автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели и методы возможностно-вероятностной оптимизации

На нранах рукописи

004687161

НОВИКОВА Виктория Николаевна

МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ВОЗМОЖНОСТНО-ВЕРОЯТНОСТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 2 ИЮЛ ?0Ю

Тверь - 2010

004607161

Работа выполпопа на кафедре информационных технологий факультета прикладной математики и кибернетики Тверского государственного универ- ситета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук.

профессор Язенин A.B.

Официальные оппоненты доктор технических наук.

профессор Семенов H.A..

доктор технических наук,

кандидат физико-математических паук.

доцент Рыжов А.П.

Ведущая организация Вычислительный центр им. А.А.Дородни-

цына Российской академии наук.

Защита состоится 02 июля 2010 года в 12:00 на заседании диссертационного совета Д212.203.04 при Тверском государственном университете но адресу: 170100. г. Тверь, ул. Желябопа, 33; ауд. 52.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тверского государственного университета по адресу: 170100. г. Тверь, ул. Володарского. 44а.

Объявление о защите диссертации и автореферат опубликованы 31 мая 2010 года на официальном сайте Тверского государственного университета по адресу: llttp://ппiversity.t,veгRu.rн/as{)il•allts/abstl■acts/.

Автореферат разослан 01 июня 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор

В. Н. Михно

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В течении всего своего развития математикааю-стоянно стремилась построить математические модели окружающей действительности все более и более адекватно. Обычная геометрия Евклида сменилась геометрией Лобачевского, теория вероятностей стала одним из основных направлений современной математики, логика перестала быть только двузначной, за ней последовала логика Лукасевича, а появившаяся в 1965 году теория нечеткости, связанная с публикацией работы Лотфи Заде, способствовала появлению нечеткой логики. Профессор Заде предложил метод моделирования неопределенности как нечеткости, основанный на идее расширения понятия характеристической функции множества до функции принадлежности, принимающей значения на отрезке [0,1]. Значения принадлежности характеризуют степень проявления отдельных свойств объектов. Данный подход позволил математически описать такие субъективные понятия, как «теплый», «высокий» и так далее. Полноправное существование теории нечеткости (и тесно связанной с ней теории возможности) как молодой науки сначала оспаривалось сторонниками теории вероятности. Но за прошедшие 50 лет теория доказала свою самостоятельность, активно развивается и используется в приложениях.

Одним из научных направлений, использующих математический аппарат теории возможности, является возможностная оптимизация. Предметом ее изучения стали модели и методы оптимизации в условиях нечеткости и неполноты информации о параметрах задачи. Для их описания в таких задачах используются возможностью величины.

Следующим этапом развития этого научного направления стало использование аппарата нечетких случайных величин для моделирования комбинированного вида неопределенности с элементами случайности и нечеткости. так как на стыке теории вероятности и теории возможности стали появляться задачи, в том числе и задачи оптимизации, требующие.своего решения. Задачи, основывающиеся в своей постановке и на теорию возможности, и на теорию вероятности, более приближены к реалиям современного мира, в котором используются элементы искусственного интеллекта, а с другой стороны отсутствует детерминизм в описании исходных данных.

В настоящее время хороню разработанными являются непрямые методы возможностного программирования. Их реализация предполагает, что возможностью распределения, моделирующие неопределенность параметров системы, полностью определены. Более сложным для исследования является класс задач оптимизации с параметрами, которые содержат в себе элементы неопределенности и возможностного. и вероятностного типов. Методы их решения в настоящее время интенсивно развиваются.

Ввиду этого диссертационная работа, направленная на разработку моделей и методов возможностно-вероятностной оптимизации и программных систем их поддержки, является актуальной.

Цель работы. Целыо диссертационной работы является разработка моделей и методов возможностпо-всроятпостпого программирования, ориентированных на решение задач с комбинированным видом неопределенности.

Основные задачи. Центральной задачей диссертации является формулирование принципов принятия решений, а также разработка моделей и методов иозможпостпо-всроятпостпого программирования с комбинированным типом неопределенности. Она разбивается на следующие подзадачи, подлежащие решению:

1) анализ и обоснование принципов принятия решений в условиях нечетких случайных данных:

2) разработка базовых моделей возможностпо-всроятпостпого программирования;

3) построение стохастических аналогов задач возможностно-всроятпостпого программирования при известных функциях распределения возможности нечетких составляющих исходной модели;

4) обоснование и адаптация стохастических квазиградиентных методов для решения стохастических аналогов исходных задач;

5) реализация программной поддержки разработанных моделей и методов возможностпо-вероятностпого программирования.

Методы исследований. Для формализованного описания изучаемого класса задач используется математический аппарат современной теории возможности и теории вероятности, в частности теория нечеткой случайной переменной. При построении стохастических аналогов поставленных задач используются методы возможностной оптимизации, математического программирования, математического и функционального анализа. При обосновании прямых методов решения стохастических аналогов — методы стохастической оптимизации.

Научная новизна. Научная новизна результатов состоит в возможности учета комбинированного типа неопределенности в задачах математического программирования, выявлении основных свойств полученного класса задач и разработке методов их решения.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты позволяют использовать более адекватные методы оптимизации и принятия решений за счет возможности моделирования комбинированного тина неопределенности. Обосновано корректное применение построенных моделей при решении задач экономико-математического планирования, мо-

дслирования реальных процессов и др.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты, полученные в ходе выполнения диссертационной работы:

1. Принципы принятия решений в условиях возможностно-всроятностной неопределенности.

2. Обобщенные модели возможностно-всроятиостного программи- рова-ния.

3. Методы построения эквивалентных стохастических аналогом, основанные на доказательстве соответствующих теорем.

4. Прямые методы решения эквивалентных стохастических аналогов.

5. Программный комплекс, поддерживающий разработанные методы возможностно-всроятиостного программирования.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались автором на Всероссийской научной конференции "Нечеткие системы и мягкие вычислсния-2006"(г.Тверь, Россия, 2000г.) и на Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Интегрированные модели, мягкие вычисления, вероятностные системы и комплексы программ в искусственном интеллекте" (ИММВИИ-2009, г.Коломпа, Россия, 2009г.), а также на конференциях и научных семинарах ТвГУ.

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 научных статьях, приведенных в конце автореферата, две из которых опубликованы в журналах, рекомендуемых ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения, списка литературы и изложена на 148 страницах. Список литературы содержит 103 наименование, включая работы автора.

Содержание работы. Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, приведен обзор работ, посвященных возможностной оптимизации, кратко изложены структура и содержание диссертации.

В первой главе введены основные определения, понятия и теоретические результаты теории возможности, необходимые в дальнейшем.

В параграфе 1.1.1 вводятся базовые понятия меры возможности, меры необходимости и возможностного пространства. Далее (Г, Р(Г),7г) есть возможностноо пространство, Г — модельное пространство, у € Г — его элементы, Р(Г) множество всех подмножеств множества Г, ж возмож-ностная мера, V двойственная ей мера необходимости, Е1 числовая прямая.

В параграфе 1.1.2 определяются понятия возможностной величины,

нечеткого числа, а также понятие а-уровпового множества, необходимые для моделирования нечетких параметров задач оптимизации.

Определение 1.6 Возможностнам (нечеткая) величина есть вещественная функция Х(-) : Г —>■ Е1, возможные значения кот,орет характеризуются ее распределением возможностей Цх{х):

/лх{х) = тг{7 е Г\Х(<у) = ж}, Чх е Е1.

Их (%) возможность того, что X может принять значение х.

Определение 1.8 Для любого а € (0,1] и любой возможиостиой переменной А а уровневъш. множеством называется множество

Аа = {г е Е1 | !лА{х) > а}.

В параграфах 1.1.3-1.1.4 определяются преобразования возможност-иых величин и действия над ними.

Теорема 1.3 Пусть Е есть множество арифметических операций. Е = {+,—,/,•}, — мииисвязаниые возможностиые переменные,

заданные на возможностнам пространстве (Г, Р(Г),7г), тогда возмож-ностная величина 2 = * где * € Е, определяется функцией распределения

где Л, V есть соответственно взятие минимума и максимума и,а отрезке [0,1].

Как правило, возможностью переменные, принимающие значения в Е1 и характеризующиеся унимодальными, квазивогнутыми, полунепрерывными сверху функциями распределения и ограниченными носителями, именуются нечеткими числами. При этом если функция распределения не является строго унимодальной, возможностная переменная называется нечетким интервалом. Замкнутым семействам возможностиых величии посвящен параграф 1.1.5.

Параграф 1.1.6 рассказывает о теореме представления. Опадает представление результата арифметических операций в общем случае в классе полунепрерывных сверху, квазивогнутых распределений.

Теорема 1.7 Пусть возможностные величины ау (7) определены на возможностнам пространстве (Г, Р(Г), 7г) с непрерывной .мерой и являются минисвязанными. Тогда распределение возможностей величины /¡,„{х, 7)

при фиксированном х полунепрерывно сверху па Е1 и допускает представ-лепив

7)М = V (£ _ ~ -----

В последнем параграфе первого раздела первом главы (параграф 1.1.7) приводятся принципы принятия решений в нечеткой среде, а также базовые модели задач возможпостпой оптимизации — модель максимизации достижения нечеткой цели и модель максимизации возможности достижения нечеткой цели.

Раздел 1.2 содержит баз оные сведения из теории вероятностей, такие как модель случайностей, случайная функция, математическое ожидание, дисперсия и другие.

Определение 1.15 Функция £,(и>) называется действительной случайной величиной {А-и, ¡меримой). если она принимает действительные значения и для каждого числа г неравенство < 2 определяет измеримое подмножество в О, то ехть {ш : < г} £ А.

В параграфе 1.2.3 данного раздела приводятся различные виды сходимости случайных величин и взаимосвязи между ними.

Дальнейшие параграфы раздела относятся к области стохастического программирования. Так, в параграфе 1.2.4 вводится постановка задачи стохастического программирования, основанная на формализации задач нелинейного математического программирования.

Если в результате эксперимента состояние природы со становится известным, то выбор решения х(и) при данном ш сводится к обычной задаче нелинейного программирования: минимизировать

Л*,") (1)

при ограничениях

Г{х,ш) <0,г = 1,...,ш, (2)

г 6 X. (3)

Часто (1)-(2) понимаются в смысле минимизации математического ожидания

Рй{х) = Е/°{х,и) (4)

при ограничениях

= ЕГ{х,ш) <0,1 = 1 ,...,т, (5)

х£Х. (С)

Функции Рк(аг),« = 0,1,..., т, называются функциями регрессии.

В параграфе 1.2.5 приведен метод проектирования стохастических квазиградиеитов для решения задачи стохастического программирования без ограничений, а в параграфе 1.2.6 - метод сокращения невязок для задачи с ограничениями.

Раздел 1.3 диссертации посвящен возможностным случайным величинам. Наряду с понятием возможностной величины, понятие возможностной (нечеткой) случайной величины является фундаментальным в теории возможностей. Случайная возможностная величина является математической моделью эксперимента, результатом которого является возможностная-величина.

Определение 1.22 Нечеткая случайная величина У есть вещественная функция У : О х Г —Е1, такая, что при любом фиксированном 7 £ Г, величина К,,(ш) является случайной величиной, определенной на (Г2, А, Р).

Обозначим множество нечетких случайных величин через РЯ(О).

Также в разделе формулируются принципы принятия решений и строятся модели возможностно-вероятностного программирования, базирующиеся на понятии нечеткой случайной величины как объекте описания комбинированной неопределенности и принципах принятия решении.

Принципы принятия решений:

- усреднение нечетких и случайных параметров, которое позволяет решать задачи с комбинированным типом неопределенности;

- выбор оптимального решения с наиболее возможными/вероятными значениями печстких/случайиых параметров или с возможностью/ вероятностью не ниже заданных уровней.

Во второй главе исследуется задача максимизации нечеткой случайной цели.

В первом параграфе раздела 2.1 приводи тся формализованное описание исследуемой модели возможностно-вероятностной оптимизации без ограничений.

В условиях нечетких случайных данных функция, участвующая в построении модели критерия, имеет следующий вид:

где X является подмножеством Е". При фиксированном х /о(х,а>,7) £ FR(Q). Пусть F0(x, 7) = Е/о(х, w, 7) — математическое ожидание нечеткой случайной величины 7).

При сделанных обозначениях максимаксная модель для меры возможности может быть записана в виде:

к —> max,

Г тг{£/о(а:,ш,7) = к} > а0, х Е А,

где ао заданный уровень возможности, ао £ (0,1].

Для данной задачи строится эквивалентный стохастический аналог.

Предположим, что /о(ж,ш,7) монотонно возрастает но нечетким параметрам. Рассмотрим си ■ уровпевое множество максимизируемой функции. fon(x,uj) = [foa(x'bJ)' foa(x>® этом случае мы можем перейти к эквивалентной задаче:

-ипах,

х £ X.

Аналогичное построение производится и на случай использования в постановке задачи меры необходимости.

В разделе 2.1.2 описан непрямой метод решения задачи, основанный на известных квазиградиелтпых методах решения задач стохастического программирования.

В предположении, что функция Fjj~ (х) имеет непрерывные и ограниченные вторые производные, дисперсия DfQna(x,uj) < const, функция Fq (х) имеет единственный экстремум и является строго выпуклой по х. будет сходится в .среднеквадратичном метод стохастической аппроксимации, в соответствии с которым построим итерационную последовательность.

где е^ орт .¡-й оси; ш0",и1",...,ш™,..., и — 0,1,... ,п, независимые серии наблюдений над ю\ ря длина шага спуска: Ая величина смещения (пробного шага) по осям координат.

В разделе 2.1.3 приводится числовой пример, показывающий работу метода на практике.

Последующие разделы второй главы посвящены аналогичным шагам для модели максимизации нечеткой случайной цели при построчных ограничениях по возможности.

При наличии ограничений модели критерия и ограничений могут быть построены с использованием функций

/,{■,;■) ■ X х Q х Г -> Е\ г = 0,...,тп.

Как и ранее, при фиксированном х fi(:t, cu, у) € FR(Q), a F¿(:с, 7) = Efi(x,ui, 7) — математические ожидания fi(x,w,y). Соответствующая оптимизационная модель в условиях меры возможности может быть записана в виде:

& —> тах, 7r{£/n(x,w, 7) = fc} > а0,

7r{í;/¿(a:,u;,7) = 0} > a¿, г = 1,... ,rn, (10)

x 6 X,

где a.¡ — заданные уровни возможности, q¿ G (0,1]. Как и в случае задачи без ограничений предполагаем, что fo(x, си, у) монотонно возрастает по нечетким параметрам, а /,• G F(El) при фиксированном х. Рассмотрим а - уровень минимизируемой функции f0nr¡(x,uj) = [/0~o(:r,u;), w)].

При сделанных предположениях эквивалентная задача имеет вид:

Я/оаоО^) -> тах> Г Е/г(т,Ы)< 0,

{ о/) >0, ¿=l,...,m, (11)

(iéX

В третьей главе исследуется модель максимизации возможности достижения нечеткой случайной цели. Исследование задачи строится на рассмотрении случаев зависимости целевого функционала и ограничений от нечетких и случайных параметров. Для каждого случая строится эквивалентный стохастический аналог и специфицируется метод решения задачи.

Первый раздел третьей главы посвящен непосредственно постановке задачи без ограничений:

ir{Efo(x, w, 7) = 0} —> sup . (12)

хех

Здесь fd(x,ui,y) есть возможностно-вероятностная функция,

При фиксированном х /o(z,w, 7) G FR(Q), a Fq(x, 7) = Efo(x,u¡,y) — математическое ожидание fo(x,io, 7).

Во втором разделе третьей главы производится построение эквивалентных стохастических аналогов. Доказана следующая Теорема 3.1. Пусть в задние (12) f0(x,uj, 7) = go(x, wiPí(7)> • ■ ■ >Pi(7)) ~ 60(7), где возмоо/с.иос.тиые переменные Р\{-у), ■ ■ ■, Pi{l), являются

взаимно мини связанным.и. Тогда задач а (12) эквивалентна задаче

Xa —» sup,

Ед0(х,ш, VI,..., щ) =í, . (х0,х,М) е [0,1] х X X Е1+\

Третий раздел третьей главы посвящен исследованию ограничений по возможности и их стохастическим аналогам:

п{Е/к(х,и),у) = 0} > ак,к= 1,...,т, , >

хеХ, { '

где а/; 6 (0,1] — заданные уровни возможности. Доказаны соответствующие теоремы.

Теорема 3.7. Пусть в ограничениях (Ц) ¡к{х 1Ш,7) = ... — ^(7), где возможпостные переменные

7),.. ■ ,р$(у),Ьк(-у) являются мин.исвязанн.ы,м,и, квазивогнутыми и полунепрерывными сверху. Тогда система (Ц) эквивалентна системе:

( Э^еы^Ш),

I ЗЕк^ШаМ-у)),

х £ Л', /г = 1,..., т\ г = 1,..., I, где ш(П(р^('у)),и)ак(Ьк('у)) ~ уровневые множества для переменных

В разделе 3.4 строятся меч-оды решения задач максимизации возможности достижения нечеткой случайной цели при построчных ограничениях по возможности на основе методов стохастических киазиградиситов и производится их спецификация под конкретные случаи зависимости целевого функционала и ограничений от возможностных и вероятностных параметров.

В разделе 3.5 приводится модельный пример, демонстрирующий разработанный метод.

В четвертой главе рассматривается еще одна модель задачи возможностно-вероятностного программирования, задача уровневой максимизации при построчных ограничениях по возможности/вероятности.

В первом разделе четвертой главы строится эквивалентный детерминированный аналог для целевого функционала. При этом предполагается, что функция, моделирующая целевой функционал, линейна, а случайные компоненты заданы нормальными функциями распределения и независимы.

Рассматривается модель целевого функционала в следующей постановке:

к —> тах,

РМ/0(х, ш, 7) = к} > а0} > Ро, (15)

гдса0 £ (0;1],ро 6 (0; 1].

Построен эквивалентный детерминированный аналог модели:

т"(х) + &0^(Щ(х) -> тах, (16)

где Тоц (ж), — математическое ожидание и дисперсия правой границы уровневого множества целевой функции, ¿о - решение уравнения Ф(£) = Ро,Ф{Ь) есть функция стандартного нормального распределения.

Второй раздел четвертой главы посвящен построению эквивалентных детерминированных аналогов для модели ограничений при сохранении ограничений, используемых при построении аналога для целевой функции. Модель ограничения в возможностно-вероятностной постановке.

РМЛ:(х, и, 7) - 0} > а,-} > й> (17)

где г = 17т, а,; £ (0; 1 ],рг £ (0; 1].

Эквивалентный детерминированный аналог (17) построен предположениях, сделанных выше:

{ 0,

{ т?ь(х) - ¿ЛГ<РТ1П >0, г = 1,...,т, { '

где т^п{х),т^1'(х),(1^п(х),Л^1'(х) — математические ожидания и дисперсии функций, использовавшихся в ходе построения аналога, /?; и 6{ есть решения уравнений Ф(£) = 1 — р,: и Ф(£) = р.; соответственно.

Третий раздел четвертой главы посвящен исследованию модельного примера, иллюстрирующего построение и решение детерминированных аналогов численными методами.

Пятая глава посвящена. приложениям методов возможностно-вероя'1 постной оптимизации. Для известных задач стохастической оптимизации производится обоснованная адаптация на случай введения нечетких параметров. Для полученных задач в конкретных числовых условиях используются полученные методы решения.

В первом разделе пятой главы рассматривается транспортная задача в возможностно-вероятностной постановке. Для нес строится две модели. Для модели минимизации нечеткой случайной цели задача решается в числовом виде.

Предполагается, что спрос bj = bj(w) в j—м пункте потребления случайная величина. Допустим вначале, что спрос bj распределен с неизвестной

т

плотностью 4>j{bj). Пусть yj = — общий объем продукта, иредпа-

¿=1

значенного в соответствии с планом, составленным до реализации bj(w), для г—го пункта потребления. Если после установления спроса bj(w) выяснится, что y.j < bj(uj), спрос не будет удовлетворен. Утцерб, который при этом будет нанесен системе, естественно принять пропорционально объему неудовлетворенного спроса.

- yj],

где qj ' - ущерб (штраф за дефицит), связанный с нехваткой единицы продукта. В случае, когда yj > 6j(w), возникает необходимость в храпении избыточного продукта. Пусть при этом дополнительные затраты системы пропорциональны объему избыточного продукта q^\yj — bj(uj)}, где -■ затраты на храпение единицы продукта. Математическое ожидание суммарных потерь, связанных с перевозкой продукта, ущербом от неудовлетворенного спроса и затратами на хранение избыточного продукта, равно

п ( m ^

Qfof) = £ E'Vo + - ^И) + - yj)

J=1 I ¿=1 J

Также cjj = c(J(7). то есть затраты на перевозки определены как воз-можностные величины с функциями распределения /л,. .

Целевой функционал запишется в виде:

п ( tu 'S

Q(x, у, 7) = Е Е ^ + ~ biИ) + ^Е(Ь^) - yj) .

j=i 11=1 J

Q{x,y) ->• min,

Е ~ аь

т

г = 1

п т

Е % =

7 = 1 г=1

, ж»,- > > 0, г = 1,... ,771; 3 = 1,... ,п.

Тогда в условиях нечеткой информации о стоимости перевозок задача, основываясь на соответствующих принципах принятия решений, может быть записана в виде:

к —> min,

' *{Q{x,y, l) = Щ > а0,

п

Е '

j=i

т

< =

1=1 п тп

Е Уз = Е j=l 2=1

„ Xij > о,ytj >0,i=l,...,m;j=l,...,n. Для задачи строится эквивалентный стохастический аналог:

3 = 1 I

n E щ = a>>

E xij ~ Уз' ¿=1

n tn ЕУз^Е ab 3=1 1=1

Zij > 0, Vi] > 0, г = 1,.. - 1 mi J =

В параграфе 5.1.5 на конкретных числовых данных производится постепенный переход от классической транспортной задачи к стохастической транспортной задаче, а затем задаче возможпостпо-всроятпостпого программирования. На каждом этане задачи решаются. Производится анализ решений.

Ц + - bj-И) + gj-)S(b» min,

¿=i

Транспортная задача. Затраты на перевозки от поставщика Д; потребителю Bj, запасы поставщиков и спрос потребителей заданы таблицей.

В1 52 Рз запас

Аг 3 7 5 4 300

Ä2 2 6 2 1 500

А3 3 5 4 2 200

спрос 200 250 200 350

Необходимо минимизировать затраты на перевозку грузов.

Далее строим соответствующую стохастическую задачу, предполагая, что снросы Bj распределены с неизвестной плотностью, но известными математическими ожиданиям и. Пусть ЕВг = 200, ЕВ2 = 250, ЕВз = 200, ЕВ± — 350. А = 4 сд. ущерб (штраф за дефицит), связанный с нехваткой единицы продукта, = 5 сд. — затраты на хранение единицы продукта.

n f m "I

X) ] S Xi' + ~~ И) + - ty) > min,

j=i li=i J

11 = Ог,

i=i

= Й>

i=1

= Е<

j=I г=1

. Xij > 0, ytj > 0, г = 1,..., m; j = 1,..., n.

Третьим этапом исследования является решение нечеткой стохастической задачи.

Рассмотрим нечеткую стохастическую транспортную задачу первого типа (минимизации нечеткой случайной цели), предполагая, что затраты на перевозки имеют треангулярные функции распределения с модальными значениями, равными исходным значениям затрат на перевозки от i-ro поставщика j-му потребителю базовой точной задачи и основанием распределения равным 1. Уровень значимости выбирается в 0,75.

к —> min,

' а Г т |

< £ сиЬ)Ъ} + ~ + 4Е(Ъ&) - у:1) \ = к} > 0, 75,

п

2 ^; ~ Уз 1

¿=1 л га

Еу] = Е«<.

;=1 ¿=1

. > 0,^ > 0,г = 1,..-,тп\] = 1,...,п.

Решаем задачу модифицированным алгоритмом стохастического метода сокращения невязок. Делаем 500 итераций. Получаем решение.

В\ В-2 В-;> В]

А1 199,4 0 10,2 5,2

А2 0,3 0 141,8 353,8

Л3 15,4 170 14,5 31,5

Значение функции затрат составит 3164,5 сд.

Решение задачи, полученное с помощью генетического алгоритма, следующее:

Б] £>2 Вз В} Ах 198,9 36,2 0,8 85,4 Л2 4,7 0 193,9 304,3 А3 22,5 203 15,4 20,1

Затраты при этом составят 3077,8 сд.

Решение задачи генетическим алгоритмом даст практически не отличный от полученного квазиградиентпым методом результат. Последовательность решений, определяемая генетическим алгоритмом, сходится к оптимуму уже на 100 итерации.

Мы можем сделать вывод о том, что для данной конкретной задачи решение генетическим алгоритмом даст более эффективный результат. Но квазиградиеитыс методы являются более специализированными для решения задач возможпостно-всроятностпого программирования.

Во втором разделе пятой главы аналогичные исследования проводятся для задачи планирования добычи угля.

В приложении приводится описание программного комплекса, разработанною в ходе проведенных исследований.

Основные результаты. В ходе решения поставленных в диссертационной работе задач были достигнуты следующие результаты:

1) сформулированы принципы принятия решений в условиях комбинированного типа неопределенности, являющиеся обобщением принципов

принятия решений для задач возможностной и стохастической оптимизации:

2) построены обобщенные модели возможпостио-вероятпостного программирования. ориентированные на решение задач с гибридной (комбинированной) I [сопределен ностыо;

3) разработаны методы построения эквивалентных стохастических аналогов исследуемого класса задач;

4) адаптированы прямые методы решения стохастических оптимизационных задач на класс задач иозможпостпо-вероятпостпой оптимизации:

5) разработан программный комплекс, поддерживающий разработанные методы возможпостио-вероятпостного программирования.

Результаты, полученные в диссертации, позволяют расширить круг практических задач, решаемых в рамках возможностного программирования путем управления комбинированной неопределенностью в информации, позволяющей учитывать се природу и специфику.

Публикации автора по теме диссертации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Новикова В.Н., Турлаков А.П. Задача максимизации возможности достижения нечеткой случайной цели // Вестник Тверского государственного университета. Сер. Прикладная математика, №17. 2009. ТвГУ, с. 79-95.

2. Новикова В.Н. О методе решения одной задачи возможностно-всроятностной оптимизации // Вестник Тверского государственного университета. Сер. Прикладная математика. 2010, №1С, с. 95-110.

Прочие публикации автора по теме диссертации

1. Новикова В.Н., Язении A.B. Прямой метод решения одной задачи возможностпо-всроятиостпого программирования /'/ Труды Всероссийской научной конференции «Нечеткие системы и мягкие вычисления», Тверь, М.: Физматлит, 2006, с. 132-139.

2. Новикова В.Н. О методе решения одной задачи возможностно-вероятностного программирования // Нечеткие системы и мягкие вычисления, ТвГУ, Том 2, №1, 2007, с. 73-82.

3. Новикова В.Н. Стохастические квазиградиентные методы решения задач возможностпо-всроятиостпого программирования // Труды Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Интегрированные модели, мягкие вычисления, вероятностные системы и комплексы программ в искусственном интеллекте», Коломна, М.: Физматлит, 2009, с. 200-209.

4. Новикова В.Н. Нечеткая стохастическая транспортная задача // Нечеткие системы и мягкие вычисления, ТвГУ, Том 4, №1, 2009, с G3-73.

Технический редактор А.В.Жильцов Подписано в печать 25.05.2010. Формат 60 х 84 1/16. Усл. псч. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ №197. Тверской государственный университет Редакционио-издатсльское управление Адрес: Россия. 170100, г.Тверь. ул.Желябова. 33. Тел.РИУ: (4822)35-60-63.

Введение

1 Вводные определения

1.1 Исчисление возможностей.

1.1.1 Меры неопределенности.

1.1.2 Возможностные величины.

1.1.3 Преобразования возможностных величин.

1.1.4 Операции над возможностными величинами.

1.1.5 Замкнутые семейства возможностных величин

1.1.6 Теорема представления

1.1.7 Задачи оптимизации и принятие решений при нечетких данных.

1.2 Теоретико-вероятностные понятия.

1.2.1 Модель случайностей

1.2.2 Случайные функции.

1.2.3 Сходимость.

1.2.4 Стохастическое программирование.

1.3 Возможностные случайные величины.

1.3.1 Задачи оптимизации и принятие решений при нечетких случайных данных.

1.4 Генетический алгоритм

1.4.1 Хромосомы.

1.4.2 Инициализация параметров алгоритма.

1.4.3 Инициализация исходной популяции.

1.4.4 Выполнение операции кроссовера

1.4.5 Выполнение операции мутирования.

1.4.6 Критериальная функция и функция пригодности

1.4.7 Алгоритм отбора хромосом.

2 Задача максимизации нечеткой случайной цели

2.1 Задача без ограничений.

2.1.1 Постановка задачи.

2.1/2 Прямой метод решения эквивалентных стохастических аналогов.

2.1.3 Модельный пример.

2.2 Задача при построчных ограничениях по возможности

2.2.1 Постановка задачи.

2.2.2 Прямой метод решения эквивалентного стохастического аналога.

2.2.3 Спецификация метода для решения задачи линейного возможностно-вероятностного программирования

2.2.4 Модельный пример.

Выводы по второй главе.

3 Задача максимизации возможности достижения нечеткой случайной цели

ЗД Модель целевого функционала.

3.2 Построение эквивалентных аналогов.

3.3 Модель ограничений.

3.4 Прямой метод.

3.5 Модельный пример.

Выводы по третьей главе.

4 Задача уровневой максимизации при построчных ограничениях по возможности / вероятности

4.1 Модель целевого функционала.

4.2 Модель ограничений.

4.3 Модельный пример.

Актуальность

В течении всего своего развития математика постоянно стремилась построить математические модели окружающей действительности все более и более адекватно. Обычная геометрия Евклида сменилась геометрией Лобачевского, теория вероятностей стала одним из основных направлений современной математики, логика перестала быть только двузначной, за ней последовали логика Лукасевича, а появившаяся в 1965 году теория нечеткости, связанная с публикацией работы Лотфи Заде [97], способствовала появлению нечеткой логики. Профессор Заде предложил метод моделирования неопределенности как нечеткости, основанный на идее расширения понятия характеристической функции множества до функции принадлежности, принимающей значения на отрезке [0,1]. Значения принадлежности характеризуют степень проявления отдельных свойств объектов. Данный подход позволил математически описать такие субъективные понятия, как «теплый», «высокий» и так далее. Полноправное существование теории нечеткости (и тесно связанной с ней теории возможности) как молодой науки сначала оспаривалось сторонниками теории вероятностей. Но за прошедшие 50 лет теория доказала свою самостоятельность, активно развивается и используется в приложениях.

Одним из научных направлений, использующих математический аппарат теории возможности, является возможностная оптимизация.

Предметом ее изучения стали модели и методы оптимизации в условиях нечеткости и ненолноты информации о параметрах задачи. Для их описания в таких задачах используются возможностные величины.

Следующим этапом развития этого научного направления стало использование аппарата нечетких случайных величии для моделирования комбинированного вида неопределенности с элементами случайности и нечеткости, так как на стыке теории вероятности и теории возможности стали появляться задачи, в том числе и задачи оптимизации, требующие своего решения. Задачи, основывающиеся в своей постановке и на теорию возможностей, и на теорию вероятностей, более приближены к реалиям современного мира, в котором используются элементы искусственного интеллекта, а с другой стороны отсутствует детерминизм в описании исходных данных.

В настоящее время хорошо разработанными являются непрямые методы возможностного программирования [52,95]. Их реализация предполагает, что возможностные распределения, моделирующие неопределенность параметров системы, полностью определены. Более сложным для исследования является класс задач оптимизации с параметрами, которые содержат в себе элементы неопределенности и возможностного, и вероятностного типов. Методы их решения в настоящее время интенсивно развиваются.

Ввиду этого диссертационная работа, направленная на разработку моделей и методов возможностно-вероятностной оптимизации и программных систем их поддержки, является актуальной.

Обзор литературы

Теория нечетких множеств, теория возможностей и нечеткая оптимизация достаточно полно изложены в работах А. Кофмана [18], Л. Заде [11, 97, 98], Р. Беллмана [60], Дж. Бакли [61, 62], Д. Дюбуа и

А. Прада [63,64], CA. Орловского [32], A.B. Язенина [51,53,54,57-59,94,95].

Основоположником теории нечетких множеств и связанной с ней теории возможностей является Лотфи Заде, который в своей знаменитой работе «Puzzy Sets» [97] обобщил понятие характеристической функции множества, предположив, что она может принимать значения не только из множества 0,1, но и из всего отрезка [0,1], характеризуя таким образом «степень принадлежности» элемента нечеткому множеству

В 1978 году Стефан Намиас в своей работе «Puzzy Variables» [80] предложил «аксиоматическую базу, являющуюся основой для построения строгой теории возможностей» («theoretical framework from which a rigorous theory may ultimately be constructed»). В этой статье было введено понятие нечеткой переменной, которое в дальнейшем трансформировалось в такое важное понятие, как возможностная (нечеткая) величина. В этой основополагающей статье Намиас также ввел понятие несвязанности (imrelatedness) нечетких величин и аксиоматически определил бинарные операции над несвязанными нечеткими величинами, тем самым заложив теоретические основы современного исчисления возможностей.

В дальнейшем была установлена взаимосвязь (интерпретация) теории нечетких множеств и теории возможностей. Дальнейшие исследования показали, что различные модели неопределенности (теория вероятностей, теория возможностей) и другие так называемые нечеткие меры, могут быть построены на основе монотонных функций множества при наложении на них дополнительных требований. Появление теории нечетких множеств и теории возможностей послужило началом новых научных направлений. Многие из этих направлений являют собой обобщение существующих классических теорий и формализмов и ориентированы на более сложные методы агрегирования информации. В частности, возможностное математическое программирование изучает оптимизационные модели, в которых вместо обычных четких параметров и отношений используются нечеткие величины.

Одной из первых работ в области возможностной оптимизации можно назвать работу Беллмана и Заде «Decision making in a fuzzy environment» [60]. Значительную роль в развитии данного научного направления также сыграли работы Циммермана [100], Луханджулы [76-78], Дюбуа и Прада [8], Орловского С.А. [32], Р.Фуллера [45], Рамика [67], А.В.Язенина и М. Вагенкнехта [94,95] и многие др.

И если в работах Заде показано, каким образом нечеткую, качественного характера информацию можно использовать в формализованных процедурах анализа, то в работах Беллмана, Бакли, Дюбуа, Прада, Орловского, Язенина решается проблема математической обработки той нечеткой информации, которая введена в модель, и прежде всего -проблема сужения множества альтернатив на основе этой информации. Так же надо отметить, что в работах Язенина [94, 95] предложен единый методологический подход к формализации задач нечеткой оптимизации в контексте теории возможностей. Необходимые результаты, касающиеся теории нечетких мер, подробно изложены в работе Зениана Ванга и Джорджа Клира [103].

Попытки объединения теории возможностей и теории вероятностей для формализации неопределенности предпринимались с 80-х годов Пури и Релеску [84], Лухаджула [76-78]. На базе новых возможностно-вероятностньтх величин строились задачи оптимизации.

Цель работы

Целью диссертационной работы является разработка моделей и методов возможноетно-вероятностного программирования, ориентированных на решение задач с комбинированным видом неопределенности.

Основные задачи

Центральной задачей диссертации является формулирование принципов принятия решений, а также разработка моделей и методов возможностно-вероятностного программирования с комбинированным типом неопределенности. Она разбивается на следующие подзадачи, подлежащие решению:

• анализ и обоснование принципов принятия решений в условиях нечетких случайных данных;

• разработка базовых моделей возможностно-вероятностного программирования;

• построение стохастических аналогов задач возможностно-вероятностного программирования при известных функциях распределения возможностей нечетких составляющих исходной модели;

• обоснование и адаптация стохастических квазиградиентных методов для решения стохастических аналогов исходных задач;

• реализация программной поддержки разработанных моделей и методов возможностно-вероятностного программирования.

Методика исследования

Для формализованного описания изучаемого класса задач используется математический аппарат современной теории возможностей и теории вероятностей, в частности теория нечеткой случайной переменной. При построении стохастических аналогов поставленных задач используются методы возможностной оптимизации, математического программирования, математического и функционального анализа. При обосновании прямых методов решения стохастических аналогов — методы стохастической оптимизации.

Научная новизна работы

Научная новизна результатов состоит в возможности учета комбинированного типа неопределенности в задачах математического программирования, выявлении основных свойств полученного класса задач и разработке методов их решения.

Основными результатами диссертационного исследования, выносимыми на защиту являются:

1) Принципы принятия решений в условиях комбинированной неопределенности, являющиеся обобщением принципов принятия решений для задач возможностной и стохастической оптимизации. и) Обобщенные модели возможностно-вероятностного программирования, ориентированные на решение задач с возможностно-вероятностной неопределенностью. ш) Методы построения эквивалентных стохастических аналогов исследуемого класса задач, основанные на доказательстве соответствующих теорем. гу) Прямые методы решения стохастических оптимизационных задач, адаптированные на класс задач возможностно-вероятностной оптимизации.

V) Программный комплекс, поддерживающий разработанные методы возможностно-вероятностного программирования.

Теоретическая и практическая значимость работы

Полученные результаты позволяют использовать более адекватные методы оптимизации и принятия решений за счет возможности моделирования комбинированного типа неопределенности. Обосновано корректное применение построенных моделей при решении задач экономико-математического планирования, моделирования реальных процессов и др.

Достоверность и обоснованность результатов

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов подтверждается строгостью проводимых математических обоснований при формулировании и доказательстве теорем, результатами численных расчетов, сравнительным анализом полученных в ходе модельных экспериментов результатов с известными.

Апробация

Основные результаты диссертационной работы докладывались автором на Всероссийской научной конференции "Нечеткие системы и мягкие вычисления-2006" (г.Тверь, Россия, 2006г.) и на Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Интегрированные модели, мягкие вычисления, вероятностные системы и комплексы программ в искусственном интеллекте" (ИММВИИ-2009, г.Коломна, Россия, 2009г.), а также на конференциях и научных семинарах ТвГУ.

Публикации

Основные результаты диссертационной работы были представлены к публикации в следующих изданиях: Новикова В.Н., Язенин A.B. "Прямой метод решения одной задачи возможностно-вероятностного программирования "(Труды Всероссийской научной конференции "Нечеткие системы и мягкие вычисления Тверь, 2006 с. 132-139), Новикова В.Н. "О методе решения одной задачи возможностно-вероятностного программирования "("Нечеткие системы и мягкие вычисления Тверь, Том 2, №1, 2007, с. 73-82), Новикова В.Н. "Стохастические квазиградиентные методы решения задач возможностно-вероятностного программирования" (Тезисы научно-практической конференции студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Интегрированные модели, мягкие вычисления, вероятностные системы и комплексы программ в искусственном интеллекте Коломна, 2009, с. 200-209), Новикова В.Н., Турлаков А.П. "Задача максимизации возможности достижения нечеткой случайной цели"("Вестник Тверского государственного университета Серия: Прикладная математика, №17, 2009, Тверь, с. 79-95), Новикова В.Н. "О методе решения одной задачи возможностно-вероятностной оптимизации"("Вестник Тверского государственного университета Серия: Прикладная математика, №16, 2010, Тверь, с. 95-110).

Структура работы и ее содержание

Диссертация состоит из введения, пяти глав, приложения, заключения и библиографии. Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цели исследования, приводится краткое изложение основных положений и результатов диссертационной работы.

Выводы по пятой главе

В четвертой главе приводятся две пракические задачи, каждая из которых решается двумя способами — описанным методом и специфицированным генетическим алгоритмом.

Первой рассматривается нечеткая стохастическая транспортная задача со случайными спросами потребителей и нечеткой информацией о стоимости перевозок. Данная постановка задачи более реалистична и более адаптирована к жизни. Ее решение является важным для расширения возможностей принятия верной стратегии лицом, принимающим решения, в условиях неточной информации. Данная задача рассматривается как задача возможностн№вероятностной оптимизации. На конкретном числовом примере были апробированы полученные ранее [?, ?] методы решения возможностно-вероятностных оптимизационных задач.

Второй рассматривается задача планирования добычи угля. В стохастическую постановку задачи вводятся в зависимости от смысловой нагрузки нечеткие параметры или заменяются случайные параметры нечеткими, поскольку характер нечеткости больше соответствует реальным условиям, нежели характер случайности. Для задачи затем строится стохастический аналог в соответствии с разработанными в предыдущих главах методах и применяется соответствующий метод. Для сравнения задача была решена генетическим алгоритмом.

Заключение

В результате работы над диссертацией были исследованы базовые модели задач возможностпо-вероятностной оптимизации и получены методы решения задач при описании нечетких компонент путем задания их функций распределения, а вероятностных компонент — численными реализациями. Были получены результаты, позволяющие строить детерминированные стохастические аналоги соответствующих задач оптимизации, специфицированы алгоритмы решения последних.

Среди результатов можно выделить следующие осповные:

1) Разработаны непрямые методы решения задач возможностно-вероятностной оптимизации (максимизации уровня достижения нечеткой случайной цели и максимизации возможности достижения нечеткой случайной цели при построчных ограничениях по возможности), позволяющие строить эквивалентные стохастические аналоги задач.

2) Разработаны непрямые методы решения задач возможностной оптимизации в необходимостном контексте, то есть когда в качестве меры нечеткости выступает мера необходимости.

3) Доказаны теоремы, позволяющие строить эквивалентные стохастические аналоги для моделей ограничений.

4) Проведена спецификация генетических алгоритмов, ориентированная на решение полученных стохастических эквивалентов.

Результаты диссертационной работы расширяют инструментарий исследования практических задач, решаемых в рамках возможностного программирования, путем предоставления возможности в определенной степени управлять нечеткостью при агрегировании нечеткой информации.

В плане дальнейшего исследования перспективным представляется рассмотрение вопроса решения задач возможностно-вероятностной оптимизации в случае задания нечетких и случайных компонент с помощью численных реализаций.

1. Ашманов С. А. Линейное программирование — М.: Наука, 1981.

2. Вазан М. Стохастическая аппроксимация — М.: Мир, 1972.

3. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач / Изд. 2-е, нерераб. и доп. — М.: Наука, 1988,

4. Васильев Ф. П., Иваницкий А. Ю. Линейное программирование / Изд. 2-е, доп. — М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2003.

5. Гордеев Р. Н. К задаче максимизации необходимости нечеткой цели // Вестник, ТвГУ. Сер. прикладная математика — 2005 — №6 — с. 100107

6. Гордеев Р. //. Язенин А. В. Метод решения одной задачи возможностного программирования // Известия РАН. Теория и системы управления — 2006 — №3 — с.121-128

7. Гришина Е. Н. Об одном подходе к определению и расчету числовых характеристик нечетких случайных величин // Слоэюные системы: обработка информации, моделирование и оптимизация. — Тверь, 2004, с.З<М5

8. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике / Под ред. Орловский С. А. — М.: Радио и связь, 1990.

9. Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применения в системах оптимизации — М.: Наука, 1982.

10. Ермольев Ю. М. Методы стохастического программирования — М.: Наука, 1976.

11. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений /Под ред. Моисеев, Н. Н., Орловский, С. А. — М.: Мир, 1976.

12. Зангвил/i, Уиллард И. Нелинейное программирование. Единый подход / Под ред. Голылтейн Е. Г. — М.: Советское радио, 1973.

13. Измаилов А. Ф., Солодов М. В. Численные методы оптимизации — М.: Физматлит, 2005

14. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ / Под ред. Бухвалов A.B., Изд.4~е, испр. — СПб.: Невский диалект; ВХВ-Петербург, 2004

15. Карманов В. Г. Математическое программирование — М.: Наука, 1980.

16. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей — М.: Наука, 1974.

17. Колмогоров А. В., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа / Изд. 7-е — М.: Наука, 2006.

18. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. — М.: Радио и связь, 1982.

19. Лоэв, М. Теория вероятностей — М.: ИЛ, 1962.

20. Миронов, A.A., Цурков В.И. Минимакс в транспортных задачах — М.: Наука, 1997.

21. Молодцов Д. А. Устойчивость принципов оптимальности — М.: Наука, 1987.

22. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач — М.: Наука, 1987.

23. Морозов В. А. Методы регуляризации неустойчивых задач — М.: МГУ, 1987.

24. Морозов В. А., Гребенников А. И. Методы решения некорректно поставленных задач: алгоритмический аспект — М.: МГУ, 1992.

25. Невелъсон М. Б., Хасьминский Р. 3. Стохастическая аппроксимация и рекурентное оценивание — М.: Наука, 1972.

26. Новикова H.H., Турлаков А.П. Задача максимизации возможности достижения нечеткой случайной цели // Вест,ник Тверского государственного университета/ Сер. Прикладная математика 2009 - №17 - с. 79-95.

27. Новикова В.Н. О методе решения одной задачи возможностно-вероятностной оптимизации // Вестник Тверского государственного университета/ Сер. Прикладная математика — 2010 — №16 — с. 95110.

28. Новикова В.Н., Язснин A.B. Прямой метод решения одной задачи возможностно-вероятностного программирования // Труды Всероссийской научной конференции «Нечеткие системы и мягкие вычисления» — Тверь, М.: Физматлит, 2006, с. 132-139.

29. Новикова В.Н. О методе решения одной задачи возможностно-вероятностного программированя // Нечеткие системы и мягкие вычисления, ТвГУ — Том 2, № — 2007 — с.73-82.

30. Новикова В.Н. Нечеткая стохастическая транспортная задача // Нечеткие системы и мягкие вычисления, ТвГУ — Том 4, №1 — 2009 с.63-73.

31. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации — М.: Наука, 1981.

32. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей — М.: Наука, 1973.

33. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ — М.:Мир, 1973

34. Рыбкин В. А. Вопросы корректности и устойчивости задач возможностной оптимизации: Дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Тверс. гос. университет — Тверь, 2000.

35. Сорокин С. В., Язенин А. В. Анализ структуры задач возможностного программирования // Сложные системы: обработка информации, моделирование и оптимизация — Тверь, ТвГУ, 2002, с. 120-130

36. Оухарев А. Г., Тимохов А. В., Федоров В. В., Курс методов оптимизации — М.: Наука, 1986.

37. Тихонов А. Н., Караманов В. Г., Руднева Т. Л. Методы коррекции задач возможностной оптимизации и их реализация в системах поддержки принятия решений // Сб. работ НЙВЦ МГУ

38. Вычислительные методы и программирование» — Вып. 12 — М.: МГУ, 1969, с. 3-9

39. Тихонов А. Н.,Арсенин, В. Я. Методы решения некорректных задач1. М.: Наука, 1974.

40. Тихонов А. HГончарский А. ВСтепанов В. В., Ягола А. Г. Регуляризующие алгоритмы и априорная информация — М.: Наука, 1983.

41. Тихонов А. В., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач — М.: Наука, 1990.

42. Тихонов А. Н., Леонов А. С., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи — М.: Наука, Физматлит, 1995.

43. Урясъев С. Г1. Адаптивные алгоритмы стохастической аппроксимации и теории игр — М.: Наука, 1990.

44. Федоров В. В. Численные методы максимина — М.: Наука, 1979.

45. Фуллер Р. Исследование некоторых классов нечетких линейных задач: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук / Моск. гос. унив. — Москва, 1987.

46. Халмош П. Теория меры / Под ред. Фомин C.B. — М.: Изд-во. «Факториал Пресс», 2003

47. Хохлов М. Ю.} Язенин А. В. Расчет числовых характеристик нечетких случайных величин // Вестник ТвГУ. №2. Серия „Прикладная математика" — 2003 — №1 — с.39-43.

48. Ширяев А. Н. Вероятность. В 2-х кн. / Изд. 3-е, перераб. и доп.

49. М.: МЦНМО, 2004 — Т.1: Элементарная теория вероятностей. Математические основания. Предельные теоремы

50. Ширяев А. Н. Вероятность. В 2-х кн. / Изд. 3-е, перераб. и доп. — М.: МЦНМО, 2004 е=г Т.2: Суммы и последовательности случайных величин стационарные, мартингалы, марковские цепи

51. Юдин Д. Б. Математическне методы управления в условиях неполной информации. Задачи и методы стохастического программирования. — М.: Советское радио, 1974.

52. Язенин А. В. Задача векторной оптимизации с нечеткими коэффициентами важности критериев // Математические методы оптимизации и управления в сложных системах — Калинин: КГУ, 1981, с. 38-51.

53. Язенин А. В. Методы оптимизации и принятия решений при нечетких данных: Автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук / Твер. гос. у нив. — Тверь, 1995.

54. Язенин А. В. К задаче максимизации возможности достижения нечеткой цели // Изв. РАН. Теория и системы управления — 1999 №4 - с.120-123.

55. Язенин А. В. Нечеткое математическое программирование — Калинин: КГУ, 1986.

56. Язенин А. В. Гибридная экспертная система для планирования // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика— 1989 — №5 — с.162-167.

57. Язенин А. В. Линейное программирование со случайными нечеткими данными // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика — 1991 — №3 — с.52-58.

58. Язенин А. В. Модели возможностного программирования в оптимизации систем // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика — 1991 №5 — с. 133-142.

59. Язенин А, В. Возможностное и интервальное линейное программирование // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика — 1993 — №5 -с. 149-155

60. Язенин А. В. Моделирование ограничений в задачах возможностного линейного программирования // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика- 1994 — №2 с.84-88.

61. Bellman R., Zadeh L. A. Decision making in a fuzzy environment // Management Science — 1970 — no. 17 — pp. 141-164

62. Buckley J. /Possibility and necessity in optimization // Fuzzy Sets and Systems 1988 — no. 25 — pp. 1-13

63. Buckley J. J. Possibilistic linear programming with triangular fuzzy numbers // Fuzzy Sets and Systems— 1988 — no.26 — pp. 135-138

64. Dubois D., Prade H. Systems of fuzzy linear constraints // Fuzzy Sets and Systems — 1978 — no.3 pp.37-48

65. Dubois D., Prade H. Fuzzy Sets and Systems: Theory and Applications — New York: Academic Press, 1980

66. Duboise D. et al. Fuzzy interval analysis / Fundamentals of fuzzy sets —• Dordrecht Boston - London: Kluwer Acad. Publ., 2000 — vol. 1 of Series on fuzzy sets

67. Fodor J. C., Roubens M. Fuzzy preference modelling and multi-criteria decision support — Dordrecht Boston - London: Kluwer Acad. Publ., 1994

68. Inuiguchi M., Ramik J.; Tanino T. Oblique fuzzy vectors and its use in pos-siblistic linear programming // Fuzzy Sets and Systems — 2003 — no. 135- pp. 123-150

69. Inuiguchi M., Ramik JTanino T., Vlach M. Satisficing solutions and duality in interval and fuzzy linear programming // Fuzzy Sets and Systems2003 — no. 135 — pp. 151-177

70. Inuiguchi M., Ichihashi II., Kum,e Y. Some properties of extended fuzzy preference relations using modalities // Information Sciences — 1992 — no.61 — pp. 187-209

71. Inuiguchi M., Ichihashi II., Kume Y. Modality constrained programming problems: a unified approach to fuzzy mathematical programming problems in the setting of possibility theory // Information Sciences — 1993 — no.67 pp. 93-126

72. Katagiri II., Sakawa M., Ishii H. Fuzzy random bottleneck spanning tree problems using possibility and necessity measures // European Journal of Operational Research — 2003 — vol.1, no. 152 — pp. 88-95

73. Klement E. P., Mesiar R., Pap E. Triangular norms — Dordrecht Boston- London: Kluwer Acad. Publ., 2000 — Series Trends in Logic

74. Kwakernaak H. Fuzzy random variables Definitions and theorems // Inf. Sci.— 1978 - no. 15 — pp. 1-29

75. Liu, B. Uncertain programming — New York: Wiley and Sons, 1999

76. Lodwick W.Analysis of structure in fuzzy linear programs // Fuzzy Sets and Systems — 1990 — no. 38 — pp. 15-26

77. Luhandjula M. K. Linear programming problems under randomness and fuzziness // Fuzzy Sets and Systems — 1983 — no. 10 — pp.45-55

78. Luhandjula M. K. On possibilistic linear programming // Fuzzy Sets and Systems — 1986 — no. 18 — pp. 15-30

79. Luhandjula M. K. Fuzzy optimization: an appraisal // Fuzzy Sets and Systems — 1989 — no. 30 — pp. 257-287

80. Luhandjula M. K. Optimisation under hybrid uncertainty// Fuzzy Sets and Systems — 2004 — no. 146 — pp. 187-203

81. Nahmias S. Fuzzy variables // Fuzzy Sets and Systems — 1978 — no. 1 — pp.97-110

82. Nahmias S. Fuzzy variables in a random environment // Advances in fuzzy sets theory — Amsterdam: 1979

83. Orlovsky S. A. Decision-making with a fuzzy preference relation // Fuzzy Sets and Systems — 1978 — no.l — pp. 155-167

84. Orlovsky S. A. On formalization of a general fuzzy mathematical problem // Fuzzy Sets and Systems — 1980 — no.3 — pp. 311-321

85. Puri M. L., Ralescu D. A. Fuzzy random variables // Journal of mathematical analysis and applications — 1986 — no. 114 — pp.409-422

86. Ralescu D. A survey of the representation of fuzzy concepts and its applications // Advances in Fuzzy Sets Theory and Applications / Gupta M. M., Regade R. K., Yager R. — North Holland, Amsterdam: 1979 — pp.77-91

87. Ramik J., Vlach M. Fuzzy Mathematical Programming: A Unified Approach Based On Fuzzy Relations //Fuzzy Optimization and Decision Making 2002 - no. 1 - pp.335-346

88. Ramik J. Duality in Fuzzy Linear Programming: Some New Concepts and Results // Fuzzy Optimization and Decision Making — 2005 — no. 4 — pp.25-39

89. Ramik J. Soft Computing: Overview and Recent Developments in Fuzzy Optimization. Research Report. JAIST — Listopad: Ostravska univerzita, 2001

90. Ramik J., Vlach M. Generalized concavity as a basis for optimization and decision analysis. Research report IS-RR-2001-003 / JAIST — Hokuriku: 2001

91. INBOOKramik:02 Ramik J., Vlach M. A Non-controversial Definition of Fuzzy Sets/ Transactions on Rough Sets II. Rough Sets and Fuzzy Sets — Berlin / Heidelberg: Springer,2004 vol.3135 - pp.201-207

92. Robbins H., Monro S. A stohastic approximation method // Ann. Math. Stat. — 1951 vol.3, no.22

93. Tanaka H., Asai /f.Fuzzy linear programming with fuzzy numbers // Fuzzy Sets and Systems — 1984 — no.13 — pp. 1-10

94. Yazenin, A. V. Fuzzy and stochastic programming // Fuzzy Sets and Systems 1987 - no. 22 — pp. 171-180

95. Yazenin A. V. On the problem of possibilistic optimization // Fuzzy Sets and Systems — 1996 — no.81 — pp. 133-140

96. Yazenin A. V., Wagenknecht M. Possibilistic optimization. A measure-based approach BUTC-UW, 1996 - vol.6,

97. Yazenin A. V. On possibilistic-probabilistic optimization // Нечеткие системы и мягкие вычисления — 2007 — vol.2, no.l — pp.53-72

98. Zadeh L. A. Fuzzy sets // Information and Control — 1965 — no.8 —-pp.338-353

99. Zadeh L. A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility // Fuzzy Sets and Systems— 1978 — no.l — pp.3-28

100. Zimmermann H.-J. Fuzzy mathematical programming // Com,put. Oper. Res. 1983 - no. 10 - pp.291-298

101. Zimmermann H.-J. Applications of fuzzy set theory to mathematical programming // Information Sciences— 1985 — no.36 — pp. 29-58

102. Wang Zhenyuan, Klir George J. Fuzzy measure theory — New York: Plenum Press, 1992