автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение моделирования статистических игр в задаче оценивания параметра гипергеометрического распределения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ЯРОСЛАВА МУДРОГО

На правах рукописи

ИВАНОВ рр5 0Д

Михаил Анатольевич

// АВГ 2000

ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ИГР В ЗАДАЧЕ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРА ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВЕЛИКИЙ НОВГОРОД 2000

Работа выполнена в Петербургском государственном университете путей сообщения на кафедре высшей математики.

кандидат физико-математических наук, доцент МАЛОШЕВСКИИ С. Г.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

ГАРНАЕВ А. Ю.; кандидат физико-математических наук, доцент ТОКМАЧЕВ М. С.

Ведущая организация — Санкт-Петербургский государственный морской технический университет.

Защита диссертации состоится . 2000 г.

в . . . часов на заседании диссертационного совета Д 064.32.05 Новгородского государственного университета имени Ярослава Мудрого по адресу: 173003, Великий Новгород, ул. Большая Санкт-Петербургская, 41.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новгородского государственного университета имени Ярослава Мудрого.

Научный руководитель —

доктор физико-математических наук, профессор ЛУЦЕНКО М. М.

Научный консультант —

Автореферат разослан

¡/¿АЛ. . 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета канд. физ.-мат. наук, доцент

К. Н. БЕЛЯЕВ

г. з.

Актуальность темы исследования. Уже П. Лаплас и К. Гаусс ясно пони-ли возможность игрового истолкования статистических задач. В середине i века идея применения теоретико-игрового подхода к решению статистиче-IX задач была развита в работах А.Вальда, Д. Блекуэлла и М. Гиршика, Э. мана и других статистиков-теоретиков. Однако до настоящего времени эти ей не получили широкого практического применения в силу ряда объектив-IX взаимосвязанных причин, из которых можно выделить следующие три: Построение теоретико-игровых моделей для конкретных статистических связанное с конструированием пространства решений и выбором функ-и потерь, оказалось весьма не простым делом.

Неготовность (в частности, психологическая) к использованию рандоми-рованных решающих функций, поскольку таковыми оказываются оптималь-ie решающие функции, если Статистик не ограничивает себя выпуклыми 'нкциями потерь.

Отсутствие быстродействующих компьютерных комплексов, позволяго-ix не только решать статистические задачи и находить рандомизированные шающие функции, но и формировать сами задачи.

Среди многих статистических задач наиболее исследованы в математиче-ой статистике задачи точечного и интервального оценивания napaMeipa се-:йства распределений. При этом среди дискретных распределений первое ме-о всегда принадлежало биномиальному распределению. Успехи Ходжеса и гмана (Hodges J.L.and Lehmann E.L, // Biometrica. 1952. V. 38. p. 182-194) во югом предопределили интерес статистиков к теоретико-игровому подходу, ми была сформулирована и решена задача точечного оценивания параметра [я квадратичной функции потерь. В дальнейшем статистики неоднократно общались к полученному решению статистической игры, которое постоянно ¡авнивалось с классической точечной оценкой. Ходжесом и Неманом были )лучены минимаксные точечные оценки для гипергеометрического распределил, которые также сравнивались с классическими точечными оценками.

Что касается интервального оценивания, то наиболее известными явл; ются оценивающие биномиальную вероятность доверительные интервалы I Клоппера и Е. Пирсона (Clopper C.J. and Pearson E.S. // Biometrika. 1934. V. Ъ p. 404-413), Т. Стерна (Sterne Т.Е. // Biometrika. 1954. V. 41. p. 275-278) и ] Кроу (Crow E.L. // Biometrika. 1956. V.43. p. 423-435). He удивительно поэтом; что первые попытки теоретико-игрового подхода в интервальном оценивани параметров дискретных распределений, идейно подготовленные работами h Дрешера и H.H. Воробьёва, относятся к оцениванию биномиального параме ра. При этом, если в первоначальной для указанного направления работе Ю Никитиной (в сб.: Теоретико-игровые вопросы принятия решений. - М., 197! с. 140-170.) речь шла лишь о построении доверительного интервала по однок наблюдению, то методика, предложенная М.М. Луценко (Теория вероятносте и ее применения, 1990. т.35. вып.З. с. 471-482), позволяет строить доверител: ные интервалы для биномиального параметра при любом объёме выборки М' тодами динамического программирования.

В 1989 году Л.Б. Меркулович и В.Г. Суздаль (в сб.: Теоретико-игровь методы в разработке информационно-распознающих систем. ДО АН ССС] Владивосток, 1989, с. 47-56) разработали метод, позволяющий сводить решет матричной статистической игры большой размерности к решению задачи л] нейного программирования с матрицей, размеры которой существенно меньш Дальнейшим развитием этих работ в направлении их практического примен ния явилась созданная на кафедре "Высшая математика" ПГУПСа под руков! дством М.М. Луценко компьютерная система минимаксного оценивания и пр< верки гипотез. Поэтому разработка общей методики построения точечных интервальных оценок параметра гипергеометрического распределения на осш ве компьютерной системы минимаксного оценивания является важной задаче не только для практической статистики, но и для общей теории моделирована задач компьютерными комплексами.

Цель работы. Целью работы является построение новых оценок пар; метра гипергеометрического распределения, их сравнение с оценками, по

енными классическими методами, а также обоснование применения предло-сенных оценок в некоторых важных практических задачах.

Научная новизна.

) Сформулированы и реализованы в рамках компьютерной системы минимаксного оценивания статистические игры точечного и интервального оценивания параметра гипергеометрического распределения. ) Разработаны и включены в компьютерную систему минимаксного оценивания процедуры построения доверительных интервалов Стерна-Кроу и Клоп-пера-Пирсона для параметра гипергеометрического распределения. ) Решена задача интервального оценивания интервалами фиксированной ширины параметра гипергеометрического распределения. Проведены сравнения с другими интервальными оценками и с оценками параметра биномиального распределения. ) Исследована нелинейная точечная оценка параметров биномиального и гипергеометрического распределений и проведено сравнение этой оценки с соответствующими классическими оценками и оценками Ходжеса-Лемана.

Практическая ценность. Полученные в работе результаты могут быть спользованы как в курсах математической статистики и теории игр, так и в за-ачах выборочного контроля качества продукции. В частности, апробирован-ый в работе метод позволяет снижать объём выборки на 15-30% при фикси-ованной точности и надежности оценки, полностью учитывая дискретный ха-актер распределения.

Общая методика. Для преобразования статистических задач в статиста- . еские игры используется теория статистических решений, основы которой бы-и разработаны А. Вальдом и его последователями. Решение статистических гр оценивания параметра сводится в соответствии с методом Л.Б. Меркулови-а и В.Г. Суздаля к решению задачи линейного программирования с матрицей еньшей размерностью, для решения которой применяются численные методы инейного программирования.

Публикации. По теме диссертации опубликованы или приняты к публик ции работы [1] - [7].

4пробаиия работы. Результаты работы докладывались на конференци " Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценке к чества продукции " (Москва, август 1997 года), " Математика в ВУЗе " (Пскс июнь 1997 года, Санкт-Петербург, июнь 1998 года, сентябрь 1999 года), кон4 ренциях "Неделя науки", проводимых в ПГУПСе, различных семинарах Саш Петербурга.

Объем и структура работы. Работа состоит из введения, четырех гл; трех приложений и заключения, занимающих 132 стр. м/т. Библиография с держит 54 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.

Содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается I торический обзор и показывается современное состояние проблемы теоретш игрового истолкования задачи статистического оценивания, формулирует цель работы, ее практическая ценность и общая методика исследований.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИКО-ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ ЗАДАЧ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОЦЕНИВАНИЯ

Настоящая глава носит вводный характер и посвящена обзору некотор положений теории статистического оценивания и теории игр. В ней даются < новные определения и теоремы, используемые в работе, описываются пос новки задачи статистического оценивания и методы точечного и интервальн< оценивания параметра гипергеометрического и биномиального распределена

§ 1. Антагонистические игры и их решение

В этом параграфе даются основные определения теории антагониста ских и матричных игр и формулируются наиболее важные теоремы, использ мые в работе.

§ 2. Классические постановки задач точечного и интервального оценивания

Сформулированы задачи точечного и интервального оценивания в том ще как они используются в работе. Элементами этих задач являются: семей-•во вероятностных распределений Р=<Х,Ръ,0>, где 0 - параметрическое мно-ество; X - множество наблюдений (т.е. множество возможных значений слу-шных величин Х0 с распределением Ро для всех 0е0); множество решений гатистика 0={с1} и его функция потерь Описывается вид множества О

функции и> для задач точечного и интервального оценивания. В рассматри-1емой постановке Статистик по одному наблюдению х должен принять решете с1 из множества решений £>. В диссертации строятся и сравниваются между >бой различные оценки параметра 0, т.е. решающие функции (1: Х—>0. При >авнении различных оценок используется функция риска

(9,(1)= |и'(6,с1(х))^Р0(х), а множеством всех оценок параметра 9 является х

яожество

§ 3. Биномиальное и гипергеометрическое распределения и их связь с задачами оценки качества продукции

В параграфе сформулирована задача статистического (выборочного) кон->оля качества продукции, и описывается ее связь с задачей оценивания пара-етра доли для биномиального и гипергеометрического распределений. Заме-ш, что повышение точности и надежности оценки приводит к снижению объ-ла выборки, т.е. продолжительности испытаний.

§ 4. Теоретико-игровая постановка задачи оценивания

Сформулируем определение статистической игры. Пусть нам даны: се-ейство вероятностных распределений (случайных величин Хв) Р=<Х,Рв,&>, ;е 0 - параметрическое множество; Р0 - вероятностное распределение на ножестве Х\ и стратегическая игра Г=<0,О,и>>, где В — множество решений

Статистика; - его функция потерь. Статистической игрой называете

упорядоченная тройка Гр =<©, где

Г? -{(!} - множество решающих функций Статистика, т.е. (1: Х-ьБ. Я - функция потерь Статистика, определяемая на прямом произведенш 0х Пх множества состояний Природы и множества решающих функций фор мулой

д(М)= /м<е,</(*))йрв(х)

Смешанным расширением игры Гр будет игра Гр =<&,В,Я>, в кото

рой 0 - множество априорных распределений Природы и £> - множестве рандомизированных решающих функций Статистика являются множествам! вероятностных мер на множествах 0 и

соответственно, а потери Статистик:

Я составляют

да.^смежа).

© йх

Известно, что для построения оптимальной стратегии Статистика ц* достаточно ограничиться вероятностными распределениями, представимыми в виде прямого произведения мер, т.е. ц*=(ц*(х))> где ц*(х) - вероятностное распределение на множестве решений В.

В работе рассматриваются только конечные статистические игры (т.е. множества X, © и В конечны). Если через п, Ы, р обозначить мощности множеств А', © и О соответственно, то функция потерь в статистической игре Гр будет матрицей размера Шр". Конечные статистические игры, как и любые матричные игры, имеют решение в смешанных стратегиях. При этом размерность вектора V (оптимальной смешанной стратегии Природы) будет равна М, а размерность вектора ц (рандомизированного решающего правила) равна пр+И. В силу большой размерности матрицы потерь для решения игры требуется применение численных методов.

К частному случаю статистической игры приводит задача проверки простой гипотезы. Пусть множества 0 и Б состоят из двух элементов, т.е. 0={01,02}, £>={с?1,^2}- В этом случае получается задача проверки простой гипотезы 6=9] против альтернативы 0=02- Функция потерь в этом случае может быть представлена матрицей порядка 2x2, элементы которой определяют-

ся равенствами

Г1 п ри / Ф у,

wij=in . . гДе »'.7 = 1.2.

1 [0 при/= 7,

В диссертации рассматриваются статистические игры точечного оценивания с функцией потерь Статистика, имеющей вид w(0,c/)=(p(0) | Q-d \а , где а>1, cp(0)>0, a DœQ. Так как функция потерь w(Q,d) выпукла по переменной d, то любая рандомизированная оценка будет доминироваться соответствующей нерандомизированной оценкой d(x). Более подробно исследовались взвешенные квадратичные функции потерь (а-2).

Для дальнейшего сравнения в диссертации приведены некоторые примеры статистических игр точечного оценивания параметров биномиального и гипергеометрического распределений. При квадратичной функции потерь (ф(0)=1) оптимальной решающей функцией Статистика оказывается точечная оценка Ходжеса-Лемана

dXJ1=dXJI(x)= ou: + (3,

коэффициенты а и р в которой вычислены Дж. Ходжесом и Э. Леманом как для биномиального, так и для гипергеометрического распределения. При весовой

функции ф(8)~ оптимальной решающей функцией Статистика будет

0(1-0)

классическая точечная оценка

акл=с1кл(х)=х

В работе указаны значения статистических игр и наихудшие априорные распределения Природы во всех четырех случаях.

Для задачи интервального оценивания вводится новое определение с тистической игры. А именно, статистической игрой называется упорядочен]

тройка Гр =<0,0,Н>, где Б= ^Х-С^ - множество решающих функций Ста

хеХ

стика, йх - множества допустимых для Статистика решений, если он наблюд хвХ, , а функция выигрыша #(с!,8) определяется на декартовом произведи Бх0 равенством

Я(с1,9)= ргДадДОРеОс). х

Если множества £>, состоят из интервалов ¿х (т.е. <^с©), а функция вы рыша Их является пороговой функцией вида

[О при 9 Ых,

то получается статистическая игра интервального оценивания, где функция игрышаЯ(с!,0)=Р[0е(1(Хе)] равна вероятности, с которой доверительный инт вал семейства с1 накроет неизвестное значение параметра 0.

§ 5. Классические интервальные оценки для параметра гипергеометрического распределения

В этом параграфе описывается процедура построения с помощью юж ютерной системы минимаксного оценивания наиболее известных нерандом! рованных интервальных оценок. Эти методы были разработаны для оценива параметра биномиального распределения, но могут быть легко перенесены I случай гипергеометрического распределения.

Построение доверительных интервалов для параметра дискретного ] пределения эквивалентно проверке семейства простых гипотез 0=0О по кажд 9о: для каждой гипотезы 0=0О имеется допустимый интервал ^„(ба)^^^ Доверительная область, полученная из этих допустимых интервалов дол удовлетворять следующим свойствам: 1. Интервальная значимость.

2. Однозначность.

3. Монотонностьпо п.

4. Монотонность по х.

[ервая таблица доверительных интервалов для параметра биномиального рас-ределения в графической форме была дана Клоппером и Пирсоном и эта таб-ица наиболее часто используется. Хальд дал эти интервалы в числовом виде, раницы Л„(60) и В„ф0) допустимых интервалов Клоппера-Пирсона определяйся условиями

Р{Х<А„(в0)}<а/2 и Р{Х>Вп{Э0)}<а/2,0=9О.

Проблема построения интервалов Клоппера-Пирсона состоит в том, что о многих случаях истинный доверительный коэффициент у является строго ольшим, чем заявленный доверительный уровень 1-а. Поэтому доверительные нтервалы Клоппера-Пирсона слишком широки для заявленного доверительно-э уровня и оставляют возможности для усовершенствования.

Стерн предложил получать допустимый интервал для 8=90 включением гачала наиболее вероятного значения, затем следующего наиболее вероятного т.д. до тех пор, пока их общая вероятность не станет больше или равной 1-а. роу указал, что хотя допустимые области по Стерну всегда являются интерва-ши, они не всегда дают интервально значимую доверительную область. Что->1 добиться этого Кроу модифицировал метод Стерна, дополнив условие ин-¡рвальной значимости требованием о не уменьшении граничных точек допус-шого интервала по 90. Каждый из допустимых интервалов Стерна, конечно, шболее короткий из всех возможных для данного 60, но не исключается суще-вование еще одного или двух интервалов той же длины.

Сравнение доверительных интервалов, построенных по методам Клоппе-1-Пирсона и Стерна-Кроу показывает, что интервалы Стерна-Кроу всегда не шннее интервалов Клоппера-Пирсона, а в большинстве случаев на 10-15% >роче их.

Основным методом построения интервальных оценок в гипергеометрич« ском случае является метод Клоппера-Пирсона (см. Болыпев Л.Н., Смирне Н.В. Таблицы математической статистики. - М.: Наука, 1983). Оценок же, п< строенных по методу, аналогичному методу Стерна-Кроу, для параметра гипе] геометрического распределения не опубликовано. В диссертации подобнь оценки строятся в рамках компьютерной системы.

Теорема. Сумма длин доверительных интервалов для параметра вгипе1 геометрического распределения Нур(п,Ы,в), построенных по методу, аналоги ному методу Стерна-Кроу, является наименьшей среди всех нерандомизир ванных доверительных интервалов.

Эта теорема указывает на экстремальные свойства построенных довер тельных интервалов и аналогична теореме Кроу для биномиального распред ления.

ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ В ФОРМЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ИГРЫ (НА ПРИМЕРЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ)

Настоящая глава посвящена решению задачи интервального оцениван параметра гипергеометрического распределения путем построения статиста* ской игры интервального оценивания, и её последующего решения. Построе статистическая игра интервального оценивания Г=<В,0,Я>, описана её стрз тура и принцип решения. Решается конкретная статистическая игра с исполь: ванием минимаксных доверительных интервалов постоянной ширины, а так: рассмотрены различные примеры решения таких статистических игр и ост ные результаты, полученные при их применении.

§ 1. Задача интервального оценивания в форме задачи принятия решена

В этом параграфе даны основные понятия и определения, связанные с 1 строением интервальной оценки параметра гипергеометрического распреде.

ния, и описывается задача, решаемая в данной главе. Даётся определение семейства доверительных интервалов 11 и доверительной вероятности уд-.

Уа=тГ{Р(0бс1(Хо)):9е0}. Обосновываются причины поиска метода построения интервальной эценки, отличного от существующих методов.

Основным содержанием этого параграфа является построение статистической игры интервального оценивания параметра гипергеометрического распределения. Определяется множество допустимых доверительных интервалов Эх в зависимости от наблюдаемого значения хеХ:

-де Тх- некоторое параметрическое множество, позволяющее однозначно по

шачениям параметра теТх определять интервалы в и наоборот.

Множеством стратегий Статистика в данной игре будет множество

Э = П-Од., а множеством стратегий Природы - множество параметров ©. Так-хеХ

ке определена функция среднего выигрыша Статистика:

Я((1,0)=ЕЛ(е)/г,(с1(х),О)=Р(9б11(Хо)),

Де - пороговая функция условного выигрыша Статистика. Таким обра-

ом, средний выигрыш Статистика равен вероятности, с которой доверитель-

ый интервал из семейства (1 накроет неизвестное значение параметра 9. Этими

цементами определена статистическая игра Г=ф,0,Я). Решение этой игры за-

лючается в нахождении решающей функции ё'еБ, для которой доверительная

ероятность достигает максимума:

у* = тахгшп#(с1,0), (1 9

* .1*

е. нижнего значения игры у и оптимальной стратегии а .

В отличие от традиционных подходов к задаче интервального оценива-ия, основанных на детерминированных функциях решения, множества Ох до-/стимых действий Статистика содержат не по одному доверительному интер-шу (в зависимости от результата наблюдения х), а несколько интервалов

dx=dx(т), xeTx (параметр т определяет соответствующий элемент множества Dx) Концы 6(х,т) и 0(х,т) каждого из интервалов dx{x) определяют как сам интер вал, так и функцию выигрыша Статистика:

fl приее[0(х,х),§(*,т)] * " * [о при 6g [0(л:,т),9(д:,т)]

§ 2. Решение статистических игр

В этом параграфе описывается процедура решения статистической игр! интервального оценивания. Даётся определение седловой точки функции Н условие её существования, выраженное равенством

У= V,

где v = шах min Н(d, Э) и v = min max H(d, 0) - соответственно нижняя и верх-d е е d

няя цены игры Г.

При использовании классических методов интервального оценивани

множество D состоит из одного элемента, и при этом верхняя v и нижняя

цены игры совпадают. В нашем случае у можно интерпретировать, как довер!

тельную вероятность, которую может обеспечить себе Статистик независимо с

действий Природы, а v представляет собой наибольшую вероятность, с кот<

рой Статистик может накрыть неизвестное ему значение параметра б с пом<

щью одной из своих решающих функций deD, и равна 1.

Процедура решения игры Г подразумевает переход к её смешанно?.

расширению Г = (D,Q,H), где D = {ц} и 0 = {v} - пространства вероятностнь:

мер на соответствующих множествах D и 0 чистых стратегий. Функция выи

рыша Н определяется формулой:

Я(ц,у)= I jA(d,0)dn(d)dv(0). D0

Справедливы выражения:

у( Г )= шах min #(ц, v) = шах min Я(u,G), v(r)= minmax Я(ц, v) = minmaxtf(d,v

(XV Ц0 vn vd

Значение Н(д,у) можно интерпретировать как вероятность, с которой эдин из доверительных интервалов семейства (1 накроет неизвестное значение случайной величины 0, подчиняющейся данному произвольному априорному распределению V.

В параграфе описывается процедура решения статистической игры интервального оценивания методами линейного программирования с помощью упомянутой выше методики Меркуловича и Суздаля. Игра Г=<В,@,Н> является матричной и поэтому всегда имеет решение в смешанных стратегиях. Строится задача линейного программирования, решив которую можно найти оптимальные смешанные стратегии Статистика, а из решения двойственной к ней задачи - оптимальные смешанные стратегии Природы.

В случае построения конкретной статистической игры интервального оценивания с использованием доверительных интервалов постоянной ширины все условно допустимые множества интервальных оценок Бх, х&Х представляет собой множество £>={[0-Д/2, 0+Д/2]: 0=Ш+Д/2, 0е[А/2, 1-Д/2]} доверительных интервалов постоянной ширины А. Тогда середины этих интервалов 0 будут точечными оценками параметра 0 фиксированной точности. Таким образом, если число у будет значением статистической игры Г=(О,0,Я), то для всех 0 будет выполняться

Р(| 0 - 0(х) |<Д/2) > у. При этом дискретная случайная величина 0(х) распределена на некотором подмножестве множества 0 ={§к=к/М+м12, £=0,N(1 -А)} (если Ы(1-А) не целое, то берётся его целая часть), а значение 0£ она принимает с вероятностью

§ 3. Полученные результаты

В этом параграфе приведены примеры решения статистических игр интервального оценивания параметра гипергеометрического распределения и

проведено их сравнение с соответствующими процедурами оценивания параметра биномиального распределения. Все результаты получены с помощью компьютерной системы минимаксного оценивания. В табличной форме даны решения статистических игр интервального оценивания параметра гипергеометрического распределения с применением доверительных интервалов фиксированной ширины. Приведены диаграммы длин доверительных интервалов постоянной ширины и интервалов, полученных по методам Клоппера-Пирссона и Стерна-Кроу при различных значениях объема генеральной совокупности N. числа наблюдений п и доверительной вероятности у.

Наиболее заметная выгода от применения доверительных интервалов постоянной ширины проявляется при решении задачи нахождения минимального числа наблюдений, необходимых для достижения заданных точности и надежности оценки. В работе приводится таблица минимального числа необходимых наблюдений для достижения надежности у и точности А/2 при различных значениях параметров у и А, а также различных объемах выборки (и) и общем количестве элементов (//). Даются пояснения и комментарии к этой таблице.

Таблица.

Минимальное число наблюдений, обеспечивающее доверительную вероятность у=0.95 и точность А/2 для интервалов Клоппера-Пирссона (кр,). Стерна-Кроу

(¡5с,) и фиксированной ширины

А = 0.25 А = 0.30 А = 0.35 А = 0.40 А = 0.45 А = 0.50

N кр ее Г\у кр ее кр ее Г>у кр ее Тху кр 8с Г>у кр БС г™

Гипергеометрнческое распределение Н\р{п

50 29 28 24 24 22 18 21 19 15 17 15 12 14 13 10 12 10 8

100 40 39 31 32 29 23 25 24 17 20 19 14 17 15 11 14 12 9

200 49 48 38 38 35 27 29 27 20 23 22 15 19 16 12 15 13 10

Биномиальное распределение Вт(п^У,0 I,

50 61 55 44 41 37 27 31 30 21 22 21 15 19 17 12 15 12 9

100 61 59 44 43 41 30 31 30 21 25 22 16 20 17 12 16 13 10

200 64 60 46 45 41 30 33 30 21 26 23 16 20 18 12 16 15 10

Теорема. Количество необходимых наблюдений п при оценке параметра в гипергеометрического распределения Нур(п,Ы, в), построенной на основе интервалов фиксированной ширины, не более количества необходимых наблюдений при оценке, построенной на основе доверительных интервалов Стерна-Кроу или Клоппера-Пирсона, для тех же значений точности и надёжности.

ГЛАВА 3. СРАВНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ БИНОМИАЛЬНОГО И ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

§ 1. Постановка задачи

Этот параграф посвящен описанию задачи точечного оценивания параметра гипергеометрического и биномиального распределений при квадратичной функции потерь. Критерием сравнения различных оценок выбирается функция риска. Среди статистиков-теоретиков сложилось мнение об ограниченных возможностях разумного применения минимаксных оценок, а именно к таким оценкам приводит игровой подход к решению статистических задач. В диссертации проведено сравнение классической и минимаксной оценки и оценки, предложенной М.М. Луценко. Определено минимальное значение объема выборки п (для гипергеометрического распределения оно зависит от значения параметра Ы), при котором риск классической оценки меньше риска минимаксной оценки на большей части интервала [0,1]. В работе также показано, что среди оценок Луценко можно найти оценки с меньшим риском по сравнению с классической оценкой для всех значений 0, для которых классический риск меньше минимаксного риска.

§ 2. Сравнение оценок для биномиального параметра

В этом параграфе проводится сравнение оценок в случае биномиального распределения. Классическая оценка имеет вид

«^М-х, а ее функции риска определяется формулой

КЛ/А\ 6(1-0)

п

Минимаксная оценка Ходжеса-Лемана

.ХЛ/ ч 4п : \

<]„ (х) = л' —т=-+ —т=-

" [4п+1) 2{4п +1)

имеет постоянную при всех 0 функцию риска

дХЛ 1

4(1 + 47г)2'

Оценка Луценко определяется формулой

(1^и(х)=1-а+ах, х>У2, где0<а<1.

Известна формула для функции риска этой оценки, полученная С. Г. Ма лошевским:

лл (0) = а26(1-6) + (1 - а)2 02 + С2тт * 2а(1 - а)[0(1 - 0)]т+1 + и

+[(1 - а)2 (1 - 26)]/е (т +1, т +1) где /е(а,6) - отношение неполной бета функции (представляющее собой функцию распределения соответствующей случайной величины), определяемое формулой:

* В{а,Ь)

Если говорить о сравнении классической и минимаксной оценок, тс оценка Ходжеса-Лемана более предпочтительна вблизи точки а классическая оценка вблизи 0 и 1. При этом минимальное значение объема выборки п, прг котором риск классической оценки меньше риска минимаксной оценки ш большей части интервала [0,1], равно 42, а наибольшее значение отношенш рисков составляет

Я™(0 5) 1 + 2л/7 ^ -1 + ^

Определены концы интервала [61,82], внутри которого справедливо неравенство Я™(в) Ж™:

012 =0.5[1±л/1 + 27Й/(1 + 7П)]. Доказана теорема: Значения функции риска для точечной оценки <1%а(х) параметра 0 биномиального распределения В(п,%) меньше значений функции риска классической оценки на всём отрезке ©=[0,1] за исключением не-

которой окрестности [б}1,02] точки 'А

Для доказательства теоремы следует показать выполнимость следующих условий, накладываемых на функцию риска Я? (в) оценки (х):

1) К?СА)>Я™('Л).

2) Я* (9) Т при 0С/2, Я* (0) 4- при 0>'/2.

3) Я„ (в) и Я™(0) пересекаются только 1 раз (в точке 0 = 0^) при 0<в<'А.

Доказательству этой теоремы и посвящена большая часть данного параграфа. Приведена таблица, показывающая при каких значениях параметра а (в зависимости от объема выборки л) ©С >01.

§ 3. Сравнение оценок для гипергеометрического параметра

Для гипергеометрического распределения вид классической оценки и оценки Луценко аналогичен биномиальному, а оценка Ходжеса-Лемана выражается формулой (х) = (к + X, где

1 х =

К//-1)

Функции рисков классической оценки и оценки Ходжеса-Лемана имеют

вид

Л$(9) = " = (1~4Р)2 соответственно.

Как и для биномиального распределения, получены выражения для опр> деления концов интервала [в 1,92] и минимального объема выборки и*, которь зависят также от значения параметра N. При N—>co значения п* и [61,62] совп; дают с аналогичными значениями для биномиального распределения.

Хотя построить аналитический вид функции риска оценки йЦма(х) I удалось, была доказана теорема: Значения функции риска для точечной оцет параметра 6 гипергеометрического распределения Нур(п,$) менъи

значений функции риска классической оценки с!^, (х) на всём отрезке ©=[0, за исключением некоторой окрестности [0f ,62 ] точки Я

Приведена таблица, показывающая при каких значениях параметра а ( зависимости от значений п и Л') б}1 >01-

Для биномиального и гипергеометрического распределений приведен конкретные примеры диаграмм функций риска рассматриваемых оценок и даг их описание.

ГЛАВА 4. КОМПЬЮТЕРНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ТЕОРЕТИКО-ИГРОВОЙ ПОСТАНОВКИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ. КОМПЬЮТЕРНАЯ СИСТЕМА МИНИМАКСНОГО ОЦЕНИВАНИЯ

§ 1. Основные направления исследований, проводимых при создании компьютерной системы

Можно выделить четыре основных направления исследований, провод] мых при создании компьютерной системы минимаксного оценивания: -разработка языка перевода статистических задач в задачи теории матричнь: игр,

- создание каталога задач, решение которых может быть получено с помощь

компьютерной системы минимаксного оценивания, -модификация известных и создание новых алгоритмов решения матричнь игр специального вида,

создание разветвленных процедур контроля качества получаемых результатов.

§ 2. Назначение компьютерной системы

Данный параграф посвящен описанию назначения и возможностей компь->терной системы. Компьютерная система предназначена для решения стати-гических задач. Она позволяет решать задачи точечного и интервального оце-ивания параметров распределения и проверки статистических гипотез. Принял решения этих задач основан на теоретико-игровом подходе к задачам ста-1стики и заключается в построении статистической игры и её последующем млении методами линейного программирования, в частности, симплекс-гтодом, дополненным (с учетом вырожденности матрицы) некоторыми прие-1ми регуляризации задачи. При этом на параметры, определяющие размерить матрицы задачи, накладываются ограничения, связанные с возможностя-л компьютера.

Все вышеперечисленные статистические задачи с точки зрения теоретико-рового подхода различаются лишь видом функции потерь и пространства шающих функций. Именно этот факт и позволил создать единую программу я их решения. Программа позволяет решать следующие виды задач:

1) точечная оценка параметра со степенной функцией потерь,

2) интервальная оценка параметра методами Клоппера-Пирссона, Стерна-Кроу и некоторыми другими,

3) проверка гипотез трёх видов.

Программа была первоначально создана для решения задач, связанных с номиальным распределением, но её структура позволяет вносить различные ленения, в частности, добавлять новые виды исследуемых распределений.

§ 3. Структура компьютерной системы

Компьютерная система представляет собой программу, написанную на же Фортран, и имеет модульный принцип построения. Такая структура наи-[шим образом соответствует основной задаче, решаемой разработчиками ;темы, - универсальности. Она позволяет легко модернизировать систему,

изменяя отдельные её части, не затрагивая остальных. Программа представляет собой набор функций и процедур, каждая из которых выполняет определенные функции. Все выполняемые ими функции можно разделить на четыре группы:

1) осуществление ввода и вывода информации,

2) построение векторов и матриц, необходимых для создания статистической игры и её решения,

3) решение полученной задачи линейного программирования,

4) выполнение вспомогательных операций.

Описание основных процедур и функций дано в диссертации. Среди основных достоинств компьютерной системы можно выделить универсальный и достаточно простой интерфейс, имеющий одинаковый вид вне зависимости от вида решаемой задачи. В параграфе приведен алгоритм модифицированного симплекс-метода.

§ 4. Направления совершенствования системы

Модульный принцип построения позволяет легко совершенствовать компьютерную систему. Дальнейшее совершенствование предполагается проводить в следующих направлениях:

1) Интерфейс программы.

2) Исследуемые параметры.

3) Методы оценивания параметров.

4) Методы решения.

В параграфе приведен пример входного файла, задаваемого для решеню задачи оценивания параметра.

В приложении 1 описывается структура входного файла, т.е. какие пара метры указываются в каждой из строк входного файла и что представляют эт! параметры.

В приложении 2 приведен пример выходного файла, получающегося по еле решения задачи, соответствующий описанному ранее примеру входной файла.

В приложении 3 приведен полный текст компьютерной программы на

языке программирования Фортран.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Работы автора по теме диссертации.

1. Иванов М.А., Луценко М.М. Минимаксные оценки параметра гипергеометрического распределения. Тезисы докладов VI научной конференции стран СНГ "Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценке качества продукции". Москва, август 1997 г., с. 39-40.

2. Иванов М.А., Луценко М.М., Малошевский С.Г. Минимаксные оценки в курсе математической статистики. Труды международной научно-методической конференции " Математика в ВУЗе ". Псков, июнь 1997 г., с. 58-59.

3. Иванов М.А. Оценивание параметров дискретных распределений вероятностей. Тезисы докладов международной научно-методической конференции "Математика в ВУЗе ", СПб, июнь 1998 г., с. 215-216.

4. Иванов М.А. Опыт практического применения компьютерной системы минимаксного оценивания. Тезисы докладов международной научно-методической конференции "Математика в ВУЗе", СПб, сентябрь 1999 г., с. 148-149.

5. Иванов М.А. Новые методы оценки параметров дискретных распределений. Тезисы докладов конференции " Неделя науки ", СПб, ПГУПС, апрель 1999г., с. 24-25.

6. Луценко М.М., Иванов М.А. Минимаксные доверительные интервалы для параметра гипергеометрического распределения. Статья принята к публикации в журнале " Автоматика и телемеханика " 2 ноября 1999 года. Объем статьи - 0.5 п. л.

7. Иванов М.А. Сравнение различных точечных оценок параметров биномиального и гипергеометрического распределений с применением компьютерной системы минимаксного оценивания. Объем статьи - 1 п. л. (статья депонирована в ВИНИТИ 19.04.2000 г., № Ю63-В00).

Введение.

Глава 1. Теоретико-игровые модели задач статистического оценивания.

§ 1. Антагонистические игры и их решение.

§ 2. Классические постановки задач точечного и интервального оценивания.

§ 3. Биномиальное и гипергеометрическое распределения и их связь с задачами оценки качества продукции.

§ 4. Теоретико-игровая постановкавадачш оценивания.

§ 5. Классические интервальные оценки для параметра гипергеометрического распределения.

Глава 2. Моделирование задачи принятия решения в форме статистической игры (на примере гипергеометрического распределения).

§ 1. Задача интервального оценивания в форме задачи принятия решения.

§ 2. Решение статистических игр

§ 3. Полученные результаты

Глава 3. Сравнение различных точечных оценок параметров биномиального и гипергеометрического распределений.

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Сравнение оценок для биномиального параметра.

§ 3. Сравнение оценок для гипергеометрического параметра.

Глава 4. Компьютерная реализация теоретико-игровой постановки статистической задачи. Компьютерная система минимаксного оценивания.

§ 1. Основные направления исследований, проводимых при создании компьютерной системы.

§ 2. Назначение компьютерной системы.

§ 3. Структура компьютерной системы.

§ 4. Направления совершенствования системы.

В диссертации рассматривается теоретико-игровая модель задачи статистического оценивания параметра дискретного распределения вероятностей на примере гипергеометрического распределения, В рамках этого подхода статистические задачи точечного и интервального оценивания сводятся к статистическим играм, которые и решаются с помощью компьютерной системы минимаксного оценивания.

Уже П. Лаплас [50] и К. Гаусс [47] ясно понимали возможность игрового истолкования статистических задач. В дальнейшем идея применения теоретико-игрового подхода к решению статистических задач была развита в многообещающих работах А.Вальда [5], Д. Блекуэлла и М. Гиршика [1], Э. Лемана [21] и других статистиков-теоретиков. Однако широкого практического применения эти идеи до настоящего времени не получили и, по-видимому, не могли получить в силу ряда объективных взаимосвязанных причин, из которых можно выделить следующие три:

1) Построение теоретико-игровых моделей для конкретных статистических задач, связанное с конструированием пространства решений и выбором функции потерь, оказалось весьма не простым делом.

2) Неготовность (в частности, психологическая) к использованию рандомизированных решающих функций, поскольку таковыми оказываются оптимальные решающие функции, если Статистик не ограничивает себя выпуклыми функциями потерь.

3) Отсутствие быстродействующих компьютерных комплексов, позволяющих не только решать статистические задачи и находить рандомизированные решающие функции, но и формировать сами задачи.

После первых успехов в решении статистических игр (см. [1]) исследователи столкнулись с серьёзными трудностями, пути преодоления которых основывались как на развитии общей теории антагонистических, в частности матричных игр [30], так и с развитием линейного программирования, численные методы которого являются основным инструментом для решения матричных игр.

Среди многих статистических задач наиболее исследованы в классической математической статистике задачи точечного и интервального оценивания параметра семейства распределений. При этом среди дискретных распределений первое место всегда принадлежало биномиальному распределению. Успехи Ходжеса и Немана [49] во многом предопределили интерес статистиков к теоретико-игровому подходу. Ими была сформулирована и решена задача точечного оценивания параметра для квадратичной функции потерь. В дальнейшем статистики неоднократно обращались к полученному ими решению статистической игры, которое постоянно сравнивалось с классической точечной оценкой.

В той же работе Ходжеса и Лемана [49] были получены минимаксные точечные оценки для гипергеометрического распределения, которые также сравнивались с классическими точечными оценками. Статистики критиковали оценки Ходжеса-Лемана за то, что они слишком много уделяют внимания оценкам параметра в окрестности точки Уг. Автор показывает, что классические точечные оценки выделяются среди всех других точечных оценок только своей простотой. Для подтверждения этого тезиса рассматривается нелинейная оценка Луценко, эффективность которой сравнивается с классическими и минимаксными оценками.

Что касается интервального оценивания, то наиболее известными являются оценивающие биномиальную вероятность доверительные интервалы К. Клоппера и Е. Пирсона [42], Т. Стерна [52] и Е. Кроу [44]. Не удивительно поэтому, что первые попытки теоретико-игрового подхода (идейно подготовленные работами М. Дрешера [10] и H.H. Воробьёва [6]) к решению задач интервального оценивания параметров дискретных распределений, относятся к оцениванию биномиального параметра. При этом, если в первоначальной для указанного направления работе H.A. Никитиной [31] речь шла лишь о построении доверительного интервала по одному наблюдению, то методика, предложенная

М.М. Луценко [22, 23], позволяет строить доверительные интервалы для биномиального параметра при любом объёме выборки методами динамического программирования.

В 1989 году Л.Б. Мерку лов и ч ж В.Г. Суздаль [29] разработали: метод, позволяющий сводить решение матричной статистической игры большой размерности к решению задачи линейного программирования с матрицей, размеры которой существенно меньше. Развитием этих работ в направлении их практического применения явилась созданная на кафедре "Высшая математика" 1ТГУМС под руководством М.М. Луценко компьютерная система минимаксного оценивания и проверки гипотез [24,27,28].

Первоначально эта система решала лишь некоторые задачи точечного и интервального оценивания биномиального параметра малой размерности. При развитии этой системы стало возможно формировать и решать задачи оценивания параметра гипергеометрического распределения [12]. Автором были добавлены подсистемы, позволяющие для гипергеометричесшш распределения строить:

1) Любые точечные оценки параметра и, в частности, классическую, Ходжеса-Лемана, нелинейную оценку Луценко;

2) Классические интервальные оценки (аналоги оценок Клоппера-Пирсона и Стерна-Кроу);

3) Минимаксные интервальные оценки для широкого круга доверительных областей.

В частности, автор и его научный руководитель построили доверительные интервалы фиксированной ширины для параметра гипергеометрического распределения [18], аналогичные соответствующим интервалам для биномиального параметра, построенным ранее в работе М.М. Луценко и С.Г. Мало-шевсшго [25]. Было показано, что минимаксные доверительные интервалы при заданных точности и надежности оценки требуют значительно меньшего числа наблюдений по сравнению с их классическими аналогами (подробнее результаты сравнения излагаются в главе 2 диссертации).

При сравнении классических точечных оценок и оценок, полученных на основе теоретико-игрового подхода (минимаксные оценки), появилось устойчивое мнение, что минимаксные оценки " выглядят не всегда разумными" [4, с, 77-78], поскольку минимаксная точечная оценка параметра биномиального (или гипергеометрического) распределения будет лучше классической тогда, когда объём выборки небольшой, а априорное распределение оцениваемого параметра сосредоточено в узкой окрестности 0 = Vi. Однако вошедший в главу 3 диссертации анализ точечной оценки, предложенной М.М. Луценко, показывает, что последняя оценка лучше классической в том же смысле, в каком классическая лучше оценки Ходжеса-JI емана.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложений и занимает 132 страницы м/т. Библиография содержит 54 наименования работ отечественных и зарубежных авторов,

Результаты работы неоднократно докладывались автором на различных конференциях Москвы, Санкт-Петербурга и Пскова, в частности на международной конференции " Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценке качества продукции ", подготовленной Центральным экономико-математическим институтом РАН, а также на различных научных семинарах в Санкт-Петербурге.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Работа посвящена исследованию теоретико-игровой модели задачи оценивания параметра гипергеометрического распределения.

Классические задачи точечного и интервального оценивания параметра гипергеометрического распределения представлены в форме статистических игр точечного и интервального оценивания Гр, где Р - семейство случайных величин, имеющих ги пер» соме три ческое распределение. Данная постановка задачи позволяет осуществлять единообразный подход к построению как точечных, так и интервальных оценок параметра для любых функций потерь.

Разработана процедура построения доверительных интервалов фиксированной ширины для параметра гипергеометрического распределения. Проведены сравнения доверительных интервалов фиксированной ширины, доверительных интервалов Клопнера-Пирсона и доверительных интервалов Стерна-Кроу, оценивающих параметры гипергеометрического и биномиального распределений. В результате подтвердились выводы о том, что интервалы Стерна-Кроу более точны, чем интервалы Клоппера-Пирсона, а длины всех рассматриваемых доверительных интервалов для параметра гипергеометрического распределения меньше длин соответствующих доверительных интервалов для параметра биномиального распределения. 1 {оказано, что при фиксированной точности и надежности оценки применение доверительных интервалов фиксированной ширины позволяет на 20-30% уменьшить количество необходимых наблюдений в задаче выборочного контроля качества продукции.

Проведен анализ нелинейной точечной оценки, предложенной М.М. Лу-ценко, и ее сравнение с классической и минимаксной точечными оценками параметров биномиального и гипергеометрического распределений, показавшие, что среди оценок Лупенко всегда можно найти такие, которые являются лучше классической оценки везде, где классическая оценка лучше минимаксной.

Модернизирована компьютерная система минимаксного оценивания. В частности, разработаны и включены в систему процедуры построения доверительных интервалов для параметра гипергеометрического распределения по методам Ютоппера-Пирсона и Стерна-Кроу. На основе компьютерной системы реализован единый подход к построению классических и минимаксных оценок параметра гипергеометрического распределения. Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы автором в работах [12-18], среди которых наиболее важными являются:

- "Минимаксные доверительные интервалы для параметра гипергеометрического распределения" в журнале "Автоматика и телемеханика" №7, 2000, 13 с. м/т (принята к публикации);

- " Сравнение различных точечных оценок параметров биномиального и гипергеометрического распределений с применением компьютерной системы минимаксного оценивания ", 25 с. м/т, депонирована в ВИНИТИ 19.04.2000, № Ю63-В00.

1. Блекуэлл Д., Гиршик М. Теория игр и статистических решений, ML: Издательство иностранной литературы, 1958.

2. Большее Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983.

3. Боровков A.A. Математическая статистика: Оценка параметров. Проверка гипотез. М.: Наука, 1984.

4. Боровков A.A. Математическая статистика. Дополнительные главы. — М.: Наука, 1984.

5. Вальд А. Статистические решающие функции // Позиционные игры. М.: Наука, 1967, с. 300-522.

6. Воробьев H.H. Об одном классе игр на единичном квадрате с разрывной функцией выигрыша // Теория игр. Доклады на I Всесоюзной конференции по теории игр. Ереван: Издательство АН Арм. ССР, 1973, с. 95-109.

7. Воробьев H.H. Теория игр. Лекции для экономистов-кибернетиков. Л.: Издательство ЛГУ, 1974.

8. Воробьев H.H. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М,: Наука, 1984.

9. Грень Е. Статисгические игры и их применение. М.: Ст атист ика, 1975.

10. Дрсшер М. Стратегические игры. Теория и приложения. М.: Сов. радио, 1964.

11. Закс Ш. Теория статистических выводов. М.: Мир, 1975.

12. Иванов М.А., Луценко М.М., Малошевский СЛ . Минимаксные оценки в курсе математической статистики // Труды между народной научнометодической конференции "Математика в ВУЗе". Псков, июнь 1997 г., с. 58-59.

13. Иванов М.А. Оценивание параметров дискретных распределений вероятностей И Тезисы докладов международной научно-методической конференции "Математика в ВУЗе". СПб, июнь 1998 г., с. 215-216.

14. Иванов М.А. Опыт практического применения компьютерной системы минимаксного оценивания // Тезисы докладов международной научно-методической конференции "Математика в ВУЗе". СПб, сентябрь 1999 г., с. 148-149.

15. Иванов М.А. Новые методы оценки параметров дискретных распределений // Тезисы докладов конференции "Неделя науки". СПб, ПГУПС, апрель 1999г., с. 24-25.

16. Иванов М.А. Сравнение различных точечных оценок параметров биномиального и гипергеометрического распределения с применением компьютерной системы минимаксного оценивания / ПГУПС. СПб., 2000. - 25 с. -Деп. в ВИНИТИ 19.04.2000 г., № Ю63-В00.

17. Иванов М.А., Луценко М.М. Минимаксные доверительные интервалы для параметра гипергеометрического распределения. Статья принята к публикации в журнале "Автоматика и телемеханика" 02.11.1999 г. Объем статьи -13 страниц м/т.

18. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964.

19. Леман Э. Л. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1979.

20. Леман Э. Л. Теория точечного оценивания. М.: Наука, 1991.

21. Луценко М.М. Теоретико-игровой. метод оценки параметра биномиального закона по результатам одного наблюдения // Теория вероятностей и ее применения, 1989. т.34. вын.З. с. 589-593.

22. Луценко М.М. Теоретико-игровой метод оценки параметра биномиального закона // Теория вероятностей и ее применения, 1990. т.35. вып.З. с. 471-482.

23. Луценко М.М., Малошевский С.Г. Компьютерная система минимаксного оценивания // Тезисы докладов конференции "Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценке качества продукции". — Москва, 1997, с. 132-133.

24. Луценко М.М, Малошевский С.Г. A procédure оГconstruction of minimax con-lidentiai intervais for the binomial distribution // Proceedings of the St.Petersburg Workshop on Simulation. St.Petersburg State University, 1998, p. 266-270.

25. Луценко М.М, Малошевский СТ., Гарбарук В.Б. Теоретико-игровой подход при решении статистических задач // Тезисы докладов международной на-учно-методичсской конференции "Математика в ВУЗе". — Вологда, 1995, с. 55.

26. Луценко М.М, Малошевский С.Г., Гарбарук В.Б. Компьютерная система для минимаксного статистического оценивания // Тезисы докладов конференции "Теория игр и экономика". СПб, 1996, с. 42.

27. Никитина H.A. Статистические игры с пороговыми потерями // Теоретико-игровые вопросы принятия решений. М., 1973, с. 140-170.

28. Никитина Н.А. Теоретико-игровой метод определения неизвестной вероятности по одному наблюдению. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Л.: Издательство ЛГУ, 1979.

29. Судаков P.C. Статистические задачи обработки систем и таблицы для числовых расчётов показателей надежности. М.: Высшая школа, 1975.

30. Хальд А. Математическая статистика с техническими приложениями. М., ИЛ, 1956.

31. Яновская Г.В. Антагонистические игры // Проблемы кибернетики. вып,34. 1978. М., Наука, с. 221-246.

32. Alvarez О., Matuszewski A. and Sotres D. A practical procedure to obtain confidence intervals for the Bernoulli parameter // Computational Statistics & Data Analysis. 1984. №2. p. 191-206.

33. Blyth C. R. On minimax statistical decision procedures and their admissibility // Annals of mathematical statistics. 1951. V.22. № 1. p. 22-42.

34. Blyth C. R. Approximate binomial confidence limits // Journal of the American Statistical Association. 1986. V. 81. p. 843-855.

35. Blvth C. R. and Hutchinson D.W. Tabic of Neyman-shortest unbiased confidence intervals for the binomial parameter // Biometrika. 196Q.V. 47. p. 381-391.

36. Blyth C.R. and Still H.A. Binomials confidence interv als // Journal of the American Statistical Association. 1983. V. 78. p. 108-116.

37. Casella G. Refining binomial confidence intervals // The Canadian Journal of Statistics. 1986. V.14. p.l 13-129.

38. Clopper C.J. and Pearson E.S. The use of confidence or fiducial limits illustrated in the case of the binomial // Biometrika. 1934. V. 26. p. 404-413.

39. Clunies-Ross C.W. interval estimation for the parameter of a binomial distribution 11 Biometrika. 1958. V. 45. p. 275-279.

40. Crow E.L. Confidence intervals for a proportion // Biometrika. 1956. V.43. p. 423-435.

41. Dant/ig G. B. A proof of the equivalence of the programming problem and the game problem /7 Activity analysis of production and allocation // Cowl es Commission Monograph X« 13., 1951, p. 330-335.99

42. Eudev, M.W. On the treatment of discontinuous variables // Techical Report No. 13, University of California, Berkeley, Statistical Laboratory, 1949.

43. Gauss C.F. Theoria combinationis observationum errobus minimis obnoxiae. -Gottinqcn, 1821.

44. Hald À. Statistical tables and formulas. New York: John Wiley, 1952»

45. Hodges J.L. and Lchmann E.L. Some problems in miniirtax point estimation // Biometrica. 1952. ¥. 38. p. 182-194.

46. Laplace P.S, Theoria analytique des probabilités. Paris, 1820.

47. Natrelia M.G. Experimental statistics. Handbook 91. National Bureau of Stan-darts. Washington, 1963.

48. Sterne, T.E. Some remarks of confidence or fiducial limits // Biometrika. 1954. V. 41. p. 275-278.

49. Stewens WX. Fiducial limits of the parameter of a discontinuous distribution // Biometrika. 1950. V. 37. p. 117-129.

50. Stewens W.L. Shorter intervals for the parameter of the binomial and Poisson distributions // Biometrika. 1957. V. 44. P. 436-440.