автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование формирования и динамики переходных слоёв в двумерных задачах "реакция-диффузия-адвекция"

На правах рукописи

ГРАЧЁВ НИКОЛАЙ ЕВГЕНЬЕВИЧ

Моделирование формирования и динамики переходных слоёв в двумерных задачах «реакция-диффузия-адвекция»

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2010

2 /; И юн 2010

004606095

Работа выполнена в лаборатории математического моделирования и проектирования термохимических методов увеличения нефтеотдачи Всероссийского нефтегазового научно-исследовательского института имени академика А.П. Крылова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Нефёдов Николай Николаевич Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Данилов Владимир Григорьевич

Московский технический университет связи и информатики

доктор физико-математических наук, профессор Лобанов Алексей Иванович Московский физико-технический институт

Ведущая организация:

Учреждение Российской академии наук Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН

Защита диссертации состоится 25 июня 2010 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 501.002.09 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, НИВЦ, Большой конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИВЦ МГУ.

Автореферат разослан «24» мая 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

В.В. Суворов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Существует широкий круг процессов различной природы, при которых образуются и эволюционируют резкие переходные слои, разделяющие фазы или компоненты. Моделирование формирования и динамики таких фронтов является актуальной задачей при исследовании фазового и компонентного разделения в биологических мембранах и свойств резких концентрационных и температурных фронтов внутрипластового горения, используемого при нефтедобыче.

Фазовое и компонентное разделение в мембранах интересно для изучения, т.к. оно существенно влияет на функционирование и форму поверхности липидных слоев, латеральную организацию ассоциированных с липидами белков. Трансмембранный транспорт также в значительной мере определяется фазовым и компонентным разделением.

Исследование формирования и динамики фронта окисления в пористой среде также актуально, из-за того, что внутриклассовое горение является эффективным методом добычи высоковязкой битуминозной нефти. Однако, данный процесс необходимо тщательно изучать и контролировать на всех стадиях для предотвращения прорывов теплового и окислительного фронтов к скважинам. Этого можно достичь, применяя математическое моделирование.

Многочисленные технические приложения, связанные с необходимостью расчета формирования и динамики фронта, требуют постоянного совершенствования и оптимизации разработанных ранее методов численного расчета. Имеющиеся в настоящее время программы расчета движения фронта основаны на решении систем, состоящих из большого числа нелинейных уравнений, их программная реализация сопряжена с определенными трудностями.

Вместе с тем, описанные выше процессы, после ряда параметризаций и упрощений, можно исследовать при помощи математических моделей на основе уравнений типа «реакция-диффузия» (РД) и «реакция-диффузия-адвекция» (РДА) с малым параметром при старшей производной. Задачи такого типа являются нелинейными и сингулярно-возмущенными, для их описания и изучения разработана асимптотическая теория контрастных структур, использование которой для исследования уравнений вышеуказанных типов позволяет существенно оптимизировать вычислительные алгоритмы, и может привести к неизвестным ранее интересным математическим результатам.

Перечисленные обстоятельства показывают актуальность создания и развития методов моделирования процессов формирования и динамики фронтов, возникающих в нелинейных задачах типа «реакция-диффузия-адвекция».

Цель работы состоит

• В исследовании сингулярно-возмущенных параболических уравнений с малым параметром при старшей производной в пространственно двумерных областях, моделировании формирования и динамики переходных слоев в двумерных задачах «реакция-диффузия-адвекция»;

• в создании и исследовании новых численных алгоритмов и математических моделей, основанных на асимптотическом анализе сингулярно-возмущенных задач «реакция-диффузия» и «реакция-диффузия-адвекция»;

• в разработке комплекса программ, реализующих эти алгоритмы;

• в разработке и использовании комплекса программ для моделирования задач фазового разделения и динамики внутрипластового фронта окисления при термогазовом методе увеличения нефтеотдачи и сравнении результатов с данными, полученными на основе существующих моделей (термогидродинамические симуляторы, метод прямого многочастичного моделирования Монте-Карло).

Научная новизна диссертации. В основу диссертации положены работы автора по изучению уравнений реакции-диффузии и реакции-диффузии-адвекции, а также посвященные математическому моделированию фазового разделения, процессов формирования и динамики фронта окисления в пористой среде, и работы по прямому многочастичному моделированию мембранных процессов в биофизике живой клетки, в которых впервые:

• Получена оценка времени формирования контрастной структуры в уравнении типа «реакция-диффузия», исследуемого в пространственно двумерной области;

• Предложено уравнение движения резкого переходного слоя, возникающего в уравнении типа «реакция-диффузия-адвекция», позволяющее эффективно описать динамику фронта в задаче РДА;

® Аналитические оценки сопоставлены с численным решением уравнений РД и РДА методами конечных разностей;

• Аналитические результаты применены для определения времени формирования фазового разделения в биомембранах, периода инициации внутрипластового горения и описания динамики фронта окисления в геологических структурах.

Достоверность полученных результатов обеспечивается детальным теоретическим анализом рассматриваемых задач, строгими математическими доказательствами, многочисленными модельными расчетами и сравнением их с результатами экспериментов.

Соот ветствие диссертации паспорту научной специальности

В соответствии с областью исследования специальности 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» область настоящего диссертационного исследования включает разработку математических моделей, комплекса программ и вычислительный эксперимент, позволяющие эффективно описывать формирование и динамику переходных слоев в двумерных задачах «реакция-диффузия» и «реакция-диффузия-адвекция».

Полученные соискателем научные результаты соответствуют пунктам 2, 3 и 5 паспорта специальности 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».

Основные результаты работы, выносимые на защиту

1. Асимптотическое исследование двумерных математических моделей «реакция-диффузия» и «реакция-диффузия-адвекция», позволяющее качественно описать основные структурные особенности моделей на предварительном этапе математического моделирования.

2. Теорема о времени формирования переходного слоя (фронта) в решении двумерной задачи «реакция-диффузия» и результаты асимптотического анализа математической модели РДА, позволяющие качественно исследовать динамику фронта.

3. Уравнение локализации фронта для задач «реакция-диффузия-адвекция» в форме, обеспечивающей эффективную алгоритмизацию и многократное ускорение счета движения переходных слоев в двумерных областях.

4. Результат сравнительного анализа поведения фронтов в решениях полных систем уравнений, описывающих сложную кинетику с преобладанием процессов диффузионного типа (термическое окисление нефти при закачке воздуха в пласт), на стандартном промышленном симуляторе с решениями задачи РДА и уравнения локализации фронта.

5. Результаты апробации разработанных программ совместно с существующими системами и методами моделирования (термогидродинамические симуляторы и метод прямого многочастичного моделирования).

Практическая ценность работы состоит в том, что созданные математические модели позволяют сделать ряд аналитических оценок и оценить динамические характеристики фронтов, возникающих при фазовом и компонентном разделении в различных физических системах.

Построенные в диссертации алгоритмы являются простым и эффективным способом численного расчета формирования и

динамики резких переходных слоев - фронтов в разнообразных прикладных задачах.

Личное участие автора в выполнении работы. Определение цели диссертации, постановка всех задач и формулировка результатов, выносимых на защиту, выявление аспектов, составляющих научную новизну работы, были выполнены автором совместно с научным руководителем, д.ф.-м.н., профессором H.H. Нефедовым, при консультациях к.ф.-м.н., доцента В.Т. Волкова (руководителя дипломной работы автора в МГУ).

Выбор методов исследования, аналитический вывод основных математических формул, разработка вычислительных алгоритмов и реализация их в виде расчетных программ, а также интерпретация полученных результатов и оценка их практического значения проведены автором лично.

Отладка программ моделирования и компьютерные расчёты выполнены автором совместно со студентами старших курсов физического факультета МГУ А.Н. Николаевым, Д.С. Сениным и A.B. Дмитриевым.

В работах биологического направления вклад автора выражен в разработке ряда алгоритмов моделирования и методик применения асимптотических оценок, интерпретации результатов.

Основная часть публикаций по теме диссертации написана автором лично после обсуждения результатов исследования с соавторами работ.

Ряд результатов работы нашел, при непосредственном участии автора, практическое применение при расчетах, связанных с подготовкой «Технологической схемы опытно-промышленной разработки Южно-Торавейского месторождения нефти».

Апробация результатов. Материалы диссертации докладывались на семинаре физфака МГУ по малому параметру (рук. профессора А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, H.H. Нефедов), на научно-технической конференции МИЭМ (Москва, 2008г.), на VIII международной конференции «Проблемы биологической физики» (Москва, МГУ, 2009 г.), на международной конференции «Ломоносов» (Москва, МГУ, 2009 и 2010 гг.), на международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2010).

Результаты работы также докладывались на семинарах ВНИИнефть им. академика А.Н. Крылова, кафедры биофизики Биологического факультета МГУ, НИВЦ МГУ и ВЦ РАН.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 8 работах, в том числе в 2 статьях в журналах из списка ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 112 страниц, включая 45 рисунков, 2 таблицы и список литературы, содержащий 91 наименование.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во ВВЕДЕНИИ обоснована актуальность темы исследования и сформулированы основные цели работы.

ПЕРВАЯ ГЛАВА посвящена аналитическим исследованиям математических моделей «реакция-диффузия» и «реакция-диффузия-адвекция» асимптотическими методами.

Асимптотический анализ позволяет создавать эффективные численные алгоритмы решения данных задач и получать аналитические оценки динамических характеристик переходных слоев в решениях уравнений указанного типа.

Раздел 1.1 содержит формулировку математической модели (начально-краевой задачи для нелинейного уравнения в частных производных) типа «реакция-диффузия-адвекция», интересную для приложений. Рассмотрена задача

^Лы + рМУи-^Щ=/{и,х,у,1)-, (х,у)еО, 0 < / < 7" (1)

в двумерной области О с границей Г и с заданными на ней условиями непроницаемости

да(х,у,1,с) = 0 при 0<г<г_(ху)еГ) (2)

дп

Где ?{х,у) - адвекция, £ - малый параметр и Т - сколь угодно большая, но фиксированная постоянная, не зависящая от

и(х,у,0,е)=и°(х,у) в О (3)

- достаточно гладкая начальная функция.

В качестве /(и,х,у,/) выбрана кубическая по переменной и нелинейность и предполагается существование трех корней щ<щ<и2 вырожденного уравнения /(и, *,>■,/)= 0. Более точно условие на функцию /(и,х,у,() будет сформулировано ниже (Условие (А^).

Исследование сформулированной математической модели (1) -(3) проведено далее в несколько этапов.

Во-первых, рассмотрено формирование резкого переходного слоя в решении задачи «реакция-диффузия», получаемой из исходной модели (1) - (3) при Построено решение задачи «реакция-

диффузия», близкое к двум решениям щ и и2 вырожденного уравнения /(«,*,>>,/)=0 по разные стороны от некоторой кривой С, а в окрестности С происходит резкий переход от «1 к и2.

Во-вторых, рассмотрено движение сформировавшегося переходного слоя в задаче «реакция-диффузия» и приведен закон, описывающий динамику фронта.

В-третьих, обобщены результаты первого пункта и предложено описание формирования резкого переходного слоя в решении модели «реакция-диффузия-адвекция».

В-четвертых, при помощи асимптотических методов сформулировано уравнение локализации фронта для задачи «реакция-диффузия-адвекция» при ч{х,у) = и{у).

Раздел 1.2 посвящен вопросу формирования резких переходных слоев в задачах типа «реакция-диффузия». Рассмотрено уравнение (1) приф,^) = 0 Е1(Ьи-и,)=/(и,х,у,{). (4)

в двумерной области о с гладкой границей Г и дополнительными условиями (2) и (3). Функции /(и,х,_у,/) и и"(х,у) предполагаются достаточно гладкими.

Впервые получена оценка времени формирования контрастной структуры с переходным слоем в окрестности некоторой заданной замкнутой кривой А0, показано, что для любого достаточно малого £ >0 существуют числа А и г, вводимые в процессе асимптотического анализа, такие что в момент времени

(5)

решение и(х,у,1,е) задачи (2) - (4) существует и вне 5 - окрестности ^ отличается от р,(х,у,0) по одну сторону от ^ и от /р2{х,у,0) по другую сторону на величину порядка о(е').

При этом необходимо выполнение следующих условий: Условие (А1): Существуют такие постоянные и,Ъчто уравнение /(«,!,>',/) = 0, в В при 0<1<Т имеет в области

О = {ы < и < й, (х,у)е5, I > 0 } три корня относительно и: и=<р:(х,у,1), 1=0,1,2, причем и<<Р\(х,_у,<)<<Р0(х>У>')<(>>2(х. У> <) < й при (х,у)е~5, 00, /и{<рХх,у,1\х,У,1)>0 для /" = 1,2 и (х,у)еП, 0 < / < Г.

Условие (А2): существует гладкая ------- ^

замкнутая кривая А0 е О, такая, что: /''

и<и°{х,у)«ра{х,у,Ъ) при (х,у)еД1)Л / \

и°{х,у)=<Р«(х,УА) при (х,у)ек0 | I | \

' \ / )

<ро(х,у,0)<и°{х1у)<й при (х,>>)е Д , Ч,.,/ )

причём /), и Д и А) = £> (рис. 1). у

'у,

Рис. 1.

Раздел 1.3 посвящен исследованию формы резкого переходного слоя, приведен закон движения фронта V" =-к (к - кривизна переходного слоя в точке, V" - нормальная скорость фронта в этой точке), в двумерной задаче «реакция-диффузия».

В разделе 1.4 проводится асимптотический анализ задачи «реакция-диффузия-адвекция» (1) - (3) при /(и) = и(«2 -1), ие[-1д] и

заданной скорости v(x,^)=v(y) переноса вдоль оси причем (i,y)efl:.|)sisa,Os^si}. В такой постановке задача изучается впервые.

Если гладкая начальная функция и"(х,у) такова, что: Условие (Аз) и°(х,у)<0 при (x,>>)e£>J-):={Os;t<&0(y))<(Os.ys6)j и и°(х,у)> 0 при {x,y)eD^> -fy°(y)<xsa)<(Osyïè)j (здесь функция x~h°(y) - заданная гладкая кривая, в окрестности которой формируется резкий переходный слой),

то некоторая модификация .результатов раздела 1.2 позволяет получить результат, который сформулирован в виде леммы 3, описывающей процесс формирования фронта.

Лемма 3. Пусть v(y) h°(y) и и"(х,у) - достаточно гладкие функции, и и°(х,у) удовлетворяет условию (Аз). Тогда при достаточно малых е существует положительная постоянная В такая, что в момент времени t-tB(e)= Ве2\lne| для решения u(x,y,t,e) задачи (1) - (3) справедливы следующие представления: u(x,y,ts,s)- -1 + Oie) при (х,у)вО^; u(x,y,tB,e)-\ + 0(e) при (x,y)eD^.

Из Леммы 3 следует, что на начальной стадии решение задачи (1) - (3) быстро формирует фронт в окрестности кривой х = h" (у).

Асимптотика задачи (1) - (3), имеющей фронт, строится по схеме теории контрастных структур. Согласно этой схеме для построения асимптотики рассматриваются две задачи в областях по разные стороны от фронта, описываемого функций x-h(y,t,e). Асимптотика решения каждой из задач строится стандартно по методу пограничных функций в виде регулярной и погранслойной частей.

Погранслойная часть служит для описания решения вблизи границ области рассмотрения и кривой x~h(y,t,e). При этом регулярные части асимптотики состоят лишь из главных членов uM(x,y,t)- а погранслойные члены вблизи границ D равны нулю.

Пограничные функции Q^(£,y,t,e) вблизи кривой x-h(y,t,e) зависят от растянутой переменной и также определяются стандартным образом. Сама же кривая дг«А(у,/,е)определяется из условия С'-сшивания асимптотик д^(х,у,1,е) и Q^\x,y,t,s) в D^ на кривой x-h(y,t,e)

3QM 3Q(t) ,, ч ——> x = h[y,t,s), дх дх

при рассмотрении данного условия последовательно при нулевой, первой и т.д. степенях е.

Применив описанную выше схему для построения главных членов асимптотики, получим следующую начально-краевую задачу

для определения положения фронта в нулевом приближении (закон локализации фронта):

где - нулевое приближение по е функции дг = Л(у,/,{■).

Асимптотическое представление решения задачи РДА (1) - (3) позволяет описать процесс формирования и динамику резкого переходного слоя, получить оценки его ширины и времени формирования, а также определить форму фронта в каждый момент времени. Заметим, что указанное асимптотическое представление является достаточно простым, что чрезвычайно важно для эффективного получения оценок различных параметров системы. Кроме того, аналитическое или численное решение уравнения движения фронта (6), выведенного в работе на основе предложенного асимптотического подхода, позволяет адекватно описывать динамику фронта. Использование данного уравнения при математическом моделировании процессов движения устойчивых фронтов различной природы существенно ускоряет получение приближенных решений при приемлемой точности вычислений, что приводит к повышению эффективности численных расчетов.

ВТОРАЯ ГЛАВА посвящена анализу задач «реакция-диффузия» и «реакция-диффузия-адвекция» численными методами и созданию комплекса программ по решению уравнений указанного типа стандартными методами конечных разностей. Целями проделанной в этой главе работы является сопоставление численных решений задач РД и РДА, полученных конечно-разностными методами, с результатами асимптотического анализа, проведенного в Главе 1.

В разделе 2.1 описывается продольно-поперечная схема численного решения уравнения реакции-диффузии, для которого исследовалось время формирования контрастной структуры в зависимости от величины параметра с2. Результаты моделирования сравнивались с аналитической зависимостью 1А(г)-Ае^Лпщ (рис. 2). Значения функции / = /(г2), полученные при помощи вычислительных экспериментов при нескольких значениях постоянной 8, введенной в разделе 1.2, оказались близки к аналитической зависимости.

(6)

0.001 0.0008 o.oooci 0.0001 0.0002' о ■

j -A.'lnfrl —э- 1 ;л=о и У

-ь-i (о=0.05)

/у'

Рис. 2. Зависимость времени образования контрастной структуры от малого параметра с1.

..2

v(y) =

О 0.0002 0.0001 0.000(5 0.0008 S

В разделе 2.2 исследовано движение фронта в решении уравнения реакции-диффузии под действием закона v" = -к, где к -кривизна переходного слоя в точке, V - нормальная скорость в этой точке.

Раздел 2.3 посвящен численному решению уравнения реакции-диффузии-адвекции (1) в области (x,y)eD:={0<x<a,0£y <b}, изображенной на рис. 3, причем f(u)= и(и2 -l), а адвекция выбрана в виде

fv0) ye[0,bl2-LI2)Kj(bl2 + LI2,b] [v, ye[b/2~L/2,6/2 + 1/2]

Для иллюстрации поведения х фронта задачи (1) было проведено три численных расчета. В первом начальное условие выбрано в виде линейного фронта, • параллельного оси у, а коэффициенты адвекции равны v0 = const, v = v0. В этом случае фронт движется с постоянной скоростью vos не меняя своей формы (рис. 4 а). Во втором случае начальное условие выбрано в виде линейного фронта, параллельного

оси у, а коэффициенты равны v0 = const, v = const >v0.

Тогда фронт вытянегся вдоль направления адвекции и, через некоторое время, зафиксировав свою форму вследствие действия закона v" = ~к, продолжит движение (рис. 4 б).

В третьем варианте начальное условие выбрано в виде фронта, заданного уравнением:

* = pjtanh^y - 0.5+1 j j - tanh^^ - 0.5 -1 j

а коэффициенты адвекции равны v0= const v=v0 и p=0.25, q=3.5. Адвекция на данный фронт действует только в виде параллельного оси у сноса, следовательно, переходный слой будет смещаться и распрямляться по закону v" = -к (рис. 4 в).

Рис. 3. Область решения

Рис. 4. Иллюстрация поведения фронта решения задачи.

Раздел 2.4 посвящен численному исследованию модели движения фронта (6). Анализ показал хорошее соответствие между результатами расчетов задач (1) и (6). Решение задачи реакции-диффузии-адвекции (1), дает оценку ширины и времени формирования резкого переходного слоя, а также форму фронта в каждый момент времени. Уравнение (6) описывает исключительно динамику фронта, однако, использование данного уравнения при математическом моделировании процессов движения устойчивых фронтов различной природы позволяет более быстро получить приближенное решение при приемлемой точности вычислений, что приводит к повышению эффективности численных расчетов.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА является обзором некоторых прикладных задач, описываемых уравнениями «реакция-диффузия» и «реакция-диффузия-адвекция». Рассмотрены математические модели фазового и компонентного разделения в биологических мембранах, модели формирования и динамики внутрипластовых фронтов окисления при использовании термогазовых методов нефтедобычи.

Представлен краткий обзор по основам разработки месторождений углеводородов и применению термохимических методов увеличения нефтеотдачи. При разработке месторождений нефти методом внутрипластового горения (окисления части углеводородов пласта нагнетаемым сухим или влажным воздухом) наблюдается формирование и движение резких температурных и концентрационных фронтов, предсказание поведения которых чрезвычайно важно для ведения безопасной и эффективной добычи. В данной Главе дано качественное описание термогазового метода, а также приводится ряд математических моделей динамики пластовых флюидов, основанных на уравнении реакции-диффузии-адвекции, описывающем распространение окислителя в пласте.

В ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ рассматриваются возможные приложения аналитических и модельных результатов диссертации к некоторым практическим задачам. Для исследований применен комплекс программ, разработанный в диссертации. В разделе 4.1 впервые рассматривается применение разработанных оценок к описанию формирования и динамики фронта внутрипластового

окисления при термогазовом методе увеличения нефтеотдачи. Процессы внутрипластового термо- и флюидопереноса могут быть смоделированы в коммерческих программных комплексах (симуляторах) нескольких компаний. В данном разделе приведен обзор основных принципов моделирования, используемых в этих симуляторах.

В модели нефтеносный пласт представляет собой неоднородное пористое пространство, насыщенное нефтью с растворенным в ней углеводородным газом. Приводится сопоставление результатов расчетов в симуляторе CMG STARS (Канада) с моделью «реакция-диффузия-адвекция» (1) и аналитическими оценками, полученными автором при помощи асимптотических методов.

Время, сутки

16 i............................-.....................;..................

12

8

4

О X ........-.......J—..............-.......

О 0.002 0.004 0.0G6 O.OOS 0.01 Коэффициент диффузии, м / сутки

Моделирование в Численное решение — Аналитическая

CMG STARS уравнения РДА оценка

Рис. 5. Зависимость времени формирования резкого переходного слоя по концентрации окислителя от величины коэффициента диффузии

кислорода.

На рис. 5 изображены зависимости времени формирования резкого переходного слоя по концентрации окислителя от величины коэффициента диффузии кислорода D (D-e1) для расчетов в симуляторе, численного моделирования фронта на основе модели РДА (1), а так же аналитической зависимости tA(s)=As2|!nij, полученной в разделе 1.2. После нормировки данный закон можно записать в виде tA(D) = At0D/(2D0]\n(D/D0], где /0=8 Ю3 сут., D0 = 10 м2/сут. - нормировочные множители. Как видно из рис. 5, характер зависимостей качественно совпадает.

Моделирование в симуляторе также подтвердило, что ширина сформировавшегося переходного слоя не меняется при движении фронта горения. Аналогичное поведение показывает и решение задачи (1). Несложно показать, что после быстрого формирования контрастной структуры в решении задачи реакции-диффузии-адвекции (1), ширина переходного слоя не меняется со временем и равна е, следовательно приведенную ширину фронта окисления

можно выразить как а(о) = а^й! Ц,, где а0 - нормировочный множитель, принятый 4.8 м.

Сопоставление (рис. 6) аналитической зависимости и вычисленных в симуляторе значений ширины фронта показало хорошее соответствие между ними.

Рис. б. Зависимость ширины фронта от коэффициента диффузии кислорода.

о .........................................................................................

с О 0.5 X

Коэффициент диффузии, м2/сут

—Моделирование в СМй 1 Теории

Сопоставление динамики фронтов, полученных в симуляторе и модели (1) также показало поведение, качественно схожее описанному в разделе 2.3 Главы 2.

В разделе 4.2 аналитические результаты, описанные в Главе 1, применены к модели фазового разделения в тонких биологических пленках. Как показано в Главе 3, уравнение реакции-диффузии

«■2(Ды-и,)=«(и2 -1) может служить математической моделью фазового разделения в липидных мембранах. Впервые оценена зависимость времени формирования фазового разделения от коэффициента латеральной диффузии липидов £> с использованием формулы (5), полученной для уравнения «реакции-диффузии» асимптотическими методами г(о)= ЛО/(2Ц,}1пО/о0|, где А, А) - калибровочные постоянные и введено обозначение о = е2. При выводе соотношения (5) считалось, что на поверхности липидных мембран могут возникать области сосуществования жидкой и гелеобразной («твёрдой») фаз, отделенных друг от друга резким переходным слоем. Многочастичные модели мембран позволяют выяснить условия возникновения фазового и компонентного разделения и, тем самым, обнаружить границы применимости аналитических оценок.

При помощи метода Монте-Карло проведено исследование липидных пленок. Моделирование проводилось на двумерных поверхностях. Размеры модельной области составили 25 х 25 нм.

Начальные приближения для моделирования выбраны в виде резких переходных слоев между фазами, что отвечает экспериментальным данным. Такой вид переходных слоев выбран с учетом аналитических результатов, сформулированных в Главе 1.

Модель описывает одно- и/или двухкомпонентную липидную мембрану. Липиды представлены в виде частиц, взаимодействующих друг с другом посредством потенциала Леннарда-Джонса. Для поиска конфигурации, соответствующей равновесному распределению, использовался алгоритм Монте-Карло.

В однокомпонентном случае фазовое разделение в такой модели исследовалось впервые, проведены две серии экспериментов. В первой серии рассматривалась система, состоящая из фиксированного количества частиц (N=2000) и исследовалось фазовое поведение системы в зависимости от температуры, а также возможность образования гелевых доменов - конгломератов частиц, формирующих треугольную решетку. Рассмотрен вопрос о характере изменения зависимости процентного соотношения твердой и жидкой фаз от температуры. На рис. 7 а представлен график зависимости размера гелевых включений от температуры.

Вторая серия численных экспериментов преследовала цель получить зависимость количества частиц в гелевой (упорядоченной) фазе от количества частиц в том же объеме при фиксированной относительной температуре И7£МЮ.1 (¿-постоянная Больцмана, Т— температура), отнормированной на константу взаимодействия еи липидов первого сорта самих с собой.

По этим данным был построен график зависимости процентного соотношения твердой и жидкой фаз от количества частиц (рис. 7 б).

£77 250 750 1250 1750

-»-<V=1000 -»- ЛЧ500 — Л'-1750 -и-И7е=0.05 Ш£„=0.075

Рис. 7. Зависимости размеров включения гелевой фазы от относительной температуры кТ/еп при N= 1000,1500 и 1750 (а) и количества частиц при кТ1еи = 0.05 и 0.075 (б).

Для двухкомпонентной системы удалось построить фазовую диаграмму (рис. 8). На ней изображены значения Ngr,/N (Mgr, -количество частиц в системе, образующих треугольную решетку) при различных температурах и относительных концентрациях первой компоненты. Из диаграммы видно, что существует область значений параметров системы, при которых наблюдается фазовое разделение.

кТ/еи 0.5

0.4 0.3 0.2 0.1

0.8 ¡0.6 0.4 0.2

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Относительная концентрация, д. ед.

Рис. 8. Фазовая диаграмма температура - концентрация бинарной системы. Тоном показаны области с различными диапазонами значений Д'^, / N.

В разделе ЗАКЛЮЧЕНИЕ кратко сформулированы результаты,

полученные в диссертации:

1. При помощи асимптотических методов получен ряд аналитических результатов, таких как оценка времени формирования резкого переходного слоя и уравнение лок&чизации, позволяющих создавать эффективные вычислительные алгоритмы.

2. Для всех рассмотренных математических моделей разработаны алгоритмы численного расчета на основе конечно-разностных схем.

3. На основе разработанных алгоритмов создан комплекс программ, при помощи которого исследованы формирование и динамика переходных слоев в задачах нефтедобычи и биофизики.

4. Результаты диссертации могут найти применение в прикладных задачах нефтедобычи и биофизики. Рассмотрены приложения полученных аналитических и численных результатов к вопросам формирования и динамики фронта внутрипластового горения в нефтедобыче и фазового разделения в биологических мембранах. Оценены времена формирования расслоения и инициации горения, ширина фронта. Исследованы численные многочастичные модели липидных мембран при помощи метода Монте-Карло. Рассмотрены одно- и двухкомпонентные липидные слои, в которых наблюдалось фазовое и компонентное разделение, получены фазовые диаграммы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

изданиях

Публикации в изданиях из Перечня ВАК:

1. Волков В.Т., Грачев Н.Е., Нефедов H.H., Николаев А.Н.. О формировании резких переходных слоев в двумерных моделях реакция-диффузия // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 2007. т. 47, №8, с. 1356.

2. Волков В.Т., Грачёв Н.Е., Нефедов H.H., Сенин Д.С. Оценка параметров фронта внутрипластового горения при закачке воздуха в нефтяной пласт // Нефтяное хозяйство, 2010. №4, с. 93-95.

Публикации в других научных изданиях:

3. Грачев Н.Е., Асимптотическое и многочастичное моделирование фазового разделения и кластеризации // В сб.: Тезисы докладов «Научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов Московского института экономики и математики». М.: МИЭМ. 2008. с. 89.

4. Дмитриев A.B., Сенин Д.С., Грачев Н.Е. Теоретическое и численное исследование фронта горения на основе уравнения реакции-диффузии-адвекции // В сб.: Международная конференция «Ломоносов-2009». М.: МГУ им. М.В. Ломоносова. 2009. с. 34.

5. Грачёв Н.Е., Князева О.С., Коваленко И.Б. Моделирование фазового и компонентного разделения в биологических мембранах // В сб.: VIII международная конференция «Проблемы биологической физики». М.: МГУ им. М.В. Ломоносова. 2009. с. 23.

6. Грачёв Н.Е. Моделирование формирования и динамики резких переходных слоев в задачах «реакция-диффузия-адвекция» // В сб.: Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование». Дубна. 2010. с. 265.

7. Дмитриев A.B., Грачёв Н.Е. Динамика резких переходных слоев в решении задачи реакции-диффузии-адвекции // В сб.: Международная конференция «Ломоносов-2010». М.: МГУ им. М.В. Ломоносова. 2010. с. 49.

8. Грачев Н.Е., Иванов Д.А., Осипов Д.А., Соломатин А.Г. и др. Технологическая схема опытно-промышленной разработки Южно-Торавейского месторождения // ОАО «ВНИИнефть им. акад. А.П. Крылова». М.: ВНИИнефть. 2009. с. 1.

Подписано в печать:

21.05.2010

Заказ № з 823 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧ «РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ» И «РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ-АДВЕКЦИЯ».

1.1. Формулировка математической модели.

1.2. Формирование резких переходных слоев.

1.2.1. Оценка времени формирования контрастной структуры.

1.2.2. Оценки производных.

1.3. Движение переходных слоев в задаче «реакция-диффузия».

1.4. Асимптотический анализ задачи «реакция-диффузия-адвекция».

1.4.1. Асимптотика фронта.

Основные результаты Главы 1.

ГЛАВА 2. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА С АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ТЕОРИЕЙ.

2.1. Численное исследование уравнения «реакция-диффузия». Формирование переходного слоя.

2.2. Численное исследование уравнения «реакция-диффузия». Движение переходного слоя.

2.3. Численное решение уравнения «реакция-диффузия-адвекция».

2.4. Численное решение уравнения локализации фронта.

Основные результаты Главы 2.

ГЛАВА 3. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ, ОПИСЫВАЕМЫЕ УРАВНЕНИЯМИ «РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ» И «РЕАКЦИЯ

ДИФФУЗИЯ-АДВЕКЦИЯ».

3.1. Фазовое и компонентное разделение в биологических мембранах.

3.1.1. Биологические мембраны, их состав, роль процессов фазового и компонентного разделения.

3.1.2. Экспериментальные исследования биологических мембран.

3.1.3. Существование фазового и компонентного разделения на поверхности мембран.

3.1.4. Форма мембран.

3.1.5. Математические методы описания фазового и компонентного разделения, формы биологических и модельных мембран.

3.1.6. Уравнение реакции-диффузии.

3.2. Формирование и динамика внутрипластовых фронтов при нефтедобыче.

3.2.1. Основы разработки месторождений углеводородов.

3.2.2. Описание компонент, присутствующих в пористой среде.

3.2.3. Термохимические методы.

3.2.4. Математические модели термохимических методов.

3.2.5. Гидродинамические симуляторы.

3.2.6. Описание формирования и динамики фронта окисления при помощи уравнения реакции-диффузии-адвекции.

Основные результаты Главы 3.

ГЛАВА 4. ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ.

4.1. Сравнение аналитических результатов и моделирования внутрипластового горения на симуляторе CMG STARS.

4.1.1. Гидродинамические симуляторы.

4.1.2. Модель инициации горения.

4.1.3. Движение фронта окисления.

4.2. Моделирование фазового и компонентного разделения в биологических мембранах.

4.2.1. Оценка времени формирования фазового разделения.

4.2.2. Многочастичная модель липидной мембраны.

Основные результаты Главы 4.

Рассмотрим нелинейное параболическое уравнение типа «реакция-диффузия-адвекция» s2(Au-u, — v(x, j>)Vw) = f{u, x, у, t). (1)

Уравнения этого вида описывают различные физические, биологические и химические процессы. К ним, в частности, относятся задачи массо- и теплопереноса, процессы фазового разделения, задачи химической кинетики и другие. Во многих таких задачах s является малым параметром. В таких случаях принято называть уравнение (1) сингулярно возмущенным. Физическая природа параметра s может быть разнообразна. Для задач массопереноса, к примеру, множитель е2 является коэффициентом диффузии.

Задача (1) при нулевой адвекции v(x, .у) = 0 является моделью фазового разделения, описываемого уравнением Алена - Кана (Allen - Cahn) [1]

2 дер 2 л 9F б — = е к(р--. dt дер

Здесь (р - параметр порядка, величина, непрерывно меняющаяся от -1 до 1, причем -1 соответствует неупорядоченной (жидкой) фазе, а 1 -упорядоченной (твердой). Величина F - известная функция переменной (р, называемая плотностью свободной энергии. Для задач фазового разделения типичным является наличие у плотности свободной энергии двух минимумов, что как раз и означает возможность устойчивого сосуществования двух фаз.

Уравнение (1) также можно применять при моделировании образования и движения фронтов внутрипластового горения при нефтепромысле. В связи с истощением месторождений с легкодоступными запасами нефти, ведущие нефтегазовые компании мира вынуждены переходить к разработке месторождений с трудноизвлекаемыми запасами. Возникает необходимость добычи углеводородов из сложно построенных 4 коллекторов, с низкими пористостью и проницаемостью, высоковязкими нефтями. В связи с вышесказанным, актуальной задачей является разработка и совершенствование методов увеличения нефтеотдачи (МУН).

Одним из МУН являются термохимические методы, которые основаны на способности пластовой нефти вступать в реакции с нагнетаемым в пласт кислородом, сопровождающиеся выделением большого количества тепла — внутрипластовым горением. Согласно экспериментальным данным [2] и результатам модельных расчетов [3], в пласте при определенных условиях возникают резкие переходные слои по температуре, концентрации окислителя и нефтенасыщенности. Образование и динамика таких фронтов может быть смоделирована при помощи задач типа «реакция-диффузия-адвекция».

При помощи асимптотических методов [4] могут быть аналитически исследованы резкие переходные слои, возникающие в решении уравнения (1), получены оценки времени формирования контрастных структур, динамические характеристика фронта и другие важные результаты.

Характерной особенностью контрастных структур является наличие резких переходов решения из окрестности одной части семейства решений вырожденного уравнения (то есть уравнения, которое получается из исходного обнулением малого параметра) в окрестность другой части этого семейства.

Впервые существование контрастных структур в сингулярно возмущенных задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений было доказано в работах А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузова [80-83]. Существование двумерных контрастных структур типа ступеньки доказано в публикации П. Файфа (P. Fife) и У. Гринли (W. Greenlee) [84]. Асимптотические разложения решений типа контрастной структуры по малому параметру можно построить на основе метода пограничных функций [80]. Для одномерных задач это проделано в [80-83, 77], для некоторых двумерных задач - в [85,86]. Обзор литературы по этой тематике находится в [77].

Эффективным способом доказательства существования контрастных структур и оценки остаточных членов асимптотических разложений является асимптотический метод дифференциальных неравенств, принадлежащий H.H. Нефёдову [85, 86]. Суть его состоит в том, что верхнее и нижнее решения формируются путем модификации формальной асимптотики. Рассматривая эллиптическую задачу как стационарную задачу для соответствующего параболического уравнения, этим методом можно также доказать устойчивость по Ляпунову и локальную единственность решения исходной задачи.

Перечисленные обстоятельства показывают актуальность создания и развития методов моделирования процессов формирования и динамики фронтов, возникающих в нелинейных задачах типа «реакция-диффузия-адвекция».

Цель работы состоит

• В исследовании сингулярно-возмущенных параболических уравнений с малым параметром при старшей производной в пространственно двумерных областях, моделировании формирования и динамики переходных слоев в двумерных задачах «реакция-диффузия-адвекция»;

• в создании и исследовании новых численных алгоритмов и математических моделей, основанных на асимптотическом анализе сингулярно-возмущенных задач «реакция-диффузия» и «реакция-диффузия-адвекция»;

• в разработке комплекса программ, реализующих эти алгоритмы;

• в разработке и использовании комплекса программ для моделирования задач фазового разделения и динамики внутрипластового фронта окисления при термогазовом методе увеличения нефтеотдачи и сравнении результатов с данными, полученными на основе б существующих моделей (термогидродинамические симуляторы, метод прямого многочастичного моделирования Монте-Карло).

Научная новизна диссертации. В основу диссертации положены работы автора по изучению уравнений реакции-диффузии и реакции-диффузии-адвекции, а также посвященные математическому моделированию фазового разделения, процессов формирования и динамики фронта окисления в пористой среде, и работы по прямому многочастичному моделированию мембранных процессов в биофизике живой клетки, в которых впервые:

• Получена оценка времени формирования контрастной структуры в уравнении типа «реакция-диффузия», исследуемого в пространственно двумерной области;

• Предложено уравнение движения резкого переходного слоя, возникающего в уравнении типа «реакция-диффузия-адвекция», позволяющее эффективно описать динамику фронта в задаче РДА;

• Аналитические оценки сопоставлены с численным решением уравнений РД и РДА методами конечных разностей;

• Аналитические результаты применены для определения времени формирования фазового разделения в биомембранах, периода инициации внутрипластового горения и описания динамики фронта окисления в геологических структурах при нефтедобыче.

Практическая ценность работы состоит в том, что созданные математические модели позволяют сделать ряд аналитических оценок и оценить динамические характеристики фронтов, возникающих при фазовом и компонентнов разделении в различных физических системах.

Построенные в диссертации алгоритмы являются простым и эффективным способом численного расчета формирования и динамики резких переходных слоев - фронтов в разнообразных прикладных задачах.

Основные результаты работы, выносимые на защиту

1. Асимптотическое исследование двумерных математических моделей «реакция-диффузия» и «реакция-диффузия-адвекция», позволяющее качественно описать основные структурные особенности моделей на предварительном этапе математического моделирования.

2. Теорема о времени формирования переходного слоя (фронта) в решении двумерной задачи «реакция-диффузия» и результаты асимптотического анализа математической модели РДА, позволяющие качественно исследовать динамику фронта.

3. Уравнение локализации фронта для задач «реакция-диффузия-адвекция» в форме, обеспечивающей эффективную алгоритмизацию и многократное ускорение счета движения переходных слоев в двумерных областях.

4. Результат сравнительного анализа поведения фронтов в решениях полных систем уравнений, описывающих сложную кинетику с преобладанием процессов диффузионного типа (термическое окисление нефти при закачке воздуха в пласт), на стандартном промышленном симуляторе с решениями задачи РДА и уравнения локализации фронта.

5. Результаты апробации разработанных программ совместно с существующими системами и методами моделирования (термогидродинамические симуляторы и метод прямого многочастичного моделирования).

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Основные результаты Главы 4

В Главе 4 предложены аналитические зависимости, позволяющие оперативно оценить время формирования фронта внутрипластового горения и его толщину при закачке воздуха для нефтедобычи.

Представлена математическая модель, описывающая формирование фронта внутрипластового горения, основанная на уравнении реакции-диффузии-адвекции. Построена модель нефтеносного пласта в термогидродинамическом симуляторе CMG STARS, при помощи которой исследовано влияние величины коэффициента диффузии кислорода на толщину и время формирования фронта горения. Полученные результаты сопоставлены с теоретическими зависимостями.

Применение рассмотренной математической модели позволяет достоверно описать процессы формирования фронта внутрипластового окисления и при этом существенно сократить вычислительные затраты.

Вторая часть Главы 4 посвящена математическому моделированию липидных мембран при помощи методов фазового поля и Монте-Карло. Приведена оценка времени формирования фазового разделения на поверхности мембраны. Результаты Главы 1 по асимптотическому анализу уравнения реакции-диффузии применены к задаче, сформулированной при помощи теории фазового поля. Проведена калибровка теоретической зависимости по экспериментальным данным.

Для определения условий возникновения фазового разделения методом Монте-Карло были исследованы двумерные модели одно- и двухкомпонентной мембраны. Полученные фазовые диаграммы систем показали существование латерального фазового и компонентного разделения в моделях мембраны.

В результате можно сделать вывод, что использование методов и алгоритмов асимптотического анализа для математических моделей «реакция-диффузия» и «реакция-диффузия-адвекция» позволяет крайне эффективно исследовать вопросы формирования и динамики резких переходных слоев в решениях указанных задач и описать ряд важных практических задач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение приведем наиболее важные результаты, полученные в диссертации:

1. При помощи асимптотических методов получен ряд аналитических результатов, таких как оценка времени формирования резкого переходного слоя и уравнение локализации, позволяющих создавать эффективные вычислительные алгоритмы.

2. Для всех рассмотренных математических моделей разработаны алгоритмы численного расчета на основе конечно-разностных схем.

3. На основе разработанных алгоритмов создан комплекс программ, при помощи которого исследованы формирование и динамика переходных слоев в задачах нефтедобычи и биофизики.

4. Результаты диссертации могут найти применение в прикладных задачах нефтедобычи и биофизики. Рассмотрены приложения полученных аналитических и численных результатов к вопросам формирования и динамики фронта внутрипластового горения в нефтедобыче и фазового разделения в биологических мембранах. Оценены времена формирования расслоения и инициации горения, ширина фронта. Исследованы численные многочастичные модели липидных мембран при помощи метода Монте-Карло. Рассмотрены одно- и двухкомпонентные липидные слои, в которых наблюдалось фазовое и компонентное разделение, получены фазовые диаграммы.

Автор хотел бы поблагодарить всех, кто своими знаниями, дружеской помощью и советами способствовал тому, что эта работа стала возможна.

В первую очередь, автор выражает свою огромную, глубокую благодарность научному руководителю диссертации доктору физико-математических наук, профессору Нефёдову Николаю Николаевичу за проявленное терпение, детальное обсуждение постановок задач, переданные навыки и знания и многое-многое другое.

Руководителем дипломной работы автора на кафедре математики физического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова был кандидат физико-математических наук, доцент Волков Владимир Тарасович. Автор благодарен ему за полученные знания, всегда доброжелательное отношение и постоянный интерес к работе.

Считаю своим приятным долгом поблагодарить и весь коллектив кафедры математики физического факультета и её школы по сингулярно-возмущённым задачам, возглавляемой профессорами Васильевой А.Б. и Бутузовым В.Ф.

Выражаю свою благодарность также коллективу Всероссийского нефтегазового научно-исследовательского института имени академика А.П. Крылова, где была выполнена работа, в особенности кандидату технических наук Соломатину Александру Георгиевичу.

1. S.M. Allen, J.W. Calm, Acta Metal. 27, 1085 (1979)

2. Burger J.G., Sahuquet B.C. Chemical Aspects of In Situ Combustion: Heat of Combustion and Kinetics, SPEJ 3599 (1972).

3. Айзикович O.M., Булыгин М.Г. Тепловой эффект реакций окисления в процессе влажного внутрипластового горения. Нефтепромысловое дело и транспорт нефти. 1985 г., №11, с. 4-6.

4. А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, Н.Н. Нефедов. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах, Фундамент, и прикл. матем. 4, 799 (1998).

5. Р. Теннис. Биомембраны: Молекулярная структура и функции (Мир, Москва, 1997).

6. Singer S. J., Nicolson G. L. The fluid mosaic model of the structure of cell membranes// Science. 1972. T. 175. C. 720-731.

7. S. Mukherjee, F.R. Maxfield. Membrane domains, Ann. Rev. Cell Dev. Biol., V. 20, P. 839-866 (2004).

8. L.A. Bagatolli, E. Gratton. Direct observation of lipid domains in freestanding bilayers using two-photon excitation fluorescence microscopy. Journal of Fluorescence, Vol. 11, No. 3, (2001).

9. T. Baumgart, S.T. Hess, W.W. Webb. Imaging coexisting fluid domains in biomembrane models coupling curvature and line tension, Nature, Vol. 425, p.821 (2003).

10. A.E. Нас, H.M. Seeger, M. Fidorra, T. Heimburg. Diffusion in two-component lipid membranes—a fluorescence correlation spectroscopy and Monte Carlo simulation study, Biophys. J. V. 88, P. 317-333 (2005).

11. Albertsson P.-A. A quantitative model of the domain structure of the photosynthetic membrane // TRENDS in Plant Science, T. 6, - № 8, c. 349354 (2001).

12. Whitmarsh J., Govindjee. The photosynthetic process // Concepts in Photobiology: Photosynthesis and Photomorphogenesis. / Под ред. G. S. Singhal, G. Renger.

13. S. К. Sopory, K.-D. Irrgang, Govindjee. New Delhi, Narosa Publishers, 1999. c. 11-51.

14. A. Borodich, I. Rojdestvenski, M. Cottam. Lateral heterogeneity of photosystems in thylakoid membranes studied by brownian dynamics simulations. Biophysical J., Vol. 85, p. 774 (2003).

15. Simons, K., Vaz, W.: Model systems, lipid rafts, and cell membranes. Annu. Rev. Biophys. Biomol. Struct. 33, 269-295 (2004).

16. X. Wang, Q. Du, Modelling and simulations of multi-component lipid membranes and open membranes via diffuse interface approaches, J. Math. Biol., 2007.

17. W. Helfrich, Elastic properties of lipid bilayers: theory and possible experiments. Z. Naturforsch. C, 28, pp.693-703, 1973.

18. Juelicher, F., Lipowsky, R.: Shape transformations of vesicles with intramembrane domains. Phys. Rev. E 53, 2670-2683 (1996).

19. B.JI. Гинзбург, О науке, о себе, и о других: статьи и выступления (Наука, М., 1997).

20. Ramachandran S., Laradji М., Kumar Р.В. Lateral Organization of Lipids in Multi-component Liposomes, J. of the Physical Soc. Of Japan, V. 78, N. 4, (2009).

21. А.А. Попов, Фазовые превращения в металлических сплавах (Металлургиздат, Москва, 1963).

22. F. Drolet, K.R. Elder, M.Grant, J.M. Kosterlitz, Phys. Rev. E 61, 6705 (2000).

23. K.R. Elder, F. Drolet, J.M. Kosterlitz, M.Grant, Phys. Rev. Let. 72, 677 (1994).

24. A.A. Wheeler, G.B. McFadden, W.J. Boettinger, Proc. R. Soc. Lond. A. 452, 495 (1996).

25. W.J. Boettinger, J.A. Warren, C. Beckermann, A. Karma, Annu. Rev. Mater. Res. 2002, 163 (2002).

26. Долматов JI.B. Анализ нефти, ее классификация и прогнозирование качества получаемых на ее основе топливных компонентов, Уфимский государственный нефтяной университет, 2006, 40 с.

27. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва. — М.: Наука, 1980, 478 с.

28. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Розенберг Г.Д. Нефтегазовая гидромеханика. М.-Ижевск: ИКИ, 2005, 544 с.

29. Kuhn, C.S. and Koch, R.L.: In-Situ Combustion—Newest Method of Increasing Oil Recovery, Oil & Gas J. (August 1953) 52.

30. Grant, B.F. and Szasz, S.E.: Development of Underground Heat Wave for Oil Recovery, JPT (May 1954) 23; Trans., AIME, 201.

31. Gates, C.F., and Ramey, H.J. Jr. Field Results of South Belridge Thermal Recovery Experiment, Trans., AIME (1958), 213, 236.

32. Gates, C.F., and Sklar, I. Combustion as a Primary Recovery Process— Midway Sunset Field, JPT (August 1971) 981; Trans., AIME, 251.

33. M. Prats, Thermal Recovery, SPE Monograph Series SPE of AIME (1982).

34. T.C. Boberg, Thermal Methods of Oil Recovery, An Exxon Monograph Series (1988).

35. Бурже Ж., Сурио П., Комбарну М. Термические методы повышения нефтеотдачи пластов. -М.: Недра, 1989 г., 422 с.

36. Т. Teramoto, Н. Uematsu, К. Takabayashi, Т. Onishi. Air-injection EOR in highly water saturated light-oil reservoir, SPE 100215 (2006).

37. Боксерман A.A. Результаты и перспективы применения тепловых методов воздействия на пласт. В кн. Тепловые методы воздействия на пласт (Материалы межотраслевого семинара, г. Ухта, 5-8 октября 1971 г.), ВНИИОЭНГ, Москва, с. 10-16.

38. Ямбаев М.Ф. Основные результаты численного исследования технологии термогазового метода увеличения нефтеотдачи. Диссер. на соискание ученой степени канд. техн. наук. - М.: 2005 г., 153 с.

39. Нестационарное распространение пламени, Под ред. Дж.Г. Маркштейна. -М.: Мир (1968).

40. К.О. Сабденов. К вопросу нахождения постоянной Маркштейна, Известия Томского политех, унив. 307, №3, 21 (2004).

41. Сабденов К.О. Теплофизические и гидрогазодинамические эффекты при горении газов и ракетных топлив, автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук (2007).

42. O. Zik, Z. Olami, E. Moses. Fingering instability in combustion, Phys. Rev. Lett. 81, N 18,3868(1998).

43. C. Lu, Y.C. Yortsos. Pattern formation in reverse filtration combustion, Phys. Rev. E 72, 036201 (2005).

44. M. Myllys, J. Maunuksela, J. Merikoski et al. Effect of a columnar defect on the shape of slow-combustion fronts, Phys. Rev. E 68, 051103 (2003).

45. M. Kardar, G. Parisi, and Y.-C. Zhang. Phys. Rev. Lett. 56, 889 (1986).

46. P. Gordon. Quenching and propagation of combustion fronts in porous media, (2006).

47. P. Gordon. Recent mathematical results on combustion in hydraulically resistant porous media, Math. Model. Nat. Phenom., Vol. 2, No. 2, pp. 56 (2007).

48. I.Y. Akkutlu, Y.C. Yortsos. The effect of heterogeneity on in-situ combustion: propagation of combustion fronts in layered porous media, SPE 75128(2005).

49. I.Y. Akkutlu, C. Lu, Y.C. Yortsos. Insights into in-situ combustion by analytical and pore-network modeling, SPE 97927 (2005).

50. A.P. Aldushin, B.J. Matkowsky. Instabilities, Fingering and the Safman-Taylor Problem in Filtration Combustion, Combust. Sci. and Tech. 133 (1998).

51. D.A. Schult, B.J. Matkowsky, V.A. Volpert, A.C. Fernandez-Pello. Forced Forward Smolder Combustion, Combust, and Flame 104, 1 (1996).

52. Benham, A.L., and Poettmann, F.H. The Thermal Recovery Process—An Analysis of Laboratory Combustion Data, Trans., AIME (1958), 213, 406.

53. Mamora, D.D. Kinetics of In-Situ Combustion, Ph.D. dissertation, Stanford University, Stanford, CA (1993).

54. M.K. Dabbous, P.F. Fulton. Low-temperature-oxidation reaction kinetics and effects on in-situ combustion process, SPE 4143 (1974).

55. Matalón, M. and Matkowsky. B.J. Flames as Gasdynamic Discontinuities, J. Fluid Mech. 124, 239(1982).

56. P. Pelee. Dynamics of Curved Fronts, Academic Press (1988).

57. Schult, D.A., Matkowsky, B.J., Volpert, V.A., and Fernandez-Pello, A.C. Forced Forward Smolder Combustion, Combust, and Flame 104, 1 (1996).

58. Penberthy, W.L., and Ramey, H.J. Jr. Design and Operation of Laboratory Combustion Tubes, SPEJ (June 1966) 183.

59. B.S. Gottfried. A mathematical model of thermal oil recovery in linear systems, SPE 1117(1965).

60. U.K. Acharya, W.H. Somerton. Theoretical study of in-situ combustion in thick inclined oil reservoirs, SPE 7967 (1979).

61. Эммануэль H.M., Кнорре Д.Г. Курс химической кинетики. — М.: Высшая школа, 1984, 463 с.

62. Штиллер В. Уравнение Аррениуса и неравновесная кинетика. М.: Мир, 2000, 176 с.

63. Beckers, H.L. and Harmsen, G.J. The Effect of Water Injection on Sustained Combustion in a Porous Medium, SPEJ 231 (1970).

64. Armento, M.E. and Miller, C.A. Stability of Moving Combustion Fronts in Porous Media, SPEJ 423 (1977).

65. Zik, O. and Moses, E. Fingering Instability in Combustion: An Extended View, Physical Rev. E 60, 1518 (1999).

66. I.Y. Akkutlu, Y.C. Yortsos. The dynamics of combustion fronts in porous media, SPE 63225 (2000).

67. C. Lu, Y.C. Yortsos. A pore-network model of in-situ combustion in porous media, SPE 69705 (2001).

68. I.Y. Akkutlu, Y.C. Yortsos. The dynamics of in-situ combustion fronts in porous media, Combustion and Flame 134, 229 (2003).

69. H. Fadaei, M. Quintard, G. Debenest, G. Renard, A.M. Kamp. How in-situ combustion process works in a fractured system: two dimensional, core and block scale simulation, SPE 117645 (2008).

70. W.M. Schulte, A.S. de Vries. In-situ combustion in naturally fractured heavy oil reservoirs, SPE 10723 (1985).

71. J.R. Rodriguez. Experimental and analytical study to model temperature profiles and stoichiometry in oxygen-enriched in-situ combustion, Doctor of philosophy dissertation (2004).

72. C. Lu, Y.C. Yortsos. AIChE Journal, Vol. 51, No. 4, (2005).

73. J. Xin. Front propagation in heterogeneous media, SIAM review, Vol. 42, N. 2, pp. 161-230(2000).

74. Kolmogorov A.N., Petrovskii I.G., Piskunov N.S. Etude del'equation de la chaleurde matiere et son application a unprobleme biologique, Bull. Moskov. Gos. Univ. Mat. Mekh. 1 1 (1937).

75. B.T. Волков, H.E. Грачев, H.H. Нефедов, A.H. Николаев. О формировании резких переходных слоев в двумерных моделях реакция-диффузия// Журн. выч. матем. и матем. физики, т. 47, № 8, с. 1356-1364 (2007).

76. В.Ф. Бутузов, H.H. Нефедов, K.P. Шнайдер. О формировании и распространении резких переходных слоев в параболических задачах, Вестник МГУ. Серия 3. Физика. Астрономия, №1 , с. 9 (2005).

77. А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, H.H. Нефедов. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах, Фундамент, и прикл. матем. 4, 799 (1998).

78. P.C. Fife, О. Penrose, Interfacial dynamics for thermodynamically consistent phase-field models with nonconserved order parameter, Electronic J. of diff. equations 1995,No.l6, 1-49 (1995).

79. Я.И. Каннель. О стабилизации решений уравнений теории горения при финитных начальных функциях, Т. 65, №3, стр. 107 (1964).

80. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

81. Васильева А.Б. К вопросу о близких к разрывным решениях в системе с малым параметром при производных условно устойчивого типа // Дифференциальные уравнения. 1972. Т. 8. N 9. С. 1560-1568.

82. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б. Об асимптотике решения типа контрастной структуры // Математические заметки. 1987. Т. 42. N 6. С. 831-841.

83. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

84. Файф П., Гринли В. Внутренние переходные слои для эллиптических краевых задач с малым параметром // Успехи мат. наук. 1974. Т. 29. N 4. С. 103-131.

85. Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. N 7. С. 1132-1139.

86. Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущенных задач в частных производных // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. N 4. С. 719—722.

87. CMG STARS User's Guide Version 2009.

88. С. Ченцов. Общая цитология (Изд-во Московского Университета, Москва, 1995).

89. Нефедов H.H., Божевольнов Ю.В. Движение фронта в параболической задаче реакция-диффузия // Журн. выч. матем. и матем. физики, 2010, т. 50, №2, с.

90. Moore Р.В., Lopez C.F., Klein M.L. Dynamical Properties of a Hydrated Lipid Bilayer from a Multinanosecond Molecular Dynamics Simulation// Biophys. J. 2001. v. 81, P. 2484.

91. G.J.Schutz, G. Kada, H. Schindler, The EMBO Journal 15, 892 (2000).