автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы стабилизации программных движений в математических моделях

На призах рукой::,•!

Сухарев Лев Ал«чк',ацщчл>ич

г

МЕТОДЫ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ

В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ

Спец «лихость 05.13.13 • математическое \г.- (.ельроьаниг чи< ленные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой «екени кандидата физики-математич^ских наук

Саранск 2003

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Мордовского государственного университета имени Н.П. Огарева

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Е.В. Воскресенский

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Б.В. Логинов кандидат физико-математических наук, Т.А. Горшунова

Ведущая организация: Институт математического моделирования РАН

Защита состоится 19 ноября 2003 года в 14 ч. 00 мин. на заседании дис-серт анионного совета КМ 212.117.07 по присуждению ученой степени каь-дидата физико-математических наук в Мордовском государственном унч- :

верситете им. Н.П. Огарева по адресу: 430000, г. Саранск, ул. Большевистская, 68.

«

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Мордовского государственного университета.

Автореферат разослан 16 октября 2003 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук ) И М.А. Борисов

Цл

-А

| ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическое моделирование на стабилизацию программного движения является наиболее актуальной частью кибернетики. Здесь основные трудности заложены в самой модели. Первая задача — построение программного движения, вторая — его стабилизация, третья — выбор самой выгодной стабилизации, которая называется оптимальной. Как правило, в реальном моделировании все эти задачи являются математическими, и их предварительно необходимо тщательно анализировать на предмет принадлежности к исследованным классам. Типичный здесь случай, когда необходимы новые дополнительные исследования, которые, как правило, приводят к новым методам исследования. Например, важнейшие задачи механики моделируются как математические задачи в смысле классического определения, сформулированного H.H. Кра-совским, В.И. Зубовым и другими. Здесь программное движение - конкретное решение дифференциального уравнения при фиксированном допустимом управлении. Затем в классе допустимых управлений К ищется такое управление, при котором программное движение является устойчивым в каком-либо смысле решением. На этом этапе программное движение стабилизировано. Однозначно, как правило, эта задача не решается. Пусть К0 — множество стабилизирующих допустимых управлений — К0 С К. На множестве Ко рассматривается функционал качества J(x,u), х — решение уравнения движения, соответствующее допустимому управлению и. Оптимальным управлением является то управление щ, которое доставляет минимум функционалу J(x,u), и £ Ко- В этом определении устойчивость программного движения, чаще всего, является асимптотической, и начальный момент движения ¿о — фиксирован. В точной постановке задачи стабилизации программного движения классические результаты принадлежат, прежде всего, H.H. Красовскому [9], В.И. Зубову [8], В.М. Мат-росову [10] и другим. Основной вклад здесь внесла Российская математическая школа, которая, базируясь на теории Ляпунова, создала фундаментальную науку об устойчивости и оптимальной стабилизации.

Однако, моделирование задач стабилизации рынка, небесной механики и других, обнаружило, что не всегда классическое определение стабилизации программного движения имеет смысл. Например, некоторые задачи об эволюции цен в модели Вальраса устойчивость программного движения не может быть асимптотически устойчивой в смысле Ляпунова. Более того, движения могут иметь различные начальные моменты. Так появился новый вид устойчивости, который был назван абсолютно равномерной устойчивостью. Новое определение стабилизации повлекло к новому определению оптимальной стабилизации. Однако, идея оптимальной стабилизации осталась прежней: программное движение надо оптимально стабилизировать, вкладывая в понятия „стабилизация", „оптимг

новый смысл.

В связи с этим, представляется весьма актуальной задача оптимальной стабилизации в указанном смысле и методы ее решения.

Цель работы. Исследовать абсолютно равномерную устойчивость решений уравнений движения. При этом необходимо изложить теорию абсолютно равномерной устойчивости решений так, чтобы она содержала в себе изложение следующих вопросов.

1) Необходимые и достаточные условия абсолютно равномерной ограниченности решений.

2) Выделение классов уравнений, имеющих абсолютно равномерно ограниченные решения. Здесь необходимо расширение известной классификации Иошизавы.

3) Решение задачи о существовании аттракторов для дифференциальных уравнений движения.

4) Решение задачи о непрерывной зависимости решения от начальных данных на полуоси.

5) Решение задачи Коши с сингулярными начальными данными (4*оо, Хо).

После решения задач в выше указанных пунктах, необходимо изучить свойства абсолютно равномерно устойчивых решений в применении к задаче стабилизации программного движения, при этом требуется следующее.

6) Исследовать вопрос о необходимых и достаточных условиях абсолютно равномерной устойчивости.

7) Определить понятие стабилизации программного движения в смысле абсолютно равномерной устойчивости решений соответствующих уравнений движения.

8) Получить эффективные теоремы для исследования задачи о стабилизации.

9) Дать строгое определение оптимальной стабилизации, доказать теорему существования и построить метод нахождения оптимального допустимого управления.

10) Показать эффективность нового метода при решении конкретных задач математического моделирования.

Методика исследований основана на применении метода сравнения и методов Ляпунова к возмущенным системам дифференциальных уравнений, в основе которого лежат дифференциальные неравенства Важевского. Уравнение сравнения — скалярное или векторное уравнение, асимптотические свойства решений которого известны.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, выносимые на защиту.

Продолжено исследование абсолютно равномерной устойчивости решений и ее приложений в теории управления, которое в себя включает еле-

дующее.

1) Необходимые и достаточные условия абсолютно равномерной ограниченности решений.

2) Выделен класс уравнений, имеющих абсолютно равномерно ограниченные решения.

3) Решена задача о существовании асимптотического равновесия на конечном промежутке.

4) Исследована непрерывная зависимость решения от начальных данных на полуоси.

5) Решена задача Коши с сингулярными начальными данными (+оо, хо). Ь 6) Исследован вопрос о необходимых и достаточных условиях абсолютно равномерной устойчивости.

7) Определено понятие стабилизации программного движения в смысле абсолютно равномерной устойчивости решений соответствующих урав-

• нений движения.

8) Получены теоремы для исследования задачи о стабилизации.

9) Дано строгое определение оптимальной стабилизации, доказана теорема существования и построен метод нахождения оптимального допустимого управления.

10) Показана эффективность нового метода при решении конкретных задач математического моделирования: задачи стабилизации рынка и задачи построения стабилизации программного движения для механической системы.

Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, но вес полученные результаты имеют прикладное значение в экономике, механике и т. д. Они могут быть применены к исследованию любой : математической модели, описывающей физические процессы или состоя-

ние производства в экономике, если эта модель сводится к управляемой за бесконечное время системе дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и » обсуждались на научном семинаре Средневолжского математического об-

щества под руководством профессора Е.В. Воскресенского (Саранск 20022003 гг.), на конференции молодых ученых (Саранск 2003 г.), на XIII межвузовской конференции (Самара 2003 г.), на Международной научной школе „Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" (Саранск 2003 г.)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах, список которых приведен в конце автореферата [11-14].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации 122 страницы, 2 рисунка, список литературы содержит 48 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе, которая называется „Асимтотика и устойчивость решений уравнений в математических моделях" и состоит из шести параграфов, изучаются свойства абсолютно равномерно ограниченных, абсолютно равномерно устойчивых решений уравнений и их связь со свойствами устойчивости решений в классическом смысле.

Первый параграф первой главы посвящен условиям существования и единственности решений задачи Коши с сингулярными начальными данными (+оо,хо).

Рассматривается дифференциальное уравнение:

| = (1)

Определение 1. [2] Решения x(t:to,Xo) дифференциального уравнения (1) называются абсолютно равномерно ограниченными для ||з;о|| < г, t >Т, если ||x(i:io,xo)|| < со(г) для всех Т < t,to < +оо.

Определение 2. [2] Будем говорить, решение x(t) дифференциального уравнения (1) удовлетворяет условию (+оо, Хо), если lim x(t) = xq

l—>+0о

и тогда x(t) = x(t:+ oo,Xq).

Теорема 1. [2] Если мноо/сество Е = {x(t: t0, xq) : T < i,io < +oo, .г'о G R"}, где xq - фиксированный вектор, равномерно ограничено по t и ¿о, то есть решения x(t:to,xo) абсолютно равномерно ограничены, то задача (+оо, го) имеет хотя бы одно решение.

В этом же параграфе приведены достаточные условия существования асимптотического равновесия для ограниченного множества пространства R".

Второй параграф содержит известные [1,2,7] критерии абсолютно равномерно ограниченных решений с использованием функций Ляпунова, вектор-функций Ляпунова для решений, которые могут начинаться в любой точке пространства, так и для решений, начинающихся в любой точке некоторого шара.

Теорема 2. [2,7] Для абсолютно равномерной ограниченности решений уравнения (1) при ||з;о|| < r,t >Т, необходимо и достаточно существование функций V, W : [Т, +оо) х R" —> (0, +оо) таких, что:

a) V(t,x),W(t,x) —► +оо при ||х|| —» +оо равномерно по t;

b) V{t,x) < pi(r),W(t,x) < /02W для ||х|| < г;

c) V{t,x{t)),W(t,x(t)) - соответственно невозрастающая и неубывающая функции, где x(t) - решение уравнения (1).

Здесь же приведены теоремы об асимптотическом равновесии с использованием функций Ляпунова и вектор-функций Ляпунова. Возможности метода возмущений [1,2] ограничены характером асимптотического равновесия возмущенного уравнения и малостью возмущения. Прямой метод более универсален, но трудности здесь сосредоточены в построении функций Ляпунова. Однако, все-таки преимущество таких теорем заключается в том, что в них содержится тактика решения задачи об асимптотическом равновесии.

Теорема 3. [2] Пусть существует непрерывная функция V: [Т, +оо) х [Т, +оо) X R" —» (0,+оо) такая, что V(t,to,x) —» +оо при ||ж|| —* +оо равномерно по t и to ; для всякого решения x(t) = x(t : to, х0) уравнения (1) V(t,tQ,x(t)) < р{г) при ||x(io)|| < г, Т < t,to < +оо, р: [0, +оо) —+ (0,+оо), существует lim V(t,to,x(t)). Тогда, если сугце-

t—*+оо

ствует непрерывная функция Vo £ C(R™, (0, +оо)), которая является строго монотонной по модулю каэюдой компоненты вектора х и

,lim Т77ГТ~^~1~~\\ = k > °> х = colon(xx,... ,хп)

равномерно по а; € К", то уравнение (1) имеет асимптотическое равновесие.

В третьем параграфе, доказаны условия существования абсолютно равномерной устойчивости и изучен вопрос взаимодействия этого понятия с понятием устойчивости в классическом смысле.

Определение 3. Будем говорить, что решение x(t: to,Xo) дифференциального уравнения (1) абсолютно равномерно устойчиво, если Ve > О 3i = 5(е,хо) > 0. что как только Цжо — Хц|| < ^, выполняется неравенство

||a;(i:io,a;o) - a;(i:i0,S0)|| < £ (2)

при всех Т <t,to < +оо.

Теорема 4. Пусть существует непрерывная функция V: [Т, +ор) х [Т, +оо) х R" —> (0, +оо) {t,t0,x) к-» V(t,t0,x)

такая, что

1) V(t, to,x) —* +оо равномерно по t и to при ||i|| —* +оо;

2) V(t,t0,x(t)) < М(г), |Ы| < г, x(t) = x(t:tQ,x0) - решение уравнения (1) ||x(i0)|| <r,T<t,t0< +оо.

Тогда ||а:(£:£о,£о)|| < С (г) при всех х0, ||a:(io)|| <г, и всех Т <t,t0 < +оо.

В этом же параграфе рассмотрен вопрос об абсолютно равномерной устойчивости автономных уравнений, решена задача приводимости урав-

dx dy

нения — = f{t, х) к уравнению — = 0. at аг

„Метод возмущений" — так называется четвертый параграф первой главы, — в котором рассматривается этот метод для свойства асимптотического равновесия, строятся функции Ляпунова для уравнения сравнения, прослежена связь близких понятий: абсолютно равномерной ограниченности решений, асимптотического равновесия, абсолютно равномерной устойчивости решений.

Здесь показано, как результаты Воскресенского [1-7| получаются, используя теорему 3. Определим Vó из этой теоремы так: пусть Vi £

С([0,+00), (0,+00)), строго монотонна и Va(x) = Vi(|[x||), и далее по тексту теоремы 3. Однако, первоначальная формулировка является более общей.

Показано, как функции V и Vó можно построить па основании свойств функции /. Пусть ||/(í,:r)|| < А(£, ||а:||) для всех a¡Sl", А € С([Т, +00) х [0, +оо), [0, +оо)) и X(t,ai) <\(t,a2) при сц < а2, t>T.

+00

Предположим также, что интеграл J(a) = f A(s, a) ds существует при

г

всех а > 0 и

г

a) функция F(r) = f(J(a)~1)da строго монотонно стремится к +оо

0

при г —»■ +оо, Р > 0;

t

b) функция q(t,a) = J (X(s,a)/J(a))ds определена и непрерывна при

т

t>T, а> 0, q(t, ai) < q(t, a2), сц < a2. Рассмотрим функцию

V(t,t0,x) =/yi(£,í0,|N|) = exp(-g(í,|N|))F(|N|). (3)

Тогда V{(t,to,z) < 0 для всех 2 > 0, таких, что F{z) > 1 и V((t, Z(l, z) > О, если F(z) < 1, где V{(t,to,z) - правая верхняя производная Дини функции (3) в силу уравнения сравнения

J = A(M). (4)

Поскольку для любого Zg > 0 при достаточно большом Р справедливо неравенство F(zo) < 1, то V,'(í, ¿0, го) > 0. Следовательно, V{(t, ¿y, z(l)) < F(z(t)) < F(zo) < F{z) ,T<t<t0.

Так как V{(t, to, z) —* +00 при z —+ +00 равномерно по í и íq, то из полученного неравенства вытекает оценка z(t) — z(t : ¿o, xq) < cj(r), T < t < ta < +00, zq <r. С другой стороны справедлива оценка z(t. : ¿o, :t'o) <

c'i{t), t > io, Z[) < r [8]. Поэтому для решений уравнения (4) справедлива оценка z(t : ¿о,.то) < с(г) при всех Т < t,to < +00 и zq < г. Существование функции с(г) вытекает из существования функций Ci(r) и сг(г). Тогда < ^(IWi)ll) < F(C{r)), T < Mo < +00, ||s0|| < r.

Отсюда вытекает неравенство

V{t,t0,x(t)) <p{r),

где T < Mo < +00, x(t) = x(t : t0,x0), ||x0|| < г. Пусть V0{x) = F(||z||). Тогда для этих функций выполняются всс условия теоремы 3. Поэтому уравнение (1) имеет асимптотическое равновесие. В частности, если +00

A(i, ||з;||) = и / < +00, то из этого примера вытекает

г

известный результат [2].

В пятом параграфе приведены результаты, позволяющие установить наличие си— периодических решений при асимитотическом равновесии на конечном промежутке. Здесь же показано применение этих результатов к решению задачи существования периодических решений возмущенных дифференциальных уравнений.

Шестой параграф посвящен решению задач об устойчивости движения методами, изложенными в первых пяти параграфах. Здесь же указан метод построения функций Ляпунова для уравнений сравнения (4).

На множестве П/, = {(£, z) : р < zq < h < r, t > Т} рассмотрим функции

}*$<•)} m

\ Т / 20

w(t = ¡^ЛЛ fja_ J(a) J J(aY

\t J 2„

где функции Ли J определены и обладают свойствами, указанными выше.

Функции V, W удовлетворяют локальному условию Липшица относительно (t, z) и при достаточно большом h обладают следующими свойствами:

a) V(t, z) +00, W(t, z) —» +00 при z —> +00 равномерно относительно t >Т.

b) V(t,z) < л (r), W(t,z) < рг(г) при 2 < r, Pl(r) > 0, p2(r) > О, Pi(r),Pi{r) 6 C([zp, +00)); __

c) V'{t,z) < 0, W'(t,z) > 0, при z € (0,г) где V'{t,z), W'(t,z) - правые верхние производные Дини функций V(t, z), W(t, z) в силу скалярного уравнения (4).

Пусть Zq € (h, г). Рассмотрим решение z(t:to,zo), ¿о > Т.

Тогда ^(¿,2(^0,20)) < У(Мо) < Р1 (г), t > 10. Отсюда следует равномерная ограниченность решений уравнения (4) на множестве Г2/, влево.

< < ръ{г) при Т < í < ¿0. Из этого следу-

ет равномерная ограниченность решений уравнения (4) на множестве П/, вправо.

Равномерная ограниченность решений вправо и влево как раз и означает, что решения уравнения (4) абсолютно равномерно ограничены на множестве а построенные функции V и IV удовлетворяют условиям теоремы 2.

Во второй главе, которая называется „Мегод сравнения и синтез управления" и состоит из трех параграфов, приводятся методы построения управления с обратной связью для различных систем.

Первый параграф второй главы содержит формулы для построения управлений с обратной связью для линейных систем.

Необходимо найти управление и & К, переводящее произвольную точку хо £ К" в фиксированную точку у* 6 К" за время Т, где Т > 0-фиксированное число, либо Т = +оо.

Основной результат этого параграфа выражен следующей теоремой.

Теорема 5. Пусть дана линейная управляемая система

¿7*

= +£(4)«+ *•(«), (5)

аг

где А{£) - матрица размера пхп, £?(£) - матрица размера пхт, Р(Ь) матрица-столбец, определенные и непрерывные на отрезке [0, Т], х 6 К", и € К. Здесь К - класс допустимых управлений, такой , что при каждом управлении и 6 К система (5)имеет решения, каждое из которых определено на промежутке [0,7], где Т > 0- фиксированное число, либо Т = +оо, и соответствующая фундаментальная матрица системы

(6)

удовлетворяет условию с1е1 У-1(Т) / 0.

Если существуют матрицы Лд'(Т) и (Ло(£) — Ло(Т))-1 при всех 0 < £ < Т, где матрицы Ао(£) и Ао{Т) определены формулами

г т

А0(г) = У В0{т)В^(т)йт, А0(Т) = I В0{т)В^(т)с1т, (7)

о о

тогда управление и(Ь,х), имеет вид

и{Ь,х) = В0Т(*) (А0(Ь) - А0(Т)Г1 х

У-'фхф- j Y~1(T)F(T)dT-Y-l(T)y* + jy-HrJFWdrj . (8)

и переводит произвольную точку х 6 К в фиксированную точку у* € R за время Т — t.

Второй параграф содержит формулы для построения управлений с обратной связью для систем, близких к линейным, то есть уравнений типа Липшица:

dx

— = A(t)x + B(t)u + f{t,x,u), (9)

at

где и £ К, х € К", К— класс допустимых управлений из множества измеримых вектор-функций и: [Т, +оо) —* R'" и f(t,x,u) = Fi(t,x)— функция типа Каратсодори такая, что задача Копш (¿о, хо) при любом и имеет единственное решение x(t) в классе абсолютно непрерывных функций. Функция f(t,x,u) удовлетворяет условию (Липшица):

||/(i,Xi,Ui) - f(t,x2>U2)\\ < ipi\\xi - х2|| + xp2\\ui - u2||, (10)

где ip2 S C'([T, +oo), Rij_). Управление и ищется в виде

и = C{t)x, (11)

где C(t) — (m х п) непрерывная матрица, Т < t < +оо. Существование матрицы C(t) доказано в работе [8]. Обозначим через Y(t) фундаментальную матриц решений уравнения

^ = [A(t) + B(t)C(t)}u, (12)

которую будем считать нормированной в начальной точке: Y(to) = Е.

Теорема 6. [6] Если уравнение (12) асимптотически устойчиво, и выполнено неравенство

+0О

J ИУ-^Ш*) + Tfe(e)||C(i)||]ds < +00,.

г

то при управлении и = C(t)x состояние равновесия х,— 0 уравнения (9) асимптотически устойчиво в целом.

Теорема 7. [6] Пусть функция f типа Липшица и

+00 +оо

ко — J ipi(s)ds < 1, ki = j Ф2(s)ds < 1. Если при каждом фиксиро-т т

ванном и € К, где К - класс ограниченных допустимых управлений с »

обратной связью, множество решений Е, определенное следующей формулой

Е = {х(4 : ¿о, х0, и)\и е К, х0 <= К", Т < <0 < +оо} (13)

абсолютно равномерно ограничено, тогда при и,щ 6 К для любого е > 0 существует 6 — ё(е) > 0 такое, что

||а:(£: +оо,:со,«) — х(Ь: +оо,хо,И1)|| < е, Т <Ь< +оо, при ||хо - х0|| < 5, ||и - и1|| <5, 5 = е.

„Метод последовательных приближений для построения управления с обратной связью" — так назван третий параграф второй главы. В нем приведен алгоритм построения управления с обратной связью с помощью последовательных приближений. Приведено построение такого управления с помощью этого алгоритма для конкретного уравнения движения.

Третья глава называется „Стабилизация программных движений" и состоит из шести параграфов. Она посвящена изучению управляемости и стабилизации программных движений. В ней рассмотрены конкретные задачи, для решения которых применяются все результаты, полученные в первых двух главах.

Первый параграф третьей главы — „Существование программных движений на полуоси" — содержит результаты, позволяющие строить программные движения на полуоси для систем, асимптотически эквивалентных по Брауэру. В этом же параграфе рассмотрены вопросы управляемости за бесконечное время, приведены примеры построения программных движений. Отметим, что задача управляемости за бесконечное время для системы

их

■~ = А{1)х + В^)и + /(1,х,и), (14)

ал

решалась в работах Воскресенского [4-С]. Там же получены условия, ири которых можно перевести произвольную точку из К" в одну и ту же фиксированную точку у* за бесконечное время. Однако, эти условия можно ослабить, что выражено в следующей теореме.

Теорема 8. Пусть система (Ц) — типа Липшица и асимптотически эквивалентна по Врауеру при некотором и € Ко системе

Ит

— = А{1)х + В{1)и, (15)

аъ

Если справедливы условия

1) функция / удовлетворяет условию Липшица:

||/(4, XI, М1) -/(¿,Х2,и2)|| < ^1(^)11^1 ~ х2\\ + ф2{Щщ 1|

для любых х\,х2 6 К", Щ, и2 € Кт. £ > 0, ф1 е С([0, +оо), [0, +сю)), г = +00 +00 1,2 и / (рф < +00, / уф < +00, где щ{1) = Н^ЧОИННОШ*).

+оо

2) справедлива формула у(0) = х(0) + / ^У~1(з)/(з,х(з),и(з,х(з)))(1з,

о

и

+оо

3) 9 = / р2у-ЧЮ11(ЗД1(«)||У(5)|| + Ф2(з)Ф-Лз))йз <1,

к,

то любая точка Хо 6 К" переводится в фиксированную точку у* 6 Кп да бесконечное время управлением и.

Рассмотрен случай управляемости для систем, имеющих функцию / типа Липшица в нуле. Здесь же показан способ применения метода последовательных приближений для нахождения управления с обратной связью.

Во втором параграфе третьей главы рассмотрено построение программного движения за конечное время и существование программных движений на компакте.

Теорема 9. Пусть система (Ц) типа Липшица, а система (15) является управляемой в классе К за время т, матрица Д)(т) =

J Во(з)В^(з)с1з является невырожденной, Во(Ь) = У~1({)В(Ь). Тогда при

достаточно большом ¿о для любого хо € К" существует управление и 6 Ко, переводящее точку Хо в точку у* за конечное время т.

В этом же параграфе приведены построения программных движений за конечное время для конкретных уравнений движения.

Третий параграф — „Модель Вальраса и стабилизация рыночных отношений производства". В этом параграфе еще раз показано использование принципа сравнения для исследования стабилизации рыночных цен производства. Рассмотрен случай, когда решение уравнения динамики цен в модели Вальраса является абсолютно равномерно устойчивым, что подчеркивает необходимость введения нового понятия стабилизации программного движения.

Пусть имеется производство X, уравнение эволюции цен которого имеет вид:

<"Лх

— = С{1,х,и), СМ,и) = 0, !!(?(«,®,и)|| < А(«,|МЫ, (16) где управление и = х) удовлетворяет неравенству

\\и(1,х)\\<ф\\

при любом и е К, и = М и '..—, и —зависит от и. Предположим,

\\х\\

что эволюция цен некоторого производства Хо, выпускающего один вид

продукции, описывается уравнением

^ = г>0 (17)

и А(£, 2,/х) = — 5(£, 2,^), где = спрос,

= — предложение, А(£, = -- избыток спро-

+00 < са, ?/>(£) = фг^) — / ф(з)с1з <+оо. Тогда г^) = г0ехр(/-ф(з)с1з) <

т «о

и решение г = 0 уравнения (17) абсолютно равномерно устойчиво в смысле определения (3). Значит, если функция, находящаяся в правой части уравнения (17), является мажорантой для уравнения (16), то решение х = О уравнения (16) также является абсолютно равномерно устойчивым при любом управлении и е К, и = и(1, х). Следовательно, для уравнения (16) понятие асимптотической стабилизации цен в классе допустимых управлений К, в классическом смысле, когда требуется асимптотическая устойчивость состояния равновесия [9], не имеет смысла. Значит, на решениях уравнения движения (16) необходимо ввести новый критерий качества, и на его основе решать задачу оптимальной стабилизации. Такая задача решалась, например, в [5,6]. Заметим, что функции в моделях для производств X и Хо, как правило, устанавливаются эмпирическим путем, поэтому оценка вида ||С(£,:г, и)[| < А(£, ||х||,/х) типична. И все же это ие значит, что пример - типичный. Здесь решение г = 0 уравнения (17) абсолютно равномерно устойчиво.

В четвертом параграфе обосновывается и дается точная формулировка задачи качественной стабилизации программного движения:

1. Пусть х = 0 - программное движение, задаваемое уравнением дви-

с1х

жения — = х,и), является абсолютно равномерно устойчивым для аг

всех и € Ко С К, где Ко — множество стабилизирующих управлений в классе допустимых управлений К.

2. Функционал качества 3 рассматривается на решениях уравнения

— = х, и), и задается равенством аъ

+00

7 = У С?о(£, х(1) ~ хо, х(Ь) — хо))Л, т

где х(Ь) = х(Ь: +оо, а;0, и), ||хо|| < потребуется найти такое допустимое управление и € Ко, которое доставляет минимум функционалу 3 в классе К при фиксированном 8.

Пятый параграф — „Стабилизация программного движения" — содержит результаты, позволяющие решить задачу качественной стабилизации программного движения для уравнений движения, имеющих абсолютно

равномерно ограниченные решения. Основным результатом этого параграфа можно считать теорему.

Теорема 10. Задача оптимальной стабилизации, задаваемая уравнением движения — = С(1,х,и) и функционалом качества 7 =

+ОС

/ С?о(£, х(Ь) — х0, х{£) — хо))сИ, где х(1) = х(Ь : +оо, хо, и), ||а;о|| < <5о-т

при управлениях и Е К типа Липшица, имеет решение.

Возможно применение принципа максимума по следующей схеме. Пусть и 6 Ко и при всех и 6 Ко выполняются условия принципа максимума. В случае когда Ко конечно, то сравнивая значения функционала 3 на этих управлениях, можно выбрать оптимальное управление.

В этом параграфе результаты применены к уравнениям, описывающим динамику цен производства в модели Вальраса.

В шестом параграфе третьей главы, который называется „Стабилизация программных движений в механических системах", результаты всей теории, изложенной в предыдущих параграфах, применены к движениям механических систем, описываемым уравнениями Лагранжа

й дТ дТ ди _

где Т = </) кинетическая энергия системы, V — 11(1, (?) — по-

тенциальная энергия системы, <2р.<3у - гироскопические и управляющие силы соответственно, действующие на систему, (<?, д) - обобщенные координаты. Предварительно, это уравнение приведено к нормальному виду (14). После этого вся теория, изложенная в предыдущих главах применяется к этой системе по части компонент, соответствующим обобщенным координатам ф Построено программное движение по переводу одной точки в другую за бесконечное время по части переменных, и оно стабилизировано так же но части переменных при помощи гироскоиических сил. При этом вся конструкция построена на основании теории, представленной в диссертации.

В заключение теория применена к конкретной механической системе

гироскопическому маятнику. В данном случае прослеживается тактика решения задачи стабилизации программного движения механической системы.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ В АВТОРЕФЕРАТЕ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Воскресенский Е.В. О равномерной ограниченности решений // Диф. уравнения. - 1988. - Т.24, N2. — С. 346 -348.

2. Воскресенский Е.В. Методы сравнения в нелинейном анализе. — Изд-во Саратовского ун-та. 1990. — 224 с.

3. Воскресенский Е.В. Аттракторы обыкновенных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. - 2000. - Т.52, N10. - С.1311-1323.

4. Воскресенский Е.В. Асимптотические методы: теория и приложения. - Саранск: СВМО, 2001. - 300с.

5. Воскресенский Е.В., Мамедова Т.Ф. Методы стабилизации программ- • ных движений // Вопросы атомной науки и техники. Сер. матем. моделирование физических процессов. — 2002. — Выи. 4. — С. 45-54.

6. Воскресенский Е.В. Оптимальная стабилизация программного движения // Труды средневолжского математического общества. — 2003. - Т.5, N1. - С. 12-30.

7. Воскресенский Е.В. Об аттракторах обыкновенных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. — 2003. — N4. - С. 17-26.

8. Зубов В.И. Лекции по теории управления. — М.: Наука, 1975. - 496 с.

9. Красовский H.H. Проблемы стабилизации управляемых движений (прил.) // Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966.- 530 с.

10. Матросов В.М. Принципы сравнения с вектор-функцией Ляпунова. I-IV // Диф.уравнения. - 1968. - Т.4, N8. - С. 1374-1386; 1968. - Т.4, N10. - С. 1739-1752; 1969. - Т.5, N7. - С. 1171-1185; 1969. - Т.5, N12. -С. 2129-2143.

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

11. Сухарев Л.А. Абсолютно равномерно устойчивые решения дифференциальных уравнений // Саранск: Изд-во средневолжского математического общества, 2003. — Препринт N53. — С. 5-10.

12. Сухарев Л.А. Абсолютно равномерно ограниченные решения и асимптотическое равновесие дифференциальных уравнений // Тр. XIII межвузовской конференции. — Самара, 2003. — 4.56. — С. 157-160.

13. Сухарев Л.А. О построении синтеза управления для линейной управляемой системы за бесконечное время // Труды средневолжского математического общества. — 2003. — Т.5, N1. — С. 154-157.

14. Сухарев Л.А. О построении и стабилизации программных движений // Саранск: Изд-во средневолжского математического общества, 2003. — Препринт N56. - С. 16.

*

Подписано в печать 10.10.03. Объем 1,0 п. л. Тираж 100 экз. Заказ № 1596. Типография Издательства Мордовского университета 430000, Саранск, ул. Советская, 24

4

«

р 16 63 1

Qoo3 I

~ЩГ

Введение

1. Асимптотика и устойчивость решений уравнений в математических моделях

1.1. Абсолютно равномерно ограниченные решения

1.2. Прямой метод Ляпунова и существование абсолютно равномерно ограниченных решений 1.3. Абсолютно равномерная устойчивость решений

1.4. Метод возмущений

1.5. Асимптотическое равновесие на конечном промежутке

1.6. Примеры и приложения

2. Метод сравнения и синтез управления 44 2.1 Синтез управлений для линейных систем

2.2. Синтез управлений для систем, близких к линейным

2.3. Метод последовательных приближений для построения управления с обратной связью

3. Стабилизация программных движений 62 м 3.1. Существование программных движений на полуоси

3.2. Существование программных движений на компакте

3.3. Модель Вальраса и стабилизация рыночных отношений производства

3.4. Постановка задачи стабилизации программного движения

3.5. Стабилизация программного движения

3.6. Стабилизация программных движений в механических системах ■

Математическое моделирование на стабилизацию программного движения является наиболее актуальной частью кибернетики [1, 2]. Здесь основные трудности заложены в самой модели [3, 32, 33, 37]. Первая задача — построение программного движения [19, 20], вторая — его стабилизация [16, 18], третья — выбор самой выгодной стабилизации, которая называется оптимальной. Как правило, в реальном моделировании все эти задачи являются математическими, и их предварительно необходимо тщательно анализировать на предмет принадлежности к исследованным классам [37]. Типичный здесь случай, — когда необходимы новые дополнительные исследования, которые, как правило, приводят фактически к новым методам решения. Например, важнейшие задачи механики [35, 36] моделируются как математические задачи в смысле классического определения, сформулированного H.H. Красовским, В.И. Зубовым и другими. Здесь программное движение — конкретное решение дифференциального уравнения при фиксированном допустимом управлении. Затем в классе допустимых управлений К ищется такое управление, при котором программное движение является устойчивым в каком-либо смысле решением. На этом этапе программное движение стабилизировано. Однозначно, как правило, эта задача не решается. Пусть Ко — множество стабилизирующих допустимых управлений — Ко С К. На множестве Ко рассматривается функционал качества [35] J(x,u), х — решение уравнения движения, соответствующее допустимому управлению и. Оптимальным управлением является то управление iio, которое доставляет минимум функционалу J(x,u), и € Kq. В этом определении устойчивость программного движения, чаще всего, является асимптотической, и начальный момент движения t0 ■ — фиксирован. В точной постановке задачи стабилизации программного движения классические результаты принадлежат, прежде всего, H.H. Красовскому [22, 27], В.И. Зубову [19, 24], В.М. Матросову [28, 29] и другим. Основной вклад здесь внесла Российская математическая школа, которая, базируясь на теории Ляпунова, создала фундаментальную науку об устойчивости и оптимальной стабилизации.

Однако, моделирование задач стабилизации рынка [23, 36, 37, 47], небесной механики и других, обнаружило, что не всегда классическое определение стабилизации программного движения имеет смысл [13]. Например, некоторые задачи об эволюции цен в модели Вальраса [11, 23] устойчивость программного движения не может быть асимптотически устойчивой в смысле Ляпунова. Более того, движения могут иметь различные начальные моменты. Так появился новый вид устойчивости, который был назван абсолютно равномерной устойчивостью [11, 12]. Новое определение стабилизации повлекло к новому определению оптимальной стабилизации. Однако, идея оптимальной стабилизации осталась прежней: программное движение надо оптимально стабилизировать, вкладывая в понятия „стабилизация", „оптимальная стабилизация", новый смысл. Прежде чем формулировать задачу с новым понятием устойчивости, необходимо изучить асимптотические свойства движений. Точнее, написать теорию абсолютно равномерной устойчивости решений, куда входили бы:

1) Необходимые и достаточные условия абсолютно равномерной ограниченности решений.

2) Выделение классов уравнений, имеющих абсолютно равномерно ограниченные решения. Здесь необходимо расширение классификации Ио-шизавы [48].

3) Решение задачи о существовании аттракторов для дифференциальных уравнений движения.

4) Решение задачи о непрерывной зависимости решения от начальных данных на полуоси.

5) Решение задачи Коши с сингулярными начальными данными (+оо, хо). Только после решения задач 1) —5) перейти к точному определению абсолютно равномерной устойчивости решения. Здесь, следуя традициям, необходимо исследовать вопрос о необходимых и достаточных условиях абсолютно равномерной устойчивости. Затем нужно приступить к понятию стабилизации программного движения в новом смысле. Получить эффективные теоремы для исследования задачи о стабилизации. Наконец, дать строгое определение оптимальной стабилизации, доказать теорему существования и построить метод нахождения оптимального допустимого управления. Только после решения всех выше перечисленных задач, эффективность нового метода надо показать при решении конкретных задач математического моделирования. Именно по такому плану написана настоящая диссертационная работа, к изложению структуры и содержания которой сейчас переходим.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы.

1. Александров В.В. и др. Оптимизация динамики управляемых систем: Учеб. пособие. - М.: Изд-во МГУ, 2000. — 304 с.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. — 428 с.

3. Арнольд В.И. Дополнительные главы обыкновенных дифференциальных уравнений: Учеб. пособие для студ. физико-матем. спец. вузов. — М.: Наука, 1978. 304 с.

4. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учеб. пособие для механико-матем. спец. вузов. — М.: Наука, 1971. — 239 с.

5. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. — М.: Наука, 1970. — 240 с.

6. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. — М.: Изд-во иностр. лит., 1954. — 216 с.

7. Вылов Б.Ф. Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. — М.: Наука, 1966. — 576 с.

8. Воскресенский Е.В. О равномерной ограниченности решений // Диф. уравнения. 1988. - Т.24, N2. — С. 346-348.

9. Воскресенский Е.В. Методы сравнения в нелинейном анализе. — Изд-во Саратовского ун-та. 1990. — 224 с.

10. Воскресенский Е.В. Аттракторы обыкновенных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. — 2000. — Т.52, N10. — С.1311-1323.

11. Воскресенский Е.В. Асимптотические методы: теория и приложения. — Саранск: СВМО, 2001. — 300с.

12. Воскресенский Е.В., Мамедова Т.Ф. Методы стабилизации программных движений // Вопросы атомной науки и техники. Сер. матем. моделирование физических процессов. — 2002. — Вып. 4. — С. 45-54.

13. Воскресенский Е.В. Оптимальная стабилизация программного движения // Труды средневолжского математического общества. — 2003. — Т.5, N1. С. 12-30.

14. Воскресенский Е.В. Об аттракторах обыкновенных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. — 2003. — N4. — С. 17-26.

15. Гребенников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. — М.: Наука. — 1986. 225 с.

16. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1970. — 534 с.

17. Еругин Н.П. Приводимые системы // Тр. матем. ин-та им. В.А. Стек-лова АН СССР. 1946. - Т.13. - 96 с.

18. Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. — Л.: Изд-во Ленинг. ун-та, 1957. 241 с.

19. Зубов В.И. Лекции по теории управления. — М.: Наука, 1975. — 496 с.

20. Зубов С.И., Зубов Н.В. Математические методы стабилизации динамических систем. — Санкт-Петербург: Изд-во С-Пб. ун-та, 1996. — 288 с.

21. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Изд-во иност. лит., 1958. — 474 с.

22. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. -М.: Физматгиз, 1959. — 211 с.

23. Красс И.А. Математические методы экономической динамики. — М.: Сов.радио, 1976. 279 с.

24. Ла-Саль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. — М.: Мир, 1964. — 168 с.

25. Логинов Б.В. Об устойчивости решений дифференциального уравнения с вырожденным оператором при производной // Известия АН Уз.ССР. 1988. - N1. - С. 28-32; 1988. - N2. - С. 78.

26. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. — М. — Л.; Гостехиздат, 1950. — 471 с.

27. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966. — 530 с.

28. Матросов В.М. К теории устойчивости движения // Прикл. матем. и механика. — 1962. Т.26, N6. — С. 992-1002.

29. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985. — 223 с.

30. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970. 720 с.

31. Чезари J1. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1964. — 477 с.

32. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. — М. JI.: Гостехиздат, 1946. — 204 с.

33. Dollard J.D., Friedman О.Н. Asymptotic behavioer of solution of linear ordinary differential equations // J.of Math.Anal, and Appl. — 1978. — Vol. 66. P. 394-398.

34. Siljak D.D. Competitive economic systems: stabiliti, decompozition and aggregation // Proceeding of the 1973 IEEE Conference on Decision and Control. San Diego, California. — 1973, December 5-7. — P. 265-275.

35. Yoshizava T. Liapunov's function and boundedness of solutions // FunktiaI.Ekvas. 1959. - Vol.2. - P. 71-103.