автореферат диссертации по приборостроению, метрологии и информационно-измерительным приборам и системам, 05.11.16, диссертация на тему:Метрологическое автосопровождение результатов измерения функциональных зависимостей в процессорных измерительных средствах

Р Г Б Од - 5 ДЕК

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ В.И.УЛЬЯНОВА(ЛЕНИНА;

На правах рукописи

Цокруиин Леонид Аркадьевич

МЕТРОЛОГИЧЕСКОЕ АВТОСОПРОВОЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВ1Г ОСТЕЙ В ПРОЦЕССОРНЫХ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СРЕДСТВ, (НА ПРИМЕРЕ. ЗАДАЧИ ГРАДУИРОВКИ ОПТИЧЕСКО. АБСОРБЦИОННОГО ГАЗОАНАЛИЗАТОРА)

Специальность: 05.11.16 - Информационно-измерительные

системы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 1994

Работа выполнена в Санкт-Петербуризком государственной электротехническом университете имени В.И.Ульянова (Ленина).

Научный руководитель -доктор технических наук профессор Цветков Э.И.

Официальные оппокентй: доктор технических наук профессор Кондрашкова Г.А, кандидат технический наук Екимой'А.Ь.

Ведущая организация -НПО "Всероссийский НИИ метрологии имени Д.И.Менделеева"

Защита состоится "Иг Ъел^лЗТлЯ 1994 г. в ^^часов на-заседании диссертационного совета Kt63.36.04 Санкт-Пе«ербург-ского ' государственного электро*ехничвского университета имени В.И.Ульянова (Ленина) по адресу:

197376, Санкт-Петербург, ул.Проф.ПопоВё, 5

С диссертацией.можно ознакомиться 6 библиотеке университета,

Автореферат разослан 1994 Г.

Ученый секретарь ■ диссертационного совёта

Юрков Ю.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблей. Стремительное развитее микроэлектроники и вычислительной техники в последние годы вызвало множество благотворит и вместе с тем неожиданных изменений в смежних областях науки я техники, в том числе и измерительной. Почувствовав в руках таков могучее оружие, как микропроцессорное средства, разработчики измерительной техники развернулись в полную силу и создали средства измерений (СИ), обладающие принципиально новыми потенциальными возможностями. Многократно возросшая йычислительная мощность аппаратной базы СИ повлекла |Многочисленныв изменения в теории и практике создания этих средств, и одновременно породила мноаество проблем.

9 дополнение к успехам в области эргономики, расширению функциональных возможностей, возросшему уровню сервиса для потребителя и прочим доотинениям процессорных СИ (ПрСИ), важные последствия повлекло вкдючрнир процессора в измерительную цйпь. Куда ае расходуется эта вновь приобретенная измерительными средствами вычислительная мощность? В первом приближении мокно выделить две тенденции: (1) усложнение измерительной процедуры с целью повышения качества измерений; (2)' усложнение измерительной процедура в направлении появления новых видов измерений.

. Повышение качества измерений здесь понимается как стремление повысить точность измерения путем применения бодее утонченных оценок погрешности. Для этого направления характерен устойчивый процесс индивидуализации оценок погрешности. Простейший способ заключается в нормировании погрешности СИ и приписывании всем результатам измерения одного значения погрешности на основе имеющейся нормы.-Более сложный -введение зависимости погрешности от диапазона. Далее - са'мокалибровка и самоповерка с помощью встроенных образцовых средств, то, есть периодическая коррекция нормы. Наконец, возникает идея метрологического автосопровохвения - сопровождение каждого результата измерения индивидуальной оценкой погрешности. Потенциально, эта концепция может и должна быть реализована в ПрСИ, которые обладают потребной для этого вычислительной мощью.

Под нобили видами измерений подразумевается измерение гаких

- г -

фгзкчбских величин или характеристик, которые раньше не могли быть непосредственно получены как результат работы СИ. К ним, в частности, относятся и задачи измерения функциональных зависимое^ тей, которым в существенной степени посвящена работа. Вычислите^ льные возможности ПрСИ позволяют взяться за решение таких задач.

Стремительное вторжение средств вычислительной и микропроцессорной техники не пропло безболезненно с точки зрения теории и практики измерений, а так же я метрологической науки. Зачастую для ПрСИ, способных выполнять достаточно сложные преобразования входных сигналов в измерительной цепи, не только не фиксированы способы нормирования петрологических характеристик, но даже отсутствует подходящая теоретическая база, которая позволила бы это сделать. Одним из симптомов этого является, в частности, затянувшаяся на годы дискуссия терминологического характера об интеллектуальных СИ. Согласно удачному определению В.И.Бунина, интеллектуальные СЙ - это такие средства, для которых непригодно традиционное нормирование метрологических характеристик. Фактически, для более или менее сложных ПрСИ метрологический анализ измерительной цепи часто приходится проводить при их разработке индивидуально.

Понятно, что пробелы в теории, которые к тому же вызывают осложнения и в практике измерений, немогут не беспокоить. Задачи измерения функциональных зависимостей для метрологов Интересны с нескольких точек зрения.

Во-первых, метрология сама выступает потребителем результатов функциональных изнеракгй. Многие метрологические характеристики СИ должны нормироваться как функциональные зависимости (статическая функция преобразования, градуировочная харак»еристика, функции влияния, динамические характеристики и пр.).

Во-вторых, они интересны в контексте описанного выше процесса проникновения средств вычислительной техники в измерения и измерительную аппаратуру. Измерения функциональных зависимостей (Относятся как раз к тому классу задач, который теперь потенцйально может быть реализован непосредственно внутри Пр.СИ.

В-третьих, на практике довольно часто используется обработка данных первичных измерений с помощью ЦВМ, имеющая целью восстановление имеющихся между ними функциональных зависимостей. Традиционно такие задачи относят к сфере интересов прикладной статисти-

ки, или теории идентификации, тем не менее, если сравнить технологию их решения с той, которая может быть реализована в ПрСИ, то существенные различия сводятся в основном к степени автоматизации сбора первичных измерений. С позиций метрологии эти различия несущественны, поэтому очевидно, что в обоих случаях могут применяться одни и те 20 методы анализа погрешностей. В то же время в работах по теории идентификации, по мнении автора, редко уделяется должное внимание метрологическим вопросам, а если метрологический анализ и присутствует, то используются математические модели, не обладающие должной общностью, либо вообще неадекватные постановкам задач метрологического обеспечения подобных измерений.

Резюмируя, можно отметить, что задача разработки схем и методов метрологического анализа измерительных цепей современных сложных СИ (в частности, ПрСИ), несомненно, является актуальной. Такие схемы и методы будут иметь тем большую ценность, чем более широкий класс задач, решаемых ПрСИ, они смогут обеспечить.

1Шь работы - во-первых, разработать достаточно общую схему метрологического анализа задач измерения функциональных зависимостей, решаемых с помощью ПрСИ; во-вторых, разработать метод реше<-вия конкретной задачи из этой области и провести с помощью разработанной схемы его метрологический анализ. В качестве такой конкретной задачи в работе была рассмотрена задача градуировки оптического абсорбционного-газоанализатора (ОАГ).

Ий1МИ исследования - теоретические исследования, машинное моделирование на ЦВМ, на. заключительном этапе - практическое решение задач градуировки..Прй теоретических исследованиях использовались результаты из области математического анализа, функционального анализа, классической теории аппроксимации, теория общей проблемы моментов, вычислительной линейной алгебры, математического программирования, прикладной статистики и метода Монте-Карло. Прй построении модели ОАГ также использовались физические законы поглощения излучения в газовых средах. *

Научная новизна. Новыми- являются следующие результата работы:

- разработанная в гл.1 общая схема метрологического анализа задач измерена функций посредством ПрСИ (об отличиях от традиционного подхода подробней сказано ниже, см. с.10-11);

- полученные в гл.2 теоремы об интерполяции линейно-

- А -

экспоненциальными многочленами в классе Функций со вполне moho- ¡ тонной производной, и о границах погрешности такой интерполяции;

- разработанный в гл.З итеративный алгоритм, а также некоторые небольшие улучшения известных алгоритмов для задач МНК и квадратичного программирования, например, алгоритма Хаусхолдера.

Практическая ценности работы заключается, во-первых, в выработке единого общего подхода к задачам метрологического сопровождения функциональных измерений посредством ПрСИ, а во-вторых, в разработке и реализации метода измерения статических функций преобразования и градуировочных характеристик ОАГ. Хотя изложенная в гл.1 работы общая схема далее в.гл.2-4 детально разработана лишь для задачи градуировки ОАГ, ее общая логика, используемые формальные модели измерительных цепей, формулировки задач, приемы анализа погрешностей, определения понятий и терминология носят общий характер и применимы для любой задачи из данного класса.

реализация результатов исследования. Разработанный в работе метод решения задачи градуировки ОАГ был реализован в виде программы для ЦВМ, и внедрен на газоанализаторах, входящих в состав комплекса технических средств Государственного эталона молярной доли в НПО "ВНИИИ им.Д.И.Менделеева", о чем имеется соответствующий акт внедрения.

Апробация рароты, Основные и промежуточное результаты данной работы докладывались и обсуждались на:

- Всесоюзной научно-технической конференции "Информационные измерительные система" (г.Санкт-Петербург, 1991)',

- Всесоюзной научно-технической конференции "Статистическая обработка экспериментальных данных" (г.Новосибирск, 1991)',

- IV Всесоюзном совещании по теоретической, метрологии (г.Санкт-Петербург, 1989); .

- Заседаниях городского семинара "Применение средств вычислительной техники в ИИТ" (г.Санкт-Петербург, 1986-1993);

- Семинарах кафедры и научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава института (г.Санкт-Петербург, кафедра ИИТ ЛЭТИ, 1986-1994)1

Публикации, В процессе подготовки диссертационной работы опубликовано 11 печатных работ; из них - 2 статьи в общесоюзных журналах, 1 депонированная в ВИНИТИ рукопись, 3 тезисов докладов

на всесоюзных конференциях, 1 статья в межвузовском сборнике научных трудов, 4 статьи в сборниках научных трудов СПбГЭТУ.

Основнме П0ЛР«ШЯ диссертации. выносимые на защиту: .- общая схема метрологического анализа задач измерения функций посредством ПрСИ;

- метод и алгоритмы решения задачи градуировки ОАГ в сочетании с проведенным для них в соответствии с общей схемой анализом погрешностей.

Структура а аймм работы. Диссертационная работа состоит из предисловия, введения, четырех глав, заключения, одного приложения и списка литературы, включающего 100 наименований. Основная часть работы изложена на 171 странице машинописного текста. В работе содержится 2 рисунка, 11 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введения содержится общий обзор содержимого работы, общий аналитический обзор литературы, а также разъясняются различия между традиционным для теории идентификации подходом к задаче восстановления функциональной зависимости, и подходом к задаче измерения зависимости, используемым в работе. Эта часть введения служит неформальным содержательным разъяснением к материалу главы 1, который изложен достаточно сжато и формально, и описывает принципиальные отличия вводимых в главе 1 формализмов и абстракций от конструкций традиционных-подходов. Помимо этого, во введении также содержатся подобного рода разъяснения к материалу глав 2-й 3.

Д первой хлам излагается общая схема метрологического анализа задач измерения функций.

§1 содержит определения всех терминов *: понятий, входящих в формальную модель процесса измерения. Эта модель используется в работе для описания, постановки и решения метрологических задач. Она включает следующие основные понятия: просирансяба состоякиа, состоящего из сигналов; Оиапазона, определяемого как произвольное подмножество пространства состояний; модель кого лкожесиба и множества возможных входных сигналов, представляющих собой диапазоны в пространстве состояний. Пространство состояний представляет со-

бой абстракции, предназначенную служить моделью множества состоя-1 ний физического объекта или среды, которые должно различать исследуемое СИ. Элементы этого пространства - сигналы, таким образом, служат моделями этих отдельных физических состояний. Это позволяет далее ввести формальное определение метода измерений как 9ператора Т, действующего йз множества возможных входных сигналов j в модельное множество Я. В уравнении

V - Тх (1) "

сигнал х{2 служит моделью истинного'значения, а сигнал х*еЮ - моделью результата измерения.

В §1 на природу пространства состояний не накладывается никаких ограничений, за исключением того, что оно должно обладать некоторой метрикой г. На основе метрики определяется понятие погрешности измерения методом Тс помощью уравнения

6(х) = r(xti) - г(Гх,х) , (2)

и вводитоя экстремальная (или оптимизационная) формулировка задачи измерении как следующая экстремальная задача

хн = Гих - arg Inf г(у,х) . (3)

у(П

Определяемые с помощью (3) метод измерения 7и и результат измерения хи называются идеальными, поскольку характеризуют теоретический предел погрешности (2), который невозможно превзойти (для каждого х при фиксированном St). Погрешность идеального метода названа погрешностью отождествления. Обычно модельное множество St мыслится менее обширным чем множество входных сигналов sr, поэтому отождествляя входной сигнал х*5 с моделью хиеЯ1 идеальный метод вносит эту неустранимую составляющую погрешности^

Легко заметить, что уравнения (2) и (3) сс!держат истинный входной сигнал х, и потому определяемые с помощью них величины вполне заслуживают название идеальных - вычислить их невозможно. Поэтому далее вводится понятие внчисди*осши. Вычислимыми будут функционалы и операторы, не зависящие от величин, которые определить принципиально невозможно. Для дальнейшего наиболее важны функционалы, оценивающие для некоторого метода Т погрешность (2) сверху, и потому названные вычислимыми границами погрешности

Из (2) и (3) очевидно, что идеальный метод на входных сигналах из Я не обладает погрешностью. Методы Г, обладающие тем же свойстром, то есть ¥х«Щ =» х=Гх, называются почти идеальными. Основанием для введения этого определения является то, что идеаль^ ННй метод принципиально не реализуем, в то зремя как почта идеальные методы для функциональных измерений при определенных условиях построить можно.

Далее в §1 вводится достаточно традиционное определение из-мерияельной цепи, как композиции метода Т из нескольких более простых операторов. В заключительной части параграфа рассматриваются различные разложения погрешностей на составляющие и несколько типовых метрологических задач, постановка которых возможна в рамках описанных модели процесса измерения и терминологии.

В $2 введенные понятия конкретизируются и развиваются применительно к задачам измерения функциональных зависимостей. Поскольку пространством состояний в таких задачах служат обычно функциональные пространства или их подмножества, то параграф начинается с обзора некоторых распространенных пространств функций и их свойств, в особенности, касающихся метрик и норм. Особое внимание уделено банаховым пространствам, способам выделения диапазонов в них, а также некоторым различным критериям корректности постановки основной задачи (3) для случаев, когда модельными множествами служат различные диапазоны в таких пространствах.

Далее введена структура измерительной цепи функциональных СИ

Г = , (4)

отражающая типичную структуру тракта ПрСИ для таких измерений, по существу, совпадающую с технологической цепочкой обработки данных в большинстве распространенных методов идентификации и восстановления зависимостей. В (4) метод измерения разбит на композицию четырех операторов: М - операяор первичных измерений, С - оценивающий оператор, Э - параметрическое отображение.

Модельное множество К считается пара'мвтризовааным конечным столбцом параметров а=(а(,...,ат)т, столбец а^еят однозначно характеризует модель. Роль параметрического отображения заключается в тс?м, что оно связывает набор параметров с моделью.

Оператор первичных измерений Л определен на множестве возмо-

- в -

жных входных сигналов и связывает каждые сигнал-функцию г«5 о парой столбцов первичных измерений: сеткой 1=(г(,,..,%п)т и

столбцом ординат ....."п)1- Считается, что значения т| и V.

представляют аргумент и значение функции г. Идеальный оператор М не вносит погрешностей, к потому (1,7)=ли2 равносильно г(г()=у4, .....п.

' Оценивающий оператор £:Вгп-*И* является ядром измерительной цепи и служит моделью процедуры, вычисляющей столбец параметров по столбцам первичных измерений:

В результате краткого анализа измерительной цепи (4) устанавливается критерий почти идеальности. Оказывается, метод Т будет почти идеальным, когда отображения £ и £ с фиксированным аргументом г будут гомеоморфизмами, Как далее покйэайо в $2, почти идеальным будет всякий интерполяционный метод, который, по определению, строит модель, интерполирующую точки первичных измерений.

Далее в §2 проводится структурный анализ погрешностей для введенной типовой структуры измерительной цепи, формулируются точные постановки задач построения вычислимых границ для составляющих погрешности и намечаются пути их репения.

Наиболее важным и принципиально новый (я с общих позиций, х с точки зрения дальнейшего приложения к задаче градуировки ОАГ) является разложение погрешности всего на две составляющие

б(х) - Г(1,БСЛх) < Г(Х,Ш("Х) ♦ Г(5£Л*Х,5Ш) , (5) .

которое является очевидным следствием неравенства треугольника, справедливого для любого метрического пространства (и> разумеется, для банахова; как уже отмечено выие, практически все распространенные пространства, функций являются банаховыми).

Первое слагаемое в правой части неравенства (5) представляет собой погрешность цепи с идеальным оперояоро* первичных измерений (достаточно сравнить его с определением погрешности (2)). Оно включает в себя погрешность отождествления,/а также неидеальнос»и оценивающего оператора £. Поскольку в такой гипотетической цепи первичные измерения известны точна, то задача оценки ее сверху является довольно типичной задачей классической теории аппрокси» мации. В работе приведены две строгие постановки таких задач, и рассмотрены случаи их применимости к измерительным цепям; одна иа

них относится к случаю интерполяционных операторов.

второе слагаемой в (5) есть расстояние ме«ду результатами измерений двух цепей, обладающих идеальным и неидеальным операторами первичных измерений соответственно. Совершенно очевидно-, что этот член должен рассматриваться как крансфоряированная погрет^ кость первичных измерений.

53 полностью посвящен оценивающим операторам и их вычислимым аппроксимациям. Как yie указывалось, минимизируемый функционал в правой- части (3) невычислин. В о?личие от общего случая в §1 эта невычислимость двоякого рода: помимо того, что входящий в него х является моделью истинного входного сигнала, и потому принципиально неизвестен, в случае, , когда х является функцией, принципиально неизвестны ее значения в промежутках между точками сетки первичных измерений. Полагая, что Ъ (3) функция у«® параметризована столбцом а, то есть у(х)в2(т;о), я ограничиваясь рассмотрением сбмейства банаховых' пространств Ьр(Я;») с гельДвровыми метриками« где £сВ - Компакт, на котором определены функции пространства, я(х) - метрический вес, .минимизируемый в (3) функционал можно-заменить на эквивалентный

ух,а) « J «С*) l1^) " «К , р>1 , (6)

я

где минимизация должна проводиться по столбцу параметров а.

Проблему невычислимости реиавт сужением области определения Я функций-моделей до конечного множества 5сЛ, содержащего только точки сетки, этот формальный прием переводит в (6) лебегов интеграф в сумму, при этом получается следующий функционал невязок:

в

r*(t,v,tt) - f(Tt) |v{ - t(f(;a)t', р»Г, (7)

который, во-первых, по прежнему невычислим, поскольку в него входят яочные значения и vt первичных измерений, а во-вторых, задача его минимизации не эквивалентна задаче минимизации функционала (6), а стало быть - и исходной основной формулировке (3).

Подставляя в (7) вместо точных значений т, и v{ значения с погрешностями (а что еще остается делать?), первым затруднением в распространенной практике восстановления зависимостей обычно пренебрегают, Условно (7) можно считать приближенно вычислили*. За-

метим, что влияние погрешностей в (7) может привести к некорректности задачи минимизации и прочим вычислительным неприятностям.

Второе затруднение замечательно тем, что его зачастую попросту игнорируют. Дело в ток, что в подавляющем большинстве случаев в работах по прикладной статистике или теории идентификации задача восстановления зависимости исходно ставился как задача минимизации функционала (7Ь а не (6) или (3). Как следствие, при таком подходе возникают следующие трудности:

- в модели тракта СИ входной сигнал не присутствует явно как функция,, поэтому невозможно корректно ввести определение погрешности, аналогичное приведенному в формуле (2);

- невозможно ввести определение множества возможна* входных сигналов и соответствующую концепцию учета априорной информации;

- задача минимизации (7) трактуется как задача оценки параметров, при этом приходится постулировать вид модели априорно. При этом предположении оценки погрешностей связаны с достигнутым минимумом функционала (7), как, например, в теореме Гаусса-Марковй для моделей линейной по параметрам регрессии. Однако отказ от такого предположения мгновенно нарушает гармонию в этой схеме, потому что какое-либо разложение типа (5) получить без определения погрешности (2) невозможно, а значит, невозможно корректно оценить полную, погрешность. В действительности,' зачастую мы хотим аппроксимировать функцию, например, многочленом третьего порядка, но не уверены в том, что сама истинная зависимость таким многочленом является. С позиций принятой в работе схемы это предположат ние выглядит как не очень естественное "склеивание" модельного множества и множества входных сигналов. Кроме того, следствия из теоремы Гаусса-Маркова неверны, если на-'значения параметров наложены ограничения', и этим условием ее применение также ограничено.

Разумеется, р любом случае реальный оценивающий оператор мо-^ жет строиться только на основе какого-либо вычислимого функционала. типа .С7)- Отличие предлагаемой схемы анализа в том, что исходно граница полной погрешности определяется как вычислимый функционал, оценивающий (2) сверху; ее новизна и преимущества состоят в возможности провести строгиД метрологический анализ измерительной цепи для рассматриваемых'задач, поскольку:

- имеется адекватная модель СИ (1), в которой входным и выход-

ним сигналом выступают функции, а также разложение метода в измерительную цепь. (4) на звенья, моделирующие все реально присутствующие преобразования входного сигнала в результат измерения;

- имеется ясное и адекватное определение погрешности (2) как расстояния между входным и выходным сигналами, и формулировка (3) идеальной задачи, которую должно решить СИ;

- априорная информация о рабочей среде СИ может быть учтена в форме множества возможных входных сигналов;

- подмена задачи (6) на (7) при конструировании оценивающего оператора явно учитывается при анализе погрешностей, и исходной формулировкой задачи является адекватйая (3), а не (7). Неравенс-«во (5) дает оценку полной погрешности сверху.

Значёние разложения в правой части (5) состоит в том, что оно дает вычислимую оценку полной погрешности. В сущности, э'то разложение примерно соответствует факторизации задачи измерения зависимости на две подзадачи: аппрохсимации истинной зависимости моделью из Я, и восстановлению модели по точкам первичных измерений, содержащим погрешности. Эти две задачи решаются средствами классической теории аппроксимации и прикладной статистики соответственно. Заметим, что первая подзадача вообще отсутствует в традиционной постановке, как и понятие погрешности отождествления, и корректное определение полной погрешности.

Остальная часть §3 посвящена пружинным моделям, которые имеют большое методическое значение как инструмент осмысления задач измерения функций, а также вопросам робастности метрик с различными функциями потерь. В §4 вводится определение погрешности в точке, специфическое для функциональных измерений, анализируется его взаимосвязь с определением погрешности (2) и",рассматриваются некоторые прйближенные методы пересчета одной в другую. §5 содержит комментарии и библиографические примечания к главе 1.

Да второй главе конструируются множество возможных входных сигналов для задачи градуировки ОАГ, модельное множество и проведен анализ погрешности цепи с идеальными первичными измерениями.

В 51 на основе анализа физических законов поглощения лучистого потока в газе (законов Ламберта-Бугера-Веера), а также обобщенной структурной схемы ОАГ (приборы этого класса строятся по двухканальной двухлучевой дифференциальной схеме), устанавливает-

ся вид модели статической функции преобразования ОАГ:

а - а0 + ту + X г^х) ГШ) = а0 ♦ / г^х) ГШ» . (8)

Ь>0 МО

Константа а0(Я и мера Г являются параметрами модели (8). Мера Г должна быть сосредоточена на (0,-*«)',' и иметь сходящуюся к нулю на бесконечности плотность, то есть Г«Ш=0(1) при Ядро 2^(1)

интегрального представления (8) имеет следующий вид

1 -

3Х(Т) = - , к>0, т>0; кх(х> = г , К=0, х>0. (9)

Класс 3 всех функций вида (В) есть замкнутое выпуклое подмножество банахова пространства непрерывных функций С[0',т 1. Функции вида (В) определены для 0$т<+», непрерывны и монотонно возрастают на этом интервале, а также бесконечно дифференцируемы и имеют вполне монотонную первую производную на нем. Класс 3 далее используется как множество возможных входных сигналов для метода, решения задачи градуировки ОАГ.

В §2 рассматриваются простейшие функции из' класса X, которые получаются когда Г- атомическая мера, и интеграл Лебега в (8) превращается в сумму. Пусть в в точках 0=>,р<А.т<^г<.. .<Кв сосредо-^ точены веса ик>0 меры Г, тогда функция из класса I, соответствующая этой мерб представима в виде

а

а + (1) , 0<*ь<+а>, %к>0, п=28+и

а + %0% +■ У"1 (1) , 0<Хь<+ю, хк>0, п*га+г. *

Функции (10) есть обобщенные многочлены с положительными коэффициентами по системе функций>вида (9), получающейся на наборе фиксированных атомов меры Р. Определенное в (10) число и называется индексом многочлена, в зависимости от Наличия атома меры в нуле получаются многочлены четного или нечетного индекса. Основным результатом §2 является теорема об интерполяции: если взять произвольную, не вырождающуюся в многочлен индекса ^я-1, функцию из класса 2, то существует единственный обобщенный многочлен вида (10) индекса п, интерполирующий ее в п произвольных различных

РпСО =

точках. Далее множество И многочленов вида (10) служит модельным.

В §3 решается задача определения вычислимых границ интерполяционной погрешности, которая в рассматриваемом случае является погрешностью цепи с идеальными первичными измерениями в соответствии с (5). Основной результат позволяет решить одну из типовых постановок задач главы 1 для оценки левого слагаемого в правой части (5) и сводится к следующему. Пусть задана сетка из п значений аргумента 0<tf<x2<...<tn<+o, I - любая функция из класса 5, а рп и рп_, - интерполяционные многочлены вида (10) для I, построенные на полной сетке и на сетке с отброшенной первой точкой со-.ответственно; Тогда в промежутках между узлами интерполяции значения функции для i€(t,,+»)•удовлетворяют неравенствам

Pn(^) < f(t) < Pn_,<T) nPg *€<Vrjti>'

pn /(x) < Г(т) < рп(х) при хб(тгт^,), J=2,4,6(...

В S3 показано, что границы (11) неулучшаемы. Доказанные в §2 и $3 утверждения выводятся из результатов общей проблемы моментов.

В §4 рассматриваются методы вычисления атомов интерполяционных многочленов вида (10)( а также приводятся численные примеры построения таких многочленов. Представленные в §4 результаты показывают, что границы (11) интерполяционной погрешности в точке удивительно узки. Они находятся на уровне относительных ¿еличин порядка 10'5 и менее, и практически неразличимы на фоне вычислительных погрешностей. Таким образом, когда для восстановления моделей статических функций преобразования ОАГ используются многочлены вида (Ю) из класса Ю, полная погрешность сводится к послед-, нему слагаемому в правой части оценки (5).

В §5 содержатся библиографические примечания и комментарии.

Д третьей ХДааа рассмотрены алгоритмы, реализующие оценивающий оператор предлагаемого метода решения задачи градуировки ОАГ. Эти алгоритмы предназначены для решений экстремальной задачи

а ■ £(t,v) = arg in/ r*(t,v,c) , (12)

где t, v - столбцы первичных измерений, с - столбец параметров модели - обобщенного многочлена pm(t;c) вида (10), составленный из %k и кк, и мининимизирултся квадратичный функционал невязок

" 2 г'а.у.с) = ( - рвС£,;е) ) . (13)

1 = )

Задача (12)-(13) есть задача наименьших квадратов. От клзссичес-кой постановки в регрессионном анализе она отличается двумя обстоятельствами: параметры в модель входят как линейно, так и нелинейно; на значения параметров модели имеются ограничения (в виде неравенств, указанных в (10)). Разработанный в гл.З алгоритм можно охарактеризовать следующим образом: для подбора линейно входящих коэффициентов используется алгоритм на основе отражений Хаусхолдера (с некоторыми непринципиальными улучшениями), для подбора начальных приближений атомов используется метод модулирующих функций, а за;'ем процедура градиентного спуска с адаптивным шагом и овражный поиск. Алгоритм использует эти две процедуры итеративно, попеременно уточняя коэффициенты и атомы. '

В $1 уточняются обозначения и постановка задачи, в §2 рао^ сматриваются оценивающие операторы, в 53 - алгоритмы задач НК на основе ортогональных преобразований и алгоритм для линейных задач с ограничениями на параметры, в 54 - итеративный алгоритм оценки атомов и общая схема метода. 55 содержит описание метода и алгоритма оценки трансформированной .погрешности первичных измерений. Использованное для этого процедуры по идеям сходны с параметрическим вариантом бутстреп-метода Б.Эфрона. В {б описан использованный алгоритм инверсии зависимости и оценок пйгреиности. §7 содержит библиографические примечания и комментарии к главе...

В четвертой гдавв описана программная реализация разработанного в гл.2-3 метода, приведены модельные и реальные примеры применения. 51 содержит описание программы; 52 - примеры, а также таблицы и графики с результатами обработки примеров.

В заключении подведены итоги и основные результаты работы. В приложениях помещен глоссарий, библиографический список и документы о внедрении метода.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ. РАБОТУ

1. Разработана общая схема метрологического • анализа, задач измерения функциональных зависимостей, реализуемых в ПрСИ.

2. Разработан метод измерения статической функции преобразования и градуировочной характеристики ОАГ и проведена оценка его полйой погрешности в соответствии с указанной схемой,

3. Предложенный метод реализован программно.

4. Программная реализация метода внедрена на комплексе газоанализаторов Государственного эталона молярной доли в НПО "Всероссийский НИИ метрологии имени.Д.И.Менделеева".

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Г. Мокрушин Л.А. Задачи измерения функций в процессорных средствах и оптимизационная формулировка задач измерения / С.-Петербург. гос. электротехн. ун-т. - СПб., 19921 - 44с. - Деп В ВИНИТИ 21-12-92, X 3596-В92. 2.. Кустиков D.A., Мокрушин Л.А- Об оценивании градуировочнЦх характеристик оптических абсорбционных газоанализаторов в классе вполне монотонных функций // Тез. докл. Всесоюз. нй-. учно-техн. конф. "ИИС-91" /ВНИИ Электроизмер. приборов, Ленинград, 26-28 НОЯб. 1991. - Л., 1991. - G.126-127.

3. Кустиков D.A., Мокрушин Л.А. О Методике определения интервальных погрешностей градуировки оптических абсорбционных газоанализаторов // Измер. техника." - 1993. - Я5. - с.41-46.

4. Мокрушин Л.А. Генерация псевдослучайных числовых последовательностей бвсокого качества на основе линейного конгруэнтного метода // йзв. СПбЭТИ. - СПб., 1992. - Вып.446. ->

- С.71-82.

5. Мокрушин Л.А. Об уточнении понятия "измерение функции" // Тез. докл. Всесоюз. научно-техн. конф. "ИИС-91" / ВНИИ Электроизмер, приборов, Ленинград, 26-28 нояб. . 1991. -

- Л.,'1991. - С.34-35.

6. Мокрушин Л.А. особенности применения бутстреп-процедур при оценке погрешностей алгоритмов статистической обработки дан-

г 16 -

НИХ // ДОКЛ. 17 808501)9. ООВвЩ, DO SeopSF, Мв?рсЦ0ГИИ

/ НПО "ВНИИИ имени Д.И. Менделеева'1, Ленинград, 21-23 норб,./ 1989. г. л., 1989. 0,152-154,

7. Мокрущин Л. д. Оценивание фувкцрона^ьрв^ характеристик средств измерений при наличги случайных погрешностей в исходных данных // Старо?. о0раб, эксперим. данных; Тез. докл. научно-теэд-. конф. /НЭТИ"', Новосибирец, октябрь 1991. -- Новосибирск, 1991, - С.58.'

8. Мокрущин Л.А. Применение нетрадиционны* методов статистического анализа данны? в ИИС для роптаний дви^ауелей // И?в. ЛЭТИ. - Л,, 1990. - ВЫП. 4^5. - 0.71-76, •

9. Мокрушив ЛгД., Соболев B.C. Метрологическое сопровождение результатов стдтитческдй' обработки измерительной информации в АСНИ // Автоматизация науч. иорлед,: Мвжвуз. сб. науч. тр. / КуАИ, Куйбышев, 1989, - С.32-39.

10. Иокрушин Л.А., Соболев B.C. Сервисное программное обеспечение ИВК // Приборы и системы упр. - 1990, - №7. - С.36-41. '

11. иокрушин Л.А. Применение ортогональных многочленов ЧеОышэва на равномерной дискретной сетке в анализе .данных' // Изв. ЛЭТИ. - Л., 1989. - ВЫП.418. - С.3-6,

Подписано в печать 17.11.94, Формат 60x84 1/16, '

Офсетная печать. Уч.-изд.л. 1,0. Тираж^ЮО экз. Зак.18 202

Ротапринт МГП "Полшфм" 197376, Санкт-Петербург, у^.Пррф.Попова, 5