автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование диссипативных структур в стохастических реакционно-диффузионных системах

На правах рукописи

Желнов Юрий Валериевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИССИПАТИВНЫХ СТРУКТУР В СТОХАСТИЧЕСКИХ РЕАКЦИОННО-ДИФФУЗИОННЫХ СИСТЕМАХ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

7 НОЯ 2013

005537118

Самара-2013

005537118

Работа выполнена на кафедре физики федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

Курушина Светлана Евгеньевна.

Официальные оппоненты:

Радченко Владимир Павлович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Самарский государственный технический университет», заведующий кафедрой "Прикладная математика и информатика", профессор;

Гаврилов Андрей Вадимович, кандидат физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)», кафедра технической кибернетики, доцент.

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского (национальный исследовательский университет)».

Защита состоится 6 декабря 2013 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.215.05, созданном при федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)» (СГАУ), расположенном по адресу: г. Самара, 443086, Московское шоссе, 34.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГАУ.

Автореферат разослан 30 октября 2013г.

Ученый секретарь диссертационного совета

д. т. н., доцент Jf C.B. Востокин

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Шумы различного происхождения являются неотъемлемой частью окружающего нас мира. Во многом именно шумы отвечают за разнообразие наблюдаемых явлений. В пространственно распределенных системах шумы приводят к возникновению пространственных структур [J. Garcia-Ojalvo, А. Hernández-Machado, J.M. Sancho, 1993; J.M.R. Parrando, С. Van den Broeck, J. Buceta, F J. de la Rubia, 1996; J. Garcia-Ojalvo, J.M. Sancho, 1996; A.A. Zaikin, L. Schimansky-Geier, 1998; A. Sanz-Anchelergues, A.M. Zhabotinsky, I.R. Epstein, A.P. Muñuzuri, 2001; J. Buceta, M. Ibañes, J.M. Sancho, К. Lindenberg, 2003; S.S. Riaz, S. Dutta, S. Kar, D.S. Ray, 2005, S.E. Kurushina, 2010] и фронтов [M.A. Santos, J.M. Sancho, 1999; L.Q. Zhou, X. Jia, Q. Ouyang, 2002], резонансных структур и индуцированным шумом фазовым переходам [С. Van den Broeck, J.M.R. Parrando, R. Toral, R. Kawai, 1997; W. Genovese, M.A. Muñoz, J.M. Sancho, 1998; R. Kawai, X. Sailer, L. Schimansky-Geier, C. Van den Broeck, 2004], явлениям захвата частоты [Q.-X. Liu, Zh. Jin, B.L. Li, 2008] и разделения фаз [M. Ibañez, J. Garcia-Ojalvo, R. Toral, J.M. Sancho, 1999], пространственно временной перемежаемости [M.G. Zimmermann, R. Toral, О. Piro, M. San Miguel, 2000] и пространственно временному стохастическому резонансу [F. Marchesoni, L. Gammaitoni, A.R. Bulsara, 1996; L. Gammaitoni, P. Hanggi, P. Jung, F. Marchesoni, 1998; M. Gosak, M. Marhl, M. Perc, 2007], бегущим и конвективным поддерживаемым шумом структурам [M. Santagiustina, P. Colet, M. San Miguel, D. Walgraef, 1998; J. Wang, S. Kádár, P. Jung, K. Showalter, 1999], шумоиндуцированной синхронизации [R.C. Elson, A.I. Selverston, R. Huerta, N.F. Rulkov, M.I. Rabinovich, H.D.I. Abarbanel, 1998; A. Neiman, X. Pei, D. Rüssel, W. Wojtenek, L. Wilkens, F. Moss, H.A. Braun, M.T. Huber, К. Voit, 1999; R. Segev, Y. Shapira, M. Benveniste, E. Ben.-Jacob, 2001] и т.д.

В последние десятилетия интенсивно разрабатываются и исследуются математические модели, предназначенные для описания, предсказания и объяснения представленных выше феноменов. Одной из них является модель реакция-диффузия с включенными в нее мультипликативными и аддитивными шумами:

дх 1

ul /=1

+ Fk(r,t) + DyXk, (1)

где Л=1,2,3,..., хк - функции состояния системы, Pk(xx,..,xk,i), Gfa(.x„...,^,z) -функциональные зависимости, определяющие взаимодействие и эволюцию компонент хк в пространстве и во времени, Dk - коэффициенты диффузии компонент, 1г(Х\,-..,Хп) ~ вектор, компоненты которого являются управляющими параметрами, описывающими воздействие на систему внешнего окружения, / - число флуктуирующих параметров, х>о ~ их пространственно-временные средние, f„(r,t) - мультипликативные и Fk(r,t)-аддитивные шумы с заданными статистическими характеристиками, причем

{/й(г.')) = 0, (Fk(r,t)) = 0. Детерминированный аналог системы (1) применяется для исследования многообразных явлений в различных областях знаний: физике [В.А. Васильев, Ю.М. Романовский, В.Г. Яхно, 1987; B.C. Анищенко, 2009, С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, A.C. Чиркин, 1981; В.И. Кляцкин, 2001; С.М. Рытов, 1976], химии [Ю.М. Романовский, Н.В. Степанова, Д.С. Чернавский, 2004; Ю.М. Свирежев, Д.О. Лагофет, 1978; В. Хорстхемке, Р. Лефевр, 1987], медицине [А.Л. Чуликов, A.B. Николаев, А.И. Лобанов, Г.Т. Гурия, 2000], экологии [M. Baurmann, Th. Gross, U. Feudel, 2006; M.R. Garvie, 2007; M.R. Garvie, C. Trenchea, 2007; Q.-X. Liu, G.Q. Sun, B.L. Li, Zh. Jin, 2008; H. Malchow, 2000; H. Malchow, F.M. Hilker, S.V. Petrovskii, 2004; M. Scheffer, 1991], экономике [Ю. И. Аганин, 2008; C.P. Амироков, Н.Э. Наац, 2006; В.-Б. Занг, 1999; Е.Г. Пугачева, К.Н. Соловьенко, 2003].

Исследование эволюции стохастических пространственно распределенных систем может быть проведено различными методами. Одним из наиболее распространенных подходов является приближение среднего поля (MFT) [A.A. Zaikin, L. Schimansky-Geier, 1998; С. Van den Broeck, J.M.R. Parrondo, R. Toral, R. Kawai, 1997; M. Ibaflez, J. García-Ojalvo, R. Toral, J.M. Sancho, 1999; J. García-Ojalvo, J.M. Sancho, 1999; B. Linder, J. García-Ojalvo, A. Neiman, L. Schimansky-Geier, 2004]. Этот подход позволяет предсказать существование шумоиндуцированного перехода «беспорядок-порядок-беспорядок». Однако он разработан только для однокомпонентных систем. Получаемое с его помощью уравнение Фоккера-Планка (УФП) имеет неявный вид и требует дальнейшего численного решения. Шаг получаемой при дискретизации непрерывного пространства системы (1) решетки выбирается подходящим образом, что подразумевает некоторый произвол при применении MFT. Подход дает удовлетворительное количественное соответствие с численным экспериментом вдали от точки бифуркации и может быть использован только в определенной области характерных пространственных и временных масштабов шумов. Еще один подход для изучения эволюции систем (1) в окрестности точки бифуркации основан на выводе обобщенных уравнений Гинзбурга-Ландау (ОУГЛ) [Н. Haken, 2004; S.E. Kurushina, 2012]. Но получаемые в результате ОУГЛ являются также стохастическими и требуют дальнейшего сложного математического анализа. Подход, использующий методы динамических ренормализационных групп, применяется только для одномерных однокомпонентных систем [W. Genovese, M.A. Muftoz, J.M. Sancho, 1998, J.M. Sancho, J. García-Ojalvo, H. Guo, 1998]. Анализ моментов функций состояния систем (1) и их структурных функций [J. García-Ojalvo, J.M. Sancho, 1996, С. Van den Broeck, J.M.R. Parrondo, R. Toral, R. Kawai, 1997], как правило, проводится численно или при аналитическом исследовании дополнительно используются другие приближения: корреляционное, MFT и др. Для системы (1) может быть записано функциональное УФП [Н. Haken, 2004; V.l. KIyatskin, 2005]. Однако нахождение его решения представляет значительную сложность, если вообще это возможно. Разрабатываются и другие методы, применяемые для исследования стохастических пространственно распределенных систем,

моделируемых интегро-дифференциальными уравнениями [А. Ни«, А. Ьоп^т, Ь. 8сЫтапзку-Ое1ег, 2008].

Представленные выше аналитические методы результативны в определенной области значений параметров задачи или имеют ограничения на число компонент или размерность пространства системы. Поэтому актуальным является разработка новых методов, позволяющих исследовать состояние систем (1) в более широкой области значений параметров самой системы и шумов или распространение известных приближенных аналитических методов для изучения многокомпонентных многомерных систем (1).

По причине значительной математической сложности аналитических методов, применяемых для изучения эволюции систем (1) и того факта, что большинство из них дает качественное соответствие с численным или натурным экспериментом, возникает необходимость дальнейшей разработки численных методов и алгоритмов для таких исследований.

Все вышеизложенное определяет актуальность темы исследования и позволяет сформулировать следующие цели и задачи исследования.

Цель диссертационной работы

Развитие аналитического подхода, основанного на обобщенных уравнениях Гинзбурга-Ландау, разработка и реализация численных методов и алгоритмов для исследования состояния многокомпонентных реакционно-диффузионных систем в присутствие внешних шумов и их применение к изучению динамики пространственных структур, возникающих в конкретных системах рассматриваемого типа.

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

1. Получить УФП для параметров порядка и с его помощью изучить зависимость плотности стационарного распределения вероятности значений амплитуды критической моды от интенсивности шума при переходе через точку бифуркации Тьюринга.

2. Изучить динамику формирования диссипативных структур (ДС) при различных значениях радиуса корреляции внешнего случайного поля.

3. Провести численную оценку энтропии информации состояния пространственно распределенной системы (1) при процессе формирования ДС, что позволит судить о мере беспорядка в поведении системы.

4. Разработать комплекс программ для моделирования эволюции систем вида (1) и расчета статистических характеристик их функций состояния.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем:

1. Получено уравнение Фоккера-Планка (УФП) для параметров порядка двухкомпонентной стохастической системы реакция-диффузия в окрестности точки бифуркации Тьюринга с точностью до слагаемых, имеющих третий порядок малости в ОУГЛ.

2. Найдено в явном виде стационарное решение полученного УФП для маргинального состояния. Это решение дает возможность установить наличие фазового перехода «беспорядок-порядок-беспорядок» в конкретных системах.

3. Предложен численный метод оценки энтропии информации состояния стохастической системы реакция-диффузия.

4. На основании полученной оценки энтропии информации и численного исследования дисперсии функций состояния изучена эволюция ДС в конкретной системе в зависимости от значений радиуса корреляции внешнего шума. Показано, что при приближении радиуса корреляции шума к одному из характерных пространственных масштабов системы наблюдается явление существенного замедления процесса формирования ДС.

5. Разработаны подсистемы комплекса программ "Исследование статистических характеристик стохастических систем реакция-диффузия", позволяющие провести анализ и моделирование эволюции биофизической системы.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Уравнение Фоккера-Планка для амплитуд неустойчивых мод двухкомпонентной стохастической системы реакция-диффузия, полученное с точностью до слагаемых третьего порядка малости в ОУГЛ, и его стационарное решение для маргинального состояния.

2. Результаты аналитического исследования зависимости плотности стационарного распределения вероятности значений амплитуды критической моды от интенсивности шума.

3. Численный метод оценки энтропии информации состояния стохастической системы реакция-диффузия. Результаты численного исследования эволюции ДС в конкретной системе в зависимости от значений радиуса корреляции внешнего шума.

4. Подсистемы комплекса программ "Исследование статистических характеристик стохастических систем реакция-диффузия", позволяющие провести анализ и моделирование эволюции биофизической системы.

Научная и практическая значимость

Разработанные методы и алгоритмы могут применяться при исследовании стохастических реакционно-диффузионных систем, а также в учебном процессе при подготовке магистров прикладных физики и математики, специализирующихся в области нелинейной динамики и статистической физики.

Достоверность результатов диссертационной работы определяется их верификацией при разнообразном тестировании, включающем сравнение с точными решениями (при их наличии), сравнением с известными теоретическими результатами и расчетами по другим алгоритмам, адекватностью полученных результатов и согласованностью с современными представлениями о предмете исследования.

Связь с государственными программами

Работы по теме диссертации выполнялись в соответствии с планами фундаментальных научно-исследовательских работ в рамках государственного задания Минобрнауки РФ вузам на 2012-2014 гг., № 2.560.2011 и гранта ФЦП

«Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 20092013 гг. №14.В37.21.0767.

Апробация результатов работы

Основные результаты диссертации были представлены на следующих Всероссийских и Международных конференциях: V международная междисциплинарная научная конференция «Синергетика в естественных науках» (г. Тверь, 2009г), XVI международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Москва, 2009г.), XVII международная конференция «Математика. Компьютер. Образование» (г. Дубна, 20 Юг), VI международная междисциплинарная научная конференция «Синергетика в естественных науках» (г. Тверь, 20 Юг), VII всероссийская научная конференция с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (г. Самара, 20 Юг), V международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (г. Пенза 20 Юг), VII международная междисциплинарная научная конференция «Синергетика в естественных науках» (г. Тверь, 2011 г), XLII международная научная конференция аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» Control Processes and Stability (г. Санкт-Петербург, 2011г), XVII международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Алушта, 20 И г), 16 научная школа «Нелинейные волны-2012» (г. Нижний Новгород, 2012г), XX международная школа-конференция «Биофизика сложных систем. Анализ и моделирование» «МКО 2013» (г. Пущино, 2013г).

Основные публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, в том числе 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, 1 свидетельство о государственной регистрации программ, 13 трудов Международных и Всероссийских конференций.

Авторский вклад. Все результаты, изложенные в диссертации, получены автором лично, либо при его определяющем личном участии. Автор принимал непосредственное участие в постановке задач, разработке алгоритмов решения задач и их реализации. Автор осуществлял проведение численных экспериментов, обработку, анализ и интерпретацию полученных результатов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Полный объем работы составляет 116 страниц. В работе приведено 23 рисунка. Список цитируемой литературы содержит 171 библиографических ссылок.

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследований, описаны защищаемые положения.

В первой главе диссертации представлены аналитические подходы к изучению состояния систем вида (1).

Здесь приведен обзор наиболее широко распространенных аналитических подходов, обсуждены их достоинства и недостатки. Подробно описана

процедура получения обобщенных уравнений Гинзбурга — Ландау для амплитуд неустойчивых мод системы (1) [С.Е. Курушина, 2011].

Последний раздел главы посвящен выводу уравнения Фоккера — Планка для параметров порядка с точностью до слагаемых, имеющих третий порядок малости в ОУГЛ. В явном виде получено его стационарное решение для критического случая, когда неустойчива одна мода (маргинальное состояние).

Показано, что при ¿=2, Р1(г,1) = 0 в ур. (1), с точностью до слагаемых третьего порядка малости, в предположении, что амплитуды неустойчивых мод 4Сш и интенсивности мультипликативных шумов ви являются величинами первого порядка малости ~ е, вы ~ е, ОУГЛ имеют вид:

Функции <Л'), С. В виду своей

громоздкости здесь не представлены и описаны в приложении А диссертационной работы. Здесь fr£(t) = Jfre(r,t)e~tCrdr - компоненты случайного векторного поля /(/), имеющие нулевые средние, а <р и К — индексные аргументы этого поля. Корреляционные функции для компонентов поля /(/) будут иметь вид: (j^(t)fr i.(z)) = F;°r(\Z\)S(£ - P)S(t - z)Sw.

Уравнение Фоккера-Планка в интерпретации Стратоновича для многомерной плотности вероятности некоторой конфигурации неустойчивых мод {цСи} системы (1) может быть представлено в общем виде следующим образом:

¡¡'и,к'и

+ К . К, К К )4РАг.4гЯК+К+*;-*„)+

К'и ,£'и ,Ити

(2)

2

(3)

где использовано обозначение ^[/=;(0,F2(r)] = (f;(/)F2(r))-{Fl(/)){F2(r)}.

Корреляторы К 8^'\fCii(t) и ^[F^tXF^z)] определяются

соотношениями:

J Ф

Фаол-мЬ Еда ^<0))Ч~Г( - +

9

<р,Ц'и <р,к'и

С учетом последних выражений УФП для системы (2) примет вид:

С' ь Од^ Г»,4»

+ ^(клххЛы^.М+*.)+

киХи.к'"

+

Чи'Ч>

(4)

+ чА'Ч.ЪА' - - Ф ^ +

iw.fl! ^¿и ^'и ?>=! <р

<г>

Уравнение (4) существенно упрощается, если условия неустойчивости выполняются только для одной моды с волновым вектором Кс и амплитудой (маргинальное состояние):

$ = -^-{[(ЛОй + +

+ (2mikJJJ.fi) + НКЛЛЛ,2кс)Ф">} + (5)

Показано, что стационарное решение уравнения (5) имеет вид:

аЛ-сЬ

(6)

где а = Л1(кс)-2.5т}\^Л)^Ш Ь = 2со&АЛЛ,0) + А А.кс,2кс), Нормировочная постоянная N определяется выражением

'+ао аА—сЪ

М = 1/ + с)^"ехр(ЬЙ /МУй.

Решение (6) позволяет исследовать поведение плотности стационарного распределения вероятности значений амплитуды критической моды в

9

зависимости от бифуркационного параметра задачи. В зависимости от того является она бимодальной или одномодальной можно судить в каком состоянии (порядок или беспорядок) находится стохастическая система (1).

Преимущества развитого подхода заключаются в том, что он применим к многокомпонентным многомерным системам. Стационарное решение УФП для критического параметра порядка записывается в явном виде. Этот подход применим к широкому классу нелинейных функций/^*,,..,*i>z), Gh(x„...,xt,x). Предложенный подход не содержит произвола, связанного с дискретизацией непрерывного пространства системы, что имеет место в MFT. Он может быть использован и в случае шумов с конечными характерными пространственными и временными масштабами.

Вторая глава посвящена разработке численных методов и алгоритмов для исследования состояния систем (1).

В разделе 2.1 представлена разностная схема для численного моделирования эволюции систем реакция-диффузия с мультипликативным шумом, основанная на методе переменных направлений и спектральном методе моделирования случайных полей с заданной функцией корреляции.

Под действием внешних шумов поведение системы (1) может стать сильно неупорядоченным. Чтобы иметь возможность судить о мере беспорядка в состоянии системы, необходимо уметь оценивать его энтропию. В разделе 2.2 приведено описание разработанного способа численной оценки энтропии информации состояния системы (1), базирующегося на методе, широко применяемом для анализа текстуры изображений [Zucker S.W., Terzopoulos D., 1980]. Пространственные распределения функций состояния систем (1) в каждый момент времени можно рассматривать как изображения, значения яркости пикселей которых пропорциональны значениям функций состояния в данной точке пространства. Тогда для каждого момента времени можно рассчитать энтропию информации состояния системы с помощью матриц вхождения и получить ее временную зависимость.

Сложность применения данного подхода к вычислению энтропии информации состояния системы, заключается в том, что вместо интенсивности пикселя, принимающей целочисленные значения, рассматривается значение функции в каждой точке пространства, а эти значения в общем случае вещественные. Для того чтобы присвоить им целочисленные значения, предлагается нормировать весь диапазон изменения функции состояния так, чтобы некоторому небольшому интервалу ее изменения соответствовало определенное целое число. В данной работе этот диапазон нормировался к 128. Нормировка к 256 приводила к тем же качественным результатам, однако существенно увеличивала время расчета.

В разделе 2.3 описана работа подсистем, входящих в комплекс программ (ПК) «Исследование статистических характеристик стохастических систем «реакция-диффузия»» и позволяющих провести анализ и моделирование эволюции системы (7) (подсистемы 5,7,12,16,17,18,19 на рисунке 1), основными функциями которого являются: 1) моделирование эволюции конкретных систем типа «реакция-диффузия» в поле внешних флуктуаций; 2) расчет

статистических характеристик систем; 3) оценка энтропии информации состояния систем; 4) расчет собственных чисел задач; 5) расчет статистических характеристик параметра порядка систем; 6) ввод-вывод, проверка и контроль данных; 7) визуализация исследований. Структурная схема ПК представлена на рисунке 1.

В третьей главе методами, представленными и разработанными в главах 1 и 2, исследована конкретная стохастическая пространственно распределенная модель вида (1), которая описывает динамику популяций микроорганизмов и имеет важное прикладное значение для изучения состояния океанов и их ресурсов. Приведены различные примеры применения данной модели на практике и результаты ее предшествующих исследований.

Рисунок 1. Структурная схема

-»I ю |--->| 1з | комплекса программ «Исследование

-, статистических характеристик

| I ' 11 I-1 - I——] _ стохастических систем реакция-

i I 3 гН 4 I Г~Н * Г"Н 10 |-r-*j и | диффузия» 1. Подсистема ввода. 2.

Г^ I—►] j L? I _ Ii_ t ! _ Подсистема проверки и контроля

L-j——I | 5 ► 6 ► 7 9 |—►] 12 | данных. 3. Подсистема анализа

| i | ^ ф | _ дисперсионного соотношения

| I и LJ i7 L.J 18 I i-__>J i9 LJ io Г1""*] 13 | детерминированной модели

I L_J I | I I I '--брюсселятор. 4. Подсистема анализа

l---------1 дисперсионного соотношения

стохастической модели брюсселятор. 5. Подсистема анализа плотности стационарного распределения вероятности значений амплитуды критической моды с точностью до слагаемых, имеющих третий порядок малости в ОУГЛ. 6. Подсистема анализа плотности стационарного распределения вероятности значений амплитуды критической моды с точностью до слагаемых, имеющих пятый порядок малости в ОУГЛ. 7. Подсистема расчета статистических характеристик модуля амплитуды критической моды системы. 8. Подсистема моделирования эволюции стохастической модели брюсселятор. 9. Подсистема моделирования случайного поля. 10. Подсистема вывода в текстовые файлы. 11. Подсистема вычисления усредненных по поверхности слоя флуктуаций функций состояния систем. 12. Подсистема оценки энтропии информации состояния систем. 13. Подсистема генерации видеоизображений и графической визуализации. 14. Подсистема решения УФП в приближении среднего поля для стохастической модели брюсселятор. 15. Подсистема расчета статистических характеристик функций состояния систем. 16. Подсистема вычисления особых точек детерминированной системы (7) и определения их устойчивости. 17. Подсистема анализа дисперсионного соотношения детерминированной системы (7). 18. Подсистема анализа дисперсионного соотношения стохастической системы (7). 19. Подсистема моделирования эволюции стохастической системы (7)

В разделе 3.1 описана изучаемая модель, определяемая следующей системой уравнений:

8т г0 (1 + йх,)

St г0 (1 + r0 r„(\ + h х2) <яГ, (у)

Здесь х2 — плотности биомассы популяций микроорганизмов, d\ и di — их коэффициенты диффузии, параметры /о, а0, Ъ, Ото, g, h, f, подробно описаны в [М. Scheffer, 1991; Н. Malchow, 2000]. Случайные однородные изотропные поля /(г, г) определяют пространственно временные гауссовы флуктуации параметров и имеют корреляционный тензор {fl(r,t)fl{f,T)) = Fi(\r-r'\)5(t-T)Slj

(г,у'-7,2) и нулевые средние значения. Функции Р,(г-г'\) определяют пространственную зависимость функций корреляции. При этом ё-коррелированность во времени фактически означает, что время корреляции случайного поля гораздо меньше всех характерных времен задачи.

Раздел 3.2 посвящен аналитическому исследованию динамики модели (7).

В разделе 3.2.1 представлен вывод обобщенных уравнений Гинзбурга -Ландау для амплитуд неустойчивых мод системы (7), согласно процедуре, описанной в первой главе.

В разделе 3.2.2 на основании полученных в разделе 3.2.1 ОУГЛ и уравнений (4-6) записано УФП и его стационарное решение для плотности стационарного распределения вероятности значений амплитуды критической моды системы (7).

На рисунке 2 и рисунке 3 представлено изменение плотности стационарного распределения вероятности значений амплитуды этой моды с увеличением интенсивности шума при переходе через точку бифуркации детерминированной системы.

3=6.410-'

60

ЧГП -6.08 -0.04 ООО" «Н

<4=0

Ш 0.12

Рисунок 2. Изменение плотности стационарного распределения вероятности значений амплитуды критической моды для двух различных значений интенсивности шума в2 в докритической области. 0=100, /о=1, ао=8, «=1.434, /Ю.093, Л=0.857, ¿>=11.905, /ло=0.490, г^гд=1,0,=2.4-1О'5

Рисунок 4. Граница шумоиндуцированного перехода «порядок-беспорядок» в координатах Д02)

Рисунок 3. Изменение плотности стационарного распределения вероятности значений амплитуды критической моды при увеличении интенсивности шума 02 в закритической области 0=150, г0=1, Оо=8, £=1.434, /=0.093, Л=0.857, 6=11.905, то=0.490, гп=гг=\, вх=2А-10"5

Рисунок 2 иллюстрирует плотность стационарного распределения вероятности значений амплитуды критической моды в докритической области (/>=с/2/^1=Ю0, критическое значение ¿>=135 соответствует точке бифуркации). При малых шумах стационарная плотность вероятности близка к 5-функции и, следовательно, однородное статистически стационарное состояние системы является наиболее вероятным (см. верхний ряд рисунка 2). При увеличении интенсивности шума (см. нижний ряд рисунка 2) происходит деформация кривой плотности стационарного распределения вероятности: максимум, не смещаясь, значительно уменьшается, при этом основание кривой расширяется.

Рисунок 3 демонстрирует плотность стационарного распределения вероятности значений амплитуды критической моды системы (7) в закритической области при различных интенсивностях шума (£>=150). Бимодальные распределения соответствуют существованию диссипативных структур. Рисунок 3 ясно показывает, что при увеличении интенсивности шума происходит постепенное слияние максимумов, и при некотором критическом значении интенсивности шума вновь возникает одномодальная плотность стационарного распределения вероятности. Система (7) переходит в состояние сильно нерегулярного поведения (беспорядок). Таким образом, полученное изменение плотности стационарного распределения вероятности значений амплитуды критической моды свидетельствует о существовании в системе (7) шумоиндуцированного перехода «беспорядок - порядок - беспорядок».

На рисунок 4 представлена граница шумоиндуцированного фазового перехода «порядок - беспорядок» для модели (7), предсказанная с применением развитого выше подхода. Следует отметить, что при приближении к детерминированной точке перехода, даже очень малые флуктуации будут способствовать потере устойчивости неоднородного состояния и вызывать неупорядоченное состояние.

Раздел 3.3 посвящен численному моделированию динамики системы (7) в области бифуркации Тьюринга.

В разделе 3.3.1 представлены результаты численного моделирования с помощью описанного в разделе 2.3 ПК динамики образования пространственных структур в зависимости от интенсивности внешнего шума. Эти результаты подтверждают теоретические выводы, сделанные в разделе 3.2.

В разделе 3.3.2 с помощью численного метода оценки энтропии информации, представленного в разделе 2.2, была исследована зависимость динамики образования диссипативных структур в модели (7) от радиуса корреляции внешних полей.

Для исследуемой системы были построены зависимости энтропии информации ее состояния от времени при разных значениях радиуса корреляции г. При образовании структур увеличивается степень порядка в системе, что приводит к уменьшению энтропии информации. По графикам, для которых г> 1 (рисунок 5) хорошо видна тенденция к увеличению времени образования структур при увеличении радиуса корреляции. Чем больше радиус корреляции, тем больше время выхода энтропии на статистически стационарные значения, что означает большее время образования структур.

Сделанный вывод так же подтверждается численными расчетами дисперсии функции состояния системы (7), усредненной по пространству. Временные зависимости средней по пространству дисперсии дг, при различных радиусах корреляции изображены на рисунке 6 и рисунке 8. Образование структур сопровождается возрастанием уровня флуктуаций (дисперсии) до макроскопических масштабов. Из рисунка 6 видно, что при увеличении радиуса корреляции момент образования структур смещается в область более поздних времен. Таким образом, показано, что для случая г> 1 увеличение радиуса корреляции приводит к увеличению времени образования структур. Более сложная ситуация при г < 1 (рисунок 7, рисунок 8). Здесь не удалось выявить однозначной зависимости динамики системы от радиуса корреляции. Отметим отдельно случай г = 0.2 (значение г = 0.2 совпадает с характерным пространственным масштабом системы (7)) на рисунке 8, который характеризуется значительным увеличением времени выхода в стационарное состояние.

Отметим, что при г <0.05 происходит формирование структур с меньшим характерным пространственным масштабом (длиной волны), что приводит к увеличению числа «впадин» на заданной площади поверхности (более упорядоченное состояние). Это естественным образом приводит к увеличению статистически стационарного уровня флуктуаций, что и было подтверждено в ходе численного расчетов.

5V

— г-1 ----1=4

— г-10 --г=20

\ \

Время, |

~5бо ЙО 350

Рисунок 5. Зависимости энтропии информации системы (7) от времени при различных значениях радиусов корреляции больших единицы

Время, t

Рисунок 6. Зависимости средней по пространству дисперсии функции состояния системы (7) от времени при различных значениях радиусов корреляции больших единицы

— г=0.1

"V — гЮ.2

ч\ — 1=0.4

-- г-1 "

и JU 1UU gp^^jj , ¿UU 250 зоо

Рисунок 7. Зависимости энтропии информации системы (7) от времени при различных значениях радиусов корреляции меньших единицы

" Время,

Рисунок 8. Зависимости средней по пространству дисперсии функции состояния системы (7) от времени при различных значениях радиусов корреляции меньших единицы

В заключении перечислены основные результаты, полученные при выполнении данной диссертационной работы:

1. Получено уравнение Фоккера-Планка (УФП) для амплитуд неустойчивых мод (параметров порядка) двухкомпонентной стохастической системы реакция-диффузия в окрестности точки бифуркации Тьюринга с точностью до слагаемых, имеющих третий порядок малости в ОУГЛ. Найдено в явном виде стационарное решение полученного УФП для маргинального состояния. Это решение дает возможность установить существование фазового перехода «беспорядок-порядок-беспорядок» в конкретных системах.

2. Предложен численный метод оценки энтропии информации состояния стохастической системы реакция-диффузия.

3. На основании полученной оценки и численного исследования дисперсии функций состояния изучена эволюция ДС в конкретной системе в зависимости от значений радиуса корреляции внешнего шума. Показано, что при приближении радиуса корреляции шума к одному из характерных пространственных масштабов системы наблюдается явление существенного замедления процесса формирования ДС.

4. Разработаны подсистемы комплекса программ "Исследование статистических характеристик стохастических систем реакция-диффузия", позволяющие провести анализ и моделирование эволюции биофизической системы.

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК России:

1. Курушина, С.Е. Образование диссипативных структур в двухкомпонентных системах типа «реакция-диффузия» во флуктуирующей среде / С.Е. Курушина, Ю.В. Желнов, И.П. Завершинский, В.В. Максимов // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. - 2010. - № 1(20). - С. 143-153.

2. Курушина, С.Е. Автоволновые структуры во внешней флуктуирующей среде / С.Е. Курушина, A.A. Иванов, Ю.В. Желнов, И.П. Завершинский, В.В. Максимов // Известия Самарского научного центра РАН. - 2010. - Т.12(36). - №4. - С.41-50.

3. Курушина, С.Е. Моделирование пространственно-временных структур в системе хищник-жертва во внешней флуктуирующей среде / С.Е. Курушина, A.A. Иванов, Ю.В. Желнов, И.П. Завершинский, В.В. Максимов// Математическое моделирование. - 2010. - Т.22. - №10. С. 3-17.

Свидетельство о государственной регистрации программ:

4. Курушина, С.Е. Исследование статистических характеристик стохастических систем реакция-диффузия / С.Е. Курушина, Ю.В. Желнов, A.A. Иванов, В.В. Максимов // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. № 2013610753 от 09.01.13.

Публикации в других изданиях:

5. Курушина, С.Е. Численное исследование статистических характеристик системы хищник-жертва в случайной среде / С.Е. Курушина, Ю.В. Желнов // Материалы 5 Международной междисциплинарной научной конференции «Синергетика в естественных науках». - Тверь. -2009. - С.34-37.

6. Курушина, С.Е. Влияние нелинейной трофической функции на устойчивость статистического положения равновесия системы хищник-жертва в случайной среде / С.Е. Курушина, Ю.В. Желнов, В.В. Максимов // Труды XVI международной конференции по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам. - М.: МАИ-Принт. - 2009. - С. 296-298.

7. Курушина, С.Е. Эволюция пространственных и пространственно-временных диссипативных структур в системе хищник-жертва во внешней флуктуирующей среде / С.Е. Курушина, Ю.В.

Желвов, А.А. Иванов // Тезисы докладов XVII Международной конференции «Математика Компьютер. Образование». - Дубна. - 2010. - В. 17. - С. 149.

8. Курушина, С.Е. Моделирование тьюринговых структур и спиральных волн в системе фитопланктон-зоопланктон-рыба с флуктуирующим окружением / С.Е. Курушина, Ю.В. Желвов,

A.А. Иванов, В.В. Максимов // Материалы 6 Международной междисциплинарной научной конференции «Синергетика в естественных науках». - Тверь. - 2010. - С. 167-171.

9. Курушина, С.Е. Индуцированные шумом уединенные диссипагивные структуры в системе фигопланкгон-зоопланктон-рыба / С.Е. Курушина, Ю.В. Желвов, А.А. Иванов, Л.И. Громова // Материалы 6 Международной междисциплинарной научной конференции «Синергетика в естественных науках». - Тверь. - 2010. - С. 99-103.

10. Курушина, С.Е. Шумоиндуцированное возбуждение структур Тьюринга в докритической области в системе фитопланктон-зоопланктон-рыба / С.Е. Курушина, Ю.В. Желиов, А.А. Иванов, Л.И. Громова // Труды VII Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи". - Самара: СамГТУ. - 2010. - 4.2. - С. 156-158.

11. Курушина, С.Е. Эволюция спиральных волн в системе фитопланктон- зоопланктон-рыба с флуктуирующим окружением / С.Е. Курушина, Ю.В. Желнов, А.А. Иванов, И.П. Завершинский,

B.В. Максимов // Труды VII Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи". - Самара: СамГТУ. - 2010. - 4.2. - С. 158-160.

12. Курушина, С.Е. Влияние мультипликативных флуктуаций на эволюцию спиральных волн и траекторию дрейфа кончика спирали в экологической модели Шеффера / С.Е. Курушина, Ю.В. Желнов, А.А. Иванов, И.П. Завершинский, В.В. Максимов // Труды V Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирование естественнонаучных и социальных проблем». - Пенза: Приволжский Дом знаний. - 2010. -

13. Курушина, С.Е., Уравнение Колмогорова-Фокера-Планка для параметров порядка системы реакция-диффузия / С.Е. Курушина, Ю.В, Желнов, В.В. Максимов // Седьмые Курдюмовские чтения «Синергетика в естественных науках»: Материалы Международной междисциплинарной научной конференции с элементами научной школы для молодежи. - Тверь: Твер. гос. ун-т. -

14. Курушина, С.Е. Фазовый переход «беспорядок-порядок-беспорядок» в стохастических системах реакция диффузия / С.Е. Курушина, Ю.В. Желвов, В.В. Максимов // Материалы XLII международной научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» Control Processes and Stability (CPS'l 1). - 2011. - С. 158-165.

15. Курушина, С.Е. Математическое моделирование динамики двухкомпонентных систем реакция-диффузия во внешней флуктуирующей среде / С.Е. Курушина, Ю.В. Желвов, Л.И. Громова, В В Максимов // Материалы Семнадцатой Международной конференции по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2011) 25-31 мая 2011 г Алушта, Крым. - М.: МАИ-Принт. - 2011. - С. 577-579.

16. Желвов, Ю.В. Численная оценка энтропии информации в пространственно распределенных стохастических системах реакционно - диффузионного типа / Ю.В. Желвов // Нелинейные волны С '48-49XV' "ауЧНаЯ школа- Тезисы докладов молодых ученых. - Нижний Новгород. - 2012. -

17. Желнов, Ю.В. Исследование влияния радиуса корреляции внешних шумов на процесс образования пространственных структур на основании численной оценки энтропии информации / Ю.В. Желнов // Тезисы XX международной школы-конференции «Математика Компьютер Образование. Биофизика сложных систем. Анализ и моделирование». - М. - 2013. - С. 170.

Подписано в печать 18.10.2013г. Усл. печ. л. 1,00. Тираж 100 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета в СГАУ 443086, г. Самара, Московское шоссе, 34

04201455186

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИССИПАТИВНЫХ СТРУКТУР В СТОХАСТИЧЕСКИХ РЕАКЦИОННО-ДИФФУЗИОННЫХ СИСТЕМАХ

имени академика С.П. КОРОЛЕВА (национальный исследовательский университет)

На правах рукописи

Желнов Юрий Валериевич

05.13.18- Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

доцент Курушина Светлана Евгеньевна

Самара - 2013

Содержание

Введение...........................................................................................4

Глава 1. Аналитические методы исследования стохастических пространственно распределенных моделей типа «реакция-диффузия»...................................16

1.1. Постановка задачи..................................................................16

1.2. Метод моментов.....................................................................20

1.3. Приближение среднего поля......................................................22

1.4. Обобщенные уравнения Гинзбурга - Ландау для усредненных амплитуд неустойчивых мод........................................................................27

1.5. Уравнение Фоккера - Планка для параметров порядка.....................35

Глава 2. Численные методы исследования стохастических пространственно распределенных моделей типа «реакция-диффузия»...................................39

2.1. Метод переменных направлений Писмена - Рэчфорда...................39

2.2. Метод численной оценки энтропии информации на основании матриц вхождения................................................................................47

2.2.1. Энтропия информации.....................................................47

2.2.2. Матрицы вхождений........................................................49

2.2.3. Численная оценка энтропии информации на основании матриц вхождений.............................................................................51

2.3. Комплекс программ «Исследование статистических характеристик стохастических систем «реакция-диффузия»......................................52

Глава 3. Исследование стохастической пространственно распределенной модели Шеффера..........................................................................................54

3.1. Модель Шеффера..................................................................61

3.2. Аналитическое исследование модели Шеффера.............................62

3.2.1. Уравнение Гинзбурга - Ландау для параметров порядка в модели Шеффера.................................................................62

3.2.2. Уравнение Фоккера - Планка для плотности распределения

вероятности критической моды в модели Шеффера....................70

3.3. Численное исследование модели Шеффера..................................74

3.3.1 Моделирование динамики образования диссипативных структур в модели Шеффера в зависимости от интенсивности внешнего шума................................................................................74

3.3.2. Шумоиндуцированное параметрическое возбуждение солитоноподобных структур в модели Шеффера.........................83

3.3.3. Исследование зависимости динамики образования диссипативных структур от радиуса корреляции внешних полей на основании численной оценки энтропии информации....................87

Заключение.................................................................................92

Приложение А..............................................................................94

Приложение В..............................................................................96

Список литературы.............................................................................99

Введение

Шумы различного происхождения являются неотъемлемой частью окружающего нас мира. Во многом именно шумы отвечают за разнообразие наблюдаемых явлений. В пространственно распределенных системах шумы приводят к возникновению пространственных структур [8; 14; 15; 61; 65; 72; 87; 139] и фронтов [71; 88], резонансных структур и индуцированным шумом фазовым переходам [20; 32; 81], явлениям захвата частоты [42] и разделения фаз [28], пространственно временной перемежаемости [89] и пространственно временному стохастическому резонансу [13; 22; 50], бегущим и конвективным поддерживаемым шумом структурам [70; 83], шумоиндуцированной синхронизации [10; 58; 77] и т.д.

В последние десятилетия интенсивно разрабатываются и исследуются математические модели, предназначенные для описания, предсказания и объяснения представленных выше феноменов. Одной из них является модель реакция-диффузия с включенными в нее мультипликативными и аддитивными шумами:

дх 1

а( ^

+ Гк(г.1) + ОкЧ\, (1.1)

где £=1,2,3,..., хк - функции состояния системы, Рк(х{,..,хк,у), СлД.г,.....л-А.-/) -

функциональные зависимости, определяющие взаимодействие и эволюцию компонент хк в пространстве и во времени, йк - коэффициенты диффузии компонент, _ вектор, компоненты которого являются управляющими

параметрами, описывающими воздействие на систему внешнего окружения, / -число флуктуирующих параметров, Хм - их пространственно-временные средние, Д,(г./) - мультипликативные и Рк(г.1) - аддитивные шумы с заданными статистическими характеристиками, причем /д,(гл) = 0. ^(г,/)=0.

Детерминированный аналог системы (1.1) применяется для исследования многообразных явлений в различных областях знаний: физике [34; 94; 97; 103;

120; 159], химии [154; 157; 158; 163; 168], медицине [169], экологии [5; 17; 18; 19; 43-49; 76], экономике [92; 93; 115; 118; 144; 155].

Исследование эволюции стохастических пространственно распределенных систем може1 быть проведено различными методами. Одним из наиболее распространенных подходов является приближение среднего поля (МРТ) [16; 28; 41; 81; 87]. Этот подход позволяет предсказать существование шумоиндуцированного перехода «беспорядок-порядок-беспорядок». Однако он разработан только для однокомпонентных систем. Получаемое с его помощью уравнение Фоккера-Планка (УФП) имеет неявный вид и требует дальнейшего численного решения. Шаг получаемой при дискретизации непрерывного пространства системы (1.1) решетки выбирается подходящим образом, чю подразумевает некоторый произвол при применении МРТ. Подход дает удовлетворительное количественное соответствие с численным эксперименюм вдали от точки бифуркации и может быть использован только в определенной области характерных пространственных и временных масштабов шумов. Еще один подход для изучения эволюции систем (1.1) в окрестности точки бифуркации основан на выводе обобщенных уравнений Гинзбурга-Ландау (ОУГЛ) [24; 38]. Но получаемые в результате ОУГЛ являются также сюхасгическими и требуют дальнейшего сложного математического анализа. Подход, использующий методы динамических ренормализационных групп, применяется только для одномерных однокомпонентных систем [16; 20]. Анализ моментов функций состояния систем (1.1) и их структурных функций [15, 81], как правило, проводится численно, или при аналитическом исследовании дополнительно используются другие приближения: корреляционное, МРТ и др. Для системы (1.1) может быть записано функциональное УФП [24; 34]. Однако нахождение его решения представляет значительную сложность, если вообще это возможно. Разрабатываются и другие методы, применяемые для исследования стохастических пространственно распределенных систем, моделируемых интегро-дифференциальными уравнениями [27].

Представленные выше аналитические методы результативны в определенной области значений параметров задачи или имеют ограничения на число компонент или размерность пространства системы. Поэтому актуальным является разработка новых методов, позволяющих исследовать состояние систем (1.1) в более широкой области значений параметров самой системы и шумов или распространение известных приближенных аналитических методов для изучения многокомпонентных многомерных систем (1.1).

По причине значительной математической сложности аналитических методов, применяемых для изучения эволюции систем (1.1) и того факта, что большинство из них дает качественное соответствие с численным или натурным экспериментом, возникает необходимость дальнейшей разработки численных методов и алгоритмов для таких исследований.

Все вышеизложенное определяет актуальность темы исследования и позволяет сформулировать следующие цели и задачи исследования.

Цель диссертационной работы

Развитие аналитического подхода, основанного на обобщенных уравнениях Гинзбурга-Ландау, разработка и реализация численных методов и алгоритмов для исследования состояния многокомпонентных реакционно-диффузионных систем в присутствие внешних шумов и их применение к изучению динамики пространственных структур, возникающих в конкретных системах рассматриваемого типа.

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

1. Получить УФП для параметров порядка и с его помощью изучить зависимость плотности стационарного распределения вероятности значений амплитуды критической моды от интенсивности шума.

2. Изучить динамику формирования диссипативных структур (ДС) при различных значениях радиуса корреляции внешнего случайного поля.

3. Повести численную оценку энтропии информации состояния пространственно распределенной системы (1.1) при процессе формирования ДС, что позволит судить о мере беспорядка в поведении системы.

4. Разработать комплекс программ для моделирования эволюции систем вида (1.1) и расчета статистических характеристик их функций состояния.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем:

1. Получено уравнение Фоккера-Планка (УФП) для параметров порядка двухкомпонентноп стохастической системы реакция-диффузия в окрестности точки бифуркации Тьюринга с точностью до слагаемых, имеющих третий порядок малости в ОУГЛ и в отсутствие аддитивных шумов в системе. Найдено в явном виде стационарное решение полученного УФП для маргинального состояния. Это решение дает возможность установить наличие фазового перехода «беспорядок-порядок-беспорядок» в конкретных системах.

2. Предложен численный метод оценки энтропии информации состояния стохастической системы реакция-диффузия. На основании полученной оценки и численного исследования дисперсии функций состояния изучена эволюция ДС в конкретной системе в зависимости от значений радиуса корреляции внешнего шума. Показано, что при приближении радиуса корреляции шума к одному из характерных пространственных масштабов системы наблюдается явление существенного замедления процесса формирования ДС.

3. Разработаны подсистемы комплекса программ "Исследование статистических характеристик стохастических систем реакция-диффузия", позволяющие провести анализ и моделирование эволюции биофизической системы. Основные положения, выносимые на защиту:

1. Уравнение Фоккера-Планка для амплитуд неустойчивых мод двухкомпонентной стохастической системы реакция-диффузия, полученное с точностью до слагаемых третьего порядка малости в ОУГЛ и в отсутствие аддитивных шумов, и его стационарное решение для маргинального состояния. Результаты аналитического исследования зависимости плотности

стационарного распределения вероятности значений амплитуды критической моды от интенсивности шума.

2. Численный метод оценки энтропии информации состояния стохастической системы реакция-диффузия. Результаты численного исследования эволюции ДС в конкретной системе в зависимости от значений радиуса корреляции внешнего шума.

3. Подсистемы комплекса программ "Исследование статистических характеристик стохастических систем реакция-диффузия", позволяющие провести анализ и моделирование эволюции биофизической системы.

Научная и практическая значимость

Разработанные методы и алгоритмы могут применяться при исследовании стохастических реакционно-диффузионных систем, а также в учебном процессе при подготовке магистров прикладных физики и математики, специализирующихся в области нелинейной динамики и статистической физики.

Достоверность результатов диссертационной работы определяется их верификацией при разнообразном тестировании, включающем сравнение с точными решениями (при их наличии), сравнением с известными теоретическими результатами и расчетами по другим алгоритмам, адекватностью полученных результатов и согласованностью с современными представлениями о предмете исследования.

Связь с государственными программами

Работы по теме диссертации выполнялись в соответствии с планами фундаментальных научно-исследовательских работ в рамках государственного задания Минобрнауки РФ вузам на 2012-2014 гг., № 2.560.2011 и гранта ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. №14.ВЗ7.21.0767.

Апробация результатов работы

Основные результаты диссертации были представлены на следующих Всероссийских и Международных конференциях: V международная междисциплинарная научная конференция «Синергетика в естественных науках»

(г. Тверь, 2009г), XVI международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Москва, 2009г.), XVII международная конференция «Математика. Компьютер. Образование» (г. Дубна, 20 Юг), VI международная междисциплинарная научная конференция «Синергетика в естественных науках» (г. Тверь, 20Юг), VII всероссийская научная конференция с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (г. Самара, 20 Юг), V международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (г. Пенза 20 Юг), VII международная междисциплинарная научная конференция «Синергетика в естественных науках» (г. Тверь, 2011 г), XLII международная научная конференция аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» Control Processes and Stability (г. Санкт-Петербург, 2011 г), XVII международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Алушта, 2011 г), 16 научная школа «Нелинейные волны-2012» (г. Нижний Новгород, 2012г), XX международная школа-конференция «Биофизика сложных систем. Анализ и моделирование» «МКО 2013» (г. Пущино, 2013г).

Основные публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, в том числе 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, 1 свидетельство о государственной регистрации программ, 13 трудов Международных и Всероссийских конференций.

Авторский вклад. Все результаты, изложенные в диссертации, получены автором лично, либо при его определяющем личном участии. Автор принимал непосредственное участие в постановке задач, разработке алгоритмов решения задач и их реализации. Автор осуществлял проведение численных экспериментов, обработку, анализ и интерпретацию полученных результатов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Полный объем работы составляет 115 страниц. В работе приведен 21

рисунок. Список цитируемой литературы содержит 171 библиографических ссылок.

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследований, описаны защищаемые положения.

В первой главе диссертации представлены аналитические подходы к изучению состояния систем вида (1.1).

Здесь приведен обзор наиболее широко распространенных аналитических подходов, обсуждены их достоинства и недостатки. Подробно описана процедура получения обобщенных уравнений Гинзбурга - Ландау для амплитуд неустойчивых мод системы (1.1) [123].

Последний раздел главы посвящен выводу уравнения Фоккера - Планка для параметров порядка с точностью до слагаемых, имеющих третий порядок малости в ОУГЛ. В явном виде получено его стационарное решение для критического случая, когда неустойчива одна мода (маргинальное состояние).

Полученное решение позволяет исследовать поведение плотности стационарного распределения вероятности значений амплитуды критической моды в зависимости от бифуркационного параметра задачи. В зависимости от того является она бимодальной или одномодальной можно судить в каком состоянии (порядок или беспорядок) находится стохастическая система (1.1).

Преимущества развитого подхода заключаются в том, что он применим к многокомпонентным многомерным системам. Стационарное решение УФП для критического параметра порядка записывается в явном виде. Этот подход применим к широкому классу нелинейных функций. Предложенный подход не содержит произвола, связанного с дискретизацией непрерывного пространства системы, что имеет место в МП\ Он может быть использован и в случае шумов с конечными характерными пространственными и временными масштабами.

Вторая глава посвящена разработке численных методов и алгоритмов для исследования состояния систем (1.1).

В разделе 2.1 представлена разностная схема для численного моделирования эволюции систем реакция-диффузия с мультипликативным шумом, основанная на методе переменных направлений и спектральном методе моделирования случайных полей с заданной функцией корреляции.

Под действием внешних шумов поведение системы (1.1) может стать сильно неупорядоченным. Чтобы иметь возможно