автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование начального этапа процесса роста нановискеров на активированной подложке

904616318

На правах рукописи

Северюхин Александр Валерьевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ НАЧАЛЬНОГО ЭТАПА ПРОЦЕССА РОСТА НАНОВИСКЕРОВ НА АКТИВИРОВАННОЙ ПОДЛОЖКЕ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

" 9 ДЕК 2010

Пермь-2010

004616318

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институт прикладной механики Уральского отделения РАН (ИПМ УрО РАН).

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Вахрушев Александр Васильевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Шардаков Игорь Николаевич

доктор физико-математических наук, Дубровский Владимир Германович

Ведущая организация:

Учреждение Российской академии наук Институт математики и механики Уральского отделения РАН

Защита состоится 28 декабря 2010 г. в 14— на заседании диссертационного совета Д212.188.08 при Пермском государственном техническом университете по адресу: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, аудитория 423 б.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Пермского государственного технического университета.

Автореферат разослан <«%» 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук,

Л.Н. Кротов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Нановискеры (НВ), характеризуются поперечным размером D (до 100 нм) и длиной L, на порядок и более превосходящей поперечный размер. Вискеры обладают механической прочностью в 100 и более раз превосходящей прочность больших образцов из того же материала. Зачастую нановискеры являются гетероструктурами.

«Пионером» в области разработки и создания гетроструктур является Нобелевский лауреат, академик Российской академии наук Ж. И. Алферов.

Р. Вагнер и У. Эллис в начале 60-х годов подтвердили важность ряда примесей для образования вискеров, они открыли механизм роста вискера по схеме «пар -жидкость - кристалл».

В начале 70-х годов Е. И. Гиваргизовым и А. А. Черновым в Институте кристаллографии были проведены детальные исследования кинетики роста систем вискеров на подложке.

В физико-техническом институте им. А. Ф. Иоффе научной группой под руководством профессора В. Г. Дубровского проводятся масштабные экспериментальные и теоретические исследования процессов образования и роста нановискеров, получено множество экспериментальных данных, связанных с их выращиванием, разработана теория роста нановискеров по механизму «пар - жидкость - кристалл».

На химическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова в лаборатории неорганического материаловедения, возглавляемой академиком Ю. Д. Третьяковым, разрабатывают новые методики роста нановискеров.

В настоящее время ведутся обширные исследования процессов формирования нановискеров. Проведение экспериментальных исследований зачастую связано с большими материальными затратами. Однако с помощью адекватных математических моделей можно прогнозировать свойства нановискеров, что позволит значительно уменьшить затраты на эксперимент.

В России и за рубежом ведутся обширные работы по разработке математических моделей описания процессов образования и роста нановискеров. Так, научная группа из Новосибирска под руководством академика И. Г. Неизвестных моделирует рост НВ Si на подложке Si(lll), используя метод Монте-Карло. Моделирование методом Монте-Карло дает хорошие результаты, однако, недостатком этого метода является большое время вычислений, и он не позволяет увидеть динамику ростового процесса. Квантовая механика, на данном этапе развития техники, не в состоянии просчитать системы с большим количеством атомов. Существует также ряд феноменологических моделей роста нановискеров. Поэтому прямое моделирование процессов роста нановискеров методами молекулярной динамики является весьма актуальным.

Объектом исследования являются процессы формирования и роста нановискеров.

Предметом исследования являются методы математического моделирования движения и взаимодействия атомов, программные комплексы для моделирования наноразмерных систем, численные алгоритмы расчета движения атомов и молекул.

Цель работы состоит в создании математической модели для описания начального этапа процесса формирования и роста нановискеров на активированной поверхности, изучении их свойств и структуры, оценке влияния параметров модели-

руемой системы на процесс роста и размеры нановискеров, сравнении результатов, полученных с применением разработанной математической модели, с экспериментальными данными и существующими теориями роста.

Достижение поставленной цели возможно посредством решения следующих задач:

- разработать математическую модель процесса образования и роста нановискеров;

- создать проблемно-ориентированный программный комплекс на основе численной методики решения вышеуказанной задачи, позволяющий производить расчеты физических характеристик системы для процесса формирования нановискеров, а также осуществлять анализ полученных результатов;

- провести вычислительные эксперименты по моделированию процессов формирования нановискеров при различных условиях и параметрах рассматриваемой системы, определить диапазон значений параметров системы, при которых наблюдается рост;

- определить влияние величины задаваемых параметров на рост нановискеров;

- числено исследовать процесс формирования нановискеров кремния на кремниевой подложке активированной золотом.

Методы исследования. В работе использованы методы математического моделирования, вычислительная математика и технологии объектно-ориентированного программирования. При разработке программного комплекса использованы языки программирования Pascal, tel, С++, среды программирования Borland Delphi 7, Borland С++ Builder 6.

О достоверности полученных результатов свидетельствует согласованность результатов моделирования с экспериментальными и теоретическими данными, а также результатами, полученными на основании других математических моделей.

На защиту выносятся:

- математическая модель описания процесса образования и роста нановискеров на активированной поверхности;

- проблемно-ориентированный программный комплекс для моделирования процессов формирования нановискеров, позволяющий производить расчеты физических характеристик системы для процесса формирования нановискеров;

- результаты проведенных вычислительных экспериментов по моделированию ростового процесса нановискеров на кремниевой подложке, активированной золотом;

- влияние размера капли катализатора, величины прикладываемой к атомам системы силы на скорость роста и размеры нановискера, в частности, диапазоны сил, прикладываемых к атомам системы, обеспечивающие устойчивый рост нановискеров.

Научная новизна результатов диссертационной работы, полученных лично автором, заключается в следующем:

- разработана математическая модель для описания процессов образования и роста нановискеров с помощью аппарата молекулярной динамики, в которой

учитывается компенсирующее влияние разности химических потенциалов различных фаз и диффузионного потока с боковой поверхности нановискера;

- показано, что атомы катализатора (золота) на кремниевой подложке образуют каплю, что способствует росту нановискера; вследствие диффузии атомов кремния в каплю золота образуется сплав Au-Si, а сама капля увеличивается в размерах; показано, что процесс и характер роста нановискеров зависит от ряда параметров системы: размера капли катализатора, величины прикладываемой к атомам системы силы;

- приложение сил к атомам моделируемой системы обеспечивает образование нановискеров и приводит к увеличению скорости их роста;

- впервые обнаружен эффект «закручивания» нановискера.

Личный вклад автора. Автором реализован проблемно-ориентированный программный комплекс, в том числе: подготовка начальных данных, расчетные блоки, система анализа результатов. Постановка задачи, вычислительные работы, анализ и интерпретация полученных данных выполнены автором.

Практическая значимость. Разработанная математическая модель и созданный на ее основе проблемно-ориентированный программный комплекс, а также проведенные комплексные исследования процессов образования и роста нановискеров дают возможность существенно сократить затраты на проведение экспериментов по определению феноменологических параметров. Результаты, полученные в данной работе, могут быть использованы при создании реальных образцов для микроэлектроники, атомно-силовой микроскопии и т. п.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих Всероссийских и Международных конференциях:

- Asian school-conference on physics of nanostructures and nanomaterials (ASCO-PNN-2010) (Владивосток, 2010);

- Всероссийских научных конференциях молодых ученых «КоМУ-2008» (Ижевск, 2008) и «КоМУ-2010» (Ижевск, 2010);

- второй Всероссийской научной конференции с международным Интернет-участием «От наноструктур, наноматериалов и нанотехнологий к Наноинду-стрии» (Ижевск, 2009);

- XII Межрегиональной конференции молодых ученых по физике полупроводниковых, диэлектрических и магнитных материалов «ПДММ-2009» (Владивосток, 2009);

- Всероссийских школах-конференциях молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь, 2009) и (Пермь, 2010);

- II Всероссийской конференции ММПСН-2009 «Многомасштабное моделирование процессов и структур в нанотехнологиях» (Москва, 2009);

-, конференциях Уральского отделения РАН «Актуальные проблемы математики, механики, информатики» (Екатеринбург, 2009) и (Ижевск, 2010).

В целом диссертационная работа доложена и обсуждена на семинарах кафедры «Математическое моделирование систем и процессов» ПГТУ (рук. д. ф.-м. н., профессор П. В. Трусов), на расширенном научном семинаре отдела «Механика и физи-

ко-химия гетерогенных сред» ИПМ УрО РАН (рук. д. т. н., профессор Ю. К. Шел-ковников), на научном семинаре ИПМ УрО РАН (рук. академик РАН А. М. Липа-нов).

Публикации. Основные научные результаты по теме диссертации опубликованы в 12 научных работах, из них 3 статьи (в том числе - две статьи в журналах из перечня ВАК), 9 материалов конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из списка обозначений, введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 125 страниц, среди них 73 рисунка и 5 таблиц, пронумерованных по главам. Список литературы содержит 110 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении к диссертационной работе на основании анализа обзора материалов по выращиванию нановискеров на активированной поверхности сформулирована актуальность исследования. Описаны существующие модели, характеризующие закономерности ростовых процессов. Определены цель и задачи исследования, сформулированы основные полученные результаты, представлены положения, выносимые на защиту. Изложена научная новизна диссертационной работы. Установлены научная значимость и практическая полезность исследования. Приведен список публикаций и докладов. Описана структура и объем диссертации.

В первой главе приведена постановка задачи образования и роста нановискеров. Процесс формирования нановискера на подложке кремния под каплей золота состоит из трех последовательных стадий:

1. Нанесение тонкой пленки катализатора (золото (Au)) на поверхность кремния

(Si).

2. Разогрев поверхности Si до температуры выше точки эвтектики, при которой возможно образование капель катализатора.

3. «Бомбардировка» капель катализатора атомами Si и образование под каплями золота нановискеров.

Рассмотрим математические модели каждой из указанных стадий процесса формирования HB.

На первой стадии процесса формирования HB атомная структура имеет вид, представленный на рисунке 1. Уравнения, описывающие рассматриваемую атомарную структуру, представляют собой систему дифференциальных уравнений, определяющей движение всех атомов наноструктуры:

m^Ft(t,r{t)),i^,2,..,N, (1)

'о =0, г, ('о) = гт, = Ц (/„) = Ч0, i=l,2,..,N, (2)

где т, — масса ¡'-го атома, N - число атомов в системе, г10 - начальный радиус-вектор /-го атома, г, - текущий радиус-вектор / -го атома, F, (',?(/)) - суммарная сила, действующая на / -ый атом. Выражение (2) задает начальные условия для рассматриваемой системы, где ц. и ц0 - текущая и начальная скорость / -го атома соответственно.

Силы ^ (;,?(/)) в уравнении (1) модели первой стадии процесса, определяются из соотношения:

/ = 1,2,...,Л, (3)

дп(0

где г= ,■••,/},}, - некоторая потенци-

альная функция, описывающая взаимодействие всех атомов системы.

Для решения рассматриваемой задачи потенциал взаимодействия системы может быть записан в виде:

= (4)

где - потенциал взаимодействия Ван-дер-Ваальса.

Ван-дер-Ваальсовое взаимодействие, рассчитываемое попарно между различными атомами системы, описывается с помощью потенциала Леннарда-Джонса:

Ж*стков такрииимие

Рис. 1. Расчетная схема первой стадии процесса (светлые атомы -подложка; темные - атомы золота)

V2

V ГЧ

-2

■\6

г.

V ч У

£а =

; 'пап

где е, - величина потенциальной ямы энергии взаимодействия Ван-дер-Ваальса для 1-го атома, е) - величина потенциальной ямы энергии взаимодействия Ван-дер-Ваальса для ] -го атома, гта - расстояние при котором потенциал Леннарда-Джонсона достигает минимального значения еч.

Вторая стадия - нагрев подложки до температуры выше точки эвтектики («800 К), при которой возможно образование капель жидкого раствора материала и катализатора, поскольку к системе постоянно подводится тепло. В результате нагрева системы на кремниевой подложке образуется капля золота (рис. 2).

Математическая модель второй стадии процесса выглядит аналогично модели первой стадии: включает в себя уравнения движения (1) с начальными условиями (2); но к ним добавляется условие поддержания постоянной температуры -алгоритм термостата. Одним из самых простых способов поддержания постоянной температуры системы является масштабирование скоростей.

В модели последней (третьей) стадии описывается процесс осаждения атомов кремния на подложку с золотом при фиксированном значении температуры (рис. 3). В экспериментах на этапе осаждения атомов кремния происходит перестроение структуру (рис. 4), и на кремниевой подложке с продольным размером / и высотой И под каплей катализатора - золота образуется вискер диаметром 2Я и высотой Ь.

Рис. 2. Капля золота на подложке (модель второй стадии процесса (светлые атомы - подложка; темные ' - золото))

Ъ.Г^иГЯх.Г--/

Рис. 3. Осаждение кремния (модель третьей стадии процесса (светлые атомы - кремний; темные - золото))

Частицы осаждаемого материала попадают в каплю двумя способами:

- непосредственно из пара или молекулярного пучка;

- посредством диффузии с боковой поверхности вискера.

Диффузионный поток с боковой поверхности, в свою очередь, состоит из:

- частиц в результате диффузионного движения по поверхности подложки приходящих на боковую поверхность нановискера;

атомов проникающих непосредственно с боковых стенок кристалла.

Попав в каплю катализатора, осаждаемые частицы сначала растворяются в ней, а затем кристаллизуются на поверхности под каплей.

Рассмотрим подробно модель третьей стадии процесса формирования нановискеров. Эта стадия также будет описываться уравнением движения (1) с начальными условиями (2), и использованием термостата, но иной будет суммарная сила, действующая на каждый отдельно взятый атом системы.

В физических моделях процесса роста нановискеров, как правило, вводят химические потенциалы веществ, входящих в рассматриваемую систему. Однако в аппарате молекулярной динамики невозможно непосредственно учесть химические взаимодействия. Это можно сделать только в рамках квантово-химического моделирования, что в настоящий момент не представляется возможным. Поэтому, для того, чтобы учесть влияние факторов химического взаимодействия вводится некоторая дополнительная сила, действующая на каждый атом системы (Ф,), за исключением атомов подложки (рис. 5), где Ф* = 0. Тогда результирующая внешняя сила, действующая на рассматриваемый атом, вычисляется как:

Рис. 4. Изображение моделируемой системы

диШ, а

дРХО

где и (г) - потенциальная функция;

Ф.

(7)

вектор

Ф,

дополнительная си-

координат I -го атома, ла.

Остановимся подробнее на начальных условиях, задаваемых выражением (2). Для атомов подложки начальные скорости будут равны нулю. Значения поля скоростей в начальный момент времени для атомов золота и кремния выбирались в соответствии с распределением Максвелла.

Рис. 5. Схема, иллюстрирующая дополнительные силы

При моделировании ростового процесса необходимо также задать граничные условия. Использование периодических граничных условий позволяет существенно снизить затраты на вычисления, а также дает возможность моделировать поведение большей системы, так что даже с небольшим числом молекул можно исследовать свойства термодинамической системы.

В качестве алгоритма численного интегрирования при решении задачи формирования нановискеров использовался скоростной алгоритм Верле.

Во второй главе диссертационной работы представлено описание проблемно-ориентированного программного комплекса для моделирования процессов формирования нановискеров на активированной поверхности. На рисунке 6 изображена структура программного комплекса. Программно-ориентированный комплекс представляет собой многоступенчатую структуру и состоит из блоков и модулей. Решение поставленной задачи происходит последовательно от блока к блоку, как показано на рисунке 6.

Рис. 6. Структура программного комплекса: 1 - вычислительный модуль, 2 - модуль анализа и визуализации

В блоке подготовки формируются входные файлы для вычислительного модуля и определяются начальные и граничные условия. Вычислительный модуль включает в себя блоки: модель описания формирование подложки кремния, модель описания процесса формирование капли катализатора золота на подложке кремния, модель описания процесса «бомбардировки» атомами кремния капли золота, модель описания роста нановискера. Этот модуль предназначен для моделирования наносистемы и формирования результатов. В модуле анализа и визуализации производится анализ полученных данных: вычисление физических характеристик, построение зависимостей, а также визуализация полученных результатов.

Вычисления в проблемно-ориентированном программном комплексе осуществляются в программе NAMD - широко распространенной программой для молеку-лярно-динамического моделирования.

Для визуализации полученных результатов был использован программный пакет VMD. Смоделированная в программе NAMD система может быть просмотрена и изменена с помощью VMD. Оценивать состояние и свойства моделируемых систем в VMD можно при помощи скриптов, написанных на языке tel.

Основной задачей блока анализа результатов является определение свойств и параметров моделируемых систем. С помощью данного блока можно также решать задачи оценки влияния условий роста на процесс формирования нановискеров, определение диапазона значений сил, прикладываемых к атомам системы, обеспечивающего устойчивый рост вискера, вычисление диаметра и высоты нановискеров.

В работе проведено исследование математической модели на устойчивость и сходимость, которое также представлено в главе 2. Это исследование показало хорошую согласованность результатов моделирования с экспериментальными данными.

В третьей главе диссертации приведены результаты моделирования начального этапа роста нановискеров на кремниевой подложке активированной золотом. Процесс формирования нановискеров состоит из нескольких этапов. На первом этапе на поверхность кремниевой подложки наносится тонкий слой активного катализатора, в нашем случае золота (Аи). Затем вся система разогревается до температуры выше точки эвтектики, при которой возможно образование капель катализатора. Далее производится «бомбардировка» капель катализатора атомами кремния (Si), которые, в свою очередь, растворяются в капле. Вследствие перенасыщения раствора Au-Si атомы кремния под каплей начинаю кристаллизоваться, в результате чего под каплями золота происходит образование нановискеров.

Моделирование первых двух стадий процесса формирования вискера при температуре 800 К показало, что на поверхности подложки образуются капли золота. Это согласуется с экспериментальными данными. В модели третьей стадии процесса формирования вискера капля золота «бомбардируется» атомами кремния, при этом, в отличие от предыдущей стадии, наблюдается диффузия атомов кремния в каплю золота (рис. 7). Вследствие диффузии под каплей образуется раствор Au-Si, являющийся основой для роста нановискеров. Диаметр капли вследствие диффузии увеличивается. Аналогичный эффект наблюдается в экспериментах.

Для того чтобы учесть реальные физико-химические процессы, имеющие место в процессе формирования нановискеров, а также для описания увеличения скорости ростового процесса, вводится дополнительная сила, действующая на каждый отдельный атом рассматриваемой системы. Для объяснения природы этой силы обратимся к основным феноменологическим моделям.

В модели Гиваргизова-Чернова скорость роста вискера можно представить в виде:

Рис. 7. Диффузия атомов кремния в каплю золота

^ = (8) ш

где К - кинетический коэффициент кристаллизации, Д//у - эффективная разность химических потенциалов в газообразной и твердой фазе. Проинтегрировав уравнение движения, получим:

От, гД (',?('))

са * т,

Поскольку в модели Гиваргизова-Чернова считается, что рост вискера осуществляется посредством прямого попадания атомов осаждаемого материала в каплю, в уравнении движения можно рассматривать лишь составляющую силы вдоль оси г.

Так для направления 2 имеем —-= М-й?/,/ = 1,2,...,М. Так как атомы золота нахо-

<к >1п,

дятся на вершине вискера и Ф* прикладьтается к ним, тогда получим:

= Ц+ + (10)

' т, т Д * дг ) / 1 &

Основное уравнение элементарной модели диффузионного роста выглядит как:

У-К 2 Сг,

П.

яЯ'+^Ь). (11)

о, л

Первое слагаемое в правой части учитывает адсорбцию на поверхности капли, второе - рост неактивированной поверхности, третье - десорбцию из капли и четвертое -диффузию атомов с боковой поверхности.

Поток к основанию вискера равен:

(12)

У-У / \

где е = —, V - скорость осаждения, (Л) - средний радиус капель, Л^ - их поверхностная плотность, Я - радиус вискера, О, - объем атома.

Поскольку для нановискеров с малым диаметром в диффузионной модели наибольший вклад в процесс роста вносит диффузионный поток, то можно не учитывать явления адсорбции и десорбции, а также рост на неактивированной поверхности в силу его отсутствия в данном временном диапазоне.

К осавденным атомам кремния прикладывается сила в плоскости х-у в направлении к оси г, т.е. с подложки к основанию вискера. А так как поток к основанию вискера определяется формулой (12), то для ^ получим:

^ГГу. (п)

Поскольку на данный момент не представляется возможным просчитать методами молекулярной динами процесс длительностью около двух часов (а именно столько в среднем выращивают нановискеры на практике), для сокращения времени

расчетов была использована теория подобия. На основании первой и второй теорем подобия были получены следующие критерии подобия:

FRN FLN

К, =-,71 г =—з ="

Q rnV

mV,

(14)

n4=mV/(Ft)

0,01 0.015 0.02 0. Критерий подобия ——Линейный (n4=mV/(Ft))

Рис. 8. Зависимость скорости роста от критерия подобия

Е ' * Е ' ' ^ягДГ 4 Л где ^ - средняя сила, действующая на каждый атом системы; Я - радиус вискера; N - число атомов; Е - энергия системы; Ь - высота вискера; т - масса атома; Рху - сила, действующая на осажденные атомы кремния; С25 - объем атома; V - скорость осаждения атомов кремния; У1 - скорость роста вискера; / - время выращивания.

Зависимости скорости роста от критерия подобия 71ц представлены на рисунке 8. Полученные значения хорошо аппроксимируются линейной функцией, величина достоверности аппроксимации составляет 0,9946. Линейный вид аппроксимирующей кривой говорит о корректности принятого допущения.

Теория подобия также применялась для определения порядка величины прикладываемой к атомам системы силы. Так сила, действующая на осажденные атомы кремния, должна составлять от долей до нескольких единиц ккал/(моль*А), в то время как сила, действующая на атомы золота, - от нескольких единиц, до нескольких десятков ккал/(моль*А).

В четвертой главе данной работы моделируется влияние воздействия различных значений сил, прикладываемых к атомам системы, на свойства нановискеров. При малом диаметре капли и малых значениях величины диффузионного потока с боковой поверхности большого роста вискера не наблюдается (рис. 9).

При некоторых значениях прикладываемой к атомам системы силы наблюдается «разрушение» системы (рис. 10). Система становится неустойчивой в случае, если сила взаимодействия атомов оказывается меньше величины прикладываемой силы.

Нановискеры стабильно растут лишь в некотором диапазоне значений прикладываемой к атомам системы силы. При этом на вершине вискера вследствие диффузии образуется смесь золота и кремния (рис. 11), что согласуется с экспериментальными данными.

При прекращении бомбардировки системы атомами кремния поток атомов в каплю уменьшается, и изменение высоты вискера

Рис. 9. Моделируемая система в отсутствие диффузионного потока

Рис. 10. Разрушение системы

Рис. 11. Смоделированный вискер становится незначительным. Таким образом, уменьшается пересыщение раствора

под каплей и диффузионный поток с боковой поверхности кристалла. Поэтому на данном этапе моделирования можно «отключить» дополнительно введенные силы. После этого полученная система релаксирует. В результате система стабилизируется, высота и радиус нановискера меняются незначительно (рис. 12).

■ Ь(Фху=8, Фг=20) h(®xy=10, Фг=10) оь(фху=10, ®z=30) Ж h(®xy=20, Фг=20> ♦ И(Фху=8, Фг=10)

'«■Я

ю тп.„- ...

■ h(®xy=8, Фг=20) Ж h(®xy=20, Фг=20)

■ h(®xy=10, Фг=10) о И(Фху=10, ®z=30) ♦ Ь(Фху=8, Фг=10)

а) б)

Рис. 12. Изменение высоты (а) и диаметра (б) нановискеров в ходе релаксации при различных значениях Ф

В численных экспериментах в ряде случаев наблюдался эффект закручивания нановискеров. Возникновение этого явления можно объяснить перестроением структуры вискера (рис. 13), что качественно согласуется с экспериментальными данными. В ряде случаев после закручивания расплав Аи-81 падает с вершины вискера, вследствие чего на подложке образуются, так называемые кремниевые наноо-стрия. На рисунке 14 представлено кремниевое наноострие, полученное в ходе моделирования (в правом углу - в эксперименте [Гиваргизов Е.И. Природа, 2003, №.11]).

Рис. 13. Изменение структуры вискера

Рис. 14. Кремниевое наноострие

В своей работе Schubert L., Werner P., Zakharov N.D. определили зависимость высоты нановискеров от их диаметра как L=const/D. В ходе моделирования ростового процесса были получены результаты, представленные на рисунке 15. Видно, что результаты моделирования хорошо аппроксимируются данной кривой.

Из экспериментов известно, что зачастую нановискеры содержат области с различной кристаллографической структурой, и в большинстве случаев имеет место случайно-периодическое изменение структуры. На рисунке 16 представлен вискер с участками гексагональной и кубической структуры.

Для оценки внутреннего строения нановискера, полученных в ходе моделирования, была построена парная корреляционная функция.

Vn(r)

4ятArN

где «(/-) - среднее число частиц, на расстояниях г,...,г + Аг от данной частицы; V -объем рассматриваемой системы; N - общее число частиц.

Зависимость высоты вискера от его диаметра

Рис. 15. Зависимость высоты вискера от диа- Рис. 16. Изображение участков ОаАэ метра вискеров [В.Г. Дубровский]

График парной корреляционной функции, представлен на рисунке 17. В работе Дж. Займана «Модели беспорядка. Теоретическая физика однородно неупорядоченных систем» представлена радиальная функция распределения для аморфного и кристаллического кремния (см. рис. 18).

У

— 1 \ \ У

1 ИУ

Рис. 17. Оценка кристаллографической структуры вискера

Рис. 18. Радиальная функция распределения для аморфного и кристаллического

Сравнивая графики 17 и 18 можно сделать вывод, что кристаллографическая структура моделируемых нановискеров не однородна, что полностью согласуется с экспериментальными данными.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработана математическая модель для описания процессов образования и роста нановискеров методами молекулярной динамики, описывающая начальный этап роста вискеров на активированной поверхности. Представленная модель учитывает влияние разности химических потенциалов различных фаз вещества, кинетического коэффициента кристаллизации, а также величины диффузионного потока осажденных атомов с поверхности подложки в вискер.

2. Создан проблемно-ориентированный программный комплекс, включающий в себя блок подготовки начальных данных, в котором определяются начальные и граничные условия моделирования и формирующий входные файлы; вычислительный модуль, который предназначен для моделирования наносистемы и формирования результатов; модуль анализа и визуализации. Программный комплекс позволяет проводить расчеты физических и термодинамических характеристик системы для процесса формирования вискеров, а также осуществлять анализ структуры, свойств, характеристик вискеров, визуализацию полученных резуль-

14

татов, рассчитывать основные параметры процессов формирования нановиске-ров. При помощи данного программного комплекса были проведены тестовые расчеты, которые показали хорошее соответствие экспериментальным данным; исследованы устойчивость, точность и сходимость численного решения.

3. Проведены комплексные численные исследования, которые показали возможность применения метода молекулярной динамики для моделирования начального этапа роста нановискеров. Определен диапазон значений прикладываемых к атомам системы сил. Сила, действующая на осажденные атомы кремния, должна составлять от долей до нескольких единиц ккал/(моль*А). Прикладываемая к атомам золота сила будет находиться в пределах от нескольких единиц до нескольких десятков ккал/(моль*А). Результаты моделирования показали хорошую согласованность с экспериментальными данными. Так, зависимость диаметра вискера от его радиуса хорошо аппроксимируется кривой L = const/D как для экспериментальных данных, так и для результатов моделирования. Кристаллографическая структура полученных нановискеров не однородна.

4. Исследовано влияние величины силы, прикладываемой к атомам системы, на форму и размеры нановискера. При малом диаметре капли катализатора диффузионный поток вносит значительный вклад в процесс формирования нановискеров. При отсутствии потока атомов с боковой поверхности кристалла роста нановискера не наблюдается.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Северюхин A.B. Моделирование процесса роста нановискеров Si на поверхности Si(lll) // Сборник тезисов докл. VII Конференции молодых ученых «КоМУ-2008». Ижевск: ФТИ УрО РАН, УдГУ, ИжГТУ, 2008. с.68.

2. Северюхин A.B., Вахрушев A.B. Моделирование процесса роста нановискеров Si-Au на поверхности Si // Сборник статей конференции «Актуальные проблемы математики, механики, информатики». Екатеринбург : УрО РАН, 2009. с.79.

3. Северюхин A.B. Моделирование процесса роста нановискеров Si-Au на поверхности Si // От наноструктур, наноматериалов и нанотехнологий к наноиндустрии: тезисы докл. II Всерос. конф. с межцунар. Интернет-участием. Ижевск : Изд-во ИжГТУ, 2009. с.102.

4. Вахрушев A.B., Северюхин. A.B., Северюхина О.Ю. Моделирование процесса роста гетероструктур на подложке Si // II Всероссийская конференция «Многомасштабное моделирование процессов и структур в нанотехнологиях». Сборник тезисов докладов. М.: МИФИ, 2009. с.377.

5. Северюхин A.B. Моделирование процесса роста нановискеров Si-Au на поверхности Si // XII Межрегиональная конференция молодых ученых по физике полупроводниковых, диэлектрических и магнитных материалов: сборник трудов. Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2009. с.ЗЗ.

6. Северюхин A.B., Вахрушев A.B. Моделирование процесса роста нановискеров Si-Au на поверхности Si // Тезисы докладов XVIII Всероссийской школы-конференции молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках». Пермь: Изд-во ПГТУ, 2009. с.87.

7. Вахрушев A.B., Северюхин A.B., Северюхина О.Ю. Моделирование начального этапа роста нановискеров Si-Aii на поверхности Si // Химическая физика и мезоскопия. Т.12, №. 1.2010. с.24-35.

8. Северюхин A.B. Математическое моделирование роста нановискеров на активированной поверхности // Сборник статей конференции «Актуальные проблемы математики, механики, информатики». Ижевск : ИПМ УрО РАН, 2010. с.129.

9. Северюхин A.B. Моделирование процесса формирования нановискеров Si-Au на кремневой подложке, активированной золотом // Сборник тезисов докл. VIII Конференции молодых ученых «КоМУ-2010». Ижевск: ФТИ УрО РАН, УдГУ, 2010. с.92.

10.Вахрушев A.B., Северюхина О.Ю., Северюхин A.B. Моделирование процесса формирования гетерогенных наноструктур на поверхности крем-ния//Химическая физика и мезоскопия. Т.12, №.2.2010. с.159-165.

11. Северюхин A.B. Моделирование начального этапа роста нановискеров // Asian school-conference on physics of nanostructures and nanomaterials: Proceedings. Vladivostok : IACP FEB RAS, 2010. p.175.

12.Северюхин A.B. Моделирование процесса роста нановискеров Si-Au на кремниевой подложке, активированной золотом // Тезисы докл. XIX Всероссийской шко-лы-конф. молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках». Пермь : Изд-во ПГТУ, 2010. с.91.

Подписано в печать 23.11.2010. Бумага офсетная. Формат 60x90/16. Усл. печ. л. 1,00. Тираж 100 экз.

Отпечатано в ИПМ УрО РАН 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34

ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ ОБРАЗОВАНИЯ И РОСТА НАНОВИСКЕРОВ.

1.1. Математическая модель.

1.2. Схемы численного моделирования.

1.3. Вычисление термодинамических параметров моделируемой системы

1.3.1. Термостаты.

1.3.2. Баростаты.

Выводы по главе 1.

ГЛАВА 2. ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ

ПРОЦЕССА РОСТА НАНОВИСКЕРОВ 81-Аи.

2.1. Структура программного комплекса.л.

2~2^"Бл6к подготовки начальных данных.

2.3. Вычислительный модуль.

2.4. Модули визуализации и анализа результатов.

2.5. Тестовые расчеты.

2.6. Анализ устойчивости, точности и сходимости расчетов.

Выводы по главе 2.

ГЛАВА 3. НАЧАЛЬНЫЙ ЭТАП МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ НАНОВИСКЕРОВ НА КРЕМНИЕВОЙ ПОДЛОЖКЕ.

3.1. Постановка задачи.

Актуальность темы.

Нитевидные нанокристаллы, или нановискеры (НВ), характеризуются поперечным размером Б (до 100 нм) и длиной Ь, на порядок и более превосходящей поперечный размер. Исследование свойств нановискеров показало, что их свойства связаны с большим отношением длины кристалла к его диаметру. Они обладают необычайно высокой механической прочностью, в сто и даже тысячу раз превосходящей прочность массивных образцов из того же материала и сравнимой с теоретически рассчитываемыми значениями [98].

Нановискеры имеют большие перспективы применения [48, 55, 56, 91] в микроэлектронных, аналитических, биомедицинских приборах, электронных эмиттерах и микрогазоанализаторах [33, 66]. На их основе можно создавать полевые транзисторы [103], светоизлучающие устройства (рисунок 1), интегральные схемы, различные виды биосенсоров, наноустройства.

Рисунок 1 - Катодолюминесцентные источники света

Разнообразие применений вертикальных одномерных наноструктур (нановискеров) объясняется их высокой прочностью уникальной кристаллографической структурой и совершенством ростовых технологий. В процессе формирования нановискеров, изменяя состав, плотность, длину, диаметр и внешние условия, можно варьировать их свойства [49, 51, 80, 109]. На данный момент нановискеры уже используют в качестве зондов в атомно-силовой микроскопии, в сенсорах и чипах для обнаружения биологических веществ [21, 59, 95, 96, 110].

Производство ионных проводников, катодных материалов, твердофазных электролитов, катализаторов, а может и матриц для захоронения радиоактивных отходов, - вот лишь некоторые из возможных сфер применения нитевидных кристаллов нового типа, методика роста которых недавно была разработана на химическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова в лаборатории неорганического материаловедения, возглавляемой академиком Ю. Д. Третьяковым. Полученным нитевидным кристаллам, кроме прочности и гибкости, унаследованной от своих предшественников, прочат уникальные физические свойства, в частности, одномерную суперионную проводимость. Она обеспечивается перемещением ионов определенного типа по структурных туннелям, которые являются характерной особенностью кристаллического строения нановискеров [21].,

Нановискеры полупроводниковых соединений представляют большой интерес с точки зрения формирования вертикальных одномерных наноструктур. Также перспективными являются применения массивов нановискеров в наноэлектронике, нанофотонике и наносенсорах [93]. Поэтому фундаментальные исследования процессов формирования вертикальных одномерных наноструктур весьма актуальны.

Впервые нановискеры диаметром в несколько микрон были получены во второй половине XX века [108]. Они были выращены по механизму «пар-жидкость-кристалл» [62, 82, 107] из паров ЭЮЦ и Нг на кремниевой поверхности, активированной золотом. Это открытие проложило путь к управляемому выращиванию нановискеров: затравив отдельные точки подложки капельками жидкой фазы, стало возможным как вырастить на этих точках нановискеры, так и целенаправленно изучать детали их роста, наблюдать и исследовать кинетику кристаллизации и т.д. В частности, выбрав подходящую кристаллографическую ориентацию подложки - наиболее плотно упакованную грань для данного типа материала, - можно обеспечить рост нановискера в перпендикулярном ей направлении. При большом количестве капелек растет «лес» из кристаллических нановискеров, перпендикулярных подложке (рисунок 2).

Рисунок 2 - Нановискеры кремния (снимок в растровом электронном микроскопе, угол падения сканирующего луча 30°) [7]

Полусферические образования, видные на вершинах нановискеров, - это закристаллизовавшиеся после завершения кристаллизации капельки жидкого сплава, состав которых определяется фазовой диаграммой кристаллизуемого вещества (в данном случае кремния) и металла-инициатора роста нановискеров (например, золота) [7].

Способы выращивания нановискеров можно разделить на две группы. К первой группе относятся технологии, в которых полупроводниковый материал осаждается из газовой фазы, например химическое газотранспортное осаждение [57, 58, 60, 70, 72]. Вторая группа включает методы, в которых материал осаждается из пучка частиц в высоковакуумных и сверхвысоковакуумных условиях, например, магнетронное напыление и молекулярно-пучковая эпитаксия [34, 64, 101, 104]. Установка для молекулярно-пучковой эпитаксии представлена на рисунке 3.

Рисунок 3 - Установка для молекулярно-пучковой эпитаксии

Зачастую нановискеры являются гетероструктурами. «Пионером» в области разработки и создания гетроструктур является Нобелевский лауреат, академик Российской академии наук Ж. И. Алферов.

Р. Вагнер и У. Эллис в начале 60-х годов подтвердили важность ряда примесей для образования вискеров, они открыли механизм роста вискера по схеме «пар - жидкость - кристалл». В начале 70-х годов Е. И. Гиваргизовым и А. А. Черновым в Институте кристаллографии были проведены детальные исследования кинетики роста систем вискеров на подложке.

Существует несколько моделей роста нановискеров. Наибольшим признанием в настоящее время пользуется так называемая модель «ПЖК» (по начальным буквам слов, обозначающим последовательные фазы, проходимые молекулами вещества в процессе роста кристаллов: пар—жидкость-кристалл) [14, 32, 65]. Физическая природа начальной фазы зарождения нановискера, процесса роста и его остановки еще не поняты до конца, однако практическая сторона выращивания нановискеров различных веществ в большинстве случаев успешно решена. Нановискеры могут расти в вакууме, газе, из раствора и в растворе. Материал для роста может поступать либо непосредственно на поверхность растущего кристалла из окружающей среды, либо со стороны основания, находящегося на подложке. Рост происходит как с основания, так и с вершины нановискера.

Большое количество работ по модели «пар-жидкость-кристалл» было опубликовано в начале 90-х годов прошлого века. К этому времени относятся и работы, выполненные в центральной исследовательской лаборатории фирмы Хитачи. В этих работах говорится о том, что в процессе эпитаксии из металло-органических соединений [76, 81] при загрязнении подложки атомами золота (в субмонослойных количествах) вместо плёнки GaAs или InAs, вырастает лес нановискеров диаметром от 15 до 65 нм в случае с GaAs и диаметром 10 нм для InAs.

В 1997 году А. Моралес и Ч. Либер (факультеты химии и биохимии Гарвардского университета, Кэмбридж, США) [83] для создания нанопроволок золота предложили использовать лазерную абляцию. Её суть в том, что процесс абляции идёт через четвёртое состояние вещества - плазму: при надлежащем выборе длины волны и мощности лазерного импульса над мишенью возникает плазменный султан, который и является источником нанокластеров из атомов мишени. Мишень в этом случае может состоять из любых элементов. Так, в [83] с использованием абляции мишени Sio,9Fe0.i (нагретой до 1473 К и находяо щейся в проточной атмосфере аргона: Р=500 Topp, расход 0,003 м /с) были синтезированы проволочки диаметром от 3 до 20 нм (в среднем диаметр 10 нм) и длиной свыше 1 micm (иногда >30 мкм). ПЭМ с высоким "разрешением показала, что проволоки представляют собой монокристаллический кремний, покрытый диоксидом (dSl0 = 2-3 нм); ось проволоки совпадает с кристаллографическим направлением <111>. Механизм синтеза нанопроволок по [83] выглядит следующим образом. Под действием лазерного импульса возникает плотный горячий пар из Si и Fe. Этот пар, охлаждаясь за счёт столкновений с атомами буферного газа - аргона, конденсируется в жидкую нанокаплю сплава Si-Fe. Как только сплав пересытится (или переохладится), из него начинает расти на-нопроволока и растёт до тех пор, пока имеется жидкая капля и существует приток атомов кремния из пара в неё. Рост заканчивается, когда проводок с каплей на конце покидает горячую зону печи и падает на холодильник, где капля затвердевает в кристалл FeSi2. Почти каждую из перечисленных стадий авторы [83] сумели подтвердить экспериментально. Так, почти каждый нанопроводок на одном кончике имел сферическое образование, которое при исследовании оказалось нанокристалликом с межплоскостным расстоянием 0,51 нм, в точности совпадающим с расстоянием между плоскостями {100} в кристалле (beta)-FeSÍ2. Вместе с тем в самом проводе железо отсутствует (т.е. его там меньше предела чувствительности используемого метода ~1%). Рост проволок наблюдался только при Т>1423 К, немного ниже эвтектической линии (Тэвт =1480 К) в системе Si-FeSi. Интересно, что для формирования, нанопроволок подходит не только железо; но и золото, и никель [83].

Таким образом, фабрика по изготовлению почти любых нанопроволок состоит из печки с проточным реактором пониженного давления, достаточно мощного лазера и справочника по фазовым диаграммам.

В физико-техническом институте им. А. Ф. Иоффе научной группой под руководством профессора В. Г. Дубровского проводятся масштабные экспериментальные и теоретические исследования процессов образования и роста на-новискеров, получено множество экспериментальных данных, связанных с их выращиванием, разработана теория роста нановискеров по механизму «пар -жидкость — кристалл» [13,38, 63].

Научная группа из Новосибирска [84-86] под руководством академика И. Г. Неизвестных моделирует рост нановискеров, Эг на подложке 81(111), используя метод Монте-Карло. " . , ■

Для объяснения закономерностей ростовых процессов^ пользуются; в основном, тремя феноменологическими' моделями: моделью Риваргизова-Чернова [8, 39], моделью Кащиева и элементарной моделью диффузионного роста НВ. Данные: модели включают ряд феноменологических параметров, для определения которых необходимо проведение сложных и< дорогостоящих экст периментов. Именно поэтому задача исследования формирования и роста нановискеров методами математического моделирования, построенными на прямом анализе атомарной структуры, является весьма актуальной.

В модели Еиваргизова-Чернова считается, что рост нановискера происходит вследствие прямого г попадания частиц на поверхность капли и>'дальнейшей. кристаллизации пересыщенного раствора катализатора- на; поверхности подложки. Скорость роста кристалла- в данной модели пропорциональна квадрату эффективного пересыщения- пара с учетом размерного эффекта Гиббса— Томсона, увеличивающего- равновесный химический; потенциал пара над искривленной ; поверхностью кристалла. Считая кристалл цилиндром радиуса Я, равного радиусу капли^ для скорости роста ^ = получаем:

А//0 - —"12 Я

Здесь А//0 есть разность химических потенциалов в паре и в объемной кристаллической фазе в единицах кТ, К — пока неизвестный коэффициент кристаллизации. Величина размерности длины учитывающая эффект Гиб-бса-Томсона, равна

2)

0 кГ ■

В формуле (2) есть объем атома в кристаллической фазе, Т — ростовая температура поверхности, предполагаемая равной температуре нановискера и капли на его вершине и у5и - поверхностная энергия на границе кристалл-пар. Для ограненного кристалла, например, в форме правильного многоугольника, все рассуждения остаются в силе, если за Я принимать радиус окружности, вписанной в многоугольник.

Согласно (1), скорость роста и длина, нановискера <Ь = У^ возрастают с увеличением радиуса капли, причем зависимость от 1/Я должна быть линейной: з) кТЯ У

Строя экспериментальные графики = /(}/&) и экстраполируя получившуюся прямую в область малых и больших радиусов, можно получить значения кинетического коэффициента кристаллизации К и пересыщения пара А//0 (при известном значении поверхностной энергии у8Ц ), или, наоборот, значение узи при известном А[8, 9, 19]. Кроме того, можно определить значение минимального размера капли Ятт, при котором скорость роста обращается в ноль. Как известно скорость роста нановискеров зависит от диаметра капли катализатора роста - скорость тем меньше, чем меньше диаметр капли. Эти зависимости объясняются эффектом Гиббса-Томсона. Он состоит в том, что равновесное давление пара над искривленной поверхностью выше, чем над плоской. При очень малом радиусе капли скорость роста обращается в нуль, т.е. существует, критический диаметр, ниже которого - при данном общем пересыщении среды - нитевидные кристаллы вообще не растут [7]. *

В модели Кащиева учитывает другой размерный эффект. Этот эффект связан с переходом от моноцентрического к полицентрическому зарождению при увеличении радиуса нановискера [74, 75, 90]. Его суть в следующем. Рассмотрим послойный рост кристаллической грани радиуса Я в стационарных условиях, когда интенсивность нуклеации двумерных зародышей / и скорость их латерального роста и = с1г/Ж, (г — радиус зародыша) постоянны во времени. Будем также считать, что и не зависит от г. В общем случае скорость нормального роста кристалла Г£ = с1Ь/ск зависит от указанных трех величин, Уь -Уь{1,о,К). Время, необходимое зародышу для заращивания всей грани есть Я/и, а время между двумя последовательными процессами рождения зародышей на грани равно \/{тг Д2/) . Отношение двух времен дает безразмерный параметр.

А-^. , (4) и *

При малом размере грани образовавшийся зародыш успевает зарастить всю грань до момента образования следующего зародыша, следовательно, осуществляется режим одноцентрического зарождения. Скорость нормального роста грани в данном случае равна 7гЯг1к (к — высота монослоя) и не зависит от и. В случае большого размера грани рост идет по механизму полицентрического зарождения, когда на поверхности образуется много зародышей и сплошной слой формируется за счет их слияния. Скорость вертикального роста равна к^7ги21/зУ и не зависит от Я. Простая интерполяционную формула для завиг симости У1[1,и,К) при произвольном размере грани была предложена Кащие-вым в [75]:

Ж1К\2(3 ■ (5)

1 + (л/Згг//и) К2

При постоянном пересыщении в капле получим:

6)

1 1 + к2Л2 где кх к к2- величины, определяемые значением А/л и зависимостями I и о от ls.fi.

Отметим также, что и в модели Кащиева, и в модели Гиваргизова-Чернова, мы наблюдаем возрастающую зависимость длины нановискера от их радиуса, то есть широкие нановискеры должны расти быстрее тонких.

Рассмотрим теперь простую модель диффузионного роста, стимулированного движением осаждаемых атомов с поверхности и боковых стенок на вершину нановискера [12, 52, 61, 100]. Предположим, что любой осаждаемый атом, достигший, вершины, растворяется? в капле и затем, либо десорбируется, либо встраивается в растущий» двумерный слой. Тогда уравнение баланса на вершине нановискера для скорости вертикального роста имеет вид [12]: тгК2 аь гу-у; 2о,Л

V Я У

7) Л

Здесь Я — радиус нановискера, V = JQS соб а — эквивалентная-скорость роста с учетом угла падения частиц а, - скорость вертикального роста неактивированной поверхности, С — объемная концентрация раствора в капле, /} -межмолекулярное расстояние в жидкости, т, - время жизни атома в капле, б -объем атома в твердой фазе, ('£). - суммарный диффузионный поток на вершину нановискера. В выражении (7) учитывается рост неактивированной поверхности, адсорбция на поверхности капли, диффузия-атомов с боковой поверхности и десорбция из капли. Известно, что в; случае газофазной эпитаксии V = 2<у%и^, где Хы ~ коэффициент адсорбции с учетом эффективности химической реакции у поверхности капли, У — поток, определяемый температурой, и давлением парогазовой смеси; а в случае молекулярно-пучковой эпитаксии поток на-каплю равен потоку на поверхность. Величина диффузионного потока находится по формуле:

8) г=£ где £)г — коэффициент диффузии атомов на боковой поверхности, 77* - равновесная концентрация атомов/на боковой поверхности, 77 = 77^. /77^. — 1 — пересыщение атомов,на боковой поверхности.

Альтернативный механизм диффузионного роста нановискеров* рассматривается в работе [97]. В этой работе говорится об объемной твердотельной' диффузии атомов осаждаемого материала в твердом растворе. При этом считается, что частица на вершине нановискера является твердой, то есть рост происходит не по механизму «пар-жидкость-кристалл», а по механизму «пар-кристалл-кристалл». Экспериментально действительно наблюдалось формирование нановискеров при температуре ниже точки плавления [73, 92] для ряда систем материалов, например, 81'при активации поверхности Тл, и для 1пАб при активации поверхности Аи. Охлаждение капли на вершине достаточно длинных нановискеров, вызванное тепловым излучением с поверхности, также может приводить к затвердеванию капли и прекращению роста по механизму «пар-жидкость-кристалл».

В процессе выращивания нановискеров часто стоит вопрос в необходимости контролировать их свойства: диаметр, длину, форму, поверхностную плотность, однородность, состав и т. д., путем изменения условий подготовки поверхности и осаждения материала. Решение данной задачи невозможно без проведения теоретических исследований и моделирования ростовых процессов. В настоящее время ведутся обширные исследования процессов формирования нановискеров. Моделирование методом Монте-Карло дает хорошие результаты, однако, недостатком этого метода является большое время вычислений и, к сожалению, он не позволяет увидеть динамику ростового процесса. Квантовая механика, на данном этапе развития техники, не в состоянии просчитать системы с большим количеством атомов. Существует также ряд феноменологических моделей роста нановискеров. Поэтому прямое моделирование процессов роста нановискеров методами молекулярной динамики является весьма актуальным.

Объектом исследования являются процессы формирования и роста нановискеров.

Предметом исследования являются методы математического моделирования движения и взаимодействия атомов, программные комплексы для моделирования наноразмерных систем, численные алгоритмы расчета движения атомов и молекул.

Цель работы состоит в создании математической модели для описания начального этапа процесса формирования и роста нановискеров на активированной поверхности, изучении их свойств и структуры, оценке влияния параметров моделируемой системы на процесс роста и размеры нановискеров, сравнении результатов, полученных с применением разработанной математической модели, с экспериментальными данными и существующими теориями роста.

Достижение поставленной цели возможно посредством решения следующих задач:

- разработать математическую модель процесса образования и роста нановискеров;

- создать проблемно-ориентированный программный комплекс на основе численной методики решения вышеуказанной задачи, позволяющий производить расчеты физических характеристик системы для процесса формирования нановискеров, а также осуществлять анализ полученных результатов;

- провести вычислительные эксперименты по моделированию процессов формирования нановискеров при различных условиях и параметрах рассматриваемой системы, определить диапазон значений параметров системы, при которых наблюдается рост;

- определить влияние величины задаваемых параметров на рост нановискеров;

- числено исследовать процесс формирования нановискеров кремния на кремниевой подложке активированной золотом.

Методы исследования. В работе использованы методы математического моделирования, вычислительная математика и технологии объектно-ориентированного программирования. При разработке программного комплекса использованы языки программирования Pascal, tel, С++, среды программирования Borland Delphi 7, Borland С++ Builder 6.

О достоверности полученных результатов свидетельствует согласованность результатов моделирования с экспериментальными и теоретическими данными, а также результатами, полученными на основании других математи4ческих моделей.

На защиту выносятся:

- математическая модель описания процесса образования и роста нанови-скеров на активированной поверхности;

- проблемно-ориентированный программный комплекс для моделирования процессов формирования нановискеров, позволяющий производить расчеты физических характеристик системы в процессе формирования нановискеров;

- результаты проведенных вычислительных экспериментов по моделиро4ванию ростового процесса нановискеров на кремниевой подложке, активированной золотом;

- влияние размера^ капли катализатора, величины прикладываемой к атомам системы силы на скорость роста и размеры нановискера, в частности, диапазоны сил, прикладываемых к атомам системы, обеспечивающие устойчивый рост нановискеров.

Научная новизна результатов диссертационной работы, полученных лично автором, заключается в следующем:

- разработана математическая модель для описания процессов образования 1 и роста нановискеров с помощью аппарата молекулярной динамики, в которой учитывается компенсирующее влияние химического потенциала связей и диффузионного потока с боковой поверхности нановискера;

- показано, что атомы катализатора (золота) на кремниевой подложке образуют каплю, что способствует росту нановискера; вследствие диффузии атомов кремния в каплю золота образуется сплав Аи-Б^ а сама капля увеличивается в размерах; показано, что процесс и характер роста нановискеров зависит от ряда параметров системы: размера капли катализатора, величины прикладываемой к атомам системы силы; ^

- приложение сил к атомам моделируемой системы обеспечивает образование нановискеров и приводит к увеличению скорости их роста;

- впервые обнаружен эффект «закручивания» нановискера.

-г

Практическая значимость. Разработанная математическая модель и созданный на ее основе проблемно-ориентированный программный комплекс, а также проведенные комплексные исследования процессов образования и роста нановискеров дают возможность существенно сократить затраты на проведение экспериментов по определению феноменологических параметров. Результаты, полученные в данной работе, могут быть использованы при создании реальных образцов для микроэлектроники, атомно-силовой микроскопии и т. п.

Личный вклад автора. Автором реализован проблемно-ориентированный программный комплекс, в том числе: подготовка начальных данных, расчетные блоки, система анализа результатов. Постановка задачи, вычислительные работы, анализ и интерпретация полученных данных выполнены автором.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всероссийских и Международных конференциях:

- Asian school-conference on physics of nanostructures and nanomaterials (ASCO-PNN-2010) (Владивосток, 2010);

- Всероссийских научных конференциях молодых ученых «КоМУ-2008» (Ижевск, 2008) и «КоМУ-2010» (Ижевск, 2010);

- второй Всероссийской научной конференции с международным Интернет-участием «От наноструктур, наноматериалов и нанотехнологий к На-ноиндустрии» (Ижевск, 2009);

- XII Межрегиональной конференции молодых ученых по физике полупроводниковых, диэлектрических и магнитных материалов «ПДММ-2009» (Владивосток, 2009); t

- Всероссийских школах-конференциях молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь, 2009) и (Пермь, 2010);

- II Всероссийской конференции ММПСН-2009 «Многомасштабное моде} лирование процессов и структур в нанотехнологиях» (Москва, 2009);

- конференции Уральского отделения РАН «Актуальные проблемы математики, механики, информатики» (Екатеринбург, 2009) и (Ижевск, 2010). В целом диссертационная работа доложена и обсуждена на семинарах кафедры «Математическое моделирование систем и процессов» ПГТУ (рук. д. ф.-м. н., профессор П. В. Трусов), на расширенном научном семинаре отдела «Механики и физико-химии гетерогенных сред» ИПМ УрО РАН (рук. д. т. н., профессор Ю. К. Шелковников), на научном семинаре ИПМ УрО РАН* (рук. академик РАН А. М. Липанов).

Публикации. Основные научные результаты по теме диссертации опуб-, ликованы в 12-научных работах, из них 3 статьи (в том числе — две статьи в журналах из перечня ВАК), 9 материалов конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из списка обозначений, введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 125 страниц, среди них 73 рисунка и 5 таблиц, пронумерованных по главам. Список литературы-содержит 110 наименований.

Во введении к диссертационной работе на основании анализа обзора материалов по выращиванию нановискеров на активированной поверхности сформулирована актуальность исследования. Описаны существующие модели, характеризующие закономерности ростовых процессов. Определены цель и задачи исследования, сформулированы основные полученные результаты, представлены положения, выносимые на защиту. Изложена научная новизна диссертационной работы. Установлены научная и практическая значимость исследования. Приведен список публикаций и докладов. Описана структура и объем диссертации.

В первой главе приведена постановка задачи образования и роста нано-вискеров. Сформулированы граничные условия, а также их влияние на моделируемую систему. Представлены математические модели каждого этапа моделирования ростового процесса. Изложены алгоритмы численного интегрирования уравнений движения для атомов рассматриваемой системы. Приведены формулы расчета термодинамических параметров системы. Описаны алгоритмы поддержания постоянной температуры и давления.

Во второй главе диссертационной работы представлено описание проблемно-ориентированного программного комплекса для моделирования процессов формирования нановискеров на активированной поверхности. Рассмотрена структура программного комплекса. Охарактеризованы функции отдельных блоков и модулей. Изложены методы и алгоритмы анализа результатов моделирования. Представлены результаты тестовых расчетов. Приведены исследования на устойчивость, сходимость решения поставленной задачи.

В третьей главе диссертации приведены результаты моделирования начального этапа роста нановискеров на кремниевой подложке активированной золотом. Представлены этапы формирования нановискеров. Исследованы характеристики ростового процесса. Приведена связь дополнительной силы, прикладываемой к атомам системы, с основными феноменологическими моделями роста нановискеров. Выявлен диапазон изменения сил, прикладываемых к атомам системы, необходимых для формирования нановискеров. Проведен анализ зависимости свойств получаемых в результате моделирования нановискеров от параметров рассматриваемой системы.

В четвертой главе данной работы моделируется влияние воздействия различных значений сил, прикладываемых к атомам системы, на свойства нановискеров. Рассмотрена их кристаллографическая структура нановискеров. Оценено влияние физических характеристик рассматриваемой системы на скорость их роста и размеры. Проведено сравнение результатов моделирования с экспериментальными данными и результатами, полученными другими методами, в отношении формы, размеров, и структуры нановискеров.

В заключении приведены выводы и основные положения, обобщающие результаты диссертационной работы.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Вахрушеву Александру Васильевичу за плодотворное руководство исследованиями и всестороннюю поддержку.

Выводы по главе 4

В результате исследования влияния величины силы, прикладываемой к атомам системы, на поведение и структуру нановискеров были выявлены следующие моменты:

1. Устойчивый рост нановискеров наблюдается лишь в некотором диапазоне значений силы Ф.

2. При малых размерах капли катализатора роста диффузионный поток с боковой поверхности вносит значительный вклад в процесс образования и роста нитевидных кристаллов.

3. Глубина потенциальной ямы взаимодействия Ван-дер-Ваальса является верхним пределом для выбора значений прикладываемых к атомам катализатора сил.

41 В результате релаксации, после прекращения «бомбардировки» система становится устойчивой и высота и диаметр нановискера стабилизируется.

5. В ходе моделирования в ряде случаев наблюдалось эффект «закручивания» нановискеров.

6. В ряде случаев после закручивания расплав Аи-81 падает с вершины нановискера, вследствие чего на подложке образуются, кремниевые наноо-стрия.

7. Наблюдается перестроение внутренней структуры кристалла.

8. Характер кривой зависимости высоты нановискера от его диаметра соответствует теоретической кривой и экспериментальными данными.

9. Кристаллографическая структура моделируемых нановискеров не однородна, что согласуется с экспериментальными данными.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения диссертационной работы были достигнуты цели и получены следующие результаты:

1. Разработана математическая модель для решения задачи образования и роста нитевидных кристаллов методами молекулярной динамики, описывающая начальный этап роста вискеров на активированной поверхности. Представленная модель учитывает компенсирующее влияние разности химических потенциалов различных фаз вещества, кинетического коэффициента кристаллизации, а также величины диффузионного потока осажденных атомов с поверхности подложки в вискер.

42. Создан проблемно-ориентированный программный комплекс, включающий в себя блок подготовки начальных данных, в котором определяются начальные и граничные условия моделирования и формирующий входные файлы; вычислительный модуль, который предназначен для моделирования наноси-стемы и формирования результатов; и модуль анализа и визуализации. Программный комплекс позволяет проводить расчеты физических и термодинамических характеристик системы для процесса формирования вискеров, а также осуществлять анализ структуры, свойств, характеристик НВ, визуализацию полученных результатов, рассчитывать основные параметры процессов формирования. При помощи данного программного комплекса были проведены тестовые расчеты, которые показали хорошее соответствие экспериментальным данным; исследованы устойчивость, точность и сходимость численного решения. 3. Проведены комплексные численные исследования, которые показали, возможность применения метода молекулярной динамики для моделирования начального этапа роста нитевидных кристаллов. Определен диапазон значений прикладываемых к атомам системы сил. Сила, действующая на осажденные атомы кремния, должна составлять от долей до нескольких единиц 4ккал/(моль*А). Прикладываемая к атомам золота сила, будет находиться в пределах от нескольких единиц до нескольких десятков ккал/(моль*А). Результаты моделирования показали хорошую согласованность с экспериментальными данными. Так, зависимость диаметра вискера от его радиуса хорошо аппроксимируется кривой L- const¡D и имеет убывающий характер, как для экспериментальных данных, так и для результатов моделирования.

4. Исследовано влияние величины прикладываемой к атомам системы силы на форму и размеры вискера. При малом диаметре капли катализатора диффузионный поток вносит значительный вклад в процесс формирования нанови-скеров. При отсутствии потока атомов с боковой поверхности кристалла роста вискера не наблюдается.

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М. : Бином, 2001. С.363-375;

2. Берлин A.A., Балабаев H.K. Имитация свойств твёрдых тел и жидкостей методами компьютерного* моделирования // Соросовский: образовательный журнал. 1997. №11. С.85-92.

3. Вахрушев А.В;, Северюхин A.B., Северюхина О.Ю. Моделирование начального этапа роста нановискеров Si-Au на поверхности Si // Химическая физика и мезоскопия. Т.12, №. 1. 2010. С.24-35. <

4. Веников В.А. Теория подобия и моделирования. М. : Высшая школа, 1976. 479 с.

5. Всржбицкий В.М. Основы численных методов: учебник для; вузов. М. : Высш. шк., 2005. 840 с.

6. Гиваргизов Е.И. Кристаллические нановискерьг и наноострия // Природа. 2003. № 11.

7. Гиваргизов Е.И. Рост нитевидных и пластинчатых кристаллов из пара. М. : Наука, 1977. 304 с.

8. Гиваргизов Е.И., Чернов A.A. Скорость роста нитевидных кристаллов но механизму пар-жидкость-кристалл и роль поверхностной энергии // Кристаллография. 1973. Т. 18. №. 1. С.147-149.

9. Ю.Голо B.JI., Шайтан К.В. Динамический аттрактор в термостате Берендсена и медленная динамика биомакромолекул // Биофизика; 2002. Т.47. №. 4. С.611-617.11 .Дирак П.A.M. Принципы квантовой механики. М. : Наука, 1979. 408 с.

10. Дубровский В. Г., Сибирев Н.В. Рост нанометровых нитевидных кристаллов' по обобщенному механизму «пар-жидкость-кристалл» // Письма в ЖТФ.2006. Т.32 №.*5. СЛ.

11. Дубровский В.Г., Сибирев Н.В., Цырлин Г.Э. и др. Нуклеация на боковой* поверхности- и- ее влияние на форму нитевидных нанокристаллов //ФИТ.2007. Т.41, вып. 10. С. 1257-1264.

12. Дубровский B.F. Теоретические основы технологии полупроводниковых наноструктур: учебное пособие. Санкт-Петербург, 2006.15.3айман Дж. Модели беспорядка. Теоретическая физика однородно неупорядоченных систем: Пер. с англ. М. : Мир, 1982. 592 с.

13. Ильина Вг.А., Силаев П.К. Численные методы для'физиков-теоретиков. Т.2. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. С. 16-30.

14. КительЛ: Введение в физику твердого-тела: М. : Наука, 1978. 789 с.

15. Ландау Л.Д: Квантовая механика. М. : Наука, 1972. 368 с.

16. Мамутин В.В. Выращивание нитевидных и пластинчатых кристаллов* A3N молекулярно-пучковой эпитаксией с участием- жидкой фазы // Письма в ЖТФ. 1999. Т.25. №. 18. С.55.т

17. Морозов А.И. Физика твердого тела. Кристаллическая структура.* Фононы. М; :МИРЭА, 2006. 151 с.

18. Наука и технологии РФ. нановискеры: непознанные возможности. URL: http://www.strf.ru/organization.aspx?CatalogId=221 &dno=8509 (дата обращения: 17.04.2008).

19. Неучева О.А., Евстрапов А.А., Самсоненко Ю.Б. и др. Взаимодействие оптического излучения с массивом нитевидных кристаллов GaAs // Писма в ЖТФ.- 2007. Т.ЗЗ, вып. 21. С.56-62."

20. Полак Л.С., Гольденберг М.Я., Левицкий А.А. Вычислительные методы в химической кинетике. М. : Наука, 1984. 280 с.

21. Романова Т.А., Краснов П.О., Качин С.В. и др. Теория и практика компьютерного моделирования нанообъектов: справочное пособие. Красноярск: ИПЦКГТУ, 2002. 223 с.

22. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные: методы: учебник для вузов. М. : Наука, 1989.432 с. ' .

23. Северюхин А.В: Моделирование процесса роста нановискеров Si на поверхности Si(l 11) // Сборник тезисов докладов: VII Конференция молодых ученых «КоМУ-2008». Ижевск : ФТИ УрО РАН, УдГУ, ИжГГУ, 2008. С.68.

24. Северюхин А.В: Математическое моделирование роста нановискеров на активированной поверхности // Сборник статей конференции «Актуальные проблемы математики, механики, информатики» (Ижевск, 1 3 марта 2010 г.). Ижевск : ИПМ УрО РАН, 2010. С. 129;

25. Сибирев Н.В., Дубровский В.Г. Модифицированная модель Колмогорова и скорость роста кристаллической грани произвольного1 размера // Письма в ЖТФ. 2004. Т.30. №. 18. С.79. ^

26. Сошников И.П., Цырлин Г.Э., Тонких A.A. и др. Атомная структура нитевидных нанокристаллов GaAs, выращенных методом молекулярно-пучковой эпитаксии // Физика твердого тела. 2005. Т.47, вып. 12. С.2121-2126.

27. Тонких A.A., Цырлин Г.Э., Самсоненко Ю.Б. и др. Свойства нановискеров

28. GaAs на поверхности GaAs(l 11)В, полученных комбинированным методом // ФТП. 2004. Т.38. №. 10. С.1256-1260.

29. Фейнман Р. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М. : Мир, 1968. 382 с.

30. Фок В.А. Начала квантовой механики. М.: Наука, 1976. 376 с.

31. Хеерман Д.В. Методы компьютерного эксперимента в статистической физике: монография. М. : Наука, 1990. 176 с.

32. Цырлин Г.Э., Дубровский В.Г., Сибирев Н.В. и др. Диффузионный механизм роста нановискеров GaAs и AlGaAs в методе молекулярно-пучковой эпитаксии // ФТП. 2005. Т.39, вып. 5. С.587-594.

33. Чернов A.A., Гиваргизов Е.И., Богдасаров Х.С. и др. Современная кристаллография. Образование кристаллов. М. : Наука, 1980. Т.З. 401 с.

34. Шайтан К.В. Динамика электронно-конформационных переходов в белках и физические механизмы функционирования биомакромолекул // Молекулярная биология. 1992. Т.26. №. 2. С.264-284.

35. Шайтан К.В., Беляков A.A. и др. Геометрия энергетической поверхности и конформационная динамика: от углеводородов — к белкам и.пептидам // Химическая физика. 2003. Т.22, вып. 2. С.57-68.

36. Шайтан К.В., Немухин А JB., Фирсов Д. А. и др. Электронно-конформационные взаимодействия и значение эффективных зарядов на атомах в пептидах // Молекулярная биология. 1997. Т.З 1. С. 109-117.

37. Шайтан К.В., Терёшкина К.Б. Молекулярная динамика белков и пептидов: учебно-методическое пособие. М. : Ойкос, 2004. 103 с.

38. Эйлер Л. Интегральное исчисление. Том 1. М.: ГИТТЛ, 1956. 415 с.

39. EDubrovsltfi?V;G.v GirlimG.E., Soshnikov LP1 et: all,Diffusion-induced^growth? of GaAs nanowhiskers; during! molecular beam: epitaxy: Theory and? experiment>.// Phys. Rev. B! 2005uV.7E P:205325:

40. IIiruma K., Yazawa M., Katsuyama T. et al. Growth and optical properties of nanometer-scale GaAs and In As whiskers // J: Appl. Phys. 1995. V.77. P.447-462. .

41. Hoover W. Canonical dynamics: equilibrium phase-space distributions:// Phys. Rev. A. 1985. V.31. P:1695-1697.

42. Humphrey W., Dalke A., Schulten K. VMD Visual Molecular Dynamics // J. Molec. Graphics. 1996. V.14. P.33-3S.

43. Kamins T.I., Li X., Williams R. S. Thermal stability of Ti-catalyzed Si nanowires // Appl. Phys. Lett. 2003. V.82. P.263.

44. Kamins T.I., Williams R. S., Basile D. P.et al. Ti-catalyzed Si. nanowires by chemical vapor deposition: Microscopy and growth mechanisms // J.Appl.Phys. 2001. V.89.P.1008-1015.

45. Kashchiev D. Dependence of the growth rate of nanowires on the nanowire dikameter // Cryst. Growth and Design. 2006. V.6. P. 1154-1156.

46. Kashchiev D. Nucleation: Basic Theory with Applications. Oxford : Butterworth Heinemann, 2000. 529 p.

47. Kenji Hiruma, Masamitsu Yazawa, Keiichi Haraguchi et al. GaAs free-standing quantum-size wires // J. Appl. Phys. 1993. V.74. №. 5. P.3162-3171.

48. Landau L.D., Teller E. On the theory of sound dispersion // Physik. Zeits. Sowjetunion. 1936. V.10. P:34-43.

49. Lemak A.S. and Balabaev N.K. A comparison between collisional dynamics and Brownian dynamics // Molecular Simulation. 1995. V.15. P.223-231.

50. Lemak A.S. and-Balabaev N.K. Molecular dynamics* simulation of polymer chain in solution by collisional dynamics method // J. Comput. Chem. 1996. V.17. P.1685-1695.

51. Li D., Wu Y., Kim P. et al. Thermal conductivity of individual silicon nanowires // Applied Physics Letters. 2003. V.83. №. 14. P.2934.

52. Masamitsu Yazawa, Masanari Koguchi, Akiko Muto et al. Semiconductor nanowhiskers // Advanced Materials 1993. V.5. №.(Issue) 7. P.577-580

53. Mclroy D.N., Alkhateeb A., Zhang D. et al. Nanospring formation unexpected catalyst mediated growth // J.Phys.: Condens. Matter. 2004. V.16. P.R415.

54. Morales Alfredo M. and Lieber Charles M. A Laser Ablation Method for the Synthesis of Crystalline Semiconductor Nanowires // Science. 1998. V.279. P.208-211.

55. Nastovjak A.G., Neizvestny I.G., ShwartzN.L. et al. Effect of Substrate-Drop Parameters on Nanowhiskers Morphology // Electron Devices and Materials. 2008. P.41-44.

56. Nastovjak A.G., Neizvestny LG., Shwartz N.L. et al. Monte Carlo simulation of silicon nanowhiskers growth // 15th Int. Symp. "Nanostructures: Physics and Technology". 2007.

57. Nastovjak A.G., ShwartzN.L., YanovitskajaZ. S. et al. Monte Carlo Simulation of Silicon Nanowhiskers Growth // Electron Devices and Materials. 2007. P.45-49.

58. Nose S. A molecular dynamics method for simulations in the canonical ensemble // Molec. Phys. 1984. Y.52. P.255-268.

59. Parrinello M., Rahman A. Polymorphic transitions in single crystals: a new molecular dynamics approach // J: Appl. Phys. 1981. V.52. P.7182-7190.

60. Patolsky F., Lieber C.M. Nanowire nanosensors // Materials Today. April 2005. V.8. P.20-28.

61. Patolsky F., Zheng G., Hayden O., Lakadamyali M., Zhuang X., Lieber Ch. Electrical detection; of single: viruses // Proceedings of the National Academy of Science USA. 2004. V.101. №. 39. P. 1401.7-14022.

62. Schubert ;L., Werner P.', Zakharov N:D. et: alt Silicon nanowhiskers: grown on <111> Si substrates-by molecular-beam epitaxy // Appl. Phys. Lett. 2004. V.84. P.4968.

63. VerletL. Computer "experiments" on classical fluids. I: Thermodynamical properties of Lennard-Jones molecules // Phys.Rev. 1967. V. 159, №.1. P.98-103.

64. Verlet L. Computer "experiments" on classical fluids. II: Equilibrium correlation-functions://Phys.Rev. 1967. V.165: P.201,

65. Wagner R. S., Albert P. Levitt. Whisker Technology. New York: Wiley Interscience,- 1975.

66. Wagner R.S:, Ellis W.C. Vapor-liquid-solid mechanism of single crystal growth // Appl. Phys. Lett. 1964. V.4. P.89.

67. Xia J.-B., Cheah K.W. Quantum confinement effect in the quantum wires Phys. Rev. B. 1997. V.55. P.15688-15693.

68. Xin Yu, Sang Nyon Kim, Fotios Papadimitrakopoulos et al. // Protein imVmunosensor using single-wall carbon nanotube forests with electrochemical detection of enzyme labels // Mol. BioSyst. 2005. V.l. P.70-78.125