автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование фотоиндуцированной термокапиллярной конвекции в слое прозрачной жидкости на поглощающей подложке

На правах рукописи

003053101

Зуева Анастасия Юрьевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОТОИНДУЦИРОВАННОЙ ТЕРМОКАПИЛЛЯРНОЙ КОНВЕКЦИИ В СЛОЕ ПРОЗРАЧНОЙ ЖИДКОСТИ НА ПОГЛОЩАЮЩЕЙ ПОДЛОЖКЕ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Тюмень — 2007

003053101

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Тюменского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Кутрунов Владимир Николаевич

Научный консультант: кандидат физико-математических наук,

доцент

Безуглый Борис Антонович

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор

Шабаров Александр Борисович

доктор физико-математических наук Кузнецов Владимир Васильевич

Ведущая организация: Институт вычислительного моделирования

СО РАН. г. Красноярск.

Защита состоится "20" февраля 2007 г. в 16 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 212.274.01 при на кафедре математического моделирования Тюменского государственного университета по адресу: 625003, г. Тюмень, ул. Перекопская, 15а, аудитория 217.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тюменского государственного университета.

Автореферат разослан " ¡и " января 2007 г,

Учёный секретарь диссертационного совета <7 Бутакова Н.Н

/

Актуальность проблемы. Течения, вызваные изменением поверхностного натяжения под действием лазерного излучения представляют важный и растущий класс инженерных задач. Области применения включают новые методы лазерной диагностики жидкостей, биоинженерию, сверление, абляцию, поверхностное легирование, сварку, резку металлов и диэлектриков, наплавку и т.д.

Применение лазерного излучения для возбуждения термокапиллярной конвекции предоставляет дополнительные возможности применения этого эффекта. Отраженный от деформированной свободной поверхности жидкости пучок лазера несет полную информацию о ее форме, которая зависит от протекающих конвективных процессов внутри жидкости. Это позволяет определять ряд физических характеристик жидкости, параметры ее слоя и свойства подложки. Бесконтактное воздействие на слой жидкости позволяет исследовать агрессивные, радиоактивные, находящиеся в экстремальных физических условиях жидкости.

Эффект фотоиндуцированной термокапиллярной конвекции зависит от большого числа влияющих параметров системы «лазерный пучок-жидкий слой-подложка». Существует множество работ, посвященных исследованию этого явления, однако, оно все еще остается не до конца изученным.

Цель работы — изучить эволюционный процесс фотоиндуцированной термокапиллярной конвекции в слое прозрачной жидкости на поглощающей подложке, выявить зависимость времени задержки т</ от свойств системы «лазерный пучок-жидкий слой-подложка», построить численную модель физических процессов в системе на стадии развития термокапиллярной конвекции и формирования углубления.

Методы исследования. В процессе диссертационного исследования использованы методы решения дифференциальных уравнений в частных производных, методы решения интегральных уравнений, численные методы интегрирования, дифференцирования и решения нелинейных уравнений, MAC и VOF методы. В VOF методе изменен подход к определению положения межфазной границы в соответствии с исследуемой задачей.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1. Предложена модель распространения тепла до начала конвективных течений в жидкости на основе выдвинутой гипотезы о разделении теплового потока в жидкость и подложку. Получено трансцендентное уравнение для определения времени задержки термокапиллярной конвекции.

2. Впервые проведен анализ времени задержки термокапиллярной конвекции. Выявлена его зависимость от толщины слоя жидкости, мощности пучка лазера и других свойств системы

3. Для анализа поведения системы «жидкий слой-подложка» построена модель тепло- и массопереноса, описывающая термокапиллярную конвекцию в слое прозрачной жидкости на поглощающей подложке, на основе УОР метода. Особенностью модели является описание системы «жидкость-воздух» в виде единой сплошной среды с переменными свойствами.

4. На основе УОР метода реализован комплекс программ для построенной гидродинамической модели. Численно прослежена эволюция деформации поверхности жидкости. В некоторый момент времени, зависящий от свойств системы, обнаружен всплеск всех параметров термокапиллярной конвекции, который наблюдается и экспериментально.

Практическая ценность работы. Возможность использовать время задержки для бесконтактного контроля параметров жидкости делает задачу о развитии термокапиллярной конвекции актуальной. Построенная численная модель может быть использована для теоретического выявления зависимости времени задержки от различных свойств системы, не использующего эксперимент. Это в дальнейшем в свою очередь позволит вернуться к эксперименту и предложить новые методы в лазерной диагностике жидкостей.

Достоверность полученных результатов основана на сравнении полученных расчетных результатов с экспериментальными данными. Дополнительно для проверки построенной гидродинамической модели

термокапиллярной конвекции были проведены расчеты для известных задач, которые сравнивались с результатами других авторов.

Апробация работы. Результаты исследований обсуждались на научных семинарах лаборатории «Жидкостные микрогравитационные технологии», семинарах физического факультета, факультета математики и компьютерных наук ТюмГУ (г. Тюмень), института математического моделирования СО РАН под руководством д.ф,-м.н. Андреева В.К. (г. Красноярск, февраль 2006 г), института теплофизики под руководством д.ф -м н, чл.-корр. РАН Алексеенко С.В. им. С.С. Кутателадце (г. Новосибирск, июль 2006 г), института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева под руководством д.ф.-м.н, чл.-корр. РАН Пухначева В.В. (г. Новосибирск, июль 2006 г) и института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН под руководством д.ф.-м.н., профессора Ильина В.П. (г. Новосибирск, октябрь 2006 г), докладывались на конференциях:

1. Девятой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых, Екатеринбург-Красноярск, март-апрель 2003;

2. Международной конференции "Advanced Problems in Thermal Convection", Пермь, ноябрь 2003;

3. Федеральной итоговой научно-технической конференции творческой молодежи России по естественным, техническим, гуманитарным наукам, Звенигород, декабрь 2003;

4. Первой Всероссийской конференции студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук», Томск, апрель 2004;

5. 36-ой и 37-ой Региональной молодежной конференции «ПРОБЛЕМЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ», Екатеринбург: УрО РАН, январь-февраль 2005, 2006;

6. Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых «ЗАДАЧИ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ: ТЕОРИЯ, ЭКСПЕРИМЕНТ И ПРИЛОЖЕНИЯ», Бийск, июль 2005.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы из 137 наименований. Полный объем работы представлен на 122 страницах машинописного текста, включает 33 рисунка и 2 приложения.

Содержание работы.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, кратко изложено ее содержание.

В первой главе приведен обзор литературы, посвященной термокапиллярной конвекции и наиболее известным моделям. Описаны эксперименты по выявлению эффекта фотоиндуцированной термокапиллярной конвекции и определены области ее практического применения. Выделены основные этапы математического моделирования при исследовании термокапиллярной конвекции. Проанализированы также современные методы численного моделирования задач с межфазными и свободными границами.

Необходимый для возникновения термокапиллярной конвекции градиент температуры на свободной поверхности можно получить при помощи воздействия лазерным излучением. В случае прозрачной жидкости лазерное излучение поглощается только подложкой и на границе жидкий слой-подложка появляется плоский источник тепла. Для того, чтобы на свободной поверхности жидкости возникло температурное возмущение, способное запустить регистрируемую термокапиллярную конвекцию, требуется некоторое время от начала воздействия. Это характерное время эффекта называют «временем задержки» термокапиллярной конвекции.

Во второй главе рассматривается начальная стадия фотоиндуцированной термокапиллярной конвекции. Исследуются случаи, когда число Рэлея значительно ниже критического значения Яа* = 1100, поэтому эффектом всплывания можно пренебречь. Построена математическая модель распространения тепла с источником на границе между жидкостью и подложкой.

На твердой подложке находится слой прозрачной жидкости толщиной ко. Система «жидкий слой-подложка» нагревается гауссовым пучком лазера. Жидкость прозрачная и лазерное излучение поглощается

подложкой, тепло распространяется как в подложку, так и в жидкость. В сравнении с толщиной слоя жидкости подложка считается полубесконечным твердым телом. Диаметральные размеры системы также считаем бесконечными. До тех пор, пока определенное температурное возмущение не дошло до поверхности жидкости и не вызвало градиента поверхностного натяжения, тепло в жидкости распространяется кондуктивно (тепловым расширением жидкости пренебрегаем). Справедливы уравнения теплопроводности в цилиндрической системе координат:

15Т, 1дТ, д2^ д2^

—я7 = + ~яТ + "я"Т> 0<2</10; (1)

К1 оЬ г ог аг1 а 7/

1 дт3 1 дт,д2т8^д2та

= ер-' (2)

О < г < оо с начальными и граничными условиями

Т1 = Т3 = Т0

Т, = Г„ к^ - = -Н0 ехр

где Я0 = Р/тга2 — плотность теплового потока, Р — мощность пучка лазера, а — его радиус, к — теплопроводность, к — температуропроводность, индексами I и в обозначается принадлежность свойств жидкости или подложке соответственно.

Не составляет особой сложности получить решения задач теплопроводности для бесконечной пластины и полупространства. Проблема заключается в разделении теплового потока от источника тепла на границе между двумя средами (5). Была выдвинута гипотеза, которая состоит в том, что можно получить коэффициенты разделения тепла в упрощенной задаче и затем использовать их в сформулированной.

Такие коэффициенты были получены на основе задачи распространения тепла в двух полубесконечных пространствах с различными теплофизическими свойствами с равномерным плоским

при t = 0; (3)

при г = /го; (4)

при г = 0, (5)

источником на границе. Граничные условия (5) соответственно видоизменяются:

= 1 НЛ! с::р ( ^ (6)

дг ЬТцу/кГа + кау/Щ \ а2/'

дТ3 1 к1У/Щ н ( г-2\ пиг = 0 (у)

дг к3 + °ехр\ч а2) ПрИ 2

При таких граничных условиях первоначальная задача распадается на две отдельные. Определение температурного поля сводится к решению уравнений параболического типа с граничными условиями второго рода.

} 1

Т5(г, г, - То = -—---—1=\ I

47г-У7гк7(к[*/к3 + к,у/Щ) J

4тгутгк7(А:;х/к5 + кзл/Щ) J (Ь - т + - т

о

Г2 \ ( 22

^^_ «

Т/(г, г, Т0 + кц^/Щ) I и-

тк1{к^з + ЛЯЛ/кГ) У (£ - т + -

Полученные решения (8) и (9) описывают распространение тепла до начала конвективных процессов. Эти выражения удовлетворяют второму условию в условии сопряжения (5), однако равенство температур выполняется неточно. Наибольшее расхождение |ДТ/ — на рассматриваемой стадии не превышает 5% Полученные выражения позволяют быстро вычислять температурные возмущения в среде на момент наступления термокапиллярной конвекции.

Из выражений (8) и (9) можно определить температуру в любой точке среды, но для этого нужно провести интегрирование по переменной т. Для этого автором была разработана и реализована программа «Время задержки» на языке С++, которая позволяет провести численное интегрирование выражений (8) и (9) и вычислять температурные поля в системе «жидкий слой-подложка».

Вводится понятие запускающего температурного возмущения как максимального перепада температуры на свободной поверхности в момент начала термокапиллярных течений. Эксперименты показывают, что время задержки термокапиллярной конвекции имеет квадратичную зависимость от толщины слоя жидкости ко. Эта закономерность выполняться в том случае, если значение запускающего температурного возмущения (ДТ)тс Для конкретной жидкости постоянно и не зависит от толщины и мощности пучка лазера. Можно построить в неявном виде зависимость времени задержки т<г от мощности пучка лазера:

Р) = (&Т)тс, (Ю)

где Р(тл,Р) — ДТ(0, йо,т«г) = Тг(0, /г,0, тй) -Т0 — левая часть выражения (9), мощность Р выступает как переменная величина. Значения (АТ)тс вычисляются для конкретной жидкости по контрольной толщине 0.81 мм при мощности пучка лазера 20.9 мВт.

На Рис. 1(а) для слоя бутанола с толщинами /г0 = 0.33, 0.57, 0.81, 1.41, 2.01 мм снизу вверх соответственно, приведены экспериментальные (точки) значения времени задержки в зависимости от мощности пучка и те же величины (сплошные кривые), вычисленные на основе математической модели. Как видно, эти зависимости удовлетворительно аппроксимируют экспериментальные значения. Более существенное расхождение (~ 30%) видно только для толщин, близких 2 мм. Это подтверждает гипотезу о независимости (АТ)тс от мощности.

Для проверки гипотезы о квадратичной зависимости т^ от толщины были выполнены следующие вычисления. Как и в предыдущем случае использовался один эксперимент для определения (ДТ)хс- Эта величина вычислялась для контрольной толщины слоя жидкости 0.81 мм. С использованием полученной константы построена теоретическая зависимость т<г от толщины слоя ^(т^/го) = (ДТ')тс Для трех жидкостей с различными значениями вязкости (^ = 1.197,2.95,5.8 сПз). На Рис. 1(6) приведены теоретические кривые и экспериментальные значения зависимости времени задержки от толщины слоя для различных жидкостей при мощности пучка лазера Р = 20.9 мВт. Здесь также расхождение (<15%) заметно лишь для толщин более 1.8 мм.

В третьей главе строится термогидродинамическая модель явления. По сравнению с классической системой балансных уравнений,

Рис. 1: Зависимость времени задержки от свойств системы Точками обозначены экспериментальные данные; сплошные кривые рассчитаны из формулы (9)

предлагаемая модель учитывает влияние сил Марангони на свободной поверхности, которые включаются в уравнения Навье-Стокса. Эта система уравнений выведена автором и для ее решения построена и запрограммирована численная схема на основе VOF метода. Для численного счета требуется проводить вычисления на конечной области. В диссертации указаны способы ухода от бесконечно удаленных границ, опирающиеся на анализ поведения безразмерных переменных параметров задачи.

Дополнительную сложность в решение задачи вносит неизвестная область расчетов. В процессе решения, кроме компонент скорости и давления, нужно определять деформируемую поверхность между жидкостью и воздухом. В связи с этим для численного моделирования гидродинамической задачи со свободной границей реализуется специальный метод, который позволяет определять межфазную границу между жидкостью и воздухом. Этот метод известен как метод объема жидкости (Volume Of Fluid — VOF) с кусочно линейной аппроксимацией межфазной границы (Piecewise Linear Interface Construction — PLIC).

Для постановки задачи тепло- и массопереноса необходима система балансных уравнений. Рассматривается несжимаемая вязкая жидкость. При малых изменениях температуры физические свойства системы «воздух-жидкий слой-подложка» считаем постоянными, кроме поверхностного натяжения жидкости, которое зависит от температуры

линейно.

Для определения межфазной границы в УСЖ методе вводится функция Р, которая характеризует концентрацию жидкости и для каждой вычисляемой ячейки принимает значения ? = 1 в области, полностью заполненной жидкостью; ^ = 0 в области, заполненной воздухом; и 0 < ^ < 1 содержащей межфазную границу. Поле Р меняется при движении жидкости и справедливо уравнение переноса:

дР дР 8Р п

На межфазной границе происходит скачок физических свойств и действуют силы поверхностного натяжения:

£ = ахп + Угст (12)

где х = 1/Л1 + 1/Лг — кривизна свободной поверхности, п — единичный вектор нормали к свободной поверхности, направленный внутрь жидкости. Уравнение неразрывности справедливо для всей расчетной области, включая межфазную границу.

Жидкость и окружающий ее воздух предполагаются сплошной

жидкой средой со свойствами, линейно связанными с

ц = +

р = + (13)

где индексы указывают принадлежность: I — к жидкости, д — воздуху. На межфазной границе выполняется динамическое условие (12), которое включается в уравнения Навье-Стокса. С учетом всех сделанных предположений автором получена система балансных уравнений:

г ог дг

ди ди ди 1 др 1 Г д / 1 дги\ д / ди\ 1 дЬ и дг У дг рдг р\дг \г дг ) дг \дг))

г (дт ( дт яг\\ iiv.fi ....

+ - (15)

ду ду ду 1др1(1д^ 5гЛ д ( ЗгЛ 1 ^ дЬ и дг У дг рдг р\гдг\Гдг) дг\дг)]

О ^ Г < ОО, 0 < 2 < ОО

где /3 — коэффициент термического расширения. В отличие из известных уравнений (Хирт и Николе 1981, Мейер 1999), приведенные позволяют учитывать изменения поверхностного натяжения вследствие градиента температуры на свободной поверхности.

Уравнение сохранения энергии для жидкой среды:

я + 1дт + ьат = ±Пд_ лет\ + Л ет\ 1

дЬ дг дг срр \ г дг \ дг ) дг \ дг ) ) О < г < оо, 0 < г < оо Уравнение энергии для подложки имеет вид:

дТ° = Пз{1 д (тЭТЛ I д2%) (18)

дЬ 5 \ г дг \ дг ) дг2 /

О ^ г < со, —оо < л < О

В уравнениях к — теплопроводность, Ср — удельная теплоемкость, к — температуропроводность

Уравнениях (11), (14), (15)—(18) — основные уравнения осесимметричной задачи термокапиллярной конвекции, которые решаются численно. Для замыкания этих уравнений нужно сформулировать начальные и граничные условия. В начальный момент времени среда неподвижна, а температура и давление р постоянны во всей среде. На стенках выполняются условия прилипания и непротекания

и = V = 0, при г = 0

В работе рассматривается модель фотоиндуцированной термокапиллярной конвекции в слое прозначной жидкости на поглощающей подложке. Поэтому все тепло от пучка лазера поглощается подложкой. Тогда на границе жидкости и подложки справедливо условие теплового контакта с источником:

дТ дТ ( г2 \

Г-Т, = 0, к—-к8-^ = -Н0ех?1--2), при г = 0 (19)

где Но — тепловая интенсивность пучка лазера. На бесконечности выполняются условия затухания. Следует также учитывать условия осевой симметрии.

Для дискретизации уравнений используется классический метод маркеров и ячеек (Marker And Cell — MAC) в 2D цилиндрических координатах. Для лучшей сходимости строится равномерная разнесенная сетка с прямоугольными ячейками Аг х Az. Значения функций (р, Т, F) и свойства (fx, р, к, Ср) определяются в центре ячеек, а скорости — в середине сторон ячеек. В ячейках координаты задаются гг = (i — 0.5)Дг и Zj = (j — 0.5)Az. Из-за своей громоздкости конечно-разностная схема в автореферате не приводится.

В четвертой главе описан программный комплекс для численного моделирования исследуемого явления. Построены поля скоростей, давлений и температурные поля. Решена центральная задача диссертации: на основе предложенной модели вычислены времена задержки термокапиллярной конвекции для непрерывного изменения некоторых физических свойств жидкости.

Четкого критерия для определения начала конвективных течений нет. Поэтому автором предложен критерий, основанный на погрешности аппроксимации дифференциальных уравнений. Полученные результаты сравнены с небольшим числом имеющихся экспериментальных данных. Математическая модель позволяет теперь вычислить большое количество времен задержки, что очевидно практически невозможно получить экспериментально. Получены также профили термокапиллярной деформация свободной поверхности, которые экспериметально в динамике пока получить не удается. Полученные теоретически профили свободной поверхности могут быть использованы на практике для идентификации свойств исследуемой жидкости в тех случаях, когда эти свойства не удается изучить экспериментально.

В VOF методе положение межфазной границы рассчитывается на основе поля фракции F, которое на каждом временном шаге определяется из уравнения переноса (11). Это удобно в случае больших деформаций поверхности раздела (инжекция, падение капли, всплывание пузырьков). В диссертации использован физический факт о том, что при термокапиллярной конвекции свободная поверхность жидкости подвергается незначительным деформациям. По этой причине для определения положения межфазной границы предложено воспользоваться кинематическим условием. С вычислительной точки

зрения такая замена оказалась очень удобной. Предложенная схема опирается на следующие рассуждения: при отсутствии испарения скорость пленки свободной поверхности и скорость жидкости под свободной поверхностью должны быть равными, поэтому в осесимметричном случае и в безразмерном виде имеем:

дН дН

m+ud~r=v'

(20)

где /г = к{г,т) — форма свободной поверхности, которая в начальный момент времени недеформирована, т.е. /г(г, 0) = Ъ^. Его дискретная аппроксимация

_. Нг+1 — /г.г_1

h' = h. + At[v

ft /г 2 Ar где Uj и vj скорости свободной поверхности.

(21)

0 05

S м

2 о <

-0 05

-0 1 -О 15 -02 5

г

X

s о <

г-г

-5 -10 -15 -20 -25

Г, ММ

\ —-.У""' О V у1/ 4 6 8 10 12 14 16 18 23

/ / / N / \ 1 -1 = 0 36 с

......t= 06с -----1= 068с

V (а) ......t = 0 72 с ----1 = 0 76 С

(б)

Рис. 2: Формирование профиля термокапиллярной деформации свободной поверхности жидкости. Слой н-октана толщиной 1 5 мм, мощность пучка лазера 20 9 мВт

Поскольку используется явная схема, для устойчивости необходимо выполнение известных условий для временного шага At: для скорости (условие Куранта-Фридриха-Леви) At ^ AtcFL = Ar/V, где V —

максимальная из всех скоростей | | уг3+1/2 I- теплопроводности

Д < Дгд = (Дг)2/2к, вязкости Дí < Д£Ш8 = р(Дг)2/2ц и поверхностного натяжения Дт < Дт3{. = \/(р; + рд)/^псд^Аг)15. Реализация программы «Термокапиллярная конвекция» дает возможность регулировать шаг по времени дополнительными внешними параметрами.

После начала конвективных течений вследствие изменения поверхностного натяжения жидкости и ее растекания, свободная поверхность начинает деформироваться, образуется термокапиллярное углубление. На Рис. 2 изображен профиль термокапиллярной деформации свободной поверхности в различные моменты времени и в установившемся режиме. В модели учитывается движение жидкости под действием теплового расширения и гравитации. Это вызывает небольшое поднятие холмика жидкости на начальной стадии конвекции. Эта ситуация изображена на Рис. 2(а).

С некоторого момента времени жидкость растекается и формируется углубление. На Рис. 2(6) изображено формирование этого углубления. Из графиков видно, что максимальная глубина термокапиллярного зеркала достигается не в стационарном положении, а в процессе его формирования. Для слоя н-октана толщиной 0.81 мм этот момент соответствует времени í = 1.08 с от начала теплового воздействия пучком лазера. В дальнейшем поверхность незначительно поднимается и течения и профиль стационаризуются.

Рис. 3: Зависимость диаметра отклика (слева) и свободной поверхности (справа)

тангенса

максимального угла наклона

Из экспериментов лаборатории «Жидкостные микрогра-

витационные технологии» пока известно только, что диаметр термокапиллярного отклика связан с максимальным углом наклона деформированной свободной поверхности. На Рис. 3 изображена зависимость от времени тангенса угла наклона межфазной границы в точке перегиба, вычисленная на основе построенной математической модели для различных слоев н-октана. На графике видны все стадии, наблюдаемые в эксперименте. Следовательно, модель качественно описывает наблюдаемые в эксперименте задержку термокапиллярной деформации, всплеск и установление стационарного конвективного течения.

Основные результаты работы.

1. Построена модель распространения тепла до начала конвективных течений в жидкости. Получены коэффициенты разделения теплового потока в жидкость и подложку. На основе этой модели вычислено время задержки термокапиллярной конвекции, построена ее зависимость от толщины слоя жидкости и мощности пучка лазера.

2. Разработана и реализована программа «Время задержки» на языке С++, которая на основе интегрирования выражений (8) и (9) позволяет вычислять температурные поля в системе «жидкий слой-подложка», запускающее температурное возмущение и время задержки термокапиллярной конвекции.

3. Впервые для моделирования термокапиллярной конвекции было предложено использовать новый метод решения задач со свободными границами — УОИ метод. С учетом сил Марангони в динамическом условии на свободной поверхности выведены балансные уравнения для реализации этого метода.

4 На основе УОР метода построена термогидродинамическая модель термокапиллярной конвекции в слое прозрачной жидкости на поглощающей подложке. Учитывается распространение тепла в подложку и жидкость. Определение межфазной границы основано на кинематическом условии и уже после ее определения вычисляется поле жидкой фракции ^ на расчетном шаге.

5. Построен комплекс программ «Термокапиллярная конвекция» для реализации построенной модели, который позволяет получить поле температур, скоростей и давлений, а также профиль деформации свободной поверхности.

6. Предложенная математическая модель хорошо описывает всплеск термокапиллярной конвекции и качественно согласуется с имеющимися экспериментальными данными.

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях:

[1] Безуглый Б.А., Иванова H.A., Зуева А.Ю. Термокапиллярная деформация тонкого слоя жидкости вызванная пучком лазера // ПМТФ. - 2001. - Т. 3. - № 42. - С. 130-134.

[2] Зуева А.Ю., Аксенов А.Н. Моделирование фотоиндуцированный термокапиллярной деформации тонкого слоя жидкости // Сборник тезисов докладов: Тезисы ВНКСФ9. Т.1. Екатеринбург-Красноярск, 2003. - Изд-во АСФ России, - с. 383-384.

[3] В.А. Bezuglyi, F.H. Chapparov, A.A. Fedorets, A.Yu. Zueva. Experimental setup for investigation of liquid surface deformed by convective flows in thin liquid layer // International Conference "Advanced problems in thermal convection". Abstracts. Perm, 2003. — p. 44-45.

[4] Горбачева H.A., Зуева А.Ю., Чемоданов С.И. Новый метод измерения температуропроводности жидкостей // Федеральная итоговая научно-техническая конференция творческой молодежи России по естественным, техническим, гуманитарным наукам: Тезисы докладов. Звенигород, 15-20 декабря 2003 — М.: Изд-во МИЭМ, 2003. - с. 55-56.

[5] Зуева А.Ю., Чемоданов С.И. Расчет теплового возмущения, вызывающего термокапиллярную деформацию, при лазерном нагреве слоя прозрачной жидкости на поглощающей подложке // I Всероссийская конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук», г. Томск, 2628 апреля 2004 г Сборник трудов. — Томск: Изд-во Томского политехи, ун-та, 2004. — с. 127-129.

[6] Зуева А.Ю. Моделирование начальной стадии фотоиндуцированной термокапиллярной конвекциии // ПРОБЛЕМЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ: Труды 36-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2005. - с. 136-140.

[7] Зуева А.Ю. Фотоиндуцированная термокапиллярная конвекция: этапы математического моделирования. // Математическое и информационное моделирование: сборник научных трудов. Вып. 7. Тюмень: Изд-во "Вектор Бук". — 2005. — с. 143-153.

[8] Безуглый Б.А., Зуева А.Ю., Чемоданов С.И. Теоретический расчет времени задержки термокапиллярного отклика. // Тезисы докладов. Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых «ЗАДАЧИ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ: ТЕОРИЯ, ЭКСПЕРИМЕНТ И ПРИЛОЖЕНИЯ», 4-8 июля 2005 г. Бийск. -с. 17, 19.

[9] Зуева А.Ю. Математическая модель термокапиллярной конвекции. // Под ред. В.Н. Кутрунова, Б.А. Безуглого. — Тюмень: Изд-во «Вектор Бук», 2006. - 48 с.

[10] Зуева А.Ю., Кутрунов В.Н. Математичекое моделирование термокапиллярной конвекции на основе УОР метода. // ПРОБЛЕМЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ: Труды 37-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2006. — с. 200-204.

[11] Зуева А.Ю. Математическое моделирование фотоиндуцированной термокапиллярной конвекции. // Вестник ТюмГУ. — 2006. — Вып. 5. - с. 193-200.

Подписано к печати 16 января 2007 г. Тираж 100 экз. Заказ № 2005. Отпечатано "Документ-Сервис", 630090, Новосибирск, Институтская 4/1, тел. 335-66-00

Список используемых обозначений

Введение

1 Термокапиллярная конвекция. (Обзор литературы.)

1.1 Механизм фотоиндуцированной термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости.

1.2 Эффект задержки термокапиллярного отклика.

1.2.1 Описание эксперимента на определение времени задержки.

1.3 Математические модели движения тонкого слоя жидкости

1.3.1 Температурное распределение.

1.3.2 Модели тепло- и массопереноса.

1.3.3 Профиль термокапиллярной деформации.

1.4 Этапы математического моделирования.

1.5 Численные методы решения задач со свободными границами 35 Выводы.

2 Распространение тепла до начала конвективных течений

2.1 Равномерный плоский источник. Разделение теплового потока.

2.2 Температурное поле с гауссовым источником.

2.3 Вычисление температуры и времени задержки. Программа «Время задержки».

2.3.1 Вычисление запускающего температурного возмущения.

2.3.2 Вычисление времени задержки. Сравнение с экспериментами.

2.3.3 Температурное поле. Расчет по программе «Время задержки»

Выводы.

3 Гидродинамическая модель термокапиллярной конвекции.

3.1 Балансные уравнения и граничные условия.

3.1.1 Балансные уравнения в векторной форме. Способ учета сил Марангони в модели.

3.1.2 Балансные уравнения в осесимметричной системе координат.

3.2 Программирование УОР метода.

3.2.1 Дискретизация уравнений.

3.2.2 Постановка граничных условий.

3.2.3 Положение межфазной границы. РПС-УСЖ метод. . . 77 Выводы.

4 Разработка программного комплекса «Термокапиллярная конвекция» и некоторые результаты расчета.

4.1 Силы поверхностного натяжения.

4.1.1 Дискретизация сил поверхностного натяжения.

4.1.2 Определение положения межфазной границы из кинематического условия.

4.1.3 Вычисление кривизны межфазной границы.

4.2 Исходные данные программы «Термокапиллярная конвекция». Этапы численного счета.

4.3 Обсуждение основных результатов работы программы «Термокапиллярная конвекция».

4.3.1 Процесс установления профиля термокапиллярной деформации.

4.3.2 Эволюция полей температуры и скоростей.

4.3.3 Время задержки и всплеск термокапиллярной конвекции. О критерии начала конвекции.

Выводы.

Если по какой-либо причине, существует перепад поверхностного натяжения вдоль свободной поверхности жидкости, жидкость будет перемещаться по направлению более высокого поверхностного натяжения."

C.G. Marangoni (1871)

Существует ряд технологических процессов, математическую модель которых можно построить путем решения осесимметричных задач переноса энергии, массы и импульса. Течения, вызваные изменением поверхностного натяжения под действием квазиточечных источников энергии (луч лазера, пучок электронов, электрическая дуга, пламя газовой горелки и т.д.) представляют важный и растущий класс инженерных задач. Области применения включают новые методы лазерной диагностики жидкостей [1-10], биоинженерию [11], сверление [12], абляцию [13], поверхностное легирование [14], сварка [15-17], резка металлов и диэлектриков [18-20], наплавка [19] и т.д. Скорый прогресс в современных лазерных технологиях способствуют повышению интереса к изучению такого рода течений. Существование сил поверхностного натяжения на границах раздела фаз (жидкость-жидкость, жидкость-газ) может оказывать существенное влияние на тепломассоперенос в жидкости. В случае создания в исследуемом объеме жидкости градиента температур поверхностные термокапиллярные силы могут приводить к появлению быстрых гидродинамических течений.

Изучение конвективных процессов в жидкостях со свободными поверхностями началось с появлением фундаментальных работ Бенара [21,22]. Многие авторы впоследствии предлагали различные теоретические модели обнаруженного им явления [23, 24]. Однако, первые работы, посвященные исследованию термокапиллярной конвекции, вызванной тепловым действием лазерного излучения, появились лишь в 1970-х годах [25-28], но долгое время это явление оставалось в тени хорошо изученной естественной термогравитационной конвекции. Поэтому ценные в практическом отношении свойства фотоиндуцированной термокапиллярной конвекции были раскрыты далеко не в полной мере:

1. индуцирующий пучок лазера, частично отражаясь от деформированной термокапиллярным вихрем свободной поверхности жидкости, несет полную информацию о ее форме, которая зависит от протекающих конвективных процессов внутри жидкости, что позволяет определять ряд физических характеристик жидкости (вязкость [10,29], температуропроводность [30]), параметры ее слоя (толщину [1, 5-8], кривизну свободной поверхности [31-33]) и свойства подложки;

2. вид получаемой информации — оптическое изображение (термокапиллярный отклик), легко поддающееся обработке, в том числе автоматизированной [34-36];

3. возможность воздействовать на слой жидкости бесконтактным путем позволяет исследовать агрессивные, радиоактивные, находящиеся в экстремальных физических условиях жидкости.

С учетом того, что для измерений не требуется дорогостоящее специализированное оборудование, а использующиеся маломощные (~10 мВт) лазеры не вызывают, в большинстве случаев, необратимых изменений в исследуемых жидкостях, этот тип конвекции перспективен для применения в технологических процессах.

В настоящее время существует большое число теоретических и экспериментальных работ, посвященных изучению фотоиндуцированной термокапиллярный конвекции в органических жидкостях [1,2,5-10,27-59]. Часть из них посвящена математическому моделированию и теоретическим оценкам конвективных процессов [1,5,7,27,28,31,32,34,37-59]. В других предложены практические применения этого явления [2,6,8-10,29,30,3336]. Важной особенностью термокапиллярный конвекции в органических жидкостях является деформация свободной поверхности — образование термокапиллярного углубления, профиль которого зависит от физических и геометрических свойств исследуемой системы. Существенным отличием может быть расположение источника тепла, который в зависимости от коэффициента поглощения а располагается в объеме жидкости, на ее свободной поверхности или на поверхности подложки, на которой находится слой жидкости [1,5-10,27-34,37-59].

Рост практического значения явления фотоиндуцированной термокапиллярной конвекции [2, 6, 8-10, 29, 30, 33-36], в сочетании с тем, что его экспериментальное исследование осложнено большим числом (более 10) влияющих на конвекцию параметров системы «лазерный пучок-жидкий слой-подложка», придает особую актуальность задаче создания адекватной математической модели этого явления.

За последние десятилетия численному моделированию течений с межфазными границами посвящено большое число работ. Тем не менее, подобные задачи остаются сложными для численного моделирования и возбуждают интерес к дальнейшим исследованиям [60-62]. Одним из наиболее ранних и получивших широкое распространие методов решения задач течения жидкость-газ с подвижной границей, является предложенный Харлоу и Уэлчем [63] метод маркеров и ячеек (MAC — Marker And Cell). Однако, в отличие от MAC метод объема жидкости (VOF — Volume Of Fluid) стал более популярным.

При нагреве лазерным пучком слоя прозрачной жидкости на поглощающей подложке возникает эффект задержки термокапиллярной конвекции [2]. Эта задержка вызвана тем, что требуется некоторое время т^ чтобы тепловое возмущение дошло от подложки до свободной поверхности жидкости и инициировало термокапиллярное течение. Очевидно, что величина tj, зависит от толщины ho слоя жидкости, мощности Р пучка лазера, ряда свойств подложки и жидкости и состояния ее свободной поверхности. Возможность использовать время задержки для бесконтактного контроля указанных параметров делает задачу о развитии термокапиллярной конвекции актуальной.

Объектом исследования настоящей работы является эволюция термокапиллярной конвекции. Цель исследования — изучить явление фотоиндуцированной термокапиллярной конвекции в слое прозрачной жидкости на поглощающей подложке, выявить зависимость времени задержки т^ от свойств системы «лазерный пучок-жидкий слой-подложка», построить численную модель физических процессов в системе на стадии развития конвекции и формирования термокапиллярного углубления.

Излагаемый в работе материал разбит на четыре главы.

В первой главе приведен обзор литературы, посвященной термокапиллярной конвекции и наиболее известным ее моделям. Описаны эксперименты по обнаружению фотоиндуцированной термокапиллярной конвекции и возможность ее практического применения. Выделены основные этапы математического моделирования при исследовании термокапиллярной конвекции. Так же проанализированы современные методы численного моделирования задач с межфазными границами.

Во второй главе рассматривается начальная стадия фотоиндуцированной термокапиллярной конвекции. Исследуются случаи, когда число Рэлея не превышает критического значения, поэтому плавучестью можно пренебречь. Вследствие этого существует задержка термокапиллярной конвекции, т.е. жидкость находится в покое, пока запускающее температурное возмущение не достигнет ее свободной поверхности. Предложена тепловая модель начальной стадии этого эффекта, когда конвективные течения еще не возникли. Проведено сравнение результатов полуэмпирической модели с экспериментальными данными, полученными в лаборатории «Жидкостные микрогравитационные технологии».

Третья глава посвящена гидродинамическим течениям и теплообмену при термокапиллярной конвекции, вызванной тепловым действием лазерного излучения в слое прозрачной жидкости на поглощающей подложке, строится термогидродинамическая модель явления. Проведено обезразмеривание системы балансных уравнений и граничных условий. Для численного моделирования реализован УОР метод для решения уравнений при связном движении вязкой несжимаемой жидкости и газа с учетом сохранения энергии. Для дискретизации уравнений использован классический MAC метод первого и второго порядка в цилиндрических координатах с учетом осевой симметрии исследуемого течения. Особенностью модели является совместное решение уравнений для твердой подложки, слоя жидкости и воздуха.

В четвертой главе описан программный комплекс для численного моделирования исследуемого явления. Построены поля скоростей, давлений и температурные поля. На основе предложенной модели вычислено время задержки термокапиллярной конвекции. Получен также профиль термокапиллярной деформации свободной поверхности в различные моменты времени.

В заключении обобщены выводы диссертационной работе.

Апробация работы и публикации. Результаты исследований обсуждались на научных семинарах лаборатории «Жидкостные микрогравитационные технологии», семинарах физического факультета и факультета математики и компьютерных наук, доложены на:

• Девятой Всероссийской конференции студентов-физиков и молодых ученых, Екатеринбург-Красноярск, март-апрель 2003;

• Международной конференции "Advanced Problems in Thermal Convection", Пермь, ноябрь 2003;

• Федеральной итоговой научно-технической конференции творческой молодежи России по естественным, техническим, гуманитарным наукам, Звенигород, декабрь 2003;

• Первой Всероссийской конференции студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук», Томск, апрель 2004;

• Зб-ой и 37-ой Региональной молодежной конференции «ПРОБЛЕМЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ», Екатеринбург: УрО РАН, январь-февраль 2005, 2006;

• Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых

ЗАДАЧИ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ: ТЕОРИЯ, ЭКСПЕРИМЕНТ И ПРИЛОЖЕНИЯ», Бийск, июль 2005. опубликованы в работах [57,59,65-72].

Выводы.

1. Численная схема, описанная в Главе 3, реализована в программном комплексе «Термокапиллярная конвекция». Программа позволяет вычислять поля температуры с конвективными слагаемыми, поля скоростей и давлений и деформацию свободной поверхности.

2. При реализации УОР метода предложен специальный метод определения поля жидкой фракции через форму свободной поверхности, которая в свою очередь вычисляется на основе кинематического условия.

3. На основе построенной модели получено формирование и установление профиля свободной поверхности жидкости. Вычислено распределение компонент скоростей и давления под свободной поверхностью и в слое жидкости.

4. Построены поля температур и векторные поля скоростей, из которых видно образование торроидального вихря.

Заключение.

В диссертационной работе проведено теоретическое исследование ТК конвекции в тонком слое прозрачной жидкости на поглощающей подложке, индуцированной тепловым дейсвием лазерного пучка, построена математическая модель этого явления и реализована программа для численного счета процессов тепло- и массопереноса. Наиболее существенные результаты работы следующие:

1. Построена модель распространения тепла до начала конвективных течений в жидкости. Получены коэффициенты разделения теплового потока в жидкость и подложку. На основе этой модели вычислено время задержки термокапиллярной конвекции, построена ее зависимость от толщины слоя жидкости и мощности пучка лазера.

2. Разработана и реализована программа «Время задержки» на языке С++, которая на основе интегрирования выражений (2.15) и (2.17) позволяет вычислять температурные поля в системе «жидкий слой-подложка», запускающее температурное возмущение и время задержки термокапиллярной конвекции.

3. Впервые для моделирования термокапиллярной конвекции было предложено использовать новый метод решения задач со свободными границами — УСЖ метод. С учетом сил Марангони в динамическом условии на свободной поверхности выведены балансные уравнения для реализации этого метода.

4. На основе УОР метода построена термогидродинамическая модель термокапиллярной конвекции в слое прозрачной жидкости на поглощающей подложке. Учитывается распространение тепла в подложку и жидкость. Определение межфазной границы основано на кинематическом условии и уже после ее определения вычисляется поле жидкой фракции Р на расчетном шаге.

5. Построен комплекс программ «Термокапиллярная конвекция» для реализации построенной модели, который позволяет получить поле температур, скоростей и давлений, а также профиль деформации свободной поверхности.

6. Предложенная математическая модель хорошо описывает всплеск термокапиллярной конвекции и качественно согласуется с имеющимися экспериментальными данными.

Результаты, полученные в настоящей работе, могут использоваться в практических целях, для теоретического (без эксперимента) определения зависимости процессов, протекающих в слое жидкости, от различных свойств системы «лазерный пучок-жидкий слой-подложка». При наличии подходящего критерия для определения времени задержки термокапиллярной конвекции построенная модель может быть использована в методах лазерной диагнистики жидкостей. Например, по экспериментально найденному времени задержки математическая модель позволит определить физические свойства исследуемой жидкости, что будет бесконтактным методом ее изучения.

Данная работа и предложенный комплекс программ может стать основой для создания полноценной программы для моделирования термокапиллярной конвекции с различным расположением источника тепла. Возможно также применение проведенного исследования в учебном процессе.

В заключение хочу поблагодарить моего научного руководителя КУТРУНОВА Владимира Николаевича за поддержку в работе над диссертационным исследованием, полезные советы и направление в проводимом исследовании. Соруководителя БЕЗУГЛОГО Бориса Антоновича, предложившего интересную тему исследования и плодотворные дисскуссии в лаборатории «Жидкостные микрогравитационные технологии». Сотрудников лаборатории за возможность совместной работы, и в особенности ЧЕМОДАНОВА

Сергея Игоревича за предоставленные экспериментальные данные. За интерес к исследуемому явлению и полезные дискуссии благодарю ШАБАРОВА Александра Борисовича, КУЗНЕЦОВА Владимира Васильевича, АНДРЕЕВА Виктора Константиновича и АКТЁРШЕВА Сергея Петровича.

1. Bezuglyi В.A., Fedorets A.A., Tarasou О.А. Laser diagnostics of liquids and its layers // First Conference of the 1.ternational Marangoni Association. — Giessen, Germany. — 2001. — P. 84-85.

2. Bezuglyi B.A., Chemodanov S.I., Tarasou O.A. New approach to diagnostics of organic impurities in water // Colloids and Surfaces A: Physicochem. Eng. Aspects. 2004. - V. 239. - P. 11-17.

3. Агровский B.C., Богатуров A.H., Зуев В.И., Ольхов В.М. Измерение распределений температуры в конвективном потоке, наведенным мощным тепловым излучением // Инж.-физ. Ж. — 1988. — Т. 54. — № б. С. 980-982.

4. Chen S., Grigoropoulos С.P. Noncontact nanosecond-time-resolution temperature measurement in excimer laser heating of Ni-P disk substrates // Appl. Phys. Lett. 1997. - V. 71. - N. 22. - pp. 31913193.

5. Безуглый Б.А., Тарасов O.A., Федорец А.А. Применение TK эффекта для измерения толщины тонкого слоя жидкости // Вестник Тюменского госуниверситета. — 2000. № 3. — С. 64-67.

6. Патент РФ № 2149353. Способ измерения толщины тонкого слоя прозрачной жидкости. Безуглый Б.А., Тарасов О.А., Федорец А.А., Шепеленок С.В. — Бюл. № 14 // Изобретения. — 2000.

7. Безуглый Б.А., Федорец А.А. Лазерный метод измерения толщины тонкого слоя жидкости на твердой поверхности с помощью ТК отклика // Письма в ЖТФ. 2001. - № 9. - С. 20-25.

8. Патент РФ № 2165071. Способ измерения толщины тонкого слояпрозрачной жидкости. Безуглый Б.А., Федорец А.А. — Бюл. № 10 // Изобретения. — 2001.

9. Патент РФ № 2178155. Способ измерения мощности лазерного пучка и энергии лазерного импульса. Безуглый Б.А., Федорец А.А.- Бюл. № 1 // Изобретения. — 2002.

10. Патент РФ № 2201587. Бесконтактный способ измерения вязкости. Безуглый Б.А., Федорец А.А. — Бюл. № 9. // Изобретения — 2003.

11. Ozkan М., Pisanic Т., Scheel J., Barlow С., Esener S., Bhatia S.N. Electro-optical platform for the manipulation of live cells. // Langmuir.- 2003. V. 19. - pp. 1532-1538.

12. Lehane C., Kwok H.S. Enhanced drilling using a dual-pulse Nd:YAGlaser // Appl. Phys. 2001. - A 73. - pp. 45-48.

13. Balanditi V.Yu., Niedrig R., Bostanjoglo O. Simulation of transformations of thin metal films heated by nanosecond laser pulse // J. Appl. Phys. 1995. - V. 77. - N. 1. - pp. 135-142.

14. Майоров B.C., Матросов М.П. Влияние ПАВ на гидродинамику лазерного легирования металлов // КЭ — 1989. — Т. 16. — № 4.- С. 806-810.

15. Chung F.K., Wei P.S. Mass, momentum and energy transport in a molten pool, when welding dissimiler metals // J. Heat Transfer. — 1999. V. 121. - pp. 451-461.

16. Wei P.S., Chung F.K. Unsteady Marangoni flow in a molten pool when welding dissimiler metals // Metall. Mater. Trans. — 2000. — V. 31B.- N. 6, pp. 1387-1403.

17. Рыкалин H.Н.г Красулин Ю.Л. Оценка энергетических параметров сварки металлов световым потоком лазера // Доклады Академии наук СССР. 1965. - Т. 163. - № 1. С. 87-90.

18. Софонов А.Н. Технологические процессы лазерной обработки материалов // Технологическое оборудование и материалы. — 1998.5.

19. Антонова Г.Ф., Гладуш Г.Г., Красюков А.Г., Косырев Ф.К., Родионов Н.Б. О механизме дистанционной резки металлов излучением С02-лазера // ТВТ. 2000. - Т. 38. - № 3. - С. 501506.

20. Bénard H. Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide // Rev. generales Sci. pures et appliquées. — 1900. — N 11. — pp. 1261-1271, 1309-1328.

21. Bénard H. Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide transportant de la chaleur par convection en regime permanent // Anns. Chim. Phys. 1901. - N. 23. - pp. 62-144.

22. Rayleigh Lord. On convection currents in a horizontal layer of fluid, when the higher temperature is on the under side // Phil. Mag. Ser.6.- 1916. V. 32. - N. 192. - pp. 529-546.

23. Pearson J.R.A. On convection cells induced by surface tension // J. Fluid Mech. 1958. - V. 4. - N. 5. - pp. 489-500.

24. Безуглый Б.А., Галашин E.A., Дудкин Г.Я. О фотоконденсации йода. // Письма в ЖЭТФ. 1975. - № 22(2). - с. 76-9.

25. Безуглый Б.А., Низовцев В.В. Капля, рожденная Солнцем // Химия и жизнь. 1977. - № 7. - С. 33-36.

26. Da Costa G., Calatrony J. Thermocapillary liquids as transient photographie receivers // Proceedings International Commission for Optics Conference. Madrid, 1978. - pp. 779-782.

27. Da Costa G., Calatrony J. Self-holograms of laser induced surface depression in heavy hydrocarbons 11 Appl. Opt. — 1978. — V. 17. — N. 15. pp. 2381-2385.

28. Авт. свидет. СССР № 1242764. Способ определения вязкости. Безуглый Б.А., Ланин С.Н., Низовцев В.В. Опубл. 07.07.86. — Бюл. № 25.

29. Безуглый Б.А., Тарасов O.A., Шепеленок C.B. Применение ТК эффекта для контроля плоскостности жидкой поверхности // Вестник Тюменского госуниверситета. — 1998. — т. 2. — С. 66-71.

30. Безуглый Б.А., Иванова H.A., Федорец A.A. Теоретическое и экспериментальное исследование фотоиндуцированной капиллярной конвекции. — Отчет о НИР депонированный в ВИНИТИ, № госрегистрации 02.200.1 06846, инв. № 01. 2001103608. 2001. - 31 с.

31. Патент РФ № 2165073. Способ контроля горизонтальности поверхности. Безуглый Б.А., Федорец A.A. — Бюл. № 10 // Изобретения. — 2001.

32. Безуглый Б.А. Капиллярная конвекция, управляемая тепловым действием света, и ее применение в способах регистрацииинформации // Дисканд-та физ.-мат. наук. — МГУ, Москва. —1983. 214 С.

33. Федорец A.A. ФТК эффект и его применение для измерения свойствжидкостей // Дисканд-та физ.-мат. наук. — ТюмГУ, Тюмень. —2002. 200 С.

34. Тарасов О.А. Экспериментальное исследование ТК конвекции, индуцированной лазерным излучением и ее практические применения // Дисканд-та физ.-мат. наук. — ТюмГУ, Тюмень.- 2002. 200 С.

35. Da Costa G., Calatrony J. Transient deformation of liquid surfaces by laser-induced thermocapillarity // Appl. Opt. 1979. - V. 18. - N. 2.- pp. 233-235.

36. Da Costa G. Real-time recording of light patterns in heavy hydrocarbons: a theoretical analysis // Appl. Optics. 1980. - V. 19. - N. 20.- pp. 3523-3528.

37. Da Costa G. Self-focusing of gaussian laser beam reflected from a thermocapillary liquid surface // Phys. Lett. — 1980. — V. 80A. — N. 4. pp. 320-322.

38. Da Costa G. Thermocapillary self-focusing of a laser beam: a theoretical analysis 11 Phys. Lett. 1980. - V. 80A - N. 4. - pp. 323-324.

39. Da Costa G. Competition between capillary and gravity forces in a viscous liquid film heated by a Gaussian laser beam // J. Physique. — 1982. V. 43. - N. 10. - pp. 1503-1508.

40. Da Costa G., Bentolila F., Ruiz E. Laser induced thermohydrodynamic effect in thin liquid membranes 11 Phys. Lett. — 1983. — V. 95 A. — N. 6. pp. 313-315.

41. Da Costa G., Escalona R. Time evolution of the caustics of a laser heated liquid film // Applied Optics. 1990. - V. 29. - N. 7. -pp. 1023-1033.

42. Гладуш Г.Г., Красицкая Л.С., Левченко Е.Б., Черняков А.Л. ТКК в жидкости под действием мощного лазерного излучения // КЭ. — 1982. Т. 9. - № 4. - С. 660-667.

43. Calatroni J., Da Costa G. Interferometric determination of the surface profile of a liquid heated by a laser beam // Optics commun. — 1982.- V. 42.-N. l.-pp 5-9.

44. Chan C., Mazumder J., Chen M.M. A two-dimensional transient model for convection in laser melted pool 11 Metall. Trans. — 1984. — V. 15A.- pp. 2175-2184.

45. Gied W.H., Wei X.-C., Wei S.-R. Effect of surface convection on stationary GTA weld zone // Welding Research Supplement. — 1984. — pp. 376-381.

46. Helmers H., Witte W. Holografic srudy of laser-induced liquid surface deformations 11 Optics Communications. — 1984. — V. 49. — N. l.-pp. 21-23.

47. Альварес-Суарес B.A., Рязанцев Ю.С. О ТК движении, вызванном локальным нагревом жидкости импульсом ультрафиолетового излучения // МЖГ 1986. - № 6. - С. 165-167.

48. Сейдгазов Р.Д., Сенаторов Ю.М. ТК механизм глубокого проплавления материалов лазерным излучением // КЭ — 1988. — Т. 15. № 3. - С. 622-624.

49. Низовцев В.В. Капиллярная конвекция в жидком слое при лазерном облучении // ИФЖ. 1988. - т. 55. - № 1. - С. 85-92.

50. Визнюк С.Ф., Суходолъский А.Т. О ТК самовоздействии лазерного излучения в тонких слоях поглощающей жидкости // КЭ — 1988. — Т. 15. № 4. - С. 767-770.

51. Низовцев В.В. Исследование стимулированной локальным облучением естественной конвекции в тонком слое испаряющейся жидкости // ПМТФ 1989. - № 1. - С. 138-145.

52. Viznyuk S.A., Rastopou S.F., Sukhodol'skii A.T. On thermocapillary aberrational transformation of laser beams // Optics Communications. 1989. - V. 71. - № 5. - pp. 239-243.

53. Гладуш Г.Г., Дробязко С.В., Лиханский В.В., Лобойко А.И., Сенаторов Ю.М. ТК конвекция при лазерном нагреве поверхности // КЭ 1998. Т. 25. - № 5. - С. 439-442.

54. Безуглый Б.А., Иванова Н.А. Явления переноса и безразмерные комплексы. // Вестник Тюменского госуниверситета. — 2000. — № 3. С. 47-60.

55. Безуглый Б.А., Иванова Н.А., Зуева А.Ю. ТК деформация тонкого слоя жидкости вызванная пучком лазера // ПМТФ. — 2001. — т. 3. № 42. - С. 130-134.

56. Bezuglyi В.А., Fedorets А.А., Ivanova N.A. Application of the photoin-duced capillary phenomena in liquid microgravity technologies // First Conference of the International Marangoni Association. — Giessen, Germany. 2001. - P. 116.

57. Безуглый Б.А., Федорец A.A., Тарасов О.А., Иванова Н.А., Зуева А.Ю. Фотоиндуцированная капиллярная конвекция — новое капиллярное явление. — Отчет по гранту РФФИ № 01-01-652-а. // URL: http://library.intra.ru. 2002.

58. Meier М. Numerical and experimental study of large steam-air bubbles injected in a water pool. A dissertation for the degree of Doctor of Technical Sciences. Winterthur (ZH), 1999. - P. 142.

59. James A.J., Lowengrub J. A surfactant-conserving volume-of-fluid method for interfacial flows with insoluble surfactant // J. of Comput. Physics. 2004. - N. 201. - pp. 685-722.

60. Wang F., Schultz W.W., Xu G., Ни .S.J., Kannatey-Asibu E., Hou W. Development of free surface tracking algorithms for fusion welding simulations. — P. 44. URL:// www-personal.engin.umich.edu/~schultz/Manuscripts/WangSchultzXu.pdf

61. Harlow F.H., Welch J.E. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface 11 The Physics of Fluids. 1965. - V. 8. - N. 12. - pp. 2182-2189.

62. Пухначев B.B. Движение вязкой жидкости со свободной границей. Учебное пособие. — Новосибирск. — 1989. — 96 С.

63. Зуева А.Ю., Аксенов А.Н. Моделирование ФТК деформации тонкого слоя жидкости // Сборник тезисов докладов: Тезисы ВНКСФ9. Т.1. Екатеринбург-Красноярск, 2003. — Изд-во АСФ России, — с. 383384.

64. Зуева А.Ю. Моделирование начальной стадии ФТК конвекциии // ПРОБЛЕМЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ: Труды 36-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2005. — с. 136-140.

65. Зуева А.Ю. Математическая модель термокапиллярной конвекции. // Под ред. В.Н. Кутрунова, Б.А. Безуглого. — Тюмень: Изд-во «Вектор Бук», 2006. — 48 с.

66. Зуева А.Ю. ФТК конвекция: этапы математического моделирования. // Математическое и информационное моделирование: сборник научных трудов. Вып. 7. Тюмень: Изд. "Вектор Бук". — 2005. — с. 143-153.