автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование линейных динамических систем методом точечных представлений

на правах рукописи

ГГБ ОД

13 к;:и ш

ОСИПОВ ВЛАДИМИР ВЛАДИМИРОВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ТОЧЕЧНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск 2000

Работа выполнена на кафедре «Высшей математики» Красноярской государственной академии цветных металлов и золота

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Соустин 1>.П.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Быков В.И. кандидат физико-математических наук, доцент Новоселов О.В.

Ведущая организация: Томский государственный университет

Защита состоится 13 ол-ал 2000 г. в часов на заседании диссер тационного совета Д.064.54.01 Красноярского государственного техничйскс го университета по адресу: 660 074, г. Красноярск, ул. Киренского 26.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Красноярского государа венного технического университета.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью учрежде ния, просим высылать по адресу. 66С 074, г. Красноярск, ул. Киренского, 2( ученому секретарю диссертационного совета.

Автореферат разослан ¿0 Сыу> 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н. профессор А Н. Ловчиков

В/9£. 1 03

Общая характеристика работы

Актуальность и состояние проблемы.

Применение математических методов - мощного инструмента познания и :ледования, в разнообразных отраслях знаний и сферах человеческой дея-1ьности становится возможным лишь при предварительном создании матема-1еских моделей изучаемых явлений. Бурное развитие вычислительной техни-существенно стимулирует этот процесс.

Математическое моделирование становится, по существу, важнейшей :тью современной прикладной математики и не только прикладной. Классы и ты математических моделей, как математические объекты, сами становятся гдметами теоретических исследований.

Математическими моделями управляемых динамических систем слуг неоднородные дифференциальные уравнения различного вида. Многие кнейшие свойства управляемых динамических систем рассматриваются на печном промежутке времени, хотя соответствующие временные сигналы юцессы) теоретически имеют бесконечную длительность. Для описания (мо-шрования) таких процессов и их взаимодействий (в линейных стационарных ;темах) широко используется метод операторно - частотных представлений, юванный на применении преобразования Лапласа и Фурье. Однако, этот ма-<атический аппарат оказался в общем случае не конструктивным при перехо-к временным оригиналам, неэффективным и малопригодным для решения [ач современной теории управления динамическими системами, связанных по »ему содержанию с конечным промежутком времени. Это задачи управления иблюдаемости а, особенно, разнообразные задачи терминального управле-I и др. Этот аппарат совершенно не годится для описания (моделирования) ггационарных и нелинейных динамических систем. Другие математические годы, используемые в современной теории управления динамическими объ-ами (общая теория дифференциальных и интегральных уравнений, функ->нальный анализ и др.), играющие фундаментальную роль, в прикладном юшенин также, часто оказываются недостаточно конструктивными и мало юпособленными для компьютерной реализации.

Отметим также математический метод, основанный на замене непрерыв-х (аналоговых) сигналов их значениями в дискретные моменты времени антование) с последующей аппроксимацией дифференциальных уравнений »тветствующими разностными уравнениями.

Используемые при этом дискретное преобразование и Ъ - преобразова-: создают аналитический аппарат моделирования непрерывных динамиче-[X систем, более конструктивный, чем традиционный подход.

Вместе с тем, этот аппарат в значительной степени сохраняет н те же достатки, которые присущи традиционному подходу, основанному на преоб зовании Лапласа.

Кроме того, будучи приближенным, метод дискретных представле! порождает свои проблемы: точность (адекватность представлений), числен устойчивость и др. Эти важные вопросы вычислительной математики прак чески не рассматриваются в специальной литературе по теории- дискрета (импульсных) систем, создавая иллюзию полного обоснования и универсалы эффективности метода.

Между тем, существующая теория дискретного моделирования неп рывных динамических систем далека от своего завершения. Ее математичес; основы нуждаются в более строгой проработке, совершенствовании и развит!

В связи с этим, продолжает оставаться актуальным разработка эффект ных приближенно - аналитических методов моделирования и решения на основе разнообразных задач прикладной теории управляемых динамичеа систем, а также соответствующих компьютерных технологий.

Цель диссертационной работы состоит в разработке приближение аналитического метода моделирования линейных динамических систем разл ного вида, использующего точечное представление функций и операторов создании соответствующего программного обеспечения.

Цель достигалась решением следующих задач:

1. Выбрать путем сравнительного анализа И-сетку, наилучшую для точечн* представления функций на конечном промежутке.

2. Установить существование гомоморфных связей алгебраических струю точечных представлений с алгебраическими структурами моделируем объектов.

3. Найти единый и аналитически эффективный подход к определению точ но - матричных представлений линейных и ограниченных операторов.

4. Применить метод точечных представлений для моделирования линей!: дифференциальных уравнений различных типов и решения задач Коши основе полученных моделей.

5. Разработать программное обеспечение для численной реализации реша задач Коши методом.точечных представлений.

6. Найти точечные модели операторно-частотных и временных характерно' линейных стационарных динамических систем.

7. Разработать алгоритмы и программное обеспечение расчетов переходи характеристик сложных линейных динамических систем по их точечн моделям.

Основная идея работы. Метод точечных представлений, как метод мо-шрования, идеологически примыкает к методу изображающих векторов ИВ), предложенного В.М.Осиповым. В основе же его аналитического аппа-а лежит идея использования прямоугольных сплашювых элементов в каче-е базиса N - мерного подпространства пространства М(0,Т) всех кусочно -ферывных функций. Проектирование элементов из М(0,Т) на это N-мерное шространство порождает сплайновые, ступенчатые приближающие модели :троенные на точечных изображениях этих элементов и обладающие огром-i аналитической и алгебраической гибкостью. Так, подпространство сплай-ibix ступенчатых форм образует банахову алгебру отйосительно обычного южения и Sup-нормы соответствующих точечных векторных изображений, морфную такой же алгебре этих точечных N-векторных изображений отно-ельно операции покоординатного умножения, как второй бинарной опера-I. Вместе с тем, алгебра ступенчатых сплайновых моделей при любом N яв-тся гомоморфным образом банаховой алгебры AM функций из М(0,Т) отно-елыю обычного умножения и Sup-нормы этнх функций, причем размерность ■очечных моделей может служить показателем их адекватности. При N-><» ебра точечных изображений становится изоморфной алгебре AM.

Методы исследования.

При решении поставленных задач применяется математический аппарат (кционального анализа, линейной алгебры, теории дифференциальных урав-нй, теории функций комплексного переменного, теории автоматического давления, программная система математических вычислений MathCAD 8.0, да Delphi 3.0.

Научнап новизна диссертационной работы Разработан приближенно-литический метод точечного моделирования линейных динамических сис-различного вида.

Теоретическая и практическая ценность диссертационной работы оп-еляется широкой применимостью теоретических результатов для решения зч, связанных с моделированием и анализом линейных динамических сис-. Разработанные в работе точечные модели могут быть применены для опи-ия динамических объектов и расчета их динамических характеристик, а же для задач регулирования и управления, решения дифференциальных внений (произвольного порядка) различных типов. Практическим результа-работы является программное обеспечение, созданное для расчета и по-эения переходных характеристик линейных систем (любых порядков), ко-ое может быть использовано при разработке и проектировании систем авто-ического управления. Это программное обеспечение внедрено в учебный

процесс при подготовки студентов специальности 210200 "Автоматизация т< нологических процессов и производств" в курсе "Теория управления".

Основные положения выносимые на защиту.

1. Аналитический аппарат моделирования линейных динамических сист разных типов использующий сплайновые ступенчатые модели и точечн представления функций и операторов.

2. Результаты исследования связей алгебраических структур точечных пр< ставлений (точечных моделей) с алгебраическими структурами моделир; мых объектов.

3. Общий конструктивный подход к определеншо точечно-матричных пр< ставлений некоторых линейных операторов, необходимых для точечнс моделирования линейных динамических систем (операторы сдвига, onej тора интегрирования, сверточные операторы).

4. Точечное моделирование и решение задач Коши в пространстве точечн изображений линейных дифференциальных уравнений различных типов также соответствующее программное обеспечение.

5. Точечное моделирование линейных динамических систем и алгоритмы р; чета точечных изображений их переходных характеристик непосредствен по передаточным функциям (точечное обращение преобразования Лапла<

' либо по вещественным частотным характеристикам (точечное обращен косинус - преобразование Фурье).

Апробация работы. Основные положения и отдельные разделы лиса тационной работы обсуждались и докладывались на конференциях, совещани и семинарах, в том числе:

Зональная студенческая научно-практическая конферени "Совершенствования методов поиска и разведки, технологии добычи и nepej ботки руд", Красноярск 1996;

Межвузовская научно-практическая конференция "Студент наука цивилизация", Красноярск 1997;

Новосибирская межвузовская научная студенческая конферени "Интеллектуальный потенциал Сибири", Новосибирск 1997;

Межвузовская научно-практическая конференция "Информационн технологии", Красноярск 1999;

1 Всесибирский конгресс женщин математиков (к 150-летшо со д рождения C.B. Ковалевской). Красноярск 2000.

Всероссийская научно-практическая конференция "Педагогическ проблемы и информационные технологии в системе непрерывне образования", Красноярск 2000.

Научные семинары Красноярской государственной академии цветных аллов и золота и Красноярского государственного технического университе-

Публпкацин. Основные результаты работы опубликованы в 11 печатных этах.

Структура п объем работы. Диссертационная работы состоит из введе-, пяти глав, выводов, библиографии приложений и содержит страниц эвного машинописного текста, рисунка, список используемой лите-

ры включает 96 наименований.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность проблемы, рассматриваемой в :ертации, определены цель и задачи работы, выделены основные положения >ты, имеющие научную новизну и практическую значимость.

В первой главе рассматривается векторное изображение функций, вы-оптималыюй сетки для точечных представлений и восстановление функ-по их точечным изображающим векторам.

Для любой непрерывной функции П[т), и принадлежащей гильбертову лранству V (0,1), ставится в соответствии Ы- мерный вектор:

гавлепный из отсчетов этой функции в узлах некоторой упорядоченной N -и:

= (2) тор гт назван точечным изображающим вектором функции Т(т).

Существует бесконечное множество К'-сеток (2), на которых для всякой »ерьшной функции Г(т) те[0,1] могут быть образованы точечные нзобра-щие Т\'-векторы вида (1). Встает вопрос о выборе Ы-сеткн наилучшей в не-ром смысле.

Для решения этой задачи рассмотрим М-мерную аналитическую модель ого элемента из Ь! (ОД), которую естественно искать в виде линейной ком-щии первых N элементов базиса:

1=0

В нашем случае коэффициенты модели неизвестны; она представляет-итерполяционными данными на некоторой сетке, т.е. точечным Ы-вектором

Неизвестные коэффициенты {ak} модели (3) могут быть определ' как решения классической задачи интерполирования, что приводит к систем! N линейных уравнений с N неизвестными:

k-0

или к эквивалентному векторно-матричному уравнению

fT=Q„(D-i,

где

a = Colon[a0,a1...al,...aN_l], есть N-вектор неизвестных коэффициентов модели (3), а матрица системы

= NxN,

составлена ю точечных векторных изображений N первых элементов баз пространства L2 (0,1) как из столбцов:

т k (Т)=colony (t;N) «">),... у, «»)] (к=о, N-i). В практических вычислениях при различных N-сетках часто возникает явле большой чувствительности результата вычислений вектора коэффициентов ( погрешностям в исходных данных задачи.

Дело в том, что свойства матрицы QN(T) существенно зависят от бранной N-сетки, в частности, она значительно влияет на такую числовую рактеристику невырожденной матрицы, как число обусловленности v(QN). следнее и определяет чувствительность результата вычислений (5) к погрец стям в интерполяционных данных (1), ассоциированных с выбранной N-ceTi Такие погрешности неизбежны при любых вычислениях.

Число обусловленности v(QN) определяется формулой: ■ v(QN)=jjQN(T)-'|.i|QN(T)|]>l.

В работе доказано, что число обусловленности v(QN) интерполящ ной матрицы Qn (Т) задачи (4), равное единице - наименьшему возможн значению, достигается на ортогональной сетке

{t(N) /CosNnx'N> = о} о т = (v = I7n),

l v j 2N

образованной системой косинусов jl;V2Coskjrr], которая при замене nepeN ного преобразуется (с точностью до знака) в систему смещенных полино Чебышева I рода (l; л/2Т" (п)} • Таким образом, N-сетка (9) по существу, есть бышевская сетка. И следовательно, чебышевская сетка (9) является наилуч] среди всевозможных N-сеток в смысле минимума меры (числа) обусловлю сти интерполяционной задачи (4).

Кроме этого, известно, что чебышевское интерполирование является «лучшим из всех возможных схем интерполирования и по целому ряду дру-< важных показателей:

Чебышевское интерполирование для достаточно гладких функций об-1ает наивысшей точностью.

Квадратурная формула, полученная на основе чебышевского интерпо-рования, будучи формулой наивысшей точности, имеет минимальную сред-квадратичную ошибку, обусловленную погрешностями в исходных данных.

Задача восстановления функции f(t) е L2(0,1) по ее точечному изобра-ющему N - вектору (1) есть задача построения тем или иным способом вос-мавливающей (приближающей) интерполяционной модели этой функции.

Такую модель, естественно, искать в виде линейной формы N первых :ментов косинусного базиса пространства L2(0,1), предполагая, что модели-:мая функция f(x), заданная на [0,1], доопределена до четной периодической икции с периодом в 2 единицы, без разрыва непрерывности в местах стыков.

Модель удобно записать в форме

SNN=Cr + 2£frCoskKT, (10)

(к =0,М-1), (11)

N V«!

щратурные коэффициенты Фурье.

В силу равномерной распределенности сетки (9) квадратурные суммы I) сходятся к ряду Фурье функции А^т) е Ь2(0,1), что эквивалентно их сходи-сти в среднеквадратичном к самой этой функции.

Имеет место и равномерная сходимость интерполяционных сумм (10) для трерывных и достаточно гладких функций, имеющих, в частности, ограни-1ную производную за период. Возможно построение последовательностей :станавливающих (приближающих) моделей, равномерно сходящихся ко [кой непрерывной (2 - периодической) функции. Речь идет о так называемых щратурных ^-суммах.

В нашем случае, это суммы вида

5(<№)= ?Г + 2£ССС05кят, (12)

к»|

шчающиеся от квадратурных сумм (10) наличием Х-множителей при квадра-1ных коэффициентах Фурье ?к<",(к=1,2,...^-1), которые и обеспечивают (при зеделенных условиях) равномерную сходимость.

Среди квадратурных Х-моделей (12) существуют, в частности, простые юстаточно эффективные приближающие модели, возникающие в результате

сглаживания (по методу наименьших квадратов) простейших 2-периодичеа онлайновых представлений четных функций f(r), определенных на сетке I При рассмотрении сплайна нулевой степени можно получить Х-модель:

k»l ¡N

равномерно сходящуюся при N-><» ко всякой непрерывной 2-периодичеа функции f(x).

Существует еще один способ построения четной периодической фу ции, совпадающей на [0,1] с заданной функцией f(t) и порождающий моде также в виде линейной комбинации N первых членов системы коси

сов jcosm-^-tj но с нечетными номерами m=l,3,...(2k-l),...(2N-l).

Этот способ конструирования из функции í(x) те [0,1], как из импуль четной периодической функции с периодом в 4 единицы (по оси т) и нулев средним за период.

Это интерполяционная модель

SN(f;T) = 2¿fn.1Cos(2k-l)ÍT те [0,1], (,

k=l

построенная по чебышевским интерполяционным данным, обладает всеми те же свойствами, которые присущи интерполяционной модели (10). Ее коэффициенты имеют вид;

= ¿í>r')Cos(2k - 1)|тГ (k = ITÑ). (1

Обе интерполяционные модели (10) и (14) теоретически совершенно вивалентны в роли наилучших приближающих интерполяционных конструк! для функции f(T) те [0,1], доопределенной до четной периодической двумя р ными способами.

Во второй главе рассматривается пространство М(0,1) всех кусочн непрерывных функций определенных на [0,1], одновременно являющееся ги бертовым пространством L2(0,1). Если ввести бинарную операцию обычн( умножение, то пространство М(0,1) образует коммутативную банахову алге( с единицей АМ(0,1) относительно Sup-нормы. Совокупность всех точечн изображений определенных на N-сетке (9), образует линейное N - мерное п странство R?,a совокупность приближающих моделей (в форме квадратурн N - сумм Фурье построенных по отсчетам в узлах N - сетки (9)) всякой фу ции f(x) из М(0,1), доопределенной до четной периодической тем или иным с собой образует, N-мерное пространство SN(0,1). Множества SN(0,1)

эквивалентны, т.к. между их элементами существует взаимно однозначное тветствие. Как пространства они изометрически изоморфны. Доказано, что ютранство R* векторных изображений с введенной операцией покоординат-о умножения образует относительно Sup - нормы при любом N коммутатив-э банахову алгебру с единицей AR". Однако, SN(0,1) - пространство N -»ных интерполяционных моделей функций из М(0,1) имеющих вид квадра-ных сумм Фурье по системе косинусов, не является алгеброй относительно иного умножения, как бинарной операции.

Если же рассматривать множество приближающих моделей функций из ),1) на основе сплайнов нулевой степени (являющееся N-мерным подпро-анством в М(0,1)), то оно образует коммутативную банахову алгебру с еди-1ей ASp° относительно операции обычного умножения, которая оказывается [алгеброй алгебры АМ.

Таким образом, гомоморфное отображение TN пространства М(0,1) на е подпространство R" векторных изображений, а также гомоморфное ото-жения 7tn пространства М(0,1) на свое подпространство ASp'¿ сплайновых юлей переходят в гомоморфизмы соответствующих алгебр причем ASpJ, [ любом N изометрически изоморфна алгебре AR":

АМ

(16)

ASp°N

ARTN

Доказано, что всякий линейный и ограниченный оператор А,, действий из пространства М(0,1) на какое-либо его подпространство (0,1) с М(0,1) при гомоморфном отображении в N-мерное подпространство

,(0,1) с М(0,1) сплайновых моделей получает точечное представление в виде шетреуголыюй матрицы: а„

Af =

а.

а„

а.

а.

а„

(N х N).

(17)

N1

нстическое определение компонент точечного матричного представления ейного ограниченного оператора А, связано с проектированием (операто-

ром nN) функции A, •7tH(T-T¡N,)(v = l,N) на подпространство сплайновых к делей и их фактическим разложением по базисным элементам:

1 те

u<n> —L т<«> + JL i

(' 2N 2Nj l ' 2N 2N

(v = 1,n),

т.е. разложение вида:

Из коэффициентов этих разложений, как из строк, формируется матрица коз рая, после транспонирования, и окажется матрицей точечного представлен A'TN)оператора А,.

Так линейному оператору Z, точечного сдвига (осуществляет сдв по оси «т» функции х(т)еМ(0,1) на фиксированный шаг, равный расстояш между узлами N -сетки (15) т. е. на величину 1/N), действующему из М(0,1] М(0,1) в пространстве R" точечных изображений соответствует матричн представление:

О"

Z =

О

О 1

(NxN).

(2С

Эта матрица названа канонической матрицей правого сдвига. Каноническ матрица левого сдвига Z+ определяется путем транспонирования каноническ матрицы правого сдвига 2.

Натуральные степени канонической матрицы сдвига

Е = г,г\г\...2\...г"-' (21

образуют линейно независимую систему матриц, поскольку их линейная ко бинация, т.е. матричный полином степени N-1 с вещественными коэффицие тами

К 0 0 0 0

А, А. 0 0 0

А, А, А„ 0 0

: i ; '•. 0

А„_ ... ... А, А„

с треугольная матрица (МхМ), может тождественно равняться нулю лишь при 1енстве нулю всех элементов, т.е. коэффициентов линейных комбинаций. <ая матрица (22) названа матрицей полиномиального сдвига или (Р-грицей).

метим, прежде всего, что матричный полином (22) есть гомоморфный образ в ' операторного полинома с операторам сдвига в качестве аргумента, осу-ствляющего суммирование всех последовательных сдвигов финитной функ-л х(т) из М(0,1) с соответствующими весовыми множителями {Ак}.

Матрицы полиномиального сдвига вида (22) формально возникают в ультате замены комплексного аргумента г у целой рациональной функции линома) Р^1(г) степени N-1 на матричный аргумент Ъ (Кх^:

PN_,(z) = XAkzl-^£AkZl=PN,(Z) (NxN).

(23)

еем, очевидно, взаимно однозначное соответствие между указанными полисами и матрицами (23). Полином PN.i (z) комплексной переменной z назван юждаюшим полиномом матрицы PN-i (Z) (NxN).

В работе доказаны следующие утверждения:

Утверждение1. Множество всевозможных функций комплексного пе-1енного z, определенных и непрерывных в единичном круге ¡z|<l и анапити-ких внутри этого круга, образует банахову алгебру с единицей AF относи-ьно нормы

|Ф(г)|| = Мах|(р(2)| (p(z)eAF, (24)

падающей с 1| — нормой соответствующих степенных рядов функций из AF:

■ж> }| ж я

!!<P(Z)||= (25)

k.O I] 14 k=(l k>(>

Множество таких степенных рядов также образуют банахову алгебру с [ницен AGF, изометрически изоморфную алгебре AF, а также сверточной ебре ASI, бесконечномерных векторов, составленных из коэффициентов со-етствующих степенных рядов, как из компонент, и имеющих 1гнормы.

Утверждение2. Существует проектор П(Ы), гомоморфно отображающий >мированные алгебры AF и AGF на ^-нормированную N-алгебру AGF(N) час-ных сумм N-ro порядка степенных рядов, как элементов алгебры AGF.

Алгебра AGP** изометрически изоморфна сверточной N-алгебре ASI) ормированных N-мерных векторов и является гомоморфным отображением рточной алгебры ASli, осуществляемым тем же проектором П(К).

УтверждениеЗ. Заменой переменного z на каноническую матрицу сдвига NxN) осуществляется гомоморфизм алгебры AF функций, аналитических в re ¡z|<l, на алгебру AGF^Z) матриц (NxN) полиномиального сдвига (Р-риц) и изометрический изоморфизм N-алгебры AGF^' порождающих поли-

номов на матричную алгебру АОР(М,(г). Последняя оказывается изометричеа изоморфной также сверточной Ы-алгебре А.511<тч>.

Все три утверждения можно проиллюстрировать следующей диаграммой:

АИ.

АОР<М);

П(1Ч)

V

АЯ,™

(2(

I"2

Далее, используя описанный выше метод получения точечно-матричного пре ставления операторов, получено представление для вольтеровского операто, интегрирования .1,, которое имеет вид:

"1

Е - Z

= К

2 1 2 ?

2 1

(21

где

к=-

2К " .(28

А также получены некоторые необходимые для дальнейшего представления виде Р-матриц, связанные со степенями матрицы интегрирования (27).

В третьей главе рассматривается точечное преобразование операторно уравнения с вольтерровским оператором полиномиального интегрирования векторно-матричное уравнение для изображающего Т^-вектора неизвестн« функции >0):

х(т)=(и1у-у(г)^хт=(т;ту-ут=>

х(Т)=Р„(^,).у(т)=Хак(ит)ку(т)^

к=п

Хт=Р„(Т]т)-¥т=^ак(Т^)к.Ут:

(2?

у, = н„ цу - в. {г) • хт = . хт • хт.

«„(А)

(ЗС

стемная матрица уравнения оказывается матрицей полиномиального сдвига матрицей), представляемой в виде матричного полинома от канонической трицы сдвига Z (№*М):

" \У„

W'(z)—\у"(2) = ^^ = У \Укг" =

у/„ о - w1 V/

(31)

н.(2) = ¿акХ."0(Е-к(Е + г)" »ЗД-'г4; а)

,=0

В.т = (Е -ту = £ - к-IVг- = ¿Х'г«.

V Ч / ч-»

б)

(32)

цача Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными ко-фициентами произвольного порядка:

у"',(0) = у!Г (V = 0,п-Г), (33)

у=п Ш

лаемая на конечном отрезке [0,Т] методом точечных представлений, преоб-$уется в задачу решения (и анализа) векторно-матричного уравнения с сис-лной Р-матрнцей невырожденной при неотрицательных коэффициен-

с дифференциального уравнения:

н,(г) ■ ут = я: • в, (-г) • хт + <е - гг'^н.О) • у!,",

(34)

; Н.0) = Со!оп[ь;1:,,...ь;,,....ь,;,д...о]. а —у(т)/,.„ = ун>(0) = у,'," 0 = 0,п - 1)

ат

о решение относительно К-вектора Ут-точечного изображающего вектора нкции у( т ), как решенная задача Коши, сводится к обращению системной трицы Нл^) ^хИ) и последующему умножению на векторпо-матричное вы-кенне в правой части, т.е. к стандартным процедурам линейной алгебры, геем, следовательно,

ут = К • н.(Ту1 • в„(-Т)■ хт + н„(г)' ■ <е - гу£н.о• у!,". (35)

1-и

; Н„(2)'' - обратная матрица матрицы Н„(3).

Показана высокая эффективность возникающего вычислительного алго-гма решения, подтверждаемая компьютерными расчетами ряда примеров по ¡работанной программе, включая и расчет примера жесткой задачи Коши. В :леднем случае не обнаружено явления численной неустойчивости, характер-го для многих численных методов.

Метод оказывается эффективным для описания (моделирования) и следующего приближенного решения начальных задач для линейных диф| ренциально-разностных уравнений п-ro порядка с запаздывающим аргумет на конечном отрезке [0,Т], кратном величине запаздывания:

Такие задачи преобразуются в эквивалентные задачи Коши с добав ными финитными функциями в правой части уравнений, определяемыми па метрами запаздывания и начальными функциями исходных задач:

£a„y"4t)+£b1Hy"4t-tJ) = x(t)-E(tl;t-t1)£b„9"'(t-t,). (3

v=0 vsO v=0

Если перейти к интегральному уравнению и сделать замену перемен: rot=Tr, атакже пологая, что у(т ~т,)—^—>ZmYr, то получим в пространс точечных изображений уравнение вида:

H„(Z)- YT ч-^ЬД1;, (Е -Z)"~l(E + Zf ■ Z"'Yr = Х", ~(Е + Z)" -X,, (3

его решение определится формулой:

Y __K(E + Zy-Xy_

* 1 n

H„(Z) + • (E - Z)" l(E + Z)1 • z-

k=l

Также в работе рассматривается моделирование и решение методом точечн представлений задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений 2 порядка с переменными коэффициентами:

^-k(t)y(t)] + ^[a1(t)y(t)l+a1(t)y(t) = x(t); (4

У(0)=У„; У'(0) = у;,; t6[0,Tj Для преобразованных уравнений такого типа с новыми коэффициентны функциями под знаком производных устанавливаются условия существовани единственности решения задачи Коши на отрезке [0,Т]. Доказано, если вып няется условие:

(3

a.(t) + — a.(t)+[ — I a,(t) >0 ' ' 2N 1 UN 1

t e [o, T],

(4

при а„0)>0

то на этом отрезке существует единственное решение задачи Коши (40), ко рое может быть найдено методом точечных представлений.

четвертом главе рассматривается свертка, как бинарная операция в про-ранстве ограниченных и абсолютно интегрируемых функций и как инте-юльный оператор с некоторым фиксированным разностным ядром, обобщаю-нй обычный (вольтеровский) оператор интегрирования. Область его опреде-:ния - пространство функций, ограниченных на любом конечном промежутке; >ласть значений - подпространство непрерывных функций.

Свертка, как бинарная операция в пространстве ограниченных функций, >евращает его в алгебру относительно Ьрнормы. Однако, эта сверточная ал-бра не имеет единицы и является подалгеброй сверточной алгебры обобщен-.IX функций. Последняя имеет единицу, роль которой выполняет 5-функция ира/са. Возникает необходимость рассматривать сверточные операторы с 5-[рами, т.е. расширить область определения сверточного оператора до про-ранства обобщенных функций.

На основе общего .метода получения точечно-матричного представления 1зличных операторов и используя геометрический смысл сверточной операции ш таком подходе, решается задача о точечном изображении свертки, как инте-ального оператора с разностным ядром и как коммутативной бинарной опе-1щш. Точечное изображение свертки двух функций представляется н виде ертки их изображающих векторов:

y(t) = g* х = Jg(t-Ti)x(r,)dr|—Y, = \VB *ХТ = W4 *gT,

(42)

)ичем, если в векторной свертке один из векторов - точечный изображающий ■вектор одной из сворачиваемых функций jx(t)—^—или g(t)——»gj,

другой N-вектор Ws (или W<), играющий роль изображающего вектора lyrofi функции, связан с соответствующим точечным N-вектором линейным ^образованием:

We = A.„(E + Z)-g, или W\ -À.XE + ZyX, . <43>

*ерточная операция в пространстве векторных изображений замкнута относи-льно 1| - нормы и превращает это N-мерное пространство в сверточную алгеб-', являющуюся гомоморфным образом функциональной сверточной алгебры. Зе алгебры - коммутативные, поскольку коммутативны соответствующие ерточные операции. Обе имеют единицы, причем в векторной сверточной гебре роль единицы (как гомоморфного образа единицы функциональной ерточноп алгебры) играют изображающие N-векторы, 5-функции 5(t). Это кторы Ws = е и ôT, связанные соотношением

X0(E + Z)-5T=W.=e„ (44)

торое рассматривается как определяющее равенство для понятия точечного ображающего N-вектора 5Т 5-функцни 5(t).

о

Через свертку детально изучен вопрос о связи между изображением функций л Лапласу и их векторными изображениями, представляющими эти функции I конечных промежутках. Доказана теорема о точечном изображении сверточш го оператора с ядром §,(1), имеющим преобразование Лапласа С(р), соглась которой

I

ё*х = - лМлЭ^П——>^е"(2)*Хт = *ХТ, (45

о

причем Р-матрица \*/Е" (2) (Т4х]Ч) непосредственно определяется инверсны преобразованием Лапласа^^ = О' (к) ядра g(t):

с«

где коэффициенты \Ук_, (к = 1,14) определяются формулами 1 с!ки „,., л 2Х„ с^'

" (к-1)! ёг1 ' 1 и (к -1)! • 3

(47;

(к = 1,Ы)

и являются компонентами изображающего Т\т-вектора этого ядра, а такж элементным М-вектором Р-матрицы которая, как элемент нормированно

алгебры АСР(М^), оказывается гомоморфным образом элемента W,(z) из нор мироваиной алгебры АР функций, аналитических в круге < 1 [Гл.2].

Теорема позволяет осуществить (приближенное) обращение преобразован!! Лапласа произвольной функции в форме ее изображающего И- вектора, ассс циированного с чебышевской >4-сеткой из конечного промежутка [0,Т], Из теоремы следует:

(48;

Что эквивалентно следующей системе равенств для отсчетов оригинала £(1) узлах Ы-сеткн:

ё(ТтГ) = !Х(-1Г^кЧ (V = ГГЫ). (49-

л к-1

Приведен пример обращения изображения по Лапласу трансцендентного вид; оригинал которого - функция Бесселя нулевого порядка сложного аргумент; Расчеты показывают высокую точность предлагаемого метода. Особо выделен и подробно рассмотрен случай дробно-рациональных лагшасс вых изображений. В этом случае задача обращения сводится к решению сист<

I алгебраических уравнений рекуррентного вида относительно отсчетов ори-тала в узлах N- сетки. Последнюю можно трактовать как решение методом 1ечных представлений соответствующего линейного дифференциального 1внения с постоянными коэффициентами при нулевых начальных условиях, :смотренное в гл.З. Подробно рассмотрено в общем виде (т.е. формально) эащение элементарных правильных операторных дробей с простым полюсом, тюсом кратности два и комплексно - сопряженной парой полюсов, оведенные численные расчеты по полученным точечным моделям для рас-ггриваемых операторных изображений убедительно показывают его высокую фективность.

В пятой главе рассматривается связь "вход-выход" для линейной ста-энарной динамической системы в пространстве точечных изображений. Эта [зь, в соответствие с теоремой о точечном изображении функциональной :ртки принимает форму векторно-матричного равенства для точечных изо-(женнй сигналов входа и выхода или форму свертки соответствующих тишающих векторов:

I

y(t) = g * х = Jg(t - W(. * Хт - YT = w;(Z) • X, . (50)

I)

трица Ws*(Z) (NxN), называется точечной передаточной матрицей (ТПМ)

темы, а се элементный N-вектор назван весовым изображающим N-тором. Матрица \V (Z) оказывается гомоморфным образом инверсной ПФ омической систем!.!, как элемента алгебры AF всевозможных функций, ана-нческих в круге |zj < 1.

1 точечных изображений импульсной переходной характеристики g(t) и пе-одной характеристики h(t), заданных на отрезке (0,'Г], получены представле-i:

g(t)-^->g, - w;(Z)5r - W, * 5, - ± -(If + Z) 1 • W, ; (51)

h(t)—^-»h, = Ws*l, - Wf4Z)-l7 = (E-Z)-W,..

По передаточным функциям типовых динамических звеньев (включая но чистого запаздывания) определены в явной форме точечные представле-: их динамических характеристик. Рассмотрен вопрос об определении ТПМ жных динамических систем, образуемых при различных способах соедине-типовых звеньев. Показано, что в силу гомоморфного отображения множе-з передаточных функцнй, образующее коммутативное алгебраическое коль: единицей, на такое же кольцо соответствующих ТПМ, все правила струк-ных преобразований с передаточными функциями, без всяких изменений, еносятся на преобразования соответствующих ТПМ.

Все точечные представления связаны с конечным временным промеж; ком [0,Т], т.е. с параметром Т, который может устанавливаться произволы Однако, желательно, чтобы этот промежуток соответствовал длительности i реходного процесса. Предлагается метод оценки параметра Т для устойчив динамических систем через оценку степени устойчивости, определяемой moj лем вещественной части корня, ближайшего к мнимой оси. Метод, назван! методом усеченных передаточных функций, оказался достаточно эффективнь о чем, в частности, свидетельствуют приведенные примеры.

Подробно рассмотрены все аспекты расчета переходных характерна сложных линейных динамических систем методом точечных представлен непосредственно по ПФ с характеристическим полиномом любой степени, конечном итоге, задача сводится к обращению системной Р-матрицы Н„(а: (NxN) степени п в векторно - матричном уравнении, определяющим точечи N-вектор gr ИПХ g(t) te[0,T] динамической системы. Коэффициенты {h""(E

Р-представлений системной матрицы H„(a;Z) (NxN) связаны с коэффициента характеристического полинома неособым линейным преобразованием. Перех к блочному представлению системной Р-матрицы при N=mö(nH) (m0=2,3,.. позволил разработать эффективный рекуррентного типа алгоритм се обращен при любом п. Разработана программа компьютерной реализации апгоритма с ращения.

Найдено эффективное решение задачи расчета переходных xapaiacf стнк линейной динамической системы по ее ВЧХ Р(со). Получены высокотс ные N - мерные модели для ИПХ g(t) и ПХ h(t) te[0,T], которые обладают н; меньшей чувствительностью к погрешностям в исходных данных, обуслов;п ных конечностью параметра "Т", если эти данные брать в виде отсчетов В' Р(ю) в узлах чебышевской частотной N - сетки:

(2к-1)и егк-исо^ —

Ч=~-=-— (k = l,N), (5

2Т 2N ^

причем, в соответствии с теоремой Котельникова, coCpT=N7i (ß>cp - частота ср< ВЧХ Р(ю)). По этим моделям определяется точечные изображения gr и hT yi занных характеристик, ассоциированные с временной чебышевской N-сетю Вводится спектральный изображающий N-вектор Р'*', ассоциированный с 1 бышевской частотной N-сеткой и связанный с точечными изображающими векторами gr и hT ортогональными преобразованиями.

Основные результаты и выводы состоят в следующем: 1. Выбрана чебышевская N-сетка, как наилучшая для точечного моделиро ния по ряду показателей: минимум чувствительности к погрешностям в i ходных данных, наивысшая возможная точность интерполяционных мо. лей н квадратурных формул.

Найден аналитически эффективный подход к определению точечно-матричных представлений линейных и ограниченных операторов использующий прямоугольные сплайновые элементы в качестве базисных, что позволяет получить точечные модели таких операторов в виде матриц полиномиального сдвига (Р-матриц).

Проведен анализ установленных гомоморфных связей алгебраических структур >1-мерных точечных моделей функций и операторов, определяющих их адекватность, с алгебраическими структурами моделируемых объектов. При N—>0) эти гомоморфизмы переходят в соответствующие изоморфизмы.

Разработаны точечные модели задач Коши для линейных дифференциальных уравнений различных типов на основе которых разработано программное обеспечение численного решения этих задач. Многочисленные примеры, включая и пример жесткой задачи Коши, показывают высокую вычислительную эффективность метода.

Разработаны точечные модели операторно-частотных и временных характеристик линейных стационарных динамических систем. В частности, эффективно решены задачи точечного обращения преобразования Лапласа и косинус-преобразование Фурье для конечного временного промежутка. Разработано соответствующее программное обеспечение.

Публикации по диссертационной работе Осипов В.В. Оценка степени устойчивости линейных САР методом ченных передаточных функций, асимптотически эквивалентных заданной // ¡ершенствование методов поиска и разведки, технологии добычи и перераки руд: Тезисы докладов зональной студенческой научно - технической ференции; ФНТИиТДМ; ГАЦМиЗ.-Красноярск, 1996. 4.2. С. 12.

Осипов В.В. Один подход к определению степени устойчивости ли-ных стационарных САР// Информатика и системы управления: Межвузов-й аспирантский и докторантский сборник научных трудов /Отв. ред. [.Рубан, В.П. Соустин; КГТУ. - Красноярск, 1996.С. 162 - 167.

Осипов В.В. Один метод моделирования и расчета переходных харак-нстик линейных стационарных САР// Студент, наука н цивилизация- Те; л. Межвузовской научно-практической конференции / Сост. В.В. Сувейзда, ТИ и ТДМ; ГАЦМиЗ. - Красноярск, 1997. С. 83.

Осипов В.В. Приближенные аналитические методы расчета переход: характеристик систем автоматического регулирования// Современные лро-мы технических наук: Сб. тезисов докладов Новосибирской межвузовской чной студенческой конференции "Интеллектуальный потенциал Сибири "; ^С. - Новосибирск, 1997.С.11-12.

5. Осипов В.В. Аналитические представления переходных характерис линейных динамических систем, оптимальные по чувствительности к погр ностям исходных данных// Вестник Красноярского государственного техт ского университета, посвященный 65-летию проф. Б.П. Соустина: Сб. на) трудов /Под ред. Б.П. Соустина; КГТУ. - Красноярск, 1998. С.203 -212.

6. Осипов В.М., Осипов В.В. О методе точечных представлений в тео управления динамическими систем// Перспективные технологии и техника горно - металлургического комплекса: Сб. научных статей; ГАЦМиЗ. - Крас ярск, 1999. 4.2. С. 350 -355.

Осипов В.В. Разрабатывал метод точечных представлений, идею котор предложил соавтор. Процент участия 50%.

7. Осипов В.М., Осипов В.В. Оптимальная сетка в методе точечных пр ставлений// Информационные технологии: Сборник тезисов межвузовской учно - практической конференции / КГАЦМиЗ. - Красноярск, 1999. С.21 - 2< Осипов В.В. Принимал участие в исследовании различных сеток для мет точечных представлений. Процент участия 50%.

8. Осипов В.В. Решение дифференциально - разностных уравнений паздывающегЪ типа методом точечных представлений// Информатика и си< мы управления: Межвузовский аспирантский и докторантский сборник науч! трудов /Отв. ред. Б.П. Соустин. - Красноярск: НИИ ИПУ, 1999.С. 236 - 246.

9. Осипов В.М., Соустин Б.П., Осипов В.В. Решение линейных диф ренциальных уравнений различных типов методом точечных представлен Всесибирский конгресс женщин математиков (к 150-летию со дня рожде C.B. Ковалевской): Тезисы докладов конгресса, ИВМ СО РАН: - Красноя| 2000. С.150.

Осипов В.В. Решил дифференциально - разностные уравнения запаздываю го типа и линейные уравнения с переменными коэффициентами методом то1 ных представлений. Процент участия 50%.

10. Осипов В В., Казинникова В.А. Использование результатов науч! исследований для активизации учебного процесса в курсе "ТАУ" при анал качества процесса регулирования // Педагогические проблемы и информацг ные технологии в системе непрерывного образования: Тезисы докладов веер сийской научно - практической конференции/ КГАЦМиЗ. - Красноярск, 2( С. 92-93.

Осипов В.В. Получил научные результаты использованные в учебном проце Процент участия 90%.

11. Осипов В.В. Расчет переходных характеристик непосредственно по п< даточной функции линейной САР методом точечных представлений// Эколс ческие проблемы горно - металлургического комплекса: Тезисы докладов i

российской научно - практической конференции/ КГАЦМиЗ. - Красноя] 200°- ^^ ^

Введение

Часть 1. Основы метода точечного моделирования

Глава 1. Точечное изображение функций

1. Векторное изображение функций. Точечный изображающий N - вектор

2. Выбор оптимальной N-сетки

3. Восстановление функций по их точечным изображениям

3.1. Восстанавливающие модели интерполяционного сглаживания

3.2. Интерполяционная модель с нечетными косинусами 36 Выводы

Глава 2. Точечное представление линейных операторов

1. Алгебра точечных изображений.

2. Точечное представление линейных операторов

3. Точечно - матричные представления операторов сдвига

4. Матрицы полиномиального сдвига (Р - матрицы). Алгебраические структуры. Гомоморфизмы

5. Р - матричное представление оператора интегрирования 67 Выводы

Часть 2. Точечное моделирование линейных динамических систем

Глава 3. Точечное моделирование и решение линейных дифференциальных уравнений

1. Матрицы полиномиального интегрирования и уравнения в R^

2. Уравнения с постоянными коэффициентами

3. Дифференциально - разностные уравнения с запаздыванием

3.1. Преобразование к задаче Коши

3.2. Решение методом точечных представлений

4. Уравнения с переменными коэффициентами 115 Выводы

Глава 4. Точечное моделирование операции свертки

1. Свертка, как обобщенный интегральный оператор

2. Векторная свертка. Гомоморфизмы сверточных алгебр

3. Теорема о точечном изображении свертки и преобразование Лапласа

4. Связь точечных векторных изображений функций и их изображений по Лапласу

5. Случай дробно - рациональных операторных изображений 141 Выводы

Глава 5. Точечное моделирование линейных динамических систем

1. Связь "вход - выход" в точечных представлениях для линейных динамических систем. Точечные динамические характеристики

2. Типовые динамические звенья в точечных представлениях. Структурные соединения и преобразования

3. Расчеты переходных процессов методом точечных представлений

3.1. Оценка степени устойчивости и времени переходного процесса для линейных стационарных динамических систем

3.2. Определение точечных переходных характеристик (ПХ) непосредственно по передаточной функции (ПФ) динамической системы

3.3. Определение точечных изображений переходных характеристик (ПХ) по вещественной частотной характеристике (ВЧХ) линейной динамической системы

Выводы

Основные результаты работы и выводы

Актуальность и состояние проблемы

Применение математических методов - мощного инструмента познания и исследования, в разнообразных отраслях знаний и сферах человеческой деятельности становится возможным лишь при предварительном создании математических моделей изучаемых явлений. Бурное развитие вычислительной техники существенно стимулирует этот процесс.

Математическое моделирование становится, по существу, важнейшей частью современной прикладной математики и не только прикладной. Классы и типы математических моделей, как математические объекты, сами становятся предметами теоретических исследований.

Математическими моделями управляемых динамических систем служат неоднородные дифференциальные уравнения различного вида. Многие важнейшие свойства управляемых динамических систем рассматриваются на конечном промежутке времени, хотя соответствующие временные сигналы (процессы) теоретически имеют бесконечную длительность. Для описания (моделирования) таких процессов и их взаимодействий (в линейных стационарных системах) хорошо приспособлен и широко используется метод опера-торно - частотных представлений, основанный на применении преобразования Лапласа и Фурье. Однако, этот математический аппарат оказывался неэффективным и малопригодным для решения задач современной теории управления динамических систем, связанных по своему содержанию с конечным промежутком времени. Это задачи управления и наблюдаемости и, особенно, разнообразные задачи терминального управления и др. Этот аппарат совершенно не и годится для описания (моделирования) нестационарных и нелинейных динамических систем. Другие математические методы, используемые в современной теории управления динамическими объектами (общая теория дифференциальных и интегральных уравнений, функциональный анализ и др.), играющие фундаментальную роль, в прикладном отношении часто оказываются недостаточно конструктивными и мало приспособленными для компьютерной реализации.

В связи с этим, остается актуальным разработка эффективных приближенно - аналитических методов моделирования и решения на их основе разнообразных задач прикладной теории управляемых динамических систем, а также соответствующих компьютерных технологий.

Отметим получивший широкое распространение математический метод, основанный на замене непрерывных (аналоговых) сигналов их значениями в дискретные моменты времени (квантование) с последующей аппроксимацией дифференциальных уравнений, описывающие динамику объектов управления, соответствующими разностными уравнениями.

Используемые при этом дискретное преобразование Лапласа и Ъ - преобразование создают аналитический аппарат моделирования непрерывных динамических систем, более конструктивный, чем традиционный подход [35, 73, 76, 91].

Вместе с тем, этот аппарат в значительной степени сохраняет те же недостатки, которые присущи традиционному подходу, основанному на преобразовании Лапласа.

Кроме того будучи приближенным метод дискретных представлений порождает свои проблемы: точность (адекватность представлений), численная устойчивость др. Эти важные вопросы вычислительной математики практически не рассматриваются в специальной литературе по теории дискретных (импульсных) систем, создавая иллюзию полного обоснования и универсальной эффективности метода.

Между тем, существующая теория дискретного моделирования непрерывных динамических систем далека от своего завершения. Ее математические основы нуждаются в более строгой проработке, совершенствовании и развитии.

Итак, сохраняется сделанный ранее вывод об актуальности и целесообразности разработки и применении в современной теории управляемых динамических систем более конструктивных математических методов и подходов, позволяющих эффективно моделировать и решать широкий круг задач анализа и синтеза (проектирования) систем управления разнообразными динамическими объектами. В этом отношении, в частности, представляется весьма эффективным метод изображающих векторов (МИВ) [48]. В ряде последующих работ [9,15,36,93] подтверждена его эффективность.

Метод позволяет очень просто преобразовывать и приближенно представлять в век-торно матричной форме линейные дифференциальные уравнения разного типа описывающие динамические системы на конечных временных промежутках. В результате разнообразные задачи теории управления формулируются как задачи линейной алгебры и конечномерного функционального анализа, для решения которого может быть использован имеющийся уже мощный арсенал вычислительных методов.

Один из вариантов МИВ, использующий точечные векторные изображения функций и точечные представления операторов, более прост и нагляден по сравнению с другими вариантами векторных изображений. Он несколько напоминает дискретный метод моделирования непрерывных систем особенно в варианте [73], хотя основан на другой идеологии.

Если зафиксировать Ы-сетку, наилучшую в некотором смысле, и использовать сплайновые формы нулевой степени, построенные на точечных изображениях, как приближающие модели, то возникает некоторый существенно более конструктивный вариант МИВ, названный методом точечных представлений, имеющий совершенно новые алгебраические и аналитические свойства и возможности, а также высокую эффективность в вычислительном отношении.

В диссертационной работе рассматриваются вопросы теоретического обоснования метода точечных представлений, как конструктивного метода моделирования линейных динамических систем различного вида; разработан соответствующий аналитический аппарат и соответствующее программное обеспечение.

Цель диссертационной работы состоит в разработке приближенно - аналитического метода моделирования линейных динамических систем различного вида, использующего точечное представление функций и операторов, и создании соответствующего программного обеспечения.

Цель достигалась решением следующих задач:

1. Выбрать путем сравнительного анализа Ы-сетку, наилучшую для точечного представления функций на конечном промежутке.

2. Установить существование гомоморфных связей алгебраических структур точечных представлений с алгебраическими структурами моделируемых объектов.

3. Найти единый и аналитически эффективный подход к определению точечно - матричных представлений линейных и ограниченных операторов.

4. Применить метод точечных представлений для моделирования линейных дифференциальных уравнений различных типов и решения задач Коши на основе полученных моделей.

5. Разработать программное обеспечение для численной реализации решения задач Коши методом точечных представлений.

6. Найти точечные модели операторно-частотных и временных характеристик линейных стационарных динамических систем.

7. Разработать алгоритмы и программное обеспечение расчетов переходных характеристик сложных линейных динамических систем по их точечным моделям.

Основная идея работы. Метод точечных представлений, как метод моделирования, идеологически примыкает к методу изображающих векторов (МИВ), предложенного В.М.Осиповым. В основе же его аналитического аппарата лежит идея использования прямоугольных сплайновых элементов в качестве базиса N - мерного подпространства пространства М(0,Т) всех кусочно - непрерывных функций. Проектирование элементов из М(0,Т) на это N-мерное подпространство порождает сплайновые, ступенчатые приближающие модели построенные на точечных изображениях этих элементов и обладающие огромной аналитической и алгебраической гибкостью. Так, подпространство сплайновых ступенчатых форм образует банахову алгебру относительно обычного умножения и Sup-нормы соответствующих точечных векторных изображений, изоморфную такой же алгебре этих точечных N-векторных изображений относительно операции покоординатного умножения, как второй бинарной операции. Вместе с тем, алгебра ступенчатых сплайновых моделей при любом N является гомоморфным образом банаховой алгебры AM функций из М(0,Т) относительно обычного умножения и Sup-нормы этих функций, причем размерность N точечных моделей может служить показателем их адекватности. При N—>оо алгебра точечных изображений становится изоморфной алгебре AM.

Методы исследования.

При решении поставленных задач применяется математический аппарат функционального анализа, линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений, теории функций комплексного переменного, теории автоматического управления, программная система математических вычислений MathCAD 8.0, среда Delphi 3.0.

Научная новизна диссертационной работы Разработан приближенно-аналитический метод точечного моделирования линейных динамических систем различного вида.

Теоретическая и практическая ценность диссертационной работы определяется широкой применимостью теоретических результатов для решения задач, связанных с моделированием и анализом линейных динамических систем. Разработанные в работе точечные модели могут быть применены для описания динамических объектов и расчета их динамических характеристик, а также для задач регулирования и управления, решения дифференциальных уравнений (произвольного порядка) различных типов. Практическим результатом работы является программное обеспечение, созданное для расчета и построения переходных характеристик линейных систем (любых порядков), которое может быть использовано при разработке и проектировании систем автоматического управления. Это программное обеспечение внедрено в учебный процесс при подготовки студентов специальности 210200 "Автоматизация технологических процессов и производств" в курсе "Теория управления", что подтверждено актом о внедрении (см. приложение к Главе 5).

Основные положения выносимые на защиту.

1. Аналитический аппарат моделирования линейных динамических систем разных типов использующий сплайновые ступенчатые модели и точечные представления функций и операторов.

2. Результаты исследования связей алгебраических структур точечных представлений (точечных моделей) с алгебраическими структурами моделируемых объектов.

3. Общий конструктивный подход к определению точечно-матричных представлений некоторых линейных операторов, необходимых для точечного моделирования линейных динамических систем (операторы сдвига, оператора интегрирования, сверточные операторы).

4. Точечное моделирование и решение задач Коши в пространстве точечных изображений линейных дифференциальных уравнений различных типов, а также соответствующее программное обеспечение. 7

5. Точечное моделирование линейных динамических систем и алгоритмы расчета точечных изображений их переходных характеристик непосредственно по передаточным функциям (точечное обращение преобразования Лапласа) либо по вещественным частотным характеристикам (точечное обращение косинус - преобразование Фурье).

Апробация работы. Основные положения и отдельные разделы диссертационной работы обсуждались и докладывались на конференциях, совещаниях и семинарах, в том числе:

Зональная студенческая научно-практическая конференция

Совершенствования методов поиска и разведки, технологии добычи и переработки руд", Красноярск 1996;

Межвузовская научно-практическая конференция "Студент наука и цивилизация", Красноярск 1997;

Новосибирская межвузовская научная студенческая конференция "Интеллектуальный потенциал Сибири", Новосибирск 1997;

Межвузовская научно-практическая конференция "Информационные технологии", Красноярск 1999;

1 Всесибирский конгресс женщин математиков (к 150-летию со дня рождения C.B. Ковалевской). Красноярск 2000.

Всероссийская научно-практическая конференция "Педагогические проблемы и информационные технологии в системе непрерывного образования", Красноярск 2000.

Научные семинары Красноярской государственной академии цветных металлов и золота и Красноярского государственного технического университета.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 11 печатных работах.

Структура и объем работы. Диссертационная работы состоит из введения, пяти глав, выводов, библиографии приложений и содержит страниц основного машинописного текста, 10 рисунка, список используемой литературы включает 96 наименований.

Основные результаты и выводы состоят в следующем:

1. Выбрана чебышевская Ы-сетка, как наилучшая для точечного моделирования по ряду показателей: минимум чувствительности к погрешностям в исходных данных, наивысшая возможная точность интерполяционных моделей и квадратурных формул.

2. Найден аналитически эффективный подход к определению точечно-матричных представлений линейных и ограниченных операторов, использующий прямоугольные сплайновые элементы в качестве базисных, что позволяет получить точечные модели таких операторов в виде матриц полиномиального сдвига (Р-матриц).

3. Проведен анализ установленных гомоморфных связей алгебраических структур Ы-мерных точечных моделей функций и операторов, определяющих их адекватность, с алгебраическими структурами моделируемых объектов. При N—>00 эти гомоморфизмы переходят в соответствующие изоморфизмы.

4. Разработаны точечные модели задач Коши для линейных дифференциальных уравнений различных типов на основе которых разработано программное обеспечение численного решения этих задач. Многочисленные примеры, включая и пример жесткой задачи Коши, показывают высокую вычислительную эффективность метода.

5. Разработаны точечные модели операторно-частотных и временных характеристик линейных стационарных динамических систем. В частности, эффективно решены задачи точечного обращения преобразования Лапласа и косинус-преобразование Фурье для конечного временного промежутка. Разработано соответствующее программное обеспечение.

1.Альберт Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения: Пер. с англ.- М.: Мир, 1972.

2. Ахиезер Н.И. , Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.- Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1977.

3. Атанс М. Фолб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение,!968.

4. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления -Учеб. пособие для втузов. М.: Высш. школа,1989.

5. Амосов A.A. Дубенский Ю.А. Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. -М.:Высшая школа. 1994.

6. Бромберг П.В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования.-М.: Наука, 1967.

7. Беллман Р., Кук K.JI. Дифференциально разностные уравнения.-М.:Мир, 1967.

8. Беллман Р. Введение в теорию матриц. 2-е изд. - М.: Наука, 1976.

9. Бурыкина Н.В. Применение метода изображающих векторов к задачам оптимального управления линейными системами. Автореферат диссертации на соискание ученой степени к.т.н. по спец. 05.13.01.: ТПУ. 1994.

10. Воронов A.A. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука, 1985.

11. Воловоденко В.А. Разработка алгоритмов анализа и упрощения моделей сложных линейных систем на базе метода изображающих векторов. Автореферат диссертации на соискание ученой степени к.т.н. по спец. 05.13.01.: ТПИ. 1981.

12. Гарднер М.Ф., Бэрнс Дж.Л, Переходные процессы в линейных системах .-М.:Физматгиз, 1961.

13. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей.- М.: Наука, 1967.

14. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций.- М.; Л.: ГИТТЛ, 1934.

15. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.- М.: Физматиз, 1962.

16. Гурецкий X. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. -М. Машиностроение, 1974.

17. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы.- М.: Наука, 1966.

18. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z -преобразования. М.: Наука, 1971.

19. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами,-М.: Наука, 1977.

20. Демидович Б.А. Лекции по математической теории устойчивости.- М.: Наука, 1967.

21. Иванов В.А., Медведев B.C., Чемоданов Б.К., Ющенко A.C. Математические основы теории автоматического регулирования. 2-е изд. доп. Учеб. пособие для втузов. - М.: Высш. школа, 1977. -Т. 1.

22. Иванов В.А., Медведев B.C., Чемоданов Б.К., Ющенко A.C. Математические основы теории автоматического регулирования. 2-е изд. доп. Учеб. пособие для втузов. - М.: Высш. школа, 1977. -Т.2.

23. КаазикЮ.Я. Математический словарь.-Таллин: Валгус. 1985.

24. Катковник В.Я., Полуэктов P.A. Многомерные дискретные системы.- М.: Наука, 1966.

25. Кейперс Л.,Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей.-М.:Наука, 1985.

26. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. -М.:Наука, 1976.

27. Кузин Л.Т. Расчет и проектирование дискретных систем управления.- М.: Машиз, 1962.

28. Корякина Г.В. Анализ и оптимизация линейных нестационарных систем с запаздыванием операторными методами. Автореферат диссертации на соискание ученой степени к.т.н. по спец. 05.13.01.: ТПИ. 1986.

29. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: ГИФМЛ, 1959.

30. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнений. 2-е изд. доп. Учеб. пособие для втузов. - М.: Наука, 1976.

31. Ланкастер П. Теория матриц.- 2-е изд. М.: Наука, 1982.

32. Лизоркин П.И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. М.: Наука, 1981.

33. Лурье A.M. Операционное исчисление и его приложения к задачам механики.-Гостехиздат. 1950.

34. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа.- М.: Высшая школа, 1982.

35. Маслов В.П. Операторные методы. М.:Наука,1973.

36. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.- М.: Наука, 1977.

37. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.; Л.: ГИТТЛ,1949.

38. Попов Б.П. Динамика систем автоматического регулирования.-ГИТТЛ.1954.

39. Пугачев B.C. Основы автоматического управления.- М.: Физматиз, 1962.

40. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы анализа. М.: Наука, 1978.-Ч.1.

41. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы анализа. М.: Наука, 1978.-Ч.2.

42. Пухов Г.Е. Методы анализа и синтеза квазианалоговых электронных цепей. Киев: Наукова Думка, 1967.65 .Пухов Г.Е. Преобразование Тейлора и их применение в электротехнике и электронике. Киев: Наукова Думка, 1978.

43. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука, 1983.

44. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу: Пер. с фр. М.: Мир, 1979

45. Риордан Дж. Комбинаторные тождества. М.: Наука, 1982.

46. Рихмайер Р. Принципы современной математической физики: Пер. с англ. М.:Мир, 1982.

47. Рудин У. Основы математического анализа: Пер с англ.- М.: Мир, 1976.

48. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Ред. Дж. Холл и Дж. Уятт. -М.: Мир, 1979.

49. Солодов A.B. Солодова Е.А. Системы с переменным запаздыванием. -М.:Наука, 1980.

50. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления. М.: Наука, 1985.

51. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1979.191

52. Треногин В.А. Функциональный анализ.- М.: Наука, 1980.

53. Трахтман A.M., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. -М.: Советское радио, 1975.

54. Тихонов А.Н. Аррсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.- М.: Наука, 1979.

55. Тихомиров В.М. Банахова алгебра. Дополнение к кн.: Колмагоров А.Н., Фомин C.B. элементы теории функций и функционального анализа.

56. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд. Моск. ун. 1976.

57. Толстов Г.П. Ряды Фурье.- М.:Физматиз, 1966.

58. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения.- М.: Мир, 1984.-Т.2.

59. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.- М.: Наука, 1970.-Т.2.

60. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.- М.: Наука, 1970.-Т.З.

61. Фор Р., Кофман А. Дени Папен М. Современная математика.-М.:Мир.1966.

62. Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру.-М.: Мир.1979.

63. Харкевич A.A. Линейные и нелинейные системы: Избр.тр.- М.: Наука, 1973.-Т.2.

64. Харкевич A.A. Спектры и анализ.-ГИТТЛ,1957

65. Халмаш П. Конечномерные векторные пространства. Пер. с англ. М.: Физматгиз, 1963.

66. Халмаш П. Гильбертово пространство в задачах. Пер. с англ. М.: Мир, 1970

67. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ.- М.: Мир, 1989.91 .Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем.-М.:Физматиз, 1963

68. Штокало И.З. Операционное исчисление. Киев: Наукова Думка, 1972.

69. Шалаев Ю.Н. Описание и моделирование нестационарных объектов управления на основе метода изображающих векторов. Автореферат диссертации на соискание ученой степени к.т.н. по спец. 05.13.01.: ТПИ. 1986.

70. Эльсгольц Л.Э. Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.-М.:Наука, 1971.

71. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.:Наука, 1969.

72. Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении т.1. М.: Мир,1985.