автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы решения задач возможностной оптимизации с взаимодействующими параметрами

СОЛДАТЕНКО Илья Сергеевич

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВОЗМОЖНОСТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ С ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИМИ ПАРАМЕТРАМИ

00345Э028

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тверь - 2008

003459028

Работа выполнена на кафедре информационных технологий факультета прикладной математики и кибернетики Тверского государственного университета.

Научный руководитель - доктор технических наук,

доцеит Пильщиков Д.Е.

Научный консультант - доктор физико-математических наук,

профессор Язеиип A.B.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Андреева Е.А.,

доктор технических наук,

кандидат физико-математических наук,

доцент Рыжов А.П.

Ведущая организация - Вычислительный центр им. A.A. Дородницына Российской академии наук.

Защита состоится 30 января 2009 года в 16:00 на заседании диссертационного совета Д'212.263.04 при Тверском государственном университете по адресу: 170100, г. Тверь, ул. Желябова, 33, ауд. 52.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тверского государ-1Твешюго университета по адресу: 170100, г. Тверь, ул. Володарского. 44а.

Объявление о защите диссертации и автореферат опубликованы 2С декабря 2008 года на официальном сайте Тверского государственного университета по адресу: http://university.tversu.ru/aspirants/abstracts/.

Автореферат разослан 26 декабря 2008 года.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических паук, лрофессор

В. Н. Михпо

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В настоящее время интенсивно разрабатываются многочисленные математические формализмы для описания и моделирования неопределенности. Одним из таковых является подход, предложенный в середине 60-х годов американским ученым Лотфи Заде. Он предложил способ моделирования неопределенности как нечеткости, основанный па идее расширения понятия характеристической функции множества до функции принадлежности.

Среди многих научных направлений, использующих математический аппарат для моделирования нечеткой информации, в настоящее время активно развивается теория нечеткой (возможиостной) оптимизации. Предметом се изучения стали модели и методы оптимизации в условиях нечеткой информации. Вместо четких значений параметров в таких моделях используются возможностью (нечеткие) величины, которые эксплицируют неопределенность описания параметров модели.

Возможностная оптимизация является сравнительно молодой научной дисциплиной, в которой есть еще много нерешенных вопросов, требующих дальнейшего исследования. К настоящему моменту достаточно хорошо исследованы модели и методы возможиостной оптимизации с мшшевязанны-ми нечеткими параметрами. Однако минисвязанность не является единственным способом агрегирования неопределенности. В настоящее время существует и активно развивается повое научное направление: методы агрегирования информации. В значительной степени оно опирается на использование математического аппарата ¿-норм.

При использовании различных ¿-норм можно добиться управления «нечеткостью» при решении задач оптимизации, что, в свою очередь, дает большую гибкость при принятии решений. В диссертационной работе исследуются вопросы взаимодействия параметров задач возможиостной оптимизации по ¿-норме Т\у, выбор которой обусловлен тем, что она является как и ¿-норма Тм экстремальной. В связи с этим представляется интересным изучение поведения моделей возможиостной оптимизации при данной ¿-норме. Однако разработка этого вопроса применительно к задачам возможиостной оптимизации находится в начальной стадии. Этим определяется актуальность темы диссертации.

Цель работы. Целью работы является разработка моделей и методов возможиостной оптимизации в случае агрегирования неопределенности с использованием математического аппарата ¿-норм. Это предполагает разработку соответствующего исчисления возможностей, построение непря-

мых методов решения задач возможпостной оптимизации в возможностно-необходимостном контексте, их реализацию на основе генетических алгоритмов и разработку программного комплекса поддержки соответствующих методов оптимизации.

Основные задачи. Для достижения поставленной цели в диссертации решены следующие задачи:

— разработаны элементы исчисления возможностей для взаимно Тц/~ связанных нечетких величин, решены задачи идентификации функций распределения взвешенных Т;у-сумм нечетких величин с одинаковыми и различными функциями представления формы;

— получены формулы для вычисления границ а-уровневых множеств взвешенной Т^-суммы возможностных величин;

— построены непрямые методы решения задач возможпостной оптимизации при взаимно Тц'-связанных параметрах в возможностно-необходи-мостпом контексте;

— проведен сравнительный анализ результатов решения задач возможпостной оптимизации, когда параметры являются взаимно минисвязанны-ми и взаимно Гц/-связанными;

— непрямые методы решения задач возможпостной оптимизации при взаимно Т\у-связанных параметрах реализованы в виде программного модуля системы поддержки принятия решений, основанного на генетическом алгоритме оптимизации.

Методы исследований. Для построения математических моделей задач возможпостной оптимизации используется современная теория возможностей. Для построения эквивалентных детерминированных аналогов моделей — методы математического программирования, для их реализации — методы эволюционного программирования. Программная система поддержки принятия решений реализована на объектно-ориентированном языке программирования С+-г.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми:

1) получены элементы исчисления возможностей для взаимно Г^'-свя-запных нечетких величин, решены задачи идентификации функции распределения взвешенной Т^-суммы нечетких величин с одинаковыми и различными функциями представления формы;

2) получены формулы для вычисления границ а-уровневых множеств взвешенной Т^у-суммы нечетких величин;

3) разработаны непрямые методы решения задач возможпостной оптимизации, позволяющие получить эквивалентные детерминированные ана-

логи задач п возможностно-пеобходимостном контексте;

4) осуществлена спецификация генетического алгоритма оптимизации для численного решения эквивалентных детерминированных аналогов;

Ъ) проведено сравнительное изучение моделей возможноетной оптимизации: доказаны теоремы, позволяющие установить вложенность областей допустимых решений для эквивалентных детерминированных аналогов задач с взаимно Т\у-связанными и с минисвязанными параметрами.

Теоретическая и практическая значимость. Непрямые методы решения задач возможноетной оптимизации, предложенные в работе, позволяют расширить класс решаемых задач на случай, когда параметры задач оптимизации являются взаимосвязанными по другой экстремальной ¿-норме Т\у ■ Эти результаты позволяют управлять нечеткостью задач возможноетной оптимизации. Модули разработанного программного комплекса могут быть использованы в системах поддержки принятия решений при решении различных задач производственного, финансового планирования.

Положения, выносимые на защиту. На затциту выносятся следующие результаты, полученные в ходе диссертационной работы:

1. Методы идентификации функции распределения возможностей взвешенной Тц'-суммы нечетких величин с одинаковыми и различными функциями представления формы.

2. Непрямые методы решения задач оптимизации с взаимно Т\у-связанными возможностпыми параметрами в возможностно-пеобходимостпом контексте.

3. Теоремы, доказывающие вложенность области допустимых решений эквивалентного детерминированного аналога задачи с взаимно Т\усвязаи-ными параметрами в область допустимых решений детерминированного эквивалента задачи с минисвязанными параметрами.

4. Программно-алгоритмический инструментарий на основе генетического алгоритма, поддерживающий полученные непрямые методы решения задач возможностного программирования.

Внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс на факультете прикладной математики и кибернетики Тверского госуниверситета. Непрямые методы решения задач, получеппые в диссертации, представлены в дисциплине «Теория неопределенностей», методы агрегирования возможноетной информации — в программе курса «Современные проблемы прикладной математики и информатики». Часть исследований, проводимых в работе, была поддержана грантом РФФИ, проект помер 08-01-0807С.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались ас-тором на IV Международной научно-практической конференции «Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте» (Коломна, 2007 год), на 27 ежегодном съезде Северо-Американского общества обработки нечеткой информации ЬтАР1РЗ-2008 (Нью-Йорк, 2008 год), на семинарах в Тверском госуниверситете и ВЦ РАН.

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах, приведенных в конце автореферата, три из которых опубликованы в журналах, рекомендуемых ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и изложена на 112 страницах. Список литературы содержит 120 наименований, включая работы автора.

Содержание работы. Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, приведен обзор работ, посвященных возможностной оптимизации, кратко изложены структура и содержание диссертации.

В первой главе введены основные определения, понятия и теоретические результаты теории возможностей, необходимые в дальнейшем.

В параграфе 1.1.1 вводятся базовые понятия меры возможности, меры необходимости и возможностного пространства. Далее (Г, Р(Г),7г) есть возможностное пространство, Г — модельное пространство, 7 £ Г — его элементы, Р(Г) — множество всех подмножеств множества Г, 7г — возмож-ностпая мера, V — двойственная ей мера необходимости, Е1 — числовая прямая.

В параграфе 1.1.2 определяются понятия возможностной величины, нечеткого числа, а также понятие а-уровневого множества, необходимые для моделирования нечетких параметров задач оптимизации.

Определение 8 Возможностная (нечеткая) величина есть вещественная функция Х(-) : Г —у Е1, возможные значения которой характеризуются ее распределением возможностей

(лх{х) = тг{7 е Г : Х(у) = я}, Ух <5 Е1.

(¿х{х) ~ возможность того, что X может принять значение х.

Определение 11 Для любого а Е (0,1] и любой возможностной переменной А а-уровневым мноо/сеством называется множество

Л" = {х <5 Е11 цА(х) > а}.

Как правило, возможностью переменные, принимающие значения n Е1 и характеризующиеся унимодальными, квазивогнутыми, полунепрерывными сверху функциями распределения и ограниченными носителями, именуются нечеткими числами. При этом если функция принадлежности не является строго унимодальной, возможиостная переменная называется нечетким интервалом.

Для моделирования нечетких чисел в диссертации используются распределения (L, #)-типа, описанные в разделе 1.1.3.

Определение 17 Функция S(t), i € Е+ называется функцией представления формы (формой), если она иевозрастающая, полунепрерывная сверху и обладает следующими свойствами:

1. 5(0) = 1, 2. Sit) < 1, Vi € Ej., 3. lim S{t) = 0.

г—»+oc

Определение 18 Возможиостная величина А представляет собой воз-можностную величину (L, R)-muna, если ее распределение имеет вид:

fiA(x)= <

L\a)' x<a£El' aGE+> 1, а < x <Ь,

Здесь [a, b] — интервал толерантности А, а и b — соответственно, нижнее и верхнее модальные значения, а и ß — коэффициенты нечеткости, позволяющие управлять «размытостью» возможностной величины, L и R — соответственно, левая и правая формы, Е" — положительный октант тг-мерного евклидова пространства. Обозначение: А = (а, Ь, a,ß)tR.

В диссертационной работе агрегирование нечеткой информации основано на ¿-нормах и i-конормах, которые расширяют операции типа min и тах, заложенные в бинарных операциях над нечеткими множествами и переменными. Раздел 1.2 содержит базовые сведения об аппарате i-норм.

Определение 20 Отображение Т : [0,1] х [0,1] —> [0,1] называется треугольной нормой (или t-нормой), если для любого х £ [0,1] оно обладает следующими свойствами:

1) ограниченность: Т(1,х) = х,

2) симметричность: Т(х, у) = Т(у, х),

3) ассоциативность: Т(х,Т(у, 2)) = Т{Т(х,у), z),

4) монотонность: T(w, у) < Т(х, z), если w < х, у < z.

Пример 2 Примерами некоторых хорошо известных t-норм являются:

^ т , ч í minia;,«}, если maxía;,«} = 1,

1) слабая t-норма Гш(х, у) = < .

v ^ 0, иначе,

2) операция взятия минимума Тм(х,у) min{x,у}.

Треугольные нормы Т\у и Тщ являются экстремальными, при этом Тм называется сильной, а Т\у — слабой ¿-нормой. Все ¿-нормы связаны следующей системой неравенств: Т\у(х,у) < Т(х,у) < Тм(х,у).

Раздел 1.3 диссертация посвящен описанию различных способов моделирования взаимодействия нечетких величин. В диссертационной работе за основу моделирования взаимодействия (связанности) параметров взят метод определения взаимной Т-связанности, предложенный в работе Хонга, обобщающий понятие несвязанности, введенное ранее Стефаном Намиа-сом. Дадим соответствующие определения.

Определение 24 Пусть даны возможпостное пространство (Г,Р(Г),7г) и t-порма Т. Множества ЛГх,..., Хп £ Р(Г) называются взаимно Т-связанными, если для любого подмножества {¿i,...,¿k} множества {1, ... ,п}, 1 < к < п:

7r{x¿1 п...п4}= г(тг{х{1}, •. •, тг{х, j), где Т(тг{Хг,},..., тг{Хи}) =

= Т(Г(... T(T(v{Xiih ■ ■ ■

Пусть Ai(7),..., Ап(7) есть возможностные величины, заданные на воз-можностном пространстве (Г,Р(Г),7г), Т — произвольная ¿-норма.

Определение 25 Возможностные величины Ai (7),..., ^„(7) называются взаимно Т-связанными, если для любого подлтожества {г'ь ... , ú} из множества {1,..., п}, 1 < к < п:

МА,,-лДяъ • • • > я*) =7Г{7 Е Г| Aj,(7) = xi,..., Аг^-у) = хк} =

7r{A-1{xi}n...nA¡;1{^}} =

х, еЕ1.

В разделе 1.4 первой главы диссертации изложены результаты, полученные автором, которые позволяют идентифицировать функции распределения возможностей взвешенных TV-сумм и определять соответствующие им а-уровневые множества.

Под взвешенной Т-суммой нечетких величин понимается возможност-пая функция /(Лл) = А1АЦ7) Фг ^2^2(7) Фг... Фг А„А„(7). Взвешенные суммы такого вида используются в задачах возможпостной оптимизации при определении моделей критериев и ограничений. Оператор фт (суммирование по i-иорме Т) определяется по формуле:

Мл.МггЛгЫ^) = sup T(nAl(xi),fiA2(x2)), z € Е1.

11+12=г

В диссертации приводится следующая хорошо известная теорема для идентификации функции распределения взвешенной суммы взаимно TV-связанных нечетких величин с одинаковыми левыми и правыми формами:

Теорема 3 Пусть имеется п взаилто Tw-связанных нечетких величин Ai — iaij bt, оц, ¡3i)lr, i = l,n. Тогда их Tw-сумма AjД-, где Xt > 0,

определяется следующей формулой:

п / п п \

ff) A{Aj = I Aja,, > Ajbj, max \aшах АД- ) , 7Vv.=i \«=1 «=1 / Lii

которая затем распространяется автором диссертации на случай взвешенной суммы взаимно TV-связанных нечетких величин с различными левыми и правыми формами.

Теорема 4 Пусть А\,... ,Ап есть взаимно Т\у-связанные нечеткие величины (L, R)-muna Д- = (fli, ¿и £*»,&)^д,, г = 1 ,п и пусть Aj > 0, г = 1,тг. Тогда:

п inn \

0 AiAi = I Y, А*аь Aibi, 1,1

Twt=l \i=l ¡=1 /L-Д*

где L* = max Ь, f -т— ) = max Л,- [

г=1, .,)! \\аг/ г=1,...,л \Aj-Pi

Здесь же доказана теорема, позволяющая вычислять границы а-уровие-вых множеств для взвешенной TV-суммы нечетких величин.

Теорема 5 Пусть ..., Ап — взаимно Тц/-связанные нечеткие величины (L,R)-muna Аг = {щ,Ъг, оц, fa)i — 1,п и пусть А> 0, г — 1 , п. Тогда границы а-уровневого лтожества их взвешенной Т\у-суммы определяются по следующей форл1уле:

0 A{Ai

■T,vi=l

п п

У Xidi — max У Xfii 4- max r\

Lt=l г=1

,<»6(0,1],

где I* = агдуа1пЬ1 ^, г* = агдиа1пНг (хк)'

Вспомогательное обозначение агдьсй определяется следующим образом:

1 г — Г {х \ Кх) = если / — строго убывающая форма, " \ тах{а; | /(ж) = а}, иначе.

В разделе 1.5 приведены числеиные примеры и графические иллюстрации идентификации функции распределения Тцг-сумм и расчета границ а-уровневых множеств.

Во второй главе исследованы основные (базовые) модели линейного возможностного программирования.

В первом разделе второй главы приводится формализованное описание исследуемых моделей возможностпой оптимизации. Первая модель — максимизация уровня достижения нечеткой цели при построчных ограничениях по возможности/необходимости. В общем виде задача выглядит следующим образом:

к —> тах, (2.1)

* Ш®, 7) До А} > «о, (2-2)

^Ш^Л) Д; 0} > г= 1,т, ,„

® € Е».

Вторая рассматриваемая модель — максимизация возможности/необходимости достижения нечеткой цели при построчных ограничениях по возможности/необходимости, в общем виде записываемая как:

а {/о(т л) До 0}тах, (2.4)

<?{Мх, 7) Дг 0} > а,-, г = 1, т, ,

х € Е». ^ ]

В обоих случаях /¿(г,7) есть линейные возможностиые функции, бинарные отношения 6 {<, >}, а мера <х 6 {7г. 1^}.

Обе модели хорошо изучены в случае треугольной нормы Тм, описывающей минисвязанпость параметров задачи. Во втором и третьем разделах второй главы описанные выше модели задач возможностного программирования исследованы в случае взаимной Тц/-связанности их параметров.

В параграфе 2.2.1 описан непрямой метод решения задачи уровневой оптимизации при построчных ограничениях по возможности.

Доказана следующая теорема для нахождения эквивалентного детерминированного аналога системы возможностных ограничений.

Теорема 6 Пусть в модели ограничений (2.3) мера а = 7г, Я, есть отношения равенства, а параметры 0,^(7) и Ьг(у) есть взаимно Т\у-связанные нечеткие величины {Ь,Я)-типа: <2^(7) = я, ¿»(7) =

Ц^&^Ш) I — 1, ттг, _7 = 1,п с идентичными функциями представления формы Ь и Я. Если Ь и Я имеют обратные функции, то эквивалентный детерминированный аналог модели (2.3) имеет вид:

п

У2а'ах3 - х1|ах {х3ть}^1{аг) < + г = 1,171, , " _

а'^Х] + тах {х]р1]}К~1{сщ) > Ь'г — г?1Ь_1(а,), г = 1 ,пг, ^хеЩ.

Следующая доказанная теорема позволяет переходить к эквивалентному детерминированному аналогу модели критерия (2.1)-(2.2).

Теорема 7 Пусть дана модель критерия задачи возможностной оптимизации вида (2.1)-(2.2), гдеао3(у) есть взаимно Т\у-связанные нечеткие величины (Ь, Б)-типа: 0^(7) = 3 = 1 ,п с идентичны-

ми функциями представления формы Ь и Я, а = ж, Я1 есть отношения равенства. Если Ь и Я имеют обратные функции, то эквивалентный детерминированный аналог модели критерия (2.1)-(2.2) имеет вид:

к —> тах,

п

— тах {х:,щ}Ь~1(аа) < к,

< •г=х п

Уа^'ж,- + .тах {хфо]}ЯГ1{ао) > к. з=\

В параграфе 2.2.2 приведен непрямой метод решения задачи максимизации возможности достижения нечеткой цели при построчных ограничениях по возможности. Доказана теорема для получения детерминированного эквивалента модели критерия. Модели ограничений двух рассматриваемых постановок задач аналогичны.

Теорема 9 Пусть в модели критерия (2.4) мера а — -к, Я4 есть отношения равенства, а параметры «0^(7) и Ьо(у) являются взаимно Т\у-связанными нечеткими величинами (Ь,Я)-типа: ао3{у) =

00j)LRi j — 1, те, ¿о(т) = (b'o, bg. щ, 0o)lr с идентичными функциями пред-cm,авления формы L и R. Если L и R имеют обратные функции, то эквивалентный детерлшнированный аналог модели (2.4) имеет вид:

а —> max,

V

У"a'QjXj - max {х^}Ь~\а) < Ьо + 0о1Г\а), < "

y^a0jxj + nj^ {xj0oJ}R~1(a) ^ 6o -

у-1 J=l,:.,n

k a£ [0,1], xeEn+.

Нетрудно видеть, что получаемые эквивалентные детерминированные аналоги задач (2.1)-(2.3) и (2.4)-(2.5) при о = 7г в общем случае являются задачами мпогоэкстремальными, невыпуклыми и негладкими. Ввиду этого для их решения целесообразным является применение генетических алгоритмов оптимизации.

В третьем разделе второй главы диссертационной работы построен детерминированный аналог задачи (2.1)-(2.3) в случае, когда а = v. Ниже приведены две соответствующие теоремы.

Теорема 10 Пусть в модели ограничений (2.3) параметры (¡^(у) и 6,(7) есть взаимно Т\у-связанные нечеткие величины, характеризующиеся распределениями (L, R)-muna: 0^(7) = 0ij)LR, 6,(7) = (Ц,Ь",Г)и 0i)lr, i = l)m> j — c одинаковыми функциями представления формы L и R, о — v, Rq есть отношение >, а Щ есть отношения <. Если L и R имеют обратные функции, то эквивалентный детерминированный аналог модели (2.3) имеет вид:

!У] a"jXj + max {xJ0ij}R~1(l - а;) <b[ — tyZT^l - а,), г = l,m, x e E".

Теорема 11 Пусть в модели критерия (2.1)-(2.2) параметры aoj(7) есть взаимно Tw-связаппые нечеткие величины (L,R)-muna: 0^(7) = (a'0j-,a[y, Voj-,00j)m, j — с идентичными функциями представления формы L и R, а = v, Rq есть отношение >, а Щ есть отношения <. Если L и R имеют обратные функции, то эквивалентный детерминированный аналог модели (2.1)-(2.2) имеет вид:

к —► тах,

I

к < ~ .тах {х3щ}Ь *(1 — ао)

п

Как видно из теоремы 10, в случае меры необходимости, функции, участвующие в формировании множества допустимых решений эквивалентного детерминированного аналога, являются выпуклыми, но не гладкими. Поэтому для решения детерминированного эквивалента задачи (2.1)-(2.3) при а = V могут быть привлечены как методы субградиентной оптимизации и обобщенного линейного программирования, так и методы эволюционного программирования.

В четвертом разделе второй главы приводится спецификация генетического алгоритма решения детерминированных эквивалентых аналогов.

В третьей главе проводится сравнительное изучение эквивалентных детерминированных аналогов задач возможностной оптимизации при различных ¿-нормах. Проводится сравнительное изучение возникающих задач с детерминированными задачами (имеющими четкие параметры). Эти результаты позволяют управлять нечеткостью при принятии решений путем варьирования ¿-нормой при описании взаимодействия параметров.

В параграфе 3.1.1 решается модельный пример задачи возможностной оптимизации при взаимно Тц/-связанных параметрах.

В параграфе 3.1.2 то же самое делается для той же задачи, но только ее параметры являются взаимно Х^-связанными. В том же параграфе решается соответствующая четкая задача. Все решения сводятся в одной иллюстрации, которая демонстрирует влияние двух различных ¿-норм па результат применения соответствующих непрямых методов решения.

Существует зависимость между областями допустимых решений соответствующих эквивалентных детерминированных аналогов, а именно: область Т^-решения вложена в область Тд/-решения, в которую, в свою очередь, вложена и область четкого решения. Этот факт является закономерностью и обосновывается в соответствующих теоремах второго раздела третьей главы. Пусть = : 7г {/¡(х. 7) = 0} > а,-|, 7),^' =

1,п и £>¿(7) — взаимно Тд/-связапиые, а Х[у — : тт {/¡(х, 7) = 0} >

аг}; = 1,п и £>,(7) — взаимно Тц/-связанные. В диссертации до-

казана следующая теорема.

Теорема 12

m m

1=1 »=1

В этом же разделе подобная теорема доказана и для модели критерия. Пусть и — 7Г. Обозначим через F^(x) множество значений критерия, при которых выполняется (2.2) при условии, что все aoj(7),Í = 1, п, — взаимно минисвязанные, а через F$(x) — множество значений критерия, удовлетворяющих модели (2.2) при условии, что все aoj{j),j — 1,п, — взаимно Т^-связанные. Доказана следующая теорема.

Теорема 13 F${x) С F${x).

В третьем разделе третьей главы проводится исследование задач возможностпой оптимизации в контексте возможность/необходимость. Показано, что при пороговом уровне а = 0.5 область допустимых решений необходимостной задачи является подмножеством области допустимых решений возможностпой задачи оптимизации.

Обозначим через Хц,(1/) множество допустимых решений задачи возможностпой оптимизации, определяемое моделью ограничений

Í КЛ^Л) < 0} > q¡, г = Гт, \ X е Е",

а через X"v(tt) — моделью ограничений

f тг{/г(а:, 7) < 0} > аг, i = l~m, \ ж е Е".

При сделанных предположениях имеет место следующая теорема. Теорема 14 Пусть a¿ = 0.5, г = 1 ,т. Тогда

х?уП с хм*).

Пороговый уровень 0.5 принят как в задачах стохастического, так и возможностного программирования.

В четвертой главе описывается программный комплекс поддержки моделей и алгоритмов возможностпой оптимизации со взаимодействующими параметрами и проводятся модельные расчеты в этом комплексе.

Программный комплекс реализован в виде модуля для программной системы FIESTA. В функциональность системы FIESTA была добавлена возможность выбора í-нормы для агрегирования возможностпой информации, лежащей в основе бинарных операций над нечеткими величинами.

(4.2)

(4.3)

Приводом модельный пример, решенный в системе FIESTA, и исследуем его свойства. Решим задачу уровневой оптимизации с миписвязапны-ми параметрами при п = т = 2 и ого = = ci2 — 0.5:

к —> шах, (4.1)

п {a0i(7)zi + »02(7)^2 = к}> 0.5, 7г {au(7)xi + «12(7)^2 - ¿1(7) = 0} > 0.5, 7Г {021(7)2;! + 022(7)2:2 - 62(7) = 0} > 0.5, х е Е2+.

Здесь 001(7), 002(7), ац(7), 012(7), 021(7), ¿122(7), b 1(7) и 62(7) - триангу-лярные нечеткие величины, заданные распределениями (L, Д)-типа:

001(7) ^ (3,3,4.5, 4)lh, 002(7) = (-2, -2,5, 7)LR,

011(7) = (-6, -6,3,3)LR, 012(7) = (8,8,0.5,0.6)м ,

021(7) = (4,4,3,3)£Д, О22(7) = (10,10,4.3,4.2)м,

61(7) = (3,3,1.5,1.5)£Д, 62(7) = (Ю, 10,6,6)LR,

где L(t) = R(t) = max{0,1 - ¿}, t € Е*..

Решим задачу (4.1)-(4.3) в случае, когда все ее параметры являются ми-нисвязанными. В этом случае эквивалентный детерминированный аналог задачи (4.1)-(4.3) есть следующая задача линейного программирования:

5xi + 1.5x2 —> шах, -7.5xi + 7.75x2 < 3.75, -4.5x1 + 8.3x2 > 2.25, 2.5x1 + 7.85x2 < 13, 5.5xi+12.1x2 > 7,

х € Е2,.

» Т

Решая эту задачу в системе FIESTA с использованием ¿-нормы Гд/, получаем следующий результат: xi и 1.6092, Х2 ~ 1.1436, Fm{x 1,12) ~ 9.7615.

Решим эту задачу с ¿-нормой Тцг. Согласно теоремам 6 и 7 детерминированный эквивалент (4.1)-(4.3) в этом случае имеет вид:

3xi — 2х2 + ~ max {4xi, 7хг } —> max,

max{4xi,7х2} + max{4.5xi, 6x2} > 0, —6x1 + 8x2 — 0.5max{3xi,0.5x2} < 3.75, -6x1 + 8x2 + 0.5 max {3xb 0.6x2} > 2.25, 4xi + 10x2-0.5max{3xi, 4.3x2} < 13, 4xi + lOx'2 + 0.5 max {3xb 4.2x2} > 7, xeE*.

(4.4)

Программа выдает ответ: Xi да 1.2824, да 1.0026, F\y(xi, X2) ~ 5.3511. Теперь решим четкую задачу, соответствующую (4.1)-(4.3):

3a:i — 2х2 —1■ max,

—6x1 +.8x2 —3 = 0, 4а; 1 + 10х2 — 10 == 0, х € Е+.

Ее единственное решение: х\ да 0.5435, Х2 ~ 0.7826, Рс{х 1,2:2) и 0.0653.

Во всех трех случаях области допустимых решений модельной задачи (4.1)-(4,3) представлены на рисунке 1, а ее оптимальные решения сведены в таблицу 1.

Рис. 1: Области допустимых решений эквивалентных детерминированных аналогов задачи (4-1)-(4-3).

На рисунке 1 изображены области допустимых решений для случая взаимно Ту/--связанных (область, ограниченная четырьмя линиями), взаимно мииисвязанных (пересечение сплошных закрашенных областей) и четких параметров (точка пересечения двух штрих-пунктирных линий). Точки ¥/, М, С — точки оптимума для соответствующих случаев. Для наглядности на рисунке опущены области, задаваемые первым неравенством системы (4.4) и ограничением х Е Е+.

Таблица 1: Решения модельного примера в трех различных случаях: при четких, взаимно Т\у-связанных и при минисвязанных параметрах.

параметры XI х2 ^т(х 1,Х2)

четкие 0.5435 0.7826 0.0653

взаимно Тру-связанные 1.2824 1.0026 5.3511

взаимно минисвязанные 1.6092 1.1436 9.7615

Из полученных результатов и рисунка 1 следует, что при использовании Ти'-нормы наблюдается эффект сужения области допустимых решений, что естественным образом сказывается на поведении оптимального решения задачи возможностнои оптимизации.

Основные результаты. В ходе решения поставленных в диссертационной работе задач были достигнуты следующие результаты.

1. Разработаны элементы исчисления возможностей для взаимно Т\у-связанных нечетких величии: получена формула, позволяющая идентифицировать функцию распределения взвешенной Г^-суммы нечетких величин с одинаковыми и различными левыми и правыми формами.

2. Получены формулы для вычисления границ а-уровневых множеств взвешенной Т^-суммы нечетких величин.

3. Разработаны непрямые методы решения базовых задач возможпост-ной оптимизации в возможностпо-псобходимостпом контексте.

4. Доказана теорема вложенности области допустимых решений для эквивалентного детерминированного аналога задачи с взаимно Т\у-связанными параметрами в область допустимых решений эквивалентного детерминированного аналога задачи с минисвязапными параметрами в контексте возможность/необходимость.

5. Реализован программный комплекс па основе генетического алгоритма оптимизации, реализующий разработанные непрямые методы.

Результаты, полученные в диссертации, позволяют расширить круг практических задач, решаемых в рамках возможпостного программирования, за счет новых методов агрегирования и управления нечеткостью исходной информации.

Публикации автора по теме диссертации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Солдатенко И.О. О генетическом алгоритме решения задачи возмож-ностной оптимизации при взаимно Ти-связагшых параметрах // Вестник Тверского гос. ун-та. Сер. Прикладная математика. №4(64), вып. 8, 2008. Стр. 25 - 36.

2. Солдатенко И.С., Язенин А.В. Задачи возможностной оптимизации с взаимно t-связанными параметрами: сравнительное изучение // Известия РАН. Теория и системы управления, №5, 2008. Стр. 87 - 98.

3. Солдатенко И.С., Пильщиков Д.Е., Язенин А.В. О методе решения одной задачи необходимостной оптимизации // Вестник Тверского гос. ун-та. Сер. Прикладная математика. №26(86), вып. 3(10), 2008. Стр. 109 - 117.

Прочие публикации автора по теме диссертации

1. Солдатенко И.С. О взвешенной сумме взаимно Т\у-связанных нечетких величин // Вестник Тверского гос. ун-та. Сер. Прикладная математика. №5(33), вып. 4, 2007. Стр. 63 - 77.

2. Солдатенко И.С. О методе решения одной задачи возможностного программирования в случае Т^-связанных параметров // Сб. научи, тр. IV-й Междунар. научно-практической конф. «Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте». Т.1, М.: Физ-матлит, 2007. Стр. 231 - 238.

3. Солдатенко И.С. О методе решения задачи максимизации возможности достижения нечеткой цели в случае TV-связанных параметров // Нечеткие системы и мягкие вычисления. Том 2, №4, 2007. Стр. 39 -47.

4. I.S. Soldatenko, A.V. Yazenin. Possibilistic optimization problème with mutually t-related parameters // IEEE Conférence Proceedings. Ftizzv Information Processing Society, 2008. NAFIPS 2008. Digital Object Identifier: 10.1109/NAFIPS.2008.4531249.

Технический редактор A.B. Жильцов Подписано в печать 23.12.2008. Формат 60 х 84 7]6. Уел. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № 470. Тверской государственный университет Редакционно-издательское управление Адрес: Россия, 170100, г. Тверь, ул. Желябова, 33. Тел. РИУ: (4822) 35-60-63.

Введение.

1 Исчисление возможностей при агрегировании нечеткой информации на основе 1;-норм.

1.1 Основные понятия теории возможностей.

1.2 Агрегирование нечеткой информации на основе ^норм.

1.3 Способы моделирования взаимодействия возможностных переменных.

1.4 Взвешенная Тм--сумма нечетких величин.

1.5 Примеры идентификации функции распределения Т^-суммы и расчета границ ее ск-уровневых множеств.

1.6 Выводы по первой главе.

2 Методы решения задач возможностного программирования с взаимодействующими нечеткими параметрами.

2.1 Базовые модели возможностной оптимизации.

2.2 Непрямые методы решения в случае меры возможности

2.3 Непрямые методы решения в случае меры необходимости

2.4 Спецификация генетического алгоритма решения эквивалентных детерминированных аналогов.

2.5 Выводы по второй главе.

3 Сравнительное изучение эквивалентных детерминированных аналогов задач возможностного программирования при различных t-нормах.

3.1 Сравнительный анализ.

3.2 Теорема вложенности множеств допустимых решений.

3.3 Исследование задач возможностной оптимизации в контексте возможность/необходимость.

3.4 Выводы по третьей главе.

4 Программный комплекс и модельные расчеты.

4.1 Программный комплекс FIESTA.

4.2 Архитектура системы.

4.3 Модельные расчеты в системе FIESTA.

4.4 Выводы по четвертой главе.

Актуальность

Физико-математические науки, вместе со всей наукой в целом, переживают эпоху сменяющих друг друга научных революций и, как следствие, смену типов научной рациональности: от классического ньютоновского детерминизма, когда весь мир представлялся точным, четким, предсказуемым, действующим по понятным, логичным, но еще не до конца открытым законам природы, к эйнштейновской неклассической относительности, когда мир вокруг нас перестает быть таким понятным и детерминированным, все приобретает свойство относительности, а вероятность становится неотъемлемым свойством материи, и, наконец, к современным постнеклассическим человеко-центрированным взглядам на мир. В частности, стало понятно, что далеко не все явления нашей жизни можно описать при помощи лишь строгих детерминированных математических моделей, что многие практические задачи приходится решать в условиях неопределенности, возникающей по самым разным причинам: из-за неполноты, неточности или полного отсутствия информации или из-за того, что ряд задач принципиально не решается методами строгой математики.

Одним из ярких примеров современных постнеклассических наук являются науки из цикла искусственного интеллекта, основная задача которых — моделирование человеческого интеллекта, самого процесса мышления и принятия решений, механизма человеческого восприятия, рассуждений и оценки, агрегирования и оперирования знаниями и т.д. — иными словами решение человеко-центрированных задач. При этом многие классические математические науки, применяемые для решения практических задач, как например теория оптимизации, также получили свое дальнейшее развитие в свете постнеклассических идей искусственного интеллекта. Очевидно, что результат применения современных математических методов оптимизации может быть в ряде случаев (в силу своего детерминизма) абстрагированным от действительности. С одной стороны, человек, принимая те или иные решения, в основном оперирует не точными значениями, а нечеткими понятиями: больше, меньше, примерно, около и т.д. С другой стороны, иногда задачи приходится решать в условиях неполной (неточной) исходной информации.

В настоящее время интенсивно разрабатываются многочисленные математические формализмы для описания и моделирования неопределенности. Одним из таковых является подход, предложенный в середине 60-х годов американским ученым Лотфи Заде. Он предложил способ моделирования неопределенности как нечеткости, основанный на идее расширения понятия характеристической функции множества до функции принадлежности, принимающей значения на отрезке [0,1]: л(-) : >4 [0,1].

Значения функции /¿л(-) характеризуют степень проявления отдельных свойств объектом А.

Одним из многих научных направлений, использующих упомянутый математический аппарат для моделирования нечеткой информации, является теория нечеткой (возможностной) оптимизации. Предметом ее изучения стали модели и методы оптимизации в условиях неточности, нечеткости, неполноты информации. Вместо четких значений параметров в таких задачах используются возможностные величины, которые моделируют неопределенность описания модели.

Возможностная оптимизация — это сравнительно молодая научная дисциплина, в которой есть еще много нерешенных вопросов, требующих дальнейшего исследования. К настоящему моменту достаточно хорошо исследованы модели и методы возможностной оптимизации с минисвя-занными нечеткими параметрами. Однако минисвязанность не является единственным способом агрегирования неопределенности. В настоящее время существует и активно развивается новое научное направление: методы агрегирования информации — в значительной степени оно опирается на использование математического аппарата ¿-норм.

Цель данной диссертационной работы состоит в изучении вопросов, связанных с агрегированием нечеткой информации, неизбежно происходящим при любых операциях над нечеткими величинами и моделируемом при помощи аппарата треугольных норм, применительно к классу задач возможностной оптимизации.

В диссертационной работе показано, что минисвязанность это лишь одна из возможных реализаций ¿-нормы. В ней проводится сравнительное изучение других ¿-норм — в частности исследуется взаимозависимость параметров по другой экстремальной ¿-норме — слабой треугольной норме Тцг. При использовании различных ¿-норм можно добиться управления «нечеткостью» при решении задач оптимизации, что, в свою очередь, дает большую гибкость при принятии решений.

Однако разработка этого вопроса применительно к задачам возможностной оптимизации находится на начальном этапе развития. Этим определяется актуальность темы диссертации.

Обзор литературы

Основоположником теории нечетких множеств и связанной с ней теории возможностей является профессор Калифорнийского университета Беркли Лотфи Заде, который в своей знаменитой работе «Fuzzy Sets» [115] обобщил понятие характеристической функции множества предположив, что она может принимать значения не только из множества {0,1}, но и из всего отрезка [0,1], характеризуя таким образом «степень принадлежности» элемента нечеткому множеству.

В 1978 году Стефан Намиас в своей работе «Fuzzy Variables» [97] предложил «аксиоматическую базу, являющуюся основой для построения строгой теории возможностей» («theoretical framework from which a rigorous theory may ultimately be constructed»). В этой статье было введено понятие нечеткой переменной, которое в дальнейшем трансформировалось в такое важное понятие, как возможностная (нечеткая) величина. В этой основополагающей статье Намиас также ввел понятие несвязанности (unrelatedness) нечетких величин и аксиоматически определил бинарные операции над несвязанными нечеткими величинами, тем самым заложив теоретические основы современного исчисления возможностей. Позже в работе Pao и Рашеда [105] было замечено, что несвязанность, определенную Намиасом, было бы логичней называть минисвязанностыо (min-relatedness), так как получалось, в частности, что по Намиасу нечеткая величина А несвязанна сама с собой. Эти работы можно считать одними из основополагающих в теории возможностей.

В дальнейшем была установлена взаимосвязь (интерпретация) теории нечетких множеств и теории возможностей. Дальнейшие исследования показали, что различные модели неопределенности (теория вероятностей, теория возможностей) и другие так называемые нечеткие меры, могут быть построены на основе монотонных функций множества при наложении на них дополнительных требований.

Появление теории нечетких множеств и теории возможностей послужило началом новых научных направлений. Многие из этих направлений являют собой обобщение существующих классических теорий и формализмов и ориентированы на более сложные методы агрегирования информации. В частности, возможностное математическое программирование изучает оптимизационные модели, в которых вместо обычных четких параметров и отношений используются нечеткие величины.

Одной из первых работ в области возможностной оптимизации можно назвать работу Беллмана и Заде «Decision making in a fuzzy environment» [68]. Значительную роль в развитии данного научного направления также сыграли работы Циммермана [118], Луханджулы [89-91], Дюбуа и Прада [14], К.Негойце [33], Бакли [69,70], Орловского С.А. [26], Р.Фуллера [53], Рамика [104], А.В.Язенина [58-65,113] и М. Вагенкнех-та [114] и многие др.

К настоящему моменту хорошо изученными являются модели возможностной (нечеткой) оптимизации в случае независимых (минисвязан-ных) нечетких параметров. Получены методы решения соответствующих задач как в классах параметризованных возможностных распределений, так и в общем случае — квазивогнутых полунепрерывных сверху распределений. Следует отметить, что взаимодействие нечетких параметров в них основано на использовании жесткой конъюнкции, принятой в нечеткой логике. Помимо разработки непрямых методов решения, проведены также исследования вопросов устойчивости данных задач [11,12,37-42], изучены модели возможностной оптимизации, в которых не только параметры, но и отношения, связывающие операнды моделей критерия и моделей ограничения, являются нечеткими [8-10,13]. Однако в том случае, когда параметры оптимизационных моделей являются взаимодействующими, исследования в этом научном направлении находятся на начальном этапе развития.

Стоит отметить, что учет зависимости нечетких параметров может быть осуществлен различными способами, а не только на основе ¿-норм.

В работе Танака и Ишибучи [108] зависимость параметров «отражается» через совместную функцию распределения нечетких параметров. В том случае, когда это распределение является эллипсоидальным, в [114] рассматривается одна из возможных постановок задачи идентификации функции распределения взвешенной суммы возможностных величин и предлагается метод ее решения, основанный на методе множителей Лагранжа. В работах Фуллера, Мажлендера и Карлссона [71,77,78] вводятся понятия вариации, ковариации и корреляции возможностных переменных и предлагаются методы их расчета в ряде случаев. Интерпретация данных характеристик тесно связана с теорией вероятностей. Как видно из работ авторов, возможностная ковариация между нечеткими числами А и В есть ни что иное, как взвешенное среднее вероятностных ковариаций между случайными величинами, имеющими равномерное совместное распределение на уровневых множествах совместного распределения возможностей А и В:

Соу/(А, В) = Г соу(Х7, У7)/(7) ¿7 J о о где и У7 - это случайные величины, имеющие равномерное совместное распределение вероятностей на С7 для всех 7 е [0,1], С7 — 7-уровневое множество совместного распределения нечетких величин А и В, /(7) : [0,1] —> М — неотрицательная, монотонно возрастающая весовая функция, удовлетворяющая следующему условию нормировки:

Использование весовой функции мотивировано, в частности, желанием дать меньшую степень важности нижним уровням нечетких множеств (именно поэтому / является монотонно возрастающей).

Точно так же возможностная вариация нечеткого числа есть взвешенное среднее вероятностных вариаций случайных величин, равномерно распределенных на его уровневых множествах: где Щ — это случайная величина, равномерно распределенная на А1 для всех 7 6 [0,1].

Как видно из формул, соответствующие понятия возможностной вариации и ковариации базируются на рандомизации. Эти результаты также могут быть положены в основу соответствующего исчисления, необходимого для построения методов решения задач возможностного программирования в случае зависимых нечетких параметров, чья зависимость моделируется таким образом.

В настоящей работе взаимодействие возможностных переменных моделируется, как нам представляется, более естественным образом — при помощи аппарата ¿-норм. Это есть более естественный механизм моделирования процесса агрегирования нечеткой информации, к тому же позволяющий контролировать рост нечеткости результатов, неизбежно возникающий при выполнении операций над нечеткими величинами. С этой 1 целью в работе используется понятие взаимной Т-связанности, которое было введено в работе Хонга «Parameter estimations of mutually T-related fuzzy variables» [79]. Такой способ моделирования взаимодействия (зависимости) параметров позволяет более гибко управлять нечеткостью при решении задач возможностной оптимизации и является в данный момент наиболее общим. В частности, операция конъюнкции (минимума) выступает одним из видов ¿-норм. Подробную информацию о ¿-нормах можно найти, например, в [83-85]. Вопросам построения исчислений, основанных на различных ¿-нормах, посвящены работы Месьяра [93-96], Дюбуа и Прада [72,74] и многих других.

Цель работы

Целью работы является разработка моделей и методов возможностной оптимизации в случае агрегирования неопределенности с использованием математического аппарата ¿-норм. Это предполагает разработку соответствующего исчисления возможностей, построение непрямых методов решения задач возможностной оптимизации в возможностно-необходимостном контексте, их реализацию на основе генетических алгоритмов и разработку программного комплекса поддержки соответствующих методов оптимизации.

Основные задачи

Для достижения поставленной цели в диссертации решены следующие задачи:

• разработано исчисление возможностей для взаимно Т^-связанных нечетких величин, предполагающее решение задач идентификации функций распределения взвешенных TV-сумм нечетких величин с одинаковыми и различными функциями представления формы;

• получены формулы для вычисления границ а-уровневых множеств взвешенной TV-суммы возможностных величин;

• разработаны непрямые методы решения задач возможностной оптимизации при взаимно Тр^-евязанных параметрах в возможностно-необходимостном контексте;

• осуществлена спецификация генетических алгоритмов оптимизации, ориентированных на исследуемый класс задач;

• проведено сравнительное изучение моделей и методов возможностной оптимизации при агрегировании нечеткой информации на основе Ту/- и Тм-норм;

• реализован программный комплекс поддержки соответствующих методов возможностной оптимизации при моделировании взаимодействия нечетких параметров на основе ¿-норм.

Методика исследования

Для построения математических моделей возможностной оптимизации используется современная теория возможностей. Для построения эквивалентных детерминированных аналогов моделей возможностной оптимизации применяются методы математического программирования, для реализации эквивалентных детерминированных аналогов — методы эволюционного программирования. Программный комплекс реализован на языке программирования высокого уровня С++.

Практическая значимость работы

Модели и методы возможностной оптимизации, предложенные в работе, расширяют класс решаемых задач на случай, когда параметры задач оптимизации являются взаимосвязанными относительно слабой ¿-нормы Т\у- Эти результаты позволяют более гибко управлять нечеткостью при решении задач возможностной оптимизации. Полученные методы могут быть использованы для «интеллектуального» анализа и решения задач производственного, финансового и экономического планирования.

Внедрение результатов работы

Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс на факультете прикладной математики и кибернетики Тверского госуниверситета. Непрямые методы решения задач, полученные в диссертации, представлены в дисциплине «Теория неопределенностей», методы агрегирования возможностной информации — в программе курса «Современные проблемы прикладной математики и информатики». Соответствующее программное обеспечение, разработанное в диссертации, используется в качестве программной составляющей учебно-методического комплекса по дисциплинам «Теория неопределенностей» и «Нечеткое математическое программирование». Часть исследований, проводимых в работе, была поддержана грантом РФФИ, проект номер 08-01-08076.

Апробация

Основные результаты работы докладывались автором на IV Международной научно-практической конференции «Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте» (Коломна, 2007 год), на 27-м ежегодном съезде Северо-Американского общества обработки нечеткой информации КАК1Р8-2008 (Нью-Йорк, 2008 год), на семинарах в Тверском госуниверситете и ВЦ РАН.

Достоверность и обоснованность

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов подтверждается строгостью проводимых математических обоснований при формулировании и доказательстве теорем, результатами численных расчетов, сравнительным анализом полученных в ходе модельных экспериментов результатов с известными.

Структура работы и ее содержание

Структурно диссертация состоит из введения, четырех глав основного содержания, заключения и библиографии.

4.4 Выводы по четвертой главе

В ходе работы над диссертацией автором был функционально расширен программный комплекс поддержки принятия решений FIESTA. В функциональность системы была добавлена возможность выбора t-нормы для агрегирования возможностной информации, лежащей в основе выполнения бинарных операций над нечеткими величинами.

Система FIESTA реализована на основе библиотеки MFC в виде объектно-ориентированного приложения, в результате чего есть возможность для расширения функциональности системы. Система может быть применена как для практического решения задач финансового, экономического, производственного планирования, так и для проведения лабораторных работ по изучению и применению непрямых методов решения оптимизационных задач и исследования поведения задач при использовании различных агрегирующих í-норм на занятиях по дисциплинам «Теория неопределенностей» и «Современные проблемы прикладной математики и информатики», упомянутым выше.

Заключение

В результате работы над диссертацией были исследованы базовые модели задач возможностной оптимизации и получены методы решения задач при описании взаимодействия нечетких параметров на основе ¿-норм. Были получены результаты, позволяющие строить детерминированные эквивалентные аналоги соответствующих задач оптимизации, специфицированы алгоритмы решения последних и разработан программный комплекс поддержки моделей.

Среди результатов можно выделить следующие основные:

1. Получены элементы исчисления возможностей для взаимно Ту/связанных нечетких величин, в частности получены методы идентификации функции распределения взвешенной Тцг-суммы нечетких величин с одинаковыми и различными левыми и правыми формами.

2. Получены формулы для рассчета границ а-уровневых множеств взвешенной Т\у-суммы нечетких величин.

3. Разработаны непрямые методы решения задач возможностной' оптимизации (максимизации уровня достижения нечеткой цели и максимизации возможности достижения нечеткой цели при построчных ограничениях по возможности), позволяющие строить эквивалентные детерминированные аналоги задач.

4. Разработаны непрямые методы решения задач возможностной оптимизации в необходимостном контексте, то есть когда в качестве меры нечеткости выступает мера необходимости.

5. Проведена спецификация генетических алгоритмов, ориентированная на решение полученных детерминированных эквивалентов.

6. Исследованы свойства эквивалентных детерминированных аналогов в зависимости от вида ¿-нормы, описывающей взаимодействие нечетких параметров.

7. Доказаны теоремы, позволяющие устанавить связь между множествами допустимых решений, определямых соответствующими моделями ограничений.

8. Реализован программный комплекс, включающий в себя интерфейс для построения и исследования базовых моделей возможностной оптимизации, реализующий непрямые методы решения задач на основе генетического алгоритма оптимизации.

Результаты диссертационной работы расширяют инструментарий исследования практических задач, решаемых в рамках возможностного программирования, путем предоставления возможности в определенной степени управлять нечеткостью при агрегировании нечеткой информации.

1. Ашманов С.А. Линейное программирование. — М.: Наука, 1981.

2. Ашманов С.А. Условие устойчивости задач линейного программирования // ЖВМиМФ, том 21, № 6, 1981. Стр. 1402 1410.

3. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач / 2-е, перераб. и доп. изд. — М.: Наука, 1988.

4. Васильев Ф.П. Критерии устойчивости общей задачи линейного программирования // Вест. Моск. ун-та, Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика, №2, 1998. Стр. 17 20.

5. Васильев Ф.П. К вопросу устойчивости методов регуляризации в линейном программировании // Вест. Моск. ун-та, Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика, №3, 1998. Стр. 19 23.

6. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование / 2-е, доп. изд. — М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2003.

7. Гамма Э., Хелм Р., Джонсон Р., Влисидес Д. Приемы объектно-ориентированного проектирования. Паттерны проектирования. — СПб.: Питер, 2004.

8. Гордеев Р.Н. К задаче максимизации необходимости нечеткой цели // Вестник ТвГУ. Сер. Прикладная математика, 2005. Стр. 100 -107.

9. Гордеев Р.Н., Язенин A.B. Метод решения одной задачи возмож-ностного программирования // Известия РАН. Теория и системы управления, №3, 2006. Стр. 121 128.

10. Гордеев Р.Н. Исследование устойчивости одного класса задач воз-можностного программирования // Всероссийская научная конференция по нечетким системам и мягким вычислениям НСМВ-2006. М.: Физматлит, 2006. Стр. 121 132.

11. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей / Пер. с франц. — М.: Радио и связь, 1990.

12. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. — М.: Наука, 1976.

13. Заде JI. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений / Под. ред. H.H. Моисеева, С.А. Орловского. — М.: Мир, 1976.

14. Зангвилл У.И. Нелинейное программирование. Единый подход / Под. ред. Е.Г. Голыптейна — М.: Советское радио, 1973.

15. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. — М.: Физматлит, 2005.

16. Измаилов А.Ф. Чувствительность в оптимизации. — М.: Физматлит, 2006.

17. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ / Под ред. Бухвалова A.B. — 4-е, испр. изд. — СПб.: Невский диалект; БХВ-Петербург, 2004.

18. Карманов В.Г. Математическое программирование. — М.: Наука, 1980.

19. Ковач М, Васильев Ф.П., Фуллер Р. Об устойчивости нечеткого решения систем линейных алгебраических уравнений с нечеткими коэффициентами // Вест. Моск. ун-та, Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика, №1, 1989. Стр. 5-9.

20. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. — М.: Наука, 1974.

21. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. — М.: Радио и связь, 1982.

22. Мину М. Математическое программирование. — М.: Наука, 1990.

23. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. — М.: Наука, 1981.28