автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое и компьютерное моделирование движения космических аппаратов с внутренней динамикой

На правах рукописи

Мирошкии Владимир Львович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ С ВНУТРЕННЕЙ ДИНАМИКОЙ

Специальность 05.13.18 Математическое моделироиаиис, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2009

003471387

Работа выполнена на кафедре Теории вероятностей Московского авиационного института (государственного технического университета).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Кибзун Андрей Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Формалев Владимир Федорович

кандидат технических наук, Альтшулер Александр Шоломович

Ведущая организация: Институт космических исследований РАН

Защита состоится "11" июня 2009 г. в 12 ч. 00 мин. на заседании Диссертационного совета Д 212.125.04 Московского авиационного института по адресу: 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское ш., 4, Ученый совет МАИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (государственного технического университета).

Отзыв на автореферат, заверенный гербовой печатью организации, просьба направлять по указанному адресу в двух экземплярах.

Автореферат разослан "_"_2009 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета Д 212.125.04, кандидат физико-математических наук \

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования. В диссертационной работе рассматривается задача анализа пространственного движения космических аппаратов (КА) с жидкими компонентами топлива в баках при наличии разбросов на характеристики конструктивных элементов КА на различных участках полета КА.

Актуальность темы. Математическое и компьютерное моделирование является высокоэффективным и относительно низкозатратным методом исследования сложных систем. Особую важность математическое и компьютерное моделирование приобретают при исследовании таких сложных технических систем, для которых проведение натурного моделирования является трудоемкой и дорогостоящей процедурой. К таким сложным системам относится космическая техника. В ряде случаев, например, на этапе эскизного проектирования или при наличии уникального КА, математическое и компьютерное моделирование на ЭВМ является единственным способом исследования сложной технической системы. По мере развития вычислительной техники происходило увеличение быстродействия ЭВМ и усложнение математических моделей КА, используемых для компьютерного моделирования движения КА. На раннем этапе развития ЭВМ задачи анализа движения КА были разделены на задачи баллистики КА и задачи динамической устойчивости. В задаче баллистики для описания движения К А использовались дифференциальные уравнения движения материальной точки, твердого тела, твердого тела переменной массы, соответственно (работы К.А. Абгаряна, Р.Ф. Аппазова, В.А Карабанова, К.С. Колесникова, А.А.Лебедева, Л.С. Чернобровкина и др.). В задаче динамической устойчивости КА для описания движения КА применялись линеаризованные в окрестности опорной траектории (опорная траектория - решение одной из задач баллистики КА) дифференциальные уравнения движения твердого тела с движущимися внутри материальными точками (работы Л.В. Докучаева, К.С. Колесникова, И.А. Луковского, Н.Н Моисеева, Г.Н. Микишевева, Г.С. Нариманова, Б.И. Рабиновича, В.В. Румянцева и др.). Повышение быстродействия ЭВМ позволило использовать для построения моделей деформируемых механических объектов методы, основанные на представлении деформируемого механического объекта в виде системы твердых тел с шарнирными соединениями (работы И. Виттенбурга). Однако, в настоящее время такие модели движения КА требуют значительных затрат машинного времени ЭВМ.

При статистической обработке результатов имитационного моделиро-

пания движения КА более адекватным по сравнению с традиционными оценками в виде выборочного среднего и среднего квадратического отклонения является использование выборочной квантили в качестве характеристики точности выведения КА, т.е отклонение от заданного номинала, которое не будет превышено с заданной вероятностью -оценки квантили отклонений (работы А.И. Кибзуяа, В.В. Малышева). Однако, для оценки квантилей высокого уровня вероятности требуется выборка большого объема. Получение выборки большого объема по методу Монте-Карло требует значительных затрат машинного времени. Поэтому при компьютерном моделировании движения КА по метода Монте-Карло необходим компромисс между адекватностью и сложностью применяемой математической модели движения КА. Разделение движения КА на баллистическое (опорная траектория) и движение в окрестности опорной траектории в ряде случаев невозможно из-за того, что у КА имеется не одна опорная траектория, а "трубка"опорных траекторий. Как отмечалось выше, математическая модель движения КА в виде движения системы твердых тел с шарнирными соединениями требует при компьютерном моделировании значительных затрат машинного времени, что делает практически невозможным получение статистической выборки достаточного объема за разумное время. Поэтому задача разработки математических моделей КА, более общих, чем линеаризованные уравнения движения твердого тела с движущимися внутри материальными точками, но требующие меньше затрат машинного времени, чем математические модели движения системы твердых тел с шарнирными соединениями, является актуальной.

При разделении или стыковке КА меняется количество независимо движущихся КА (изменяется конфигурация группы движущихся объектов - происходит реконфигурация группы КА). Отличительной особенностью моделирования движения КА является большое количество систем координат, в которых задаются исходные данные, движутся КА и представляются результаты математического и компьютерного моделирования. Таким образом, разработка единой математической модели описания движения группы КА является актуальной задачей.

Цель работы. Целью работы является разработка интегрированных математических моделей движения КА, включающих в себя реконфигурацию группы КА и отношения между системами координат, а также комплекса программ на ее основе для проведения имитационного (компьютерного) моделирования по методу Монте-Карло движения КА на различных участках полета КА.

Для достижения поставленной цели предлагается:

1) разработать интегрированные математические модели движения КА на различных участках полета. Обосновать адекватность разработанных моделей;

2) разработать математическую модель, описывающую изменение количества движущихся объектов (реконфигурация группы объектов) и взаимосвязи между различными системами координат. Исследовать свойства разработанной математической модели;

3) разработать программное реализацию на языке программирования высокого уровня для полученных математических моделей;

4) разработать комплекс программ для моделирования движения КА с внутренней динамикой по методу Монте-Карло;

5) провести расчеты для модельных исходных данных.

Методы исследования. Для решения задачи использовались методы линейной алгебры, теоретической механики (динамика твердого тела, динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью, динамика системы связанных тел), теории вероятностей, математической статистики, теории графов, численных методов, объектно-ориентированного программирования.

Научная новизна. К новым научным результатам относится:

• разработана интегрированная математическая модель пространственного движения твердого тела с внутренней динамикой в виде движения математических и сферических маятников в векторной форме в декартовых координатах;

• разработано иерархическое описание в виде древовидной структуры отношений между декартовыми системами координат;

• разработан единый (для шести известных вариантов последовательности поворотов вокруг осей системы координат) алгоритм перехода от направляющих косинусов к углам Эйлера-Крылова и обратно, основанный на подсчете числа инверсий в последовательности поворотов вокруг осей системы координат;

Достоверность результатов. Достоверность результатов обеспечивается:

1) строгостью вывода уравнений движения;

2) строгостью постановок и доказательств утверждений;

3) подтверждением результатов работы с помощью имитационного моделирования движения реальных КА.

Практическая значимость. Результаты работы были использованы при имитационном моделировании по методу Монте-Карло движения КА семейства "Астра", "Иридиум", "Темпо", "Телстар", "'Бриз-М" др..

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих научных конференциях и симпозиумах: конференция "Бортовые интегрированные комплексы и современные системы управления" (Ярополец, 1998), международная конференция "КопГегеп^а АтуюшкГ' (Варшава, 1998г.), международные конференции "Системный анализ и управление" (Евпатория, 2001, 2002, 2003, 2004гг.), международные конференции "Системный анализ, управление и навигация" (Евпатория, 2005, 2006, 2007, 2008гг.), а также на научных семинарах в МАИ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех статьях [1-3] в журналах, входящих в Перечень ВАК, и в трудах научных конференций [4-13].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы (76 источников). Объем диссертации включает 134 машинописные страницы, включая 5 рисунков. Приложение содержит 31 страницу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, дан обзор литературы по теме диссертации, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, описана структура диссертации, перечислены полученные в диссертации новые результаты.

В первой главе диссертации вводятся основные обозначения и разрабатываются модели движения КА с внутренней динамикой в виде подвижных материальных точек и математические модели относительного движения материальных точек внутри КА.

Все дифференциальные уравнения движения получены как для движения в неподвижной, так и для движения в подвижной системах координат. Ниже представлены дифференциальные уравнения движения для движения в неподвижной системе координат. Основные обозначения: о- полюс инерциальной системы координат; Ма— масса КА; За— тензор инерции КА;

с- центр масс системы КА + материальные точки; р- полюс связанной с КА системы координат;

а— подвижная материальная точка массы та;

М— масса системы КА + материальные точки;

Jp— тензор инерции системы КА + материальные точки;

Гаь— вектор, проведенный из точки в а точку 6;

dr

—— абсолютная производная вектора г;

at

г— относительная производная вектора г;

Матрица 5'(г):

( 0 -21 2/1 \ 5(n) = I Z! о -Xi \ , \ -2/1 ®i 0 /

обладает свойством : S[r{)r2 = ri х г 2-

Отметим, что вектор Г3 = — rJ"252(rj)r2 есть проекция вектора Г2 на плоскость, нормалью к которой является вектор |ri|-1ri.

Движение сферического маятника, имеющего массу та рассматривается относительно полюса связанной с КА системы координат.

Пусть сферический маятник массы та в момент времени t находится в точке а. Пусть точка d— точка подвеса (центр кривизны) сферического маятника, и маятник подвешен на абсолютно твердом стержне в сферическом подшипнике без трения. Тогда система дифференциальных уравнений относительного движения сферического маятника в векторной форме имеет вид:

V = ±S>(rda) - + [БЫ - ri2S2(rda)S(rpd)]

+r£&{?da)S2(u,)rfd - S2(u)rda - 2S,(w)rpo.

(1)

В (1) первое слагаемое в правой части уравнения определяет влияние кажущегося ускорения КА на относительное движение сферического маятника, второе слагаемое в правой части уравнения определяет влияние угловой скорости вращения КА на относительное движение сферического маятника. Последние слагаемое в правой части уравнения связано с ускорением Кариолиса точки а. Оставшиеся слагаемые в правой части уравнения связаны с представлением относительного

dVpa d?rm СрГор

движения сферического маятника в виде разности ^ = ---~~

и переносным ускорением точек and.

Дифференциальные уравнения движения математического маятника получаются из дифференциальных уравнений сферического маятника.

Математический маятник движется только в плоскости колебаний с единичным вектором нормали п. Учитывая свойства определенной выше матрицы S (г), получим дифференциальные уравнения относительного движения математического маятника в векторной форме в виде:

1 rfir

Гра = +

+ №*,) ~ è-^(rdo)(-S2(n))S(rpd)]^+ (2)

da аъ

+—&{räa){-S2{n))S2{u>)rpd - - 2S(uj)rpa

rda

Для компьютерного моделирования движения КА с учетом гидродинамики при разделении КА разработан механический аналог гидродинамики в виде движения в баке КА материальной точки массы та с ускорением, заданным некоторым отношением (авторы - А.В.Владимиров, Ю.Т. Шлуинский, O.P. Рогова). В диссертации предложено обобщение этой математической модели.

Введем следующие обозначения:

А— геометрический центр бака КА;

В, D— произвольные точки внутри бака КА;

Ь— геометрический центр газового пузыря в баке КА;

к— коэффициент заполнения бака КА;

F— сила взаимодействия газового пузыря со стенкой бака К А модель "пружина-демпфер":

Г -

а~ 1 + 2(1 -кУ

Тогда:

dVop 1 1 - к duj

Гра = Ga-^Г - S(-krpA + GarpD-rpa--^рВ)~ + ^ ^

+52(ш)(-грл + GarpD -Гра--тгГрв)) - 2S(üj)rpa + —.

К К 771а

В (3) если В = D = А, то (3) совпадает с моделью, разработанной А.В.Владимировым, Ю.Т. Шлуинскиим, O.P. Роговой.

Все уравнения относительного движения материальных точек получены и в подвижной системе координат.

Выражения для ускорения материальных точек из (1), (2) и (3) подставляются в дифференциальные уравнения движения твердого тела.

Полученные системы дифференциальных уравнений движения имеют следующую структуру:

Яг(

ю

(г)

т

¿С]

~ж

ðР, _ (г)

<Ргп

(4)

(Й2

Л

В (4) первые два векторных дифференциальных уравнения является системой линейных алгебраических уравнений относительно производит-^ йш

ных ..„ и —. Для каждой модели движения материальных точек

Л2

¿Ь

определены матрицы НтР\ и векторы Так, как

матрицы, стоящие перед производными являются представлением массы и тензора инерции, то система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение. Результат решения этой системы линейных алгебраических уравнений можно представить в виде:

/ сРг,

ар

\

Ф2 аи>

И

нР н^

т

(т)

нР

2(г) ,СП

(5)

Полученные в (5) значения и

подставляются в правую часть

дифференциальных уравнений (1), (2) и (3).

Полученные значения производных являются входными данными для численного интегрирования систем дифференциальных уравнений движения КА.

Обратим внимание, что (5) и последнее дифференциальное уравнение из (4) образуют систему дифференциальных уравнений движения связанной с КА системы координат. Поэтому в дальнейшем движение КА рассматривается не как движение физического объекта, а как движение связанной с КА системы координат. Используя такой подход к движению КА, во второй главе будем решать задачу построения математической модели изменения количества движущихся КА в задаче математического моделирования разделения КА.

Разработанная интегрированная математическая модель движения КА с внутренней динамикой в виде маятников адекватно моделирует

движение КА с жидкими компонентами топлива в баках в тех же условиях, что и математические модели Г.С. Нариманова и Л.В. Докучаева.

Основным результатом первой главы является интегрироваиная математическая модель движения КА с внутренней динамикой на различных участках полета.

Во второй главе диссертации решается задача, порожденная двумя проблемами, возникающими при математическом моделировании динамики КА:

1) при математическом моделировании разделения КА меняется количество независимо движущихся КА. Особым случаем является моделирование аварийной ситуации, когда один из КА не отделился, причем априорно не известно, какой именно;

2) при математическом моделировании движения КА требуется осуществлять переходы из одной системы координат в другую. Исходные данные по параметрам движения КА задаются в декартовых и в угловых координатах. Массы, моменты инерции и геометрические характеристики каждого КА заданы в собственных координатах (в связанной с КА системе координат). Результаты расчетов должны быть представлены в заданных системах координат.

Как было отмечено выше, движение КА рассматриваем как движение систем координат. Между системами координат устанавливаются иерархические отношения "ведущая-ведомая". Из систем координат по каждому отношению строится древовидная структура.

Ориентированный граф Т с множеством вершин V = {г;о, VI, VI, ...,^-1}, 1 ^ Аг < оо будем называть древовидной структурой, если:

• из каждой вершины в Т исходит только одна дуга;

• в Т существует единственная вершина, из которой исходит петля;

• при исключении петель в Т и замене дуг в Т на ребра Т станет деревом.

Исследованы свойства древовидной структуры. Ниже перечислены те из них, которые являются важнейшими для моделирования отношений между системами координат.

Обозначим с помощью Т{г,]) кратчайший путь из вершины г>,- в вершину V} и с помощью Ь{г)— длину пути Т(г, 0).

Утверждение 1. Существует единственный путь Т(г, 0), который является простым элементарным путем.

Пусть в вершину ^ в Т не заходит ни одна дуга. Тогда множество вершин Д-, входящих в дуги кратчайшего пути Т(г, 0), назовем ветвью древовидной структуры Т.

Утверждение 3. Каждая ветвь древовидной структуры Т - вполне упорядоченное множество.

Из утверждений 1 и 3 следует, что для любых двух вершин древовидной структуры можно составить единственный кратчайший путь из одной вершины в другую. Алгоритм построения такого пути приведен в диссертации.

Будем говорить, что между вершинами и,- € V и ^ 6 V задано отношение в в Т, если Ь{г) — Ь{у).

Утверждение 5. Отношение й между вершинами древовидной структуры Т задает отношение эквивалентности на множестве V вершин древовидной структуры Т.

Пусть И С V. Пусть для любого и,- & Ц выполнено Ь(г) = I. Тогда множество Ц будем называть множеством уровня I древовидной структуры Т.

Множества уровня древовидной структуры используются для разработки исключающего возникновение циклов алгоритма построения древовидной структуры систем координат в задаче моделирования движения КА. Опишем этот алгоритм на примере отношения "ведущая-ведомая" порожденного задачей пересчета координат:

1) задаем абсолютную систему координат в рассматриваемой задаче движения КА. Это множество уровня 0 древовидной структуры;

2) определяем все системы координат, у которых координаты записаны в абсолютной системе координат, это множество уровня 1 древовидной структуры;

3) определяем все системы координат, у которых координаты записаны в какой-либо системе координат из множества уровня 1 древовидной структуры, это множество уровня 2 древовидной структуры;

4) выполняем действия п.1 и п.2 пока не закончатся системы координат;

5) каждой системе координат из множества уровня г(г = 1..И) выбираем "ведущую" систему координат из множества уровня г — 1

древовидной структуры, для системы координат множества уровня О древовидной структуры "ведущей" является система координат из множества уровня 0.

На Рис. 2.1 представлена древовидная структура с ветвью {^4, и множествами уровней древовидной структуры.

уровеньО

А 4 уровень 1С

/

IV, С г ' уровень 2 { РЧ

уровень 3 (} V)

уровень 4

Рис. 2.1. Древовидная структура.

Использование структур типа дерево для описания движения систем связанных тел было предложено Й. Виттенбургом. Отметим основные отличия предложенной в диссертации древовидной структуры от структур типа дерево Виттенбурга:

1) алгоритм построения древовидной структуры исключает возможность возникновения цикла в структуре при ошибочном вводе данных на ЭВМ;

2) алгоритм поиска пути между двумя вершинами в древовидной структуре не требует поиска по матрице инцидентности и, следовательно, работает быстрее;

3) ориентированность структуры типа дерево обусловлено необходимостью задать порядок обхода вершин, и не является способом описания отношения между объектами, поэтому структура типа дерево не может напрямую быть применена для построения алгоритмов пересчета координат.

В подходе Й. Виттенбурга система координат "привязана" к объекту, а не наоборот, как в древовидной структуре.

В углах Эйлера-Крылова существуют шесть различных последовательностей поворотов осей системы координат. В диссертации для

перехода от направляющих косинусов к углам Эйлера-Крылова и наоборот, предложен алгоритм, использующий число инверсий в порядке поворотов КА вокруг осей связанной системы координат. Это позволило записать формулы пересчета координат для всех шести последовательностей поворотов в единой форме.

Обозначим

7угол поворота вокруг /—ой оси СК;

(i,j, к)— последовательность поворотов;

а— число инверсий в последовательности (г, j, к);

aim— элементы матрицы направляющих косинусов;

Тогда элементы матрицы направляющих косинусов определяются для любой последовательности поворотов следующим образом:

aki = (-l)^1 siri7j, an = cos7^ cos it, akk = cos 7,- cos 7; ay — (—l)crcos7j sin7¡, ац - (-l)ff cos7¿sin7fc

ajj — costi cos7fc + (-1)17 sin 7, sin 7; shi7¡t Щк — sin 7¿ sin7jt + ( -1)" sin7j cos 7, cos jk a,jk = (- 1)<T+1 sin 7i cos 7jt + sin 7j cos 7¡ sin 7/; a¡j — (-l)a+1 cos 7i sin7a + sin7,- sin7¿ cos 7¿

В диссертации приведен алгоритм определения углов Эйлера-Крылова по заданной матрице направляющих косинусов и заданной последовательности поворотов.

Основным результатом второй главы является использование исследованных свойств древовидной структуры для описания иерархических отношений между системами координат.

Третья глава диссертации посвящена математическому моделированию движения КА на активном участке полета и на участке разделения.

В третьей главе диссертации разработанные в первых двух главах диссертации математические модели применяются для моделирования движения КА на активном участке полета с работающем маршевым двигателем и при разделении КА.

Для моделирования пространственного движения КА на активном участке полета с учетом гидродинамики в баках КА и упругих колебаний подвески маршевого двигателя разработана математическая модель, которая является математической моделью пространственного движения твердого тела, объединенной с маятниковой моделью малых колебаний жидких компонентов топлива в баках КА в форме Г.С. Нариманова.

Для моделирования пространственного движения КА на участке разделения с учетом гидродинамики в баках КА разработана математическая модель, которая является математической моделью пространственного движения твердого тела объединенной с обобщенной "пузырьковой моделью" (3).

Для моделирования реконфигурации групп движущихся объектов используется изменение отношений "ведущая-ведомая" между системами координат. Для систем координат задаются два отношения "ведущая-ведомая":

1) отношение, порожденное пересчетом координат из одной системы координат в другую (древовидная структура 1);

2) отношение, порожденное конфигурацией группы КА - "состыкованы" или "расстыкованы" (древовидная структура 2).

Для каждого отношения между системами координат строится древовидная структура. На Рис. 2.2 показаны древовидные структуры систем координат до момента разделения КА.

^ скз х,

У, /

/ , СК2

СК1 зс, КА2

---^увит

................... рМ^игтЯуьчет

Рис. 2.2. Древовидные структуры систем координат до момента разделения КА.

Древовидная структура 1 задается ссылкой р8ув1ет, а древовидная структура 2 - ссылкой pMasterSystem. Древовидная структура 1 используется только для пересчета координат.

Древовидная структура 2 используется для определения КА, для которого будут интегрироваться дифференциальные уравнения движения.

На Рис. 2.3 показаны древовидные структуры систем координат после момента разделения КА.

pSystem pMasterSystem

Рис. 2.3. Древоввдные структуры систем после разделения КА.

При применении древовидной структуры 2 осуществляется обход всех систем координат в соответствии с принятой системой обхода. При обходе с каждой системой координат осуществляются следующие действия.

1. Если у выбранной системы координат существует ссылка pMasterSystem, то эта система координат пропускается (СК1 и СК2 на Рис. 2.2).

2. Если у выбранной системы координат нет ссылки pMasterSystem и она является связанной с КА системой координат, то интегрируются уравнения поступательного движения полюса и углового движения координатных осей этой системы координат (СК1 и СК2 на Рис. 2.3).

3. Если у выбранной системы координат нет ссылки pMasterSystem (СКЗ на Рис. 2.2), но существуют системы координат с ссылками pMasterSystem на выбранную систему координат (СК1 и СК2 на Рис. 2.2), то все КА, с которыми связаны системы координат, имеющие ссылку pMasterSystem на выбранную систему координат (КА1 и КА2 на Рис. 2.2), "объединяются" в один КА (КА1+КА2 на Рис. 2.2), с которым связана выбранная система координат. Интегрируются уравнения поступательного движения полюса и углового движения координатных осей этой системы координат (СКЗ на Рис. 2.2).

4. Если на выбранную систему координат нет ни одной ссылки pMasterSystem и она не является связанной ни с одним КА, то инте-

грируются уравнения поступательного движения полюса и углового движения координатных осей этой системы координат с нулевой правой частью (СКЗ на Рис. 2.3).

В главе описаны методы моделирования неопределенностей в исходных данных задачи имитационного моделирования движения КА. Неопределенные параметры задаются диапазоном возможных значений и считается, что они являются независимыми, имеют симметричное распределение относительно среднего значения диапазона. Для моделирования таких неопределенностей в диссертации использован так называемый принцип равномерности, обоснованный в работах B.R. Barmish, Ю.С Кана и А.И. Кибзуна. Из принципа равномерности следует, что если о некотором случайном векторе известно лишь множество его возможных значений, то распределение вектора следует принимать равномерным на этом множестве. В работах Ю.С.Кана показано, что если задать высокий уровень надежности а и использовать квантильную оценку функции точности выдерживания параметров движения КА в области заданных значений, то при малом риске на уровне 1 — а можно существенно (на порядки) уменьшить диапазон разбросов параметров движения КА по сравнению с гарантирующем подходом. Это очень важно потому, что уменьшение разбросов параметров движения КА при гарантирующем подходе связано с ужесточением требований по разбросам исходных данных, что ведет к усложнению и удорожанию КА. Моделирование исходных данных рассмотрено на примере моделирования двигательной установоки КА (как наиболее комплексного объекта).

Исходные данные для двигательной установки КА моделируются следующим образом:

1) масса ДУ < те < ттах, те = mmi„ + Ai(m max ТПmin)i Ai— реализация равномерно распределенной на отрезке [0,1] случайной величины;

2) ТЯГа ДУ: Рщгп ^ Ре ^ Pmaxi ОДе Ре — P-min А2(Рпах Рmn)i & А2— реализация равномерно распределенной на отрезке [0,1] случайной величины;

3) секундный расход топлива ДУ: rhmj„ < rhe ^ mmax, где тпе = rnmin + A(mmax — mmin), а A3— реализация равномерно распределенной на отрезке [0,1] случайной величины;

4) проверяется, что полученная тяга и секундный расход топлива

согласуются с диапазоном возможных значений импульса ДУ: ре = —.

те

Если полученная реализация импульса удовлетворяет условию рт{п ^

^ Ре ^ Ртах, т0 смоделированные тяга и расход топлива принимаются. Иначе, моделирование тяги и расхода топлива повторяется.

5) аналогично моделируются направление тяги ДУ, точка приложения тяги двигателя, а также набор тяги при включении ДУ и спад тяги при выключении ДУ.

Общее количество случайных параметров при моделировании движения КА с внутренней динамикой достигает 200.

После проведения имитационного моделирования проводится статистическая обработка результатов. Обозначим с помощью t объем выборки значений терминальной точности движения К А, полученной с помощью имитационного моделирования. Тогда для оценки вероятности обеспечения терминальной точности используется частота —

^)/£ события состоящего в том, терминальная точность выше уровня ¡р.

В свою очередь, терминальная точность при имитационном моделировании движения КА характеризуется оценкой квантили уровня а, вычисляемой следующим образом.

1) Если объем выборки t > [1/(1 — ее)], то вычисляется выборочная оценка квантили Фа — где порядковая статистика с номером [аЬ] + 1.

2) Если объем выборки г = [1/(1 - а)], то вычисляется экстремальная порядковая оценка квантили: Фг{а) = ц(Ф\—Ф\_{), где /х- константа Эйлера;

3) Если объем выборки t < [1/(1 — а)], то используется бутстреп-оценка, основанная на искусственном "размножении" исходной выборки.

На модельных данных было проведено сравнение методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений - явного метода Эйлера и метода Адамса-Башфорта. Так как в настоящее время в системах управления КА используется БЦВМ, то шаг интегрирования систем дифференциальных уравнений движения КА не может превышать такт БЦВМ, который составляет примерно 0.03с.. В этих условиях время счета на ЭВМ при использовании обоих методов было одинаковым. Точность так же оказалась одинаковой. Однако, разработанные в диссертации модели движения могут быть дополнены случайными возмущениями в правой части дифференциальных уравнений (учет воздействий атмосферы, например). В этом случае известно, что явный метод Эйлера является устойчивым.

В четвертой главе диссертации описаны структуры данных и

межпрограммные связи разработанного комплекса программ компьютерного моделирования движения КА на различных этапах полета с использованием математических моделей движения КА с внутренней динамикой из главы 3 диссертации. Приведены численные примеры результатов моделирования движения КА на участке полета с работающем маршевым двигателем и на участке разделения.

Общая схема моделирования движения КА при использовании разработанного комплекса программ имеет вид:

1) ввод пути к исходным данным;

2) ввод конфигурации моделирования;

3) инициализация глобальных переменных;

4) ввод исходных данных для моделей объектов;

5) инициализация объектов, связывание систем координат;

6) установление обмена данными между объектами моделирования и подпрограммой численного интегрирования СДУ;

7) присваивание счетчику реализаций по методу Монте-Карло значения 0;

8) увеличение счетчика реализаций по методу Монте-Карло на 1;

9) определение интервала интегрирования;

10) восстановление начальных условий для систем координат;

11) моделирование реализаций неопределенных параметров;

12) установлене начальных условий для численного интегрирования СДУ;

13) вызов подпрограммы численного интегрирования СДУ;

14) проверка кода возврата из подпрограммы численного интегрирования СДУ; если код возврата больше 0, то выход в подпрограмму обработки кодов возврата и завершение программы;

15) запись результатов численного интегрирования в параметры движения объектов;

16) сравнение счетчика реализаций с максимальным значением, если счетчик реализаций превосходит максимальное значение, то завершаем программу, если нет, то переходим к п.8..

Подпрограмма численного интегрирования вызывает подпрограмму, которая осуществляет приведение системы дифференциальных уравнений движения к форме Коши и вычисляет значение правой части системы дифференциальных уравнений.

Проведенное имитационное моделирование для модельных исходных

данных показало работоспособность разработанного комплекса программ, в частности, оказалось, что полученные при имитационном моделировании статистические результаты не противоречат данным телеметрии, полученным по результатам реальных пусков.

Приложение содержит исходные коды FORTRAN программ моделирования древовидной структуры систем координат, вычисления правой части систем дифференциальных уравнений движения в задаче моделирования разделения КА и моделирования движения КА на активном участке полета.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1) построена интегрированная математическая модель движения КА с внутренней динамикой на различных участках полета [3,4,5,6,8,9,12];

2) предложена и исследована древовидная структура систем координат и групп подвижных объектов [2,13];

3) разработаны методы и алгоритмы реконфигурации группы подвижных объектов с использованием древовидной структуры [2,6,4,10,12,13];

4) выработаны рекомендации по применению методов оценивания квантили случайной величины для оценки точности движения КА и проведен статистический анализ входых случайных факторов [1,8,12];

5) разработан комплекс программ для статистического моделирования движения КА с внутренней динамикой [8,9,10,11].

Публикации в журналах из перечня ВАК

2) Мирошкин В.Л. Алгоритм квартального оценивания неизвестного параметра // Теория и системы управления, 1996, No. 2, т.2, С. 56 - 80.

2) Мирошкин В.Л., Кибзун А.И. Об одном подходе к компьютерному моделированию движения группы связанных между собой объектов // Вестник Московского авиационного института, 2008, No. 2, т.2, С. 51 -58.

3) Кибзун А.И., Мирошкин В.Л. Об одной математической модели движения К А в декартовых координатах/ / Математическое моделирование, 2009, №6, т.21, С.17-27.

Публикации в других изданиях

4) A.I. Kibzun. Yu.T. Shluinskiy, Yu.S. Кап, V.L. Miroshkin Probabilistic analysis of spacecraft separation from the launch-vehicle

// Konferencja Awioniki, Zeszyty Naukowe Politechniki, 1998, No. 168, pp. 493 - 499.

5) Кибзуи А.И., Шлуинский Ю.Т., Кап Ю.С., Мирошкин B.JI. Принципы моделирования и вероятностный анализ систем разделения космических аппаратов.// "Бортовые интегрированные комплексы и современные системы управления", Ярополец: МАИ, 1998, С. 46-48.

6) Кибзун А.И., Мирошкин B.JI. О проблемах математического моделирования движения космических аппаратов с жидким топливом.// тезисы докладов 6-й межд. конф. "Системный анализ и управление космическими комплексами", Евпатория, 2001, С. 44.

7) Кибзун А.И., Мирошкин B.JI. Об эффективных алгоритмах вычисления интеграла Лапласса на ЭВМ// тезисы 7-й межд. конф. "Системный анализ и управление", Евпатория, 2002, С. 38.

8) Кибзун А.И., Мирошкин B.JI. Моделирование динамики КА в задаче вероятностного анализа динамики КА// сборник тезисов 8-й межд. конф. "Системный анализ и управление", Евпатория, 2003, С. 120.

9) Кибзун А.И., Мирошкин B.JI. О проблемме обработки данных при разработке программного обеспечения для имитационного моделирования динамики КА// тезисы 9-й межд. конф. "Системный анализ и управление", Евпатория, 2004, С. 44.

10) Кибзун А.И., Кузнецов Е.А., Мирошкин B.JI. Программное обеспечение вероятностного анализа динамики КА на различных участках полета// тезисы 10-й межд. конф. "Системный анализ, управление и навигация", Евпатория, 2005, С. 155.

11) Кибзун А.И., Кан Ю.С., Мирошкин B.JI. Вероятностный анализ динамики космических аппартов// тезисы докладов 11-й межд. конф. "Системный анализ, управление и навигация", Евпатория, 2006, С. 1415.

12) Кибзун А.И., Мирошкин B.JI. Об одном подходе к разработке программного обеспечения для имитационного моделирования динамики К А// тезисы докладов 12-й межд. конф. "Системный анализ, управление и навигация", Евпатория, 2007, С. 118.

13) Кибзун А.И., Мирошкин B.JI. Математическая модель изменения конфигурации группы КА// тезисы докладов 13-й межд. конф. "Системный анализ, управление и навигация", Евпатория, 2008, С. 251.

Подписано в печать 5.05.09. Формат 60x90 'Дб-Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 59.

125080, Москва, Волоколамское ш., 11 Издательский комплекс МГУПП

Введение

1 Математические модели движения К А

1.1. Основные обозначения.

1.2. Уравнения движения твердого тела переменной массы с движущимися материальными точками.

1.3. Математические модели относительного движения материальных точек в декартовых координатах.

1.3.1. Уравнения относительного движения сферического маятника в декартовых координатах

1.3.2. Уравнения относительного движения математического маятника в декартовых координатах

1.3.3. Уравнения относительного движения подвижных материальных точек при заданных отношениях абсолютных ускорений.

1.4. Уравнения движения КА с внутренней динамикой в декартовой системе координат.

1.4.1. Уравнения движения твердого тела содержащего сферические маятники в декартовой системе координат

1.4.2. Уравнения движения твердого тела содержащего математические маятники в декартовой системе координат.

1.4.3. Уравнения движения твердого тела с движущимися по заданному соотношению материальными точками в декартовой системе координат.

1.5. Система дифференциальных уравнений движения К А в декартовых координатах в форме Коши.

2 Математическая модель систем координат и конфигурации группы К А

2.1. Древовидная структура систем координат.

2.1.1. Введение.

2.1.2. Постановка задачи.

2.1.3. Древовидная структура и ее свойства.

2.1.4. Применение древовидной структуры для описания отношения "ведущая-ведомая" между системами координат.

2.2. Связь между направляющими косинусами и углами

Эйлера-Крылова.

2.2.1. Введение.

2.2.2. Определение матрицы направляющих косинусов по заданным углам Эйлера-Крылова.

2.2.3. Определение углов Эйлера-Крылова по заданной матрице направляющих косинусов.

3 Математическое моделирование движения КА

3.1. Математическое моделирование движения КА с гидродинамикой в баках на участке полета с работающем маршевым двигателем.

3.1.1. Основные допущения

3.1.2. Дифференциальные уравнения движения К А

3.2. Математическое моделирование движения К А с гидродинамикой в баках на участке разделения.

3.2.1. Основные допущения

3.2.2. Дифференциальные уравнения движения К А

3.2.3. Построение и применение древовидной структуры для отношения "ведущая-ведомая", порождаемого задачей пересчета координат.

3.2.4. Построение и применение древовидной структуры для отношения "ведущая-ведомая", порождаемого изменением конфигурации группы К А

3.3. Методы моделирование исходных данных и обработки результатов компьютерного моделирования движения К А

3.3.1. Моделирование исходных данных

3.3.2. Обработка результатов компьютерного моделирования движения КА.

3.3.3. Выборочная оценка вероятности.

3.3.4. Оценки квантили.

Комплекс программ моделирования движения КА с внутренней динамикой 106 4.1. Структура комплекса программ компьютерного моделирования движения К А.

4.2. Пример 1. Моделирование и анализ программной стабилизации К А.

4.3. Пример 2. Сравнение методов численного интегрирования систем дифференциальных уравнений движения КА

4.4. Пример 3. Оценивание расстояния между КА на заданный момент времени при разделении К А.

Объектом исследования в диссертационной работе является движение космических аппаратов (КА) с жидкими компонентами топлива в баках при наличии разбросов на характеристики конструктивных элементов КА на различных этапах полета КА.

Целью работы является разработка математических моделей и комплекса программ на их основе для проведения компьютерного моделирования движения КА на различных этапах полета КА по методу Монте-Карло.

Математическое и компьютерное моделирование является высокоэффективным и относительно низкозатратным методом исследования сложных систем. Особую важность математическое и компьютерное моделирование приобретают при исследовании таких сложных технических систем, для которых проведение натурного моделирования является трудоемкой и дорогостоящей процедурой. К таким сложным системам относится космическая техника. Применительно к космической технике, как к сложной технической системе, одной из задач моделирования является моделирование движения космического аппарата. Результаты моделирования движения КА используются для оценки успешности выведения КА по заданной схеме выведения, оптимальности компоновочных решений КА, исследования движения К А в аварийных случаях. В ряде случаев, например, на этапе эскизного проектирования или при наличии уникального КА, математическое и компьютерное моделирование является единственным способом исследования сложной технической системы. Для проведения математического и компьютерного моделирования движения К А, в первую очередь, необходимо выбрать математическую модель КА (как физического объекта), математическую модель движения К А и математическую модель системы отсчета, относительно которой рассматривается движение.

Выбор математической модели КА как физического объекта определяется постановкой задачи анализа движения К А и является компромиссом между сложностью математической модели движения КА и ее адекватностью. Задачи анализа движения КА можно разделит на два основных класса:

• задачи баллистики КА - исследование движения КА на активном участке траектории, исследование движения КА на переходных участках траектории, выбор формы траектории КА, определение начальных данных для пуска КА,;

• задача исследования динамической устойчивости КА - сохранение К А заданной траектории полета при воздействии возмущений.

Основные задачи баллистики описаны, например, в [1,6,47,48]. Применительно к КА в следует выделить следующие задачи [47]:

1. исследование зависимости летных характеристик К А от конструктивных параметров с целью выбора наилучшего по заданному критерию сочетания этих параметров;

2. определение траектории и других других основных характеристик движения КА с известными конструктивными параметрами и системой управления при заданных прицельных данных;

3. исследование влияния различных возмущающих факторов на активном участке полета;

4. выбор номинальной траектории, обеспечивающей наилучшее использование возможностей К А.

Для решения задач баллистики применяются модели движения КА в виде математических моделей движения твердого тела или материальной точки.

Для решения задач динамической устойчивости используется подход, разработанный в 60-х - 70-х годах прошлого века. Этот подход к математическому моделированию движения КА с жидкостью в баках включает в себя разделение движения КА на невозмущенное и возмущенное. Под невозмущенным движением понимают программное движение, реализующееся при упрощающих предположениях, характерных для постановки задачи внешней баллистики (движение материальной точки переменной массы), при номинальных параметрах объекта и отсутствии возмущающих сил и моментов. Отметим, что значения параметров программного движения определяются до пуска и не подлежат какому-либо изменению или уточнению в процессе движения К А. Под возмущенным движением понимают движение, характеризующееся разностями между параметрами истинного и невозмущенного движений. Предполагается, что эти разности — малые величины в том смысле, что можно пренебречь их произведениями, квадратами и более высокими степенями по сравнению с членами, линейно зависящими от параметров движения, а также квадратами и более высокими степенями соответствующих производных по времени

43, 57, 62]. Возмущенное движение в описанных условиях называют малым [57]. Сделанные предположения позволяют линеаризовать уравнения возмущенного движения КА по величинам этих параметров и получить линейные по параметрам движения уравнения движения К А. Впервые механический аналог твердого тела с полостью, частично заполненной жидкостью, для линейных уравнений движения был предложен Б.И. Рабиновичем в виде эквивалентного твердого тела и совокупности математических маятников [53]. В модели Б.И. Рабиновича уравнения для возмущенного движения с колебаниями жидкости записываются относительно точек, являющимися аналогами метацентров, для так называемой "плавающей крышки". Результаты работ по обоснованию и исследований этой модели изложены в [53,54]. Методы практического применения этой модели изложены в [62], первое издание которой вышло в 1975г.

Г.С. Наримановым была предложена математическая модель для возмущенного движения в виде эквивалентного твердого тела и совокупности математических маятников, уравнения которой записаны относительно центра масс невозмущенной системы "тело-математический маятник" в предположении "жесткой крышки". Результаты работ по обоснованию и исследований этой модели изложены в [43]. Эти уравнения движения получили более широкое применение по сравнению с уравнениями Б.И. Рабиновича. Связь между уравнениями Г.С. Нариманова и Б.И. Рабиновича приведена в [43,62]. ,

Рассмотренный выше подход используется для моделирования возмущенного движения КА на активных участках полета при использовании программного управления. Разрабатываемые в настоящее время КА имеют существенное отличие от предшественников. Это отличие, в частности, заключается в том, что их наведение на активном участке траектории осуществляется по так называемому "кусочно программному" методу наведения. При таком наведении в процессе движения КА в заранее (до пуска) определенные моменты времени по текущим значениям параметров движения КА и прогнозируемому промаху рассчитываются новые значения параметров программного движения КА. Это означает, что значения параметров программного движения КА зависят от истинного движения КА. Следовательно, для математического моделирования движения на активном участке полета КА с такой системой управления необходимо "объединение" математических моделей невозмущенного и возмущенного движения КА для адекватного моделирования истинного движения КА. Одним из подходов к этой задаче при учете колебаний жидких компонентов топлива в баках КА является объединение моделей пространственного движения твердого тела и колебаний математических маятников Г.С. Наримановаи сферических маятников JI.B. Докучаева .

Повышение требований по точности терминальных параметров движения КА требует использования более точных моделей возмущенного движения РН и КА. В [17,18] предложена нелинейная модель возмущенного движения осесимметричного К А, как движение твердого тела с подвешенным в нем сферическим маятником. В [57] ранние работы посвященные исследованию этой модели были обобщены, приведено обоснование применимости модели и получены условия, при которых колебания сферического маятника эквивалентны колебаниям жидкости. Однако, примененный в [57] вывод уравнения движения сферического маятника не позволил получить векторное уравнение движения сферического маятника в форме Коши, что важно для разработки программного обеспечения для компьютерного моделирования движения КА. Отчасти, возможно, это связано с тем, что в первую очередь уравнения движения сферического маятника должны были быть приведены к форме, удобной для их аналитического исследования и сравнения с полученными уравнениями движения жидкости. Для разработки программного обеспечения компьютерного моделирования движения КА в рамках объектно-ориентированно подхода нужна запись векторных уравнения движения КА в форме Коши.

В отличие от движения КА на активном участке полета, до середины 90-х годов прошлого века на участке разделения КА рассматривался как твердое тело, а движение КА рассматривалось как пространственное движение твердого тела. Наиболее полно вопросы математического моделирования движения КА на этапе разделения рассмотрены в [44]. Основными требованиями к процессу разделения являются:

• надежное и безопасное отделение без соударения КА от РБ;

• выполнение ограничений на параметры движения КА после отделения.

Во второй половине 90-х годов прошлого века резко возросло количество коммерческих запусков КА. Особенностью коммерческого К А является то, что его при его разработке вопрос о стыковке К А с конкретным разгонным блоком (РБ) не рассматривается. В результате, при стыковке коммерческого КА и РБ между их конструктивными элементами часто остаются очень малые зазоры. В связи с этим резко возросли требования по точности моделирования движения КА в процессе отделения. Оказалось, что заметное влияние на относи> тельное движение КА в процессе отделения оказывает гидродинамика компонентов топлива в баках отделяемого КА.

В середине 90-х годов прошлого века в ФГУП ГКНПЦ им. М.В. Хруничева была разработана так называемая "пузырьковая"модель гидродинамики компонентов жидкого топлива в баках КА [15,74]. В этой модели движение жидкости заменяется механическим аналогом в виде движения материальной точки, ускорение которой определяется ускорением некоторой точки бака. Вопрос о выборе точки бака, определяющей ускорение материальной точки, не имеет на сегодняшний момент строгого обоснования. Поэтому возникает задача оценки адекватности пузырьковой модели при моделировании движения КА на участке разделения.

Количество отделяемых КА может быть различно. Так, например, при выведении спутников системы "Иридиум" происходило одновременное отделение от РБ трех или семи спутников. Совокупность всех КА в задаче математического и компьютерного моделирования движения КА в процессе отделения или стыковки будем называть группой К А. Из примера спутников "Иридиум" следует, что в настоящее время один запуск ракеты-носителя (РН) часто используется для вывода на орбиту нескольких спутников. На маршевом участке полета движется один объект - орбитальный блок (ОБ). На этапе разделения ОБ происходит изменение количества движущихся объектов. Рассмотрим, для определенности, отделение спутников от РБ. До отделения -движется один орбитальный блок (ОБ), а после отделения - ОБ и одна ступень РН или РБ и несколько спутников. При этом физические параметры (масса, моменты инерции) ОБ, с одной стороны, и, РБ и отделившихся спутников, с другой стороны, должны быть согласованы. Таким образом, при математическом и компьютерном моделировании движения группы К А необходимо, во-первых, решить следующую задачу: разработать алгоритм формирования математической модели ОБ по математическим моделям РБ и спутникам при априорно неизвестном количестве совместно движущихся объектов. Кроме того, для описания движения КА применяются различные системы координат. В одной задаче может потребоваться использовать несколько систем координат для одного КА. Например, исходные данные задаются в так называемой строительной системе координат, поступательное движение - в инерциальной системе координат, угловое движение - в связанной системе координат, а результаты моделирования - в инерциальной системе координат. Таким образом, при математическом и компьютерном моделировании движения группы КА необходимо, во-вторых, решить следующую задачу: разработать алгоритм пересчета координат из одной системы координат в другую.

Таким образом, из изложенного выше следует, что задача разработки математических моделей, их программная реализация, математическое и компьютерное моделирование движения КА является актуальной задачей.

Цель работы - является разработка математических моделей и комплекса программ на их основе для проведения имитационного моделирования движения КА на различных участках движения с последующей обработкой результатов по методу Монте-Карло.

Основные результаты диссертации опубликованы в 3 статьях [31, 55,56] в журналах, входящих в перечень ВАК и в тезисах научных конференций [32-35,37-40,42,74].

Материалы диссертации были использованы при имитационном моделировании по методу Монте-Карло движения КА ссмейства "Астра", "Иридиум", "Темпо", "Телстар", "'Бриз-М".

Диссертация состоит из четырех глав, заключения, списка литературы (74 источника) и приложения. Объем диссертации составляет 134 машинописные страницы, 5 рисунков. Приложение содержит 31 страницу.

В Первой главе диссертации разрабатываются модели движения КА с внутренней динамикой в виде подвижных материальных точек и математические модели относительного движения материальных точек внутри КА. Для компьютерного моделирования уравнения движения КА из первой главы диссертации приведены к форме Коши.

Результатами первой главы являются:

• дифференциальные уравнения относительного движения сферического маятника в декартовых координатах;

• дифференциальные ^уравнения относительного движения математического маятника в декартовых координатах, как частный случай движения сферического маятника;

• дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки при заданном отношении ускорений;

• дифференциальные уравнения движения твердого тела, содержащего внутри себя сферические маятники;

• дифференциальные уравнения движения твердого тела, содержащего внутри себя математические маятники;

• дифференциальные уравнения движения твердого тела содержащего, внутри себя движущиеся по заданному отношению ускорений материальные точки;

• дифференциальные уравнения движения КА с внутренней динамикой в форме Коши;

Во второй главе диссертации разрабатывается математическая модель для формализации и решения возникающих при математическом и компьютерном моделировании описанных двух прорблем. Движение К А рассматривается как движение системы связанных между собой систем координат. Связи между системами координат описываются деревьями специального вида, названными в диссертации древовидными структурами. Предложенный подход предназначен для компьютерного моделирования движения группы объектов, которые в процессе движения могут разделяться или объединяться.

Результатами второй главы являются:

• введены отношение "ведущая-ведомая"для систем координат и ориентированный граф специальной структуры, названный древовидной структурой;

• исследованы свойства древовидной структуры;

• разработан исключающий возможность образования цикла алгоритм построения древовидной структуры для заданного отношения между системами координат;

• разработан единый для любой последовательности поворотов алгоритм перехода между направляющими косинусами и углами Эйлера-Крылова.

В третьей главе рассматривается математическое моделирование движения К А с внутренней динамикой. Приводятся условия применимости разработанных в первой главе математических моделей движения КА к моделированию движения КА с жидкими компонентами топлива в баках на различных этапах полета, строятся древовидные структуры для моделирования отношений между системами координат. В главе описаны методы моделирования неопределенностей в исходных данных задачи имитационного моделирования движения К А, и методы "обработки результатов имитационного моделирования движения К А.

Результатами третьей главы являются:

• разработаны математические модели и алгоритмы для моделирования движения КА с жидкостью на активном участке полета и на участке разделения;

• проведен анализ методов оценивания квантили случайной величины и выработаны рекомендации по применению методов оценивания квантили случайной величины для оценки точности движения КА.

В четвертой главе диссертации описаны структуры данных и межпрограммные связи разработанного комплекса программ компьютерного моделирования движения КА на различных этапах полета с использованием математических моделей движения КА с внутренней динамикой из главы 3 диссертации.

Выводы по результатам моделирования:

При точности стабилизации 1 градус:

Для ереднеинтегрального угла ориентации панелей батареи

• среднее значение - 7.43768 градуса;

• доверительный интервал ±3сг; - (7.36967,7.50569) градуса

• квантиль уровня 0.98 - 7.473723 градуса, уровня 0.9 - 7.466515 градуса;

Для времени неосвещенности панелей батареи

• среднее значение - 13.1545%;

• доверительный интервал ±3сг; - (13.1093%,13.1998%);

• квантиль уровня 0.98 - 13.1767%, уровня 0.9 - 13.1722%;

Для отклонений параметров движения КА от программных значений

• По углу крена - (-5.5, 5.5) градуса;

• По углу тангажа - (-2, 1) градуса;

• По углу рыскания - (-1.7, 1,1) градуса;

• По угловой скорости вращения вокруг оси ОХ - (-1, 1) градуса в секунду;

• По угловой скорости вращения вокруг оси OZ - (-0.03, 0.22) градуса в секунду;

• По угловой скорости вращения вокруг оси OY - (-0.04, 0.16) градуса в секунду;

При точности стабилизации 5 и 10 градусов, как было отмечено выше, было проведено всего по 10 реализаций для каждого из значений точности стабилизации. По такому количеству реализаций не возможно сделать корректные статистические выводы. Однако, качественная картина влияния ухудшения точности стабилизации на выполнение требований может быть прослежена.

При точности стабилизации 5 градусов

Для среднеинтегрального угла ориентации панелей батареи

• среднее значение - 10.13767 градуса;

• доверительный интервал ±3<т; - (9.684729,10.59061) градуса

• квантиль уровня 0.9 - 10.28364 градуса;

Для времени неосвещенности панелей батареи

• среднее значение - 13.1667%;

• доверительный интервал ±3сг; - (12.9713%, 13.3621%);

• квантиль уровня уровня 0.9 - 13.2346%;

При точности стабилизации 10 градусов

Для ереднеинтегрального угла ориентации панелей батареи

• среднее значение - 13.96817 градуса;

• доверительный интервал ±3а; - (12.73175,15.20459) градуса

• квантиль уровня 0.9 - 14.51306 градуса;

Для времени неосвещенности панелей батареи

• среднее значение - 31.9706%;

• доверительный интервал ±3ег; - (14.1649%,49.7763%);

• квантиль уровня уровня 0.9 - 39.9117%;

Необходимо обратить внимание на резкое увеличение процента времени неосвещенности панелей батареи при точности стабилизации 10 градусов по сравнению с точностями стабилизации в 1 и 5 градусов.

4.3. Пример 2. Сравнение методов численного интегрирования систем дифференциальных уравнений движения КА

Сравнение метода Адамса и метода Эйлера численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений для задачи компьютерного моделирования движения К А с внутреннкей динамикой было проведено при моделировании движения КА с работающем маршевым двигателем с моделью цифровой системы управления (такт БЦВМ - 0.03с) и номинальными (средними) значениями непоределенных факторов. Интервал движения КА на указанном участке полета, с [613.359,1204.0]. Определяются параметры движения К А, числовые значения которых приведены ниже, на момент выдачи команды на отключение маршевого двигателя. Момент выдачи команды на отключение маршевого двигателя определяется системой управления КА по достижению заданного значения специального критерия. Стабилизация К А по угловому движению осуществляется поворотом маршевого двигателя и шестнадцатью РДТТ малой тяги.

Вектор координат в ГИСК, км: метод Адамса ■ (-4264.898101,2710.775189,4229.674559) и метод Эйлера (-4265.045054,2710.690531,4229.595007); вектор скорости в ГИСК, м/с: метод Адамса (-5849.557333, -3753.422479, -3493.125079) и метод Эйлера (-5849.567940, -3753.398580, -3493.187913); апогей, км: метод Адамса 6594.597881 и метод Эйлера 6594.699450; эксцентриситет: метод Адамса 0.000351 и метод Эйлера 0.000357; фокальный параметр, км: метод Адамса 6592.281752 и метод Эйлера 6592.342014; большая полуось, км: метод Адамса 6592.282565 и метод Эйлера 6592.342856; малая полуось, км: метод Адамса 6592.282158 и метод Эйлера 6592.342435; масса, кг: метод Адамса 21155.705143 и метод Эйлера 21155.497852; долгота восходящего узла, градусы: метод Адамса 9.180947 и метод Эйлера 9.180478; аргумент перигея, градусы: метод Адамса 130.400462 и метод Эйлера 126.234981; радиус перигея, км: метод Адамса 6589.967248 и метод Эйлера 6589.986262; период обращения с: метод Адамса 5326.760851 и метод Эйлера 5326.833928; наклонение орбиты, градусы: метод Адамса 51.565684 и метод Эйлера 51.565916; момент выдачи команды на отключение маршевого двигателя с: метод Адамса 1193.557297 и метод Эйлера

1193.582663.

Из приведенных результатов видно, что разница между терминальными значениями параметров движения КА при применении метода Адамса и метода Эйлера несущественная. Однако, метод Эйлера применим в случае, если правая часть дифференциального уравнения содержит случайный процесс.

4.4. Пример 3. Оценивание расстояния между КА на заданный момент времени при разделении КА

Происходит разделение 2-х КА, один из которых имеет пустые топливные баки, а топливные баки второго КА имеют заполнение от 93% до 100%. Заданы разбросы на МИХ обоих КА. Необходимо оценить расстояние между КА на 2-ой секунде после разделения по продольной оси связанной с КА1 системы координат, вдоль которой происходит разделение.

Проведено имитационное моделирование. Получены 1000 реализаций. По реализациям получена выборочная оценка квантили расстояния уровня 0.99. По первым 100 реализациям получены выборочная и экстремальная порядковая оценки квантили расстояний.

По первым 100 реализациям получены следующие оценки. Выборочное среднее расстояние, м: 10.47095; оценка среднего квадра-тического отклонения расстояния, м: 0.113698, выборочная оценка квантили расстояния, м: 10.69072, значение экстремальной порядковой статистики расстояния, м: 10.69923.

По 1000 реализаций получены следующие оценки. Выборочное среднее расстояние, м: 10.4748; оценка среднего квадратического отклонения расстояния, м: 0.243298, выборочная оценка квантили расстояния, м: 10.71355. Увеличение оценки среднего квадратического отклонения связано с "выбросом"значения расстояния на 151 реализации. Значение расстояния на 151 раелизации равно 3.607337.

Данный пример показывает, на сколько важно для оценивания параметров движения КА получать выборку большого объема.

Заключение

1. построена интегрированная математическая модель движения КА с внутренней динамикой на различных участках полета;

2. предложена и исследована древовидная структура систем координат и групп подвижных объектов;

3. разработаны методы и алгоритмы реконфигурации группы подвижных объектов с использованием древовидной структуры;

4. выработаны рекомендации по применению методов оценивания квантили случайной величины для оценки точности движения КА и проведен статистический анализ входных случайных факторов.

5. разработан комплекс программ для статистического моделирования движения К А с внутренней динамикой;

1. Абгарян К. А., Раппопорт И.М. Динаимка ракет М., Машиностроение, 1990.

2. Арушанян О.Б., Залеткин С.В. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране.- М., изд-во МГУ, 1990.

3. Асриев А.В., Кибзун А.И. Практикум по статистичекому моделированию на ЭВМ М., изд-во МАИ, 1989.

4. Алексеев Л. И. К вопросу описания немалых движений твердого тела с полостями, частично заполненнными жидкостью. // Труды НИИ прикладной математики и механики при Томском университете, Томск, 1976, №7, С. 3-10.

5. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994.

6. Аппазов Р.Ф., Лавров С.С., Мишин В.П. Баллистика управляемых ракет дальнего действия. М.: Наука, 1966.

7. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М., Наука, 1987.

8. Боровков А.А. Математическая статистика. Новосибирск.: Наука, 1997.

9. Буч Г. Объектно-Ориентированное Проектирование. С примерами применения. ML: АО "И.В.К.", К.: Фирма "Диалектика" 1992.

10. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. М. Мир, 1980.

11. Верижбицкий В.М. Численные методы. М. Высшая школа, 2005.

12. Вишняков Б.В., Кибзун А.И. Применение и сравнение методов несглаженного и сглаженного бутстрепа для оценивания квантили // тезисы межд. конф. "Системный анализ, управление и навигация", Евпатория, 2008, С. 257 259.

13. Вишняков Б.В., Кибзун А.И. Применение метода бутстрепа для оценивания функции квантили // Автоматика и Телемеханика, 2007, No. 11. С. 46 60.

14. Вишняков Б.В., Кибзун А.И. Применение метода бутстрепа для оценивания терминальной точности движущегося объекта // тезисы межд. конф. "Системный анализ, управление и навигация", Евпатория, 2007, С. 132 133.

15. Владимиров А.В., Шлуинский Ю.Т., Рогова О.Р. Математическая модель процесса отделения КА от РН с учетом колебания жидкости в баках. // Информационные технологии в проектировании и производстве. М.:ВИМИ, 1999. No. 4. С. 66-69.

16. Галамбош Я. Асимптотическая теория экстремальных порядковых статистик. М.: Наука, 1984.

17. Докучаев Л. В. Анализ устойчивости нелинейных колебаний тела с жидкостью и эквивалентного тела со сферическим маятником// Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1977, №3, С. 21-27.

18. Докучаев Л. В. Механическая модель осесимметричного тела с жидкостью, совершающего нелинейные движения// Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1976, №2, С. 25-29.

19. Дэйвид Г. Порядковые статистики. М.: Наука, 1979.

20. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М., Наука, 1984.

21. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М., Наука, 1982.

22. Ефремов В.А., Кибзун А.И. Оптимальные экстремальные порядковые оценки квантили. // Автоматика и телемеханика, 1996, Я2 12, сс.3-15.

23. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: Высшая школа, 1992.

24. Кап А.В., Кан Ю.С. Гарантирующее доверительное оценивание параметров ряда распределений. // Вестник Московского авиационного института, 2008, 15, № 2, сс.45-50.

25. Кан Ю.С. Сравнение квантильного и гарантирующего подходов при анализе систем// Автоматика и телемеханика, 2007, №1, С. 57-67

26. Кан Ю.С., Сысуев А.В. Об обосновании принципа рвномерности в задаче оптимизации вероятностного показателя качества// Автоматика и телемеханика, 2001, №5, С. 77-88

27. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М., Наука, 1971.

28. Калиткин Н.Н. Численные методы. М., Наука, 1978.

29. Кибзун А.И., Курбаковский В.Ю. Численные алгоритмы кван-тильной оптимизации и их применение к решению задач с вероятностными критериями // Техн. кибернетика. 1991. No. 1. С. 75-81.

30. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. М., Высшая школа, 2008.

31. Кибзун А.И., Мирошкин В.Д. Об одной математической модели движения К А в декартовых координатах// Математическое моделирование, 2009, №6

32. Кибзун А.И., Мирошкин В.Л. Математическая модель изменения конфигурации группы К А// тезисы докладов 13-й межд. конф. "Системный анализ, управление и навигация", Евпатория, 2008, С. 251.

33. Кибзун А.И., Мирошкин В.Л. Об одном подходе к разработке программного обеспечения для имитационного моделирования динамики КА// тезисы докладов 12-й межд. конф. "Системный анализ, управление и навигация", Евпатория, 2007, С. 118.

34. Кибзун А.И., Кан Ю.С., Мирошкин В.Л. Вероятностный анализ динамики космических аппартов// тезисы докладов 11-й межд. конф. "Системный анализ, управление и навигация", Евпатория, 2006, С. 14-15.

35. Кибзун А.И., Кузнецов Е.А., Мирошкин В.Л. Программное обеспечение вероятностного анализа динамики КА на различных участках полета// тезисы 10-й межд. конф. "Системный анализ, управление и навигация", Евпатория, 2005, С. 155.

36. Кибзун А.И., Курбаковский В.Ю. Численные алгоритмы кван-тильной оптимизации и их применение к решению задач с вероятностными ограничениями. // Изв. РАН, техн. киберн., 1992, № 1, сс.75-81.

37. Кибзун А.И., Мирошкин В.Л. О проблемме обработки данных при разработке программного обеспечения для имитационного моделирования динамики К А// тезисы 9-й межд. конф. "Системный анализ и управление", Евпатория, 2004, С. 44.

38. Кибзун А. И., Мирошкин В. Л. Моделирование динамики К А в задаче вероятностного анализа динамики К А// сборник тезисов 8-й межд. конф. "Системный анализ и управление", Евпатория, 2003, С. 120.

39. Кибзун А.И., Мирошкин В.Л. Об эффективных алгоритмах вычисления интеграла Лапласса на ЭВМ// тезисы 7-й межд. конф. "Системный анализ и управление", Евпатория, 2002, С. 38.

40. Кибзун А.И., Мирошкин В.Л. О проблемах математического моделирования движения космических аппаратов с жидким топливом.// тезисы докладов 6-й межд. конф. "Системный анализ и управление космическими комплексами", Евпатория, 2001, С. 44.

41. Кибзун А.И. О наихудшем распределении в задачах стохастической оптимизации с функцией вероятности // АиТ. 1998. No. 11. С. 104-117.

42. Кибзун А.И., Шлуинский Ю.Т., Кан Ю.С., Мирошкин В.Л. Принципы моделирования и вероятностный анализ систем разделениякосмических аппаратов.// "Бортовые интегрированные комплексыи современные системы управления", Ярополец: МАИ, 1998, С. 4648.

43. Колесников К.С. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 1980.

44. Колесников К.С., Козлов В.И., Кокушкип В.В Динамика разделение ступеней летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1977.

45. Комаренко А.Н., Луковский И.А. Устойчивость нелинейных колебаний жидкости в сосуде, совершающем гармонические колебания// прикладная механика, 1974, т. 10, вып. 10, с. 97-102.

46. Ламб Г. Гидродинамика. М.: Гостехиздат, 1947.

47. Лебедев А.А., Герасюта Н.Ф. Баллистика ракет. М.: Машиностроение, 1970.

48. Лебедев А.А., Черпобровшн Л.С. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов. М.: Оборонгиз, 1962.

49. Малышев ВВ„ Карп К.А. Численные методы вероятностного анализа. М.: МАИ, 1993.

50. Малышев В.В., Кибзун А.И. Анализ и синтез высокоточного управления JIA. М.: Машиностроение, 1987.

51. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: Наука, 1990.

52. Меткалф М., Рид Дж. Описание языка прграммирования ФОРТРАН 90. М., Мир, 1995.

53. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. М.: Машиностроение, 1968.

54. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими жидкость. М.: Машиностроение, 1971.

55. Мирошкин В.Л., Кибзун А. И. Об одном подходе к компьютерному моделированию движения группы связанных между собой объектов // Вестник Московского авиационного института, 2008, No. 2., т.2., С. 51 58.

56. Мирошкин В.Л. Алгоритм квантильного оценивания неизвестного параметра // Теория и системы управления, 1996, No. 2., т.2., С. 56 80.

57. Нариманов Г.С., Докучаев Л.В., Луковский И.А. Нелинейная динамика летательного аппарата с жидкостью. М.: Машиностроение, 1977.

58. Оре О. Теория графов. М., Наука, 1968.

59. Пирумов У.Г. Численные методы. М. Дрофа; 2003.

60. Погорелев Д.Ю. О численных методах моделирования движения систем твердых тел// Журнал вычислительной математики и математической физики, 1995, №4, С. 501-506

61. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. М. Наука; 1985.

62. Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов. — 2-е изд. перераб. М.: Машиностроение, 1983.

63. Рабинович Б. И. Об уравнениях возмущенного движения твердого тела с циллиндрической полостью, частично заполненной жидкостью // ПММ, 1956, т.20, вып 1, с. 39-50. М.: Машиностроение, 1983.

64. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М., Наука, 1989.

65. Соболь ИМ. Метод Монте-Карло. М., Наука, 1985.

66. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М., Наука, 1973.

67. Харари Ф. Теория графов. М., Мир, 1973.

68. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. СПб., Лань, 2002.

69. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

70. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л., под ред. Кибзун А.И. Численные методы: учеб. пособие для студ. техн. ун-тов. М.: Физматлит, 2004.

71. Черных К.Ф., Алешков Ю.З., Понятовский В.В., Шамина В.А. Механика сплошных сред. Л., Ленинградский университет, 1984.

72. Шалыгин А.С., Палагин Ю.И. Прикладные методы статистического моделирования. М., Машиностроение, 1986.

73. Kibzun A.I., Kan Yu.S. Stochastic programming problems with probability and quantile functions. Chichester: John Wiley and Sons, 1996.

74. A.I. Kibzun. Yu.T. Shluinskiy, Yu.S. Kan, V.L. Miroshkin Probabilistic analysis of spacecraft separation from the launch-vehicle // Konferencja Awioniki, Zeszyty Naukowe Politechniki nr 168, Jawor 98, pp. 493 499.

75. Sheather, S.J. and Marron, J.S. Kernel Quantile Estimators // Journal of the American Statistical Association, 1990, 85, 410-416.