автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование динамики частиц в дарвинской плазме

004616195

На правах рукописи

Коломиец Дмитрий Олегович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ЧАСТИЦ В ДАРВИНСКОЙ ПЛАЗМЕ

.13.18- математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 9 ЛЕК 2010

Москва - 2010 г.

004616195

Работа выполнена на Физическом факультете

Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доцент Бородачёв Леонид Васильевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Трубецков Михаил Кириллович, Научно-исследовательский вычислительный центр МГУ имени М.В. Ломоносова,

доктор физико-математических наук Галанин Михаил Павлович,

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН.

Ведущая организация:

Учреждение Российской академии наук Институт космических исследований РАН.

Защита состоится 17 декабря 2010 г. в 17 часов на заседании диссертационного совета Д 501.002.09 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 4, НИВЦ МГУ, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИВЦ МГУ.

Автореферат разослан «£»

Ученый секретарь диссертационного совета

Суворов В.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В настоящее время одним из наиболее мощных инструментов численного анализа кинетики плазмы является метод макрочастиц (ММ). Однако, его практическое приложение предъявляет исключительные требования к ресурсам вычислительной системы, во многом определяемые условием численной корректности метода - необходимостью одновременного учета ограничений на временной шаг как полевых, так и динамических схем, удовлетворяя наиболее жесткому из них - полевому. Поскольку основные вычислительные затраты в ММ относятся к продвижению зарядов, использование неадекватно мелкого шага по времени при интегрировании уравнений движения приводит к существенным вычислительным потерям. Ситуация усугубляется в большом классе низкочастотных явлений плазмы, где формальный учет свободных электромагнитных волн в системе уже предполагает излишнее дробление временной шкалы аппроксимируемых полевых уравнений.

Эта проблема находит разумное разрешение в самосогласованной модели Власова-Дарвина, которая, исключая эффекты излучения, достоверно воспроизводит индукционные эффекты. Однако, сочетание незапаздывающего характера модели и гиперболического вида ее уравнений поля приводит к развитию актуальной паразитной неустойчивости при любой явной конечно-разностной аппроксимации последних. Использование современной методики решения дарвинских уравнений, основанной на их эллиптической переформулировке, снимает указанное несоответствие, а вместе с ним и ограничение полевого шага по времени. Естественным представляется желание избавиться и от ограничения на временной динамический шаг, что обуславливает переход на неявные разностные схемы в процедуре численного интегрирования уравнений движения частиц.

Вместе с тем, несмотря на появление многопроцессорных ЭВМ и определенные успехи в дискретной интерпретации дарвинского (магнитоиндукцион-ного) формализма, острота вопросов его практического приложения остается. Это обусловлено многократным усложнением сегодняшних, постановок задач, где обычно необходимо разрешать как мелкомасштабные и быстрые процессы электронной компоненты, так и крупномасштабные и медленные процессы ионной составляющей. Последнее требует совмещения протяженной счетной области с мелкоячеистой пространственной сеткой. При этом необходимость сохранения консервативных и бесстолкновительных свойств системы предполагает достаточно большую модельную плотность частиц (порядка 10" на измерение сеточной ячейки). Следовательно, даже для двумерных постановок это приводит к общему числу используемых макрочастиц порядка Ю10 с соответствующими требованиями к машинным ресурсам.

Таким образом, разработка эффективных вычислительных алгоритмов для дискретных (по ММ) безызлучательных моделей плазмы, наряду с их эффективной программной реализацией на многопроцессорных платформах является весьма актуальной.

Цель работы

Конкретными целями диссертации являются:

• исследование экономичной неявной схемы разностного интегрирования динамических уравнений в дискретной модели Власова-Дарвина;

• построение на ее основе эффективного дискретного 2.5-мерного параллельного вычислительного алгоритма;

• его оптимальная реализация на мультипроцессорных ЭВМ с распределенной памятью в рамках программного кода;

• проведение компьютерных экспериментов по изучению низкочастотной электромагнитной (вайбелевской) неустойчивости.

Результаты, выносимые на защиту

1. Реализована оптимизированная неявная схема разностного интегрирования динамических уравнений частиц в многомерной, несимметричной по фазовой геометрии дискретной самосогласованной модели плазмы с дарвинским (безызлучательным) приближением электромагнитных полей.

2. Исследованы численные свойства и физическая корректность указанной схемы. Показано, что она согласована с дифференциальным аналогом, имеет второй порядок точности и безусловно устойчива. Доказана адекватность передачи схемой основных физических эффектов, связанных с движением заряда в различных пространственно-временных конфигурациях электромагнитного поля. Все аналитические выкладки подтверждены методическими расчетами в рамках тестовых экспериментов.

3. В рамках технологии параллельных вычислений на мультипроцессорных ЭВМ с распределенной памятью проведен анализ методик эффективной программной реализации дискретных плазменных алгоритмов. С учетом его выводов на базе разработанной процедуры численного расчета динамики частиц построен 2.5-мерный прикладной код Эаг^Ут, адаптируемый к аппаратным платформам различного класса.

4. Выполнены численные исследования низкочастотной электромагнитной (вайбелевской) неустойчивости в рамках 1.5-мерной фазовой геометрии. Показана общая динамика процесса, выявлена его линейная и нелинейная стадии; найдено численное значение инкремента неустойчивости, которое с большой точностью совпало с аналитическим прогнозом; получены фазовые портреты системы, позволившие наглядно продемонстрировать теоретически предсказанное наличие трех характерных групп частиц, имеющих схожие траектории движения и собственные области локализации.

5. Выполнены численные расчеты по изучению вайбелевской неустойчивости (ВН) в 2.5-мерной фазовой геометрии. Проведенные компьютерные

5

эксперименты позволили выявить ранее неизвестные зависимости базовых параметров неустойчивости (времени развития и максимальной энергии магнитного поля) от величины параметра анизотропии среды, детально проследить структурную перестройку системы токовых жгутов на этапе ее стагнации и общую эволюцию исходной анизотропии электронной компоненты плазмы.

Научная новизна

Использование в численных исследованиях бесстолкновительной плазмы самосогласованного магнитоиндукционного формализма в силу сложности построения численных алгоритмов по ММ на его основе до сих пор ограничивалось лишь простейшими одномерными по пространству постановками.

В настоящей работе реализованы эффективные процедуры численного решения динамических уравнений многомерной, несимметричной по фазовой геометрии модели Власова-Дарвина. Исследована и оптимизирована применительно к безызлучателыгому приближению полей методика распараллеливания дискретных плазменных алгоритмов, ориентированных на вычислительные платформы с распределенной памятью. На ее основе построен параллельный программный код, реализующий самосогласованную 2.5-мерную безызлуча-тельную (дарвинскую) модель плазмы.

В рамках практического приложения кода проведены многомерные численные расчеты по изучению низкочастотной электромагнитной (вайбелевской) неустойчивости, где впервые детально прослежена ее эволюцию в многомодо-вом режиме и получен ряд зависимостей ключевых параметров неустойчивости от величины анизотропии начального распределения электронов.

Научная и практическая значимость

Примененный алгоритм расчета многомерной динамики частиц дарвинской плазмы существенно обогащает общую практику эффективной реализации метода макрочастиц в рамках технологии параллельных вычислений.

Построенный на его основе, как одном из базовых элементов, программный комплекс Ваг\Уш является мощным, универсальным инструментом кинетического моделирования низкочастотной многокомпонентной бесстолкнови-тельной плазмы. Он может быть использован как для численного изучения фундаментальных проблем, так и для решения прикладных задач в области взаимодействия поля с веществом и физики земной магнитосферы.

Результаты, полученные на основе численных экспериментов по вайбе-левской неустойчивости (ВН), представляют большой научно-практический интерес в силу ее общего характера и многообразия проявлений. Например, ВН играет большую роль и в плотной квантовой плазме, являясь одним из механизмов генерации нестационарных магнитных полей в компактных астрофизических объектах, и в практических экспериментах по лазерному термоядерном}' синтезу, где она проявляется как один из факторов, существенно влияющих на интенсивность перекачки волновой энергии в плазму мишени в режиме аномального скин-эффекта.

Достоверность полученных результатов

Численная и физическая корректность реализованной неявной схемы интегрирования динамических уравнений частиц исследована аналитически и подтверждена рядом методических расчетов, в ходе которых на основе тестовых задач показана адекватность передачи предложенной схемой основных физических эффектов, связанных с движением заряженных частиц в электромагнитном поле.

Сопоставление результатов дарвинского моделирования вайбелевской неустойчивости с теоретическими прогнозами и данными аналогичных компь-

ютерных экспериментов на базе полной электромагнитной модели плазмы позволяет сделать вывод о высокой достоверности полученных результатов.

Апробация работы

Результаты настоящей работы были представлены и обсуждались на различных международных и российских конференциях и семинарах: Международная конференция «Тихонов и современная математика», Москва, 2006 г. Доклад: «Оптимизация неявной схемы интегрирования динамических уравнений частиц в дарвинской модели плазмы»; международная конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу, секция «Физические процессы в низкотемпературной плазме», Звенигород, 2007 г. Доклад: «Моделирование вайбелевской неустойчивости в рамках низкочастотного (дарвинского) приближения плазмы»; конференция по программе «Плазменные процессы в солнечной системе», секция «Нелинейная динамика в хвосте магнитосферы», Институт космических исследований РАН, Москва, 2007 г. Доклад: «Некоторые аспекты численной реализации Дарвинского приближения плазмы»; Ломоносовские чтения, подсекция «Теоретическая и математическая физика», МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 2009 т. Доклад: «Расчет фазовых траекторий в дискретной модели Власова-Дарвина»; «Физика плазмы в солнечной системе», секция «Теория физики плазмы», Москва, 2010 г. Доклад: «Кинетическое моделирование вайбелевской неустойчивости»; научный семинар кафедры математики Физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, (рук. проф. Бутузов В.Ф); научный семинар «Вычислительные методы и математическое моделирование» 11 отдела ИПМ им. М.В. Келдыша РАН (рук. член-корр. РАН Попов Ю.П., проф. Галанин М.П.); научный семинар «Космическая электродинамика и теория динамо» НИВЦ МГУ (рук. проф. Соколов Д.Д.); научные семинары отдела Физики космической плазмы (№54) Института космических исследований РАН (рук. акад. РАН Зелёный Л.М.).

Личный вклад автора

Результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно под руководством научного руководителя.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из «Ведения», 4 глав, «Заключения» и «Приложения». Объем диссертации - 83 страницы. Библиография включает в себя 51 печатную работу. Диссертация содержит 19 рисунков.

Публикации

По результатам настоящей работы опубликованы 3 статьи в реферируемых журналах:. Список работ приведен в разделе «Публикации по теме диссертации» настоящего автореферата.

Содержание работы

Во введении коротко описывается концепция дискретного кинетического моделирования бесстолкновительной плазмы, дается краткий обзор основных работ по данной тематике, обозначаются основные преимущества метода макрочастиц как основного в данной области моделирования, освещается ряд трудностей, связанных с его численной и программной реализацией в рамках низкочастотного (дарвинского) приближения, дается обоснование актуальности исследований проводимых в настоящей работе.

Глава I посвящена представлению безызлучательной плазменной модели, в рамках которой эволюция функции распределения зарядов в фазовом пространстве определяется уравнением Власова:

Рис. 1. Электричекий дрейф. Сплошной линией показано аналитическое решение, три другие линии показывают результат численного расчета траектории частицы при различных значениях шага по времени т. Параметры задачи: В —

{0,0,1}[ти/д), Ё = {0,0.25,0} [тси/?], Щ = {0.1,0}[гьи/27г], Г0 = 0 г е [0,21][2?г/и], я/т = 1.

а внутренние поля определяются системой уравнений Дарвина из источников, обусловленных самой функцией распределения, т.е. являются самосогласован-

Приводятся ссылки на основные работы, посвященные численным методам решения уравнений движения частиц в рамках самосогласованного подхода; обозначаются основные проблемы существующих разностных схем в контексте дарвинского приближения электромагнитных полей. Демонстрируется положенный в основу метода макрочастиц подход к дискретизации уравнения Власова, фактически реализующий переход к уравнениям его характеристик -динамическим уравнениям частиц:

Описывается долевая система уравнений Дарвина, приводятся её характерные свойства и обозначаются основные преимущества. Освещается ряд трудностей, связанных с построением численного решения дарвинских уравне-

ными:

1 = 1,2,...,^.

ний в рамках дискретной самосогласованной модели, а также приводится описание методики, основанной на эллиптической переформулировке уравнений, позволяющей их преодолеть.

В главе II на базе неявных разностных схем практически реализуется подход к построению абсолютно устойчивых, экономичных дарвинских алгоритмов. Обсуждаются вопросы разностной аппроксимации и решения модельных уравнений. Рассматривается неявная схема решения динамических уравнений частиц:

2.0 1.5 1.0 £ 0.5 0.0 -0.5 -1.0

01234567

х [гл]

Рис. 2. Поляризационный дрейф. Сплошной линией показано аналитическое решение, три другие линии показывают результат чиненного расчета траектории частицы при различных значениях шага по времени г. Здесь выбраны те же значения г, что и дм случая мектрического дрейфа, представленного на рис. 1. Параметры задачи: Ё = {0,0.061,0} [тсы/д], В = {0,0,1} [ти/д], ¿5 = {0,1,0} [гьы/г*], I 6 [0,14] ртг/Ц, ?/т = 1-

Показывается согласованность разностной схемы с её дифференциальным аналогом; исследуется вопросы аппроксимации и устойчивости; даются оценки характерной для схемы вычислительной погрешности, связанной с ошибками округления машинной арифметики. Разрабатывается процедура ее численного решения, формально имеющая вид:

Гй = т(нлЗЬ + /*с(я1 + £о)) ,

| - , Щ + щ

|^Г1 = Г0 + Г---,

где матрицы Т и Я представляются в виде:

1+^(В1)2 ^ВЩ+цВ] ?В1В\ - МВ\ 1 +!?{В1)2 №\в\ + ЦВ1

т =

1

1 + ^вЛ

и

^В1В1 + рв; ,№УВ1 1 + м2 (в])2

1 № -¡1В° 1

1

V- =

ЛП—

2тс'

Указываются пути оптимизации соответствующего численного алгоритма.

На основе тестовых задач показывается адекватность передачи рассматриваемой разностной схемой основных физических эффектов, связанных с движением заряженных частиц в электромагнитном поле, в частности, при равноускоренном движении в постоянном электрическом поле, циклотронном вращении в постоянном магнитном поле, при дрейфе в скрещенных: полях (рис. 1) и поляризационном дрейфе в переменном электрическом поле (рис. 2).

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

Р з Л'сри

Рис. 3. Соотношение времен выполнения: различных стадий вычислительного процесса ¿ыоскЛ'йер и суммарное вре-ия одного шага (сплошная линия, масштабная шкала справа) в зависимости от чист процесссоров (ядер).

Глава III посвящена вопросам параллельной реализации метода макрочастиц в дискретной модели Власова-Дарвина. Здесь анализируется эффективности различных методов сегментного разделения вычислительного пространства, в том числе наиболее употребительные на практике: метод декомпозиции области и метод разделения частиц. Обосновывается выбор оптимальной (применительно к магнитоиндукционным алгоритмам) схемы сегментации для кластерного типа супер-ЭВМ.

Дается описание 2.5-мерного дарвинского кода, построенного на базе предложенного алгоритма расчета динамики частиц и реализованного в рамках технологий параллельных вычислений. Приводятся основные параметры, организация и возможности кода. На ряде тестовых просчетов исследуется вопрос его масштабируемости; даются показатели фактической эффективности и ускорения вычислений в зависимости от числа параллельно работающих процессоров. Детально исследуется соотношения времени выполнения различных стадий программы в зависимости от числа процессоров (рис. 3). Полученные характеристики сопоставляются с теоретическими моделями вычислений.

*[1/Ч«1

Рис. 4- Временная зависимость средних плотностей энергии магнитного поля (и'в), кинетической энергии электронов и полной энергии системы

для иу - 0.1 [с], размер расчетной области Ьх — 5.34 [с/и.'рс], параметр начальной анизотропии Л0 — 9.

Глава IV представляет результаты (1.5- и 2.5-мерного) дискретного дарвинского моделирования вайбелевской неустойчивости (ВН), возникающей в плазме с анизотропным распределением температур и относящейся к классу низкочастотных электромагнитных раскачек.

В рамках 1.5-мерной постановки удалось проследить общую динамику процесса, показать характерные черты и временные масштабы его линейной и нелинейной стадий (рис. 4); выявить фазовые портреты системы и выделить три характерные группы частиц, имеющих разные области пространственной локализации, обусловленные значениями их обобщенных импульсов (рис. 5); найти и сравнить численные и аналитические значения инкремента неустойчивости. Полученные результаты совпадают как с выводами линейной теории, так и с данными аналогичных численных исследований на основе полной электромагнитной модели, что, помимо прочего, доказывает безусловную корректность работы построенного кода.

Представляющие самостоятельный научный интерес, 2.5-мерные расчеты позволили существенно уточнить имеющуюся картину классической вайбелевской неустойчивости. Здесь детально исследованы зависимость ее ключевых параметров (характерного времени развития и максимального значения плотности энергии магнитного поля) от величины анизотропии начального распреде-

х

Рис. 5. Основные типы тракторий электронов, характерные для пе^гинейной фазы развития вайбелевской неустойчивости.

У

ления электронов, направленность и характер динамической перестройки системы токовых жгутов (рис. 6), сопровождающей нелинейную стадию неустойчивости. эволюция исходной анизотропии среды. Результаты вычислительных экспериментов сопоставлены с теоретическими оценками и данными подобных численных расчетов, что позволяет говорить об их достоверности.

Рис. 6. Плотность тока и магнитное поле Вху в характерные моменты времени развития вайбелевской неустойчивости в 2.5-мерной постановке для случая До = 9. Размер счетной области: Ьх = Ьу = 25[с/шре]; и, = 0.1 [с]; размер пространственной сетки 256 х 256; 1000 частиц каждого сорта на ячейку: шаг по времени т = 0.25 [1/шре]

t = 10011/^]

В главе подробно изложены физические формулировки и математические постановки задач, детально описаны выбор и уточнение физических и дискретных параметров модели.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

1. Реализована оптимизированная неявная схема разностного интегрирования динамических уравнений частиц в многомерной, несимметричной по фазовой геометрии дискретной самосогласованной модели плазмы с дарвинским (безызлучательным) приближением электромагнитных полей.

2. Исследованы численные свойства и физическая корректность указанной схемы. Показано, что она согласована с дифференциальным аналогом, имеет второй порядок точности и безусловно устойчива. Доказана адекватность передачи схемой основных физических эффектов, связанных с движением заряда в различных пространственно-временных конфигурациях электромагнитного поля. Все аналитические выкладки подтверждены методическими расчетами в рамках тестовых экспериментов.

3. В рамках технологии параллельных вычислений на мультипроцессорных ЭВМ с распределенной памятью проведен анализ методик эффективной программной реализации дискретных плазменных алгоритмов. С учетом его выводов на базе разработанной процедуры численного расчета динамики частиц построен 2.5-мерный прикладной код Оаг-\Viri, адаптируемый к аппаратным платформам различного класса.

4. Выполнены численные исследования низкочастотной электромагнитной (вайбелевской) неустойчивости в рамках 1.5-мерной фазовой геометрии, Показана общая динамика процесса, выявлена его линейная и нелинейная стадии; найдено численное значение инкремента неустойчивости, которое с большой точностью совпало с аналитическим прогнозом; получены фазовые портреты системы, позволившие наглядно продемонстрировать теоретически предсказанное наличие трех характерных групп частиц, имеющих схожие траектории движения и собственные области локализации.

5. Выполнены численные расчеты по изучению вайбелевской неустойчивости (ВН) в 2.5-мерной фазовой геометрии. Проведенные компьютерные эксперименты позволили выявить ранее неизвестные зависимости базовых параметров неустойчивости (времени развития и максимальной энергии магнитного поля) от величины параметра анизотропии среды, детально проследить структурную перестройку системы токовых жгутов на этапе ее стагнации и общую эволюцию исходной анизотропии электронной компоненты плазмы.

Публикации по теме диссертации

Публикации в изданиях из Перечня ВАК:

1. Бородачёв JI.B., Коломиец Д.О. Расчёт динамики частиц в безызлу-чательной модели плазмы. Мат. моделирование, т. 22, №10, с. 83-92, 2010.

2. Бородачёв JIB., Коломиец Д.О. Электронная вайбелсвская неустойчивость плазмы с температурной анизотропией. Вестн. МГУ. Сер. 3, т. 65, №2, с. 14-18,2010.

3. Бородачёв Л.В., Коломиец Д.О., Литвинюк В.В. Численное решение уравнения для соленоидального электрического поля в дарвинской модели плазмы. Вестн. МГУ. Сер. 3, т. 61, №6, с. 14-17, 2006.

Публикации в других научных изданиях:

4. Бородачёв Л.В., Коломиец Д.О. Кинетическое моделирование вайбелевской неустойчивости. Тез. докладов конф. «Физика плазмы в солнечной системе», ИКИ РАН, с. 192, 2010.

5. Borodachev L.V., Kolomiets D.O. Single-species Weibel instability of ra-diationlessplasma. Электронный препринт, arXiv:0910.0361, 2009.

6. Бородачёв Л.В., Коломиец Д.О. Однокомпонентная вайбелевская неустойчивость безызлучательной плазмы. МГУ им. М.В. Ломоносова, Физический факультет, препринт №2/2009, Москва, 2009.

7. Бородачёв Л.В., Коломиец Д.О. Расчет фазовых траекторий в дискретной модели Власова-Дарвина. Тез. докладов конф. «Ломоносовские чтения», с. 162-165, 2009.

8. Бородачёв Л.В., Коломиец Д.О. Некоторые аспекты численной реализации Дарвинского приближения плазмы. Тез. докладов конф. по программе «Плазменные процессы в солнечной системе» (ОФН-16), ИКИ РАН, 2007.

9. Бородачёв Л.В., Коломиец Д.О. Моделирование вайбелевской неустойчивости в рамках низкочастотного (дарвинского) приближения плазмы. Тез. докладов XXXIV международной (звенигородской) конф. по физике плазмы и УТС, с. 237, 2007.

10. Бородачёв Л.В., Коломиец Д.О. Оптимизация неявной схемы интегрирования динамических уравнений частиц в дарвинской модели плазмы. Тез. докладов международной конференции «Тихонов и современная математика», с. 37-38, 2006.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 15.11.2010 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 526. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Введение

Глава I. Метод макрочастиц в модели Власова—Дарвина

1.1 Концепция метода макрочастиц.

1.2 Дискретная аппроксимация динамических уравнений частиц.

1.3 Дарвинское приближение уравнений поля.

Глава II. Численное решение уравнений движения частиц

2.1 Общий вид разностных схем.

2.2 Порядок аппроксимации.

2.3 Устойчивость.

2.4 Процедура решения.

2.5 Физическая адекватность схемы.

2.5.1 Обратимость во времени.

2.5.2 Равноускоренное движение в постоянном электрическом поле

2.5.3 Циклотронное вращение в постоянном магнитном поле

2.5.4 Электрический дрейф в скрещенных полях.

2.5.5 Поляризационный дрейф.

2.6 Численная реализация

2.6.1 Вычислительная погрешность.

2.6.2 Оптимизация итерационного процесса.

2.6.3 Методическое обоснование.

Глава III. Параллельная реализация модели частиц

3.1 Метод декомпозиции области.

3.2 Метод разделения частиц.

3.3 Параллельный подход в дарвинском алгоритме.

3.4 Масштабируемость кода

3.5 Программная реализация.

3.5.1 Технические характеристики кода DarWin.

3.5.2 Входные параметры задачи.

3.5.3 Выходные данные эксперимента.

Глава IV. Численное исследование вайбелевской неустойчивости

4.1 Механизм вайбелевской неустойчивости (ВН).

4.2 Линейная теория неустойчивости.

4.3 Моделирование в 1.5-мерной фазовой геометрии

4.3.1 Постановка численного эксперимента.

4.3.2 Анализ физических результатов.

4.3.3 Особенности траекторий частиц.

4.4 Моделирование ВН в 2.5-мерной фазовой геометрии.

4.4.1 Постановка численного эксперимента.

4.4.2 Обсуждение результатов.

В настоящее время наиболее мощным инструментом численного анализа плазменных систем является кинетическое моделирование методом макрочастиц [1, 2]. Однако, наиболее полно описывая поведение плазмы, метод макрочастиц предъявляет существенные требования к ресурсам вычислительной системы — памяти и производительности. Более того, эту ситуацию не меняет даже тот колоссальный рост вычислительной мощности, который имел место в последние десятилетия, так как с ростом производительности компьютеров одновременно увеличивается и сложность решаемых задач (постоянно повышающиеся требования к реалистичности моделирования и учету тонких физических эффектов приводят к увеличению размерности физических постановок, расширению как временных рамок изучаемых процессов, так и пространственных областей моделирования). Таким образом, всякий раз требования к решаемой задаче подвигают её численную постановку на грань возможностей существующих вычислительных машин. В этой связи разработка эффективных вычислительных моделей, в том числе и на базе метода макрочастиц, остается по-прежнему весьма актуальной.

Процесс моделирования по методу макрочастиц можно разделить на две основные части: интегрирование уравнений движения макрочастиц (нахождение траекторий частиц) и вычисление самосогласованных коллективных полей, связанных с частицами через моменты функции распределения (плотность заряда и плотность тока). Хотя основные вычислительные затраты относятся непосредственно к продвижению зарядов, а вычисление полей занимает существенно меньше времени, вопрос численной эффективности метода макрочастиц как такового необходимо рассматривать в целом, так как принципиальная самосогласованность полей и движения частиц приводит к тому, что вычисления приходится проводить с одновременным учетом ограничений (в основном связанных с параметрами дискретизации уравнений) как полевых, так и динамических схем, естественно, удовлетворяя наиболее жесткому из них. Так, например, наиболее часто используемая в методе макрочастиц модель Власова—Максвелла с явной схемой интегрирования динамических и полевых уравнений накладывает два ограничения на шаг по времени, определяемые условием устойчивости: г < 2/(кс) для полевой схемы, где к — наибольшее волновое число свободного электромагнитного излучения в рассматриваемой системе, с — скорость света, и т < 2/о;ре, где и)рс — электронная плазменная частота, для схемы интегрирования динамических уравнений. Фактически, эти условия определяют максимальный шаг по времени в долях периода наиболее коротковолновой моды излучения (первое условие) и долях периода ларморовских колебаний (второе условие). Поскольку период колебаний свободных электромагнитных волн много меньше периода плазменных колебаний, мы приходим к необходимости использования чрезмерно мелкого шага по времени при интегрировании динамических уравнений, что приводит к существенному увеличению времени счета, не говоря уже о классе низкочастотных явлений, где сам по себе формальный учет излучения приводит к излишнему дроблению временной шкалы.

Таким образом, во многих практически важных задачах физики плазмы, где излучением можно было бы пренебречь, использование полного максвелловского формализма является крайне неэффективным с точки зрения вычислительных затрат. Путь решения данной проблемы лежит в использовании некоторых приближений уравнений Максвелла, пренебрегающих излучением, таких как электростатическое, магнитостатическое и магнитоиндукционное (дарвинское). Наиболее простым и эффективным (с вычислительной точки зрения) из приближений является электростатическое. Однако оно исключает из рассмотрения не только излучение, но и вообще все индукционные эффекты, что сильно ограничивает круг решаемых с его помощью задач. Магнитостатическое приближение используется намного реже, и оно также пренебрегает индукционными эффектами. Наиболее интересной и перспективной моделью является модель Власова—Дарвина, исключающая из рассмотрения лишь свободное излучение, и адекватно воспроизводящая остальные индукционные эффекты (в классическом приближении).

Формально, полевые уравнения Дарвина отличается от максвелловских отсутствием временной производной соленоидальной части электрического поля, что равносильно переходу к мгновенному дальнодействию в системе [3, 4]. Однако, будучи проще полного максвелловского формализма, дарвинский труднее поддается численной интерпретации в рамках самосогласованного подхода. Основной проблемой является несоответствие незапаздывающей природы модели и гиперболической формы уравнений поля. В результате, при любой явной конечно-разностной аппроксимации производной по времени в расчетной области развивается численная неустойчивость. Внешне она проявляется в виде быстро нарастающего паразитного самовозбуждения системы, обусловленного мгновенной взаимоиндукцией соленоидальных электрических полей и токов, что сопровождается резким рассогласованием численного и аналитического решений.

В настоящее время с появлением методики решения дарвинских уравнений поля, основанной на их эллиптической переформулировке, ограничение на временной шаг для полевой системы удалось снять [5-10]. Однако, чтобы в полной мере воепользоваться преимуществом новых методов, желательно также избавиться и от ограничения на временной шаг в схеме интегрирования динамических уравнений. Последнее с необходимостью предполагает переход на неявные разностные схемы решения динамических уравнений.

Вместе с тем, несмотря на определенные успехи, достигнутые в решении указанных выше проблем, острота вопросов практического приложения дискретного моделирования по методу макрочастиц нисколько не уменьшилась даже с появлением многопроцессорных вычислительных машин и суперкомпьютеров кластерного типа. Так, например, при моделировании многокомпонентен плазмы, где ионы являются активной компонентой, а не простым неподвижным фоном, возникает необходимость разрешать как мелкомасштабные и быстрые процессы электронной компоненты, так и существенно более крупномасштабные и медленные процессы ионной составляющей. Это требует, с одной стороны, использования счетной области достаточно протяженной для развития в ней крупномасштабных ионных структур, а, с другой стороны, использования достаточно мелких сеточных и временных шагов для адекватного разрешения тонкой электронной структуры, влиянием которой во многих случаях нельзя пренебречь. Данная проблема приводит к необходимости использования большого числа сеточных узлов (порядка 103 и более на каждое пространственное измерение), а необходимость сохранения консервативных и бесстолк-новительных свойств системы требует использования достаточно большого (порядка 102 и более на измерение) числа модельных частиц в расчете на ячейку (или, что более точно, на дебаевский объем [1, 2]), таким образом, даже для двухмерных постановок это приводит к числу модельных частиц порядка Ю10. Учитывая, что при использовании наиболее экономичных схем второго порядка необходимо хранить на двух временных слоях 5 фазовых координат (2 пространственные координаты и 3 компоненты скорости) каждой из частиц, несложно подсчитать, что для этого потребуется порядка одного терабайта оперативной памяти. Такой объем памяти (равно как и соответствующая вычислительная мощность) недоступен для персональных ЭВМ, где типичным на сегодняшний день является наличие лишь 1-8 гигабайт ОЗУ. Таким образом, проблема эффективной программной реализации метода макрочастиц на многопроцессорных машинах становится крайне актуальной.

К сожалению, на сегодняшний день в арсенале супер-ЭВМ практически отсутствуют программно-аппаратные комплексы, способные эффективно осуществлять автоматическое распараллеливание сложных программных кодов, в частности, на основе метода макрочастиц. Попытка применения автоматизированного подхода к проблеме распараллеливания без учета конкретной структуры вычислительного цикла и специфики обрабатываемых данных чаще всего выливается в крайне неоптимальную структуру межузловых коммуникаций, что сводит на нет эффективность параллельных вычислений в целом.

Для достижения приемлемой эффективности расчетов современные высокопроизводительные комплексы требуют создания кода с явно заданным параллелизмом и тщательно продуманной структурой межузловых коммуникаций. Проблема разработки хорошо масштабируемых кодов является отдельным и весьма сложным направлением исследований, а отыскание наилучшего с точки зрения масштабируемости подхода к той или иной задаче часто крайне осложнено в силу большого числа факторов, влияющих на производительность кода. Кроме того, эффективность параллельного кода может существенно меняется в зависимости как от архитектуры конкретной ЭВМ, так и от топологии и производительности коммуникационной среды, используемой для межузловых взаимодействий. Поэтому в настоящей работе автор ставит перед собой задачу разработки параллельного кода, позволяющего с приемлемой эффективностью решать необходимый круг задач на определенном типе вычислительных систем с распределенной памятью. Рассмотрение всех возможных техник распараллеливания и выявление наилучшей из них выходит далеко за рамки настоящей работы.

Конкретными целями диссертации являются:

• исследование экономичной неявной схемы разностного интегрирования динамических уравнений в дискретной модели Власова—Дарвина;

• построение на ее основе эффективного дискретного 2.5-мерного параллельного вычислительного алгоритма;

• его оптимальная реализация на мультипроцессорных ЭВМ с распределенной памятью в рамках программного кода;

• проведение компьютерных экспериментов по изучению низкочастотной электромагнитной (вайбелевской) неустойчивости.

Материалы диссертации организованы следующим образом.

Заключение

Коротко сформулируем основные результаты, полученные в диссертации и выводимые на защиту.

Реализована оптимизированная неявная схема разностного интегрирования динамических уравнений частиц в многомерной, несимметричной по фазовой геометрии дискретной самосогласованной модели плазмы с дарвинским (безызлучатель-ным) приближением электромагнитных полей.

Исследованы численные свойства и физическая корректность указанной схемы. Показано, что она согласована с дифференциальным аналогом, имеет второй порядок точности и безусловно устойчива. Доказана адекватность передачи схемой основных физических эффектов, связанных с движением заряда в различных пространственно-временных конфигурациях электромагнитного поля. Все аналитические выкладки подтверждены методическими расчетами в рамках тестовых экспериментов.

В рамках технологии параллельных вычислений на мультипроцессорных ЭВМ с распределенной памятью проведен анализ методик эффективной программной реализации дискретных плазменных алгоритмов. С учетом его выводов на базе разработанной процедуры численного расчета динамики частиц построен 2.5-мерный прикладной код Оаг\Л/т, адаптируемый к аппаратным платформам различного класса.

Выполнены численные исследования низкочастотной электромагнитной (вайбе-левской) неустойчивости в рамках 1.5-мерной фазовой геометрии. Показана общая динамика процесса, выявлена его линейная и нелинейная стадии; найдено численное значение инкремента неустойчивости, которое с большой точностью совпало с аналитическим прогнозом; получены фазовые портреты системы, позволившие наглядно продемонстрировать теоретически предсказанное наличие трех характерных групп частиц, имеющих схожие траектории движения и собственные области локализации.

Выполнены численные расчеты по изучению вайбелевской неустойчивости в 2.5-мерной фазовой геометрии. Проведенные компьютерные эксперименты позволили выявить ранее неизвестные зависимости базовых параметров неустойчивости (времени развития и максимальной энергии магнитного поля) от величины параметра анизотропии среды, детально проследить структурную перестройку системы токовых жгутов на этапе ее стагнации и общую эволюцию исходной анизотропии электронной компоненты плазмы.

1. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. М.: с Мир», 1987, 640 с.

2. Бэдсел Ч., Ленгдон А. Физика плазмы и численное моделирование. М.: Энер-гоатомиздат, 1989, 452 с.

3. Нильсон К., Лыоис Г. Модели укрупненных частиц в безызлучательном пределе. В кн.: Управляемый термоядерный синтез. М.: <еМир», 1980, 395-418.

4. Hewett D. W. Elimination of electromagnetic radiation in plasma simulation: the Darwin or magnetoinductive approximation. Space Science Reviews, v. 42, 1985, 29-40.

5. Бородачёв Л. В. К проблеме математического моделирования безызлучательной плазмы. Вестн. МГУ. Сер. 3, т. 34, №4, 1993, 87.

6. Бородачёв Л. В., Мингалёв И. В., Мингалёв О. В. Численное решение дискретной модели Власова—Дарвина на основе оптимальной переформулировки полевых уравнений. Мат. моделирование, т. 18, №11, 2006, 117—125.

7. Бородачёв Л. В. Дарвинское описание самосогласованных электромагнитных полей плазмы и особенности его дискретной интерпретации. МГУ, Физический факультет, препринт №19/2000, 14 с.

8. Бородачёв Л. В. Численная интерпретация полевого описания в дискретной дарвинской модели с неявной схемой расчёта динамики частиц. Мат. моделирование, т. 17, №9, 2005, 53-59.

9. Бородачёв Л. В. Эллиптическое преобразование уравнений поля в неявной безызлучательной модели плазмы. Вестн. МГУ. Сер. 3, т. 61, №1, 2006, 7-10.

10. Бородачёв Л. В., Коломиец Д. О., Литвинюк В. В. Численное решение уравнения для соленоидального электрического поля в дарвинской модели плазмы. Вестн. МГУ. Сер. 3, т. 61, №6, 2006, 14-17.

11. Бородачёв Л. В., Коломиец Д. О. Расчёт динамики частиц в безызлучательной модели плазмы. Мат. моделирование, т. 22, №10, 2010, 83-92.

12. Бородачёв Л. В., Коломиец Д. О. Электронная вайбелевская неустойчивость плазмы с температурной анизотропией. Вестн. МГУ. Сер. 3, т. 65, №2, 2010, 14-18.

13. Borodachev L. V., Kolomiets D. О. Single-species Weibel instability of radiationless plasma. J. Plasma Physics, D01:10.1017/S0022377810000188, 2010.

14. Бородачёв JI. В., Коломиец Д. О., Оптимизация неявной схемы интегрирования динамических уравнений частиц в дарвинской модели плазмы. Тезисы конференции «Тихонов и современная математика», 2006, 37-38.

15. Бородачёв JI. В., Коломиец Д. О., Расчет фазовых траекторий в дискретной модели Власова—Дарвина. Тезисы научной конференции «Ломоносовские чтения», 2009, 162-165.

16. Власов А. А., Теория многих частиц. М.-Л.: Г И ТТЛ., 1950, 348 с.

17. Климонтович Ю. Л. Кинетическая теория неидеального газа и неидеальной плазмы. М.: «Наука», 1975, 352 с.

18. Raviart P.-A., Sonnendrücker Е. A hierarchy of approximate models for the Maxwell equations. Numer. Math, v. 73, 1996, 329—372.

19. Арсеньев A.A. Лекции о кинетических уравнениях. M.: сНаука», 1992, 216 с.

20. Климонтович Ю. Л. Статистическая теория неравновесных процессов в плазме. М.: МГУ, 1964, 288 с.

21. Березин Ю. А., Вшивков В. А. Метод частиц в динамике разреженной плазмы. Новосибирск: «Наука», 1980, 96 с.

22. Бородачёв Л. В. Метод крупных частиц в моделировании разреженной плазмы. МГУ, Физический факультет, препринт №19/2002, 22 с.

23. Darwin C.G. Dynamical Motions of Charged Particles. Phil. Mag., v. 39, 1920, 537-551

24. Brackbill J.U., Forslund D.W. An Implicit Method for Electromagnetic Plasma Simulation in Two Dimensions. J. Comput. Phys., v. 46, No. 2, 1982, 271-308.

25. Hewett D.W., Langdon A.B. Electromagnetic Direct Implicit Plasma Simulation. J. Comput. Phys., v. 72, 1987, 121-155.

26. Кролл H., Трайвелпис А. Основы физики плазмы. M.: сМир», 1975, 528 с.

27. Бородачёв Л. В. Неявная аппроксимация уравнений движения дарвинской модели плазмы. ЖВММФ, т. 30, №6, 1991, 934-939.

28. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: «Наука». Физматлит, 1992, 3-е изд., 424 с.

29. Франк-Каменецкий Д. А. Лекции по физике плазмы. М.: Атомиздат, 1964, 288 с.

30. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П. Численные методы. М.: «Наука», 1989, 608 с.

31. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: «Паукам, 1978, 512 с.

32. Бородачёв JI.B., Мингалёв И. В., Мингалёв О. В. Оптимальная нормализация модели Власова—Максвелла. Вестн. МГУ. Сер. 3, №4, 2001, 42-45.

33. Campbell P.M., Carmona Е. A., Walker D. W. Hierarchical domain decomposition with unitary load balancing for electromagnetic particle-in-cell codes. Proceedings of the Fifth Distributed Memory Computing Conference, 1990, 943-950.

34. Walker D.W. The Hierarchical Spatial Decomposition of Three Dimensional Particle-in-Cell Plasma Simulations on MIMD Distributed Memory Multiprocessors. Oak Ridge National Laboratory, report ORNL/TM-12071, 1992, 20 p.

35. Rice J. R., Vavalis E. A., Yang D. Analysis of a nonoverlapping domain decomposition method for elliptic partial differential equations. J. Comput. and Applied Math. v. 87, 1997, 11-19.

36. Braverman E., Epstein В., Israeli M., Averbuch A. A Fast Spectral Subtractional Solver for Elliptic Equations. J. Sci. Comput., v. 21, No. 1, 2004, 91-129.

37. Braverman E., Israeli M., Averbuch A. A Hierarchical 3-D Direct Helmholtz Solver by Domain Decomposition and Modified Fourier Method. J. Sci. Comput. v. 26, No. 5, 2005, 1504-1524.

38. Антонов А. С. Параллельное программирование с использованием технологи MPI. М.: МГУ, 2004, 71 с.

39. Snir М., Otto S., Huss-Ledermann S., Walker D., Dongarra J. MPI The Complete Reference. Vol. 1. The MPI Core, 2-nd ed. Vol. 2. The MPI-2 Extensions. 1998, 448 p. (Vol. 1), 362 p. (Vol. 2).

40. Chandra R., Menon R., Dagum L., Kohr D., Maydan D., McDonald J. Parallel Programming in OpenMP. Morgan Kaufmann, 2000, 231 p.

41. B.B. Воеводин, Вл.В. Воеводин. Параллельные вычисления. СПб.: <.БХВ-Петербург», 2002, 608 с.

42. Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивостей. М.: Атомиздат, 1975, 272 с.

43. Weibel Е. S. Spontaneously Growing Transverse Waves in a Plasma Due to an Anisotropic Velocity Distribution. Phys. Rev. Lett, v. 2, 1959, 83—84.

44. Morse R. L., Nielson C. W. Numerical Simulation of the Weibel Instability in One and Two Dimensions. The Physics of Fluids, v. 14, No. 4, 1971, 830-840.

45. Lemons D. S., Winske D., Gary S. P. Nonlinear theory of the Weibel instability. J. Plasma Phys., v. 21, part 2, 1979, 287-300.

46. Davidson R. C., Hammer D. A. Nonlinear Development of Electromagnetic Instabilities in Anisotropic Plasmas. The Physics of Fluids, v. 15, No. 2, 1972, 317— 333.

47. Pukhov A., Meyer-ter-Vehn J. Relativistic Magnetic Self-Channeling of Light in Near-Critical Plasma: Three-Dimensional Particle-in-Cell Simulation. Phys. Rev. Lett, v. 76, No. 21, 1996, 3975-3978.

48. Yoon P. H., Lui A. T. Y. Nonlocal ion-Weibel instability in the geomagnetic tail. J. Geophys. Res., v. 101, No. A3, 1996, 4899-4906.

49. Davidson R. C., Startsev E. A., Kaganovich I., Qin H. Multispecies Weibel Instability for Intense Ion Beam Propagation Through Background Plasma. Proceedings of PA С 2005, 2005, 1952-1954.

50. Tsintsadze L. N., Shukla P. K. Weibel instabilities in dense quantum plasmas. J. Plasma Phys., v. 74, No. 4, 2008, 431-436.

51. Воеводин В. А., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: с Наука», 1984, 320 с.