автореферат диссертации по приборостроению, метрологии и информационно-измерительным приборам и системам, 05.11.16, диссертация на тему:Метрологическое автосопровождение программ вычислений в информационно-измерительных системах

005002661

СЕМЕНОВ Константин Константинович

МЕТРОЛОГИЧЕСКОЕ АВТОСОПРОВОЖДЕНИЕ ПРОГРАММ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ИНФОРМАЦИОННО - ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ

СИСТЕМАХ

Специальность: 05.11.16- информационно-измерительные и управляющие системы (машиностроение)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 7 НОЯ 2011

Санкт-Петербург - 2011

005002661

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» на кафедре «Измерительные информационные технологии».

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор кандидат технических наук, доцент

Солопченко Геннадий Николаевич

Цветков Эрик Иванович Бритов Георгий Семенович

Ведущая организация: ВНИИМ им. Д. И. Менделеева

Защита состоится «01» декабря 2011 года в 15^ часов на заседании диссертационного совета Д 212.229.10 в ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» по адресу: 194021, Санкт-Петербург, Политехническая ул., д. 21, 9-й корпус, а. 121.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет».

Автореферат разослан «31» октября 2011 года

Отзывы на автореферат просим направлять по адресу: 194021, Санкт-Петербург, Политехническая ул., д. 21, ученому секретарю Кудряшову Эдуарду Алексеевичу.

Ученый секретарь диссертационного совета

Кудряшов Э. А.

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы. Непременным компонентом современных измерительных информационных систем (ИИС) является вычислительное устройство, используемое, в основном, для математической обработки результатов прямых измерений с целью их уточнения или с целью получения результатов косвш-ных, совместных или совокупных измерений. Так как исходными данными выполняемых расчетов являются результаты прямых измерений, возмущенные погрешностями, то результаты этих вычислений сопровождаются наследственными погрешностями, характеристики которых подлежат определению и оцш-ке в соответствии с принятыми в метрологии правилами. Метрологическое сообщество не могло игнорировать данное обстоятельство, и первая публикация [1] по этому вопросу появилась в 1983 году, после чего в том же издании в марте 1985 года была предпринята публикация подборки статей по вопросам определения и нормирования характеристик погрешностей, связанных с алгоритмами и программами, применяемыми в метрологических целях. Решением этих задач занимались такие ученые как Ю. В. Тарбеев, И. Б. Челпанов, П. В. Новицкий, Т. Н. Сирая, В. А. Слаев, А. Г. Чуновкина, Ю. А. Желнов, В. Я. Крейнович, Г. Н. Солопченко. В ходе исследований довольно быстро было установлено, что нормирование погрешностей программ вычислений бесперспективно, особенно при значительном числе входных аргументов, возмущенных погрешностью. Поэтому основные усилия были направлены на поиск способов автоматического оценивания характеристик гюгрешности для каждого результата вычислений внутренними средствами соответствующей программы.

Попытки реализации этого подхода были основаны на применении интервальной арифметики (R. Е. Moore, Е. R. Hansen, Е. Kaucher, J. Stolfi), арифметики гистограмм (S. Kaplan, D. Berleant, В. Я. Крейнович), исчисления эллипсоидов (Ф. JI. Черноусько, А. Б. Куржанский, Е. К. Костоусова). Однако применение всех этих методов приводит к слишком завышенным оценкам характеристик погрешности и не позволяет за одно выполнение программы вычисле!

раздельно учесть в конечном результате влияние систематических и случайных составляющих погрешности результатов прямых измерений, действующих на её входе. Для обеспечения раздельной оценки характеристик систематических и случайных погрешностей перспективным является представление погрешностей в виде нечетких переменных с соответствующим выбором функции принадлежности и правил арифметических действий с ними. Подобные предложения развивались с 1975 года такими специалистами, как L. Gonella, J. L. Destouches, L. Mari, JI. К. Резник, Г. Н. Солопченко. Однако нри нелинейных вычислениях форма функции принадлежности результата искажается, что создает значительные трудности. Выходом из этого положения могла бы быть линеаризация вычисляемых функций, которая вполне оправдана для действий с погрешностями, составляющими не больше сотых долей от результатов, подвергающихся преобразованиям. Однако традиционная оценка значений первых производных вычисляемых функций методом конечных разностей требует, как минимум, двукратного выполнения программы расчетов для вычисления каждой частной производной. В этом отношении заслуживающим внимания представляется применение метода автоматического дифференцирования функций, представленных исходными кодами программ, математические основы которого берут начало в работе Клиффорда [2], опубликованной еще в 1873 году. Nfe-тод позволяет при каждом вычислении значения функции производить вычисление точных значений её производных при тех же значениях аргументов. №-следования метода автоматического дифференцирования в разное время проводили A. Griewank, С. Н. Bischof, G. F. Corliss, Ю. Г. Евтушенко и многие другие авторы.

До настоящего времени исследования в упомянутых направлениях развивались раздельно, не пересекаясь. В настоящей работе предпринята гопытка объединить автоматическое дифференцирование и представление погрешю-стей в виде нечетких переменных во имя обеспечения автоматического рш-делыюго оценивания характеристик случайных и систематических составляо-

щих наследственной погрешности в процессе каждого штатного вычисления. При этом каждый результат вычислений должен сопровождаться характеристиками погрешностей, полученными с помощью внутренних средств программы. Тем самым программы обработки данных приобретают свойства метрологического автосопровождения. Данный термин становится привычным в отечественной научно-технической литературе благодаря работам В. С. Соболева, Л. А. Мокрушина, Г. Н. Солоиченко и других специалистов.

Целью работы является разработка и исследование средств программного обеспечения, необходимых для придания свойств метрологического автосопровождения вновь создаваемым или существующим метрологически значимым программам в программном обеспечении ИИС.

Объектом исследования в диссертационной работе являются вопросы адекватного совместного применения инструментария нечетких переменных и метода автоматического дифференцирования функций, представленных программным кодом, в целях создания средств программного обеспечения ИИС, обладающих свойством метрологического автосопровождения.

Предметом исследования являются:

- представление погрешностей результатов прямых измерений нечеткими ш-тервалами, согласующееся с действующими в метрологии нормативными документами, правила и свойства арифметических действий с ними,

- совместная программная реализация метода автоматического дифференцирования в совокупности с нечетким представлением погрешностей на каждом этапе вычислений,

- характеристики программ вычислений, обладающих свойством метрологического автосопровождения, на модельных и практических примерах.

Инструменты исследований, использованные в работе: теоретическая метрология, теория вероятностей и математическая статистика, алгебра, фуж-циональный анализ, имитационное моделирование, в том числе, метод Монте-Карло.

Достоверность полученных результатов обеспечена сопоставлением результатов теоретического анализа с результатами имитационного моделирования, экспериментальной проверкой разработанных программных средств на реальных приложениях и результатами внедрения.

Новые научные результаты, полученные в диссертации и положения, выносимые на защиту:

- представление погрешностей результатов прямых измерений в виде нечетю-го интервала, не противоречащее существующим нормативным метрологическим документам,

- обоснование единственности формы функции принадлежности нечеткой переменной, выражающей погрешности прямых измерений в виде нечеткого интервала,

- объединение принципа представления погрешности в виде нечеткого интервала с методом автоматического дифференцирования функций, выраженных программным кодом, с целью создания и / или корректировки программ для ИИС, обладающих свойством метрологического автосопровождения.

Практическая ценность результатов работы заключается в разработке программных средств и практической инструкции по модернизации существующего и созданию нового программного обеспечения ИИС, обладающего свойством метрологического автосопровождения.

Областью применения результатов работы являются

- разработка метрологически значимых программ математической обработки результатов измерений,

- метрологическое обеспечение косвенных, совместных и совокупных измерений величин, для воспроизведения которых отсутствуют физически реаль зуемые рабочие эталоны (меры),

- метрологическая аттестация алгоритмов и программ, применяемых с целью получения результатов измерений.

Апробация работы выполнена в докладах на III Всероссийском форуме студентов, аспирантов и молодых ученых (СПб, 2009 г.), на IX международном симпозиуме по измерительным технологиям и интеллектуальным приборам (СПб, 2009 г.), на II и III международных научно-практических конференциях «Измерения в современном мире» (СПб, 2009, 2010 гг.), на семинарах кафедры информационно-измерительных систем и технологий Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина) (СПб, 2011 г.), на семинаре филиала ОАО «26 ЦНИИ» (СПб, 2010 г.).

Результаты работы внедрены в деятельности филиала ОАО «26 ЦНИИ», а также в учебном процессе на факультете технической кибернетики СПбГПУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ в научно-технических журналах, сборниках и трудах конференций, в том числе 3 статьи опубликованы в журналах, включенных в Перечень ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав и заключения, изложенных на 155 страницах машинописного текста, и приложений. Осповной материал сосредоточен в главах и дополнен и обоснован материалами дополнений. Диссертация содержит 20 рисунков, 35 таблиц, список литературы, включающий 163 наименования, 3 приложения.

2. Содержание работы

Во введении представлена краткая история развития методов по оцениванию характеристик наследственной погрешности результатов вычислений внутренними средствами выполняющих их программ. Кратко проанализированы достоинства и недостатки разновидностей интервальной арифметики, применения трехкомпонентных гистограмм и аппарата исчисления эллипсоидов. Отмечено, что все рассмотренные подходы к оценке характеристик погрешш-сти результатов вычислений развивались независимо друг от друга, применялись преимущественно к линейным программам и недостаточны для достиже-

ния поставленной цели. Сформулирована конечная цель и новизна работы: выражение погрешности в виде нечеткого интервала и объединение такого поддала с линеаризацией вычисляемых функций с помощью автоматического дифференцирования вычисляющих их программ с целью придания им свойства метрологического автосопровождения.

В первой главе выполнен аналитический обзор математических методов автоматической оценки характеристик наследственной погрешности результатов вычислений, которая в реальных приложениях значительно превосходит погрешность округлений, имеющих место в современных компьютерах, и bid-сит основной вклад в погрешность результатов вычислений. Подробно рассмотрены такие разновидности интервального представления характеристик погрешности, как классические интервалы R. Е. Moore, обобщенные интервалы Е. R. Hansen, J. Stolfi, и правила арифметических действий с ними. С точки зрения метрологии эти интервалы и правила действий с ними мало отличаются друг от друга. Общими для них являются следующие недостатки: они не допекают раздельного представления систематической и случайной состазляющих погрешности и дают завышенные оценки погрешности результата. В этом можно убедиться на простом примере оценки характеристик погрешности среднего арифметического при чисто случайной погрешности исходных данных. Будучи представлены в виде интервалов, эти погрешности никак не уменьшаются при усреднении сколь угодно большого количества исходных данных.

По мнению авторов применения трехкомпонентных гистограмм (см., например, работу [3]), этот способ представления погрешностей должен уберечь от чрезмерного завышения оценок погрешности на выходе. Так и происходит, если в погрешности исходных данных превалирует случайная составляющая погрешности. В той же ситуации может быть успешно применен и аппарат исчисления эллипсоидов.

Методы и средства, рассмотренные в настоящей главе, в основном, применяются для автоматической оценки погрешности конечных результатов про-

грамм линейных вычислений. При наличии нелинейностей прибегают к линеаризации вычислений с помощью частных производных, используя метод конечных разностей. Но, как правило, такое численное дифференцирование есть плохо обусловленная вычислительная операция, и ее результат может содержать непредсказуемые погрешности.

В результате выполненного анализа сделан вывод о том, что среди существующих методов и подходов нет ни одного, в полной мере отвечающего требованиям, которые предъявляются к метрологическому автосопровождению программ вычислений.

Во второй главе автором сделано предположение о том, что для раздельного представления и дальнейших вычислительных преобразований систематических и случайных погрешностей перспективным может оказаться аппарат ш-четких переменных. Данное предположение основано на работах, опубликованных рядом специалистов, начиная с 1975 года. Однако в этих работах до реального применения таких предложений дело не доходило. Проведя анализ значительного количества публикаций, автор пришел к выводу, что требованиям к метрологическому автосопровождепию в наибольшей степени отвечает

представление погрешностей в виде нечеткого интервала, который был сформулирован и математически определен Л.К.Резником Это определение опубликовано в работе [4]. В соответствии с ним систематическая и случайная го-грешности могут быть раздельно представлены в виде одной нечеткой переменной, функция принадлежности

О

Рисунок I

которой Не(■>■') есть функция принадлежности (ФП) к нечеткому интервалу, график которой представлен на рисунке 1, а формульная запись имеет вид

х+а г- л

ехр - --^— , при х<-А

I 2-а ]

= - 1, при - А < л: < А,

ехр - , при х > А

где А - предельное значение систематической погрешности результата прямых измерений, ст - величина, пропорциональная среднеквадратическому значению случайной составляющей погрешности результата прямых измерений, определяется путем расчета, либо экспериментально.

Таким образом, ФП погрешности, выраженной нечетким интервалом, есть равнобочная криволинейная трапеция, верхнее основание которой трактуется следующим образом: с уровнем доверия, равным единице, систематическая пэ-грешность результата прямого измерения находится в любой точке промежутка под верхним основанием. Случайной составляющей погрешности сопоставш-ются боковые стороны трапеции. Для выражения полной погрешности в виде интервала используется вложенный интервал Ja (см. рисунок 1), который определяется по ФП на уровне доверия а, и для метрологических целей значение а предлагается принять равным 0,05, как это принято в отечественной метрологической практике.

Из нескольких вариантов в настоящей работе выбраны следующие правила арифметических действий над нечеткими переменными.

Результату %1 ° ^2 арифметической операции ° — {+> » '•} с нечеткими

В работе доказано, что в случае использования этих правил с целью придания программам свойств метрологического автосопровождения выбранная форма ФП является единственно возможной. Если выполняется усреднение

переменными и £,2 сопоставляется

где и (.у) - ФП операндов.

многократных измерений, то только при такой форме ФП длина верхнего основания ФП, то есть интервал возможных значений систематической составляющей погрешности, остается неизменной, а случайная составляющая уменьшается обратно пропорционально квадратному корню из числа усредняемых значг-ний. Такое свойство ФП нечеткого интервала в полной мере соответствует метрологическим традициям.

Автором отмечено, что ФП вида, как на рисунке 1, может быть пол-

ностью описана при помощи только трех параметров: границ вложенного интервала = Л], во всех точках которого М? (л-) принимает значения, рав-

2

ные 1, и параметром масштаба сг , описывающим боковые стороны Эта

естественная параметризация позволяет существенно упростить действия с 1е-чёткими переменными.

Пусть заданы две нечеткие переменные и , заданные соответственно

параметрами ^[а,, ¿>, ], а^ и ¿2]> <*!). Тогда нечеткая переменная ^з = ^ +

будет характеризоваться параметрами +а2,Ь{ + Ь2\а'\ Пусть с - про-

извольная константа, а \ представлена параметрами о2 ). Тогда перемен-

ной с-4 будут сопоставлены значения |шт{с-й, с-Ь\ тах{с-а, с-Ь}\с2 ■о2'*).

Эти примеры показывают, что линейные преобразования нечетких переменных выполняются достаточно быстро.

В работе было выяснено, что нелинейные операции сильно влияют на форму боковых сторон ФП. В качестве выхода из этого затруднительного положения автором была предположена линеаризация вычисляемых функций. На достоверность решения задачи метрологического автосопровождения, по мю-нню автора, это не должно существенно повлиять, поскольку погрешности результатов прямых измерений на практике составляют обычно сотые доли от получаемых значений. Для линеаризации необходимо оценивать значения ча-

стных производных, для чего традиционно применяют метод конечных разностей, что чревато грубыми ошибками. Поэтому для практической реализации метрологического автосопровождения за счет собственных вычислительных возможностей программы необходимо применить иные способы расчета производных от вычисляемых функций. В качестве одного из таких способов автор предлагает применить автоматическое дифференцирование функций, заданных программными кодами, которое в англоязычной научной литературе называется автоматическим дифференцированием программ.

В третьей главе автор анализирует возможность применения незаслуженно забытого метода автоматического дифференцирования функций

/*(*], Х2,..., х„), представленных программным кодом, для оценки наследственной погрешности результатов вычислений путем совместного применения с нечетким представлением погрешностей исходных данных (х;, х2,..., хп).

Разработанные к настоящему времени правила и процедуры автоматического дифференцирования берут начало от работы Клиффорда [2], на основе которой было предложено расширить множество вещественных аргументов функций до множества 5 за счет добавления к вещественному числу (аргументу) второй компоненты, а именно, инфинитезимального числа е, введенного

Клиффордом. Таким образом, если у функции /* всего один аргумент, то одномерное множество вещественных чисел Я расширяется до двумерного множества Аналогичным является расширение множества вещественных чисел до комплексных чисел за счет добавления к вещественному числу чисто мш-мой части (компоненты), порождаемой мнимой единицей

В своей работе Клиффорд определил свойства инфинитезимального числа

следующим образом: е^О, но е2 =0. Тогда аргументом функции У = /*{х) после такого расширения становится не вещественная переменная х, а двумерный элемент (х, е) расширенного множества 5, называемый дуальным числом. В свою очередь, это значит, что и функция /*(х) должна быть аналитически

продолжена на двумерное множество При аналитическом продолжении функции /*{х) на множество 51 через ряд Тейлора этот ряд обрывается на первом линейном слагаемом: /*(х + е) = /*(х) + ^ Инфинитезимальной

с/х

с1Г(х)

частью функции принято считать выражение - и записывать функцию,

с1х

аналитически продолженную на множество 51, в виде / (х, 1) = |/*(х), ^ ^ |.

[ с1х )

Точно так же инфинитезимальной частью аргумента следует считать единицу и записывать его в виде дуального числа {х, 1}. Некоторые конкретные примеры записи функций в виде вещественной и инфинитезимальной частей приведены в следующей таблице.

Элементарная функция Аналитическое продолжение на множество S

а-хь, а е. R,b & R {з-хь,а-Ь-хЬ~х\

а-еЬх, а s R, b в R \i-ebx,a-b-ebx\

a-cos(b-x), aeR,beR {а ■ cos(ä ■x\-a-b• sin(b • х)}

a-\ogc(b-x), aeR,beR, с e R, с > 0, с ^ 1, x > 0 j ü ' logc (b ■ x), [ [ x • In с J

Будем далее использовать обобщенную единообразную запись расширш-ного аргумента и продолженной функции в виде пары Z = {z, z(:}, где z - вещественная часть ReZ, ze - инфинитезимальная часть Inf Z. Пусть Z| = (z],zEl J, Z2 = (z2, zC2 ) - две такие пары из множества S. Тогда арифметические операции для них задаются следующим образом:

Z1±Z2=|z1+z2,z1.| +zC2\, Z,Z2 = jz,-Z2,ZBI -z2+zrz£2},

ZL=(fL ze, ' ~ - l' -£2 ] [V z\ Г При выполнении деления необходимо, чтобы Re(Z2) = z2 ^ 0.

Вид введенных арифметических действий говорит о том, что при условии соответствующей организации программы при каждом значении входных данных на каждом шаге вычислений может быть получено значение вычисляемой функции, то есть ее вещественная часть, и одновременно с этим - значение производной, то есть ее инфинитезимальная часть.

Если количество исходных данных п, что всегда бывает при косвенных, совместных или совокупных измерениях, и вычисляемая функция имеет вид / (х|, х2,...,хп), то п - мерное множество ее аргументов расширяется до множества 5 удвоенной размерности и вместо (х|, л'2,..., хп), ее расширенные аргументы записываются в виде

2, ={х,,1,0,0,...,0}, 22 ={х2,0,1,0,...,0}, ...., гп = {х,г, 0,0,0,..., 1},

а функция / (х],х2,...,х„) заменяется своим аналитическим продолжением. После вычислений, выполняемых с этим аналитическим продолжением на множестве 5, получится многокомпонентный результат

[ дх\ дх2 J

в котором на первой позиции находится значение функции при поступивших на вход значениях исходных данных, а на следующих по порядку позициях - и инфинитезимальных частей результата, то есть всех частных производных.

Понятно, что для реализации описанных действий в программе необходимо предусмотреть специальное объявление переменных, реализовать предстаз-ленные правила арифметических действий с ними, а также разработать и присоединить к программе библиотеку функций, продолженных на множество 5.

Отмечены следующие свойства такого автоматического дифференцирования функций: автоматическое дифференцирование выполняется в темпе реальных штатных вычислений, позволяет получить точное значение производной в каждой вычисляемой точке на каждом последовательном этапе численных операций, не влияет на сходимость итерационных методов, не требует многокраг-

пых вычислений. По этой причине его совместное применение с представлеш-ем погрешности в виде нечеткого интервала создает реальные возможности для создания или совершенствования уже созданных программ в целях придания им свойств метрологического автосопровождения.

В четвертой главе на основе результатов второй и третьей глав автором разработаны программные средства, включая программную библиотеку, которые реализуют метрологическое автосопровождение программ вычислений, используемых в современных средствах измерений и ИИС.

Раздельное представление систематических и случайных погрешностей в рамках одной нечеткой переменной в сочетании с автоматическим дифференцированием реализует метрологическое автосопровождение программы вычислений У = / (х\, х2, -v,,) в соответствии с традиционным метрологическим подходом к оценке характеристики А [г] наследственной погрешности вычислений результатов косвенных, совместных или совокупных измерений.

Разработанное и реализованное в программных средствах совмещение ш-четкого представления погрешностей измерений с автоматическим дифферш-цированием поясняет схема рисунка 2, на котором под знаками!) и х понимаются операции суммирования и умножения по правилам, определенным для выбранных характеристик погрешности А[х; ].

Рисунок 2

В диссертационной работе разработана программная библиотека <ес!ои-Ые.срр» н соответствующий ей файл заголовков «edouble.li», ориентированные на язык программирования С++. В работе указаны пути разработки программ-

ных библиотек или специализированных компиляторов, необходимых для реализации метрологического автосопровождения на любых языках программирования.

Описание библиотеки, реализующей метрологическое автосопровождение вычислений, начинается с описания нового типа данных edouble, задающего соответственно многокомпонентное дуальное число и сопоставляемые ему it-четкие переменные, что может быть выполнено следующим образом.

Тип данных, соответствующих параметризованной нечеткой переменной

class fuzzy {

public:

double left, right; // вложенный интервал при уровне доверия а = 1. double dispersion; /* квадрат параметра боковых сторон функции

принадлежности. */ };_

Тип данных edouble

# define N 20 /* число входных параметров программы расчета,

возмущенных погрешностью. */

class edouble i

\ public:

double real; // действительная часть обобщенного числа.

double inffiV]; // массив инфинитезимальных компонент.

static fuzzy* errors[/V]; /* указатель на массив нечетких переменных,

хранящих сведения о характеристиках

} погрешности исходных данных. */

В исходном коде пользовательской программы, реализующей функцию

f*(x\,х2,...,х„), для входных аргументов х2, —,хп) и промежуточных переменных необходимо указать тип данных edouble вместо double или float. Также нужно подключить к проекту разработанную в диссертации библиотеку «edouble.cpp» и соответствующий ей файл заголовков «edouble.h». В этом случае после компиляции во всех метрологически значимых вычислениях автоматически происходит вызов операторов арифметических действий {+, х, /} и

логических операций сравнения для переменных типа edouble, а не double или float, как происходит обычно. Аналогично происходит автоматический вызов из библиотеки процедур, вычисляющих значения элементарных математичг-ских функций (синус, косинус, экспонента и так далее), для входных переменных с объявленным типом edouble, а не double или float. Все эти новые операции и процедуры содержатся в библиотеке «edouble.cpp».

Таким образом, в самом коде функции /*(хьх2,—,х„) необходимые изменения минимальны. Если разработчик использует уже готовую программную библиотеку, то его трудозатраты также минимальны. Данное обстоятельство иллюстрируется следующей таблицей

Исходный код Модифицированный код

#include<math.h> #include<math.h>

#include<stdlib.h> #include<stdlib.h>

#include "edouble.h"

void main (void)

{ void main (void)

double x=2, 2; {

2 = x * x * exp(x) + log(x); edouble x(2, NULL, 0.01);

printf('%f ", 2); edouble 2;

} 2 = x* x* exp(x) + log(x);

printf('%f ", 2. real);

interval error = z.error(0.05);

printf('[ %f, %f]', error.a, error.b); }

В правой части таблицы выделены фрагменты кода, которые подверглись модификации. Изменения заключаются в подключении к проекту файла заголовков «ес/ог/6/е./г» разработанной библиотеки, реализующей метрологическое автосопровождение, и в изменении типа исходных данных расчета.

Если пользователю необходимо отказаться от метрологического автосопровождения, то в разработанных программных средствах предусмотрена опция, которая позволяет это сделать.

В пятой главе приводятся результаты испытаний разработанной библиотеки на модельных примерах и примерах, взятых из метрологической практики. Исследуются характеристики программ, обладающих свойством метрологического автосопровождения.

Среди рассмотренных примеров - программы численного поиска корней нелинейных уравнений, решение системы линейных алгебраических уравш-ний, выполнение быстрого дискретного преобразования Фурье и другие. Для всех представленных примеров показала работоспособность созданных пр-граммных средств. Достоверность получаемых оценок для характеристик наследственной погрешности результатов вычислений в каждом из перечисленных примеров испытана и подтверждена методом Монте-Карло. На первый взгляд, может возникнуть предположение, что при условных переходах в программе (то есть при потере непрерывности вычисляемой функции) автоматическое дифференцирование невозможно. В диссертации приводится пример, наказывающий, что подобное переключение программы выполняется по вещественной части вычисляемой функции, то есть по R e/*(z„z2..... zn ), а ее ин-

финитезимальная часть In/*(xi,.t2,...,.r„), то есть частные производные, практически не зависят от степени приближения значения Re/ (zj, z2,..., z„) к порогу переключения. Это происходит потому, что расширение множества зт-чений аргумента и продолжение функции выполняется не по оси вещественных значений аргумента, а по ортогональному к нему направлению за счет увеличения размерности множества S.

Кроме того выполнен пример решения уравнения еах —bx = 0 при значениях параметров а = 1, Ь = е, возмущенных систематическими погрешностями

в диапазонах а <= [0.99,1.01], Ье[ех -0.01,е1 +0.0l]. Решение этого уравнения при точных значениях а и Ъ есть х = 1, то есть абсцисса точки касания. Показана возможность получения приемлемого решения и в этом пограничном случае с одновременным его метрологическим автосопровождением.

Важным примером применения разработанных программных средств является обеспечение метрологического автосопровождения программы вычислений параметров монокристаллов высокоомного германия (удельного электрического сопротивления р, холловской подвижности г| и коэффициента Холла R), заимствованной из штатного программного обеспечения реальной системы контроля качества указанных монокристаллов Вычисления производились в соответствии со стандартом [5] по сложному алгоритму, заданному следующими функциями:

( 4 8 K-d-U 16

ир = 0,125 • • £t/i + • Xtf/ , Р = -ГТТ- ' иу = °'125 • tPi.

I , = 1 /=5 ) УГ1п2 ' 1=9

104-d-Uv R

R =-—, n = —,

h В р'

,(А-1 1п2^ (\п2 ! •cosW

где а\ и «2 _ решения уравнения 2 • собЫ---= ехр — относительно

Ы + 1 а ) У а )

переменной а при значениях параметра А, равных соответственно 4 - и\ + и2 а -и5+иб

А\ — у-и л2 ~ Т1 . Исходными данными для вычислений являюг-

СУ3+С/4 и1+и8

ся результаты прямых измерений толщины пластины кристалла d, силы электрических токов и ¡2, протекающих через кристалл, индукции В магнитного поля, в котором находится кристалл, и разности холловских потенциалов И\, ..., по 16 разным направлениям пластины кристалла.

Данная программа выбрана в качестве примера потому, что вычисляемые величины р, Я и Л не могли быть воспроизведены с нормированной точностью, поэтому для определения и нормирования характеристик погрешности системы, включая программу вычислений, был применен расчетный метод, основш-ный на численном моделировании погрешностей системы в целом.

Полученные результаты подтверждают работоспособность разработанных программных средств и достоверность предоставляемых ими результатов.

Проверка правильности работы всех программ с метрологическим автосопровождением, кроме упомянутых примеров условного перехода и решения уравнения, выполнялась методом Монте-Карло путем моделирования погрешностей входных данных Ю6 раз. Для этих исключительных примеров оценка наследственной погрешности результатов методом Монте-Карло невозможна.

Известно, что метрологически значимые программы и в их числе программы, обладающие свойством метрологического автосопровождения, должны удовлетворять требованиям ГОСТ Р 8.654-2009, и что они подпадают под действие документа МИ 2955-2010, регламентирующего метрологическую аттестацию программного обеспечения средств измерений. В настоящей работе, по сути дела, с помощью метода Монте-Карло был выполнен эксперимент по метрологической аттестации разработанных программных средств.

3. Выводы

1. Анализ существующих методов оценки характеристик наследственной погрешности результатов вычислений показал, что их применение с целью метрологического автосопровождения программ приводит к завышению оценок погрешности результата и не позволяет выполнить раздельный учет систематической и случайной составляющих погрешности.

2. Обосновано применение метода нечетких переменных для раздельного представления систематических и случайных погрешностей, доказана единственность формы функции принадлежности, приемлемой для достижения цели работы.

3. Теоретически и практически обосновано совместное применение задания погрешностей в виде нечеткого интервала и метода автоматического дифференцирования функций, заданных исходным кодом программ, для реализации метрологического автосопровождения программ вычислений.

4. Разработаны и практически реализованы программные средства создания новых и модификации существующих программ с целью придания им свойств метрологического автосопровождения.

5. Данная работа представляет собой развитие известных работ в области метрологического автосопровождения в направлении создания и модификации практических программ.

Список упомянутой литературы

1. Тарбеев, Ю. В. Задачи и методы аттестации алгоритмов / Ю. В. Тарбеев, И. Б. Челпанов, М. Д. Кудрявцев, Т. Н. Снрая // Измерительная техника. -1983. - № 9. - С. 28-29.

2. Clifford, W. К. Preliminary sketch of bi-quaternions / W. К. Clifford // Proceedings of London Mathematical Society. - 1873. - Vol. 4. - № 64. - P. 381-395.

3. Colombo, A. G. A Powerful Numerical Method to Combine Random Variables / A. G. Colombo, R. J. Jaarsma // IEEE Transactions on Reliability. - 1980. -Vol. R-29. - № 2. - P. 126-129.

4. Reznik, L. K. Fuzzy interval as a Basis for Measurement Theory / L. K. Reznik, W. C. Jonson, G. N. Solopchenko // Proc. NASA Conf. NAFIPS'94. - San-Antonio, Texas. - 1994. - P. 405-406.

5. ГОСТ 16153-80. Германий монокристаллический. Технические условия. -М.: Изд-во стандартов. - 1980.- 32 с.

4. Список работ, опубликованных автором

1. Kreinovich, V. Measurement's result and its error as fuzzy variables: background and perspectives / V. Kreinovich, L. Reznik, K. Semenov, G. N. Solopchenko // Proc. of the 9-th International Symposium on Measurement Technology and Intelligent Instruments ISMTII-2009, Saint-Petersburg, 2009. - Saint-Petersburg : Published by D. S. Rozhdestvensky Optical Society, 2009. - P. 4-132 - 4-136.

2. Семенов, К. К. Использование автоматического дифференцирования программ в задаче метрологического автосопровождения программ вычислений / К. К. Семенов // Сб. научных трудов Второй международной научно-практической конференции «Измерения в современном мире - 2009» -СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2009. - С. 350-352.

3. Семенов, К. К. Оценка наследственной неопределенности результатов начислений с помощью частных производных / К. К. Семенов // Вычислительные, измерительные и управляющие системы: Сб. научных трудов / Под ред. Ю. Б. Сениченкова- СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2009. - С. 121-130.

4. Семенов, К. К. Теоретические предпосылки метрологического автосопровождения программ обработки результатов измерений / К. К. Семенов, Г. Н. Солоиченко // Измерительная техника. - 2010. - № 6. -С. 9-14.

5. Семенов, К. К. Исследование комбинированного метода метрологического автосопровождения программ обработки результатов измерений / К. К. Семенов, Г. Н. Солопченко // Измерительная техника. - 2011. -№4.-С. 14-19.

6. Семенов, К. К. Практическое применение комбинированного метода обесгс-чення метрологического автосопровождения программ вычислений / К. К. Семенов // Сб. научных трудов Третьей международной шучно-практической конференции «Измерения в современном мире - 2011» -СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2011. - С. 113-115.

7. Семенов, К. К. Объединение математического аппарата нечетких переменных и автоматического дифференцирования для оценки наследственной погрешности / К. К. Семенов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Серия «Информатика. Телекоммуникации. Управление». -2011.- №4. -С. 129-134.

Подписано в печать 27.10.2011. Формат 60x84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 8237Ь.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в типографии Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.:(812)550-40-14 Тел./факс: (812)297-57-76

Введение.

1 Обзор методов оценки характеристик наследственной погрешности результатов вычислений, выполняемых в ИИС.

1.1 Модель погрешности результата вычислений.

1.2 Подходы к оценке наследственной погрешности вычислений

1.2.1 Программа вычислений как «черный ящик».

1.2.2 Метрологическое автосопровождение программ вычислений.

1.3 Особенности реализации метрологического автосопровождения программ вычислений.

1.4 Вероятностные методы.

1.4.1 Метод Монте-Карло.

1.4.2 Метод Крейновича.

1.4.3 Арифметика гистограмм.

1.4.4 Вероятностная арифметика.

1.5 Интервальные методы.

1.5.1 Интервальная арифметика Мура.

1.5.2 Арифметики обобщенных интервалов.

1.6 Метод нечетких переменных.

1.7 Выводы.

2 Формальное представление характеристик погрешности результатов измерений как нечетких переменных.

2.1 Предпосылки использования теории нечетких переменных в практике измерений и метрологии.

2.2 Основные понятия теории нечетких переменных.

2.3 Адаптация метода нечетких переменных к задаче метрологического автосопровождения вычислений.

2.3.1 Линейные операции с нечеткими переменными.

2.3.2 Нелинейные операции с нечеткими переменными

2.4 Свойства арифметики нечетких переменных.

2.5 Выводы.

3 Автоматическая линеаризация вычисляемых функций.

3.1 Свойства функций, представленных программным кодом

3.2 Методы автоматического вычисления оценок значений производных.

3.2.1 Численные методы оценки значения производных

3.2.2 Численно-аналитические методы оценки значения производных.

3.3 Автоматическое дифференцирование с практической точки зрения.

3.4 Выводы.

4 Объединение методов нечетких переменных и автоматического дифференцирования и ее практическая реализация.

4.1 Единое алгебраическое описание.

4.2 Вопросы реализации.

4.2.1 Реализация автоматического дифференцирования

4.2.2 Реализация вычислений с нечеткими переменными

4.2.3 Оформление разработанных программных средств в виде программной библиотеки.

4.2.4 Проблема условных переходов.

4.3 Область применения.

4.4 Выводы.

5 Применение разработанного метода реализации метрологического автосопровождения вычислений.

5.1 Пример программы вычислений, выполняемой в одно действие.

5.2 Пример программы сложных вычислений.

5.3 Поиск корней нелинейного уравнения.

5.4 Решение системы линейных алгебраических уравнений.

5.5 Численное интегрирование.

Актуальность темы. Непременным компонентом современных измерительных информационных систем (ИИС) является вычислительное устройство, используемое, в основном, для математической обработки результатов прямых измерений с целью их уточнения или с целью получения результатов косвенных, совместных или совокупных измерений. Так как исходными данными выполняемых расчетов являются результаты прямых измерений, возмущенные погрешностями, то результаты этих вычислений сопровождаются наследственными погрешностями, характеристики которых подлежат определению и оценке в соответствии с принятыми в метрологии правилами. Метрологическое сообщество не могло игнорировать данное обстоятельство, и первая публикация [27] по этому вопросу появилась в 1983 году, после чего в том же издании в марте 1985 года была предпринята публикация подборки статей по вопросам определения и нормирования характеристик погрешностей, связанных с алгоритмами и программами, применяемыми в метрологических целях. Решением этих задач занимались такие ученые как Ю. В. Тарбеев, И. Б. Челпанов, П. В. Новицкий, Т. Н. Сирая, В. А. Слаев, А. Г. Чуновкина, Ю. А. Желнов, В. я. Крейнович, Г. Н. Солопченко. В ходе исследований довольно быстро было установлено, что нормирование погрешностей программ вычислений бесперспективно, особенно при значительном числе входных аргументов, возмущенных погрешностью. Поэтому основные усилия были направлены на поиск способов автоматического оценивания характеристик погрешности для каждого результата вычислений внутренними средствами соответствующей программы.

Попытки реализации этого подхода были основаны на применении интервальной арифметики (R. Е. Moore, Е. R. Hansen, Е. Kaucher, J. Stolfi), арифметики гистограмм (S. Kaplan, D. Berleant, В. я. Крейнович), исчисления эллипсоидов (Ф. J1. Черноусько, А. Б. Куржанский, Е. К. Костоусова). Однако применение всех этих методов приводит к слишком завышенным оценкам характеристик погрешности и не позволяет за одно выполнение программы вычислений раздельно учесть в конечном результате влияние систематических и случайных составляющих погрешности результатов прямых измерений, действующих на ее входе. Для обеспечения раздельной оценки характеристик систематических и случайных погрешностей перспективным является представление погрешностей в виде нечетких переменных с соответствующим выбором функции принадлежности и правил арифметических действий с ними. Подобные предложение развивались с 1975 года такими специалистами, как L. Gonella, J. L. Destouches, L. Mari, Jl. К. Резник, Г. Н. Солопченко. Однако при нелинейных вычислениях форма функции принадлежности результата искажается, что создает значительные трудности. Выходом из этого положения могла бы быть линеаризация вычисляемых функций, которая вполне оправдана для действий с погрешностями, составляющими не больше сотых долей от результатов, подвергающихся преобразованиям. Однако традиционная оценка значений первых производных вычисляемых функций методом конечных разностей требует, как минимум, двукратного выполнения программы расчетов для вычисления каждой частной производной. В этом отношении заслуживающим внимания представляется применение метода автоматического дифференцирования функций, представленных исходными кодами программ, математические основы которого берут начало в работе Клиффорда [63], опубликованной еще в 1873 году. Метод позволяет при каждом вычислении значения функции производить вычисление точных значений ее производных при тех же значениях аргументов. Исследования метода автоматического дифференцирования в разное время проводили A. Griewank, С. Н. Bischof, G. F. Corliss, Ю. Г. Евтушенко и многие другие авторы.

До настоящего времени исследования в упомянутых направлениях развивались раздельно, не пересекаясь. В настоящей работе предпринята попытка объединить автоматическое дифференцирование и представление погрешностей в виде нечетких переменных во имя обеспечения автоматического раздельного оценивания характеристик случайных и систематических составляющих наследственной погрешности в процессе каждого штатного вычисления. При этом каждый результат вычислений должен сопровождаться характеристиками погрешностей, полученными с помощью внутренних средств программы. Тем самым программы обработки данных приобретают свойства метрологического автосопровождения. Данный термин становится привычным в отечественной научно-технической литературе благодаря работам В. С. Соболева, Л. А. Мокрушина, Г. Н. Солопченко и других специалистов.

Целью работы является разработка и исследование средств программного обеспечения, необходимых для придания свойств метрологического авто сопровождения вновь создаваемым или существующим метрологически значимым программам в программном обеспечении ИИС.

Объектом исследования в диссертационной работе являются вопросы адекватного совместного применения инструментария нечетких переменных и метода автоматического дифференцирования функций, представленных программным кодом, в целях создания средств программного обеспечения ИИС, обладающих свойством метрологического автосопровождения.

Предметом исследования являются:

- представление погрешностей результатов прямых измерений нечеткими интервалами, согласующееся с действующими в метрологии нормативными документами, правила и свойства арифметических действий с ними,

- совместная программная реализация метода автоматического дифференцирования в совокупности с нечетким представлением погрешностей на каждом этапе вычислений,

- характеристики программ вычислений, обладающих свойством метрологического автосопровождения, на модельных и практических примерах.

Инструменты исследований, использованные в работе: теоретическая метрология, теория вероятностей и математическая статистика, алгебра, функциональный анализ, имитационное моделирование, в том числе, метод Монте-Карло.

Достоверность полученных результатов обеспечена сопоставлением результатов теоретического анализа с результатами имитационного моделирования, экспериментальной проверкой разработанных программных средств на реальных приложениях и результатами внедрения.

Новые научные результаты, полученные в диссертации и положения, выносимые на защиту:

- представление погрешностей результатов прямых измерений в виде нечеткого интервала, не противоречащее существующим нормативным метрологическим документам,

- обоснование единственности формы функции принадлежности нечеткой переменной, выражающей погрешности прямых измерений в виде нечеткого интервала,

- объединение принципа представления погрешности в виде нечеткого интервала с методом автоматического дифференцирования функций, выраженных программным кодом, с целью создания и / или корректировки программ для ИИС, обладающих свойством метрологического автосопровождения.

Практическая ценность результатов работы заключается в разработке программных средств и практической инструкции по модернизации существующего и созданию нового программного обеспечения ИИС, обладающего свойством метрологического автосопровождения. Областью применения результатов работы являются

- разработка метрологически значимых программ математической обработки результатов измерений,

- метрологическое обеспечение косвенных, совместных и совокупных измерений величин, для воспроизведения которых отсутствуют физически реализуемые рабочие эталоны (меры),

- метрологическая аттестация алгоритмов и программ, применяемых с целью получения результатов измерений.

Апробация работы выполнена в докладах на III Всероссийском форуме студентов, аспирантов и молодых ученых (СПб, 2009 г.), на IX международном симпозиуме по измерительным технологиям и интеллектуальным приборам (СПб, 2009 г.), на II и III международных научно-практических конференциях «Измерения в современном мире» (СПб, 2009, 2010 гг.), на семинарах кафедры информационно-измерительных систем и технологий Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина) (СПб, 2011 г.), на семинаре филиала ОАО «26 ЦНИИ» (СПб, 2010 г.).

Результаты работы внедрены в деятельности филиала ОАО «26 ЦНИИ», а также в учебном процессе на факультете технической кибернетики СПбГПУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ в научно-технических журналах, сборниках и трудах конференций, в том числе 3 статьи опубликованы в журналах, включенных в Перечень ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав и заключения, изложенных на 155 страницах машинописного текста, и приложений. Основной материал сосредоточен в главах и дополнен и обоснован материалами дополнений. Диссертация содержит 20 рисунков, 35 таблиц, список литературы, включающий 163 наименования, 3 приложения.

4.4 Выводы

Разработаны программные средства, обеспечивающие представление погрешности исходных данных и всех промежуточных результатов в виде нечетких интервалов, совмещенное с автоматическим дифференцированием вычисляемых функций.

Данные программные средства применимы для придания создаваемым программам обработки результатов прямых измерений свойства метрологического автосопровождения. Они также применимы для придания данного свойства существующим программам при условии, что их исходный код доступен.

Глава 5.

Применение разработанного метода реализации метрологического автосопровождения вычислений

В данной главе приводятся примеры применения разработанного метода реализации метрологического автосопровождения. Настоящая глава организована следующим образом. Для подтверждения достоверности получаемых оценок характеристик погрешности каждый пример сопровождается анализом точных их значений. В случае если это невозможно, проводится моделирование при помощи классических методов, и полученные результаты сравниваются. Для демонстрации работоспособности метода в пункте 5.1 подробно рассмотрен пример простой программы возведения в степень. В пункте 5.2 рассмотрен пример программы математической обработки результатов прямых измерений, взятой из действующей ИИС. Для иллюстрации применимости метода в численных методах в пункте 5.2 рассмотрена задача решения системы линейных алгебраических уравнений, в 5.3 приведены примеры решения трансцендентного и полиномиального уравнений, в 5.4 представлен пример задачи численного интегрирования.

5.1 Пример программы вычислений, выполняемой в одно действие

Рассмотрим программу вычислений значений функции y = f(x)=x2 (5.1)

Этот простой пример позволяет явно и подробно показать процесс автоматического дифференцирования и сопоставить полученные оценки погрешности результата вычислений у с точными аналитическими расчетами. Целесообразно с него начать исследование достоверности разработанного метода реализации MAC вычислений. Положим, что аргумент х данной функции /(х) является результатом прямого измерения. Пусть получено значение х = х0. Тогда для вычисления функции (5.1) и ее производной в точке х0 формируется дуальное число Z);c={xo,l}. Результат вычислений будет получен также в виде дуального числа /(рх) = = {х0,1 }2. В соответствии с указанными в предыдущих главах работы правилами данное число есть {х0,1 }х{х0,1 }= {хо, х0 -1 +дг0 -1 }= {хо, 2-х0 } и, значит, /фх)= {хр, 2 • х0 }. Первая компонента данного результата содержит значение функции /(х0), вторая компонента есть значение производной /'(*о)- Приведенный пример явно показывает, что дифференцирование вычисляемой функции выполняется параллельно и одновременно с вычислением значения самой функции.

Погрешность результата Ах прямого измерения (исходных данных) моделировалась как нечеткая переменная, которая задана своей функцией принадлежности ц(Лх). В данном пункте выбраны 3 модели погрешности исходных данных, функции принадлежности которых указаны на рисунке 5.1. а) Погрешность исходных данных имеет систематический характер, случайной составляющей не содержит. Значение погрешности результата любого конкретного измерения х может находиться в любой точке интервала [— ^сист. х> ^сист. Функция принадлежности такой модели погрешности представлена на рисунке 5.1а. Принято, что и - н(йх| л) ' 1

0 05 0 а= п(йх) б) йх

0,05 0 оо; \ и(йх) в)

0,05 0

J ъа ^акт х г

СМПй X СТ. ■< -с

Рисунок 5.1 - Функции принадлежности моделей для исходных данных сист.х 0,01 • хд. б) Погрешность результатов прямых измерений имеет случайный характер и не содержит систематической составляющей. Функция принадлежности ц(Ах) для такой модели погрешности указана на рисунке 5.16. Она имеет форму

2 Л гауссианы а = ^(Ах) = ехр

Ах'

В качестве интервала [- &Случ. х> ^случ. допускаемых значений погрешности рассматривается интервал [- 2 ■ ах, + 2 ■ ах], как это предлагается в [124]. Здесь ох есть среднеквадратическое отклонение случайной погрешности. Параметр масштаба 5 гауссианы ц(Ах) выбирается таким, что границы вложенного интервала Ja на уровне доверия а = 0,05 совпадают с границами интервала \г^случ.х> Аслуч.х\=[-2-сх>+2-°х]- Принято, что Аслуц х = 0,01-х0. в) Погрешность результатов прямых измерений содержит систематическую и случайную составляющие. Функция принадлежности данной модели погрешности имеет вид криволинейной трапеции, верхнее основание которой соответствует систематической составляющей, а боковые стороны в форме гауссиан соответствуют случайной составляющей (рисунок 5.1в). Будем считать, что уровню доверия а = 0,05 соответствуют все значения погрешности, которые находятся в пределах интервала ^систх ~ ^случ. х' ^сист х ^случ.х\) гДе ^сист.х ~ ^случ.х~ 0,01' Хд.

Для каждой из моделей погрешности исходных данных оценивание границ интервалов допускаемых значений \а, Ъ\ результата вычислений у по формуле (5.1) выполнялось разработанным методом. В качестве таких границ взяты пределы вложенных интервалов -^о,05 результата на уровне доверия а = 0,05.

Если погрешности исходных данных моделировались, как случайные, то указанные границы соответствуют интервалу у,2-а у\, где а у среднеквадратическое отклонение погрешности Ау результата вычислений у. Точные границы м для значений Ау вычислялись также аналитически: а = (х0 - Ах)2 и Ь = (х0 + Ах)2 . В силу нелинейности функции (5.1) интервал а, Ь\ не является симметричным относительно точного значения = хЦ. Поэтому в качестве предельного значения Ау абсолютной погрешности Ау результата вычислений было принято значение Ау - шах|ь - , - а ].

Результаты модельных и аналитических расчетов, выполненных для уровня доверия а! = 0,05 при х0 = 10,0, представлены в таблице 5.1.

Заключение

Основными выводами данной диссертационной работы являются следующие результаты и утверждения.

1. Анализ существующих методов автоматической оценки наследственной погрешности вычислений показывает, что ни один из ключевых подходов не позволяет в полной мере реализовать метрологическое автосопровождение вычислений. Большинство методов не имеет возможности одновременно оперировать как с систематическими, так и со случайными погрешностями.

2. В связи со значительной обобщающей способностью метода нечетких переменных есть возможность адаптировать его к задаче метрологического автосопровождения. Данная адаптация была выполнена. Показано, что полученные результаты позволяют в полной мере реализовать метрологическое автосопровождение, но только для вычислений линейных функций. Данный метод может быть использован в сочетании с линеаризацией вычисляемых функций.

3. В связи со спецификой решаемой задачи линеаризуемые функции представлены не аналитическими выражениями, а исходным кодом метрологически значимых программ. Непосредственный их анализ в общем случае трудоемок. Удобно переложить данную задачу на саму вычислительную машину. Линеаризация выполняется внутри программы вычислений методом автоматического дифференцирования.

4. Разработаны программные средства реализации метрологического автосопровождения, объединяющие метод нечетких переменных и метод автоматического дифференцирования. Их работоспособность подтверждена на практических и модельных примерах. Оценка достоверности модельных примеров выполнена имитационным моделированием методом Монте-Карло.

1. Айда-Заде, К. Р. Быстрое автоматическое дифференцирование на ЭВМ / К. Р. Айда-Заде, Ю. Г. Евтушенко // Математическое моделирование. -1989. Т. 1. - № 1. - С. 120-131.

2. Васильев, В. В. Дробно-линейные функции над алгеброй дуальных чисел / В. В. Васильев, В. Е. Иванов // Вестник ТГТУ. 2005. - Т. И. - № 3. -С. 717-721.

3. Вощанин, А. П. Интервальный анализ данных: развитие и перспективы / А. П Вощанин // Заводская лаборатория. 2002. - Т. 68. - № 1. - С. 118-126.

4. Евграфов, М. А. Аналитические функции / М. А. Евграфов. М.: Наука, 1991.-448 с.

5. Желнов, Ю. А. Точностные характеристики управляющих вычислительных машин / Ю. А. Желнов. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 135 с.

6. Житников, В. П. Оценка достоверности численных результатов при наличии нескольких методов решения задачи / В. П. Житников, Н. М Шерыхалина // Вычислительные технологии. 1999. - Т. 4. - № 6.

7. Засухина, Е. С. Применение быстрого автоматического дифференцирования для вычисления вторых производных сложных функций / Е. С. Засухина // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. - Т. 46. - № 11. - С. 1923-1949.

8. Калмыков, С. А. Методы интервального анализа / С. А. Калмыков, Ю. И. Шокин, 3. X. Юлдашев. Новосибирск.: Наука, 1986. - 222 с.

9. Корн, Г. Справочник по математике: для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. М: Наука, 1974. - 831 с.

10. Крейнович, В. Я. Оценка погрешности результата косвенных измерений с помощью вычислительного эксперимента / В. Я. Крейнович, М. И. Павлович // Измерительная техника. 1985. - № 3. - С. 11-13.

11. Кудеяров, Ю. А. Метрологическая аттестация программного обеспечения средств измерений (состояние и перспективы) / Ю.А. Кудеяров, Ю. Е. Лукапгов, А. А. Сатановский // Законодательная и прикладная метрология. 2003. - № 4. - С. 39-44.

12. Куржанский, А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности / А. Б. Куржанский. М.: Наука, 1977. - 392 с.

13. Пономарев, А. С. Нечеткие множества в задачах автоматизированного управления и принятия решений: учебное пособие / А. С. Пономарев. -Харьков.: Изд-во НТУ «ХПИ», 2005. 232 с.

14. Резник, Л. К. Математическое обеспечение обработки нечеткой информации экспериментатора в ИВК / Л. К. Резник // Архитектура, модели и программное обеспечение ИИС и ИВК: Труды ВНИИЭП. Л.: ВНИИЭП, 1983. - С. 45-55.

15. Резник, Л. К. Построение модели оптимального управления процессами сборки и испытаний приборов с использованием теории нечетких множеств / Л. К. Резник // Труды ВНИИЭП «Управление качеством и повышение надежности средств ЭИТ». Л.: 1979. - С. 124-131.

16. Романов, В. Н. Интеллектуальные средства измерений / В. Н. Романов, В. С. Соболев, Э. И. Цветков / под ред. д-ра техн. наук Э. И. Цветкова. М: РИЦ «Татьянин день», 1994. - 280 с.

17. Сирая, Т. Н. Разработка методологии обработки данных при измерениях на основе концепции аттестации алгоритмов: автореферат диссертации насоискание ученой степени доктора техн. наук / Т. Н. Сирая. СПб.: 1997.

18. Слаев, В. А. Аттестация программного обеспечения, используемого в метрологии: справочная книга / В. А. Слаев, А. Г. Чуновкина / под ред. В. А. Слаева. СПб.: Црофессионал, 2009. - 320 с.

19. Соболев, В. С. Метрологическое автосопровождение результатов измерений в интеллектуальных измерительных системах: диссертация на соискание ученой степени доктора техн. наук / В. С. Соболев. СПб.: 1999.

20. Солопченко, Г. Н. Взгляд на погрешность, как на нечеткую переменную: предпосылки, проблемы, возможности / Г. Н. Солопченко // Вестник Сев.-Зап. отделения метрологической академии, 1998. - № 1. - С. 50-63.

21. Солопченко, Г. Н. Двухэтапная оценка характеристик погрешности результатов измерения, выполняемых при реализации компьютерных измерительных технологий / Г. Н. Солопченко // Измерительная техника. -2000. № 3. - С. 3-7.

22. Солопченко, Г. Н. Представление измеряемых величин и погрешностей измерений как нечетких переменных / Г. Н. Солопченко // Измерительная техника. 2007. - № 2. - С. 3-7.

23. Солопченко, Г. Н. Принципы нормирования, определения и контроля характеристик погрешности вычислений в ИИС / Г. Н. Солопченко // Измерительная техника. 1985. - № 3. - С. 9-10.

24. Тарбеев, Ю. В. Задачи и методы аттестации алгоритмов / Ю. В. Тарбеев, И. Б. Челпанов, М. Д. Кудрявцев, Т. К Сирая // Измерительная техника. -1983.-№9.-С. 28-29.

25. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. К Тихонов, В. Я. Арсенин. М: Наука, 1979. - 286 с.

26. Уилкинсон, Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений /

27. Дж. X. Уилкинсон / перевод с англ. В. В. Воеводина и B.R Фаддеевой. М.: Наука, 1970. - 564 с.

28. Черноусько, Ф. JI. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов / Ф. Л. Черноусько. М.: Наука, 1988. - 320 с.

29. Чуновкина, А. Г. Оценивание неопределенности измерений при использовании программ обработки данных / А. Г. Чуновкина, В. А. Слаев,

30. A. В. Степанов, Н. Д. Звягин // Измерительная техника. 2008. - №7. - С.3-8.

31. Шарый, С. П. Алгебраический подход во «внешней задаче» для интервальных линейных систем / С. П. Шарый // Фундаментальная и прикладная математика. 2002. - Т. 8. - № 2. - С. 567-610.

32. Шарый, С. П. Интервальный анализ или методы Монте-Карло? / С. П Шарый//Вычислительные технологии.-2007. Т. 12-№1. - С. 103-115.

33. Шокин, Ю. И. Интервальный анализ / Ю. И Шокин. Новосибирск.: Наука, 1981.

34. Яглом, И. М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия / ИМ. Яглом. М.: Гос. изд-во физико-математической литературы. - 1969. 304 с.

35. Яхъева, Г. Э. Нечеткие множества и нейронные сети: учебное пособие / Г. Э. Яхъева. М: Интернет-Университет Информационных Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 316 с.

36. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений /

37. Ред.: A. R Борисов, А. В. Алексеев, Г. В. Меркурьева и др. М: Радио и связь, 1989. - 304 с.

38. Руководство по выражению неопределенности измерения / под ред.

39. B. А. Слаева- СПб.: ГП«ВНИИМим. Д. И Менделеева», 1999.

40. BEJIMEK 7.2. Руководство по программному обеспечению. (Директива 2004/22/ на средства измерений) / Перевод с англ. документа «WELMEC 7.2. Issue 4. Software Guide». М.: АНО «РСК-Консалтинг», 2009.

41. ГОСТ 16153-80. Германий монокристаллический. Технические условия. М.: Изд-во стандартов, 1980. - 32 с.

42. Abate, J. A new method for generating power series expansion of functions / J. Abate, H. Dubner // SI AM J. Numer. Anal. 1968. - № 5. - P. 102-112.

43. Bartholomew-Biggs, M. C. Automatic differentiation of algorithms / M. C. Bartholomew-Biggs, S. Brown, B. Christianson, L. Dixon // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2000. - Vol. 124. - № 1-2. - P. 171-190.

44. Bastani, H. On the Application of Automatic Differentiation of the Likelihood Function for Dynamic General Equilibrium Models / H. Bastani, L. Guerrieri // In: Advances in Automatic Differentiation / Edited by

45. C. H. Bischof, H. M. Bucker, P. Hovland, U. Naumann, J. Utke. Lecture Notes in Computational Science and Engineering. - Springer, 2008. - P. 303-314.

46. Beck, T. The if-problem in automatic differentiation / T. Beck, H. Fisher // J. Comput. Appl. Math. Vol. 50. - P. 199-131.

47. Berleant, D. Automatically Verified Reasoning with Both Intervals and Probability Density Functions / D. Berleant // Interval Computations. 1993. -№ 2. - P. 48-70.

48. Berleant, D. Representation and Problem Solving with the Distribution Envelope Determination (DEnv) Method / D. Berleant, J. Zhang // Reliability Engineering and System Safety. 2004. - Vol. 85. - № 1-3. - P. 153-168.

49. Berz, M. Computation and Application of Taylor Polynomials with Interval Remainder Bounds / M Berz, G. Hoffstatter // Reliable Computing. 1998. -Vol. 4. - № 1. - P. 83-97.

50. Berz, M. Differential algebra a new tool / M. Berz // Proceedings of the IEEE Particle Accelerator Conference. - 1989. - P. 1419-1423.

51. Berz, M. From Taylor Series to Taylor Models / M. Berz // Proceedings of Symposium on Beam Stability and Nonlinear Dynamics. Santa Barbara, California. New York.: Published by American Institute of Physics in Woodbury, 1997.

52. Bishof, C. ADIC An extensible automatic differentiation tool for ANSI-C / C. Bishof, L. Roh, A. Mauer // Software - Practice and Experience. - Vol. 27. -№ 12. - P. 1427-1456.

53. Bischof, C. H. ADIFOR: Generating derivative codes from Fortran programs / C. H. Bischof, A. Carle, G. F. Corliss, A. Griewank, P. Hovland // Scientific Programming. 1992. - Vol. 1. - № 1. - P. 1-29.

54. Bischof, C. H. Automatic Differentiation for Matlab Programs / C. H. Bischof, B. Lang, A. Vehreschild // Proceedings in Applied Mathematics and

55. Mechanics. 2003. - Vol. 2. - № 1. - P. 50-53.

56. Caulfield, H. J. Fuzzy metrology / H. J. Caulfield, J. Ludman, J. Shamir // In: Fuzzy Theory Systems. Vol. 2. - P.747-758.

57. Caulfield, H. J. Fuzzy optical metrology / H. J. Caulfield // IEEE Trans. Fuzzy Systems. 1996. - Vol. 4. - № 2. - P. 206-208.

58. Clifford, W. K. Preliminary sketch of bi-quaternions / W. K. Clifford // Proceedings of London Mathematical Society. 1873. - Vol. 4. - № 64. - P.381-395.

59. Colombo, A. G. A Powerful Numerical Method to Combine Random Variables / A. G. Colombo, R. J. Jaarsma // IEEE Transactions on Reliability. -1980. Vol. R-29. - № 2. - P. 126-129.

60. Destouches, J. L. New Trends in Expressing Results of Measurements / J. L. Destouches, P. Fevrier // Proc. of IMEKO Coll. Budapest. 1980.

61. El-Owny, H. Hansen's Generalized Interval Arithmetic Realized in C-XSC / H. El-Owny. Preprint BUW-WRSWT 2006/2. Universität Wuppertal, 2006.

62. Ferrero, A. An innovative approach to the determination of uncertainty in measurement based on fuzzy variables / A. Ferrero, S. Salicone // IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement 2003. - Vol. 52. - № 4. -P. 1174-1181.

63. Fischer, I. S. Dual-number methods in kinematics, statics, and dynamics / I. S. Fischer. CRC Press. Boca Raton, 1998. - 240 p.

64. Fornberg, B. Numerical Differentiation of Analytic Functions / B. Fornberg// ACM Transactions on Mathematical Software. 1981. - Vol. 7. -№4.-P. 512-526.

65. Forth, S. A. An Efficient Overloaded Implementation of Forward Mode Automatic Differentiation in Matlab / S. A. Forth // ACM Transactions of Mathematical Software. 2006. - Vol. 32. - № 2. - P. 195-222.

66. Forth, S. A. User guide for MAD a Matlab automatic differentiation toolbox / S. A. Forth - Applied Mathematics and Operational Research Report AMOR 2001/5. Cranfield University, 2001.

67. Gendler, D. Automatic differentiation of assembler code / D. Gendler,

68. U. Naumann, B. Christianson // Proceedings of IADIS International Conference on Applied Computing. Salamanca. Spain. 2007. - P. 431-436.

69. Gonella, L. Proposal for a Revision of the Measure Theory and Terminology / L. Gonella // Alta Frequenza. 1975. - Vol. XLIV. - № 10.

70. Granik, A. Fuzziness in quantum mechanics / A. Granik, H. J. Caulfleld // Physics. Essays. 1996. - Vol. 9. - № 3. - P. 496-505.

71. Griewank, A. ADOL-C: A Package for the Automatic Differentiation of Algorithms Written in C/C++ / A. Griewank, D. Juedes, J. Utke // ACM Trans. Math. Software. Vol. 22. - № 2. - P. 131-167.

72. Griewank, A. On Automatic Differentiation / A. Griewank // In: Mathematical Programming. Recent Developments and Applications / Edited by M. Iri, K. Tanabe. Kluwer Academic Publisher, 1989. - P. 83-108.

73. Hall, B. D. Calculating measurements uncertainty using automatic differentiation / B. D. Hall // Measurement Science and Technology. 2002. -Vol. 13.-№4.-P. 421-427.

74. Hansen, E. R. Generalized Interval Arithmetic / E. R. Hansen // In: Interval Mathematics / Edited by K. L. Nickel. Vol. 29 of lecture notes in computer science. - Berlin.: Springer-Verlag, 1975. - P. 7-18.

75. Hanson, R. J. Interval arithmetic as a closed arithmetic system on a computer / R. J. Hanson. Technical report 197. Jet Propulsion Laboratory, 1968.

76. Huiskes, M. Automatic Differentiation and Uncertainty Analysis / M. Huiskes Interim Report. IR-98-083. International Institute for Applied Systems Analysis, 1998.

77. Jiachun, L. Uncertainty calculation of roundness by automatic differentiation / L. Jiachun, M Krystek, S. Zhaoyao // Proceedings of The 9-th International Symposium on Measurement Technology and Intelligent Instruments

78. MTII-2009. Saint-Petersburg. 2009. Published by D. S. Rozhdestvensky Optical Society. - P 2-193 - 2-197.

79. Kalian, W. M. A more complete interval arithmetic / W. M. Kahan // Lecture notes for a summer course in numerical analysis at the University of Michigan. -University of Michigan, 1968.

80. Kabnan, D. Doubly Recursive Multivariate Automatic Differentiation / D. Kalman // Mathematics Magazine. 2002. - Vol. 75. - № 3. - P. 187-202.

81. Kaplan, S. An Improved Condensation Procedure in Discrete Probability Distribution Calculations / S. Kaplan, J. C. Lin // Risk Analysis. 1987. - Vol. 7. -№ l.-P. 15-19.

82. Kaplan, S. On the Method of Discrete Probability Distributions in Risk and Reliability Calculations Application to Seismic Risk Assessment / S. Kaplan // Risk Analysis. - 1981. - Vol. 1. - № 3. - P. 189-196.

83. Kochen, M. On the precision of Adjectives which Denote Fuzzy Sets / M. Kochen, A. N. Bodre // Journal of Cybernetics. 1974. - Vol. 4. - P. 49-59.

84. Kolev, L. Automatic Computation of a Linear Interval Enclosure / L. Kolev // Reliable Computing. 2001. - Vol. 7. - № 1. - P. 17-28.

85. Kolev, L. New formulae for multiplication of intervals / L. Kolev // Reliable Computing. 2006. Vol. 12. - № 4. - P. 281-292.

86. Kramer, W. Generalized Intervals and the Dependency Problem / W. Kramer // Proc. Appl. Math. Mech. 2006. - № 6. - P. 683-684.

87. Krawczyk, R. Interval Slopes for rational functions and associated centered forms / R. Krawczyk, A. Neumaier // SIAM Journal on Numerical Analysis. -1985. Vol. 22. - № 3. - P. 604-616.

88. Kreinovich, V. Why Intervals? A Simple limit theorem that is similar to limit theorems from statistics / V. Kreinovich / Reliable Computing. 1995. - Vol. 1. -№ l.-P. 33-40.

89. Lai, K.-L. Extensions of the First and Second Complex-Step Derivative Approximations / K.-L. Lai, J. L. Crassidis // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2008. - Vol. 219. - № 1. - P. 276-293.

90. Lai, K.-L. Generalizations of the Complex-Step Derivative Approximation / K.-L. Lai, J. L. Crassidis // AIAA Guidance, Navigation and Control Conference. Keystone. 2006. AIAA Paper № 2006-6348.

91. Li,W. Computer arithmetic for probability distribution variables / W.Li, J. Mac Hyman // Reliability Engineering and System Safety. 2004. - Vol. 85. -P. 191-209.

92. Lyness, J. N. Differentiation formulas for analytic functions / J.N. Lyness // Math. Computation. 1968. - Vol. 22. - P. 352-362.

93. Lyness, J. N. Generalized Romberg Methods for Integrals of Derivatives / J. N. Lyness, C. B. Moler // Numerishe Mathematik. 1969. - Vol. 14. - № 1. -P. 1-13.

94. Lyness, J. N. Numerical differentiation of analytic functions / J.N. Lyness,

95. C. B. Moler // SIAM J. Numer. Anal. 1967. - Vol. 4. - № 2. - P. 202-210.

96. Makino, K. Taylor models and other validated functional inclusion methods / K. Makino, M. Berz // International Journal of Pure and Applied Mathematics. -2003. Vol. 4. - № 4. - P. 379-456.

97. Mari, L. A computational system for uncertainty propagation of measurement results / L. Man // Measurement. 2009. - Vol. 42. - № 6. - P. 844-855.

98. Mari, L. Notes on Fuzzy Set Theory as a Tool for the Measurement Theory / L. Man // Proceedings of XII IMEKO World Congress «Fundamental metrology, measurement theory and education». Beijing, China. 1991.- Vol. III. P. 70-74.

99. Martins, J. R. R. A. The Complex-Step Derivative Approximation / J. R. R. A. Martins, P. Sturdza, J. J. Alonso // ACM Transactions on Mathematical Software. 2003. - Vol. 29. - № 3. - P. 245-262.

100. Mauris, G. A fuzzy approach for the expression of uncertainty in measurement / G. Mauris, V. Lasserre, L. Foulloy // Measurement. 2001. -Vol. 29. - № 3. - P. 165-177.

101. Mauris, G. Fuzzy handling of measurement errors in instrumentation / G. Mauris, L. Berrah, L. Foulloy, A. Haurat // IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement. 2000. - Vol. 49. - № 1. - P. 89-93.

102. Moore, R. E. Interval arithmetic and automatic error analysis in digital computing: a thesis submitted for the degree of Doctor of Philosophy / R. E. Moore. Stanford University, 1962.

103. Moore, R. E. Methods and Applications of Interval Analysis / R. E. Moore //1.: SIAM Studies in Applied Mathematics / Edited by W. F. Ames. -Philadelphia.: 1979.

104. Neidinger, R. D. Introduction to Automatic Differentiation and Matlab Object-Oriented Programming / R. D. Neidinger // SIAM Review. 2000. -Vol. 52. - № 3. - P. 545-563.

105. Nelson, A. J. A Correction to S.Kaplan's Method of Discrete Probability Distributions / A. J. Nelson, D. M. Rasmuson // Risk Analysis. 1982. - Vol. 2. -№4.-P. 205-206.

106. Neumaier, A. Interval Methods for Systems of Equations / A. Neumaier. -Cambridge.: Cambridge University Press, 1990.

107. Ning, S. A comparison of some methods for solving linear interval equations / S. Ning, R. B. Kearfott // SIAM J. Numer. Anal. 1997. - Vol. 34. - № 4. -P. 1289-1305.

108. Pearlmutter, B. A. Nesting forward-mode AD in a functional framework / B. A. Pearlmutter, J. M. Siskind // Higher-Order and Symbolic Computation. -2008. Vol. 21. - № 4. - P. 361-376.

109. Pearlmutter, B. A. Reverse-mode AD in a functional framework: Lambda the ultimate backpropagator / B. A. Pearlmutter, J. M. Siskind // ACM Trans, on

110. Programming Languages and Systems. 2008. - Vol. 30. - № 2. - P. 7-1 - 7-36.

111. Pennestri, E. Linear Algebra and Numerical Algorithms Using Dual Numbers / E. Pennestri, R. Stefanelli // Multibody System Dynamics. 2007. -Vol. 18. - № 3. - P. 323-344.

112. Piponi, D. Automatic Differentiation, C++ Templates and Photogrammetry / D. Piponi // The Journal of Graphics Tools. 2004. - Vol. 9. - № 4. - P. 41-55.

113. Pryce, J. D. AD01, a Fortran 90 code for automatic differentiation / J. D. Pryce, J. K. Reid Report RAL-TR-1998-057. Rutherford Appleton Laboratory. Chilton, England. - 1998.

114. Ratschek, H. Centered forms / H. Ratschek // SIAM J. Numer. Anal. -1980.-Vol. 17.-P. 656-662.

115. Regan, H. M. Equivalence of methods for uncertainty propagation of real-value random variables / H. M. Regan, S. Ferson, D. Berleant // International Journal of Approximate Reasoning. 2004. - Vol. 36. - № 1 - P. 1-30.

116. Reznik, L. Fuzzy and Probabilistic Models of Association Information in Sensor Networks / L. Reznik, V. Kreinovich // Proceedings of the 13th International IEEE Conference on Fuzzy Systems FUZZ-IEEE'2004. Budapest, Hungray. 2004. Vol. 1. - P. 185-189.

117. Reznik, L. K. Fuzzy interval as a Basis for Measurement Theory / L. K. Reznik, W. C. Jonson, G. N. Solopchenko // Proc. NASA Conf.

118. NAFIPS'94. San-Antonio, Texas. 1994. - P.405-406.

119. Reznik, L. Measurement result uncertainty evaluation: new soft approaches? / L. Reznik // Сборник трудов международной научной конференции «Мягкие вычисления и измерения» SCM-1999. СПб.: 1999. - С. 21-24.

120. Salicone, S. Measurement Uncertainty: An approach via the Mathematical Theory of Evidence / S. Salicone. Springer Series in Reliability Engineering. -Springer, 2007. - 228 p.

121. Scharpenberg, M. Use of Automatic Differentiation for Sensitivity Analysis of Flight Loads / M. Scharpenberg, M. Lukacova-Medvidova // Proceedings of AST 2007 Workshop on Aircraft System Technologies. Hamburg.: 2007. -P. 407-414.

122. Schweppe, F. C. Uncertain Dynamic Systems / F. C. Schweppe. New-Jersey.: Prentice Hall, Englewood Cliffs. - 1973. - 533 p.

123. Shafer, G. A mathematical Theory of Evidence / G. Shafer. Princeton. New-Jersey.: Princeton University Press, 1976. - 297 p.

124. Shampine, L. F. Using AD to solve BVPs in Matlab / L. F. Shampine, R. Ketzscher, S. A. Forth // ACM Transactions on Mathematical Software. -2005. Vol. 31. - № 1. - P. 1-16.

125. Study, E. Geometrie der Dynamen / E. Study. Leipzig: Verlag Teubner, 1903. - 603 p.

126. Sun, J. Chebyshev Affine Arithmetic Based Parametric Yield Prediction

127. Under Limited Descriptions of Uncertainty / J. Sun, Y. Huang, J. Li, J. M. Wang // Proceedings of conference ASP-DAC' 2008. COEX. Seoul, Korea. Abstract 6B-3. 2008.-P.531-536.

128. Sunaga, T. Theory of an interval algebra and its application to numerical analysis / T. Sunaga // RAAG Memoirs. 1958. - Vol. 2. - Misc. II. - P. 547-564.

129. Tong, R. M. The evaluation of Fuzzy Models Derived from Experimental Data / R. M. Tong // Fuzzy Sets and Systems. 1980. - Vol. 4. - № 1. - P. 1-12.

130. Tupper, J. Generalized Interval Arithmetic / J. Tupper // Extended abstracts of International Conference on Interval Methods and Computer-Aided in Science and Engineering «Interval'96». Wuerzburg.: 1996. - P. 108-109.

131. Urbansky, M. Fuzzy approach to the theory of measurement inexactness / M. Urbansky, J. Wasowski // Measurement. 2003. - Vol. 34. - № 1. - P. 67-74.

132. WaBey, P. Statistical Reasoning with Imprecise Probabilities / P. Walley. -London.: Chapman and Hall, 1991.

133. Warmus, M. Calculus of Approximations / M. Warmus // Bulletin de L'academie Polonaise des Sciences. 1956. -CI. III. -Vol. IV. -№5. -P. 253-259.

134. Wilkinson, J. H. Rounding Errors in Algebraic Processes / J. H. Wilkinson // Notes on Applied Science. London.: 1963. - № 32. - 161 p.

135. Williamson, R. C. Probabilistic Arithmetic. I. Numerical Methods for Calculating Convolutions and Dependency Bounds / R. C. Williamson, T. Downs // International Journal of Approximate Reasoning. 1990. - № 4. -P. 89-158.

136. Williamson, R. C. Probabilistic Arithmetic: a thesis submitted for the degree of Doctor of Philosophy / R. C. Williamson. Department of Electrical Engineering, University of Queensland. - 1989.

137. Wolfe, P. Checking the Calculation of Gradients / P. Wolfe // ACM TOMS.1982. Vol. 6. - № 4,- P. 337-343.

138. Young, R. C. The algebra of many-valued quantities / R.C.Young // Mathematische Annalen. 1931. - Vol. 104. - № 1. - P. 260-290.

139. Automatic Differentiation of Algorithms: Theory, Implementation and Applications / Edited by A. Griewank, G. F. Corliss. Philadelphia. Society for Industrial and Applied Mathematics, 1991. - 353 p.

140. Fuzzy Logic and Expert Systems Applications / Edited by C. Leondes. In series: Neural Network Systems Techniques and Applications. - Vol. 6. -Academic Press, 1998.

141. IEEE Standard 754-2008 for Binary Floating Point Arithmetic. American National Standards Institute. 2008.

142. Topics in Interval Analysis / Edited by E.Hansen London.: Oxford University Press, 1969.