автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование критических явлений в системе типа "реакция-диффузия"

На правах рукописи

АНДРЕЕВ Илья Александрович

МОДЕЛИРОВАНИЕ КРИТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ В СИСТЕМЕ ТИПА "РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ"

Специальность 05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САРАНСК - 1998

Работа выполнена в Самарском государственном университете.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор В.А. Соболев.

- доктор физико-математических наук, профессор А.Н. Покровский, кандидат физико-математических наук, доцент В.И. Сафонкин.

Ведущая организация - Ярославский государственный университет.

диссертационного совета К-063.72.04 в Мордовском государственном университете по адресу: 430000 г.Саранск, ул. Большевистская 68, конф. зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мордовского университета.

Официальные оппоненты:

Защита состоится ^ 199^ г. в Л.

часов на заседании

Автореферат разослан » -1Л 1 дд7 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К-063.72.04, кандидат физико-математических наук, доцент

С.М. Мурюмин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ. Сингулярно возмущенные системы обыкновенных дифференциальных уравнений используются для моделирования процессов различной природы. Так, в моделях химической кинетики наличие малого параметра связано с тем, что в химической системе одновременно происходят резко отличающиеся по скорости процессы.

Основы теории сингулярных возмущений были заложены в работах А.Н. Тихонова. Наиболее широкое распространение получил метод пограничных функций Васильевой-Тихонова. Дальнейшее развитие теория получила в работах В.Ф. Бутузова, А.Б. Васильевой и их учеников. Исследованию сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений посвящены также работы М.И. Вишика, A.M. Ильина, С.А. Кащенко, H.H. Красовского, А. Кэлли, С.А. Ломова, Л.А. Люстерника, В.П. Маслова, Е.Ф. Мищенко, H.H. Моисеева, А.Х. Найфэ, О'Молли, Н.Х. Розова, К. Чанга, Ф. Хауэса и многих других авторов.

Основное предположение обычно состоит в том, что основной функциональный определитель быстрой подсистемы отличен от нуля. Однако во многих прикладных задачах, в частности в задачах химической кинетики, это условие нарушается, и возникают критические ситуации. Различные критические случаи рассматривались в работах В.Ф. Бутузова, А.Б. Васильевой, В.М. Волосова, С.Г. Крейна, Л.И. Кононенко, H.H. Нефедова, О'Молли, В.А. Соболева, К.И. Чер-нышова, К.Шнайдера.

Нарушение этого условия может привести к возникновению траекторий-уток. Термин "утка" возник в математической литературе в связи с применением нестандартного анализа к исследованию дифференциальных уравнений. Первое упоминание об утках принадлежит, по видимому, Ж.-Л. Калло, М. Дьене, Ф. Дьене (1978). Исследование траекторий-уток для различных классов систем проводилось в работах многих авторов. Следует отметить работы Э. Бенуа, Г.Н. Горелова, Ф. Дьене, М. Дьене, А.К. Звонкина, Ж.-Л. Калло, А.Ю. Колесова, Е.Ф. Мищенко, А.Н. Покровского, С.Н. Самборского, В.А. Соболева, А. Треш, Э. Урлаше, М.А. Шубина, Е.А. Щепакиной. Заметим, что если первоначально термин "утка" употреблялся применительно к предельным циклам уравнений типа уравнения Ван-дер-

Поля (так называемые "циклы-утки"), то позднее речь идет об объектах более общей природы - о траекториях-утках как одномерных устойчиво-неустойчивых медленных интегральных многообразиях.

Одним из основных методов исследования сингулярно возмущенных систем является метод интегральных многообразий Боголюбова-Митропольского. Теория интегральных многообразий применялась для исследования сингулярно возмущенных систем в работах Я.С. Бариса, К.В. Задираки, О.Б. Лыковой, Ю.А. Митропольского, A.M. Самойленко, В.А. Соболева, А. Стокса, В.В. Стрыгина, В.И. Фодчу-ка, Дж. Хейла.

Данная работа посвящена исследованию класса систем обыкновенных нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах и применению полученных результатов для анализа задач теории горения.

Для задач теории горения является характерной высокая скорость тепловыделения при сравнительно низкой скорости расходования горящего вещества. Это различие носит настолько резкий характер для газофазных систем, что явление самовоспламенения приобрело название "теплового взрыва".

Определение критических условий теплового взрыва является одной из главных задач теории горения. Критичность понимается в следующем смысле: критический режим разграничивает область взрывных и невзрывных режимов. При этом реакция горения будет протекать максимально долго, не срываясь в режим взрыва и не переходя к медленному режиму. Исследованиям критических явлений посвящены работы В.И. Бабушка, В.М. Гольдштейна, Г.Н. Горелова, П. Грея, Ф.И. Дубовицкого, Д.Р. Кэссой, А. Линана, А.Г. Мержанова, А.Н. Покровского, Н.И. Семенова, В.А. Соболева, О.М. Тодеса, Д.А. Франк-Каменецкого, А. Зиновьевой, Е.А. Щепакиной.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Изучение вопросов существования одномерных устойчиво-неустойчивых медленных интегральных многообразий (траекторий-уток) у некоторых классов сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, построение асимптотических разложений траекторий-уток с заданными начальными условиями. Применение математических результатов к анализу критических условий теплового взрыва в задачах теории горения. Вычисление критических условий теплового взрыва для плоскопараллельного, цилиндрического и сфе-

рического реакторов.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, идеи теории сингулярных возмущений и интегральных многообразий.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты диссертации являются новыми. Выделены классы сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых получены достаточные условия существования траекторий-уток и построены модели критических режимов. Получены асимптотические формулы для критических условий теплового взрыва в случае автокаталитической реакции горения с учетом диффузии и теплопередачи для плоскопараллельного, цилиндрического и сферического реакционных сосудов.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ.

Полученные в диссертации результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы при качественном исследовании сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Разработанные в диссертации алгоритмы построения асимптотических разложений решений-уток могут быть использованы для моделирования и расчета критических явлений в химической кинетике и теории горения. Найденные в работе критические значения параметра для реакторов различной формы могут быть использованы при моделировании конкретных технологических процессов.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации докладывались на Воронежской зимней математической школе (Воронеж, январь 1995), "Конференции молодых ученых" (механико-математический факультет МГУ, Москва, апрель 1995), международном семинаре "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, июнь 1995), Сибирской конференции по неклассическим уравнениям математической физики (Новосибирск, сентябрь 1995), конференции "Гагаринские чтения - 1996" (МАИ, Москва, апрель 1996), международном семинаре "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, июнь 1996), международном семинаре "Математика. Образование. Компьютер." (Дубна, сентябрь 1996), международном семинаре "Нелинейное моделирование и управление" (Самара, июнь 1997), семинарах и конференциях механико-математического факультета СамГУ, 15-ом IMACS мировом конгрессе по научным

з

вычислениям, моделированию и прикладной математике (Берлин, август 1997), на 3-ей европейской конференции по механике жидкости "Евромех 97" (Геттинген, сентябрь 1997), научном семинаре проф. Е.В. Воскресенского по прикладной математике при Мордовском государственном университете (Саранск, ноябрь 1997).

ЛИЧНЫЙ ВКЛАД И ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 11 работ. Основные результаты получены автором. В диссертацию включены самостоятельно полученные И.А. Андреевым результаты из его совместных с В.А. Соболевым работ [4], [11], который предложил постановки задач и методы их решения.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация изложена на 102 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы. Библиография содержит 111 наименований. Автор приносит сердечную благодарность научному руководителю проф. В.А. Соболеву за постановку задач и внимание к работе.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обзор литературы по теме исследования. Здесь же приводится содержание и основные результаты работы.

Первая глава посвящена исследованию устойчиво-неустойчивого одномерного интегрального многообразия системы сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.

В пункте 1.1 рассматривается система

ig = 2xy + F1(x,y,Y,Z,a,e),

eg = A 0Y + F2(x,y,Y,Z,a,e), (1)

J&

L dx

M„Z + F3{x,y,Y,Z,£),

где

(2)

Р\(х,у,У,г,а,е) = Н\{х, ¿Г) + £а(ки + к\(х))+

= Н3{х,г)+еС3{х,у,У,г,£).

Здесь £ > 0 - малый скалярный параметр, а - скалярный параметр, у(х,а,£) - скалярная функция переменной х, зависящая от параметров а и с, У(х,а,г) и Z(x,a,£) - бесконечномерные вектор-функции. Предполагается выполнение следующих условий: (I) Линейные операторы Ац и Мц такие, что выполняются неравенства

j е * ds < eS , J e^ds < eS , (3)

-00 2 -ОО з

(И) Функции h(x), Н:(х, Z), Я2(х, Y, Z), Н3{х, Z), G3(x, фиф2, ф3,е), G\(x, фх, 1р2, ф3,а, е), Go(x, ф\,ф2,фз, а, е), такие, что выполняются неравенства

\\С2(;Фиф2,Ф*,;-)\\2<^С2 , (4)

Mx)\<fiQ2 , ||#1(-,^)||1</«1№з||з , \\Н2(-,Ф2,Фз)\\2< Mbb+fibQWih .

ЦЯз(-^з)||з < м<34||^з||з ,

||Я](-,^з) - tfi(-,^)||i < /inQillV'3 - Ыз . (5)

\\н2(-,ф2,фз) - н2{;ф2,Фз)Ь < - V'2||2+

Н^з-^з||з , ||Яз(-,^з) - Н3{.,ф3)\\3 < М4ф3 - &||з ,

\\С_1(-,фиф2,ф3,_а,-) - Gi(-,ф_иф2,фз, <v)Hi < < P(\№i ~ Мг - V-2||2 + ||^з - V-зЦз) + ц\а - а| ,

1(0_2(-,ф1,ф2,Фз,_а,-) - Фиф2,фз,a,-)lh < (6)

</3(11^-^1 II: + 11Ф'2 - Ф2Ц2 + ЦФ~з ~ ФзЦз) + Mia - al , [ ' 110з(;фиф2,фзг)-0з(;ф1,ф2,фз,-)1ь< < /3(||ф, - ф11|! + \\ф3 - ф2lb + \\Фз - У'з||з) , где /3, п, Ь, S, Q1, Q2, Q3> Q4, Ci, С3 - некоторые положительные постоянные, a /i - малая положительная постоянная.

Имеет место следующая

Теорема 1.1.1. Пусть выполняются условия I, II. Тогда существует £(| такое, что для любых е £ (0, £Го) существует одномерное устойчиво-неустойчивое интегральное многообразие системы (1), (2), которое соответствует значению параметра а = а'.

В ходе доказательства рассматриваются метрические пространства Ei, Е2, Е3 непрерывных и ограниченных функций в области Hi = {х 6 R, |а| < v, £ 6 (О, £U)} с метрикой равномерной сходимости. Для функций фi £ Ei вводится интегральный оператор

ТА*)

ТгАх)

Тф)

(7)

следующим образом

Щ{х) = f Ki(x:s,e)Fi(s, i/>i,V>2, ^з, а, t)ds,

К

K2{x,s,£) = K3(x,s,e) =

-exp

exp

0

exp [ J 0

, 0 < x < s < +oo

, — OO < 5 < X < 0

, во всех других случаях

— OO < s < x < +oo

— OO < X < s < +oo ,

— OO < s < x < +oo

— OO < X < s < +oo.

(8)

Значение параметра а = а* определяется из условия непрерывности оператора Тц,(х) в точке х = 0, т.е. 7^,(0 — 0) = Тц,(0 + 0). Причем такое а* существует и единственно. Далее доказывается, что оператор Тф переводит Е\ х Е2 х Е3 в себя.

На произведении пространств х Е2 х ¿/3 вводится обобщенная метрика

/ рАТх^Тц) \ р{Т<.,Т+)= Р2(Тч,Т2ф) , (9)

и доказывается выполнение неравенства

p(JV,7» < tMl^)

(10)

Спектральный радиус Uu строго меньше 1. Тогда оператор Тф удовлетворяет обобщенному принципу сжатия, что и доказывает утверждение теоремы 1.1.1.

Пункт 2.1 посвящен исследованию возможности поиска устойчиво-неустойчивого интегрального многообразия в виде асимптотического разложения по степеням малого параметра е. Пусть выполняются следующие предположения: (III) Функции Gi(x,y,Y,Z,a,e), G2{x,y,Y,Z,a,t), G3(x,y,Y,Z,e), H\ (x, Z), H2(x, Y, Z), Hз(х, Z) имеют равномерно непрерывные и ограниченные частные производные по всем переменным до (к + 1)-го порядка включительно. Операторы Л-1 и М-1 ограничены.

Здесь

Тогда справедлива следующая

Теорема 1.2.1. Пусть выполняются условия теоремы (1.1.1) и условие III. Тогда устойчиво-неустойчивое интегральное многообразие и отвечающее ему значение параметра а можно искать в виде

k .

а* = £ £'а.{ + а(гг) ,

1=0

у(х,а*,е) = ± е'у;(х) + ,

1 = 0

Y(x,a*,e) = £ f^'iC1)+ ф2(:г,а.<г) > 1=0

Z(x,a',£) = Е s'Z^x) -(- Ф3(х, а,е) , 1=0

причем

WOI < efc» - ЦФ^г,«,£)!!! < \ßtkq\ , ЦФ2(х,а,£)||2 < ek+1g2 , ||е)||3 < ek+1q3 .

(12)

(13)

Теорема доказывается по следующей схеме: последовательно находятся yi,Yi, Zi,ai до к-го порядка включительно, затем делается замена

(14)

= У - Е е%(х) , 1=0

Ф2 = У - Е 6%{х) , 1=0

Фз = ^ - Е ,

1=0 к

а = а - Е е'а,• ,

1=0

и показывается, что полученная система имеет устойчиво-неустойчивое интегральное многообразие, отвечающее значению параметра а*.

В пункте 1.3 в области |х| < г рассматривается система вида:

ф = АСх(1 + х((х))у + F^x^.XZ^^),

ef = A0Y + F2(x,y,Y,Z,a,E), Az

' <lx

M„Z+F3{x,y,Y,Z,e),

где F^ определены в (2), а С - положительная константа. Предпологаем, что выполняется условие (I') Пусть при < г выполняется неравенство

КМ1 < \ ■ (16)

Доказывается вспомогательная

Лемма 1.3.1 Пусть функция удовлетворяет условию I'.

Тогда при з>х>0из<х<0 справедливо

е1 щшат < ен*2-'2) .

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 1.3.1 Пусть при |г| < г выполняются условия V, II и операторы Ло и Мо такие, что выполняется I. Тогда существует £о такое, что для любых е € (0,£о) существует локальное одномерное устойчиво-неустойчивое интегральное многообразие системы (15), которое соответствует значению параметра а — а*.

Теорема 1.3.1 Пусть выполняются условия теоремы (1.3.1) и условие III при |а:| < г. Тогда локальное устойчиво-неустойчивое интегральное многообразие и отвечающее ему значение параметра а можно искать в виде

а* = Е е'сц + а(г) ,

¡=о

у(х,а*,е) = Е е'у^х) + Ф^х.а.е) , >=о

У(х,а,,е) = Е + Ф2(1,а,е) ,

¿=0

г(х,а,,е) = Е е^;(а:) + Фз(х,а,г) ,

г=0

(17)

причем

|а(е)| < екь , уф^х.а.ОН! < >

(18)

Доказательство теорем проводится аналогично доказательству теорем (1-1.1) и (1.2.1), с той лишь разницей, что эволюционный оператор А'^х, в) выглядит следующим образом:

Ле*/,'4/(1+««))Л ^ 0<ГГ<5<+ОО

= ^ ¡е}.Г;4<(ш<т« ) _оо < Я < Ж < 0 (19)

О , во всех других случаях.

Однако для него в силу леммы (1.3.1) справедливы все оценки, на которые опирается доказательство теорем (1.1.1), (1.2.1).

Глава 2 посвящена, исследованию нелинейной сингулярно возмущенной параболической системы, которая описывает модель горения для случая автокаталитической реакции с учетом диффузии и теплопередачи по объему реакционного сосуда. В пункте 2.1 дается постановка задачи. Для случая осесимметричного реакционного сосуда (плоскопараллелыюго, цилиндрического или сферического) эта система в безразмерных переменных имеет вид:

е§ = ,(1-^ + 1^, (м)

£

От

= £77(1 - 7,)е" + \Dirj

где £<(•) = ^тг+т^г, причем п — 0 соответствует плоскопараллельному реактору, п. = 1 - цилиндрическому, п = 2 - сферическому.

В системе (20) в - безразмерная температура; ?/ - безразмерная степень выгорания; т - безразмерное время; £ - безразмерная координата по сосуду; 8 - критерий Франк-Каменецкого (безразмерный параметр, характеризующий интенсивность теплоотвода через стенки сосуда); д -безразмерный параметр, характеризующий интенсивность диффузии; £ -безразмерный малый параметр, характеризующий температурную чувствительность реакции.

Считается что, температура граничной поверхности равна температуре окружающей среды и стенки сосуда, непроницаемы для реагирующего вещества. Тогда с учетом симметрии реакционного сосуда граничные условия примут вид:

дв

= 0 ^

= 0. (21)

В зависимости от выбора значения параметра 5 мы можем получать либо медленное протекание реакции, либо быстрое (взрывное).

Пункт 2.2 посвящен отысканию критического значения этого параметра, которое отделяло бы медленный режим от взрывного. Построение критического режима, сводится к определению одномерного

о

медленного устойчиво-неустойчивого интегрального многообразия. Таким образом, целью данного пункта является переход от системы (20) к счетной системе сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений вида п.1.3, для которой доказано существование такого интегрального многообразия.

На первом этапе перехода исследуется задача для определения медленной поверхности системы (20):

= 0 ,

дви

= 0 ^ {=о ее

(22)

= 0 . (23)

«=1

и проводится параллель с задачей, изученной И.М. Гельфандом:

+ аев° — 0 , , ,

0|,(О) - 0„(1) - о .

Для задачи (24) было установлено, что существует такое критическое значение параметра а = а*, что при а < а* существует два решения краевой задачи (24), причем верхнее, соответствующее большим температурам, неустойчиво, а нижнее - устойчиво ; а = о* задача (24) имеет одно решение; а > а* - решений нет .

Из первого уравнения (22) и граничных условий (23) следует, что не зависит от Положим щ — у(т), тогда выражение <$ои(1 — у) не зависит от Следовательно, второе уравнение (22) и уравнение (24) совпадают при а = — и)- Так как максимум правой час-

ти последнего равенства достигается при V = 1/2, то критическое значение параметра <$,* равно 4а*. Так, при ¿о < ¿2 будем иметь два участка медленной кривой, причем нижний будет устойчивым. При ¿о = медленная кривая имеет точку самопересечения V = 1/2, а при ¿о > будет существовать такой интервал (1)1,1/2), на котором второе уравнение (22) с соответствующими граничными условиями не будет иметь решений.

В качестве нулевого приближения интегрального многообразия возьмем

■Ч^уЦ) , 0 = (25)

где #0 - решение второго уравнения (22) с граничными условиями (23) при ¿о =

На втором этапе перехода к счетной системе делается замена

V(r,C,e) = v(t)+sW(r,(,e) , (26)

5 = ¿в(1+еЛ(е)) ,

где W = Е Xi(r, e)i/>i(£) (V"; - собственные функции оператора D(). Получаем

= ihU + {Av( 1 - v)ee° - f} + (1 - 2v)e»»W + e9l , z™ = lD(W + Hl -v)e*> -i} + eg2 , 1 '

где 2,f(•) = D({-) + i0«(l - v)e^(-).

Функцию U(t, f) будем искать в виде ряда по собственным функциям дифференциального оператора

ос

= (28) 1=0

Делаем замену х = v — 1/2 (переходим в окрестность точки склейки) и переходим к счетной системе уравнений. Получаем:

х = (1 - 4х2)/(х) , ещ = ^щ + Рй(х) - 2х Е rijXj + eGx (х, щ,Хг, А, е) ,

j=1

ещ = Ц^щ + Р,(х) - 2х Е bijXj + eG2i{x, щ,Х.„ А, е) eXi = иXi + Qi(x) + еСф,щ,Хие) ,

(29)

где

/(х) }е*>М<1(,

Рг(х) =}{Л(1-4х2)ев°-$}ф!((,х№ , Qi(x) = }{\(1-4х2)е«° -i,}^ , Ьф) ^¡ШЖЬг^'М , nj(x) = Ьф) . Как показано в п.2.4, Ац(х) представимо в виде

Л0(х) = Ьах + 0(х2) .

(30)

и

Для непрерывности нулевого приближения Ug в точке х = О надо потребовать выполнения условия Ро(0) = 0:

(3i)

Откуда находим Л(0). Для удобства обозначим ¿i = Л(0) и МО = Фо((, 0). Из (31) следует

¿1 = -. (32)

Положим е = 0 в системе (29) и последовательно находим нулевые приближения решения Xf, и®. Сделаем замену (перейдем в окрестность нулевого приближения)

у - щ - и[| ,

А = ¿1 + еа(е) .

Получаем следующую систему

х = (1 - 4x2)f(x) ,

£У

+ea[l-4x2)f(x)+eGi{x,y,Yi,Zi,a,e) , (34)

¿Yi = _2хЪ bijZj+ [ '

¿0 j=1 1 J

+еа(1 - Ax2)f{x) + eG2i(x, у, Yit Zu a, e) , eZi =fZi+eG3i{x,y,Yi,Zi,e) .

В пункте 2.3 система (35) рассматривается в некоторой окрестности х = 0 и показывается, что ее можно свести к системе вида (15), для которой выполняются условия теорем (1.3.1) и (1.3.2).

В пункте 2.4 для случая плоскопараллельного реактора рассматриваются задачи на собственные значения для дифференциальных операторов L{ и Собственными значениями и собственными функциями оператора D{ с соответствующими граничными условиями являются: фь — cosпк( , /ij. = —irk2.

Собственные значения оператора L^ оцениваются в малой окрестности точки склейки (х = 0). В результате получается:

Л0 = Ьих + 0{х2) (Ьи > 0) , -3 .

Л, = а, + 0(х) (а; < 0) . { ]

Глава 3 посвящена нахождению нулевого и первого приближения критического значения параметра 5 для случая плоскопараллельного (п.3.1), цилиндрического (п.3.2) и сферического (п.3.3) реакторов.

Для нулевого и первого приближения получены следующие числовые значения: ¿о = 3.51,(51 = ±2.27(п = 0); ¿о = 8, ¿1 = ±16(4 - тг)/(4 + тг)(п = 1); ¿о = 13.32,^ = ±1.74(п = 2).

В этих формулах знак "+" соответствует критической траектории, а "-" - второму пределу самовоспламенения. Тогда

6» =<50(1-|ад+ои ■ [ >

При 5 > 5* получаем быстрые (взрывные) режимы протекания реакции, при 5 < 5** - медленные. Интервал (¿*,<5**) соответствует переходным режимам.

На защиту выносятся следующие полученные в работе основные результаты:

1. Теорема о существовании "траекторий-уток" для счетной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Теорема об асимптотических разложениях "траекторий-уток".

3. Построение моделей критических режимов и определение условий теплового взрыва для автокаталитической реакции горения в плоскопараллельном, цилиндрическом и сферическом реакторах с учетом диффузии и теплопередачи.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. И.А. Андреев. Критические явления в системе "реакция-диффузия"// Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы. Воронеж, 1995, с. 14.

2. И.А. Андреев. Критические траектории в задаче о тепловом взрыве // Тезисы докладов международного семинара "Дифференциальные уравнения и их приложения". Самара, 1995, с. 28.

3. Й.А. Андреев. Критические траектории в одной модели автокаталитической реакции // Тезисы докладов сибирской конференции по неклассическим уравнениям математической физики. Новосибирск, 1995, с. 8.

4. И.А. Андреев, В.А. Соболев. Критические условия теплового взрыва для автокаталитической реакции горения с учетом теплопередачи // Вестник СамГУ, в. 1. Самара, 1995, с. 34-39.

5. И.А. Андреев. Моделирование критических режимов для автокаталитической реакции горения с учетом теплопередачи // Сборник трудов международного семинара "Математика. Образование. Компьютер.", г. Дубна, 1996, с. 89-95.

6. И. А. Андреев. Моделирование критических условий самовоспламенения для цилиндрического и сферического реакторов // Вестник СамГУ, в. 2(4). Самара, 1997, с. 99-108.

7. И.А. Андреев. Моделирование критических режимов в системе "реакция-диффузия" // Тезисы докладов международного семинара "Нелинейное моделирование и управление". Самара, 1997, с. 10.

8. И.А. Андреев. Критические режимы в системе "реакция-диффузия" // Тезисы докладов международного семинара "Дифференциальные уравнения и их приложения". Самара, 1996, т. 1 с. 34.

9. И.А. Андреев. Критические траектории в одной модели автокаталитической реакции // Тезисы докладов конференции "Гагарине-кие чтения". Москва, 1996, с. 33.

10. V. Sobolev, I. Andreev, Е. Shchepakina. Modeling of Critical Phenomena in Autocatalytic Burning Problems // Abstracts, Gottingen,

September 1997, p. 342.

11. V. Sobolev, I. Andreev. Modeling of Critical Phenomena in Autocatalytic Burning Problems // Proceedings of 15th IMACS World Congress of Scientific Computalion, Modelling and Applied Mathematics. Berlin, August 24-29, 1997. Vol. VI - Applications in Modelling and Simulation, p. 317-322.

Подписано в печать 11.12.97.-Формат 60x84 1/16. Бум. писчая белая. Объем 1.0. Тираж 100 экз. Издательство "Самарский университет'". 443011, Самара, ул. Акад. Павлова, 1.