автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование динамической реакции тонкостенных композитных конструкций в резонансных режимах нагружения

На правах рукописи

Левашов Александр Павлович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ ТОНКОСТЕННЫХ КОМПОЗИТНЫХ КОНСТРУКЦИЙ В РЕЗОНАНСНЫХ РЕЖИМАХ НАГРУЖЕНИЯ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

3 МАЙ 2012

Казань-2012

005016705

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Вятский государственный университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, доцент

Шишкин Виктор Михайлович

Официальные оппоненты: Паймушин Виталий Николаевич,

доктор физико-математических наук, профессор, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева, заведующий кафедрой сопротивления материалов

Каюмов Рашит Абдулхакович, доктор физико-математических наук, профессор, Казанский государственный архитектурно-строительный университет, заведующий кафедрой сопротивления материалов и основ теории упругости

Ведущая организация: ОАО «Казанский вертолетный завод»

Защита состоится 25 мая 2012 г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.079.01 в Казанском национальном исследовательском техническом университете им. А.Н. Туполева по адресу: 420111, г. Казань, ул. К. Маркса, д. 10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева

Автореферат разослан <$Х)> апреля 2012 г.

Ученый секретарь Данилаев

диссертационного совета ... У Петр

доктор физико-математических С? —Григорьевич

наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Современные тонкостенные конструкции имеют достаточно плотный спектр собственных частот, а их динамическое нагружение характеризуется широкой полосой частот возмущающих сил, что затрудняет использование традиционных методов отстройки от возможного резонанса и применение различного рода демпфирующих устройств. Особенно это относится к конструкциям летательных аппаратов, где применение таких методов и устройств практически исключено. Отсюда решающее значение приобретает способность самой конструкции демпфировать опасные резонансные колебания. Но следует заметить, что большинство конструкционных материалов имеют весьма низкую демпфирующую способность, и для многих тонкостенных конструкций основной причиной рассеяния энергии оказывается трение в узлах соединения их отдельных элементов (конструкционное демпфирование), которое является трудно контролируемым фактором.

В связи с этим перспективным представляется направление, связанное с использованием композитных материалов, которые кроме высокой удельной прочности и жесткости имеют еще и весьма высокую демпфирующую способность (в 20 ... 40 раз выше, чем у металлов и их сплавов). Наибольшее применение имеют многослойные материалы, армированные высокопрочными и высокомодульными однонаправленными волокнами. Именно из таких материалов методами непрерывной намотки или укладки создаются типичные элементы тонкостенных конструкций - многослойные пластины, оболочки и панели.

Однако основное внимание исследователей и конструкторов привлекают в первую очередь прочностные и жесткостные свойства композитных материалов и возможность эффективного управления ими. Это объясняется тем, что отмеченные свойства композитных материалов напрямую определяют прочность и жесткость конструкции. Что же касается учета демпфирующих свойств конструкции, то здесь, как правило, используют условные вязкоупругие модели в сочетании с пропорциональным демпфированием по Релею, что имеет своей целью скорее достичь удобства расчета, нежели достоверности полученных результатов. Реальные конструкционные материалы, в том числе и композитные, данным моделям не отвечают.

Стремление к разработке адекватных и удобных для практического применения моделей демпфирования колебаний тонкостенных композитных конструкций пока наталкивается на серьезные трудности: отсутствуют модели демпфирования композитных материалов, пригодные для полномасштабного расчета динамических характеристик реальных тонкостенных конструкций; нет методик и алгоритмов учета амплитудной зависимости демпфирующей способности указанных материалов; отсутствует конечно-элементное обеспечение для моделирования резонансных колебаний тонкостенных композитных конструкций с учетом демпфирующих свойств материала.

В последнее время для оценки эффективных механических характеристик композитов, в том числе и демпфирующей способности, развивается направление, основанное на использовании моделей неоднородных тел. Однако, иссле-

дования в этом направлении пока еще далеки от завершения и вряд ли стоит ожидать выхода их на полномасштабное моделирование реальных композитных конструкций. Поэтому продолжают использоваться модели демпфирования, основанные на так называемых формулах смесей, где фигурируют характеристики демпфирования армирующих волокон и матрицы, а также их относительное объемное содержание. При этом задача решается в одномерной постановке, а контакт волокон с матрицей считается идеальным. Между тем известно, что рассеяние энергии в волокнистых композитах обусловлено главным образом конструкционным трением на границе адгезионного контакта матрица-волокно. Поэтому оценка демпфирующей способности волокнистого композита по данным формулам является весьма заниженной, что соответственно ведет к завышению динамической реакции конструкции.

В немногочисленных работах по определению резонансной реакции композитных конструкций используются в основном аналитические методы, возможности которых ограничены простейшими расчетными моделями (стержнями, пластинами и оболочками простой формы при определенных условиях закрепления и нагружения), что нельзя считать удовлетворительным решением вопроса, поскольку реальные конструкции в такие модели, как правило, не вписываются.

Цель диссертационной работы состоит в моделировании напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций из многослойного композиционного материала, армированного однонаправленными волокнами, при колебаниях в резонансной зоне.

Научная новизна

1. Построена матрица обобщенных жесткостей и гистерезисный оператор пакета произвольно уложенных однонаправленно армированных композитных слоев для моделирования упругих и демпфирующих свойств многослойного композиционного материала.

2. Получена система квазилинейных разрешающих уравнений метода конечных элементов для моделирования стационарной динамической реакции тонкостенных композитных конструкций.

3. Разработан быстро сходящийся и удобно реализуемый итерационный алгоритм решения полученной системы уравнений, учитывающий зависимость логарифмических декрементов колебаний композитного слоя от амплитуд соответствующих деформаций.

4. Разработана библиотека композитных конечных элементов для моделирования статической и динамической реакции безмоментных тонкостенных композитных конструкций, содержащая треугольный квадратичный элемент, ферменный квадратичный элемент и не имеющий аналогов четырехугольный полуквадратичный элемент с неизотропным полем перемещений, ориентированный на моделирование стенок лонжеронов и нервюр конструкций типа крыла самолета. Наличие данного полуквадратичного элемента позволяет существенно сократить общее число неизвестных узловых параметров конечно-

элементной модели конструкции по сравнению с классическим квадратичным элементом при сохранении достаточной точности расчета.

Практическую ценность имеют:

- математическое и программное обеспечение для моделирования упругих и демпфирующих свойств многослойных волокнистых композиционных материалов при произвольной схеме укладки слоев;

- конечно-элементная методика формирования системы разрешающих уравнений для моделирования напряженно-деформированного состояния и построения амплитудно-частотных характеристик тонкостенных композитных конструкций при колебаниях в резонансной зоне;

- численный итерационный алгоритм решения отмеченной системы уравнений;

- библиотека конечных элементов для моделирования тонкостенных композитных конструкций;

- программа определения динамической реакции тонкостенной подкрепленной конструкции однонаправленной структуры из многослойного волокнистого композиционного материала при колебаниях в резонансной зоне.

Результаты, полученные в работе, использованы:

- в Вятском государственном университете (г. Киров) при изучении учебных дисциплин "Математическое моделирование в строительстве", "Динамика и устойчивость сооружений";

- в Научно-техническом центре проблем динамики и прочности Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева для определения динамической реакции при резонансных колебаниях многослойных конструкций с композитными несущими слоями (подтверждено актом внедрения от 05.03.2012, г. Казань).

Апробация работы. Основные результаты исследований докладывались и обсуждались на XXVIII и XXXI Российских школах по проблемам науки и технологий (г, Миасс, МСНТ, 2008 и 2011 г.); на ежегодной Всероссийской научно-технической конференции "Общество-наука-инновации" (г. Киров, 2010-2011 г.); на XVII Международной конференции по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Алушта, Крым, 25-31 мая 2011 г.); на VI Международной научно-технической конференции "Проблемы и перспективы развития авиации, наземного транспорта и энергетики" (г. Казань, КНИТУ-КАИ, 12-14 октября 2011 г.); на кафедре теоретической и строительной механики Вятского государственного университета (г. Киров, 2011 г.). В целом диссертация обсуждалась и получила одобрение на расширенном заседании кафедры "Сопротивление материалов" Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева (2012 г).

Публикации. Основные результаты диссертационных исследований опубликованы в 11 научных работах, в том числе в 3 статьях в научных журналах, рекомендованных ВАК РФ. Зарегистрирована программа определения динамической реакции тонкостенной подкрепленной конструкции однонаправленной структуры из многослойного волокнистого композиционного материала при

колебаниях в резонансной зоне. Список публикаций приведен в конце автореферата

Достоверность разработанных моделей деформирования материала и конструкций подтверждается путем сравнения полученных на их основе результатов с известными решениями и результатами, приведенными в научной литературе, сравнением результатов, полученных с использованием различных расчетных моделей, применением апробированных в расчетной практике физических моделей и гипотез; корректным использованием математического аппарата; а также экспертными оценками специалистов в области математического моделирования и численных методов при обсуждении диссертации на научных конференциях и семинарах.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и общих выводов. Работа изложена на 121 странице, содержит 50 рисунков и 6 таблиц. Список литературы включает 95 наименований, из них 7 на иностранных языках.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности решаемой научной проблемы, обзор литературы, посвященной моделированию упругих и демпфирующих свойств волокнистых композитных материалов и построению моделей циклического деформирования тонкостенных конструкций, изготовленных их данных материалов; рассматриваются основные проблемы, характерные для этой сферы исследований.

В первой главе рассмотрены основные характеристики демпфирования материала и взаимосвязь между ними, построена матрица обобщенных жестко-стей [Щ для моделирования упругих свойств пакета однонаправленно армированных композитных слоев (рис. 1а), проанализированы основные физические уравнения и обоснована концепция комплексного модуля упругости для моделирования демпфирующих свойств упруго-гистерезисного материала, построен гистерезисный оператор [О]* для моделирования демпфирующих свойств многослойного композиционного материала, армированного однонаправленными волокнами (символ " * " здесь и далее означает, что отмеченные им величины являются комплексными).

слоев и произвольный слой к пакета

Для получения матрицы [О] используются физические уравнения идеально упругого трансверсально-изотропного материала, моделирующие упругие свойства волокнистого плосконапряженного композитного слоя,

(!)

а также статические и геометрические зависимости

{ст(*)} = [Т^]{а[к)}, {*<*>} = [/;(*>]{*}, (2)

где {ст[к)} = {<т,(і) а{к) г^'Ь = Ца) є(2к) - соответственно напря-

жения и деформации в локальных осях Ол^, слоя к пакета (рис. 16); [О], - матрица жесткости данного слоя; {<т(1)} = {а^ а^ г*''} - напряжения в слое к на площадках перпендикулярных осям Ох, Оу пакета; {г} = = {єх еу уху} - деформации пакета; [Г^'], \Т(£кЦ - матрицы преобразования, зависящие от угла укладки вк слоя к пакета:

СОБ2 вк БІП2 вк 0,5 віп 20к '

[г«]г=[гт] = віп2 вк сое2 вк (3)

-%\п2вк 5\п2вк соб 2.9к

Матрица [/)], имеет вид

£,/( \-H\2fhi) /і12£І/( \-M\2th\) 0

[Я], = ц2ХЕ2К І-А2А21) £2/(1-//|2/72|) 0

0 0 °\2

Здесь Е1; Е2, Сп - модули упругости слоя при деформировании его вдоль волокон, поперек ВОЛОКОН И при сдвиге в его плоскости; //12, ¡л21 - коэффициенты Пуассона данного слоя (/и12Е1 = //21Е2). Из (I), (2) и (3) следует связь напряжений {<т(4)} с деформациями {г} пакета слоев: = = [7"г^]' [0]5[Т£(<:) ]{£■}. Отсюда получаются средние по толщине пакета напряжения {с} = {ох иу г^} = [0]{г'}. Искомая матрица [Л] имеет вид

к=1

В качестве примера рассмотрен многослойный композитный материал, армированный углеродными однонаправленными волокнами - углепластик КМУ-8. Данный материал использовался в НПО "Молния" (г. Москва) при проектировании некоторых узлов и агрегатов конструкций летательных аппаратов. Матрица [£>], вычисленная по формуле (5) практически совпадает с той, что найдена по частной методике, принятой в отмеченном НПО.

Для построения оператора [О]* используются концепция комплексного модуля упругости и известный принцип соответствия. Согласно данному принципу физические уравнения указанного материала записываются в той же форме, что и уравнения соответствующего идеально упругого материала, но с

заменой напряжений, деформаций и всех упругих констант материала их комплексными аналогами:

(6)

Гистерезисный оператор [О]* композитного слоя имеет вид

£,7(1-//>2*,) 0

0

0 0 °12

где

Е[ = £1(1 + /(У|/7г); Е\ = Ег{\ + 18г1пУ, С,'2 = Оп{\ + 1дп/яу}

И\2 = ¿"12(1 +'¿2/я-); /'2*1 =/'21(1 +/^/я-); (^Е,* =//2,1£2').]

- комплексные модули упругости и комплексные коэффициенты Пуассона при гармоническом деформировании композитного слоя (<5Ь ^12 _ логарифмические декременты колебаний композитного слоя при деформировании его вдоль волокон, поперек волокон и при сдвиге в его плоскости). Проведена линеаризация оператора [£>]* относительно логарифмических декрементов 81,82,5и, после которой вещественная часть [£>]* полностью совпадает с матрицей жесткости слоя , а мнимая часть (матрица демпфирования

слоя) линейно зависит от данных декрементов, что соответствует классической концепции линейно-гистерезисного твердого тела.

Это дает возможность построить линейный гистерезисный оператор пакета композитных слоев [О]* = + Матрица [£>] определяется выражением (5). Аналогично находится матрица [-0^]:

= (9)

к=1

Проведены численные эксперименты, подтверждающие практическое совпадение линейного и нелинейного операторов [О]*.

Во второй главе получены дифференциальные уравнения движения конечно-элементной модели тонкостенной композитной конструкции с упруго-гистерезисным материалом. При гармонических колебаниях эти уравнения можно представить в комплексной форме:

[М]{гУ +[К]{г}'+1[Кв]{гУ=е!Р'{Р0}. (10)

Здесь [Л/], [К], [А^], {г}*, {/д} - соответственно матрица масс, матрица жесткости, матрица гистерезисного демпфирования, вектор комплексных узловых перемещений и вектор амплитуд внешних узловых сил конечно-элементной модели конструкции; р - круговая частота изменения нагрузки. Для получения стационарного решения системы (10) используется подстановка {г}* =сИаё[е'^р'~^]{г0}, где diag[У(/"~í')] — диагональная матрица с элемен-

[К]-р*[М]

-[К] + р2[М]

тами е'(р'~'рк<рк - сдвиг фаз компонент вектора {г}* по отношению вектору {/■}* == е'р1{Ро). Это дает систему разрешающих уравнений относительно векторов {/"„}, {гь} содержащих синфазные с вектором {Р}* и отстающие от него на угол яг/2 (ортофазные) компоненты вектора {/*}*:

<•»

Векторы {га}, {гь} состоят из компонент гак = гок соъ(рк, гък = г0 к эт(рк. Отсюда находятся амплитуды узловых перемещений конечно-элементной модели конструкции и углы (рк: год= +г£к; <рк = апЛап^ к/га к).

Матрица в системе (11) зависит от логарифмических декрементов 31,32,3\2 композитных слоев, а последние зависят от соответствующих амплитуд деформаций Е\ 0, 6г о, У\2 о данных слоев, которые можно определить только после решения системы (11). Поэтому решение данной системы необходимо итерировать. Простейший вариант построения итерационного алгоритма может состоять в определении логарифмических декрементов 8х,52, 312 для начала следующей итерации по результатам решения системы (11) в конце текущей итерации. Однако проведенные численные эксперименты показали, что решение {г} = {{га} {гь}} в этом случае получается расходящимся. Разработан итерационный алгоритм решения системы (11), обеспечивающий надежную и быструю сходимость {г} к определенному пределу на основе рекуррентной формулы

И+1 (0</?<1), (12)

где {г}/5 {г}] - вектор {г} соответственно в начале и конце текущей итерации /'; {/"},+1 — то же в начале следующей итерации. Алгоритм стартует при / = 0 и {г}0 = 0. Количество итераций зависит от параметра /3 и заданной точности £ решения системы (11). Итерации прекращаются при выполнении условия: IIГ1+1 ~~ Г1 Иг / II 1г — £> содержащего квадраты вторых норм соответствующих векторов. Необходимо заметить, что при {г}0 = 0 матрица = 0, поскольку д2, 8п еще не приняли какие-либо конечные значения. Поэтому необходимо исключить начальную сингулярность матрицы системы (11) в режиме резонанса (при резонансе с!е1([.К] - р2[М}) = 0), задавая на итерации / = 0 некоторые начальные значения д{, 8г, Зп (это можно сделать непосредственно в подпрограммах формирования матриц гистерезисного демпфирования конечных элементов при условии г = 0).

С целью апробации разработанного итерационного алгоритма рассматриваются резонансные колебания композитного стержня с тремя сосредоточен-

ными грузами (рис. 2) при действии силы P(t) = Р0 cos pt с амплитудой Р0 = 750Н и частотой р = а1= 543,147с"1, где ¿у, - круговая частота основного тона свободных колебаний недемпфированной системы. Стержень моделируется девятью конечными элементами с линейным полем перемещений.

Трение грузов о поверхность не п Щ т2 тз p(j) учитывается. Массы грузов:

J1 ' 1 I 1 1 I -»—► т, = 40 кг; т7 = 30 кг; /и, = 20 кг.

7777777777777777777^777- X 1 z J

I Длина стержня / = 0,81 м, площадь

поперечного сечения F = 100 мм2.

Рис. 2. Расчетная модель композитного

стержня Материал композитных слоев -

углепластик КМУ-8. Механические характеристики однонаправленно армированного слоя: Е1 =125000 МПа; Е2 = 9000 МПа; Gn = 5000 МПа; jui2 = 0,02. Плотность материала слоя р = 1800 кг/м3. Зависимости логарифмических декрементов Sl,S2,Sn слоя от амплитуд соответствующих деформаций аппроксимируются степенными полиномами

^ =207,6766^-8,02963 •Ю4£-12о+1,05781-Ю7^;

8г = 66,1280 ¿г2 0 - 5,80864 • 104 е\ „ + 2,18583 • 107 s\ 0;

(13)

'2,0 с2,0>

<У,2 =21,7923/12.0 -5,09560-103/и,о + 5,32471-Ю5/,^-

Композитные слои в стержне уложены по схеме: 080о/о/±4520% (подстрочные символы означают суммарные площади поперечных сечений указанных слоев в процентах относительно площади поперечного сечения всего стержня).

В таблице приведены значения числа итераций N при различных значениях параметра /? в формуле (12) и точности е = 1-10"6 при решении системы (11). Наименьшее число итераций N = 6 получается в интервале 0,75 <Р< 0,9.

Таблица. Число итераций N при различных значениях параметра ¡5

р 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00

N 11 9 8 7 6 6 6 6 8 00

Наличие векторов {га}, {/},}, полученных при решении системы (11), и топологической информации о конечных элементах позволяет идентифицировать аналогичные векторы {га}т, {гь)т произвольного элемента т конструкции, определяющие напряженно-деформированное состояние (НДС) данного элемента. Получены формулы для вычисления средних по толщине композитного пакета синфазных {ста} и ортофазных {сгь} (по отношению к нагрузке) компонент напряжений в конечных элементах:

{aa}=[D][B]{ra}m+[Dg][B]{rb}m-,{ab}=-[Dg][B]{ra}m+[D][B]{rb}m. (W Матрица [6] в (14) определяет связь деформаций {єа}, fo,} пакета с соответствующими векторами {га}т,{гь}т элемента: {єа} = [В]{га}т-, {єь} = = Элементы <7a j и (Tb j векторов {сга}, {<7b} определяют амплиту-

ды соответствующих напряжений: a0j = , используемые для

оценки прочности композитного пакета. При необходимости возможен анализ напряженного состояния каждого слоя пакета:

Мк)} =[D]s[TcW][B]{ra}m HDg]s[nk)]lB]{rb}m; {aik)} = -[^]ЛГ«][В]{га}т +[D]s[T^][B]{rb}n

(15)

В третьей главе обоснован выбор конечных элементов для моделирования тонкостенных композитных конструкций типа крыла самолета Напряженное состояние всех элементов и соответственно самой конструкции считается безмоментным. Обшивка моделируется треугольными квадратичными элементами, стенки лонжеронов и нервюр - четырехугольными полуквадратичными элементами, полки лонжеронов и нервюр и стрингеры — ферменными квадратичными элементами. Данный набор элементов позволяет адекватно отображать НДС конструкции, как в регулярных областях, так и в областях, имеющих значительные градиенты напряжений.

Введено понятие комплексной матрицы жесткости гармонически деформируемого упруго-гистерезисного композитного конечного элемента построенной на основе гистерезисного оператора [С]* пакета композитных слоев:

[К]"т=[к]т +1[к8]т = (16)

V

Здесь [К]т, [Кя]т - соответственно матрица жесткости и матрица гистерезисного демпфирования данного элемента:

[К]т = ¡[В]Т[0][В]с1У; [Кш1п = ¡[В]Т[Б^[В^У. (17)

V V

На основании формул (17) получены конечные соотношения для вычисления матриц жесткости и матриц гистерезисного демпфирования выбранных композитных конечных элементов. Обоснована возможность использования несогласованной матрицы масс для моделирования инерционных свойств конечного элемента:

[м]т = \тттрс1У. (18)

V

Здесь [¿V] - матричная функция, определяющая поле перемещений конечного элемента, которая имеет порядок производных от функции [.¿V], участвующей в формировании матрицы жесткости элемента.

Следует отметить, что четырехугольный полуквадратичный элемент (рис. 3) ранее при расчетах тонкостенных конструкций не использовался. Элемент предназначен для моделирования стенок лонжеронов и нервюр тонкостенных конструкций типа крыла самолета. Отличительная особенность данного элемента состоит в использовании геометрически неизотропной аппроксимации перемещений и, V - линейной по безразмерной координате 77, что близко к реальному распределению данных перемещений по высоте стенки, и квадратичной по безразмерной координате Е, :

и = а0 + а^+а2Е,2 +а3т] + а4^П +

у = Л, + № + Д>£2 + РъП + Ш + (19)

(-1<£<1; -1<77<1).

После учета условий ,77,) = и,, v(^¡,TJ¡) = vi (/ = 1;6) перемещения и, V можно представить в виде

=т«=

0 N2 0 Nз 0 м4 0 0 N6 0

0 0 N2 0 N3 0 N4 0 N5 0 N6

{Г}, (20)

У

(21)

где N1 (г' = 1;6) - функции распределения; {г} = {г(, и2 У2—иб М- Функции N1 имеют вид

;У4=(£+<?2+<?/7+<Г277)/4;

Матрица жесткости [/С] и матрица гистерезисного демпфирования [ЛТг] вычисляются по общим форму-

Рис. 3. Четырехугольный полуквадра- лам (17) (индекс т опущен) при тичный элемент ¿У = //¿¿5 :

[*] = й/[В]г[£>][В№ = (22)

V V

Матрица [В] в (22) имеет вид

[В] = [[51]|[52]|[В3]|[54]|[В5]|[Вб]], (23)

где

Г Бцд^/де+БадЪ/дп 0

№1 = 0 52,5^/5^ + 522 дЫ,1дт]

Б2ХдЫ11д$+522дМ,1дг1 SnдNi/д4 + Sl28Njд^J

(/ = 1; 6). (24)

Величины (/; у = 1; 2) есть элементы матрицы, обратной к матрице Якоби

и=

дх/д{; ду/д{

дх/дг] ду/дт]

(25)

Координаты х, у в (25) определяются через координаты узлов элемента с использованием функций N¡(^,7]), которые использовались в (20) для представления перемещений и, V произвольной точки элемента:

* = у = ^м,у,. (26)

/=1 1=1

Построенная таким образом матрица [Б] дает произведения [В]Г[Щ[В] и в формулах (22) в виде степенного полинома координат ц, со

старшими степенями т]2. Для точного вычисления интегралов в (22) берется мультипликативная квадратурная формула Гаусса по схеме 3x2:

3 2

[К] = и XI №т, //„)]' [0][В(%„,, Пя)] , //„)] РМп;

т=1 п=1 3 2

(27)

т=1 и=1

Здесь = -0,774597, = 0, = 0,774597, щ = -0,577350, г]2 = 0,577350 -координаты точек Гаусса; Р1=Р3 = 0,555556, Р2 = 0,888889, 01 = 62 =1 -весовые множители.

В четвертой главе приведены описание и результаты численных экспериментов по апробации разработанных конечных элементов из многослойного композиционного материала, армированного однонаправленными волокнами на примерах определения статической и динамической реакции нескольких тестовых конструкций. На рис. 4 приведена конечно-элементная модель одной из таких конструкций - композитного лонжерона, состоящего из стенки и двух симметричных полок. Стенка моделируется четырехугольными полуквадратичными элементами, полки - ферменными квадратичными элементами. Материал стенки и полок — многослойный волокнистый композит КМУ-8.

На рис. 5 представлены нормальные напряжения сг в нижней полке лонжерона и средние по толщине пакета касательные напряжения г в его стенке, полученные методом конечных элементов и по модели лонжерона в виде консольной балки. Правомерность такой модели обусловлена достаточно большим удлинением лонжерона, и данная модель может рассматриваться как эталонная. Результаты конечно-элементного решения, являются достаточно близкими к их эталонным значениям.

На рис. 6 приведены амплитуды тех же напряжений при резонансных колебаниях лонжерона, представленного прежней конечно-элементной моделью,

при действии равномерно распределенной нагрузки q - q0 cos pt с амплитудой ?0=95Н/м и круговой частотой р = со1. Частота основного тона свободных колебаний конечно-элементной модели лонжерона имеет значение Зависимость логарифмических декрементов колебаний

<?о композитного слоя

юх =218,418с"1.

q = 4900 Н/м

ди32, и,2

Рис. 4. Конечно-элементная модель н схема нагружения лонжерона

а.МПа

300 200 100 0

Хху, МПа

1 1 1

о -МКЭ -- консольная балка

24 16 8 0

0 0,72 1,44 2,16 2,88 3,60 м Рис. 3. Нормальные напряжения а в нижней полке лонжерона и средние по толщине пакета касательные напряжения т,у в его стенке

а о,МПа хху,о>МПа

от амплитуд соответствующих деформаций определяется выражениями (13). Распределение тху о и сг0 по длине лонжерона качественно отличается от того, что было при действии статической нагрузки ц (рис. 5). С целью количественной оценки достоверности полученных значений тху 0 и <т0

проверено выполнение условия динамического равновесия части лонжерона, расположенной справа от сечения, проведенного через середину третьего элемента от корневого сечения.

Интегральным критерием оценки достоверности полученных результатов является выполнение условия энергетического баланса, состоящего в равенстве рассеянной энергии А1¥ во всем объеме конечно-элементной модели лонжерона за один цикл колебаний полной работе А внешних узловых сил Р5 (/) в течение того

же цикла. Вычисления дали следующие результаты: ЬШ = л{г0}т[Кг]{г0} = = 22,788 Н-м; Л = XIЛ('Я(/)<Л = 22,796 Н• м, что свидетельствует о практически точном выполнении условия Д (V = А.

Рассмотрена близкая к реальной тонкостенная композитная конструкция -треугольное крыло из композита КМУ-8 (рис. 7). Напряженное состояние крыла считается безмоментным. Обшивка крыла моделируется треугольными квадратичными элементами, стенки лонжеронов и нервюр - четырехугольными полуквадратичными элементами, полки лонжеронов и нервюр - ферменными квадра-

120 80 40 0

Сто \

OS

0 0,72 1,44 2,16 2,88 3,60 х,м

Рис. 6. Амплитуды нормальных напряжений <?о в нижней полке лонжерона и амплитуды средних по толщине пакета касательных напряжений т,у,0

в его стенке

тачными элементами. Определяется резонансная реакция крыла на низшей соб! при действии переменной по хорде поверхностной

ственнои частоте

У '

Ofc

со.

\

в

X

Профиль корневой нервюры

нафузки д.: на одной трети хорды от передней кромки крыла qz=q-q 0 cos pt, на остальной части хорды qz меняется линейно от значения q до 0,3q. Нафузка q имеет амплитуду q0 = 210 Н/м2 и круговую частоту р =

= сох = 85,375 с-1. Значение а>1 найдено методом обратных итераций. Зависимости логарифмических декрементов колебаний Sl,S2,Sn композитного слоя от амплитуд соответствующих деформаций представляются степенными полиномами (13).

На рис. 8-11 приведены некоторые результаты определения динамической реакции крыла при резонансе. Полученные результаты качественно соответствуют представлениям о работе крыла при заданных условиях его нагру-жения и закрепления. С целью общей количественной оценки достоверности полученных результатов проверено условие выполнения энергетического баланса при резонансе: ДW = А. Значения ДW и А являются практически одинаковыми: AW = 153,379 Н-м; А= 153,331 Н-м. Для получения результатов использована зарегистрированная авторская программа [12], составленная на внутреннем языке математического пакета MATLAB 6.5.

6,02 м

Рис.7. Конечно-элементная модель крыла

• - узлы крепления крыла J 50 мм

Рнс. 8. Амплитуды прогибов крыла

Рнс. 9. Амплитуды средних по толщине композитного пакета нормальных напряженки CTIt0 на нижней поверхности обшивки крыла

Рнс. 10. Амплитуды средних нормальных напряжений о0 в поперечных сечениях нижних полок силовых лонжеронов

Рис. 11. Амплитуды средних по толщине композитного пакета касательных напряжений т,у,0 в стенках силовых лонжеронов

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построены математическая модель упругих свойств пакета однонаправ-лено армированных произвольно уложенных композитных слоев и комплексный гистерезисный оператор для моделирования его демпфирующих свойств.

2. Получена система разрешающих уравнений метода конечных элементов для моделирования стационарных колебаний тонкостенных композитных конструкций с учетом демпфирующих свойств материала. Разработан итерационный алгоритм решения полученной системы уравнений. Приведен численный пример, иллюстрирующий быструю сходимость алгоритма.

3. Получены соотношения для вычисления синфазных и несинфазных компонент (по отношению к вектору нагрузки) амплитуд напряжений композитных элементов с возможностью вычисления их для всего пакета композитных слоев и отдельно для каждого слоя пакета

4. Обоснован выбор конечных элементов для моделирования безмомент-ного напряженно-деформированного состояния тонкостенных композитных конструкций типа крыла самолета: обшивка представляется треугольными квадратичными элементами; стенки лонжеронов и нервюр - четырехугольными полуквадратичными элементами; полки лонжеронов и нервюр и стрингеры - ферменными квадратичными элементами.

5. Получены матрицы жесткости, матрицы гистерезисного демпфирования и матрицы масс отмеченных конечных элементов. Отмечено, что четырехугольный полуквадратичный элемент в расчетах тонкостенных конструкций ранее не применялся. Особенность элемента состоит в неизотропной аппроксимации его перемещений: линейной аппроксимации по высоте и квадратичной в другом направлении, что позволяет существенно сократить общее число узловых перемещений конечно-элементной модели конструкции по сравнению с известным квадратичным элементом.

6. Обоснован выбор математического пакета МАТЬАВ 6.5 для численной реализации разработанных моделей и алгоритмов.

7. Проведены численные эксперименты по апробации и оценке достоверности разработанных конечных элементов. Достоверность подтверждается сравнением полученных результатов с имеющимися численными решениями, а так же с решениями, полученными на основе моделей, для которых можно получить надежные, проверенные практикой численные результаты.

8. Определена динамическая реакция при резонансных колебаниях композитного треугольного крыла из материала КМУ-8. Для получения результатов использована авторская программа определения динамической реакции тонкостенной подкрепленной конструкции однонаправленной структуры из многослойного волокнистого композиционного материала при колебаниях в резонансной зоне (зарегистрирована в Реестре программ для ЭВМ 23.09.2011 г. Свидетельство № 2011617436). Полученные результаты качественно соответствуют представлениям о напряженно-деформированном состоянии элементов рассматриваемого крыла и в совокупности удовлетворяют условию энергетического баланса в течение цикла колебаний.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ В рецензируемых научных журналах:

1. Левашов А. П., Шишкин В. М. Моделирование рассеяния энергии в волокнистом композиционном материале при резонансных колебаниях конструкций // Научно-технический вестник Поволжья. 2011. № 1. С. 130-139.

2. Шишкин В. М., Левашов А. П. Моделирование демпфирующих свойств материала при анализе динамической реакции тонкостенных композитных конструкций в резонансных режимах нагружения // Перспективы науки. 2011. №8. С. 112-120.

3. Шишкин В. М., Левашов А. П. Формирование определяющих уравнений для моделирования резонансных колебаний тонкостенных композитных конструкций // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2012. № 1. С. 82-88.

. В других изданиях:

4. Шишкин В. М., Левашов А. П. Моделирование демпфирующих свойств тонкостенных конструкций из многослойного композиционного материала, армированного однонаправленными волокнами // Материалы XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам. Алушта, 25-31 мая 2011. С. 437-439.

5. Шишкин В. М., Левашов А. П. Четырехугольный полуквадратичный элемент для моделирования стенок лонжеронов и нервюр // Материалы VI Международной научно-технической конференции "Проблемы и перспективы развития авиации, наземного транспорта и энергетики". Т. 1. КГТУ-КАИ, 12-14 октября 2011. С. 77-82.

6. Шишкин В. М., Левашов А. П. Формирование матрицы жесткости треугольного безмоментного элемента из многослойного композиционного мате-

риала // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. "Общество-наука-инновации". Т. 3. Киров, 2010. С. 324-327.

7. Шишкин В. М., Левашов А. П. Определение обобщенных жесткостей композиционного материала с произвольной схемой укладки слоев // Сб. материалов Всероссийской науч.-технич. конф. "Общество-наука-инновации". Т. 3. Киров, 2010. С. 328-331.

8. Шишкин В. М. / Построение гистерезисного оператора для учета демпфирующих свойств многослойного композиционного материала, армированного однонаправленными непрерывными волокнами [Электронный ресурс] / В. М. Шишкин, А. П. Левашов // Общество, наука, инновации (НТК-2011): еже-год. открыт, всерос. науч.-технич. конф., 18-29 апр. 2011.: сб. материалов / Вят. гос. ун-т; отв. ред. С. Г. Литвинец. - Киров, 2011. - 1 электрон, опт. диск (CD-ROM). (Факультет строительства и архитектуры. Секция «Механика деформируемого твердого тела». Статья № 2).

9. Левашов А. П. / Формирование матрицы жесткости треугольного квадратичного элемента из волокнистого композиционного материала [Электронный ресурс] / А. П. Левашов // Общество, наука, инновации (НТК-2011): еже-год. открыт, всерос. науч.-технич. конф., 18-29 апр. 2011.: сб. материалов / Вят. гос. ун-т; отв. ред. С. Г. Литвинец. - Киров, 2011. - 1 электрон, опт. диск (CD-ROM). (Факультет строительства и архитектуры. Секция «Механика деформируемого твердого тела». Статья № 3).

10. Шишкин В. М., Левашов А. П. Алгоритм пересчета перемещений при изменении матрицы жесткости конструкции. В кн.: Наука и технологии. Т. 1. Труды XXVIII Российской школы. М.: РАН, 2008. С. 211-215.

11. Шишкин В. М., Левашов А. П. Моделирование демпфирующих свойств многослойного композиционного материала, армированного однонаправленными волокнами // Наука и технологии. Материалы XXXI Всероссийской конференции. М.: РАН, 2011. С. 13-22.

Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ

12. Шишкин В. М., Левашов А. П. Программа определения динамической реакции тонкостенной подкрепленной конструкции однонаправленной структуры из многослойного волокнистого композиционного материала при колебаниях в резонансной зоне. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 23.09.2011 г. Свидетельство № 2011617436.

Подписано в печать 16.04.12. Печать цифровая. Бумага для офисной техники. Усл. печ. л. 1,15. Тираж 120 экз. Заказ 866. Полиграфическое редакционно-издательское подразделение Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Вятский государственный университет» 610000, Киров, ул. Московская, 36, тел.: (8332) 64-23-56, http://vyatsu.ru

0 1 I ¿-0/^*5/4

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Левашов Александр Павлович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ ТОНКОСТЕННЫХ КОМПОЗИТНЫХ КОНСТРУКЦИЙ В РЕЗОНАНСНЫХ РЕЖИМАХ НАГРУЖЕНИЯ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Вятский государственный университет

На правах рукописи

Научный руководитель: доктор технических наук, доцент В.М. Шишкин

Казань-2012

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

ВВЕДЕНИЕ 4

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГИХ И ДЕМПФИРУЮЩИХ СВОЙСТВ

МНОГОСЛОЙНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ....... 12

1.1. Основные характеристики демпфирования материалов....... 12

1.2. Построение матрицы обобщенных жесткостей для моделирования упругих свойств пакета однонаправленно армированных композитных слоев..................................... 14

1.3. Выбор физических уравнений для моделирования демпфирующих свойств упруго-гистерезисного материала........... 22

1.4. Построение гистерезисного оператора пакета однонаправленно армированных композитных слоев.................... 28

1.5. Выводы по главе............................................ 37

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ ПРИ

РЕЗОНАНСНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ТОНКОСТЕННЫХ

КОМПОЗИТНЫХ КОНСТРУКЦИЙ................................ 39

2.1. Построение системы разрешающих уравнений для моделирования стационарной динамической реакции конструкций с упруго-гистерезисным материалом схемы................... 39

2.2. Модифицирование структуры системы разрешающих уравнений ....................................................... 44

2.3. Выбор метода решения системы разрешающих уравнений ... 48

2.4. Построение итерационного алгоритма для учета амплитудно-зависимого рассеяния энергии в материале................... 50

2.5. Определение амплитуд напряжений в композитных конечных элементах................................................... 55

2.6. Выводы по главе............................................ 58

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЖЕСТКОСТНЫХ, ДЕМПФИРУЮЩИХ И

ИНЕРЦИОННЫХ СВОЙСТВ КОМПОЗИТНЫХ КОНЕЧНЫХ

ЭЛЕМЕНТОВ...................................................... 60

3.1. Выбор типов конечных элементов........................... 60

3.2. Комплексная матрица жесткости композитного конечного элемента.................................................... 62

3.3. Треугольный квадратичный элемент......................... 63

3.4. Четырехугольный полуквадратичный элемент..............................73

3.5. Ферменный квадратичный элемент....................................................81

3.6. Выводы по главе........................................................................................85

4. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО РЕАЛИЗАЦИИ

РАЗРАБОТАННЫХ МОДЕЛЕЙ И АЛГОРИТМОВ В РАСЧЕТАХ

ТОНКОСТЕННЫХ КОМПОЗИТНЫХ КОНСТРУКЦИЙ........................87

4.1. Выбор системы программирования....................................................87

4.2. Тестовые примеры по оценке достоверности и точности используемых конечных элементов........................................................88

4.3. Определение динамической реакции при резонансных колебаниях композитного крыла..................................................................103

4.4. Выводы по главе........................................................................................109

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ..................................................................................................110

ЛИТЕРАТУРА..........................................................................................................112

ВВЕДЕНИЕ

0.1. Состояние решаемой проблемы. Обзор литературы

Современные тонкостенные конструкции имеют достаточно плотный спектр собственных частот, и могут работать в широкой полосе частот возмущающих сил, что затрудняет использование традиционных методов отстройки от резонанса и применение различного рода демпфирующих устройств. Особенно это относится к конструкциям летательных аппаратов, где применение таких методов и устройств практически исключено. Отсюда решающее значение приобретает способность самой конструкции демпфировать опасные резонансные колебания, препятствуя появлению значительных перемещений и перегрузок. К сожалению, большинство конструкционных материалов (металлов и их сплавов) имеют весьма низкую демпфирующую способность, и для многих конструкций основной причиной рассеяния энергии оказывается трение в узлах соединения их отдельных элементов (конструкционное демпфирование), которое является трудно прогнозируемым фактором.

В связи с этим возрастает интерес к структурно неоднородным высоко демпфированным материалам, позволяющим целенаправленно влиять на прочность, жесткость и демпфирующую способность конструкции. Наиболее перспективным представляется направление, связанное с использованием композитных материалов, сочетающих в себе высокие прочностные, жестко-стные и демпфирующие свойства. Среди широкого многообразия композитных материалов для изготовления силовых элементов конструкций наибольшее применение имеют многослойные материалы, армированные высокопрочными и высокомодульными однонаправленными волокнами [3, 16, 27, 28]. Именно из таких материалов методами непрерывной намотки или укладки создаются типичные элементы тонкостенных конструкций - многослойные пластины, оболочки и панели.

Однако следует заметить, что, несмотря на значительный интерес к многослойным композитным материалам, проблема учета их демпфирующих

свойств при моделировании резонансных колебаний реальных тонкостенных композитных конструкций до сих пор не имеет пригодного для практики инженерного решения [71]. Подавляющее большинство работ касается построения моделей частных элементов конструкций: композитных балок, гладких пластин и оболочек при определенных условиях нагружения и закрепления. В связи с этим уместно заметить, что оценка эффективности той или иной модели зависит от того, насколько пригодной является эта модель для расчета конструкции в целом. В настоящее время таким требованиям в полной мере удовлетворяют только конечно-элементные модели [73, 75].

Проблема определения динамической реакции при резонансных колебаниях тонкостенных композитных конструкций включает два основных вопроса: моделирование упругих и демпфирующих свойств многослойных композитов с целью построения матриц жесткости и матриц демпфирования материала, и построение разрешающих уравнений для определения резонансной реакции конструкции.

При моделировании упругих свойств многослойных композитов обычно исходят из эффективных характеристик жесткости отдельного композитного слоя. Если волокна слоя образуют в его поперечном сечении некоторую регулярную структуру, то для определения отмеченных характеристик возможен микроструктурный подход, состоящий в выделении представительного элемента данной структуры и последующем анализе его полей напряжений и деформаций [13, 19, 21, 91, 93]. При расположении волокон случайным образом возможен вариационный подход, позволяющий дать верхнюю и нижнюю границы эффективных механических характеристик композита [90, 91]. На практике для представления упругих свойств волокнистого слоя часто используются более простые (но менее точные) модели, основанные на замене структурно неоднородного слоя квазиоднородным ортотропным материалом [3, 16] и применении процедуры осреднения, приводящей к так называемым формулам смесей [6]. Таким образом, вопрос моделирования упругих свойств композитов на уровне отдельного слоя может считаться практически решенным. По-

этому основное внимание в диссертации уделено определению характеристик жесткости пакета произвольно уложенных композитных слоев, что позволяет варьировать данные характеристики, меняя схему укладки слоев.

Ситуация с моделированием демпфирующих свойств многослойных композитных материалов волокнистой структуры является менее ясной. Прежде всего, необходимо решить вопрос выбора физических уравнений, определяющих демпфирующие свойства волокнистого слоя. Эти уравнения обычно разделяют на уравнения вязкоупругих тел и уравнения гистерезисного типа [55, 60, 64, 70]. В первом случае утверждается, что нелинейная часть напряжений зависит от скорости (частоты) деформирования материала, во втором - от амплитуды деформации. Многочисленные опыты с металлами и их сплавами [2, 9, 60, 61] показали, что в области напряжений, представляющих интерес при расчете конструкций, наиболее существенна амплитудная зависимость. Работ по исследованию рассеяния энергии в волокнистых композиционных материалах существенно меньше [46, 87, 88], но в них так же утверждается отмеченная амплитудная зависимость.

Подавляющее число работ по моделированию демпфирующих свойств многослойных материалов, относятся к материалам, составленным из чередующихся жестких и мягких слоев, причем материал слоев считается изотропным [1, 25, 26, 27, 28, 31, 70 и др.]. Работ, посвященных моделированию дис-сипативных свойств армированных и в частности волокнистых материалов существенно меньше. По-видимому, это пока один из немногих разделов механики композитных материалов, где можно перечислить все имеющиеся работы. Достаточно полный обзор таких работ дан в монографии [28]. Перспективны модели, построенные на микроструктурном подходе, основанном на выделении представительного элемента объема структурно неоднородного материала, как это делается, например, при определении характеристик жесткости армированных композитов [13, 21, 91]. Но изучение этого вопроса еще далеко от завершения [71]. Поэтому на практике часто используют более простые модели, построенные на уже упомянутых выше формулах смесей для

определения осредненных характеристик демпфирования волокнистого слоя, как это сделано, например, в работах Яковлева А.П. [87, 88]. Однако автор данных работ делает не вполне корректное допущение о том, что контакт любого волокна с матрицей является идеальным, т.е. отсутствует их относительное проскальзывание. Между тем известно, рассеяние энергии при циклическом деформировании волокнистых композитов обусловлено в основном конструкционным трением на границе составляющих фаз [36, 37, 66]. А поскольку области границы, где имеется относительное проскальзывание волокна и матрицы, распределены случайным образом, то модель рассеяния энергии в волокнистом композите необходимо строить в вероятностной постановке. Однако этот вопрос требует отдельной серьезной проработки, поскольку в литературе пока не рассматривается.

Наиболее реальным и удобным для практического применения является предлагаемый в диссертации теоретико-экспериментальный подход, основанный на данных измерения демпфирующей способности композитного слоя и использовании их для построения физических уравнений несовершенно упругого слоя и пакета слоев в целом [42, 77, 82]. Для измерения демпфирующей способности слоя можно использовать известные методики и установки [38, 60, 61], применяемые в экспериментальных исследованиях рассеяния энергии традиционных материалов.

Перейдем ко второму вопросу - построению разрешающих уравнений для моделирования резонансной реакции тонкостенных композитных конструкций. В немногочисленных работах, где рассматривается данный вопрос, для построения данных уравнений традиционно используются аналитические методы [27, 28, 70], возможности которых ограничиваются рамками простейших конструктивных элементов (стержнями, балками, пластинами и оболочками простой формы). Основным методом решения разрешающих уравнений остается асимптотический метод Крылова-Боголюбова-Митропольского [10]. Причем, как правило, ограничиваются только первым приближением данного метода.

Метод конечных элементов в моделировании резонансных колебаний тонкостенных композитных конструкций (несмотря на его перспективность) пока еще не находит должного практического применения. Причина этого кроется в отсутствии необходимых компонент для реализации данного метода - подходящих физических уравнений, методов получения матриц гистерезисно-го демпфирования конечных элементов из многослойных волокнистых композитов, корректных методов учета амплитудной зависимости демпфирующей способности материала при решении систем разрешающих уравнений.

Наиболее реальный путь выхода из данной ситуации состоит в использовании концепции комплексного модуля упругости [14, 65, 73, 75]. Это позволяет, как показано в диссертации, построить комплексную матрицу жесткости композитного конечного элемента: вещественная часть данной матрицы определяет жесткость элемента, мнимая - его демпфирующие свойства. Отсюда появляется возможность перейти от дифференциальных уравнений движения конечно-элементной модели конструкции к системе квазилинейных алгебраических уравнений относительно синфазных с вектором нагрузки и отстающих от него на угол я-/2 (ортофазных) компонент узловых перемещений, полностью определяющих динамическую реакцию данной модели [81, 83, 86].

Нелинейность данных уравнений обусловлена тем, что матрицы гистере-зисного демпфирования конечных элементов формируются с учетом характеристик демпфирования композитных слоев, а последние зависят от амплитуд деформаций данных слоев, определяемых после решения системы разрешающих уравнений. Поэтому решение данной системы необходимо итерировать. При решении физически нелинейных задач типичен подход, состоящий в использовании данных конца текущей итерации для начала следующей итерации [29, 44]. Однако при учете гистерезисных потерь данный алгоритм не обеспечивает сходимости итерационного процесса [81, 83, 86]. В связи с этим в главе 2 диссертации предложена рекуррентная формула, сдвигающая назад узловые

перемещения конца текущей итерации с использованием назначаемого параметра сдвига, что обеспечивает достаточно быструю сходимость итераций.

0.2. Цель диссертационной работы

Цель диссертационной работы состоит в моделировании напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций из многослойного композиционного материала, армированного однонаправленными волокнами, при колебаниях в резонансной зоне. Достижение этой цели предполагает:

• построение матрицы обобщенных жесткостей пакета однонаправленно армированных композитных слоев для моделирования упругих свойств материала;

• построение гистерезисного оператора пакета несовершенно упругих композитных слоев для моделирования его демпфирующих свойств;

• формирование системы разрешающих уравнений метода конечных элементов для определения динамической реакции тонкостенных композитных конструкций;

• разработку итерационного алгоритма решения полученной системы уравнений;

• построение матриц жесткости, матриц масс и матриц гистерезисного демпфирования конечных элементов, выбранных для моделирования тонкостенных композитных конструкций;

• проведение численных экспериментов по оценке достоверности разработанных моделей.

0.3. Содержание диссертации

Диссертация состоит из введения и четырех глав, в которых рассмотрены вопросы моделирования упругих и демпфирующих свойств многослойных композитных материалов, армированных однонаправленными волокнами, и определения динамической реакции при резонансных колебаниях тонкостенных конструкций, изготовленных из данных материалов.

В главе 1 рассмотрены основные характеристики демпфирования материалов и взаимосвязь между ними, построены матрица обобщенных жестко-стей и комплексный гистерезисный оператор пакета произвольно уложенных композитных слоев. Проведена линеаризация данного оператора относительно логарифмических декрементов колебаний композитного слоя при деформировании его вдоль волокон, поперек волокон и при сдвиге в плоскости слоя. Приведен численный пример, подтверждающий возможность данной линеаризации.

В главе 2 построена система разрешающих уравнений для моделирования динамической реакции конструкций с упруго-гистерезисным материалом в резонансных режимах нагружения. Для построения отмеченной системы выбраны принцип Даламбера-Лагранжа и метод конечных элементов. Предложен способ формирования полной матрицы системы разрешающих уравнений в виде прямоугольного массива на основе структурного объединения матрицы жесткости, матрицы масс и матрицы гистерезисного демпфирования конечного элемента в одну гибридную матрицу. Разработан итерационный алгоритм решения системы разрешающих уравнений в связи с зависимостью логарифмических декрементов колебаний композитного слоя от амплитуд соответствующих деформаций. Проведены численные эксперименты по оценке скорости сходимости разработанного алгоритма.

В главе 3 выбраны конечные элементы для моделирования тонкостенных композитных конструкций. Введена комплексная матрица жесткости конечного элемента из многослойного композитного материала. Получены матрицы жесткости, матрицы гистерезисного демпфирования и матрицы масс выбранных конечных элементов. Разработаны подпрограммы формирования отмеченных матриц.

В главе 4 про