автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы решения задач возможностной оптимизации одного класса и программный комплекс их поддержки

Тверской государственный университет Факультет прикладной математики и кибернетики

На правах рукописи УДК 519 б

Гордеев Роман Николаевич

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВОЗМОЖНОСТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ОДНОГО КЛАССА И ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ИХ ПОДДЕРЖКИ

05 13 18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тверь-2007 ООЗ 175268

003175268

Работа выполнена на кафедре информационных технологий факультета прикладной математики и кибернетики Тверского государственного университета

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук,

профессор

Язенин А В

доктор физико-математических наук,

профессор

Андреева Е А

кандидат физико-математических наук,

доцент

Егоров Ю А

Вычислительный центр РАН

Защита состоится 2007 в ч О^мин на заседании

диссертационного совета Д 212 263 04 при Тверском государственном университете по адресу 170000, г Тверь, ул Желябова, 33, ауд 52

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тверского государственного университета по адресу 170000, г Тверь, ул Володарского, 44а

Объявление о защите диссертации и автореферат опубликованы 5 10 2007 г на официальном сайте Тверского государственного университета по адресу http //university tversu ru/aspirants/abstracts/

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор

Михно В Н

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Объект исследования и актуальность темы Оптимизационные задачи возникают при формализации целенаправленного поведения человека в различных сферах его деятельности, будь то проектирование сложных технических систем, ведение экономической деятельности прогнозирование природных явлений, исследования в биологии и физике и многое другое Однако зачастую даже при хорошо формализованной задаче математического программирования может возникнуть вопрос о «правдоподобности» полученных в ходе ее решения резз'льтатов, пос кольку предоставленные для решения задачи исходные данные могут содержать ошибки, например ошибки измерений, экспертные оценки имеющие, как правило, приближенный характер В этих условиях оказывается важным выделение классов оптимизационных задач, на решения которых подобные факторы не оказывают существенного влияния Такие задачи называются устойчивыми и играют важную роль в построении моделей реального мира и решении широкого круга практических задач

Проблема устойчивости остается актуальной и для задач возможиостпой оптимизации На практике мы не знаем «истинного» распределения значений возможпоетных величин, моделирующих мнение эксперта, а строим для них некоторую аппроксимацию Таким образом возникает вопрос как сильно мы отклонимся от истинного решения если допустим некоторые погрешности в процессе моделирования экспертного мнения Если задача возможное гною программирования является неустойчивой, мы получим значительные отклонения и будем вынуждены признать, что наша аппроксимирующая модель является неадекватной В этом случае для решения задачи возможностпо-го программирования необходимо применять регуляризирующие алгоритмы предложенные В А Рыбкиным и А В Язениным

Наиболее широко цитируемыми работами в области исследования устойчивости задач с нечеткими параметрами являются работы Р Фуллера и М Ковач В этих работах исследована усюйчивость задач нечеткой оптимизации и систем линейных уравнений с нечеткими параметрами Развитие этих результатов и их обобщение на класс задач возможное/гной оптимизации сделано В А Рыбкиным и А В Язешшым В этих работах предложен единый подход к исследованию устойчивости задач возможностной оптимизации, изучена их устойчивость и предложены методы регуляризации

Следуе! от мелить, чш во вгех работах, приведенных выше, рассматривались задачи возможностной оптимизации элементы которых связаны бинарными отношениями равенства или неравенства Практический интерес пред-

ставляет такая постановка задачи в которой указанные отношения представлены нечеткими бинарными отношениями В этом специальном случае существующие результаты в возможностной оптимизации требуют соответствующего обобщения и развития, поскольку методы исследования устойчивости в работах указанных выше авторов связаны с построением детерминированных аналогов исходной задачи возможностного программирования, а для приведенного случая эта процедура значительно отличается

Ввиду этого разработка и исследование моделей и методов решения задач возможностного программирования с нечеткими отношениями является актуальной научной проблемой поскольку ее решение позволит моделировать «мягкость» при формализации ограничений и целевого функционала осуществлять их регуляризацию и тем самым расширить круг решаемых практических задач

Формально решаемая проблема может быть представлена следующей моделью возможностного математического программирования

тг{/(аг,с)ДФо} —> sup,

хежп

7г{(7г(х,аг)2?А, г € М} > а

Здесь 7Г есть мера возможности, М - индексное множество, f,g- действительные функции, с, аг, Ьг - возможностные параметры задачи, Д, - нечеткие бинарные отношения, а - требуемый уровень возможности выполнения нечет, ких ограничений

Данная модель обобщает существующие модели возможностной оптимизации на случай когда их элементы связаны нечеткими бинарными отношениями

Цель работы Целью настоящего диссертационного исследования является обобщение основных моделей задач возможностного программирования на случай когда элементы задачи принятия решений связаны нечеткими бинарными отношениями, исследование свойств полученных моделей и построение для них непрямых методов решения

Основные задачи диссертационного исследования Поставленная в диссертации цель работы достигается путем решения следующих задач

• определение и исследование бинарных нечетких отношений в возможностям контексте,

• разработка моделей задач математического программирования с воз-можностными параметрами в нечетких отношениях

• разработка непрямых методов решения задач, основанная на построении их эквивалентных детерминированных аналогов,

• исследование моножеств допустимых и оптимальных решений полученных эквивалентных детерминированных аналогов,

• выявление необходимых и достаточных условий устойчивости задач исследуемого класса, относительно возмущений нечетких параметров,

• разработка комплекса программ поддержки методов возможностной оптимизации для формализованного в диссертационном исследовании класса задач

Методы исследования Для формализованного описания изучаемого класса задач используется математический аппарат современной теории возможностей, при доказательстве теорем используются методы возможностной оптимизации, математического программирования, математического и функционального анализа Методологическую основу исследования составляют результаты классической теории устойчивости и корректности задач оптимизации При реализации программного комплекса применялись методы объектпо-ориентированного проектирования и паттерны проектирования а также методы реструктуризации программного кода

Основными результатами диссертационного исследования, выносимыми на защиту являются

(Ч) методы обобщения нечетких отношений в возможностном контексте,

(и) обобщения существующих моделей задач возможностного программирования на случай, когда элементы критериев и ограничений связаны возможностиыми бинарными отношениями,

(ш) необходимые и достаточные условия выпуклости и замкнутости допустимого и оптимального решений введенных моделей задач возможностной оптимизации,

(IV) непрямые методы решения задач возможностной оптимизации содержащих возможностные бинарные отношения в моделях критериев и ограничений, на основе построения эквивалентных детерминированных аналогов,

(V) достаточные условия устойчивое ли допустимого и оптимального решений полученного класса задач возможностного программирования,

(vi) достаточные условия сильной и слабой устойчивости для обобщений основных моделей возможностного программирования,

(vii) программный комплекс инструментальной поддержки решения задач возможностной оптимизации

Научная новизна результатов состоит в возможности учета при формализации задач математического программирования нечеткости бинарных отношений, выявлении основных свойств полученного класса задач и разработке методов их решения

Теоретическая и практическая значимость работы Применение полученных результатов позволяет строить более адекватные модели принятия решений за счет введения возможностных бинарных отношений между элементами задачи Установленные необходимые и достаточные условия устойчивости введенных моделей позволяют обосновать корректность их применения при решении задач экономико-математическою планирования моделирования реапьных процессов и др Разработанный программный комплекс может применяться в учебном процессе и при решении прикладных задач

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов подтверждается строгостью проводимых математических обоснований при формулировании и доказательстве теорем, результатами численных расчетов, сравнительным анализом полученных в ходе модельных экспериментов результатов с известными

Внедрение результатов работы Проведенные научные исследования поддержаны грантом РФФИ проект 04-01-96720 «Разработка моделей и методов портфельного анализа и программной системы поддержки принятия решений», исполнителем которого диссертант являлся в 2004-2006 гг Результаты диссертации используются также в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Тверского государственного университета

Апробация работы Основные результат ы диссертационной рабоаы докладывались автором на международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г Воронеж, Россия 2005 г), 13-ом международном коллоквиуме по нечетким системам «Ea&t Webt Fuzzy Colloquium 13th Zittau Fuzzy Colloquium» (г Циттау Германия 2006 г) всероссийской научной конференции «Нечеткие системы и Min кие вычисления-2006» (i Тверь, Россия, 2006 г), IV-ой международной научно-практической конференции «Интегрированные моде пи и мягкие вычисления в искусственном интеллекте» (г Коломна Россия, 2007 г), на на-

учных семинарах в Тверском государственном университете

Публикации По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе 2 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК для представления результатов кандидатских диссертаций Список работ приведен в конце автореферата

Стрз'ктура и объем работы работы Диссертация состоит из введения четырех глав, заключения, приложения и списка литературы, включающего 130 наименований, и изложена на 168 страницах машинописного текста ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы сформулирована цель и задачи диссертационной работы перечислены полученные в диссертации новые резупьтаты, их практическая ценность, представлены положения, выносимые на защиту и описана структура диссертации

В первой главе исследуются свойства функциональных преобразований возможиостных величии, формализуется понятие обобщенного нечеткого отношения в возможностпом контексте и изучаются его свойства Полученные4 в первой главе результаты используются в следующих главах диссертации при построении и исследовании моделей задач возможностной оптимизации, их допустимых и оптимальных решений Кроме того, полученные здесь утверждения играют ключевую роль при построении непрямых методов решения рассматриваемого в работе класса задач возможностной оптимизации

Доказаны свойства преобразований возможиостных величин и обобщенных нечетких бинарных отношений позволяющие определить достаточные у словия устойчивости задач возможностной оптимизации, содержащих нечеткие бинарные отношения в моделях критериев и ограничений

Ключевым понятием в первой главе является сформулированное в работе понятие обобщенного нечеткого отношения в возможностном контексте Оно позволило отказаться от формализации обобщенного нечеткого отношения в виде нечеткого множества 2-го рода и использовать более простую нотацию Приведем определения нечеткого бинарного отношения и его обобщения в возможностном контексте

Пусть тройка (Г, (Г), 7г) есть возможпостное пространство К - числовая прямая

Определение 1 11 Возможностным (нечетким) отношением называется отображение К Г —> К х К, где Е х 1 - декартово произведение Распределением возможных значений отношения II называется функция ¡лц Ж х М —•> [0,1] определяемая по правилу

№у) = тг{7 е Г | Д(->) = (х,у)},Ух,у е К

/j я (ж у) - возможность того, что ж и у находятся в отношении R Определение 1.14 Для заданного нечеткого отношения R на К его нечетким обобщением на .F(R) х JF (R) называется отображение R Г —> Т (Ж) х Т (М.) характеризуемое функцией распределения возможностей /¿д (М) [0,1], такой что

цфс, у) = fiR(x, у) (1 25)

для любых х, у G R Здесь Т (К) - множество возможностных величин

Сформулирована и доказана лемма 1 2, позволяющая вычислять возможность с которой две возможностные величины связаны обобщенным нечетким отношением

Наряду с обобщением нечетких отношений в первой г паве изучены свойства преобразований возможностных величин Так в теоремах 12 и 13 рассматриваются вопросы выпуклости многомерных возможностных величин, совместная функция распределения которых получена агрегированием нескольких одномерных выпуклых возможностных величин с использованием ¿-норм Установлено, что в общем случае можно говорить только о звездо-образности полученной многомерной возможностной величины, для ¿-нормы Т = mm доказана выпуклость

В утверждениях с 1 5 по 111 рассматриваются вопросы выпуклости п замкнутости образов многомерных возможностных величин при заданном отображении Установлены достаточные условия замкнутости и выпуклости преобразования Т-связанных возможностных величин Получены условия налагаемые на совместную функцию распределения совокупности возможностных величии и отображение, при которых а-уровневые множества образа многомерной возможностной величины совпадают с образом множеств »-уровня при заданном отображении Эти результаты являются важными при обосновании непрямых методов решения сформулированных в диссертации задач возможностной оптимизации и исследовании свойств их детерминированных аналогов

Во второй главе разработаны постановки задач возможностного математического программирования (ВМП) содержащие нечеткие бинарные ог-ношепия Вводятся понятия допустимого и оптимального решения поставленной задачи возможностного программирования, а также описывается нч связь с а-допусчимыми и а-оптимальньшн решениями Проводится исследование гвойпв допустимого и оптимальною решений, таких как связность, замкнутость выпукдость Подучены теоремы устанавливающие связь а-уровневых множеств возможностных параметров и а-допустимых (а-

оптимальных) решений Также доказаны теоремы, позволяющие свести сформулированные задачи возможностной оптимизации к детерминированному аналогу, то есть обосновывающие непрямой метод нх решения

Рассматривается обобщение следующей задачи математического программирования на случай нечетких данных

/(ж, с) —► тах,

X

дг(х, аг) = Ъг, г е Мь ^ ^

дг{х,аг) <6„г€ М2, дг{х,щ) >Ъг,г 6 М3,

где / Жп х С —> М и дг 1" х Р, -> Е, г 6 М, являются действительными функциями, с 6 С, аг € Рг, г € М, Ъг € Вг, г £ М, ж € К™ Множества параметров СнР, являются подмножествами конечномерных векторных пространств, зависящих от спецификации задачи обычно С = Рг = Жк,Чг & М Множества Вг являются подмножествами числовой прямой К., в большинстве случаев Вг = К, \/г € М

Пусть теперь с — (с-!, , с^) является вектором возможностных величин с функцией распределения ¡1% С —> [0,1] следующего вида

Мс(сь ,ск)= >№.(<*))> (2 6)

где Т есть ¿-норма, аг = (5,1,. ,агк), г 6 М являются возможностными векторами с функциями распределения ^ Рг —> [0,1] вида

Ма,(ОгЬ =7(//з11(аг1), Мг» («**)), (2 7)

а Ьг г € М являются возможностными величинами с функциями распределения /хц Вг —» [0,1] Для моделирования отношений, связывающих левую и правую части ограничений задачи (2 5) используются обобщенные нечеткие бинарные отношения Д,, г 6 М, с функциями распределения ^ Т (Ж) х Т (Ж) —» [0,1]

В результате задача возможностного программирования в нечетких отношениях может быть записана в виде

f(x,c)-+íпах, (2 8а)

д{х, аг)ЙА, г £ М = {1, , ш} (2 86)

Под множеством допустимых решений в дальнейшем мы понимаем подмножество г е 1", удовлетворяющих следующим ограничениям

ж{дг(х,аг)НгЬг, г Е М} > а или (2 10)

7г{дг(ж,гг)Дбг} >аг, г € М, (2 11)

где тг есть мера возможности, а а является экзогенным параметром, отражающим уровень возможности с которым должны выполняться ограничения Основываясь на этом принципе принятия решений дается определение допустимого решения задачи (2 8а)-(2 86)

Определение 2 1 Нечеткое множество X иа Ж" с функцией распределения определенной для всех х 6 М" как

=Т(1л^{дг{х,а{)М), , ^(дт(х,ат),Ьт)), (2 12)

называется допустимым решением задачи возможностного математического программирования (2 8а)-(2 86) Для а € (0,1], вектор х € [Х]о называется а-допустимым решением задачи возможностного программирования (2 8а)-(2 86) Вектор х € Мп такой, что Их(х) = называется тах-

допустимым решением задачи (2 8а)-(2 86)

Здесь [Х]а - а-уровневое множество нечеткого множества X, а его

высота

Во второй главе получены следующие теоремы, характеризующие допустимое решение В теореме 2 1 доказано, что полученные в диссертации модели являются действительными нечеткими расширениями обычных задач математическою программирования (МП), то есть при дефаззификации предложенной модели мы получаем исходную задачу МП В теореме 2 2 исследуется монотонность допустимых решений введенных моделей Установлено, что допустимое решение монотонно зависит от возможностных параметров Доказанная в работе теорема 2 4 играет важную роль в обосновании корректности предложенных в работе непрямых методов решения рассматриваемого класса задач и позволяет свести отыскание а-допустимых решений к поиску а-уровневых множеств возможностных параметров задачи

Основным результатом раздела 2 4 второй главы диссертации является следующая теорема

Теорема 2 6 Пусть дг есть непрерывные функции, дг К" х 1

г € М Пусть также возможностные переменные аг\, ,агк,Ьг являются минисвязаннъши и характеризуются квазивогнутыми и полунепрерывными сверху распределениями возможностей, имеющими конечный носитель а является Т-расширением замкнутого нечеткого отношения на К

Тогда системы (2 10) и (2 11) эквивалентны системе ограничений

' 9г(х,аг 1, ,агк) = tt, 3als е [ale]Qj,

- 3(1, Ъг) ЙЛ) е [ЩаЛ е N«,, (2 28)

,i6r,i€M,s = l, . ,к.

Эта теорема, дает способ построения детерминированных аналогов (непрямых методов решения задач рассматриваемого класса) Далее, на основе этого результата, в разделе 2 4 формулируется теорема 2 7, в которой раскрывается форма записи детерминированного аналога для допустимого решения введенного класса задач, и затем приводится теорема 2 8 в которой сформулированы условия выпуклости допустимого решения задачи ВМП п ее детерминированного аналога

В разделе 2 5 второй главы исследуется модель критерия формализованной задачи ^Предполагается существование дополнительного возможностного параметра bo G ^"(М), который характеризует нечеткую цель задачи (нечеткий уровень притязания критерия) и является экзогенной величиной, а также возможностного отношения Я$ посредством которого целевой функционал / сравнивается с нечетким уровнем притязания 60 В качестве критерия выступает возможность достижения уровня притязаний

В результате модель критерия (2 8а) записывается следующим эквивалентным образом

Tr{7(x;3)£o6o} sup (2 36)

жеК"

Приводится определение оптимального решения задачи

Определение 2.2 Нечеткое множество X* на Ж™ с функцией распределения

/х, определенной для всех х £ Ж" как

= n^UMM^xix)) (2 41)

называется оптимальным решением задачи возможностного математического программирования (2 8а)~(2 86), где является функцией распределения возможностей допустимого решения, заданного согласно (2 12) Для a € (0,1], вектор х Е [X*]Q называется а-оптималъньш решением задачи возможностного программирования (2 8а)-(2 86) Вектор х* € К", такой что ¡х^,{х*) = Hgt(Jf*), называется тах-оптимильнъш решением задачи (2 8а)-(2 86)

Теоремы 2 9 2 10 2 12 раздела 2 5 характеризуют свойства оптимального решения Основным результатом раздела 2 5 второй главы является теорема

2 14, позволяющая построить детерминированный аналог для модели критерия задачи (2 8а)-(2 86) В совокупности с теоремами 2 6 и 2 7 она позволяет сформулировать утверждения, позволяющие строить детерминированные аналоги введенного класса задач ВМП п непрямые методы пх решения Соответствующие теоремы доказаны в разделе 2 5 (теорема 2 15 и 2 16) Теорема 2.14 Пусть в модели критерия (2 36) функция / К" х К* —> К непрерывна Возможностный вектор с € Т (К'1) таков, что возможност-ные переменные С) , , ¿о являются минисвязанными Тогда задача (2 36) эквивалентна задаче

где с = (сь , ск)

Приводится утверждение 2 17, позволяющее установить выпуклость оптимального решения задачи (2 8а)-(2 86) и как следствие выпуклость ее детерминированного аналога.

В третьей главе исследуется устойчивость допустимого, оптимального решений и собственно самой задачи ВМП, формализованной согласно (2 8а)-(2 86) С этой целью развивается аппарат, предложенный в работах Р Филлера, М Ковач, М Федреззи В А Рыбкина и А В Язенина Получены обобщения соответствующих результатов теории устойчивости задач ВМП Наряду (. лим в третьей главе исследуются и нелинейные задачи, что потребовало применения принципиально новых подходов к формулированию и доказательству устойчивости этих задач

В третьей главе последовательно вводится метризация пространства воз-можпостных величии, затем устанавливается устойчивость допустимого и оптимального множеств задачи (2 8а)-(2 86) и в заключение формулируется результат, устанавливающий достаточные условия сильной и слабой устойчивости задачи (2 8а)-(2 86) Помимо этою устанавливаются достаточные условия устойчивости по решению и результату задачи неишейного магематическо1 о программирования содержащей возможностпыс ограничения

Вводится вспомогательная задача возможностного математического про-

хо вир, ' х0 < (Лс,(Сг), г = 1, , к,

хо < /¿дДг, Ьо),

< х0 < /лЪо(Ьо),

/(х,С1, ,<*) = £,

(2 60а)

(2 606)

граммирования

/(х,<?) —» тах, (3 11а)

д{х,аег)ЩЬЬ г е М = {1, ,т}, (3 116)

связанная с задачей (2 8а)-(2 86) и имеющая погрешности в определении функций распределения нечетких параметров 2е € Тс (К^), € Тс (К/0) Щ е ^с (Ж) и возможноетных отношений Щ € Тс (К2)

Предполагается, что возможностные параметры и нечеткие бинарные отношения возмущенной задачи (3 11) удовлетворяют условиям

max <ip(c,,c?) < е, 3=1, ,k J 3 (3 12)

max dp(al],'ä£l,) < e, »=1, ,m J (3 13)

max dp(bt,Ьег) < e, г—1, ,m (3 14)

max dp{Rl,B?l) < e, (3 15)

где е > 0 - величина возмущения

Для возмущенной задачи возможностного математического программирования (3 116) допустимое решение выглядит следующим образом

(¿хЛх) =Т(^щ(д1{х,а\),Ц), ¿"^(Ы x,ä£m),bem)) (319)

Доказано утверждение, позволяющее установить устойчивость допустимого решения задачи ВМП относительно малых возмущений нечетких параметров

Теорема 3.3 Пусть дг К" хК* —> К есть гладкие функции, аг Ьг и аег, Щ два набора Т-связанных замкнутых возможноетных параметров задач (2 8а)-(2 86) и (3 11), соответственно Пусть также Ra и Щ есть Т-расширения замкнутых нечетких бинарных отношений Е^ и Щ задач (2 8а)-(2 86) и (3 11), соответственно, Т = mm Если выполнены соотношения (313) (3 15) дня произвольного действительного числа е > 0, т,о

sup \ßx(x) - Мх'(х)\ ^ w(T,ii(e)), (3 20)

где

П(е) = тахтах {ш(а1},е),ш(Щ,е),ш(Ьг,£),и;(Ь6г, г), ш(111,е),ш(Щ,£)},

то есть П(е) является максимумом модулей непрерывности всех возмож-ностных переменных и нечетких отношений в точке е Следствие 3.4 Из соотношения (3 20) и того фанта, что = О,

следует., что

вир \^х{х) — —> О при е —> О.

Последнее означает устойчивость распределения возможностей допустимого решения относительно возмущений, заданных соотношениями (3 13)-(3 15) Оптимальное решение возмущенной задачи (3 11) имеет вид

= п^)) (3 21)

Доказывается теорема, позволяющая установить устойчивость оптимального решения задачи ВМП относительно малых возмущений нечетких параметров

Теорема 3.5 Пусть выполнены условия т-еоремы 3 3. / Ж" х К* —* Ж -гладкая функция, функции распределения нечетких целей &о и Щ полупрерывные сверху и неубывающие, а Ло и Щ являются Т-расширениями отношения «>», Т = шш Тогда если выполнены соотношения (3 12)-(3 15) для произвольного действительного числа е > 0, то

вир - < ш{Т,П(е)), (3 22)

где

0(е:) = тах тах { ш (а„, е), ш (а?е), ш (Ьг,е),

ш{Ъ£г, е), ш(с3, е), е), е),ш{Щ, е)}

Следствие 3.6 Из соотношения (3 22) и того факта, что 1пп£_*о = О, следует, что

вир — ¿г^,е(а;)| —* 0 при е —» О

хеШп

Последнее означает устойчивость распределения возможностей оптимального решения относительно возмущений, заданных соотношениями (3 12)-(3 15)

В этой главе исследуется также устойчивость нелинейной задачи возмож-ностпого программирования в следующей постановке

mm {g(®) \хеХ, 7г{Х(7) = ж} > а}, (3 23)

где X С - некоторое абстрактное множество ограничений Х(у) € Тс (ffi'm) - многомерная возможностная величина, ж - мера возможности, определенная на Г Г - пространство элементарных исходов, а - заданный уровень возможности

Задаче (3 23) сопоставляется возмущенная задача следующего вида

mm {д(х) \ х е X, тг{X= х) > а}, (3 24)

где е > О есть некоторая величина возмущения

Определяется многозначное отображение Ф Тс (R'n) =3 К™ и несобственио-значная функция ip Тс (Km) —» S = (—сю, оо)

Ф(/0 = arg mm {ff(a;) \ х е X, р{х) > а} ^

<р(/л) = mf {д(х) | х € X, ß(x) > а},

Вводятся локализованные понятия этих отображений для некоторого открытого множества V С К'"

Фу(/х) = arg mm {5(ж) | х € X П cl V, ц{х) > а} ^

<fv(fj) = mf {д(ж) | х е ХПс1У,//(ж) > а},

Очевидно, что

0 ф Щр) С V => Ф(м) = ¥>(]") = Мм) (3 29)

Основным результатом третьей главы диссертации является следующая теорема, позволяющая сделать вывод о сильной и слабой устойчивое!и нелинейной задачи возможностшн о npoi раммирования, что непосредственно показано в следствии 3 8

Теорема 3.7 Пусть относительно задачи (3 23) выполнены следующие предположения

(1) Функция g - выпукла

(2) X замкнуто и выпукло

(3) Функция распределения возможностей fi полунепрерывна ceepvy и ква-зивогпута

(4) Ф(/и) ^ 0 и ограничено

(5) Существует, х € X, т.акой что ц(х) > а (условие Слейтера.)

Тогда Ф £?(Rm) =i Km полунепрерывно сверху в ц, и существуют константы L..5 > 0, т-акие что Ф(^) ф 0 и \<p(v) — 4>{fJ>)\ < Ьйк(у,ц) для всех v е. таких, что /л) < S

Следствием приведенной выше теоремы является теорема 3 9 в которой формулируются и доказываются достаточные условия сильной и слабой устойчивости задачи (2 8а)-(2 86)

В четвертой главе приведено описание разработанных автором модулей системы поддержки принятия решений FIESTA По сравнению с предыдущими реализациями в систему поддержки принятия решений (СППР) FIESTA добавлены модели позволяющие решать задачи возможностиой оптимизации, содержащие в своей постановке нечеткие бинарные отношения Описаны структурные реорганизации, проведенные в архитектуре СППР FIESTA Здесь же приводится полное описание ее объектной модели и функциональных подсистем Кроме того в четвертой главе описываются модели задач возможностиой оптимизации, решение которых поддерживается на данный момент и приводятся модельные примеры расчетов при помощи СППР FIESTA В разделе 4 1 четвертой главы диссертации приводится описание архитектуры разработанных программных модулей СППР FIESTA и описание ее функциональных подсистем В разделе 4 2 дано описание поддерживаемых системой моделей задач возможностного программирования Раздел 4 3 посвящен описанию объектной модели СППР FIESTA и реорганизаций кода, проведенных в ходе выполнения диссертационного исследования Раздел 4 4 содержит описание работы системы здесь же приводятся модельные примеры расчетов проведенных при помощи СППР FIESTA Следует отметить, что корректность выполненных модельных расчетов подтверждается проведением аналогичных расчетов в математических пакетах MalLab и Ma.lhemal lea Однако в отличие от указанных математических пакетов СППР FIESTA позволяет работать непосредственно с задачами возможностной оптимизации и реализует алгоритмы построения детерминированных аналогов, а не только алгоритмы решения задач математического программирования

Приведем модельный пример, решенный в системе FIESTA и исслед\ем ею свойства Пример Пусть минимизируется функция д(хь^г) = x-¿ — х\ на множестве X — {(xi,x2) | xi + Хг — 3/2}, ® возможпостные ограничения сформировали допустимое решение X, имеющее функцию распределения

бозможиостей следующего вида

Их(Х1,Х2) = <

1,

оХ1+Х2~1)2 -г?

О,

Я1,Х2 > 1

XI + Х2 > 1 и Хх, Х2 € [0, 1] х2 > 1,Хх Е [О, 1] XI > 1,Х2 6 [О, 1] иначе

(0.1)

Таким образом ц^ постоянна на каждом, из сегментов {(х1,х2) 6 [О, I]2 | х'1 + х2 = а} , а € [О, 1]. Пусть также имеется некоторая функция р:

'(2хг-1)(2х2-1), х\,х2 е [1/2, 1] 2x1-1, ®2> 1,®1 6 [1/2, 1]

Д(®ь х2) = 2хг - 1, XI > 1, х2 е [1/2, 1] (0.2)

1, хь Хх > 1

^0, иначе.

Положим, что возмущение допустимого решения задается выражением = (1 — Л)/х^Н-ЛД, Л 6 [О, 1]. а-уровневые множества соответствующих функций изображены на рисунках 1, 2, при этом мы полагаем А = 1/2. Решим зада,ч,у для а = 0.25. Расстояние Колмогорова между и /1 равно

Рис. 1. Функция без возмущений, Рис. 2. Функция с возмущениями, у^,,

ц= \дк(цр), таким образом сходится к р,^ при А —> 0. Сделав вычисления получаем, что возмущенные а-уровневые множества

функции /í-^(q) имеют следующий вид

xi = а\, ec.au x-i > 1 х2 — если х\ > 1 х'2 = А), если х\ £ [ад, 1]

где

а\ =

2Л - ч/ТТЗА ,, ,. —2 + 2х + 2\х — \Л + ЗА - 16А:г + 16Лх2 ■;Ь(х, А) =-

2(А-1)

2(А-1)

Заметим, что 6(3/4, А) = 3/4, VA е [0,1], но 6(3/4, А) > 3/2-х, Vx <= [аА, 1], х ф 3/4 -и VA G (0,1]. Следовательно для любого произвольно маленького Л > О возмущенное допустлшое множество {х € X | р71-д(х) > о} вырождается в точку {(3/4,3/4)}. На самом деле Ф(^л) = {(3/4,3/4)}, VA > О, как легко видеть па рис. S. С другой стороны допустимое множество невозмущенной задачи определяется выпуклой оболочкой conv{(l/2,1), (1,1/2)}. Таким образом множество оптимальных решений невозмущенной задачи определятся, как = {(1,1/2)}. Следовательно Ф не является полуне-

прерывной сверху в fiх- Кроме того = —1/2, а <£>(/^л) = OVA > О,

поэт,ому <р не является непрерывной в Т.е. задача не является устойчивой ни по решению, ни результату.

Рис. 3. Решение

Приложение содержит вспомогательные результаты и справочный материал. Приведенные в приложении утверждения ц определения используются при формализации рассматриваемых моделей а также при доказательстве основных утверждений работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

(1) Предложены обобщения основных моделей возможностной оптимизации на случай, когда элементы задачи принятия решений связаны нечеткими бинарными отношениями и разработаны непрямые их решения Предложенная постановка задач возможностного программирования позволяет более адекватно описывать моделируемые средствами теории возможностей практические задачи

(2) Получены результаты, позволяющие установить достаточные условия замкнутости и выпуклости множеств допустимых и оптимальных решений детерминированных аналогов для задач предложенного класса

(3) Сформулированы и доказаны условия устойчивости распределений возможностей допустимого и оптимального решений исследуемого класса задач относительно возмущений нечетких параметров

(4) Сформулированы и доказаны достаточные условия сильной и слабой устойчивости задач исследуемого класса

(5) Разработано программное обеспечение позволяющее решать задачи исследуемого класса Проведены численные эксперименты на модельных примерах, подтверждающие работоспособность разработанного комплекса программ Корректность произведенных расчетов подтверждается численными экспериментами в среде МАТЬАВ Следует ответить что разработанный программный комплекс в отяичие от существующих математических пакетов предлагает интерактивный интерфейс для работы с задачами возможностного математического программирования, их решения и визуализации

Результаты диссертационного исседования позволяют расширить круг задач решаемых в контексте возможностного программирования Публикации автора по теме диссертации

[1] Гордеев, Р Н Метод решения одной задачи возможностного программирования / Р Н Гордеев А В Язенин // Известия РАН Теория и системы управления — 2006 — № 3 — С 121-128

[2] Гордеев, Р Н. Гельдерова устойчивость в задачах стохастического программирования с вероятностными ограничениями / Р Н Гордеев, А В Язенин // Программные продукты и системы Приложение к международному журналу «Проблемы т.еории и практикг1 управления» — 2006 - № 4(76) - С 44-46

[3] Гордеев, Р Н Возможностное программирования при нечетких отношениях / Р Н Гордеев, А В Язенин // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования материалы конференции — Воронеж Воронежская государственная технологическая академия, 2005 - С 71-72

[4] Гордеев, РНК задаче максимизации необходимости нечеткой цели / Р Н Гордеев // Вестник ТвГУ Сер Прикладная математика- —2005 — № б - С 100-107

[5] Gordeev, R. N On the problem of possibihstic piogramming with fuzzy bmaiy relations / R N Gordeev A V Yazemn /;' Proceedings East West Fuzzy-Colloquium 2006 13th Zittau Fuzzy Colloquium — Zittau/Goilitz Germany University of Applied Sciences (FH) 2006 - Pp 256-263

[6] Гордеев, P H Исследование устойчивости одного класса задач возмож-ностного программирования / Р Н Гордеев , / Всероссийская научная конференция по нечетким системам и мягким вычислениям НСМВ-2006 — М Физматлит, 2006 — С 121-132

[7] Гордеев, Р Н Некоторые свойства множеств допусгамых решений задач возможиостного программирования с нечеткими бинарными отношениями / Р Н Гордеев // Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте Сборник трудов IV-й Международной научно-практической конференции (Коломна, 28-30 мая 2007 г) — Т 1 — М Физматлит, 2007 - С 195-203

Технический редактор Н М Петрив Подписано в печать 5 10 2007 Формат 60 84 1/16 Уел печ л 1 25 Тираж 100 экз Заказ №482 Тверской государственный университет Редакционно-издательское управление Адрес Россия, 170100 г Тверь ул Желябова 33 Тел РИУ (4822) 35-60-63

Введение

1 Преобразования возможностных величин и обобщение нечетких отношений

1.1 Возможностью величины.

1.2 Преобразования возможностных величин.

1.3 Обобщение нечетких отношений.

Выводы по первой главе.

2 Модели задач возможностной оптимизации и методы их решения

2.1 Общая постановка задачи математического программирования

2.2 Формализация задачи возможностного программирования

2.3 Допустимое решение задачи возможностного математического программирования с нечеткими бинарными отношениями

2.4 Свойства допустимого решения.

2.5 Оптимальное решение задачи возможностного математического программирования с нечеткими бинарными отношениями и его свойства.

Выводы по второй главе.

3 Устойчивость задач возможностной оптимизации

3.1 Метризация пространства возможностных величин.

3.2 Устойчивость в задачах возможностного математического программирования.

3.2.1 Устойчивость допустимого решения задачи возможностного математического программирования с нечеткими бинарными отношениями.

3.2.2 Устойчивость оптимального решения задачи возможностного математического программирования с нечеткими бинарными отношениями.

3.2.3 Сильная и слабая устойчивость решений задачи возможностного математического программирования с нечеткими бинарными отношениями.

Выводы по третьей главе.

4 Программный комплекс поддержки моделей и методов возможностной оптимизации

4.1 Архитектура программного комплекса.

4.2 Банк моделей возможностной оптимизации, поддерживаемых программным комплексом.

4.3 Объектная модель и функциональные подсистемы программного комплекса.

4.4 Описание работы программного комплекса и модельные расчеты

Выводы по четвертой главе.

Актуальность

Оптимизационные задачи возникают при формализации целенаправленного поведения человека в различных сферах его деятельности, будь то проектирование сложных технических систем, ведение экономической деятельности, прогнозирование природных явлений, исследования в биологии и физике и многое другое. Однако зачастую даже при хорошо формализованной задаче математического программирования может возникнуть вопрос о «правдоподобности» полученных в ходе ее решения результатов, поскольку предоставляемые исходные данные могут содержать ошибки, например ошибки измерений, экспертные оценки, имеющие, как правило, приближенный характер. В этих условиях оказывается важным выделение классов оптимизационных задач, на решения которых подобные факторы не оказывают существенного влияния. Такие задачи называются устойчивыми. На самом деле понятие устойчиво разрешимой задачи является одним из ключевых в определении корректной задачи, предложенном Ада-маром.

Что же касается проблемы решения задач, неустойчивых к малым возмущениям исходных данных, то первые фундаментальные принципы по их решению были сформулированы Тихоновым А. Н. [48]. Развитие его идей опровергло мнение о том, что приближенное решение некорректно поставленных задач (НПЗ), т.е. задач, неустойчивых к малым возмущениям исходных данных, является бессмысленным с математической точки зрения и совершенно неоправданной с физической. Идеи Тихонова привели к дальнейшему созданию мощного математического аппарата для устойчивого решения некорректно поставленных задач и его применению в различных математических, физических и других областях науки и техники.

В настоящее время имеется целый ряд монографий и статей, посвященных разработке проблемы регуляризации НПЗ и исследованию их устойчивости, из которых в первую очередь отметим получивших широкую известность в мировой науке авторов А.Н. Тихонова [33,48 54,59], В.Я. Ар-сенина, С.А. Ашманова [1,2], Ф.П. Васильева [3-6,31], А.Ю. Иваницкого, В.Г. Карманова, Д.А. Молодцова, В.В. Федорова, В.А. Морозова, А.Б. Ба-кушинского, А.И. Гребенникова и других авторов. В работах этих авторов можно найти как формальное определение устойчивости для задач того или иного типа, так и подходы к ее исследованию.

Проблема устойчивости остается актуальной и для задач возможност-ной оптимизации. На практике мы не знаем «истинного» распределения значений возможностных величин, моделирующих мнение эксперта, а строим для них некоторую аппроксимацию. Таким образом возникает вопрос: как сильно мы отклонимся от истинного решения, если допустим некоторые погрешности в процессе моделирования экспертного мнения. Если задача возможностного программирования является неустойчивой, мы получим значительные отклонения и будем вынуждены признать, что наша аппроксимирующая модель является неадекватной. В этом случае для решения задачи возможностного программирования необходимо применять регуляризирующие алгоритмы, предложенные В.А. Рыбкиным и А.В. Язе-ниным [40].

Наиболее широко цитируемыми работами в области исследования устойчивости задач с нечеткими параметрами являются работы Р. Фуллера [57,79,83,85,86] и М. Ковач [20,21,31]. В этих работах исследована устойчивость задач нечеткой оптимизации и систем линейных уравнений с нечеткими параметрами. Развитие этих результатов и их обобщение на класс задач возможностной оптимизации сделано В.А. Рыбкиным и А.В. Язени-ным [37,39,40,117]. В этих работах предложен единый подход к исследованию устойчивости задач возможностной оптимизации и методы регуляризации.

Следует отметить, что во всех работах, приведенных выше, рассматривались задачи, элементы которых связаны бинарными отношениями равенства или неравенства. Практический интерес представляет такая постановка задачи, в которой указанные отношения представлены нечеткими бинарными отношениями. В этом специальном случае существующие результаты в возможностной оптимизации требуют соответствующего обобщения и развития. Приведенные выше результаты не применимы, поскольку методы исследования устойчивости в указанных выше работах связаны с построением детерминированных аналогов исходной задачи возможност-ного программирования, а для данного случая эта процедура значительно отличается [12,87].

Ввиду этого разработка и исследование моделей и методов решения задач возможностного программирования с нечеткими отношениями является актуальной проблемой, поскольку ее решение позволит моделировать «мягкость» при формализации ограничений и целевого функционала и осуществлять их регуляризацию.

Обзор литературы

Вопросы устойчивости по праву занимают одно из центральных мест в теории оптимизации и исследовании операций, поскольку устойчивость, как уже было сказано выше, играет ключевую роль в определении корректности, или хорошей обусловленности задачи, что в свою очередь определяет правомерность применения того или иного метода решения задачи.

В отечественной литературе вопросам устойчивости уделено достаточное внимание, однако, при обилии публикаций (см., например, библиографию в [16]), автору известно только три русскоязычных книги, посвященных специально вопросам устойчивости оптимизационных задач, это монографии Д.А. Молодцова [26], А.Ф. Измайлова [16] и Е.С. Левитина [25]. Основной же, на сегодняшний день, как нам представляется, является книга А. Шапиро и Ф. Боннанса [76], в которой в контексте единого подхода изучается устойчивость оптимизационных задач, приводятся достаточные условия устойчивости того или иного класса задач оптимизации и даются практические рекомендации по построению их численных решений.

Важно отметить, что в той или иной мере вопросы устойчивости освещаются в литературе, посвященной вопросам оптимизации. Так, например, в книгах Ашманова [1] и Васильева, Иваницкого [6] изучается устойчивость задач линейного программирования (ЛИ) и приводятся необходимые и достаточные условия устойчивой разрешимости этих задач, там же обсуждаются методы построения регуляризирующих алгоритмов решения задач ЛП. В монографии Карманова [19] рассматриваются вопросы устойчивости для некоторого класса задач выпуклого программирования и приводятся регулярный алгоритм их решения. В монографии Федорова [56] рассматриваются как вопросы устойчивости относительно оптимальных значений целевого функционала (слабая устойчивость), так и устойчивость относительно оптимальных решений (сильная устойчивость) на основе изучения непрерывности многозначных отображений, задающих множество допустимых решений. Отдельно упомянем книгу Тихонова [51], посвященную вопросам решения некорректных задач и построению регуляризирующих алгоритмов, практическое применение результатов которой можно найти в [29,59].

Теория нечетких множеств, теория возможностей и нечеткая оптимизация достаточно полно изложены в работах А. Кофмана [24], Л. Заде [14,126,127], Р. Беллмана [73], Дж. Бакли [77,78], Д. Дюбуа и А. Пра-да [80,81], С.А. Орловского [30], А.В. Язенина [62,63,66-68,70,123,125]. И если в работах Заде показано, каким образом нечеткую, качественного характера информацию можно использовать в формализованных процедурах анализа, то в работах Беллмана, Бакли, Дюбуа, Прада, Орловского, Язенина решается проблема математической обработки той нечеткой информации, которая введена в модель, и прежде всего - проблема сужения множества альтернатив на основе этой информации. Отметим здесь работу Орловского [30], где предложен метод выбора недоминируемых альтернатив на основе введения нечеткого бинарного отношения на множестве допустимых решений и продемонстрировано применение этого метода к решению различных задач нечеткого математического программирования и решению игр в нечеткой среде. Так же надо отметить, что в работах Язенина [123,125] предложен единый методологический подход к формализации задач нечеткой оптимизации в контексте теории возможностей. Необходимые результаты, касающиеся теории нечетких мер, подробно изложены в работе Зениана Ванга и Джорджа Клира [121].

Вопросы устойчивости задач нечеткой оптимизации, которые являются специальным случаем задач принятия решений в условиях неопределенности, наиболее полно рассмотрены в работах Р. Фуллера [57, 79,83,85,86], М. Ковач [20,21,31], И. Канестрелли [79] и М. Федриззи [83,85]. В них последовательно излагаются методы исследования устойчивости систем линейных возможностных неравенств, параметры которых характеризуются трапециевидными [20] и липшицуемыми распределениями [86], задач нечеткой линейной оптимизации в классах симметричных триангулярных [85] и непрерывных распределений [83]. Из результатов, полученных в этих работах, можно выделить следующие. В работе [20] исследуются системы линейных алгебраических уравнений с нечеткими коэффициентами, характеризующимися симметричными трапециевидными нечеткими числами с зоной толерантности в > 0 и носителем а > 0 anxi + а\2х2 + . + ainxn = bh a2iXi + a22x2 + . + a2nxn = b2, am 1X1 + am2x2 + . + amnxn = b mi где ay, bi - нечеткие числа, xt = (x\,., xn) - вектор переменных. Получена оценка 8 r = sup — & (я) < min{l; —}, xeR" a где а, а5 есть функции принадлежности нечетких решений исходной и возмущенной задач соответственно, S — величина возмущения. В предположении, что множество четких оптимальных решений системы не пусто, получена оценка р{х,Х*)= inf \x-y\<Co(6 + e)(\x\i + l),xeX*(6), уех* где X — множество оптимальных решений исходной системы, Х*(<5) = {х € Rn|<TJ(£) = 1}, Со - некоторая положительная постоянная. В работе отмечен тот факт, что поскольку симметричные трапециевидные или триангулярные нечеткие числа могут быть получены сглаживанием прямоугольных или острых нечетких чисел, то такое сглаживание представляет собой некоторую регуляризацию систем, рассматриваемых на классах прямоугольных или острых нечетких чисел.

В работе [85] исследуется задача линейного программирования при нечетких ограничениях, параметры которых являются симметричными триангулярными нечеткими числами: ао,#) —► min, Ах < 6, где А = [a,ij] - матрица га х п нечетких коэффициентов, характеризующихся симметричными триангулярными функциями распределения, Ь1 = (6i,., Ьт) - вектор нечетких коэффициентов, принадлежащих классу симметричных триангулярных нечетких чисел, характеризующий уровни притязаний каждого ограничения, ао = (аоь ., аоп) - вектор коэффициентов целевого функционала (обычные числа), хь = {х\,. ,хп) - вектор переменных. Получена оценка

2 - = sup |ц{х) - iis(х)\ < 6 (- + i ) , xeR" 1 \а dj где /л, // есть степени выполнения ограничений исходной и возмущенной систем, а — коэффициент нечеткости параметров технологической матрицы, d — минимальный коэффициент нечеткости компонент вектора ресурсов.

В работе [83] для задачи возможностного линейного программирования в постановке Дж. Бакли [77] max / min Z = сх Ax*b, х>0, где А = [a,ij] - матрица т х п нечетких коэффициентов, ¥ = (6i,., bm) и с = (ci,. ,Сп) - векторы нечетких коэффициентов, х1 — (х\,., хп) -вектор переменных, а * 6 {<,>,=}• Получена оценка возмущения воз-можностного распределения целевого функционала, позволяющая сделать вывод о слабой устойчивости задачи при моделировании нечетких параметров непрерывными функциями распределения: sup I Poss[Zs = г] - Poss[Z = z]\< ш(6), xeRn oj(S) = max{(j(aij, S),u(aL 6),ш(Ьи S), cj(bf, 6),w(cj, S),w(ci S)}. hj

Здесь Poss[Z = z], Poss[Z5 = z] и a^-, Ьг) Cj, afj, bf, c5j есть возможностные распределения целевых функционалов и параметров исходной и возмущенной задач соответственно.

Упомянутые выше результаты нашли свое развитие и обобщение в работах Рыбкина и Язенина [35-40,115,117]. В данных работах, в едином контексте теории возможностей, обобщены результаты, полученные выше упомянутыми авторами, а также рассмотрены вопросы устойчивости других классов задач возможностной оптимизации. В работе [39] получены достаточные условия сильной устойчивости задач максимизации уровня и возможности достижения нечеткой цели при ограничениях по возможности. Кроме того в этих работах затрагиваются вопросы решения неустойчивых задач возможностного программирования [40], и предложен метод регуляризации для решения некоторых классов подобных задач.

В заключение упомянем работы, посвященные вопросам устойчивости в многокритериальных задачах нечеткого математического программирования. Так вопросы устойчивости многокритериальных задач нечеткого линейного программирования рассматриваются в [72]. Устойчивость многокритериальных задач нелинейного программирования при нечетких ограничения обсуждается в [96]. А обобщение работы [96] на случай, когда и целевые функционалы содержат нечеткие параметры, приведено в [71].

Цель работы

Целью настоящего диссертационного исследования является обобщение основных моделей задач возможностного программирования на случай, когда элементы задачи принятия решений связаны нечеткими бинарными отношениями, исследование свойств полученных моделей и построение для них непрямых методов решения.

Основные задачи

Поставленная в диссертации цель работы достигается путем решения следующих задач:

• определение и исследование бинарных нечетких отношений в возмож-ностном контексте;

• разработка моделей задач математического программирования с воз-можностными параметрами в нечетких отношениях;

• разработка непрямых методов решения задач, основанная на построении их эквивалентных детерминированных аналогов;

• исследование множеств допустимых и оптимальных решений полученных эквивалентных детерминированных аналогов;

• выявление необходимых и достаточных условий устойчивости задач исследуемого класса, относительно возмущений нечетких параметров;

• разработка комплекса программ поддержки методов возможностной оптимизации для формализованного в диссертационном исследовании класса задач.

Методика исследования

Для формализованного описания изучаемого класса задач используется математический аппарат современной теории возможностей, при доказательстве теорем используются методы возможностной оптимизации, математического программирования, математического и функционального анализа. Методологическую основу исследования составляют результаты классической теории устойчивости и корректности задач оптимизации. При реализации программного комплекса применялись методы объектноориентированного проектирования и паттерны проектирования, а также методы реструктуризации программного кода.

Научная новизна работы

Научная новизна состоит в учете при формализации задач возможност-ного программирования нечеткости бинарных отношений, формулировании основных свойств полученного класса задач и разработке методов их решения.

Основными результатами диссертационного исследования, выносимыми на защиту являются: i) методы обобщения нечетких отношений в возможностном контексте; и) обобщения существующих моделей задач возможностного программирования на случай, когда элементы критериев и ограничений связаны возможностными бинарными отношениями; iii) необходимые и достаточные условия выпуклости и замкнутости допустимого и оптимального решений введенных моделей задач возмож-ностной оптимизации; iv) непрямые методы решения задач возможностной оптимизации, содержащих возможностные бинарные отношения в моделях критериев и ограничений, на основе построения эквивалентных детерминированных аналогов; v) достаточные условия устойчивости допустимого и оптимального решений полученного класса задач возможностного программирования; vi) достаточные условия сильной и слабой устойчивости для обобщений основных моделей возможностного программирования; vii) программный комплекс инструментальной поддержки решения задач возможностной оптимизации.

Теоретическая и практическая значимость работы

Применение полученных результатов позволяет строить более адекватные модели принятия решений за счет введения возможностных бинарных отношений между элементами задачи. Установленные необходимые и достаточные условия устойчивости введенных моделей позволяют обосновать корректность их применения при решении задач экономико-математического планирования, моделирования реальных процессов и др. Разработанный программный комплекс может применяться в учебном процессе и при решении прикладных задач.

Достоверность и обоснованность результатов

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов подтверждается строгостью проводимых математических обоснований при формулировании и доказательстве теорем, результатами численных расчетов, сравнительным анализом полученных в ходе модельных экспериментов результатов с известными.

Внедрение результатов работы

Проведенные научные исследования поддержаны грантом РФФИ, проект № 04-01-96720 «Разработка моделей и методов портфельного анализа и программной системы поддержки принятия решений», исполнителем которого диссертант являлся в 2004-2006 гг. Результаты диссертации используются также в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Тверского государственного университета.

Апробация

Основные результаты диссертационной работы докладывались автором на международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, Россия, 2005 г.), 13-ом международном коллоквиуме по нечетким вычислениям «East West Fuzzy Colloquium 13th Zittau Fuzzy Colloquium» (г. Циттау, Германия, 2006 г.), всероссийской научной конференции «Нечеткие системы и мягкие вычисления-2006» (г. Тверь, Россия, 2006 г.), IV-ой международной научно-практической конференции «Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте» (г. Коломна, Россия, 2007 г.), на научных семинарах в Тверском государственном университете.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе 2 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК для представления результатов кандидатских диссертаций и 5 в остальных изданиях.

Структура работы и ее содержание

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографии и приложения.

Выводы по четвертой главе

В ходе работы над диссертацией программный комплекс FIESTA, разработанный Сорокиным С.В. [43] был дополнен новыми модулями, позволяющими решать задачи возможностной оптимизации, содержащие в своих постановках нечеткие бинарные отношения, и соответствующими алгоритмами построения детерминированных аналогов для задач такого класса.

Кроме того в СППР FIESTA был реализован интерфейс, позволяющий использовать программную библиотеку алгоритмов решения задач математического программирования FrontLine Solver Platform SDK, что позволило существенно расширить круг решаемых этим программным средством задач и в большей степени сконцентрироваться на проблеме построения детерминированных аналогов задач возможностного программирования, нежели на реализации численных методов решения задач математического программирования.

В ходе реорганизации СППР FIESTA была изменена ее объектная модель. Ее архитектура стала более гибкой: были выделены отдельные интерфейсные классы отвечающие за построение моделей задач возможностного и четкого программирования, что позволит в дальнейшем с большей легкостью добавлять в систему новые модели. Кроме того был выделен отдельный класс для работы с внешними программными модулями, такими как Solver SDK. Таким образом в дальнейшем при замене библиотеки, отвечающей за решение задач математического программирования нам не придется изменять архитектуру всей системы, достаточно будет лишь соответствующим образом изменить реализацию этого фасада.

Свое применение СППР FIESTA может может найти в процессах принятия решений в большинстве инженерных и финансовых приложений, а также она может использоваться как вспомогательное программное средство для проведения вычислительных экспериментов на практических занятиях по курсам «нечеткая математика», «принятие решений в условиях неопределенности», «прогнозирование социальных и экономических явлений».

Заключение

В ходе проведенного диссертационного исследования был исследован новый класс задач возможностного программирования, содержащих нечеткие бинарные отношения в моделях критерия и ограничений. Были получены результаты касающиеся построения непрямых методов решения задач данного класса и исследована устойчивость данного класса задач по отношению к возмущениям возможностных параметров. Среди полученных результатов можно выделить следующие: i) Предложены обобщения основных моделей возможностной оптимизации на случай, когда элементы задачи принятия решений связаны нечеткими бинарными отношениями и разработаны непрямые их решения. Предложенная постановка задач возможностного программирования позволяет более адекватно описывать моделируемые средствами теории возможностей практические задачи. ii) Получены результаты, позволяющие установить достаточные условия замкнутости и выпуклости множеств допустимых и оптимальных решений детерминированных аналогов для задач предложенного класса. iii) Сформулированы и доказаны условия устойчивости распределений возможностей допустимого и оптимального решений исследуемого класса задач относительно возмущений нечетких параметров. iv) Сформулированы и доказаны достаточные условия сильной и слабой устойчивости задач исследуемого класса. v) Разработано программное обеспечение, позволяющее решать задачи исследуемого класса. Проведены численные эксперименты на модельных примерах, подтверждающие работоспособность разработанного комплекса программ. Корректность произведенных расчетов подтверждается численными экспериментами в среде MATLAB. Следует ответить, что разработанный программный комплекс в отличие от существующих математических пакетов предлагает интерактивный интерфейс для работы с задачами возможностного математического программирования, их решения и визуализации.

В плане дальнейшего исследования перспективным представляется рассмотрение вопроса регуляризации задач исследуемого здесь класса и численная реализация соответствующих алгоритмов. Также требуют дальнейшего исследования вопросы, касающиеся выпуклости и замкнутости исследуемого класса задач, а также вопросы построения эффективных алгоритмов решения их детерминированных аналогов. Более детального изучения заслуживают случаи взаимодействующих возможностных переменных.

1. Ашманов, С. А. Линейное программирование / С. А. Ашманов. — М.: Наука, 1981. - 340 с.

2. Ашманов, С. А. Условие устойчивости задач линейного программирования / С. А. Ашманов // ЖВМиМФ. 1981. - Т. 21, № 6. - С. 14021410.

3. Васильев, Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф. П. Васильев. — 2-е, перераб. и доп. изд. — М.: Наука, 1988. — 552 с.

4. Васильев, Ф. П. К вопросу устойчивости методов регуляризации в линейном программировании / Ф. П. Васильев // Вест. Моск. унта, Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. — 1998.— № 3. С. 19-23.

5. Васильев, Ф. П. Критерии устойчивости общей задачи линейного программирования / Ф. П. Васильев // Вест. Моск. ун-та, Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. — 1998. — № 2. — С. 1720.

6. Васильев, Ф. П. Линейное программирование / Ф. П. Васильев, А. Ю. Иваницкий.— 2-е, доп. изд. — М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2003.-352 с.

7. Гордеев, Р. Н. К задаче максимизации необходимости нечеткой цели / Р. Н. Гордеев // Вестник ТвГУ. Сер. прикладная математика. — 2005. № 6. - С. 100-107.

8. Гордеев, Р. Н. Исследование устойчивости одного класса задач возможностного программирования / Р. Н. Гордеев // Всероссийская научная конференция по нечетким системам и мягким вычислениям НСМВ-2006.— М.: Физматлит, 2006.- С. 121-132.

9. Гордеев, Р. И. Метод решения одной задачи возможностного программирования / Р. Н. Гордеев, А. В. Язенин // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2006. — № 3. — С. 121-128.

10. Дюбуа, Д. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике / Д. Дюбуа, А. Прад; Под ред. С. А. Орловский. — М.: Радио и связь, 1990. 288 с.

11. Заде, Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений / JI. Заде; Под ред. Н. Н. Моисеев, С. А. Орловский, М.: Мир, 1976.- 165 с.

12. Зангвилл, У. И. Нелинейное программирование. Единый подход / У. И. Зангвилл; Под ред. Е. Г. Голынтейн. — М.: Советское радио, 1973.-312 с.

13. Измаилов, А. Ф. Чувствительность в оптимизации / А. Ф. Измаилов. — М.: Физматлит, 2006. — 248 с.

14. Измаилов, А. Ф. Численные методы оптимизации / А. Ф. Измаилов, М. В. Солодов.- М.: Физматлит, 2005.- 304 с.

15. Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов; Под ред. А. В. Бухвалов. — 4-е, испр. изд. — СПб.: Невский диалект; БХВ-Петербург, 2004. — 816 с.

16. Карманов, В. Г. Математическое программирование / В. Г. Карманов. — М.: Наука, 1980. '

17. Ковач, М. Об устойчивости нечеткого решения систем линейных алгебраических уравнений с нечеткими коэффициентами / М. Ковач, Ф. П. Васильев, Р. Фуллер // Вест. Моск. ун-та, Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. — 1989. — № 1. — С. 5-9.

18. Ковач, М. О нечетко расширенных линейных системах равенств и неравенств / М. Ковач, Р. Фуллер // Актуальные вопросы прикладной математики. М.: МГУ, 1989.- С. 73-80.

19. Колмогоров, А. Н. Основные понятия теории вероятностей / А. Н. Колмогоров. — М.: Наука, 1974.

20. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — 7-е изд. — М.: Наука, 2006.-572 с.

21. Кофман, А. Введение в теорию нечетких множеств / А. Кофман.— М.: Радио и связь, 1982. 432 с.

22. Левитин, Е. С. Теория возмущений в математическом программировании и ее приложения / Е. С. Левитин. — М.: Наука, 1992.

23. Молодцов, Д. А. Устойчивость принципов оптимальности / Д. А. Молодцов. — М.: Наука, 1987,

24. Морозов, В. А. Методы регуляризации неустойчивых задач / В. А. Морозов. М.: МГУ, 1987.

25. Морозов, В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач / В. А. Морозов. — М.: Наука, 1987.

26. Морозов, В. А. Методы решения некорректно поставленных задач: алгоритмический аспект / В. А. Морозов, А. И. Гребенников. — М.: МГУ, 1992.

27. Орловский, С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации / С. А. Орловский. — М.: Наука, 1981.

28. Оценка скорости сходимости метода невязки для задач линейного программирования с приближенными данными / Ф. П. Васильев, М. Ковач, М. М. Потапов, Ю. Н. Чеканов // ЖВМиМФ.- 1990.Т. 30, №8.-С. 1257-1262.

29. Приемы объектно-ориентированного проектирования. Паттерны проектирования. / Э. Гамма, Р. Хелм, Р. Джонсон, Д. Влисидес. — СПб: Питер, 2004. 266 с.

30. Регуляризующие алгоритмы и априорная информация / А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степанов, А. Г. Ягола. — М.: Наука, 1983.

31. Рокафеллар, Р. Выпуклый анализ / Р. Рокафеллар.— М.: Мир, 1973.

32. Рыбкин, В. А. Исследование устойчивости одной задачи возможностного линейного программирования / В. А. Рыбкин // Ученые записки ТвГУ. 1998. - Т. 4. - С. 9-13.

33. Рыбкин, В. А. Исследование устойчивости задач возможностной оптимизации / В. А. Рыбкин // Сборник докладов научной конференции, посвященной 70-летию со дня рождения академика В.А. Мельникова. Москва: РАН, 1999. - С. 190-192.

34. Рыбкин, В. А. Вопросы корректности и устойчивости задач возможностной оптимизации: Дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Тверс. гос. университет. — Тверь, 2000.

35. Рыбкин, В. А. О специфике вопросов устойчивости в нечеткой оптимизации / В. А. Рыбкин // Моделирование сложных систем: сборник научных трудов. — Вып. 3. — Тверь: ТвГУ, 2000.

36. Рыбкин, В. А. О сильной устойчивости в задачах возможностной оптимизации / В. А. Рыбкин, А. В. Язенин // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2000. — № 2. — С. 90-95.

37. Рыбкин, В. А. Возможностная регуляризация задач линейного программирования / В. А. Рыбкин, А. В. Язенин // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2003. — № 3. — С. 80-89.

38. Сорокин, С. В. Анализ структуры задач возможностного программирования в контексте мер возможности и необходимости / С. В. Сорокин // Вестник тверского государственного университета. Серия прикладная математика. — 2003. — № 2. — С. 44-51.

39. Сорокин, С. В. Методические рекомендации по использованию программной системы поддержки моделей и методов возможностной оптимизации / С. В. Сорокин.™ Тверь: ТвГУ, 2004.— 23 е. — Учебно-методическое пособие.

40. Сорокин, С. В. Модели и методы коррекции задач возможностного программирования и программный комплекс их поддержки: Дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Тверс. гос. университет. — Тверь, 2004.

41. Сорокин, С. В. Система поддержки принятия решений на базе моделей и методов возможностной оптимизации / С. В. Сорокин,

42. A. В. Язенин // Программные продукты и системы. — 2000. — № 3. — С. 9-13.

43. Сорокин, С. В. Анализ структуры задач возможностного программирования / С. В. Сорокин, А. В. Язенин j j Сложные системы: обработка информации, моделирование и оптимизация.— Тверь: ТвГУ, 2002.-С. 120-130.

44. Сухарев, А. Г. Курс методов оптимизации / А. Г. Сухарев, А. В. Ти-мохов, В. В. Федоров. — М.: Наука, 1986.

45. Тихонов, А. Н. Об устойчивости обратных задач / А. Н. Тихонов // ДАН СССР. 1943. - Т. 39, № 5. - С. 195-198.

46. Тихонов, А. Н. О некорректных задачах оптимального планирования / А. Н. Тихонов // ЖВМиМФ. 1966. — Т. 6, № 1.— С. 81-89.

47. Тихонов, А. Н. О нормальных решениях приближенных систем линейных алгебраических уравнений / А. Н. Тихонов // Докл. АН СССР. 1980. - Т. 254, № 3. - С. 549-554.

48. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов,

49. B. Я. Арсенин. — М.: Наука, 1974.

50. Тихонов, А. Н. Нелинейные некорректные задачи / А. Н. Тихонов, А. С. Леонов, А. Г. Ягола. — М.: Наука, Физматлит, 1995.

51. Тихонов, А. Н. О задаче коррекции линейных неравенств / А. Н. Тихонов, В. А. Морозов // Сб. работ НИВЦ МГУ «Численный анализ: методы, алгоритмы, приложения». — М.: МГУ, 1985. — С. 3-13.

52. Федоров, В. В. К вопросу об устойчивости задачи линейного программирования / В. В. Федоров // ЖВМиМФ. 1975. - Т. 15, № 6. -С. 1412-1423.

53. Федоров, В. В. Численные методы максимина / В. В. Федоров. — М.: Наука, 1979.

54. Фуллер, Р. Исследование некоторых классов нечетких линейных задач: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук / Моск. гос. унив. — Москва, 1987.

55. Халмош, П. Теория меры / П. Халмош; Под ред. С. В. Фомин. — М.: Изд-во. «Факториал Пресс», 2003. — 256 с.

56. Численные методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степанов, А. Г. Ягола. — М.: Наука, 1990.

57. Ширяев, А. Н. Вероятность. В 2-х кн. / А. Н. Ширяев. — 3-е, перераб. и доп. изд. — М.: МЦНМО, 2004.— Т. 1: Элементарная теория вероятностей. Математические основания. Предельные теоремы. — 520 с.

58. Ширяев, А. Н. Вероятность. В 2-х кн. / А. Н. Ширяев. — 3-е, перераб. и доп. изд. — М.: МЦНМО, 2004. — Т. 2: Суммы и последовательности случайных величин стационарные, мартингалы, марковские цепи. — 408 с.

59. Язенип, А. В. Задача векторной оптимизации с нечеткими коэффициентами важности критериев / А. В. Язенин // Математические методы оптимизации и управления в сложных системах.— Калинин: КГУ, 1981.-С. 38-51.

60. Язенин, А. В. Нечеткое математическое программирование / А. В. Язенин. Калинин: КГУ, 1986. - 60 с.

61. Язенин, А. В. Гибридная экспертная система для планирования / А. В. Язенин // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. — 1989. — JV-0 5. — С. 162-167.

62. Язенин, А. В. Линейное программирование со случайными нечеткими данными / А. В. Язенин // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика.— 1991. -№3.- С. 52-58.

63. Язенин, А. В. Модели возможностного программирования в оптимизации систем / А. В. Язенин // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. — 1991.- №5.-С. 133-142.

64. Язенин, А. В. Возможностное и интервальное линейное программирование / А. В. Язенин // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика.— 1993. № 5. - С. 149-155.

65. Язенин, А. В. Моделирование ограничений в задачах возможностного линейного программирования / А. В. Язенин // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1994. - № 2. - С. 84-88.

66. Язенин, А. В. Методы оптимизации и принятия решений при нечетких данных: Автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук / Твер. гос. унив. — Тверь, 1995.

67. Язенин, А. В. К задаче максимизации возможности достижения нечеткой цели / А. В. Язенин // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1999. - № 4. - С. 120-123.

68. Ammar, Е. Е. Stability of multiobjective nip problems with fuzzy parameters in the objectives and constraints functions / E. E. Ammar // Fuzzy Sets and Systems. 1997. - no. 90. - Pp. 225-234.

69. Ammar, E. E. On stability analysis of multicriteria Ip problems with fuzzy parameters / E. E. Ammar, M. A. Kassem // Fuzzy Sets and Systems. — 1996.-no. 82. — Pp. 331-334.

70. Bellman, R. Decision making in a fuzzy environment / R. Bellman, L. A. Zadeh // Management Science. — 1970. — no. 17. — Pp. 141-164.

71. Bertoluzza, C. A new proof of nguyen's compatibility theorem in a more general context / C. Bertoluzza, A. Bodini // Fuzzy Sets and Systems. — 1998.-no. 95.-Pp. 99-102.

72. Bonnans, J. F. Optimization problems with perturbations: guided tour / J. F. Bonnans, A. Shapiro // SI AM Rev.- 1998.- Vol. 40, no. 2.-Pp. 228-264.

73. Bonnans, J. F. Perturbation Analysis of Optimization Problems / J. F. Bonnans, A. Shapiro: — New York: Springer-Verlag, 2000.

74. Buckley, J. J. Possibilistic linear programming with triangular fuzzy numbers / J. J. Buckley // Fuzzy Sets and Systems.— 1988,— no. 26.— Pp. 135-138.

75. Buckley, J. J. Possibility and necessity in optimization / J.J. Buckley / / Fuzzy Sets and Systems. — 1988. — no. 25. — Pp. 1-13.

76. Canestrelli, E. Stability in possibilistic quadratic programming / E. Canestrelli, S. Giove, R. Fuller // Fuzzy Sets and Systems. — 1996. — no. 82.-Pp. 51-56.

77. Dubois, D. Systems of fuzzy linear constraints / D. Dubois, H. Prade // Fuzzy Sets and Systems. 1978. - no. 3. - Pp. 37-48.

78. Dubois, D. Fuzzy Sets and Systems: Theory and Applications / D. Dubois, H. Prade. — New York: Academic Press, 1980.

79. Duboise, D. Fuzzy interval analysis / D. Duboise, et al. // Fundamentals of fuzzy sets. — Dordrecht Boston - London: Kluwer Acad. Publ., 2000. — Vol. 1 of Series on fuzzy sets.

80. Fedrizzi, M. Stability in possibilistic linear programming with continuous fuzzy number parameters / M. Fedrizzi, R. Fuller // Fuzzy Sets and Systems.- 1992.- no. 47.- Pp. 187-191,

81. Fodor, J. C. Fuzzy preference modelling and multi-criteria decision support / J. C. Fodor, M. Roubens. — Dordrecht Boston - London: Kluwer Acad. Publ., 1994.

82. Fuller, R. On stability in fuzzy linear programming problems / R. Fuller // Fuzzy Sets and Systems. 1989. - no. 30. - Pp. 339-344.

83. Fuller, R. On stability in possibilistic linear equality systems with lips-chitzian fuzzy numbers / R. Fuller // Fuzzy Sets and Systems. — 1990. — no. 34.-Pp. 347-353.

84. Gordeev, R. N. On the problem of possibilistic programming with fuzzy binary relations / R. N. Gordeev, A. V. Yazenin // Proceedings. East West

85. Fuzzy Colloquium 2006. 13th Zittau Fuzzy Colloquium. — Zittau/Gorlitz. Germany: University of Applied Sciences (FH), 2006,- Pp. 256-263.

86. Henrion, R. Metric regularity and quantitative stability in stochastic programs with probabilistic constraints / R. Henrion, W. Romisch // Math. Program. 1999. - no. 84. - Pp. 55-88.

87. Henrion, R. Holder and lipschitz stability of solution sets in programs with probabilistic constraints / R. Henrion, W. Romisch // Math. Program. — 2004.- no. 100.- Pp. 589-611.

88. Inuiguchi, M. Relationships between modality constrained programming problems and various fuzzy mathematical programming problems / M. Inuiguchi, H. Ichihashi, Y. Kume // Fuzzy Sets and Systems. — 1992. — no. 49.-Pp. 243-259.

89. Inuiguchi, M. Some properties of extended fuzzy preference relations using modalities / M. Inuiguchi, H. Ichihashi, Y. Kume // Information Sciences.- 1992.- no. 61. P. 187-209.

90. Inuiguchi, M. Modality constrained programming problems: a unified approach to fuzzy mathematical programming problems in the setting of possibility theory / M. Inuiguchi, H. Ichihashi, Y. Kume // Information Sciences. 1993. - no. 67. - Pp. 93-126.

91. Inuiguchi, M. Oblique fuzzy vectors and its use in possiblistic linear programming / M. Inuiguchi, J. Ramik, T. Tanino // Fuzzy Sets and Systems. 2003. - no. 135. - P. 123-150.

92. Kaleva, 0. Fuzzy differencial equations / 0. Kaleva // Fuzzy Sets and Systems. 1987. - no. 24. - Pp. 301-317.

93. Kassem, M. A. Stability of multiobjective nonlinear programming problems with fuzzy parameters in the constraints / M. A. Kassem, E. E. Am-mar // Fuzzy Sets and Systems. — 1995. — no. 74. — Pp. 343-351.

94. Klement, E. P. Triangular norms / E. P. Klement, R. Mesiar, E. Pap. Series Trends in Logic.— Dordrecht Boston - London: Kluwer Acad. Publ., 2000.

95. Lodwick, W. Analysis of structure in fuzzy linear programs / W. Lod-wick // Fuzzy Sets and Systems. — 1990. — no. 38. — Pp. 15-26.

96. Luhandjula, M. K. Linear programming problems under randomness and fuzziness / M. K. Luhandjula // Fuzzy Sets and Systems.— 1983. — no. 10. Pp. 45-55.

97. Luhandjula, M. K. On possibilistic linear programming / M. K. Luhandjula // Fuzzy Sets and Systems. — 1986. — no. 18.— Pp. 15-30.

98. Luhandjula, M. K. Fuzzy optimization: an appraisal / M. K. Luhandjula // Fuzzy Sets and Systems. 1989. - no. 30. - Pp. 257-287.

99. Nahmias, S. Fuzzy variables / S. Nahmias // Fuzzy Sets and Systems. — 1978.-no. l.-Pp. 97-110.

100. Nahmias, S. Fuzzy variables in a random environment / S. Nahmias // Advances in fuzzy sets theory. — Amsterdam: 1979.

101. Orlovsky, S. A. Decision-making with a fuzzy preference relation / S. A. Orlovsky // Fuzzy Sets and Systems. — 1978.— no. 1.— Pp. 155— 167.

102. Orlovsky, S. A. On formalization of a general fuzzy mathematical problem / S. A. Orlovsky // Fuzzy Sets and Systems. — 1980.— no. 3.— Pp. 311-321.

103. Puri, M. L. Fuzzy random variables / M. L. Puri, D. A. Ralescu // Journal of mathematical analysis and applications. — 1986.— no. 114.— Pp. 409-422.

104. Ralescu, D. A survey of the representation of fuzzy concepts and its applications / D. Ralescu // Advances in Fuzzy Sets Theory and Applications / Ed. by M. M. Gupta, R. K. Regade, R. Yager. — North Holland, Amsterdam, 1979.- Pp. 77-91.

105. Ramik, J. Soft Computing: Overview and Recent Developments in Fuzzy Optimization. Research Report. JAIST / J. Ramik. — Listopad: Os-travska univerzita, 2001. .

106. Ramik, J. Duality in fuzzy linear programming: Some new concepts and results / J. Ramik // Fuzzy Optimization and Decision Making. — 2005. — no. 4.-Pp. 25-39.

107. Ramik, J. Generalized concavity as a basis for optimization and decision analysis. Research report IS-RR-2001-003 / J. Ramik, M. Vlach; JAIST. -Hokuriku, 2001.- 116 pp.

108. Ramik, J. Fuzzy mathematical programming: A unified approach based on fuzzy relations / J. Ramik, M. Vlach // Fuzzy Optimization and Decision Making. 2002. - no. 1. - Pp. 335-346.

109. Ramik, J. A Non-controversial Definition of Fuzzy Sets / J. Ramik, M. Vlach // Transactions on Rough Sets II. Rough Sets and Fuzzy Sets. — Berlin / Heidelberg: Springer, 2004. Vol. 3135. - Pp. 201-207.

110. Romisch, W. Stability analysis for stochastic programs / W. Romisch, R. Schultz // Annals of Operations Research.— 1991.— no. 30.— Pp. 241-266.

111. Rybkin, V. A. Regularization and stability of possibilistic linear programming problems / V. A. Rybkin, A. V. Yazenin // Proceedings of 6th European Congress on Intelligent Techniques & Soft Computing. — Vol. 1. — Aachen, Germany: 1998. Pp. 37-41.

112. Rybkin, V. A. Strong and weak stability in possibilistic linear programming / V. A. Rybkin, A. V. Yazenin // Proceedings of 7th European Congress on Intelligent Techniques & Soft Computing. — Vol. 1.— Aachen, Germany: 1999. Pp. 193-196.

113. Rybkin, V. A. On the problem of stability in possibilistic optimization / V. A. Rybkin, A. V. Yazenin // International Journal of General Systems. 2000.

114. Saad, О. M. Stability on multiobjective linear programming problems with fuzzy parameters / O.'M. Saad // Fuzzy Sets and Systems. — 1995. — no. 74.-Pp. 207-215.

115. Satisfying solutions and duality in interval and fuzzy linear programming / M. Inuiguchi, J. Ramik, T. Tanino, M. Vlach // Fuzzy Sets and Systems. 2003. - no. 135. - Pp. 151-177.

116. Tanaka, H. Fuzzy linear programming with fuzzy numbers / H. Tanaka, K. Asai 11 Fuzzy Sets and Systems. — 1984. — no. 13. — Pp. 1-10.

117. Wang, Z. Fuzzy measure theory / Z. Wang, G. J. Klir. — New York: Plenum Press, 1992.

118. Yazenin, A. V. Fuzzy and stochastic programming / A. V. Yazenin // Fuzzy Sets and Systems.- 1987.- no. 22.- Pp. 171-180.

119. Yazenin, A. V. On the problem of possibilistic optimization / A. V. Yazenin // Fuzzy Sets and Systems. — 1996.— no. 81.— Pp. 133140.

120. Yazenin, A. V. Non-dominated elements and fuzzy scalarizing functions in vector optimization / A. V. Yazenin, M. Wagenknecht // International Journal Fuzzy mathematics. — 1994. — Vol. 2, no. 3. — Pp. 565-577.

121. Yazenin, A. V. Possibilistic optimization. A measure-based approach / A. V. Yazenin, M. Wagenknecht. BUTC-UW, 1996. - Vol. 6.

122. Zadeh, L. A. Fuzzy sets / L. A. Zadeh // Information and Control.— 1965.-no. 8.-Pp. 338-353.

123. Zadeh, L. A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility / L. A. Zadeh // Fuzzy Sets and Systems. 1978. - no. 1. - Pp. 3-28.

124. Zimmermann, H.-J. Description and optimization of fuzzy systems / H.-J. Zimmermann // Internal J. General Systems.— 1976.— no. 2.— Pp. 209-215.

125. Zimmermann, H.-J. Fuzzy mathematical programming / H.-J. Zimmermann 11 Comput. Oper. Res. 1983. - no. 10.- Pp. 291-298.

126. Zimmermann, H.-J. Applications of fuzzy set theory to mathematical programming / H.-J. Zimmermann // Information Sciences.— 1985. — no. 36. Pp. 29-58.