Моделирование метрических характеристик информационного пространства на основе римановой геометрии

Агранович, Юрий Яковлевич

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование метрических характеристик информационного пространства на основе римановой геометрии

доктора физико-математических наук: Агранович, Юрий Яковлевич
город: Воронеж
год: 2003
специальность ВАК РФ: 05.13.18

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Моделирование метрических характеристик информационного пространства на основе римановой геометрии»

Автореферат диссертации по теме "Моделирование метрических характеристик информационного пространства на основе римановой геометрии"

На правах рукописи

АГРАНОВИЧ Юрий Яковлевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ИНФОРМАЦИОННОГО ПРОСТРАНСТВА НА ОСНОВЕ РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Воронеж - 2003

Работа выполнена в Воронежском государственном техническом университете

Научный консультант Заслуженный деятель науки РФ,

доктор технических наук, профессор Подвальный Семён Леонидович, Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Асташкин Сергей Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор Батаронов Игорь Леонидович, доктор физико-математических наук, профессор Новиков Игорь Яковлевич.

Ведущая организация - Санкт-Петербургский государственный

университет

Защита состоится 20 ноября 2003 г. в 10 часов в конференц-зале на заседании диссертационного совета Д 212.037.01 Воронежского государственного технического университета по адресу: 394026, г. Воронеж, Московский проспект, 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного технического университета.

Автореферат разослан « 20 » октября 2003 г.

Ученый секретарь

<Ь-

Питолин В.М.

ЧооЪ-к

Щу

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В середине прошлого века была разработана и внедрена технология, позволяющая устанавливать кабельную связь между компьютерами, находящимися на большом географическом удалении друг от друга. Это обусловило начало интенсивного формирования информационного пространства. Исторические особенности указанного процесса привели к первоначальному развитию алгоритмического, а более общо-формально алгебраического подхода к решению возникающих здесь задач. Однако уже в середине 80-х годов стало понятно, что обмен информацией на компьютерном уровне приобретает широкомасштабный, всеохватывающий характер, что приводит к необходимости решать не только логические задачи компьютерного взаимодействия, но также проблемы, связанные с выбором места расположения крупных информационных узлов. Уровень развитости информационных технологий данного региона определяет, наряду с другими факторами, степень управляемое™ при решении широкого спектра жизненно- важных социальных, экономических и геополитических проблем, с другой стороны, многие принципиальные административные решения с необходимостью должны подкрепляться соответствующим развитием информационной инфраструктуры данного региона. Выполнение такого сравнительного анализа требует разработки специальных методик, в основе которых лежит, прежде всего, решение проблемы построения модели информационного пространства.

На эмпирическом уровне с проблемой отсутствия общего подхода к описанию процессов геоинформационного взаимодействия сталкиваются при разработке геоинформационных систем — ГИС-технологий, а также при создании базовых технологий перспективных средств радиоэлектронной борьбы. Таким образом, назрела необходимость создания абстрактной гео-метри-ческой модели информационного пространства, направленной на увеличение эффективности взаимодействия информационных объектов в зависимости от их географического положения. Пространственный анализ компьютерных сетей важен не только с практической точки зрения, но также и с теоретичес-кой, так как геометрическое рассмотрение логических устройств естественно приводит к появлению геометрической теории логических структур. В дальнейшем такая теория сможет классифицировать утверждения по количеству различных доказательств, которыми они могут быть установлены. В этом смысле теорема К. Гёделя о неполноте арифметики будет на одном краю спектра, как теорема о существовании истинных утверждений с нулевым числом доказательств, а на другом краю будет теорема о существовании утверждений с континуальным количеством различных доказательств. Эта ситуация аналогична существованию бесконечного

числа замкнутых геодезических на многообразии неотрицательной кривизны.

Таким образом, актуальность рассматриваемой в диссертации проблемы определяется необходимостью решения широкой совокупности задач по оптимальному расположению географически удаленных объектов в пространстве, с целью увеличения эффективности информационного взаимодействия.

Работа выполнена в соответствии с межвузовской комплексной научно-технической программой ИТ-601 «Перспективные информационные технологии высшей школы», Межведомственной программой «Создание национальной сети компьютерных телекоммуникаций для науки и высшей школы» Российского фонда фундаментальных исследований и Министерства науки и технологии России.

Цель исследования. Разработать теорию математического моделирования информационного пространства как риманового многообразия ограниченной гауссовой кривизны, направленную на повышение эффективности информационного взаимодействия географически удалённых объектов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:

провести системный анализ методов моделирования информационного взаимодействия географически удаленных объектов;

развить методы пространственного анализа применительно к решению проблемы моделирования метрических характеристик информационного пространства;

построить функциональное представление элементов информационного пространства;

сконструировать геодезическую модель информационного пространства, адаптированную к основным положениям римановой геометрии;

разработать и внедрить численный метод, позволяющий эффективно решать задачи геометрического моделирования информационного взаимодействия объектов.

Методы исследования. В диссертации используется теория математического моделирования, методы римановой геометрии, алгебраическая геометрия, теория вещественных алгебраических многообразий, элементы функционального анализа и теории функций комплексного переменного.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты, характеризующиеся научной новизной:

■ математическая модель информационного пространства как двумерного риманова многообразия с метрическим тензором, определяемым уравнением Монжа - Ампера с гауссовой кривизной, зависящей от взаимного расположения источников информации, по-

зволяющая формировать базовые элементы теории информационного поля;

■ интегральный оператор, обеспечивающий решение оптимизационных задач взаимного расположения объектов, имеющих информационную природу за счет матричного представления структуры информационного пространства;

■ метод конструирования геодезической модели информационного пространства как риманова многообразия с ограниченной гауссовой кривизной, обеспечивающий построение метрического тензора и определение кратчайшего расстояния между двумя заданными точками на построенной поверхности;

■ метод амплификации, позволяющий создавать качественно новые предметные области, за счет усиления наименее значимых признаков рассматриваемых объектов;

■ метод энтропийной замены, отличающийся использованием энтропии в качестве параметра группы сдвигов по траекториям решений дифференциальных уравнений и позволяющий исследовать поведение динамических систем в пространственно-энтропийном континууме;

■ обоснование корректности предиката равенства геометрической информации, основанное на полных решениях прямой и обратной задач определения эквиинформационных кривых на плоскости и позволяющее представить математическую модель информационного пространства в форме алгебраического многообразия;

■ численный метод факторизации матричного представления структуры информационного пространства, основанный на установленной взаимосвязи между смешанными дискриминантами и совместным спектром семейства коммутирующих операторов, обеспечивающий увеличение скорости вычисления собственных значений полиномиального матричного пучка.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Метод конструирования геодезической модели информационного пространства как риманова многообразия с ограниченной гауссовой кривизной.

2. Метод амплификации, позволяющий создавать качественно новые предметные области, за счет усиления наименее значимых признаков рассматриваемых объектов.

3. Метод энтропийной замены, позволяющий исследовать поведение динамических систем в пространственно-энтропийном кон-тиниуме.

4. Доказательство корректности предиката равенства геометрической информации, основанное на полных решениях прямой и

обратной задач определения эквиинформационных кривых на плоскости.

5. Численный метод факторизации матричного представления структуры информационного пространства, основанный на свойствах совместного спектра семейства коммутирующих операторов.

Практическая значимость результатов исследований. Полученные в диссертации результаты являются основой для разработки новых геоинформационных систем - ГИС-технологий, направленных на решение задач картографирования в сфере здравоохранения, а также для решения задач управления в социальных и экономических системах. Результаты могут быть использованы для решения задач пространственной локализации источников информации, в частности, для учета влияния рельефа местности на распространение УКВ радиоволн, а также для решения прямых и обратных задач конструирования в кузнечно-прессовом машиностроении.

Реализация работы. Результаты диссертации внедрены в проектные разработки архитектурной мастерской «Фонте Гайя» (г. Москва), а также используются в учебном процессе для студентов Воронежского института высоких технологий, обучающихся по специальности 071900 «Информационные системы», и для студентов Воронежского государственного технического университета, обучающихся по специальности 060800 «Экономика и управление на предприятии».

Петербург, 2002); IV Workshop of Partial Differential Equations: Theory, Computations and Applications. Rio de Janeiro, 1995(Brazil); Gesellschaft fur Angewandte Mathematik und Mechanik, Regensburg, 1997(Germany): International Conference "Differential Equations and Related Topics" dedicated to the Centenary Anniversary of Ivan G. Petrovskii, Moscow, 2001 (Russia); Международной конференции "Современные сложные системы управления (Воронеж, 2003); XVI международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях" (Ростов-на-Дону, 2003); 35-43 ежегодных научных сессиях профессорско-преподавательского состава ВГТУ (Воронеж, 1995-2003), а также на научных семинарах кафедры автоматизированных и вычислительных систем ВГТУ.

Публикации. Автором по теме диссертации опубликовано более 60 работ, в том числе монография. 9 статей опубликовано в журналах указанных в перечне ВАК. Основные публикации представлены в конце автореферата. 14 работ опубликовано без соавторов. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателем предложены: в [1, 2, 10, 12, 16] — получение неравенств выражающих априорные оценки; в [3] — алгебраическая модель системы; в [4] - разработка численного метода факторизации полиномов; в [6] - приложение теории полугрупп операторов к анализу динамики нелинейных механических систем; в [9] - исследование некорректной динамической системы; в [39] - вычисление асимптотических разложений; в [18, 24, 26, 29, 32] - качественный анализ дифференциальных уравнений; в [5, 33, 34, 35, 36, 37, 41] — постановка задачи моделирования информационного пространства и метод её решения; в [25] — метод энтропийной замены; в [17, 20, 22, 28] - постановка задачи разработки численного метода для операторов с доминирующей диагональю.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из 124 наименований и трёх приложений. Работа изложена на 310 страницах и содержит 35 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определены цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации проведен системный анализ существующих методов моделирования информационного взаимодействия географически удаленных объектов.

Рассмотрены задачи и осуществлен обзор современных геоинформационных технологий ориентированных на решение логистических и оптимизационных задач управления материальными потоками. Как следствие широкой интегрированности таких постановок задач является необходи-

мость рассматривать взаимное наложение экономического и социального пространств. При этом возникает необходимость конструирования некоторого пространства, внутри которого происходит это наложение. Такое пространство моделирует информационное взаимодействие объектов качественно различной природы, и по необходимости, должно учитывать самое общее свойство этих объектов: их взаимное географическое расположение. Настоящая работа направлена на получение метода, который позволяет наделить указанное выше пространство соответствующими геометрическими атрибутами.

Таким образом, мы приходим к геометрии взаимного расположения объектов, как некоторой самостоятельной теории. К задачам этой теории относятся известная задача Штейнера о наименьшей сети: требуется найти сеть наименьшей длины связывающей заданные т точек; задача о наиболее плотной упаковке шаров, а также ряд других проблем комбинаторной геометрии. Построение всей теории, которая здесь обозначена, имеет огромные приложения: от пеленга радиоисточников до оптимального кодирования и передачи информации. В частности, имеется ряд принципиальных задач, связанных с созданием базовых технологий перспективных средств радиолокационной борьбы и направленных на повышение достоверности и оперативности выбора позиций размещения соответствующих приборов наблюдения. Значительны также приложения в теории управления химическими процессами и разработке новых технологий, основанных на анализе взаимного расположения циклов на фазовой плоскости для гидродинамических моделей реологически сложных жидкостей.

Во второй главе диссертации проведен логический анализ процесса передачи информации. Здесь рассмотрено взаимоотношение категории доказательства и дополнительной к ней категории - категории конструкции. Установлена аналогия между логическим доказательством, как ходом рассуждений, и процессом обработки и передачи информации. Предложена абстрактная геометрическая конструкция, адекватно отражающая основные свойства указанного процесса.

2.1. Доказательство устанавливает импликацию. Утверждение, которое доказывается, состоит из условий и собственно утверждений. Условия и утверждения имеют одинаковую форму, так что в других доказательствах можно использовать утверждения как условия, а условия как утверждения. Установить импликацию означает установить логическую цепочку (по крайней мере, одну) связывающую условия и утверждения посредством уже доказанных утверждений. Такая логическая цепочка называется ходом рассуждений, представима ориентированным графом и является наиболее абстрактной моделью процесса передачи и обработки информации. Геометрической реализацией такого графа является симплициальный комплекс с ориентированными ребрами. Этот комплекс связен и содержит, по край-

ней мере, одну вершину корневую и, по крайней мере, одну консольную. Понятно, что каждое утверждение, которое использовано в доказательстве, само доказывается аналогично и в этом проявляется рекурсивность процесса. Выполняя всю рекурсию, мы приходим за конечное количество шагов к некоторым исходным утверждениям, например, к аксиомам и определениям основных понятий. Каждое определение может быть сформулировано в, так называемом, рамсеевском предложении теории, как утверждение о существовании требуемого объекта. Таким образом, и определения и исходные утверждения приобретают одинаковую форму и в рассматриваемой теории являются конструктивно данными, т. е. их истинность определяется построением или данностью конструкции. Независимость представленных рассуждений от метрического масштаба свидетельствует о том, что любые принципиальные задачи, связанные с управлением сетями передачи информации на большие расстояния имеют полные аналогии с задачами управления информации в архитектуре персонального микрокомпьютера. Это принципиальный момент, т. к. соответствие между задачами микро- и макро- уровней позволяет корректировать постановки этих задач и вырабатывать приемлемые способы их решений.

2.2. Системный анализ предметной области позволил установить существенное уменьшение доли доказательств в пользу построения предварительных конструкций имеющих высокую степень сложности, что позволяет сделать последующие доказательства, если не совсем очевидными, то очень простыми. Будем далее называть указанные конструкции предкау-зальными. После описания предкаузальных конструкций предложен метод обращения к этим конструкциям - метод амплификации. Здесь задача состоит в том, чтобы распознать некоторый новый смысл, присутствие которого априорно не предполагалось. Основное предположение, на котором основан предлагаемый метод следующее: мы будем предполагать, что искомый смысл всегда существует, сколько бы раз мы не обращались к методу. Понятно, что мы тем самым постулируем существование потенциально бесконечного множества смыслов. Все действия или операции, излагаемые в этой главе, не требуют использования сразу всего бесконечного множества смыслов, нам каждый раз потребуется лишь некоторое конечное подмножество этого множества.

2.3. Метод амплификации состоит в выполнении следующей последовательности действий:

1. Рассмотрим известную предметную область и классифицируем условия её существование на а) достаточные, б) эквивалентные, в) необходимые.

2. Классифицируем необходимые условия, полученные в 1 .в по степени их необходимости, так, чтобы выделить самое менее необходимое условие. Для этого можно использовать метод логического анализа, изложен-

ный выше: построим граф отражающий доказательство необходимости каждого из необходимых условий в 1.в; наиболее "удалённое", в смысле этальной топологии, т. е. по количеству звеньев графа, необходимое условие объявляется наименее необходимым. Если таких условий более одного, то далее действуем с каждым из них независимо.

3. Рассматриваем теперь найденное условие в двух вариантах а) как необходимое и достаточное условие; б) полное логическое отрицание этого условия как необходимое и достаточное условие. В результате получаем два различных, даже, в некотором смысле, противоположных смысла, каждый из которых можно накладывать на исходную предметную область.

Последующая часть исследования представляет конкретное использование предложенного выше метода для достижения основной цели диссертационного исследования и решения соответствующих конкретных задач.

2.4. Рассматривая задачу моделирования информационного взаимодействия естественно считать, что совокупность всех объектов расположена в евклидовом пространстве фиксированной размерности п>. 2. Можно заключить, что единственный геометрический вид данных об этих объектах, доступных в произвольной точке р - это угол, под которым из этой точки виден объект. При этом объект моделируется замкнутым, ограниченным, связным точечным множеством, а угол - это телесный угол, т. е. площадь поверхности единичной сферы, на которую проектируется объект лучами с началом в точке р.

Рассматривая несколько объектов относительно одной и той же точки р, заключаем, что угол, под которым видны эти объекты, ведет себя аналогично комбинаторно-вероятностной информации. Соответствующие рассуждения основаны на установленной здесь возможности представления энтропии конечных схем через определенные интегралы от рациональных функций, что позволяет выражать комбинаторные свойства конечной схемы в терминах взаимного расположения интервала интегрирования, нулей и полюсов рациональной функции. Установлена инвариантность такого представления относительно действия группы проективных преобразований. Проективное обобщение энтропии как логарифма двойного отношения четырех прямых позволяет ввести определение геометрической информации, как угла, под которым из данной точки виден рассматриваемый объект.

Таким образом, мы получили предметную область, содержащую лишь два вида предметов: "точки" и "объект". И единственное отношение между точками и объектами: "объект виден из точки", которое будем обозначать так: идентификатор точки Obs идентификатор объекта. Каждому такому отношению ставится в соответствие вещественное число - угол, под

которым указанный объект виден из указанной точки, что будем обозначать так: <Рр{0) для рОЬзО..

Наложим теперь теоретико-множественный смысл на рассмотренную предметную область. Иными словами, будем рассматривать пересечение и объединение объектов из предметной области, полагая <р (0)=О для любой

точки р. Тогда

4>р ) = (О^-^^оОз). (1)

Однако логическое построение теории естественно начинается с изучения свойств предиката «равенство». От того, на сколько этот предикат окажется «богатым» или «бедным» существенно зависит содержательность всей теории. Таким образом, основная задача последующего исследования состоит в том, чтобы дать полное определение отношения «равенство» в геометрии взаимного расположения объектов. Это означает, что необходимо полностью решить следующую задачу:

пусть задано отношение фр[,Для двух объектов

£2,, 02 и точки р, требуется определить геометрическое ме- (2) сто точек плоскости, для которых это отношение не нарушается.

Соответствующая модельная задача выглядит следующим образом. Пусть на плоскости задано два отрезка со, и со,. Требуется найти геометрическое место точек, из которых оба отрезка видны под одинаковыми углами, т.е. найти все точки р плоскости, для которых выполнено равенство <рр{а>-^=<рр{а>2), а затем найти и сами эти углы, выяснив тем самым как проявляет себя взаимное расположение отрезков, т. е., что именно во взаимном расположении отрезков определяет предикат равенства. И обратно: зная указанное геометрическое место точек, требуется восстановить оба отрезка на плоскости. Если это возможно, то предикат равенства определён корректно.

В третьей главе диссертации разработан геометрический подход к решению проблемы моделирования метрических характеристик информационного пространства. Здесь полностью решена задача (2) для отрезков с одним общим концом.

Вектор а и Л на рис. 1 соответствуют заданным отрезкам с длинами \а\ = а, = Ъ; а и Р - координаты искомого вектора х =аа+ ¡ЗЬ в базисе

|а, Ь }. Условие для определения а и (3 можно записать в виде

.7(6-х) _ ______х(а-\)

После преобразований и отождествления углов <р и ç ± к получаем уравнение:

Л Ь "

Рис.1.

-aH^^y+^V+^V-aW-^V-AW^co^V-

-Ъх\%2со? r+a4 coS^V-2«2 cos3 y/bV+Tc? cos5 y/bV+a2/]2 cos2ja2b4+

+2a2flcos)a % 3-2a3ficos¡a % 3-2a/52 co^o 363-a2/?2 cos2 50 %2+laf? cos?oV+ (4)

+p7b2a2a4-l32co?]a2b4-/32co?p2b4+2fi3co?1a2b4-/J4co?]a2b4+

+ lap1 со s3 ?<A3 - cos3 je363 = 0.

Это уравнение факторизуется на уравнение, определяющее прямую, проходящую через концы отрезков, и некоторую кубическую кривую специального вида. Её явную форму удалось получить в полярной системе координат

(i/Sin(/-0>)-Sinç>

Заметим теперь, что у/ = — = tgju естественно связано с углами треу-

гольника, образованного данными отрезками. Ясно, что —-— = —-— и,

sin у2 sin У\

a sin у2 ^ с-

следовательно, — =--. Таким образом, решение можно представить в

b sin?',

виде

,-(?>)=_^П^У^М____(6)

sin у 2 s,n(y¡ +/2 +lP/~s>n У i sin <р Нетривиальные преобразования этого соотношения приводят к тригонометрической форме решения, в которой параметрами являются только углы треугольника:

r{<p)=-—-d---—Р-Ь У + У,+Уп=к- (7)

2 cos\yj+ç?J+cosycos\y2+Ç) 1 1

В данной главе предложена существенная модернизация для случая информационного пространства конструкции метрики Канторовича-Рубинштейна, разработанной ими для моделирования экономического пространства. Предположим далее, что физические каналы реализуются посредством кабеля, как правило, это оптоволокно. Таким образом, в качестве компакта мы будем рассматривать гладкое (С00), двумерное, линейно связное многообразие М, с краем г?М. âM не обязательно связно: некоторые ком-

поненты âM могут соответствовать препятствиям при использовании радиосвязи или теням при использовании спутниковой связи. Предполагается тем самым, что задан топологический атлас, метрику на картах считаем евклидовой. Под кратчайшим расстоянием между двумя точками t и s будем понимать длину геодезической g(t,s). В общем случае предполагается, что принятое представление топологического атласа посредством карт отражает сложившиеся в рассматриваемом регионе географические, социальные и административные условия. Пусть зафиксирована система хостов

{/,- }"=[ еМ, которые необходимо подключить к провайдерскому хосту /q еМ. Каждому хосту сопоставим стационарный случайный процесс с к со-

стояниями (предполагается одинаковый для всех хостов алфавит с к различными символами), т.е. инвариантную относительно сдвига меру в пространстве ¿W двусторонних последовательностей из к символов. Таким образом, каждой паре точек ((¡,îq)u (i=l,n) ставится в соответствие пространство ¿{^xL^. Введем здесь матрицу: пусть m - минимальное целое число, для которого совпадает ш символов расположенных на соответствующих местах для элементов , JQeL^, т.е.

J0=(-J0X'J0X'--;j0,n^ Ji,l~JQ,l ' l = P,P + ™~\, (т<п); вместо метрики Хэмминга положим -ljr, где г - среднее время задержки при

передаче одного символа. Применяя конструкцию Канторовича-Рубинштейна к метрике % мы придем к метрическому пространству, где расстояние между последовательностями разбиений J,,Jq определяется как

dUq) '-= i xUîJq)^ . Здесь нижняя грань берется по всем нор-

Д Лк)хЛк) Li,nXL0„n

мированным мерам Л на для котоРых Я^х/,^ j = v(à),

Л¡¿blxB Mi),

Bc^i)}n > нормированная борелевская мера на

(К^

D По существу мы получили пространство, в котором пара элементов тем ближе, чем больший объем неискаженных сигналов с большей скоростью передается. Перейдем теперь к построению требуемого весового пространства. В соответствии с задачей проектирования оптимальной информационной сети, естественно в качестве веса взять отношение расходов по установлению физического канала между точками t, и t0 q(t,, to) к величине

геодезического расстояния g(t,,to). Тем самым, мы получаем весовое метрическое пространство с метрикой определяемой выражением

d(7 / ) = infj^4 \X{j{t)As))dW,s)dtds. (8)

1 2 Л M^t's\(k)x[(k) t,n s,n

Определение 1. Метрическое пространство с метрикой (8) будем называть информационным пространством, соответствующим топологическому многообразию М.

Понятно, что величина d позволяет конструировать различные целевые функции для задач проектирования оптимальных информационных сетей, а построенное информационное пространство содержит области определения допустимых решений таких задач. Кроме того, величина, d несомненно, удобна для сравнения различных проектных решений в случае конкурсного выделения средств. Наконец, параметр d позволяет сравнивать развитость информационной инфраструктуры различных административных единиц. Сделанные выше построения основаны на энтропийной теории динамических систем, базирующейся на свойствах групп автоморфизмов измеримых пространств. Однако условие сохранения меры является всего лишь упрощающим предположением, и, естественно возникает вопрос, как следует поступать, если групповое свойство не выполнено.

Здесь разработан метод энтропийной замены, который в некоторых случаях позволяет получить требуемые результаты. В качестве модельной ситуации будем рассматривать систему дифференциальных уравнений типа Коши-Ковалевской с правыми частями, зависящими от времени. Предположим далее, что для рассматриваемой системы определена, в феноменологическом смысле термодинамическая энтропия h(t) и скорость ее возрастания у/{х) зависит лишь от Х|. Из второго закона термодинамики в случае отсутствия термодинамического равновесия вытекает строгая положительность у/{х). Это обстоятельство позволяет ввести новую неизвестную t=t(h) и после замены переменных t->h, получим систему дифференциальных уравнений с решениями зависящими от энтропии как от параметра. Иными словами, мы пришли к некоторой автономной динамической системе большей размерности, для которой применима существующая теория дифференциальных уравнений. Кроме того, с помощью предложенного выше метода энтропийной замены мы получаем возможность изучить связь между энтропией неравновесной термодинамической системы и метрической энтропией в смысле Колмогорова. При этом рассмотрении необходимо переносится из привычного пространства - времени в несколько неожиданный объект: пространство - энтропия. В последнем случае пространство включает время в качестве дополнительной пространственной переменной, а в роли времени, как параметра группы (или полугруппы)

сдвигов по траекториям решений, выступает термодинамическая энтропия. Предлагаемый метод позволяет получать содержательные результаты также для автономных систем дифференциальных уравнений, в случае если известна полная функция Ляпунова <р(х). Здесь естественно полагать И(х)= ( р(х) )"'. Проектирование на подпространство бездивиргентных полей вектор-функций дало возможность применить полученные результаты для расчета движения вязкоупругой и нелинейно-вязкой жидкостей в замкнутых сосудах. В результате сформулированы достаточные условия существования и единственности сильных решений соответствующих модельных уравнений, исследованы метрические и топологические характеристики аттракторов для гладких решений этих уравнений. В частности получена следующая термодинамическая форма уравнений Навье-Стокса

+ } + р(ур-ас/ )у-ц Д р-аЫ р = /(х)

Л'уу = 0 (у е [?„,.*,],лееП); у^0,х) = у°(х)(х е£2), где П - ограниченная область трехмерного пространства с гладкой (с2)границей и Т,ц,рположительные константы имеющие смысл абсолютной температуры, динамической вязкости, плотности и потока тепла, соответственно. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть выполнены необходимые условия существования сильных решений: /(.т) е ¿2(П),¿Ь/ V0 = 0 и т = 3, тогда для решений уравнений Навье-Стокса справедлива следующая оценка

Н" 4?.'С,-,ФМС.

ds <

Э 5 11 '^'(П) 1Г 4 П\1Г}(П)

II 11£2(П)

* М (О - ¿0 > ||/||^(П), ¡V 0 ||Г1,(П) ).

5 е [,У0, 5,], >

Л'о <5 <5.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1, тогда уравнения Навье-Стокса в переменных (з,х) однозначно разрешимы на любом конечном отрезке

В указанных теоремах энтрапийная замена определена выражением

7Т= [ч +

и выбор степени ш = 3 позволяет свести доказательство к лемме Гронуолла - Беллмана

В четвертой главе диссертации предложено функциональное представление элементов информационного пространства. Здесь решена задача

определения углов, под которыми видны отрезки из точек эквиинформаци-онной кривой, найденной в третьей главе. В самом деле, после того, как найдены геометрические места точек, из которых под одинаковыми углами видны два отрезка, естественно задаться вопросом, каковы эти углы, т.е. под какими, собственно, углами видны отрезки из найденных выше точек. Наиболее содержательные формы решений, которые удалось получить, представлены ниже:

р соъЪр +со^(2у-Ър)-2рсоъу _

^ \-2р сс«(х -- 2(р) + р^

cos2 'piр^ - sin2 cos yf р + sin2 q> cos/1 + i sin 2y sin 2<p

= P{z,<p) + 2—-^-¿-----—--. (9)

l-2pcos(y-2p) + p Здесь P{z,<p) — ядро Пуассона представляющее точку z„ - конец отрезка в круге с радиусом а.

Рассмотрен интегральный оператор с ядром представленным выше, изучены свойства этого оператора. Квадрат 1г - нормы функции:

(10)

Скалярное произведение в ->—j •

(^■К C0S2r'C0Sf; v (И)

4 -' 2 cos у, cos у, cosy', + у.,) 4

Синус угла между функциями в

Обозначим через ( !L!L) замыкание в ¿2 ~ норме измеримых

на интервале и суммируемых с квадратом функций равных нулю в

точках ±~.

Полученные выше результаты позволяют заключить, что справедливы:

Теорема 3. Семейство функций Ь"{<р) содержит базисы Рисса пространства I -—,— ]. Семейство функций Гу(<р) содержит базисы Рисса 2,±—\ 2 2) г 4

г ( к к\ пространства —у

Теорема 4. Оператор действует в пространст-

ф [/(«=■)] = с ^Fs{ч>)f(<^■)ll<p

ве Ь

является сжатием с нормой !| Ф || 5

л/5-1

. Матрица оператора

в ортонормированном базисе {сояп(р,$тп(рУ°п=() имеет вид:

Ф =

0 1-р2 0 0 0

-р 0 0 р(1-р2) 0 0

0 0 0 0 р(1-р2)

РО-Р)

р2(1-р2)

р"(1-р2)

Указанные в теореме 3 базисы не ортогональны и могут быть ортого-нализованы известным методом Грамма-Шмидта.

Таким образом, мы получаем возможность гармонического анализа

ж к

белого шума (сигнала), т.е. любой функции из в которой гармо-

никам соответствуют функции из семейства В пространстве

I {_*__ О высоким гармоникам соответствуют значения у. прибли-2 ■ 2 )

жающиеся к —.

Качественно это соответствует следующей ситуации: для того, чтобы различить близкие по длине отрезки, необходимо подавать высокочастотный сигнал, т.е. более высокую гармонику ряда Фурье. Однако вместо базиса Фурье мы можем использовать базисные функции из семейства К, (у)

(см. рис.2,3), которые явно связаны с длинами отрезков и углом между ними посредством параметров у/ и у.

1 ((

Л 1 1

1 1 «д* | «« «ее 1 1 17 «ч м

Рис.2. у= 1.01,у= 2я73,4я75,5я76 Рис.3. 1-01,у = 11я-/12,л:-0.1,я--0.05

В пятой главе диссертации разработаны дискриминантное представление и численный метод факторизации в задаче геометрического моделирования информационного пространства. Здесь решена задача с двумя отрезками произвольно расположенными на плоскости. Рассуждая так же, как и ранее, получим уравнение, определяющее декартовы координаты точек (х,у), из которых под одинаковыми углами видны отрезки АВ и СО:

2у2-а2Ь2-%2у2-6г2Ьх0-6а2х$у2х3(а2Ьу2+ -и I ^гхд+Ъ2*р2(ъ2у'*-'2аЬ2у3-а2у^-'2а2Ьу2Хц-а2Ь2х§-2а2у2х^ —

(13)

-21 \х 3-е \ \ Зу 0+2гЬ ^ ^ %+Ъ 2у2УоУу 2[Ь 2у4-Ш2уЪ+а2Ъ2у1-4Ь2уЪУо+

+ЬЬ Ъ % ^'о+Ф \ Ъ \-(яЪ2)У1-Н1 \ 2у1-#> 2уу1+2аЬ2у1+Ь2у^.

Рассмотрены частные случаи решения этого уравнения.

С приведенным уравнением связан полиномиальный операторный пучок:

Ф)= ХЯи"'сг-, С^-^У, 1=оЯ (14)

¡=0

Пусть теперь семейство операторов {с(- принадлежит некоторой

коммутативной алгебре Я операторов, необязательно скалярного типа, действующих в Н. В силу разложения Данфорда имеем

C.=Sj+Nr ¿ = 6Я (15)

где - операторы скалярного типа, а А/,- - нильпотентные операторы; Я, и А/; коммутируют и разложение (15) единственно. Из абстрактных результатов теории спектральных операторов следует, что Я, и , (/,у=0,/7, Ыу), коммутируют и алгебра, порожденная семейством попарно коммутирующих операторов скалярного типа является подалгеброй

алгебры .Учитывая указанные обстоятельства и произвольность выбора

алгебры коммутирующих операторов скалярного типа сг, мы, без ограничения общности, можем принять, что = Л(.(/=0, я) и воспользоваться предыдущими рассуждениями и результатами. Кроме того, известно, что существует унитарный автоморфизм такой, что матричное представление и * Си имеет верхнетреугольный вид сразу для всех операторов С еЧЯ. Наконец мы можем получить факторизационное представление для пучка (14) и доказать, что имеет место следующая теорема.

Теорема 5. Пусть {с, }" ^ - произвольное конечное семейство операторов из коммутативной алгебры 3? операторов, действующих в к-

мерном гильбертовом пространстве Я. Пусть СТ({С/}"_0^||с7'| | со~

вместный спектр операторов {С, }"_0, состоящий из / различных точек кратностей «у (/=!,/). Тогда смешанные дискриминанты ¿¡¡¡=0,пк) в (14) однозначно определяются координатами точек совместного спектра операторов {с,}"_о и их кратностями и справедливо факторизационное представление

А'

и=0 J

(16)

1=0 у=п

Доказана теорема о локализации спектра полиномиального матричного пучка.

Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда

а(/.(Я))с и П.-^П), (17)

У=1

где £1у определяются условиями

Г'.

-К

4/{п)

>г

у;

у.

А»), у=и

(18)

п,

если п нечетно, [и -1, если п четно. Следствие 1. Если количество различных точек совместного спектра ст({Сг}"-о) меньше то сг(ь(Л)) содержит, по крайней мере, одно кратное

собственное значение. Пусть одна из связных компонент О образована объединением т колец вида (18), тогда эта связная компонента содержит ровно пг собственных значений пучка Л(Я) с учетом их кратности.

Сформулированные утверждения являются основой численного метода, позволяющие вычислять собственные значения полиномиального матричного пучка, факторизуя соответствующий многочлен на сомножители меньших степеней. Алгоритмическая реализация указанного метода приведена ниже в форме пошагового описания.

Шаг 1. Проверка условий коммутируемости матричных коэффициентов С, •С1 =СУ-С|,г,у = 0 ,п,1* у.

Шаг 2. Вычисление матрицы V, осуществляющей автоморфизм Усу / = 0,п, приводящий все матричные коэффициенты к верхнетреугольному виду, для чего проводится решение системы (я + 1)———- линеи-

ных уравнений. Решение проводится методом Гаусса-Банашевича.

Шаг 3. Вычисляются диагональные элементы матриц К~'С,К,

__| и

г = 0,н,} - \,к и формируются полиномы .

1=0

Шаг 4. Вычисление корней многочленов построенных на предыдущем шаге проводится методом Лобачевского-Греффе.

Существование решений на Шаге 2 гарантирует теорема 3. Эффективность предложенного численного метода определяется тем, что вместо вычисления корней многочлена высокой степени: п-к, мы определяем корни многочлена существенно более низкой степени:«, и эта операция проводится / раз. Здесь I зависит от кратности п1 сомножителя в (16) и не превосходит к.

В шестой главе диссертации получено полное решение задачи конструирования геодезической модели в случае общего расположения отрезков. Обозначим прямые, на которых лежат отрезки через (/,/,), а прямые, соединяющие их концы через (/и,»?,),(«,«,).

Определение 2. Будем говорить, что взаимное расположение отрезков общее, если в каждой из указанных пар прямые пересекаются в одной точке и все три точки различны.

Показано, что в случаях не общего расположения отрезков, определяющий полином может иметь степень меньше чем 6. Выберем декартову систему координат так, чтобы ее центр совпадал с точкой пересечения прямых (/,/]), а ось Ох содержала отрезок с длиной а. Обозначим абсциссу центра этого отрезка через х0. Абсциссу центра второго отрезка длиной Ь обозначим через х,, тогда соответствующая ордината у . Рассуж-

дения геометрического характера позволяют свести решение задачи к следующей системе уравнений:

ь 1„2

Ь I „2

у-у^+соьу—^К -

При этом знаки (+,—) соответствуют откладыванию центров окружностей в одну сторону вдоль серединных перпендикуляров, а знаки (-,+) - в противоположную сторону. Для каждого из этих случаев мы получим кубическую кривую. Объединение этих кривых дает полное решение задачи, так как совпадает с множеством . Далее мы будем рассматривать одну кривую, соответствующую знакам (+,-). Все последующие построения аналогично переносятся на вторую кривую и выполняются по той же самой схеме.

Ниже (рис.4.) приведен пример расположения указанных кривых в случае общего расположения отрезков. Вид кривой инвариантен относительно выбора декартовой системы координат.

Рис.4. а=1,Ь=0.5, *.=3, х,=2> г = лг/12

Введем следующие обозначения -=р,-ля2-—=г. Позволим парамет-

а V 4

ру I принимать также отрицательные значения, что соответствует откладыванию центров окружностей в нижней полуплоскости (у -> -да). Преобразуем теперь указанную выше систему к виду:

х2~2Х

b „2 az •x.-sin Г-^R ~r a \ 4

+*?-2*. siny-J/?2-—+sin2y~«2-' 1 a V 4

b ■ 2 2 —sin /

6 „2 a n+cosr-^Я —

+_yf+2yi cosy

aV 4

У 2^,2 62 2 b2 D2

l-тг cos jfi —- cos-1- ■

a2 4 a2

Отсюда

9 9 Я2 9

* -2ххд-2у<=——

4 Л0

9 9 2

2 2 ¿22^1

^ 4 cos2.

(21)

Исключим отсюда параметр /. Вычтем для этого из первого уравнения системы второе, в результате получим аффинное уравнение для (:

а2 Ь2

ц у ' Aj 2

t (-ty - Ъ.р siny+ 2с jp siiy+ Тур co^- 2vj> coy)=2xx^ - 2xx^ - 2yy^ +—---— +———Xq ; (23)

4 cos .y

отсюда

H 9 ~ 2уу\+2х(*о ~xi)

t--

сову

■2y+2p cosy(y->j}l'2psin}'(j:|-j:) * 1 2 ' 1 2

-, где a^-f,^

-fO t _£&.

Учитывая, что х, зт у = у, сое у, получим

(24).

a?-b?+—L—x$-2yyl+2x(x0-x1) . .

cos у = А+*Щ-*\У-УУ\

-2ру cosy-2px siny-2y р(у cosy-xsiny)-y

где А=-2

г2 Х1

2 Л0 cos у

(25)

. Отсюда получим искомый кубический поли-

ном в форме

r2+v2 ? У{А+АЧ-Х2УУУ\)2 2

X +у -¿XXq-Z—--г---

р(у cosy-xsmy}~y

Переходя в полярную систему координат х = rcos<p,y = rs'mrp

получим

r ~2rXQ cosip-2

sin <р(Л +r cos <p(xq -x j }-r sin <py\) psin^-y^sm?»

=al

гл.

откуда 2 2 г cosy

PXq cosy-xj cos^sin^-y)-^! sin у x\

2Asmq>

_+ a2_ 2

(27)

(28)

Обозначим через /j=pxq-

cosy

- это величина, зависящая только от

параметров задачи, тогда последнее выражение можно записать в виде

г2 -2г

р sm{q>-y)-sm(p

2Аsinд> | д2 х2

(29)

Пример расположения эквиинформационной кривой представлен на рис.5.

Мы, тем самым, пришли к некоторому уравнению второй степени, которое, казалось бы, можно легко решить. Однако здесь содержится нетривиальный вопрос: почему это уравнение должно иметь решения? Дискриминант этого уравнения очень сложен, и совсем не очевидно, что существуют такие утлы <р, при которых он положителен. Правда, у нас есть геометрическая конструкция, связанная с пересечением двух окружностей, но и здесь вопрос остается столь же нетривиальным: почему эти окружности обязательно должны пересекаться? Вообще говоря, возможна ситуация, когда одна окружность содержит другую окружность внутри, при любых выборах центра.

Рис.5. а=1,Ъ=0.5, х0 = 3> =3, г = я712

Эти вопросы вплотную связаны с первой частью 16-й проблемы Гильберта, где ставится задача определения взаимного расположения ветвей, которые может иметь плоская алгебраическая кривая шестого порядка. По утверждению В.И. Арнольда, 11 овалов могут располагаться на проективной плоскости 1812 топологически различными способами. Алгебраические кривые шестого порядка реализуют лишь 3 таких способа. Гильберту удалось установить два из них: одна ветвь, внутри которой содержится еще одна, и вне которой, содержатся остальные девять, или наоборот. Третий вариант был найден совсем недавно Д.А. Гудковым. Результаты И.Г. Петровского, O.A. Олей-

ник, Д.А. Гудкова, В.А. Рохлина, В.И. Арнольда, О .Я. Виро и ряда других исследователей, занимающихся задачами, связанными с 16-й проблемой Гильберта относятся, в основном, к А/-кривым, т.е. кривым, имеющим максимальное количество непересекающихся ветвей, что соответствует неприводимым многочленам. Но в нашем случае многочлен приводим над R. Отметим также, что для решения задачи Гильберта, как один из методов, используется следующая конструкция О.Я. Виро.

Рассматривается приводимый полином так, чтобы компоненты имели точку касания, а затем возмущаются коэффициенты так, чтобы произошло распадение особенностей и ветви расцепились. В нашем случае точки касания неприемлемы, так как тогда все решения задачи могут свестись к конечному множеству изолированных точек: в силу леммы Уитни непустое алгебраическое многообразие может состоять либо из конечного набора изолированных точек, либо из конечного числа непрерывных компонент.

Покажем, что в нашем случае имеет место вторая возможность. Ключевое рассуждение здесь основано на том, что асимптоты кривых в случае общего расположения отрезков пересекаются в центре декартовой системы координат, а это позволяет однозначно восстановить положение координатных осей. Рассмотрим для этого концы отрезков. Пусть <р = 0, тогда уравнение принимает вид

+/j sin y+yi р sin у

2 т

г ~2г

а\~х0 ■ (30)

г*-*

рх о---

~а\~х0" (31)

cosy cosy

r2-2rx0=a?-x$ , (32)

отсюда, Г] 2~ха ±аГ

Таким образом, концы отрезка, расположенного на оси Ох являются решениями уравнения. Более того, отсюда следует, что при (р = 0 дискриминант уравнения положителен и, в силу непрерывности, он будет положителен и в окрестности точки (р- 0. Так как каждая ветвь г,{р) и гг (<р) аналитическая функция от ср, за исключением окрестности точки такой, что sin(i»0-y) 1

———-=—, то отсюда следует существование непрерывной ветви с наклон-sin q>Q р

ной асимптотой <р = <р0. Понятно, что эта асимптота расположена вне сектора [О, у]. Поэтому точка пересечения прямых (и,«,) также дает решение уравнения. Аналогично, полагая ср = у, получим

мп' cos у COS Л

xl . cos2 у

cosy

г2 - 2г-—--hi cosy

cos у 1

i-+6, =0, (35)

cosy

откуда немедленно следует, что г, 9=—— ±Ы при <р-у являются реше-

^ COS?' 1

ниями уравнения - это концы второго отрезка. Следовательно, точка пересечения прямых пп и л, принадлежит рассматриваемой кубике. Проведя такие же рассуждения для второй кубики, получим, что ей также принадлежат концы обоих отрезков и точка пересечения прямых т и тЕё асимптота расположена в секторе [о, у]. Таким образом, мы доказали, что в случае общего положения кубические кривые пересекаются, по крайней мере, в пяти точках: это четыре конца отрезков и точка пересечения прямых / и /,.

Таким образом, если нам заданы обе кубики с пятью точками пересечения, то эти точки группируются по три, причем так, что каждая тройка лежит на одной прямой, после чего однозначно восстанавливаются оба отрезка. В данной главе полностью обоснована корректность предиката равенства, определённого в главе 2. Решена также задача определения углов, под которыми видны отрезки из точек найденных выше кривых, что позволяет перейти к формированию соответствующего риманового многообразия, что определено как основная цель настоящей работы. В самом деле, наши рассуждения позволяют теперь связать с каждой точкой Р этой кубики три угла а,<р и у. Эти углы параметрически зависят от взаимного расположения исходных объектов. Введем теперь гауссову кривизну в точке Р, полагая к = а + (р + у - к, делая так в каждой точке кубики, получим функцию кривизны k = к(Р). Это позволяет, решая уравнение Дарбу, восстановить некоторую поверхность с данной функцией кривизны. Таким образом, в окрестности рассматриваемой кубики нам удается построить поверхность с криволинейной системой координат х и у, удовлетворяющими нелинейным дифференциальным уравнениям с частными производными вида

d2z d2z дх2 ду2

'й)2 (36)

где и Т7 — коэффициенты главной квадратичной формы поверх-

ности, а величина

2 2 Ег % -2й у г.. г.

д 2 =_^_-У.

1 ? ' 1 Ев-Р1

первый дифференциальный параметр Бельтрами. Свойства решений этого уравнения во многом определяются выпуклостью и знаком гауссовой кривизны к(р).

Однако, в рассматриваемом случае мы не можем рассчитывать, что к(р) имеет постоянный знак. В самом деле, простые геометрические соображения показывают, что в удаленных точках кубики а —> О и к(р) < 0, т.е. это гиперболическая поверхность гомоморфная куску плоскости Лобачевского, в точках, достаточно близких к отрезкам величин а может приближаться к к, тогда *>0 и это означает, что мы имеем дело с куском поверхности, имеющим геометрию близкую к сферической, т.е. это эллиптический случай. В промежуточных точках кубики будет иметь место ситуация близкая к параболической или, даже, уплощение. Таким образом, мы получаем некоторую окрестность кубики, в которой геометрия определяется взаимным расположением двух объектов Q, и Q2 (в нашем случае они реализованы как отрезки). Размеры окрестности определяются тем, на сколько удается продолжить решение уравнения Дарбу. Во всех остальных точках плоскости геометрия остается евклидовой, так как в этих точках влияние одного объекта следует считать гораздо, большим, нежели влияние другого. Следует отметить, что теория уравнения Монжа-Ампера, частным случаем которого является приведенное выше уравнение Дарбу, является достаточно развитой. Однако мы не можем воспользоваться здесь какими-либо абстрактными результатами этой теории, так как все они требуют выполнения очень специальных условий, накладываемых на гауссову кривизну. В нашем случае, мы не можем, даже близко, рассчитывать на выполнение этих условий, поэтому в общем случае не гарантирована даже единственность этих решений - поверхность может оказаться, например, многолистной. Очевидно, что в каждом конкретном случае расположения объектов, задачу следует решать с применением численных методов, так как это обычно делается для нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. По степени сложности, да и по методам решения, эта задача близка к соответствующей задаче триангуляции плоскости в практической геодезии.

Вычисляя теперь метрическое расстояние g(t,s) между точками t и s, как длину геодезической на построенной выше поверхности, мы можем вернуться к целевой функции (8) и получить соответствующее выражение для </(/,, /2), обеспечивая тем самым, оптимальность информационной сети с учетом тех изменений в геометрии пространства, которые вносят расположенные в нем источники информации.

Алгоритмическая реализация предложенного выше метода моделирования информационного пространства (рис.6.) состоит из следующих основных модулей.

Модуль 1. Картографическое формирование функции гауссовой кривизны

к(Р).

Модуль 2. Численное решение уравнения Монжа-Ампера сочетанием метода Галеркина и метода сеток.

Модуль 3. Численное решение уравнения Якоби прямым вариационным методом Канторовича.

Модуль 4. Вычисление длины геодезической между двумя географически заданными точками проводится методом численного интегрирования Ньютона-Котеса.

Рис. 6. Модульная структура алгоритма геодезического моделирования информационного пространства

Наибольшие вычислительные трудности содержит Модуль 2. Остановимся на его содержании подробнее. Уравнение решается в минимальном круге К содержащем требуемую область. Строится счетная система

функций = 1,... ортогональных в пространстве Н (К). Линейную

оболочку первых п функций у^(х,у),у2{х,у),...^п(х,у) будем обозначать через . Галеркинское приближение строится как функция ип(х,у) удовлетворяющая конечномерной системе уравнений:

((

д2и л2 д и (,2 > о и 2

п п п -V \

дх2 Ф2 дх-ду к

х,у,и

ди ди л

_п_ _п_

»' дх ' ду

,Л?М>. ))я2=0, (37)

/ = 1,2,..., и.

Для практически важных расчетных случаев выполняется достаточное условие на функцию у/:

^(х,у,и,р,д)>0. (38)

ди

Оператор М(х,й) - это специально конструируемый эллиптический 4

оператор вида 'Е.Ь^{х,у)Ог с бесконечно дифференцируемыми вещество

венными функциями 6 (х,у), согласованными со скалярным произведением в Н2(К):

((>"2))Я2 = И (х,у) П1*х{х,у) п\{х,у№у . (39)

Приближенные решения ип(х,у) сходятся в норме Н (К) к решению уравнения Монжа-Ампера г=г(х,у). При этом контроль погрешности осуществляется методом сеток, где соответствующая триангуляция получена в процессе выполнения Модуля 1. Вычислительные эксперименты убедительно показали, что такой способ позволяет быстро получить удовлетворительные, с практической точки зрения, приближенные решения. Более того, варьирование базисных функций у^х,у) в расчетных случаях показали существование нескольких различных решений, что обеспечивает возможность выбора для лица принимающего решения.

Решив уравнение Монжа-Ампера мы получаем возможность вычислить компоненты метрического тензора поверхности:

скЛ2 & дг , (дг^

и символы Кристоффеля

У 2

дх1 а*7 дх1

<,;,/ = и , (41)

1к -где g дважды контравариантныи метрическии тензор с компонентами

,П=£22^12^21=_£12^22=1Ця = с1е1 (42)

ё 8 & Ч

В случае, когда компоненты метрического тензора имеют гладкость не ниже С2, мы можем сразу перейти к решению системы дифференциальных уравнений Якоби:

М- + Г5 5— =- = 0, (43)

¿р. У ¿5 ¿5

с двухточечным граничным условием. Однако в общем случае для не гладких решений уравнений Монжа-Ампера предлагается минимизировать функционал длины

1г\ сь1 сик

1/2

(44)

непосредственно, используя прямой вариационный метод Канторовича и завершить, тем самым, Модуль 2.

Возвращаясь теперь к соотношению (8) мы получаем возможность вычислять, а при необходимости и минимизировать целевую функцию с/(/р/2) (Модуль 4) варьируя отдельно как геометрические, так и технические параметры.

Указанный выше вычислительный процесс завершает последний шаг метода амплификации, предложенного во второй главе. Решённая выше задача определения угла а, под которым из точек кубической кривой видны отрезки — это и есть весьма отдаленное, в смысле этальной топологии, необходимое условие. В данном случае это одно из многих возможных следствий из сделанных выше построений и рассуждений. Из трех углов на двумерном многообразии мы определили гауссову кривизну, и этим закончили второй шаг метода. Усиление или амплификация конструкции, как показано выше, достигнуто обращением к уравнению Дарбу — восстановление поверхности по ее кривизне, тем самым мы получили модель информационного пространства как риманового многообразия, чем завершили один цикл метода амплификации.

На основе развитой теории разработан программный комплекс оптимального размещения осветительных приборов, укрупненная модульная структура которого представлена на рис.7.

Рис.7. Укрупненная структура программного комплекса оптимального размещения осветительных приборов

методы, развише в настоящей работе внедрены архитектурной мастерской «Фонте Гайя» (г. Москва) для решения задачи оптимального размещения осветительных приборов и проектирования системы наблюдения на площадях до 25 кв.км. Комплекс программ, разработанный на основе представленной выше алгоритмической схемы моделирования информационного пространства, позволил увеличить контролируемую площадь на 20 %.

Представленные выше результаты явились основой проведения специального курса по проектированию геоинформационных систем для студентов Воронежского института высоких технологий и Воронежского государственного технического университета, обучающихся по специальности 071900 «Информационные системы».

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Разработан метод конструирования геодезической модели информационного пространства как риманового многообразия с ограниченной гауссовой кривизной, что позволяющий строить метрический тензор и определять кратчайшее расстояние между двумя заданными точками на построенной поверхности;

2. Сформулирована и решена задача проектирования оптимальной информационной сети рассмотрена как задача минимизации целевой функции - расстояния в весовом метрическом пространстве с метрикой, определяемой выражением (8).

3. Решена обратная задача восстановления положения моделирующих отрезков и их длин по заданным кривым и доказано, что на ориентированной плоскости обратная задача однозначно разрешима, для всех случаев расположения объектов, это позволяет рассматривать соответствующие модельные уравнения и решать задачу моделирования информационного пространства в терминах систем уравнений.

4. Установлена возможность представления энтропии конечных схем через определенные интегралы от рациональных функций, что позволяет выражать комбинаторные свойства конечной схемы в терминах взаимного расположения интервала интегрирования, нулей и полюсов рациональной функции. Установлена инвариантность такого представления относительно действия группы проективных преобразований.

5. Дано и обосновано геометрическое обобщение определения информации и энтропии, как логарифма двойного отношения четырех прямых в проективной геометрии.

6. Предложен метод энтропийной замены, позволяющий исследовать поведение динамической системы в пространственно-энтропийном континууме и позволяющий преодолеть проблему нелокальной по времени разрешимости для широкого класса дифференциальных уравнений.

7. Изучен интегральный оператор, позволяющий строить матричное представление структуры информационного пространства и необходимый для решения оптимизационных задач взаимного расположения объектов имеющих информационную природу.

8. Сформулировано определение общего взаимного расположения двух объектов на плоскости и дано полное решение задачи в случае общего расположения отрезков на плоскости. В полярной системе координат с центром в точке пересечения прямых, на которых лежат отрезки и поперечной осью преходящей через один из них получена факторизация на две кубические кривые вида (28, 29).

9. Исследовано асимптотическое поведение полученных кубических кривых и доказано, что в случае общего расположения объектов все асим-

птоты пересекаются в одной точке и эта точка совпадает с точкой пересечения прямых, на которых расположены отрезки, моделирующие рассматриваемые объекты.

10. Разработан метод амплификации, как метод системного анализа, позволяющий конструировать новые предметные области, за счет усиления наимение значимых признаков, рассматриваемых объектов.

11. Предложен численный метод, основанный на установленной взаимосвязи между смешанными дискриминантами и совместным спектром семейства коммутирующих операторов, позволяющий увеличить скорость вычисления собственных значений полиномиального матричного пучка, факторизуя соответствующий многочлен на сомножители меньших степеней.

12. Осуществлено модульное представление алгоритма метода моделирования информационного пространства как риманового многообразия позволяющего вычислять информационное расстояние между географически заданными точками, как длину соответствующей геодезической кривой.

13. Предложена алгоритмическая реализация численного решения уравнения Монжа-Ампера, сочетающая метод Галеркина и метод сеток и позволяющая получить приближенные решения сходящиеся в сильных нормах.

14. Осуществлена практическая реализация метода моделирования метрических характеристик информационного пространства, осуществленная в проектных разработках архитектурной мастерской «Фонте Гайя» (г. Москва), позволила увеличить площадь контролируемой территории на 20 %.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

Монографии

1. Агранович Ю.Я. Геометрическое моделирование структуры информационного пространства. Ворнеж; ВГТУ, 2000. 147с.

Публикации в периодической печати и сборниках научных трудов

2. Агранович Ю.Я. Исследование математической модели вязко-упругой жидкости / Ю.Я. Агранович, П.Е. Соболевский // ДАН УССР, 1989, сер. А №10 С. 3-6.

3. Агранович Ю.Я. Движение нелинейной вязкоупругой жидкости / Ю.Я. Агранович, П.Е. Соболевский // ДАН СССР, 1990 Т. 314. №3. С. 521525.

4. Агранович Ю.Я. Об определении технологических возможностей пресс-автоматов / Ю.Я. Агранович, И.К. Некрасов// Кузнечно-штампо-вочное производство. М. 1990. №9. С. 29-30.

5. Агранович. Ю.Я. О связи смешанных дискриминантов и совместного спектра семейства коммутирующих операторов в конечномерном пространстве/ Ю.Я. Агранович, О.Т. Азизова // Математические заметки. М. 1997. Т. 62. Вып. 1, С. 3-9.

6. Агранович Ю.Я. Математическая модель информационного пространства в проблеме проектирования оптимальных информационных сетей / Ю.Я. Агранович, П.В. Юрасов // Информационные технологии, М. Т.1. №5. 1998. С. 31-34.

7. Агранович Ю.Я., Звягин В.Г. Investigation of properties of at-tractors for a regularized model of the motion of a nonlinear-viscous fluid // Вестник ВГУ. Серия Физика, математика. Воронеж, 2001. N2. С. 50-58.

8. Агранович Ю.Я. Геометрическая модель источников информации // Информация и безопасность. Воронеж, 2003. N1. С. 84-90.

9. Агранович Ю.Я. Факторизация полиномов в геометрическом методе маскировки метрических характеристик источников радиоизлучения // Информация и безопасность. Воронеж, 2003. N1. С. 99-103.

10. Агранович Ю.Я. Моделирование и управление аппаратом искусственной вентиляции легких / Ю.Я. Агранович, В.Г. Ёлкин // Системный анализ и управление в биомедицинских системах. М. 2003. Т.2. №2. Стр 139-141.

11. Фролов В.Н., Агранович Ю.Я. Метод амплификации как способ обращения к предкаузальной конструкции // М. Машиностроитель. 2003. №7. С. 23-25.

12. Фролов В.Н., Агранович Ю.Я. Математические основы теории информационного поля // Техника машиностроения. М. 2003. №4. С. 51-56.

13. Agranovich Yury Ya. Sobolevskii P. E Motion of nonlinear visco-elastic fluid // Nonlinear variational problems and partial differential equations. Longman Scientific of Technical. London, 1995. Pp. 1-12.

14. Agranovich Yury Ya. The Theory of Operators with Dominant Main Diagonal I.// Kluwer Academic Publisher, Printed in the Netherlands, Positivity.Vol.2. N 2. 1998. Pp. 153-164.

15. Agranovich Yury Ya. Sobolevskii P.E. Motion of nonlinear visco-elastic fluid // Nonlinear Analysis, Theory, Methods Applications, Vol. 32. № 6. Printed in the Great Britain, 1998. Pp. 1724-1730.

16. Агранович Ю.Я. О вероятностном смысле геометрической информации/ Ю.Я. Агранович, Т.В. Семынина // Вестник ВГТУ. Сер. Радиоэлектроника и системы связи. Воронеж. 2001. Вып. 4.1. С. 92-95.

17. Агранович Ю.Я. О влиянии параметра инерционности на число определяющих мод и фрактальную размерность аттрактора для одной регуляризации уравнений Навье-Стокса// Компьютеризация в медицине: Сб. науч. тр. Воронеж, 1993. С. 192-197.

18. Агранович Ю.Я. Моделирование процессов обмена данными в телекоммуникационных компьютерных сетях/ Ю.Я. Агранович, В.Г. Юра-сов // Высокие технологии в технике, медицине и образовании: Сб. науч. тр. Воронеж. 1996. Ч. I. С. 125-129.

19. Агранович. Ю.Я. Исследование слабых решений модели Олд-ройта вязкоупругой жидкости/ Ю.Я. Агранович, П.Е. Соболевский// Качественные методы исследования операторных уравнений: Сб. науч. тр. Ярославль, 1991. С. 39-43.

20. Агранович Ю.Я. О некоторых приложениях теории операторов с доминирующей главной диагональю к методам вычислений// Высокие технологии в технике, медицине и образовании: Сб. науч. тр. Воронеж: ВГТУ. 1997. Ч II. С. 147-151.

21. Агранович Ю.Я. Представление энтропии конечных схем интегралами рациональных функций// Высокие технологии в технике, медицине, экономике и образовании: Сб. науч. тр. Воронеж: ВГТУ, 2000. С. 112118.

22. Агранович Ю.Я. Аттракторы динамических систем и непрерывные дроби// Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения: Сб. науч. тр. Воронеж: ВГУ, 2000. С. 38-39.

23. Агранович Ю.Я. Геометрическое определение количества информации и некоторые задачи на геометрические места точек/ Ю.Я. Агранович, П.В. Юрасов // Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения. Воронеж: ВГУ, 2000. С. 40-42.

24. Агранович Ю.Я., Чекменёв А.Н., Федоркова Н.В. Асимптотический метод определения оптимальной стратегии ресурсного обеспечения производственной системы // Системы управления и информационные технологии: Межвуз. сб. науч. тр. Воронеж, 2001. С. 183-192.

25. Агранович. Ю.Я. Изучение математической модели функционирования аппарата искусственной вентиляции лёгких/ Ю.Я. Агранович, В.Г. Ёлкин, Л.И. Пожидаев, В.П. Праслов// Компьютеризация в медицине: Сб. науч. тр. Воронеж, 1992. С. 13-24.

26. Агранович Ю.Я. Некоторые свойства операторов с доминирующей главной диагональю/ Ю.Я. Агранович, Л.И. Сухочева, П.В. Юрасов // Математическое обеспечение высоких технологий в технике, образовании и медицине. Воронеж, 1994. С. 152-153.

27. Агранович Ю.Я. Геометрическое определение количества информации и некоторые задачи на геометрические места точек в проблеме проектирования информационных сетей / Ю.Я. Агранович, В.В. Груздев, П.В. Юрасов // Высокие технологии в технике, медицине, экономике и образовании: Сб. науч. тр. Воронеж: ВГТУ, 2000. С. 40-42.

28. Агранович Ю.Я. Об одном условии появления солитонов на поверхности вертикально стекающей вязкоупругой пленки. Деп. в ВИНИТИ №6010-В87. Воронеж, 1987. 9с.

29. Агранович. Ю.Я. О повышении гладкости решений одной математической модели реальных жидкостей// Интерактивное проектирование технических устройств и автоматизированных систем на ПЭВМ. Всесоюзное совещание-семинар. Воронеж. 1991. С. 106-107.

30. Агранович Ю.Я. О собственных значениях полиномиальных матричных пучков / Ю.Я. Агранович, Л.И. Сухочёва // Спектральные и эволюционные задачи: Сб. науч. тр. Киев: Наукова думка, 1991. С. 23.

31. Agranovich Yu.Ya. On the influence of the inertia parameter on the defining modes and the fractal dimension of an attractor of Navier-Stokes equations// Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики. Воронеж, 1995. С. 7.

32. Агранович Ю.Я. О совместном спектре операторов и приложениях / Ю.Я. Агранович, О.Т. Азизова //Современные методы в теории краевых задач «Понтрягиские чтения-VII». Воронеж, 1996. С. 7.

33. Агранович Ю.Я. О корректной управляемости систем// Математическое обеспечение информационных технологий в технике, образовании и медицине: Всероссийское совещание-семинар. Воронеж, 1996. Ч. II С. 124-125.

34. Агранович Ю.Я. Энтропийный анализ уравнения Беллмана как способ разработки архитектуры глобальных информационно-вычислительных сетей/ Ю.Я. Агранович, Г.В. Кольцова, В.Г. Юрасов// Перспективные .информационные технологии в высшей школе: Материалы Всерос. науч.-техн. конф. Тамбов, 1995. С. 60-61.

35. Агранович Ю.Я. Об условиях устойчивости квадратичных операторных пучков/ Ю.Я. Агранович, О.И. Крючкова// Математическое обеспечение высоких технологий в техники, образовании и медицине: Материалы Всерос. совещания-семинара. Воронеж, 1995. С. 35-36.

36. Агранович Ю.Я. Соотношение эмоционального и рационального в методологии дистанционного обучения/ Ю.Я. Агранович, О.В. Гер-штейн, О.Г. Казакова // Интеллектуализация управления в социальных и экономических системах: Тр. Всерос. Конф. Воронеж: ВГТУ, 2000. С. 74.

37. Агранович Ю.Я. К использованию рациональных функций для вычисления энтропии конечных схем/ Ю.Я. Агранович, С.А. Комарчук // Интеллектуальные информационные системы: Тр. Всерос. конф. Воронеж, 2001. Ч. 1.С. 56-57.

38. Агранович Ю.Я. Свойства общего расположения двух отрезков и плоскости/ Ю.Я. Агранович, A.B. Головин // Интеллектуальные информационные системы: Тр. Всерос. конф. Воронеж, 2001. Ч. 2. С. 42-43.

33 i l'OC. НАЦИОНАЛЬНАЯ

БИБЛИОТЕКА С.Пегарвурс ОЭ Мв акт

39. Агранович Ю.Я. Эквиинформационные кривые для двух вырожденных случаев расположения отрезков/ Ю.Я. Агранович, О.А. Бугакова // Интеллектуальные информационные системы: Тр. Всерос. конф. Воронеж, 2001.4. 2. С. 58-59.

40. Агранович Ю.Я. Проективная инвариантность энтропии конечной схемы/ Ю.Я. Агранович, Т.В. Семынина // Интеллектуальные информационные системы: Тр. Всерос. конф. Воронеж, 2001. Ч. 2. С.8-9.

41. Агранович Ю.Я. Условный вариант 16-й проблемы Гильберта и свойства интегральных операторов// Интеллектуальные информационные системы: Тр. Всерос. конф. Воронеж, 2001. 4.1. С.46-48.

42. Agranovich Yury Ya. An entropy parameterization of the Navier-Stokes equation Spectral and evolution problems, Volume 5,6, 1996, Crimea, Ukraine, 1997. Pp. 277-278.

43. Agranovich Yury Ya., Bugakova O.A., Golovin A.V. Spectral properties of integral operators and a conditional variant of Hilbert's 16lh problem// International Conference «Differential Equations and Related Topics». Ivan G.Petrowskii Seminar and Moscow Mathematical Society, 21-27 May 2001. Pp.26-27.

ЛР № 066815 от 25. 08. 99. Подписано к печати / % ^,2003. Усл. -печ.л. 2,0 Тираж 85 экз. Заказ № Щ Воронежский государственный технический университет

394026, Воронеж, Московский просп., 14.

\é\?7

Р 1в 1 9 7

Оглавление автор диссертации — доктора физико-математических наук Агранович, Юрий Яковлевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ОБЪЕКТОВ.

1.1. Обзор основных проблем ГИС - технологий.

1.2. Обзор основных проблем и методов пространственного анализа.

1.3. Цель исследования и постановка задач.

2. ЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРОЦЕССА ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ.

2.1. Доказательство, ход рассуждений и передача информации.

2.2. Конструкция: наложение и стирание смыслов, рекурсия.

2.3. Метод амплификации как способ обращения к предкаузальной конструкции.

2.4. Представление энтропии конечных схем интегралами рациональных функций.

2.5. Определение геометрической информации и энтропии.

2.5.1. Двойное отношение четырёх прямых.

Введение 2003 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Агранович, Юрий Яковлевич

Актуальность проблемы. В середине прошлого века была разработана и внедрена технология, позволяющая устанавливать кабельную связь между компьютерами, находящимися на большом географическом удалении друг от друга. Это обусловило начало интенсивного формирования информационного пространства. Исторические особенности указанного процесса привели к первоначальному развитию алгоритмического, а более общо- формально алгебраического подхода к решению возникающих здесь задач. Однако уже в середине 80-х годов стало понятно, что обмен информацией на компьютерном уровне приобретает широкомасштабный, всеохватывающий характер, что приводит к необходимости решать не только логические задачи компьютерного взаимодействия, но также проблемы, связанные с выбором места расположения крупных информационных узлов. Уровень развитости информационных технологий данного региона определяет, наряду с другими факторами, степень управляемости при решении широкого спектра жизненно важных социальных, экономических и геополитических проблем, с другой стороны, многие принципиальные административные решения с необходимостью должны подкрепляться соответствующим развитием информационной инфраструктуры данного региона. Выполнение такого сравнительного анализа требует разработки специальных методик, в основе которых лежит, прежде всего, решение проблемы построения модели информационного пространства.

На эмпирическом уровне с проблемой отсутствия общего подхода к описанию процессов геоинформационного взаимодействия сталкиваются при разработке геоинформационных систем - ГИС-технологий, а также при создании базовых технологий перспективных средств радиоэлектронной борьбы. Таким образом, назрела необходимость создания абстрактной геометрической модели информационного пространства, направленной на увеличение эффективности взаимодействия информационных объектов в зависимости от их географического положения. Пространственный анализ компьютерных сетей важен не только с практической точки зрения, но также и с теоретичес-кой, так как геометрическое рассмотрение логических устройств естественно приводит к появлению геометрической теории логических структур. В дальнейшем такая теория сможет классифицировать утверждения по количеству различных доказательств, которыми они могут быть установлены. В этом смысле теорема К. Гёделя о неполноте арифметики будет на одном краю спектра, как теорема о существовании истинных утверждений с нулевым числом доказательств, а на другом краю будет теорема о существовании утверждений с континуальным количеством различных доказательств. Эта ситуация аналогична существованию бесконечного числа замкнутых геодезических на многообразии неотрицательной кривизны.

Цель исследования: разработать теорию математического моделирования информационного пространства как риманового многообразия ограниченной гауссовой кривизны, направленную на повышение эффективности информационного взаимодействия географически удалённых объектов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи: провести системный анализ методов моделирования информационного взаимодействия географически удаленных объектов; развить методы пространственного анализа применительно к решению проблемы моделирования метрических характеристик информационного пространства; построить функциональное представление элементов информационного пространства; сконструировать геодезическую модель информационного пространства, адаптированную к основным положениям римановой геометрии; разработать и внедрить численный метод, позволяющий эффективно решать задачи геометрического моделирования информационного взаимодействия объектов.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты, характеризующиеся научной новизной: математическая модель информационного пространства как двумерного риманова многообразия с метрическим тензором, определяемым уравнением Монжа - Ампера с гауссовой кривизной, зависящей от взаимного расположения источников информации, позволяющая формировать базовые элементы теории информационного поля; интегральный оператор, обеспечивающий решение оптимизационных задач взаимного расположения объектов, имеющих информационную природу за счет матричного представления структуры информационного пространства; метод конструирования геодезической модели информационного пространства как риманова многообразия с ограниченной гауссовой кривизной, обеспечивающий построение метрического тензора и определение кратчайшего расстояния между двумя заданными точками на построенной поверхности; метод амплификации, позволяющий создавать качественно новые предметные области, за счет усиления наименее значимых признаков рассматриваемых объектов; метод энтропийной замены, отличающийся использованием энтропии в качестве параметра группы сдвигов по траекториям решений дифференциальных уравнений и позволяющий исследовать поведение динамических систем в пространственно-энтропийном континууме; обоснование корректности предиката равенства геометрической информации, основанное на полных решениях прямой и обратной задач определения эквиинформационных кривых на плоскости и позволяющее представить математическую модель информационного пространства в форме алгебраического многообразия; численный метод факторизации матричного представления структуры информационного пространства, основанный на установленной взаимосвязи между смешанными дискриминантами и совместным спектром семейства коммутирующих операторов, обеспечивающий увеличение скорости вычисления собственных значений полиномиального матричного пучка.

Основные положения, выносимые на защиту:

2. Метод амплификации, позволяющий создавать качественно новые предметные области, за счет усиления наименее значимых признаков рассматриваемых объектов;

3. Метод энтропийной замены, позволяющий исследовать поведение динамических систем в пространственно-энтропийном континууме;

4. Доказательство корректности предиката равенства геометрической информации, основанное на полных решениях прямой и обратной задач определения эквиинформационных кривых на плоскости.

Апробация работы. Основные положения и научные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на III Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах в г. Куйбышеве, 1988 г.; на Всесоюзной конференции "Нелинейные задачи математической физики" в г. Черновцы, 1989 г.; на IX Всесоюзном симпозиуме «Эффективность: качество и надежность систем "человек - техника"» в г. Воронеже, 1990 г.; на Всесоюзном совещании - семинаре "Интерактивное проектирование устройств и автоматизированных систем на персональных ЭВМ" в г. Воронеже, 1991 г.: на семинарах в Воронежском лесотехническом институте; на семинаре в Воронежском госуниверситете (руководитель; на конференции профессорско-преподавательского состава Воронежского политехнического института, 1991 г.; Всероссийском совещании - семинаре "Математическое обеспечение высоких технологий в технике, образовании и медицине" (Воронеж, 1994,1997); научно-методической конференции "Проблемы качества образования" (Уфа, 1996); Республиканской электронной научной конференции "Современные проблемы информатизации" (Воронеж, 1997); Международной научной конференции "Нелинейный анализ и функционально - дифференциальные уравнения" (Воронеж, 2000); IV Международной научно-практической конференции "Экономика, экология и общество России в 21-м столетии" (Санкт-Петербург, 2002); IV Workshop of Partial Differential Equations: Theory, Computations and Applications. Rio de Janeiro, 1995(Brazil); Gesellschaft fur Ange-wandte Mathematik und Mechanik, Regensburg, 1997(Germany): International Conference "Differential Equations and Related Topics" dedicated to the Centenary Anniversary of Ivan G. Petrovskii, Moscow, 2001 (Russia), Международной конференции "Современные сложные системы управления (Воронеж, 2003), XVI международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях" (Ростов-на-Дону, 2003), 35-43 ежегодных научных сессиях профессорско-преподавательского состава ВГТУ (Воронеж, 19952003), а также на научных семинарах кафедры автоматизированных и вычислительных систем ВГТУ.

Публикации. Автором по теме диссертации опубликовано более 60 работ, в том числе монография. 9 статей опубликовано в журналах указанных в перечне ВАК. Основные публикации представлены в конце автореферата. 14 работ опубликовано без соавторов. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателем предложены: в [1, 2, 10, 12, 16] - получение неравенств выражающих априорные оценки; в [3] — алгебраическая модель системы; в [4] - разработка численного метода факторизации полиномов; в [6] - приложение теории полугрупп операторов к анализу динамики нелинейных механических систем; в [9] - исследование некорректной динамической системы; в [39] - вычисление асимптотических разложений; в [18, 24, 26, 29, 32] - качественный анализ дифференциальных уравнений; в [5, 33, 34, 35, 36, 37, 41] - постановка задачи моделирования информационного пространства и метод её решения; в [25] - метод энтропийной замены; в [17, 20, 22, 28] - постановка задачи разработки численного метода для операторов с доминирующей диагональю.

Заключение диссертация на тему "Моделирование метрических характеристик информационного пространства на основе римановой геометрии"

6.6. Основные результаты и выводы

1. Для случая отрезков одинаковой длины и осевой симметрии расположения доказана лемма 6.1. утверждающая приводимость определяющего полинома шестой степени к произведению полиномов первой, второй и третьей степеней. В декартовой системе координат с центром в точке пересечения прямых, на которых лежат отрезки и осью абсцисс, совпадающей с осью симметрии расположения, указанная факторизация имеет вид:

2 2 а + 2е / \ у- у ---х + е[е + а) cos — у2 cos— 2 v

2е + а) cos У jt(jt2 -{а + 2e)cos ■ х + е(е + я)], где а - длина отрезков, е — расстояние от левых концов отрезков до начала координат, у - угол между прямыми, на которых лежат отрезки.

2. Для рассмотренного выше случая найдены углы, под которыми из точек кубической кривой видны отрезки: cos 2а 1 J q2)cos2 (р

2\ 2 q jcos (p a sinr где a - угол, под которым виден один отрезок, q =---— =

2d 1-cos/ а 1 т-г- - расстояние от точки пересечения серединных

2е + а) 1 - cos у перпендикуляров к отрезкам до центра отрезка.

3. Дана конструкция специальной системы окружностей , точки пересечения которых, если они существуют, определяют искомое множество, задача, таким образом, эквивалентно сформулирована в терминах указанной конструкции. Эквивалентность доказана в леммах 6.2-6.4.

4. Полностью решена задача для двух параллельных центрированных отрезков, решения представлены в виде двух кубических кривых в декартовой системе координат с центром в середине большего отрезка, лежащего на оси Од;: х2[у{\ + р)-ph\ + {\ + р)уг-hy2{p + 2)-y[b2 + ра2 -h2]+ a2ph = О, х2[у(1 - р)+ ph] + (1 - р)у3 + h(p ~2)у2+ y[h2 + а\р - Ь2 ]- a2ph = О, где h - расстояние между прямыми, на которых лежат отрезки, а{ -половина длины большего отрезка, Ьх - половина длины меньшего отрезка, р = 0< р<\. а,

Исследованы все частные случаи, в которых возможна дальнейшая факторизация кубических многочленов на компоненты второй и первой степени.

5. Сформулировано определение общего взаимного расположения двух отрезков на плоскости:

- расположение отрезков общее, если две пары прямых, соединяющих концы отрезков и прямые, на которых лежат отрезки пересекаются в трех различных точках.

6. Дано полное решение задачи в случае общего расположения отрезков на плоскости. В полярной системе координат с центром в точке пересечения прямых, на которых лежат отрезки и поперечной осью преходящей через один из них получена факторизация на две кубические кривые вида: r2 -2r еj+ cos#>sin(^ - y)~ xxtgy ps\n{p — y)-smqy

2 A sin (p psm{<p - y)-sirup 2 2 + Cl\ Xq , r2 -2r ex cos (p sin($> - у) + л;, tgy psin((p - y) + sm(p

2 A sin (p p sm{(p - y) + sm (p 1

2 2 "h d-\ Xq у где x^ - расстояние от центра системы координат до центра второго отрезка, jc0 - расстояние от центра системы координат до центра первого отрезка, е\ =рх о +

A = \[a2-b2+^~xl cos у cos у

- метрические параметры задачи.

7. Доказано, что полученные кубики могут иметь не более 7 точек пересечения. Из них 5 точек - это концы отрезков и точки пересечения прямых, на которых эти отрезки лежат.

8. Исследовано асимптотическое поведение полученных кубических кривых. Доказано, что в случае общего расположения отрезков все асимптоты пересекаются в одной точке и эта точка совпадает с точкой пересечения прямых, на которых расположены отрезки.

9. Рассмотрена обратная задача восстановления положения отрезков и их длин по заданным кривым. Доказано, что на ориентированной плоскости обратная задача однозначно разрешима, для всех случаев расположения отрезков.

10. Таким образом полностью обоснована корректность определенного в гл. 1 предиката* «равенство». Это позволяет рассматривать «уравнения». На этом пути получено уравнение, позволяющее определять углы, под которыми видны оба отрезка из точек, найденных выше кривых. В случае, когда левый конец первого отрезка совпадает с началом координат, оно имеет вид: sin2 (р , sin2 (р , Р—;—г--я +

4 cos у sin(^> -/)■ sin2 (а±(р)-^ sin(a ± (р) sin 2 q> sin(<p -у) p + sm.(psm(a±(p), . , • \

-----— (cos q> ш\(р - a ) + sin у ) cos / q - sin (p sin2 (a ± <p) = 0.

11. Рассматривая предыдущее соотношение как квадратичную форму, мы получили необходимое и достаточное условие ее приводимости в виде следующего уравнения

FHa,(p)= sin3 (р- Sln ^cos2{у-(р) + sin2(^-/) / ч sin 2(р sin (а±(р)- 0

Это уравнение полностью свободно от всех метрических параметров задачи. Его форма определяется только геометрической конструкцией: предикатом инцидентности с геометрической областью определения. Поэтому полученное уравнение имманентно собственно конструкции. Изложенные соображения являются основанием для построения геофизической модели информационного пространства. Именно: при вариации угла у от 0 до к семейства кривых (а,(р) = 0 образуют градусную сетку на единичной сфере, задавая тем самым систему координат, внутренне присущую понятию доступности информации, как прямой связи между геометрическими объектами. Возможность установления такой связи моделируют указанные кривые. Собственно сам термин «информационное пространство» содержательно идентифицирует именно возможность или невозможность связи между объектами предметной области. Но это и есть предикат инцидентности. Здесь необходимо сказать несколько слов о нашем понимании моделей. Мы понимаем модель в сильном смысле, т.е. как уравнение или систему уравнений в том или ином смысле адекватно отражающих рассматриваемую предметную область. Такое понимание связано с основными чертами, присущими естественнонаучным моделям, в физике, например, это законы сохранения, в экономике - уравнения баланса или принцип минимакса в смешанных стратегиях. Можно приводить и другие примеры - все они связаны с глубоким проникновением в свойства предметной области, так как условия совместности системы уравнений или, что тоже самое, условия существования решений определяют принципиальные свойства предметной области. Однако, достичь такого понимания бывает весьма не просто, поэтому моделирование, как правило, начинается с более слабых моделей, т.е. моделей, выражаемых неравенствами или системой, состоящей из уравнений и неравенств. Здесь вопрос о разрешимости может оказаться тривиальным и необходимо подключать некоторый вариационный принцип или теорию оптимизации, для того, чтобы отобрать подходящие решения из огромного множества возможных решений, удовлетворяющих исходной системе неравенств. На этом пути, мы, в конечном счете, также получаем сильную модель в форме интегральных или дифференциальных уравнений, условие разрешимости которых определяют требуемые свойства предметной области.

12. Приведена конструкция геофизической модели в общем случае. Конструкция основана на введении в точках кубики гауссовой кривизны К , как преобладание суммы углов а,(р и у над я и построению локального куска поверхности с помощью решения уравнения Дарбу с построенной так функцией кривизны. Это дает возможность восстановить метрический тензор g. и, решая уравнение Якоби найти геофизическую и, следовательно, найти кратчайшее расстояние между двумя заданными точками на построенной выше поверхности.

Мы используем следующее определение предиката (см. [44]). Предикатом называется булевозначная функция на произвольной фиксированной области определения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Обоснована аналогия между процессом передачи информации и ходом рассуждения в логическом доказательстве математического утверждения. Логическому доказательству поставлен в соответствие геометрический объект с этальной топологией, где в качестве эталона выбран один шаг доказательства. Описана категория дополнительная к доказательству, это предкаузальная конструкция с основными операциями: наложение смысла, стирание смысла и рекурсией.

2. Сформулирована и доказана теорема 2.1. Пусть на поверхности неотрицательной кривизны задана выпуклая фигура и определены семейства параллельных секущих геодезических. Если граница фигуры имеет длину р , то для длин медиан т справедлива оценка 1 sup т < —р.

3. Сформулирован метод амплификации, как способ обращения к предкаузальной конструкции.

4. Установлена возможность представления энтропии конечных схем через определенные интегралы от рациональных функций, что позволяет выражать комбинаторные свойства конечной схемы в терминах взаимного расположения интервала интегрирования, нулей и полюсов рациональной функции. (Теорема 2.2). Установлена инвариантность относительно действия группы проективных преобразований (следствие 2.2).

5. Дано и обосновано геометрическое обобщение определения энтропии (информации): пусть (DX,D2,D3,D4) упорядоченная четверка векторных прямых, проходящих через одну точку, будем называть обобщенной энтропией четырех прямых величину логарифма двойного отношения этих прямых. hDV = In

A d2 Pa А

6. Дано и обосновано определение геометрической информации: пусть А - связное компактное множество на плоскости и р - это произвольная фиксированная точка этой плоскости, назовем геометрической информацией о множестве А, содержащейся в точке р величину угла ср, под которым из точки р видно множество А.

7. Сформулируем концепцию, в рамках которой определена цель исследования и проведена постановка задачи.

Под моделью мы понимаем уравнение или систему уравнений, решения которых, а также условия разрешимости определяют принципиальные свойства моделируемой предметной области. Также модели мы называем моделями в сильном смысле. Если формализация модельных соотношений содержит кроме уравнений также неравенства, то модели такого типа мы называем моделями в слабом смысле.

Однако записать уравнения становится возможным лишь после того, как корректно определен предикат "равенство" в данной предметной области. Основная цель настоящего исследования состоит в том, чтобы дать полное определение предмета "равенство" в геометрии взаимного расположения объектов плоскости. При этом "объект" формализован двумя своими основными свойствами: иметь "протяженность" и быть "ограниченным". Такая формализация позволяет представить простейший объект как произвольно расположенный отрезок из плоскости.

8. Задача проектирования оптимальной информационной сети рассмотрена как задача минимизации целевой функции - расстояния в весовом метрическом пространстве с метрикой, определяемой выражением где d(I13I2)- модификация метрики Хемминга, т - среднее время задержки при передаче одного символа, п - количество подключённых к провайдеру хостов, ш - количество правильно переданных символов (m n), X - нормированная мера, q(t,s) - расходы по установлению физического канала между точками t и s, g(t,s) - геодезическое расстояние между точками t и s. В этой главе предполагается, что атлас топологически склеен из карт, на каждой из которых метрика евклидова. Далее мы существенно изменим это положение, применяя геодезическую, длина которой будет зависеть от взаимного расположения источников информации, в данном случае - хостов.

9. Введен прием замены времени на информационную или термодинамическую энтропию. В силу законов термодинамики, в условиях отсутствия равновесия энтропия, строго возрастающая скалярная функция времени и может выполнять роль "внутреннего времени", присущего данной системе. Этот прием позволяет перевести рассмотрения из многообразия "пространство-время" в многообразие "пространство-энтропия". При этом удается успешно преодолеть проблему нелокальной по времени разрешимости дифференциальных уравнений, т. к. они оказываются разрешенными не локально, но не по времени, а по энтропии.

10. Получено решение задачи о двух отрезках с одним общим концом в параметрической форме.

11. Получено полное решение задачи указанной в п. 2. 3: доказана л

Теорема 3.1 Если у = О и а = b, то решениями задачи 3 являются все точки заданных отрезков.

Если у = 0 и <2 = 6, то решениями задачи 3 являются все точки плоскости.

Если у = л и а = b ,то решениями задачи 3 являются точки отрезков и прямая, проходящая через общее начало отрезков и ортогональная им.

Если у = л и аФ b, то решениями задачи 3 являются точки отрезков и окружность (3.3.17).

Если у Ф 0; л и <2 = 6, то решениями задачи 3 являются точки дуги ВС окружности, описанной вокруг треугольника ABC и биссектриса угла ВАС.

Если у фО; л и аФ b, то решениями задачи 3 являются точки неограниченных ветвей и часть кривой (3.3.25), попадающая внутрь треугольника ABC, а также основание высоты, опущенной на сторону ВС, в случае, если треугольник ABC остроугольный.

12. В случае, когда отрезки имеют один общий конец, рассматривается задача о том, под какими углами из точек кривой видны оба отрезка. В главе рассмотрены все частные случаи, которые соответствуют совпадению концов отрезков. Для случая у -— установлено, что cos 2 а = cos 2yt cos 2ср 1 - sin 2yx sin 2<p ' где yx - угол при основании прямоугольного треугольника со сторонами а и Ъ.

Для случая произвольного у установлено, что где р = — отношение длин отрезков. а

13. Доказана теорема 4.1 о базисах Рисса. Теорема 4.1. Семейство функций

F{<p) содержит базисы Рисса L г тс тс> пространства

2,± л

2' 2

14. Доказана теорема 4.2 о структуре оператора с ядром Fr(<p) = cos 2а. л 2

Оператор 0|/(^)] = с ^Fs((p)f(<p)d(p действует в пространстве L

К 7Г 2'2 ' является сжатием с нормой II 0 II< ——Матрица оператора 0 в ортонормированном базисе {cosH^,sin7z^}°°„=o имеет вид

0= О

-Р О

IV О о о о о о о о

Р(1-Р2) О о Р(1-Р2) о о

Р2(1-Р2)

Рп(1-Р2)

15. Для случая отрезков одинаковой длины и осевой симметрии расположения доказана лемма 6.1. утверждающая приводимость определяющего полинома шестой степени к произведению полиномов первой, второй и третьей степеней. В декартовой системе координат с центром в точке пересечения прямых, на которых лежат отрезки и осью абсцисс, совпадающей с осью симметрии расположения, указанная факторизация имеет вид: У

2 г а+ 2е / \ у + х---х + е\е + а) cos У

2 7 у cos — 2 х - (2е+ a)cos^-j +

- (а + 2e)cos — • х + е(е + а)], где а — длина отрезков, е - расстояние от левых концов отрезков до начала координат, у - угол между прямыми, на которых лежат отрезки.

16. Для рассмотренного выше случая найдены углы, под которыми из точек кубической кривой видны отрезки: cos 2 а = l-(l + #2)cos2 (р iqrvj

COS (р a sm у где а - угол, под которым виден один отрезок, q =

2d l-cos/ а 1 расстояние от точки пересечения серединных

2е + а) 1 - cos у перпендикуляров к отрезкам до центра отрезка.

17. Дана конструкция специальной системы окружностей , точки пересечения которых, если они существуют, определяют искомое множество, задача, таким образом, эквивалентно сформулирована в терминах указанной конструкции. Эквивалентность доказана в леммах 6.2-6.4.

18. Полностью решена задача для двух параллельных центрированных отрезков, решения представлены в виде двух кубических кривых в декартовой системе координат с центром в середине большего отрезка, лежащего на оси Ох: х2[y(l + р)~ph\ + (1 + Ру - hy2(р + 2)- у[ь2 + pa2 -h2] + a2ph = О, х2[у(1 - р)+ ph}+{ 1 - р)уъ + h{p - 2У + y[h2 + а2р - b2]- a2ph = О, где h - расстояние между прямыми, на которых лежат отрезки, ах -половина длины большего отрезка, Ъх - половина длины меньшего отрезка,

Р — ~> 0</?<1. ах

19. Сформулировано определение общего взаимного расположения двух отрезков на плоскости:

- расположение отрезков общее, если две пары прямых, соединяющих концы отрезков и прямые, на которых лежат отрезки, пересекаются в трех различных точках.

20. Дано полное решение задачи в случае общего расположения отрезков на плоскости. В полярной системе координат с центром в точке пересечения прямых, на которых лежат отрезки и поперечной осью преходящей через один из них получена факторизация на две кубические кривые вида: r2 -2r ех cos (р sin(#> - у) ~ -«i tgY psin((p - y)-sirup

2 A sin (p psin((p - y)-sirup

2 2 + ax -x0, r2 -2r ex cos(psin((p-y) +xxtgy psin((p - y) + sin(p

2 A sin (p psin(<p - y)+sirup

2 2 + ax -x0, где jc, - расстояние от центра системы координат до центра второго отрезка, jc0 - расстояние от центра системы координат до центра первого отрезка,

-г 1 е,- =рх0 +cos у

А.12 а2 -Ы +

Х/1 V метрические параметры cos у задачи.

21. Доказано, что полученные кубики могут иметь не более 7 точек пересечения. Из них 5 точек — это концы отрезков и точки пересечения прямых, на которых эти отрезки лежат.

22. Исследовано асимптотическое поведение полученных кубических кривых. Доказано, что в случае общего расположения отрезков все асимптоты пересекаются в одной точке и эта точка совпадает с точкой пересечения прямых, на которых расположены отрезки.

23. Рассмотрена обратная задача восстановления положения отрезков и их длин по заданным кривым. Доказано, что на ориентированной плоскости обратная задача однозначно разрешима, для всех случаев расположения отрезков.

24. Таким образом полностью обоснована корректность определенного в гл. 1 предиката* «равенство». Это позволяет рассматривать «уравнения». На этом пути получено уравнение, позволяющее определять углы, под которыми видны оба отрезка из точек, найденных выше кривых. В случае, когда левый конец первого отрезка совпадает с началом координат, оно имеет вид: sin2 ф , sin2 (р 2 4 4cos у sin (р sin(a ± <р) sin(^> - /) • sin2 (а±(р)-^ sin(a ± ^»)sin2^»sin{^» - /)

Р + cos у cos (р sin(^) - Л) + sin /) q - sin (psin2 (a ± <p) = 0.

25. Рассматривая предыдущее соотношение как квадратичную форму, мы получили необходимое и достаточное условие ее приводимости в виде следующего уравнения

F*(a,<p) = sin3 (р - ^ cos2(у - <р) + sin

Xv-r) sin а±(р)sin 2(р 0

Это уравнение полностью свободно от всех метрических параметров задачи. Его форма определяется только геометрической конструкцией: предикатом инцидентности с геометрической областью определения. Поэтому полученное уравнение имманентно собственно конструкции. Изложенные соображения являются основанием для построения геодезической модели информационного пространства. Именно: при вариации угла у от 0 до тс семейства кривых F*(a,(p) = 0 образуют градусную сетку на единичной сфере, задавая тем самым систему координат, внутренне присущую понятию доступности информации, как прямой связи между геометрическими объектами. Возможность установления такой связи моделируют указанные кривые. Собственно сам термин «информационное пространство» содержательно идентифицирует именно возможность или невозможность связи между объектами предметной области. Но это и есть предикат инцидентности. Здесь необходимо сказать несколько слов о нашем понимании моделей. Мы понимаем модель в сильном смысле, т.е. как уравнение или систему уравнений в том или ином смысле адекватно отражающих рассматриваемую предметную область. Такое понимание связано с основными чертами, присущими естественнонаучным моделям, в физике, например, это законы сохранения, в экономике - уравнения баланса или принцип минимакса в смешанных стратегиях. Можно приводить и другие примеры - все они связаны с глубоким проникновением в свойства предметной области, так как условия совместности системы уравнений или, что тоже самое, условия существования решений определяют принципиальные свойства предметной области. Однако, достичь такого понимания бывает весьма не просто, поэтому моделирование, как правило, начинается с более слабых моделей, т.е. моделей, выражаемых неравенствами или системой, состоящей из уравнений и неравенств. Здесь вопрос о разрешимости может оказаться тривиальным и необходимо подключать некоторый вариационный принцип или теорию оптимизации, для того, чтобы отобрать подходящие решения из огромного множества возможных решений, удовлетворяющих исходной системе неравенств. На этом пути, мы, в конечном счете, также получаем сильную модель в форме интегральных или дифференциальных уравнений, условие разрешимости которых определяют требуемые свойства предметной области.

26. Приведена конструкция геодезической модели в общем случае. Конструкция основана на введении в точках кубики гауссовой кривизны К , как преобладание суммы углов а,<р и у над п и построению локального куска поверхности с помощью решения уравнения Дарбу с построенной так функцией кривизны. Это дает возможность восстановить метрический тензор g. и, решая уравнение Якоби найти геодезическую и, следовательно, найти кратчайшее расстояние между двумя заданными точками на построенной выше поверхности.

Библиография Агранович, Юрий Яковлевич, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Агранович, Ю.Я. Исследование математической модели вязкоуп-ругой жидкости / Ю.Я. Агранович, П.Е. Соболевский // ДАН УССР, 1989,сер. А, №10, с. 3-6.

2. Агранович, Ю.Я. Движение нелинейной вязкоупругой жидкости / Ю.Я. Агранович, П.Е. Соболевский // ДАН СССР, 1990, т. 314, №3, с. 521525.

3. Агранович, Ю.Я. Об определении технологических возможностей пресс-автоматов / Ю.Я. Агранович, И.К. Некрасов// Кузнечно-штампо-вочное производство, 1990, №9, с. 29-30.

4. Агранович, Ю.Я. О связи смешанных дискриминантов и совместного спектра семейства коммутирующих операторов в конечномерном пространстве/ Ю.Я. Агранович, О.Т. Азизова // «Математические заметки», том 62, вып. 1., 1997, с. 3-9.

5. Агранович, Ю.Я. Математическая модель информационного пространства в проблеме проектирования оптимальных информационных сетей / Ю.Я. Агранович, П.В. Юрасов // «Информационные технологии», Т.1,№ 5, Москва. 1998, с. 31-34.

6. Агранович, Ю.Я., Звягин, В.Г. Investigation of properties of attractors for a regularized model of the motion of a nonlinear-viscous fluid // Вестник ВГУ, Серия физика, математика, Воронеж 2001, N2, с. 50-58.

7. Агранович, Ю.Я. Геометрическая модель источников информации // Информация и безопасность, Воронеж 2003, N1, с. 84-90.

8. Агранович, Ю.Я. Факторизация полиномов в геометрическом методе маскировки метрических характеристик источников радиоизлучения // Информация и безопасность, Воронеж, 2003, N1, с. 99-103.

9. Агранович, Ю.Я., Моделирование и управление аппаратом искусственной вентиляции легких / Агранович, Ю.Я., Ёлкин, В.Г., //

10. Системный анализ и управление в биомедицинских системах, Москва, 2003, т.2, №2, стр 139-141.

11. Фролов, В.Н. Агранович, Ю.Я., Метод амплификации как способ обращения к предкаузальной конструкции // Машиностроитель, №7, Москва, 2003, с. 23-25.

12. Agranovich Yury Ya. Sobolevskii P. E Motion of nonlinear visco-elastic fluid // Nonlinear variational problems and partial differential equations. Longman Scientific of Technical. London, 1995, pp. 1-12.

13. Agranovich Yury Ya. The Theory of Operators with Dominant Main Diagonal. I.// Kluwer Academic Publisher, Printed in the Netherlands, Positiv-ity,Vol.2, N 2, 1998, pp. 153-164.

14. Agranovich Yury Ya. Sobolevskii P.E. Motion of nonlinear visco-elastic fluid // Nonlinear Analysis, Theory, Methods Applications, Vol. 32, № 6, Printed in the Great Britain, 1998, pp. 1724-1730.

15. Агранович, Ю.Я. Геометрическое моделирование структуры информационного пространства. Монография. Издательство ВГТУ, 2000, 147с.

16. Агранович, Ю.Я. Об одном условии появления солитонов на поверхности вертикально стекающей вязкоупругой пленки. Деп. в ВИНИТИ №6010-В87, Воронеж, 1987. 9с.

17. Агранович, Ю.Я. О повышении гладкости решений одной математической модели реальных жидкостей// Всесоюзное совещание-семинар «Интерактивное проектирование технических устройств и автоматизированных систем на ПЭВМ». Воронеж, 1991, с. 106-107.

18. Агранович, Ю.Я. Исследование слабых решений модели Олд-ройта вязкоупругой жидкости/ Ю.Я. Агранович, П.Е. Соболевский// Качественные методы исследования операторных уравнений. Сборник научных трудов. Ярославль, 1991, с. 39-43.

19. Агранович, Ю.Я. О собственных значениях полиномиальных матричных пучков / Ю.Я. Агранович, Л.И. Сухочёва // Спектральные и эволюционные задачи. Сборник научных трудов. Киев: Наукова думка, 1991. С. 23.

20. Агранович, Ю.Я. Изучение математической модели функционирования аппарата искусственной вентиляции лёгких/ Ю.Я. Агранович, В.Г. Ёлкин, Л.И. Пожидаев, В.П. Праслов// Компьютеризация в медицине. Сборник научных трудов. Воронеж, 1992, с. 13-24.

21. Агранович, Ю.Я. О влиянии параметра инерционности на число определяющих мод и фрактальную размерность аттрактора для одной регуляризации уравнений Навье-Стокса// Компьютеризация в медицине. Сборник научных трудов. Воронеж, 1993, с. 192-197.

22. Агранович, Ю.Я. Некоторые свойства операторов с доминирующей главной диагональю/ Ю.Я. Агранович, Л.И. Сухочева, П.В. Юрасов // Математическое обеспечение высоких технологий в технике, образовании и медицине. Воронеж, 1994, с. 152-153.

23. Агранович, Ю.Я. О совместном спектре операторов и приложениях / Ю.Я. Агранович, О.Т. Азизова //Современные методы в теории краевых задач «Понтрягиские чтения-VII». Воронеж, 1996, с. 7.

24. Агранович, Ю.Я. О корректной управляемости систем// Всероссийское совещание-семинар «Математическое обеспечение информационных технологий в технике, образовании и медицине». Ч. II. Воронеж, 1996, с. 124125.

25. Агранович, Ю.Я. Моделирование процессов обмена данными в телекоммуникационных компьютерных сетях/ Ю.Я. Агранович, В.Г. Юрасов // Высокие технологии в технике, медицине и образовании. Сборник научных трудов. Ч. I. Воронеж. 1996, с. 125-129.

26. Агранович, Ю.Я. О некоторых приложениях теории операторов с доминирующей главной диагональю к методам вычислений// Высокие технологии в технике, медицине и образовании. Сборник научных трудов. Часть II. Воронеж, ВГТУ, 1997, с. 147-151.

27. Агранович, Ю.Я. Представление энтропии конечных схем интегралами рациональных функций// Высокие технологии в технике, медицине, экономике и образовании. Воронеж, ВГТУ, 2000, с. 112-118.

28. Агранович, Ю.Я. Аттракторы динамических систем и непрерывные дроби// Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения; Сборник научных трудов. Воронеж, ВГУ, 2000, с. 38-39.

29. Агранович, Ю.Я. Геометрическое определение количества информации и некоторые задачи на геометрические места точек/ Ю.Я. Агранович, П.В. Юрасов // Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения. Воронеж: ВГУ, 2000, с. 40-42.

30. Агранович, Ю.Я. К использованию рациональных функций для вычисления энтропии конечных схем/ Ю.Я. Агранович, С.А. Комарчук // Труды Всероссийской конференции «Интеллектуальные информационные системы», ч. 1, Воронеж, 2001, с. 56-57.

31. Агранович, Ю.Я. Свойства общего расположения двух отрезков на плоскости/ Ю.Я. Агранович, А.В. Головин // Труды Всероссийской конференции «Интеллектуальные информационные системы», ч. 2, Воронеж, 2001, с. 42-43.

32. Агранович, Ю.Я. Эквиинформационные кривые для двух вырожденных случаев расположения отрезков/ Ю.Я. Агранович, О.А. Бугакова // Труды Всероссийской конференции «Интеллектуальные информационные системы», ч. 2, Воронеж, 2001, с. 58-59.

33. Агранович, Ю.Я. Проективная инвариантность энтропии конечной схемы/ Ю.Я. Агранович, Т.В. Семынина // Труды Всероссийской конференции «Интеллектуальные информационные системы», ч. 2, Воронеж, 2001, с.8-9.

34. Агранович, Ю.Я. О вероятностном смысле геометрической информации/ Ю.Я. Агранович, Т.В. Семынина // Вестник ВГТУ, серия Радиоэлектроника и системы связи, вып. 4.1, Воронеж. 2001, с. 92-95.

35. Агранович, Ю.Я. Условный вариант 16-й проблемы Гильберта и свойства интегральных операторов// Труды Всероссийской конференции «Интеллектуальные информационные системы», ч.1,Воронеж,2001,с.46-48.

36. Agranovich Yury Ya. An entropy parameterization of the Navier-Stokes equation Spectral and evolution problems, Volume 5,6, 1996, Crimea, Ukraine, 1997, pp. 277-278.

37. Eisner L. On the Variation of the Spectra of Matrices // Linear Algebra Appl. 1982. Vol. 47. P. 127-138.

38. Epstein D.B.A., Cannon J.W., Holt D.F., Levy S.V.F., Paterson M.S., Thursfon W.P. Word Processing in Group. Boston - London.: Jones and Bartlett Publishers, 1994 - 330 стр.

39. Gromov M. Mefric Structures for Riemannian and Non Riemannian Spaces. - Boston - Basel - Berlin.: Birkhauser, 1992 - 585 стр.

40. Hardy G.H. (1916) The integration of functions of a single variable. Cambridg Univ. Press. Cambridg.

41. Hardy G.H. Ramanujan. Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Live and Work. Cambridge at the University Press. 1940. c. 236.

42. Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Minimal Networks. The Steiner Problem and Its Generalizations. N.W., Boorsa Ration, Florida: CRC Press, 1994. P.245.

43. Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Minimal Networks. The Steiner Problem and Its Generalizations. N.W., Boorsa Ration, Florida: CRC Press, 1994.

44. Lawvere F.W., Maurer C., Wraith G.C. Model Theory and Topoi, Berlin Heidelberg - New York.: Springer - Verlag. 1975. - c. 206.

45. Nash J C' isometric imbeddings // Ann. of Math. Go (1954) 383-396.

46. Ramanujan S. Collected Papers. New York. Chelsea Rublishing Company. 1962.-е. 355.

47. Shannon C.E. A mathematical theory of communication. Bell Syst. Techn. Tourn. (27). (1948). P. 379-423.

48. Адян С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах. М.: Наука, 1975 г. - 336 стр.

49. Александров А. Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел // Матем. сб. 1938-Т- 3(45). № 2- С. 227-249.

50. Александров А.Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М. - Д.: ОГИЗ, 1948 - 387 стр.

51. Александров А.Д. Одна теория о треугольниках в метрическом пространстве и некоторые ее приложения // Труды МИАН им. В.А. Стеклова 1951 - т. XXXVIII - стр. 5-23.

52. Александров А.Д., Берестовский В.Н., Николаев И.Г. Обобщенные римановы пространства // УМН. 1986 - т. 41, вып.З - стр. 344.

53. Банах С.С. Курс функционального анал1зу. Кшв. "Радянська школа", 1948. стр.216.

54. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969. С. 97.

55. Бессе А. Многообразия с замкнутыми геодезическими. — М.: Мир, 1981 г.-325 стр.

56. Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию. М., Наука, 1995.

57. Буземан Г. Геометрия геодезических. М.: ГИФМЛ. 1962. стр.503.

58. Бураго Д.М., Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. Л.: Наука, 1980.-стр. 288.

59. Бураго Ю., Громов М., Перельман Г. Пространства А.Д. Александрова с ограниченными снизу кривизнами. // УМН. 1992 - т. 47, вып.2 - стр. 3-51.

60. Галуа Э. Сочинения. М. Л. ОНТИ. 1936. - стр. 336.

61. Гаусс К.Ф. Общие исследования о кривых поверхностях. Казань. 1895.-стр. 348.

62. Генис A.JI. Метрические свойства эндоморфизмов п-мерного тора // ДАН СССР, Т. 138, №5, 1961г., стр. 991-993.

63. Генкин JI. О математической индукции. М.: ГИФМЛ. 1962. стр.35.

64. Гильберт Д. Избранные труды, т.1, 2, М.: "Факториал", 1998. -стр. 575, стр. 607.

65. Гис Э., де ля Арп П. Гиперболические группы по М.Громову. — М.: Мир, - 1992 - стр. 269.

66. Глазман И. М., Любич Ю. Л. Конечномерный линейный анализ. М.: Наука, 1969.

67. Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики. М.: Мир, 1983.-стр. 486.

68. Громов Д., Клингерберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. -М.: Мир, 1971 343 стр.

69. Громов М.Л. Гиперболические группы. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002, - 160 стр.

70. Громов М.Л. Знак и геометрический смысл кривизны. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000 - 128 стр.

71. Громов М.Л., Рохлин В.А. Вложения и погружения в римановой геометрии // УМН. 1970 - т. 25, вып.5. - стр. 3-62.

72. Гудстейн Р.Л. Рекурсивный математический анализ. М.: Наука, 1970.-стр. 472.

73. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральные операторы. М.: Мир, 1974.

74. Джонстон П. Теория топосов. М.: Мир. 1986. - стр. 438.

75. Дьёдонне Ж. Линейная алгебра и элементарная геометрия. М. Наука, 1972 Г.-335 стр.

76. Звягин В.Г. О неразрешимости алгебраических уравнений в радикалах и теории групп. // Соросовский образовательный журнал. 2000. т.6, №6. стр. 117-122.

77. Золотарев Е.И. Полное собрание сочинений вып.1, Ленинград.1931

78. Итоги науки и техники // Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы 2. М.: ВИНИТИ, 1985. С. 5-111.

79. Канторович Л.В. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. С. 299-315.

80. Канторович Л.В., Г.Ш. Рубинштейн Л.В. Об одном пространстве вполне аддитивных функций, Вестник ЛГУ, №7, 1958, 52-59.

81. Канторович Л.В., Рубинштейн Г.Ш. Об одном функциональном пространстве и некоторых экстремальных задачах. ДАН СССР. 115 № 6. 1957. С.1058-1061.

82. Карнап Р. Философские основания физики. Глава 26. Предложения Рамсея. стр. 327-339.

83. Клейн Ф. Неевклидова геометрия М. Л., ОНТИ, 1936г. - 355 стр.

84. Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических. М.: Мир. 1982.-стр. 414.

85. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973. С. 551.

86. Линдон Р. Заметки по логике. М.: Мир. 1986. стр. 128.

87. Лузин Н.Н. Лекции об аналитических множествах. М.: ГИТТЛ, 1953.-стр. 359.

88. Любич Ю. Л., Линейный функциональный анализ // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 19. С. 5-305.

89. Люстерник Л.А. Топология функциональных пространств и вариационное исчисление в целом. // Труды МИАН им. В.А. Стеклова. т. 19. 1947.-стр. 100.

90. Манин Ю.И. Вычислимое и невычислимое. М.: Советское радио, 1980, - стр. 128.

91. Манин Ю.И. Доказуемое и недоказуемое. М.: Советское радио, 1979,-стр. 168.

92. Марков А.А. Теория алгорифмов // Труды МИАН им. В.А. Стеклова, 1951, т. XXXVIII, стр. 176-189.

93. Марков А.А. Теория алгорифмов // Труды МИАН им. В.А. Стеклова, т.ХЬИ. стр. 273.

94. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972.

95. Мартин Н., Ингленд Дж. Математическая теория энтропии, М.: Мир, 1988. С. 350.

96. Математическая Энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, т.1-5. 1977. 1979. 1982. 1984. 1985.

97. Нагель Э. Ньюмен Дж.Р. Вокруг теоремы Гёделя. М.: Знание. 1970.-стр. 62.

98. Научное наследие П.Л. Чебышова Вып.1. Из-во АНСССР М-Л., 1945 (сборник статей)

99. Новиков И .Я., Стечкин С.Б. Основные конструкции всплесков // Фундаментальная и прикладная математика. 1997, т.З, №4. стр. 999-1028.

100. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // УМН, т.53, вып.6. 1998. стр. 54-128.

101. Новиков П.С. О недоказуемости некоторых положений дескриптивной теории множеств. // Труды МИАН им. В.А. Стеклова, 1954, т. XXXVIII, стр. 279-316.

102. Нэш Дж. Аналитичность решений задачи о неявной функции с аналитическими исходными данными // УМН. т. 26, вып.4. — стр. 217-226.

103. Нэш Дж. Проблема вложений для римановых многообразий. // УМН. т. 26, вып.4, - стр. 173-216.

104. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее применения- М.: ИЛ, 1960. С. 155

105. Петровский И.Г. Избранные труды. Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия. М.: Наука, 1986. стр. 500.

106. Правиц Д. Натуральный вывод. Теоретика доказательственное исследование. - М.: "Лори", 1997. - стр. 107.

107. Риман Б. Сочинения. М. Л. ОГИЗ. 1948. стр. 543.

108. Рохлин В. А. Об энтропии автоморфизма компактной коммутативной группы // Теория вероятностей и её применение. М., Т.4, вып.З, 1961 г., стр. 351-352.

109. Синай Я.Г. О понятии энтропии динамической системы // ДАН СССР, Т. 124, №4,1959 г., стр. 768-771.

110. Смальян Р. Теория формальных систем. М.: Наука. 1981. стр.382.

111. Справочная книга по математической логике. Ред. Дж. Барвайс, 4.I-IV. М.: Наука, 1982.

112. Успенский В.А. Машина Поста. М.: Наука. 1988. - стр. 96.

113. Функциональный анализ. Справочная математическая библиотека. Ред. С.Г. Крейн, М. Наука, 1972, С.544.

114. Хинчин А.Я. Понятие энтропии в теории вероятностей // УМН. 1953. Т.VIII, № 3(55). С. 3-20.

115. Хорн Р., Джонсон Ч. .Матричный анализ. М.: Мир. 1989.

116. Чеботарёв Н.Г. Теория алгебраических функций. М.-Л. ОГИЗ,1948

117. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Т.2. Функции нескольких комплексных переменных. М.: Наука, 1976. С.400.

118. Шнирельман Л.Г. О некоторых геометрических свойствах замкнутых кривых. // Сборник работ математического раздела Ком. Академии, т. 1. 1927. стр. 73-87.

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00