автореферат диссертации по приборостроению, метрологии и информационно-измерительным приборам и системам, 05.11.16, диссертация на тему:Свойства и применение векторно-аналитической модели суммирования неопределённостей

0046

4251

На правах рукописи

Чепуштанов Алексей Николаевич

Свойства и применение векторно-аналитической модели суммирования неопределённостей

Специальность 05.11.16- «Информационно-измерительные и управляющие системы (машиностроение)»

Автореферат

Диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 5 НОЯ 2010

Санкт-Петербург - 2010

004614251

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Санкт-Петербургском государственном политехническом университете".

Научный руководитель:

Доктор технических наук, профессор Маши Валерий Дмитриевич

Официальные оппоненты:

Доктор технических наук, профессор Цветков Эрик Иванович

Доктор технических наук, профессор Темнов Вячеслав Николаевич

Ведущая организация:

Всероссийский научно-исследовательский институт метрологии имени Д.И. Менделеева (ВНИИМ им. Д.И. Менделеева)

Защита состоится 25 ноября 2010 г. в 14 часов на заседании диссертационного совела Д 212.229.10 при ГОУ ВПО "Санкт-Петербургском государственном политехническом университете" по адресу: 195251, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 21, а. 121.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ГОУ ВПО "Санкт-Петербургского государственного политехнического университета".

Автореферат разослан «25 » октября 2010г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук

Кудряшов Э.А.

Актуальность работы.

Необходимость суммирования неопределённостей существует в самых различных областях, таких как измерительная техника, энергетика, транспорт. Редкое явление не является суммой причин, проявляющихся случайным образом. Если какая-либо характеристика явления имеет количественное выражение, то соответствующее число всегда содержит неопределённость, вызванную суммой случайных причин.

Количественные оценки получаются в результате измерения, либо счёта. Ни то, ни другое не выполняется идеально, как то, так и другое подвержено влиянию различных возмущающих факторов. Совместное действие всех причин выражается в итоговой неопределённости.

Эта неопределённость может быть выявлена либо апостериорно, либо априорно. В первом случае требуется неоднократное повторение ситуации, что возможно лишь тогда, когда она управляема (активный эксперимент). Во втором случае результирующая неопределённость находится с помощью математической модели, в которой присутствуют все её источники.

Почти все существующие методы априорной оценки суммарной неопределённости в виде доверительного интервала, включая получившее в последнее время широкое распространение «Руководство по выражению неопределенности измерения», а так же классический подход, требуют знания или предположения о виде закона вероятностного распределения суммарной неопределённости. Среди них выделяется предложенный в 1994 году векторно-аналитический метод [Мазин В.Д. Геометрические аспекты измерений/Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук.-СПб.:СПбГТУ,1994], который не требует в принципе знания такого закона и в этом смысле является качественно новым. Однако, данный метод недостаточно изучен, в частности, базируясь на использовании в качестве модели обычного евклидова пространства, он не содержит соответствующего обоснования. Это обстоятельство является побудительным стимулом для соответствующего исследования. Предметом такого исследования в

3

первую очередь должна служить геометрия моделирующего векторного пространства, т.е. его метрический тензор, который зависит от законов распределения суммируемых неопределенностей, соотношения их значений, уровня доверительной вероятности и взаимной корреляции. Изучение истинной природы пространства неопределённостей и свойств метрического тензора видится актуальным и способным пролить свет на особенности практического применения нового метода.

Цели диссертационной работы.

1 .Исследование свойств моделирующего пространства векторно-аналитической модели сложения неопределённостей.

2.Апробация векторно-аналитического метода на средствах измерений различной сложности.

3.Автоматизация оценки векторно-аналитическим методом путем создания программного обеспечения.

Основные задачи диссертационной работы.

1.Получение аналитических выражений метрического тензора в точке пространства и их графических представлений для различных сочетаний законов распределений.

2. Определение степени кривизны геометрического пространства неопределённостей.

3.Выяснение степени гладкости пространства неопределенностей

4. Проведение метрологического анализа средств измерений векторно-аналитическим методом.

5. Программная реализация определения слагаемых неопределённостей, исходя из заданных их причин и соответствующей функции преобразования.

6. Программная реализация обработки экспериментальных статистик.

7. Программная реализация определения метрического тензора и результирующей неопределённости.

Научная новизна.

1. Исследованы метрические свойства геометрического пространства расширенных неопределённостей. При этом выяснено, что последнее является ри-мановым и негладким. Получены аналитические и графические выражения метрического тензора.

2. Установлено, что для практики в большинстве случаев может быть использована «выпрямленная» модель пространства неопределённостей -евклидово пространство.

3. Введен коэффициент достоверности, совершенствующий результаты проверки статистических гипотез.

4. Предложена упрощенная формула оценки доверительной вероятности по количеству экспериментальных точек, расширяющая возможности такой оценки.

Положения, выносимые на защиту.

1. Метрические свойства векторного пространства расширенных неопределенностей.

2.Возможность использования евклидова приближения риманова пространства с целью более простого применения векторно-аналитического метода на практике.

3. Программное обеспечение векторно-аналитического метода.

Практическое значение работы.

1. Полученные результаты позволяют проще и надёжнее осуществлять оценку неопределённости выходных параметров систем, зависящих от многих факторов. В первую очередь это относится к метрологическому анализу измерительных систем на этапе проектирования.

2. Входящий в состав программного обеспечения модуль проверки статистических гипотез может быть использован автономно для решения соответствующих задач.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы.

Содержание работы.

В первой главе систематизированы существующие способы оценки суммарной неопределённости, как стандартной, так и расширенной. Указаны общие черты и недостатки каждого метода. Анализ существующих в настоящее время способов суммирования неопределённостей показал, что по большей своей части они основаны на априорном предположении о виде результирующего распределения (рис. 1).

Довольно распространено необоснованное отнесение результирующего распределения к нормальному. Однако, оно достаточно рискованно даже при большом числе суммируемых составляющих и ведет к ошибкам при расчете суммарной неопределенности.

Другой путь упрощения перехода от с.к.о. суммарной погрешности оу к доверительному значению Лд заключается в использовании для суммарной расширенной неопределенности доверительной вероятности /'¿=0.9, при которой для большой группы различных распределений сохраняется постоянным соотношение 1г=Ад/ст = 1.6. Данный метод также приводит к существенным ошибкам при расчёте погрешности, если не все распределения принадлежат соответствующей группе.

Необходимый квантильный множитель Л- может быть рассчитан через эксцесс £, значение доверительной вероятности и знание о принадлежности закона распределения к тому или иному классу. Последнее представляется сложным и является главным недостатком метода.

Расчет неопределенности через энтропийную составляющую требует знания эксцесса ей энтропийного значения погрешности Д,, к тому же метод правомерен для ограниченного числа распределений.

Упрощённое сложение расширенных неопределенностей путём вычисления корня квадратного из суммы их квадратов полностью справедливо только для случаев, когда все источники погрешности имеют одинаковые законы распределения и характеризуются значениями, взятыми с одинаковой доверительной вероятностью. Кроме того, обязательным является, чтобы при взаимной комбинации получался тот же самый закон распределения суммарной случайной величины, что выполняется только для нормального закона и закона Коши.

Векторно-аналитический метод сложения неопределённостей стоит особняком, так как не требует не только идентификации результирующего закона распределения, но и определения его принадлежности к некоторому классу. Вместе с тем он не освобождает от необходимости идентификации вида исходных распределений, либо обоснованных предположений о нём. Под исходными имеются в виду распределения факторов, ведущие к результирующей неопределённости. Однако, эта задача оказывается существенно проще, т. к. исходные распределения могут быть заранее известны, определены по наличествующим экспериментальным статистикам, либо названы, исходя из логических соображений.

Поскольку слагаемые результирующей неопределённости часто довольно сложно зависят от исходных факторов, законы распределения последних могут существенно деформироваться. Но такая деформация мало проявляется на малых участках изменения аргументов и функций, которыми чаще всего характеризуются неопределённости.

Особое значение имеет то обстоятельство, что этот метод является по сути геометрическим. Ведь согласно Математической энциклопедии «Развитие геометрии, её приложения, развитие геометрического восприятия абстрактных объектов в различных областях математики и естествознания свиде-

7

тельствуют о важности геометрии как одного из самых глубоких и плодотворных по идеям и методам средств познания действительности». Данному методу соответствует следующая геометрическая аналогия. Два СКО складываются по формуле:

сгЕ = ^<т,2 +2сг,сг 2р12 + а\ где р - коэффициент корреляции. Если среднеквадратические отклонения представить векторами, а коэффициент корреляции принять за косинус угла между ними, то очевидно, что сложение происходит геометрически. Однако, складывать таким образом можно не только среднеквадратические, но и доверительные значения, причем как абсолютные, так и относительные. В последнем случае формула примет вид

Г2 =Г\ +Уг +2%\7.ГгУ\, где ¿^-координата метрического тензора. Она зависит от вида исходных распределений и для точки пространства может быть представлена через плотности вероятностей исходных и суммарной неопределенности как

(РАГ,)\~ , {РАГЛ2

^г, ус/г,

9 и = —

Р(у) ) \Piirj)

2 РАТ,)

¿г, Р-АГ;)

Р, = 0.899 + —

г

А* =4

Предположение о нормальном законе распределения

Рис. I. Существующие способы расчёта неопределённости. Ад- доверительное значенне, t¡:-квантпльный множитель, а^ - с.к.о. суммарной погрешности, е - эксцесс, и - контрэксцесс, Д, - энтропийное значение погрешности, у,, д — суммируемые доверительные значения, у* -суммарная погрешность, Рс - доверительная вероятность, g¡j - компонент метрического тензора.

Всё это позволяет считать актуальной задачу детального исследования векторно-анапитического метода оценки неопределённостей. Такому исследованию и посвящена настоящая работа.

Во второй главе исследованы метрические свойства пространства неопределённостей путём получения аналитических выражений метрического тензора в точке пространства и их графических представлений для различных сочетаний законов распределений, приведенных в таблице 1. Доверительная вероятность представлена как главный аргумент тензора.

Таблица 1.

Вид распределения Формула распределения т та

Равномерное = -К<г<К 2 й„ У = Ь„Р»

Коши р(г)= , ,,

Лапласа р(г)Ле ™ л

Треугольное О 0

Нормальное 1 4 Р(у) = -г=~е 2"

В частности для сочетания распределений Лапласа и равномерного получено следующее выражение для функции метрического тензора на интервале доверительной вероятности [/М;1]:

где Р\ = \ + -

2 ЛЬ0 ■

к - соотношение с.к.о. равномерного распределения и распределения Лапласа,

Я - параметр распределения Лапласа, Ь0 -полуширина равномерного распределения,

Ра - уровень доверительной вероятности.

9

На основе этого и других полученных аналитических выражений были построены графические зависимости тензора от его аргументов (рис. 2,3,4,5). Анализ полученных зависимостей показал:

1) тензор является функцией координат, которыми в данном случае являются расширенные неопределённости. Это означает, что моделирующее пространство является римановым;

2) тензор нередко выходит за пределы [-1;+1], в которых он должен был бы находиться, выполняя функцию тригонометрического косинуса.

Оаи$ иап-и тйэгт

0 85-^

М !||||||||

111

Лщ

ю" к

1лр1«5-игиГот

Н(Ь<Рд)

1о15 1? ¡7к

Рис. 2. Метрический тензор для сочетания нор- Рис. 3. Метрический тензор для сочетания распре мального и равномерного распределений. Вид со делений Лапласа и равномерного. Вид со сторон стороны к. к.

ЬарЬя^шряоп

Рнс. 4. Метрический тензор для сочетания рас- Рнс. 5. Метрический тензор для сочетания распределений Лапласа и равномерного. Вид со сто- пределеннй Лапласа и треугольного. Вид со стороны Р„. роны Р„.

Последнее имеет место в большинстве случаев, придавая наглядность понятию геометрического пространства. Нарушение этого обстоятельства при суммировании неопределённостей объясняется увеличением ширины суммарного вероятностного распределения по отношению к ширине слагаемых. При этом определённое приращение доверительной вероятности при достаточно высоком её уровне зачастую вызывает такое приращение суммарной неопределённости (пологие «хвосты» распределения), которое не согласуется с формулой треугольника в собственно евклидовом пространстве.

Для получения геометрического истолкования данного феномена была исследована степень гладкости пространства неопределённостей, в результате которого выяснилось, что гладким оно не является. Оно является кусочно-гладким. Границей гладких частей пространства служит гиперповерхность, состоящая из точек, соответствующих определённым уровням доверительной вероятности. Был сделан вывод о том, что метрика одной части пространства является псевдоримановой. В псевдоримановом пространстве формула треугольника содержит не тригонометрический, а гиперболический косинус, все значения которого, как известно, превышают единицу.

Было найдено, что, несмотря на смену вида метрики, метрический тензор является гладкой функцией доверительной вероятности, что видно также из приведённых рисунков.

Как оказалось, для практики может быть использована «выпрямленная» модель пространства неопределённостей - евклидово пространство. В ней векторами являются полные значения неопределённости, а не её бесконечно малые приращения. В этом случае тензор рассчитывается по формуле

Г,

и для сочетания равномерного распределения и распределения Лапласа принимает вид, показанный на рис. 6.

Рис. б. Метрический тензор евклидова пространства для сочетания распределений Лапласа и равномерного.

В третьей главе даны примеры практического применения векторно-аналитического метода. В качестве таких примеров приведён метрологический анализ тензорезистивного силоизмерительного датчика (рис. 7) и инфракрасного Фурье-спектрометра, служащего для качественного и количественного анализа состава веществ (рис. 8).

з ^ 1 Функция преобразования пер-

вого из них представляется простым мультипликативным соотношением, J превалирующим среди средств изме-

ф

I-

С-Нт

рения:

п(\Ч ,, д

И2 (к + \у Е

Рис. 7. Конструктивная схема силоизмернтельно-го датчика. 1- силовводящий узел, 2 - жесткое соединение, 3 - мембрана.

где (/„„„- напряжение питания мостовой цепи; к - коэффициент её симметрии, определяемый числом плеч с одинаковым сопротивлением; п - число рабочих плеч; Е - модуль Юнга; С - эквивалентный коэффициент деформаций, определяемый их распределением на базе тензорезистора ; ¿> - коэффи-

12

циент тензочувствительности тензорезисторов; И - толщина мембраны; Ау-погрешность датчика от нелинейности и гистерезиса, они тоже неодинаковы у разных экземпляров, но их отклонения являются величинами второго порядка малости, поэтому учитываться не будут. Источниками неопределённости значений выходного напряжения здесь являются: итм, И, С, Ь\

Рис. 8. Схема инфракрасного Фурье-спектрометра.

Функция преобразования второго объекта значительно сложнее:

№

2 ячк

2 ттк

где Тшх(к)- пропускание образца на длине волны к,

к - номер отсчета составляющей дискретного спектра, соответствующей

длине волны X, N - количество дискретных значений напряжения, п - номер текущего дискретного значения напряжения, и„ - текущее п-ое дискретное значение напряжения, полученное при

наличии образца, оно равно: V,, = Л((1Ш(1]тт11) (/„„,,,В + мш0у„) + и*,,, где «пюуи. Г/пир« и г/к„ - п-ые значения шумов соответственно усилителя, пироприёмника и квантования, 13

ит,„,„ - п-ое значение напряжения питания излучателя, Щитт,) - оптическая мощность как функция напряжения питания, А,В,И - размерные константы, и0„ - текущее п-ое дискретное значение напряжения, полученное при отсутствии образца, представляется аналогично, Д/д- следствие погрешности калибровки шкалы волновых чисел, АТпе,та--абсолютная погрешность от нестабильности 100% линии пропускания,

ДТет- абсолютная погрешность визуального восприятия. Здесь источниками неопределённости служат: Д^Д?™™^™,, итт,„, итрп,

МшОУп , 1'ки •

Результаты расчета погрешностей векторно-аналитическим методом (ВАМ) сопоставлены с результатами, полученными методом Монте-Карло. При расчёте погрешности напряжения силоизмерительного датчика был выбран уровень доверительной вероятности Р$ = 0.95, и расчёты проведены как для различных, так и для одинаковых исходных неопределенностей. При расчете погрешности пропускания инфракрасного Фурье-спектрометра доверительная вероятность равнялась 0.9. В целом векторно-аналитический метод даёт результаты расчета, близкие результатам метода Монте-Карло, который в данном случае может считаться образцовым (табл. 2, 3, 4). Так как векторно-аналитический метод требует знания закона распределения приведенной к выходу погрешности, который на практике, строго говоря, может отличаться от закона распределения исходной погрешности, то были получены значения суммарной погрешности для случая предположения сохранения исходных законов распределений и для случая строгой проверки статистических гипотез о виде распределений приведенных к выходу погрешностей.

Таблица 2.

Параметр Относит, разброс, % ВАМ, % Монте-Карло, № = 0.95),%

Исходные законы распределения Законы распределения, приведенные к выходу

Напряжение питания (/„,„„ 5 10,1 10,1 9 -8,6

Толщина мембраны И 1

Коэффициент деформаций С 5

Коэффициент тензочувствительности .V 3

Таблица 3.

Параметр Относит, разброс, % ВАМ, % Монте-Карло, (Р„=0.95), %

Исходные законы распределения Законы распределения, приведенные к выходу

Напряжение питания (/„,т 3 9,9 9,9 9.1 -8,3

Толщина мембраны /» 3

Коэффициент деформаций Г 3

Коэффициент тензочувствительности 3

Во всех случаях значение погрешности, посчитанное векторно-аналитическим методом, незначительно, на 10 % отличается от значения, полученного методом Монте-Карло. Это можно считать удовлетворительным результатом, поскольку, во-первых, к точности оценки погрешностей обычно не предъявляются высокие требования, а во-вторых, если ошибка сделана в сторону увеличения, как в первом случае, это может считаться в некотором роде запасом на незнание. Достаточно сложная процедура проверки законов распределения приведенных к выходу погрешностей не приводит к сколь-

15

Таблица 4.

Закон распределения Монте-Карло, мин. и макс, значения Векторно-аналитическин метод

Законы распределения, приведенные к выходу Исходные законы распределения

Нормальный Тпир -6,2*10"6....2,6*10"6 10,85*10"3 10,88*10"'

Треугольный УкН!Ш1 -4*10"4...2,9*10'4

Треугольный Т.,и. -2,5*10"\..3,8*10"3

Нормальный 7оу -2,3*10"'...1,2*10"'

Равномерный Тип -9,9+10"3... 9,8* 10""'

Равномерный У). -9,8*10"4...9,2*10"*

Равномерный "/«май -3*10"'...3,2*10°

-П+Ю"1... 10,8*10-' (10,8*10"3 при Р=0.9)

-нибудь значимому повышению точности расчета суммарной погрешности (табл.4) и при определенных условиях может быть исключена.

Четвёртая глава в основном посвящена описанию программного обеспечения, созданного автором для реализации векторно-аналитического метода. Программный пакет включает три модуля: ProjectTree.exe, gipotez.exe и func.exe (рис.9). Первый из них воспринимает функцию преобразования и характеристики источников погрешности. Второй производит проверку статистических гипотез. Третий рассчитывает матрицу метрического тензора и значение результирующей погрешности распределения.

Поскольку использование статистических экспериментальных данных подразумевает оценку уровня доверительной вероятности и требует проверки статистических гипотез, дополнительно с использованием численного моделирования изучена зависимость доверительной вероятности от объёма выборки и предложена упрощенная формула оценки доверительной вероятности на основе количества экспериментальных точек:

РЛ Ы)* 0.93(1 - + 0.069 = 1 - .

N-2 N -2

Справедливость данной формулы проверена для законов распределения Гаусса, Коши и равномерного при N>30.

Данное выражение значительно более удобное по отношению к формуле Уилкса:

1-Г

где (>(/■, .V, Л', 1'0) - вероятность, с которой некий интервал накрывает квантиль порядка Р„, г, .ч - значения, характеризующие границы интервала, N - объем выборки,

Р„- значение доверительной вероятности или, другими словами, порядок квантили.

Для повышения надёжности выбора видов вероятностных распределений в модуле gipotez.exe предложена характеристика, названная коэффициентом достоверности.

В частности для критерия Пирсона коэффициент достоверности:

где X - наблюдаемое значение критерия Пирсона,

Х^(К-г-1) - критическое значение критерия Пирсона,

а - уровень значимости критерия, г - количество оцениваемых параметров, К - число интервалов.

Рис. 9. Модули, входящие в состав программного обеспечения.

Как видно из последней формулы, коэффициент достоверности принимает значения больше единицы, если наблюдаемое значение критерия меньше критического значения критерия, что соответствует подтверждению гипотезы. Аналогично рассчитывается и коэффициент Т2 для критерия Мизеса. Интегральный коэффициент достоверности для рассматриваемого распределения рассчитывается как полусумма двух коэффициентов

ч>.

Созданное программное обеспечение метрологического анализа объектов можно рекомендовать специалистам для решения широкого круга задач. Оно также предусматривает возможность упрощенного сложения составляющих неопределённости путём обнуления метрического тензора.

Выводы.

1. Анализ существующих в настоящее время способов суммирования неопределённостей показал, что по большей своей части они основаны на предположении о виде результирующего распределения. Недостаточное знание о виде распределения, в частности необоснованное предположение его нормальным ведет к ошибкам при расчете суммарной неопределенности. В большинстве случаев идентифицировать закон распределения суммарной величины оказывается более трудоемко и затратно, чем идентифицировать законы распределения слагаемых. Векторно-анапитический метод сложения неопределённостей стоит особняком, так как не требует не только идентификации результирующего закона распределения, но и определения его принадлежности к некоторому классу. Особое значение имеет то обстоятельство, что этот метод является по сути геометрическим.

Вместе с тем векторно-аналитический метод на сегодняшний день является крайне мало изученным, что выдвигает задачу его изучения.

2. Исследованы метрические свойства пространства неопределённостей, выяснено, что последнее является римановым и негладким. Границей гладких частей пространства служит гиперповерхность, состоящая из точек, соответствующих определённым уровням доверительной вероятности, метрика одной части является собственно римановой, другой - псевдоримановой. Несмотря на смену вида метрики, метрический тензор является гладкой функ-

цией доверительной вероятности. Для практики может быть использована «выпрямленная» модель пространства неопределённостей - собственно евклидово пространство. В ней векторами являются полные значения неопределённости, а не её бесконечно малые приращения.

3. Для апробации векторно-аналитического метода расчета погрешности выбраны датчик силы, обладающий простой мультипликативной функцией преобразования, и инфракрасный Фурье-спектрометр, значительно более сложный объект. Анализируемой метрологической характеристикой последнего выбрано пропускание, для которого построена функция преобразования.

4. В целом векторно-аналитический метод даёт результаты расчета, близкие к результатам метода Монте-Карло, которые могут быть приняты за истинные, приведенных к выходу погрешностей, что говорит в пользу векторно-аналитического метода по сравнению с классическим.

5. В целом ряде случаев распределения составляющих выходной неопределённости средств измерений могут быть приняты идентичными распределениям порождающих их причин. Достаточно сложная процедура проверки вида этих распределений не приводит к сколько-нибудь значимому повышению точности расчета суммарной погрешности и при определенных условиях может быть исключена.

6. Трудоемкость этапов метрологического анализа векторно-аналитическим методом привела к созданию автором соответствующего программного обеспечения, предназначенного для метрологического анализа средств измерений. Созданный программный пакет включает три модуля: ProjectTree.exe, gipotez.exe и func.ee. Первый из них воспринимает функцию преобразования и характеристики источников погрешности. Второй производит проверку статистических гипотез. Третий рассчитывает матрицу метрического тензора и значение результирующей погрешности, распределения. Путём обнуления метрического тензора программное обеспечение позволяет реализовать один из уже существующих методов - упрощенное сложение составляющих погрешности.

7. Для повышения эффективности выбора видов вероятностных распределений в модуле gipotez.exe предложена характеристика, названная коэффициентом достоверности.

8. Предложена упрощенная формула оценки доверительной вероятности на основе количества экспериментальных точек, расширяющая возможности и повышающая качество такой оценки.

Публикации по теме диссертации.

По теме диссертации опубликованы 7 печатных работ.

1. К вопросу о сложении неопределенностей. В.Д.Мазин, А. Н. Чепуштанов. Вторая международная научно-практическая конференция «ИЗМЕРЕНИЯ В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ - 2009», 8 - 10 декабря 2009 г., с. 322-324.

2. Исследование гладкости функции метрического тензора. А. Н. Чепуштанов. Международная научно-практическая конференция «38 НЕДЕЛЯ НАУКИ СПбГПУ», 2009 г., с. 149-151.

3. Сравнение разных методов расчета погрешности инфракрасного Фурье-Спектрометра. В.Д Мазин. А.Н.Чепуштанов. Научно-практическая конференция «НАУЧНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И ИННОВАЦИОННАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ», Санкт-Петербург, СПбГПУ, 2007, - с. 328-335.

4. Автоматизация проверки статистических гипотез критериями Мизеса и Пирсона. Чепуштанов А. Н., Измерительная техника., 2008, № 9 - с. 42-44.

5. Применение векторно-аналитической модели для метрологического анализа инфракрасного фурье-спектрометра. Мазин В. Д., Чепуштанов А. Н., Измерительная техника., 2008, № 2 - с. 28-32.

6. Применение векторно-аналитической модели для метрологического анализа инфракрасного Фурье-спектрометра. Мазин В. Д., Чепуштанов А. Н. Датчики и системы. - Москва: СенСиДат, 2008, № 1 - с. 2-6.

7. Properties and application technology of a vector-analytical method for an

estimation of uncertainty in measurement. V. Mazin / A. Chepushtanov. 53rd Internationales Wissenschaftliches Kolloquium Technische Universität Ilmenau, 08 -12 September 2008, p.103-104.

Лицензия ЛР № 020593 от 07.08.97

Подписано в печать 21.10.2010. Формат 60x84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 6591Ь.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в Цифровом типографском центре Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.: (812)550-40-14 Тел./факс: (812) 297-57-76

Введение.

1. Существующие способы оценки суммарной неопределенности.

1.1. Понятия «погрешность» и «неопределённость» в современной метрологической литературе.

1.2. Способы оценки стандартной неопределенности.

1.2.1. «Руководство по выражению неопределенности».

1.2.2. Оценка по ГОСТ Р ИСО 5725.

1.3. Способы оценки расширенной неопределенности.

1.3.1. Предположение нормальности результирующего распределения.

1.3.2. Использование доверительной вероятности 0,9.

1.3.3. Расчёт квантильного множителя через эксцесс.

1.3.4. Расчёт неопределенности без использования квантильного коэффициента через энтропийную составляющую.

1.3.5. Упрощенное сложение расширенных неопределенностей.

1.3.6. Векторно-аналитический метод сложения неопределенностей.

1.4. Выводы.

2. Метрические свойства геометрического пространства неопределённостей.

2.1. Вероятностные характеристики метрического тензора.

2.1.1. Тензор в точке риманова пространства.

2.1.2. Доверительная вероятность как главный аргумент тензора.

2.1.3. Зависимость метрического тензора от доверительной вероятности и параметров распределений.

2.1.3.1. Методика получения и результаты.

2.1.3.2. Оценка достоверности.

2.1.4. Обоснование выхода метрического тензора за пределы [-1,+1].

2.2. Степень гладкости пространства неопределённостей.

2.3. Геометрическая картина сложения неопределенностей в римановом пространстве.

2.4. Сравнение римановой и евклидовой моделей пространства неопределённостей.

2.5. Зависимость метрического тензора от взаимной корреляции.

2.6. Выводы.

3. Практическое применение векторно-аналитического метода.

3.1. Определение технологического разброса значений чувствительности экземпляров датчика силы.

3.2. Метрологический анализ инфракрасного

Фурье-Спектрометра.

3.2.1. Инфракрасный Фурье-спектрометр.

3.2.1.1. Назначение.

3.2.1.2. Технические данные.

3.2.1.3. Принцип работы.

3.2.2. Функция преобразования сигнала интерферограммы в напряжение.

3.2.3. Функция преобразования интерферометра.

3.2.4. Расчет погрешности. 75 3.3. Выводы.

4. Разработка программного обеспечения, реализующего расчёты на базе векторно-аналитической модели.

4.1. Постановка и описание задачи для программной реализации.

4.2. Описание созданного программного обеспечения.

4.2.1. Функциональная зависимость оценки доверительной вероятности от количества экспериментальных точек.

4.2.2. Модуль ProjectTree.exe.

4.2.3. Модуль gipotez.exe.

4.2.4. Модуль func.exe.

4.3. Выводы.

Выводы по диссертации.

Необходимость суммирования неопределённостей существует в самых различных обласгях. Редкое явление не является суммой причин, проявляющихся случайным образом. Если какая-либо характеристика явления имеет количественное выражение, то соответствующее число всегда содержит неопределённость, вызванную суммой случайных причин.

Количественные оценки получаются в результате измерения, либо счёта. Ни то, ни другое не выполняется идеально, как то, так и другое подвержено влиянию различных возмущающих факторов. Совместное действие всех причин выражается в итоговой неопределённосги.

Эта неопределённость может быть выявлена либо апостериорно, либо априорно. В первом случае требуется неоднократное повторение ситуации, что возможно лишь гогда, когда она управляема (активный эксперимент). Во втором случае результирующая неопределённость находится с помощью математической модели, в которой присутствуют все её источники.

Почти все существующие методы априорной оценки суммарной неопределённости в виде доверительного интервала, включая получившее в последнее время широкое распространение «Руководство по выражению неопределенности измерения», а так же классический подход, требуют знания или предположения о виде закона вероятностного распределения суммарной неопределённости. Среди них выделяется предложенный в 1994 году векторно-аналитический метод [28], который не требует в принципе знания такого закона и в этом смысле является качественно новым. Однако, данный метод недостаточно изучен, в частности, базируясь на использовании в качестве модели обычного евклидова пространства, он не содержит соответствующего обоснования. Это обстоятельство является побудительным стимулом для соответствующего исследования. Предметом такого исследования в первую очередь должна служить геометрия моделирующего векторного пространства, т.е. его метрический тензор, который согласно [28] зависит от законов распределения суммируемых неопределенностей, соотношения их значений, уровня доверительной вероятности и взаимной корреляции. Изучение истинной природы пространства неопределённостей и свойств метрического тензора видится актуальным и способным пролить свет на особенности практического применения нового метода.

Сам векторно-аналитический метод получил развитие в рамках поиска обобщающих признаков, характеризующих процесс измерения независимо от физической конкретики происходящих при этом явлений. Так в [1,2] используются различные подходы, возможность которых оправдывается многоплановостью процесса измерения. Среди подходов к основополагающим категориям измерений геометрический занимает исходно незаслуженно скромное место. Это при том, что геометрия возникла из измерений, а затем оторвалась от них, перейдя на более высокий уровень общности. В отечественной ли тературе нет работ, хоть в какой-то мере претендующих на обобщения с этой позиции, как и в зарубежной за исключением [3], где впервые затронут вопрос о связи измерений с геометрией в ее сегодняшнем виде.

Представленная работа содержит мысли и результаты исследований, относящиеся к изучению векторно-аналитического метода и его практической апробации для анализа средств измерений различной сложности. При этом решались следующие задачи:

1. Получение аналитических выражений метрического тензора в ючке пространства и их графических представлений для различных сочетаний законов распределений.

2. Выяснение степени гладкости пространства неопределенностей и метрического тензора как функции доверительной вероятности. Установление их соотнесенности.

3. Апробация метода путём метрологического анализа средств измерений.

4. Автоматизация расчет век горно-аналитическим методом и проверки статистических гипотез путем создания программного обеспечения.

В 1-ой главе систематизированы существующие способы оценки суммарной неопределённости, как стандартной, так и расширенной. Указаны общие черты и недостатки каждого метода.

Во 2-ой главе получены аналитические выражения метрического тензора в точке пространства для различных сочетаний законов распределений. Доверительная вероятность представлена как главный аргумент тензора. Даны графические зависимости тензора от его аргументов. Исследована гладкость пространства неопределённостей и метрического тензора как функции доверительной вероятности. Сопоставлены евклидова и риманова картины сложения векторов неопределённостей на примере конкретных распределений.

В третьей главе даны примеры практического применения векторно-аналитического метода. В качестве таких примеров приведён метрологический анализ силоизмерительного датчика и инфракрасного Фурье-спектрометра. Функция преобразования первого из них представляется простым мультипликативным соотношением, превалирующим среди средств измерения. Функция преобразования второго объекта значительно сложнее. Результаты расчета погрешностей векторно-аналитическим методом сопоставлены с результатами, полученными методом Монте-Карло.

Четвёртая глава в основном посвящена описанию программного обеспечения, созданного автором для реализации векторно-аналитического метода. Поскольку использование статистических экспериментальных данных влияет на уровень доверительной вероятности и требует проверки статистических гипотез, дополнительно изучена зависимость доверительной вероятности от объёма выборки и предложен коэффициент, применение которого повышает достоверность идентификации вида распределения.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Метрические свойства векторного пространства неопределенностей;

2. Возможность использования евклидова приближения риманова пространства с целью более простого практического использования.

3. Программное обеспечение векторно-аналитического метода.

Выводы по диссертации.

1. Анализ существующих в настоящее время способов суммирования неопределённостей показал, что по большей своей части они основаны на предположении о виде результирующего распределения. Недостгочное знание о виде распределения, в частности необоснованное предположение его нормальным веде г к ошибкам при расчете суммарной неопределенности. Векторно-аналтический метод сложения неопределённостей стоит особняком, так как не требует не только идентификации результирующего закона распределения, но и определения его принадлежности к некоторому классу. Особое значение имеет то обстоятельство, что этот метод является по сути геометрическим.

2. Исследованы метрические свойства пространства неопределённостей, выяснено, что последнее является римановым и негладким. Границей гладких частей пространства служит гиперповерхность, сосюящая из точек, соответствующих определённым уровням доверительной вероятности, метрика одной части является собственно римановой, другой — псевдоримановой. Несмотря на смену вида метрики, метрический тензор является гладкой функцией доверительной вероятности. Для практики может быть использована «выпрямленная» модель пространства неопределённостей - собственно евклидово пространство. В ней векторами являются полные значения неопределённости, а не её бесконечно малые приращения.

3. Для апробации векторно-аналитического метода расчета погрешности выбран инфракрасный Фурье-спектрометр, как более сложный объект по сравнению с датчиком силы. Его анализируемой метрологической характеристикой выбрано пропускание, для коюрого построена функция преобразования.

4. В целом векторно-аналитический метод показывает результаты расчета адекватные результатам метода Монте-Карло, которые могут быть приняты за истинные. В случае несимметричности результирующего распределения значение погрешности, посчитанное векторно-аналитическим методом, заведомо накрыло значение метода Монте-Карло. В ряде случаев идентифицировать закон распределения суммарной величины может быть более трудоемко и затратно, чем идентифицировать законы распределения приведенных к выходу погрешностей, что говорит в пользу векторно-аналитического метода по сравнению с классическим. Достаточно сложная процедура проверки законов распределения приведенных к выходу погрешностей не приводит к сколь-нибудь значимому повышению точности расчета суммарной погрешности и при определенных условиях может быть исключена.

5. Трудоемкость этапов метрологического анализа векторно-аналитическим методом привела к созданию программного обеспечения метрологического анализа средств измерений. Созданный программный пакет включает три модуля: ProjectTree.exe, gipotez.exe и ftmc.exe. Первый из них воспринимает функцию преобразования и характеристики источников погрешности. Второй производит проверку статистических гипотез. Третий рассчитывает матрицу метрического тензора и значение результирующей погрешности, распределения. Путём обнуления метрического тензора программное обеспечение позволяет реализовать один из уже существующих методов - упрощенное сложение составляющих погрешности.

6. Для повышения эффективности выбора видов вероятностных распределений в модуле gipotez.exe предложена характеристика, названная коэффициентом достоверности.

7. Предложена упрощенная по отношению к формуле Уилкса формула оценки доверительной вероятности на основе количества экспериментальных точек, расширяющая возможности и повышающая качество такой оценки.

1.Стахов А.П. Введение в алгоритмическую теорию измерения. Москва: Издательство «Советское Радио», 1977. - 288 с.

2. Цветков ЭЛ. Алгоритмические основы измерений. С-Пб.: Энергоатомиздат, 1992. -254 с.

3. Spath W. Zahl Maß - Bild.-Stuttgart, I960.- 238S.

4. Российская метрологическая энциклопедия / Под ред. Ю.В.Торбеева. СПб: Лики России, 2001.- 840 с.

5. Фундаментальные основы метрологии: Учебное пособие. / Лячнев В. В., Сирая Т.Н., Довбета Л. И. СПб: Элмор, 2007. - 421 с.

6. Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement/ISO.-Paris, 1995.

7. Руководство по выражению неопределенности измерения / ГП «ВНИИМ им. Д.И.Менделеева» .—СПб: 1999 .—126 с.

8. РМГ 29-99. ГСИ. Метрология Основные термины и определения, 2001. 140 с.

9. Интерпретация понятия неопределенности. / Голубев Э. А. Заводская лаборатория: Диагностика материалов. Москва: ТЕСТ-ЗЛ, 2007, 73, № 8- с. 68-72.

10. Множества и неопределенность. / Голубев Э. А. , Измерительная техника., 2005, № 6 -с. 20-25.

11. Сопоставление неопределенности и прецизионности измерений. / Голубев Э. А., Метрология: Приложение к журналу "Измерительная техника., 2007, № 8 с. 3-12

12. ГОСТ Р ИСО 5725-1-2002 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 1. Основные положения и определения. 2002. 57 с.

13. Неопределенность измерений и ГОСТ Р ИСО 5725. / Голубев Э. А., Заводская лаборатория: Диагностика материалов. Москва: ТЕСТ-ЗЛ, 2007, 73, № 6 - с. 63-68.

14. Метрологический и статистический смысл понятия "точность" в химическом анализе. Точность, истинное значение и принятое опорное значение. / Кадис Р. Л., Заводская лаборатория: Диагностика материалов. Москва: ТЕСТ-ЗЛ, 2005, № 12 - с. 63-68.

15. Основные положения Приложения 1 к Руководству по выражению неопределенности в измерении. / Кокс М., Харрис П., Измерительная техника., 2005, № 4 с. 17-24.

16. Об альтернативном способе оценки неопределенности. / Голубев Э. А. -Измерительная техника., 2007, № 5, с. 15-18.

17. Сопоставительный анализ погрешности и неопределенности измерений. / Кузнецов В. П., Измерительная техника, 2003, № 8 с. 18.

18. О классификации неопределенности измерений. / Голубев Э. А. Измерительная техника., 2003, № 12 с. 6-11.

19. РМГ 43-2001. Применение "Руководства по выражению неопределенности измерений", 2001, 44 с.

20. Является ли "погрешность" лучшей оценкой качества результатов анализа, чем "неопределенность"?. / Кадис Р. Л., Заводская лаборатория: Диагностика материалов. -Москва: ТЕСТ-ЗЛ, 2008, № 2 с. 61-65.

21. Применять или не применять концепцию "Руководства по выражению неопределенности измерения". / Александров Ю. И., Измерительная техника., 2000, № 12 -с. 18.

22. ГОСТ 8.207-76. Государственная система обеспечения единства измерений. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения. 1977. 16 с.

23. Сопоставление различных подходов к оценке неопределенности измерений. / Голубев Э. А., Измерительная техника., 2008, № 3 с. 6-9.

24. Об использовании распространения распределений для оценки неопределенности измерений. / Голубев Э. А. Измерительная техника., 2008, № 2 с. 15-18.

25. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений.—Л.: Энергоагомиздат., 1991. 304 с.

26. Оптимальная доверительная вероятность частных случаев композиции распределений составляющих погрешности результатов измерений. / Костылева Ю. Г., Мысев И. П., Измерительная техника., 2007, № 5 с. 26-31.

27. Левшина Е.С., Новицкий П.В. Электрические измерения физических величин: Измерительные преобразователи. —Л.: Энергоатомиздат., 1983. 320 с.

28. Мазин В.Д.Геометрические аспекты измерений / Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук.-СПб.:СПбГТУ,1994. 31 с.

29. Мазин, В.Д. Датчики автоматических систем. Метрологический анализ: Учеб. пособие; СПбГТУ .— Санкт-Петербург, 2000. — 80 с.

30. Математическая энциклопедия /Виноградов И.М., т. 1-5 М.: Советская энциклопедия, 1985.

31. Гмурман В.Е. Руководство по решению задач по теории вероятностей и математической статистике : Учеб. пособие для вузов.— 6-е изд., доп .- Москва : Высшая школа, 2002 .— 404 с.

32. Нормализующее действие операции свсртки в задачах статистики и управления. / Сердюк О. А., Трояновский В. М., Обозрение прикладной и промышленной математики., 2008, 15, №5 с. 927-928.

33. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров : Пер. со 2-го амер. перераб. изд. / Г. Корн. Т. Корн ; Под общ. ред. И.Г. Арамановича .— М.гНаука, 1973 .— 831 с.

34. О выделении BS-распределения из семейства GBS-распределений. / Володин И. Н., Джунгурова О. А., Симушкин С. В. Ученые записки Казанского государственного университета. Сер. Физико-математические науки. Казань: Казан, ун-т, 2006, 148, № 2 -с. 31-36.

35. Квантование топологических пространств отрицательной размерности, парастатистики и распределение зависимых случайных величин. / Маслов В. П., Доклады Российской академии наук. Москва: Наука/Интерпериодика, 2007, 414, № 5 - с. 587-590.

36. The distribution of a random sum of exponentials with an application to a traffic problem. Recker Frank. Teopin ймов1рностсй та,мат.стат.2007, №76, с. 142-149.

37. On the linear combination and ratio of Laplace random variables. Nadarajah Saralees, Kotz Samuel. Math.Sci.2005.30, №1, p.43-49.

38. Статистическое моделирование как эффективный инструмент для исследования законов распределения функций случайных величин. / Лемешко Б. Ю., Огурцов Д. В., Мегрология: Приложение к журналу "Измерительная техника"., 2007, № 5 с. 3-13.

39. Взаимная аппроксимация дискретных и непрерывных законов распределения. / Карпов И. Г., Овсянников С. В.,Вестник Тамбовского государственного технического университета (ТГТУ). Тамбов: Тамб. гос. техн. ун-т, 2007, 13, № 1А - с. 71-78.

40. A note on the convolution of uniform and related distributions and their use in quality control. Killmann Frank, Von Collani Elart.Econ.Qual.Contr.2001.16. №1, p.17-41.

41. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике : Для вузов и втузов .— 14-е изд.— М.: Век: Большая Медведица, 1997. — 863 с.

42. Спектор, С.А. Электрические измерения физических величин. Методы измерений.,: М.: Энергоатомиздаг., 1987. 320 с.

43. Проектирование датчиков для измерения механических величин/Под ред. Е. Г1. Осадчего. —М Машиностроение, 1979.—480 с.

44. Клокова И.П. Тензорезисторы: Теория, методики расчета, разработки. М.: Машиностроение, 1990. 224 с.

45. ИК ФУРЬЕ-СПЕКТРОМЕТР ФСМ 1201. Техническое описание. Инструкция по эксплуатации. С.-Петербург, 2000.

46. Фильтрация измерительных сигналов / В. С. Гутников .— Л. : Энергоатомиздат : Ленингр. о гд-ние, 1990 .— 191 с.

47. Ишаиин Г.Г., Панков Э.Д. Источники и приемники излучения. СПб., Политехника, 1991. 240 с.

48. Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, A.B. Нетушил, С.В.Страхов. Основы теории цепей. Учебник для вузов.Изд.4-е, переработанное. М„ «Энергия», 1975. 752 с.

49. Р.Дж. Белл. Введение в Фурье спектроскопию, "Мир", Москва, 1975. - 380 с.

50. Яворский Б.М., Детлаф A.A. Справочник по физике для инженеров и студентов ВУЗОВ, 1968.-939 с.

51. Модель белого шума со значениями в гильбертовом пространстве. / Альшанский М. А. Извесшя высших учебных заведений (вузов). Математика. Казань: Казан, гос. ун-т, 2004, №2- с. 10-18.

52. Генератор белого шума. / Федоров В., Радиомир., 2004, № 10. с. 34.

53. ГОСТ 8.229-81. Государственная система обеспечения единства , измерений. Спектрофотометры инфракрасные. Методы и средства поверки, 1981. 27 с.

54. Анализ шумов квантования при оцифровке широкополосного сигнала. / Бялик Ю. И., Муравчик П. Н., Табаков Д. А. Труды Государственного научно-исследовательского института радио (НИИР)., 2009, № 1- с. 26-42.

55. Непараметрическая оценка амплитуды сигнала в гауссовском белом шуме. / Хасьминский Р. 3., Проблемы передачи информации. Москва: Наука, 2008, 44, № 4 - с. 33-38.

56. Адаптивная фильтрация случайного сигнала в гауссовском белом шуме. / Белицер Э. Н., Еникеева Ф. Н., Проблемы передачи информации. Москва: Паука, 2008, 44, № 4 - с. 39-51.

57. Метрологический подход к исследованию шума квантования дельта-сигма АЦП. / Диденко В. И., Иванов А. В., Измерительная техника., 2009, № 5 с. 53-57.

58. СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ ФУРЬЕ-СПЕКТРОМЕТР ДЛЯ КОНТРОЛЯ ПАРАМЕТ131

59. РОВ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПЛАСТИН ФСМ 1201 П. Руководство по эксплуатации. С.-Петербург, 2002.

60. F 1188 Test Method for Interstitial Atomic Oxygen Content of Silicon by Infrared Absorption. Annual Book of ASTM Standards, Vol. 10.05.

61. F 1391 Test Method for Substitutional Atomic Carbon Content of Silicon by Infrared Absorption. 1993. Annual Book of ASTM Standards, Vol. 10.05.

62. Кирьянов Д.В. Mathcad 13. Наиболее полное руководство (+ CD-ROM), : БХВ-Петербург, 2006 : 608 с.

63. Ануфриев, И.Е. MATLAB 7 : Наиболее полное руководство.— СПб : БХВ- Петербург, 2005,— 1082 с.

64. Архангельский А .Я. Delphiô.Справочное пособие.—М.:ЗАО "Издательство Бином", 2001.- 1024 с.

65. ГОСТ Р 50779.21-2004 Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение, 2004. 48 с.

66. Максимально правдоподобные оценки параметров нормального закона распределения результатов испытаний. / Бойцов Ю. П., Гузева Т. А., Клеи. Герметики. Технологии. -Москва: Наука и технол., 2007. № 7 с. 32-34.

67. ГОСТ Р 50779.10-2000 Стагистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения, 2001. 134 с.

68. Уилкс С. Математическая статистика. М.: Наука, 1967. - 632 с.

69. Дэвид Г. Порядковые статистики. М.: Наука, 1979. - 336 с.

70. Тарасевич Ю.Ю. Численные методы на Mathcad'e. — Астрахань: Астраханский гос. пед. ун-т, 2000. 70 с.

71. Проблема доверительной вероятности. / Левин С. Ф., Измерительная техника, 2008, № 9 с. 33-39.

72. Бежапова, М.М. Практическое программирование. Структуры данных и алгоритмы.— Москва : Логос, 2001 .— 223 с.

73. Идентификация распределений вероятностей. / Левин С. Ф., Измерительная техника., 2005, № 2 с. 3-9.

74. Программа идентификации формы закона распределения случайных величин и их моделирования. / Лабутин С. А., Измерительная техника. 2007, № 5. с. 9-14.

75. Мощность критериев согласия при близких альтернативах. / Лемешко Б.Ю., Лемешко

76. С.Б., Измерительная техника., 2007, № 2 с. 23-27.

77. Алгоритм для доверительной суммарной погрешности измерения. / Механников А. И., Измерительная техника., 2003, № 7- с. 53-57.

78. Солопченко Г.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Конспект лекций. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2008,- 220 с.

79. Темнов В.Н. Метрологическое исследование корабельных энергетических установок. — СПб.: ВМИИ, 2007. 323 е.