автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование движения космического аппарата с электродинамическим двигателем в магнитном и гравитационном полях Земли

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННЫЙ СТАТУС КОСМИЧЕСКИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТРОСОВЫХ СИСТЕМ

§ 1. Использование космической электромагнитной тросовой системы в качестве двигателя малой тяги

§ 2. Использование космической электромагнитной тросовой системы в качестве генератора электрического тока.

§ 3. Неустойчивость электромагнитных тросовых систем.

§ 4. Результаты испытаний электромагнитных тросовых систем в условиях космического полета.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИМ ДВИГАТЕЛЕМ В МАГНИТНОМ ДИПОЛЬНОМ И

ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЯХ ЗЕМЛИ.

§ 5. Описание конструкции космического аппарата с электродинамическим двигателем.

§ 6. Основные уравнения математической модели движения космического аппарата с электродинамическим двигателем.

§ 7. Частные решения для полярных орбит

§ 8. Частные решения для орбит, лежащих в плоскости магнитного экватора.

§ 9. Неплоские траектории движения космического аппарата с электродинамическим двигателем в гравитационном и магнитном дипольном полях Земли

ГЛАВА 3. ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИМ ДВИГАТЕЛЕМ В МАГНИТНОМ ДИПОЛЬНОМ И ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЯХ ЗЕМЛИ БЕЗ УЧЕТА ДЕЙСТВИЯ

ВОЗМУЩАЮЩИХ СИЛ

I 10. Обоснование математической модели.

§ 11. Оптимальные законы управления движением космического аппарата по орбитам, лежащим в плоскости магнитного экватора

§ 12. Оптимальные законы управления движением космического аппарата на околополярных орбитах.

ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С УЧЕТОМ

РАЗЛИЧНЫХ ВОЗМУЩАЮЩИХ СИЛ.

§ 13. Модели магнитного поля и атмосферы Земли

§14. Анализ возможности компенсации сил аэродинамического сопротивления при малых высотах перигея.

§ 15. Исследование влияния прекращения работы электродинамического двигателя при попадании солнечных батарей в тень Земли

§ 16. Исследование влияния других возмущений на движение космического аппарата с электродинамическим двигателем по околополярным орбитам.

§ 17. Исследование влияния других возмущений на движение космического аппарата с электродинамическим двигателем по околоэкваториальным орбитам

17.1. Уравнения движения космического аппарата в земной сферической системе отсчета.

17.2. Численный анализ движения космического аппарата с электродинамическим двигателем по околоэкваториальной орбите с учетом возмущающих факторов

§ 18. Рекомендации по использованию результатов диссертации

В последнее время в научной литературе [1-27] активно обсуждаются различные аспекты использования электромагнитных тросовых систем в качестве двигателей малой тяги для космических аппаратов при их движении в магнитном поле Земли и других планет.

Идея этого способа создания движущей силы достаточно проста: если на околоземной орбите поместить проводящий трос и создать в —* этом тросе ток /, то согласно законам электродинамики на каждую единицу длины троса в магнитном поле Земли В будет действовать сила Ампера / = [I В}/с. Таким образом, суммарная сила F, действующая на трос, пропорциональна произведению длины троса L, величины тока в нем /, индукции магнитного поля Земли В и синуса —* угла между векторами В ж I.

Для создания в проводящем тросе постоянного тока на одном его конце обычно помещают устройство [28-30], сбрасывающее в окружающее пространство электроны, а на другом конце - устройство, сбрасывающее в окружающее пространство положительно заряженные ионы или улавливающее из околоземной плазмы электроны. В этом случае замыкание тока будет осуществляться через околоземную плазму.

В магнитном поле Земли на низких орбитах сила, действующая на 1 м длины троса, может достигать 5-Ю-5 Н на каждый Ампер силы тока в нем. При длине троса порядка десятка километров и токе в нем порядка 10 А суммарная сила Ампера будет равна 5 Н.

Существенными препятствиями, которые ограничивают применение электромагнитных тросовых систем в качестве двигателей малой тяги, являются неустойчивость их конфигураций при токах более 2 А и невозможность управлять ориентацией вектора силы тяги в ходе космического полета. Все эти недостатки исчезают, если вместо гибкого троса использовать жесткий составной токопроводящий стержень. Такое устройство мы в дальнейшем будем называть электродинамическим двигателем.

Так как в силу технических причин длина жесткого составного стержня, который может быть использован на космическом аппарате, значительно меньше длины гибкого троса электромагнитной тросовой системы, то сила тяги электродинамического двигателя значительно меньше силы тяги тросовой системы. Этот недостаток компенсируется тем, что величиной и направлением вектора тяги электродинамического двигателя можно управлять, изменяя силу тока в нем и поворачивая жесткий проводящий стержень относительно центра масс космического аппарата.

Однако возможности управления этим вектором также ограничены: так как сила Ампера всегда перпендикулярна к вектору индукции магнитного поля Земли В, то в каждой точке орбиты этот двигатель не может создать вектор тяги, коллинеарный вектору В. Законы движения космических аппаратов с таким устройством в научной литературе не исследовались.

Кроме того, зависимость силы тяги электродинамического двигателя от величины и направления вектора В, а, следовательно, и от того, в какой области магнитного поля Земли находится космический аппарат, ставит задачу поиска оптимальных законов управления ориентацией жесткого стержня с током для изменения элементов орбиты космического аппарата. Таким образом, с математической точки зрения вопросы применения и оптимального управления электродинамическим двигателем оказались не разработанными.

Основной целью настоящей диссертации является математическое моделирование движения космического аппарата с электродинамическим двигателем в магнитном и гравитационном полях Земли и проведение на основе этой модели анализа возможностей использования электродинамического двигателя для изменения элементов орбиты космического аппарата.

Первая глава носит вводный характер. В ней рассматриваются наиболее близкие прототипы электродинамического двигателя - электромагнитные тросовые системы, дается обзор их технических характеристик, областей применения, основных достоинств и недостатков, обсуждаются результаты их наиболее важных летных испытаний в условиях космоса.

Во второй главе дано описание предварительного проектного облика электродинамического двигателя, а также обсуждаются основные уравнения математической модели движения космического аппарата с электродинамическим двигателем в магнитном и гравитационном полях Земли. Кроме того, получен ряд новых аналитических решений уравнений движения материальной точки под действием электродинамического двигателя в магнитном дипольном и гравитационном полях Земли при частном выборе законов управления величиной и направлением вектора тока в двигателе.

Впервые такие решения были найдены в наших работах [31-33]. Полученные, хотя и частные, но точные аналитические решения уравнений движения позволяют составить общее представление о характере изменений траектории полета космического аппарата, вносимых действием силы Ампера. Кроме того, эти решения имеют и прикладное значение, так как дают возможность исследовать на известных аналитических решениях системы уравнений движения космического аппарата вопросы устойчивости и сходимости выбранного алгоритма при разработке и отладке программ численного интегрирования в более общих случаях.

Анализ полученных решений показал, что применение электродинамического двигателя позволяет осуществлять различные режимы движения космического аппарата по качественно новым типам траекторий. Однако при технически осуществимых в настоящее время значениях произведения величины тока в стержне на его длину сила Ампера, создаваемая электродинамическим двигателем, оказывает хотя и малое действие на движение космического аппарата, но достаточное, тем не менее, для осуществления различных межорбитальных маневров.

В третьей главе диссертации на основе математической модели, использующей уравнения движения космодинамики в оскулирующих элементах [34-36], проведен анализ возможностей электродинамического двигателя к совершению различных маневров на околоземной орбите, а также осуществлен поиск оптимальных законов управления вектором тока электродинамического двигателя при таких маневрах. Основное внимание было уделено исследованию двух предельных случаев: когда начальные орбиты лежат в плоскости магнитного экватора Земли и когда плоскость начальной орбиты содержит магнитный дипольный момент Земли (околополярные орбиты).

Такое исследование проведено без учета действия различных возмущающих факторов (аэродинамическое сопротивление атмосферы, вращение магнитного момента Земли, отличие геомагнитного поля от поля диполя, выключение электродинамического двигателя при попадании солнечных батарей в тень Земли и др.), которые всегда присутствуют в условиях реального космического полета. Это позволило достаточно просто в аналитическом виде находить оптимальные законы управления и оценить величину приращений элементов орбиты космического аппарата.

Как показано в наших работах [41, 67-69], при выборе оптимальных законов управления электродинамическим двигателем изменение параметра орбиты р за один оборот по орбите малого космического аппарата (с массой 1000 кг) может составлять примерно 0,5 км, изменение эксцентриситета оскулирующей орбиты Де ~ 10~4, изменение углов и, О и /, характеризующих ориентацию орбиты в пространстве, на величину порядка 10"1 радиан.

Таким образом, на низких околоземных орбитах электродинамический двигатель является перспективным средством для совершения различных маневров малых космических аппаратов.

И, наконец, в четвертой главе диссертации проведено исследование движения космического аппарата с электродинамическим двигателем при учете различных возмущающих факторов. Это прежде всего влияние силы аэродинамического сопротивления атмосферы, а также отличие геомагнитного поля от дипольного поля и его вращение вместе с Землей. Кроме того, было исследовано влияние на элементы орбиты космического аппарата прекращения работы электродинамического двигателя при попадании солнечных батарей в тень Земли.

Как показано в нашей работе [51], возмущающие факторы не изменяют качественно основные свойства движения космического аппарата с электромагнитным двигателем по околоземным орбитам, а лишь уменьшают численную величину приращений элементов орбиты, возникающих в результате работы электродинамического двигателя.

Проведенные численные расчеты показали, что при оптимальном выборе законов управления ориентацией стержня с током величины приращений элементов орбиты за один оборот космического аппарата по его орбите оказываются достаточно большими, чтобы с их помощью можно было не только эффективно компенсировать действие тормозящих сил на аппарат, но и проводить различные межорбитальные маневры.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в настоящей диссертации и выносимые на защиту.

Основные результаты диссертации докладывались на Международном рабочем совещании "Small mission for energetic astrophysics" (1999, Лос-Аламос, США), Третьем Международном аэрокосмическом конгрессе (2000, Москва), Международной конференции "Системный анализ и управление космическими комплексами" (2001, Евпатория) и опубликованы в десяти работах [31-33, 41, 51, 54, 67-69, 71].

7. Результаты работы были использованы при проведении НИР по заказам Росавиакосмоса в Институте астрономии Российской Академии Наук, в ООО Научно-производственная фирма "ИТАЛ-ЗС" и в Институте прикладных и теоретических исследований.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико - математических наук Денисовой Ирине Павловне и научному консультанту доктору физико - математических наук Багрову Александру Викторовичу за предоставление интересной темы, внимание к работе и полезные советы, профессору Денисову Виктору Ивановичу за помощь в изучении проблем электродинамики, а также всему коллективу кафедры прикладной математики, возглавляемой профессором Муравьем Леонидом Андреевичем, за создание атмосферы, способствовавшей успешной работе над диссертацией.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты, составляющие содержание настоящей диссертации и выносимые на защиту.

1. Разработаны комплексные математические модели движения космического аппарата под действием электродинамического двигателя, учитывающие зависимость силы тяги от величины и взаимного направления векторов тока в двигателе и индукции дипольного магнитного поля Земли.

2. Получены аналитические решения уравнений движения космического аппарата под действием электродинамического двигателя при частном выборе законов управления вектором тока в двигателе. Эти аналитические решения уравнений движения позволяют составить общее представление о характере изменений траектории полета космического аппарата, вносимых действием силы Ампера. Кроме того, они дают возможность исследовать вопросы устойчивости и сходимости выбранного алгоритма при разработке и отладке программ численного интегрирования уравнений движения космического аппарата.

3. Найдены законы управления вектором тока электродинамического двигателя на околополярных орбитах и орбитах, лежащих в плоскости магнитного экватора, оптимальные для изменения элементов орбиты: параметра р, эксцентриситета е, угловой координаты перицентра долготы восходящего узла О и наклонения г. Показано, что при оптимальных законах управления величина приращений этих элементов за один оборот малого космического аппарата (с массой ~ 1000 кг) по орбите достигает значений Ар ~ 0,5 км, Ае ~ Ю-4, Да; ~ ДО ~ Ai ~ Ю-4 радиан, достаточных для практического применения электродинамического двигателя при выполнении различных маневров на орбите.

4. На основе численных расчетов проанализировано движение космического аппарата с электродинамическим двигателем по высокоэллиптичным орбитам при наличии силы аэродинамического сопротивления атмосферы. Показано, что при управлении вектором тока двигателя (LI = 2000 А*м), оптимальном для увеличения высоты апогея, интегральное действие двигателя за один оборот малого космического аппарата (т = 1000 кг) по орбите позволяет преодолевать тормозящее действие атмосферы при высотах перигея, превышающих 110 км.

5. На основе численных расчетов исследовано движение космического аппарата с электродинамическим двигателем по высокоэллиптичным орбитам при учете возмущающих факторов: прекращения электропитания двигателя от солнечных батарей при их попадании в тень Земли, влиянии малых несферических добавок в гравитационное поле Земли, учет вращения Земли вокруг оси, не совпадающей с направлением ее магнитного дипольного момента и использовании более реалистичной модели геомагнитного поля Земли - модели IGRF. Показано, что и в этих условиях применение электродинамического двигателя позволяет не только эффективно компенсировать тормозящее действие сил аэродинамического сопротивления для малых космических аппаратов, но и совершать различные маневры.

6. Найден закон управления электродинамическим двигателем и на его основе предложен новый способ дистанционного зондирования небольших участков Земли с высоты 100-120 км с использованием малого космического аппарата, движущегося под действием электродинамического двигателя по орбите, имеющей малую высоту перигея и большую высоту апогея.

1. Banks P.M., Wilkinson P.R., Oyama K.I. Electrical behavior of a Shuttle electrodynamic tether system. Planetary and Space Science. 1981, v. 29, № 2, p. 139-147.

2. Bekey J. Tethers open new space options. Astronautics and Aeronautics, 1983, v. 21, № 4, p. 29-40.

3. Bekey J. Applications of space tethers In: 35-th International Astronomical Congress, Lausanne, Switzerland, October 7-13, 1984, paper № 84-436.

4. McCoy J.E. Electrodynamic Tethers. Proc. 35-th Intern. Astronaut. Congr., Lausanne, Switzerland, 1984, paper № 84-440.

5. Левин E.M. Об устойчивости стационарных движений связки двух тел на орбите под действием гравитационных и аэродинамических сил. Космические исследования, 1984, т. 22, Вып. 5, с. 675-681.

6. Carrol J.A. Tether application in space transportation. Acta Astro-nautica, 1986, v. 13, № 4, p. 165-174.

7. Комаров В.И. Движение двух материальных точек, связанных нитью, под действием гравитационных и амперовых сил. Космические исследования, 1986, т. 24, Вып. 3, с. 380-387.

8. Левин Е.М. Об устойчивости стационарных движений электромагнитной тросовой системы на орбите. Космические исследования, 1987, т. 25, Вып. 4, с. 491-501.

9. Арнольд Д.А. Поведение системы из двух связанных длинным тросом тел. Астронавтика и ракетодинамика: Экспресс информация ВИНИТИ. 1988, № 2, с. 1-9.

10. Мартинес-Санчес М., Гастингс Д.Е. Изучение 100 кВт электромагнитного троса. Астронавтика и ракетодинамика: Экспрессинформация ВИНИТИ. 1988, № 8, с. 12-22.

11. Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. М.: Наука, 1990.- 336 с.

12. Поляков Г.Г. Привязные спутники, космические лифты и кольца. Астрахань, Из-во ЦНТП, 1999. 279 с.

13. McCoy J.E, Grossi M.D. Tether Electrodynamics from the Plasma-Motor Generator (PMG) Mission of June 1993. Proc. Intern. Round Table on Tethers in Space, ESTEC, Noordwijk, Netherlands, 1994.

14. Осипов В.Г., Шошунов Н.Л., Кочергин В.И. Способ развертывания орбитальной тросовой системы: Патент 2112714 Россия, МПК6// В 64 G 1/24/; Ракет.- косм. корп. Энергия им. С.П. Королева. — N 96120389/28; Заявл. 3.10.96; Опубл. 10.6.98, Бюл. N16.

15. Palez J., Lorenzini E.C.J. Sensitivity analysis of tether-mediated orbital injection. Astronaut. Sci. 1996. v. 44, N 4, 491-515.

16. Коротеев А.С., Кузьмин Е.П. Перспективные направления совершенствования двигательных и энергетических установок средств ракетно-космической техники. Космонавтика и ракетостроение. 1996, в. 6, с. 66-76.

17. Андреев А.В., Борисов В.В., Елкин К.С., Лукьященко В.И., Се-менченко В.В., Успенский Г.Р., Федоров С.Б. Космическая электродинамическая тросовая система для перспективной пилотируемой станции. Космический бюллетень, 1997, т. 4, № 2, с. XV-XVI.

18. Лисов И. Провал эксперимента АТЕХ. Новости космонавтики, N 3(194) 1999, с. 45.

19. Vas I.E., Kelly T.J., Sca.rl E.A. Space station reboost with electrody-namic tethers. Journal of Spacecraft and Rockets, 2000, v. 37, № 2, p. 154-164.

20. Estes R.D. et al. Bare tethers for electrodynamic spacecraft propulsion. Journal of Spacecraft and Rockets, 2000, v. 37, № 2, p. 205-211.

21. Gates S.S., Koss S.M., Zedd M.F. Advanced tether experiment deployment failure. Journal of Spacecraft and Rockets, 2001, v. 38, N° 1, p. 60-68.

22. Ziegler S.W., Cartmell M. Using motorized tethers for payload orbital transfer. Journal of Spacecraft and Rockets, 2001, v. 38, № 6, p. 904114

23. Takeichi N., Natori M.C., Okuizumi N. Dynamic behavior of a tethered system with multiple siibsatellites in elliptic orbits, journal of Spacecraft and Rockets, 2001, v. 38, № 6, p. 914-921.

24. Паттерсон M. Дж., Уилбур П. Дж. Плазменные замыкатели для электродинамических привязных систем. Аэрокосмическая техника, 1987, № 7, с. 193-196.

25. Парке Д. Э., Катц И. Теория плазменных замыкателей для электродинамических систем с привязным спутником. Аэрокосмическая техника, 1988, № 1, с. 93-99.

26. Гастингс Д.Е. Теория плазменных замыкателей, предназначенных для использования в ионосфере. Аэрокосмическая техника, 1988, № 1, с. 99-106.

27. Денисов В.И., Пинчук В.Б. Движение космического аппарата с токовой штангой по полярной орбите в гравитационном и магнитном полях Земли Вестник Московского университета, сер. физика, астрономия, 2000, № 4, с. 69-70.

28. Денисов В.И., Денисова И.П., Пинчук В.Б. Об одном частном решении уравнений движения материальной точки с элементом тока в гравитационном и магнитном полях Земли Вестник Московского университета, сер. математика, механика, 2001, № 6, с. 58-60.

29. Денисов В.И., Пинчук В.Б. Неплоские траектории движения космического аппарата с токовой штангой в гравитационном и магнитном полях Земли Вестник Московского университета, сер. физика, астрономия, 2001, N° 4, с. 70-71.

30. Дубошин Г.Н. Небесная механика. М.: Наука, 1968. 800 с.

31. Брумберг В.А. Релятивистская небесная механика М.: Наука, 1972, 382 с.

32. Келли А. Высокопрочные материалы. М.: Мир, 1976. ?? с.

33. Тсрлецкий Я.П., Рыбаков 10.11. Электродинамика. М.: Высшая школа, 1980. - 335 с.

34. Денисов В.И. Введение в электродинамику материальных сред. М.: МГУ, 1989. 135 с.

35. Квасников JI.A. и другие. Теория и расчет энергосиловых установок космических летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1984. 332 с.

36. Альвен Г., Фельтхаммар К. Космическая электродинамика. М.: Физматгиз, 1967. 225 с.

37. Краффт Э. Космический полет. Окружающие условия. М.: Физматгиз, 1963. -347 с.

38. Лох У. Динамика и термодинамика спуска в атмосфере планет. М.: Мир, 1966. 245 с.

39. Альперт Я.Л., Гуревич А.В., ГТитаевский Л.П. //Искуственные спутники в разреженной плазме. М.: Наука, 1964.

40. Cho М. Ionization around a high-voltage body in magnrtized ionospheric plasma. Journal of spacecraft and rockets, 1998, v. 35, № 1, p. 90-99.

41. Кикоин И.К. Таблицы физических величин. М.: Атомиздат, 1976. 547 с.

42. Денисов В.И., Пинчук В.Б., Приклонский В.И. Математическое моделирование и численный анализ процессов в электродинамической тросовой системе при пассивном режиме ее функционирования. Препринт НИИЯФ МГУ № 2001 24 / 664, 2001, 11 с.

43. Козлов О.В. Электрический зонд в плазме. М.: Атомиздат, 1969. -235 с.

44. Mussman F. Journal of Geophysical Res., Aug 2000.

45. А.Ю. Ишлинский. Классическая механика и силы инерции. М.: Наука, 1987.

46. Эльясберг П.Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли. М.: Изд-во Наука, 1965. 540 с.

47. Кинасошвили Р.С. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1968. 384 с.

48. Самарский А.А., Гулин А.В. // Устойчивость разностных схем. М.: Наука. 1973.

49. Самарский. А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1997. - 239 с.

50. Самарский А.А. Численные методы и вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1998.- 518 с.

51. Жарков В.Н., Трубицын В.П. Физика планетных недр. М.: Паука. 1980. -448 с.

52. Маров М.Я. Планеты Солнечной системы. М.: Наука, 1986. 248 с.

53. Петкевич В.В. Теоретическая механика. М.: Наука, 1981. 496 с.

54. Богуславский С.А. Избранные труды по физике. М.: ГИФМЛИ, 1961. -436 с.

55. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. -М.: Наука, 1979 . 431 с.

56. Павленко Ю.Г. Задачи по теоретической механике. М.: МГУ, 1988. 344 с.

57. Денисов В.И., Денисова И.П., Пинчук В.Б. Применение математических методов для исследования движения космического аппарата под действием амперовой силы. Сборник тезисов Третьего Международного Аэрокосмического Конгресса. Москва, 2000, с. 40.

58. Денисов В.И., Денисова И.П., Пинчук В.Б. Математическое моделирование движения космического аппарата под действием гравитационной и амперовой сил. Доклады РАН, 2000, т. 374, № 1, с. 10-12.

59. Денисов В.И., Денисова И.П., Пинчук В.Б. Исследование движения космического аппарата с электродинамическим двигателем. Известия АН, сер. Механика твердого тела, 2001, № 4, С. 3-10.

60. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. - 504 с.

61. Денисов В.И., Пинчук В.Б. Применение метода Боголюбова для решения нелинейных задач небесной механики. Препринт НИИ-ЯФ МГУ № 99/29-587, 1999, 8с.

62. Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Механика коомического полета (Проблемы оптимизации)., М.: Наука, 1975, 704 с.

63. Уилл К. Теория и эксперимент в гравитационной физике. М.: Энергоатомиздат, 1985. - 293 с.

64. Боголюбов Н.Н. Избранные труды в трех томах. К.: Наукова думка, 1969-1970.

65. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. 576 с.

66. Град штейн И. С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971 . - 1108 с.

67. Математическая энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия, 1985, т. 1-5.

68. Понтрягин JI.C. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

69. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969, 408 с.

70. Эльс.гольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.

71. Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1983. 928 с.

72. Геомагнетизм и аэрономия, 1986, т. 26, с. 523-525.

73. Атмосфера стандартная. Параметры. ГОСТ 4401-81. М.: Изд-во стандартов, 1980 г., 48 с.

74. Атмосфера Земли верхняя. Модель плотности для баллистического обеспечения полетов искусственных спутников Земли. ГОСТ 25645.115-84. М.: Изд-во стандартов, 1985 г., 44 с.

75. Глаголев Ю.А. Справочник по физическим параметрам атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1970. 211 с.

76. М.К. Тихонравов, И.К. Бажинов, О.И. Гурко, Максимов Г. 10. Яцинский И. М. Основы теории полета и элементы проектирования искусственных спутников Земли. М.: Машиностроение, 1974. 332 с.

77. Горбатенко С.А. и другие. Механика полета. М.: Машиностроение, 1969. 420 с.

78. Летов A.M. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. -360 с.

79. Острословский И.В., Стражева И.В. Динамика полета. М.: Машиностроение, 1969. 500 с.

80. Денисов В.И., Пинчук В.Б. Математическое моделирование и численный анализ движения космического аппарата с электродинамическим двигателем при наличии возмущений. Препринт НИИ-ЯФ МГУ № 2002 14/698 , И с.

81. Приклонский В.И. Численные методы. М.: МГУ, 1999. 146 с.