автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Многопараметрические двумерные статистические модели типа Изинга

На правах рукописи

РГБ ОД £/ Ж

Харченко Юрий Николаевич

МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ДВУМЕРНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПА ИЗИНГА

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Владивосток 2000

Работа выполнена в Институте прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наук.

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор В.В. Катрахов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук.

профессор В.П. Белоконь.

кандидат физико-математических наук, доцент Е.Е. Скурпхпн.

Ведущая организация: Институт автоматики и процессов

управления ДВО РАН.

Защита состоится " '^ " 2000 года в1^час. на заседании

диссертационного совета Д.064.58.02 в Дальневосточном государственном университете по адресу: г. Владивосток, ул. Суханова. 8. к. 38.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дальневосточного государственного университета.

Автореферат' разослан " <(~ ^'^НЛ^от)

года.

Учёный секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор Н.Н.Фролов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В данной работе рассматривается некоторый подход к описанию термодинамических систем, поведение которых можно описать двумерными моделями Изннга на решётке. Обычно такие системы ассоциируются с магнетиками. Термин "термодинамическая система" - означает систему, состоящую из большого числа частиц Лг, в которой отсутствуют стационарные потоки и все макроскопические параметры постоянны во времени, и предполагается. что при вычислении величин, характеризующих систему, Лг должно быть устремлено к бесконечности. В этом случае говорят о величинах в термодинамическом пределе или термодинамических величинах. При этом наиболее интересной является проблема описания так называемых фазовых переходов, которые связывают с неаналитичностью термодинамических величин как функций макроскопических параметров, характеризующих систему и её отношение к окружающим телам, например, температуры Г и внешнего магнитного поля Я.

В начале двадцатого века появилось несколько моделей для исследования фазовых переходов в магнетиках. Первую конкретную модель взаимодействующих магнитных моментов предложил В. Ленц. Одномерная модель была решена Пзиигом и впоследствии такого типа модели стали носить его имя.

Настоящая работа посвящена исследованию нового подхода к решению двумерной модели Пзинга с полем. Идейно она примыкает к области исследований, называемой точно решаемые модели в статистической механике. Термин "точные решения" принадлежит Р. Бэкс-теру. он не совпадает с термином "строгие решения", поскольку в процессе получения точных решений допускается принятие недоказывае-мых правдоподобных допущений. Несмотря на то. что Онсагер решил двумерную модель Изннга без поля в 1944 году, модель с внешним полем до сих пор остаётся трудной и нерешённой.

Целью работы является построение и изучение алгебраических структур, позволяющих аналитически и численно исследовать многопараметрические модели посредством специально разработанного в диссертации метода, приспособленного для выявления свойств моделей, связанных с перестройкой суммирования в статистической сумме.

Состояние проблемы. В некотором смысле рассматриваемый подход является развитием идей давней работы Крамерса и Ванье, которым удалось путём перестройки суммирования статистической суммы определить критическую температуру двумерной модели Пзинга

без поля.

Рассмотрение многопараметрических плоских моделей и использование степенного представления трансфер-матрнц соответствующих статистических сумм выявляет новые возможности этой идеи (путем перестройки суммирования получать сведения о поведении термодинамических величин) как в плане аналитического анализа, так и численного исследования на ЭВМ.

Особое место в диссертации занимают эксперименты на ЭВМ. Метод степенных представлений является, как показывают результаты диссертации, удобным и эффективным аппаратом для вычисления параметров моделей и проверки гипотез, естественно возникающих в ходе исследования этих моделей.

Методика исследований. Статистические суммы рассматриваемых мпогопараметрическпх моделей допускают трансфер-матричное представление и это, в свою очередь, позволяет рассматривать термодинамические свойства этих моделей на языке индексированных матриц и операторов, действующих в пространствах, являющихся тензорными произведениями Лг экземпляров двумерных пространств.

Подобного рода аппарат уже с успехом использовался при решении некоторых проблем в статистической физике, теории твердого тела и теории поля, например, при решении Янгом обобщённой одномерной модели Гейзенберга и в методе обратной задачи рассеяния - Фаддеевым с сотрудниками. В отличии от упомянутых работ в диссертации центральное место занимает степенное представление трансфер-матриц. Как правило, в решёточных моделях используются краевые циклические условия, именно эти условия и позволяют получить трансфер-матричное представление статистической суммы модели. Но. с другой стороны, согласно физическим представлениям, термодинамические функции не зависят от краевых условий. В данной работе это обстоятельство использовано для построения так называемой возмущенной трансфер-матрицы (трансфер-оператора), которую можно представить в виде степени другой матрицы (оператора) более простой структуры. Эту последнюю матрицу (оператор) естественно называть корневой трансфер-матрицей (корневым трансфер-оператором). Введение корневых трансфер-операторов значительно упрощает анализ нужных свойств моделей, поскольку эти операторы имеют простую структуру. Весьма полезным свойством является также ограниченность корневого трансфер-оператора для всех N, это допускает вычисления по схеме теории возмущений, которые в этом случае оказываются сравнительно простыми.

Комбинируя преобразования подобия, формулы следующие из перестройки суммирования статистической суммы и формулы, получающиеся применением теории возмущении, можно получать дифференциальные уравнения для максимального собственного значения корневого трансфер-оператора 16-параметрической модели на трёхпара-метрнческом многообразии, отвечающем двумерной модели Изинга с полем.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми. В том числе получены:

а) степенное представление многопараметрнческих трансфер-матриц:

б) формулы для средних от двух и трёх операторов, связанных с моделью Изинга:

в) уравнение для максимального собственного значения трансфер-оператора трёхиараметрической модели:

Кроме того, на основании степенного представления и разработанного численного метода, во-первых, вычислены различные характеристики модели, а, во-вторых, в достаточной степени обоснована одна структурная гипотеза о возможности перестройки трансфер-оператора. не связанной с перестройкой суммирования в статистической сумме.

Достоверность полученных результатов основана на строгих математических рассуждениях, их внутренней непротиворечивости, а при невозможности получения строгих математических результатов -на физически обоснованных гипотезах и на тестировании численных алгоритмов на теоретически известных решениях изучаемых моделей.

Практическая и теоретическая значимость результатов диссертационной работы состоит в возможности их применения при теоретическом и численом анализе термодинамического поведения физических систем.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 9 работ, список которых представлен в конце автореферата. Из совместных работ в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Аппробация. Основные результаты диссертации докладывались

1) на Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 1998, 1999);

2) в Хабаровском государственном техническом университете (1999);

3) в Хабаровском отделении Института прикладной математики ДВО РАН (1999);

4) в Институте прикладной математики ДВО РАН (Владивосток,

1999):

5) в Дальневосточном государственном университете (Владивосток.

2000);

6) в Дальневосточной государственной академии экономики и управления на кафедре математики и моделирования (Владивосток, 2000);

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и списка литературы. Компьютерный набор выполнен с использованием пакета -Ш^Х. Общий объём диссертации со-

ставляет 132 страницы, включая 13 таблиц и 5 рисунков. Библиография включает 5С наименований.

Автор весьма признателен профессору В.В. Катрахову за многочисленные плодотворные дискуссии, стимулировавшие поиск новых результатов и существенным образом определивших характер и форму данной работы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ1

Работа состоит из введения и четырёх глав. В первой главе детально исследуются алгебраические структуры 16-параметрической модели, которая, в частности, при должном выборе параметров описывает поведение анизотропной двумерной модели Изннга с полем (трёхпара-метрическая модель).

В первом разделе рассматривается связь статистической суммы с трансфер-матрицей. На плоскости вводится решетка с узлами в точках (п,т). где п = 1.....Л"+1, т — 1____.М+1 и Л" и М некоторые

натуральные числа. В каждом узле рассматриваются две бинарные переменные и , каждая из которых принимает два значения: 1 пли 2. Предполагается выполнение краевых условий типа периодичности

\5" = \ЛЧ1- '» = 1,....Л/ + 1. (1.1.1)

= " = 1,...,А' + 1. (1-1.2)

Вводится матрица параметров Е размерности 4x4

( ЕЛ\ Ш ЕЦ Ш \

■^11 "^11 л12 л12

гг11 гЧ2 Е-П СЧ2

.&21 ■С/21 ■с22 ■с22

Г21 Г22 т?21 г22

\ £21 Л21 Г/22 -с'22 /

(1.1.3)

Формулировки теорем, лемм, следствий, содержание формул, а также их нумерация взяты из диссертации.

элементами которой являются некоторые числа. Рассмотривается числовая функция Zxм = ZJvл/(E) от матрицы Е (обычно называемая в физике статистической суммой):

= = .(1.1.4)

(Г \ Л1 = 1 П —1

где суммирование распространяется по всем \ и а . представляющих собой матрицы

элементы которых могут принимать значения 1 и 2 . Различных и матриц \ и матриц а всего 2Л л/ .

N-бинарными векторами называются упорядоченные наборы из

Л* бинарных компонент. В частности, столбцы .....\ и . ег1____

соответственно, матриц \,гт являются Л'-бинарнымп векторами. Вводится обозначение

= (1.1.5)

X"1 п=1

Если упорядочить некоторым способом множество всех Л'-бинарных векторов, то числа (1.1.5) образуют трансфер-матрицу Л .

Теорема 1.1.1. При любом упорядочивании для статистической суммы. Z\\( справедливо представление через след. т..е. сумму диагональных элементов. М -й степени трансфер-матрицы .4 :

гХм = Тгасе.4и. (1.1.9)

Трансфер-матрица А имеет размер 2Л х 2Л . Во втором разделе рассматривается тензорное представление трансфер-матриц.

С матрицей параметров Е связываются восемь матриц размера 2x2 вида

где г = 1,2 и ] = 1.2 .

Сама матрица Е записывается в блочном виде

Е = ( ^11 ^12 I V £21 Е22 ) '

Е =

(1.2.2)

При фиксированных а1 и а2 формула (1.1.5) по правилу умножения матриц может быть записана в виде

.-Г1'2 = Trace (е . '.Е**^ . (1.2.4)

Эта формула определяет структуру каждого элемента трансфер— матрицы. Для обозримого же представления структуры трансфер-матрицы в целом во множестве Л'-бинарных векторов вводится обратное к лексикографическому упорядочивание (или ОЛГ-упорядочивание) по следующему правилу: больший номе}) имеет тот вектор из двух сравниваемых векторов, у которого больше компонента из первой, начиная с конца, несовпадающей пары соответствующих компонент.

Трансфер-матрица А = (аи) в дальнейшем при необходимости упорядочивания всегда записывается с помощью введённого ОЛГ-упо-рядочивання наборов и в таком случае называется ее ОЛГ-упорядо-ченной.

Напомним, что под тензорным (кронекерекгш) произведением В ^С двух прямоугольных матриц В = (Ь^) размера ах/} и С = размера "1^6 понимается матрица размером 07х¡36 , имеющая блочную структуру вида

т.е. оно есть покомпонентное умножение матрицы В на компоненты матрицы G .

Теорема 1.2.1. Для любого натурального N гшеет место следующее представление ОЛГ-упорядоченной трансфер-матрицы

2

В третьем разделе рассматривается операторное представление трансфер-матриц. Сначала вводятся линейные векторные пространства, в которых трансфер-матрица будет соответствовать некоторому линейному оператору, действующему в них.

(1.2.5)

sl,...,s,v = l

Пусть упорядоченная пара векторов

'ЧО.- « = (?). (1А1)

является базисом векторного пространства Ьп над полем комплексных чисел С . Здесь п = 1,..., N .

Пусть в обозначает Лг-бннарныН вектор с компонентами = 1.2. п = 1____, Л". Тогда формальные объекты

г = (1.3.2)

"при всевозможных «"образуют базис векторного пространства

С\ = • I-х-

называемого тензорным произведением пространств .....Ь \ .

Пусть р - числовая матрица размера 2 х 2 . тогда через рп обозначается линейный оператор, действующий в пространстве Ьп и имеющий в базисе (1.3.1) матрицу р. Тем же символом рп обозначается также и линейный оператор, действующий в пространстве С\ на его базисе (1.3.2) по формуле вида

РпГ = Рп(П1®. ■ = ?Г©. ■ .®С-1 Орп/^зед®. ■

т.е. оператор рп в тензорном произведении Z,lЭ•.•Q£.\, действует лишь в п -ом сомножителе.

Для сокращения обозначений в соответствии с блочной структурой матрицы Е (см. (1.1.3), (1.2.2)) пологается

21 гЙ = -Ел,л- Ь„ — I I = ^12 ,п-

/711 р 12 Г, 12

рЬ р22

Г..22 Г12

р2\ 22 рЬ ¿22

Г И р\2 р2\ р22

£ 11 £12

('п = ( Е-М Г'А ) = Е-П.п- <1п = ( гЙ ) = Е'Г2.П-

Вводится линейный трансфер-оператор А, действующий в С, определённый на базисных векторах Iе по формуле

А1* = ^ Л* I', <

где - Л'-бинарные векторы, а числа Ал определены в (1.1.5). Следовательно, А суть оператор, которому отвечает матрица (А8') в (неупорядоченном) базисе {/' } (1.3.2).

Лемма 1.3.1. Для трансфер-оператора Л гшеет место представление вида

А = ТгасеЫоск Ц ( £ % ) . (1.3.3)

п=1 4 7

Здесь произведение операторных матриц (т.е. матриц, элементами которых являются операторы) определяется следующим образом:

( «; 1>1 \ ( а;- Ь, \ _ ( a¡aj + biCj а.Ь,-+ \ „

а (/,</_,■ понимается как произведение (композиция) операторов в £д- . Блочный след операторной матрицы понимается как сумма операторов. стоящих на главной диагонали.

Растмогрпвается ещё одно операторное представление трансфер-оператора. Для этого вводится пространство ¿о той же структуры, что и остальные Ьп. т.е. считается, что век горы

<-(о.- «-а.

образуют базис в ¿о • Определяется ещё пространство

£0.\- = ЬоОСх = ЦЭШ-. .©¿.у.

Вводятся четыре конкретных оператора в Ь.у (значит, и в £о.\" )■ образующих базис в линейном пространстве операторов Ьп >—> Ьп :

(1 о\ , / о 1N / о о Л , /оо

= 10 «Л- Л = и о Л' ^^ \ 0 1

Определяется новая операция индексирования операторной матрицы:

в 5)^(2 5) =спр + /пд + «/пд + лп5,

где Л, 5 произвольные операторы в Сох . Эта операция ставит операторной матрице в соответствие оператор в пространстве Сох ■

Лемма 1.3.2. Имеет место формула

Р <Э\ и V Я 5 I { X У

_ Р Я\ и V Д 5 / [ X У

(1.3.6)

где Р, <3, И, 5, ¿7, V, А', У произвольные операторы в Сох > коммутирующие с операторами е„, /„,дп, кп .

Формула (1.3.6) по индукции распространяется на любое количество сомножителей.

Пусть Р, Q.R,S - произвольные операторы в Су . тогда для операторной матрицы, индексированной соответствущнм образом, введится

понятие 0-следа Trace по формуле о

Qs)rP + S-

Следствие 1.3.3. Для трансфер-оператора имеет место следующее представление через 0-след индексированной операторной матрицы:

\ Г Л'

Ь„

* = т'гПЦ: zi=*г

п— 1

П (uf;

.11=1

(1.3.7)

В четвёртом вспомогательном разделе собраны псе используемые в диссертации факты об операторах перестановок. Вводятся операторы перестановок, действующий в Соу :

1 о Л /1 о Л /о 1 Л / о о \ . / о о \ /о 1

°М° °лЧ° «АЛ1 «¿"Ч1 °м°

+ (о?) (01) = г»с<'+ /''£" + <?»/; + Л „1ч- ■

Вводится также ещё один операто]> перестановок

Р = Pl.vPl.V-l-. .Рц = РмР.У-И- ■ -Рп-

В пятом разделе изучается степенное представление возмущенного трансфер-опера юра. Пологаек я

Тогда формула (1.3.7) перепишется в виде

А = Trace До, (1.5.2)

где положено

А = П1оп-

л=1

В этой формуле оператор Vo,v заменяется на некоторый возмущённый оператор t'o.v , имеющий вид

V' у = | ^ |

V сЛ- dN J 0

Соответствующий возмущённый трансфер-оператор А тогда представится в форме

А = Trace Ао - Trace(1 oi- • ^ o.v-Ho.v) (1.5.3) В дальнейшем считается, что

Уо.\ = Рох. (1-5.4) Основное утверждение настоящей главы составляет

Теорема 1.5.2. Справедливы следующие два представления возмущённого трансфер-оператора

А = Trace А0 = p-1(tr2iP)-V-1P (1.5.7)

и

Д=[Р-,(С'21Р)Р]Л'"1. (1.5.8)

Здесь положено Гц = Р-л^'л -

В следующих главах изучаются более общие трансфер-операторы. В этом контексте, с целью их различия трансфер-оператор вида U21P в дальнейшем называется корневым двухнндекснъим трансфер-оператором.

Во второй главе изучаются асимптотические свойства многопараметрических моделей типа Изпнга

В первом разделе рассмотрена углублённая теория индексированных матриц.

Для сокращения записей переобозначены введённые в третьем разделе первой главы базисные матрицы e,f,g,h через

1 \ 1 К \ 2 Л>Л

(е =)е — ( qq 1 , (/ =) е =(по)'

, \ з /00\ ,, > 4 /00\

М lioj' =) е = ^oi J '

2.1.1)

Введены к-кратно индексированные матрицы АП1„, .П|с. щ £ 1,2.....Л", п; ф щ при г ф I. по следующей формуле

4

ЛП1П2...Пк = £ а (г 1,..., ц.) е^ ... е^, (2.1.3)

¡1...»*=1

где коэффициенты о(г 1... С. Отмечено, что к -кратно индексированная матрица однозначно определяется 4* коэффициентами.

Определено правило, согласно которому индексированным матрицам. записанным в виде (2.1.3). сопоставляются индексированные матрицы размером 2к х 2А'. Положено для п\ < п-> < ... < »к

А' А; ... Акп =' (Л* 3 А*"1 О ... 3 А1) . (2.1.4)

здесь

л/ (атЬт\ ~ \стсГп)-

ат.Ьт.ст.<Г £С. т = 1....,к.

Отмечены важнейшие свойства индексированных матриц (операторов):

1) если множества индексов двух любых индексированных матриц имеют пустое пересечения, то эти матрицы коммутируют:

2) если множество индексов индексировано!-! матрицы содержит в точности один индекс матрицы перестановок, то при перестановке этих матриц указанный индекс (у индексированной матрицы) заменяется на другой индекс матрицы перестановок, то есть при этих условиях справедлива сплетающая формула вида

А„. = Л/А„.../...;»:

3) если множество индексов индексировано!! матрицы содержит оба индекса матрицы перестановок, то при коммутации этих матриц указанные индексы (у индексированной матрицы) меняются местами, то есть при этих условиях справедлива сплетающая формула вида

Ап...к..1...тРк1 = РшАп...1...к...т'-

4) для любой индексированной матрицы справедливо свойство циклического сдвига индексов при коммутации её с оператором перестановок Р = Ру1^~лг—11 ■ • • -Р21 :

Р АП[. — АП1(то<1 .....пк (тех! ;У)+1 Р-

В первой главе был введён формализма 0-следов, здесь он несколько обобщён. Пусть индекс a g {1,2,..., N}, например, можно считать, что а = 0. Тогда а -след индексированной матрицы определяется формулой

Trace Ащ...„ка = Trace ( ^ a(ib..., ik, t'Q) е^ ... | =

1 /

4

= a(i 1,..., г'ь г'а) е^ ... е'^ (Trace ег").

¿1.....¡k,ia=i

Наряду с а -следом, рассмотрен и след по двум индексам - ad -слад. который определён как повторный (последовательный) след отдельно по каждому индексу, взятый в любом порядке, поскольку результат от этого не изменится, то есть по определению полагается

Trace .4ni...Uknj = Trace.4,h...„knj -

a J pa

— Trace ^ Trace .4„,...niQ^ = Trace ^Trace .

при этом все индексы П\,..., л*. a,j3 считаются попарно различными, причём »1,..., /ц. е {1,2,...,Л*}, а а,¡3 £ {1,2.... ,Л*}.

Во втором разделе, используя идею первой главы о возможности степенного представления трансфер-матриц и исходя из тпрёхпа-рал1етрического горизонтального трансфер-оператора (что означает рассмотрение матрицы параметров размерности 8 х 8 . то есть 64-па-раметрпчеслукой модели)

UmPxiPx-i 1...Рп = £:321 Р, (2.2.1)

п роится корневой вертикальный трансфер-оператор

V = IW, k = +1, (2.2.29)

где предполагается нечётность М .

В третьем разделе методом малого параметра при некотором специальном выборе матрицы параметров горизонтального корневого трансфер-оператора (и, соответственно, вертикального) получено уравнение, связывающее средние от произведения двух трансфер-операторов:

ton (ф:ч, CuPn (A12PnУ4-2 ВпРмФм) =

= Um(v'N,CnPNBnPNw), (2.3.21)

сс \ /

где Сп, £12 - произвольные матрицы 4x4, Л12 - произвольная матрица 4 х 4 с положительными элементами. А - максимальное собственное значение оператора Р, через Лобозначен (в предположении его существования) предел Л, при N -> ос . а Фх и у максимальные собственные векторы операторов; ф*у. - максимальные собственные векторы транспонированных операторов и предполагается выполнение условия

В третьей главе рассматриваются перестройки суммирования и уравнения для свободной энергии.

Основным содержанием третьей главы является получение уравнений. связывающих производные максимального собственного значения 16-параметрнческого трансфер-оператора на трёхпараметричес-ких многообразиях, отвечающих модели с полем: то. что трансфер-оператор трёхпараметрнческой модели, используемый в данной главе, отвечает именно двумерной модели Изинга с внешним полем доказано в четвёртой главе. Следует отметить, что исследуемая 16-параметрическая модель, хотя и записана в абстрактном виде, соответствует реальной физической модели, в которой в узлах двумерной решётки расположены взаимодействующие объекты с четырьмя возможными состояниями (в отличии от классической модели Изинга с объектами с двумя состояниями). В первых двух разделах проведена подготовительная работа по получению асимптотических формул, из которых и следуют эти уравнения.

В третьем разделе положено для максимального собственного значения А{-.\- трансфер-оператора Н = 1~2\Р\

Полагается, что функция А дифференцируема и введено обозначение

(2.3.17)

{пи А[/,.\- = А(сн.....а16) = А (а).

где

(3.3.6)

(3.3.11)

1С

где П - трёхмерное многообразие во множестве всех матриц вида (3.3.6), элементы матриц которого параметризованы через р, д, г по (матричной) формуле

/ а1

а5

а9

а13

а а6

а" а7

а4 \

„8

а н> а11 а12

а14 а13 а16

( 1 рдг 0 0 \

ц рг 0 0

0 0 рг qrl

\ 0 0 pqr г2

(3.3.7)

При этих предположениях, используя преобразование подобия, асимптотические формулы и соображения теории возмущений, получены две формулы

1

ч'^+рг'х\ = ~ 5Л4 +/;''(5Л10 - <72а12) +

+ч(К - «А'8) +рг1г(ЯХ'и - </%)].

(3.3.17;

А'э +Р9гЛ'10 = —фдг(Х\ - дА'з) + (¡гЦчХ1, - ?%) +

+МА'3 - дА'7) + г2(?А',з - 9 А',5)].

(3.3.18)

где А; отвечают трёхиараметрическому многообразию, образованному матрицами вида (3.3.7), в которых параметры р ид переставлены местами.

Основным содержанием четвёртой главы является численное моделирование. Соответствующие вычислительные эксперименты обсуждаются в последнем четвёртом разделе, а первые три раздела носят подготовительный характер.

В первом разделе показано каким способом классическая трёхпара-мстричсская модель Изинга с полем вкладывается в изученную рапсе 16-параметрнческую модель. Приведён вид соответствующей корневой трансфер-матрицы

( 1 А

а/3 7 а 7

ицР =

аЗ7 0 0

/3

о о

ав 7

0

а7 . о & л.,

и а ар)

Р =

{±-00 о\

а

0 аО 0 0 0а 0

0 0 0^

\ %1

Р, (4.1.5)

где параметры а, в, 7 выражаются через параметры К. L. Н (здесь К и L - коэффициенты взаимодействия по вертикали н горизонтали, а Н - коэффициент взаимодействия с внешним полем) по формулам

q = ехр(-Л'). ¡3 = ехр(—L), 7 = ехр(—Я).

Во втором вспомогательном разделе выясняется явный вид в ОЛГ-упорядоченном базисе всех участвующих в дальнейших вычислениях матриц.

В коротком третьем разделе обосновывается возможность применения к рассматриваемым матрицам теоремы Перрона-Фробеннуса и тем самым обосновывается сходимость применяемого далее итерационного метода.

Основные результаты главы сосредоточены в четвёртом разделе, где последовательно проведены вычислительные эксперименты по

1) тестированию используемого итерационного степенного метода нахождения максимального собственного значения на решении Онса-гера двухпараметрической модели Изинга без поля:

2) тестированию модели с транспонированной матрицей параметров:

3) определению кривой критических точек (то есть точек, где теряется аналитичность свободной энергии) по максимуму количества итераций основного метода: разработанный метод позволяет также вычислять свободную энергию (приблизительно за то же самое машинное время) двумерной модели Нзинга с полем, что здесь использовано для вычисления картины разрушения кривой критических точек при включении поля:

4) численной проверке выдвинутой в четвёртом пункте структурной гипотезы, о совпадении в термодинамическом пределе максимальных собственных значений трансфер-матриц при перестановке параметров специальным образом; кроме того в этом пункте эта гипотеза использована для получения дифференциальных соотношений, которому удовлетворяет максимальное собственное значение трёхпарамет-рпческой модели Нзинга с полем.

Все вычисления проведены на персональном компьютере Pentium ММХ-166. Из их результатов следует справедливость всех выдвинутых положений. Разработанный численный метод оказался достаточно быстродействующим и точным, он может быть легко перенесён на другие более мощные ЭВМ с использованием любых языков программирования.

Работы автора по теме диссертации

1. Харченко Ю.Н. Модельный анализ проблемы Изинга. Препринт ИПМ ДВО РАН, Владивосток, 1996, с.о.

2. Харченко Ю.Н. О степенном представлении трансфер-матриц. Препринт ИПМ ДВО РАН, Владивосток, 1998, с. 16.

3. Харченко Ю.Н. Об одной асимптотической формуле в модели Изинга. Препринт ИПМ ДВО РАН. Владивосток. 1998. с. 14.

4. Харченко Ю.Н. Некоторые асимптотические формулы в двумерной многопараметрической модели Изинга и уравнения для свободной энергии трехпараметрическон модели. Препринт ИПМ ДВО РАН. Владивосток. 2000. (в печаги).

о. Катрахов В.В.. Харченко Ю.Н. О мультипликативных структурах многопараметрических трансфер-матриц. Тез. докл. Дальневосточной математической школы-семинара им. акад. Е.В. Золотова, Владивосток, 1999. с. 44.

6. Катрахов В.В.. Харченко Ю.Н. Об алгебраических структурах в двумерных моделях статистической физики. Тез. докл. Дальневосточной математической школы-семинара им. акад. Е.В. Золотова, Владивосток. 1998, с. 39.

7. Харченко Ю.Н. Мультипликативная структура многоиараметри-ческнх трансфер-матриц. Дальневосточный математический сборник, 8. 1999.

8. Катрахов В.В.. Харченко Ю.Н. Об алгебраических структурах трансфер-матриц, (представлена в ДАН)

9. Катрахов В.В.. Харченко Ю.Н. О многопараметрнческой двумерной модели Изинга. Тез. докл. Лаврентьевских чтений по математике, механике, физике, поев. 100-летию М.А.Лаврентьева, Новосибирск, 2000 (в печати).

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

16-ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ.

1.1. Статистическая сумма и трансфер-матрицы

1.2. Тензорное представление трансфер-матриц.

1.3. Операторное представление трансфер-матриц

1.4. Операторы перестановок.

1.5. Степенное представление возмущённого трансфер-оператора :.

Итоги первой главы

ГЛАВА 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

ТИПА ИЗИНГА

2.1. Индексированные матрицы.

2.2. Трёхиндексные корневые трансфер-матрицы

2.3. Метод малого параметра для трёхиндексных трансфер-операторов

Итоги второй главы

ГЛАВА 3. ПЕРЕСТРОЙКИ СУММИРОВАНИЯ И

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СВОБОДНОЙ ЭНЕРГИИ

3.1. Асимптотические формулы для средних значений произведения двух трансфер-операторов

3.2. Транспонированная трансфер-матрица

3.3. Уравнения для максимального собственного значения корневого трансфер-оператора трёхпараметрической модели Изинга

Итоги третьей главы

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ.

4.1. Трёхпа.раметрическая модель.

4.2. Вид матриц в ОЛГ-упорядоченном базисе.

4.3. Применение теоремы Перрона-Фробениуса.

4.4. Вычислительные эксперименты.

4.4.1. Численные методы и результаты.

4.4.2. Транспонированная матрица параметров.

4.4.3. Критические точки.

4.4.4. Структурная гипотеза.

Таблицы.

Итоги четвёртой главы

Актуальность проблемы. В данной работе рассматривается некоторый подход к описанию термодинамических систем, поведение которых можно описать двумерными моделями Изинга на решётке. Обычно такие системы ассоциируются с магнетиками. Термин "термодинамическая система" [13], [1] - означает систему, состоящую из большого числа частиц N , в которой отсутствуют стационарные потоки и все макроскопические параметры постоянны во времени, и предполагается, что при вычислении величин, характеризующих систему, N должно быть устремлено к бесконечности. В этом случае говорят о величинах в термодинамическом пределе или термодинамических величинах. При этом наиболее интересной является проблема описания так называемых фазовых переходов [4], [25], [23], которые связывают с неаналитичностью термодинамических величин как функций макроскопических параметров, характеризующих систему и её отношение к окружающим телам, например, температуры Т и внешнего магнитного поля Н .

В начале двадцатого века появилось несколько моделей для исследования фазовых переходов в магнетиках. Первую конкретную модель взаимодействующих магнитных моментов предложил В. Ленц. В этой модели считается, что магнитные моменты - это классические одномерные "стрелки", которые могут иметь только две ориентации, а также предполагается, что магнитные моменты локализованы в углах регулярной решётки и что их взаимодействие носит парный характер. Важной физической величиной, которая определяется моделью системы, состоящей из N частиц, является так называемая статистическая сумма канонического ансамбля) [18], [29]

Zn{T) = ех*3

B.l) где Е(х) энергия состояния модели, а суммирование производится по всем состояниям х ■ Функция Е состоит из двух частей: где Ео включает вклад межмолекулярных сил виутри магнетики, а Е\(х) - вклад от взаимодействия с внешним магнитным полем Н.

Из физических соображений предполагается, что существует предел (термодинамический предел) величину F называют свободной энергией на один узел решетки. Говорят, что модель решена, если F{T) найдена.

В.Ленд предложил рассмотреть магнитную цепочку с таким типом взаимодействия своему студенту Изингу в начале двадцатых годов [31], тому удалось решить эту одномерную модель и сейчас все такого рода модели носят его имя.

Долгое время эти модели рассматривались как некоторый объект для математических упражнений. Положение начало менятся после того, как Онсагер [29], [6] решил двумерную модель Изинга без магнитного поля. Стимулированные этим решением теоретические исследования решеточных моделей доставили важную информацию о фазовых переходах, а представления и понятия, возникшие при решении решеточных моделей, стали плодотворно использоваться в других областях физики [26], [20], [7], [10], [45], [33]. Важнейшими такими понятиями являются гипотеза универсальности и гипотеза подобия [47], [38].

Гипотеза универсальности возникла при анализе поведения решения в окрестности так называемой критической точки. До решения Онсаге-ра представления о фазовых переходах в магнетиках базировались на

Е(х) = Е0(х) + Е1(х)

F(T) = -кТ lim —InZN{T) lim — iV-i-oo A'

B.2) теории Вейсса (теория "молекулярного поля") [23], в частности, эта теодн 77" рия предсказывала следующую зависимость намагниченности М = нулевом поле от температуры Т в критической точке Тс

2 Те - Т

М'

Тс и разрыв непрерывности удельной теплоемкости С (Т) при Т = н=о

Тс ■ Онсагер сумел показать, что удельная теплоемкость в точке Т — Тс обладает логарифмической расходимостью. Поскольку этот результат находится в резком противоречии с предсказанием теории молекулярного поля, стало ясно, что существующая классификация фазовых переходов Эренфеста [18], [1] до известной степени неверна.

Поведение некоторой функции (р (г) ,

Т — Тс

ТС ' в окрестности критической точки принято описывать пределом (если он существует) [2-5], [23]

А=ИтМ, с •->-сю т е этот предел называют критическим показателем, связанным с функцией (р , для кратности пишут <р{£) = .

Предполагают [23], [6], и это предположение подтверждается экспериментальными данными, что критические показатели являются числами, которые зависят только от размерности системы и симметрии гамильтониана - это означает, что модель Изинга в некоторой окрестности критической точки является хорошим приближением реалистичных моделей той же симметрии. Это предположение и является содержанием гипотезы универсальности, хотя сама по себе она может форм^улироваться в разных формах [6], [47], [46]. Для того, чтобы сформулировать эту гипотезу, понадобилось более двух десятков лет, но сейчас уже найдены и решены модели [б], у которых критические показатели изменяются непрерывно как функции параметров гамильтониана, что противоречит гипотезе универсальности, однако, полагают, что подобные нарушения возможны лишь в специальных случаях. Замечательно то, что будучи результатом теории решёточных моделей гипотеза универсальности стала использоваться в теории поля [37], [41], [35].

Другой гипотезой, которая широко используется как в теории решеточных моделей так и в других областях физики, является гипотеза подобия (скейлинг, масштабная инвариантность) [5], [11], [42], [27], [40], [43], [44], [32]. В гипотезе подобия утверждается, что некоторые термодинамические величины (так называемые термодинамические потенциалы) являются однородными функциями своих аргументов следующего вида р(\ах,\ьу) = \<р(х,у).

Считается [23], что гипотеза подобия представляет собой специфическое предположение, совершенно лишенное физического смысла. Интересно заметить, что еще в начале сороковых годов А.Н. Колмогоров [14], [15] использован гипотезу подобия в теории турбулентности.

Приведенные примеры показывают, что точные решения решеточных моделей, которые сами по себе могут представлять по видимости довольно грубое приближение реальности, оказывают существенное влияние на развитие физических представлений.

Термин "точные решения'1 принадлежит Р. Бэкстеру [6]. он не совпадает с термином "строгие решения", поскольку в процессе получения точных решений допускается принятие недоказываемых правдоподобных допущений. В то же время это есть решение изначально хорошо определённых конкретных моделей, этим они отличаются от теорий, построенных на основании так называемого "физического смысла", лучшим примером которых, возможно, является теория фазовых переходов второго рода Л.Ландау [18].

Анализ свойств точных решений решёточных моделей помогает представить полную картину поведения более реалистичных и более богатых свойствами физических моделей, вводя новые понятия и стимулируя исследования в новых направлениях. Ясно, что в этом смысле уже решение двумерной модели Изинга с полем было бы большим шагом вперед.

Один из самых авторитетных исследователей в этой области Р. Бэкс-тер полагает, что это можно было бы сделать методом, аналогичным тому, каким Онсагер решил модель без поля, однако в настоящей работе исследуется другой подход.

Целью работы является построение и изучение алгебраических структур, позволяющих аналитически и численно исследовать многопараметрические модели посредством разработанного в диссертации метода, специально приспособленного для выявления свойств этих моделей, связанных с перестройкой суммирования в статистической сумме.

Состояние проблемы. В некотором смысле рассматриваемый подход является развитием идей давней работы Крамерса и Ванье [6], однако. прежде чем описывать этот подход, остановимся на некоторых важных понятиях, которые введем на примере одномерной модели Изинга.

Определим числовую функцию ^дг = Z1^^(E) от некоторой матрицы с неотрицательными элементами е-(Е"ЕЛ (В.З) у Ь 21 -С/2 2 ) по формуле N = (В.4)

X п= 1 где \г. г = 1----, Л", бинарные переменные, принимающие значения

1,2, а суммирование производится по всевозможным наборам \ = (\1,. \ у) . В соответствии с (В.1), величина ZN(E) является статистической суммой некоторой модели (одномерной модели Изинга [7]).

Примем краевое условие в виде Хъ (В.5) тогда, расписывая подробно (В.4)

2 2 2

ZN = ^ S ' ' • X] EXlX2E\2X2 ■ ■ ■ E\SXl^ \: I \ 1 \N = 1 обнаружим, что по правилам умножения матриц, это не что иное как след N -ой степени матрицы Е то есть

ZN = Trace EN. (В.6)

В случаях, когда статистическую сумму можно записать в виде (В.6), матрицу Е называют трансфер-матрицей (матрицей переноса) [23], [6]. Эта конструкция часто применяется в современных исследованиях [34], [39]. В дальнейшем, имея в виду формулы вида (В.6). мы будем говорить, что статистическая сумма допускает трансфер-матричное представление.

Вычислим теперь величину = l™ (В.7)

Л —ьоо /V

Если матрица Е диагональна

Е = и Л! > Л2 , этот предел легко вычисляется = 1пАь (В.8) а поскольку след инвариантен относительно преобразования подобия, формула (В.7) имеет место также и в общем случае, где под А1 следует понимать максимальное собственное значение матрицы Е (В.З). В этом и состоит смысл трансфер-матричного представления для физических моделей - вычисление свободной энергии сводится к вычислению максимального собственного значения трансфер-матрицы и нахождению его термодинамического предела, хотя, конечно, в общем случае это далеко не так легко сделать, как и в приведенном простом примере. Ниже нас будут интересовать только алгебраические свойства статистических сумм и трансфер-матриц, поэтому функцию / в формуле (В.6) также будем называть свободной энергией, при этом связь с физическими термодинамическими величинами устанавливается посредством соответствующей спецификации параметров модели и применении формулы (В.1).

Вернемся теперь к работе Крамерса и Ванье [6], в которой им удалось определить критическую температуру двумерной модели Изинга без поля за три года до того как Онсагер получил точное решение. Их метод можно представить в следующем простом виде. Выпишем статистическую сумму изотропной модели Изинга без поля: лш

Z,M = £ Е{Хпт, Хп т+Ь \п+1 т), (В.9)

X ?г=1,т=1 где Е(хпт, Хп т+1, Лп+1 т) = ехр[Л'.\пт(х„т+1 + \„+1 ,„)] , а \пт - бинарные переменные, принимающие значение +1,-1. Путем перестройки суммирования в (В.9) Крамере и Ванье получили для свободной энергии равенство

ПК) = /(1С) + <Р(К), где К и К* связаны уравнением бЬ 2А'* ■ эЬ 2А'= 1, (В. 10) а у(К) - некоторая аналитическая функция.

Если предположить, что имеется только одна критическая точка Кс • то она должна соответствовать равенству К* = К , но тогда из формулы (В.10) сразу же получаем бЪ2Кс = 1.

Температура Т определяется формулой где Кв - постоянная Больцмана, ах- величина, характеризующая меж м о л скул я р нос вза и модействие.

Эту идею (путем перестройки суммирования получать сведения о поведении термодинамических величин) удалось с успехом использовать в некоторых других моделях, но в целом, ясно, что структура модели должна быть очень специальной для того, чтобы можно было получить формулу, аналогичную (В.10).

Рассмотрение многопараметрических плоских моделей и использование степенного представления трансфер-матриц соответствующих статистических сумм выявляет здесь новые возможности, как в плане аналитического анализа, так и численного исследования на ЭВМ.

Особое место в диссертации занимает численные исследования на ЭВМ. Метод степенных представлений доставляет, как показывают результаты диссертации, удобный и эффективный аппарат для проведения вычислений параметров моделей и проверки гипотез, естественно возникающих в ходе исследования этих моделей.

Методика исследований. Статистические суммы рассматриваемых многопараметрических моделей допускают трансфер-матричное представление и это. в свою очередь, позволяет рассматривать термодинамические свойства этих моделей на языке индексированных матриц и, соответственно, операторов, действующих в пространствах, являющихся тензорными произведениями N экземпляров двумерных пространств [9], [16], [12].

Подобного рода аппарат уже с успехом использовался при решении некоторых проблем в статистической физике, теории твердого тела и теории поля [36], [30], [22]. Особое место занимает степенное представление трансфер-матриц. Как правило, в решеточных моделях используются краевые циклические условия типа (В.5), именно эти условия и позволяют получить трансфер-матричное представление вида (В.6). Но, с другой стороны, согласно физическим представлениям, термодииамические функции не зависят от краевых условий. Это обстоятельство было использовано Крамерсом и Ванье в приведенной выше работе. Дело в том, что при перестройке суммирования, произведенной ими, получившаяся статистическая сумма для модели с конечным числом узлов решетки отличается от исходной как раз краевыми условиями. Формула (В. 10), однако, верна в силу принятого допущения о поведении термодинамических пределов. В данной работе такого рода допущения будут использованы для построения так называемой возмущенной трансфер-матрицы (трансфер-оператора), которую можно представить в виде степени другой матрицы (оператора) более простой структуры. Эту последнюю матрицу (оператор) естественно было бы называть корневой трансфер-матрицей (корневым трансфер-оператором). Введение корневых трансфер-операторов значительно упрощает анализ нужных свойств моделей, поскольку эти операторы имеют простую структуру вида к Л • где Рдг оператор перестановки индексов, матрица которого в соответствующем базисе состоит из нулей и единиц, а г-2.г-А. индексированная матрица размерности 2А х 2А , причем при вычислении термодинамических пределов Л: —» оо , а К остается фиксированным конечным числом. Бз^дем рассматривать матрицы г;2^ с произвольными вещественными элементами, так что они не связаны с какой-то конкретной физической моделью, но, с другой стороны, большинство моделей, рассмотренных, например, в монографии Р. Бэкстера [6], получаются при соответствующем выборе параметров матрицы II321 . Весьма полезным свойством является ограниченность корневого трансфер-оператора для всех N , это допускает вычисление по схеме теории возмущений, которые в этом случае сравнительно просты. Наконец, трансфер-матричное представление статистической суммы неоднозначно, то есть для данной модели можно построить трансфер-матрицы, отличающиеся друг от друга перестановкой элементов матрицы ¡к и значениями индексов ?'] . ik ■ Организуя подходящим образом процедуру сравнения, это различие можно выразить, например, формулами вида lim (p*B2]PNC2lPN<p) = Hm -^(фХ^Рм(Ат71Рм)м-'2 Щ^ф),

N—юо /V-»-оо Д^ здесь (риф собственные векторы операторов A2\Pn и A2YPpj от~ вечающие максимальным собственным значениям, символ Т означает транспонирование, Аa,n ~ максимальное собственное значение оператора A2lPN . Матрицы В2i, С'21 - произвольные матрицы 4 х 4. а Ац -матрица с произвольными положительными элементами.

Комбинируя преобразования подобия, формулы следующие из перестройки суммирования статистической суммы и формулы, получающиеся применением теории возмущений, .можно получать дифференциальные уравнения для максимального собственного значения корневого трансфер-оператора двумерной модели Изинга с полем.

Содержание работы. Работа состоит из введения и четырёх глав. В первой главе детально исследуется 16-параметрическая модель, которая, частности, при должном выборе параметров описывает поведение анизотропной двумерной модели Изинга с полем (трёхпараметрическая модель). Строго доказано, что указанная модель допускает трансфер-матричное представление. Изучена структура трансфер-матрицы, получено её тензорное и операторное представление. В завершении главы приведен главный её результат: степенное представление возмущённого трансфер-оператора, который соответствует модели с изменёнными в одной точке краевыми условиями. Как об этом было сказано ранее, такое возмущение не влияет на термодинамический предел (свободную энергию, приходяющуся в среднем на один узел решётки).

Вторая глава посвящена выводу асимптотических формул, отвечающих перестройке суммирования статистической суммы. Здесь получена формула для средних от двух трансфер-операторов, которая является источником получения уравнений, связывающих различные величины, возникающие при вычислениях в трёхпараметрической модели Изинга.

В третьей главе продолжено изучение следствий из перестройки суммирования в статистических суммах и преобразований трансфер-матриц. Получены новые формулы для средних от произведений нескольких трансфер-операторов. В заключительном разделе главы выведено два уравнения, связывающие производные максимального собственного значения трансфер-оператора трёхпараметрической модели Изинга. Эти формулы важны не только сами по себе, они также проясняют смысл всех понятий и преобразований, сделанных в предыдущих главах.

Вообще говоря, для двумерной модели Изинга с полем, которую можно описать корневым трансфер-оператором вида 17-2\Рм . можно получить некоторую систему линейных дифференциальных уравнений, состоящую из уравнений вида где О - трехпараметрическое многообразие, соответствующее анизоо \ тронной модели Изинга с полем, а - частные производные максимального собственного значения оператора 1721 Рх по параметрам матрицы 17-21 при N 00 • Можно также получить аналогичные уравнения второго и больших порядков. Возникает вопрос: можно ли получить такую систему уравнений, чтобы путем исключения ортогональных к многообразию О частных производных получить в каком либо порядке замкнутое дифференциальное уравнение в частных производных для свободной энергии двумерной модели Изинга с полем. На сегодня на этот вопрос определённого ответа еще нет. Вместе с тем, при работе над этой задачей накоплены результаты, которые представляют самостоятельный интерес.

Основным содержанием четвёртой главы является численное моделирование. При этом использовались методы представленные в известных

16 курсах [28], [8]. [2]. [17], [21], [3]. Соответствующие вычислительные эксперименты обсуждаются в последнем четвёртом разделе, а первые три раздела носят подготовительный характер.

Основные результаты главы сосредоточены в четвёртом разделе, где последовательно проведены вычислительные эксперименты по

1) тестированию используемого итерационного степенного метода нахождения максимального собственного значения на решении Онсагера двухпараметрической модели Изинга без поля (таблицы 4.1-4.5),

2) тестированию модели с транспонированной матрицей параметров (таблицы 4.6-4.10),

3) определению кривой критических точек по максимуму количества итераций основного метода; разработанный метод позволяет вычислить свободную энергию приблизительно за то же самое машинное время двумерной модели Изинга с полем, что здесь использовано для вычисления картины разрушения кривой критических точек при включении поля (таблица 4.11),

4) численной проверке выдвинутой в четвёртом пункте структурной гипотезы (таблицы 4.12-4.13), кроме того в этом пункте эта гипотеза использована для получения дифференциальных соотношений, которому удовлетворяет максимальное собственное значение трёхпараметричес-кой модели Изинга с полем.

126

Все вычисления проведены на персональном компьютере Pentium ММХ-166. Из их результатов следует справедливость всех выдвинутых положений. Разработанный численный метод оказался достаточно быстродействующим и точным, он может быть легко перенесён на другие более мощные ЭВМ с использованием любых языков программирования.

1. Базаров И.П., Термодинамика. М.: Высшая школа, 1976, 448с.

2. Бахвалов Н.Г., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1967, 598 с.

3. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976, 352 с.

4. Браут Р. Фазовые переходы. М.: Мир, 1967, 288 с.

5. Бьеркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория, том 2. М.: Наука, 1978, 408 с.

6. Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. М.: Мир, 1982, 486 с.

7. Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и е-разложение. В сб. Новости фундаментальной физики. Вып. 5, М.: Мир, 1975, с. 256.

8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967, 575 с.

9. Гельфанд И.Н. Лекции по линейной алгебре. М. Добросвет МЦН-МО. 1998, 310 с.

10. Де Паскуале Ф., Ди Кастро К., Йона-Лазинио Г. Полевой подход к теории фазовых переходов. В сб. Квантовая теория поля и физика фазовых переходов. НФФ, вып. 6, М.: Мир, 1975, с. 57-100.

11. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля, том 2. М.: Мир, 1984. 400 с.

12. Кириллов A.A. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1972, 336 с.

13. Киттель Ч. Статистическая термодинамика. М.: Наука, 1977, 336 с.

14. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса. ДАН СССР, т. 30, У'- 4, 1941, с. 299-303.

15. Колмогоров А.Н. К вырождению изотропной турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости. ДАН СССР, т. 31, JY? 6, 1941, с. 538-541.

16. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Издательство МГУ, 1980, 320 с.

17. Крылов В.И. Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы, том 1, М.: Наука, 1976, 302 с.

18. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика, часть 1. М.: Наука, 1976, 584 с.

19. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.: Физматгиз. 1963, 704 с.

20. Паташинский А.З., Покровский В.Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. М.: Наука, 1975, 256 с.

21. Писсанецки С. Технология разреженных матриц, М.: Мир, 1988, 412с.

22. Склянин Е.К., Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Квантовый метод обратной задачи. I. ТМФ, том 40, № 2, 1979, с. 194-220.

23. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления. М.: Мир, 1973. 420 с.

24. Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов математиков. Л.: Издательство ЛГУ, 1980, 200с.

25. Фишер М. Природа критического состояния. М.: Мир, 1968, 222 с.

26. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980, 404 с.

27. Хоенберг П.С. Динамические явления в окрестности критической точки: жидкий гелий и антиферромагнетики. В сб. Квантовая теория поля и физика фазовых переходов. НФФ, вып. 6, М.: Мир, 1975, с. 149-218.

28. Хорн Р., Джонсон И. Матричный анализ. М.: Мир, 1989, 656с.

29. Хуанг К. Статистическая механика. М.: Мир, 1966, 520 с.

30. Andrei N., Furuya К., Lowenstein J.H. Solution of the Kondo problem. Reviews of Modern Physics, V. 55, 1983, p.p. 331-402.

31. Brush S.G. History of the Lenz Ising Model. Reviews of Modern Physics, vol. 3, 1967, pp. 883 - 899.

32. Cirillo E.N.M., Gonnella G., Stramaglia S. Anisotropic dynamical scaling in a spin model with competing interactions. Physical Reviews E, vol. 56, No 5, 1997, pp. 5065 5068.

33. Crowdhury D., Stauffer D. A generalised spin model of financial markets. The European Physical Journal B, vol. 8, 1999, pp. 477 482.

34. Drory A. Exact solution of a one-dimensional continuum percolution model. Phys. Rev. E., 1997, V. 55, pp. 3878-3885.

35. Eden P. Investigations of quark fragmentation universality. The European Physical Journal C, vol. 9. 1999, pp. 579 588.

36. Fateev V.A., Wiegmann P.B. The exact solution of the s-d exchange model with arbitrary impurity spin 5 (Kondo problem). Phys. Lett., V. 81 A, 1981, p.p. 179-184.

37. Fiore R., Gliozzi F., Provero P. Crytical behavior of 3D SU(2) gauge theory of finite temperature: Exact results from universality. Physical Review D, vol. 58, No. 11, 1998, p. 114502 (5 pp).

38. Fisher M.E. Renormalization group theory: Its basis and formulation in statistical physics. Reviews of Modern Physics, vol. 70, No. 2, 1998, pp. 655 681.

39. Gangaly R. Critical point in a two-dimensional planar model. Phys. Rev. E., 1997, V. 55, pp. 4982-4989.

40. Graner F., Dubrulee B. Analogy between scale symmetry and relativistic mechanics. Lagrangian formalism. Physical Reviews E, vol. 56, No 6, 1997, pp. 6427 6434.

41. Hartman A.K., Nowak U. Universality in three dimentional random-field ground states. The European Physical Journal B, vol. 7, 1999, pp. 105 -109.

42. Hilfer R., Wilding N.B. Are critical finite-size scaling functions calculable from knowledge of an appropriate critical exponent? Journal of Physics A: Mathematical and General, vol. 28, No 10, 1995, L 281 (6 pp.).

43. Jacobs J., Off E., Hunt B.R. Scaling of the duratins of chaotic transients in windows of attracting periodicity. Physical Reviews E, vol. 56, No 6, 1997, pp. 6508 6515.

44. Luijfen E., Blote H.W.I., Benderk. Crossove scaling in two dimensious. Physical Reviews E, vol. 56, No 6, 1997, pp. 6540 6556.

45. Schultz T.D., Mattis D.C., Lieb E.H. Two-Dimensional Ising Model as a Soluble Problem of Many Fermious, Reviews of Modern Physics, vol. 36, 1964. p. 886.

46. Sreenivasan K.R. Fluid turbulence. Reviews of Modern Physics, vol. 71, No 2, 1999, pp. s358 s366.

47. Stanley H.E. Scailing, universality and renonnalization: Three pillars of modern critical phenomena. Reviews of Modern Physics, vol. 71, No. 2, 1999. pp. s358 s366.

48. Харченко Ю.Н. Модельный анализ проблемы Изинга. Препринт ИПМ ДВО РАН, Владивосток, 1996, с.5.

49. Харченко Ю.Н. О степенном представлении трансфер-матриц. Препринт ИПМ ДВО РАН, Владивосток, 1998, с. 16.

50. Харченко Ю.Н. Об одной асимптотической формуле в модели Изинга. Препринт ИПМ ДВО РАН, Владивосток, 1998, с. 14.

51. Харченко Ю.Н. Некоторые асимптотические формулы в двумерной многопараметрической модели Изинга и уравнения для свободной энергии трехпараметрической модели. Препринт ИПМ ДВО РАН, Владивосток, 2000, (в печати).

52. Катрахов В.В., Харченко Ю.Н. О мультипликативных структурах многопараметрических трансфер-матриц. Тез. докл. Дальневосточной математической школы-семинара им. акад. Е.В. Золотова, Владивосток, 1999, с. 44.

53. Катрахов В.В., Харченко Ю.Н. Об алгебраических структурах в двумерных моделях статистической физики. Тез. докл. Дальневосточной математической школы-семинара им. акад. Е.В. Золотова, Владивосток, 1998, с. 39.

54. Харченко Ю.Н. Мультипликативная структура многопараметрических трансфер-матриц. Дальневосточный математический сборник, У* 8, 1999.

55. Катрахов В.В., Харченко Ю.Н. Об алгебраических структурах трансфер-матриц, (представлена в ДАН)

56. Катрахов В.В., Харченко Ю.Н. О многопараметрической двумерной модели Изинга. Тез. докл. Даврентьевских чтений по математике, механике, физике, поев. 100-летию М.А.Лаврентьева, Новосибирск, 2000 (в печати).