автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой

ВВЕДЕНИЕ

1. Концептуальная модель взаимодействия загрязнения с окружающей средой

1.1. Однократный выброс загрязняющих веществ в окружающую среду

1.2. Поведение кривой деструкции при многократном выбросе

1.3. Численное моделирование многократного выброса

1.4. Общие замечания

2. Дифференциальная модель взаимодействия загрязнения с окружающей средой

2.1. Модель атмосферной диффузии

2.2. Дифференциальная модель взаимодействия загрязнения с окружающей средой в точке

2.3. Качественное исследование дифференциальной математической модели

2.3.1. Замена переменных

2.3.2. Физический смысл параметров

2.3.3. Стационарные точки исследуемой системы

2.3.4. Параметрический портрет

2.3.5. Бифуркации положений равновесия

2.4. Модификация функциональной модели воздействия природы на загрязнение

2.5. Возможные модификации модели

2.5.1. Учет эффекта Олли

2.5.2. Модификация функции мощности источника загрязнения

2.6. Предварительные выводы

2.7. Система загрязнение - окружающая среда при наличии периодического источника загрязнения

3. Распределенная математическая модель взаимодействия загрязнения с окружающей средой

3.1. Формулировка задачи

3.2. Модель на плоскости

3.3. Трехмерная модель

3.4. Численное решение распределенных моделей

3.5. Имитационное моделирование взаимодействия загрязнения с окружающей средой

3.5.1. Математическая модель на плоскости

3.5.2. Трехмерная модель

3.5.3. Замечания 53 4. Идентификация параметров математической модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой

4.1. Математическая модель

4.2. Аналитическая запись модели

4.3. Данные наблюдений

4.3.1. Краткая характеристика эколого-географических условий региона Кольского полуострова и комбината «Североникель»

4.3.2. Эколого-географическая характеристика района Южного Урала и Карабашского медеплавильного комбината

4.3.3. Данные об уровне загрязнения и плотности биомассы в исследуемых регионах

4.4. Алгоритм решения задачи идентификации параметров математической модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой

4.4.1. Окончательная формулировка математической модели

4.4.2. Вспомогательные результаты

4.4.3. Постановка задачи и алгоритм решения

4.5. Результаты и анализ полученных результатов

4.5.1. Оценки параметров

Актуальность темы. Антропогенное воздействие, возрастающая урбанизация, развитие промышленности и сельского хозяйства поставили задачу разработки и применения комплекса мер, предотвращающих деградацию окружающей среды и позволяющих стабилизировать состояние биосферы. Это привело к выделению из экологии (ecology) - науки, предметом которой является понятие экосистемы, как целостного, эволюционно сложившегося образования, - области, занимающейся изучением и охраной окружающей среды (environmental science) - теоретической основы поведения человека индустриального общества в природе.

Несмотря на то, что экология есть биологическая дисциплина, для решения сложных, многомерных динамических задач описания, прогнозирования, оптимального использования и рационального конструирования разнообразных экологических систем необходим количественный и системный подход, осуществление которого немыслимо без широкого применения математических моделей и ЭВМ. Как подчеркивал Дж. Хатчинсон (Hutchinson, 1965), невозможно писать об экологии популяций без применения математики. К настоящему моменту разработано значительное количество различных математических моделей экологических систем любого уровня - ген, особь, популяция. В науке об охране окружающей среды так же используются математические модели (Марчук, 1982; Марчук, Кондратьев, 1992).

Поскольку эксперимент и наблюдение в наибольшей степени соответствуют познанию лишь тогда, когда они задуманы и осуществлены на основе научной теории, следует признать, что одним из наиболее плодотворных методов является метод математического моделирования.

В соответствии с идеологией математического моделирования для адекватного описания процессов, происходящих в окружающей среде, необходимо выявить ключевые факторы, оказывающие основное влияние на изучаемые процессы. Не вызывает сомнение факт, что загрязнение оказывает отрицательное влияние на окружающую среду. Известно так же, что растительный покров абсорбирует и перерабатывает загрязнение до некоторого предела. Естественно поставить вопрос о важности учета воздействия окружающей среды на загрязнение при формулировании тех или иных математических моделей, описывающих динамику биомассы при наличии загрязнения.

Рассматривая систему загрязнение - окружающая среда с точки зрения математического моделирования, в первую очередь необходимо выявить специфические характеристики изучаемого объекта, многообразие связей между элементами, их разнокачественность и соподчинение. По этой причине первым объектом исследования следует признать обособленную систему промышленное предприятие - конкретная экосистема. В данном случае процесс взаимодействия загрязнения и окружающей среды носит ярко выраженный характер, что упрощает анализ адекватности математической модели, и, с другой стороны, такая система не является исключением из правил. В качестве примеров можно привести рассмотренные в данной работе комбинат «Североникель» и Карабашский медеплавильный комбинат, и, кроме того, комбинат «Печенганикель», Гузумский металлургический комбинат в Швеции, металлургический комбинат в Садбери (Канада).

Степень разработанности проблемы. Начиная отсчет с основополагающих работ В. Вольтерра начала XX - го века (Вольтерра, 1926) к сегодняшнему дню предмет математической биологии - исследование биологических систем методом математического моделирования, - превратился в труднообозримый конгломерат идей и подходов, использующий все возможности современной математики (Миггу, 1996; Базыкин, 1985; Гиммельфарб A.A., 1974; Карев, Березовская, 2000; Одум, 1975; Ризниченко, Рубин, 1993; Смит, 1976; Федоров, Гильманов, 1980 и многие другие).

Как составную часть математической биологии можно рассматривать вопрос о математическом описании лесных фитоценозов. К настоящему времени этот раздел так же хорошо разработан. Модели описания динамики роста леса можно разделить на две категории. Первые описывают лесные массивы как единое целое (непрерывный подход), рассматривая, в принципе, всю тонкую пленку зеленого покрова как одно большое дерево. Этот подход разрабатывался, например, в следующих работах (Тоорминг, 1980; Кумль, Оя, 1984; Розенберг, 1984). Второй подход - описание лесной экосистемы как сообщества дискретных элементов с внутренними связями (Рачко, 1979; Botkinatal., 1972).

Учитывая, что тема настоящей работы связана с распространением загрязнения, отметим, что данный вопрос является хорошо изученной областью знания. Однако, основной задачей, исследуемой многими учеными, является задача краткосрочного прогноза распространения загрязнения (Берлянд, 1985). Существуют многочисленные модели для описания распространения загрязнения при наличии различных климатических условий, тумана, смога, различных типов подстилающих поверхностей, разнообразных рельефов местности (Берлянд, 1975,1985; Гудариан, 1979; Атмосферная турбулентность и моделирование распространения примесей, 1985).

Поскольку главной задачей любых природоохранных мероприятий является вопрос экологического нормирования воздействия на экосистему, отметим, что, хотя теоретические аспекты данной задачи сформулированы (Израэль, 1984), практически этот вопрос остается открытым. В настоящее время мы располагаем только значениями предельно допустимых концентраций (ПДК) для защиты человека. Следующим шагом должно стать установление ЭПДК - экологически предельно допустимых концентраций, защищающих экосистему от антропогенного воздействия (Воздействие металлургических производств на лесные экосистемы Кольского полуострова, 1995).

Наблюдения показывают (Буй Та Лонг, 1999), что динамика распространения загрязнения и динамика лесных экосистем сильно коррелированны, поэтому естественным шагом будет попытка объединить две хорошо исследованные области применения математического моделирования в одну систему. Многие математические модели учитывают воздействие загрязнения на окружающую среду. Воздействие загрязнения на человечество входило как составной блок моделей «Мировой динамики» Дж. Форрестера (Форрестер, 1978) и «Пределов роста» Д. Медоуза (Meadows at al., 1972) при построении глобальных моделей для исследования процессов экономического развития мира. В ряде моделей исследуется динамика живой природы при наличии загрязнения (Тарко и др., 1987). Однако фактор очищающего воздействия природы на загрязнения при построении математических моделей рассматривается впервые. Коррелированность концентрации загрязнения и плотности биомассы изучались экологами с помощью статистических методов (Воздействие металлургических производств на лесные экосистемы Кольского полуострова, 1995; Комплексная оценка техногенного воздействия на экосистемы южной тайги, 1992; Бутусов, Степанов, 2000, 2001).

Цель работы. Целью настоящей работы является создание математических моделей взаимодействия загрязнения с окружающей средой и оценка адекватности распределенной математической модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой на основе данных экологического мониторинга. Для достижения указанной цели решены следующие задачи:

1. Проведен анализ концептуальной модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой с выявлением возможных сценариев поведения замкнутой системы загрязнение - окружающая среда.

2. На основании анализа концептуальной модели предложен ряд математических моделей, описываемых автономными системами обыкновенных дифференциальных уравнений (модели, локализованные в точке). Проведено качественное исследование дифференциальных моделей, включая анализ поведения систем при бифуркационных значениях параметров. Установлено качественное соответствие предложенных дифференциальных моделей и концептуальной модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой.

3. Рассмотрена математическая модель взаимодействия загрязнения с окружающей средой при наличии периодического источника загрязнения. Найдено решение задачи об управлении источником загрязнения при наличии критического условия выживания живой природы.

4. Предложены распределенные математические модели, описываемые системами полулинейных дифференциальных уравнений параболического типа. Сформулирован алгоритм численного решения записанных моделей. Приведены примеры динамики взаимодействия загрязнения с живой природой.

5. На основании данных экологического мониторинга изучена задача об идентификации (получения числовых оценок параметров модели) распределенной математической модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой. Предложен алгоритм решения задачи идентификации как поиск минимума функционала, связывающего решение математической модели и данные наблюдений.

Научная новизна результатов

1. Впервые предложен ряд математических моделей (систем дифференциальных уравнений) для описания динамики взаимодействия загрязнения с окружающей средой, отличительной чертой которых является наличие в них членов, описывающих влияние растительного покрова на концентрацию загрязнения. В работе разработана и реализована программа для осуществления имитационного моделирования взаимодействия загрязнения с окружающей средой.

2. На основе вычислительного эксперимента с использованием предложенной математической модели получены оценки значений параметров математической модели и проведен анализ адекватности рассматриваемой модели динамике реальной экосистемы.

3. На основе имитационного моделирования предложенной математической модели даны оценки предельно допустимых концентраций загрязнения для областей Кольского полуострова (комбинат «Североникель») и Южного Урала (Карабашский медеплавильный комбинат)

Достоверность научных положений выводов и рекомендаций обоснована использованием математических доказательств, апробированной методологии имитационного моделирования, сопоставимостью результатов аналитических и компьютерных расчетов с имеющимися эмпирическими данными и экспертными оценками специалистов.

Практическое значение работы состоит в исследовании и анализе предложенных математических моделей взаимодействия загрязнения с окружающей средой, учитывающих способность растительности поглощать и перерабатывать вредные примеси. Как составная часть работы представлены результаты по идентификации параметров математической модели взаимодействия на основании данных экологического мониторинга областей Кольского полуострова и Южного Урала и получении оценок предельно допустимых концентраций загрязнения в рассматриваемых регионах.

Предложения, выносимые на защиту:

1. Математический анализ концептуальной модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой.

2. Формулировка и анализ математических моделей взаимодействия загрязнения с окружающей средой, описываемых автономными системами обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Решение задачи об управлении периодическим источником загрязнения.

4. Формулировка и численное решение распределенных математических моделей взаимодействия загрязнения с окружающей средой, описываемых системами полулинейных уравнений параболического типа.

5. Идентификация параметров распределенной математической модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой на основе данных экологического мониторинга.

6. Оценка экологически предельно допустимых концентраций загрязнения для рассматриваемых в работе регионов Российской Федерации.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции «Control of Oscillations and Chaos» («СОС'ОО»), Санкт-Петербург, июль 2000 г.; обсуждались на научном семинаре в Институте математики и электроники, Москва, 2001 г., научном семинаре Института проблем механики, Москва, 2001 г.

Различные части работы в различное время докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах в МГУ, в МИИТе, в 1999-2001 гг.

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в работах:

Братусь A.C., Мещерин A.C., Новожилов A.C. Математические модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой // Вестник МГУ, сер. 15, Вычислительная математика и кибернетика, №1, 2001 г. Стр. 23-28. Bratus A., Mescherin A. and Novozhilov A. Mathematical Models of Interaction between Pollutant and Environment II Proc. of the conference "Control of Oscillations and Chaos", July, St. Petersburg, Russia, 2000, vol. 3, pp. 569 - 572. Новожилов A.C. Идентификация параметров одной динамической системы, моделирующей взаимодействие загрязнения с окружающей средой // Известия РАН, сер. Теория и системы управления, №3, 2002 г.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы включает 84 страницы текста, 26 рисунков, 5 таблиц. Список цитируемой литературы насчитывает 67 наименований (59 русских и 8 английских).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе сформулирован и проанализирован ряд математических моделей, описывающих процесс взаимодействия загрязнения с окружающей средой. Отличительной чертой этих моделей является наличие функциональных зависимостей, описывающих поглощение и переработку загрязнения живой природой. Дифференциальные математические модели основываются на концептуальной модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой.

В работе показано, что характер поведения фазового потока дифференциальных моделей в точке качественно соответствует поведению кривой деструкции при наличии многократного выброса загрязнения. Анализ систем дифференциальных уравнений отражает тот факт, что может быть нормальное состояние природы, бистабильное состояние и полное вымирание. Естественные модификации математических моделей (использование трофических функций, наличие непостоянного источника загрязнения, учет эффекта Олли) не приводят к неразумным результатам с точки зрения экологической интерпретации данных моделей.

Предполагая неоднородность пространственного распределения концентрации загрязнения и плотности биомассы сформулированы математические модели, описываемые системами полулинейных уравнений с частными производными параболического типа, которые решаются численно. На основе данных экологического мониторинга проведена идентификация параметров распределенной математической модели. В работе приведены зависимости «доза-эффект», полученные с помощью имитационного моделирования процесса взаимодействия. Результаты позволяют сделать вывод, что предложенная математическая модель адекватно отражает динамику плотности биомассы при значительных концентрациях загрязнения.

В результате проделанной работы можно утверждать, что очищающий эффект растительного покрова является существенной чертой рассматриваемой замкнутой системы загрязнение - окружающая среда, который необходимо учитывать при моделировании процесса динамики живой природы с помощью математических моделей.

1. Андерсон Д., Таунхилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. М.: Наука, 1990. 723 с.

2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971. 240 с.

3. Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск, Ижевская республиканская типография, 2000. 400 с.

4. Атмосферная турбулентность и моделирование распространения примесей, под ред. Ф.Т.М. Ньистадта и Ван Допа. Л.: Гидрометиоиздат, 1985. 352 с.

5. Базыкин A.A. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.: Наука, 1985. 443 с.

6. Базыкин А. Д., Кузнецов Ю.А., Хибник А.И. Портреты бифуркаций. М.: Знание, 1989.

7. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990. 488 с.

8. Берлянд М.Е. Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязнения атмосферы. Л.: Гидрометиоиздат, 1975. 448 с.

9. Берлянд М.Е. Прогноз и регулирование загрязнения атмосферы. Л.: Гидрометиоиздат, 1985. 315 с.

10. Берталанфи Л. фон. Общая теория систем обзор проблем и результатов. //Системные исследования, М.: Наука, 1969.

11. Братусь A.C., Мещерин A.C., Новожилов A.C. Математические модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой //Вестник МГУ, сер. 15, Вычислительная математика и кибернетика, №1, 2001. Стр. 23-28.

12. Буй Та Лонг Автоматизация обработки данных в системах геофизического мониторинга на территории Вьетнама. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, М., 1998. 354 с.

13. Бутусов О.Б., Степанов A.M. Анализ и классификация показателей экологического состояния лесных экосистем в районах атмосферного химического загрязнения //Лесоведение, №1, 2000. Стр. 32-38.

14. Бутусов О.Б., Степанов A.M. Моделирование динамики лесных экосистем вблизи порога токсического воздействия медеплавильного комбината //Лесоведение, №6, 2001. Стр. 57-63.

15. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988. 549 с.

16. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. 512 с.

17. Воздействие металлургических производств на лесные экосистемы Кольского полуострова, под ред. Сычева В.В., Санкт-Петербург, 1995. 252 с.

18. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 286 с.

19. Галицкий В.В., Комаров A.C. Численное моделирование динамики популяции растений //Нелинейные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Наука, 1987. с. 103-155.

20. Гудариан Р. Загрязнение воздушной среды. М.: Мир, 1979. 200 с.

21. Динамическая теория биологических популяций под ред. Гиммельфарб A.A., М.: Наука, 1974.

22. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. JI.: Машиностроение, 1974. 336 с.

23. Израэль Ю.А. Экология и контроль состояния природной среды. JL: Гидрометиоиздат, 1984. 560 с.

24. Илькин Г. М. Загрязнение атмосферы и растений. Киев, Наукова Думка, 1978. 248 с.

25. Карев Г.П., Березовская Ф.С. Дифференциальные уравнения в математических моделях. М., 2000. 136 с.

26. Колмогоров А.Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяций //Проблемы кибернетики, 1972, вып. 25.

27. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. 624 с.

28. Комплексная оценка техногенного воздействия на экосистемы южной тайги под ред. Степанова A.M., M., 1992. 246 с.

29. Крапивин В.Ф., Свирежев Ю.М., Тарко A.M. Математическое моделирование глобальных биосферных процессов. М.: Наука, 1982. 272 с.

30. Кумль К., Оя Т. Структура физиологических моделей роста деревьев //Известия АН ЭССР, Биология, 1984. Т. 3, №1. с. 33-41.

31. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

32. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 735 с.

33. Математическое моделирование жизненных процессов. М.: Мысль, 1968.

34. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. 536 с.

35. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. 320 с.

36. Марчук Г.И., Кондратьев К.Я. Приоритеты глобальной экологии. М.: Наука, 1992.

37. Моисеев H.H. Экология человечества глазами математика. М.: Молодая гвардия, 1988. 254 с.

38. Моисеев H.H. Человек ноосфера. М.: Молодая гвардия, 1990. 352 с.

39. Монин A.C., Красицкий В.П. Явления на поверхности океана. JL: Гидрометиоиздат, 1985. 375 с.

40. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. М.: Наука, ред. Физико-математической литературы, 1994. 192 с.

41. Новожилов A.C. Идентификация параметров одной динамической системы, моделирующей взаимодействие загрязнения с окружающей средой //Известия РАН, сер. Теория и системы управления, №3, 2002 г.

42. Одум Ю. Основы экологии. М.: Мир, 1975.

43. Подбельский В.В. Язык С++. М.: Финансы и статистика, 1996. 560 с.

44. Полетаев И.А. О математических моделях биогеоценозов //Проблемы кибернетики, 1966, вып. 16.

45. Рачко П. Имитационная модель динамики роста дерева как элемента биогеоценоза IIПроблемы кибернетики. М.: Наука, 1979. Вып. 52, с. 73 110.

46. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических процессов. М.: МГУ, 1993.

47. Розенберг Г.С. Модели в фитоценологии. М.: Наука, 1984. 240 с.

48. Смит Дж. Модели в экологии. М.:, Мир, 1976.

49. Смит У.Х. Лес и атмосфера. М.: Прогресс, 1985. 430 с.

50. Тарко A.M., Ведюшкин М.А., Писаренко М.Ф., Татаринов Ф.А. Моделирование воздействия промышленных загрязнений на лесные экосистемы //Сообщения по прикладной математики, ВЦ АН СССР., М.: ВЦ АН СССР, 1987. 20 с.

51. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736 с.

52. Тоорминг Х.Г. Солнечная радиация и формирование урожая. Д.: Гидрометиоиздат, 1980. 134 с.

53. Федоров Е.К. Экологический кризис и социальный прогресс. Д.: Гидрометиоиздат, 1977.

54. Федоров В.Д., Гильманов Т.Г. Экология. М.: МГУ, 1980.

55. Федорюк M.B. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука,1985. 498 с.

56. Форрестер Дж. Мировая динамика. М.: Наука, 1978.

57. Хлебопрос Р.Г., Фет А.И. Принятие решений в экономике, экологии, политике. Модели катастроф. Новосибирск, 1999. 345 с.

58. Шмальгаузен И.И. Кибернетические вопросы экологии. Новосибирск, 1968.

59. Bratus A., Mescherinand A. and Novozhilov A. Mathematical Models of Interaction between Pollutant and Environment //Proc. of the conference "Control of Oscillations and Chaos", July, St. Petersburg, Russia, vol. 3, p. 569 572.

60. Botkin D.B., Janack J.F. and Wallis J.R. Some ecological consequences of a computer model of forest growth //Journal Ecology, 1972. Vol. 60, №5, p. 849 872.

61. Effects of air pollutants on terrestrial ecosystems in the border area between Russia and Norway. Proceedings from the first symposium, Svanvik, Norway, Oslo, STF, 1992. 220 p.

62. Hutchinson G. E. The ecological theater and the evolutionary play. New Haven, Conn., 1965.

63. Kuznetsov Yu.A. Elements of Applied Bifurcation Theory. Applied Math. Sei, V.112. New-York: Springer-Verlag, 1995. 495 p.

64. Meadows D.N., Meadows D.L., Rangers J. and Behrens W.W. The Limits to Growth. New-York, Universe book, 1972.

65. Murry J. D. Mathematical biology. New-York: Springer-Verlag, second edition, 1996. 736 p.

66. Verhulst F. Nonlinear differential equations and dynamical systems. New-York, SpringerVerlag, 1996. 303 p.