автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование и расчет системы робастного магнитного подвеса

На правах рукописи

Ан>

Лю Шухуань

МОДЕЛИРОВАНИЕ И РАСЧЕТ СИСТЕМЫ РОБАСТНОГО МАГНИТНОГО ПОДВЕСА

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 2005

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Научный руководитель: кандидат технических наук

ЧЕЧУРИН

Леонид Сергеевич

Официальные оппоненты:

кандидат технических наук, ст. преподаватель СПбГУАП

доктор технических наук, профессор СПбГПУ

УСТИНОВ Сергей Михайлович,

ПЕТРОВА

Ксения Юрьевна

Ведущая организация: ФГУП "ОКБМ им. И.И. Африкантова" (Нижний Новгород).

Защита состоится 09 июня 2005 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.229.10 Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» по адресу. 195251, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29, корп.9, факультет технической кибернетики, ауд. 535.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ГОУВПО СПбГПУ.

Автореферат разослан 07 мая 2005 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.229.10

доктор технических наук, профессор

Мапыхина Г.Ф.

jSZkß

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Разработка и приложение теории синтеза робастных динамических систем в различных областях техники остается актуальной темой исследований в последние два десятилетия. Принципиальным достоинством робастного синтеза является надежность создаваемой системы, ее способность функционировать в условиях неизбежных внешних и внутренних неопределенностей описания. С другой стороны, реализация теоретических алгоритмов для практиков имеет три принципиальные трудности: сложность математического аппарата и формализации требований робастности, высокий консерватизм (пассивность) и большая размерность создаваемых систем. Многие из этих проблем не имеют строгого математического решения, однако, попытки эвристических, интуитивно понятных инженерных решений являются предметом постоянной научной дискуссии. Этой проблемой занимались и занимаются многие известные российские и зарубежные ученые Харитонов В.Л, ПознякА.С, Барабанов А.Е, Первозванский А.А, Фэн Чуньбо, Гуансюн, Зеймс (Zames), Дойл (Doyle), Гайне (Gainet) и многие другие.

Задача моделирования системы магнитного подвеса ротора сколь актуальна столь и трудна. Актуальность обусловлена перспективой создания агрегатов со сверхвысокой скоростью вращения. Трудности заключаются как в сложности применяемых для управления моделей объекта - многомерного, неустойчивого, высокого порядка, так и в неизбежном наличии неопределенностей в используемой для управления модели. На настоящее время довольно распространены лабораторные установки магнитного подвеса ротора, например, ОКБМ им. И.И. Африкантова (Нижний Новгород), Сеульского национального университета (СНУ, Юж. Корея) и др., однако известны лишь единичные примеры успешной промышленной реализации.

Цель исследования заключается в разработке математической модели системы робастного магнитного подвеса рот

Методы исследования. Поставленная цель достигается следующими путями:

1) использованием теории робастного управления (Я,-теории),

2) выбором модели неопределенности, адекватного критерия качества управления и схемы редукции системы,

3) использованием техники решения линейных матричных неравенств и матричных уравнений Лурье-Риккати.

Основные научные результаты.

1) разработана математическая модель и проведен синтез субоптимальной робастной системы магнитного подвеса ротора, в частности

а) предложена методика прямого моделирования неопределенностей и их учета в функционале робастности,

б) предложена методика составления обобщенного функционала робастности;

2) предложена методика прямого получения регулятора пониженного порядка для системы магнитного подвеса ротора;

3) проведен анализ и сравнительная оценка современных методов робастного управления и снижения размерности.

Достоверность результатов. полученных в диссертации, подтверждается использованием адекватных поставленным задачам математических инструментов и вычислительными экспериментами.

Научая новизна. В диссертации впервые сформулирована методика расчета робастного регулятора для системы магнитного подвеса на основе функционала смешанной чувствительности и предложена методика прямой редукции регулятора.

Практическая ценность результатов работы заключается в разработанной методике синтеза робастного регулятора, применимой к широкому классу задач активного подвеса машин и инструментов, а также в проведенной —.редукции • полученных регуляторов, позволяющей практическую их реализацию. ;

Апробация работы. Результаты диссертационной работы опубликованы в четырех печатных трудах и обсуждались на семинаре «Моделирование и управление инновациями» Института инноватики СПбГПУ, на городском семинаре по теории управления НИИ Проблем машиноведения, в рамках 33 Недели Науки СПбГПУ (27 ноября 25 дек. 2004г.), на конференции «Фундаментальные исследования в вузах» СПбГПУ в мае 2005 г.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 148 наименований. Полный объем диссертации - 143 страницы, включая 35 рисунков и 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе дается обзор и анализ существующих подходов к синтезу стабилизирующих Н, -оптимальных и робастных регуляторов для линейных непрерывных систем. Вводятся математические модели для параметрической и структурной неопределенностей. Рассматриваются основные критерии робастной устойчивости системы во временной и частотной областях: теорема В.Л. Харитонова (параметрическая неопределенность), критерий Найквиста и теорема о малом коэффициенте усиления. Формулируется задача Я,-многокритериальной оптимизации и рассматривается основной метод во временной области для решения этой задачи. Дается обзор основных методов редукции системы и ре1-улягора Рассматриваются несколько основных подходов редукции: редукция с помощью методов главных координат, сбалансированная редукция, редукция с сохранением качества по квадратичной норме (Н2- норме) и равномерно-частотной норме (Я,-норме). Отмечаются главные недостатки известных методов синтеза Н, -регулятора полной размерности для линейных непрерывных систем, а также показываются недостатки типичных методов для решения задачи синтеза Н,-регулятора пониженной размерности Ставятся задачи проектирования Я,-регулятора полной и пониженной

размерности для линейных непрерывных системы с помощью методики линейных матричных неравенств

Во второй главе рассматриваются основные аспекты синтеза регуляторов на основе ЛМН Приводятся необходимые математические определения и результаты теории линейных матричных неравенств. Рассматриваются некоторые общие проблемы в задаче синтеза робастного регулятора на основе ЛМН, например, анализ В- устойчивости, робастное многокритериальное управление, синтез робастного регулятора замкнутой системы.

Рассматриваются системы, описываемые уравнениями в пространстве состояний

где хеЯ" - вектор состояния, иеЯт - вектор управления, уеИр - вектор измерений. На языке ЛМН даются необходимое и достаточное условия, обеспечивающие О-устойчивостью матрицу А. Рассматривается проблема решения невыпуклой задачи с помощью методики ЛМН. Приведен пример -задача минимизации ранга положительно определенной матрицы. Дается основное описание и результаты задачи минимизации ранга положительной определенной матрицы. Поставлена задача конструирования у-субоптимального робастного регулятора пониженной размерности замкнутой системы по выходу с помощью методики ЛМН.

Ставится следующая эквивален гная задача оптимизации,

х(/)= Ах(1)+ВиЦ) у(1)=Сх(1) + йи(1)'

(1)

(X

при условии, что

АХ + ХАТ < ВВТ < 0 , УА + АгУтСгС <0,

Задача (2) является задачей невыпуклой оптимизации Для ее решения вводится вспомогательная выпуклая задача оптимизации

Задача (3) может быть решена с помощью функции ттсх в ЬМ1-Тоо1Ьох. В третьей главе рассматривается задача моделирования робастной системы магнитного подвеса ротора при неопределенной скорости вращения, когда не известны ни гироскопический момент, ни возмущения центробежными силами, вызванными эксцентриситетом ротора. При этом ставится задача обеспечения необходимого качества управления - отклонения оси вращения не должны превышать весьма малого зазора между магнитом и ротором. Используется стандартное описание объекта в обобщенных координатах, дается анализ влияния неопределенности на его передаточную функцию. Предлагается метод рационального моделирования неопределенностей, обеспечивающий наименее консервативную их оценку. Вводится функционал качества управления, учитывающий требования робастной устойчивости и работоспособности. Рассматривается задача редукции построенного //^-регулятора. Приведены процедуры понижения порядка регулятора тремя способами, в том числе, рассматривается проблема синте за Нг- регулятора заданного порядка с помощью методики ЛМН. Составляются алгоритмы разных методов для решения этих задач.

Модечь ротора на магнитных подшипниках. Система координат и силы, действующие на ротор, представлены на рис. 1. Эта система описывается системой дифференциальных уравнений

при условии, что

аи+Яа' <вв',

А'х + &4<С'С,

(3)

Х(, = А(, Х(, + В(, и<, <-£/(, У о = Со хо

где

хо =[х1 х2 *2 У\ У2 УI >'2 ]7 — вектор перемещений и скоростей точек

опоры ротора; - вектор токов возбуждения катушек магнитных

«о=[Л. V., Л, Г

подшипников;

- вектор центробежных сил, вызванных наличием

эксцентриситета;

- вектор наблюдаемых сигналов.

У(, =[*1 У\ УгУ

Индексы 1и 2 в выражении (4), обозначают верхний и нижний подшипник, соответственно.

Матрицы пространства состояний системы (4) с учетом эксцентриситета и других физических параметров, имеют вид:

Аг. =

"0 1 0 0" 0 0" '0 0"

0 0 А2 ■ в,.= в 0 . Е- Е, 0 , с„ = 0 0 0"

0 0 0 I 0 0 „ 0 0 0 0 I 0

в а, 0 0 в 0 Е.

(5)

Здесь принято

V, +мЦ)ки

А, =

(¿ЛЖ, -Jr)Ku

ш, ' ш,

ш, муг

■ А, = Р

и.

'к, и.+мф К/, (ЦЬ " 1 "

MJ, М

к, UiLim-.tr) 1

му, .м.

(6)

где

Л/ - вес ротора;

Jí, и 7, ~ аксиальная и радиальная инерции вращения;

К\П и АГ1/2 - коэффициенты жесткости магнитных подшипников;

Кц и К,2 - коэффициенты усиления контуров управления магнитных

подшипников; р ~ скорость вращения ротора.

Отмечается, чю в блоке А2 содержится переменный параметр -скорость вращения ротора р. При изменении скорости вращения этот параметр является причиной неопределенности системы. Требования к регулятору. Требуется построить робастный регулятор с обратной связью по выходу, который обеспечивает два следующих условия одновременно:

1) система является устойчивой при любой скорости вращения (робастная устойчивость);

2) при любой скорости вращения гарантируется минимум энергии перемещений на выходе (номинальное качество).

Моделирование неопределенностей. По множеству частотных характеристик максимального сингулярного собственною числа передаточной матрицы ошибок можно построить их действительную мажоранту u>|(s). Тогда при любой скорости вращенияр можно будет гарантировать

<т(Д(;Й))<эдО^). (7)

Так, для параметров, соответствующих физическому прототипу СНУ, на рис. 2 показано семейство максимальных сингулярных собственных чисел передаточных функций р, 4000), где р = 0, 1, ..., 6 (хЮ1 рад/с) для номинального объекта с р0 = 4000 рад/с и выбранная мажоранта -амплитудно-частотная характеристика передаточной функции

7 8х 10~8(6.5я-1)

í1 '+,>Tf1 '-i

Uoo Al 100 J Формализация требований к управлению

а) Робастная устойчивость Возмущение несбалансированности ротора моделируется введением центробежных сил синусоидальной формы

= М2 е /г [eospt sin pl] ,

где e - эксцентриситет [м].

Затем подбирается по возможности простой реализуемый фильтр высоких частот w2(s) с далекими от мнимой оси устойчивыми полюсами. Так,

в протогипе СНУ М = 1.0849 кг, е - 40х10"6 м, график ]/0| и его мажоранты

,и'2| как функции частоты вращения р , представлены на рис. 3, в котором

диапазон скорости вращения ротора от 0 до 6000 рад/с . Здесь принято

0.2820О +1059) _, , . . .

и,(л)= . Важно, что ^1(5) и vf7(i) выбираются естественным

(6.28 х Ю s +1)

образом, в соответствии с инженерными условиями задачи.

Показывается, что в исследуемом случае, задача улучшения робастной устойчивости сводится к оптимизационной проблеме

)(/ - ед&0(>))-' K(>W,M-■> iim mjn (8'

где IVi(s)- диагональная матрица с диагональными моментами Wl(s). б) Ослабление внешних возмущений Ставится задача построения К(.ч). обеспечивающего минимизацию Я,-нормы передаточной функции T-,(K(s)) от сигнала возмущения к выходу. При выбранной форме обратной связи задача сводится к

¡[{/-л:(s)Go(a)Г'с?о2(-> (9)

где W2(s) - диагональная матрица, на блоках главной диагонали которой находятся w2(.s). Gj'(s) - номинальная передаточная матрица от возмущения к перемещению

Объединение (8) и (9) дает общую задачу оптимизационного синтеза регулятора K(s)

p-K(s)G„(s)f'K(sWM) I . (10)

-> min

..............

Очевидно, что при ограничении (10) ограничиваются (8) и (9).Однако, прямая минимизация (10) невозможна. Поэтому строится обобщенная передаточная функция в виде

T-As)=[(/ ~ K{s)G°{s)Y> K(sW] {s) K{s){1 ~ °u(5))' c°"{sW2ls'1 • (11)

- K(s)Wt (i) (l-Go(s)K(S)fG;;(sW:(s) J

Соответствующая передаточная функция от d к z представлена на рис.4. Очевидно, что передаточные функции из (8) и (9) входят в (11) как

элементы. Следовательно, ограниченность ¡^ (л)|| означает офаниченноаь (8) и (9). С другой стороны, задача поиска K(s) (см. рис. 4) с функционалом качества является стандартной для ее разработки. Однако и в

решении этой более общей задачи есть смысл, поскольку при этом накладываются ограничения на сигналы внутри системы. 4 Построение у-субоптимального Нх -регулятора с помощью ЛМН подхода

Поставлена стандартная задача синтеза Н^ - управления для системы (4) (рис. 5): построить динамический регулятор по измеряемому выходу, при котором обеспечивается гашение возмущений в заданном отношении у, т.е. ЦГ.^Ц^ < а при отсутствии возмущений и замкнутая система

асимптотически устойчива, где ||и|| = ||и| dt для любой вектор-функции

о

o(i) е ¿2. Даются достаточное и необходимое условия для решения этой задачи. Изложены алгоритмы для получения стационарного регулятора в параметризованной форме.

Конструирование Н,- регулятора заданного порядка с обратной связью по выходу с помощью методики ЛМН Поставлена задача конструирования II х регулятора заданного порядка с обратной связью по выходу с помощью методики ЛМН для линейной непрерывной системы. Рассматривается проблема предела порядка Н, -регулятора. Показано существование Я,-регулятора пониженного порядка. Даются необходимое и достаточное t условия для решения этой задачи. Составляется алюршм для решения этой

задачи с помощью mincx в пакете Robust Toolbox.

В четвертой главе иллюстрируется реализация решений выше поставленных задач и ведется анализ имитационных экспериментов. Расчеты производились для значений параметров, соответствующих прототипу СНУ, в котором М=1.08 кг, е-40мкм, Уа=1.45х104кгм2, ,/,=1.60х10"кгм , L,= 29.7мм, ¿2=42.3мм, £,„=4.56x1 05Н/М, К,л=2.28х105Я/М Кп=296Н'А, К/2=148Н/А. Номинальным выбран объект со скоростью вращения ротора

/л,, = 4000 рад/с, при этом, как обсуждалось выше, норма аддитивной неопределенности оказалась наименьшей В среде МАТЬАВ рассчитываются матрицы пространства состояний регулятора, минимизирующего обобщенный критерий ¡^-¿М'^ (И)- Важно, чго полученная постановка оказывается сингулярной, когда некоторые условия, накладываемые, в частности, на элементы матрицы Д, не выполнены. Субоптимальный регулятор (с разрешенным допуском неоптимальности 10%) обеспечил значение показателя (8) меньше 1, т.е. обеспечивается робастная устойчивость замкнутой системы. В соответствии с общими свойствами решения стандартной задачи //.¿-синтеза, стабилизирующий регулятор строго реализуем и имеет порядок пк = 28. Отмечается, что субоптимальный регулятор обладает гораздо лучшими квадратичными свойствами (меньшим временем регулирования) в сравнении с оптимальным, и его структура не может оказаться вырожденной. Карта полюсов замкнутой системы при изменении скорости вращения /?е[0, ..., 6000] рад/с представлена на рис. 6. Так как регулятор сконструирован по критерию робастной устойчивости замкнутой системы, полюса всегда остаются устойчивыми. На рис. 7 показано максимальное сингулярное собственное число замкнутой системы с номинальным объектом. Качество управления на любой скорости вращения хорошо проверяется непосредственно по вычисленным осциллограммам установившихся колебаний в замкнутой системе - орбитам. Численное интегрирование в пакете Б^тиИпк показывает, что радиус орбит (максимальная длина полуоси орбитыхгу]) при любой скорости вращения не превышает Д/ = 38 мкм, как показано на рис. 8.

Редущия регулятора В соответствии с разработанным в гл. 2 алгоритмом проведено последовательное снижение размерности регулятора с 28 до 10. На рис. 9 показана важная диаграмма зависимости показателя качества управления от размерности регулятора рассматриваемой системы. На рис. 10 показаны сингулярные собственные числа номинальной замкнутой системы с регулятором разных порядков, полученным по методике ЛМН. Вследствие

ч

соответствия параметризации между регулятором и решением линейных матричных неравенств, точность сокращения ю1к =10"5 юИу1. Рис.9 и рис. 10 показывают, как понижение порядка регулятора влияет на падение качества замкнутой системы. Несмотря на то, что оптимальное значение качества системы уор1> 1, с учетом 7.,, ^ «1, робастная устойчивость сохраняется. Блок-схема предлагаемого алгоритма представлена в диссертации

Рис. 3 Возмущение несбалансированного Рис 4. Обобщенная задача синтеза

центра масс и его мажоранта

Рис. 5 Стандартная задача построения 7-субоптимального Нт -регулятора

3500 .ЗОЮ ЛОО 2«Ю 15« МО Яй

Рис.6. Числительный эксперимент, изменения полюсов замкнутой системы с регулятором я*= 28 при р е [0,..., 6000] рад/с.

Рис 7 Расчет сингулярных собственных чисел замкнутой системы с номинальным объектом {щ = 28)

Рис 8 Численный эксперимент, максимальная длина полуоси установившейся орбиты при р е [0,..., 6000] рад/с

Рис 9 Сравнение у-субоптимального показателя замкнутой системы при понижении порядка регулятора (ЛМН)

Рис. 10. Сингулярные числа номинальной замкнутой системы с регулятором разных порядков

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Основные результаты работы состоят в следующем:

1) Предложена математическая модель учета неопределенностей в системе магнитного подвеса жесткого ротора, связанных с неточным значением скорости его вращения при наличии эксцентриситета.

2) Предложен функционал качества, гарантирующий робастную устойчивость и работоспособность системы, предложена процедура сведения полученной задачи оптимизации к стандартной.

3) Проведен синтез решения с помощью асимптотической модификации процедуры решения уравнений Лурье-Риккати.

4) Проведено снижение размерности полученной модели системы с учетом сохранения качества управления. Получены численные оценки связи порядка редукции и качества управления.

5) Полученные в работе оценки и результаты подтверждаются численными экспериментами.

Публикации по теме диссертации

1. Wang Guang-xiong, Не Zhen, Liu Shu-huan// Method for treating singlular problems in design/ Electric machines and control - 2000, Vol.4, No. 3, Стр. 148-163

2. Лк> Шухуань, Чечурин Л.С.// Робастный регулятор для системы магнитного подвеса/ Материалы Всероссийской научно-технической конференции студентов и аспирантов, Ч. XII, СПбГПУ, 2004. Стр. 80

3. Лю Шухуань, Чечурин Л.С.// Синтез робастного управления ротором на магнитном подвесе// Инноватика в науке, образовании и производстве -Труды СПбГПУ, No.492, Стр. 136-146

4. Лю Шухуань, «Робастные динамические системы» п. 1 главы 8 в книге Чечурин С.Л, Чечурин Л.С. Физические основы теории колебаний. СПб.: Изд-во Политехнического ун-та, 2005,258с. Стр. 141-163.

Р- 95 6 5

РНБ Русский фонд

2006-4 15849

Лю Шухуань

МОДЕЛИРОВАНИЕ И РАСЧЕТ СИСТЕМЫ РОБАСТНОГО МАГНИТНОГО ПОДВЕСА

Автореферат

Объем в п.л. 1 Заказ

Подписано в печать 06.05.05 Тираж 100 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в Центре оперативной полиграфии Института инноватики СПбГПУ 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29

Введение.

В .1 Актуальность темы.

В.2 Цель исследования.

В.З Методы исследования.

В.4 Основные научные результаты.

В.5 Достоверность результатов.

В.6 Научая новизна.

В.7 Практическая ценность.

В.8 Апробация работы.

В.9 Структура и объем диссертации.

Глава 1 Синтез Н„-регуляторов робастного управления.

1.1 История теории робастного управления.

1.2 Основные аспекты теории робастного управления.

1.2.1 Модели неопределенности.

1.2.2 Анализ робастной устойчивости.

1.2.3 Многокритериальная оптимизация.

1.3 Современный метод синтеза Н .»-регуляторов робастного управления.

1.3.1 в частотной области.

1.3.2 в пространстве состояний.

1.4 Проблема минимизации и класс регулятора.

1.5 Редукция регулятора.

1.5.1 Редукция с помощью методов главных координат.

1.5.2 Сбалансированная редукция.

1.5.3 Редукция с сохранением качества.

1.5.4 Обобщенная задача редукции.

Глава 2 Робастное управление по методике линейных матричных неравенств (ЛМН).

2.1 Основы теории ЛМН.

2.2 Устойчивость и анализ Б - устойчивости на основе размещения полюсов

2.3 Н~, Н2-показатель качества.

2.4 Робастное Нг/Н- -управление.

2.5 Построение робастного регулятора полной размерности замкнутой системы по методике на основе ЛМН.

2.6 Решение невыпуклой задачи с помощью методики ЛМН.

2.6.1 Попытка конструирования робастного регулятора пониженной размерности замкнутой системы по выходу.

2.6.2 Задача редукции Н~ -регулятора и решение по методике ЛМН.

2.6.3 Прямая редукция Н~- регулятора с сингулярной проблемой на основе методики ЛМН.

Глава 3 Робастное управление ротором на магнитном подвесе.

3.1 Моделирование.

3.1.1 Модель ротора на магнитных подшипниках.

3.1.2 Моделирование неопределенностей.

3.2 Постановка задачи оптимальной Ноо стабилизации.

3.2.1 Робастная устойчивость.

3.2.2 Ослабление внешних возмущений.

3.3 Конструирование Нда -регулятора полной размерности с обратной связью по выходу.

3.3.1 Построение Ноо -субоптимального регулятора с помощью 2-Риккати подхода.

3.3.2 Построениеу-субоптимального Н«, -регулятора с помощью ЛМН подхода.

3.4 Конструирование Н~- регулятора заданного порядка с обратной связью по выходу с помощью методики ЛМН.

3.4.1 Алгоритм -1.

3.4.2 Алгорита-II.

Глава. 4 Экспериментальное исследование качества и эффективности Н~-регуляторов в СРМП.

4.1 Синтез системы ротора магнитного подвеса с регулятором полной размерности.

4.2 Редукция регулятора.

4.3 Синтез СРМП с Н—регулятором заданного порядка по методике ЛМН

В.1 Актуальность темы

Разработка и приложение теории синтеза робастных динамических систем в различных областях техники остается актуальной темой исследований в последние два десятилетия. Принципиальным достоинством робастного синтеза является надежность создаваемой системы, ее способность функционировать в условиях неизбежных внешних и внутренних неопределенностей описания. С другой стороны, реализация теоретических алгоритмов для практиков имеет три принципиальные трудности: сложность математического аппарата и формализации требований робастности, высокий консерватизм (пассивность) и большая размерность создаваемых систем. Многие из этих проблем не имеют строгого математического решения, однако, попытки эвристических, интуитивно понятных инженерных решений являются предметом постоянной научной дискуссии. Этой проблемой занимались и занимаются многие известные российские и зарубежные ученые Харитонов B.JI, Позняк А.С, Барабанов А.Е, Первозванский А.А, Фэн Чуньбо, Гуансюн, Зеймс (Zames), Дойл (Doyle), Гайне (Gainet) и многие другие.

Задача моделирования системы магнитного подвеса ротора сколь актуальна столь и трудна. Актуальность обусловлена перспективой создания агрегатов со сверхвысокой скоростью вращения. Трудности заключаются как в сложности применяемых для управления моделей объекта - многомерного, неустойчивого, высокого порядка, так и в неизбежном наличии неопределенностей в используемой для управления модели. На настоящее время довольно распространены лабораторные установки магнитного подвеса ротора, например, ОКБМ им. И.И. Африкантова (Нижний Новгород), Сеульского национального университета (СНУ, Юж. Корея) и др., однако известны лишь единичные примеры успешной промышленной реализации. 3

В.2 Цель исследования заключается в разработке математической модели системы робастного магнитного подвеса ротора.

В.З Методы исследования

Поставленная цель достигается следующими путями:

1) использованием теории робастного управления (7/оо-теории),

2) выбором модели неопределенности, адекватного критерия качества управления и схемы редукции системы, использованием техники решения линейных матричных неравенств и матричных уравнений Лурье-Риккати.

В.4 Основные научные результаты

1) разработана математическая модель и проведен синтез субоптимальной робастной системы магнитного подвеса ротора, в частности а) предложена методика прямого моделирования неопределенностей и их учета в функционале робастности, б) предложена методика составления обобщенного функционала робастности;

2) предложена методика прямого получения регулятора пониженного порядка для системы магнитного подвеса ротора;

3) проведен анализ и сравнительная оценка современных методов робастного управления и снижения размерности.

В. 5 Достоверность результатов

Достоверность резульатов подтверждается использованием адекватных поставленным задачам математических инструментов и вычислительными экспериментами.

В. 6 Научая новизна

В диссертации впервые сформулирована методика расчета робастного регулятора для системы магнитного подвеса на основе функционала смешанной чувствительности и предложена методика прямой редукции регулятора.

В. 7 Практическая ценность

Практическая ценность результатов работы заключается в разработанной методике синтеза робастного регулятора, применимой к широкому классу задач активного подвеса машин и инструментов, а также в проведенной редукции полученных регуляторов, позволяющей практическую их реализацию.

В.8 Апробация работы

Результаты диссертационной работы опубликованы в четырех печатных трудах и обсуждались на семинаре «Моделирование и управление инновациями» Института инноватики СПбГПУ, на городском семинаре по теории управления НИИ Проблем машиноведения, в рамках 33 Недели Науки СПбГПУ (27 ноября - 25 дек. 2004г.), на конференции «Фундаментальные исследования в вузах» СПбГПУ в мае 2005 г.

В. 9 Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 148 наименований. Полный объем диссертации - 143 страницы, включая 35 рисунков и 2 таблицы.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1) Предложена математическая модель учета неопределенностей в системе магнитного подвеса жесткого ротора, связанных с неточным значением скорости его вращения при наличии эксцентриситета.

2) Предложен функционал качества, гарантирующий робастную устойчивость и работоспособность системы, предложена процедура сведения полученной задачи оптимизации к стандартной.

3) Проведен синтез решения с помощью асимптотической модификации процедуры решения уравнений Лурье-Риккати.

4) Приведено снижение размерности полученной модели системы с учетом сохранения качества управления. Получены числительные оценки связи порядка редукции и качества управления.

5) Полученные в работе оценки и результаты подтверждаются численными экспериментами.

1. Apkarian P, Gahinet P, Becker G. Self-scheduled Hn Control of linear parameter-varying systems: a design example. Automatic. 1995. Vol.31. №9. pp:1251-1261.

2. Apkarian P. On the discretization of LMI-synthesized linear parameter-varying controllers. Automatica. 1996. Vol.33. №4. pp: 655-661.

3. Basar T, Bernhard P. Дй-optimal control and related minima design problems- a dynamic game approach. Birkhauser. Boston. 1991.

4. Battilotti S. A note on reduced order stabilizing output feedback controllers. Systems & Control Letters. 1997. №30. pp: 71-81.

5. Bernstein. D. S, Haddad. W. M, LQG control with an performance bound: A * Riccati equiation approach. IEEE Trans on Auto Control. 1989. Vol.34. №3.pp: 293-305.

6. Black. H. S. Stabilized feedback amplifiers. Bell system technical Journal. 1934. №13. pp: 1-18.

7. Bode. H. W. Network analysis and feedback amplifer design. Van Nostrand. New York. 1945.

8. Bode H. W. Relations between attenuation and phase in feedback amplifier design. Bell system technical Journal. 1940. №19. pp: 421-454.

9. Brian D. O. A, Yi Liu. Controller reduction : Concepts and Approaches. IEEE Trans on Automat Control. 1989. Vol.34. №8. pp: 802-812.

10. Chechurin L. S, Choi H, Kim J. H, Pervozvanski A. A. Robust control in linear systems. St, Petersburg. 1998.

11. Chee Fai. Yung. Reduced-order H¡» controller design-an algebraic Riccati equation approach. Automatica. 2000. №.36. pp: 923-926.

12. Chechurin L. S, Distributed Parameter systems-digital modeling techniques. Chapter 6.4 in the book Tchetchourine S. L, Hong S. W. Frequency analysis for Dynamical systems. Spb: Computer Publishing systems. 1996. 248p.

13. David C. H, Dennis S. B. The optimal projection equations for model reduction and the relationships among the methods of Wilson, Skelton, and Moore. IEEE Trans on Automat control. 1985. Vol.AC-30. №12. pp: 1201-1211.

14. Dongwon S. Dynamic performance improvement of magnetic bearing supported rotor systems using the centralized controller. Ph.D. dissertation. Seoul National University. 1996.

15. Dorato P. Robust Control. IEEE. Press. 1987.

16. Doyle J. C. Analysis of feedback system with structured uncertainties. IEE Proceedings. Part D. 1982. №129. pp: 242-250.

17. Doyle J. C, Francis B. A, Tannenbaum A. R. Feedback control theory. Macmilan, New York. 1992.

18. Doyle J. C, Glover K. A state space solutions to standard H^ -control problems. IEEE Trans, on Automat Control. 1989. №39. pp: 350-360.

19. Doyle J. C. Guaranteed margins for LQG regulators. 1978. AC-№23. pp: 756-757.

20. Doyle J. C, Packard A, Zhou K. Review of LFTs LMIs and n . Proc IEEE conf. Decision Controller. 1991. pp: 1227-1232.

21. Doyle J.C, Glover K, Zhou K, Bodenheimer B. Mixed H2 and H^ performance objectives II: Optimal control. IEEE Trans, on Automat Control. 1994. Vol.39. №8.pp: 1575-1587.

22. Doyle J. C, Glover K, Khargonekar P. P, Fransis B. State-space Solutions to Standard H 2 and H « Control Problem. IEEE Trans, on Automat. Control. 1989. Vol.AC-34. №8. pp: 831-847.

23. Fujita M, Hatake K, Matsumura F. Loop shaping based robust control of a magnetic bearing. IEEE Control Systems. 1993. Vol.13. №4. pp: 57-65.

24. Gahinet P, Apdarian P. A linear matrix inequality approach to H* control. Int J. Robust Nonlinear Control. 1994. Vol.4. №3. pp: 421-448.

25. Gahinet P, Arkadi N. The projective method for solving linear matrix inequalities. Mathematical programming. 1997. Vol.77, pp: 163-190.

26. Gahinet P. Explicit control formulas for LMI-based synthesis. Automatic. 1996. Vol.32. №7. pp: 1007-1014.

27. Glover K, Doyle J. C. State space formulate for linear multivariable systems and their I« error bounds. Int. Control. 1984. Vol.39, pp: 1115-1193.

28. Glover K, Doyle J. C. State space formulate for all stabilizing controllers that satisfy and Яоо-norm bound and relations to risk sensitivity. Systems & Control Letters. 1988. №11. pp: 167-172.

29. Lei Guo, Chun Bo. Feng. A Linear Matrix Inequality based design method of reduced order controllers for singular control problems. China. Control theory and applications. 1996. Vol.13. №6. pp: 709-716.

30. Lei Guo, Chun Bo. Feng. A Linear Matrix Inequality based design method of reduced order controllers for general control problems. Science in China(E). 1997. Vol.27. №4. pp: 353-361.

31. Lei Guo, Chun Bo, Feng. The LMI based reduced order controllers for mixed Яг/Да control problems: continuous-time case. ACTA Automatica sinica. 1998. Vol.24. №3. pp: 294-300.

32. Haddad W. M, Bernstein D. S. Combined model reduction. Int. J. Control, 1989. Vol.49. №5. pp: 1523-1535.

33. Iwasaki T, Skelton R. E. All controllers for the General control problem: Control system design viaLMIs. J. SICE. 1995. Vol.34. №3. pp: 164-169.

34. Kanev. S, Schutter D. B, Verhaegen M. An ellipsoid algorithm for probabilistic robust controller design. Systems & Control Letters. 2003. №49. pp: 365-375.

35. Karalols M. G. Control design based LMI problems using alternating projection methods. Automatic. 1996. Vol.31. №4. pp: 115-128.

36. Zhou K, Doyle J. C, Glover K. Robust and optimal control. Prentice Hall. 1995.

37. Zhou K, Doyle J. C. Essentials of Robust Control. Pentice Hall. 1998.

38. Khargonekar P. P, Peteren I. R, Rotea M. A. optimal control with state feedback. IEEE Trans, on Automat Control. 1988. Vol.33. №8. pp: 786-788.

39. Khargonekar P. P, Peteren I. R, Zhou K. Robust stabilization of uncertain linear system: quadratic stability and HIEEE Trans, on Automat Control. 1990. Vol.35. №3. pp: 356-361.

40. Khargonekar P. P, Rotea M. A, Mixed H^H* control: A convex optimization approach. IEEE Trans, on Automat Control. 1991. Vol.36. №7. pp: 824-837.

41. Knospe C. R., Hope R.W, Fedigan S. J, Williams R. D. Experiments in the control of unbalance response using magnetic bearings. Mechanics. 1995. Vol.5. №4. pp: 385-400.

42. Knospe C. R, Tamer S. M. Experiments in Robust Control of Rotor Unbalance Response using Magnetic Bearings. Mechanics. 1997. Vol.7. №3. pp: 217-229.

43. Kwakernaak H. Minimax frequency domain performance and robustness optimization of linear feedback systems. IEEE Trans, on Automat Control. 1985. №30. pp: 994-1004.

44. Larsonneur R. Design and control of active magnetic bearing system for High speed rotation. PhD Theis. Swiss Federal Institute of Technology. ETH Zurich, SwitzerLand. 1988.

45. Lethjmaki N. A, Sandell N. R, Athans M. Robustness results in linear quadratic Gaussian based multivariable control design. IEEE Trans, on Automat Control. 1981. Vol.26. №1. pp: 75-95.

46. Levine W. S. Control system applications. New York. 2000.

47. Lewis F. L, Syrmos V. L. Optimal Control. John Wiley, New York. 1995.

48. Leyva R. J, Hernandex R. A, Denman. E. D. Reduced-order controllers for unstable multivariable linear systmes that can be balanced. Applied Mathematics and Computation. 2002. №120. pp: 55-63.

49. Lin C. F, Yu T. J, et. al. Intelligent control theory in guidance an control system design: an overview. Proc. Natl. Sci, ROC(A). 2000. Vol.24. №1. pp: 15-30.

50. Liu Y, Anderson B. Singular perturbation approximation of balanced systems. Int. J. Control. 1989. Vol.50, pp: 1379-1405.

51. Matsumutra F, Fujita. M, Hatake. K, et. al. Elimination of unbalance vibration in AMB systems using gain scheduled//„robust controller. Proc. Of the Forth Int. Sym. On Magnetic Bearings. 1994. ETH Zurich, pp: 113-118.

52. Mehran M, George P. P. A cone programming approach to the bilinear matrix inequality problem and its geometry. Mathematical programming. 1997. №77. pp: 247-272.

53. Mehran M. Robustness analysis via the running time of the interior point methods, Systems & Control letters. 2001. Vol.44, pp: 355-361.

54. Mehran M. On the rank minimization problem and its control applications. Systems & Control Letters. 1998. Vol.33. №2. pp: 31-36.

55. Mehran M, Papavassilopoulos G.P. On the rank minimization problem over a positive semidefine linear matrix inequality J. IEEE Trans, on Automatic Control. 1997. Vol.42. №2. pp: 239-243.

56. Moor B. C. Principal component analysis in linear system, Controllability, observability and model reduction. IEEE Trans, on Automat Control. 1981. Vol.26. №1. pp: 17-29.

57. Nabil A, Benoit B. Model and controller reduction for flexible aircaft preserving robust performance. IEEE Transa. on Control systems technology. 2002. Vol.10. №2. pp: 229-237.

58. Namerikawa T, Hagiwara K, Fujita M, Matsumutra F. Experimental Evaluation of Gain Scheduled /7 «, robust controller to a magnetic bearing. Proc. Of the Fifth Int. Sym. On Magnetic Bearings. 1996. Kanazava. Japan, pp: 137-142.

59. Oliveira M. C, Geromel J. C, Bernussou J. An LMI optimization approach to multiobjective controller design for discrete-time systems. Proceedings of the 38th IEEE Conference on Decision & Control. Phenix, Arizona, pp: 3611-3616.

60. Packard A, Zhou K, Pandey P. A collection of robust control problems leading to LMIs. In Proc. IEEE Conference on Decision and Control. 1991. pp: 1245-1250.

61. Packard A, Zhou K, Pandey P, Leonhardson J. Optimal constant I/O similarity scalings for full information and state feedback control problems, Systems & Control Letters. 1992. №19. pp: 271-280.

62. Palhares R. M, Peres P. L. D. LMI approach to the mixed #2/Д» filtering design for discrete-time uncertain systems. IEEE Trans, on Aerospace and Electronic Systems. 2001. Vol.37. №1. pp: 292-296.

63. Palhares R. M, Peres P. L. D. Robust Я» filtering design with pole placement time-invariant delays. IEEE Trans, on Automatic Control. 1999. Vol.44. №4. pp: 876-877.

64. Peterson I. A, Hollot С. V, A Riccati equation approach to the stabilization of uncertain linear systems. Automatica. 1986. Vol.22. №4. pp: 397-411.

65. Raffaello D. A. Linear matrix Inequality conditions for robustness and control design. Int. J. of Robust and nolinear control, appeared November. 2001. pp: 1-17.

66. Rekhert R.T. Robust autopilot design using /л- synthesis. Proc. Amer. Contr. Conf. San Diego. 1990. Vol.3. №23. pp: 2368-2373.

67. Roger L. F, Knospe C. R. Rotor compliance minimization Via //-control of active magnetic bearings. IEEE Transactions on control systems technology. 2002. Vol.10. №2. pp:239-249.

68. Sammar P. G. Model reduction with balanced realizations. Int. J. Control. 1995. Vol.62. №l.pp: 33-64.

69. Scherer C, Gahinet P, Chilali M. Multi-objective output-feedback control via LMI optimization. IEEE Trans on Automat Control. 1997. Vol.42. №7. pp: 896-911.

70. Shahian B, Hassul M. Control system design using MATLAB. Pentice Hull. New Jersey. 1993.

71. Sheng Yuan. Xu, James L. Нт model reduction for discrete-time singular systems. Systems & Control Letters. 2003. №48. pp: 121-133

72. Skelton R. E. Model error concepts in control design. Int. J. of control. 1989. Vol.49.pp: 1725-1753.

73. Skelton R. E, Ajmal Y. Commponent cost analysis of large scale systems. Int. J. Control. 1983. Vol.37. №2. pp: 285-304.

74. Skelton R. E, Iwasaki T, Grigoradis K. M. A unified algebraic approach to linear control design. London: Taylor & Francis. 1998.

75. Skelton R. E, Iwasaki T. Increased roles of linear algebra in control education. IEEE Control Systems. 1995. №8. pp: 76-90.

76. Stoorvogel A, The H «, Control Problem- a state space approach. Prentice Hall. 1992.

77. Xiu Xia. Sun, Jian Qun. Mao. Robust reduced-order controller design based on LMI. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics. 2000. Vol.26. №6. pp: 722-725.

78. T Zhou, Kimura H. Time domain identification for robust control. Systems & Control Letters. Vol.20, pp: 167-178.

79. T Zhou, Kimura H. Simultaneous identification of nominal model, parametric uncertainty and unstructured uncertainty for robust control. Automatica.Vol.30. pp: 391-402.

80. T Zhou, Fujita M, Matsumura F. Robust control of a two-axis, magnetic suspension, flexible-beam system based on H-infinity optimization theory. International Journal of Robust andNolinear Control. Vol.2. №3. pp: 165-182.

81. T Zhou. Model uncertainty in frequency response based system identification. Systems & Control Letters. Vol.32, pp: 121-133.

82. Thomas E. P. Algorithms for reduced order robust H„ control design. CDC99-REG0575. Stanford University. 1999.

83. Tokunaga H, Iwasaki. T, Hara. S. Analysis and synthesis of the robust impulse-to peak performance, Automatic. 1998. Vol.34. №11. pp: 1473-1477.

84. Torn. A, Shinji. H. A unified approach to LMI-based reduced order self scheduling control synthesis. Systems & Control Letters. 1999. №36. pp: 75-86.

85. Guang Xiong. Wang, Zhen He, Shu Huan. Liu. Method for treating singlular problems in//«, design. Electric machines and control. 2000. Vol.4. №3.pp: 148-163.

86. Wilson D. A. Model reduction for multivariable systems. Int. J. Control. 1974. Vol.37. №2. pp: 57-64.

87. Wu H, Fei Y, Mixed HilH^ robust output feedback control for uncertain linear systems. Control theory and application. 2000. Vol.17. №3. pp: 367-373.

88. Xin Xin. Reduced-order controllers for the H~ control problem with unstable invariant zeros. Automatic. 2004. №40. pp: 319-326.

89. Yamashita K, Allaire P.E, Knospe C. R. Rotor Disturbance AttenuationUsing an //«, Controller for Active Magnetic Bearings. Proc. Of the Fifth Int. Sym. On Magnetic Bearings. 1996. Kanazava. Japan, pp: 227-232.

90. Yong Yan. Cao, You Xian. Sun, Wei Jie. Mao. Output feedback decentralized stabilization: ILMI approach. Systems & Control Letters. 1998. №39. pp:l83-194.

91. Li Yu, Optimal guaranteed cost control of linear uncertain systems: an LMI approach. Control Theory and Applications. 2000. Vol.17. №3. pp: 423-428.

92. Li Yu, Robust control- Method LMI. Beijing. Tsing hua university. 2002.

93. Li Yu, Robust H» control of discrete-time uncertain systems with both state and input delays. Journal of the Franklin Institute. 2001.Vol.338. №1. pp: 101-110.

94. Zames G, Feedback and optimal sensitivity model reference transformations multiplicative semi norms, and approximati-on inverses. IEEE Trans, on Automat Control. 1981. Vol.26. №2. pp: 301-302.

95. Zames G, Sakkary A. K. Unstable systems and feedback: The gap metric. In Proc. Allerton Conference. 1980. pp: 380-385.

96. Zheng F, Wang Q. G, Lee T. H. On the design of multivariable PID controllers via LMI approach. Automatica. 2002. Vol.38. №3. pp: 517-526.

97. Агафонов, П. А. Одновременное обеспечение запасов устойчивости на входе и выходе многомерного объекта на основе //^-подхода Текст. /

98. П. А. Агафонов, В. Н. Честнов // Автоматика и телемеханика. 2004. №9. С. 110-119.

99. Александров, А. Г. Синтез регуляторов многомерных систем / А. Г. Александров //-М.: Машиностроение. 1986.

100. Андреев, О.Т. Управление в условиях неопределенности / О.Т. Андреев, Б. Н. Аалонин, М. В. Бураков //Изд-во. СПбГПУ. 2002. 395с.

101. Андриевский, Б. Р. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке МАТЬАВ/ Б. Р. Андриевский, А. Л. Фрадков // СПб.: Наука. 1999. 467с.

102. Андронов, А. А. Грубые системы / А. А. Андронов, Л. С. Понтрягин // Доклады Академии наук СССР. 1937. №14.

103. Афанасьев, В. Н. Математическая теория конструирования систем управления / В. Н. Афанасьев, В. Б. Колмановский, В. Р. Нысов // -М.: 1998. 574с.

104. Баландин, Д. В. Двусторонние оценки минимальной ро-бастной До-нормы для неопределенных управляемых систем / Д. В. Баландин,

105. М. М. Коган //Автоматика и телемеханика. 2003. №1. С. 105-113.

106. Баландин, Д. В. Оптимальное гашение возмущений в неопределенных управляемых системах / Д. В. Баландин, М. М. Коган // Известия академии наук, Теория и Системы управления. 2004. №1. С. 96-103.

107. Баландин, Д. В. Оценка предельных возможностей робастного До-управления линейными неопределенными системами / Д. В. Баландин, М. М. Коган //Автоматика и телемеханика. 2002. №.9. С. 134-141.

108. Баландин, Д. В, Предельные возможности управления линейной системой / Д. В. Баландин //Доклады академии наук. 1994. Том.334. №.5. С. 571-573.

109. Баландин, Д. В, Предельные возможности управления линейными системами и оценка минимальной Д^-нормы / Д. В. Баландин // Известия академии наук, Теория и Системы управления. 2001. №6. С. 50-56.

110. Балберин, В. В, Мироновский JI.A, Петровский А.Б, Понижение порядка моделей : учебное пособие/ В.В. Балберин, JI.A. Мироновский,

111. А. Б. Петровский // ЛИАП Ленинград. 1989. 43с.

112. Барабанов, А. Е. Оптимизация по равномерно-частотным показателям (#«, теория) /А. Е. Барабанов, А. А. Первозванский // Автоматика и телемеханика. 1995. №9. С. 3-32.

113. Барковский, В. В. Методы синтеза систем управления / В. В. Барковский // -М.: Машиостроение. 1981. 277с.

114. Бахилина, И. М. Синтез робастных линейных регуляторов при параметрической неопределенности модели объекта / И. М. Бахилина, С. А. Степанов // Автоматика и телемеханика. 2001. №1. С. 118-130.

115. Бесекерский, В. А. Робастные системы автоматического управления /В. А. Бесекерский, А. В. Небалов // -М:1983.

116. Брусин, В. А. Синтез робастных регуляторов по выходу на основе частотных условий / В. А. Брусин, М. М. Коган // Автоматика и телемеханика. 2002. №4. С.133-141.

117. Брусин, В. А. Существование и предельные возможности центральных регуляторов в задачах с До-критериями / В. А. Брусин // Автоматика и телемеханика. 2002. №5. С. 97-107.

118. Брусин, В. А. Частотные условия в задачах Д»-управления и абсолютной стабилизации / В. А. Брусин // Доклады академии наук. 1996. Том.346. №5. С. 603-605.

119. Вышнеградский, И. А. Теория автоматического управления

120. И. А. Вышнеградский, А. Стодола //Изд-во АН-СССР. Москва. 1949.

121. Гончаров, В. И. Синтез робастных регуляторов низкого порядка / В. И. Гончаров, А. В. Лиепинып // Известия академии наук, Теория и системы управления. 2001. №.4. С. 36-43.

122. Дезоер, Ч. Системы с обратной связью: вход-выходные соотношения /Ч. Дезоер, М. Видъясагар //-М: Наука. 1983. 380с.

123. Егупова, Н. Д, Методы современной теории автоматического управления / Н. Д. Егупова //-М: 2000. 512с.

124. Ивановский, Р. И. Синтез многомерных систем автоматического управления с применениями ЭЦВМ / Р. И. Ивановский //Москва. Издательство «Наука». 1970.

125. Калиткин, Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин // Москва. Издательство «Наука». 1978. 511с.

126. Коган, М. М. Синтез робастного Д»-субоптимальных регуляторов как решение дифференциальной игры в условиях неопределенности: прямая и обратная задача / М. М. Коган // Автоматика и телемеханика. 2000. №7.1. С. 109-119.

127. Козлов, В. Н. Вычислительная математика и теория управления, Учебное пособие / В. Н. Козлов, В. Е. Куприянов, В. Н. Шашихин // Санкт-Петербург. Издательство. СПбГТУ. 1996. 283с.

128. Крутько, П. Д. Алгоритмы и программы проектирования автоматических систем/ Крутько П. Д // М.: 1988, 306с.

129. Кузьмин, В. П. Оценка предельных отклонений фазовых координат динамической системы при случайных возмущениях / В. П. Кузьмин, В. А. Ярошевский //-М: Наука, 1995, 304с.

130. Курдюков, А. П. Основы робастного управления / А. П. Курдюков //-М: 1995.

131. Кусимов, С. Т. Управление динамическими системами в условиях неопределенности / С. Т. Кусимов, Б. Г. Ильясов //-М: Наука. 1998.452с.

132. Шухуань, Лю. Синтез робастного управления ротором на магнитном подвесе / Лю. Шухуань, Л.С. Чечурин // Инноватика в науке, образовании и производстве, Труды СПбГПУ. 2004. №492. С. 136-146.

133. Ляпунов, А. М. Общая задача об устойчивости движения

134. А. М. Ляпунов // Сбор. Соч. М. Изд-во АН СССР. 1956. Том2. 271с.

135. Опейко, О.Ф. Синтез линейной системы на основании упрощенной модели объекта /О.Ф. Опейко //Автоматика и телемеханика. 2005. №1. С. 29-36.

136. Пасуманский, М. А. Предельная точность линейных систем с обратной связью и асимптотическое поведение их Н2 и //оо-норм / М. А. Пасуманский, А. А. Первозванский // Автоматика и телемеханика. 1995. №6. С. 24-32.

137. Первозванский, А. А. Синтез обратной связи по критерию робастности с помощью уравнений Риккати / А. А. Первозванский, Л. С. Чечурин // Автоматика и телемеханика. 1997. №11. С. 152-161.

138. Позняк, А. С. Основы робастного управления (//оо-теория): Учебное пособие/А. С. Позняк //МФТИ. Москва. 1991.128с.

139. Позняк, А. С. Робастное управление нестационарными бесконечными системами /А. С. Позняк // Автоматика и телемеханика. 1997. №10. С. 134-153.

140. Рапопорт, Л. Б. Расширение ¿"-процедуры и анализ многомерных систем управления с помощью линейных матричных неравенств

141. Л. Б. Рапопорт // Автоматика и телемеханика. 2005. №1. 37-48.

142. Рапопорт, Э. Я. К развитию прикладной теории управления

143. Э. Я. Рапопорт//Мехатроника, автоматизация, управление. 2004. №6. С. 3-14.

144. Семенов, А. С. Пакет прикладных программ Д» проект /А. С. Семенов // -М: Гос НИИАС. 1990.

145. Сивцов, В. И. Автоматизированный синтез систем регулирования на основе частотного метода теории автоматического управления / В. И. Сивцов, Н. А. Чулин//-М: 1982. 236с.

146. Тарарыкин, В. С. Робастное модальное управление динамическими системами / В. С. Тарарыкин, С. В. Тютиков // Автоматика и телемеханика. 2002. №5. С. 41-55.

147. Трегубова, Е. А. Исследование оптимальной по быстродействию системы управления в условиях параметрической неопределенности

148. Е. А. Трегубова // Гироскопия и навигация. 1999. №2. С. 139-140.

149. Федосов, Е. А. Новые перспективные методы проектирования многомерных динамических систем управления / Е. А. Федосов //-М: 1989.

150. Харитонов, В.Л. Семейства устойчивых квазиполиномов

151. В.Л. Харитонов // Автоматика и Телемеханика. 1979. №7. С. 75-88.

152. Честнов, В. М. Синтез робастных регуляторов многомерных систем при параметрической неопределенности на основе круговых частотных неравенств / В. М. Честнов // Автоматика и Телемеханика. 1999. №3. С. 229-238.

153. Чечурин, Л. С. Исследование методов робастного управления линейными системами / Л. С. Чечурин // Дис. Кан. Тех. Наук, СПбГПУ. 1997.

154. Чечурин, С.Л. Физические основы теории колебаний / С. Л. Чечурин, Л. С. Чечурин // СПб.:Изд-во Политехи. Ун-та, 2005, 258с.

155. Чурилов, А. Н. Исследование линейных матричных неравенств. Путеводитель программным пакетам / А. Н. Чурилов, А. В. Гессен / СПбГУ. 2004. 148с.

156. Шашихин, В. Н. Интервальные динамические системы. Модели, анализ, синтез /В. Н. Шашихин // Санкт-Петербург. Издательство.СПбГПУ. 2003. 213с.

157. Шашихин, В. Н. Робастная стабилизация интервальных динамических систем / В. Н. Шашихин // Известия Академии Наук, Теория и системы управления. 1996. №6. С. 47-53.