Якоби. В приложении приводится алгоритм расчета интегралов в общем виде для любого значения параметра п, выбранного в разложении решения методом Галсркина. Удается численно построить внешнее температурное воздействие для заданного значения радиуса жидкого цилиндра за необходимый промежуток времени. При этом рассчитывается распределение поля скоростей и температуры.

В § 1.5 рассматривается нестационарное течение в жидком цилиндре для жидкости с аномальной зависимостью коэффициента поверхностного натяжения от температуры. Выводы данного параграфа: с ростом времени радиус цилиндра либо монотонно уменьшается, либо монотоппо увеличивается в зависимости от знака параметра /q из (11), в отличие от термокапиллярного движения жидкости, рассмотренной в предыдущем параграфе (там имеются колебания радиуса цилиндра).

Глава II посвящена изучению стационарных осесимметричных термокапиллярных течений в цилиндрическом слое при линейной и нелинейной зависимости поверхностного натяжения от температуры.

В § 2.1 формулируются две задачи:

Задача 1. На внутреннем твердом стержне заданного радиуса поддерживается постоянное линейное распределение температуры по оси z. Поверхностное натяжение предполагается нелинейной функцией температуры а — сг0 + \к\{в — #о)2 — аномальный термокапиллярный эффект.

Задача II. На внутреннем стержне поддерживается квадратичное распределение температуры и поверхностное натяжение линейно зависит от температуры: а = сто + — во).

Термокапиллярная конвекция описывается стационарными уравнениями (1) — (9) в цилиндрической системе координат.

Сделанные выше предположения о зависимости температурного поля от переменных г и z позволяют получить краевые задачи па собственные значения для нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Как правило, такие задачи имеют неединственное решение.

При малых значениях числа Марангони, \Ма\ < 1, решения строятся методом малых возмущений. Они описывают медленные движения

и используются в качестве тестовых при численном решении общих задач. Обнаружено, что течение меняет направление на расстоянии 1/3 радиуса от свободной поверхности.

В § 2.2 описывается алгоритм чпсленпого решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка с параметром. Использовался метод Рунге-Кутта четвертого порядка. При этом одно пз граничных условий контролировалось методом стрельбы.

§ 2.3 посвящен решению динамической задачи.

Для нелинейной краевой задачи с параметром проблема существования и единственности решения остается открытой. В данном параграфе численными расчетами удалось выяснить, что при А > —55 существует два решения задачи, при других зпачениях параметра решения нет вообще.

После решепия динамической задачи считалась краевая задача для определения температуры в сечении. Кроме того, решение существует при всех числах Марангони; оно становится неединственным при числах Прапдтля Рг > 0.4. Прп увеличении параметра давления А точка поворота течения движется к свободной поверхности.

Представляет интерес оценка влияния числа Прандтля на термо-каппллярпую конвекцию. Это сделано в § 2.4. Численпые расчеты показывают, что с увеличением числа Прандтля единственность решения теряется и может существовать до пятп различных решений при конкретных числах Марангони.

В § 2.5 изучалась общая задача II, когда поверхностное натяжение линейно зависит от температуры для различных расплавов. В частности, для алюминия (Рг = 0,00987) обнаружено наличие зоны свободной поверхности, при которой температура ниже температуры твердого стержня, а вне зоны - выше. Прп Рг = 4.1 (гептанол) может существовать уже до шести различных режимов движения в зависимости от числа Марангони.

В главе III рассмотрены два термокапиллярных течения, связанные с движением микропузырька и автомодельным течением в тонком слое со свободной границей.

Первая из задач возникает в процессах очистки расплавов от примесей. Один пз способов се решения — создание температурного гра-

диента для направленного движения пузырьков.

В § 3.1 дана общая постановка задачи о движении двух жидкостей с общей границей раздела, причем в жидкостях имеется неоднородный градиент температур, который вызывает термокапиллярное течение. На основе оценок и сравнения членов в уравнениях показано, что движение газового пузырька под действием термокапиллярных и архимедовых сил в расплаве серы может быть описано моделью, предложенной в работе: Антановский Л.К., Копбосынов Б.К., ПМТФ, N2, 1986.

Искомая скорость пузырька удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению третьего порядка, характеристическое уравнение которого имеет положительный вещественный корень. Поэтому расчет скорости проводился путем численного обращения преобразования Лапласа. При определенных градиентах температуры пузырек может всплывать (движение против направления силы тяжести) или тонуть. Последний эффект связан именно с наличием термокапиллярной силы, приложенной вдоль поверхности пузырька.

В § 3.2 изучено одно автомодельное решение уравнения четвертого порядка. Это уравнение возникает при описании аномального термокапиллярного эффекта на границе раздела двух слоев (газа и жидкости) в длинноволновом приближении и имеет вид щ + Д2гх-Ь А("2) = О, где и — безразмерное отклонение границы от положения равновесия. Автомодельное осесимметричное решение ищется в виде и — ¿~1'/',г/(0> £ = <_1|/4(а;2-(-7/2)1/2, где /(£) (после однократного интегрирования) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению третьего порядка

[ГЧШТ - \и + 2//' = о. Отметим, что уравнение вырождается при £ —► 0, а соответствующее ему линейное уравнение имеет иррегулярную особую точку £ = оо. Поэтому вопрос о нахождении отличных от нуля решений, определенных при всех £ > 0, регулярных в точке £ = 0 и быстро убывающих при £ —» оо (граница становится плоской на бесконечности) является нетривиальным.

Доказано, что такие решения образуют однопараметрическое семей-

ство, причем в качестве параметра можно взять величину

оо

J tfdÇ = С =

О

ОО со

оо со

I J u0{x,y)dxdy,

—оо —оо

где щ(х,у) — пачальное значение и(х,у,{). Доказательство основано на детальном изучении свойств линейной задачи, соответствующей вышеприведенному уравнению третьего порядка. С помощью этих

свойств устанавливается, что для малых |с|, / = с*/¿(f), /(£) анали-

тична при всех £ > 0, допускает аналитическое продолжение в область £ < 0 и убывает при (-»оо с экспоненциальной скоростью. При других значениях "с" решение находилось численно путем продолжения по этому параметру.

Характерные особенности функции /(£): для значений параметра А = /(0) > 0 функция / достигает прн £ = 0 абсолютного максимума. Этот максимум положителен и растет с уменьшением с. Для значений А < 0, соответствующих отрицательным с, функция / достигает при £ = 0 абсолютного минимума. Этот минимум отрицателен и уменьшается с уменьшением с. С увеличением |с| первый нуль /(£) при А > 0 приближается к пачалу координат, а при А < 0 — удаляется от него. Заметим еще, что функция / быстро стремится к нулю с увеличением испытывая бесконечно много перемен знака. При этом расстояние между двумя последовательными нулями функции / стремится к нулю при £ —► оо. Следовательно, в общем случае автомодельное решение существует лишь при определенном соотношении между "высотой'' поднятия жидкости и ее "массой" в начальный момент времени.

В приложении вычислены определенные интегралы от произведения нескольких смещенных полиномов Якоби любого порядка и их производных.

оо

выводы

На защиту выносятся следующие результаты моделирования термокапиллярных эффектов в задачах получения монокристаллов из расплавов, движения микропузырьков и течений в тонких слоях.

1. Численными и аналитическими методами изучены осесимметри-ческие нестационарные течения жидкости вблизи точек локального нагрева как для линейной, так и для нелинейной зависимости поверхностного натяжения от температуры. На основе метода Галеркина предложен алгоритм конечномерных моделей для интегро-дифференциальных уравнений, автоматически аппроксимирующих начально-краевые задачи. Показано, что при различных значениях определяющих параметров - чисел Марангони, Прандтля, Био, изменение внешнего температурного воздействия приводит к возникновению термокапиллярного эффекта и вызывает изменение радиуса жидкого цилиндра, причем при линейной зависимости, характерной для расплавов металлов, изменение носит колебательный характер, а при аномальной зависимости (водные растворы спиртов и расплавы некоторых видов стали) диаметр жидкого цилиндра монотонно возрастает или убывает в зависимости от поверхностного натяжения жидкости.

2. Разработан алгоритм расчета осесимметричных стационарных течений жидкости в цилиндрическом слое при линейной и аномальной зависимости поверхностного натяжения от температуры. При малых числах Марангони получены асимптотические решения соответствующих нелинейных краевых задач. Установлено, что при определенных значениях чисел Марангони и Прандтля решение может быть неединственным. Построены распределения температурного поля, функции тока при различных значениях определяющих параметров.

3. Дан численный расчет нестационарного дрейфа пузырька в расплаве серы, вызванного неоднородным температурным полем в жидкости и силами плавучести. Показано, что при определенных градиентах температуры цузырек может всплывать или тонуть. Тем самым возникает дополнительная возможность очистки расплавов от примеси.

4. Изучены автомодельные решения уравнения термокапиллярного движения в тонком слое вязкой жидкости со свободной границей при аномальной зависимости коэффициента поверхностного натяжения от

температуры. Численно пайдено решение типа источника для квазилинейного параболического уравнения четвертого порядка, образующее однонараметрическое семейство и аналитически установлено, что его решение является целой функцией при всех значениях аргумента и убывает при стремлении аргумента к бесконечности. Методом продолжения по параметру численно определена область параметров, при которых роалпзуется нестационарный затухающий волновой режим в тонком слое жидкости.

Основные положения диссертации изложены в работах:

1. Адмаев О.В.,Андреев В.К. Термокапиллярное течение жидкого пилиндра // Ден. в ВИНИТИ. 4058-В87.

2. Адмаев О.В., Андреев В.К. Развитие термокапиллярного движения с плоской и цилиндрической границами //IV Всесоюзный семинар по гидромеханике и тепломасообмену в невесомости. Новосибирск, 1987.

3. Адмаев О.В., Андреев В.К. Развитие термокапиллярного движения с цилиндрической границей // Моделирование в механике. Т. 4 (21), Новосибирск, 1990.

4. Адмаев О.В. Стационарные термокапиллярные течения в цилиндрических слоях// В сб.: Математические модели и методы их исследования. Красноярск, 1997.

5. Адмаев О.В. Стационарная термокапиллярпая конвекция в жидком цилиндре со свободной границей // В сб. Уравнения математической физики и теория функций. Красноярск, 1991.

6. Адмаев О.В. Стационарное термокапиллярное движение в цилиндрическом слое // Моделирование в механике. Т.6(23), Новосибирск, 1992.

7. Адмаев О.В. Стационарное термокапиллярное движение в расплавах с нелинейной зависимостью поверхностного натяжения от температуры / / Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики. IV Всесоюзная конференция молодых исследователей. Новосибирск, 1991.

8. Адмаев О.В. Осесимметричные термокапиллярные течения в цилиндрическом слое при линейной и нелинейной зависимости поверхностного натяжения от температуры // Сибирский физико-технический журнал 1992. N4. с.73-81.

9. Admaev O.V., Andreev Y.K. Axisymmetrical Thermocapillary Flows in Cylinder and Cylindrical Layer // Hydromehanics and Heat/Mass Transfer in. Microgravity. Gordon and Breach Science Publishers, 1992.

10. Адмаев О.В., Андреев В.К., Рябицкий Е.А. Некоторые задачи о термокапиллярном движении жидкости // Научные исследования на математическом факультете Красноярского госуниверситета. Деп. ВИНИТИ, N 1072, 18.04.95, с.17-27.

11. Адмаев О.В., Андреев В.К. Нестационарное движение пузырька под действием термокапиллярных сил. Сб. Математическое моделирование в механике. С.4-9. Деп. ВИНИТИ, 1997.

12. Адмаев О.В., Пухначев В.В. Автомодельные решения уравнения щ + A2it + А (и2) = 0. Препринт ВЦК СО РАН. N3. 1997.