автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование газовых потоков около поверхности гиперзвуковых летательных аппаратов методом начального аналитического приближения

На правах рукописи

Владимир Пантелеевич Котенев

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАЗОВЫХ ПОТОКОВ ОКОЛО ПОВЕРХНОСТИ ГИПЕРЗВУКОВЫХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ МЕТОДОМ НАЧАЛЬНОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

05.07.01 - Аэродинамика и процессы теплообмена летательных аппаратов

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва - 2008

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и математической физики МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Официальные оппоненты, доктор технических наук, профессор

Феоктистов Владимир Васильевич

доктор технических наук Финченко Валерий Семенович

доктор физико-математических наук, профессор Формалев Владимир Федорович

Ведущая организация: ФГУП ЦАГИ имени профессора Н.Е. Жуковского

Защита состоится «.//» 2008 г. в ч. на заседании

диссертационного совета Д 212141.15 в Московском государственном техническом университете имени Н Э. Баумана по адресу: 105005, г. Москва, 2-ая Бауманская ул., д.5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им Н Э. Баумана по адресу. 105005, г. Москва, 2-ая Бауманская ул., д.5.

Автореферат разослан « Zé>» 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент ^ TJ^^-t' А.В Аттетков

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы При проектировании летательных аппаратов (ЛА) необходимы предварительные сведения о полях распределения газодинамических величин около их поверхности В случае гиперзвуковых скоростей полета в ударном слое происходит изменение химического состава газа и характеристики течения должны уточняться путем учета влияния физико-химических процессов Экспериментальные исследования дороги, а во многих случаях в наземных условиях моделирование физико-химических процессов, сопровождающих полеты ЛА в атмосфере Земли, принципиально невозможно Поэтому получение необходимой информации может быть осуществлено посредством решения на ЭВМ соответствующим образом поставленных математических задач

Нестационарные течения описываются системой уравнений, принадлежащей к гиперболическому типу при любых числах Маха, что позволяет применять метод установления по времени для получения искомого стационарного решения Его появление связано с работой, основанной на конечно-разностной схеме, предложенной С К Годуновым в 1959 году Различные модификации этого метода успешно применяются при расчете смешанных течений, возникающих при исследовании обтекания тел, в том числе для расчета химически неравновесного ударного слоя С целью сокращения временных затрат в этом случае используется специальная процедура раздельного решения нестационарных газодинамических и стационарных релаксационных уравнений [Савинов КГ, Шкадова В П ,1975] В данной работе для решения задач сверхзвукового обтекания тел с учетом физико-химических превращений в потоке используется метод установления на основе конечно-разностной схемы Мак-Кормака Предложено использовать дивергентную форму записи уравнений газовой динамики, что позволяет ввести единственный коэффициент у», связывающий эти две системы уравнений [10,11] Эффективный показатель адиабаты плавно меняясь в поле течения многокомпонентной смеси, является удобным параметром для организации итерационного процесса при раздельном интегрировании газодинамической и релаксационной систем уравнений В целом, численные методы характеризуются простотой применения, слабыми упрощающими допущениями, возможностью включения в процедуры оптимизации, полным описанием течения, отсутствием ограничений по числам Маха и Рейнольдса, умеренными затратами средств При этом в качестве недостатков можно отметить не всегда хорошую точность разностных методов, недостаточное быстродействие и объем памяти ЭВМ

Приближенные методы позволяют получать решение в замкнутой форме при минимальных временных затратах Например, по формуле Ньютона давление на элемент поверхности тела определяется в основном

углом встречи элемента с направлением набегающего потока Однако приближенные теории не дают возможности найти давление на участки поверхности тела с малыми углами встречи с направлением набегающего потока так как давление на них по этим теориям близко к нулю или

отрицательно, что не всегда соответствует действительности При применении метода установления по времени успех решения задачи обтекания тел сверхзвуковым потоком газа во многом зависит от начальных данных, задаваемых с помощью приближенных решений Поэтому по-прежнему актуально создание такого метода для определения давления и других параметров на поверхности тел, который сочетал бы простоту приближенных формул, точность строгих методов и был пригоден для сферы, эллипсоида, параболоида, гиперболоида и других тел этого класса, характерного для носовой части ЛА

Существующие в настоящее время численные и аналитические методы определения аэродинамических и тепловых нагрузок ЛА, а также учета плазменных образований вблизи их поверхности, на работу приемных и передающих антенн часто требуют либо неоправданно больших затрат машинного времени в силу их громоздкости, либо не обладают необходимой точностью для практики Поэтому актуальным является развитие теоретических подходов и разработка комплексов программ для решения этих задач

Цель диссертационной работы Целью работы является создание новых методов моделирования обтекания ЛА как в двумерной, так и в пространственной постановке потоком невязкого или вязкого газа Основу диссертации составляют

1 Разработка математической модели течений газа в переменных давление - функция тока, оперативных и универсальных по отношению форме затупленных тел методов расчета давления на их поверхности

2 Создание экономичных алгоритмов определения контуров ударной волны для использования их в качестве начальных данных в методе установления при решении задач сверхзвуковой аэродинамики

3 Анализ влияния различных термохимических моделей на параметры течения газа, выбор экономичной модели с точки зрения учета основных факторов

4 Разработка программных комплексов для решения задач обтекания тел сверхзвуковым потоком химически реагирующего газа

5 Определение с помощью разработанных методик аэродинамических характеристик и параметров многокомпонентной смеси газов около поверхности ЛА

Методы исследования При решении задач, рассмотренных в диссертации, использованы методы математической физики, аппарат тензорного анализа, численный метод установления по времени, конечно-

разностный метод второго порядка точности, эффективно реализуемый на ЭВМ

Научная новизна В данной работе разработан новый метод начального аналитического приближения (НАП) для расчета параметров установившихся газовых потоков на поверхности обтекаемых тел, сочетающий простоту приближенных подходов и точность строгих численных и аналитических решений Применение метода НАП для моделирования обтекания гиперзвуковых ЛА в рамках уравнений Навье-Стокса с неравновесными химическими реакциями показало сокращение в несколько раз времени расчета установившихся режимов по сравнению с методами, использующими традиционный подход к заданию исходных данных

Разработан программный комплекс, реализующий метод НАП для расчета обтекания осесимметричных затупленных тел и для специальных типов пространственных компоновок ЛА

Численно решены задачи обтекания поверхностей гиперзвуковых ЛА, имеющих важное прикладное значение

Предложены новые формы записи уравнений гидродинамики в строго консервативной форме

Практическая ценность Рассматриваемый в диссертации подход к решению задачи пространственного сверхзвукового обтекания, разработанные аналитические методы, алгоритмы и метод НАП численного решения представляют собой математический аппарат для моделирования течения газа около поверхности современных и перспективных ЛА Созданный метод НАП позволяет проводить параметрические расчеты для различных режимов пространственного течения с учетом реальных свойств газа При этом предложенный в работе метод может быть использован для решения как полных уравнений Навье-Стокса, так и упрощенных уравнений Навье-Стокса в приближении тонкого слоя С помощью разработанной программы численного решения уравнений химически неравновесного вязкого ударного слоя можно проводить систематическое моделирование неравновесных течений около неразрушающихся поверхностей с различными каталитическими свойствами Полученные в работе результаты используются в практике инженерных расчетов аэродинамических, тепловых нагрузок ЛА и влияния плазменных образований на работу различных приборов, а также в учебном процессе в МГТУ им Н Э Баумана На защиту выносятся следующие положения

1 Для генерации начальных данных при применении метода установления по времени построена математическая модель двумерных течений газа в переменных давление - функция тока

2 Предложены новые аналитические зависимости для определения давления и других параметров течения на поверхности обтекаемых тел, а также на произвольной линии тока с известной формой

3 Установлена возможность перехода к трехмерным течениям с помощью осесимметричной аналогии

4 Получены новые формы записи уравнений гидродинамики в строго консервативной форме для применения эффективных и экономичных конечно-разностных схем сквозного счета

5 Разработан метод начального аналитического приближения для моделирования пространственного обтекания гиперзвуковых ЛА в рамках уравнений Эйлера и Навье-Стокса с учетом физико-химических превращений в потоке

Апробация работы По теме диссертации опубликовано 25 работ, из них 7 - в рецензируемых научных журналах перечня ВАК

Основные результаты диссертации докладывались на научных конференциях «Ломоносовские чтения» МГУ им М В Ломоносова (1980,1981), на Всесоюзных школах-семинарах по механике реагирующих сред(Междуреченск, 1980,1981), на II Всесоюзной школе-семинаре «Современные проблемы аэрогидродинамики»(Махачкала,1982), на научной конференции «Задачи космического образования в XXI веке» МАИ (2001), на Всероссийской научно-технической конференции «Аэрокосмические технологии» МГТУ им Н Э Баумана (2002), на VI Международной научно-практической конференции «Человек и космос»( Днепропетровск, 2004), на I Международной научно-технической конференции «Аэрокосмические технологии», посвященной 90-летию со дня рождения академика В Н Челомея (Москва-Реутов, 2004), на XXIX академических чтениях по космонавтике(Москва, 2005), а также на ряде семинаров в МГУ, МГТУ и отраслевых институтах

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения Диссертация изложена на 222 страницах машинописного текста, содержит 96 иллюстраций Библиография включает 142 наименования

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дан краткий обзор работ по вычислительной аэрогазодинамике, сформулирована цель диссертации, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, основные положения, выносимые на защиту, приведены данные о структуре и объеме работы

Первая глава посвящена разработке метода начального аналитического приближения (НАЛ) для моделирования идеальных газовых потоков в окрестности ЛА Особенности моделирования гиперзвуковых течений с учетом неравновесных физико-химических превращений в потоке описаны в 1 1 В 1 2 дается общая концепция и основные этапы реализации метода НАЛ Стационарное решение задачи получается как предельное решение

нестационарной системы уравнений газовой динамики, когда время при этом эволюция во времени промежуточных решений не важна

Важным аспектом с точки зрения получения стационарного решения является удачное задание начальных данных Классический подход состоит в использовании простых зависимостей типа формулы Ньютона для вычисления газодинамических параметров на поверхности тела Для тел сложной формы отдельным элементам конструкции ставятся в соответствие простые тела с тем же, что и на них распределением параметров газовой динамики Вид образующей головной ударной волны, как правило, принимается параболическим Между поверхностями ударной волны и тела осуществляется линейная интерполяция для определения всех искомых функций в узлах разностной сетки Такой приближенный подход сопряжен с большими временными затратами получения стационарного решения, а иногда приводит к срыву процедуры интегрирования нестационарных уравнений газовой динамики Поэтому задача определения начальных данных с хорошей точностью является актуальной, а ее решение является основой метода начального аналитического приближения (НАП) В 1 3 рассматривается преимущественно аналитический подход к решению этой задачи Необходимая программная реализация не требует сколько-нибудь значительных временных затрат Исходя из записи стационарной системы газовой динамики для плоских и осесимметричных течений газа в динамических переменных, в 13 1 получено уравнение относительно искомых функций Это уравнение эквивалентно условию равенства нулю полной кривизны плоскости, в которой происходит течение газа в двумерном случае Его решение в 1 3 2 используется для определения давления на тех участках, где угол встречи набегающего потока с поверхностью тела не превышает 30° При больших углах удовлетворительные результаты получаются по формуле Ньютона Плотность и скорость находятся из условия постоянства энтропии на теле и интеграла Бернулли Распределение давления на поверхности тела используется для построения контура ударной волны, а значит, и нахождения параметров на ней (1 3 3) Для определения параметров на известной линии тока, не обязательно совпадающей с поверхностью тела, предлагается также использовать специальный ряд скалярных произведений (1 3 4), применение которого рассматривается в 13 6 Для расчета начальных данных на линии тока в окрестности точки торможения проводится аналогия систем уравнений газовой динамики и несжимаемой жидкости (13 5) Построение начального приближения в трехмерном случае осуществляется с использованием осесимметричной аналогии (13 7) В 14 описывается программная реализация принципа установления нестационарной системы уравнений газовой динамики в области эллиптичности стационарной системы уравнений, а в 1 5 -численное интегрирование стационарных уравнений в сверхзвуковой части потока

Основой генерации данных Коши для нестационарной системы уравнений газовой динамики является расчет параметров на поверхности обтекаемого тела Рассмотрим здесь эту задачу в осесимметричном варианте В цилиндрической системе координат г,г,ф (рис 1) для вектора

скорости и радиента

V = uez+ver+weq),

dz дг гдср 9

Рис 1

Здесь и, V, уу - компоненты вектора скорости, ег, ег, еф - единичные базисные векторы Осесимметричные стационарные течения газа у/ =

описываются следующей системой уравнений Э {три) д(гру)

dz dv

dz

= 0,

Эу = _дР 'dr дг д и д и _ ЭР dz дг dz d(rpuS) Э jrpvS)

^ dz ^ dr dr'

(1)

dz

Э г

= 0,

где р - плотность, S = cv In

+ const - энтропия газа

что

Введем функцию тока с1уг = -гру<1х + грис1г, те такую функцию у/, д цг

"эГ

= -уру^Ж--гри В переменных Р,у/ уравнение неразрывности

дг

удовлетворяется тождественно, условие сохранения энтропии вдоль линии

тока — = 0, а второе и третье уравнения системы (1) дР

,ди дР dP dz '

0,

» Эу ЭР .

рир--1--= 0,

ЬР dr

дР

(2)

где ир = и--1- v

- контравариантная компонента вектора скорости

ЭР

дг дг

Как показывает анализ численных решений, линии тока и изобары пересекаются вблизи поверхности тела в одной точке, поэтому введение координат Р, у/ корректно в этой области (рис 2)

Рис. 2.

- ударная волна,---изобары, -

- линии тока

Ковариантные и контравариантные базисные векторы, якобиан преобразования и коэффициенты метрической матрицы имеют вид:

Э у/

Я| = ,

1

7Г

г Э£_ э р

дг_ ЭР

дг д Р дг Э Р

■

( дР дР

дг дг

ду/ ду/

дг дг

( дг > ГдРЛ

Э у/ дг = гр = дг дР

[ду/; ,д г.

с э Р дР

сЫ дг дг = гри" =>

\ груг

Л-

дг д у/

Сд7 1

гри''

Эг Э у/ дг

Э у/

\fgrpv,

I— эр а э7

ЭР А

(г у («л

РР Ы + Ы - V )

Эг Эг Эг Э;' дР д у/ ЪР дц!

дг дг

V -—+ V,—

_ у и"

_ I [г 1 1

[ду,) г~ + Г др) г2 ргу-

В этих выражениях V - модуль скорости, о - угол между осью г и вектором скорости в произвольной точке на линии тока (контуре тела).

Отметим, что контравариантная составляющая скорости иг = (V(с,к) = 0, т.е. на поверхности тела (линии тока) выполнено условие

нелротекания. Поэтому

и' и ,+ иг и,„ = и у и ,

= к . (3)

Здесь иР = I V^Р ] и = ) - ковариантные составляющие скорости,

причем = у1 Система уравнений (2) может быть записана в виде * дР

/

проекций векторного уравнения Э К/^ + = 0 на контравариантные

базисные вектора У ри1 + гЗр1Л[^ = 0, г = 1,2 Индексу г = 1 соответствует Р, индексу 1 = 2 - у/, VР- ковариантная производная по аргументуР ковариантных компонент вектора скорости Умножая эти уравнения на g,¥, а затем, складывая их (по повторяющимся немым индексам производится

суммирование), получим Е^У „и, + g"l'S л[^г = 0=>У и1? + g!"|'-}— = 0

р рир

Откуда, с учетом ^=[^1/))=-^, Т=0 => г1=^г2р Вели

ры

б,п — расстояния вдоль линии тока и по нормали к ней, Л- радиус кривизны линии тока, то

дп л [ '¡V у\

ЭР,

(УР Уу/)=^ЦУу\, \Уу^=грУ--

дп

дш^ Тпв"

дуг

Следовательно, %р¥ = грУ

выражения (3), получаем

£11 Я

и2=-

РН.

Г^рКу,

, откуда, с учетом

(О2

гкири¥

Уир гЯ

(4)

Т к набегающий поток однородный, то _ = грт— = -гр У—

дг д г дуг д у/

В координатах Р, у/

1 (М,

ш

¡?Х'дР др) ГрУд¥

Э и

£- =V-ЭР

(5)

Течение газа происходит в плоскости, поэтому в переменных

X1 =р,х2 = уг

_!_(________

дх2 ^ Эх'

^п 1

дх2

2 ^12 1 Э£,1 &2 Э£н

Эх1 V?д*2 8п4з дх>

■ = о

Подставляя сюда метрические коэффициенты и используя (4),(5)

ЭР

V Э Г1ЭУ . и„ др{.г дР

V р 4

ирУ1

:0<=>

Ъ2а

д2 а

Ъуг\кУг ) дРду/ ду/дР

Вместо аргументов р,ц/ можно использовать координаты а,у/, тогда

(6)

для функции /• = I — - _ 1 имеем

г ЭР грУ

э2/ эд

да2 +

В результате получено дифференциальное уравнение вдоль контура тела (линии тока), если производная радиуса кривизны в правой части уравнения задана вдоль линии тока как функция того же угла.

Если <7 > 60°, то для оценки давления на телах, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа, применяется формула Ньютона:

=Sin2cr+ -"cos2 СТ. (7)

К К

Индексами °°,0',w обозначены значения параметров перед скачком, в точке торможения потока (критической точке) и на поверхности тела соответственно. При а< 30° этой формулой пользоваться нельзя, т.к. здесь распределение давления существенно зависит от числа Маха. Иногда используется приближенный подход, при котором распределение давления по местному углу наклона поверхности тупого тела берется таким же, как и для сферы. При этом относительная погрешность может достигать 60% и более, т.к. разность между величинами часто имеет такой же порядок, как и сами значения давления. Формула (7) дает еще более высокую погрешность. Для устранения этого недостатка рассмотрим решение уравнения (6):

Яст) = /„Со^а-ак)+(Щ Sm(a-0k)+)—(.T)Sm(<T-T)clT- 3Десь сгк соответствует

фиксированной точке на контуре, а а может принимать любое возможное значение. Пусть h = ак_1 - ок_2 = с* - ак_1 = <тм - <7к и т.д. Заменим в общем решении производные с помощью центральных разностей, для вычисления

интеграла используем формулу Симпсона, а вместо ^JL в подынтегральном

Э (с

выражении используем левую часть уравнения (6), тогда: ASinh 2Sin2h hSrßti) . (SrQh SSinh 4hSinh Sirßh '\, (4Sinh

fk+1

Cos2h+-{ 3h

3h

_3h

SrQh Strßh 1h 3/Г

-M

3h

1 Л-:

(8)

По формуле (8) определяем на заданном теле (pK)i+] =

А+\ги

. Используя

таблицы газодинамических функций, находим Рм = Р{(рУ)ы). Для проверки (8) исследованы тела (контуры представлены на рис. 3) и режимы их обтекания, рассмотренные в таблицах Любимова А.Н., Русанова В.В., 1970:

1 .Эллипс

-=1, о = ],6 = 0.5

при Л4 =2,4,6,20;-

2.Эллипс ( а = 1,6 = 1.5.) при М„=4,6,20;

3.Парабола (у2=2рх, р=1) при М. =4,6,20;

4.Парабола (р=0.25) при М_=2;

5.Парабола (р=0.5) при М. =2,4,6,20.

Рис.3

и

/

t /

t А >

t 5

\ /

О 02 OA РЬ D8

Во всех вариантах относительная погрешность, как правило, не превышает 5%, иногда локально достигая 10%. Распределение давления по поверхности тела в сочетании с законами сохранения используется для «быстрого» приближенного определения формы ударной волны в 1.3.3. Некоторые результаты сравнения даны на рис.4-6 (крестики - табличные данные).

Рис.4

Рис.5

/ /

/ л А х-у

/ / /

/ / /А /

/ 1 1 (

/ 4

А к г

V X <

(

"о "" ' "[1

Рис.6. Отход ударной волны а - сфера; Ь - эллипсоид Ь/а=1/2; с - эллипсоид Ь/а=3/2; <1 - параболоид р=1; е - параболоид р=1/4; параболоид р=1/2.

1 ^ _

/

/

-О'! 0 01 08 1

А * *

//

1 с

1 1 /

V

/

и

В 1.3.4 для уравнений газовой динамики, записанных в переменных «давление - функция тока», получено разложение решения в ряд по приращению давления и коэффициенты ряда. Этот ряд использован для

построения эффективного алгоритма интегрирования решения вдоль линии

(9)

ЭР2' 21

1а

Используя формулу ( г+ )' из уравнения =0

последовательно получаем = _ (10)

и^' ; р

Э V

л/я

>ч/г

1 дг

(¿-^Н-Г' ^-— + ГР Г"

гдр п ар рр

(1^ + Г»)г' +-—Т" +ГТ" кгдР гр> IV ,-эр и" ® ^ ар

г-

(12)

те | ^ ЭР3'

1Эг

(I— + Г" )2 + г ЭР-—+Г* Г"

^.лп м' зр ру рр

г ЭР

(13)

В общем случае, —г + -г^В^ =0 Поэтому,

ЭР

+ г

дмУ дРы

( дшУ

г Эр " ЭР

■ ЭР

дв_

ЭР

ЭР-'К 1

р

гдр рр дР

Если, например, & = 3 ,то

А,В есть выражения в квадратных скобках из (12) Откуда для к = 4

{дР'

+Г1 рр

э

;У

11 -Ър ¥р

+-

ЭР

Ц^. + Г*' +-—ГР +Г?ГР I п

гдР ч") р¥ гЪР ** рр р¥ ЭР

+ + 1 + г'Г'

,гЭР *') дР\гдР "I » рр

Э [1 дг

---

ЭГ'

^1 юн

—— + Г^ I + —I —— + Г*" I + Гр Г*' ЭР ¥р) дР\гдР ¥Р ' р¥рр

(14)

Для определения а как функции Р выразим правые части (11),(13),(14) через параметры газовой динамики Выше получено

VI —о (,=1,2) (15)

^ рирг рУ г

Г* --

V2 ' ^ рирг рУгг ¥ г дР- " ' ' '

Сделаем подстановки в первое уравнение движения из (15), тогда, после преобразований, получаем

д2Г

м2

7^4— = •"г ар

рК2 ^ 1ЭР

ЭР

(16)

Поэтому, I к I = -

1 эр2' ; р'г'

мг

-V3

Эа ЭР

(17)

Из уравнений движения Эйлера (15) следует

ир

■ Г*иш

ЭР "" г />К' Используя (13),(16),(18) получаем

Г' =

и/ ЭР

7"4 ^ \

(18)

ЭР- I р

д3У ЭР3

Э V ЭР

+ 3

ру

■ Э2<7 ^ Э<7 V

эр эр2

(19)

Пусть давление отнесено к давлению торможения, скорость - к максимально возможной скорости, тогда

гдУ ,ЭР5:

V =-

ургУгР

1

ГУ

- (М2 - 1)(2М2 - 3)+3

Дэр

Ус ЭР ЭР2

да д2а

(20)

Аналогично, из (14),(15), (16),(18) следует

(д4У

.ЭР'

=1—1+4 1

3 ЭР р 3 р2У2

дМ2(6М2-7 | 2у-1 I :

ЭР ^ /зГ2

+^т(^-1)(2М2-3)(ЗМ2-4)

М -1

уР

12 ЭсгЭ2<т /о ЭР ЭР "

■зг

ЭР2

ЭР ЭР3

Эо-У б(м2-1)/Э<7

эpJ р2г2 1ЭР

(21)

Полагая в формулах (10),(17),(20),(21) р = 1,М = 0, автоматически получаем коэффициенты искомого разложения в ряд для модели несжимаемой жидкости В 1 3 5 показано, что разложение (9) в переменных

у—

Р = Р 7 будет таким, как для несжимаемой жидкости в переменных

Р,У

В п 1 3 6 отмечено, что при использовании ряда (9) с точностью до членов порядка 0(АРт) для продвижения решения вдоль линии тока, в

Э m~2(j

начальной точке должна быть известна производная (--)0, где /и = 2,3,

ЭР™

Для достижения той же точности с помощью ряда Тейлора для функции <т(Р) требуется задать производную на порядок выше Если известна производная высокого порядка, то задача определения давления на линии тока представляется тривиальной Эта ситуация является исключением Для иллюстрации эффективности приведенных выше соотношений рассмотрим их, когда т < 4

Применяя разложение (9) и учитывая (10), (17), (19), получаем ^,COS(c7„tl -СТ„) = 2{Г„2 -C7„) + 0(V), (22)

Рп *п "Р ^

Р„ РпК Ф Р„К (23)

Ф Ф Р„ Ф 3'

тт - /Эсг. Д2о\

Для конечно-разностной аппроксимации производных (—)п, (—-)п

3р др

применяются центральные разности Формулы (22), (23) эффективны для пошагового с фиксированным Др продвижения решения вдоль линии тока (поверхности тела) ненулевой кривизны Для примера они были использованы при определении давления на поверхности сферы, цилиндра, эллипсоида вращения с полуосями а=2Ь=2с В качестве начальных данных задавались <т_, = <у{ра - Ар), сг0=сг(р0), ег, = <т(р(| + Ар) Здесь давление р0 соответствует сферическому (полярному) углу

сг=20° При

этом

проведена параболическая аппроксимация таблиц Любимова А Н, Русанова В В в окрестности критической точки Для дозвуковых режимов обтекания использована аппроксимация Покровского А Н, Фролова J7 /",1985 В общем случае для сверхзвуковых режимов обтекания начальные данные в окрестности точки торможения потока достаточно точно задаются с помощью формул Ньютона и Буземана или их совместного применения Для дозвуковых течений можно воспользоваться тем, что уравнения газовой

г-1

динамики в переменных Р г ,у/ по форме совпадают с «несжимаемой» системой уравнений в переменных Р ,у/, те использовать в окрестности критической точки известные «несжимаемые» распределения скоростей бесциркуляционного обтекания сферы или цилиндра

Значения а2 = а(р„ + 2Ар),...,ап = <т(р0 + пАр),... получены с помощью формул (22), (23). Реализован простой алгоритм. При местных числах М < 1

применялась формула (23) . Вместо г32(7 л использовались ,

др " др2 " др

) _ , т.е. ошибка на одном шаге возрастала до 0(Ар"). При местных

др2

числах М > 1 на шаге предиктор применялась формула (22), при этом решалось квадратное уравнение для неизвестной Дет = <тл+| - ип, а на шаге

На рис. 7 приведены данные Любимова А.Н., Русанова В.В., причем сплошная линия соответствует сфере, пунктирная - цилиндру, штрихпунктирная - эллипсоиду. Кружочками обозначены значения давления, полученные по (22),(23). Потенциальность течения, когда < 1, заранее не предполагалась. Сравнение свидетельствует о хорошей точности представленных соотношений.

Из построения решения по (22),(23) следует, что функция р(ст)должна быть одинаковой для семейства линий тока, имеющих общую начальную часть и сопряжение достаточной степени гладкости. Действительно, на рис. 8 изображен набор осесимметричных тел, полученных путем сопряжения без разрыва кривизны сферы с параболоидом вращения. Здесь даны условные знаки для обозначения давления на графиках. Зависимости р = р(в) заметно отличаются друг от друга (0-сферический угол). Зависимость же р = р{сг) хорошо описывается одной кривой (рис. 9).

Рис.8

Рис.9

Рис.10 Рис.11

На рис. 10 даны контуры трех осесимметричных тел с общим сферическим началом, переходящим в участки, где зависимость цилиндрического радиуса от осевой координаты задана в виде экспонент и, наконец, параболическими участками. Первое сопряжение имеет гладкость тргтьего порядка, второе — без разрыва кривизны. Здесь же приведены условные обозначения. Линейные размеры отнесены к радиусу затупления сферы. Как показано на рис. 11, зависимость в виде р = р{<У) для всех тел практически одна и та же, тогда как кривые р = p(z) существенно различаются (рис. 10).

Введенная замена координат не вырождена, если давление переменно вдоль линии тока, т.е. ир ^ 0. Кроме того, изложенное неприменимо в тех

областях течения газа, где модуль скорости V ~ 0, или ^SL а о, или —> оо.

Эр др

Таким образом, получены формулы, связывающие разные точки на линии тока и позволяющие определить на ней давление и другие параметры течения

15

газа Их применение значительно повышает точность расчетов по сравнению с известными методами типа «касательных клиньев», «касательных конусов» и другими приближенными методами, устанавливающими соответствие между давлением и местным углом наклона тела

Для определения начального распределения давления на поверхности JIA, обтекаемого трехмерным газовым потоком, в 13 7 предлагается использовать метод осесимметричной аналогии Согласно данной аналогии расстояние вдоль линии тока рассматривается как расстояние вдоль оси эквивалентного осесимметричного тела, а коэффициент Ламе, перпендикулярного к линии тока координатного направления как цилиндрический радиус Каждая невязкая линия тока на поверхности ЛА соответствует телу вращения, обтекаемого под нулевым углом атаки

На примере эллиптического параболоида, обтекаемого сверхзвуковым потоком газа под ненулевым углом атаки показано, что формула Ньютона дает удовлетворительные результаты в сравнении с эталонными данными только на наветренной стороне Построено эквивалентное тело вращения, соответствующее подветренной стороне рассматриваемого параболоида в плоскости его симметрии Установлено, что распределение давления на теле вдоль линии тока, обтекаемого трехмерным газовым потоком, совпадает с распределением давления на поверхности осесимметричного аналога, обтекаемого под нулевым углом атаки, с приемлемой точностью

В п 1 4 описан разностный метод решения исходной нестационарной трехмерной задачи с учетом неравновесных физико-химических превращений в потоке около лобовой поверхности ЛА Начальное приближение задается с использованием подходов, изложенных выше Уравнения газовой динамики включают в себя уравнения движения Эйлера, неразрывности и энергии Для их решения применяется явная конечно-разностная схема Мак-Кормака, основанная на дивергентной форме записи системы уравнений записанная в нормированной сферической системе координат Реализация граничных условий на ударной волне и поверхности тела для совершенного газа аналогична той, что использована в работе [11]

Учет неравновесных физико-химических превращений в потоке сводится к следующей процедуре Решение газодинамической части системы уравнений при заданной в любой точке расчетной сетки функции у, ищем на основе метода установления, как и для совершенного газа Начальное распределение эффективного показателя адиабаты в ударном слое берем постоянным, обычно у,=1 3333 Используя найденные из решения уравнений газовой динамики давление и скорость, интегрируем вдоль линий тока стационарные релаксационные уравнения Для этого из расчетных точек ближайшей к ударной волне координатной поверхности £ = const — координата, нормализующая расстояние между телом и волной) выпускаются линии тока до пересечения с головным скачком Определив координаты точки пересечения, находим в ней значения газодинамических функций 16

Р,р, V и Т и концентраций r/[ (rjt= 0 для атомов на скачке) при помощи интерполяции Затем по неявной схеме рассчитываем концентрации компонентов 0,N,N0,N0+ вдоль выстроенной линии тока (плотность, входящая в выражение для Wl, исключается с помощью интеграла энергии, а концентрации 02,N2,e~ — из условия сохранения элементарного состава многокомпонентной смеси и ее квазинейтральности)

W "Г1 sji?*] Здесь

t]"*1— концентрация /-го компонента, вычисленного в точке ^дs вдоль

i=1

п+1

линии тока, г]"*' — в точке^ д^ , ASj —шаг интегрирования Тильдой отмечены

1

функции, получаемые в процессе итераций, — матрица из частных

Ът]

производных от источниковых членов по концентрациям компонентов, I— единичная матрица, а — параметр численной схемы, который выбирается в диапазоне 0 < а < 0 5 В результате интегрирования по указанной схеме системы кинетических уравнений определяются значения переменных p,T,T]t, а затем и новое значение у,, которое используется на второй итерации при решении газодинамической части задачи Аналогично определяются искомые параметры на остальных координатных поверхностях, с тем лишь изменением, что вместо ударной волны рассматривается предыдущая координатная поверхность £ = const с известными параметрами на ней После нахождения функции у,, во всем ударном слое решение проводится для газодинамической части задачи так же, как и для совершенного газа (за 3 такие итерации достигается необходимая точность в определении газодинамических и релаксационных параметров)

В п 1 5 рассматриваются вопросы построения решения в сверхзвуковой части потока В сверхзвуковой расчетной области система внутренних ударных волн, волн разряжения, контактных поверхностей, образующихся на выступах и на изломах обтекаемой поверхности, может быть достаточно сложна Здесь применяются методы сквозного счета, автоматически удовлетворяющие условиям на разрывах и позволяющие переходить через скачок, размазывая его в пределах нескольких ячеек расчетной области [Годунов СК, 1957, Kutler Р, WarmingR, Lomax Н, 1973, Рицци В, Клавинс Э, Мак-Кормак У, 1977] Система уравнений газовой динамики при этом записывается в дивергентной форме для того, чтобы соответствующая ей система разностных аналогов удовлетворяла законам сохранения с точностью до машинного округления При использовании криволинейных

дщ п+1

г

систем координат в уравнениях движения появляются, вообще говоря, слагаемые, не стоящие под знаком производной Наличие этих членов аналогично действию фиктивных массовых сил, возникающих от использования неинерциальной системы координат При численном решении задачи присутствие "источников" препятствует достижению полного сохранения импульса, делает неопределенным вид разностной аппроксимации уравнений

Пусть х' - координаты относительно произвольной системы, а уг -относительно декартовой системы Базисные ковариантные и

Э х' Э х' д х' Эу1'ду1'ду3/

(г = 1,2,3) Компонентам векторов, тензоров, скалярам и всем параметрам, характеризующим течение газа, будем приписывать индекс "О" в произвольной фиксированной точке евклидового пространства Р0(х'0,хЛ,х„) Для любой точки р{х\х2,хъ), принадлежащей окрестности Р0, введем два набора двухточечных скалярных произведений базисных векторов по следующему закону

О;=ё'0ё„ (24)

контравариантные векторы ^ _(ду1ду2^у3

' I Э х' ' д х' д х'

г =

(25)

Величины в',, 2/ при фиксированной точке Рй являются функциями координат х' Из определений (24), (25) вытекают следующие свойства

(е;)0=з> (26)

(г/Л =

- М)

[эх^ о

эс;

дх1

э<7;

э7

< А

м! =

дх'

(27)

(28) (29)

Символы Кристоффеля Г/у являются производными от объектов С,, ,

и в формуле ковариантного дифференцирования могут быть внесены под знак производной в любой точке Р0, в которой рассматриваются уравнения газовой динамики Стационарные уравнения количества движения в проекциях на направления базисных ковариантных и контравариантных

эп,/

векторов имеют соответственно следующий вид--нРГГ' +г!,П"' =0,

Эх7 1

ДГР

0, где П Щ=ру>ук + р5{, у' -

дх'

контравариантные компоненты скорости, - ковариантные компоненты скорости (у' = С1к\>к и = - составляющие вектора скорости V в базисах

{¿Г/о1 и ко}) Используя свойства (26)-(29) и формулу Г' = !_ ^^

получаем -¿-[Мо*?1+& (30)

дх'

—Шр^+Я/рЬО (31)

Итак, рассматривая в произвольной точке Р0 проекции векторного уравнения импульсов на оси, определяемые векторами {¿/0) или {¿^ {векторами, получаем строго консервативные формы (30-31)

Пусть = = а, - декартов базис Проектируя векторное уравнение импульсов на направления, определяемые векторами а,, вместо (30) и (31)

Э , , , . =0 (32)

получаем

dxJ

л/il PV'Wm+~P

(wm - компоненты V в декартовом базисе, т е V=wa, а-))

¿Ум

Приведенные рассуждения носят общий характер и в равной степени относятся также к уравнениям Навье-Стокса для многокомпонентного газа, поскольку последние можно записать в инвариантной форме Строго консервативные формы записи уравнений гидродинамики (30),(31) являются оригинальными и впервые получены автором в [3,4] Отметим, что существуют и другие способы записи уравнений гидродинамики в строго консервативной форме [Lax PD, Wendroff, 1960, Vinokur М, 1973, Hicks, Wooten, 1980] Выбор в пользу той или иной формы записи уравнений зависит от способа введения криволинейной системы координат и конкретной физической задачи

Удобным с точки зрения уменьшения объема вычислений в эллиптико-гиперболической зоне является такое задание поверхности Коши, когда нормальная составляющая скорости к ней сверхзвуковая, в то время как проекции скорости V на направление оси тела может быть еще дозвуковой Используемая в работе искомая поверхность в процессе счета может деформироваться, и при необходимости трансформируется в плоскость для продолжения счета в цилиндрических координатах Наличие сложной формы рассчитываемых тел и больших углов атаки делает разумным требование близости линий тока к одному из координатных направлений Предельными

случаями построенной системы являются сферическая и цилиндрическая системы, широко применяемые для расчета соответствующих конфигураций Дифференциальные уравнения в частных производных, представляющие собой уравнения неразрывности и импульсов, записываются в строго консервативной форме При расчете течений

V2

совершенного газа они замыкаются интегралом Бернулли к + — = К При

рассмотрении течений с учетом неравновесных физико-химических превращений в потоке к этим уравнениям добавляются релаксационные уравнения, записанные вдоль линий тока, уравнения состояния и зависимости констант скоростей химических реакций от плотности, температуры и концентраций компонентов Подробные сведения об уравнениях химической кинетики и входящих в них переменных приведены в главах 1-3 и таблицах 2,3 приложения Интегрирование газодинамической части системы осуществляется при помощи явной двухшаговой конечно-разностной схемы второго порядка точности, предложенной Мак-Кормаком Для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений химической кинетики, относящихся к классу "жестких", применяется неявная конечно-разностная схема, описанная в 1 4

На первом этапе решение продвигается вдоль линий тока, оканчивающихся в расчетных узлах нового координатного слоя, где уже известны "предикторные" значения «консервативных» газодинамических комплексов Координаты точек пересечения линий тока со старым слоем и значения комплексов в них находятся при помощи интерполяции

Необходимые для замыкания уравнений химической кинетики распределения давления и компонент вектора скорости и>, выражаются через плотность с помощью специальной процедуры декодировки

«консервативных» комплексов В результате в расчетных узлах нового слоя находятся значения давления р, плотности р, составляющих вектора

скорости V, концентраций компонентов т]1 и эффективного переменного по

пространству показателя адиабаты /, = У* р

Г- - 1 />

На втором этапе по известным значениям компонент вектора скорости V, полученных на шаге предиктор, линии тока выпускаются назад до пересечения со старым координатным слоем, и, аналогично первому этапу, осуществляется решение системы уравнений химической кинетики вдоль вновь выстроенных линий тока При этом используются значения комплексов, полученные после осуществления шага корректор

Процедура удовлетворения граничным условиям и расчет контура ударной волны осуществляется при помощи соотношений Рэнкина-Гюгонио Граничные условия на теле V пт = 0 На поверхности тела используется схема Аббетта 20

Процессы конвективного переноса могут проходить медленнее, чем химические процессы, особенно при приближении к равновесию, и для правильного учета последних осуществляется несколько дробных шагов на каждом крупном шаге, определяемом из условия Куранта-Фридрихса-Леви.

Во второй главе приводятся результаты численного моделирования газовых потоков методом НАП. Модель совершенного газа с постоянным показателем адиабаты у = 1.4 была использована для проведения расчетов по определению внешнего давления (коэффициент Ср) по длине и в поперечных сечениях затупленного тела с изломами образующей. Расчет физико-химических реакций в равновесной постановке требует вдвое и более раз большего времени и памяти ЭВМ по сравнению со случаем расчета в рамках совершенного газа. Эта задача значительно упрощается, если определенным образом аппроксимировать таблицу термодинамических функций воздуха с достаточной для практики точностью [Синченко С.Г., 1968]. В расчетах с учетом неравновесных химических процессов временные затраты ЭВМ численного решения задачи возрастают на порядок. При больших скоростях полета из-за высоких температур в ударном слое происходит распад молекул и ионизация. Это приводит к снижению температуры в потоке, увеличению плотности, оказывает влияние, правда в меньшей степени, и на давление газа. Применение различных моделей возбуждения колебательных степеней свободы (Лайтхилла и равновесной) не сказывается на распределении давления в ударном слое, однако влияет незначительно на температуру и концентрации компонентов диссоциированного воздуха. При использовании разновесной модели колебаний более низкие значения температуры и степени диссоциации молекул Ы2 и 02 объясняются большими энергетическими за-ратами потока на возбуждение колебаний в этом случае. На рис. 12-13 приведены результаты расчетов в неравновесной постановке распределений поперек ударного слоя температуры и концентраций компоненты О в плоскости симметрии течения при обтекании эллипсоида. Режим обтекания: угол атаки а = 34°, Мя = 23, Я = 71 км. Кривые 1,3 соответствуют назетренной, а кривые 2,4-подветренной частям тела. Квадратики и треугольники - результаты [Иванова В.Н., Радвогин Ю.Б., 1981].

юооо

т

гоаоо

о.

0.25 0.50 0.75 $ 1.00

О

0.25 0.5о о. 75 6. 1 00

Рис.12

Рис.13

Сравнения свидетельствуют о хорошем согласовании результатов Разделение систем уравнений газовой динамики и химической кинетики, использование дивергентной формы записи уравнений газовой динамики позволяют ограничиться параметром связывающим эти две системы, и уменьшить время счета

Исследование влияния учета различных моделей физико-химических процессов на обтекание классических форм важно для прогнозирования аэродинамики более сложных аппаратов в реальных условиях обтекания Рассмотрено обтекание конуса с углом полураствора 10° (радиус сферического затупления =5см) М„ = 20, Н = 50 км, аг = 0°-15° Показано, что учет неравновесных химических процессов уменьшает на 2-4% значения осевой силы по сравнению с равновесным режимом протекания химических реакций Значения Сх для совершенного газа также незначительно ниже, чем для равновесного воздуха В случае равновесия химических реакций коэффициент нормальной силы с для малых длин

конуса меньше, чем для совершенного газа При х>5(аг = 5°)и

х>4 (от = 10°) значения этого коэффициента становятся большими (до 15%

при х=10-15) для равновесно реагирующего воздуха Это связано с разным характером в поведении давления на наветренной стороне конуса Для равновесного газа минимум давления на поверхности тела в «ложке» вследствие меньших размеров ударного слоя достигается ближе к критической точке, а нарастание давления в дальнейшем происходит более интенсивно и до больших значений, чем для совершенного газа и неравновесного воздуха Значения Су в последнем случае лежат выше, чем

для равновесного воздуха и совершенного газа с у=1 4 Это объясняется более сильным расширением потока с подветренной стороны конуса Отличие в С может достигать 15% для химически равновесного и 20% для неравновесного режимов при всех углах атаки Аналогичное поведение наблюдается в распределении тг Для определенных длин конусов учет равновесных химических реакций приводит к увеличению до 15% значений Сл по сравнению с совершенным газом Учет кинетики химических процессов увеличивает значения С^ в зоне минимума (х=4) до 3-4% по сравнению с равновесным режимом (аг = 5°) При а = 10" это различие

сохраняется для более длинных конусов, а значения С,[ лежат между соответствующими значениями для совершенного и равновесного воздуха

Численное моделирование методом НАП течений газа около поверхности ЛА в рамках уравнения Навье-Стокса рассматривается в третьей главе Классический подход к решению задач обтекания состоит в разделении течения на внешнюю невязкую область и вязкий пограничный слой с присущей ему проблемой, связанной с нахождением условий на 22

внешней границе пограничного слоя В рамках уравнений Навье-Стокса расчет проводится для всей области течения сразу, и указанные трудности не возникают Хотя для расчета обтекания затупленных тел вязким газом разработано множество программ, часто они не могут быть использованы в качестве быстрого и надежного инструмента определения характеристик обтекания хотя бы наиболее часто встречающихся форм В частности, в универсальных методах сквозного счета используются достаточно трудоемкие процедуры построения качественных сеток в области интегрирования для каждого расчетного случая, а в некоторых случаях и для режима обтекания Это приводит порой к очень большим затратам получения решения Расчеты при помощи соответствующих алгоритмов и программ наряду с экспериментальными данными являются эталонными для оценки достоверности результатов, получаемых другими методами С другой стороны, упрощенные, в той или иной степени, уравнения Навье-Стокса имеют существенные ограничения на их применение по характеристикам режимов обтекания Поэтому одной из задач данной работы было создание эффективного численного метода решения полных уравнений Навье-Стокса, позволяющего моделировать пространственные гиперзвуковые течения с учетом физико-химических превращений в газовой фазе за приемлемое для практических расчетов время

Для получения стационарного решения при обтекании тела равномерным сверхзвуковым потоком в данной работе используется метод установления нестационарной системы, состоящей из уравнений неразрывности, Навье-Стокса, и диффузии продуктов химических реакций Набегающий сверхзвуковой поток рассматривается как смесь 23 3% кислорода 02 и 76 7% азота N2 Обтекающий тело газ состоит из семи компонентов (О, N, NO, О2, N2, NO+, е~), а модель химических реакций, протекающих в ударном слое при высоких температурах, является общепринятой [Rakich J V, Bailey НЕ, Park С, 1983] Коэффициент вязкости неравновесной смеси газов рассчитывается по формуле Буденберга-Уилки Тепловой поток к поверхности тела обусловлен теплопроводностью и переносом энергии диффундирующими компонентами В работе [Blottner FG, 1964] показано, что концентрации компонентов слабо зависят от степени упрощения диффузионной модели для рассматриваемых режимов обтекания, поэтому используется модель бинарной диффузии Распределение энергий по поступательным и вращательным степеням свободы принимается равномерным Колебания молекул считаются возбужденными равновесно, или же, по модели Лайтхилла, равны половине максимально возможного равновесного значения Замыкают систему уравнений сведения о константах равновесия и скоростях химических реакций и уравнения состояния

Естественные граничные условия для системы заданы на бесконечном удалении от тела (в невозмущенном потоке) и на самом теле На поверхности обтекаемого тела для компонентов скорости задавались условия прилипания

uw = v„ = ww = О Режим теплообмена - охлаждение стенки TW = T®= const или изменение температуры по закону, близкому к линейному Для концентраций компонент атомов О и N, молекул N0 граничные условия имеют вид

( Эс,

= 0, как для некаталитической поверхности стенки В отношении

Э и

рекомбинации заряженных частиц используются условия идеально каталитической поверхности (с„Л =0 При вычислении концентраций

v n0 /

02 Ы2, е используются условия сохранения атомарного состава и квазинейтральности смеси Для обеспечения устойчивости расчета накладывалось еще одно условие на стенке =о

Переход через ударную волну происходит «замороженным» образом, те на ней концентрации совпадают с соответствующими значениями набегающего потока Для задания «внешней» границы области интегрирования необходимы априорные данные о структуре поля течения Для больших чисел Рейнольдса (7?е„>103) можно пренебречь влиянием структуры тонкой головной ударной волны на течение вниз по потоку и принять, что ударная волна является поверхностью разрыва газодинамических параметров, на которой выполняются нестационарные условия Рэнкина-Гюгонио

Основой предлагаемого метода расчета является расщепление задачи обтекания по физическим процессам

На первом этапе с помощью процедуры, описанной в 14, интегрируется «невязкая» часть системы Она включает в себя уравнения движения Эйлера, неразрывности и энергии в невязкой постановке

На втором этапе решение уточняется с использованием «вязкой» части уравнений Навье-Стокса и энергии «Вязкая» подсистема интегрируется при помощи метода прогонки

Наличие узких областей с большими градиентами параметров потока, таких как пограничный слой вблизи тела, зона размазанной ударной волны при низких числах Рейнольдса, не позволяет получать надежные количественные результаты, используя равномерные сетки Для адекватного учета поведения параметров в этих областях больших градиентов вводится сгущение в радиальном направлении

Для расчета «вязкой» подсистемы уравнений используется неявная разностная схема Для ее описания представим «вязкую» часть уравнений количества движения и энергии в виде

эр , д( . д( э, д( э#эрЛ „ а^ „эр п

где А,В,С- коэффициенты при вторых производных, первых производных и самой функции соответственно, О содержит все оставшиеся члены 24

уравнений со смешанными производными и свободными членами Используя выражения для конечно-разностных аналогов производных для сетки с переменным шагом, можно записать разностный аналог уравнения, оставляя в качестве неизвестных на новом временном слое значения целевых функций в радиальном направлении Все значения остальных функций берутся с текущего временного слоя Для получения решения на новом временном слое, с соответствующими граничными условиями, интегрирование одномерных уравнений сводится к последовательному решению отдельных разностных уравнений с трехдиагональной матрицей методом прогонки Эти уравнения имеют стандартный вид AJn^ - 5„/„ + С„/„_, = Ц,, 0 < п < N, где /- любая из неизвестных функций, /0 и /„ заданы или определяются из граничных условий

Таким образом, в «вязкой» части последовательно решаются разностные уравнения движения, записанные неявно относительно искомых параметров Затем, с использованием полученного поля скоростей решаются уравнения энергии и диффузии Для интегрирования уравнений диффузии метод прогонки применяется в сочетании со специальной неявной разностной схемой, используемой для аппроксимации источниковых членов и описанной в 14 При этом сначала решается система разностных уравнений с источниковыми членами, но без учета диффузии Затем учитывается диффундирование компонентов смеси путем последовательного решения уравнений этой подсистемы методом прогонки

Для исследования течений около удлиненных тел используется разделение всей области интегрирования на ряд взаимно перекрывающихся подобластей и последовательный расчет в каждой из них Такое разделение области возможно в силу слабой передачи возмущений вверх по потоку при обтекании тел сверхзвуковым набегающим потоком вязкого газа [Кокошинская НС, Павлов БМ, Пасконов ВМ, 1980], и позволяет проводить расчет длинных затупленных тел до 100 калибров и более

Из-за большой сложности уравнений Навье-Стокса невозможно получить аналитическое выражение устойчивости для описанной схемы расчета Однако практическое применение алгоритмов показало возможность использования, без потери устойчивости счета, эмпирической формулы Ы = аЫкфл, где а— коэффициент запаса («7=0 8), ЫКФЛ- определяется по критерию Куранта-Фридрихса-Леви для невязких линейных гиперболических уравнений в частных производных

Предусматривается возможность применения упрощенных уравнений Навье-Стокса для некоторых режимов обтекания или для генерации начальных данных Расщепление задачи по физическим процессам, использование смешанных явно-неявных численных алгоритмов позволяет значительно сократить трудоемкость получения практических результатов Затраты машинного времени при расчете пространственного течения около затупленных конусов примерно в 10 раз меньше, чем при использовании

25

полностью неявных схем во всей рассматриваемой области без выделения головной ударной волны Программа расчета пространственного неравновесного гиперзвукового течения вязкого газа позволяет исследовать все режимы протекания химических реакций "замороженный", неравновесный и равновесный Приводятся результаты расчетов сверхзвукового обтекания затупленных тел в рамках полных уравнений Навье-Стокса, а также сравнения с экспериментальными и расчетными данными других авторов по давлению, температуре, концентрациям химических компонент и другим параметрам течения

Сегментально-коническая форма тел состоит из лобовой части в виде шарового сегмента с сужающейся конической кормовой части и используется при проектировании спускаемых космических аппаратов Характер обтекания таких тел является очень сложным, так как связан не только с наличием дозвуковых и сверхзвуковых зон течения, но и с областями отрыва потока При осесимметричном сверхзвуковом обтекании (угол атаки а = 0°) расчет распределения давления по лобовой поверхности не вызывает затруднений Вдоль боковой поверхности действует практически постоянное давление, свидетельствующее об открытом, разомкнутом отрыве с угловой кромки в месте соединения лобовой и боковой поверхностей Величина давления может быть на боковой поверхности меньше, чем в набегающем сверхзвуковом потоке, а ее определение является не простой задачей Представлено полученное по предложенному в диссертационной работе методу распределение давления, и характер поведения линий тока, начинающихся в зоне затупления аппарата Угол конической поверхности вк = -27° Режим обтекания Мт =3 98, число Re„ = 4 106 вычислено по диаметру миделя Полученные в расчете коэффициенты давления на боковой конической поверхности практически совпадают с данными эксперимента [К П Петров, 1998]

Рассмотрим некоторые выявленные особенности неравновесных пространственных течений на примере расчетов при помощи предложенного в данной работе численного метода обтекания вязким газом затупленных по сфере конусов Характерной особенностью неравновесных режимов течения вязкого газа является явно выраженная «ложка», которая отсутствует, если физико-химические процессы в потоке не рассматриваются [17] Различия тепловых потоков здесь достигают 20% в сторону уменьшения для модели, в которой учитываются химические реакции Отмечено, что при обтекании тел под большими углами атаки ионизация и диссоциация газа происходит преимущественно с подветренной стороны тела Для подтверждения этого факта рассмотрено обтекание затупленного конуса и приведено сравнение результатов с данными [Bhutta В A, Lewis СН, 1989] В этой работе принималось, что концентрации компонент на стенке равны концентрациям в невозмущенном потоке, а температура тела Tv =3600К Угол полураствора

конуса 7°, радиус затупления равен 5.08 см, общая длина тела - 50.8 см, высота полета Н=53.3 км, число Мм =20, угол атаки от = 20°. Максимальная концентрация О с подветренной стороны тела примерно в два раза превосходит её наибольшее значение с наветренной стороны (рис. 15). Линии рапных концентраций на рис.14 соответствуют данным работы [ВИиПа В.А., Ьетя С.Н., 1989] и подтверждают этот вывод. Для атомарного азота N максимальная концентрация с подветренной стороны превышает её максимальное значение с наветренной стороны тела примерно в 60 раз. Распределение концентраций О, и также подтверждает интенсивную диссоциацию молекулярного кислорода и молекулярного азота с подветренной стороны тела. И хотя максимальная концентрация ЫО+ в три раза меньше, чем с наветренной стороны, ионизованный слой с подветренной стороны имеет большую толщину примерно в 13 раз.

Рис.14 Рис.15

Для иллюстрации эффективности метода применительно к трехмерным компоновкам типа " SPACE SHUTTLE" с использованием рассмотренной выше стандартной сетки проведено моделирование пространственного обтекания затупленного по сфере конуса, лежащего на треугольной пластине. Другие методы подразумевают сначала трудоемкую процедуру построения сетки с временными затратами зачастую сравнимыми со вргменем решения основной задачи. Число Маха в набегающем потоке

Л/^ =14, число Рейнольдса = температура поверхности

считается постоянной Тп. = 300°К. Набегающий поток параллелен верхней образующей конуса.

Сложная картина взаимодействия газовых потоков около пластины и конической части тела обуславливает немонотонное поведение тепловых потоков к поверхности тела. Характер распределений тепловых потоков в

поперечных сечениях соответствует поведению приповерхностных линий тока Растекание газа в пограничном слое около поверхности тела ведет к локальному увеличению теплообмена Представлены распределения относительных (к значению р0 в критической точке) значений тепловых потоков к поверхности тела в поперечных сечениях в зависимости от длины дуги в окружном направлении Для сравнения приведены данные, полученные с помощью разработанной для решения полных уравнений Навье-Стокса вычислительной технологии [Сахаров В И, Громов В Г] Качественное и количественное согласование приведенных тепловых потоков к поверхности тела позволяет судить о правильности расчета течений вязкого ударного слоя

Выводы и заключение Несмотря на значительное количество исследований полетов ЛА в атмосфере Земли, интерес к задачам газовой динамики не ослабевает Это обусловлено как фундаментальными аспектами рассматриваемой проблемы, так и практическими приложениями, связанными с необходимостью расчетов аэродинамики, теплообмена, плазменных образований около ЛА, математического моделирования этих и других сложных физических процессов с целью сокращения количества дорогостоящих экспериментов в аэродинамических установках

Для решения указанных задач в диссертации разработан новый метод начального аналитического приближения получения информации о параметрах обтекания тел На основе записи системы уравнений газовой динамики в специальных динамических переменных получено разложение искомой функции в ряд по приращению давления Выведены условия, которым удовлетворяют метрические коэффициенты для этих переменных в плоском и осесимметричном течении газа Предложены методы для определения давления и других параметров вдоль поверхности тела Соответствующий алгоритм обладает точностью, характерной для строгих численных методов, но не требует больших временных затрат Показана возможность применения алгоритма, как при дозвуковом, так и сверхзвуковом режимах обтекания тел

Полученные аналитические решения используются как начальные данные в методе установления по времени в сочетании со схемой Мак-Кормака для определения течения в ударном слое сверхзвуковых ЛА в зоне дозвуковых и трансзвуковых течений газа Для нахождения поля течения в сверхзвуковой области применяется криволинейная система координат, локально близкая к линиям тока течения Используется строго консервативная форма записи уравнений газовой динамики, что позволяет наиболее точно удовлетворять разностным аналогам законов сохранения Проведено обобщение метода расчета на случай учета химических реакций в воздухе 28

Модели, основанные на уравнениях Навье-Стокса, позволяют пересчитывать экспериментальные данные на реальные условия полета гиперзвуковых летательных аппаратов, а также сократить количество дорогостоящих экспериментов по определению аэродинамических, тепловых и прочностных характеристик изделий

Анализ полученных результатов свидетельствует о возможности применения предложенного метода для расчета параметров химически неравновесного вязкого ударного слоя, включая характеристики прибортовой плазмы Затраты машинного времени остаются приемлемыми для использования программного комплекса в инженерной практике

Эксплуатация программ расчета охватывает такие важные задачи как определение аэродинамических и тепловых нагрузок летательных аппаратов, интервалов прекращения радиосвязи, обусловленных наличием плазменных образований Рассмотренные последовательно в диссертации методы аналитического и разного уровня сложности численного исследования проблемы обтекания тел потоком газа используются в практических приложениях

Основные результаты работы

1 Разработан метод начального аналитического приближения (НАП) для моделирования многомерных гиперзвуковых потоков с химическими реакциями в окрестности летательных аппаратов (ЛА)

2 Построена математическая модель двумерных течений газа около поверхности затупленных тел в переменных давление-функция тока и на ее основе - дифференциально-геометрический метод (ДГМ) получения приближенно-аналитических соотношений осесимметричных и плоских установившихся задач идеальной газовой динамики

3 Разработан программный комплекс, реализующий процедуру проведения численных расчетов как по методу ДГМ для вспомогательных модельных тел, так и по всему методу НАП для трехмерных задач сверхзвукового обтекания ЛА с учетом неравновесных физико-химических превращений в потоке

4 Проведены практические исследования полей пространственного течения газа около поверхностей ЛА с целью определения их аэродинамических и тепловых нагрузок, а также параметров прибортовой плазмы Сопоставления результатов по методу НАП с известными численными и экспериментальными данными показали их хорошее согласование, что позволяет сделать вывод о корректности аналитического и численного моделирования, а также достоверности полученных результатов

С помощью разработанного метода удается

а) снизить машинное время расчета задач примерно в 2 раза,

б) повысить точность моделирования как локальных распределенных, так и суммарных характеристик потока

5 Установлены следующие эффекты

а) учет неравновесных физико-химических превращений в ударном слое может локально приводить к уменьшению тепловых потоков к стенке до 20% по сравнению с моделью совершенного газа,

б) различие в аэродинамических коэффициентах удлиненных компоновок для некоторых режимов обтекания при учете химических реакций в потоке может достигать 15-20% по сравнению с моделью совершенного газа,

в) для больших углов атаки на подветренной стороне ЛА выявлено образование широкого слоя повышенных значений концентраций компонент газа в отрывной зоне, в том числе заряженных, а также тонкого слоя повышенных концентраций окиси азота

6 Совокупность основных результатов диссертации можно использовать при создании новых экономичных методов исследования высокоскоростных течений вязкого химически реагирующего газа около поверхности гиперзвуковых ЛА

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1 Исследование движения сред, взаимодействующих с электромагнитным полем Отчет по теме «Численное решение задачи сверхзвукового невязкого обтекания пространственной конфигурации потоком идеального газа»/ НИИ механики МГУ Руководитель темы ГА Тирский Исполнители Котенев ВП, Сахаров В И, Тирский ГА, Шевелев ЮД ГР №77066746, Инв №2131 -М, 1979 -20с

2 Исследование движения сред, взаимодействующих с электромагнитным полем Отчет по теме «Численное исследование сверхзвукового обтекания пространственных тел потоком неравновесно-диссоциирующего воздуха»

/ НИИ механики МГУ Руководитель темы ГА Тирский Исполнители Котенев В П, Сахаров В И, Тирский Г А ГР №77066746, Инв №2267 - М, 1979 -30с

3 Исследование движения сред, взаимодействующих с электромагнитным полем Отчет по теме «Строго консервативные формы уравнений гидродинамики многокомпонентной смеси в криволинейных координатах»

/ НИИ механики МГУ Руководитель темы ГА Тирский Исполнители Котенев В И , Сахаров В И , Тирский Г А ГР №77066746, Инв №2445 - М, 1980 - 35с

4 Котенев В И , Сахаров В И , Тирский Г А Строго консервативная форма уравнений Навье-Стокса для многокомпонентного газа и плазмы с учетом химических реакций // Гиперзвуковые пространственные течения при наличии физико-химических превращений — М Изд-во Моек ун-та, 1981 — С 6-28

5 Сахаров В И , Котенев В П , Тирский Г А Применение неортогональных координат в расчетах сверхзвукового невязкого обтекания тел под большими

углами атаки// Гиперзвуковые пространственные течения при наличии физико-химических превращений - М Изд-во Моек ун-та, 1981 -С 106-112

6 Котенев В П, Сахаров В И, Тирский Г А Численное исследование сверхзвукового пространственного обтекания тел сложной формы с учетом неравновесных физико-химических процессов // Газодинамика неравновесных процессов -Новосибирск, 1981 -С 141-145

7 Движение тел в атмосфере Земли и планет со сверхзвуковыми и гиперзвуковыми скоростями при наличии физико-химических превращений, теплообмена и излучения Отчет по теме «Метод расчета пространственного сверхзвукового обтекания затупленных тел с учетом неравновесных химических реакций» / НИИ механики МГУ Руководитель темы Г А Тирский Исполнители Котенев В П, Сахаров В И, Тирский ГА ГР № 0181 8014328, Инв №2847-М, 1983 -33с

8 Сахаров В И, Котенев В П , Тирский Г А Невязкое сверхзуковое обтекание тел неравновесным потоком воздуха // Известия АН СССР Механика жидкости и газа - 1983 - №3 - С 181 (Современные проблемы аэрогидродинамики Тезисы докладов II Всесоюзной школы-семинара)

9 Движение тел в атмосфере Земли и планет со сверхзвуковыми и гиперзвуковыми скоростями при наличии физико-химических превращений, теплообмена и излучения Отчет по теме «Влияние химических реакций на аэродинамические характеристики затупленных конусов» / НИИ механики МГУ Руководитель темы Г А Тирский Исполнители Котенев В П , Сахаров В И , Тирский Г А ГР№ 0181 8014328, Инв №3106 -М, 1984 -16с

10 Котенев ВП, Сахаров ВИ, Тирский ГА Расчет сверхзвукового пространственного обтекания затупленных тел с учетом неравновесных химических реакций // Исследования по гиперзвуковой аэродинамике и теплообмену с учетом неравновесных химических реакций - М Изд-во Моек ун-та, 1987 - С 126-141

11. Котенев В.П., Сахаров В.И., Тирский Г.А. О расчете сверхзвукового обтекания затупленных тел химически неравновесным потоком газа

// Журнал вычислительной математики и математической физики. -1987.-1.21, №6. - С. 411-415.

12. Котенев В.П. О некоторых зависимостях для определения давления на поверхности плоского или осесимметричного тела // Ученые записки ЦАГИ. -1993. - Т. XXIV, №2. - С.139-144.

13 Котенев В.П. Метод расчета давления на поверхности осесимметричных тел ненулевой кривизны // Вестник МГТУ имени Н.Э. Баумана. Машиностроение. - 1998. - №1. - С. 108-114.

14 Введение в математическое моделирование технических систем Методические указания / А Ю Бушуев, В П Котенев, В А Кутыркин В Н и др - М Изд-во МГТУ им Н Э Баумана, 2002 - 52с

15 Забарко Д А, Котенев В П Численное исследование течений газа около поверхности летательных аппаратов в рамках уравнений Навье-Стокса // Аэрокосмические технологии Тезисы докладов Всероссийской научно-технической конференции - М , 2002 - С 33

16. Котенев В.П., Савченко A.A. Метод расчета осесимметричных течений газа около носовой части сверхзвуковых летательных аппаратов // Вестник МГТУ имени Н.Э. Баумана. Машиностроение. - 2002. - №1. -С. 51-68.

17 Забарко ДА, Котенев ВП Численное исследование течений вязкого газа около поверхности летательных аппаратов в рамках уравнений Навье-Стокса //Аэрокосмические технологии Труды Всероссийской научно-технической конференции -М,2003 -С 138-144

18 Беленовская ЮВ, Забарко ДА, Котенев ВП Численное исследование течений вязкого химически реагирующего газа около затупленных тел в рамках уравнений Навье-Стокса// Человек и космос Тезисы докладов VI Международной научно-практической конференции — Днепропетровск, 2004 -С 256

19 Горский В В, Котенев В П Приближенные методы решения задач сверхзвуковой аэродинамики Учебное пособие - М Изд-во МГТУ им Н Э Баумана, 2004 - 32с

20 Забарко Д А, Котенев В П Методика расчета сверхзвукового обтекания затупленных тел с учетом неравновесных физико-химических превращений в рамках уравнений Навье-Стокса // Аэрокосмические технологии Научные материалы Первой международной научно-технической конференции - М,

2004 -С 271-272

21 Забарко ДА, Котенев ВП Численное исследование течений вязкого газа около поверхности затупленных тел//Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики Труды XXIX академических чтений по космонавтике — М , 2005 - С 156

22 Забарко Д А, Котенев В П Численное исследование течений вязкого химически реагирующего газа около затупленных тел в рамках уравнений Навье-Стокса // Космическая наука и технология Человек и космос (Киев) -

2005 -Т 11, №1 -С 36-42

23. Забарко Д.А., Котенев В.П. Численное исследование ламинарных течений вязкого химически реагирующего газа около затупленных тел // Вестник МГТУ имени Н.Э. Баумана. Естественные науки. - 2006. - №1 - С. 77-95.

24. Котенев В.П. Уравнения двумерных течений газа в динамических переменных // Информационные технологии. - 2007. - №1. - С. 37-41.

25 Котенев В.П. Приближенный метод расчета давления на поверхности затупленных тел // Информационные технологии. - 2007. - №2. - С. 7680.

Подписано к печати 10 01 08 Заказ № 8 Объем 2,0 печл Тираж 100 экз Типография МГТУ им Н.Э Баумана 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д 5 263-62-01

Введение

Глава 1. Разработка метода начального аналитического приближения (НАП) для моделирования газовых потоков в окрестности летательных аппаратов (ЛА)

1.1. Полная система уравнений и граничные условия

1.2. Описание метода НАП

1.2.1. Общая концепция метода

1.2.2. Основные этапы метода НАП

1.3. Построение начального приближения

1.3.1. Теория двумерных течений газа в динамических переменных

1.3.2. Расчет давления при небольших углах наклона поверхности тела к набегающему потоку

1.3.3. Способ построения головной ударной волны

1.3.4. Разложение в ряд двухточечных скалярных произведений

1.3.5. Аналогия систем уравнений газовой динамики и несжимаемой жидкости

1.3.6. Применение разложения в ряд по приращению давления для продвижения решения вдоль линии тока

1.3.7. Переход к пространственным течениям

1.4. Разностный метод решения исходной нестационарной

3-х мерной задачи в дозвуковой области

1.5. Построение решения в сверхзвуковой части потока

1.5.1.Уравнения газовой динамики в строго консервативной форме

1.5.2. Системы координат, используемые в задачах обтекания

1.5.3. Построение разностных схем в сверхзвуковой области

Глава 2. Результаты численного моделирования газовых Стр. потоков методом НАП

2.1. Расчет обтекания затупленных тел в дозвуковой части потока

2.2. Пример обтекания тела с изломами образующей

2.3. Применение модели равновесно-диссоциирующего воздуха (РДВ)

2.4. Влияние химических реакций в ударном слое на аэродинамические характеристики

Глава 3. Численное моделирование методом НАП течений газа около поверхности ЛА в рамках уравнений Навье-Стокса

3.1. Общая постановка задачи

3.2. Методика построения разностного решения задачи

3.3. Основные уравнения в криволинейных координатах

3.4. Особенности применения метода НАП для системы уравнений Навье-Стокса

3.5. Анализ результатов 139 Выводы и заключение 146 Литература 150 Приложение

При проектировании летательных аппаратов (ЛА) необходимы предварительные сведения о характере обтекания их поверхности. Эта информация должна включать в себя данные о полях распределения газодинамических величин и концентраций компонентов смеси газов, если в ударном слое около тела происходят химические реакции.

Для исследования обтекания сложных конфигураций, получения эталонных данных, обнаружения новых гидродинамических явлений применяются экспериментальные исследования. Недостатки этого подхода обусловлены высокой стоимостью моделей и большими временными затратами, влиянием конструкции трубы на условия в потоке, погрешностями измерений, масштабными эффектами (влиянием числа Рейнольдса, неравновесными химическими реакциями и т. д.).

В тех случаях, когда условия полета не позволяют провести прямой физический эксперимент, получение необходимой информации может быть осуществлено посредством решения на ЭВМ соответствующим образом поставленных математических задач [20,102]. Целью аэродинамического расчета является определение аэродинамических характеристик изделия, анализ его устойчивости и управляемости. Знание этих факторов помогает правильно вести проектирование аппарата, находить технические решения, позволяющие улучшать его летные данные.

Особенности течения газа, его основные параметры зависят как от геометрии обтекаемого тела, так и от условий полета. Во многих случаях

4 7 при достаточно больших числах Рейнольдса (Ые~10 -г-10 ) эффекты вязкости, теплопроводности и диффузии проявляются в тонких слоях, примыкающих к поверхности тела. К ним относятся пограничные слои на теле, "висячие" пограничные слои, образующиеся при интенсивном вдуве газа с обтекаемой поверхности. Естественным в таких случаях является применение невязкой модели газа в остальной части ударного слоя. Полученные при этом результаты могут быть использованы для расчета течения и теплообмена в пограничном слое.

Невязкая модель сверхзвукового обтекания затупленных тел описывается системой уравнений Эйлера и соответствующих граничных условий. Особенности численного исследования таких течений связаны, во-первых, с изменением типа уравнений в разных частях потока. В дозвуковой части потока система стационарных уравнений газовой динамики относится к эллиптическому типу, в сверхзвуковой — к гиперболическому. Для расчета течения в этих областях удобно использовать разные численные методы и программы расчета.

Во-вторых, при больших сверхзвуковых скоростях полета в ударном слое происходит изменение химического состава газа. В этом случае характеристики течения должны уточняться путем учета влияния физико-химических процессов. Химический состав газа в ударном слое также представляет интерес. Например, знание концентрации электронной компоненты необходимо при рассмотрении вопроса о радиосвязи с аппаратом.

В зависимости от скоростей химических реакций различают замороженный, равновесный и неравновесный режимы их протекания. Время расчета таких задач существенно зависит от правильного выбора модели течения многокомпонентной смеси. Если физико-химические процессы в газе протекают очень быстро (—»1, / - характерное время г течения, т - характерное время релаксации), то термодинамическое состояние частицы газа за время I практически не меняется. Состояние газа в каждой точке потока в этом случае можно считать равновесным при местных давлении и температуре. При этом вблизи ударной волны находится зона, где концентрации компонентов смеси имеют большие градиенты. Чем больше характерный размер тела, скорость его движения и меньше высота полета, тем более оправдано применение равновесной модели протекания релаксационных процессов. Это связано с тем, что скорость протекания физико-химических процессов как правило возрастает вместе с плотностью газа.

Другой предельный режим соответствует "замороженному" течению. Состав газа в частице, т.е. концентрации компонентов смеси за время ее пребывания в возмущенной области ударного слоя, практически не меняется (—«1), а около поверхности тела наблюдаются большие г градиенты концентраций отдельных компонентов. Этот режим может возникнуть при обтекании сравнительно малых тел.

В общем случае химические реакции протекают в неравновесном режиме, когда — ~ 1. Предельные ситуации могут реализовываться и т локально в разных частях потока. Границы применимости той или иной модели условны, тем не менее при расчете аэродинамических характеристик конкретного аппарата их можно примерно указать с приемлемой для практических целей точностью. Например, для тел с характерным размером порядка 1 м можно считать, что равновесный режим реализуется при больших скоростях полета ЛА ( более 2 км/с ) на высотах менее 40 км в атмосфере Земли. Замороженное течение имеет место на высотах свыше 80 км. Промежуточная же область при реальных скоростях движения аппаратов требует рассмотрения неравновесных химических процессов [73].

Не ставя целью сделать полный обзор численных методов для решения задач невязкого обтекания тел сверхзвуковым потоком газа, остановимся на тех, которые обобщены на случай учета физико-химических превращений и часто используются в приложениях. Отметим, что последовательный обзор развития и применения многих методов приведен в работах [15,23,75].

Для расчетов дозвуковых течений широкое распространение получил метод установления по времени. Его появлению предшествовала разработка стационарных методов расчета прямых и обратных задач обтекания. В прямой задаче по заданной форме тела устанавливается местоположение и геометрия поверхности головного скачка уплотнения [16,92]. В обратной же задаче по известной форме и положению ударной волны находится соответствующая ей геометрия обтекаемого тела [103]. Характерной особенностью этих методов является сочетание численных и аналитических аппроксимаций производных или интегралов. Такие подходы успешно применялись при расчете сегментально-конических тел [99,108]. Уменьшение размерности в разностной задаче за счет введения аналитических аппроксимаций приводит к сравнительной простоте алгоритмов и небольшому потребному объему памяти ЭВМ. Однако наличие сложной структуры потока при обтекании трехмерных тел под большими углами атаки ограничивает применение этих методов.

Нестационарные же течения описываются системой уравнений, принадлежащей к гиперболическому типу при любых числах Маха, что позволяет применять здесь большой и хорошо разработанный для таких задач арсенал численных методов. Основное преимущество методов установления по времени для решения задач обтекания тупых тел заключается в устойчивости промежуточных решений, сходимости к искомому стационарному. Их появление связано с работой [25], основанной на конечно-разностной схеме, предложенной С.К. Годуновым [26]. Различные модификации этого метода успешно применяются для решения многих задач газовой динамики, в том числе при расчете смешанных течений, возникающих при исследовании обтекания тел [24]. Во многих работах установление по времени используется при рассмотрении обтекания лобовой части аппарата совместно с численной схемой Бабенко-Воскресенского [10], обобщенной затем на случай неравновесных химических реакций в газе [11,41].

Этот же метод был применен для расчетов обтекания затуплений в сочетании с расщеплением газодинамической и релаксационной систем уравнений, причем релаксационная система уравнений на каждой отдельной итерации интегрировалась в стационарном виде вдоль линий тока [88,89]. Идея разбиения полной системы уравнений на нестационарную газодинамическую и стационарную релаксационную группы использовалась затем и в других работах, например в [71]. Большое число работ основано на применении сеточно-характеристического метода для численного решения уравнений Эйлера [15,67,76,104]. Его приложения к расчету течений с неравновесными химическими реакциями можно найти также в работах [8,79]. Аэродинамические расчеты зарубежных авторов 70-80 годов связаны с исследованием обтекания аппарата " SPACE SHUTTLE". Среди применявшихся ими конечно-разностных методов отметим схему второго порядка точности, предложенную Мак-Кормаком [129]. Для этого направления характерно использование дивергентной формы записи уравнений с последующим расщеплением разностных операторов по пространству. Внутренние скачки заранее не выделяются, а размазываются в процессе счета на несколько ячеек расчетной области. Проводится также учет химических реакций в потоке [134,136-138]. Численное решение задачи сверхзвукового обтекания затуплений потоком совершенного газа на основе схемы Мак-Кормака проведено в работе [92,95], где рассмотрены вопросы точности схемы на границах расчетной области, реализации граничных условий, приведены результаты обтекания трехмерных тел. Аналогичные исследования были проведены в работе [80].

Применение метода установления для расчета химически неравновесного ударного слоя содержится в [89]. Здесь используется процедура раздельного решения газодинамических и релаксационных уравнений. В работах [61,62] эта задача решается с помощью метода установления на основе конечно-разностной схемы Мак-Кормака. Предложенное автором использование дивергентной формы записи уравнений газовой динамики позволяет ограничиться единственным коэффициентом у*, связывающим эти две системы уравнений. Эффективный "энтальпийный" показатель адиабаты у*, плавно меняясь в поле течения многокомпонентной смеси, является удобным параметром для организации итерационного процесса при раздельном интегрировании газодинамических и релаксационных систем уравнений.

Вопросам численного исследования пространственного обтекания тел потоком невязкого газа в сверхзвуковой области посвящено много публикаций. В большинстве из них использовалась модель совершенного газа и лишь некоторые обобщались на случай учета влияния физико-химических процессов в газе. Так, в работе [41] исследовалось обтекание тела сложной формы при помощи метода С.К. Годунова. Усовершенствованный вариант этой системы использован для расчета крыльев [49,50,51], а в [13,39] метод С.К. Годунова применен для исследования равновесных течений около тел с эллиптическим поперечным сечением. На основе метода характеристик впервые были проведены расчеты неравновесного пространственного обтекания затупленных обратных конусов со строгим рассмотрением процессов диссоциации [46]. Метод характеристик использовался и в сверхзвуковой области для расчета обтекания аппаратов программы "SPACE SHUTTLE" неравновесным потоком воздуха [130].

Широкое распространение получили различные модификации метода Бабенко-Воскресенского. С помощью него в работе [17] рассматривалось обтекание тела сегментальной формы при наличии неравновесных процессов в воздухе, причем релаксационные уравнения решались лишь в плоскости симметрии течения. Этот же метод реализован для расчета неравновесного обтекания осесимметричных [12] и пространственных тел [6,7,23]. Применение метода Бабенко-Воскресенского к расчету стационарных неравновесных течений основано на разбиении полной системы уравнений на группу уравнений неразрывности и движения и группу кинетических уравнений, дополненную интегралом энергии. Эти две подсистемы решаются последовательно: сначала относительно проекций вектора скорости и давления, затем - концентраций компонентов смеси газов и энтальпии. Для расчетов течений со сложно топологической структурой в ударном слое эффективны конечно-разностные методы сквозного счета [129]. Их применение связано с записью уравнений газовой динамики в дивергентной [124] или строго консервативной формах [77].

С помощью метода Мак-Кормака в работе [124] было рассчитано поле течения около аппарата "SHUTTLE" в предположении равновесной модели протекания химических реакций. Затем для этой задачи реализован алгоритм, включающий учет неравновесных химических реакций в воздухе [115]. Вариант этой же схемы с расщеплением разностных операторов по пространству рассмотрен в работе [137]. Исходные уравнения здесь записывались в интегральном виде, использовалась система координат, учитывающая направление линий тока. Задача обтекания тела сложной формы потоком совершенного газа рассмотрена в [92], где предложена специальная схема расчета граничных точек с тонкими так называемыми энтропийными слоями у его поверхности, характеризующимися большими градиентами энтропии и плотности газа. В работе [72] методом Мак-Кормака рассчитано обтекание сверхзвуковым потоком невязкого газа крылатых конических тел. При этом для устранения возможных осцилляций решения применена специальная процедура монотонизации. В работе [65] проведено исследование обтекания затупленных тел на основе схемы Мак-Кормака в приближении равновесной термохимической модели. Показано, что на некоторых режимах полета замена переменного эффективного показателя адиабаты "замороженным" вдоль линии тока дает хорошие результаты за исключением областей влияния размазанных скачков уплотнения. Неравновесные расчеты тел сложной формы проведены в [64]. Для решения релаксационных уравнений здесь использована модифицированная схема Кранка-Николсона. Исследование влияния различных моделей протекания химических реакций на аэродинамические характеристики затупленных конусов дано в работе [60], где наряду с применением схемы Мак-Кормака для численного интегрирования уравнений Эйлера, записанных в строго консервативной форме, параллельно использована неявная процедура интегрирования кинетических уравнений вдоль линий тока.

Относительно недавно появились неявные схемы ТУЕ) [43], обладающие высоким порядком точности в областях плавных изменений решения и диссипацией второго порядка в окрестностях разрывов за счет сглаживания распределений векторов потока с помощью специальных функций-ограничителей. В целом, неявные схемы согласно линейному анализу безусловно устойчивы. Увеличение шага интегрирования в этом случае в применении к нелинейным уравнениям, тем не менее, может вызывать неустойчивость. Кроме того, за счет резкого увеличения объема вычислений значительно возрастает время счета.

Невязкий расчет является необходимым условием для расчета теплообмена в пограничном слое. Последняя задача также трудна для своего решения, поскольку предлагаемые практикой аэродинамические компоновки трехмерны. К настоящему времени разработаны достаточно точные методы определения аэродинамического нагрева тел осесимметричной формы [2,40,135]. При рассмотрении пространственных тел используется осесимметричная аналогия [3,116,117,132,133]. В этом случае вычисляется удельный тепловой поток вдоль линии тока невязкого течения на поверхности рассчитываемого тела.

Решение задачи расчета обтекания ЛА на гиперзвуковых режимах без выделения невязкой области и вязкого подслоя требует использования программных средств, основанных на применении уравнений Навье-Стокса. Несмотря на сравнительно большое количество публикаций, посвященных решению уравнений Навье-Стокса, методы решений таких уравнений и соответствующее программное обеспечение еще далеки от совершенства. Это приводит к существенным ограничениям на значения определяющих параметров задачи (таких как число Рейнольдса), большим трудозатратам, связанным с модификацией физической модели. Главные особенности и закономерности таких течений были рассмотрены в работах [5,9,47,70]. Результаты расчетов осесимметричного и пространственного обтекания сферически затупленных конусов, а также сравнение с экспериментальными и расчетными данными приведены в [37,38,140,142].

В целом, численные методы характеризуются простотой применения, слабыми упрощающими допущениями, возможностью включения в процедуры оптимизации, полным описанием течения, отсутствием ограничений по числам Маха и Рейнольдса, умеренными затратами средств. При этом в качестве недостатков можно отметить не вполне адекватные модели турбулентности, не всегда хорошую точность разностных методов, недостаточное быстродействие и объем памяти ЭВМ.

Приближенные методы позволяют получать решение в замкнутой форме при минимальных временных затратах [103,105,106]. Согласно теории Ньютона, например, давление на элемент поверхности тела зависит только от ориентации этого элемента по отношению к набегающему потоку частиц и не зависит от формы остальной части тела. Сопротивление тела определяется формой его головной части, поскольку только эта часть тела испытывает столкновение с частицами. Удовлетворительное совпадение при больших сверхзвуковых скоростях результатов расчета давления по формуле Ньютона с опытными данными и результатами расчетов по более точным теориям свидетельствуют о том, что давление на обращенный вперед элемент поверхности тела при таких скоростях определяется в основном углом встречи элемента с направлением набегающего потока. Однако эта теория не дает возможности найти давление на участки поверхности тела с малыми углами встречи с направлением набегающего потока так как давление на них по этой теории близко к нулю, что не всегда соответствует действительности. По теории Буземана давление в данной точке обтекаемой поверхности определяется не только ориентацией элемента поверхности по отношению к набегающему потоку, но и формой всей поверхности, расположенной выше по течению. Тем не менее при исследовании сверхзвукового обтекания затупленных тел применение формулы Ньютона даже предпочтительнее. Другой подход к рассмотрению обтекания заостренных впереди профилей или тел вращения позволяет считать давление на элемент поверхности равным давлению на помещенных в тот же поток клине (при обтекании профилей) или конусе (при обтекании тел вращения), касающихся тела в рассматриваемом сечении. Этот метод, предложенный C.B. Валландером, получил название метода касательных конусов или метода касательных клиньев. Неудобство метода касательных конусов (клиньев) при всей его простоте заключается в том, что в общем случае зависимость давления на клине от угла клина представляется лишь в неявной форме, а решение задачи об обтекании конуса может быть получено лишь численными методами. Вследствие этого распределение давления по обтекаемым телам нельзя представить точно в простой аналитической форме. Для того, чтобы устранить это неудобство, можно пользоваться различными приближенными аналитическими решениями задачи об обтекании клина и конуса. Таким образом, в приближенных подходах используются жесткие допущения, упрощение геометрий, ограниченный круг рассматриваемых характеристик. Поэтому по-прежнему актуально создание такого эффективного метода для определения давления на поверхности тел, который сочетал бы в себе простоту приближенных формул, точность строгих методов и был пригоден как для сферы, так и для эллипсоида, параболоида, гиперболоида и других тел этого класса. При применении численных алгоритмов, основанных на методе установления по времени, успех решения задачи обтекания тел сверхзвуковым потоком газа во многом зависит от точности начальных данных. Для их генерации используются как правило перечисленные выше приближенные решения. Можно констатировать, что существует своеобразный разрыв между возможностями численных методов и точностью приближенных решений, который значительно увеличивает время счета или делает невозможным численное интегрирование уравнений газовой динамики. К этому часто приводит использование формулы Ньютона для начального распределения давления на участках, где угол встречи потока с поверхностью тела мал. Быстрое развитие вычислительной техники обусловило развитие конечно-разностных методов, тогда как аналитические подходы остались во многом на прежнем уровне.

Актуальность работы. Исследование течений газа около поверхности ЛА - одна из важных задач аэродинамики. Большой интерес к этой проблеме вызван рассмотрением новых аэродинамических компоновок, обладающих подъемной силой. Экспериментальное получение необходимой информации дорого, а во многих случаях в наземных условиях моделирование физико-химических процессов, сопровождающих полеты ЛА в атмосфере Земли, принципиально невозможно. Существующие в настоящее время численные и аналитические методы определения аэродинамических и тепловых нагрузок ЛА, а также учета плазменных образований вблизи их поверхности, влияющих на работу приемных и передающих антенн, требуют либо неоправданно больших затрат машинного времени в силу их громоздкости, либо не обладают необходимой точностью для практики. Поэтому актуальным является развитие теоретических подходов и комплексов программ для решения этих задач.

Цель и задачи работы. Целью работы является создание новых методов моделирования обтекания тел как в двумерной, так и в пространственной постановке потоком невязкого или вязкого газа. Основу диссертации составляют:

1. Разработка математической модели течений газа в переменных давление — функция тока, оперативных универсальных по отношению к форме затупленных тел методов расчета давления на их поверхности.

2.Создание экономичных алгоритмов определения контуров ударной волны для использования их в качестве начальных данных в методе установления при решении задач сверхзвуковой аэродинамики.

3.Анализ влияния различных термохимических моделей на параметры течения газа, выбор экономичной модели с точки зрения учета основных факторов.

4.Разработка программных комплексов для решения задач обтекания тел сверхзвуковым потоком химически реагирующего газа.

5.Определение с помощью разработанных методик аэродинамических характеристик и параметров многокомпонентной смеси газов около поверхности ЛА.

Методика исследования. При решении задач, рассмотренных в диссертации, использованы: методы математической физики, аппарат тензорного анализа, численный метод установления по времени, конечно-разностный метод второго порядка точности, эффективно реализуемый на ЭВМ.

Научная новизна. В данной работе разработан новый метод начального аналитического приближения (НАЛ) для расчета параметров на поверхности тел, обтекаемых потоком газа. Этот метод сочетает простоту приближенных подходов и точность строгих численных и аналитических решений.

Применение метода НАЛ для моделирования обтекания гиперзвуковых ЛА в рамках уравнений Навье-Стокса с неравновесными химическими реакциями показало сокращение в несколько раз времени расчета установившихся режимов по сравнению с другими методами.

Разработан программный комплекс, реализующий метод НАП для расчета обтекания осесимметричных затупленных тел и для специальных типов пространственных компоновок.

Численно решены задачи обтекания поверхностей гиперзвуковых ЛА, имеющих важное прикладное значение.

Предложены формы записи уравнений газовой динамики в строго консервативной форме.

Практическая ценность. Рассматриваемый в диссертации подход к решению задачи пространственного сверхзвукового обтекания и разработанные аналитические методы и алгоритмы численного решения дают возможность исследовать течение газа около поверхности ЛА. Созданный метод позволяет проводить параметрические расчёты для различных режимов пространственного течения с учётом реальных свойств газа. При этом предложенный в работе метод может быть использован для решения как полных уравнений Навье-Стокса, так и упрощённых уравнений Навье-Стокса в приближении тонкого слоя. С помощью разработанной программы численного решения химически неравновесного вязкого ударного слоя можно проводить систематические исследования неравновесных течений около неразрушающихся поверхностей с различными каталитическими свойствами с учётом и без учёта ионизации. Полученные в работе результаты используются в практике инженерных расчетов для определения аэродинамических, тепловых нагрузок ЛА и влияния плазменных образований на работу различных приборов, а также в учебном процессе МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных конференциях «Ломоносовские чтения» МГУ им. М.В. Ломоносова (1980,1981), на Всесоюзных школах-семинарах по механике реагирующих сред, Междуреченск (1980,1981), на II Всесоюзной школе-семинаре «Современные проблемы аэрогидродинамики», Махачкала (1982), на научной конференции «Задачи космического образования в XXI веке» МАИ (2001), на Всероссийской научно-технической конференции «Аэрокосмические технологии» МГТУ им. Н.Э. Баумана (2002), на VI Международной научно-практической конференции «Человек и космос», Днепропетровск, (2004), на I Международной научно-технической конференции «Аэрокосмические технологии», посвящённой 90-летию со дня рождения академика В.Н.Челомея, Москва-Реутов (2004), на XXIX академических чтениях по космонавтике, Москва (2005), а также на ряде семинаров в МГУ, МГТУ и отраслевых институтах.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 25 работ, из них 7 - в рецензируемых научных журналах перечня ВАК, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора наук.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 222 страницах машинописного текста, содержит 96 иллюстраций и состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Список цитируемой литературы включает 142 наименования.

Основные результаты работы:

1. Разработан метод начального аналитического приближения (НАЛ) для моделирования многомерных гиперзвуковых потоков с химическими реакциями в окрестности летательных аппаратов (ЛА).

2. Построена математическая модель двумерных течений газа около поверхности затупленных тел в переменных давление-функция тока и на ее основе — дифференциально-геометрический метод (ДГМ) получения приближенно-аналитических соотношений осесимметричных и плоских установившихся задач идеальной газовой динамики.

3. Разработан программный комплекс, реализующий процедуру проведения численных расчетов как по методу ДГМ для вспомогательных модельных тел, так и по всему методу НАЛ для трехмерных задач сверхзвукового обтекания ЛА с учетом неравновесных физико-химических превращений в потоке.

4. Проведены практические исследования полей пространственного течения газа около поверхностей ЛА с целью определения их аэродинамических и тепловых нагрузок, а также параметров прибортовой плазмы. Сопоставления результатов по методу НАП с известными численными и экспериментальными данными показали их хорошее согласование, что позволяет сделать вывод о корректности аналитического и численного моделирования, а также достоверности полученных результатов.

С помощью разработанного метода удается: а) снизить машинное время расчета задач примерно в 2 раза; б) повысить точность моделирования как локальных распределенных, так и суммарных характеристик потока.

5. Установлены следующие эффекты: а) учет неравновесных физико-химических превращений в ударном слое может локально приводить к уменьшению тепловых потоков к стенке до 20% по сравнению с моделью совершенного газа; б) различие в аэродинамических коэффициентах удлиненных компоновок для некоторых режимов обтекания при учете химических реакций в потоке может достигать 15-20% по сравнению с моделью совершенного газа; в) для больших углов атаки на подветренной стороне ЛА выявлено образование широкого слоя повышенных значений концентраций компонент газа в отрывной зоне, в том числе заряженных, а также тонкого слоя повышенных концентраций окиси азота.

6. Совокупность основных результатов диссертации можно использовать при разработке новых экономичных методов исследования высокоскоростных течений вязкого химически реагирующего газа около поверхности ЛА.

150

Выводы и заключение

Несмотря на значительное количество исследований полетов ЛА в атмосфере Земли, интерес к задачам газовой динамики не ослабевает. Это обусловлено как фундаментальными аспектами рассматриваемой проблемы, так и практическими приложениями, связанными с необходимостью расчетов аэродинамики, теплообмена, плазменных образований около ЛА, математического моделирования этих и других сложных физических процессов с целью сокращения количества дорогостоящих экспериментов в аэродинамических установках.

Для решения указанных задач в диссертации разработан новый метод начального аналитического приближения получения информации о параметрах обтекания тел. На основе записи системы уравнений газовой динамики в специальных динамических переменных получено разложение искомой функции в ряд по приращению давления, которое использовано для интегрирования решения вдоль поверхности тела. Соответствующий алгоритм обладает точностью, характерной для строгих численных методов, но не требует больших временных затрат. Установлены условия, которым удовлетворяют метрические коэффициенты для этих переменных в плоском и осесимметричном течении газа. Показана возможность применения алгоритма как при дозвуковом, так и сверхзвуковом режимах обтекания тел.

Полученные аналитические решения используются как начальные данные в методе установления по времени в сочетании со схемой Мак-Кормака для определения течения в ударном слое сверхзвуковых ЛА в зоне дозвуковых и трансзвуковых течений газа. Для нахождения поля течения в сверхзвуковой области применяется криволинейная система координат, локально близкая к линиям тока течения. Используется строго консервативная форма записи уравнений газовой динамики, что позволяет наиболее точно удовлетворять разностным аналогам законов сохранения.

Проведено обобщение метода расчета на случай учета химических реакций в воздухе.

Модели, основанные на уравнениях Навье-Стокса, позволяют пересчитывать экспериментальные данные на реальные условия полета гиперзвуковых летательных аппаратов, а также сократить количество дорогостоящих экспериментов по определению аэродинамических, тепловых и прочностных характеристик изделий.

Анализ полученных результатов свидетельствует о возможности применения предложенного метода для расчёта параметров химически неравновесного вязкого ударного слоя, включая характеристики прибортовой плазмы. Затраты машинного времени остаются приемлемыми для использования программного комплекса в инженерной практике.

Эксплуатация программ расчета охватывает такие важные задачи как определение аэродинамических и тепловых нагрузок летательных аппаратов, интервалов прекращения радиосвязи, обусловленных наличием плазменных образований.

Рассмотренные последовательно в диссертации методы аналитического и разного уровней сложности численного исследования проблемы обтекания тел потоком газа используются в практических приложениях.

1. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. — М.: Наука, 1969. — 824с.

2. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике /B.C. Авдуевский, Б.М. Галицейский, В.К. Кошкин и др.; Под ред. В.К. Кошкина. М.: Машиностроение, 1975. - 624с.

3. Авдуевский B.C. Приближенный метод расчета трехмерного ламинарного пограничного слоя // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и Машиностроение. -1962.- №2.-С. 11-17.

4. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике /В.П. Агафонов, В.К. Вертушкин, А.А.Гладков и др.;

5. Под ред. Г.И. Майкапара. М.: Машиностроение, 1972. — 344с.

6. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: Пер. с англ.-М.: Мир, 1990. 726с.

7. Антонец A.B. Гиперзвуковое обтекание затупленных тел неравновесным потоком воздуха // Изв. АН СССР. МЖГ. 1974. - №2. - С. 114-120.

8. Антонец A.B., Липницкий Ю.М. Исследование сверхзвукового обтекания удлиненных затупленных тел с эллиптической формой поперечного сечения// Изв. АН СССР. МЖГ. 1976. -№6. - С. 155-158.

9. Антонец A.B., Никулин А.Н. Неравновесные пространственные течения около летательных аппаратов// Научные чтения по авиации и космонавтике: Аннотации докладов. — М.: Наука, 1981. — С. 257-258.

10. Бабенко К.И., Воскресенский Г.П. Численный метод расчета пространственного обтекания тел сверхзвуковым потоком газа // ЖВМ и МФ,- 1961. -Т.1, №6. -С. 1051-1060.

11. Бабенко К.И., Иванова В.Н., Косоруков A.JI. Сверхзвуковое обтекание гладких тел с учетом неравновесных химических реакций. М.,1980. 33с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, №54).

12. Бабенко К.И., Косоруков А.Л., Радвогин Ю.Б. Сверхзвуковое стационарное двумерное обтекание воздухом с учетом неравновесных химических реакций. М., 1981. - 32с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, №71).

13. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984. - 520с.

14. Белоцерковский О.М. Обтекание симметричного профиля с отошедшей ударной волной // Прикладная математика и механика. — 1958. Т.22, №2.-С. 206-219.

15. Бурдельный А.К., Миносцев В.Б. Расчет сверхзвуковой области пространственного обтекания тел неравновесным потоком воздуха // Изв. АН СССР. МЖГ. 1972.-№2.- С. 124-129.

16. Введение в математическое моделирование технических систем: Методические указания / А.Ю. Бушуев, В.П. Котенев, В.А. Кутыркин В.Н. и др. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. - 52с.

17. Власов В.И. Метод расчёта вязкого ударного слоя с учётом неравновесных физико-химических процессов // Космонавтика и ракетостроение. 1997. — № 11.-С. 5-12.

18. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. М.: Изд-во МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2001 — 700с.

19. Воронкин В.Г. Неравновесный вязкий ударный слой на притуплённых конусах // Изв. АН СССР. МЖГ. 1979. - №6. - С. 15-20.

20. Воскресенский Г.П., Иванов О.В., Стебунов В.А. Расчет сверхзвукового обтекания тел сложной формы. М., 1981. — 16с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, № 67).

21. Воскресенский Г.П., Чушкин П.И. Численные методы решения задач сверхзвукового обтекания тел// Итоги науки и техники ВИНИТИ. Серия МЖГ. 1978.-T.il. - С. 5-65.

22. Численное решение многомерных задач газовой динамики/ С.К. Годунов, A.B. Забродин, М.Я. Иванов и др. -М.: Наука, 1976. 400с.

23. Годунов С.К., Забродин A.B., Прокопов Г.П. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной // ЖВМ и МФ. 1961. - Т. 1, №6. - С. 10201050.

24. Годунов С.К. Разностный метод расчета ударных волн //Успехи математических наук. 1957. - Т. 12, вып.1. — С. 176-177.

25. Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. М: Наука, 1991. - 576с.

26. Дулов В.Г. О некоторых постановках пространственных задач оптимизации в гиперзвуковой аэродинамике // ПМТФ/ СО АН СССР. -1976. -№5. -С. 69-77.

27. Дулов В.Г., Рудаков А.И. Пространственные сверхзвуковые течения на больших расстояниях от тела конечного объема // ПМТФ/ СО АН СССР. -1976.-№3.-С. 77-83.

28. Дьяконов Ю.Н., Пчелкина Л.В., Сандомирская И.Д. Сверхзвуковое обтекание затупленных тел. -М.: Изд-во МГУ, 1971. 406с.

29. Егоров И.В. К вопросу о влиянии реальных свойств воздуха на интегральные аэродинамические характеристики // Изв. АН СССР. МЖГ. -1992.-№4. С. 156-164.

30. Забарко Д.А., Котенев В.П. Численное исследование течений газа около поверхности летательных аппаратов в рамках уравнений Навье-Стокса

31. Аэрокосмические технологии: Тезисы докладов Всероссийской научно-технической конференции. -М., 2002. С. 33.

32. Забарко Д.А., Котенев В.П. Численное исследование течений вязкого газа около поверхности летательных аппаратов в рамках уравнений Навье-Стокса// Аэрокосмические технологии: Труды Всероссийской научно-технической конференции. -М., 2003. С. 138-144.

33. Забарко Д.А., Котенев В.П. Численное исследование течений вязкого газа около поверхности затупленных тел//Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики: Труды XXIX академических чтений по космонавтике. М., 2005. — С. 156.

34. Забарко Д.А., Котенев В.П. Численное исследование течений вязкого химически реагирующего газа около затупленных тел в рамках уравнений

35. Навье-Стокса//Космическая наука и технология. Человек и космос (Киев). -2005.-Т.11,№1.-С. 36-42.

36. Забарко Д.А., Котенев В.П. Численное исследование ламинарных течений вязкого химически реагирующего газа около затупленных тел // Вестник МГТУ. Естественные науки. 2006. -№1 - С. 77-95.

37. Зарубин А.Г. К расчету пространственных сверхзвуковых течений с учетом реальных свойств газа // Ученые записки ЦАГИ. 1982. — Т.13, №2. - С. 123-128.

38. Зарубин B.C. Температурные поля в конструкции летательных аппаратов. -М.: Машиностроение, 1966. — 215с.

39. Иванова В.Н., Радвогин Ю.Б. Трехмерное сверхзвуковое обтекание гладких тел неравновесно реагирующим воздухом. М.,1981. - 28с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, №92)

40. Иванов М.Я., Никитин Т.В. К расчету пространственного обтекания сверхзвуковым потоком тел сложной формы // Ученые записки ЦАГИ. -1973. Т.4, №4. - С. 7-13.

41. Йи Г.С., Хартен А. Неявные схемы TVD для гиперболических систем уравнений, записанных в консервативной форме относительно системы криволинейных координат // APT. 1987. - №11. - С. 11-21.

42. Калугин В.Т. Аэрогазодинамика органов управления полетом летательных аппаратов. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 688с.

43. Кан Сань-Вук. Неравновесное ионизированное гиперзвуковое течение около затупленного тела при низких числах Рейнольдса //РТК. — 1970 — Т.8, №7. С. 98-105.

44. Кацкова О.Н., Чушкин П.И. Влияние неравновесной диссоциации на сверхзвуковое пространственное обтекание обратных конусов // Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. - №2. - С. 182-185.

45. Кокошинская Н.С., Павлов Б.М., Пасконов В.М., Численное исследование сверхзвукового обтекания тел вязким газом. — М.: Изд-во МГУ, 1980.- 248с.

46. Косоруков A.JI., Радвогин Ю.Б. Сравнительное изучение обтекания затупленных конусов равновесно и неравновесно реагирующим воздухом.- М., 1984. 24с. ( Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР,№ 22)

47. Косых А.П., Минайлос А.Н. Исследование методов сквозного счета для задач сверхзвуковой аэродинамики// Ученые записки НАГИ. 1976. - Т.7, №1. - С. 9-17.

48. Косых А.П., Минайлос А.Н. Расчет сверхзвукового невязкого течения около несущих тел и крыльев методом сквозного счета// Труды ЦАГИ.- 1977.-Вып. 1809.-С. 3-34.

49. Косых А.П., Минайлос А.Н. Расчет сверхзвукового невязкого течения у пирамидоидального тела, моделирующего дельтавидный летательный аппарат//Изв. АН СССР. МЖГ. 1975. -№3.- С. 105-111.

50. Котенев В.П. О некоторых зависимостях для определения давления на поверхности плоского или осесимметричного тела //Ученые записки ЦАГИ.- 1993.-Т. XXIV, №2.-С. 139-144.

51. Котенев В.П. Метод расчета давления на поверхности осесимметричных тел ненулевой кривизны // Вестник МГТУ. Машиностроение. 1998. -№ 1. - С. 108-114.

52. Котенев В.П. Уравнения двумерных течений газа в динамических переменных // Информационные технологии. 2007. — №1. — С. 37-41.

53. Котенев В.П. Приближенный метод расчета давления на поверхности затупленных тел // Информационные технологии. 2007. - №2. - С. 76-80.

54. Котенев В.П., Савченко A.A. Метод расчета осесимметричных течений газа около носовой части сверхзвуковых летательных аппаратов // Вестник МГТУ. Машиностроение. -2002. -№1. С. 51-68.

55. Исследование движения сред, взаимодействующих с электромагнитным полем: Отчет по теме «Численное исследование сверхзвукового обтекания пространственных тел потоком неравновесно-диссоциирующего воздуха»

56. НИИ механики МГУ. Руководитель темы Г.А. Тирский. Исполнители: Котенев В.П., Сахаров В.И., Тирский Г.А. ГР №77066746, Инв. №2267.-М., 1979.-30с.

57. Тирский Г.А. ГР№ 0181.8014328, Инв. №2847.-М., 1983.-33с.

58. ГР № 0181.8014328, Инв. №3106. -М., 1984.- 16с.

59. Котенев В.П., Сахаров В.И., Тирский Г.А. О расчете сверхзвукового обтекания затупленных тел химически неравновесным потоком газа

60. Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1987.- Т.27, №6. С. 411-415.

61. Котенев В.П., Сахаров В.И., Тирский Г.А. Численное исследование сверхзвукового пространственного обтекания тел сложной формы с учетом неравновесных физико-химических процессов //Газодинамика неравновесных процессов (Новосибирск). 1981. - С. 141-145.

62. Крайко А.Н. Аналитическое представление термодинамических функций воздуха // Инженерный журнал. 1964. - Т.4, вып.З. - С. 548-550.

63. Крайко А.Н. О расчете неравновесного течения газа в соплах Лаваля //Научные труды НИИ механики МГУ. 1973. - №21 - С. 31-34.

64. Красильников A.B., Никулин А.Н., Холодов A.C. Некоторые особенности обтекания затупленных по сфере конусов с большими углами полураствора при гиперзвуковых скоростях// Изв. АН СССР. МЖГ. 1975. - №2.-С. 179-181.

65. Краснов Н.Ф. Основы аэродинамического расчета. — М.: Высшая школа, 1981.— 496с.

66. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. - Том IV. -736с.

67. Лебедев С.И., Рычков А.Д. Расчет течения идеального газа в осесимметричных соплах Лаваля с учетом неравновесного протеканияхимических реакций // Численные методы МСС ( Новосибирск). 1980. -Т. 11, №5. — С. 111-119.

68. Лобановский Ю.И. Расчет обтекания сверхзвуковым потоком невязкого газа крылатых конических тел.// Ученые записки ЦАГИ. — 1980. Т. 11, №6.-С. 58-65.

69. Лунев В.В. Течение реальных' газов с большими скоростями. — М.: Физматлит,2007. 327 с.

70. Лунев В.В., Магомедов K.M., Павлов В.Г. Гиперзвуковое обтекание притуплённых конусов с учетом равновесных физико-химических превращений. М.: ВЦ АН СССР, 1968. - 203с.

71. Любимов А.Н., Русанов В.В. Течения газа около тупых тел. М.: Наука, 1970. - Т. 1 - 287с. Т.2 - 380с.

72. Магомедов K.M., Холодов A.C. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений // ЖВМ и МФ. 1969. - Т.9, №2. - С. 373-386.

73. Рицци В., Клавинс Э., Мак-Кормак У. Обобщенный численный метод гиперболического типа для трехмерных сверхзвуковых течений с ударными волнами// Численное решение задач гидромеханики. М.: Мир, 1977.-С. 87-96.

74. Мищенко A.C., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: Изд-во МГУ, 1980. - 439с.

75. Никулин А.Н. Расчет неравновесного обтекания затупленных тел методом установления // Аэрофизика и прикладная математика: Труды XX научной конференции МФТИ. М., 1975. - С. 5-9.

76. Петров К.П. Аэродинамика тел простейших форм. — М.: Факториал, 1998. 432с.

77. Погорелов Н.И., Шевелев Ю.Д. Численное исследование сверхзвукового обтекания передней части затупленных тел под большими углами атаки. — М., 1981. 51с. (Препринт ИПМ АН СССР, №175).

78. Покровский А.Н., Фролов Л.Г. Приближенные зависимости для определения давления на поверхности сферы или цилиндра при произвольном числе Маха набегающего потока // Механика жидкости и газа. 1985.- №2.-С. 185-190.

79. Предводителев A.C., Ступоченко Е.В., Плешанов A.C. Таблицы термодинамических функций воздуха (для температур от 200 до 6000 К и давлений от 0.00001 до 100 атм).-М.: ВЦ АН СССР, 1962.-267с.

80. Предводителев A.C., Ступоченко Е.В., Плешанов A.C. Таблицы термодинамических функций воздуха (для температур от 6000 до 12000 К и давлений от 0.001 до 1000 атм).-М.: ВЦ АН СССР, 1957.-301с.

81. Пушкина И.Г., Тишкин В.Ф. Адаптивные расчетные сетки из ячеек Дирихле для решения задач математической физики: методика построения, примеры // Математическое моделирование. 2000. - Том 12, №3. - С. 97109.

82. Радвогин Ю.Б. Зависимость отхода ударной волны от числа Маха набегающего потока // Доклады Академии наук СССР. 1974. - Том 215, №5.-С. 1063-1066.

83. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1968. - 592с.

84. Савинов К.Г., Шкадова В.П. О применении метода установления в задаче обтекания затупленного тела неравновесным потоком // Изв. АН СССР. МЖГ. 1976.-№2.-С. 140-145.

85. Савинов К.Г., Шкадова В.П. Метод установления для расчета трехмерного неравновесного обтекания затупленных тел// Научные труды НИИ механики МГУ. 1975. -№41. - С. 80-94.

86. Саранцев А.И. Дополнение к методу скачков расширений второго порядка точности // Ученые записки ЦАГИ. 1991. -№1. - С. 82-88.

87. Взаимодействие плазмы с высокоскоростными потоками газа: Отчет по теме «Численное исследование процессов и течений в разрядном канале ВЧ плазмотрона» / НИИ механики МГУ. Руководитель темы Г.Г. Черный.

88. Исполнители: Сахаров В.И., Громов В.Г. НИР по проектам Программы фундаментальных исследований Президиума РАН №20, Инв. № 4677. -М, 2003.-51с.

89. Сахаров В.И., Тирский Г.А. Расчет сверхзвукового обтекания затуплений методом установления по времени// Гиперзвуковые пространственные течения при наличии физико-химических превращений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981.-С. 93-105.

90. Сахаров В.И., Шевелев Ю.Д. О расчете стационарного невязкого обтекания пространственных тел // Изв. АН СССР. МЖГ. 1980. - №4. -С. 172-175.

91. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1983. - Т.1. - 528с.

92. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1980.-448с.

93. Синченко С.Г. Аппроксимация термодинамических функций воздуха

94. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1968. — Т.8, №4. - С. 917-922.

95. Современные проблемы газовой динамики / Под ред. У.Х.Т. Лоха: Пер. с англ. -М.: Мир, 1971.-403с.

96. Сокольников И.С. Тензорный анализ: Пер. с англ. — М.: Наука,1971. -376с.

97. Стулов В.П., Теленин Г.Ф. Неравновесное обтекание сферы сверхзвуковым потоком воздуха // Изв. АН СССР. Механика. 1965. -№1. -С.3-16.

98. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. М.: Физматлит, 2006. - 400 с.

99. Хейз У.Д., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений. М.: ИЛ, 1962. - 607с.

100. Холодов А.С. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений гиперболического тела // ЖВМ и МФ. -1978. Т. 18, №6. - С. 1476-1492.

101. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1986г. — 424с.

102. Черный Г.Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. -220с.

103. Четверушкин Б.Н. Математическое моделирование задач динамики излучающего газа. -М.: Наука, 1985. —304с.

104. Шкадова В.П. Трехмерное обтекание лобовой части затупленных тел неравновесным сверхзвуковым потоком воздуха// Научные труды НИИ механики МГУ. 1970. - №5 - С. 26-34.

105. Afonina N.E., Gromov V.G., Sakharov V. I., Hightemp technique for High Temperature Gas Flows Simulations// Proceeding of the the "Fifth European Symposium on Aerothermodynamics for Space Vehicles". SP-563. — Cologne (Germany), 2005. P. 323-328.

106. Anderson E.C., Lewis C.H. Laminar or Turbulent Boundary-Layer Flows of Perfect Gases or Reacting Gas Mixtures in Chemical Equilibrium // International Journal for Numerical Methods in Engineering. — 1973. Vol. 17 - P. 3-15.

107. Bhutta B.A., Lewis C.H. Nonequilibrium Laminar Boundary Layer Flows of Ionized Air // Journal of Spacecraft and Rockets. 1989. -№3 -P. 158-166.

108. Blottner F.G., Nonequilibrium Laminar Boundary Layer Flow of Ionized Air //AIAAJournal.-1964.- Vol.2,№ 11.-P. 1921-1927.

109. Boylan D.E. Laminar Heat Transfer on Sharp and Blunt Ten-Degree Cones in Conical and Parallel Low-Density Flow// AEDC-TR. 1973. - No 106. - 63p.

110. Cleary J. W., Rakich J.V. Theoretical and Experimental Study of Supersonic Steady Flow around Inclined Bodies of Revolution// AIAA Journal. 1970. -Vol. 8, No 3. - P. 511-518.

111. Davy W.C., Reinhardt W.A. Computation of Shuttle nonequilibrium flowfields on a parallel processor// NASA TN/ Ames Research Center. Moffett Field (California), 1978.-P. 1351-1376.

112. DeJarnette F., Hamilton H. Inviscid surface streamlines and heat transfer on Shuttle-type configurations// AIAA Paper. 1972. - No 72-703 - 13p.

113. DeJarnette F., Ford C., Young D. Calculation of Pressures on Bodies at Low Angles of Attack in Supersonic Flow // Journal of Spacecraft and Rockets.- 1980. Vol.17, № 6. -P.529-536.

114. Н. Harris Hamilton II. Calculation of Laminar Heating Rates on Three-Dimensional Configurations Using the Axisymmetric Analogue// NASA Technical Paper 1980. - No 1698. - 78p.

115. Hicks H.R., Wooten J.W. Numerical Divergence of tensor // Journal of computational physics. 1980. - №36. - P.411-416.

116. Hseih T. Numerical Investigation of Flowfield About a Series of Intented Nosetips// AIAA Paper. 1981. - No 81-0077. - lip.

117. Huber P.W., Evans J.S., Schexnayder C.J. Comparison of theoretical and flight-measured ionization in a blunt body re-entry flow field // AIAA Journal. --1971.-Vol. 9, №6.-P. 1154-1162.

118. Kang S.W., Jones W.Z., Dunn M.G. Theoretical and measured electron-density distributions at high altitudes // AIAA Journal. 1973. - Vol. 11, № 2.-P. 141-149.

119. Kutler P., Reinhardt W., Warming R. Multishocked three-dimensional supersonic flowfields with real gas effects // AIAA Journal. 1973. - Vol.11, №5. -P. 657-664.

120. Kutler P., Warming R., Lomax H. Computation of space Shuttle flowfields using noncentered finite difference schemes // AIAA Journal. — 1973. — Vol.11, №2-P. 196-204.

121. Lax P.D., Wendroff B. Systems of conservation lows // Comms. Pure and Appl. Math. 1960.-Vol. 13, №2.-P. 217-237.

122. Nachbar W., Williams F., Penner S. The conservation equations for independent coexistent continua and for multicomponent reacting gas mixtures // Quart Appl. Math. 1959. - Vol. XVII, №1. - P.43-54.

123. Mac Cormack R.W. The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering // AIAA Paper. 1969. - №354. - 7p.

124. Rakich J.V., Bailey Н.Е., Park С., Computation of nonequilibrium three-dimensional flow over blunt-nosed bodies flying at supersonic speeds// AIAA Paper. 1975. - No 75-835 - 13p.

125. Rakich J.V., Lanfranco M.J. Numerical Computation of Space Shuttle Laminar Heating and Surface // Journal of spacecraft and rockets. 1977. - Vol. 14, №5. -P. 265-272.

126. Reinhardt W. Parallel Computation of unsteady three-dimensional, chemically reacting, nonequilibrium flow using a time split finite-volume method on Illiac IV // Journal Physic chemistry. 1977. - Vol. 81, №25. - P. 2427-2435.

127. Richard L. Baker, Raymond F. Kramer. Evaluation of Total Body Heat Transfer Hypersonic Flow // AIAA Journal. 1983. - Vol.21, № 3. - P. 473-475.

128. Rizzi A.W., Bailey H.E. Reacting Nonequilibrium Flow Around the Space Shuttle Using a Time Split Method// Aerodynamic Analyses Requiring Advanced Computers. 1975. - Part II, NASA SP-347. - P. 1327-1349.

129. Rizzi A.W., Bailey H.E. Split Space-Marching Finite Volume Method for chemically Reacting Supersonic flow // AIAA Journal. 1976. - Vol. 14, № 5. -P. 621-628.

130. Rizzi A., Ihouye M. A time split Finite-Volume method for three-dimensional Blunt Body Flow//AIAA Journal. 1973.-Vol.11, № 11.-P. 1478-1485.

131. Swaminathan S., Kim M.D. and Lewis C.H. Nonequilibrium Viscous Shock-Layer Flows over Blunt Sphere-Cones at Angle of Attack // Journal of Spacecraft and Rockets. 1983. - Vol. 20, July-August. - P.331-338.

132. Vinokur M. Conservation Equations of Gasdynamics in Curvilinear Coordinate Systems // Journal of computational physics. 1973. - № 14. - P. 105-125.

133. Waskiewicz J.D., Lewis C.H. Hypersonic Viscouse Flows Over Sphere Cones at High Angles of Attack// AIAA Journal.- 1979.-Vol.17, № 2.-P. 131-132.165