автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование распространения загрязнений в воздушной среде

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭМПИРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ АТМОСФЕРЫ п. 1. Элементы физики атмосферы и понятие турбулентной диффузии п.2. Основные эмпирические формулы и параметры

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ ВЕТРОВОГО ПОЛЯ п. 1. Уравнения Навье-Стокса п.2. Один из эмпирических методов построения ветрового поля п.З. Зануление дивергенции векторного поля с помощью проецирования на пространство соленоидальных векторов

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗАГРЯЗНЕНИЙ В АТМОСФЕРЕ п.1. Транспортно-диффузионное уравнение п.2. Метод расщепления на процессы п.З. Сеточно-характеристический метод п.4. Специальный метод точечных и распределенных частиц

ГЛАВА 4. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Задачи, связанные с экологией, выходят на первый план во всех сферах человеческой деятельности, находят особенно широкое применение в народном хозяйстве в связи с усилившейся в последние годы ролью химии в промышленном производстве. Интенсивное социально-экономическое, агротехническое и промышленное развитие оказывают на окружающую среду глобальное воздействие. Проблемы выживания человека требуют конкретных ответов на вопросы о происходящих изменениях в окружающей среде. С увеличением количества автотранспорта постоянно растет суммарный объем выбросов в атмосферу, экологическая обстановка в городах ухудшается. Происходят аварии в химической и нефтехимической промышленности, сопровождающиеся выбросом и распространением облаков горючих и токсичных газов. Для выработки правильных решений по предотвращению или ликвидации чрезвычайных ситуаций необходимо верно представлять динамику их развития.

Решение экологических задач проводится на различных уровнях, в том числе и с помощью компьютерного моделирования. Математическое моделирование является наиболее перспективным направлением решения задач экологии по своим возможностям прогнозирования, а также экономичности материальных затрат и безопасности для человека проводимых прогностических экспериментов. По своей природе задачи экологии и оценки состояния окружающей среды не допускают проведения полномасштабных натурных экспериментов, и математическое моделирование является, по существу, единственным методом для оценки ситуационных рисков, изучения динамики природных и техногенных катастроф и прогнозирования их последствий, получения общей картины экологической ситуации.

Одной из важных проблем, связанных с экологией, является прогнозирование распространения загрязнений в воздушной среде. К настоящему времени в области математического моделирования распространения загрязнений в атмосфере и разработки численных методов для него сложилась ситуация, при которой проводимые в мире работы рассматривают, как правило, отдельные явления, но не охватывают их комплекса. Обширный экспериментальный материал, накопленный в мире по проблемам экологического мониторинга окружающей среды, позволяет строить физические модели, адекватные реальным процессам на качественном уровне, но только с развитием современных вычислительных методов и фундаментальных исследований в этой области стало возможным создание визуально-прогностических моделей, обеспечивающих количественную оценку результатов возможных аварий и степени опасности их для людей. Эти модели базируются на фундаментальных разработках специальных вычислительных алгоритмов для решения определенного класса газодинамических задач. В настоящее время подобные исследования проводятся в ряде научных центров мира (Калифорнийский университет, Международный институт системного анализа в Австрии, Германский национальный исследовательский центр информационных технологий). Однако проблемы, отвечающие в полной мере поставленной задаче, требуют разработки новых математических моделей, базирущихся на законах сохранения вещества и уравнениях газовой динамики.

Для адекватного математического описания процессов, происходящих в атмосфере, требуется решить проблему построения ее физической модели, поскольку она существенным образом влияет на построение поля ветра и на описание переноса, происходящего в воздушной среде. Необходимая справочная информация по этому вопросу содержится в ряде научных работ. Так, в работе [1] исследовано поведение ветра с высотой, составлены эмпирические формулы для нахождения коэффициентов турбулентной диффузии, рассмотрено влияние температурной стратификации на ветер и на распространение примесей в атмосфере, проанализировано влияние рельефа на скорость ветра. В работе [2] даны основные понятия о термодинамике атмосферы, рассмотрено явление турбулентной диффузии, изучено поведение давления и температуры с высотой, составлены уравнения движения воздушных масс, и на основе их проанализировано поведение ветра при различных физических условиях, приведен ряд эмпирических формул для вычисления коэффициентов диффузии. В работе [3] дана общая характеристика атмосферного пограничного слоя, рассмотрен ряд методов его аналитического описания, изучено несколько динамических моделей его поведения. В работе [4] экспериментально исследовано влияние подстилающей поверхности на турбулентность в атмосфере. В работе [6] сделаны некоторые замечания о турбулентной диффузии в атмосфере и приведены аналитические решения простейших диффузионных уравнений, описана методика расчетов выбросов из дымовых труб (эффективная высота подъема и угол наклона дымового факела, максимальное значение приземной концентрации вредных выбросов и т.д.), дан обзор основных химических реакций, оказывающих вредное влияние на окружающую среду и здоровье человека, приводятся таблицы предельно допустимых коэффициентов (ПДК) вредных веществ. В работе [5] предложены эмпирические формулы для расчета коэффициентов турбулентной диффузии, где особую ценность представляет формула расчета коэффициента горизонтальной турбулентной диффузии, более нигде в научной литературе не встречающаяся, а также описан один из способов введения в транспортно-диффузионное уравнение поправки, описывающей процесс влажного осаждения. В работе [10] приводятся основные понятия, используемые при описании воздушной среды, в частности, вводятся определения градиентного, геострофического, антитриптического и эйлерианского ветра, а также объясняется связь числа Ричардсона с атмосферной стратификацией. В [11] кратко рассмотрена структура ветра, причины образования вихрей, шквалов и порывов ветра в атмосфере, картина огибания препятствий и переваливания через препятствия масс воздуха, природа сил трения в воздухе, а также движение воздуха при криволинейных изобарах. В работах [16], [21] приведено множество таблиц, отражающих связь физических параметров в турбулентной атмосфере: класса стратификации, высоты пограничного и приземного слоев, диапазона скоростей ветра, величины флуктуации направления ветра и т.д. В работе [15] дается строгое математическое определение процессов турбулентной диффузии в воздушной среде с применением интегрального исчисления, тензорной алгебры и теории рядов, и предлагается описание теории турбулентных процессов на основе статистической концепции, а также с точки зрения спектральной теории турбулентности; в работе перечислены фундаментальные понятия, модели и экспериментальные методы, применяемые для изучения теории турбулентности. Здесь же для моделирования турбулентных течений предлагается прямое численное решение уравнений Навье-Стокса. В монографии [17] даны теоретические понятия и формулы на базе статистических методов и интегрального исчисления, связанные с описанием турбулентных процессов, приведены основы теории турбулентности, предложены различные эмпирические расчетные методы для моделирования диффузионных процессов в атмосфере, изучены процессы рассеяния примеси в струе при различных метеоусловиях, изложены результаты натурных опытов. В монографии приводятся положения и инженерные формулы, используемые в нормативных документах. В работе [36] проводится анализ химических превращений в атмосфере с использованием эмпирических формул и таблиц: перечисляются важнейшие химические реакции, указываются скорости процессов, формулы для вычисления изменения концентраций различных веществ в атмосфере, даются примеры мониторинга концентрации загрязнений вредными веществами в различных географических пунктах. В работе [37] рассмотрены процессы трансформации веществ при их переносе в атмосфере на большие и средние расстояния, изложены методы и результаты измерений доли загрязнителей от различных источников, участвующих в дальнем переносе, описываются траекторные и эволюционные модели переноса веществ в атмосфере и дается сравнение результатов расчетов с натурными измерениями. В монографии [50] рассматривается строение пограничного слоя атмосферы при некоторых упрощенных условиях, приведены уравнения, описывающие поведение сжимаемого турбулентного потока и использующие понятие пульсаций различных физических параметров, обсуждаются вопросы, связанные с суточными колебаниями метеопараметров.

Применению физических моделей, описывающих состояние воздушной среды и перенос вещества в ней, к решению конкретных задач, а также построению для этой цели математических методов также уделено внимание во многих научных публикациях. Так, в работах [2], [14], [15] движение воздушных масс описывается с помощью системы дифференциальных уравнений Навье-Стокса. [2] предлагает некоторое упрощение системы уравнений Навье-Стокса, сводящее ее к уравнениям Экмана, описывающим вертикальный профиль ветра. Возможно также решение системы уравнений Навье-Стокса напрямую с помощью различных разностных схем, которое использует на сегодняшний день ряд научных коллективов. Например, в работе [25] предлагается решение системы уравнений Навье-Стокса на крупной сетке для нахождения распределения давления в области, а затем переход к более мелкой сетке для решения исходной системы. Указанные методы не могут удовлетворять основным требованиям для программного продукта, используемого в системах мониторинга: методы описания состояния атмосферы, основанные на непосредственном решении уравнений Навье-Стокса, требуют колоссальных затрат вычислительного времени, делая данные модели недееспособными в чрезвычайных условиях, предлагаемые же обычно упрощения не позволяют корректно описывать конкретные физические условия (наличие сложного рельефа местности, изменчивость метеоусловий, поле ветра над возвышениями и в условиях городской застройки), для которых решается поставленная задача.

Недостатки существующих методов побудили к разработке быстрого и эффективного способа построения ветра над местностью со сложным рельефом, описанного в Гл.2. При этом был использован накопленный в мире богатый опыт по построению эмпирических методов для моделирования поля ветра. В частности, за основу была взята идея многоступенчатой процедуры, состоящей из построения начального приближения и последующих его корректировок, изложенная, например, в [47], [57], которая была развита в процессе написания диссертации с учетом особенностей решаемых задач.

Одним из основных требований к построенному ветровому полю является удовлетворение этого поля уравнению неразрывности, для чего был разработан метод зануления дивергенции векторного поля на основе начального приближения. В мире неоднократно предпринимались попытки решения задачи минимизации дивергенции ветрового поля. Так, в [44] для этой цели предлагался итерационный метод. Затем в [48] этот метод был адаптирован к двумерным мезомасштабным ветровым полям- поле тока внутри пограничного слоя интегрировалось по вертикали, а дивергенция согласовывалась от точки к точке с учетом необходимости поддержания значений ветра на метеостанциях фиксированными. В [45] уменьшение трехмерной дивергенции ветра базируется на учете ошибок данных измерения, особенно тех, которые возрастают с высотой. В работах [42], [49], [55] описана процедура конструирования трехмерных согласованных по массе полей, основанная на решении уравнения множителей Лагранжа, с использованием вариационного подхода [53-54]. Влияние на поле ветра топографии, шероховатости подстилающей поверхности и температурного профиля учтено в работе [56], где для учета вклада различных процессов в дивергенцию поля применяются эмпирические коэффициенты. Основным недостатком перечисленных методов является сильная зависимость ветрового поля от эмпирических констант. В [57] предлагается итерационный метод минимизации дивергенции с использованием специальных подгоночных скоростей, однако он слабо обоснован математически и не обладает универсальной и быстрой сходимостью. В статье [5] приводится экстраполяционный метод построения двумерного бездивергентного ветрового поля по известным значениям ветра в нескольких точках (где расположены метеостанции), основанный на выражении ветра через градиент скалярного потенциала, удовлетворяющего двумерному уранению Лапласа; этот метод пригоден только при наличии плоской подстилающей поверхности и часто дает решение, не согласующееся с требованиями логики — например, если ветер известен в одной единственной точке, то наилучшим решением поставленной задачи является однородное ветровое поле, тогда как упомянутый метод дает и в этом случае достаточно сложную картину распределения ветровых потоков. Методика решения двумерного уравнения неразрывности, предложенная в диссертации, обеспечивающая строгое выполнение этого уравнения при минимальном отклонении от начального приближения, является уникальной и в литературе не встречается.

Существует также множество работ, в которых отражены разные подходы для описания физических процессов, связанных с распространением загрязнений. Так называемые модели рассеяния описывают шлейф от облака, движущегося в направлении «среднего ветра» и расширяющегося под действием турбулентных вихрей в пограничном слое. Наиболее сильное влияние на шлейф оказывают турбулентные вихри сходного со шлейфом размера. Большинство моделей рассеяния написаны для близких и средних мезомасштабных) расстояний - от 2 до 2000 км [81]. На таких расстояниях моделирование конвекции с учетом влияния особенностей подстилающей поверхности имеет особое значение. При моделировании на дальних расстояниях особенности подстилающей поверхности не рассматриваются, для таких случаев используются так называемые траекторные модели, основным входным параметром которых служит поле ветра. В таких моделях примесь считается равномерно перемешанной по всей высоте пограничного слоя и движущейся по направлению ветра. Для ближних расстояний необходимо учитывать опускание шлейфа от приподнятого источника к земле за счет конвекции.

Среди возможных подходов к моделированию распространения загрязнений - подход с применением статистических моделей, основанных на функции распределения Гаусса [17], [27], [78]. Этот подход является полуэмпирическим и дает удовлетворительные результаты для ровной подстилающей поверхности в случае однородной турбулентности и однонаправленного потока воздуха. Гауссов подход применим на коротких расстояниях и непригоден в условиях мезомасштаба, описанных выше.

Одно из направлений в моделировании распространения примеси над местностью, имеющей сложный ландшафт, и в условиях промышленной застройки также заключается в использовании моделей распространения субстанций, предназначенных для ровной подстилающей поверхности (Гауссовых моделей), которые модифицируются путем введения эмпирических коэффициентов, учитывающих возможное повышение концентрации в застойных зонах вблизи зданий и сооружений. Такой подход использован, например, в документе ОНД-86. Этот метод рекомендуется для установления нормативов ПДК (предельно допустимых концентраций) в Российской Федерации. В упомянутом документе вводится поправочный коэффициент, зависящий от взаимного расположения источника загрязнения атмосферы и близлежащих зданий. Подход практически эквивалентен введению понятия эффективной геометрии источника, поскольку застройка, расположенная на удалении от источника, не учитывается. Метод корректировки значений горизонтальной дисперсии при использовании Гауссовых моделей так же, как и в ОНД-86, дает возможность оценить вероятные повышения концентраций вблизи зданий.

Распределение концентрации с(х, у, г, 1) загрязнителей, выбрасываемых в атмосферу единичным источником, с использованием подхода, основанного на распределении Гаусса, для нестационарного случая выражается формулой

2я)ЪП <7хсгу<Уг ехр[ехр[

2а.2

-] + ехр[

2а.2 х-х0)-шу

2а2

-]ехр[

СУ-Уо)7 2а.2 а для стационарного случая г с(х,у,г) = -——-ехр

2 тша а

У г

СУ-Уог

2а. ехр г-Н)2 2 а2 ехр

2а. где х, у, ъ - линейные координаты; I - время; (хо,уо) - координаты основания источника; С) - мощность точечного источника; и - скорость ветра на высоте Н вдоль оси X; ах, ау - горизонтальные дисперсии по различным направлениям; ст2 - вертикальная дисперсия; Н - эффективная высота источника (примеры вычисления, например, приведены в [82] и [98]); и -скорость ветра на высоте 10 м. Различные аналитические формулы для вычисления значений дисперсий при разной атмосферной стабильности приводятся, например, в [16]. В работе [82] приводятся формулы для вычисления дисперсий по Бриггсу для сельской и урбанизированной местности, справедливые на расстояниях от 100 м до 10 км.

Гауссовы модели обладают рядом существенных недостатков: они не могут учитывать локальные особенности рельефа и непостоянство в пространстве и во времени метеопараметров; не описывают источники, работающие ограниченное время; в них используются дисперсионные характеристики, полученные для наземных, а не приподнятых источников; не учитывают вертикальную структуру пограничного слоя. Численные и натурные эксперименты показали [114], что Гауссовы модели могут адекватно описывать концентрации загрязнений только в горизонтальном направлении, а для расчета вертикального профиля они применимы только на очень коротких расстояниях.

При моделировании течений в уличных «каньонах» в [27] учитываются только здания, расположенные вблизи источника. Такие же предпосылки вводятся при решении уравнений термической гидродинамики и так называемых транспортно-диффузионных уравнений [28-34]. Моделирование течений в каньонах на основе решения уравнений термической гидродинамики сопряжено с известными математическими трудностями, а также с принципиальными трудностями для всех моделей - заданием входных параметров: условий на границах (нижняя граница- с потоком транспорта, здания со своим обменом с уличным воздухом; параметры верхней границы зависят от многих метеорологических факторов) и начальных значений, которые, как правило, должны зависеть от времени и, в частности, от метеоусловий. Кроме того, метеорологические модели в условиях больших городов могут иметь свои специфические особенности, например, они могут описывать образование острова тепла над промышленными и жилыми районами. Проблема при решении уравнений заключается и в том, что необходимо задавать коэффициент переноса, зависящий от энергии турбулентных движений, являющейся функцией многих величин. Наиболее простой способ определения этой функции следует из уравнения баланса турбулентной энергии. Адекватность приводимых моделей реальным условиям во многом определяется выбором значений эмпирических констант. Для описания формирования полей концентраций примеси часто используется полуэмпирическое уравнение переноса и диффузии. Так, в работе [30] сделана попытка на основе полуэмпирического уравнения переноса и диффузии примеси получить распределение примеси в отдельных уличных каньонах.

Физическое моделирование в аэродинамических трубах, заключающееся в проведении в них физических экспериментов [35], служит проверкой правильности выбора математических моделей. Эксперименты дают возможность оценить некоторые особенности распределения примеси в условиях застройки для таких метеорологических условий, которые можно с той или иной точностью воспроизвести в аэродинамической трубе. Следует отметить, что в трубах невозможно соблюсти подобие течения по достаточному набору критериев, например, задать число Рейнольдса одновременно с числом Росби. В то же время метод физического моделирования в аэродинамических трубах часто является единственным для определения некоторых необходимых для моделирования параметров и дает возможность сравнения модели с измерениями, например, распределения потоков воздуха по улицам при различных направлениях ветра. Моделирование потоков в аэродинамических трубах использовалось в работах Института гигиены и патологии с участием Института глобального климата и экологии РАН для оценки санитарного состояния некоторых городов, например, Кировочепецка. Построение эмпирических моделей позволяет анализировать результаты натурных экспериментов. Результаты численного моделирования и физического моделирования сопряжены с построением параметрических моделей распределения примеси в уличных каньонах в зависимости от метеоусловий: скорости и направления ветра, температурной стратификации атмосферы, влажности и т.п. В параметрических моделях концентрацию загрязняющего вещества в уличном каньоне представляет как сумму концентраций: С,ь поступающих непосредственно от источников самого каньона (в основном, автотранспорт);

Ск от сторонних источников (например, примесь от промышленных предприятий, переносимая над данной местностью); Сг, обусловленных явлением рециркуляции внутри каньона. Таким образом, суммарная концентрация С может быть записана в виде С=Са+Сг+Ск. Распределение примеси по этим моделям зависит от скорости ветра в каньоне и от дисперсии ст2(х), которая, в свою очередь, зависит от координаты, скорости ветра, начальной дисперсии, связанной с масштабами начальных выбросов в приземный слой, а также дисперсией значений турбулентной скорости ст^ Последняя величина определяется характером вертикальных потоков над поверхностью земли. В упомянутых работах имеется сравнение с экспериментальными данными, полученными в Дании, Норвегии и Голландии. Среди перечисленных моделей можно выделить модель, основанную на решении двумерных гидродинамических уравнений и трехмерных диффузионных уравнений, где учтены: плотность застройки на улицах, направление и скорость ветра, высота зданий. Расчеты проведены для различных режимов образования воздушных потоков. В работах также обращается внимание на факторы, влияющие на возникновение опасных концентраций в местах скопления пешеходов. Отмечается, что наибольшие колебания значений концентрации отмечаются на перекрестках. При этом наибольшие значения концентрации наблюдаются при направлениях ветра, параллельных улицам. Одним из возможных путей развития такого направления является моделирование течений в уличных каньонах путем решения уравнений сохранения с использованием вспомогательных приемов оценки характера течения вблизи зданий на основе сравнений параметров подобия. Например, при моделировании течения над местностью, имеющей сложный рельеф с перепадами высот, на основе оценки числа Фруда, делается заключение о том, будет ли поток двигаться вверх по склону горы или обтекать ее по горизонтали.

В работе [31] распределение примеси над застройкой моделируется транспортно-диффузионным уравнением: = д(иС,) д{уС,) д(\уС;) д дС, К—^ дх д + — ду дС Л К—'дг, д1 дх. ду & дх, где С{ - концентрация 1-й компоненты примеси, ^ - скорость генерации 1-й компоненты примеси за счет протекания химической реакции, - мощность источника 1-й компоненты, - скорость генерации 1-й компоненты за счет взаимодействия с поверхностью, u,vиw - компоненты скорости ветра, К и К2 - коэффициенты диффузии в горизонтальном и вертикальном направлениях.

Решение транспортно-диффузионного уравнения также требует быстроты и эффективности. Существующие методы, предполагающие запись решения транспортно-диффузионного уравнения в виде аналитической формулы, неприменимы для решения поставленной задачи, поскольку не отражают всей сложности реальных условий. Например, в [6], [23] дс приводится аналитическое решение уравнения и — = КАс + ()3(г), дх описывающего картину установившегося распределения концентрации загрязнителя от постоянно действующего точечного источника мощности (2 в однородном постоянном горизонтальном ветровом поле со скоростью ветра

О -—('-*) и. Это решение выглядит как с =-е 2К , где К-коэффициент

4 пКг турбулентной диффузии, одинаковый по всем направлениям; х - координата по оси, направление которой совпадает с направлением ветра (начало отсчета совпадает с источником); г - расстояние от источника. Данная аналитическая формула является точным решением уравнения, однако в записанном виде это уравнение не отражает реальной физической картины.

Вообще говоря, моделирование турбулентного переноса аналогично молекулярному, с использованием диффузионных коэффициентов или коэффициентов турбулентной вязкости было предложено в [62] Буссинеском. Им было выдвинуто предположение, что турбулентные потоки связаны со средними градиентами физических величин через коэффициенты, зависящие от свойств потоков. Модели, в которых полный турбулентный поток в атмосфере представляется через средний поток, а локальный перенос физических величин соотносится с их градиентами, описаны также, например, в [68] и [102]. Их называют К-моделями или моделями замыкания 1-го порядка.

О применении для моделирования переноса в атмосфере уравнений Навье-Стокса см. Гл.2 п.1.

При моделировании практически важных турбулентных потоков во избежание трудностей, связанных с большим количеством узлов сетки при численных экспериментах [107], может применяться так называемый метод моделирования крупных вихрей (Large Eddy Simulation, LES), состоящий из явного численного представления крупных и параметризации малых вихрей. Внутри пограничного слоя имеются вихри различных масштабов [95], причем крупные вихри (от 100 м до более 1км) образуются из-за неустойчивости среднего потока, а мелкие (от нескольких см до 100 м) - из-за распада крупных вихрей. При достаточно малых размерах вихри не могут служить переносчиками каких-либо физических характеристик, а лишь диссипируют энергию. Первое применение LES-модели описывается в [72]. LES-модели являются промежуточными между прямым численным моделированием турбулентных потоков и статистической теорией турбулентности, которая использует осреднение искомых физических величин. LES превращается в прямое моделирование при достаточно высоком разрешении. Примеры LES-моделей содержатся в работах [72], [73], [95], [96], [110], [122]. Способы генерирования величин сеточного масштаба для LES-моделей описаны в работах [87] и [108]. В [115] моделирование крупных вихрей используется для количественного определения условий образования валиков завихренности на основе исследования конвекции между плоскими пластинами с применением параметризации поверхностного слоя; исследован случай движения пластин. Расчеты показали, что важным параметром является соотношение скорости трения на поверхности к масштабу скорости плавучей конвекции: при нахождении этого соотношения в определенном диапазоне конвекция приобретает вид двумерных валиков. В [111] при широком диапазоне размеров вихрей из-за большого количества узлов сетки в LES осуществлялся расчет среднего потока без детальной информации о мелких вихрях, который показал, что можно рассматривать турбулентность в пограничном слое атмосферы как движение вверх небольшого количества островков тепла (термиков), которые, ударяясь о верхнюю границу пограничного слоя, могут захватывать теплый воздух сверху и вовлекать его в пограничный слой. Вокруг термиков воздух, в основном, медленно опускается.

Существуют также так называемые схемы расчета турбулентности с замыканием 2-го и 3-го порядка. Наиболее важная схема описана в [73], [74], где автор предложил производить явный расчет основной порции турбулентности, а мелкомасштабную турбулентность описывать с помощью аппроксимации замыкания второго порядка. Ввиду того, что схеме требовался большой объем вычислительных ресурсов, были предложены схемы с осреднением турбулентности по ансамблю [58], [93], [121], [123], [124]. Схемы с замыканием 2-го порядка можно найти в работах [75], [77], [92], [112], [117], [120], [124], а схемы с замыканием 3-го порядка- в [58], [63], [67]. В статье [59] используется одномерная схема с замыканием 2-го порядка, однако она дает достаточно реалистичную картину турбулентности за счет особого внимания к членам, относящимся к перераспределению давления. Использование моделей высоких порядков замыкания не требует знания коэффициентов турбулентной диффузии [119], поскольку для описания турбулентных потоков в этих моделях применяются прогностические уравнения. Вывод этих уравнений таков, что они содержат неизвестные корреляции между флуктуационными частями давления и скорости, диссипации п-х моментов и (п+1)-е моменты. Например, в случае использования уравнений Навье-Стокса уравнения, описывающие среднее состояние, вычитаются из уравнений для действительных состояний, а затем умножаются на флуктуационные части физических величин. Нелинейность уравнений приводит при осреднении полученных уравнений к появлению моментов более высокого порядка. Чтобы избежать возникновения моментов высоких порядков прибегают, к параметризации неизвестных выражений на определенном этапе расчетов.

Еще одним видом моделей турбулентности являются траекторные модели. Траекторию можно определить как путь пассивных частиц, переносимых воздухом [89]. Несмотря на сложность траекторий отдельных частиц, в целом вещество в атмосфере движется в направлении среднего ветра— ветра, осредненного за период много больший, чем временные масштабы отдельных вихрей. В работе [89] предлагается рассчитывать траектории не отдельных частиц, а целых их пакетов. Мелкомасштабная турбулентность учитывается через изменение размеров этих пакетов. При этом значения компонент поля ветра хранятся в узлах трехмерной сетки, в следствие чего для расчета ветра в любой точке изучаемой области требуется процедура интерполяции [88]. Пакетная модель тесна связана с так называемыми рг^-моделями, где клубы от непрерывного источника движутся в меняющемся поле ветра. При этом ветровое поле может строиться разными способами [83], [85], а дисперсии для клубов можно определять либо через экстраполяцию кривых Пасквилла-Гиффорда из Гауссовых моделей на большие расстояния, либо по эмпирическим формулам, как это сделано в работах [83], [85]. В [71] задача о вертикальном расплывании клубов решается на основе уравнений диффузии.

Для решения уравнений гидротермодинамики и уравнений баланса концентрации примеси, возникающих при построении моделей распространения загрязнений, использующих замыкание различных порядков и ЬЕБ-модели, используются методы конечного дифференцирования, спектральные и псевдоспектральные схемы, методы конечных элементов и интерполяционные схемы [60], [101]. Большинство мезомасштабных моделей используют метод конечных разностей, однако авторы работы [65] разработали модель конечных элементов, которая была опробована в мезомасштабном моделировании над местностью со сложным рельефом. Спектральная модель с применением ортогональных криволинейных координат описана в [106]. О преимуществах спектрального подхода по сравнению с конечно-разностным дифференцированием см. [79], [80]. Об использовании спектральной модели при расчетах бризов см. также [94].

Адаптация перечисленных моделей к топографическим неровностям может проводиться по-разному: в [109] предлагается использовать давление в качестве 3-й координаты при отсутствии вертикальных ускорений, в [104] -представить рельеф ступеньками сетки по координатным осям. Возможно также преобразование системы координат так, чтобы подстилающая поверхность стала координатной поверхностью (например, [101]). Модель в работе [106] базируется на конформном преобразовании осей координат, а в [109] используется специальная схема генерации ортогональной сетки для моделирования метеоявлений.

На основе сказанного выше можно сделать вывод, что существующие методы непригодны для моделирования транспортно-диффузионных процессов либо в силу чрезмерного упрощения реальной картины, либо в силу больших временных и вычислительных затрат. Для быстрого и, в то же время, качественного решения транспортно-диффузионного уравнения в диссертации предлагается предварительное расщепление исходного уравнения на процессы: адвекцию, диффузию и физико-химические процессы.

Для решения уравнения адвекции в мировой практике разработаны различные методы. Наиболее простыми являются методы с использованием явных и неявных разностных схем [18]. В этой области также хорошо известен так называемый метод характеристик [40]. Однако этот метод обладает существенным недостатком, не являясь консервативным. Другим способом решения уравнений адвекции могут являться явные схемы с использованием компенсационных поправок. Среди них широко известен FCT (flux-corrected ^апврог^-метод, описанный в [7], [8], [13]. Однако он также не обладает консервативностью.

Вместо метода характеристик в диссертации используется сеточно-характеристический метод. Этот метод был предложен в свое время известным ученым А.С. Холодовым, однако приобрел свою окончательную форму и впервые нашел конкретное применение лишь в процессе написания представляемой работы. Сеточно-характеристический метод обладает несомненным преимуществом перед более известным методом характеристик в силу своей консервативности.

Для решения уравнений адвекции в диссертации был разработан также специальный метод частиц, обладающий 2 преимуществами перед сеточно-характеристическим методом: отсутствием численной диффузии и отсутствием необходимости разбиения процесса двумерной адвекции на 2 одномерных процесса вдоль каждой из координатных осей.

Отправной моделью для создания специального метода частиц послужил классический метод частиц в ячейке. Однако, хотя в мире известен целый ряд вычислительных методов, связанных с введением в рассмотрение частиц при моделировании процессов переноса, предложенный специальный метод кардинально отличается от всех существовавших ранее. Например, описанный в работе [12] вариант так называемого метода частиц в ячейках вводит в рассмотрение поле давления; предполагает учет удельной внутренней энергии частиц; частицы в этом методе могут изменять свой размер; интерполяция ветрового поля выполняется иначе, чем предложено в специальном методе частиц; в работе [12] не рассматривается возможное наличие неадвективных процессов. Специальный метод частиц не требует знания поля давления, не учитывает удельную энергию частиц и предполагает у частиц наличие постоянных, нулевых (точечная частица) либо ненулевых (распределенная частица) размеров. В работе [19] рассматривается решение дифференциальных уравнений первого порядка конкретного вида, тогда как специальный метод частиц может применяться для решения транспортно-диффузионного уравнения, являющегося дифференциальным уравнением второго порядка. Метод, описанный в работе [19], использует произвольное фиксированное число частиц, причем сами частицы фигурируют в виде так называемых функций ядра; при пересчетах физических параметров с частиц на разностную сетку и обратно используются интерполяционные функции; функции ядра и интерполяционные функции представлены в довольно общем виде. Не оговаривается также способ интерполяции поля скоростей адвекции для моделирования движения частиц. В специальном методе частиц частицы рассматриваются как конкретные физические объекты, их число может изменяется на каждом временном шаге, зависит от параметров сетки и от распределения в рассматриваемой области искомой физической скалярной величины; в этом методе указан конкретный способ интерполяции поля скоростей адвекции для любой точки рассматриваемой области; перенос рассматриваемой физической величины с частиц на разностную сетку и обратно производится не по интерполяционным формулам, а на основе наглядных соображений, следующих из представления частиц как физических объектов, а также на основе принципа сохранения пропорций между вкладами частиц, находящихся в пределах одной ячейки разностной сетки, в соответствующее этой ячейке значение искомой величины до и после моделирования неадвективных процессов. Описанный в работе [20] метод крупных частиц вообще не предполагает разбиения движущейся субстанции на частицы. В силу вышесказанного, специальный метод частиц обладает рядом преимуществ по сравнению с существовашими ранее методами и не имеет аналогов в мировых разработках.

Решение диффузионной части уравнения переноса вещества выполняется с помощью широко известных неявных методов: метода сопряженных градиентов и прогонки,- однако наличие сложного рельефа потребовало создания особого способа заполнения используемых матриц.

Автор выражает глубокую признательность за помощь в написании диссертации своим научным руководителям, сотрудникам ИММ РАН, доктору физико-математических наук, проф. Тишкину В.Ф и кандидату физико-математических наук Клочковой Л.В., а также сотруднику ИГКЭ РАН, кандидату физико-математических наук Беспалову М.С. за ценные консультации.

Кратко основные результаты диссертации можно сформулировать в следующем перечне:

• Построена модель атмосферы и процессов переноса в ней, позволяющая выполнять оперативные расчеты для оценки концентрации вредных примесей в воздушной среде с течением времени в результате аварийных и штатных их выбросов в воздушную среду.

• Разработан полуэмпирический способ аппроксимации ветра в диагностической модели ветрового поля над местностью со сложным рельефом и в условиях городской застройки. Создан эффективный метод зануления дивергенции векторного поля.

• Разработан метод решения дифференциального транспортно-диффузионного уравнения с помощью разделения его на адвективные, диффузионные и физико-химические процессы. Для решения уравнения адвекции разработаны консервативный сеточно-характеристический метод, а также метод точечных и распределенных частиц.

• На основе построенных моделей написан программный комплекс «TIMES», позволяющий проводить оперативные расчеты распространения загрязнений в воздушной среде. С помощью него выполнен ряд численных экспериментов, иллюстрирующий адекватность построенных моделей реальным процессам. Программный комплекс «TIMES» успешно встроен в геоинформационную систему «Ситуация».

Созданные уникальные методики, программы и вычислительные пакеты, адекватные реальным процессам, являются новыми как по применяемым специально адаптированным методам, так и по инженерным решениям, опирающимся на специально разработанные технологии построения алгоритмов для численного моделирования. Они соответствуют мировому уровню, а в таких компонентах, как методы решения разностных уравнений, превосходят его. Теоретический уровень полученных результатов сопоставим с мировым, а по ряду позиций опережает аналогичные зарубежные разработки. Проблемы, рассмотренные в диссертации, не нашли вполне удовлетворительного отражения в существовавших ранее научных публикациях.

Созданные программы и программные комплексы используются в геоинформационных системах в Международном институте системного анализа в Австрии, в Федеральном агентстве Правительственной связи и информации, в Госкомприроде, могут найти применение в деятельности таких ведомств и организаций, как Министерство по чрезвычайным ситуациям, Институт глобального климата и экологии, Летно-испытательный институт.

За время написания диссертации были сданы в печать более 20 публикаций, среди которых 5 - в рецензируемых журналах. Результаты неоднократно докладывались на отечественных и международных конференциях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе написания диссертации были изучены системы контроля распространения загрязнений при аварийных ситуациях на промышленных объектах с концентрированными выбросами, проработан обширный материал, накопленный в мире по проблемам экологического мониторинга окружающей среды. Это позволило разрабатывать адекватные реальным процессам новые программные вычислительные комплексы, развивать современные вычислительные методы и проводить фундаментальные исследования в этой области.

Итогом разработок явилось создание комплекса математических моделей, численных алгоритмов и программ для оценки распределения воздушных потоков и различных газообразных примесей в них в результате аварий на промышленных объектах, связанных с выбросом в окружающую среду, а также в процессе нормальной эксплуатации промышленных предприятий с целью создания средств поддержки при принятии решений по сохранению окружающей среды в масштабах произвольного региона.

Разработанный пакет программ обеспечивает не только решение поставленной задачи по моделированию процессов распространения загрязнений в атмосфере, но и его графическое отображение. При этом программный комплекс эффективно функционирует при достаточно широком изменении входных данных. Особое внимание уделено моделированию поля ветра, а также нахождению эмпирических параметров, описывающих состояние воздушной среды. Интеграция транспортной модели с моделью ветрового поля осуществляется в вычислительном блоке решения системы уравнений транспортно-диффузионной модели.

В основу используемых методов легли базовые математические модели механики сплошных сред и законы сохранения, адаптированные к конкретным законам газодинамики, а также фундаментальные разработки специальных вычислительных алгоритмов решения задач математической физики для оборонных нужд, что обуславливает высокую эффективность всего моделирующего комплекса. Универсальность и эффективность построенных моделей, позволяющих адекватно описывать достаточно сложные реальные процессы с учетом рельефа местности любого характера, турбулентного характера движений в атмосфере, меняющихся во времени и пространстве метеорологических условий, наличия нескольких источников загрязнений любой формы, физико-химических процессов в газах, а также реализация разработанных технологий в виде интегрированного программного комплекса, адаптированного для использования в геоинформационных системах (ГИС) контроля и мониторинга при проведении вычислительных экспериментов с последующей визуализацией, обуславливают ценность проделанной работы для нужд народного хозяйства. Направленность моделей и программ на использование в составе ГИС дает возможность надежной связи разработанных фундаментальных математических моделей с реальной действительностью, т.к. ГИС имеют совершенные средства для сбора и интеграции исходных данных и эффективной их передачи в математические модели, а математическое моделирование, в свою очередь, позволяет решать в ГИС сложные задачи, связанные со сценарным моделированием, решением задач оптимизации и прогноза.

Разработанные алгоритмы численного моделирования подверглись тщательному тестированию и всестороннему исследованию, на их основе была проведена серия вычислительных экспериментов с различными исходными данными и получены визуально-прогностические результаты, иллюстрирующие возможность количественной и качественной оценки степени опасности происходящих аварий для людей на основе разработанных технологий.

1. БерляндМ.Е. Прогноз и регулирование загрязнения атмосферы. J1. Гидрометеорологическое издательство, 1985.

2. Тверской П.Н. Курс метеорологии (Физика атмосферы). JI: Гидрометеорологическое издательство, 1962,700 с.

3. Данилов С.Д., Копров Б.М., Сазонов И.А. Некоторые подходы к моделированию атмосферного пограничного слоя (Обзор) // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1995. Т.31. №2. с. 187-204.

4. Кухарец В.П., Цванг JI.P. Некоторые результаты натурного моделирования воздействия подстилающей поверхности на характеристики турбулентности в приземном слое атмосферы. // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1994. Т.ЗО. №5. с. 608-614.

5. Chrosciel St. (ed.).: Instructions for standard calculations of emission parameters for industrial sources (in Polish). // Technical University of Warsaw Publ., Warszawa, 1983.

6. Рихтер JI.A., Волков Э.П., Покровский B.H. Охрана водного и воздушного бассейнов от выбросов ТЭС. //М: Энергоиздат, 1981. с. 105-153.

7. Piotr К. Smolarkiewicz. A fully multidimensional positive definite advection transport algorithm with small implicit diffusion. Journal of Computational Physics, May 1984, v.54, N 2, pp.325-362.

8. Piotr K. Smolarkiewicz and Wojciech W. Grabowski. The multidimensional positive definite advection transport algorithm: nonoscillatory option. Journal of Computational Physics, May 1990, v. 86, N 2, pp.355-375.

9. Гисина Ф.А. Лайхтман Д.Л., Мельникова И.И. Динамическая метеорология. Л.: Гидрометеоиздат, 1982.607 с.

10. Хромов С.П., Мамонтова Л.И. Метеорологический Словарь. Л.: Гидрометеоиздат, 1974. 568 с.

11. Гуральник И.И. и другие. Метеорология. Учебник для гидрометеорологических техникумов. JL: Гидрометеоиздат, 1972,416 с.

12. Г.И. Борисова, Р.И. Волкова, А.П. Фаворский. Об одном варианте метода частиц в ячейках. Препринт Ин. прикл. матем. им. М.В. Келдыша АН СССР, 1984, N 168, 22 с.

13. J.P. Boris and D.L. Book. Solution of continuity equations by the method of flux-corrected transport. Methods in computational physics, 1976, v. 16, pp. 85-129.

14. Под ред. С. Калверта и Г.М. Инглунда. Защита атмосферы от промышленных загрязнений. Справочник в 2 частях, М.: "Металлургия", 1988. Пер. с англ.

15. Под ред. У. Фроста и Т. Моулдена. Турбулентность. Принципы и применения. Издательство "Мир", Москва, 1988. Пер. с англ.

16. Veverka О. HERALD. Skoda Works, Plzen, 1986.

17. H.JI. Вызова, E.K. Гаргер, B.H. Иванов. Экспериментальные исследования атмосферной диффузии и расчеты рассеяния примеси. Ленинград, Гидрометеоиздат, 1991,278 с.

18. A.A. Самарский, Ю.П.Попов. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1992,424 с.

19. Ю.Н. Григорьев, В.А. Вшивков. Численные методы "частицы-в-ячейках". Новосибирск: Наука, 2000, 184 с.

20. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука, 1982. 392 с.

21. Businger J. А. Атмосферная турбулентность и моделирование распространения примесей. Под ред. Ф.Т.М. Ньюстадта и X. Ван Допа, 1985, 351 с.

22. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа, ч.2. М.: Наука, 1973,448 с.

23. A.H. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики. Издательство МГУ, 1999, 798 с.

24. Wieringa J. A Revaluation of the Kansas Mast Influence on Measurements of Stress and Cup Anemometer Overspeeding. Boundary-Layer Meteorology, 1979, 18, pp. 411-430.

25. Старченко A.B., Беликов Д.А., Есаулов A.O. Численное исследование влияния метеорологических параметров на качество воздуха в городе. Труды международной конференции "ENVIROMIS 2002". г.Томск, Издательство ЦНТИ, 2002, сс. 142-151.

26. А.А. Самарский. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982,282 с.

27. Huber А.Н., Snyder W.H. Building Wake effects on Short Stack Effluents. Preprint Volume for Triad Symposium Atmospheric Diffusion and Air Quality. American Meteorological Society, Boston, MA, 1976.

28. Hertel O., Berkowicz R., Larssen S. The operational street pollution model. Air Pollut. Models and its Appl VIII: Proc 18-th NATO/CCMS Int. Techn. Meet. Air Pollut. Models and its Appl. Vancouver. May 13-17, 1990, New York, London, pp. 741-750.

29. Kamenetsky E., Viern N. Model of the flow and air pollution concentration in urban canyons. Boundary Layer Meteorol, 1995, w. 73,1-2, p. 203.

30. Johson G., Hanter L. A numerical study of dispersion passive scalars in city canyons. Boundary Layer Meteorol, 1995, v. 75, 3, pp. 235-262.

31. Sheffe R.D., Morris R.E. A Review of Development and Application of the Urban Airshed Model. Atmospheric Environment, 1993, vol. 278, No 1, pp. 23-39.

32. Murrey D., RurmasterD. Residential air exchange rates in the USA empirical and estimated parametric distributions by season and climatic region.

33. Risk. Anal. 1995, v. 15,4 pp. 459-465.

34. Roth M., Оке Т. Сравнительная эффективность турбулентного переноса тепла, массы и количества движения над городской застройкой. J. Atmos. Sri. 1995., v. 52, И, pp. 1863-1874.

35. HoydishW.G., DabberdtW.F. A fluid modeling study of concentration distributions at urban intersection. Sci/ Total. Environ. 1994, 146-147, pp. 425-432.

36. Ю.А. Израэль, И.М. Назаров, А.Я. Прессман, Ф.Я. Ровинский, А.Г. Рябошапко, JI.M. Филиппова. Кислотные дожди. Л.: Гидрометеоиздат, 1983, 206 с.

37. Anderson G.E. Mesoscale influences on wind fields. J. Appl. Meteor., 1971, 10, pp. 377-386.

38. Anderson G.E. A mesoscale wind field analysis of the Los Angeles Basin. EPA-650/4-73-001, The Center for environment and Man, Inc., Hardford, Conn., 1973,56 pp.

39. C.K. Годунов, B.C. Рябенький. Разностные схемы (введение в теорию). М.: Наука, 1973,400 с.

40. Carson D.J.,Richards P.J.R. Modeling Surface Turbulent Fluxes in Syable Conditions. Boundary Layer Meteorology, 1978,14, pp. 67-81.

41. Dickerson M.H. MASCON-A mass consistent atmospheric flux model for regions with complex terrain. J. Appl. Meteor., 1978, 17, pp. 241-253.

42. Door F.W. The direct solution of the discret Poisson equation on a rectangle. SIAM Rev., 1970,12, pp. 248-263.

43. Endlich R.M. An iterative method for altering the kinematic properties ofwind field. J. Appl. Meteor., 1967, 6, pp. 837-844.

44. Fankhauser J.C. The derivation of consistent fields of wind and geopotential height from mesoscale rawinsonde data. J. Appl. Meteor., 1974, 13, pp. 637-646.

45. Dyer A.J. A Review of flux Profile Relationships. Boundary Layer Meteorology, 1974, 7, pp. 363-372.

46. GoodinW.R., McRaeG.J., Seinfeld J.H. A comparison of interpolation methods for sparse data: Application to wind and concentration fields. J. Appl. Meteor., 1979, 18, pp. 761-771.

47. Liu C.Y., Goodin W.R. An iterative algorithm for objective wind field analysis. Mon. Wea. Rev., 1976,104, pp. 784-792.

48. MacCracen M.C., Wuebbles D.J., Walton J.J., DuewerW.H., Grant K.E. The Livermore regional air quality model: I. Concept and development. J. Appl. Meteor., 1978,17, pp. 254-272.

49. Д.Л. Лайхтман. Физика пограничного слоя атмосферы. JL: Гидрометеоиздат, 1970, 341 с.

50. Peaceman D.W., RachfordH.H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations. J. SIAM, 1955,3, pp. 28-41.

51. Roache P.J. Computational Fluid Dynamics. Hermosa Publ., 1972,434 pp.

52. Sasaki Y. An objective analysis, based on the variational method. J. Meteor. Soc. Japan, 1958,36, pp. 77-88.

53. Sasaki Y. Some basic formalisms in numerical variational analysis. Mon. Wea. Rev., 1970,98, pp. 875-898.

54. Sherman C.A. A mass-consistent model for wind fields over complex terrain. J. Appl. Meteor., 1978,17, pp. 312-319.

55. YockeM.A., LiuM.K., McElroyJ.L. The development of a three-dimensional wind model for complex terrain. Proc. Joint Conf. Application of Air Pollution Meteorology, Salt Lake City, Amer. Meteor. Soc., 1978, pp. 209-214.

56. Goodin W.R., McRae G.J., Seinfeld J.H. An objective analysis technique for constructing three-dimensional urban-scale wind fields. J. Appl. Meteor., 1980,19,1. N. l,pp. 98-108.

57. Andre J.C. et al. Modeling the 24-hour evolution of the mean and turbulent structures of the planetary boundary layer. J. Atmos. Sci., 1978, 35, pp. 1861-1883.

58. AndrenA. Evaluation of a turbulence closure scheme suitable for airpollution application. Journal of applied meteorology, 1990, 29, No. 3, pp. 224-239.

59. Anthes R.A. A review of regional models of the atmosphere in middle latitudes. Mon. Wea. Rev., 1983, 111, pp. 1306-1335.

60. J.H. van Boxel, H.F. Vugts, F. Cannemeijer. Effects of the Water Vapour Gradient on the Obuckov Length and the Profile-Derived Fluxes. Z.Meteorol., 1989, vol. 39, No 6, pp. 351-353.

61. Boussinesq J. Essai sur la theorie des courantes. Mem. pres. par. div. Savant a l'acad. Sci. Paris., 1877, vol.23, N 46.

62. Briere S. Energetics of daytime sea breeze circulation as determined from a two dimensional third-order closure model. J. Atmos. Sci., 1987, N44, pp. 1455-1474.

63. Businger J.A., Arya S.P.S. Height of the Mixed Layer in a Stably Stratified Planetary Boundary Layer. Adv.Geophys., 1974,18A, pp. 73-92.

64. Chang L.P. et al. Development of a two-dimensional finite-element PBL model and two preliminary model applications. Mon. Wea. Rev., 1982, 110, pp. 2025-2037.

65. Caughey S.J. and S.G. Palmer. Some aspects of turbulence structure through the depth of the convective layer. Quart. J. Roy. Meteor. Soc., 1979, 105, pp. 811-827.

66. Chen C. and W. Cotton. A one-dimensional simulation of the stratocumulus-capped mixed layer. Boundary-Layer Meteor., 1983,25, pp. 289-321.

67. Cotton W. and G.J. Tripoli. Cumulus convection in shear-flow-three-dimensional numerical experiments. J. Atmos. Sci., 1978, 35, pp. 1503-1521.

68. Bergstrom H. A Simplified Boundary Layer Wind Model for Practical Application. Journal of Climate and Applied Meteorology, 1986, 25, No 6, pp. 813-824.

69. DraxlerR.R. Modeling the Results of two Recent Mesoscale Dispersion Experiments. Atmospheric Environment, 1979, 13, pp. 1523-1533.

70. DraxlerR.R. Estimating vertical diffusion from routine meteorological tower measurements. Atmos. Environ., 1979, 13, pp. 1559-1564.

71. Deardorff J.W. Numerical investigation of neutral and unstable planetary boundary layers. J. Atmos. Sci., 1972,29, pp. 91-115.

72. Deardorff J.W. Three-dimensional numerical study of the height and mean structure of a heated planetary boundary layer. Boundary-Layer Meteorology, 1974,7, pp. 81-106.

73. Deardorff J.W. Three-dimensional numerical study of turbulence in an entraining mixed layer. Boundary-Layer Meteorology, 1974, 7, pp. 199-226.

74. Deardorff J.W. Stratocumulus-capped mixed layers derived from a three-dimensional model. Boundary-Layer Meteorology, 1980, 18, pp. 495-527.

75. Ekman V.W. On the influence of the Earth's rotation on ocean currents. Ark. Mat. Astron. Fys., 1905, 12, pp. 1-52.

76. Enger L. Numerical boundary layer modeling with application to diffusion, Part I. A two-dimensional higher order closure model. Report No.70. Department of Meteorology, Uppsala University, Uppsala, Sweden, 1983.

77. Enger L. A higher order closure model applied to dispersion in a convective PBL. Atmospheric Environment, 1986,20, No.5, pp. 879-894.

78. Fulton S.R. and Schubert W.H. Chebyshev spectral methods for limited-area models, Part I. Model problem analysis. Mon. Wea. Rev., 1987, No. 115, pp. 1940-1953.

79. Fulton S.R. and Schubert W.H. Chebyshev spectral methods for limited-area models, Part II. Shallow water model. Mon. Wea. Rev., 1987, No.115, pp. 1954-1965.

80. GuentherA. and B.Lamb. Three-dimensional numerical simulation of plume downwash with a K-E turbulence model. J. Appl. Meteor., 1990, No. 19, pp. 98-108.

81. HannaS.R. Review of Atmospheric Diffusion Models for Regulatory Applications. Technical Note No 177, World Meteorological Organization, WMO No.581,1982.

82. HeffterJ.L. Air Resources Laboratories transport and dispersion model (ARL-ATAD). National Oceanic and Atmospheric Administration, Tech. Memo. ERL-ARL-81. Air Resource Laboratories, Silver Spring, MD, 1980.

83. Holt R. and S. Raman. A review and comparative evaluation of multilevel boundary layer parameterizations for first-order and turbulent kinetic energy closure schemes. Reviews of Geophysics, 1988, vol. 26, No.4, pp. 761-780.

84. Johnson W.B. et al. Long term regional patterns and transfrontier exchanges of airborn sulfur pollution in Europe. Atmospheric Environment, 1978, No. 12, pp. 511-527.

85. LacserA., AryaS.P.S. A Comparative Assessment of Mixing-Length Parameterizations in the Stably Stratified Nocturnal Boundary Layer. Boundary-Layer Meteorology, 1986, No.36, pp. 53-70.

86. Leonard A. On the energy cascade in large eddy simulations of turbulent fluid flows. Adv. Geophys., 1974, N0.I8A, pp. 237-248.

87. Maryon R.H. The effect of grid resolution upon the numerical modelling of the convective boundary layer. Boundary-Layer Meteorology, 1989,46, pp. 69-91.

88. Maryon R.H. Trajectory and plume analysis in the Meteorological Office Atmospheric Dispersion Group. The Meteorological Magazine, 1989, No. 118, pp. 117-127.

89. Mason P.J. Large-eddy simulation of the convective atmospheric boundary layer. 1989,46, No.ll, pp. 1492-1516.

90. Mathews E.H. Prediction of the wind-generated pressure distribution around buildings. J. Wind Eng. Ind. Aerodyn., 1987, No.25, pp. 219-228.

91. MellorG.L. Analitic prediction of the properties of stratified planetary surface layers. J. Atmos. Sci.,1973, No.30, pp. 1061-1069.

92. Mellor G.L. and T. Yamada. A hierarchy of turbulence closure models for planetary boundary layers. J. Atmos. Sci., 1974, No.31, pp. 1791-1806.

93. Mizuma M. A numerical model of the land and sea breeze constructed by using the spectral method. J. Meteorol. Soc. Jap., 1989, 67, No.4, pp. 659-679.

94. MoengC.-H. A large-eddy simulation model for the study of planetary boundary-layer turbulence. J. Atmos. Sci., 1984, No.41, pp. 2052-2062.

95. Moeng C.-H. Large-eddy simulation of a stratus-topped boundary layer. Part I: Structure and budgets. J. Atmos. Sci., 1986, No.43, pp. 2886-2900.

96. Murakami S. and Mochida A. 3-D numerical simulation of airflow around a cubic model by means of the k-e model. J. Wind Eng. Ind. Aerodyn., 1988, No.31, pp. 283-303.

97. IAEA-TECDOC-379. Atmospheric Dispersion Models for Application in Relation to Radionuclide Releases. IAEA, VIENNA, 1986.

98. Paterson D. and C. Alpet. Computation of wind flows over three-dimensional buildings. J. Wind Eng. Ind. Aerodyn., 1986, No.24, pp. 192-213.

99. Зилитинкевич C.C. Динамика пограничного слоя атмосферы. Д.: Гидрометеоиздат, 1970, 291 с.

100. PhysickW.L. Review: Mesoscale modelling in complex terrain. Earth-Science Reviews, 1988, 25, pp. 199-235.

101. Pielke R.A. A three-dimensional numerical model of the sea breezes over south Florida. Mon. Wea. Rev., 1974,102, pp. 115-138.

102. Под ред. Махонько К.П. Руководство по организации контроля состояния природной среды в районе расположения АЭС. JI:. Гидрометеоиздат, 1990.

103. Pihos G.G. and M.G. Wurtele. An efficient code for the simulation of non-hydrostatic flow over obstacles. NASA CR 3385, NTIS N81-23762,1981.

104. Pudykiewicz J. A Predictive Atmospheric Tracer Model. Journal of the Meteorological Society of Japan, 1990, 68, No.2, pp. 213-225.

105. Sahashi K. Numerical experiment of land and sea breeze circulation with undulating orography, Part I. Model. J. Meteorol. Soc. Jpn., 1981, No.59, pp. 361-372.

106. SchmittL., K. Richter, R. Friedrich. A study of turbulent momentum and heat transport in a boundary layer using large eddy simulation technique. Notes Numer, Fluid. Mech., 1986, No. 14, pp. 232-248.

107. Schumann U. Subgrid scale model for finite difference simulations of turbulent flows in plane channels and annuli. J. Comp. Phys., 1975, No.18, pp. 376-404.

108. SharmanR.D. et al. Incompressible and anelastic flow simulations on numerically generated grids. Mon. Wea. Rev., 1988,116, No.5, pp. 1124-1136.

109. Sommeria G. Three-dimensional simulation of turbulent processes in an undisturbed tradewind boundary layer. J. Atmos. Sci., 1976, No.33, pp. 216-241.

110. Stijn Th.L and F.T.M. Nieuwstadt. Large eddy simulation of atmospheric turbulence. Notes Numer. Fluid Mech., 1986, No. 13, pp. 327-334.

111. SunW.-Y. and Y. Ogura. Modeling the evolution of the convective planetary boundary layer. J. Atmos. Sci., 1980, No.37, pp. 1558-1572.

112. Sun W.-Y. and C.-Z. Chang. Diffusion model for a convective layer. Part I: Numerical simulation for a convective boundary layer. J.Climate Appl.Meteorol., 1986, vol.25, No. 10, pp. 1445-1453.

113. Sun W.-Y. and C.-Z. Chang. Diffusion model for a convective layer. Part II: Plume released from a continuous point source. J. Climate Appl. Meteorol., 1986, vol.25, No 10, pp. 1454-1463.

114. Sykes R.I. and D.S. Henn. Large-eddy simulation of turbulent sheared convection. Journal of the Atmospheric Sciences., 1989, vol.46, No.8, pp. 1106-1118.

115. TherryG. and P. Lacarrere. Improving the eddy kinetic energy model for planetary boundary layer description.Boundary Layer Meteorology, 1983, No.25, pp. 63-88.

116. TjernstromM. A study of flow over complex terrain using a three-dimensional model. A preliminary model evaluation focusity on stratus and fog. Ann. Geophys., 1987, No.5B, pp. 469-486.

117. Byun D.W. On the Atmospherical Solution of Flux-Profile Relationships for the Atmospheric Surface Layer. Journal of Applied Meteorology, 1990, vol.29, No.7, pp. 652-657.

118. WichmannM. and E. Schaller. On the determination of the closure parameters in higher-order closure models. Boundary-Layer Meteorology, 1986, No.37, pp. 323-341.

119. Wyngaard J.C. et al. Modeling the atmospheric boundary layer. Advances in Geophysics, 1974, No. 18 A, pp. 193-211.

120. Wyngaard J.E. and O.R. Cote. The evolution of the convective planetary boundary layer a higher-order closure model study. Noundary-Layer Meteor., 1974, No.7, pp. 289-308.

121. Wyngaard J.C. and R.A. Brost. Top-down and bottom-up diffusion of a scalar in the convective boundary layer. J. Atmos. Sci., 1984, No.41, pp. 102-112.

122. YamadaT. and MellorG.L. A simulation of the Wangara atmospheric boundary layer data. J. Atmos. Sci., 1975, No.32, pp. 2309-2329.

123. Zeman O. and J.L. Lumley. Modeling buoyancy driven mixed layers. J. Atmos. Sci., 1976, No.33, pp. 1974-1988.

124. Van UldenA.P., Holtslag A.A.M. Estimation of Atmospheric Boundary Layer Parameters for Diffusion Applications. Journal of Climate and Applied Meteorology, 1985,24,No.ll,pp. 1196-1207.

125. Вызова Н.Л., Иванов B.H., ГаргерЕ.К. Турбулентность в пограничном слое атмосферы. Ленинград, Гидрометеоиздат, 1989.

126. HannaS.R. The Thickness of the Planetary Boundary Layer. Atmos. Environ., 1969, No.3, pp. 519-536.

127. Holtslag A.A.M. Estimates of Diabatic Wind Speed Profiles from Near-Surface Weather Observations. Boundary-Layer Meteorology, 1984, No.29, pp. 225-250.

128. O'Brien J. J.A. A Note on the Vertical Structure of the Eddy Exchange Coefficient in the Planetary Boundary Layer. J. Atmos. Sci.,1970, No.27, pp. 1213-1215.

129. Perez I.A., Casanova J.L., Sanchez M.L., Ramos M.C. Determinación de la Estabilidad Atmosférica en un medio urbano. Revista de Geofísica, 1987, vol.43, No.2, pp. 163-170.

130. Businger. Workshop in Micrometeorology. Am. Met. Soc., 1973, pp. 67-100.

131. СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

132. С.Н.Плющев, Е.А.Самарская, Д.В.Сузан, В.Ф.Тишкин. Математическая модель распространения загрязнений в атмосфере. Препринт ИММ РАН, 1995, N23, с. 1-29.

133. С.Н.Плющев, Е.А.Самарская, Д.В.Сузан, В.Ф.Тишкин. Построение математической модели распространения загрязнений в атмосфере. Журнал "Математическое моделирование", 1997, т.9, N11, с.59-71.

134. И.В.Белов, М.С.Беспалов, Л.В.Клочкова, Н.К.Павлова, Д.В.Сузан, В.Ф.Тишкин. Сравнение моделей распространения загрязнений в атмосфере. Журнал "Математическое моделирование", 1999, т.11, N 8, с.52-64.

135. И.В.Белов, М.С.Беспалов, Л.В.Клочкова, А.А.Кулешов, Д.В.Сузан, В.Ф.Тишкин. Транспортная модель процессов распространения газообразных примесей в атмосфере города. Журнал "Математическое моделирование", 2000, т.12, N 11, с.38-46.

136. Л.В.Клочкова, Д.В.Сузан, В.Ф.Тишкин. Метод численного расчета конвекции в транспортно-диффузионной модели. Сборник трудов IX

137. Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования". г.Ростов-на-Дону, Издательство РГУ, 2001, с. 111-115.