автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Теоретические основы системного исследования сердечно-сосудистой системы человека на основе геометрии субпроективных пространств

Введение.

ГЛАВА 1. СУЩЕСТВУЮЩИЕ МЕТОДЫ И ПОДХОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЕРДЕЧНО - СОСУДИСТОЙ СИСТЕМЫ ЧЕЛОВЕКА.

1.1. Первоначальные исследования системы кровообращния.

1.2. Современные подходы моделирования сердечно-сосудистой системы человека

1.3. Обоснование методологии системного исследования сердечнососудистой системы человека на основе геометрии субпроективных пространств

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ И ВЫБОР ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА ДВИЖЕНИЯ КРОВИ ПО УЧАСТКУ СОСУДА

2.1. Исследование геометрии распределений.

2.2. Изучение дифференцируемых отображений.

2.3. Вычисление тензора деформации евклидовой связности при диффеоморфном отображении.

2.4. Исследование конформного соответствия между евклидовыми пространствами для изучения геометрии движущейся крови.

2.5. Получение необходимых результатов для сосуда в случае конформного соответствия между участками сосуда.

2.6. Разработка необходимых положений для геодезического соответствия между евклидовыми пространствами, характеризующими геометрию участка сосуда.

2.7. Получение гиперраспределений, соответствующих различным видам дифференцируемых отображений между участками сосуда

2.8. Геометрия дифференцируемых отображений между участками сосуда

2.9. Изучение геометрии одного специального соответствия.

2.10. О векторах второго порядка и ассоциированных с ними пшерраспределениях.

Выводы по второй главе

ГЛАВА 3. ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА, ИСПОЛЬЗУЕМОГО ДЛЯ СИСТЕМНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ КРОВИ ПО СЕРДЕЧНО-СОСУДИСТОЙ СИСТЕМЕ.

3.1. Конформное соответствие между евклидовым и римановым пространствами с целью его использования для характеристики геометрии сердечно-сосудистой системы.

3.2. Векторные характеристики конформного соответствия между евклидовым и эйнштейновским пространствами.

3.3. Геометрические объекты, возникающие при конформном соответствии между евклидовым и субпроективным пространствами, необходимые для изучения геометрии сердечно-сосудистой системы.

3.4. Изучение геодезического соответствия между евклидовым и римановым пространствами с использованием векторного поля в плане описания движения крови.

3.5. Об одном способе вычисления векторов второго порядка.

Выводы по третьей главе

ГЛАВА 4. СИСТЕМНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ КРОВИ ПО УЧАСТКУ СОСУДА

4.1. Некоторые основы применения геометрии в системном исследовании ССС человека

4.2. Основные понятия и уравнения геометрии ССС для участка сосуда.

4.3. Поверхности постоянной энергии и постоянной полной энергии при исследовании движения крови.

4.4. Об одном случае стационарного турбулентного движения крови.

4.5. Геометрия ламинарного движения крови в участке сосуда.

4.6. Движение крови как геодезический поток.

Выводы по четвертой главе

ГЛАВА 5. СТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ КРОВИ В СЕРДЕЧНОСОСУДИСТОЙ СИСТЕМЕ ЧЕЛОВЕКА.

5.1. Особенности геометрии сердечно-сосудистой системы человека при ее системном исследовании.

5.2. Дифференциальные операторы для пространства сердечно-сосудистой системы, как субпроективного пространства, отнесенного к голономному реперу.

5.3. Основные кинематические уравнения.

5.4. Уравнения, аналогичные уравнениям Гельмгольца, движения крови по всей сердечно-сосудистой системе.

Выводы по пятой главе

ГЛАВА 6. СТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ КРОВИ В СЕРДЕЧНОСОСУДИСТОЙ СИСТЕМЕ ЧЕЛОВЕКА, ПРЕДСТАВЛЕННОЕ ПРОСТРАНСТВОМ, ОТНЕСЕННЫМ К НЕГОЛОНОМНЫМ РЕПЕРАМ

6.1. Дифференциальные операторы для стационарного движения крови в сердечно-сосудистой системе, пространство которой является субпроективным пространством, отнесенным к неголономным реперам.

6.2. Уравнения движения крови по всей сердечно-сосудистой системе, пространство которой отнесено к неголономным реперам 345 Выводы по шестой главе

ГЛАВА 7. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ.

7.1. Технические характеристики и методика работы с приборами, используемыми в экспериментах.

7.2. Экспериментальные подтверждения скоростных характеристик кровотока, полученных при теоретических исследованиях.

Выводы по седьмой главе

Актуальность темы. Моделированию кровеносной системы человека посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных ученых. Первыми работами, положившими начало таких исследований, можно считать работы Гарвея и Ньютона. Всплеск таких исследований начался во второй половине 20 века, когда к исследованиям по моделированию сердечно-сосудистой системы (ССС) человека стали привлекать математический аппарат и вычислительную технику. См., например, исследования А.Н. Волобуева по динамике движения крови в трубках с эластичными стенками (1995 г.). Довольно-таки широкий спектр моделей ССС привел к трудностям, связанных с тем, что в основе конкретной модели лежат принципы, присущие, пожалуй, только этой модели. А при решении задач, которые появляются как в теоретических исследованиях, так и при решении задач клинического плана, приходиться пользоваться несколькими моделями, так как каждая конкретная модель создается, в основном, для решения конкретной задачи. Поэтому встает необходимость осознать определенную модель (или несколько моделей) в рамках другой (или нескольких) модели и наоборот. Иными словами, как принципы, положенные в основу одной модели, будут проявлять себя в рамках другой модели и, как они будут соотноситься с принципами этой другой модели. Являются ли они следствиями принципов этой другой модели или их следует относить к ее принципам. В основе таких работ должно лежать объединяющее начало. Подходы, предлагаемые к настоящему времени по такому пути, приводили, в основном, к большому числу параметров, от которых зависит поведение ССС и при более детальном описании ее функционирования есть довольно-таки большая тенденция к увеличению числа параметров.

Нахождение объединяющего начала в задачах, касающихся моделирования ССС, является в настоящее время актуальной. Следует также отметить, что наряду с переносом вещества по кровеносной системе, происходит и перенос информации. Уже не раз отмечалось, что понятие информации тесным образом связано с жизнедеятельностью человека. Для объяснения закономерностей, на основании которых передается информация внутри человека, является одним из путей, ведущих к познанию человека.

Как уже отмечалось, передача информации в организме человека осуществляется посредством функционирования и ССС. Поэтому описание путей, по которым происходит передача информации, является одной из актуальнейших задач на сегодняшнее время в этом направлении и соответствует развиваемой проф. A.A. Яшиным и его научной школой теорией биоинформатики. Здесь можно указать следующие работы A.A. Яшина, некоторые из которых выполнены вместе с соавтрами: «Информационное поле ноосферы как глобальная многомерная материальная коммуникационная структура» (1991 г.), «Электромагнитная основа энергоинформационных взаимодействий в ноосфере Земли и ее медико-биологические аспекты» (1995 г.), «Единое информационное поле ноосферы и биофизикохимические основы жизнедеятельности» (1996 г.), «Информационная виртуальная реальность: альтернативная биологической форма жизни» (1999 г.), «Информационно-полевая самоорганизация биосистем» (2000 г.) и др.

Одним из путей, который позволяет взглянуть на ССС, как на что-то единое, является рассмотрение геометрии ССС как геометрии определенного пространства. Тогда моделировать движение крови, как во всей системе, так и в ее отдельных участках можно, основываясь на геометрии интегральных линий вектора скорости крови. Форменные элементы крови в работе рассматриваются как материальные точки и в дальнейшем исследуются их траектории. Эти материальные точки для соответствия с общепринятыми названиями везде в дальнейшем будем называть частицами крови. При этом геометрия всей ССС, а также ее отдельных участков, изучается с использованием одного и того же математического аппарата, и рассмотрение геометрии отдельного участка приводит к частному случаю геометрии, соответствующей геометрии ССС.

Проблемная ситуация. Объединяя все сказанное выше, а также анализируя современные исследования в области моделирования ССС, можно сделать вывод, подтверждающий высокую степень значимости тематики предпринятого исследования, а именно: современный уровень знаний, методов и средств, который накапливался и применялся к исследованию движения жидкости за последние 20 . 25 лет в области изучения деятельности ССС, позволяет решить определенные задачи данного научного направления, но для которых ранее не было предложено логически выверенного концептуального обоснования, не были разработаны теоретические основы. Практическое применение дифференциальной геометрии для исследования движения крови так широко до этого не использовалось.

Разрешение противоречия между потребностями биологии и медицины, с одной стороны и достигнутым уровнем знания о геометрии ССС, как составной части организма, с другой, достигаем следующим. В предлагаемой работе с позиций биологии ССС, биофизики и дифференциальной геометрии предложена целостная концепция описания одного из важнейших аспектов ССС - траектории движения частиц крови в контексте геометрической теории исследования интегральных линий векторного поля, являющегося вектором скорости крови или геометрии линий тока векторного поля. В плане естественнонаучном предложено пространство, геометрия которого сопоставляется геометрии ССС, а прикладные результаты относятся к рассмотрению геометрии участка сосуда в частном случае такого пространства - евклидовом. В контексте основной тематики исследованы и некоторые дифференцируемые отображения, как между однородными, так и между различными пространствами, связанными с исследованием движения крови.

Целью исследования является разработка теоретических основ системного исследования ССС на основе геометрии субпроективных пространств, обеспечивающая повышение точности моделирования кровеносной системы и повышение качества диагностики.

В соответствии с поставленной целью необходимо решить и основные задачи исследования:

- разработать теоретические основы системного анализа ССС человека, основанные на свойствах субпроективных пространств;

- разработать специальный математический аппарат для системного анализа работы системы кровообращения;

- разработать методы анализа дифференцируемых отображений, распределений и векторных полей, основанных на системных принципах целостности и делимости системы кровообращения;

- предложить способ формализации деятельности ССС человека для создания ее модели на основе геометрии субпроективных пространств;

- разработать основы моделирования геометрии ССС с учетом ее физиологических закономерностей;

-разработать метод исследования ламинарного движения крови;

- предложить методы описания турбулентного движения крови;

- синтезировать критерий оптимизации пространства описаний системообразующих факторов, как для всей системы кровообращения, так и ее отдельных участков;

- получить уравнения движения крови как по участку сосуда, так и по всей системе, а также предложить алгоритм для их выполнения;

- разработать методы описания движения крови на основе уравнений, аналогичных уравнениям Гельмгольца;

- предложить структуру по принятию решений при формализованном описании ССС человека в задачах анализа и управления при диагностике состояния исследуемой системы;

- подтвердить результаты, полученные с использованием предложенных методов и моделей в экспериментальных исследованиях с использованием анализаторов «Кроха ТЦ» и «Доплеровский фонендоскоп».

Объектом исследования являются траектории движения частиц крови в ССС, рассматриваемые с позиций геометрии векторного поля (скорости частицы).

Научная новизна. В диссертации предложены теоретические основы моделирования движения частиц крови ССС человека на основе геометрии субпроективных пространств, включающие: теоретические основы системного анализа органов кровообращения, основанные на геометрии распределений и векторных полей, позволяющие с общих позиций описывать траектории движения частиц крови с целыо повышения точности описания поведения ССС человека для повышения эффективности управления планированием лечебно-оздоровительных мероприятий при заболеваниях сердца и сосудов; методы анализа дифференцируемых отображений, распределений и векторных полей, основанные на системных принципах целостности и делимости системы кровообращения, позволяющие описывать движение крови, как по всей системе, так и по ее отдельным участкам; методы описания турбулентного движения крови, позволяющие строить модели данного вида движений; уравнения движения крови по участку сосуда, отличающиеся учетом системно-образующих факторов непрерывности, ламинарности и турбулентности движения крови; уравнения движения крови по всей системе кровообращения с привлечением геометрических факторов, отличающихся учетом всех возможных видов движения крови; критерий оптимизации пространства описаний системообразующих факторов, характеризующих геометрию как всей системы кровообращения, так и ее отдельных участков, позволяющий упростить модель описания ССС при сохранении ее точности; метод исследования геометрии ламинарного движения крови, позволяющий более просто получать уравнения движения крови в участке сосуда; методы описания движения крови на основе уравнений, аналогичных уравнениям Гельмгольца, позволяющие уточнить существующие модели турбулентного движения крови; структуру информационного обеспечения формализованного описания ССС человека, отличающуюся интеграцией предложенных в работе методов, моделей и систем уравнений в единую концептуальную систему анализа режимов работы ССС, позволяющую решать задачи анализа и управления при диагностике состояния исследуемой системы.

Практическая ценность комплекса предпринятых исследований можно оценить как с системных научных позиций, так и с точки зрения их применения для описания геометрии участка сосуда. В первом случае значение работы состоит в выработке системы знаний, позволяющих исследователю развивать данное научное направление в естествознании, как в теоретическом плане, так и с целью применения полученных знаний для участка сосудистого русла. Во втором же случае результаты исследования могут быть использованы для изучения геометрии конкретного участка ССС, что позволит представить траектории движения частиц крови и, основываясь на геометрии этих траекторий, смоделировать работу данного участка ССС, а это позволит, в свою очередь, решить конкретную практическую задачу. Предлагаемый подход к моделированию ССС позволяет повысить точность диагностики появления атеросклероти-ческих бляшек в сосудах и как следствие своевременно назначить лечение, сократив затраты и сроки процесса лечения.

Основные положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся результаты, полученные лично соискателем и соответствующие основным задачам исследования: теоретические, причем, как правило, сформулированные общие положения доведены до уровня непротиворечивых теорий. Это отвечает статусу исследования, как теоретического.

Основные положения, выносимые на защиту, можно сформулировать в виде:

- теория дифференцируемых отображении между различными пространствами;

- теоретические основы концепции представления ССС человека как пространства материальных сред живого;

- теоретические основы моделирования движения частиц крови ССС человека на основе геометрии субпроективных пространств;

- модели для описания геометрии турбулентного движения крови;

- модель ламинарного движения крови;

-теоретические основы моделирования движения частиц крови по участку ССС на основе геометрии евклидова пространства.

Рабочие методы исследования. При проведении исследований использовались рабочие методы, наиболее адекватно описывающие систему, ее участки и процессы, в ней происходящие. Для решения поставленных задач использовались методы системного анализа, оптимизации, формализации, моделирования, лабораторных исследований и принятия решения.

Круг общих методов исследования включает метод подвижного репера и внешних дифференциальных форм Э. Картана. Все рассмотрения носят локальный характер, а встречающиеся функции предполагаются достаточно гладкими. При этом, для описания геометрии отдельно взятого участка сосуда, используется геометрия евклидова пространства, а для описания геометрии всей ССС используется геометрия субпроективного пространства. Указанные методы исследования применяются в данных пространствах и позволяют получать геометрические характеристики как отдельно взятого сосуда, так и всей системы кровообращения в целом. При проведении исследований использование общих методов является новым при изучении ССС.

Достоверность полученных результатов была проверена в ходе экспериментальных исследований, а также подтверждается соответствием геометрии

ССС и геометрии субпроективного пространства и соответствием известным в физиологии кровообращения фактам.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены, в основном, в период с 1996 г по 2004 гг., двадцатью докладами на 18 научных мероприятиях международного, всероссийского, регионального уровней, в том числе: 3-я Международная конференция по алгебре (Иркутск, сентябрь 1993); конференция профессорско-преподавательского состава ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 1996); Международная научно-практическая конференция «Современные технологии в аэрокосмическом комплексе» (Украина, Житомир, 7-11 сентября 1997); Международный конгресс «Медицинские технологии на рубеже веков» (Тула, 1998); Международная конференция «Теория приближений и гармонический анализ» (Тула, 1998); Первый всероссийский семинар «Моделирование неравновесных систем 98» (Красноярск, 16-18 октября 1998); Всероссийская научно-практическая конференция «Проблемы физико-математического образования в педагогических вузах России на современном этапе» (Магнитогорск, 16-18 марта 1999); Второй Международный симпозиум «Биофизика полей и излучений и биоинформатика» (Тула, 1999); Всероссийский геометрический семинар (Псков, 20 - 22 мая 1999); Международная конференция «Инвариантные методы исследования на многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики» (Москва, 25 - 30 октября 1999); Первая Международная конференция «Циклы природы и общества» (Ставрополь, 25 - 30 октября 1999); Всероссийская научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 15-17 февраля 2000); Региональная научно-техническая конференция «Интеллектуальные и информационные системы» (Тула, 2000); Третий Международный симпозиум «Биофизика полей и излучений и биоинформатика» (Тула, декабрь 2000); Третья Международная конференция «Образование и наука в третьем тысячелетии (Барнаул, 25 - 26 апреля 2001); Международная сессия геометрического семинара МГУ и РАН им. Г.Ф. Лаптева (Москва, 25 - 30 июня 2001); Первая Международная научнотехническая конференция «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, 10-16 октября 2001).

Публикации. По тематике настоящего исследования опубликовано в последние 4-5 лет 49 работ, в том числе 1 монография, приведенные в списке литературы к автореферату.

Личный вклад автора. В работах, опубликованных в соавторстве, лично автором представлены идеи и методы, используемые при моделировании ССС и ее участков, а также проведены необходимые вычисления. Все основные результаты этих работ получены автором данной работы.

В журналах из перечня ВАК опубликовано 22 работы.

Реализация и внедрение результатов работы. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по системному анализу ССС, геометрии распределений, геометрии точечных соответствий между однородными и различными пространствами и в исследованиях по моделированию деятельности сердечно - сосудистой системы и геометрии векторных полей, связанных с вектором скорости частицы крови. Результаты данного исследования могут быть использованы при чтении спецкурсов по дифференциальной геометрии, а также при чтении спецкурсов по моделированию деятельности ССС человека и исследованию ее геометрии. Проведенные исследования внедрены в исследованиях ГУП НИИ НМТ, в учебный процесс на факультете математики и информатики Тульского государственного педагогического университета им. Л.Н. Толстого, а также в исследования и учебные процессы ряда НИИ и ВУЗов России и Украины (см. акты внедрения в диссертации).

Связь задач исследования с проблемными /танами естественных наук. Все предлагаемые исследования выполнены в период с 1995 г. по 2004 г. в Тульском государственном педагогическом университете им. Л.Н. Толстого и в ГУП НИИ НМТ - в научном сотрудничестве с рядом организаций и ВУЗов. Научная поддержка оказывалась Академией медико-технических наук, информационная поддержка - журналами «Вестник новых медицинских технологий» (Тула), «Физика волновых процессов и радиотехнические системы» (Самара), «Дифференциальная геометрия многообразий фигур» (Калининград), «Russian Journal of Biomechanics» (Пермь).

Работа выполнена в рамках целевых программ, коррелирующих с проблемными планами естественных наук, в которых участвуют ГУП НИИ НМТ, поддерживаемых заинтересованными ведомствами и организациями, а именно:

1. Комплексная программа развития основных направлений исследований НИИ НМТ на 1995-2000 гг.

2. Программа исследований по теме долгосрочной НИР «Кальб» (ИРЭ РАН - НИИ НМТ) на 1995-2001 гг. по теме НИР «Отмель» (1998-1999 гг.).

3. Научно-техническая программа Госкомитета по науке и технологиям РФ (направления 5.08; 5.09; 5.20).

4. Федеральная целевая научно-техническая программа на 1996-2000 гг. «Исследования и разработка по приоритетным направлениям развития науки и техники гражданского направления», утвержденная Министерством науки и технологий РФ; программа «Перспективные информационные технологии».

Структура и объем работы. Диссертация написана по классическому типу, учитывая комплексный характер исследования, включающего естественнонаучные, теоретические биологические аспекты, а также геометрические аспекты.

Структурно работа состоит из введения, семи глав, заключения, списка использованной литературы.

Общий объем диссертации - 393 машинописных страниц, из них: список литературы - 20 страниц (Ил. 40; библиогр. 221 назв.).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность работы, определяются цели и задачи исследования, научная новизна, прикладная ценность, достоверность и обоснованность научных положений, апробация и другие необходимые сведения.

В первой главе, являющейся расширенным введением в проблематику работы, содержится как анализ результатов, полученных ранее отдельными исследователями и научными школами, включая и работы по данному направлению тульских исследователей, так и результаты собственных исследований. Проанализированы существующие концепции подходов к моделированию ССС. Учтены интересы и основные положения, выдвигаемые ведущими научными школами. Систематизированы и охарактеризованы биофизические и геометрические аспекты пространственного подхода к моделированию ССС, включающего в себя рассмотрение геометрии ССС как геометрию пространства определенного вида (субпроективного пространства) для описания геометрии ССС и геометрию евклидова пространства для описания геометрии отдельного участка сосудистой системы; учтен как отечественный и мировой опыт последних 10 .25 лет, так и собственные исследования автора по геометрии дифференцируемых отображений между различными пространствами, а также по геометрии ССС, как геометрии субпроективного пространства, отнесенного к голо-номным и неголономным реперам.

Вполне понятным для вводной главы является исследование и выявление на логико-понятийном уровне сущности пространственного подхода к моделированию ССС, а также сущности пространства, сопоставляемого пространству кровеносной системы и свойства которого позволяют проанализировать геометрию ССС. Основой же для построения модели ССС при таком подходе к ее моделированию - есть центральный результат настоящей работы, состоящий в анализе геометрических свойств ССС, сопоставление ей определенного вида пространства, а также выбор математического и физико-биологического рабочего аппарата для исследования геометрии векторного поля (скорости частиц крови) в ССС.

Материал вводной главы является исходным для изложения результатов исследований в главах четвертой, пятой и шестой, то есть основных теоретических разделах работы, относящихся непосредственно к рассмотрению геометрии участка кровеносной системы и всей ССС.

Отправной точкой по исследованию системы кровообращения следует считать открытие в 1628 г Вильямом Гарвеем того факта, что сердце нагнетает кровь в систему сосудов. При этом он также представлял себе общие принципы функционирования ССС и знал, что циркуляция крови обеспечивает ткани питанием.

Следующим важным вкладом в изучение ССС были работы Пуазейля. На основании изучения движения крови и воды в капиллярах и капиллярных трубках он доказал, что движение частиц в капиллярах обусловлено только деятельностью сердца, а не притяжением частиц друг к другу.

Далее рассматриваются случаи ламинарного и турбулентного движения крови, их связь между собой, то есть переход ламинарного движения в турбулентное и наоборот.

Задача моделирования движения крови в кровеносной системе ставилась как клиницистами, то есть людьми, которые непосредственно имеют дело с проблемами, возникающими при движении крови, прежде всего практического характера и для преодоления данных проблем ими используется модель либо всей ССС человека, либо ее отдельных участков и исходя из этого выясняются причины возникновения изменений в движении крови, их дальнейшее развитие, а также, на основании предложенной модели, решаются вопросы, устраняющие возникшие отклонения. Задача моделирования деятельности ССС ставится и теоретиками. Суть их подхода заключается в формировании основополагающих положений для описания деятельности как всей ССС, так и ее отдельных участков. При этом строится не только модель ССС, но и выбирается математический аппарат для описания деятельности выбранных принципов в предлагаемой модели.

Современная тенденция построения математических моделей физиологических систем и процессов берет свое начало с работ F. S. Grodins, Y.J. Defares. Из отечественных исследователей здесь можно назвать группу В.И. Шумакова. Математическое моделирование ССС имеет несколько направлений.

Во второй половине 20 в. возникла и стала развиваться математическая теория управления. Одними из первых работ, которые рассматривали ССС именно с этих позиций, были работы К. Schocken, A.C. Guyton, R. Wagner. Первой серьезной работой в области моделирования кровообращения является динамическая модель «хемостата» американского ученого Ф. Гродинза.

Следующий подход основан на использовании электро-аналоговых параллелей. При таком подходе в виде схемы представляется вся сосудистая система, а также связи между ее отдельными элементами. К этому направлению следует отнести работы Pater L. de, Noordergraaf A., Westerhof N. Et al; а также, отчасти, работы Дж. Педли, Гликмана Б.Ф. и Гайтона H.A. Из отечественных авторов приверженцем данного направления можно назвать JI.M. Бакусова. В работах которого, исходным величинам гидродинамики кровеносных сосудов соответствуют электрические аналоги этих величин.

Дальнейшее развитие получили модели, которые основывались на физиологических исследованиях О. Frank, E.H. Starling и биофизических основах А. Hill. В первых таких моделях ССС исследователи старались отразить наряду с гемодинамикой и процессы регуляции.

Создавались модели и для нужд клиники. Прежде всего, модели использовались в экстракорпоральном кровообращении, анестезиологии, функциональной диагностике.

Последние работы по моделированию ССС широко используют достижения в математике и физике. Так, например, используя то, что переносимая пульсовая волна является солитоном, то есть уединенным самосогласованным волновым пакетом. С помощью солитонной модели пульсовой волны предполагается исследовать нелинейную динамику периферического кровообращения. При оценке вариабельности или «сложности» сердечного ритма применяется параметрическая статистика и спектральный анализ. Также показано, что до 85 % в спектре мощности кардиоинтервалограммы составляют непериодические хаотические компоненты, которые имеют фрактальную природу. На основании этого стали исследоваться характеристики фрактальности сердечного ритма как возможного индикатора поведения независимых нелинейных осцилляторов, принимающих участие в формировании сердечного ритма.

Подход, предлагаемый тульскими авторами (Милованов A.B., Никаноров Б.А., Федоров С.Ю., Хадарцев A.A.) основывается на данных о физиологическом строении малого круга кровообращения, растяжимости сосудов, вязкости крови и данных о строении и свойствах ветвящейся сети кровеносных сосудов в легких. Так для описания артериальной части сосудистой системы малого круга производится его деление на 17 генераций. Ветвление же венозного дерева происходит, в данной модели, параллельно ветвлению артериального дерева. При этом венозное дерево насчитывает 15 порядков ветвления. Ими же, на основе анатомического строения кровеносных сосудов, рассматриваются свойства упругости и мышечной сократимости сосудов. Результатом действия этих факторов на сосуды является изменение поперечного сечения сосудов, которое характеризует свойства сосудистой системы в целом. Описывается ими и феномен Остроумова-Бейлика.

Далее, в первой главе, рассматриваются положения и закономерности, которые используются в различных моделях ССС. К ним относятся: связь между давлением и кровотоком; принятие объема циркулирующей крови в качестве постоянной величины и т.д. Описываются и требования, которыми должен руководствоваться исследователь при построении модели ССС.

Основываясь на вышесказанном, можно сделать вывод о том, что математической модели системы кровообращения человека, отвечающей всем требованиям и описывающей все стороны ее деятельности, до сих пор не создано. Следует также иметь в виду, что при создании модели ССС, в основу должны быть положены основополагающие принципы, на основании которых можно моделировать деятельность, как всей системы, так и ее подсистем и участков. Предлагаемая работа, отчасти, этому и посвящена.

Данная работа, включающая в себя гемодинамические взаимоотношения в системе кровообращения, в основном, посвящена геометрическим (структурным) взаимоотношениям. Исходя из этого, при рассмотрении геометрии ССС, ей сопоставляется конкретное пространство, по своим свойствам близкое к структурным свойствам системы кровообращения - субпроективное пространство. Общим свойством пространств постоянной кривизны, к которым относится и субпроективное пространство, является тот факт, что они являются проективными пространствами. Последние характеризуются тем, что у них геодезические линии являются «прямыми». Всегда существует система координат, в которой геодезические линии задаются линейными уравнениями и при отображении на евклидово пространство, образами геодезических будут прямые линии.

При рассмотрении движения крови по участку сосуда, не имеющего кривизны, будем пользоваться геометрией векторного поля в евклидовом пространстве, которая будет описывать геометрию участка сосуда системы кровообращения.

При исследовании ССС будем исходить из того факта, что при некоторых движениях крови существует однопараметрическое семейство поверхностей, на каждой из которых находится одно семейство линий тока и одно семейство вихревых линий, если эти линии не совпадают. Эти поверхности принято называть поверхностями полной энергии (рис. 1): вихревые линии линии тока

11

Рис. 1. Схематическое представление поверхностей полной энергии.

В сосуде поток крови имеет непрерывный характер и, на основании этого, рассматриваемые конгруэнции и поверхности можно исследовать обычными в дифференциальной геометрии методами. В результате такого подхода будем получать геометрическую картину и характеристику стационарного потока крови, что до сего времени изучалось довольно-таки мало.

Вторая глава посвящена системному исследованию геометрии сосудов, которая основывается на геометрии «-мерного евклидова пространства.

Так как при рассмотрении геометрии участка сосуда, используется геометрия евклидова пространства, то переход от одной точки к другой можно осуществлять, основываясь на свойствах дифференцируемых отображений между областями евклидова пространства, так и на свойствах дифференцируемых отображений между различными евклидовыми пространствами. Одной из задач, при таком подходе, является задача о вычислении тензора деформации евклидовой связности при диффеоморфном отображении областей в евклидовом пространстве. В третьем параграфе этой главы приводится один из путей решения этой задачи, основывающийся на привлечении гиперраспределения, определенным образом связанным с рассматриваемым отображением. Приводится система для нахождения компонент этого тензора, полученная на основании следующей конструкции:

Рис. 2. Иллюстрация дифференцируемого отображения.

С данным гиперраспределением связывается векторное поле. Тем самым, геометрия векторного поля, геометрия гиперраспределения, геометрия дифференцируемого отображения находятся во взаимной связи и их свойства можно рассматривать через свойства друг друга. Это позволяет проследить связь между геометриями таких понятий, как векторное поле, гиперраспределение, дифференцируемое отображение.

Далее рассматриваются некоторые частные случаи дифференцируемых отображений. Так, параграф 2.4, посвящен конформному соответствию между евклидовыми пространствами. Вычисляются компоненты тензора конформной деформации, и раскрывается геометрическая природа вектора конформного преобразования в теореме 1.4.

Теорема 1.4. Вектор конформного преобразования является торсообразую-щим векторным полем.

Следствие. Вектор конформного преобразования, как торсообразующее векторное поле, является конциркулярным векторным полем.

Дается понятие подповерхности уровня коэффициента конформности - так называемой эквиконформной гиперповерхности, то есть гиперповерхности, на которой коэффициент конформности принимает постоянное значение. Показывается, что такие поверхности являются гиперсферами в «-мерном евклидовом пространстве. Доказывается следующая теорема.

Теорема 1.5. Конциркулярное векторное поле, определяемое конформным отображением/: Еп —> Е , на эквиконформных гиперсферах является сходя

Для дальнейших исследований является полезным рассмотрение конформного соответствия между областями одного и того же евклидова пространства, что и делается в 2.5 этой главы.

Наряду с отображением рассматривается и отображение /*- касательное линейное отображение (или касательный аффинитет) к отображению/, которое устанавливает соответствие между векторами, принадлежащими реперу и его образу. При этом базисные вектора репера-образа, выражаются через вектора репера-прообраза. Исходя из таких представлений, получается следующая теорема 1.6, отражающая связь между тремя основными объектами (дифференцируемым отображением, векторным полем и гиперраспределением).

Теорема 1.6. В случае конформного отображения / :£2—>0. интегральные линии векторного поля еп являются прямыми тогда и только тогда, когда ги —л-1 перраспределения А и А параллельны.

Можно также показать, что интегральные линии векторного поля, ортогонального к гиперраспределению АяЧ, являются прямыми тогда и только тогда, когда данное гиперраспределение является сферическим.

На основании последнего факта и теоремы 1.6 можно также заключить, что при конформном отображении /: О. —» в //-мерном евклидовом пространстве гиперраспределению будет соответствовать параллельное ему гиперраспределение тогда и только тогда, когда эти гиперраспределения являются сферическими. Конформное отображение на сферическом гиперраспределении определяет конциркулярное векторное поле.

Движение частиц крови происходит по «кратчайшим» линиям, которым в пространстве, являющимся моделью пространства ССС, будут соответствовать геодезические линии, то при переходе от одной точке к другой, геодезическим, проходящим через первую точку, должны соответствовать геодезические, проходящие через другую точку, которую можно рассматривать в качестве образа первой. Последнее соответствие между точками системы кровообращения, является не чем иным, как геодезическим отображением. Поэтому следующий, параграф 2.6 данной главы, посвящен рассмотрению геодезического соответствия между евклидовыми пространствами. Как и в случае конформного отображения, рассматривается вектор геодезического преобразования, который в области П будет определять векторное поле. Показывается, что данное векторное поле Л/(здесь и в дальнейшем индексы, обозначаемые большими латинскими буквами, будут принимать значения от 1 до //) представляет собой буквами, будут принимать значения от 1 до п) представляет собой торсообра-зующее векторное поле. Более того, оно является рекуррентным или параллельным векторным полем.

Для геометрической интерпретации отмеченных результатов, рассматриваются в евклидовом пространстве Еп подповерхности уровня коэффициента геодезичности X, или эквигеодезические гиперповерхности. Доказывается, что эквигеодезические гиперповерхности являются гиперплоскостями (рис.4):

Рис.4. Иллюстрация эквигеодезических гиперповерхностей.

Геометрия дифференцируемых отображений тесным образом связана с геометрией гиперраспределений. Так, например, при дифференцируемом отображении голономное (вполне интегрируемое) гиперраспределение переходит в голономное, при конформном - сферическое в сферическое, при геодезическом - плоское в плоское. Таким образом, геометрия соответствующего отображения связывается с геометрией гиперраспределения, которое переходит в гиперраспределение такого же вида при данном отображении. Такое гиперраспределение называем инвариантным. На основании такого соответствия доказывается теорема 1.11.

Теорема 1.11. При дифференцируемом отображении между евклидовыми пространствами, инвариантным является голономное гиперраспределение, которому принадлежит ортогональная (п-1)- ткань линий кривизны, относительно нормали (х, вп) к этому гиперраспределению, на которой имеется (п-1) фокус (если совпадающие фокусы считать с их кратностью).

Для конформного отображения будет верна аналогичная теорема.

Теорема 1.14. При конформном отображении между евклидовыми пространствами инвариантным является сферическое гиперраспределение, которому принадлежит ортогональная (п-1)-ткшъ линий кривизны относительно нормали (х, еп), на которой имеется (п-1)- кратный фокус, который совпадает с центром нормали.

Далее, для случая простого отображения (§АА определяется кососимметрическая матрица (VАС ) (А, С ^ В), которая в евклидовом пространстве Е" определяет нуль-полярную корреляцию.

Рассматривается также геометрия пары гиперраспределений (А"-1, А ), второе из которых, является образом первого. На основании рассмотренных фактов доказывается следующая теорема.

Теорема 1.20. Гиперраспределения А"-1 и А имеют общую соприкасающуюся гиперквадрику тогда и только тогда, когда конусы асимптотических направлений, ассоциированные с текущими элементами гиперраспределений А"-1 и А соответственно, пересекаются в плоскости = £(х) Г) по одной поверхности второго порядка.

Геометрия пары гиперраспределений (Аи-1, А ) рассматривается и с точки зрения соответствия Петерсона. Оказывается, что данные гиперраспределения параллельны тогда и только тогда, когда отображение /: П —> О. является отображением Петерсона (теорема 1.21). Для соответствия Петерсона (п-1)-ткань линий кривизны, определенная в области С1, ортогональна (теорема 1.22).

В следующем параграфе определяются вектора, называемые векторами второго порядка. На основании этого дифференциальные уравнения гиперраспределения имеют вид: оЧ ~-(enJ ei)œJ -{епп е,)соп.

На основании определенных векторов находятся условия, при которых гиперраспределение является голономным, плоским и сферическим соответственно.

На основании построенных векторов, определяются вектора второго порядка и в образе точки д: - точке y=f(x), которые выражаются через вектора второго порядка в точке х.

В третьей главе, являющейся центральной для получения теоретических основ системного исследования ССС, проводится разработка специального математического аппарата для системного анализа, основанная на геометрии ри-мановых пространств и их разновидностях - субпроективных пространствах.

Проводя исследования в субпроективном римановом пространстве, следует помнить о связи этого пространства с евклидовым. Поэтому первый параграф этой главы (в общей нумерации 3.11) посвящен конформному соответствию между евклидовым и римановым пространствами.

Основные дифференциальные уравнения рассматриваемого соответствия имеют вид: ш = со , где 1-формы та А и со А определяют перемещение точек X е Еп и у — f{x) Е С", где последнее пространство является конформно-евклидовым.

Дифференцируя эти равенства внешним образом, и применяя лемму Карта-на, получим:

Л 7 А . С где hABC=hçB.

Вычисление компонент этого тензора приводит к тому, что компоненты этого тензора имеют вид: вс ~ 3В(ХС + Зсссв — > который аналогичен виду соответствующего тензора для конформного соответствия между евклидовыми пространствами (теорема 3.1). В последнем равенстве величины аАиаА = §АВав являются компонентами вектора конформного преобразования. Здесь же находятся, с помощью известной методики, компоненты ковариантного тензора кривизны субпроективного пространства:

КАвк1,=ав1ёАК +аАк8В1 -авк%А1 -аАъ%вк, в л „1 лв теУаА=аАВб) и алв =алв-аАав + Р%АВ,ъ Р = ~8 ^л^в

1 а

Полученные величины а авк = 0-авк Н—§ав§ (а^ск + аса1к) ~~

-(ХвСИак-О-аО-вк удовлетворяют свойству:

ССавк — (Хакв > что с выражением для Я АВК[, являются необходимыми и достаточными условиями для того, чтобы риманово пространство было конформно-евклидовым. На основании приведенных рассуждений доказывается теорема.

Теорема 3.2. Конформное отображение между евклидовым и римановым пространствами определяет в евклидовом пространстве конциркулярное векторное поле, которое является одним из видов торсообразующего векторного поля.

По аналогии с конформным отображением между евклидовыми пространствами, вводится понятие эквиконформных гиперповерхностей, которые также являются гиперсферами. На основании введенного понятия доказана следующая теорема.

Теорема 3.3. Конформное отображение между евклидовым и римановым пространствами определяет в евклидовом пространстве гиперсферы, на которых коэффициент конформности принимает постоянные значения.

Изучается не только гиперсфера в евклидовом пространстве, но и ее образ. При этом произведение радиусов эквиконформных гиперсфер, одна из которых является образом другой, постоянно (теорема 3.4). Более того, на эквиконформ-ной гиперсфере конциркулярное векторное поле, определяемое конформным отображением между евклидовым и римановым пространствами, является сходящимся векторным полем (теорема 3.5) (рис.5): вами.

В качестве примера использования приведенной методики исследования отображения между пространствами, рассматривается конформное соответствие между евклидовым и эйнштейновским пространствами. Получены, применительно к специфики эйнштейновского пространства, результаты, аналогичные полученным выше.

В завершении рассмотрения конформных отображений, рассматриваются конформные соответствия между евклидовым и субпроективным пространствами. Из конформно-евклидовых выделяются субпроективные пространства.

Это возможно тогда и только тогда, когда тензор (Хав имеет вид: а ав = Р(а)ёав + (?(а)аАав.

На эквиконформных гиперсферах вектор конформного преобразования является сходящимся векторным полем. Оказывается, что данное векторное поле может быть сходящимся векторным полем в евклидовом пространстве тогда и только тогда, когда 0г(а)=-1.

В случае, когда аав = (Р(а) - ав, верна следующая теорема.

Теорема 3.12. Конформное отображение между евклидовым и субпроективным пространствами определяет на эквиконформных гиперсферах геометрию Эйнштейна.

Так как конформное отображение определяет в евклидовом постранстве конциркулярное векторное поле, то оно будет переходить в конциркулярное векторное поле тогда и только тогда, когда пространство допускает такое векторное поле, то есть оно должно быть субпроективным. Отсюда доказана еще одна теорема.

Теорема 3.13. При конформном отображении между евклидовым и римано-вым пространствами, конциркулярное векторное поле будет переходить в конциркулярное векторное поле тогда и только тогда, когда риманово пространство является субпроективным.

Ввиду того, что траектории частиц крови представляют собой геодезические линии, рассматривается и геодезическое соответствие между евклидовым и ри-мановым пространствами (3.14). Находятся компоненты тензора НАвс для данного отображения и компоненты тензора кривизны. Вводится понятие эквигео-дезической гиперповерхности, которая определяется в евклидовом пространстве при его геодезическом отображении в риманово пространство. При этом доказывается факт о эквигеодезических гиперповерхностях в виде очередной теоремы.

Теорема 3.16. Эквигеодезические гиперповерхности являются гиперплоскостями в евклидовом пространстве ЕГ.

При выяснении геометрии вектора геодезического преобразования, получается еще одна теорема.

Теорема 3.17. Геодезическое отображение между евклидовым и римановым пространствами порождает в евклидовом пространстве конциркулярное векторное поле, которое на эквигеодезических гиперплоскостях является параллельным векторным полем.

И, в заключении, рассматривается различие между конформным и геодезическим отображениями по соответствующим векторным полям и гиперповерхностям в виде теоремы.

Теорема 3.18. Конформное и геодезическое отображения между евклидовым и римановым пространствами, определяют различные гиперповерхности в евклидовом пространстве. В случае конформного отображения эти гиперповерхности являются эквиконформными гиперсферами, на которых вектор конформного преобразования является сходящимся векторным полем, а в случае геодезического отображения эти гиперповерхности являются эквигеодезическими гиперплоскостями, на которых вектор геодезического преобразования является параллельным векторным полем.

Следующий, параграф 3.15, посвящен векторам второго порядка, которые присутствуют в уравнениях перемещения репера ^у, Ял | риманова пространства в некоторой карте и. Приводятся формулы для вычисления векторов в случае произвольного дифференцируемого отображения между евклидовым и римановым пространствами, а также для случаев, когда отображение является конформным и геодезическим.

Четвертая глава посвящена геометрии стационарного движения крови в участке сосуда, которая рассматривается в евклидовом пространстве. В начале главы рассматриваются некоторые основные идеи, подчеркивающие возможность и продуктивность применения геометрии в гемодинамике. Поэтому в следующем, семнадцатом параграфе, вводятся основные понятия, которые необходимы для дальнейшего исследования геометрии крови в трехмерном евклидовом пространстве.

-А

Для функции ф вычисляется градиент, который по взаимным векторам е для выбранной основной тройки векторов ел, имеет вид: е dcp л со2 л со3 + е dcp л со3 л со1 + е dcp л со1 л со2 gradcp =-------.

СО Л СО ACO

Последняя формула является довольно-таки известной и здесь она приводится для того, чтобы быть востребованной при вычислении соответствующих величин в субпроективном пространстве. В этом же параграфе вычисляются дивергенция и ротор вектора скорости крови. С учетом обозначений: со32 = - 0)23 =рА соа =р, й)!3 = - co3i = qA сол = q, со21 = - со12 = г a (úa = г. уравнение неразрывности потока крови имеет вид: v1-v2r + v3q)AC02AC03 + (dv2-v3p + v1r)AC03AC01 + + (dv3-v1q + v2p)AG)1ACD2 = 0. Вычисляются и компоненты вихря, который находится следующим образом:

- 1 -1а-v =—rotv = —v еА. 2 2

Вводится понятие полной энергии частицы (Я), которая определяется из равенства: dH = 2vvdx.

Правая часть последнего равенства обращается в нуль для перемещений, направления которых совпадают либо с направлением скорости, либо с направлением вихря, либо же с любым направлением, компланарным первым двум. Все эти перемещения лежат на поверхностях семейства так называемой «постоянной энергии».

Следующий, параграф 4.18, посвящен поверхностям полной энергии, которые характеризуются тем, что на них функция Н принимает постоянное значение. торой выступает цилиндр.

Здесь же дивергенция вектора ез характеризуется через геометрию линий тока в виде следующей теоремы.

Теорема 4.1. Величина сНуез в каждой точке потока крови равна средней . кривизне конгруэнции линий тока с точностью до знака.

Следствие. Величина сНуез равна нулю тогда и только тогда, когда конгруэнция линий тока крови является минимальной конгруэнцией.

Для геометрической интерпретации давления крови доказана теорема.

Теорема 4.2. Если все перемещения йх частиц крови принадлежат соответствующему семейству поверхностей полной энергии и вектор коллинеарен вектору ез, то гемодинамическое давление пропорционально средней кривизне конгруэнции линий тока.

В дальнейшем, поверхности постоянной полной энергии будут характеризоваться постоянством модуля вектора скорости крови. Исходя из этого, получена следующая теорема.

Теорема 4.3. При движении крови по поверхностям постоянной полной энергии гемодинамическое давление постоянно тогда и только тогда, когда вектор равнодействующих сил, действующих на частицы крови, ортогонален их перемещениям.

Следствие. В случае ламинарного движения крови по поверхностям постоянной полной энергии гемодинамическое давление принимает постоянное значение в рассматриваемом участке сосуда тогда и только тогда, когда равнодействующая всех сил, действующих на частицы данного участка, ортогональна стенкам сосуда.

Рассматривая геометрию поверхностей полной энергии, можно сделать вывод в виде очередной теоремы.

Теорема 4.4. На поверхностях полной энергии репер Их не вращается вокруг вектора ез тогда и только тогда, когда формы со 1 и со 2 являются замкнутыми.

Следующий параграф 4.19 посвящен одному из возможных случаев турбулентного движения крови, линии тока скорости которой, являются винтовыми линиями. Вначале доказывается теорема для линий тока скорости крови, ортогональных плоскому распределению в трехмерном евклидовом пространстве. Эта теорема выглядит следующим образом.

Теорема 4.7. Интегральные линии векторного поля, нормального к плоскому распределению, являются винтовыми линиями.

Все винтовые линии лежат на соосных цилиндрах (рис. 7):

Полагая, что вектор скорости крови имеет направление вектора ез, проверяем на голономность это векторное поле. В рассматриваемом случае, оно не является голономным.

Рассматривается и обратная задача. При условии, что интегральные линии векторного поля ез, являются винтовыми линиями и полная кривизна векторного поля не равна нулю, то с ним нельзя связать семейства ортогональных поверхностей и линии кривизны такого поля будут мнимыми. Так как в случае турбулентного движения крови, профиль скоростей является, в основном, по всему сосуду вертикальным, то, не нарушая общности, предполагаем, что с каждым витком любая из винтовых линий поднимается на одну и ту же высоту. В этом случае любое направление, ортогональное вектору, являющимся касательным к винтовой линии, будет асимптотическим. Это будет выполняться в любой точке сосуда, в котором есть турбулентное движение и в котором частицы крови движутся по винтовым линиям. Так как в рассматриваемом случае нет поверхностей, ортогональных данному векторному полю, то в данной области сосуда будет определено распределение, все направления которого являются асимптотическими. Данное распределение является плоским. Полученный результат формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема 4.9. Распределение А в евклидовом пространстве Е3 является плоским тогда и только тогда, когда линии нормальной конгруэнции к нему будут винтовыми линиями, которые с каждым витком поднимаются на одну и ту же постоянную высоту.

Последняя теорема позволяет рассматривать геометрию данного вида турбулентного движения крови, как геометрию плоского распределения. На основании рассуждений данного параграфа, доказывается следующая теорема.

Теоре.ча 4.11. Стационарное движение крови является турбулентным, линии тока которого являются винтовыми линиями тогда и только тогда, когда вектор скорости крови ортогонален плоскому распределению.

Изучение турбулентного движения крови, основывающееся на геометрии интегральных линий векторного поля скорости крови, можно проводить, основываясь на геометрии поверхностей, но и на геометрии распределений, а также на геометрии нормальной конгруэнции линий к распределению. Такой подход, во многом, позволяет облегчить исследование такого сложного движения крови, как турбулентное, которое имеет место в сердце, при выбросе крови из сердца, в местах разветвления сосудов, при патологических изменениях в сосудах, а также в тех случаях, когда число Рейнольдса по каким-либо причинам превышает критическое значение.

Следующий, параграф 4.20 этой главы, посвящен ламинарному движению крови в участке сосуда. Частицы крови движутся по соосным цилиндрам, на каждом из которых скорость крови постоянна. Все частицы крови, лежащие в плоскости, ортогональной оси сосуда в некоторое начальное время, а по истечению некоторого единичного времени, будут лежать на поверхности параболоида. С геометрической точки зрения с этими поверхностями связываются определенные геометрические объекты, которые позволяют описать ламинарное движение крови и геометрию такого движения по участку сосуда.

Показывается, что цилиндры являются поверхностями постоянной полной энергии. Для выяснения геометрической природы параболоида с каждой точкой оси сосуда связывается плоскость, ортогональная вектору скорости. Интегральные линии вектора скорости будут прямыми. Доказывается, что полученное распределение будет голономным. Последние факты формулируются в виде теоремы.

Теорема 4.12. Ламинарному потоку крови вдоль оси сосуда соответствует голономное распределение, которое ортогонально линии тока.

Данное распределение обозначается, как А2.

Рис.8. Профиль скорости крови в сосуде.

Следствие. Интегральным многообразием распределения А является параболоид, ось которого совпадает с осью сосуда при ламинарном движении крови по сосуду.

Следующий, параграф 4.21, посвящен изучению движения крови, как геодезического потока в евклидовом пространстве Е3, то есть здесь рассматривается, основываясь на принципе Мопертюи, движение крови по геодезическим линиям. Пусть геодезическая линия с вектором е\ образует угол с. Тогда ее уравнения принимают вид: со 3 = О der + г = О

Для удовлетворения всем условиям и уравнениям, которые накладываются на движение крови в этом параграфе, полагаем: dv v i 7 f^ ю' + п^ + СЬ+^со3 v Sv

О = (л + N sincr) со 1 - (Ç + N cosa) со2 + Ç со 3, где L = p 2 sin2 ст + (p i - q 2) sina cosa - q 1 cos2ct, N = p3 sincr - q3 cosa, a Ç, rj, Ç -неизвестные функции, которые выбираются таким образом, чтобы удовлетворялись условия интегрируемости приведенных уравнений.

В пятой главе рассматривается задачи системного анализа движения крови по всей ССС. Субпроективное пространство, геометрия которого ассоциируется с геометрии ССС, здесь отнесено к голономным реперам. В начале главы приводятся аргументы в пользу изучения ССС, основывающейся на пространственном подходе, то есть на изучении геометрии ССС, как геометрии субпроективного пространства. Далее, вычисляются дифференциальные операторы для субпроективного пространства, отнесенного к голономным реперам. На рисунке 9 дается представление о соответствии ССС и ее пространственного образа, где роль кровеносных сосудов играют геодезические линии.

Рис. 9. К иллюстрации соответствия между структурой ССС и субпроективным пространством,

Оператор градиента имеет вид, аналогичный виду этого же оператора в евклидовом пространстве. Для нахождения дивергенции, получаем: d\-{dvA fv^^+vVe^, где 6ав — евл. В результате чего получаем: div vdz = (dvl + уЧ)ай>2 л<у3 + (dv2 + vBa>2B) ла>? лсо] + +(í/v3 +\в0)3в)а0)1 acó2 +(vKaAKA)dv, где в последнем слагаемом вначале производится суммирование по А, а затем сумма по К&А.

Ротор вектора скорости крови будет находиться из следующего равенства: rotv dr = ~eLcoL лсок л(dvA + \ъсоАв){еАек)-eL(úL л vА(сок АСОв){еАвек).

Последнее равенство рассматривается и в ортогональном репере. Выражения для компонент вихря, будут иметь вид:

-dr • v1 = со1 л со2 л (dv2 + vV - y3p) + со1 л со3 л (dv3 - v1^ + v2j!?) + v1 On -)■- v24 + v34

-dr-v2 - co1 Aft)1 aCí/v1 -v2r + y3q) + co2 а со3 л (c/v3 + v2/>) + +(•v1^ + v2 Ц32 - ) - у3а\ъ )dz

-dr-V3 - CO3 aco1 a (i/v1 - v2r + v3#) + О? a CO2 a (<d\2 + vV - v3 p) +

Л 1 >S 4 Я v an + v a22 + v (a23 - a13)dr, где dr = со 1 л со2л о)3 - элемент объема в каждой положительно ориентированной карте U.

Уравнение неразрывности потока крови имеет здесь следующий вид: (c/v1 - у2г + v3q) acó2 aw2 + (dy2 + vV - v3 p) а со3 а со1 + (dy3 - ylq + +yzp) aco1 aco2 + (vKalK2 + vKa2K 2 + yKa3K3)dz = 0.

Приводятся выражения для определения компонент вихря при движении крови по геодезическим поверхностей постоянной полной энергии: v1

--= q2 cos <т - р2 sin <7 + cos сг(а2ъ - a3i2) - sin cra\2 у = -ql cos <7 + px sin a + cos aa3{ + sin cr(af2 - а\ъ)

0 = - coscr а2ц + sina a'22 • Уравнение неразрывности в этом случае имеет вид: p3sin а - q¡ cosa ~0.

Принимая

2 12 2 L=p2sin a +(pi — q2 — а 32-a 3¡)sina coscx- q¡ cos a

2 1 N=(p3-a 33)sina- (q3 + ci 33) cosa.

Далее полагаем: v , /, , 2 , /

Svu tú) + gco + (L + —)cú3

I "У ? da + r =(g + Nsino)co - (t + Ncoso)(o + uco , где t, g, u — функции, которые выбираются таким образом, чтобы выполнялись условия интегрируемости последних уравнений. Доказана следующая теорема.

Теорема 5.3. Для выполнения уравнений неразрывности потока крови, а также уравнений для компонент вихревого вектора необходимо и достаточно выполнение условий:

2 /т f^ з tco'+go)2 + (L + )о)3 v Sv da + г =(g + N sina)col - (t + N cosa) со2 + uco3, а1 зз cosa +a 233 sin a = 0

2 i ■ n а и cosa-a 22Sin<y—U

3 2 3 3 2 a ¡¡cos a+2 a ¡2 cosa sin сг+ a 22 sin a - 0.

Рассматриваются также соответствующие условия при движении крови по геодезическим, расположенным на поверхностях постоянной полной энергии.

Выводятся обобщенные уравнения Гельмгольца, которые имеют вид:

Q- A (dvA + VB0)AB) = П; A (¿/Va + v4") и для случая симметричности векторов влв по нижним индексам, совпадают с аналогичными уравнениями, для евклидова пространства.

В шестой главе приведены результаты системного анализа для теоретических исследований геометрии стационарного движения крови в субпроективном пространстве, отнесенном к неголономным реперам.

Для этого субпроективного пространства также рассматриваются дифференциальные операторы, причем, оператор градиента имеет вид, как и для евклидова пространства.

Дивергенция вектора скорости крови находится из следующего равенства:

О)1 а СО2 a G)3divv = (c/v1 + vb6üg ) а О)2 a CO? + {dv2 + v®^ ) a CO3 a CO1 + +(¿/v3 + ува>3в)ла)1 a O)2 +(vKaAA)col а со2 a co\ k*a где в последнем члене предполагается вначале сумма по А, а затем сумма по

Выражение для ротора вектора скорости крови будет иметь вид: rotvdz = -елбоА ла>в a(dvK + ^а>1)(евек)--елСОА лсов a (y^coL asKL){eв es).

Последнее выражение рассматривается и в ортогональном репере, определяемом в точке из карты U субпроективного пространства. Выражение для ротора вектора скорости крови в ортогональном репере имеет вид:

-rotv dr = ei(cox acó2 л (dv2 +vla>2l) + o)1 а со2 a(í/v3 + \Lco\) + r(vK a2K3-vK аък2)) + ei{co2 acó1 a (dvl +vLco[) +со2 acó3 a (dv3 +

2* к кфъ vlco3l) + dr(vK a3kl-vk а1кз)) + еъ(со3 acó1 a(dvl +vlco[) +

3 1ФК co3 aco2 a(dv2 + vlco2l) + í/t(vk alK2~ vKa2Kl)).

Полученные формулы для градиента, дивергенции и ротора позволяют записать основные уравнения гемодинамики для случая, когда геометрия ССС ассоциируется с геометрией субпроективного пространства, отнесенного к неголо-номным реперам.

Уравнение неразрывности потока крови приводится к виду: d In У , ¡ 2 ч = Р2-<к-(аЪ1 + аЪ2), ds где вектор скорости сонаправлен с вектором еъ \ V = Уез.

На основании последних утверждений получена очередная теорема.

Теорема 6.1. В каждой точке потока крови логарифмическая производная от величины скорости по направлению линии тока, равна средней кривизне конгруэнции линий тока крови.

Конгруэнция линий, для которой правая часть последнего равенства равна нулю, назовем минимальной конгруэнцией. Тем самым, получена следующая теорема.

Теорема 6.2. Величина скорости потока крови в субпроективном пространстве, отнесенном к неголономным реперам, постоянна вдоль некоторой линии тока тогда и только тогда, когда данная линия представляет собой линию, принадлежащую минимальной конгруэнции.

Находятся компоненты вихревого вектора для данного вида субпроективного пространства.

В заключение шестой главы вычисляются гауссова кривизна векторного поля еъ - Кг и ее полная кривизна К(. Показывается, что

На основании этой формулы получена теорема.

Теорема 6.3. Отношение проекции вихря на касательную линии тока крови к величине скорости крови есть инвариант линии тока крови, который пропорционален квадратному корню из разности полной и гауссовой кривизны линии тока крови.

Седьмая, заключительная глава, посвящена экспериментальному подтверждению полученных теоретических результатов. Исследования проводились с использованием допплеровских ультразвуковых анализаторов с частотами 2,5 и 7,5 МГц, а также 3,5 МГц.

В заключение работы в целом подводится итог о целесообразности и эффективности использования геометрической картины для описания движения крови, как по всей ССС, так и по ее отдельному участку, что обеспечивает повышение точности диагностики появления атеросклеротических бляшек в сосудах и как следствие своевременно назначить лечение. а также V з

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Основные результаты работы сводятся к следующему.

1.Разработаны теоретические основы системного анализа ССС человека с привлечением геометрии субнроективных пространств, позволяющие с одних и тех dice позиций подходить как к моделированию движения крови по участку сосуда, так и но всей ССС человека.

2. Разработан необходимый математический аппарат для системного анализа работы системы кровообращения, обеспечивающий решение задач в теоретических исследованиях по выявлению системных связей и закономерностей функционирования системы кровообращения.

3. Разработаны методы анализа и исследования дифференцируемых отображений, распределений и векторных полей, основанные на системных принципах целостности и делимости системы кровообращения, позволяющие делать выводы о том, как движется кровь в сосуде или во всей системе.

4. Предложен способ формализации деятельности ССС человека для создания ее модели на основе геометрии субпроективных пространств, позволяющий выделять при моделировании наиболее существенные моменты, характеризующие движение крови.

5. Разработаны теоретические основы моделирования геометрии ССС с учетом ее физиологических закономерностей, позволяющие выделить существенные характеристики, как всей системы кровообращения, так и ее участков.

6. Разработан метод исследования ламинарного движения крови, базирующийся на геометрических свойствах голономного распределения, позволяющий получать необходимые характеристики данного вида движения крови.

7. Предложены методы изучения турбулентного движения крови, обеспечивающие описание всех видов такого движения.

8. Синтезирован критерий оптимизации описания системообразующих факторов, как для всей системы кровообращения, так и ее отдельных участков, позволяющий наиболее эффективно и с минимальными вычислениями характеризовать движение крови.

9. Выведены уравнения движения крови по участку сосуда и по всей системе, предложен алгоритм для ilk выполнения, обеспечивающие теоретико-множественный и теоретико-информационный анализ системы кровообращения.

10. Разработаны методы описания движения крови на основе уравнений, аналогичных уравнениям Гельмгольца, позволяющих изучать распределение вихрей в сосуде.

11. Предложена структура но принятию решений при формализованном описании ССС человека в задачах анализа и управления при диагностике состояния исследуемой системы,позволяющая более эффективно, по сравнению с существующими методами, решать проблемы по обнаружению ате-росклеротических бляшек в сосудах.

12. Подтверждены результаты, полученные с использованием предложенных методов и моделей, в экспериментальных исследованиях с использованием анализаторов «Кроха ТЦ» и «Доплеровский фонендоскоп» в лаборатории НИИ НМТ, а также в клинической практике.

Таким образом, создана теория, которая может быть использована в описании движения крови в ССС и эта теория опирается на геометрию пространства системы кровообращения, а также на геометрию линий тока крови. Предложенная теория будет полезна широкому кругу ученых и исследователей в области биологии системы кровообращения, биофизики, геометрии, управления в биологии и медицине и (возможно) позволит взглянуть на многие конкретные задачи названных дисциплин с более общей, системной точки зрения.

Настоящая работа является результатом более чем 10-летних исследований автора в области дифференциальной геометрии, биофизики и моделирования движения крови по ССС. Автор выражает свою глубокую признательность вдохновителю и человеку, который постоянно оказывал моральную поддержку в течение всего периода работы - проф. A.A. Яшину, а также благодарит проф. JI.E. Евтуишка за постоянное внимание к работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В предлагаемой работе представлены основы математического аппарата, который может быть использован для исследования геометрии сердечнососудистой системы человека. Данное исследование не только рассматривает вопросы теории, но и решает вопросы, которые относятся к геометрии определенных римановых пространств, геометрию которых можно использовать при рассмотрении геометрии кровеносной системы человека.

Рассмотрение геометрии ССС не только ставит вопросы, которые до сего времени довольно-таки мало обсуждались в литературе, касающейся моделированию ССС человека, но и позволяет наиболее с общей токи зрения взглянуть на «внутреннее» геометрическое строение как всей системы в целом, так и отдельных ее сосудов. Также при рассмотрении геометрии ССС исследования ведутся на основании общих принципов, основанных на геометрических свойствах пространства, которое сопоставляется пространству ССС человека и которое в работе называется пространством материальных сред живого, объединенным единым функциональным назначением.

Общность принципов, лежащих в основе геометрии пространства и на основании которых исследуется геометрия ССС, позволяет преодолевать трудности, которые встают перед исследователем при его работе с несколькими моделями кровеносной системы. В основе каждой модели, а это бывает почти что всегда, лежат принципы, присущие только этой модели. И встает проблема о связке этих моделей, а также подведении одних принципов для объяснения других принципов, лежащих в основе другой модели, но которые используются в первоначальной модели и которые надо объяснить с позиции принципов этой модели. Решать такие задачи приходится, так как каждая модель приспособлена для объяснения какой-либо одной стороны деятельности ССС, а для объяснения какой-либо другой стороны деятельности системы наиболее пригодна другая модель. Но функционирование ССС - это не проявление каких-то отдельных ее сторон деятельности, а функционирование именно системы, как единого целого. И задача сопоставления нескольких моделей бывает очень актуальной.

Исследование геометрии ССС позволяет не только рассматривать проявления геометрии этой системы с общих позиций, но также рассматривать различные проявления деятельности кровеносной системы с общих позиций, основывающихся на геометрии пространства ССС.

Точность такого описания основывается на том, какое конкретное пространство берется в качестве пространства материальных сред живого. Под это понятие подводится, в принципе, любая система организма человека. Но только те проявления каждой конкретной системы, которые являются следствием единого функционального назначения этой системы, позволяют сопоставить данной системе и, прежде всего, той геометрии, которая ей присуща - специальное пространство. В данной работе геометрии ССС человека сопоставляется субпроективное пространство. Такое сопоставление основано на том, что согласно принципу Мопертюи движение частицы крови в потенциальном поле сил тяжести при фиксированной энергии происходит по геодезическим линиям. Причем геодезические должны сходиться в одной точке. Все это отражено в самом понятии субпроективного пространства.

Геометрия всей кровеносной системы ассоциируется с геометрией субпроективного пространства, а геометрия отдельно взятого участка сосуда может быть рассмотрена и в евклидовом пространстве, что в предлагаемой работе и делается. Также следует отметить, что данный подход является продуктивным не только с точки зрения геометрии кровеносной системы, но и с точки зрения моделирования деятельности ССС. Полученные на этом пути факты отражают то или иное проявление движения крови по кровеносной системе, а также по отдельному сосуду.

Полученные в ходе исследования результаты были подтверждены экспериментально с использованием фонендоскопа доплеровского.

На основании перечисленного выше, можно сделать вывод о том, что рассмотрение геометрии сердечно-сосудистой системы человека позволяет подойти с наиболее общих позиций к моделированию деятельности ССС, а также рассматривать деятельность системы как в нормальном ее состоянии, а также в состоянии патологических изменений и каких-либо внешних воздействий. Описание проявлений названных нарушений приводит к рассмотрению геометрии турбулентного кровотока, что также проделывается в данной работе.

Сопоставительный анализ известных и предлагаемых методов исследования на задаче обнаружения атеросклеротических бляшек сосудов

Метод Стоимость диагностики X, Травматичность х2 Скорость диагностики Х3 Пороги обнаружения бляшек Хд Прогнозируемая стоимость лечения Х5 Прогнозируемое время лечения Хб Общая эффективность лечения И.

1. Ангиография 1 1 1 1 4 1 1 1 =0,03 37,5

2. Допле-ровский УЗ-сканер с традиционным математическим обеспечением 1 4 0 1 8 1 2 1 4 1 2 1 =0,08 12,6

3. УЗ-сканер с математическим обеспечением на основе предложенного подхода 1 5 0 1 8 1 3 1 4 1 2 1 =0,1 10,7

6 1 Ы а; — весовые коэффициенты показателей, определяемые методом экспертного оценивания. В данном случае они принимают следующие значения: а1=5, а2=9, аз=7, а4=10, а5=6, а^=8.

Как показывает приведенная выше таблица, наибольшую эффективность в задаче обнаружения и лечения атеросклеротических бляшек сосудов, достигаем с использованием доплеровского УЗ - сканера с математическим обеспечением на основе предложенного в данной работе подхода. Данный подход позволяет по получаемым сканерам графикам, выявить наиболее быстро на участке сосуда турбулентное движение, которое в нормальном состоянии сосуда не должно в нем присутствовать.

Приведенные результаты теоретического исследования и подтверждающие их экспериментальные исследования говорят о том, что создана непротиворечивая и логически выверенная концепция ССС человека. Полученные результаты по движению крови как в сосуде, так и по всей кровеносной системе, в совокупности с результатами исследований по распределениям и дифференцируемым отображениям, позволяют более эффективно использовать геометрическую картину для описания движения крови, что обеспечивает повышение точности диагностики появления атеросклеротических бляшек в сосудах и своевременно назначить лечение.

1. Harvey, William. Movement of the heart and blood in animals. An anatomi-calessay, 1628. (Trans. By Kenneth J., Franklin Oxford: Blackwell, 1957).

2. Newton /. Principia mathematica. 2 nd edition, lib. ., sect. The circular motion of liquids, Proposition L ., Theorem, 1713.

3. Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2-х т. М.: Наука, 1976. - Т. 2. -576 с.

4. Girard P.S. Memoire sur le monvement des fluids dans les tubes capillaries et 1v influence de la temperature sur ce mouvement. Mem. De 1N Inst. (Paris), 1813-1815, p. 249-380.

5. Hagen G.H.L. Über die Bewegung des Wasserrs in engen cylindrischen Röhren. "Ann. Phys. Chem.", 1839, Bd. 46, S. 423 - 442.

6. Poiseuille J.L.M. Rechervhes experimentales sur le mouvement des liquids dans les tubes de tres petits diameters. "Med. Savant Etrangers", 1846, v. 9, p. 433 - 544 (Paris).

7. Wiedemann G. Ann. Der Physik. 99, 221; Quoted by E. Hatschek (1928). In: The viscosity of liquids, 1856, London: Bell, p. 239.

8. Hagenbach E. Uber die Bestimming der Sähligkeit einer Flüssigkeit durch den Ausfluss aus Röhren. "Ann. Physik.", 1860, Bd 109, S. 385-426.

9. Фолков Б., Нил Э. Кровообращение: Пер. с англ. М.: Медицина, 1976. -463 с.

10. McDonald d.a. Blood flow in arteries. London, Arnold, 1960.

11. Ноздрачев А.Д., Баженов Ю.И., Баранникова И.А. и др. Общий курс физиологии человека и животных: В 2 кн./ Под ред. Ноздрачева А.Д. М.: Высш. шк., 1991.-Кн. 2.-528 с.

12. Шмидт Ниелъсен К. Физиология животных: Приспособление и среда. Т. 1,2.-М., 1982.

13. Green H.D., Rapela C.E., Conrad M.C. Resistance (conductance) and capacitance phenomena in terminal vascular beds. Handbood of physiology, 2, Circulation, .,- 1963.-p. 935-960.

14. Reynolds 0. An experimental investigation of the circumstarces which determine whether the law resistance in parallel channels. "Phil. Trans.", 1883. - v. 174. -p. 935-982.

15. Coulter N. A. Jr., Pappenheimer J.R. Development of turbulence in flowing blood. "Am. J. Physiol." - 1949. - v. 159. - p. 401-408.

16. Astrand P.O., Ekblom В., Messin R., Saltin В., Svedbery J. Intra arterial blood pressure during exercise with different muscle groups.- "J. Appl. Physiol."-1965.-v. 20.-p.253-256.

17. Cotton K.L. The instantaneous measurement of blood flow and of vascular im-pedande. Ph. D. Thesis. London. 1960.

18. Grodins F.S. Integrative cardiovascular physiology: A mathematical synthesis of cardiac and blood vessel hemodynamics // Quart. Rev. Biol. 1959. - V. 34. - P. 93-116.

19. Defares Y.J., Osborn J.J., Hiroshi H.H. Theoretical synthesis of the cardiovascular system. Study 1: The controlled system // Acta Physiol. Pharmacol. 1965. -Vol. 12, №3.-P. 189-265.

20. Vadot P.L. Examen de problèmes d v hemodynamique, an moyen d N une analogie electrique. Application particulière aux malformations cardiaques //Patt. Et Biol. 1962. - Vol. 10, № 19 - 20. - P. 1499 - 1509.

21. Pater L. de. An electrical analogue of the human circulatory system. Rotterdam, 1966.-162 p.

22. Шумаков В.И., Новосельцев В.H., Сахаров М.П., Штенгольд Е.Ш. Моделирование физиологических систем организма / Под ред. Б.В. Петровского. -М7, 1971.-352 с.

23. Schocken К. The selfregulation of blood flow // Exper. Med. Surg. 1955. -Vol. 13.-P. 73-76.

24. Noordergroaf A. Hemodynamics //Biological engineering / Ed. H. Schwan. -New York, 1969. P. 391 - 545.

25. Wagner R. Feedback principle in regulation of the circulation // Circulât. Res. 1957. - Vol. 5, № 5. - P. 469 - 471.

26. Беллман P. Математические методы в медицине: Пер. с анг. / Под ред. JI.H. Белых. М.: Мир, 1987. - 200 с.

27. Гродинз Ф. Теория регулирования и биологические системы: Пер. с англ. -М., 1966.-254 с.

28. Амосов Н.М., Лищук В.А.6 Палец Б.Л. и др. Моделюваная «BHyTpiuiHboi сфери» оргашзму людини // <Шзюл. журн. 1971. - Т. 17, № 2. - С. 156.

29. Амосов Н.М., Палец Б.Л., Агапов Б.Г. и др. Теоретические исследования физиологических систем. Математическое моделирование. Киев: Наукова думка, 1977. - 245 с.

30. Бураковский В.И., Лищук В.А., Соколов М.В. Анализ функции и состояния сердечно-сосудистой системы в эксперименте с помощью математической модели // Вестн. АМН СССР. 1976. - № 10. - С. 57 - 68.

31. Бураковский В.И. Основные итоги работы Института сердечнососудистой хирургии им. А.Н. Бакулева АМН СССР за 20 лет // Некоторые итоги и перспективы развития хирургии сердца и сосудов. М., 1976.

32. Лищук В.А., Амосов Н.М., Лиссова О.И. Сердце как кибернетическая система // Некоторые проблемы биокибернетики и применения электроники в биологии и медицине. Киев, 1964. - С. 3 -19.

33. Лищук В.А. Побудова алгоритму функцюнування л1вого сердця // Автоматика. 1967. - № 3. - С. 60 - 76.

34. Лищук В.А. Общие свойства сердечно- сосудистой системы: Препринт 71-15. — Киев, 1971.-20 с.

35. Лищук В.А. Применение автоматизированных систем для научных исследований и профессионального обучения // МЗ СССР. Центр. Ин т усоверш.врачей. 1973. - 34 с. - Деп. Во Всесоюз. НИИ мед. и мед. -техн. Информации МЗ СССР. № 169-73.

36. Guyton А.С. Determination of cardiac output by equating venous return curves with cardiac response curves // Physiol. Rev. 1955. - Vol. 35, № 1. - P. 161 - 168.

37. Westerhof N., Bosman F., Devries C., Noordergraaf A. Analog studies of the human systemic arterial tree // J. Biomech. 1969. - Vol. 2, № 11.

38. Дж. Педли. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов: Пер. с англ.-М.: Мир, 1986.

39. Гликман Б.Ф. Математические модели пневмогидравлических систем. — М.: Наука, 1985.

40. Гайтон Н.А. Минутный объем сердца: Пер. с англ.- М.: Медицина, 1969.

41. Бакусов JI.M. Некоторые модели и методы волновой гемодинамики. -Уфа: Изд-во УАИ, 1992. 50 с.

42. Beneken J.E.W. A mathematical approach to cardiovascular function. The uncontrolled human system // Institute of Medical Physics Report. Utrecht, 1965. -194 p.

43. Frank O. Zur Dynamic des Herzmuskels II Z. Biol. 1895. - Bd 32. - S. 370.

44. Starling E.H. Linacre lecture on law of the heart.- London, 1918. 27 p.

45. Starling on the heart / Ed. C.B. Chapman, J.H. Mitchell.- London, 1965.

46. Hill A. V. The heart of shortening and hemodynamic constants of muscle // Proc. Roy. Soc. В.- 1938. Vol. 126.- P. 136 - 138.

47. Al.XiumA. Механика мышечного сокращения: Пер. с англ.- М., 1972. 183 с.

48. Хаютин В.М. Сосудодвигательные рефлексы. М.: Наука, 1964.

49. Хаютин В.М., Едемский M.JI. Бюлл. эксп. биол. и мед. - 1967.- 63, 11.

50. Едемский М.Л., Хаютин В.М. II В кн.: Физиология и патология кровообращения,- Тр. Ин-та норм, и патол. физиологии.- 1967.- М., 10.

51. Едемский М.Л., Хаютин В.М. II В кн.: Тез. докл. . Всесоюзной научной сессии НТО им. А.С. Попова, секция бионики. 1967, М.

52. Лищук В.А. Опыт применения математических моделей в лечении больных после операции на сердце // Вестн. АМН СССР. 1978. - № 11. - С. 33.

53. Лищук В.А. Медицинская кибернетика, некоторые итоги обеспечения решения // Роль математического обеспечения в прогрессе медицины, Винница, 1988.- С. 20-45.

54. Сидоренко Г.И. Кибернетика и терапия: Проблемы индивидуального лечения / Под ред. В.В. Парина.- М., 1970.- 209 с.

55. Бакусов Л.М., Верхотуров М.А. О солитонной природе пульсовых волн сердечно-сосудистой системы // Вестник новых медицинских технологий.-1997.- Т., № 3. С. 15-17.

56. Образцов И.Ф., Ханын М.А. Оптимальные биомеханические системы.- М.: Медицина, 1989.-272 с.

57. Dodd R.K., Eilbeck J.C., Gibbon J.D., Morris H.C. Solitons and nonlinear wave equations. London: Academic Press, 1984.

58. Баевский P.M., Кириллов О.И., Клецкин С.З. Математический анализ изменений сердечного ритма при стрессе.- М., 1984.- С. 62-76.

59. Yamamoto Y., Hughson R.L. On the fractal nature of heart rate variability in humans: effects of data length and beta-adrenergic blockade. // Am-J-Physiol.- 1994.-Jan-266(1 Pt 2). R. 40-9.

60. Yeragani V.K., Srinivasan K., Vempati S., Pohl R., Balon R. Fractal dimension of heart rate time series: an effective measure of autonomic function // J-Appl-Physiol.- 1993 Dec- 75(6). P. 2429-38.

61. Signorini M.G., Cerutti S., Guzzetti S., Parola R. Non-linear dynamics of cardiovascular variability signals//Methods Inf-Med. - 1994 Mar- 33(1).- P. 81-84.

62. Бакусов Л.М., Вулкарнеев P.X. Исследование фрактальных характеристик ритма сердца // Вестник новых медицинских технологий (ВНМТ).- 1997.Т. ,,№3.-С. 67-69.

63. Bassingthwaighte J.B., Raymond G.M. Evaluation of the dispersional analysis method for fractal time series // Ann-Biomed-Eng. 1995 Jul-Aug - 23(4) - P. 491505.

64. Бакусов JI.M., Зулкарнеев P.X., Загидуллии Ш.З., Хафизов Н.Х. Применение показателя приближенной энтропии (APEN) для оценки регулярности физиологических процессов // ВНМТ.- 1998.- Т., № 3-4. С. 13-15.

65. Eleisher L.A., Pincus S.M., Rosenbaum S.H. Approximate entropy of heart rate as a correlate of postoperative ventricular dysfunction // Anesthesiology.- 1993,- Vol. 78. № 4. - P. 683-692.

66. Колмогоров A.H. Новый метрический инвариант неустойчивых динамических систем и автоморфизмов в пространствах Лебега // Докл. акад. наук СССР.- 1958.- Т. 119.- С. 861-864.

67. Crassberger P., Procaccia I. Estimation of the Kolmogorov entropy from a chaotic signal // Phys. Review. 1983.- Vol. 28.- P. 2591-2593.

68. Pincus S.M. Approximate entropy as a measure of system complexity // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1991.- Vol. 88.- P. 2297-2301.

69. Pincus S.M. Approximate entropy: a complexity measure for bilogic time-series data // The Proceedings of IEEE 17-th Annual Northhheast Bioengeneering conference.- New-York: IEEE Press.- 1991.- P. 35.

70. Pincus S.M. Greater signal regularity may indicate increased system isolation //Math. Biosci.- 1994.- Vol. 122.-№2- P. 161-181.

71. Мшованов A.B., Никаноров Б.А., Федоров С.Ю., Хадарцев А.А. Математическое моделирование гемодинамических процессов в сердечно-сосудистой системе человека. Часть . . Движение жидкой среды в ветвящейся структуре // ВНМТ.- 1997.- Т., № 3.- С. 26-31.

72. Вейбель ЕР. Морфология легких человека: Пер. с англ.- М.: Медицина, 1970.- 175 с.

73. Дьяченко А.И., Шабельников В.Г. Математические модели действия гравитации на функции легких.- М.: Наука, 1985.- 279 с.

74. Болезни сердца и сосудов. Руководство для врачей: В 4 т. Т.1 / Алмазов И.И., Аронов Д.М., Атьков О.Ю.: Под ред. Е.И. Чазова.- М.: Медицина, 1992.496 с.

75. Лищук В.А. Математическая теория кровообращения.- М.: Медицина, 1991.-256 с.

76. Phillips W.M. Modelling of flows in the circulatory system // Advanc. Cardiovase. Phys.- 1983.- Vol. 5.- P. 26-48.

77. Постпиков M.M. Лекции по геометрии. Семестр 5. Риманова геометрия.-М.: Факториал, 1998.- 496 с.

78. Акивис М.А. Многомерная дифференциальная геометрия.- Калинин: КГУ, 1977.-82 с.

79. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ.- М.: Наука, 1964.

80. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 4. Дифференциальная геометрия.- М.: Наука, 1988.

81. Каган В.Ф. Субпроективные пространства.- М.: ГИФМЛ, 1961.- 220 с.

82. Каган В.Ф. Обобщение понятия о проективном пространстве и соответствующем абсолюте. // Труды семин. по вект. и тенз. анализу. 1933.- Вып. 1.-С. 12-101.

83. Каган В.Ф. Исключительный случай в теории субпроективных пространств. // Труды семин. по вект. и тенз. анализу. 1935.- Вып. 2-3.- С. 151170.

84. Каган В.Ф. О субпроективных пространствах. // Compt. Rend. Acad. Sci. colon.- 1930.- 191,548.

85. Алишбая Э.Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве. // Труды геом. Семинара ВИНИТИ.- 1974.- Т. 5.- С. 169-193.

86. Акивис М.А., ГольдбергВ.В. Тензорное исчисление.- М.: Наука, 1969.- 352с.

87. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. // Труды Моск. матем. об-ва.- 1953.- Т. 2.- С. 275-382.

88. Акивис М.А. О плоских гиперраспределениях в Рп Л Математические заметки.- 1984.- Т. 36, вып. 2.- С. 213-222.

89. Остиану Н.М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве. // Тр. геом. сем. ВИНИТИ.- 1973.- Т. 4.- С. 71-120.

90. Mirón R. Asupra sferei neolonome si planului neolonom.// Ann. stiit. Univ.-Iasi.- 1955.- Sec. 1, 1, № 1-2.- P. 43-52.

91. Кайзер В.В. Расширения, сужения и сопряженные направления дифференцируемых распределений в многомерных проективных пространствах.// Геом. сб.- № 15- 1975.- С. 20-49 (Тр. Томского ун-та, 258).

92. Gil-Medrano P. Geometric properties of some class of Riemannian almost-product manifolds.// Rend, del Circolo Mat. di Palermo.- 1983. T.- P. 315-329.

93. Степанов C.E. Техника Бохнера в теории римановых структур почти произведения. //Математические заметки.- 1990.-Т. 48, вып. 2.- С. 93-98.

94. Алишбая Э.Д. Сферическое распределение. // Труды Тбилисского ун-та.-1983.-Т. 239.-С. 5-20.

95. Степанов С.Е. Сферическое распределение в евклидовом пространстве. // Известия ВУЗов. Математика.-1986.

96. Montesinos A. On certain classes of almost product structures. // Michigan Math. J.- 1983.-V. 30, № 1.- P. 31-36.

97. Mirón R. Asura sferei neolonome si planului neolonom. // An. Stiint. Univ. Jasi. Sec. 1.- 1955.- Т. 1, № 1-2.- S. 43-52.

98. БазылевB.T. К геометрии дифференцируемых отображений евклидовых пространств. //Ученые записки МГПИ. 1970.- № 374.- С. 41-51.

99. Кузнецов Г.В. Об одном способе вычисления тензора деформации евклидовой связности. // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика.- 1998.- Т. 4, вып. 3.- С. 84-87.

100. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии.- М.: Мир, 1970.-412 с.

101. Кузнецов Г.В. Локальные диффеоморфизмы евклидова n-пространства и геометрия ассоциированных с ними пар гиперраспределений: Диссертация канд. физ.-мат. наук.- М.- 1995- 12 с.

102. Yano К. On torse-forming directions in Riemannian spaces. // Proc. Imp. Acad. Tokyo.- 1944.- 20.- P. 701-705.

103. Jly.uucme Ю.Г. Многомерные линейчатые поверхности эвклидова пространства. // Мат. сб.- 1961.- 55, № 4.

104. Yano К. Concircular geometry .-. .// Proc. Imp. Acad. Tokyo.- 1940.- 16.- P. 195-200, 354-360,442-448, 505-511.

105. Myller A. Direzioni concorrenti sopra una superficie spiccanti dai punti una curva.//Rend. d. Lincei.- 1929.- 33.- P. 339-341.

106. Myller A. Directions concourantes dans une varíete metrique a n dimensions.//Bull. Soc. Math.- 1928.- 56.- P. 1-6.

107. Широков П.А. О конкуррентных направлениях в римановых пространствах. // Изв. Казанского физ.-матем. об-ва.- 1939.- 3, № 7.- С. 77-87.

108. Eisenhart L.P. Fields of parallel vectors in a riemannian geometry. // Trans. Amer. Math. Soc 27- 1925.- P. 563-573.

109. Норден А.П. Пространства аффинной связности.- М.: Наука, 1976.- 432с.

110. Бляшке В. Дифференциальная геометрия.- M.-JI., 1935.- 330 с.

111. Кузнецов Г.В. О конформном соответствии между областями евклидова п- пространства. // Дифференциальная геометрия многообразий фигур.- Калининград.- 1995.- Вып. 26.- С. 54-59.

112. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств. М.: Наука, 1979.

113. Кузнецов Г.В. Геодезическое соответствие между областями евклидова пространства. // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика.- 1995.Т. 1.- Вып. 1.-С. 97-102.

114. Кузнецов Г.В. Об одном способе задания сетей на подмногообразиях евклидова п- пространства. // Дифференциальная геометрия многообразий фигур.- Калининград.- 1989.- Вып. 20.- С. 45-50.

115. Лумисте Ю.Г. Многомерные линейчатые поверхности эвклидова пространства. // Мат. сб.- 1961.- Т. 55 (97), № 4.- С. 411-420.

116. Марюков М.Н. О геометрии пары р распределений в евклидовом п -пространстве. // Геометрия погруженных многообразий.- М.: МГПИ, 1985.- С. 56-60.

117. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами. // Ин-т научн. Информации АН СССР: Итоги науки. Геометрия.- 1963, 1965.-С. 65-107.

118. Кузнецов Г.В. Геометрия дифференцируемых отображений областей евклидова пространства. // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика.- 1997.- Т. 3.- Вып. 1.- С. 40-43.

119. Кузнецов Г.В. Соприкасающиеся гиперквадрики пары гиперраспределений в Е" .// Материалы конф. проф.-преп. состава ТГПУ им. JI.H. Толстого: Тезисы докладов (Тула, 7-9 сент. 1996 г.).- Тула, 1996.- С. 76-78.

120. Акивис М.А. К аффинной теории соответствия Петерсона между гиперповерхностями. // Изв. Вузов. Математика. 1994.- № 4.- С. 3-9.

121. Чешкова М.А. О гиперповерхностях, находящихся в соответствии Петерсона. // Изв. Вузов. Математика.- 1993.- № 10,- С. 69-72.

122. Кузнецов Г.В. Об одном соответствии в евклидовом пространстве Е". // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика.- 1996.- Т. 2.- Вып. 1.-С. 127-135.

123. Кузнецов Г.В. О векторах второго порядка и гиперраспределениях в евклидовом пространстве ЕР. II Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград.- 2000.- Вып. 31.- С. 42-45.

124. Кузнецов Г.В. Об одной форме записи дифференциального уравнения гиперраспределения в евклидовом пространстве Е" II Сб. научных трудов преподавателей, аспирантов и студентов ТГПУ им. Л.Н. Толстого.- Тула: Изд-во Тульск. госпедун-та, 2000.- С. 292-296.

125. Аминов Ю.А. Геометрия векторного поля.- М.: Наука, 1990.- 208 с.

126. Шевченко Ю.И. Связности голономных и неголономных дифференцируемых многообразий. // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград.- 1994.-№ 25.-С. 110-121.

127. Шевченко Ю.И. Связности голономных и неголономных центропроек-тивных многообразий. // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград.- 1996.- № 27.- С. 122-135.

128. Шевченко Ю.И. Линейные связности голономного и неголономного гладких многообразий. // Тр. геом. семинара. Казань.- 1997.- № 23.- С. 175-186.

129. Шевченко Ю.И. Примеры неголономных гладких многообразий. // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград.- 1998.- № 29.- С. 91-101.

130. Шевченко Ю.И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий: Учебное пособие / Калининград: Изд-во Калининград, ун-та, 1998. 82 с.

131. Лаптев Р. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии. // Тр. геом. семинара ВИНИТИ.- М.- 1966.- Т. 1.-С. 139-189.

132. Широков А.П. О симметрических пространствах, определяемых алгебрами. //Изв. Вузов. Математика.- 1963. № 6 (37).- С. 159-171.

133. Рашевский П.К. Тензорные признаки субпроективных пространств. // Труды семин. по вект. и тенз. анализу.- 1933.- Вып. 1.- С. 126-142.

134. Рашевский П.К. О субпроективных пространствах. // Труды семин. по вект. и тенз. анализу.- 1933.- Вып. 1.- С. 102-125.

135. Шапиро P.M. О субпроективных пространствах. // Compt. rend. Acad, sei. colon.- 1930.- P. 551.

136. Кузнецов Р.Ъ. О конформном соответствии между областями евклидова и риманова пространств. // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград. 1998.-№9.-С. 31-35.

137. Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология: Математические образы в реальном мире.- 2-е изд.- М.: Изд-во Моск. ун-та, Изд-во «ЧеРо», 1998.-416с.

138. Базылев В.Т. Геометрия дифференцируемых многообразий: Учебное пособие для вузов.- М.: Высш. шк., 1989.- 221 с.

139. Кузнецов Г.В. Конформное соответствие между евклидовым и эйнштейновским пространствами // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика.- 1999.- Т. 5.- Вып. 1.- С. 130-134.

140. Акивис М.А., Болодурин B.C. О голономности основания точечного соответствия между конформными пространствами // Украинский геометрич. сб.-1970.- Вып. 9.- С. 3-10.

141. Рыбников А.К. Об аффинных связностях второго порядка // Математические заметки.-1981.- Т. 29, № 2.- С. 279-290.

142. Рыбников А.К. Об обобщенных аффинных связностях второго порядка // Изв. вузов. Матем.- 1983.- № 1.- С. 73-80.

143. Рыбников A.K. Проективные и конформные нормали и связности // Изв. вузов. Матем.- 1986.- № 1.- С. 60-69.

144. Бюшгенс С.С. Геометрия стационарного потока идеальной несжимаемой жидкости //Известия АН- Серия математическая.- 1948.- Т. 12.- С. 481-512.

145. Константинова Н.В., Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Гемодинамика сердечно-сосудистой системы человека. Биологическое и математическое моделирование. Ч. 1. Физиологические предпосылки и исходные понятия // ВНМТ.-1997.- Т. 4, № 1.-С. 27-30.

146. Дешам Ж А. Электродинамика и дифференциальные формы // Тр. ин-та инженеров по электротехн. и радиоэлектрон. (ТИИЭР): Пер. с англ. 1981.- Т. 69, № 6.- С. 5-28.

147. Математическая энциклопедия.- М.: Советская энциклопедия, 1977.- Т. 1.-С. 939-943.

148. Кадомцев Б.Б. Динамика и информация. 2-е изд.- М.: Редакция журнала «Успехи физических наук», 1999.- 400 с.

149. ПедлиДж. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов: Пер. с англ.-М.: Мир, 1986.-280 с.

150. Кузнецов Г.В., Яшин АА. Уравнения гемодинамики и дифференциальные формы. Ч. 1. Введение в теорию моделирования сердечно-сосудистой системы человека//ВНМТ.- 1996.- Т. 3, № 1.-С. 10-16.

151. Яшин A.A., Кандлин В.В., Плотникова H.H. Проектирование многофункциональных объемных интегральных модулей СВЧ и КВЧ диапазонов: Монография / Под ред. Е.И. Нефедова.- М.: НТЦ «Информтехника», 1992.- 324 с.

152. Взаимодействие физических полей с живым веществом: Монография / Е.И. Нефедов, A.A. Протопопов, А.Н. Семенцов, A.A. Яшин; Под ред. A.A. Ха-дарцева.- Тула: НИИ новых медицинских технологий. Изд-во Тульск. гос. унта, 1995.- 180 с. (Второе издание 1997).

153. Бюшгепс С.С. Геометрия векторного поля // Известия АН- Сер. математическая.- 1946.- Т. 10.- С. 73-96.

154. Бюшгенс С.С. Геометрия векторного поля // Докл. АН- 1945.- Т.- ., № З.-С. 163-166.

155. Бюшгенс С.С. Геометрия векторного поля. . // Докл. АН- 1945.- Т. ., № 6.- С. 403-404.

156. Бюшгенс С.С. Смещения параллелизма векторного поля // Вестник московского ун-та.- 1950.- № 2.- С. 3-6.

157. Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М. Современная математика: Пер. с фр. / Под. Ред. А.Н. Колмогорова.- М.: Мир, 1966.- 272 с.

158. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Уравнения гемодинамики и дифференциальные формы. Введение в теорию моделирования сердечно-сосудистой системы человека. Ч. 2. Поверхности «постоянной энергии» в гемодинамике // ВНМТ.-1996.-Т. 3,№ З.-С. 13-17.

159. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Моделирование гемодинамических процессов в сердечно-сосудистой системе человека при условии вихревого движения крови // Физика волновых процессов и радиотехнические системы.- 1998.- Т. 1, № 2-3.- С. 111-114.

160. Kuznetsov G.V., Yashin A.A. On the geometrical theory of stationary turbulent flow of blood // Russian Journal of Biomechanics.- 2001.- Vol. 5, № 1.- P. 8387.

161. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2-х т.: Пер. с нем.- 2-е изд.- М.: Наука, 1987.- Т. 2.-416 с.

162. Роговой М.Р. К проективно-дифференциальной геометрии неголоном-ной гиперповерхности //Укр. геом. сб.- 1970.- № 8.- С. 112-118.

163. Кузнецов Г.В., Хрунова H.H. О векторном поле, связанном с конформным отображением между областями в евклидовом пространстве Е3 II Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика.- 2000,- Т. 6.- Вып. 1.- С. 148-152.

164. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения,- 2-е изд.- М.: Наука, 1986.- 760 с.

165. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Моделирование гемодинамических процессов в «геодезических» сосудах при движении крови с завихрениями // ВНМТ.-1998.- Т. 5, №3-4.- С. 32-34.

166. Кузнецов Г.В. Основные идеи пространственного подхода при моделировании сердечно-сосудистой системы человека // ВНМТ.- 1999.- Т. 6, № 2.- С. 49-50.

167. Кузнецов Г.В. Особенности и эффективность пространственного подхода к моделированию сердечно-сосудистой системы человека // ВНМТ.- 2000.Т. 7, № 2.- С. 45-47.

168. Кузнецов Г.В. Об одном подходе к моделированию сердечно-сосудистой системы человека // В кн.: Интеллектуальные и информационные системы: Тез. докл. региональной научн.-техн. конф.- Тула: ТГУ, 2000.- С. 81-82.

169. Кузнецов Г.В. Геометрия движения жидкости в субпроективном пространстве в качестве одного из видов интеллектуальной системы // В кн.: Интеллектуальные и информационные системы: Тез. докл. региональной научн.-техн. конф.- Тула: ТГУ, 2000.- С. 82-83.

170. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Векторные поля и их приложения в гемодинамике // В кн.: Теория приближений и гармонический анализ: Тезисы докл. Межд. конф.- Тула: ТулГУ, 1998.- С. 139-140.

171. Ерохин Ю.А., Кузнецов Г.В., Яшин A.A. О некотором подходе к моделированию сердечно-сосудистой системы человека // ВНМТ.- 1998.- № 1 (приложение): Матер. Межд. конгресса «Медицинские технологии на рубеже веков». -С. 61.

172. Кузнецов Г.В. О пространственном подходе к моделированию сердечнососудистой системы человека // ВНМТ.- 1999.- № 1 (приложение): Матер, второго Межд. симпозиума «Биофизика полей и излучений и биоинформатика».-С. 40.

173. Кузнецов Г.В. Моделирование движения крови с завихрениями в случае наличия поверхностей полной энергии // ВНМТ.: Матер. Третьего Межд. сим-поз. « Биофизика полей и излучений и биоинформатика».- Т. ., № 3-4.- С. 49-50.

174. Кузнецов Г.В. Об одном способе пространственного подхода моделирования движения крови с завихрениями // ВНМТ.: Матер. Третьего Межд. сим-поз. «Биофизика полей и излучений и биоинформатика».- Т., № 3-4. С. 50.

175. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Основы математической теории моделирования сердечно-сосудистой системы человека в субпроективном пространстве // ВНМТ.- 1999.- Т. 6, № 1.- С. 12-45.

176. Kuznetsov G.V., Yashin A.A. Hemodynamics of the human cardiovascular system in turbulent blood flow // Russian Journal of Biomechanics.- 2000.- Vol. 4, № 3.- P. 86-92.

177. Кузнецов Г.В. О голономности репера второго порядка, связанного с субпроективным пространством // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика.-2000.-Т. 6.-Вып. 1.-С. 144-147.

178. Шинкунас Ю.И. О распределении m-мерных плоскостей в n-мерном ри-мановом пространстве // Тр. геом. семинара ВИНИТИ, 1974.- Т. 5.- С. 123-133.

179. Кузнецов Г.В. Об одном подходе моделирования деятельности сердечно-сосудистой системы человека // В кн.: Образование и наука в третьем тысячелетии: Тр. 3 Межд. конф.- Барнаул: Из-во АЭЮИ, 2001.- Ч. 1.- С. 60-61.

180. Кузнецов Г.В. Геометрия волновых процессов в гемодинамике // Физика и технические приложения волновых процессов: Тез. докл. и сообщений 1 Межд. научно-техн. конф. (Самара, 10-16 сент. 2001 г.).- Самара- 2001.- С. 126.

181. Кузнецов Г.В. Геометрические основы моделирования стационарного движения крови // ВНМТ.- 2001.- Т. 8, № 3.- С. 24-26.

182. Кузнецов Г.В. О субпроективных подпространствах // Тез. докл. 3-й Межд. конф по алгебре, Иркутск.- 1993.- С. 191.

183. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Моделирование сердечно-сосудистой системы человека методами внешней алгебры с привлечением понятия субпроективного пространства//ВНМТ.- 1997.- Т. 4,№ 4.- С. 13-16.

184. Кузнецов Г.В. О конформном соответствии между различными пространствами и его приложения в гемодинамике // Волинський математичний вюник.- Вып. 5.- 1998.- С. 71-75.

185. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Моделирование деятельности сердечнососудистой системы человека как одного из биологических циклов человека // Циклы: Материалы 1 Межд. конф. (Ставрополь, 25-30 окт. 1999 г.)- Ставрополь, 1999.- Ч. 2.- С. 115-116.

186. Лаптев Г.Ф. Распределения касательных элементов // Труды геометрического семинара.- 1971.- Т. 3.- С. 29 48.

187. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределение m мерных линейных элементов в пространстве проективной связности // Труды геометрич. семинара.-1971.- Т.З.-С. 49-94.

188. Montesinos A. On certain classes of almost product structures // Michigan Math. J. 1983.- V. 30, № 1.- P. 31 - 36.

189. Базылев B.T. Об одном аддитивном представлении тензора Риччи р- поверхности евклидова пространства // Сибирский математический журнал.-1966.- Т.З.- С. 499-511.

190. Chen Bang-Yen. Submanifolds in a Euclidean hupersphere // Proc. Amer. Math. Soc. 1971, V. 27, № 3. - P. 627 - 628.

191. Базылев B.T. К геометрии плоских многомерных сетей // Ученые записки МГПИ им. В.И. Ленина.- 1965, № 243.- С. 29 37.

192. Бляшке В. Введение в геометрию тканей: Пер. с нем.- М.: Физматгиз, 1959.

193. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы.- М.: Наука, 1984.- 520 с.

194. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии: Пер. с англ.- М.: Наука, 1986.- 224 с.

195. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономии.- М.: Наука, 1960.

196. Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс,-М.: Мир, 1972.

197. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства.- М.: Мир, 1964.

198. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом.- М.: Мир, 1971.

199. Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения.- М.: Мир, 1975.

200. Яно К, Бохнер С. Кривизна и числа Бетти.- М.: Мир, 1957.

201. Мищенко A.C. Векторные расслоения и их применения.- М.: Наука, 1984.- 208 с.

202. Лаврик В.И., Фильчакова В.П., Яшин A.A. Конформные отображения физико-топологических моделей /Отв. ред. Ю.А. Митропольский. Ин-т математики АН УССР.- Киев: Наукова думка, 1990.- 376 с.

203. Афромеев В.И., Привалов В.Н., Яшин A.A. Согласующие устройства гибридных и полупроводниковых интегральных СВЧ- схем / Отв. ред. Е.И. Нефедов. Ин-т техн. механики АН УССР.- Киев: Наукова думка, 1989.- 192 с.

204. Математические методы современной биомедицины и экологии / В.И. Афромеев, A.A. Протопопов, В.П. Фильчакова, A.A. Яшин; Под ред. Е.И. Нефедова, A.A. Хадарцева и A.A. Яшина.- Тула: Изд-во Тульск. гос. ун-та, 1997.223 с.

205. Розен Р. Принцип оптимальности в биологии: Пер. с англ.- М.: Мир, 1969.-215 с.

206. Клапдор-Клайнгратхаус Г.В., Цюбер К. Астрофизика элементарных частиц: Пер. с нем. /Под ред. В.А. Беднякова.- М.: Редакция журнала «Успехи физических наук», 2000.- 496.

207. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Математическая гемодинамика: Монография / Под ред. A.A. Яшина.- Тула: ТГПУ им. JI.H. Толстого, НИИ новых медицинских технологий, 2002.- 280 с.

208. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Геометрическая теория в гемодинамике, моделирующая один из биологических циклов человека // В кн.: Циклы: Материалы 3-й Межд. конф. Ставрополь-Кисловодск: Изд-во СевКавГТУ, 2001. - Ч. 1. -С. 95-96.

209. Кузнецов Г.В. К геометрической теории стационарного движения жидкости в субпроективном пространстве // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. Калининград: Изд-во КГУ, 2002.-Вып. 33,- С. 44-47.

210. Кузнецов Г.В. Поверхности постоянной энергии и постоянной полной энергии в гемодинамике // ВНМТ.- 2003.- Т.10, №4,- С. 83-84.

211. Субботина Т.И., Туктамышев И.Ш., Хадарцев A.A., Яшин A.A. Введение в электродинамику живых систем: Монография/ Под ред. A.A. Яшина.- Тула: ТулГУ, ГУЛ НИИ НМТ. Изд-во ТулГУ, 2003,- 440 с.