автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование установления заряда и потенциала нано- и микрочастиц в плазме

На правах рукописи

СЫСУН АЛЕКСАНДР ВАЛЕРЬЕВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТАНОВЛЕНИЯ ЗАРЯДА И ПОТЕНЦИАЛА НАНО- И МИКРОЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

003453Б1и

Петрозаводск - 2008

003453610

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования ПЕТРОЗВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Воронин Анатолий Викторович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Жабко Алексей Петрович кандидат технических наук, доцент Белый Евгений Константинович

Ведущая организация: Институт прикладных математических

исследований КарНЦ РАН

Защита диссертации состоится « 12 » декабря 2008 г. в /Ь'''часов на заседании диссертационного совета Д 212.190.03 при Петрозаводском государственном университете по адресу: 185910, Петрозаводск, пр. Ленина, д. 33.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Петрозаводского государственного университета.

Автореферат разослан « {0 » ноября 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Поляков В.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы: Исследования поведения частиц нано- и микроразмеров в плазме и их влияния на свойства плазмы активно проводятся с середины 90-х годов, когда был экспериментально открыт «пылевой кристалл» - упорядоченная кристаллическая структура пылевых частиц в плазме. Важность этих исследований обусловлена необходимостью понять закономерности образования плазменных кристаллов, а также тем, что плазменные кристаллические образования имеют ряд интересных свойств, перспективных для практического применения.

Наибольшие перспективы имеет создание пылевых кристаллов с заданными свойствами в плазменных нанотехнологиях микроэлектроники. Так при плазменном травлении и осаждении элементов микроэлектроники происходит образование неупорядоченных структур частиц микронных и субмикронных размеров, выпадение которых приводит к дефектам полученных устройств. С другой стороны, при контролируемом и управляемом процессе создания пылевых структур можно получать наноматериалы с новыми свойствами.

Несмотря на целый ряд теоретических работ, посвященных общим свойствам пылевой плазмы и коллективным явлениям в ней (пылевой звук, волны, возмущения различного типа), закономерности создания самой структуры и установления межчастичного расстояния не выяснены. Наличие в пылевой плазме большого числа взаимовлияющих и конкурирующих процессов делает ее трудной для аналитического изучения. Поэтому большую роль в изучении пылевой плазмы играет математическое моделирование и численные эксперименты. Таких работ весьма мало, они проведены для отдельных размеров частиц, параметров плазмы и заданного межчастичного расстояния и не позволяют установить закономерности создания пылевой структуры. Кроме того, в большинстве работ не учитывается образование ионов в межчастичной области, а ионный поток задается извне.

Таким образом, построение более адекватных математических моделей для процессов, происходящих вблизи пылевой частицы и проведение численного эксперимента для большого числа комбинаций параметров частиц и плазмы для выявления закономерностей структурного упорядочения пылевых частиц и установления межчастичного расстояния является актуальным.

Цель работы заключается в разработке математических моделей процессов, происходящих в плазме в присутствии пылевой частицы, в проведении численного эксперимента для большого числа параметров частиц и плазмы с целью выявления закономерностей заряда пылевых частиц и установления межчастичного расстояния.

Научная новизиа работы состоит в том, что впервые:

1. Разработаны математические модели процессов, протекающих в плазме в присутствии пылевой частицы, учитывающие в комплексе: уход заряженных частиц плазмы на пылевую частицу в самосогласованном электрическом поле, их рождение за счет ионизации в окрестности частицы со случайными положениями и скоростями, соответствующими максвеллов-скому распределению, столкновение их с атомами газа со случайной длиной пробега, соответствующей Пуассоновскому распределению, обмен частиц между ячейками соседних пылевых частиц в сферической одномерной и цилиндрической двумерной геометрии, соответствующим объемным и линейным структурам.

2. Разработаны алгоритмы этапов моделирования вышеописанных процессов, обеспечивающие высокую точность и устойчивость, а также уменьшение времени счета.

3. Проведен численный эксперимент для большого набора безразмерных, относительных параметров: размеров пылевых частиц, межчастичного расстояния, средней длины пробега и температуры ионов. В зависимостях заряда и потенциала пылевой частицы от межчастичного расстояния найдены максимумы, положение которых соответствует практически устанавливающемуся межчастичному расстоянию. Для распределения потенциала получены аппроксимирующие аналитические выражения.

Практическая значимость работы

• Созданы эффективные алгоритмы расчета параметров объемной и линейной пылевых структур в плазме.

• Получена важная информация о состоянии пылевой структуры в плазме при различных условиях, способствующая развитию представлений о механизмах формирования плазменных кристаллов.

• Полученный критерий установления межчастичного расстояния позволяет определить условия образования пылевой структуры в плазме и ее параметры.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Одномерная и двумерная математические модели расчета параметров объемных и линейных пылевых структур в плазме.

2. Алгоритмы хаотического старта, перебора зарядов и взвешивания при раздаче зарядов и полей, разыгрывания длины пробега ионов, учета ионизации, схемы интегрирования уравнения движения ионов и уравнения Пуассона для потенциала, перенормирование зарядов на каждом временном шаге.

3. Полученные зависимости заряда, потенциала и потенциальной энергии пылевой частицы от межчастичного расстояния и критерий его установления.

4. Аналитические аппроксимации распределения потенциала по радиусу, заряда и потенциальной энергии пылевой частицы.

Апробаиия работы: Основные результаты диссертационной работы были доложены на: заочной электронной конференции «Фундаментальные исследования», проводимой Российской академией естествознания (РАЕ), 20-25 февраля 2005 г., VI международной научно-технической конференции «Компьютерное моделирование 2005» 28 июня - 2 июля 2005 г., Санкт-Петербург, Россия, Второй международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» 7-9 февраля 2006 г., Санкт-Петербург, Россия, IV конференции «Фундаментальные и прикладные исследования. Образование, экономика и право», Ртиши, Италия, 9-16 сентября 2006 г., VII заочной конференции «Успехи современного естествознания», проводимой Российской академией естествознания (РАЕ), 5-7 сентября 2006 г., Заочной электронной конференции «Математическое моделирование», проводимой Российской академией естествознания (РАЕ), 15-20 сентября 2006 г., Всероссийской (с международным участием) конференции «Физика низкотемпературной плазмы-2007» 24-28 июня 2007 г., Петрозаводск, Россия.

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликованы 12 статей и материалов конференций, в том числе две статьи в ведущих рецензируемых научных журналах.

Вклад автора. Все разработки и результаты проведены в 2004-2008 годах непосредственно автором. В коллективных работах автору принадлежит основное содержание, изложенные в диссертации выводы и защищаемые положения.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы и четырех приложений. Общин объем работы составляет 137 страниц, из них 109 стр. основного текста, включая 32 рисунка и 11 таблиц. Список литературы содержит 85 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, научная новизна и практическая значимость.

Глава 1 содержит обзор опубликованных данных по параметрам плаз-менно-пылевых кристаллов и условиям их существования. Показана растущая монотонная зависимость межчастичного расстояния от размеров частиц. Между тем, существующие аналитические модели зарядки пылевой частицы не учитывают конечное значение межчастнчно! о расстояния, не объясняют образование устойчивой структуры и могут служить только предельными оценочными приближениями.

Другим подходом являются модели молекулярной динамики, когда вокруг пылевой частицы вводится конечное число крупных ионов с начальными тепловыми скоростями и затем производится расчет их движения

с одновременным расчетом электрического поля, создаваемого самими этими частицами [2-5]. Однако таких работ очень мало, расчет обычно ведется для отдельных конкретных параметров плазмы без их перевода для общности в безразмерный вид и, самое главное, в них не учитывается объемная ионизация, восполняющая уход ионов, а размер расчетной области фиксируется и не изменяется, что не позволяет определить влияние межэлектродного расстояния на процессе установления заряда пылевой частицы.

Учет этих факторов требует разработки соответствующей модели, применимой для массовых вычислений с большим числом частиц и большого числа сочетаний исходных параметров, включая изменение межчастичного расстояния для определения критерия его установления.

Таким образом, можно сформулировать следующие задачи исследования:

• Разработка математической модели пылевой структуры в одномерной сферической счетной ячейке по объему равной объемной ячейке Зейт-ца-Вигнера, аппроксимирующую объемную кристаллическую структуру.

• Разработка математической модели пылевой структуры в двумерной цилиндрической геометрии, хорошо аппроксимирующей нитевидные плазменные кристаллы.

• Учет в модели рождения ионов в результате ионизации в объеме ячейки с максвелловским распределением по скоростям, столкновения ионов с атомами с разыгрываемой случайной длиной пробега, движения ионов за время между столкновениями в самосогласованном электрическом поле, определяемом на каждом временном шаге, поглощения ионов пылевой частицей и зеркальное их отражение на внешней границе ячейки.

• Разработка новых и совершенствование существующих алгоритмов моделирования с целью сокращения машинного времени при моделировании большого числа частиц (до 107).

• Проведение численного эксперимента для расширенного набора этих параметров при различных межчастичных расстояниях для последующего определения критерия образования кристаллических структур и установления в них межчастичного расстояния.

• Сравнение полученных результатов с экспериментальными данными и имеющимися теоретическими моделями.

Вторая глава посвящена разработке одномерной модели молекулярной динамики.

Счетная ячейка представляет собой сферу с радиусом, соответствующем объему плазмы, приходящемуся на одну пылевую частицу. На внешней границе счетной области, учитывая, что она окружена аналогичными областями других окружающих пылевых частиц, принимаем потенциал и его градиент равным нулю. Счетную область разбиваем на секции с узлами по радиусу. Начальное состояние считаем невозмущенным с нулевым

зарядом пылевой частицы и равными концентрациями электронов и ионов пе = Щ = "о- Пылевая частица как бы вводится в невозмущенную плазму. Электроны и ионы плазмы со своими тепловыми скоростями будут попадать на частицу, передавая ей свой заряд. Электроны, имея существенно меньшие массы, но большие скорости, будут чаще попадать на частицу чем ионы. Частица будет заряжаться отрицательно, отталкивая электроны и притягивая ионы, пока не установится равновесие с равным электронным и ионным током. Для электронной компоненты вследствие отталкивающего поля частицы можно принять больцмановское распределение с концентрацией пе = п0ехр Ионную компоненту заменяем конечным числом

крупных ионов, движение которых подсчитываем во времени согласно уравнениям движения совместно с расчетом потенциала, определяемого текущим распределением зарядов.

I I N

.-1 I I I I I I I I I I I I I ^

а Г| гс

Рис. I. Гексагональная структура пылевого кристалла и область моделирования в одномерном случае; а - радиус частицы, г0 - радиус счетной области, г, - радиус ("" секции.

Основными этапами моделирования являются:

Шаг I. Задание начального состояния. Здесь необходимо распределить ионы по секциям, назначив их координаты и скорости, соответствующие максвелловскому распределению. Также необходимо разыграть длины их пробега.

Шаг 2. По электронному току на пылевую частицу 1е подсчитываем необходимую частоту ионизации 2, производимую одним электроном для компенсации ухода электронов: Z = /е/—где (}е - полный заряд электронов в ячейке.

Шаг 3. Увеличиваем время на интервал ДС, за время Д£ в узлах сетки за счет ионизации увеличивается концентрация йni = 2пеД£.

Шаг 4. Решение уравнения Пуассона для потенциала в узлах и на пылевой частице.

Шаг 5. Раздача сил, т.е. определение градиента — потенциала на всех dtp

ионах, при известных — в узлах сетки.

Шаг 6. Решение уравнения движения ионов. Определение новых скоростей и координат ионов.

Шаг 7. Проверка на уход ионов на пылевую частицу и отражение на внешней границе. При координате иона гк < а ион убирается, при гк > г0 изменяется знак радиальной скорости vr.

Шаг 8. Проверка путей, прошедших каждым ионом на прохождение его длины пробега ¿¡. Если да, то скорость иона надо снова разыгрывать по Максвеллу.

Шаг 9. Раздача заряда, т.е. определение концентрации ионов в узлах по реальным координатам и зарядам ионов.

Шаг 10. Рождение новых ионов. При достижении добавочной за счет ионизации концентрации ионов в узлах до заданной величины, добавочную концентрацию обнуляем, но в узел вводим новый ион с соответствующим зарядом. Разыгрываем начальную скорость новых ионов в соответствие с распределением Максвелла и индивидуальную длину пробега. Шаг 11. Возвращаемся к шагу 2 до достижения установления стационарного состояния, после чего вычисление необходимых данных, подготовка к выводу и вывод. Время установления стационарного состояния определяется отсутствием изменения потенциала пылевой частицы на уровне флук-туаций.

Кроме распределения потенциала и концентрации ионов в узлах, также вычислялись энергия и заряд заряженной пылевой частицы в электрическом поле плазмы:

^ = Q" = -4naE<>d£l-

Рассмотрены отдельные этапы моделирования:

Приведение к безразмерным параметрам. Для возможности использования результатов моделирования вне зависимости от параметров плазмы для каждого конкретного случая и выявления определяющих параметров нами была осуществлена нормировка параметров. Так координата

нормировалась на электронный дебаевский радиус г — где Ад —

^d

д/£0кте/п0е2, а = I, =j-'h = r-

Л д Лд Лд

Нормировка потенциала выглядела следующим образом (р = а концентрации п = —, где п0 - концентрация электронов на границе. Скорость "о _

v кТе

представлялась в виде v = гДе — ионная звуковая скорость,

а переменная времени t = ta>¡ = --t, где <d, = I-1 - ионная плаз-

Лд \ EqM /

менная частота. Соответственно безразмерная частота ионизации предстает

. г в виде А = —.

О),

Уравнение Пуассона в безразмерном виде и уравнение движения макрочастиц:

д2<р' 2 дер'

тт + —;-г-7 - ехр(<р) - п, дг'2 г'дг' н

dv'r _ дер' v'l sin2 в0 • г'о

~dF~ ~ ~дг:+ р '

дг'

v'ro = V'o COS в0, —= v'r,

где v'o, 9а - начальное значение полной скорости и ее угол с радиусом. Таким образом, независимыми параметрами, являющимися исходными

a r0 i, Т,

для моделирования являются: —; —; —; —.

те

При интегрировании уравнений движения многократно производятся операции с шагами по координате h времени At. Для сокращения машинного времени удобно ввести вспомогательные параметры:

_ _ г' _ _ v'Lt дф _ дер' At'2 _ дер' At'2

Г = Р V = h '

Тогда уравнения движения примут вид:

~ дер Ьк — 77 ?

dvr = ~ — + Т3, дг = vr, bk = v{;s\n¿eQ-r¿.

Определение зарядов ионов и их распределение в начальном состоянии. При одинаковых зарядках нонов число ионов в секции также должно быть пропорционально квадрату ее номера. Чтобы число ионов в секции было целое коэффициент пропорциональности тоже должен быть целым, но это приведет к неприемлемо большому общему числу ионов в расчетной ячейке.

В работе предложен следующий простой алгоритм спокойного старта, обеспечивающий минимум общего числа ионов при одинаковости их зарядов и обеспечивающий одинаковую концентрацию заряда по всему объему расчетной ячейки без скачков на границах секций. Первый ион размещаем на определенном заданном расстоянии size от границы пылевой частицы fx = L + size.

Далее расстояние до следующего иона уменьшается обратно пропор-

, иге L2

ционально квадрату радиуса предыдущего иона: гк+1 = гк Ч——5—.

Гк

Размещение нонов продолжается до достижения их радиуса границы счетной ячейки. Докажем, что общее число ионов будет (/V3 — L3)/(3sizc • L2), а плотность будет постоянная по радиусу. Для этого

введем радиальную линейную плотность ионов р(г), обратно пропорциональную расстоянию между ними p(r) = г2/(size • Ll). Общее число ионов

«Ж CN , \J CN r2dr r ч

и плотность будут равны: М = JL p{r)dr = JL —- = — n(rj =

4/^r((i+ip-t3) = 4яа251ге = const- Затем каждому иону всей расчетной области приписываем заряд, равный общему заряду Qe, деленному на число ионов.

Моделирование максвелловского распределения ионов по скоростям и разыгрывание длины пробега ионов. Начальные и образующиеся при ионизации атомов ионы имеют максвелловское распределение по скоростям с температурой атомов Т. При одномерном сферическом случае разыгрываем две координаты: абсолютная скорость 0 < v < оо и ее угол к радиусу О < в < тт.

Функция распределения по углу В есть: /(б) = ^-sin в. Случайный угол в, определяется разыгрыванием случайной величины rand, равномерно распределенной на отрезке [0,1]:

rand = - J sine d0; cos 0, = 1 - 2 rand.

о

Для абсолютной скорости соответствующие выражения имеют вид:

3

My f-Mv2> ¿ex

у.

4

( М \г -MV\

/(у) = 47ГШг] r exp(wJ;

»1 У.

rand = j f(v) dv = ~r=J У2иф (—у2) dy = /¡. о 0

l2T

Безразмерная скорость определяется через у,: v\ = —у,.

у] ~е

Для определения у, по разыгрываемой величине необходимо численное решение /,• с подбором у,-, для осуществления равенства /, = rand. Это затруднительно использовать при численном моделировании большого числа частиц. Нами подобрана аппроксимация равномерно аппроксимирующая /¡-на интервале 0 < у, < 2,5 и дающая близкие к истинным средние и наиболее вероятные значения:

« 1 - ехр(—0,55у2,8); у, « 1,24(- ln(rand)) °'357.

Длина пробега конкретного иона является случайной величиной с экспоненциальным распределением

1 /

где Д0 - средняя длина пробега, определяемая давлением газа.

Формула для разыгрывания /,• будет следующей:

rand = j р(Л) dX = 1 — exp -^-j ;

/, = -Л0 ln(l - rand) = -Л0 In(rand).

Решения уравнения Пуассона для потенциала. После каждого сдвига ионов за временной шаг At необходимо определять потенциал и его градиент в сеточных узлах. В одномерном случае уравнение Пуассона для потенциала представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение 2'° порядка. Однако численное решение такого уравнения затруднено нулевыми начальными условиями, как для потенциала, так и для его производной ф(Го) = = 0, и видом самой функции <р(г) вблизи г0, характери-

зующимся очень слабым изменением <р(г) на дискретном шаге, что может привести к неустойчивостям и ошибкам счета. Известно, что устойчивыми

2 го

порядка является метод Рунге-Кутта 4го порядка и интерполяционно-итерационная схема Адамса [6]. В то же время при моделировании физических задач для уравнения Пуассона часто используется трехточечная аппроксимация производных [7]:

d<Pi ^ <Р,+1 ~ <Pi-1 д2(р, _ <pi+1 +ipi_i-2(pl

Or ~ 2h ; dr2 h2

Тогда уравнение Пуассона в дискретном виде заменяется:

I1 ~ 737)= I1 + т^гу)+ 2cpi + h2(exP <Pi - n')-

Для проверки устойчивости алгоритмов нами проведено тестирование для аналитической зависимости потенциала:

/N — i\2 L <P',-2L

< = <pA—L) 7;n'i = expVi-hHiN-LV

Задавая значение концентрации nf можно последовательно найти <р по всем трем алгоритмам.

Результаты тестирования при числе интервалов по сетке соответственно 100 и 1000 показали, что в обоих случаях наиболее точен метод трехточечной дискретизации производных, затем метод Рунге-Кутта, и менее всего интерполяционно-итерационная схема.

Таким образом, при используемом числе интервалов < 1000 метод трехточечной дискретизации производных в уравнении Пуассона дает и большую точность и меньше вычислительных затрат.

Взвешивание и раздача заряда и полей. Рассмотрим вопрос раздачи зарядов крупных ионов в узлы сетки и раздачи сил из узлов на крупные ионы. Для плоской декартовой и для цилиндрической систем координат он рассмотрен а работах [9, 10]. Заряд в узле i определяется как сумма вкладов от

всех реальных зарядов с координатами гк с помощью форм-факторов или весовых функций, зависящих от расстояния между зарядами и узлом:

41 = ^ - гк). к

Градиент потенциала в месте нахождения заряда также определяется как сумма вкладов от всех узлов с теми же весовыми функциями:

d<Pk = ^ d(piS(i - fk).

Данный алгоритм требует двойного суммирования для каждого узла по всем зарядам и для каждого заряда по всем узлам. Нами предложен другой алгоритм, не требующий такого суммирования. Для этого для каждого заряда вводится номер, соответствующий целой части его радиуса [гк] и при переборе всех зарядов рассматриваются только два узла, между которыми находится заряд:

= Чк ' S(» - rk); qi+1 = qk ■ S(i + 1 - ?\); d<pk = d<p,=[rk] ■ S(i - rk) + d(pui ■ S(i + 1 - fk).

Для доказательства применительности этого алгоритма используем тот факт, что значения форм-факторов отличны от нуля только при расстояниях от заряда до узла, меньших межузлового расстояния. Тогда из всей суммы нужно оставить именно эти заряды. Номер узла, ближайшего к заряду, определяется целой частью радиуса заряда. Этот алгоритм в W/2 раза уменьшает число операций при раздаче заряда и в К/2 раза при раздаче полей.

Теперь рассмотрим методы определения весовых функций S(i — гк). Достаточно простой метод взвешивания - линейное взвешивание, когда заряд представляется в виде облака размером с интервал по координате с однородной плотностью заряда. Здесь:

|i-rk\,npu\l-rk\ < 1 при |t — rk| > 1

4i=irk] = 4k(i + 1 - fk): ft+i = 4k(rk - 0В цилиндрической системе координат кроме линейного рассматривается и квадратичное взвешивание по радиусу [9].

_ . (i + I)2 - rj . _ . rl - i2

- Чк а +1)2 _ t.2; ч<+1 - чк (i + 1)2_f2;

В сферической системе координат примеры взвешивания отсутствуют, но по принципу квадратичного взвешивания можно ввести кубическое взвешивание:

_ - в + " - _ -

- Чк (f +1)3 _ ¿3; 4*1 - Чк +1)3 _ -з;

Для сферической системы нами предложено взвешивание по объемному облаку заряда, аналогично плоскому облаку при линейном взвешивании.

sa-f^g;

При движении заряда объем его облака будет изменяться пропорционально квадрату радиуса.

(с + 0,5)3 - (гк - 0,5)3 . _ _ (rfc + 0,5)3 - (i + 0,5)3 q,=ir"] ~ Чк (гк + 0,5)3 - (rk - 0,5)3: g¡+1 ~ Чк (гк + 0,5)з _ (rt _ 0)5)з

Нами проведено тестирование видов взвешивания для аналитических зависимостей градиента потенциала:

дер 1 dtp 1

дг i2 дг i

Результаты тестирования показали, что наиболее точный результат дает объемное, затем линейное взвешивание. Учитывая, что линейное взвешивание требует примерно в четыре раза меньше арифметических операций, для массовых вычислений мы применяли линейное взвешивание, проводя отдельные проверочные расчеты с взвешиванием по сферическому объемному облаку. Заметим, что квадратичное и кубическое взвешивание при больших вычислительных затратах имеют меньшую точность.

Моделирование движения зарядов.

В безразмерном виде уравнение движения для радиальной скорости имеет вид:

dv' дер' b 2?2

Мы имеем сильную зависимость правой части от радиуса, особенно при малых радиусах. Это требует тщательного анализа точности и устойчивости методов решения уравнен™ движения. Эти вопросы для типового уравнения — = F(r, t) рассмотрены в работах [6,10].

Наиболее точными и устойчивыми являются явная схема с перешагиванием и неявная схема. Явная схема с перешагиванием дает возможность определить новую координату по двум предыдущим г-п+11 = — г(и-1) + pWdt2

Схема имеет ошибку второго порядка малости и устойчива при

IdF I - '/ I < '

— <4 или dt < a / /со ', « a .

drlma дг 'л/ 1

Это условие менее жестко, чем условие не достижения пролета зарядом шага сетки по координате за время dt, что при v'max~l даст dt' < h.

Можно показать, что схеме с перемешиванием эквивалентна удобная простейшая явная схема, требующая знания координаты и скорости только в предыдущий момент времени. Сначала определяется скорость по старым координатам, затем определяется новая координата по новой скорости: v(n+i) _ v(n) + F(n). dt. r(n+» _ r(n> + „(n+i). dt

Другие явные схемы, например, определение новой скорости по старым силам, а новой координаты по усредненной скорости имеют меньшую точность и абсолютно неустойчивы.

Рассмотрим центрированную неявную схему, дающую наименьшие ошибки из неявных схем:

р(п+1) , р(п) v(n+1) , р(п) v{n + l) _ (п) +--dt (п + 1) _ (п) +--dt

2 2 Схема абсолютно устойчива, имеет ошибку второго порядка малости, несколько большую, чем явная схема с перемешиванием, но для ее решения, необходимы итерации, так как неизвестное г(п+1) входит в правую часть при определении Учитывая, что условия устойчивости явной

схемы с перешагиванием и простейшей схемы можно выполнить, предпочтение следует отдать именно этим схемам, как имеющим меньшее число вычислений и большую точность, чем неявная схема.

Рождение новых ионов. Уход зарядов на пылевую частицу должен компенсироваться ионизацией в объеме. Новые заряды надо распределять по секциям пропорционально объему секции (~г,2) и концентрации электронов в ней (~ exp cpi'), что приводит к сильно отличающейся частоте их рождения по секциям. С другой стороны, ввод нового заряда приводит к скачку потенциала в ближайшей к нему области. Нами предложен алгоритм рождения частиц с плавным изменением потенциала по всей расчетной области. Для этого на каждом временном шаге во всех узлах вводится добавочная концентрация заряда, сразу же учитываемая при расчете потенциала An'i = Adt exp <Pi'. При достижении за несколько временных шагов общей дополнительной концентрации значения An', = q/i2, где q - установленное значение заряда крупных ионов, i - номер узла, в этой секции производится рождение нового заряда, а дополнительная концентрация в узле обнуляется. Оптимально новый заряд поместить в узел секции, так как при этом общее распределение концентрации не изменится и при расчете потенциала он не изменится скачком из-за рождения заряда.

В третьей главе приведены результаты одномерного моделирования и их анализ. Моделирование проводилось для широкого диапазона исходных параметров, включающих экспериментальные данные: а = 0,001 -f- 0,02; TjTe = 0; 0,01; 1,/Ад = 1 -f- 10; при изменяющихся значениях радиуса г0 = 0,05 -н 1,0. Общее число комбинаций параметров, использованных для расчета, составило более 250. Число одновременно участвующих в движении ионов составляло 105 -¡- 2 • 107 в зависимости от расчетной области г0. Каждый вариант расчета на современном двуядерном ЭВМ (Core 2 Duo 2,4 ГГц, 3 Гб ОЗУ) требовал 10 -г 100 часов, общее машинное время счета, не считая отладки программ, составило ~10000 часов. На рис. 2-4 приведены типовые установившиеся зависимости потенциала, заряда и потенциальной энергии ионов от радиуса ячейки г0, при /,/Л9 = 10, пунктир —T¡ = 0, сплошная — T¡/Te = 0,01.

На рис. 5 приведены радиальные зависимости значений потенциала и концентраций ионов и электронов.

Результаты показывают на существенную зависимость потенциала, заряда и потенциальной энергии пылевой частицы от межчастичного расстояния, с наличием максимумов для абсолютных значений (минимумы с учетом знака)

IЧ п,

9т5-

-0,3

¿е..

7

н—

--а

- -х- Н

- -ж-

* НС-

у ^

0,2

0,7

1Д

-8-

_-У

4-- а=о ::.,-1

й

-ж

-Ж-

_,00

2

'ххххх ' - 3=0 -,00

-0,3

0,2

0,7

Ч

Рис. 2. -0,2

Рис. 3.

0,3

°4П

- а=0, 7.Р01

Рис. 4.

При малых межчастичных расстояниях потенциал частицы сильно спадает с уменьшением межчастичного расстояния. Это можно объяснить

сильным увеличением плотности ионного тока из-за образования ионов вследствие ионизации у самой поверхности пылевой частицы и непосредственным уходом на нее. С увеличением межчастичного расстояния ионный ток уменьшается, но после достижения минимума он снова увеличивается, хотя и несильно. Это объясняется снятием другого, уже тормозящего эффекта ионизации - отсутствие дрейфовой скорости, соответствующей потенциалу у рожденного иона. Положение минимума ионного тока (максимума потенциала) удаляется от частицы с ростом ее радиуса, но медленнее, чем радиус частицы, примерно как его корень.

В диссертации приведены зависимости положений максимума заряда и потенциала пылевой частицы от корня радиуса. Зависимости близки к прямолинейным. Столкновения ионов с атомами слабо сглаживают максимумы и удаляют их. Полученные зависимости потенциала и заряда пылевой частицы от межчастичного расстояния и наличие на них максимума в литературе отсутствуют.

Сравнение результатов моделирования плавающего потенциала, соответствующего максимуму заряда с предельными аналитическими теориями показывает, что при = 0 радиальная теория дает немного меньшие значения сра, которые соответствуют предельным значениям радиуса расчетной ячейки г0 -»со, когда ионизация в объеме стремится к нулю. Это указывает на достоверность исходных посылок, технологии и результатов моделирования.

При Т^/Те = 0,01 результаты моделирования дают средние значения потенциала между чисто орбитальным и радиальным движениями, что указывает на снижение влияния орбитального движения.

Аналитические аппроксимации радиальной зависимости потенциала имеют большое значение, так как, вычисляя их производные можно найти заряд пылевой частицы, ее потенциальную энергию с поле плазмы, а также радиальное распределение концентрации электронов и ионов плазмы.

Анализируя полученные радиальные зависимости потенциала при радиусе ячейки, соответствующей максимуму заряда частицы можно предложить аналитическую аппроксимацию, являющуюся достаточно точной для всего диапазона исходных параметров:

Для заряда пылевой частицы и потенциальной энергии будем иметь:

Критерий установления межчастичного расстояния. Общим критерием устойчивого положения заряженной частицы <?а во внешнем электрическом поле с потенциалом <рю является минимум потенциальной энергии этого заряда 1У„ = (}а ■ срт. Однако, данный критерий справедлив для изолиро-

ванной системы зарядов и для пылевой плазмы является только приблизительным. Более точным критерием стационарного состояния является равенство нулю суммарной силы от окружающего частицу электрического поля. На заряд единичной поверхности частицы с поверхностной плотностью а действует сила f Плотность сил / направлена от поверхности, то есть является растягивающей.

При отсутствии симметрии частица будет двигаться в сторону с наибольшей плотностью заряда на ее поверхности, так как с этой стороны плотность растягивающей силы будет больше, чем с обратной стороны. Это приводит к установлению равновесного межчастичного расстояния, соответствующего максимуму поверхностных сил или, что тоже самое, -максимуму заряда пылевых частиц. При отклонении частицы от положения равновесия притягивающая сила в сторону более близкой будет меньше, и частица вернется в положение равновесия.

Для сравнений с экспериментом на рисунке 5 сплошной линией проведено рассчитанное значение радиусов ячейки, соответствующих максимуму заряда пылевой частицы при Т,/Те = 0,01; ¡¡/Ла = 1, близким к экспериментальным условиям. Эти значения хорошо аппроксимируют данные эксперимента, что подтверждает верность исходных предпосылок моделирования. Достоверность моделирования также подтверждается выполнением условия квазинейтральности ячейки, которое контролировалось выводом значений Qt, Qe и Qa.

04

0 35 03 0 25 02 0 15 0 1 0 05

lio-4 lio"3 0 01 0 1

Рис. 5

В главе 4 приведены модель частицы в нитевидных плазменных кристаллах (двумерная цилиндрическая система координат).

На внешней цилиндрической границе ячейки i = N радиальные гради-

дп dip _

енты концентрации плазмы — и потенциала — равны нулю. Это касается и оси i = 0. На боковых плоскостях i = 0, ¿ = М, из-за симметрии равны

нулю осевые градиенты — и —. Потенциал частицы равен <ра. Нулевой

(невозмушенный) потенциал в наиболее удаленной точке (р[М, /V] = О и концентрация пе = п0.

Рис. 6

Аналогично одномерному случаю, вводим безразмерные и вспомогательные параметры. Во вспомогательных параметрах уравнения движения примут вид:

д(р , Ьк -2 -2 • 2 а л- ~ ^Р л- ~

орг = — — + гт; Ьк = р5 -г,, бит 00; дг = уг; ар, = -—-; дг = ог г6 02

Рассмотрим типы взвешивания заряда и полей в цилиндрической системе координат. В [8] предлагается билинейное либо линейное по г и квадратичное по г взвешивание.

Однако это несколько отличается от представлении заряда в виде объемной ячейки 7г ((г + ~ (г ~ ) = 27ГгДгДг и подсчитывании

его долей, попадающих в такие же ячейки вокруг узлов.

Нами предложен новый тип взвешивания - линейное взвешивание по концентрации, т.к. концентрация в узлах входит в уравнение Пуассона. Каждому заряду, имеющему размер ячейки, сопоставляем концентрацию:

Яг

пг =

глтДгДг'

Эту концентрацию и передаем в узлы линейно: - Чг (¿ + 1-г)0 + 1-2); п1+1,; = Ч'

2,гДгДг-(г-°°' + 1-2);

0 + 1 - г)(2 -,); Щ+1,1+1 ~ 0(г -;).

Проведенное тестирование показывает, что линейное взвешивание по концентрации дает точное значение концентрации при ее линейном изменении и

4 2лтДгД/ Яг

4,7+1 2лтДгДг

п.

наиболее близкое при квадратичном изменении концентрации. Оно также уменьшает число арифметических операций и, следовательно, время счета.

Максвелловское распределение. Цилиндрические координаты. Координатами являются продольная скорость — со < vz < со, полная величина поперечной скорости 0 < v' < оо и ее угол с радиусом — тг < в < тс.

Для скорости vz будем иметь:

I М 7 ( Mvz2\ 1 [?■

randi = 1ш J ехр \-гйт) dv>= vi Lexp(_y } dy = I] * —00

¡2кТ

Нами предложена следующая аппроксимация, близкая к значению интеграла:

/ rand, ч0'8

Для угла в будем иметь:

&тах

If О + л

randi=— I de = ——-,e = n-randl.

2п J 2п

-п

Для абсолютной двумерной поперечной скорости получим:

Решение двумерного уравнения Пуассона. В двумерном случае уравнение Пуассона является уравнением с частными производными второго порядка эллиптического типа и в цилиндрической системе координат имеет следующий безразмерный дискретный вид:

<Р1+и (1 + 2[)~ 4(р,> + Фи-1 + (Р1''+1 + I1 ~ 2?) = к2(ехрсРч ~

Составляя такие же уравнения для всех внутренних точек, получаем систему алгебраических уравнений для неизвестных <рц. Наиболее часто используют следующие методы решения такой системы:

1. Прямой метод матричной прогонки.

2. Итерационные методы: верхней релаксации, переменных направлений и др.

3. Метод быстрого преобразования Фурье.

Как в матричном методе, так и в Фурье-методе на каждом временном шаге заново рассчитываются потенциалы в узлах и не используются достаточно близкие значения потенциала в этих узлах на предыдущем временном шаге. Но это можно использовать в итерационных методах, где приближен-

ные значения уточняются на каждом временном шаге посредством итераций, число которых определяется степенью приближения начального значения. В нашем случае за один временной шаг изменение заряда в узлах за счет движения зарядов незначительно и исходная для ошибка мала. В конце процесса установления мало изменяется за один временной шаг. Таким образом, релаксация достигается не только при итерациях в фиксированные моменты времени, но и во времени с каждым шагом

Принято решение остановиться на методе «верхней релаксации» как более простом, наглядном и не требующем одномерных прогонок по строкам расчетной области. Метод состоит в следующем:

1. Начинаем итерации от поверхности пылевой частицы для передачи на счетную область изменения ее потенциала построчно (рис. 6), начиная от оси.

2. На оси лапласиан аппроксимируется выражением:

Фо! = £(М/1 + <Ро,7+\ + К,-1 + Ь2(п0] - ехр К/1))-

3. Для внутренних строк получим:

Фи = \ (1 - + + '!>:% + <Р:;1 (1 + 1)

+ А2(пу-ехр?!}-1)).

Это преобразование имеет матрицу с нулевыми диагональными элементами и представляет собой метод Зейделя решения системы линейных уравнений одновременно нулевого и первого порядков, т. е. сохраняет явный вид при движении от границы при повышенной точности [11]. Нелинейность, определяющая членом Ь2 ехр мала из-за малости /г = 1СГ!.

4. Для ускорения сходимости метода Зейделя в методе верхней релаксации найденные значения уточняются: = ы ■ <р\) + (1 — а))<р";-1, где ш параметр релаксации, плавно возрастающей с числом итераций от 1 до 2.

Результаты двумерного моделирования позволяют сделать следующие выводы:

1. При каждом фиксированном значении радиуса счетной области возмущения Дй существуют оптимальное межчастичное расстояние 1т при котором достигается максимум суммарной электростатической силы Ег, направленной к соседней частице. Это объясняет эффективное взаимодействие пылевых частиц с образованием линейных связей (цепочек). Внешняя удаленная пылевая частица имеет большую притягивающую силу к имеющейся пылевой структуре, чем в противоположном направлении, и приближается к ней до установления оптимального межчастичного расстояния.

2. При значениях радиуса счетной области больших установившихся значений одномерного сферического моделирования значение половины

оптимального межчастичного расстояния 1т/2 слабо зависит от Rd и близко к установившему значению R0 одномерного моделирования.

В заключении приводятся основные результаты работы и выводы и рекомендации по использованию полученного массива данных, разработанных алгоритмов и программ.

В ходе проведенных исследований и решения поставленных в работе задач получены следующие научные и практические результаты:

• Разработаны одномерная и двумерная математические модели, учитывающие в комплексе: рождение ионов вблизи частицы в результате объемной ионизации, компенсирующей их уход, с начальными скоростями, соответствующими максвелловскому распределению, расчет самосогласованного электрического поля на каждом временном шаге и движение в нем ионов с учетом столкновений с атомами со случайной длиной пробега.

• Разработаны алгоритмы отдельных этапов моделирования, обеспечивающие точность и устойчивость счета с уменьшением машинного времени.

• Проведен численный эксперимент установления заряда и потенциала пылевой частицы в плазме для широкого диапазона исходных параметров при различных межчастичных расстояниях. Обнаружены максимумы значений заряда и потенциала пылевой частицы в зависимостях от межчастичного расстояния, положение которых соответствует устанавливающемуся межчастичному расстоянию. Получены зависимости межчастичного расстояния, соответствующего установленному критерию, от размеров пылевых частиц и параметров плазмы, которые близки к имеющимся экспериментальным данным.

• Получены аналитические аппроксимирующие выражения для установившегося радиального хода потенциала, значений заряда и потенциальной энергии пылевой частицы.

Диссертацию завершает список использованной литературы.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1] Thomas IL Plasma crystal: coulomb crystallization in a dusty plasma / II. Thomas, G. Morfill, V. Demmel, J. Goree // Physical Review Letters. -1994. - V. 73. - №5. - P. 652-655.

[2] Baeuf J. P. Characteristics of a dusty non thermal plasma from a particle-in-cell Monte Carlo simulation / J.P. Baeuf // Physical Review A. - 1992. -V. 46. -№ 12.-P. 7910-7922.

[3] Зобнин А. В. Заряд пылевой частицы в газоразрядной плазме низкого давления / А. В. Зобнин, А. П. Нефедов, В. А. Синелыциков, В. Е. Фортов // ЖЭТФ. 2000. - Т. 188. - №3(9). - С. 554-559.

[4] Ваулина О. С. Эмпирическая аппроксимация для ионного тока на поверхность пылевой частицы в слабоионизированной газоразрядной плазме / О. С. Ваулина, А. Ю. Репин, О. Ф. Петров // Физика плазмы. - 2006. -Т. 32,-№6.-С. 528-531.

[5] Ходатаев Я.К. Механизмы взаимодействия пылевых частиц в плазме / Я.К. Ходатаев, Р. Бингхен, В.П. Тараканов, В.П. Цытович // Физика плазмы. - 1996. - Т. 22. -№11. - С. 1028-1038.

[6] Самарский А. А. Численные методы / А. А. Самарский, А. В. Гу-лин. - М.: Наука, 1989. - 429 с.

[7] Ильин В. П. Численные методы решения задач электрофизики / В.П. Ильин. - M., 1985. - 333 с.

[8] Хокни Р. Численное моделирование методом частиц / Р. Хокни, Дж. Иствуд. - М.: Мир, 1987. - 640 с.

[9] Калиткин H. Н. Численные методы / H. Н. Калиткин. - М.: Наука, 1978.-512 с.

[10] Kennedy R. V. The floating potential of spherical probes and dust grains. I. Radial motion theory / R. V. Kennedy, J. E. Allen // J. Plasma Physics. -2002. - V. 67. - P. 243-250.

[11] Плюта A. M. Об одном варианте метода Зейделя / А. М. Плюта,

B. Я. Стеценко // Математическое моделирование. - 2003. - Т. 15. - № 12. -

C. 29-36.

СПИСОК РАБОТ ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Сысун А. В. Моделирование процессов зарядки ианочастиц в плазме и установления межчастичного расстояния / А. В. Сысун, А. С. Шелестов // Математическое моделирование. - 2008. - Т. 20. -№8. - С. 41-47.

2. Сысун А. В. Зависимость потенциала и заряда пылевой частицы от межчастичного расстояния и его установление в плазме низкого давления / А. В. Сысун, В. И. Сысун, А. Д. Хахаев, А. С. Шелестов // Физика плазмы. - 2008. - т. 34, № 6. С. 548-555.

3. Сысун А. В. Моделирование потенциала пылевой частицы в плазме методом молекулярной динамики / А. В. Сысун // Фундаментальные исследования, М.: Академия естествознания, 2005. - №3. - С. 33-34.

4. Сысун А. В. Устойчивые схемы моделирования решения уравнения Пуассона с нулевыми граничными условиями для потенциала и его градиента / А. В. Сысун // Материалы VI Международной научно-технической конференции «Компьютерное моделирование 2005», Санкт-Петербург, 2005. - С. 187-188.

5. Сысун А. В. Двумерная модель заряда пылевой частицы в плазме низкого давления / А. В. Сысун, А. С. Шелестов // Высокие технологии, фундаментальные и прикладные исследования, образование, Санкт-Петербург, 2006.-Т. 5.-С. 310-313.

6. Сысун А.В. Критерий установления межчастичного расстояния в пылевой плазме / А.В. Сысун, А.С. Шелестов // «Современные наукоёмкие технологии», M.: Академия естествознания, 2006. -№8. - С. 80-83.

7. Сысун А. В, Переходные слои между плазмой и анодом / А. В. Сысун, А. А. Тихомиров, О.В. Олещук // Успехи современного естествознания, М.: Академия естествознания, 2006. - №11. - С. 31.

8. Сысун А. В. Моделирование процесса зарядки пылевой частицы в плазме низкого давления методом молекулярной динамики / А. В. Сысун, А.С. Шелестов // Фундаментальные исследования, М.: Академия естествознания, 2006. -№12. - С. 74-77.

9. Sysun A.V. Criterion of intergrain distance establishing in dusty plasma / A. V. Sysun, A. S. Shelestov // European Journal of Natural History. - 2006. -№5. - Pp. 86-88.

10. Сысун А.В. Установление межчастичного расстояния в пылевой плазме низкого давления / А. В. Сысун, В. И. Сысун, А. С. Шелестов, А. Д. Хахаев // Материалы Всероссийской (с международным участием) конференции «Физика низкотемпературной плазмы», Петрозаводск, изд-во ПетрГУ, 2007. - Т. 2. - С. 244-248.

11. Сысун А. В. Зависимость потенциала и заряда пылевой частицы от межчастичного расстояния в плазме низкого давления / А. В. Сысун, А. С. Шелестов // Материалы Всероссийской (с международным участием) конференции «Физика низкотемпературной плазмы», Петрозаводск, изд-во ПетрГУ, 2007. - Т.2. - С. 248-252.

12. Sysun А. V. Charge and Potential of a Dust Grain Versus the Intergrain Distance and Establishment of the Latter in a Low-Pressure Plasma / A. V. Sysun, V. I. Sysun, A. D. Khakhaev, A.S. Shelestov // Plasma Physics Reports. - 2008. - Vol. 34. - №6. - Pp. 501-507.

1А

Подписано в печать 29.10.08. Формат 60x84 '/16- Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Изд. № 252.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Отпечатано в Издательстве ПетрГУ 185910, г. Петрозаводск, пр. Ленина, 33

Принятые в диссертации обозначения.

Введение.

Глава 1. Анализ литературы по теме диссертации.

1.1. Экспериментальные данные параметров плазменных пылевых структур и параметров плазмы.

1.2. Аналитические модели описания пылевой плазмы.

1.3. Обзор работ по математическому моделированию пылевой плазмы.

1.4. Работы по математическому обоснованию метода крупных частиц и его применению к пылевой плазме.

1.5. Основные силы, действующие на пылевую частицу и установление межчастичного расстояния.

1.6. Выводы по литературному обзору и постановка задач.

Глава 2. Одномерное моделирование процессов в сферической ячейке Зейтца-Вигнера методом молекулярной динамики.

2.1. Исходные предпосылки.

2.2. Структура алгоритма моделирования.

2.3. Приведение к безразмерным параметрам.

2.4. Определение зарядов ионов и их распределение в начальном состоянии

2.5. Моделирование максвелловского распределения ионов по скоростям и разыгрывание длины пробега ионов.

2.6. Решение уравнение Пуассона для потенциала.

2.7. Взвешивание и раздача заряда и полей.

2.8. Моделирование движения зарядов с учетом ухода на пылевую частицу и рождение новых зарядов вследствие ионизации.

2.9. Выводы.

Глава 3. Результаты одномерного моделирования и их анализ.

3.1. Исходные параметры моделирования.

3.2. Итоговые значения расчетных параметров.

3.3. Анализ результатов. Сравнение с другими работами.

3.4. Аналитические аппроксимации.

3.5. Критерий установления межчастичного расстояния.

3.6. Выводы.

Глава 4. Математическая модель зарядки пылевой частицы для нитевидных плазменных кристаллов, двумерный случай в цилиндрической системе координат

4.1. Постановка задачи.

4.2. Исходные уравнения и интегральные параметры процесса.

4.3. Взвешивание и раздача заряда и полей в цилиндрических координатах. Анализ погрешности типов взвешивания при различных радиальных изменениях концентраций (цилиндрический случай).

4.4. Максвелловское распределение. Цилиндрические координаты.

4.5. Решение двумерного уравнения Пуассона.

4.6. Результаты моделирования и выводы.

Актуальность работы: Исследования поведения частиц нано- и микроразмеров в плазме и их влияния на свойства плазмы активно проводятся с середины 90-х годов, когда был экспериментально открыт «пылевой кристалл» - упорядоченная кристаллическая структура пылевых частиц в плазме (рис. 1). Важность этих исследований обусловлена необходимостью понять закономерности образования плазменных кристаллов, а также тем, что плазменные кристаллические образования имеют ряд интересных свойств и эффектов, перспективных для практического применения.

Рис. 1. Изображение горизонтальной плоскости гексагональной структуры плазменно-пылевого кристалла, полученное в одном из первых экспериментов

81]. Диаметр пылинок 7 мкм.

Пылевые плазменные образования широко распространены в космосе: в планетных кольцах, хвостах планет, в межпланетных и межзвездных облаках, вблизи искусственных спутников земли и космических аппаратов. Пылевая плазма образуется в термоядерных установках с магнитным удержанием, и создание возможности ее кристаллизации в диверторах с последующей откачкой может существенно улучшить работу этих установок. Наибольшие перспективы имеет создание пылевых кристаллов с заданными свойствами в плазменных нанотехнологиях микроэлектроники. Так при плазменном травлении и осаждении элементов микроэлектроники происходит образование неупорядоченных структур частиц микронных и субмикронных размеров, выпадение которых приводит к дефектам полученных устройств. С другой стороны, при контролируемом и управляемом процессе создания пылевых структур можно получать наноматериалы с новыми свойствами, в том числе пористые и композитные [64]. Возникают интересные задачи в микробиологии, медицине, экологии. Список возможного применения пылевой плазмы непрерывно расширяется.

Плазменные кристаллы подобны пространственным структурам в жидкости или твердом теле. Здесь могут происходить фазовые переходы типа плавления и испарения. Экспериментальные исследования ведутся во многих лабораториях мира, в том числе в условиях микрогравитации на международной космической станции. Если частицы пылевой плазмы достаточно велики, то плазменный кристалл можно наблюдать невооруженным глазом. Уникальные свойства плазменных кристаллов (простота получения, наблюдения и контроля за параметрами, а также малые времена релаксации к равновесию и отклика на внешние возмущения) делают их прекрасным объектом при исследовании как свойств сильно неидеальной плазмы, так и фундаментальных свойств кристаллов.

Наиболее значимым процессом в образовании кристаллической структуры является процесс зарядки пылевой частицы в плазме и установление распределения потенциала вокруг нее. Эти процессы являются фундаментальными для образования внутренней структуры и установления межчастичного расстояния. Несмотря на целый ряд теоретических работ, посвященных общим свойствам пылевой плазмы и коллективным явлениям в ней (пылевой звук, волны, возмущения различного типа), закономерности создания самой структуры и установления межчастичного расстояния не выяснены. Наличие в пылевой плазме большого числа взаимовлияющих и конкурирующих процессов делает ее трудной для аналитического изучения. Поэтому большую роль в изучении пылевой плазмы играет математическое моделирование и численные эксперименты. Таких работ весьма мало, они проведены для отдельных, конкретных размеров частиц, параметров плазмы и заданного межчастичного расстояния и не позволяют установить закономерности создания пылевой структуры. Кроме того, в большинстве работ не учитывается образование ионов в межчастичной области, а ионный поток задается извне.

Таким образом, построение более адекватных математических моделей для процессов, происходящих вблизи пылевой частицы и проведение численного эксперимента для большого числа комбинаций параметров частиц и плазмы для выявления закономерностей структурного упорядочения пылевых частиц и установления межчастичного расстояния является актуальным.

Цель работы заключается в разработке математических моделей процессов, происходящих в плазме в присутствии пылевой частицы, в проведении численного эксперимента для большого числа параметров частиц и плазмы с целью выявления закономерностей заряда пылевых частиц и установления межчастичного расстояния.

Научная новизна работы состоит в том, что впервые:

1. Разработаны математические модели процессов, протекающих в плазме в присутствии пылевой частицы, учитывающие в комплексе: уход заряженных частиц плазмы на пылевую частицу в самосогласованном электрическом поле, их рождение за счет ионизации в окрестности частицы со случайными положениями и скоростями, соответствующими максвелловскому распределению с температурой атомов, столкновение их с атомами газа со случайной длиной пробега, соответствующей Пуассоновскому распределению, обмен частиц между ячейками соседних пылевых частиц в сферической одномерной и цилиндрической двумерной геометрии, соответствующим объемным и линейным структурам.

2. Разработаны алгоритмы этапов моделирования вышеописанных процессов, обеспечивающие высокую точность и устойчивость, а также уменьшение времени счета.

3. Проведен численный эксперимент для большого набора безразмерных, относительных параметров: размеров пылевых частиц, межчастичного расстояния, средней длины пробега и температуры ионов. В зависимостях заряда и потенциала пылевой частицы от межчастичного расстояния найдены максимумы, положение которых соответствует практически устанавливающемуся межчастичному расстоянию. Для распределения потенциала получены аппроксимирующие аналитические выражения.

Практическая значимость работы

• Созданы эффективные алгоритмы расчета параметров объемной и линейной пылевых структур в плазме.

• Получена важная информация о состоянии пылевой структуры в плазме при различных условиях, способствующая развитию представлений о механизмах формирования плазменных кристаллов.

• Полученный критерий установления межчастичного расстояния позволяет определить условия образования пылевой структуры в плазме и ее параметры.

• Внедрение в учебный процесс

Основные положения, выносимые на защиту:

• Одномерная и двумерная математические модели расчета параметров объемных и линейных пылевых структур в плазме.

• Алгоритмы хаотического старта, перебора зарядов и взвешивания при раздаче зарядов и полей, разыгрывания длины пробега ионов, учета ионизации, схемы интегрирования уравнения движения ионов и уравнения Пуассона для потенциала, перенормирование зарядов на каждом временном шаге.

• Полученные зависимости заряда, потенциала и потенциальной энергии пылевой частицы от межчастичного расстояния и критерий его установления.

• Аналитические аппроксимации распределения потенциала по радиусу, заряда и потенциальной энергии пылевой частицы.

Апробация работы: Основные результаты диссертационной работы были доложены на:

• Заочной электронной конференции «Фундаментальные исследования», проводимой Российской академией естествознания (РАЕ), 20-25 февраля

2005 г.

• VI международной научно-технической конференции «Компьютерное моделирование 2005» 28 июня - 2 июля 2005 г., Санкт-Петербург, Россия.

• Второй международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» 7-9 февраля 2006 г., Санкт-Петербург, Россия.

• IV конференции «Фундаментальные и прикладные исследования. Образование, экономика и право», Римини, Италия, 9-16 сентября 2006 г.

• VII заочной конференции «Успехи современного естествознания», проводимой Российской академией естествознания (РАЕ), 5-7 сентября 2006 г.

• Заочной электронной конференции «Математическое моделирование», проводимой Российской академией естествознания (РАЕ), 15-20 сентября

2006 г.

• Всероссийской (с международным участием) конференции «Физика низкотемпературной плазмы-2007» 24-28 июня 2007 г., Петрозаводск, Россия. и опубликованы в виде статей и материалов конференций:

1. Сысун А.В., Шелестов А.С. Моделирование процессов зарядки наночастиц в плазме и установления межчастичного расстояния // «Математическое моделирование» 2008, т. 20, №8. С. 41-47.

2. Сысун А.В., Сысун В.И., Хахаев А.Д., Шелестов А.С. Зависимость потенциала и заряда пылевой частицы от межчастичного расстояния и его установление в плазме низкого давления // «Физика плазмы» 2008, т. 34, №6. С. 548-555.

3. Сысун А.В. Моделирование потенциала пылевой частицы в плазме методом молекулярной динамики // «Фундаментальные исследования», М.: Академия естествознания, 2005, №3. С. 33-34.

4. Сысун А.В. Устойчивые схемы моделирования решения уравнения Пуассона с нулевыми граничными условиями для потенциала и его градиента // Материалы VI Международной научно-технической конференции «Компьютерное моделирование 2005», Санкт-Петербург, 2005. С. 187-188.

5. Сысун А.В., Шелестов А.С. Двумерная модель заряда пылевой частицы в плазме низкого давления // «Высокие технологии, фундаментальные и прикладные исследования, образование», Санкт-Петербург, 2006, т. 5. С. 310-313.

6. Сысун А.В., Шелестов А.С. Критерий установления межчастичного расстояния в пылевой плазме // «Современные наукоёмкие технологии», М.: Академия естествознания, 2006, №8. С. 80-83.

7. Сысун А.В., Тихомиров А.А., Олещуи О.В. Переходные слои между плазмой и анодом // Успехи современного естествознания, М.: Академия естествознания, 2006, №11. С. 31.

8. Сысун А.В., Шелестов А.С. Моделирование процесса зарядки пылевой частицы в плазме низкого давления методом молекулярной динамики // «Фундаментальные исследования», М.: Академия естествознания, 2006, №12. С. 74-77.

9. Sysun A.V., Shelestov AS. Criterion of intergrain distance establishing in dusty plasma // «European Journal of Natural History», 2006, №5. Pp. 86-88.

10.Сысун A.B., Сысун В.И., Шелестов A.C., Хахаев А.Д. Установление межчастичного расстояния в пылевой плазме низкого давления // Материалы Всероссийской (с международным участием) конференции

Физика низкотемпературной плазмы», Петрозаводск, изд-во ПетрГУ 2007, т.2. С. 244-248.

И.Сысун А.В., Шелестов А.С. Зависимость потенциала и заряда пылевой частицы от межчастичного расстояния в плазме низкого давления // Материалы Всероссийской (с международным участием) конференции «Физика низкотемпературной плазмы», Петрозаводск, изд-во ПетрГУ 2007, т.2. С. 248-252.

12.Sysun A.V., Sysun V.I., Khakhaev A.D., Shelestov A.S. Charge and Potential of a Dust Grain Versus the Intergrain Distance and Establishment of the Latter in a Low-Pressure Plasma // Plasma Physics Reports 2008, vol. 34, №6. Pp. 501-507.

Заключение

Приведем основные результаты работы и выводы.

1. Проведен анализ экспериментальных данных пылевых структур, который показал что установление между пылевыми частицами межчастичного расстояния, определяется радиусом пылевой частицы и параметрами плазмы. Параметрами, определяющими пылевую структуру, являются: отношение радиуса пылевой частицы к дебаевскому радиусу плазмы а/Лд, отношение ионной и электронной температур плазмы Г£/Ге, отношение длины пробега ионов к дебаевской длине li/Ag. Определен диапазон этих параметров в экспериментальных пылевых структурах.

2. Разработаны одномерная и двумерная математические модели, учитывающие: образование ионов вблизи частицы в результате объемной ионизации с начальными скоростями, соответствующими максвелловскому распределению ионов по скоростям; движение ионов в самосогласованном электрическом поле с учетом столкновений с атомами; поглощение ионов на пылевой частице в результате рекомбинации с электронами и отражение ионов на внешней границе расчетной области; расчет самосогласованного электрического поля с передачей зарядов на расчетную сетку и обратной передачей напряженности электрического поля из расчетной сетки на заряды.

3. Разработаны алгоритмы отдельных этапов моделирования, обеспечивающие точность и устойчивость счета и уменьшением машинного времени для возможности увеличения числа комбинаций входных параметров.

• Введены безразмерные расчетные параметры, что упростило вид математических выражений, уменьшило диапазон численных значений расчетных параметров, выявило определяющие для установления пылевой структуры параметры плазмы, на которые производилась нормировка параметров, что позволяет использовать результаты моделирования для каждого практического эксперимента с конкретными параметрами плазмы и пылевых частиц. Для сокращения машинного времени в счетные циклы введены вспомогательные параметры, нормированные на каждом шаге по координате и времени. Разработан новый алгоритм задания начального состояния с установлением расстояния между зарядами, обратно пропорциональным квадрату радиуса. Алгоритм обеспечил одинаковость зарядов и требует малого машинного времени.

При моделировании максвелловского распределения по скоростям предложены аналитические функции, аппроксимирующие интегральные выражения, что существенно уменьшает машинное время. Введено разыгрывание длины пробега ионов до столкновений с атомами с экспоненциальным распределением, соответствующим случайным расположением атомов и ионов при их относительном движении. Отобраны и обоснованы схемы прямого решения уравнения Пуассона II порядка для потенциала в одномерном случае и итерационный метод в двумерном случае.

Разработан новый алгоритм перебора зарядов и взвешивание при раздаче зарядов и полей.

Отобрана и обоснована схема интегрирования уравнений движения ионов.

Введена перенормировка зарядов на каждом временном шаге для учета поглощения зарядов на пылевой частице и рожденных вследствие ионизации.

Разработан алгоритм ввода добавочной концентрации в узлах расчетной сетки за счет ионизации с последующим рождением иона для предотвращения скачков потенциала.

Все предложенные алгоритмы предварительно тестировались при заданных аналитических выражениях на устойчивость, точность и обеспечение наименьшего машинного времени.

4. Проведен численный эксперимент установления заряда и потенциала пылевой частицы в плазме для широкого диапазона исходных параметров а/Ад) li/Ag; Ti/Te при различных межчастичных расстояниях. Общее число комбинаций параметров, охватывающих их экспериментальный диапазон, составило более 250 с общим машинным временем счета ~10000 часов. Получен массив данных для потенциала, заряда и потенциальной энергии пылевой частицы при различных комбинациях параметров и радиальные зависимости потенциала и концентраций электронов и ионов. Данный массив может быть использован для дальнейшего теоретического рассмотрения закономерностей построения кристаллической пылевой структуры. Обнаружены максимумы значений заряда и потенциала пылевой частицы в зависимостях от межчастичного расстояния, а также близкие к ним минимумы потенциальной энергии частицы.

5. Предложен критерий установления межчастичного расстояния, соответствующего максимуму плотности растягивающей электростатической силы, или что то же - максимуму заряда пылевой частицы. Плотность механического импульса ионов, поглощаемой пылевой частицей, оказалась на два порядка меньше плотности электростатической силы и не влияет на установление межчастичного расстояния. Получены зависимости межчастичного расстояния, соответствующего установленному критерию, от размеров пылевых частиц и параметров плазмы, которые близки к имеющимся экспериментальным данным.

6. Проведенный численный эксперимент двумерного рассмотрения установления заряда и потенциала пылевых частиц в линейных нитевидных (цепочечных) построениях дал согласованные со сферическим одномерным рассмотрением значения заряда, потенциала и межчастичного расстояния.

Это подтверждает применимость одномерного сферического приближения и, с другой стороны, дает картину построения и роста пылевых структур. 7. Получены аналитические аппроксимирующие выражения для установившегося радиального хода потенциала, значений заряда и потенциальной энергии пылевой частицы.

1. Абрамов С. А. Решение линейных конечно-разностных уравнений с постоянными коэффициентами в поле рациональных функций // ЖВМиМФ. - 1974. - Т. 14. - №4.

2. Абрамов С. А. Конечно-разностные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в поле рациональных функций // ЖВМиМФ. -1977.-Т. 17. -№3.

3. Ахо А., Хопкрофт Дш., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. М.: Мир. 1979. - 428 с.

4. Бэдсел Р., Ленгтон А. Физика плазмы и численное моделирование. М.: Энергоатомиздат, 1989. - 456 с.

5. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Мир, 1960. - 424 с.

6. Беллман Р., Кук И. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. - 548 с.

7. Ваулина О.С., Репин А.Ю., Петров О.Ф. Эмпирическая аппроксимация для ионного тока на поверхность пылевой частицы в слабоионизированной газоразрядной плазме // Физика плазмы. 2006. - Т. 32. - №6. - С. 528-531.

8. Гердт В.П., Тарасов О.В., Ширков Д.В. Аналитические вычисления на ЭВМ в приложении к физике и математике // УФН. 1980. - Т. 30. - С. 113-146.

9. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Изд. 12-е, перераб. - М.: Высшее образование, 2008. - 479 с.

10. Голубков В.В., Барбашова Т.Ф., Боровин Г.И. Некоторые особенности явных методов Рунге-Кутта и связанные с ними вычислительные эффекты. 1981. -76 с.

11. Гульд X., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. М.: Мир, 1990.-349 с.

12. Гундиенков В.А., Яковенко С.И. Взаимодействие между заряженными пылевыми частицами в плазме // Письма в ЖТФ. 2002. - Т. 28. - №21. - С. 81-90.

13. Зобнин А.В., Нефедов А.П., Синелыциков В.А., Фортов В.Е. Заряд пылевой частицы в газоразрядной плазме низкого давления // ЖЭТФ. 2000. - Т. 188. -№3(9).-С. 554-559.

14. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М., 1985. -333 с.

15. Иньков Л.В., Левченко В.Д., Сигов Ю.С. Численное кинетическое моделирование динамических процессов в пылевой плазме // Прикладная физика. 2000. - №3. -С. 138-145.

16. Иньков Л.В. Методы расчета самосогласованного электрического поля взадачах кинетического моделирования пылевой плазмы // Математическоемоделирование. 2003. - Т. 15. - №7. - С. 46-54.

17. Иалиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

18. Иаханер Д. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир,1998. 575 с.

19. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы: построение и анализ. 2-е издание. - М.: Издательский дом «Вильяме», 2007. - 1296 с. Красносельский М.А., Стеценко В.Я. Замечания о методе Зейделя // ЖВМиМФ. - 1969. - Т. 9. - №1. - С. 177-182.

20. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. - 620 с.

21. Лоу А. М., Кельтон В. Д. Имитационное моделирование. 3-е издание. -СПб.: Питер, 2004. - 848 с.

22. Мак-Даниель И., Мэзон Э. Подвижность и диффузия ионов в газах. М.: Мир, 1976.-422 с.

23. Манкелевич Ю.А., Олеванов М.А., Рахимова Т.В. Поляризационный механизм взаимодействия пылевых частиц в плазме // ЖЭТФ. 2002. — Т. 121,-№6.-С. 1288-1297.

24. Митчнер М., Кручер Ч. Частично ионизированные газы. М.: Мир, 1976. -496 с.

25. Рихтер Дж. CLR via С#. Программирование на платформе Microsoft .NET Framefork 2.0 на языке С#. 2-е изд., испр. - М.: Издательство «Русская Редакция»; СПб.: Питер, 2008. - 656 с.

26. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. - 429 с. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука, 1978.-592 с.

27. Сигов Ю.С. Численные методы кинетической теории плазмы. М.: МФТИ, 1984. -178 с.

28. Сигов Ю.С. Вычислительный эксперимент: мост между прошлым и будущим физики плазмы. М.: Физматлит, 2001. - 288 с.

29. Смирнов Б.М. Атомные столкновения и элементарные процессы в плазме. -М.: Атомиздат, 1968. 363 с.

30. Страуструп Б. Язык программирования С++. — СПб.: Невский диалект, 2004, 1054 с.

31. Страуструп Б. Дизайн и эволюция языка С++. М.: ДМК Пресс, 2000. - 444 с.

32. Сысун В.И. Математическое моделирование объектов физическойэлектроники. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2005. - 108 с.

33. Сысун В.И., Хахаев А.Д., Олещук О.В., Шелестов А.С. Заряд и потенциалпылевой частицы в плазме низкого давления с учетом ионизации в областивозмущения // Физика плазмы. 2005. - Т. 31. - №9. - С. 834-841. 1

34. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1966. - 624 с.

35. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Изд-во

36. Московского физико-технического университета, 1994, 528 с.

37. Филиппов А.В., Паль А,Ф., Старостин А.Н., Иванов А.С. Электростатическоевзаимодействие двух макрочастиц в модели Пуассона-Больцмана // Письмав ЖЭТФ. 2006. - Т. 83. - №12. - С. 640-646.

38. Фортов В.Е., Владимиров В.И., Депутатова Л.В. и др. Упорядоченные пылевые структуры в ядерно-возбужденной плазме // Доклад Академии наук. 1999. - Т. 366. - №2. - С. 184-189.

39. Фортов В.Е., Нефедов А.П., Молотков В.И. и др. Зависимость заряда пылевой частицы от ее размера в плазме тлеющего разряда // Известия РАН. Сер. Физ. - 1999. - Т. 63. - №11. - С. 2221-2227.

40. Фортов В.Е., Храпак А.Г., Храпак С.А. и др. Пылевая плазма // УФН. 2004. -Т. 174. - №5. - С. 495-544.

41. Ходатаев Я.И., Бингхен Р., Тараканов В.П., Цытович В.Н. Механизмы взаимодействия пылевых частиц в плазме // Физика плазмы. 1996. - Т. 22.- №11. С. 1028-1038.

42. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. М.: Мир, 1987.-640 с.

43. Цытович В.Н. Плазменно-пылевые кристаллы, капли и облака // УФН. Т. 167.- №1.- С. 57-99.

44. Цытович В.Н., Морфил Г.Е., Томас В.Х. Комплексная плазма: I. Комплексная плазма как необычное состояние вещества // Физика Плазмы. 2002. - Т. 28.- №8. — С. 675-707.

45. Цытович В.Н., Морфил Г.Е., Томас В.Х. Комплексная плазма: II. Элементарные процессы в комплексной плазме // Физика Плазмы. 2003. -Т. 29. — №1. — С. 3-36.

46. Цытович В.Н., Морфил Т.Е., Томас В.Х. Комплексная плазма: III. Эксперименты по сильной связи и дальним корреляциям // Физика Плазмы.- 2003. Т. 29. - №11. - С. 963-1030.

47. Цытович В.Н., Морфил Т.Е., Томас В.Х. Комплексная плазма: IV. Теория комплексной плазмы. Приложения // Физика Плазмы. 2004. - Т. 30. - №10.- С. 877-929.

48. Baeuf J.P. Characteristics of a dusty non thermal plasma from a particle-in-cell Monte Carlo simulation I I Physical Review A. 1992. - V. 46. - №12. - P. 79107922.

49. Barnes M., J. Keller J., ForsterJ. et al. Transport of dust particles in glow-discharge plasma 11 Physical Review Letters. 1992. - V. 68. - №3. - P. 313-316.

50. Bryant P. Floating potential of spherical probes and dust grains in collisional plasmas // Physics D: Appl. Phys. 2003. - V. 36. - P. 2859-2868.

51. Buss R., Babu J. // J. Vac. Sci. Technology. 1996. - A14. - P. 577-581.

52. Chu J.H., Lin I. Direct observation of coulomb crystals and liquids in strongly coupled dusty plasma // Physical Review Letters. 1994. - V. 72. - P. 4009-4012.

53. Dattatri K. С++ Effective Object-Oriented Software Construction. Prentice Hall PTR, 1997.

54. Fortov V.E., Nefedov A.P., Torchinski V.M. et al. Crystalline structures of strongly coupled dusty plasma in DC glow discharge strata // Physics Letters A. 1997. -V. 229. - P. 317-322.

55. Fortov V.E., Nefedov A.P., Vladimirov V.I. et al. Dust particles in a nuclear-induced plasma 11 Physics Letters A. 1999. - V. 258. - P. 305-311.

56. Hayashi Y., Tachibana К. 11 Jpn. Apply Physics. 1994. - V. 33. - №6A. - P. L804-806; 1997. - V. 36. - P. 4976-4979.

57. Karypis G., Kumar V. Multilevel k-way Partitioning Scheme For Irregular Graphs // Journal of Parallel and Distributed Computing. 1998. - V. 48. - №1. - P. 96129.

58. Kennedy R.V., Allen J.E. The floating potential of spherical probes and dust grains.

59. Radial motion theory //J. Plasma Physics. 2002. - V. 67. - P. 243-250.

60. Kennedy R.V., Allen J.E. The floating potential of spherical probes and dust grains.1.. Orbital motion theory // J. Plasma Physics. 2003. - V. 69. - P. 485-506.

61. Khahaev A.D., Luisova LA., Piskunov A.A. et al. Movement of macroparticles in dusty particle structures // XVI International Conference Gas Discharges and their Applications. Xiam, China, 2006.- V. 1.- P. 341-344.

62. Koenig A., Moo B. Ruminations on С++. Addison-Wesley, 1997.

63. Koenig A., Moo B. Accelerated С++. Addison-Wesley, 2000.

64. Longer A., Kreft K. Standart С++ lOStreams and locales. Addison Wesley Longman, 2000.

65. Melzer A., Homann A.H., Pill A. Experimental investigation of the melting transition of the plasma crystal // Physical Review E. 1995. - V. 53. - №3. - P. 2757-2766.

66. Pavarino L.F., Widlund O.B. Iterative substructuring methods for spectral elements: Problems in three dimensions based on numerical quadrature // Computers and Mathematics with Applications. 1997. - V. 33. - №1-2. - P. 193-209.

67. Pohl I. С++ for С Programmers. Addison-Wesley, 1999.

68. Ratyanskaia S., Khrapak S., Zobnin A. et al. Experimental determination of dust particles charge in a discharge at elevated presses// Physical Review Letters. -2004. V. 93. - №8. - 085001-1-085001-4.

69. Thomas H., Morfill G., Demmel V., GoreeJ. Plasma crystal: coulomb crystallization in a dusty plasma 11 Physical Review Letters. 1994. - V. 73. - №5. - P. 652655.

70. Thomas H., Morfill G. Melting dynamics of a plasma crystal // Nature. 1996. -V. 379. - P. 806-809.

71. Trottenberg Т., Melzer A., Pill A. Measurement of the electric charge on particulates forming coulomb crystals in the sheath of a radiofrequency plasma // Plasma Sources Sci. Technology. 1995.- V. 4.- P. 450-458.

72. Tskhakaya D.D., Shukla P.K. Dipole-Dipole interaction between dust grains in plasmas//ЖЭТФ. 2004.- Т. 125.- №1.- С. 63-71.

73. Watanabe Y., Shiratani M. Experimental investigation of particulate formation in He-SiH4 modulated RF discharges // Plasma Sources Sci. Technology. 1994. - V. 3.- P. 286-291.