автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Модальное управление двухканальными фотоэлектрическими следящими системами с квазиоднотипными каналами при стохастическом экзогенном воздействии

На правах рукописи

Цвентарный Артем Юрьевич

МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДВУХКАНАЛЬНЫМИ ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ СЛЕДЯЩИМИ СИСТЕМАМИ С КВАЗИОДНОТИПНЫМИ КАНАЛАМИ ПРИ СТОХАСТИЧЕСКОМ ЭКЗОГЕННОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в технических системах)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург-2010 2 0 ^ ^¡0

004602215

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики

Научный руководитель

д.т.н., профессор Ушаков Анатолий Владимирович Официальные оппоненты:

д.т.н., профессор Шишлаков Владислав Федорович к.т.н., доцент Новожилов Игорь Михайлович

Ведущая организация ОАО «Научно-производственное предприятие "Радар ММС"»

Защита состоится 18 мая 2010 г. в 16 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.227.03 в Санкт-Петербургском государственном университете

информационных технологий, механики и оптики по адресу: 197101, Санкт-Петербург, пр. Кронверкский, д. 49, СПбГУ ИТМО

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета

информационных технологий, механики и оптики

Автореферат разослан « апреля 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Коняхин И. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Тема диссертации «Модальное управление двухканальными фотоэлектрическими следящими системами с квазиоднотнпными каналами при стохастическом экзогенном воздействии» сформирована на основе потребностей исследования и разработки системы эксплуатационного контроля деформаций металлоконструкций (МК) больших полноповоротных радиотелескопов (РТ) типа ТНА-1500 проекта «Газон», в условиях воздействия на них различных деформирующих факторов, для целей предъэксплуатационной и динамической юстировки радиооптической системы (РОС) РТ.

В настоящее время задача контроля (измерения) линейных и угловых перемещений (деформаций) элементов МК таких устройств, как радиотелескопы, мачты радиорелейной и мобильной связи, решается двумя способами. Первый способ состоит в непосредственном преобразовании измеряемого перемещения в электрический сигнал аналогового или цифрового вида. Этот способ приемлем для случаев, характеризующихся незначительными угловыми и линейными перемещениями контролируемых элементов. Второй способ строится на принципе следящего преобразования и характеризуется практически неограниченным перемещением контролируемых элементов. Если требуется обеспечить бесконтактность измерения, то, как первый, так и второй способы, строятся с использованием информационных возможностей оптической среды.

Так как большие РТ, в отличие от оптических телескопов, не покрываются защитным колпаком, то они функционируют в условиях непосредственного воздействия на их конструкцию следующих деформирующих факторов:

- весовых (при угломестном повороте РТ); -ветровых (в силу высокой парусности главного рефлектора);

-температурных градиентов и остужающего действия ветра (в силу большой площади поверхности МК РТ, одна часть которой обычно находится в тени, а вторая - под воздействием солнечного излучения), а также осадков;

- ускорения, развиваемого силовыми приводами РТ.

Перечисленные компоненты деформаций разделяются на две группы. Первая группа состоит из функционально детерминированных (предсказуемых) деформаций, к ним относятся деформации, вызванные изменением весовых нагрузок при угломестном вращении РТ, и деформации, вызванные влиянием ускорения. Данные деформации могут быть скомпенсированы программно при вращении РТ на различные углы и при различных скоростях.

Вторая группа деформаций состоит из функционально стохастических (непредсказуемых) деформаций ВОУ, и образована градиентами температур на элементах ВОУ и стойках РТ, а также ветровыми деформациями, сформированными при фиксированной скорости ветра из квазипостоянной и стохастической во времени составляющих.

Режим работы РТ и аппаратуры контроля деформаций его элементов всепогодный и всесезонный с большим перепадом температур и влажности. Поэтому все перечисленные выше деформирующие факторы при построении модельных представлений фотоэлектрических измерительных систем приводят к необходимости использования их интервальной версии.

Целью диссертационной работы является комплексное решение задачи разработки алгоритма модального управления (МУ) двухканальными фотоэлектрическими следящими системами при стохастическом экзогенном воздействии, при этом сами фотоэлектрические следящие системы рассматриваются как двухканальные системы с квазиоднотипными каналами.

Методы исследования. При получении теоретических результатов использовались концепция подобия, аппарат матричных уравнений Сильвестра и Ляпунова, стохастического анализа непрерывных и дискретных систем при многомерных стохастических воздействиях стационарных в широком смысле, интервальных модельных представлений и интервальных оценок аргумента ¡1 «матрицы вращения» Т перекрёстных межканальных связей. Используемый в диссертации

математический аппарат современной теории управления поддерживается программной и модельной оболочкой MatLab и Simulink.

Научная новизна работы.

1. Обращено внимание на то, что наличие такого системного свойства двухканальных фотоэлектрических следящих систем с квазиоднотипными каналами как проблема межканальных перекрёстных связей, жестко связано с запасом устойчивости сепаратных каналов.

2.Сформирован алгоритм МУ на заданное значение запаса устойчивости системы типа «одномерный вход — одномерный выход».

3. Сформирован алгоритм медианного МУ объектами с интервальными параметрами, гарантирующего требуемые значения оценки относительной интервальности показателей качества системы.

4. Сформирован банк полных, а на их основе и асимптотических, аналитических представлений дисперсий выхода и ошибки полиномиальных динамических моделей (ПДМ) для случая сложного стохастического воздействия мультипликативного типа.

5. Сформирован алгоритм синтеза МУ сепаратными каналами для случая сложных экзогенных стохастических воздействий.

6. Сформированы оценки динамических показателей качества двухканальных следящих систем на основе эллипсоидных представлений.

Практическая значимость и реализация результатов.

1. Полученные результаты могут составить основу технических предложений по разработке фотоэлектрических систем следящего измерения угловых деформаций ВОУ РТ.

2. Разработанные в диссертационной работе теоретические положения включены в курс лекций по дисциплине «Адаптивное и робастное управление», читаемой для студентов инженерной подготовки по специальности 220201 «Управление и информатика в технических системах», по дисциплине «Интеллектуальное управление в условиях

неопределённости» магистерской подготовки по направлению 220100 «Системный анализ и управление», а также аспирантского обучения по современной теории управления при подготовке по специальности 05.13.01 «Системный анализ, управление и обработка информации (в технических системах)».

Достоверность научных и практических результатов и положений, полученных в диссертационной работе, подтверждается:

1. Аналитическими доказательствами.

2. Результатами комплексного компьютерного моделирования двухканальной динамической системы фотоэлектрического измерительного преобразования угловых деформаций ВОУ РТ при сложном экзогенном стохастическом воздействии.

3. Обсуждением научных результатов на конференциях и их положительной оценкой.

4. 6 публикациями по теме диссертационной работы в журналах, входящих в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК.

5. Ненулевым индексом цитирования статей автора.

Апробация работы. Работа выполнена на кафедре

Систем управления и информатики Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики по персональному гранту правительства Санкт-Петербурга 2009 года для студентов, аспирантов, молодых ученых, молодых кандидатов наук «Проектирование модели цифровой фотоэлектрической системы контроля деформаций радиотелескопа в условиях сильных конвективных потоков» (ПСП № 090606).

Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на V всероссийской межвузовской конференции молодых учёных (Санкт-Петербург, 2008 г.), XXXVIII научной и учебно-методической конференции СПбГУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2009 г.), XXXIX научной и учебно-методической конференции СПбГУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2010 г.).

Публикации. Основные теоретические и практические результаты диссертационной работы опубликованы в 6 статьях в

журналах, входящих в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК. Доклады по основным результатам работы получили одобрение на 3 межвузовских научно-практических конференциях.

Научные положения, выносимые на защиту. На защиту выносится комплексное решение задачи разработки алгоритмов МУ двухканальными фотоэлектрическими следящими системами с квазиоднотипными каналами системы контроля угловых деформаций ВОУ РТ и исследование её функционирования с этими алгоритмами, применительно к большому полноповоротному РТ типа ТНА-1500 проекта «Газон» с диаметром раскрыва главного рефлектора 64 метра в условиях стохастических экзогенных воздействий, состоящей в:

1) анализе механизма влияния деформаций элементов МК большого полноповоротного РТ на его РОС с учётом воздействия на конструкции РТ сложного стохастического ветрового возмущения;

2) формировании требований к структуре и составу измерительной информации в задаче информационного обеспечения динамической юстировки РОС РТ средствами системы фокусно-угловой компенсации на основе анализа алгоритмов фокусно-угловой компенсации влияния деформаций МК РТ на РОС с использованием концепции эквивалентной радиолинзы;

3) формировании базового алгоритма МУ, построенного в версии медианного МУ, дополненного возможностью контроля оценки относительной интервальности показателей качества проектируемой системы;

4) наделении алгоритмов МУ возможностью достижения требуемого значения запаса устойчивости по фазе систем типа «одномерный вход-одномерный выход»;

5) комплексном решении задачи обеспечения работоспособности двухканальной системы с однотипными и квазиоднотипными сепаратными каналами, имеющей в своём составе «матрицу вращения» с аргументом ¡1, в диапазоне вариаций ¡1 до величины (ж/2);

6) разработке банка аналитических представлений дисперсий ошибки и выхода ПДМ для случая сложного стохастического воздействия стационарного в широком смысле мультипликативного типа, формируемого составным последовательным фильтром третьего порядка, применительно к ПДМ общего вида в форме относительных дисперсий и относительных частот компонентов, доставляющих результату пользовательский универсализм;

7) разработке аппарата асимптотических аналитических представлений дисперсий ошибки и выхода ПДМ для случая сложного стохастического воздействия стационарного в широком смысле мультипликативного типа, формируемого составным последовательным фильтром третьего порядка, применительно к ПДМ до пятого порядка;

8) разработке алгоритма синтеза МУ двухканальным объектом с интервальными параметрами, основанного на медианном представлении матриц объекта, доставляющего сепаратным каналам проектируемой двухканальной фотоэлектрической следящей системы контроля угловых деформаций ВОУ требуемые значения запаса устойчивости по фазе сепаратных каналов, значений дисперсий ошибки (или выхода) в условиях стохастических экзогенных воздействий и требуемые значения оценки относительной интервальности показателей качества;

9) проведении комплексного аналитического исследования спроектированной двухканальной системы фотоэлектрического измерительного преобразования угловых деформаций ВОУ с использованием аппарата эллипсоидных покрытий с целью построения мажорант и минорант основных показателей качества процессов системы в переходном и установившемся режимах при двумерном сложном экзогенном стохастическом воздействии, параметризованных угловыми реализациями аргумента ¡1 и степенью неоднотипности у.

Объём и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав с выводами и заключения. Работа изложена на 239 страницах машинописного текста, включает 49

рисунков, 19 таблиц, 9 приложений и содержит список литературы из 89 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе диссертации осуществляется введение в проблему управления устройствами пространственного наблюдения типа большие полноповоротные РТ в условиях деформации элементов их МК. Погружение в указанную проблему сориентировано на большой полноповоротный РТ с азимутильно-угломестной монтировкой и диаметром раскрыва главного рефлектора 64 метра типа ТНА-1500 проекта «Газон».

Рассматривается базовая конструкция РОС современных наземных больших полноповоротных РТ, и показывается что для качественного наблюдения за объектом радиоастрономического наблюдения допустимая ошибка совмещения оптической оси РОС с линией визирования на объект не должна превышать величины А, задаваемой соотношением

Д = (О,1-О,25)0о>5,

где 0О5 - ширина главного лепестка диаграммы

направленности по уровню половинной мощности излучения-приёма. Этот показатель РТ главным образом зависит от диаметра главного рефлектора и длины волны X излучаемого (принимаемого) электромагнитного сигнала в силу соотношения

0О>5 = 4,2 -103 Я / Drp у гл.мин-1,22 Л/DrP рад, где величина DrP - диаметр главного рефлектора РТ.

В задаче управления деформируемым большим полноповоротным РТ выделяется задача поддержания РОС РТ, в состав которой входят главный рефлектор, контррефлектор и облучатель-приёмник РТ, в динамически отъюстированном состоянии.

В связи с этим, проводится анализ влияния компонентов деформаций элементов МК больших РТ на их инструментальные характеристики, и синтезируются динамические модели процессов деформации элементов МК РТ.

Анализ обнаруживает, что доминирующим фактором возмущения РТ, как радиооптического измерительного инструмента, является ветровое воздействие в связи с наличием в его составе стохастического компонента.

Сконструирована динамическая планарная модель процессов деформации элементов МК большого РТ, формирующих его РОС, что по существу составляет процедуру формирования модели экзогенного воздействия применительно к системе эксплуатационного контроля деформаций, использующей принцип фотоэлектрического следящего измерительного преобразования.

На основе анализа алгоритмов фокусно-угловой компенсации ставится задача информационного обеспечения, реализуемая системой эксплуатационного контроля деформаций, системы фокусно-угловой компенсации влияния деформаций элементов МК главного рефлектора, контррефлектора и облучателя-приёмника на параметры РОС РТ, средствами которой осуществляется поддержание РОС РТ в динамически отъюстированном состоянии.

Во второй главе рассматриваются двухканальные фотоэлектрические следящие системы как базовый компонент измерения деформаций, основанный на принципе следящего преобразования системы эксплуатационного контроля деформаций РТ.

Характерной структурной особенностью двухканальных фотоэлектрических следящих систем, встраиваемых в измерительные мониторинговые комплексы, использующих принцип следящего преобразования, является возможность появления перекрёстных межканальных связей с матрицей связей типа «матрица вращения».

Для нахождения связи между предельно допустимым значением аргумента // «матрицы вращения» и запасом устойчивости А<р сепаратных каналов рассматривается система типа «двухканальный вход-двухканальный выход», структурная схема которой приведена на рисунке 1.

Рисунок 1. Структурная схема динамической системы типа «двух канальный вход-двухканальный выход»

На рисунке 1 gi,ehy¡ - соответственно внешнее воздействие, ошибка слежения и выход i -го сепаратного канала (/ = 1,2); [¿/] - интервальный аргумент матрицы межканальных связей Т = co/{[cos[//] sin[t/U, [-sin[ü] cos[ü]]},

представляющей собой «матрицу вращения»; vL,v2 -переменные, образующие двумерный выход матрицы Г; W¡(s)— передаточная функция прямой цепи i -го (г = 1, 2) сепаратного канала спроектированной системы.

Фактор наличия указанных перекрёстных связей характеризуется интервальным значением

М= к Д= Мо + М=//0 + ДЯ

аргумента ¡J. «матрицы вращения», при этом, как правило, //о=0, |Д//|=|Д//|.

При определённых реализациях граничных значений аргумента [А//] «матрицы вращения» перекрёстные связи становятся причиной потери работоспособности двухканальных систем при устойчивых сепаратных каналах. В диссертации устанавливается связь аргумента /и «матрицы вращения» . с запасом устойчивости А(р по фазе сепаратных каналов в классе их однотипных представлений с дополнительным контролем

влияния степени неоднотипности представлений на работоспособность двухканальной фотоэлектрической следящей системы.

Установлено, что двухканальная фотоэлектрическая следящая система, построенная на однотипных сепаратных каналах, характеризующихся запасом устойчивости А(р по фазе сохраняет свою работоспособность в случае, если значение аргумента ¡1 «матрицы вращения» перекрёстных связей не превышает значения Ар.

Сепаратные каналы системы (рисунок 1) именуются квазиоднотипными, если передаточные функции (г = 1,2)

их прямых цепей имеют представления вида

^•и^ь——>

А-=1

игА*)=И*, — ,Л'иГ-,

к=\

где щ - характеристическая частота ПДМ, определяющая набор показателей качества в переходном и установившемся режимах сепаратного канала, функционирующего в несвязанном виде; аргумент у - показатель степени неоднотипности квазиоднотипных сепаратных канатов.

Рассматривается проблема построения ПДМ сепаратного канала с требуемыми динамическими показателями и запасом устойчивости по фазе с учётом фактора его погружения в двухканальную структурную среду. При этом предложен способ формирования ПДМ сепаратных каналов с повышенным запасом устойчивости А<р по фазе с модифицированным биномиальным распределением мод.

Установлено, что если двухканальная фотоэлектрическая следящая система построена на ьжазиоднотипных сепаратных каналах, то с ростом отклонения величины показателя их

неоднотипности у от единичного значения (как в сторону уменьшения, так и в сторону увеличения) происходит рост квазизапаса устойчивости двухканальной системы в целом.

В диссертации разработано алгоритмическое обеспечение процедуры оценки запаса устойчивости А(р по фазе систем типа «одномерный вход-одномерный выход» в режиме их рабочей эксплуатации.

В третьей главе рассматривается задача синтеза формирователя сигнала управления непрерывным динамическим объектом на основе концепции подобия. Для этого формируется базовый алгоритм синтеза МУ, опирающийся на решение матричного уравнения Сильвестра, с учётом того, что параметры компонентов системы имеют интервальную природу, алгоритм синтеза строится в версии алгоритма синтеза медианного МУ, дополненного процедурой контроля относительной интервальности интервальной матрицы состояния проектируемой системы.

Обнаруженная во второй главе диссертации связь запаса устойчивости А<р по фазе сепаратного канала со значением аргумента ¡1 «матрицы вращения» межканальных связей, как фактор гарантии работоспособности двухканальной системы, поставила задачу синтеза МУ, доставляющего сепаратному каналу гарантированный запас устойчивости, которая получила своё алгоритмическое обеспечение в виде следующих сформированных алгоритмов:

1. Алгоритм управления объектом с интервальной матрицей состояния, гарантирующей требуемую интервальность показателей качества проектируемой системы, реализуемый в виде медианного МУ, дополненного контролем оценки относительной интервальности интервальной матрицы состояния спроектированной системы.

2. Алгоритм МУ сепаратными каналами двухканальной системы, погружение которых в двухканальную структуру гарантирует требуемые показатели качества при заданном интервале вариаций аргумента [//] «матрицы вращения» межканальных связей.

В четвёртой главе с учётом фактора сложной природы стохастической составляющей ветровой деформации элементов МК РОС РТ, которая представляет собой задающее воздействие для двухканальных фотоэлектрических измерительных систем, ставится и решается задача формирования информационного обеспечения МУ путём построения банка аналитических представлений дисперсий выхода и ошибки ПДМ для случаев сложных экзогенных стохастических воздействий, стационарных в широком смысле. Для этих целей вводится понятие сложного формирующего фильтра мультипликативного типа, средствами которого из стохастического воздействия типа «белый шум» формируется сложное экзогенное стохастическое воздействие стационарное в широком смысле. Передаточная функция &ШСС СО формирующего фильтра

мультипликативного типа имеет вид

фмтсс (*) = фэк (^)'Фрк =

где АТф, - соответственно коэффициент усиления и

эффективная полоса пропускания формирующего фильтра, на выходе которого наблюдается «экспоненциально коррелированный» окрашенный шум; £\, д - соответственно

эффективная полоса пропускания и коэффициент демпфирования формирующего фильтра, на выходе которого наблюдается окрашенный шум вида «регулярная качка.

Проведено исследование ПДМ при сложном экзогенном стохастическом воздействии мультипликативного типа на предмет оценки их дисперсий выхода Ву и ошибки В£ и

спектральных плотностей по выходу 8у{(о) и ошибке (¿у),

позволяющее предельными переходами параметров компонентов формирователя сложного экзогенного стохастического воздействия получить результаты для трёх стохастических воздействий стационарных в широком смысле вида: «белый шум», «экспоненциально коррелированный» шум, окрашенный шум типа «регулярная качка».

Для придания аналитическим представлениям дисперсий выхода и ошибки пользовательского универсализма эти выражения строятся в относительной форме, как функции относительных частот формирующего фильтра и характеристической частоты ПДМ. Сформирован банк полных аналитических представлений матриц относительных дисперсий выхода Ву и ошибки Ое ПДМ различных размерностей для

случая сложного экзогенного стохастического воздействия мультипликативного типа.

Учитывая сложность аналитических выражений автором диссертации предложен аппарат асимптотических представлений дисперсий выхода ВуЛ{1щ) и ошибки Б^Щ). В

таблице 1 приведены выражения для асимптотических представлений дисперсий выхода и ошибки ПДМ порядка

пПДМ

Таблица 1

Асимптотические представления дисперсий выхода и ошибки

Порядок ПДМ £>еА{ах))= Ига А(^) Кт йО —'

1 щ 2дГ1щ(а^(Щ+2д)+1)

2 Ц/12 2дУ2щ{Щ(Щ + 2д}+1)

У1Пф(Пф+2д)

3 щу} 2дУ1У3щ(ЦРф+1с}+1)

УМ(Щ + 2д) (У1У2-У2Щ^+2д)

На основе банка асимптотических дисперсий выхода и ошибки разработан алгоритм синтеза МУ динамическими объектами типа «одномерный вход-одномерный выход» при сложном экзогенном стохастическом воздействии.

Предлагается алгоритм формирования мажорантной и минорантной оценок дисперсий и спектральных плотностей

выхода и ошибки двухканальных фотоэлектрических следящих систем на основе аппарата эллипсоидных представлений, с целью применения этого алгоритма для комплексного исследования двухканальной следящей системы с перекрёстными межканальными связями, характеризующимися «матрицей вращения» с аргументом //.

В пятой главе диссертации рассмотрены прикладные проблемы функционирования двухканальных

фотоэлектрических следящих систем в задачах измерения деформации элементов МК больших полноповоротных РТ, применительно к ВОУ, несущему на себе контррефлектор, путём линейного перемещения которого вдоль трёх осей и вращения вокруг двух из них осуществляется динамическая юстировка РОС РТ.

Для этих целей осуществлено формирование требований к полной ошибке слежения двухканальной динамической системы измерения комплексной угловой деформации ВОУ на основе требований к РТ, как к инструменту радиоастрономического наблюдения, используемого при длине волны электромагнитного излучения не менее Я — 50 дш.

Осуществлён синтез сигнала управления электроприводами двухканальной динамической системы фотоэлектрического измерительного преобразования на основе стохастического МУ, дополненного требованием максимизации запасов устойчивости сепаратных каналов, гарантирующего расширение диапазона работоспособного функционирования системы.

На основе аппарата эллипсоидных покрытий процессов в двухканальной динамической системе фотоэлектрического измерительного преобразования угловых деформаций ВОУ сформированы мажоранты и миноранты показателей качества переходных процессов, дисперсий ошибки при стохастическом экзогенном воздействии, интервалов корреляции выхода системы.

Решена задача формирования генератора дискретного «белого шума», эквивалентного непрерывному в смысле двух первых моментов стохастического сигнала на выходе

формирующего фильтра первого порядка, ставшая алгоритмической основой построения экспериментальной среды в оболочке МаИ^аЬ БтшИпк.

Проведено комплексное исследование двухканальной динамической системы фотоэлектрического преобразования угловых деформаций ВОУ в оболочке МагЬаЬ ЗитшПпк с учётом режимов движения РТ и фактора порывов ветрового воздействия при различных значениях аргументов ¡1 «матрицы вращения» перекрёстных связей и / степени неоднотипности сепаратных каналов двухканальной системы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В своей основе задачи, поставленные перед диссертантом при формировании темы диссертационных исследований, решены, при этом получены следующие результаты.

1. Принято решение реализации мониторинга деформаций элементов металлоконструкции больших радиотелескопов в задаче их динамической юстировки в процессе эксплуатации на основе принципа следящего фотоэлектрического измерения.

2. Решена задача оценки диапазона допустимой интервальности такого системного параметра двухканальных фотоэлектрических следящих систем, как аргумент [//] «матрицы вращения» межканальных связей, в пределах которого гарантируется работоспособность данных систем с заданными показателями качества в переходном и установившемся режиме, путём установления однозначной связи этого параметра с запасом устойчивости А(р по фазе сепаратных каналов системы.

3. Сформирован алгоритм синтеза модального управления, доставляющего сепаратным каналам непрерывной двухканальной системы гарантированный запас устойчивости А<р по фазе.

4. Сформирован алгоритм медианного модального управления объектом с интервальными параметрами, гарантирующего требуемые значения оценки относительной

интервальности показателей качества проектируемой системы.

5. Сформирован банк аналитических представлений дисперсий ошибки и выхода полиномиальных динамических моделей для случая сложного экзогенного стохастического воздействия мультипликативного типа.

6. Сформирован алгоритм синтеза модального управления сепаратными каналами двухканальных фотоэлектрических следящих систем для случая сложных экзогенных стохастических воздействий на основе асимптотических аналитических представлений дисперсий выхода и ошибки полиномиальных динамических моделей.

7. Методами модального управления сконструирована двухканальная динамическая система фотоэлектрического измерительного преобразования угловых деформаций верхнего опорного узла на основе требований к радиотелескопу как к инструменту радиоастрономического наблюдения.

8. Проведено комплексное аналитическое исследование двухканальной динамической системы фотоэлектрического измерительного преобразования угловых деформаций верхнего опорного узла с использованием аппарата эллипсоидных покрытий, позволившего построить мажоранты и миноранты основных показателей качества процессов системы в переходном и установившемся режимах при сложном экзогенном стохастическом двумерном воздействии.

9. Проведено комплексное исследование двухканальной динамической системы фотоэлектрического измерительного преобразования угловых деформаций верхнего опорного узла радиотелескопа в оболочке Ма&аЬ БшиШгк с учётом режимов движения радиотелескопа и фактора порывов ветрового воздействия.

Автор ставит своей задачей в дальнейших исследованиях затронутых в диссертации проблем построение такого инструментария в оболочке Ма&аЬ 51ти1шк, который бы позволил экспериментально формировать мажоранты и миноранты исследуемых показателей качества процессов систем в переходном и установившемся режимах при экзогенном двумерном воздействии произвольной природы.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

Публикации в журналах, входящих в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК.

1. Ушаков A.B., Цвентарный А.Ю. Синтез двухканальной оптоэлектронной измерительной системы с использованием интервальных модельных представлений. // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. Выпуск 55. Системы: управление, моделирование, безопасность. / Главный редактор д.т.н., проф.

B.О. Никифоров. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2008. С.31-42.

2. Лихолетов Е.Д., Ушаков A.B., Цвентарный А.Ю. Анализ перекрёстных связей в непрерывных динамических системах класса «двумерный вход-выход» с однотипными каналами. // Изв. ВУЗов. Приборостроение. Т.52, №7. / Главный редактор проф. Е.Б. Яковлев. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2009.

C.35-42.

3. Лихолетов Е.Д., Ушаков A.B., Цвентарный А.Ю. Анализ интервальных перекрёстных связей в динамических системах класса «двумерный вход-выход» с квазиоднотипными каналами. // Изв. ВУЗов. Приборостроение. Т52, №9. / Главный редактор проф. Е.Б. Яковлев. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2009. С.35-42.

4. Слита О.В., Ушаков A.B., Цвентарный А.Ю. Синтез модального управления, доставляющего непрерывной системе гарантированный запас устойчивости. // Мехатроника, автоматизация, управление. №9,2009. С.2-6.

5. Ушаков A.B., Цвентарный А.Ю. Модальное управление динамическими одноканальными объектами при сложном экзогенном стохастическом воздействии. // Изв. ВУЗов. Приборостроение. Т52, №11. / Главный редактор проф. Е.Б. Яковлев. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2009. С.43-49.

6. Ушаков A.B., Цвентарный А.Ю. Формирование полиномиальной динамической модели при сложном экзогенном стохастическом воздействии. // Мехатроника, автоматизация, управление. №3,2010. С.14-19.

Другие статьи и материалы.

1. Цвентарный А.Ю. Проектирование модели цифровой фотоэлектрической системы контроля деформаций радиотелескопа в условиях сильных конвективных потоков [Текст] / А.Ю. Цвентарный // Четырнадцатая Санкт-Петербургская Ассамблея молодых ученых и специалистов. Аннотации работ победителей конкурса грантов Санкт-Петербурга 2009 года для студентов, аспирантов, молодых ученых и молодых кандидатов наук. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2009. - 138 с.

Список основных обозначений и сокращений.

Введение. Постановка задачи.

Глава 1. Следящий фотоэлектрический мониторинг деформаций элементов МК больших РТ в задаче их динамической юстировки. Постановка задачи.

1.1. Базовая конструкция- радиооптической системы современных наземных больших полноповоротных РТ.

1.2. Влияние деформаций элементов МК больших РТ на их инструментальные характеристики.

1.3. Динамические модели процессов деформации элементов

МК больших РТ.

1.4. Система фокусно-угловой компенсации деформаций МК в задаче динамической юстировки радиооптической системы на основе концепции эквивалентной радиолинзы.

1.5. Информационное обеспечение алгоритмов фокусно-угловой компенсации деформации МК большого РТ средствами СЭКД.

Выводы по главе 1.

Глава 2. Двухканальные ФЭСС с квазиоднотипными каналами как базовые компоненты СЭКД РТ. Проблема межканальных перекрёстных связей.

2.1. Динамика двухканальной ФЭСС с однотипными каналами. Факторы перекрёстных связей и запаса устойчивости по фазе сепаратных каналов системы.

2.2. Динамика двухканальной ФЭСС с квазиоднотипными каналами. Факторы степени неоднотипности перекрёстных связей и запаса устойчивости по фазе сепаратных каналов.

2.3. Проблема построения. ПДМ сепаратного канала с требуемыми динамическими показателями и запасом устойчивости по фазе с учётом фактора его погружения в двухканальную структурную среду.

Выводы по главе 2.

Глава 3. Постановка задачи синтеза формирователя сигнала управления непрерывным динамическим объектом на основе концепции подобия.

3.1. Формирование базового алгоритма МУ. Проблема полиномиальной динамической модели.

3.2. Алгоритм синтеза МУ, доставляющего сепаратным каналам непрерывной системы гарантированный запас устойчивости. Контрпример.

3.3. Алгоритм медианного МУ объектами с интервальными параметрами, гарантирующего требуемые значения оценки относительной интервальное™ показателей качества.

3.4. Алгоритм синтеза МУ сепаратными каналами двухканальной системы с интервальными перекрёстными связями.

Выводы по главе 3.

Глава 4. Информационное обеспечение МУ для случаев сложных внешних стохастических воздействий, стационарных в широком смысле.

4.1. Модельное представление типовых непрерывных стохастических воздействий, стационарных в широком смысле. Понятие СЭСВ мультипликативного и аддитивного типов.

4.2. Банк аналитических представлений дисперсий выхода и ошибки ЦЦМ для случая сложного стохастического воздействия мультипликативного типа.

4.3. Аппарат асимптотических аналитических представлений дисперсий выхода и ошибки ПДМ для случая сложного стохастического воздействия мультипликативного типа.

4.4. Алгоритм синтеза МУ сепаратными каналами для случая сложных экзогенных стохастических воздействий.

4.5. Оценка динамических показателей качества двухканальных следящих систем на основе эллипсоидных представлений.

Выводы по главе 4.

Глава 5. Формирование двухканальной динамической системы фотоэлектрического измерительного преобразования угловых деформаций ВОУ на основе требований к радиотелескопу как к инструменту радиоастрономического наблюдения.

5.1. Формирование требований к полной ошибке двухканальной динамической системы в условиях комплексной деформации ВОУ.

5.2. Синтез формирователя сигнала управления электроприводами- двухканальной динамической системы фотоэлектрического измерительного преобразования на основе стохастического МУ.

5.3. Эллипсоидные оценки качества двухканальной динамической системы- фотоэлектрического измерительного преобразования угловых деформаций ВОУ

5.4. Формирование дискретного СЭСВ, эквивалентного заданному непрерывному СЭСВ.

5.5. Проведение комплексного исследования двухканальной измерительной системы в оболочке MatLab Simulink с учётом режимов движения РТ и фактора порывов ветрового воздействия.

Выводы по главе 5.

Тема диссертации «Модальное управление двухканальными фотоэлектрическими следящими системами с квазиоднотипными каналами при стохастическом экзогенном воздействии» сформирована на основе потребностей исследования и разработки системы эксплуатационного контроля деформаций (СЭКД) металлоконструкций (МК) больших полноповоротных радиотелескопов» (РТ) типа ТНА—400 проекта «Квазар-КВО» и ТНА—1500 проекта «Газон», в условиях воздействия на них различных деформирующих факторов, для целей предъэксплуатационной и динамической юстировки радиооптической системы (РОС) РТ. Работы по контролю деформаций металлоконструкции РТ с диаметром раскрыва главного рефлектора (ГР) 32 м и 64*м выполняются- в соответствии с комплексной целевой программой «Излучение» по решению научно-технической проблемы «Поиск принципов и создание новых типов антенных систем для-перспективных радиотехнических комплексов, разработка теории и методов проектирования», в-, которую СПбГУ ИТМО (Национальный исследовательский университет информационных и оптических технологий «ИТМО») включён соисполнителем по разделу 03.02.05 «Исследование, методов и разработка аппаратуры высокоточного* и автоматизированного контроля формы зеркал больших зеркальных антенн».

Диссертационные исследования-по настоящей работе проводились под научным руководством профессора Ушакова А'.В: в «лаборатории адаптивной оптики и радиооптики» кафедры Систем Управления и Информатики (бывшей кафедры Автоматики и Телемеханики) СПбГУИТМО в соответствии с основным направлением её деятельности и проблемно ориентированы на теоретическую и техническую модернизацию разработанных в этой лаборатории и ОКБ ИТМО вариантов построения. СЭКД больших полноповоротных РТ.

В настоящее время задача-контроля (измерения) линейных и угловых перемещений (деформаций) элементов МК таких устройств, как радиотелескопы, мачты радиорелейной и мобильной связи, решается двумя способами. Первый способ состоит в непосредственном преобразовании измеряемого перемещения в электрический сигнал аналогового или цифрового вида. Этот способ приемлем для случаев, характеризующихся незначительными угловыми и линейными перемещениями контролируемых элементов; Второй способ строится на принципе следящего преобразования и характеризуется практически неограниченным перемещением контролируемых элементов. Если требуется обеспечить бесконтактность измерения, то, как первый, так и второй способы, строятся с использованием информационных возможностей оптической среды.

В диссертационной работе рассматриваются проблемы синтеза двухканальной фотоэлектрической измерительной системы, которая реализует принцип следящего преобразования на примере контроля деформации элементов МК большого полноповоротного РТ с диаметром раскрыва ГР 64 метра. Так как большие РТ, в отличие от оптических телескопов, не покрываются защитным колпаком, то они функционируют в условиях • непосредственного воздействия на их конструкцию следующих деформирующих факторов: весовых (при угломестном повороте РТ); ветровых (в силу высокой парусности ГР); температурных градиентов и остужающего действия ветра (в силу большой площади поверхности МК РТ, одна часть которой обычно находится в тени, а вторая - под воздействием солнечного излучения), а также осадков; ускорения, развиваемого силовыми приводами РТ.

Режим работы РТ и аппаратуры контроля деформаций его элементов всепогодный и всесезонный с большим перепадом температур и влажности. Поэтому все перечисленные выше деформирующие факторы при построении модельных представлений < фотоэлектрических измерительных систем приводят к необходимости использования их интервальной версии.

Данная задача решается на примере двухканальной фотоэлектрической следящей системы (ФЭСС) для контроля угловых деформаций верхнего опорного узла (ВОУ) РТ, несущего на, себе контррефлектор (КР). При построении интервальных модельных- представлений учитываются интервальность перекрёстных связей между каналами двухканальной ФЭСС и интервальность коэффициента вязкого трения исполнительного механизма приводов следящей системы.

При написании диссертации автор структурировал её с помощью концепций, определений, утверждений, доказательств и примечаний. Диссертация структурно состоит из введения, перечня основных обозначений и сокращений, пяти глав,. заключения, списка литературы и приложений.

Выводы по главе 3

1. Сформирован базовый алгоритм модального управления для объектов с фиксированными параметрами и на показатели качества процессов в установившемся режиме в такой форме, что модификация этого алгоритма позволяет синтезировать модальное управление, гарантирующее требуемый запас устойчивости, и модальное управление для случая объектов с интервальными параметрами.

2. Сформирован алгоритм модального управления на заданный запас устойчивости А(р по фазе сепаратных каналов, гарантия достижимости которого обнаружена в модифицированном биномиальном распределении мод.

3. Сформирован алгоритм управления объектом с интервальной матрицей состояния, гарантирующей требуемую интервальность показателей качества проектируемой системы, реализуемый в виде медианного модального управления, дополненного контролем оценки относительной интервальности интервальной матрицы состояния спроектированной системы.

4. Сформирован алгоритм модального управления сепаратными каналами двухканальной системы, погружение которых в двухканальную структуру гарантирует требуемые показатели качества при заданном интервале вариаций аргумента fi матрицы вращения межканальных связей.

ГЛАВА 4. ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ МУ ДЛЯ СЛУЧАЕВ СЛОЖНЫХ ВНЕШНИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ, СТАЦИОНАРНЫХ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ

Анализ сигнального состава, деформирующего конструкции большого полноповоротного РТ, обнаружил, что наиболее неблагоприятным для решения задач фокусно-угловых компенсаций этих деформаций является деформация, порождаемая ветровым воздействием [37]. С точки зрения классификации воздействий на конечномерные и бесконечномерные или, что тоже самое, детерминированные и стохастические, это воздействие является стохастическим (бесконечномерным), сформированным в математической постановке из «белого шума» средствами цепочки ФФ.

В связи с этим в данной главе рассматривается модельное представление типовых непрерывных стохастических воздействий, стационарных в широком смысле, типа «экспоненциально коррелированный» окрашенный шум и окрашенный шум типа «регулярная качка». Вводится понятие сложного экзогенного стохастического воздействия (СЭСВ) мультипликативного и аддитивного типов, и рассматриваются области их применения.

Формируется банк аналитических представлений матриц дисперсий выхода Dy и ошибки De ПДМ различных размерностей для случая сложного стохастического воздействия мультипликативного типа.

Для придания аналитическим представлениям скалярных показателей ПДМ в виде дисперсий выхода Dy и ошибки DE, как функции характеристической частоты щ ПДМ, универсализма, производится переход к относительным представлениям дисперсий выхода Dy и ошибки D£, для которых также формируется банк их асимптотических аналитических представлений.

Разрабатывается алгоритм синтеза МУ сепаратных каналов для случая сложных экзогенных стохастических воздействий.

Проводится оценка дисперсий и спектральных плотностей выхода и ошибки двухканальных фотоэлектрических следящих систем на основе эллипсоидных представлений.

4.1. Модельное представление типовых непрерывных стохастических воздействий, стационарных в широком смысле. Понятие СЭСВ мультипликативного и аддитивного типов

При проектировании систем управления с желаемыми показателями качества в переходном и установившемся режимах широкое применение находят методы, основанные на обеспечении необходимой структуры собственных значений (мод) матрицы состояния синтезируемой системы. Наиболее полно данный подход реализован в современных методах МУ, основанных на концепции векторного и матричного подобия, что позволяет конструировать алгоритмическое обеспечение МУ, опирающегося на решение матричного уравнения Сильвестра.

Рассматриваются вопросы формирования банка аналитических представлений матриц дисперсий выхода Dy и ошибки De ПДМ типа ОВОВ с различными распределениями мод, параметризованными характеристической частотой й)0 для порядков п = 1 5, в условиях действия на эти ПДМ СЭСВ стационарных в широком смысле. Возможны две реализационные версии СЭСВ:

- СЭСВ мультипликативного типа;

- СЭСВ аддитивного типа.

СЭСВ мультипликативного типа представляет собой последовательное соединение возбуждаемого непрерывным «белым шумом» w{t) интенсивности N ФФ, на выходе которого наблюдается «экспоненциально коррелированный» окрашенный шум (ЭКОШ) с дисперсией Dg, который в свою очередь подаётся на вход следующего ФФ, представляющего собой, в случае подачи на его вход «белого шума», формирователь стационарного в широком смысле стохастического воздействия типа окрашенный шум «регулярная качка» (ОШРК) r](t) с дисперсией Dir

Формирователь СЭСВ мультипликативного типа представляется последовательным соединением передаточных функций «вход-выход»

123

Фэк(я) ФФ, представляющего собой формирователь ЭКОШ, и ФРК (я) ФФ, представляющего собой формирователь ОПГРК, задаваемых выражениями s + £2ф ${s) s2+2glKs + C22K и задаётся совокупной передаточной функцией Фмтсс (5) вида

Фмтсс М = Фэк W ■ ФРК М = ■ 2 ^--у, (4.3) где ^ф - эффективная полоса пропускания ФФ ЭКОШ; QK - эффективная полоса пропускания ФФ ОШРК; д - коэффициент демпфирования ФФ ОШРК.

Примером реализации СЭСВ мультипликативного типа является движение пространственного конструктивного элемента, планарная модель которого представляет собой слабодемпфированное колебательное звено, деформируемого под воздействием ветра, модельно описываемого ЭКОШ, при решении задачи контроля перемещения, слежения или стабилизации в пространстве данного элемента. Следует заметить, что в силу линейной природы связей дисперсий D^, D^ и интенсивности N, конкретные значения дисперсий можно трансформировать в значения интенсивности N, а потому, в общем случае, положить значение коэффициента Кф равным единице.

СЭСВ аддитивного типа представляет собой параллельное соединение моделей типа ЭКОШ и ОШРК с передаточными функциями ФЭк(5) (4*1) и ФРКС?) (4.2) соответственно, и представимо в виде передаточной функции фатссМ вида к

4.4) s2Kфаф++а)+а2каф(кф+1)

Примером реализации СЭСВ аддитивного типа является движение пространственного конструктивного элемента, установленного на некотором плавсредстве, возмущаемом волнением водной среды, при решении задачи контроля его перемещения, слежения или стабилизации в пространстве, при этом дополнительное движение конструктивного элемента порождается ветровым воздействием.

Предметом дальнейших исследований выбран случай СЭСВ мультипликативного типа, модельно описываемых в форме (4.3) [56]. Следует заметить, что предложенная схема формирования СЭСВ мультипликативного типа на входе ПДМ обладает универсальностью. Так устремление QK и £2ф к бесконечности приводит к формирователю воздействия типа «белый шум» w(t) интенсивности N на входе ПДМ; устремление только QK - приводит к случаю формирования на входе ПДМ стохастического экзогенного воздействия (СЭВ) £(t) типа ЭКОШ; устремление только £2ф - приводит к случаю формирования на входе ПДМ

СЭВ 7]{t) типа ОШРК.

4.2. Банк аналитических представлений дисперсий выхода и ошибки ПДМ для случая сложного стохастического воздействия мультипликативного типа

В решаемой задаче используется модельное представление формирователя СЭСВ с передаточной функцией (4.3), векторно-матричное описание которого [22, 30, 33] имеет вид

W = Гф^ф (?) + Сф , ф) = Р^ (/), (4.5) где z^it), w(t), 7](t) - соответственно вектора состояния, входного стохастического воздействия типа «белый шум» и выходного сигнала СЭСВ типа; Гф, G/ф — соответственно матрицы состояния, входа и выхода модели формирователя СЭСВ; dim^(^))=/, dim(w(/)) = dim(7/(/)) = т; dim(Гф) = /х/, dim(/^) = тх/, dim(Gф)=lxm . В дальнейшем будем полагать т = 1.

Аналитическое представление ПДМ, как и в предыдущих главах, задаётся в виде передаточной функции ф VnO)0 VnO)0 (46)

Ж) sn+±vMs"4 V(s^o) /=1 в которой - лапласов образ выходной переменной y{t), относительно которой передаточные функции «вход-выход» модальной модели и проектируемой системы методами МУ совпадают; 7](s) — входное стохастическое воздействие; со0 - характеристическая частота ПДМ; V(s, cv0) — желаемый характеристический полином матриц состояния ПДМ и проектируемой системы. При этом форма (4.6) позволяет при решении задачи формирования аналитических представлений показателей ПДМ положить cOq = 1 с последующим переходом в них от v; к v,.^, i = 1, п.

Задача решается в общем виде, инвариантном относительно конкретных распределений (Батгерворта, Ньютона и др.) мод характеристического полинома V(s,co0).

Переход от передаточной функции (4.6) к векторно-матричному описанию даёт аналитическое представление ПДМ, записываемое в форме u(t) = TuZu(t) + Gug(t), Zu(0) = 0, y(t) = PMzM(t), s{t) = g{t)-y{t), (4.7) где zM(t), g(t), y{t), £{t) — соответственно векторы состояния, экзогенного входного воздействия, выхода и ошибки ПДМ; Гм, GM, Рм - соответственно матрицы состояния, входа и выхода ПДМ; dim(zM (t)) = п, dim(g(?)) = dim(y(f))- dim(f(?)) = m; dim(rM) = nxn, dim(GM) = nxm, dim^ ) = mxn. Векторно-матричное описание ПДМ для матрицы Гм использует сопровождающую характеристический полином V(s,a)0) форму представления. Так как в поставленной задаче исследуются только стохастические составляющие процессов, то все стохастические переменные полагаются центрированными, а начальное состояние ПДМ нулевым (zM(O) = O),ag(0 = 77(0.

В основу технологии получения банка пользовательских аналитических представлений матриц дисперсий выхода и ошибки ПДМ различных размерностей кладётся [23, 70] уравнение Ляпунова относительно матрицы дисперсий вектора состояния ПДМ, формируемой для случая СЭСВ стационарного в широком смысле типа «белый шум». Это обстоятельство требует введения в рассмотрение агрегированной системы с вектором состояния z = zffi.

Векторно-матричное описание агрегированной системы с вектором состояния z{t) и выходами zH(t), z^{t), y(t), e{t), 7]{t) строится на основании агрегирования выражений (4.7) и (4.5). Используя (4.7) и (4.5) можно построить следующую цепочку векторно-матричных равенств

- . - z„ м ч i „

T«zM(t) + GMri(t)

At) rMzM(t)+GuP^{t) + Ow{t) Оги(0 + Гфгф(0+ефм<0 О

3Л гф J О

4.8) w I to

4.9) t) = Kit) + ^M z^t) = Qzw{t) + Iz^{t\ y(t) = PMzM{t) + Oz^{t), Ф) = g(0~ At) = Ф) ~ HO = -P^u it) + Рф*ф (0; 1 (f) = 0zM (t) + (0.

Агрегированная система с агрегированным вектором состояния z{t) на основании (4.8), (4.9) получает представление z{t) = Tz{t)+Gw(t), (4.10) zM(t) = Puz(t), y{i) = Pyz(t), £{t) = Pez(t\ z^t) = P^z{t), fi(t) = ?4z(t),(4.U) где

Г = гм омрф , G = " о"

0 ГФ. 5 PU=[I о], р=[рм о].

4.12)

РЛ ^ф=[0 /]. Pn = [0 P^l (4.13)

Нетрудно видеть, что агрегированная система (4.10), (4.11) является непрерывной динамической системой, возбуждаемой СЭСВ стационарным в широком смысле типа «белый шум» w(/). Для матрицы дисперсий этой системы D, =M{[z(/t)zr(/)]} оказывается справедливым уравнение Ляпунова

Г Д. + DST = -GNGT. (4.14)

С учётом выражений (4.12) и (4.13) можно получить следующие выражения для вычисления дисперсий выхода и ошибки

D=PVDPT, D=PED:Pl

4.15)

Матричное уравнение (4.14) обнаруживает возможность его декомпозиции на четыре матричных уравнения типа Ляпунова, в связи с возможностью декомпозиции на четыре компонента матрицы D,. Действительно, в силу агрегативной структуры вектора z{t), становится справедливой следующая цепочка векторно-матричных равенств

5==м{п*У(4=м\2; к *;] Мт т

Z Z Z Zj. мм м ф

Т Т

Z4)ZM 2ф2ф д, д м

Dr

-^мф мф д

4.16) где

D^=M{z^zl\ D^=M{zuzl\ (4.17)

Если в уравнении Ляпунова (4.14) для матрицы дисперсии Д учесть представления (4.16), а для матрицы агрегированной системы (4.12), то оно запишется в следующем виде О

GMP(l> гф

А. -0Мф Д мф Д ф

Д. д м

DT мф д ф м

Тг^Т р; G, О ф. О о

О -<?фмз£

4.18)

Путём простого перемножения матричных компонент в приведённом выражении (4.18) нетрудно получить три матричные уравнения Ляпунова, необходимые для дальнейших расчётов

4.19) гмАчф+ АифГф — ,

-г м-* ф ф : Т гл г>Тг^Т

4.20)

4.21)

Приведённые матричные уравнения (4.19) - (4.21) записаны в порядке последовательности их решения, так как решение предыдущего формирует правую часть последующего уравнения. Пользовательские выражения для дисперсий D и De соответственно дисперсий выхода и ошибки динамической модели желаемого поведения проектируемой системы строятся различными способами. В силу выражений (4.12) и (4.13) для вычисления дисперсии выхода Dy достаточно матрицы дисперсий Дм, а для вычисления дисперсии ошибки De необходимо формирование матрицы Dz.

Следует заметить, что для придания аналитическим представлениям скалярных показателей ПДМ в виде дисперсий её выхода Dy и ошибки De как функции характеристической частоты со0 ПДМ универсализма, целесообразно перейти к относительным представлениям дисперсий, задав их в форме

Dy = DyD~x, De = DeD~l, (4.22) и относительным представлением частот m=(O0Q.-1, aK=nKQ~l=l, (4.23) где Dy, De, coo, Оф, £2к — соответственно относительные дисперсии выхода, ошибки, характеристическая частота, сопрягающая частота ФФ ЭКОШ, сопрягающая частота ФФ ОШРК.

В итоге, предложены аналитические выражения относительных дисперсий вида

Dy = Dy (v;. (i = Щ; W0), DE = De (v. (/ = Щ;Ш0). (4.24)

В качестве примера приведены значения относительных дисперсий выхода Dy и ошибки De в форме (4.24) для ПДМ порядка ппдм = 1, имеющие представление F^ofc + fc^o + +2g)(fl<, + 2g))^ (4 25) f, й)о + Оф ХоФ + 2gtyl2a>20 + 1gVA т+\) т + £2ф + 2gfv2 т + 2gVx т +1)

Ъе = I- Vi ао {2д + (У1а>о+Пф COQ + 2д\Пф + 2ф fcao + Оф )(ПФ + 2gfy2~m + 2gVla)0 +l) При этом следует учитывать, что общий порядок системы из двух ФФ и ПДМ рассчитывается как = пфф + ипдм> (4-27) где лфф = 3 - общий порядок системы из двух ФФ ЭКОШ и ОШРК; Иццм = п

- порядок ПДМ. Нетрудно видеть, что выражение для относительных дисперсий выхода Dy и ошибки De для случая сложного стохастического воздействия оказалось достаточно громоздким уже для порядка пПДМ = 1. По мере роста порядка ПДМ громоздкость этих выражений заметно увеличивается, в этой связи полученные выражения для ПДМ порядка ппдм первого и выше приведены в приложении 6.

4.3. Аппарат асимптотических аналитических представлений дисперсий выхода и ошибки ПДМ для случая сложного стохастического воздействия мультипликативного типа

Приведённые в приложении 6 выражения для относительных дисперсий выхода Dy и ошибки De обнаруживают, в силу своей громоздкости, заметный пользовательские трудности, которые могут быть существенно уменьшены, если сконструировать на них асимптотические версии дисперсий выхода DyA и ошибки D^. При введении в пользовательскую практику асимптотических компонентов будем базироваться на следующих соображениях. СЭСВ может нести в себе различную сигнальную нагрузку, порождающую два типа системных задач.

Первый тип задачи имеет место, когда СЭСВ является полезным сигналом, который должен быть воспроизводим на выходе системы с минимальным отклонением от задающего воздействия, то есть с минимальным значением дисперсии ошибки De, что достигается максимизацией характеристической частоты ПДМ как в относительном а)0, так и в абсолютном щ представлении. Таким образом, аналитическое выражение для асимптотического значения DeA = DM (ш0) будет определяться из условия

Да " ДА (Щ) = Jim DB (щ) (4.28) и представлять собой отношение членов числителя и знаменателя исходного выражения для De, содержащих Ш0 в наивысших степенях.

Второй тип задачи имеет место, когда СЭСВ является помехой, которая не должна проявляться на выходе системы, то есть стохастическая компонента выхода системы, порождаемая СЭСВ, должна характеризоваться минимальной (максимально приближенной к нулю) дисперсией, что достигается минимизацией характеристической частоты ПДМ как в относительном Щ, так и в абсолютном й)0 представлении. Таким образом, аналитическое выражение для асимптотического значения D А = DyA(W0) будет определяться из условия

DyA = D А(Щ) = \\mDy(Щ) = 0 (4.29) и представлять собой отношение членов числителя и знаменателя исходного выражения для Dy, содержащих а)0 в наименьших степенях.

Выражения для асимптотических представлений D£A (Ш0), DyA (Ш0), полученных указанными выше предельными переходами соответственно дисперсий De(W0), Dy(wQ) для ПДМ порядка ппдм = 1 -ь 3, сведены в