автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы решения задач оптимального управления с бесконечным горизонтом

На правах рукописи

ОЦ^

Красовский Андрей Андреевич

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С БЕСКОНЕЧНЫМ ГОРИЗОНТОМ

05 13 18 - Математическое моделирование, численные ме)Оды и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 2008

003168900

Работа выполнена в отделе динамических систем Института математики и механики Уральского отделения РАН

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Тарасьев Александр Михайлович

Официальные оппоненты член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Ченцов Александр Георгиевич

доктор физико-математических наук, профессор Шориков Андрей Федорович

Ведущая организация Московский государственный университет

им М В Ломоносова, г Москва

Защита состоится 21 мая 2008 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212 286 10 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Уральском государственном университете им А М Горького по адресу 620083, г Екатеринбург, пр Ленина, 51, ком 248

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Уральского государственного университета им А М Горького

Автореферат разослан "24 " о^Ьал.8 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ -маг наук, профессор

В Г Пименов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Представ пенная диссертация посвящена разработке методов решения задач оптимапьного управления с бесконечным горизонтом Такие задачи составляют активно исследуемое направление прикладной математики Актуальность этих задач мотивируется закономерностями развития и возможностями управления в экономических моделях Особое внимание в диссертационной работе уделено исследованию достаточных условий оптимальности в принципе максимума Понтрягпна Основные результаты диссертации связаны с разработкой алгоритмов построения оптимальных траекторий в задачах с кусочно-определенными 1амильтонианами и оценкой их точности Важное место в работе уделяется задачам поиска оптимального времени остановки динамических процессов в многоуровневых моделях оптимизации Все алгоритмы реализованы в компьютерных программах, которые были использованы при моделировании процессов экономического роста Вычислительные эксперименты проведены на реальных эконометрических данных

Актуальность темы

Теория управления и теория дифференциальных игр являются в настоящее время быстро развивающимися разделами современной математики, что вызвано потребностями многочисленных приложений в таких разнообразных дисциплинах как аэрокосмические науки, экономика, инженерные и технические науки, науки об окружающей среде, финансовая математика, гибридные системы, медицинские науки и науки о здравоохранении, вычислительные и компьютерные науки, океанографические, физические, общественные и математические науки Возрастает интерес к теории оптимапьного управления и ее приложениям российских, немецких, французских, американских, японских и итальянских математиков, экономистов и специалистов по проблемам окружающей среды, а также международных научных оршнизаций, что подтверждается увеличением количества работ в российских и зарубежных издательствах

Основополагающее значение в теории оптимальною управления имеет принцип максимума Л С Понтрягина который получил развитие и приложение в работах российских и зарубежных математиков Задачи управления в условиях неопределенности формализуются в рамках теории дифференциальных игр Большое внимание в этом направлении уделяется исследованиям, связанным с развитием принципа экстремального прицеливания Н Н Красовского, в том числе, для построения оптимальных стратегий в сеточных схемах и для обобщения понятия стабильности Развитие строгой теории задач конфликтного управления следует отнести к работам Н Н Красовского н А И Субботина 2

Существенное влияние на теорию оптимального управления и теорию дифференциальных игр оказали работы Р В Гамкрелидзе, А В Кряжимского,

1 Понтрягпп Л С, Бо чтяиский В Г, Гамкрелидзе Р В , Мищенко Е Ф , Математическая теория оптимальных процессов М Физматгнз, 1962 392 с

2Красоескш1 Н Н , Субботин А И Позиционные дифференциальные игры М На>ка, 1974 456 с

А Б Куржанского, Е Ф Мищенко, Ю С Осипова, Б H Пшеничного, Ф J1 Чер-ноусько, J Р Aubin, Т Baçar, R Bellman, Р Bernhaid, L Berkovitz, A E Bryson, F H Claike, M G Ciandall,RJ Elliot, L С Evans, W H Fleming, A Friedman, HoYu-Chi,R I.saacs, RE Kaiman, V Lakshmikantham, V G Leitman, PL Lions, P Varaiya

Большой вклад в их развитие внесли ЭГ Альбрехт, AB Арутюнов, СМ Асеев, В Д Батухтин, Ю И Бердышев, В И Бпагодатских, В Г Болтянский, С А Брыкалов, Ф П Васильев, Р Ф Габасов, H Л Григоренко, M И Гусев, А В Дмитрук, В И Жуковский, С Т Заващицин, M И Зеликин, АД Иоффе, Ф M Кириллова, AB Ким, А Ф Клейменов, АН Красовский, ЮС Ледяев, H Ю Лукоянов, В И Максимов, А А Меликян, А А Милютин, M С Никольский, О И Никонов, В С Пацко, H H Петров, Л А Петро-сян, В Г Пименов, А H Сесекин, H H Субботина, A M Тарасьев, В M Тихомиров, Е Л Тонков, В Е Третьяков, В И Ухоботов, В H Ушаков, Т Ф Филиппова, А Г Ченцов, А А Чикрий, А Ф Шориков, M Baidi,EN Bairon, 1С Dolcetta, L Cesan, M Falcone, R Jensen, M I&hn, PV Kokotovic, G J Olsder, E Roxin, P E Songamdis, J Warga и многие другие ученые

Получили развитие конструкции принципа максимума Понтрягина для задач управлений в новых постановках, в частности, для задач управления с бесконечным горизонтом Такие постановки характерны для моделей экономического роста и задач финансовой математики Отметим здесь работы С M Асеева и А В Кряжимского 3 по обобщениям принципа максимума для задач с бесконечным горизонтом, работы Г Маурера по задачам оптимального управления с фазовыми ограничениями и их приложениям к задачам оптимизации инвестиционных процессов Циклические управляемые процессы с целевыми функционалами, определяемыми как предельные значення усредненных по времени интегралов качества, рассматривались в работах В И Арнольда 4 и его учеников

Исследуются достаточные условиям оптимальности для управляемых систем с вогнутыми гамильтонианами Изучаются свойства, в частности, асимптотические свойства, решений гамильтоновых систем Отметим здесь работы Т Базара, Дж Лейтмана, Р Рокафеллара в приложении к исследованию динамических игр, в том числе, описывающих конкурентную рыночную среду Развиваются исследования минимаксных решений, понятие и конструкции которых введены А И Субботиным для корректного определения решений уравнений Гамильтона-Якоби, в задачах управления с нерегулярностями, в том числе, в сингулярно возмущенных задачах с малым параметром

Теория оптимального управления и теория позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения тесно связаны с теорией выживаемости, задачами построения и оценки множеств достижимости управляемых систем и

3Асеев СМ, Кряжимскпй А В, Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста // Тр МИАН, 2007 Т 257 С 5-271

4 Arnold, VI, Davydoi A A, Vassiíiev VA, Zakaiyufjn VM, Mathematical Modelb of Catastrophes Control of Catastrophic Processes // I1ASA Reprint RP-06-007, from Encyclopedia of Life Support S)stems (EOLSS), EOLSS Publishers, Oxford, UK, 2006 46 P

дифференциальны* включений В связи с этим отметим исследования А Б Куржанского, M С Никольского, Ф JI Черноусъко и их сотрудников

Теория выживаемости была развита в работах зарубежных математиков Ж -П Обэна, X Франковской, Г Хадцада п других авторов Эти работы посвящены задачам выживаемости управляемых систем на бесконечном промежутке времени при наличии стационарных фазовых ограничений Значительные результаты по разработке аппроксимационных схем, направленных на приближенное вычисление ядер выживаемости и множеств достижимости, получены немецким математиком Ф Колониусом

Обширную область для приложений задачи оптимальною управления и дифференциальные игр заняли при моделировании экономических процессов и в финансовом планировании Среди известных работ в этом направлении следует упомянуть монографии лауреатов Нобелевской премии нескольких лет К Эрроу 5, Л В Канторовича 6, Т Шеллинга 7 Особенное значение получили эти методы при построении моделей экономического роста Пионерскими работами в этом направлении были работы Т Купманса, Ф Рамсея, Р Солоу, К Шелла Последние монографии известных американских экономистов Дж Гроссмана, И Хелпмана8, П Кругмана, П Нордхауса, Р Барро, Д Ромера и Ч Джонса по эндогенной теории роста подтверждают важность теории оптимального управления для адекватного описания сбалансированных пропорций экономического развития Кроме того, прикладными моделями теории дифференциальных игр и робастного управления занимаются такие известные американские специалисты по оптимальному управлению как Дж Лейтман, Ф Удвадиа в сотрудничестве с сильными экономистами из западноевропейских университетов Дж Дози, Л Ламбертини, К Дейссенбер-гом Разработке моделей технологического развития и их эконометрическо-му анализу посвящены работы группы экономистов из Токийского института технологий, возглавляемой Ч Ватанабе 9 Модели макроэкономического развития и эндогенного экономического роста получили развитие в трудах группы экономистов под руководством Р Айреса 10 из Международной бизнес-школы (INSEAD) в Фонтенбло (Франция) Модели экономического роста в рамках проблематики устойчивого развития народонаселения и окружающей среды разрабатываются финским экономистом Т Палокангасом Приложениями игровых задач управления в экономических, экологических моделях и финансовой математике занимается Дж Касти из Международного института прикладного и системного анализа (IIASA, Австрия) Р Авенхаус,

5Arrow, К J , Application of Control Theory to Economic Growth // Mathematics of the Decision Sciences, 1968 No 2 P 85-119

6Kantoro\ich, L V, MaKarov, VL , Growth Models and their Application to Long-term Planning and Forecasting //In Long-term Planning and Forecasting, Proc Conf Macmillan Press, 1976

7ScheIJmg, T С , The Strategy of Conflict, Harvard University Press, 1980

^Grossman, G M , Helpman, E, Innovation and Growth in the Global Economy MIT Press, Cambridge, MA, 1991

3Tarasyev, A M , Watanabe, С , Dynamic Optimality Principles and Sensitivity Analysis m Models of Economic Growth Ц Nonlinear Analysis, 2001 Vol 47 No 4 P 2309-2320

10Ayres К, Martinas, К , On the Reappraisal of Microeconomics Economic Growth and Change m a Material World, Edward Elgar Publishing, 2005

С Пикпь из Университета Бундесвера в Мюнхене, Г Пеш из университета Байрута, а также Г Фейхтингер, Р Хартп, Ф Вирл, Р Нек из университетов Австрии, Л А Петросян из Санкт-Питербургского государственного университета и Дж Заккур нз Международной бизнес-школы (НЕС) в Монтреале (Канада)

Актуальным направлением является исследование задач оптимального времени остановки, которые имеют важное приложение в финансовой математике при оптимизации времени коммерциализации в финансовых потоках инновационных проектов Эти задачи связаны с теорией оптимизации времени остановки процесса в стохастических постановках, развиваемой в работах А Н Ширяева 21 и его сотрудников Для экономических моделей аналогичные задачи рассматривались в работах американских ученых Г Роббинса, Д Сиг-мунда и И Чао 12 В статической постановке задачи оптимальной коммерциализации исследовались в работах американского экономиста Й Барцела 13

Важное место занимает проблематика построения динамических алгоритмов поиска макроэкономических состояний равновесия, обладающих совмещенными свойствами конкурентного равновесия по Нэшу и оптимальных точек по Парето кооперативного равновесия Такие постановки восходят к работам Л Вальраса и Дж Шумпетера Они привлекли внимание многих специалистов по макроэкономической теории и моделированию макроэкономических процессов, связанных с теорией игр Макроэкономические модели и динамические алгоритмы поиска состояний равновесия бы пи развиты в работах таких авторов как П Нордхаус, Л Хордайк, А Нентьес, А Хаури, Г Олсдер, Р Хаыалайнен

Результаты исследований в области теории оптимального управления, дифференциальных игр и соответств\ ющих уравнений Гамильтона-Якоби используются при решешш ряда важных прикладных задач в области оптимизации экономического роста, инвестиционных процессов и устойчивого развития окружающей среды

Цель работы

Цель работы заключается в исследовании свойств оптимальных решений в задачах управления с бесконечным горизонтом изучении достаточных условий оптимальности в принципе максимума Понтрягина разработке алгоритмов построения оптимальных траекторий в задачах с кусочно-определенными гамильтонианами, решении задач оптимального времени остановки в многоуровневых динамических моделях приложении разработанных методов в экономическом моделировании и эконометрическом анализе

11 Ширяев А Н , Основы стохастической финансовой математики М ФАЗИС, 2004 ¡056 с

12Роббшс Г, Сигчуид Д, Чао И , Теория оптимальных правил остановки Перев с англ М Наука, 1977 168 с

13Вaizei, У, Optima] Timing of Innovations // The Review of Economics and Statistics, 1908 Vol 50 No 3 P 348-355

Методы исследования

В основе работы лежат модификации принципа максимума Понтрягнна дня задач управления с бесконечным горизонтом, методы теории позиционных дифференциальных игр, элементы качественной теории дифференциальных уравнений, конструкции негладкого анализа При калибровке моделей используются методы статистики и эконометрики

Научная новизна

Изучены достаточные условия оптимальности, связанные со свойством вогнутости гамильтониана, для принципа максимума Понтрягина в задачах управления с бесконечным горизонтом Исследованы свойства оптимальных траекторий в окрестности установившихся состояний гамильтоповой системы Разработан алгоритм построения оптимального управления для задач с кусочно-определенными гамильтонианами Получены оценки точности построения для предложенного алгоритма, которые устанавливают связь между параметрами точности в фазовом пространстве и параметрами точности функциональных показателей Изучены свойства функции цены в многоуровневых задачах оптимизации Разработан алгоритм построения управления по выбору оптимального времени остановки динамического процесса Предложенные алгоритмы реализованы в моделях экономического роста и оптимизации инвестиций

Теоретическая и практическая ценность

Полученные в работе теоретические результаты направлены на исследование задач управления с бесконечным горизонтом Эти результаты могут быть использованы для качественного анализа динамических свойств и свойств установившихся состояний гамнльтоновых систем Выполненные исследования позволяют конструировать алгоритмы построения оптимальных траекторий и оценивать их точность Предложенные алгоритмы могут быть использованы для построения решений в экономических моделях роста и оптимизации инвестиций Практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты и разработанные алгоритмы могут быть применены в эконо-метрическом моделировании В частности, предложенные конструкции были применены в моделях экономического роста с различными типами производственных функций Результатом этого моделирования явился качественный анализ синтезированных модельных траекторий, который может быть использован при прогнозировании экономического развития Анализ свойств функций цены и оптимального времени остановки динамических процессов может быть использован при моделировании инвестиционных процессов В частности, проведено моделирование оптимальной инвестиционной стратегий для инновационных технологических процессов

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на всероссийских и международных конференциях "Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании" (УГТУ-УПИ, Екатеринбург, 2005-2007 гг), на научном семинаре "Математическая теория оптимального управления и теория дифференциальных включений" (МИРАН-МГУ, Москва, 12-13 октяб-

ря 2006 г), конференции "Устойчивость, управление и моделирование динамических систем", (УрГУПС, Екатеринбург, 15-17 ноября 2006 г), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (XXII совместное заседание Московского математического общества и семинара им А Г Петровского, МГУ, Москва, 21-26 мая 2007 г), the 14th International Woikshop on Dynamics and Control (Institute for Problems m Mechanics and Steklov Mathematical Institute of the Russian Academy of Sciences, Moscow-Z\enigorod, 2007), the 7th International EUROGEN'2007 Conference "Evolutionary and Deteimmistic Methods for Design, Optimization and Control with Applications to Industrial and Societal Problems", (University of Jyvaskyla, Finland, June 11-13, 2007), The 22nd European Conference on Opeiational Research - EURO XXII (University of Economics, Prague, Czech Republic, July 8-12, 2007), II ASA-Tokyotech Woikshop on Hybrid Management of Technology m the 21st Century (International Institute for Applied Systems Analysis, Laxenburg, Austria, September 8-9, 2007), the 11th IFAC Symposium "Computational Economics & Financial and Industrial Systems" - CEFIS 2007 (Dogu§ Univeisity of Istanbul, Turkey, October 9-11, 2007), семинарах кафедры "Мультимедиа технологии" факультета ИМТЭМ, УГТУ-УПИ, семинарах отдела динамических систем ИММ УрО РАН, семинарах кафедры оптимального управления факультета ВМК МГУ им М В Ломоносова, г Москва, семинарах по экономическому росту Международного института прикладного и системного анализа, IIASA, г Лаксенбург, Австрия

Публикации

Основные материалы диссертации опубликованы в 17 работах В совместных работах [l)-[8], [11]-[17] научному руководителю А М Тарасьеву принадлежит постановка задач В работах в соавторстве [13], [15] А В Кряжнмскому принадлежит постановка задач В совместной работе [17] Ч Ватанабе предоставил экономические данные

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы Главы разбиты на параграфы Нумерация глав, параграфов и утверждений сквозная Обьем работы составляет 130 страниц текста Библио1 рафия содержит 190 наименований

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Первая глава диссертации посвящена задачам управления с вогнутыми гамильтонианами на бесконечном горизонте Она состоит из семи параграфов

В первом параграфе строится модель оптимального управления на бесконечном горизонте Такие модели возникают в задачах экономического роста Обсуждается вариант модели Солоу-Шелла оптимального инвестирования Описываются основные переменные, включая управляющие параметры модели Формулируется задача оптимального управления инвестициями

Задача управления. В стандартной постановке задача состоит в максимизации функционала

+оо

где фазовая переменная к обозначает капитан па душу населения, /(/,-) - производственная функция, инвестиции s есть управляющая переменная, измеримая по времени, параметры 5, А = п + /л, к0 суть заданные положительные числа Параметр 0 < а < 1 есть положительное число, которое отделяет правую границу параметра управления от единицы

Во втором параграфе приводятся необходимые условия принципа максимума Понтрягина для задач с бесконечным горизонтом, развитые в работах СМ Асеева и А В Кряжимского Исследуются свойства гамильтонианов, отвечающих различным режимам управления Показано, что при достаточно общих условиях максимизированный гамильтониан является гладкой функцией При условии строгой вогнутости производственной функции на основе методов выпуклого анализа 14 установлено, что максимизированный гамильтониан является строго вогнутой функцией по фазовой переменной Именно, максимизированный гамильтониан склеивается из нескольких гладких строго вогнутых частей таким образом, что результат склейки является гладким и строго вогнутым по фазовой переменной Дано описание областей, отвечающих разным режимам формирования оптимального управления, и определены линии склейки этих областей Получены достаточные условия оптимальности траекторий роста для класса систем с вогнутыми производственными функциями

Теорема 1 При выполнении условий лемм, обеспечивающих свойства гладкости максимизированного гамильтониана H(k,tp) по переменным (k,ib) и его строгой вогнутости по переменной к, принцип максимума Понтрягина дает достаточные условия для нахождения оптимального решения в задаче управления (1)-(2)

В третьем параграфе доказано существование и единственность установившегося состояния гамильтоновой системы Выполнен анализ свойств собственных чисел и собственных векторов линеаризованной системы в окрестности установившегося состояния Дано описание поведения нелинейной гамильтоновой системы на основе результатов качественной теории дифференциальных уравнений 15 Этот анализ позволяет описать пропорции основных экономических факторов и тренды оптимального роста

14Рока.феллар Р Т, Выпуклый анализ М Мир, 1973 469 с

15Hartman Ph , Ordinary Differential Equations N Y , London, Sydney J Wiley and Sons, 1964

(1)

0

при следующих ограничениях

k(t) = s(t)f(k(t)) - Xk(t), k(0) = k°, s € [0, a], a < 1,

(2)

Лемма 1 Существует единственное установившееся состояние (к*, г*) га-милыпоновой системы уравнений, которое вычисляется но формулам

' Г (к*) = 6 + А,

' 1 = 1Ш _ л (3)

- г* к* При этом справедливы оценки

/г* > О, О < г* < ] (4)

о

Здесь г = к-ф, ф - сопряженная переменная

В четвертом параграфе на основе анапиза, выполненного во втором и третьем параграфах, предлагается алгоритм построения оптимальной траектории методом склейки динамики гамильтоновых систем Алгоритм состоит из следующих шагов

• численная оценка установившегося состояния гамильтоновой системы методом последовательных приближений

• линеаризация гамильтоновой системы в окрестности установившегося состояния

• вычисление собственных чисел и собственных векторов линеаризованной системы

• построение куска траектории из установившегося состояния в направлении собственного вектора, отвечающего отрицательному собственному числу

• интегрирование нелинейной гамильтоновой системы в обратном времени от характеристического состояния с учетом переключения кусочно-определенных гамильтонианов до начального состояния системы

• развертка интегрированной траектории в прямом времени и масштабирование временной шкалы

В пятом параграфе получены оценки точности построения для предложенного алгоритма, которые устанавливают связь между параметрами точности в фазовом пространстве и параметрами точности функциональных показателей

Теорема 2 Точность алгоритма по функционалу оценивается точностью аппроксимации г начальных условий в алгоритме В зависимости от соотношений параметров оценок роста возможны три случая оценки

• в случае, когда модуль липшицевости динамики системы строго меньше параметра дисконтирования, точность алгоритма по функционалу имеет порядок е1,

• в случае, когда модуль липшицевости динамики системы совпадает с параметром дисконтирования, точность алгоритма по функционалу

имеет порядок е21п —,

• в случае, когда модуль липшицевости динамики системы строго больше параметра дисконтирования, точность алгоритма по функционалу имеет порядок ер+>, где /3 > О

В шестом параграфе рассматривается вопрос о стабилизации системы в установившемся состоянии Для этого предлагаются несколько алгоритмов управления по принципу обратной связи, которые стабилизируют систему Выделяются два основных типа таких регуляторов Первый регулятор связан со значением оптимального управления в установившемся состоянии, поэтому мы будем называть его регулятором установившегося состояния Второй регулятор основан на аппроксимации оптимальной траектории в направлении собственного вектора отвечающего отрицательному собственному числу линеаризованной гамн льтоновой системы, в окрестности установившегося состояния Второй регулятор будем называть регулятором гампльтоновой системы

Лемма 2 Регулятор

«°<**>=ат£) (5)

стабилизирует систему в установившемся состоянии Лемма 3 Регулятор гамильтоновой систелт

&°=1~ (2'+ш(к-к*))Пк) (б)

стабилизирует систему в установившемся состоянии Здесь ш есть коэффициент наклона собственного вектора, отвечающего отрицательному собственному значению линеаризованной гамильтоновой системы в окрестности установившегося состояния

В седьмом параграфе приведены вычислительные эксперименты, основанные на реальных данных и иллюстрирующие конструкции алгоритма

На рис 1-6 изображены результаты вычислитеиьных экспериментов на рис 1 показана конфигурация областей определения максимизированного гамильтониана и линий склейки, на рис 2 изображен трехмерный график значений максимизированного гамильтониана, на рис 3 иллюстрируется алгоритм построения оптимальной траектории, выходящей из установившегося состояния, на рис 4 показаны значения Оптимальных инвестиций для двух режимов оптимального управления, на рис 5 проведено сравнение оптимальных траекторий роста капитала с реальными данными на рис 6 проведено

Рис. 1. Конфигурация областей максимизированного гамильтониана

Рис. 3. Установившееся состояние и оптимальная траектория

01-1-1-1-1-

10® 1°80 1990 2000 20'0 I

Рис 4 Оптимальные инвестиции

юд

Рис 5 Сравнение траекторий роста капитала х

25

I"

с!—,..............г — - —----

«с вее ш те 4 1в?е да 1вср ак 2спе ;

Рис б Сравнение оптимальных траекторий роста объемов производства

сравнение оптимальных траекторий роста объемов производства с реальными данными для экономики Японии

Во второй главе рассматривается задача оптимизации инвестиций в процессе экономического роста для модели с производственной функцией специального вида, которая называется линейно-экспоненциальной (ЬШЕХ) производственной функцией Вторая глава состоит из пяти параграфов

В первом параграфе предлагается методологическая схема для исследования моделей экономического роста Отличительной чертой предлагаемой методологии является то, что анализ роста экономики основан не на прямой аппроксимации реальных макроэкономических данных Эконометрнческому анализу подвергаются только параметры производственной функции Далее на основе этой функции строится математическая модель инвестирования и решается побочная задача оптимального управления на бесконечном горизонте В результате решения задачи оптимального управления численно строятся траектории оптимального роста Проводя сравнение полученных синтезированных оптимальных траекторий модели с трендами реальных данных, можно судить об адекватности выбранной модели Такой подход позволяет рассматривать экономический рост как динамический процесс и выявлять некоторые закономерности, движущие экономикой Конструкция методологической схемы указана на рис 7

Рис 7 Методологическая схема

Во втором параграфе рассматривается линейно-экспоненциальная (ЬШЕХ) производственная функция, используемая для анализа макроэкономических показателей США Для калибровки производственной функции выполняется эконометрический анализ, вкшочающий нелинейные регрессии с ограничениями на параметры Особенностями этого анализа является выявленная авторегрессионная зависимость в данных В связи с этим эффектом делается коррекция обобщенного метода наименьших квадратов для авторегрессии с почти единичным корнем

Исследование выполняется для ЬШЕХ производственной функции, представленной выражением

Р{К,Ь,и) = р + + (7)

Здесь К - капитал, Ь - труд, [7 - полезная работа, а,,г = 0,1, ,5 - постоянные коэффициенты Можно заметить, что в отличие от классических

производственных функций, таких как функция Кобба-Дугласа, производственная функция с постоянной эластичностью предельной нормы замещения и т.п., ЬШЕХ производственная функция наряду со степенной частью имеет экспоненциальный множитель, содержащий комбинаций дробей из производственных факторов.

Эконометрический анализ выполнен на данных по экономике США при условии, что коэффициенты эластичности неотрицательны. Временные ряды по ВВП и производственным факторам представлены значениями за каждый год в течение 101 года (1900-2001 гг.). Значения всех переменных приведены на 1900 г. Иллюстрация данных приведена, на рис. 8. Полезная работа измеряется в экзаджоулях (ЭДж^=1018 Дж); уровень полезной работы в 1900 г. составлял 0,64 ЭДж. Труд измеряется в индексе отработанных часов. Капитал измеряется в денежном эквиваленте (миллиарды долларов США); уровень капитала в 1900 г. был $ 2021 млрд. Символом У обозначен ВВП, в 1900 г. уровень ВВП составлял $ 354 млрд.

В третьем параграфе рассматривается математическая модель, основанная на модификации классических моделей экономического роста. Выделяются три основных производственных фактора: капитальные затраты (капитал), затраты на рабочую силу (труд) и полезная работа. Эти производственные факторы используются для описания однородного выпуска внутреннего валового продукта (ВВП) и являются фазовыми переменными управляемой системы. Инвестиции в капитал специфицируются как управляющие параметры. Функция полезности определяется как интегральный индекс потребления логарифмического типа, дисконтированный на бесконечном интервале времени. Формулируется задача оптимального управления на бесконечном горизонте. Задача состоит в максимизации дисконтированного функционала при заданных ограничениях на управляющие параметры и начальных значениях фазовых переменных. Решение задачи оптимального управления основано на результатах первой главы диссертации и осуществляется в рамках

V

Рис. 8. Данные по экономике США (1900-2001)

принципа максимума Понтрягина дпя задач с бесконечным горизонтом

В четвертом параграфе дпя доказатепьства локальной оптимальности траектории, полученной в модели с ЪШЕХ производственной функцией, выполняется анализ векторного поля соответствующей гамипьтоновой системы в принципе максимума Понтрягина Показано, что оптимальная траектория, выходящая из начального состояния и удовлетворяющая условию трансверсальности на бесконечном горизонте, сходится к установившемуся состоянию Качественный портрет векторного поля изображен на рис 9 и показывает скорости гамильтоновой системы, направляющие оптимальную траекторию в установившееся состояние

Рис 9 Векторное поле гамильтоновой системы

В шестом параграфе представлены результаты вычислительного эксперимента для модели с линейно-экспоненциальной (ЬШЕХ) производственной функцией Получен график оптимальных инвестиций и выполнено сравнение синтезированных траекторий оптимального экономического роста с реальными данными На основе этого сравнения дан качественный анализ свойств оптимальных траекторий роста и выполнено прогнозирование роста В частности, результаты моделирования и прогнозирования демонстрируют 5-образную форму траекторий роста и указывают уровни насыщения роста, порожденные устойчивыми состояниями экономической системы

На рис 10 оптимальная траектория роста капитала на одного рабочего изображена темной линией, а реальные данные по экономике США изображены серой линией Видно, что полученная синтезированная траектория адекватно отражает тренды реальных данных Стоит заметить, что оптимальная траектория даже отслеживает реструктуризацию данных в послевоенный экономический кризис

В седьмом параграфе предложенный подход реализуется для двухфактор-ных моделей экономического роста Рассматривается модель с ростом полезной работы как экзогенного фактора производства Получены оптимальные траектории для двухфакторной модели и выполнено сравнение с реальными данными

Год

Рис 10 Сравнение оптимальной траектории с реальными данными

В третьей главе рассматривается приложение динамической модели оптимального времени остановки к задаче оптимизации инновационного процесса в конкурентоспособной рыночной среде Третья глава состоит из шести параграфов

В первом параграфе строится динамическая модель инновационного процесса, осуществляемого в рыночной среде Модель сфокусирована на трех задачах (1) оценка динамики рынка, (2) оптимизация времени коммерциализации, (3) синтез оптимального инвестиционного сценария Динамика с эффектом запаздыванием адаптируется для описания управляемого процесса инвестирования Построение функционалов прибыли и затрат основано на интегральной функции платы в задаче оптимального управления с коэффициентами дисконтирования При описании динамики рынка используется вероятностно-статистическая модель Вероятность присутствия техиолошче-скпх конкурентов на рынке определяется функцией распределения, которая строится на основании эковометрического анализа 16 Доказывается, что решение задачи оптимизации может быть разбито на два уровня на первом уровне производится синтез обратной связи и вычисляются функции цены, на втором у ровне оптимизируется функция прибыли по времени остановки

В задаче оптимального инвестирования предполагается, что текущий фонд нематериальных активов подчинен динамике роста с запаздыванием и эффектами устаревания

хМ = -ох{1)+тЦ1) (8)

Здесь параметр а > 0 - коэффициент устаревания (амортизации) техно ло-

16Айвазян С А , Мхнтарян В С, Прикладная статистика и основы эконометрики М ЮН11Т11, 1998 1022 с

гии, параметр \правления т2 - инвестиции в НИР (измеряемые в денежном эквиваленте), параметр 7,0 < 7 < 1 - коэффициент эффективности затрат

Инноватор, начинающий процесс инновации в момент времени ¿о с начального уровня 1о фонда нематериальных активов х(Ь), должен достигнуть ко времени коммерциализации ¿а уровня фонда нематериальных активов ха, ха > хо, который является необходимым для запуска процесса коммерциализации разработанной технологии В инвестиционном процессе задачей инно-ватора является минимизация инвестиционных затрат

3{г0, х0,1а, ха, г.(),7,М = I е_Л,га(5)с^,

¿о

Та = Гп(л) = га(з, ¿0, х0, ха, 7, Л, а) (9)

Здесь параметр Л > 0 - постоянный коэффициент дисконтирования, а функционал (9) представляет приведенною стоимость инвестиционного финансового потока (ИРУ)

Во втором параграфе рассматривается задача синтеза оптимального уровня инвестиций На основе принципа максимума Понтрягина строится оптимальный план для стратегии инвестирования, который зависит от начального и конечного уровня фонда нематериальных активов Выполняется анализ свойств оптимального управления и оптимальных траекторий системы, включая анализ чувствительности по параметрам модели Строится оптимальная обратная связь, которая базируется на текущем состоянии фонда нематериальных активов и генерирует оптимальные траектории роста технологии В результате решения получается множество функций затрат, зависящих от моментов времени остановки Исследуются асимптотические свойства функции затрат

Выражение для оптимального плана инвестирования имеет вид

и =и (з, т0, и, ха, а, А, а) = _ ^^ (10)

Здесь функция р = р(а, А, <т) задана соотношением

(аа+А) .

р = р(а, А, а) = --(И)

(а - 1)

Замечание 1 Оптимальный тан инвестирования и°(й) есть экспоненциально растущая функция времени э на временном, отрезке с темпом роста (А + а)¡{а - 1)

В третьем параграфе доказываются достаточные условия оптимальности полученного решения на основании исследования свойства стабильности функции цены в задаче оптимального управления Доказывается, что предложенная разрешающая функция является полунепрерывной снизу и удовлетворяет уравнению Гампльтона-Якоби-Беллмана в точках дифференцируемое™ На основании этого устанавливается, что она обладает свойством

м-стабнльности Кроме того, проверяются условия теоремы об альтернативе Н Н Красовского, А И Субботина посредством построения последовательности г;-стабильных полунепрерывных сьерху функций, аппроксимирующих снизу разрешаю]цую функцию Окончательно делается вывод о том, что разрешающая функция является функцией цены для задачи оптимального управления

Теорема 3 Функция (t, i) —» w°(t, х) есть полунепрерывная снизу функция по {t,x); является и-стабилъной в области D° и удовлетворяет краевому условию при i = ta Кроме того, для любой точки (т,у,<р) е int hypo и;0 <р < ш°(т,у) из внутренности подграфика функции (t,x) —> w°(t,x) найдется полунепрерывная сверху, v-стабильная функция (t,x) —» v(t,x), такая что для нее выполняются следующие два условия

<P<v{r,y), (12)

v(t, х) <w°(t,x) при всех (í, х) 6 [r,ta] х R (13)

Поэтому, согласно теореме об альтернативе функция (t,x) —» w°(t,x) является функцией цены в задаче управления, что обеспечивает необходимые и достаточные условия оптимальности построенных решений

В четвертом параграфе решается задача выбора инвестиционного сценария и оптимизации времени коммерциализации Доказано, что экстремумы функции прибыли соответствуют точкам пересечения двух функций, одна из которых является функцией распределения рынка, а другая описывается кривой предельных затрат инвестиционного процесса Использованы конструкции супердифференциалов для исследования свойств точек экстремума для моделей с кусочно-гладкими функциями распределения рынка На основании этого анализа предложен алгоритм построения оптимальной стратегии инвестирования Структура алгоритма состоит в следующих шагах

• построение функции цены для задачи оптимального управления для инвестиционного уровня

• вероятностное моделирование функции распределения, описывающей состояние рынка,

• определение точек пересечения функции предельных затрат и функции распределения для оценки оптимального времени остановки

• выбор оптимального сценария и отслеживание его по принципу обратной связи

В пятом параграфе выполняется калибровка параметров модели для реализации вычислительных экспериментов Проведен эконометрический анализ модели на данных для компаний электронного машиностроения Японии, в частности, анализа рынка принтеров на примере фирмы Canon

В шестом параграфе приведены результаты вычислительных экспериментов, реализующих алгоритм построения оптимального времени коммерциализации для различных функций распределения рынка В первый примере для описания рынка выбрана модельная кусочно-непрерывная функция распределения типа Хэвисайда (см рис 11) Во втором примере эксперимент выполнен для экспоненциального распределения рынка, калиброванного по данным Элементы алгоритма иллюстрируются результатами вычислительных экспериментов

Основные результаты диссертации

1 Изучены достаточные условия оптимальности, связанные со свойством вогнутости гамильтониана, для принципа максимума Понтрягина в задачах управления с бесконечным горизонтом Исследованы свойства оптимальных траекторий в окрестности установившихся состояний гамильтоновой системы

2 Разработан алгоритм построения оптимальною управления для задач с кусочно-определенными гамильтонианами Получены оценки точности построения для предложенного алгоритма, которые устанавливают связь между параметрами точности в фазовом пространстве и параметрами точности функциональных показателей Предложены конструктивные формулы построения нелинейных регуляторов для динамической системы роста

3 Изучены свойства функции цены в многоуровневых задачах оптимизации Предложен алгоритм построения управления по выбору оптимального времени остановки динамического процесса

4 Предложенные алгоритмы реализованы в моделях экономического роста и оптимизации инвестиций, для которых проведен эконометрическнй анализ на реальных данных

Работа поддержана грантами Российского фонда ф\ ндаментальных исследований, 05-01-00601, 05-01-08034 грантом Российского гуманитарного научного фонда, 05-02-02118а грантом поддержки ведущих научных школ, НШ-8512 2006 1 грантом Фонда содействия отечественной науке (грант для аспирантов РАН, 2006-2007 гг) грантом Президиума Уральского отделения РАН (грант для молодых ученых, 2006 г) грантом программы "SIMOT" Министерства образования, науки и технологии Японии Международным институтом прикладного системного анализа (I1ASA)

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах

1 Красовскии А А , Тарасьев Л 1\] , Специальные статистические распределения в дина-мическои модели инновационного процесса // Вестник Уральского государственною технического университета - УПП, 2006 №6(77) С 17-33 уел печ л 1,03

2 Красовскии А А , Тарасьев А М , Динамическая оптимизация инвестиций в моделях экономического роста // Автоматика и телемеханика, 2007 № 10 С 38-52 yen печ л 1,22

Другие публикации

3 Красовскии А А , Тарасьев А М , Динамические модели и эконометрический анализ в бизнес-планировании//'Вестник Гуманитарного университета, 2005 Т 1 (6) С 35-73

4 Красовскии А А , Тарасьев А М , Моделирование оптимального экономического роста // Тезисы докладов научною семинара "Математическая теория оптимального управления и теория дифференциальных включений", Москва МИРАН-МГУ, 2006 С 26

5 Красовский А А , Тарасьев А М , Оценивание производственных факторов в задаче оптимального экономического роста // Тезисы докладов конференции 'Устойчивость, управление и модетирование динамических систем", Екатеринбург УрГУПС, 2006 С 48

6 Красовский А А , Тарасьев А М , Алгоритмы построения оптимальных траекторий в моделях экономического роста // Тезисы докладов Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (XXII совместное заседание Московского математического общества и семинара им А Г Петровского), М Пзд-ео МГУ, 2007 С 164

7 Красовский А А , Тарасьев А М , Прогнозирование оптимального экономического роста // Сборник материалов Международной научной конференции "Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании" Проблемы математического моделирования и информационно-аналитической поддержки принятия решений, 2007 Вып 3 С 10-18

8 Красовский А А , Тарасьев А М , Оптимизация времени остановки в многоу ровпевых динамических системах//Вестник Удмурдского университета, Вып 2,2008 С 64-65

9 Kiasovskli, А А , Assessment of the Impact of Aggregated Economic Factors on Optimal Consumption in Models of Economic Giowth // IIASA Working Paper 1R-06-050, Laxenbuig IIASA, 2006 46 P

10 Kiasovsku, A A , Dynamics of Investments to Efficiency Factors m the Giowth Model with the LINEX Pioduction Function // Pioceedmgs of the IIASA-Tokyotech Wolkshop on Hybnd Management of Technology in the 21st Century, International Institute for Applied Systems Analysis, Laxenbuig, 2007 P 7

11 Kiasovsku, A A , Tarasyev, A M , Assessment of Sensitivity of Stochastic Solutions m the Problem of Optimal Timing // Proceedings of IFAC-IIASA Woikshop "New Approaches in Dynamic Optimization to Assessment of Economic and Envnonmenta) Systems", Laxenbuig IIASA, 2006

12 Kiasovsku, AA, Tarasyei, AM, Optimization of Investment Dynamics m Economic Giowth Modeling // Abstiacts of the 14th International Woikshop on Dynamics and Contiol, Institute foi Pioblems m Mechanics and Steklov Mathematical Institute of the Russian Academy of Sciences, Moscow-Zvenigoiod, 2007 P 46

13 Kiasovsku, A, Kryazhimskiy, A, Taiasyev, A, Optimal Control Design in Models of Economic Growth // Progiamme and Abstiacts of the 7th International EUROGEN'2007 Conference "Evolutionary and Deteiministic Methods for Design, Optimization and Contiol with Applications to Industrial and Societal Pioblems", University of Jvvaskyla, 2007 P 16-17

14 Krasovskn, A , Taiasyev, A , Modeling of Optimal Tiends foi Dynamic Sjstems on Infinite Honzon // Abstracts of the 22nd Euiopean Conference on Operational Reseaich -EURO'XXII, Umveisity of Economics, Plague, 2007 P 167

15 Krasovskn, A, Kl}azhimskiy, A, Tarasyev, A, Optimal Contiol Design in Models of Economic Giowth // Evolutionaiy Methods foi Design, Optimization and Contiol (P Neittaanmaki, J Pénaux and T Tuovmen, Eds), CIMNE, Baicelona, Spam, 2007

16 Kiasovsku, A A , Taiasyev, A M , Problems of Optima] Timing Contiol // Pioceedmgs of the 11th IFAC Symposium "Computational Economics & Financial and Industrial Systems" - CEFIS'2007 (G M Dimitrovski and F Ulengm, Eds ), Dogu§ Umveisity of Istanbul, 2007 P 75-80

17 Krasovskn, A , Taiasyev, A , Watanabe, C , Assessment of the Market Development Tiajectoiy for Optimal Timing of Technological Innovation // IIASA Working Papei IR-08-007, Laxenbuig IIASA, 2008 36 P

Подписано в печать 17 04 2008 Формат 60 x 84 1/16 Объем 1,5 п л Тираж 120 эхз Размножено с готовм о оригинал-пакета в копировально-множительном бюро Правительства Свердловской области 620031, пл Октябрьская, 1, г Екатеринбург

Введение.

I Задача управления с вогнутыми гамильтонианами на бесконечном горизонте.

1. Модель оптимального управления на бесконечном горизонте.

1.1. Модель экономического роста.

1.2. Задача оптимального управления

2. Необходимые условия оптимальности. Достаточные условия оптимальности.

2.1. Гамильтонианы в рамках принципа максимума Понтi I ' рягина.

2.2. Условия существования оптимального решения и необходимые условия оптимальности.

2.3. Анализ свойств вогнутости гамильтонианов.

2.4. Достаточные условия оптимальности в принципе максимума Понтрягина.

3. Качественный анализ гамильтоновых систем.

3.1. Гамильтонова система в области установившегося состояния

3.2. Седловой характер установившегося состояния

3.3. Гамильтонова система в области нулевого управления

3.4. Гамильтонова система в области интенсивного управления

4. Алгоритм построения оптимальной траектории.

5. Оценки точности алгоритма.

6. Стабилизация системы в установившемся состоянии

6.1. Регулятор установившегося состояния.

6.2. Регулятор гамильтоновой системы.

7. Результаты вычислительных экспериментов.

И Модель экономического роста с LINEX производственной функцией.

8. Методологическая схема исследования.

9. Эконометрический анализ LINEX производственной функции

10. Математическая модель и задача оптимального управления

11. Качественный анализ векторного поля гамильтоновой системы

12. Реализация вычислительного алгоритма.

12.1. Сравнение оптимальных траекторий с реальными данными

13. Двухфакторная модель экономического роста.

13.1. Экзогенный рост полезной работы.

13.2. Эконометрический анализ и симуляция двухфакторной модели.

III Многоуровневая модель оптимизации времени остановки динамического процесса. 14. Динамическая модель инновационной стратегии.

15. Динамические принципы оптимальности и синтез оптимальных инвестиций.

16. Оптимальные траектории технологического развития

17. Функция затрат и оптимальная обратная связь для динамики роста.\

18. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана. Необходимые и достаточные условия оптимальности.

19. Оптимальный инновационный сценарий и выбор времени коммерциализации.

20. Седловой характер равновесия.

21. Эконометрический анализ модели.

21.1. Идентификация параметра амортизации

21.2. Идентификация коэффициента эффективности затрат

21.3. Идентификация темпа роста дисконтированного потока от инновации.

22. Вычислительные эксперименты.

Общая характеристика работы

Представленная диссертация посвящена разработке методов решения задач оптимального управления с бесконечным горизонтом. Такие задачи составляют активно исследуемое направление прикладной математики. Актуальность этих задач мотивируется закономерностями развития и возможностями управления в экономических моделях. Особое внимание в диссертационной работе уделено исследованию достаточных условий оптимальности в принципе максимума Понтрягина. Основные результаты диссертации связаны с разработкой алгоритмов построения оптимальных траекторий в задачах с кусочно-определенными гамильтонианами и оценкой Pix точности. Важное место в работе уделяется задачам поиска оптимального времени остановки динамических процессов в многоуровневых моделях оптимизации. Все алгоритмы реализованы в компьютерных программах, которые были использованы при моделировании процессов экономического роста. Вычислительные эксперименты проведены на реальных эконометрических данных.

Актуальность темы

Теория управления и теория дифференциальных игр являются в настоящее время быстро развивающимися разделами современной математики, что вызвано потребностями многочисленных приложений в таких разнообразных дисциплинах как аэрокосмические науки, экономика, инженерные и технические науки, науки об окружающей среде, финансовая математика, гибридные системы, медицинские науки и науки о здравоохранении, вычислительные и компьютерные науки, океанографические, физические, общественные и математические науки. Возрастает интерес к теории оптимального управления и ее приложениям российских, немецких, французских, американских, японских и итальянских математиков, экономистов и специалистов по проблемам окружающей среды, а также международных научных организаций, что подтверждается увеличением количества работ в российских и зарубежных издательствах.

Основополагающее значение в теории оптимального управления имеет принцип максимума JI.C. Понтрягина [80], который получил развитие и приложение в работах российских и зарубежных математиков. Задачи управления в условиях неопределенности формализуются в рамках теории дифференциальных игр. Большое внимание в этом направлении уделяется исследованиям, направленным на развитие принципа экстремального прицеливания H.H. Красовского, в том числе, для построения оптимальных стратегий в сеточных схемах и для обобщения понятия стабильности. Развитие строгой теории задач конфликтного управления следует отнести к работам H.H. Красовского и А.И. Субботина [54].

Существенное влияние на теорию оптимального управления и теорию дифференциальных игр оказали работы Р.В. Гамкрелидзе, A.B. Кряжим-ского, A.B. Куржанского, Е.Ф. Мищенко, Ю.С. Осипова, Б.Н. Пшеничного, Ф.Л. Черноусько, J.P. Aubin, Т. Ва§аг, R. Bellman, Р. Bernhard, L. Berkovitz, А.Е. Bryson, F.H. Clarke, M.G. Crandall, R.J. Elliot, L.C. Evans, W.H. Fleming, A. Friedman, Ho Yu-Chi, R. Isaacs, R.E. Kaiman, V. Lakshmi-kantham, G. Leitman, P.L. Lions, P. Varaiya (см. [3], [11], [15], [22], [37], [49]-[53], [59]-[61], [65], [70], [73], [81], [84]-[85], [99]-[100], [110], [118], [120], [128], [131], [133]-[134], [147], [159]-[160], [164]-[166j, [171], [183]).

Большой вклад в их развитие внесли Э.Г. Альбрехт, A.B. Арутюнов,

С.М. Асеев, В.Д. Батухтин, Ю.И. Бердышев, В.И. Благодатских, В.Г. БолI тянский, С.А. Брыкалов, Ф.П. Васильев, Р.Ф. Габасов, H.JI. Григоренко, М.И. Гусев, A.B. Дмитрук, В.И. Жуковский, С.Т. Завалищин, М.И. Зели-кин, А.Д. Иоффе, Ф.М. Кириллова, A.B. Ким, А.Ф. Клейменов,>А.Н. Кра-совский, Ю.С. Ледяев, Н.Ю. Лукоянов, В.И. Максимов, A.A. Меликян,

A.A. Милютин, М.С. Никольский, О.И. Никонов, B.C. Пацко, H.H. Петров, Л.А. Петросян, В.Г. Пименов, А.Н. Сесекин, H.H. Субботина, A.M. Та-расьев, В.М. Тихомиров, Е.Л. Тонков, В.Е. Третьяков, В.И. Ухоботов,

B.Н. Ушаков, Т.Ф. Филиппова, А.Г. Ченцов, A.A. Чикрий, А.Ф. Шори-ков, М. Bardi, E.N. Barron, I.С. Dolcetta, L. Cesari, M. Falcone, R. Jensen, M. Ishii, P.V. Kokotovic, G.J. Olsder, E. Roxin, P.E. Souganidis, F.E. Udwadia, J. Warga и многие другие ученые (см. книги и обзоры [1], [4]-[5], [7]-[10], [12]-[14], [16]-[18], [20]-[21], [23]-[32], [34]-[36], [38], [48], [55]-[57], [62]-[64], [66]-[69], [71]-[72], [75]-[78], [86]-[98], [103], [113]-[114], [116], [119], [122], [125]-[127], [139], [145], [161], [176], [182], [184]-[186], [189] и библиографию к ним).

Получили развитие конструкции принципа максимума Понтрягина для задач управлений в новых постановках, в частности, для задач управления с бесконечным горизонтом. Такие постановки характерны для моделей экономического роста и задач финансовой математики. Отметим здесь работы С.М. Асеева и A.B. Кряжимского [8] по обобщениям принципа максимума для задач с бесконечным горизонтом, работы Г. Маурера [167] по задачам оптимального управления с фазовыми ограничениями и их приложениям к задачам оптимизации инвестиционных процессов. Циклические управляемые процессы с целевыми функционалами, определяемыми как предельные значения усредненных по времени интегралов качества, рассматривались в работах В.И. Арнольда и его учеников (см. [б], [107]).

Исследуются достаточные условиям оптимальности для управляемых систем с вогнутыми гамильтонианами. Изучаются свойства, в частности, асимптотические свойства, решений гамильтоновых систем: Отметим здесь работы Т. Базара, Дж. Лейтмана,.Т." Рокафеллара (см. [118], [124], [176]) в приложении к исследованию динамических игр, в том числе, описывающих конкурентную рыночную среду.

Развиваются исследования минимаксных решений, понятие и конструкт ции которых введены А.И. Субботиным [85] для корректного определения решений уравнений Гамильтона-Якоби, в задачах управления с нерегу-лярностями, в том числе, в сингулярно возмущенных задачах с малым-параметром.

Теория оптимального управления и теория позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения тесно связаны с теорией выживаемости, задачами построения и оценки множеств достижимости управляемых систем и дифференциальных включений. В-связи с этим отметим исследования А.Б; Куржанского, М.С. Никольского, Ф.Л. Черноусько и • их сотрудников (см. [61], [72], [99]).

Теория выживаемости была развита в работах зарубежных математиков Ж.-Ш. Обэна, X. Франковской, Г. Хаддада и других авторов (см. [110], [122], [139]). Эти работы посвящены задачам выживаемости управляемых систем на бесконечном промежутке времени при наличии стационарных фазовых ограничений. Значительные результаты по разработке аппрок-симационных схем, направленных на приближенное вычисление ядер выживаемости и множеств.достижимости, получены немецким математиком Ф. Колониусом [127].

Обширную область для приложений задачи оптимального управления и дифференциальных игр заняли при моделировании экономических процессов и в финансовом планировании. Среди известных работ в этом; направлении следует упомянуть монографии лауреатов Нобелевской премии нескольких лет К. Эрроу, Л.В. Канторовича, Т. Шеллинга (см. [108], [148], [178]). Особенное значение получили эти методы при построении моделей экономического роста. Пионерскими работами в этом направлении были работы Т. Купманса, Ф. Рамсея, Р. Солоу, К. Шелла (см. [149], [175], [180]-[181]). Последние монографии известных американских экономистов Р. Барро, Дж. Гроссмана, И. Хелпмана, П. Кругмана , Ч. Джонса, П. Нор-дхаусаи Д. Ромера (см. [115], [138], [143], [146],[169], [177]) по эндогенной теории роста подтверждают важность теории оптимального управления для адекватного описания сбалансированных пропорций экономического развития. Кроме того, прикладными моделями теории дифференциальных игр и робастного управления занимаются такие известные американские специалисты по оптимальному управлению как Дж. Лейтман [65], Ф. Удвадиа [186] в сотрудничестве с сильными экономистами из западноевропейских университетов JI. Ламбертини, К. Дейссенбергом, Дж. Дози (см. [124], [129]-[130]). Разработке моделей технологического развития и их эконометрическому анализу посвящены работы группы экономистов из Токийского института технологий, возглавляемой Ч. Ватанабе [136]. Модели макроэкономического развития и эндогенного экономического роста получили развитие в трудах группы экономистов под руководством Р. Айреса [109] из Международной бизнес-школы (INSEAD) в Фонтенбло (Франция). Модели экономического роста в рамках проблематики устойчивого развития народонаселения и окружающей среды разрабатываются финским экономистом Т. Палокангасом [172]. Приложениями игровых задач управления в экономических, экологических моделях и финансовой математике занимается Дж. Касти [123] из Международного института прикладного и системного анализа (IIASA, Австрия) Р. Авенхаус [111], С. Пикль [174] из Университета Бундесвера в Мюнхене, Г. Пеш [121]' из университета Байрута, а также Г. Фейхтингер, Р. Хартл, Ф. Вирл, Р. Нек (см. [132], [140], [168]) из университетов Австрии, Л.А. Петросян из Санкт-Петербургского государственного университета и Дж. Заккур [173] из Международной бизнес-школы (НЕС) в Монреале (Канада).

Актуальным направлением является исследование задач оптимального времени остановки, которые имеют важное приложение в финансовой математике при оптимизации времени коммерциализации в финансовых потоках инновационных проектов. Эти задачи связаны с теорией оптимизации времени остановки процесса в стохастических постановках, развиваемой в работах А.Н. Ширяева [102] и его сотрудников. Для экономических моделей аналогичные задачи рассматривались в работах американских ученых Г. Роббинса, Д. Сигмунда и И. Чао [74]. В статической постановке задачи оптимальной коммерциализации исследовались в работах американского экономиста Й. Барцела [117].

Важное место занимает проблематика построения динамических алгоритмов поиска макроэкономических состояний равновесия, обладающих совмещенными свойствами конкурентного равновесия по Нэшу и оптимальных точек по Парето кооперативного равновесия. Такие постановки восходят к работам JI. Вальраса [190] и Дж. Шумпетера [179]. Они привлекли внимание многих специалистов по макроэкономической теории и , моделированию макроэкономических процессов, связанных с теорией игр. Макроэкономические модели и динамические алгоритмы поиска состояний равновесия были развиты в работах таких авторов как Л. Хордайк, А. Хаури, А. Нентьес, П. Нордхаус, Г. Олсдер, Р. Хамалайнен (см. [104], [142], [162], [169], [170], [187]).

Результаты исследований в области теории оптимального управления, дифференциальных игр и соответствующих уравнений Гамильтона-Якоби используются при решении ряда важных прикладных задач в области оптимизации экономического роста, инвестиционных процессов и устойчивого развития окружающей среды.

Цель работы

Цель работы заключается в исследовании свойств оптимальных решений в задачах управления с бесконечным горизонтом; изучении достаточных условий оптимальности в принципе максимума Понтрягина; разработке алгоритмов построения оптимальных траекторий в задачах- с кусочно-определенными гамильтонианами; решении задач оптимального времени остановки в многоуровневых динамических моделях; приложении разработанных методов в экономическом моделировании и экономет-рическом анализе.

Методы исследования

В основе работы лежат модификации принципа максимума Понтрягина для задач управления с бесконечным горизонтом, методы теории позиционных дифференциальных игр, элементы качественной теории дифференциальных уравнений, конструкции негладкого анализа. При калибровке моделей используются методы статистики и эконометрики.

Научная новизна

Изучены достаточные условия оптимальности, связанные со свойством вогнутости гамильтониана, для принципа максимума Понтрягина в задачах управления с бесконечным горизонтом. Исследованы свойства оптимальных траекторий в окрестности установившихся состояний гамильтоновой системы. Разработан алгоритм построения оптимального управления для задач с кусочно-определенными гамильтонианами. Получены оценки точности построения для предложенного алгоритма, которые устанавливают связь между параметрами точности в фазовом пространстве и параметрами точности функциональных показателей. Изучены свойства функции цены в многоуровневых задачах оптимизации. Разработан алгоритм построения управления по выбору оптимального времени остановки динамического процесса. Предложенные алгоритмы реализованы в моделях экономического роста и оптимизации инвестиций.

Теоретическая и практическая ценность

Полученные в работе теоретические результаты направлены на исследование задач управления с бесконечным горизонтом. Эти результаты могут быть использованы для качественного анализа динамических свойств и свойств установившихся состояний гамильтоновых систем. Выполненные исследования позволяют конструировать алгоритмы построения оптимальных траекторий и оценивать их точность. Предложенные алгоритмы могут быть использованы для построения решений в экономических моделях роста и оптимизации инвестиций. Практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты и разработанные алгоритмы могут быть применены в эконометрическом моделировании. В частности, предложенные конструкции были применены в моделях экономического роста с различными типами производственных функций. Результатом этого моделирования явился качественный анализ синтезированных модельных траекторий, который может быть использован при прогнозировании экономического развития. Анализ свойств функций цены и оптимального времени остановки динамических процессов может быть использован при моделировании инвестиционных процессов. В частности, проведено моделирование оптимальной инвестиционной стратегий для инновационных технологических процессов.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на всероссийских и международных конференциях "Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании" (УГТУ-УПИ, Екатеринбург, 2005-2007 гг.), на научном семинаре "Математическая теория оптимального управления и теория дифференциальных включений" (МИРАН-МГУ, Москва, 12-13 октября 2006 г.), конференции "Устойчивость, управление и моделирование динамических систем", (УрГУПС, Екатеринбург, 15-17 ноября 2006 г.), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (XXII совместное заседание Московского математического общества и семинара им. А.Г. Петровского, МГУ, Москва, 21-26 мая 2007 г.), the 14th International Workshop on Dynamics and Control (Institute for Problems in Mechanics and Steklov Mathematical Institute of the Russian Academy of Sciences, Moscow-Zvenigorod, 2007), the 7th International EUROGEN'2007 Conference "Evolutionary and Deterministic Methods for Design, Optimization and Control with Applications to Industrial and Societal Problems", (University of Jyvaskylá, Finland, June 11-13, 2007), The 22nd European Conference on Operational Research - EURO XXII (University of Economics, Prague, Czech Republic, July 8-12, 2007), IIASA-Tokyo-tech Workshop on Hybrid Management of Technology in the 21st Century (International Institute for Applied Systems Analysis, Laxenburg, Austria, September 8-9, 2007), the 11th IFAC Symposium "Computational Economics & Financial and Industrial Systems"- CEFIS'2007 (Dogu§ University of Istanbul, Turkey, October 9-11, 2007), семинарах кафедры "Мультимедиа технологии" факультета ИМТЭМ, УГТУ-УПИ, семинарах отдела динамических систем ИММ УрО РАН, семинарах кафедры оптимального управления факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, г. Москва, семинарах по экономическому росту Международного института прикладного и системного анализа, IIASA, г. Лаксенбург, Австрия.

Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в работах [40]-[47], [150]-[157]. В совместных работах [40]-[47], [152]-[158] научному руководителю A.M. Тарасьеву принадлежит постановка задач. В работах в соавторстве [154], [156] А.В. Кряжимскому принадлежит постановка задач. В совместной работе [158] Ч. Ватанабе предоставил экономические данные.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Нумерация глав, параграфов и утверждений сквозная. Объем работы составляет 130 страниц текста. Библиография содержит 190 наименований.

1. Адиатулина P.A., Тарасьев A.M., Дифференциальная игра неограниченной продолжительности // Прикл. математика и механика. 1987. Т. 51, Вып. 4. С. 531-537.

2. Айвазян С.А., Мхитарян B.C., Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998. 1022 с.

3. Айзеке Р., Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 479 с.

4. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B., Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 430 с.

5. Альбрехт Э.Г., Построение приближенных решений некоторых квазилинейных дифференциальных игр // Тр. Института математики и механики УрО РАН, 2000. Т. 6. № 1. С. 27-38.

6. Арнольд В.И., Оптимизация в среднем и фазовые переходы в управляемых динамических системах // Функциональный анализ и его. приложения, 2002. Т. 26. С. 1-11.

7. Арутюнов A.B., Асеев С.М., Влагодатских В.И., Необходимые уело-, вия первого порядка в задачё оптимального управления дифференциальным включением с фазовыми ограничениями // Матем. сб., Т. 184, № 6, С. 3-32.

8. Асеев С.М., Кряжимский A.B., Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста // Тр. МИАН, 2007. Т. 257. С. 5-271.

9. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П., Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. 352 с.

10. Батухтин В.Д., Майборода Л.А., Оптимизация разрывных функций. М.: Наука, 1984. 208 с.

11. Беллман Р., Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 400 с.

12. Бердышев Ю.И., Качественный анализ областей достижимости // Космические исследования, 1996. Т. 34. № 2. С. 141-144.

13. Благодатских В.И., Введение в оптимальное управление. М.: Высшая школа, 2001. 239 с.

14. Болтянский В.Г., Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1966. 308 с.

15. Брайсон А., Хо Ю-Ши., Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972. 544 с.

16. Брыкалов С.А., Непрерывная обратная связь в задачах конфликтного управления // Доклады РАН, 2001. Т. 376. № 4. С. 442-444.

17. Варга Дж., Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 с.

18. Васильев Ф.П., Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.

19. Ватанабе Ч., Решмин С.А., Тарасьев A.M., Динамическая модель процесса инвестиций в научно-технические разработки /"/ Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. Вып. 3. С. 408-425.

20. Вольтерра В., Математическая теория борьбы за существование: * М.: Наука, 1976. 286 с.

21. Габасов Р.Ф., Кириллов а Ф.М., Качественная теория оптимальных/ процессов. М.: Наука, 1971. 508 с.

22. Гамкрелидзе Р.В., Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд-во Тбилисского университета, 1975. 256 с.

23. Григоренко Н.Л., Киселев Ю.Н., Лагунов Н.В., Силин Д.В., Тринь-ко Н.Г., Методы решения дифференциальных игр. Математическое моделирование. М.: Изд-во Московского университета, 1993. 332 с.

24. Григорьева C.B., Тарасьев A.M., Успенский A.A., Ушаков В.Н., Конструкции теории дифференциальных игр при решении уравнений Гамильтона-Якоби // Тр. Института математики и механики УрО РАН, 2000. Т. 6. № 2. С. 320-336.

25. Гусев М.И., О структуре оптимальных минимаксных оценок в задачах гарантированного оценивания // Доклады РАН, 1992. Т. 322. № 5. С. 832-835.

26. Гусейнов Х.Г., Субботин А.И., Ушаков В.Н., Производные многозначных отображений и их применение в игровых задачах управления // Проблемы управления и теории информации, 1985. Т. 14. № 3. С. 1-14.

27. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M., Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990. 432 с.

28. Жуковский В.И., Чикрий A.A., Линейно-квадратичньЛ дифференциальные игры. Киев: Наукова думка, 1994. 320 с.

29. Завалищин С.Т., Сесекин А.Н., Импулсные процессы: модели и приложения. М.: Наука, 1991. 256 с.

30. Зеликин М.И., Оптимальное управление и вариационное исчисление. Изд. 2. М.: УРСС, 2004. 160 с.

31. Зеликина Л.Ф., Универсальные многообразия и теоремы о магистрали для некоторых классов задач оптимального управления // Доклады АН СССР, 1975. Т. 224. № 1. С. 31-34.

32. Зубов В.И., Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 с.

33. Интрилигатор М., Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: АЙРИС ПРЕСС, 2002. 566 с.

34. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М., Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

35. Камнева JJ.B., Достаточные условия стабильности для функции цены дифференциальной игры в терминах сингулярных точек // Прикладная математика и механика, 2003. Т. 67. Вып. 3. С. 366-383.

36. Ким A.B., Пименов В.Г., г-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. Ижевск: Изд-во PXD R&C Dynamics, 2004. 256 с.

37. Кларк Ф., Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. 280 с.

38. Клейменов А.Ф., Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. Екатеринбург: Наука, 1993. 185 с.

39. Колмогоров А.Н., Фомин C.B., Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.

40. Красовский A.A., Тарасьев A.M., Динамические модели и экономет-рический анализ в бизнес-планировании // Вестник Гуманитарного университета, 2005. Т. 1 (6). С. 35-73.

41. Красовский A.A., Тарасьев A.M., Специальные статистические распределения в динамической модели инновационного процесса // Вестник Уральского государственного техническго университета -УПИ, 2006. № 6 <77). С. 17-33.

42. Красовский A.A., Тарасьев A.M., Моделирование оптимального экономического роста // Тезисы докладов научного семинара "Математическая теория оптимального управления и теория дифференциальных включений", Москва: МИРАН-МГУ, 2006. С. 26.

43. Красовский A.A., Тарасьев A.M., Оценивание производственных факторов в задаче оптимального экономического роста // Тезисы докладов конференции "Устойчивость, управление и моделирование динамических систем", Екатеринбург: УрГУПС, 2006. С. 48.

44. Красовский A.A., Тарасьев A.M., Динамическая оптимизация инвестиций в моделях экономического роста / / Автоматика и телемеханика, 2007. № 10. С. 38-52.

45. Красовский A.A., Тарасьев A.M., Оптимизация времени остановки в многоуровневых динамических системах // Вестник Удмурдского университета, Вып. 2, 2008.

46. Красовский А.Н., Управление на минимакс интегрального функционала // Доклады АН СССР, 1991. Т. 320. № 4. С. 785-788.

47. Красовский H.H., Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 475 с.

48. Красовский H.H., Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 с.

49. Красовский H.H., Игровое управление в дифференциальных эволюционных системах // Доклады АН СССР, 1976. Т. 227. № 5. С. 10491052.

50. Красовский H.H., Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 518 с.

51. Красовский H.H., Осипов Ю.С., Линейные дифференциально-разностные игры // Доклады АН СССР, 1971. Т. 197. № 4. С. 777-780.

52. Красовский H.H., Субботин А.И., Позиционные дифференциальные игры. М: Наука, 1974. 456 с.

53. Красовский H.H., Третьяков В.Е., Стохастический программный синтез для позиционной дифференциальной игры // Докл. АН СССР. 1981. Т. 259 № 1. С. 24-27.

54. Кротов В.Ф., Гурман В.И., Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973. 448 с.

55. Кружков С.Н., Обобщенные решения нелинейных уравнений первого порядка со многими независимыми переменными // Матем. сборник, 1966. Т. 70. № 3. С. 394-415.

56. Крушвиц Л., Финансирование и инвестиции. С.Пб.: ПИТЕР, 2000. 400 с.

57. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С., О эволюционно-дифференциальных играх // Труды МИРАН им. В.А. Стеклова, 1995. Т. 211. С. 257-287

58. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С., О позиционном моделировании управления в динамических системах // Изв. АН СССР: Техн. кибернетика, 1983. № 2. С. 51-60.

59. Куржанский А.Б., Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 с.

60. Куржанский A.B., Никонов О.И., Эволюционные уравнения для пучков траекторий синтезированных систем управления // Доклады РАН, 1993. Т. 333. № 5.

61. Лахтин A.C., Субботин А.И., Многозначные решения уравнений с частными производными первого порядка // Матем. сборник, 1998. Т. 189. № 6. С. 33-58.

62. Ледяев Ю.С., Мищенко Е.Ф., Экстремальные задачи в теории дифференциальных игр // Тр. МИАН им. В.А. Стеклова, 1988. Т. 85. С. 147-170.

63. Лейтман Дж., Введение в теорию оптимального управления. М.: Наука, 1968. 190 с.

64. Лукоянов Н.Ю., К вопросу вычисления цены дифференциальной иг-' -ры для позиционного функционала // Прикладная математика и механика, 1998. Т. 62. Вып. 2. С. 188-198.

65. Максимов В. И., О существовании седловой точки в дифференциально-разностной игре сближения-уклонения // Прикладная математика и механика, 1978. Т. 42. Вып. 1.

66. Меликян A.A., Уравнения распространения слабого разрыва решения вариационной задачи // Тр. Института математики и механики УрО РАН, 2000. Т. 6. № 2. С. 446-459.

67. Милютин A.A., Дмитрук A.B., Осмоловский Н.П., Принцип максимума в оптимальном управлении. Мехмат МГУ, Москва, 2004. 168 С.

68. Мищенко Е.Ф., Задачи преследования и уклонения от встречи в теории дифференциальных игр // Изв. АН СССР: Техн. кибернетика, 1971. № 5. С. 3-9.

69. Мордухович Б.Ш., Методы аппроксимации в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1988. 360 с.

70. Никольский М. С., О гарантированных оценках в дифференциальных играх с векторным критерием качества и фиксированным временем // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1980. № 2. С. 37-43.

71. Осипов Ю.С., Альтернатива в дифференциально-разностной игре // Доклады АН СССР, 1971. Т. 197. № 5. С. 1022-1025.

72. Роббинс Г., Сигмунд Д., Чао И., Теория оптимальных правил остановки. Перев. с англ. М.: Наука, 1977. 168 с.

73. Пацко B.C., Поверхности переключения в линейных дифференциальных играх // Современная математика и ее приложения, Тбилиси, 2005, Т. 23, С. 79-122.

74. Петросян Л. А., Захаров В.В., Математические модели в экологии. Санкт-Петербург: Изд-во Санкт-Петербургского госуниверситета, 1997. 254 с.

75. Пименов В.Г., Функционально-дифференциальные уравнения: численные методы. Екатеринбург: Изд-во Уральского госуниверситета, 1998. 80 с.

76. Поляк Б.Т., Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. 384'с.

77. Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. 331 с.

78. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф., Математическая теория оптимальных процессов. М: Наука, 1969. 392 с.

79. Пшеничный В.Н., Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М: Наука, 1980. 319 с.

80. Рокафеллар Р.Т., Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 469 с.

81. Самарский А.А., Михайлов А.П., Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М: ФИЗМАТЛИТ, 2005, 320 с. (2-е изд., испр.).

82. Субботин А.И., Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М.: Наука, 1991. 216 с.

83. Субботин А.И., Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. Москва-Ижевск: Институт компьют. исслед. 2003. 336 с.

84. Субботин А.И., Субботина H.H., Необходимые и достаточные условия для кусочно-гладкой цены дифференциальной игры // Доклады АН СССР, 1978. Т. 243. № 4. С. 862-865.

85. Субботин А.И., Чепцов А.Г, Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 с.

86. Субботин А.И., Тарасьев A.M., Сопряженные производные функции цены дифференциальной игры // Доклады АН СССР, 1985. Т. 283. № 3. С. 559-564.

87. Субботина H.H., Метод динамического программирования для класса локально-липшицевых функций // Доклады РАН, 2003. Т. 389. № 2. С. 1-4.

88. Тарасьев, A.M., Аппроксимационные схемы построения минимакс- ^ ных решений уравнений Гамильтона-Якоби // Прикладная математика и механика, 1994. Т. 58. Вып. 2. С. 22-36.

89. Тарасьев A.M., Успенский A.A., Ушаков В.Н., Аппроксимационные схемы и конечно-разностные операторы для построения обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби // Изв. РАН: Техн. кибернетика, 1994. № 3. С. 173-185.

90. Тонков Е.Л., Динамические задачи выживания // Вестник Пермского гос. тех. ун-та. Функцион.-дифференц. уравнения (спец.вып.), 1997. № 4. С. 138-148.

91. Третьяков В.Е., К теории стохастических дифференциальных игр // Доклады АН СССР, 1983. Т. 269. № 3. С. 1049-1053.

92. Ухоботов В.И., Синтез гарантированного управления на основе ап-проксимационной схемы // Тр. Института математики и механики УрО РАН, 2000. Т. 6. № 1. С. 239-246.

93. Ушаков В.Н., К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения // Изв. АН СССР: Технич. кибернетика, 1980. № 4. С. 29-36.

94. Филиппов А.Ф., Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 225 с.

95. Ченцов А.Г., О структуре одной игровой задачи сближения // Доклады АН СССР, 1975. Т. 224. № 6. С. 1272-1275.

96. Черноусько Ф.Л., Меликян А.А., Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука, 1978. 270 с.

97. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н., Управление колебаниями. М.: Наука, 1980. 384 с.

98. Четыркин Е.М., Финансовая математика. М.: Дело, 2003.

99. Ширяев А.Н., Основы стохастической финансовой математики. М.: ФАЗИС. 2004. 1056 с.

100. Шориков А.Ф., Минимаксное оценивание и управление в дискретных динамических системах. Екатеринбург: Изд-во Уральского госуниверситета, 1997. 248 с.

101. Alcamo, J., Shaw, R., Hordijk, L.J., The RAINS model of acidification, • science and strategies for Europe, Kluwer Academic Press, Dordrecht, 1990.

102. Ane, B.K., Tarasyev, A.M., Watanabe, C., Construction of Nonlinear Stabilizer for Trajectories of Economic Growth // Journal of Optimization Theory and Applications, 2007. Vol. 134, No. 2 P. 303-320.

103. Ane, B.K., Tarasyev, A.M., Watanabe, C., Impact of Technology Assimilation on Investment Policy: Dynamic Optimization and Econometric Identification // Journal of Optimization Theory and Applications, 2007. Vol. 134, No. 2 P. 321-338.

104. Arrow, K.J., Application of Control Theory to Economic Growth // Mathematics of the Decision Sciences, 1968. No 2. P. 85-119.

105. Ayres, R.U., Warr, B., Accounting for Growth: the Role of Physical Work // Structural Change and Economic Dynamics, 2005. Vol. 16. No. 2. P. 181-209.

106. Aubin, J.P., Viability Theory. Boston: Birkhauser, 1991.

107. Avenhaus, R., Applications of inspection games // Mathematical Modelling and Analysis, 2004. Vol. 9. No. 3. P. 179-192.

108. Balder, E.J., An existence result for optimal economic growth problems // J. Math. Anal. Appl., 1983. Vol. 95. P. 195-213.

109. Bardi, M., Dolcetta, I.C., Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman Equations. Boston: Birkhauser, 1997. 596 P.

110. Bardi, M., Evans, L.C., On Hopf's formulas for solutions of Hamilton-Jacobi equations // Nonlinear Anal., Theory, Meth., Appl., 1984. Vol. 8. No. 11. P. 1373-1381.

111. Barro, R.J., Sala-i-Martin, X., Economic Growth. McGraw Hill, New-York, 1995.

112. Barron, E.N., Jensen, R., The Pontryagin maximum principle from . • dynamic programming and viscosity solutions to first-order partial differential equations // Trans. Amer. Math. Society, 1986. Vol. 298.No. 2. P. 635-641.

113. Barzel, Y., Optimal Timing of Innovations // The Review of Economics and Statistics, 1968. Vol. 50. No. 3. P. 348-355

114. Ba§ar, T., Olsder, G.J., Dynamic Noncooperative Game Theory, SIAM Series in Classics in Applied Mathematics, Philadelphia, 1999. (Revised, updated version of the 1995 Academic Press book with the same title.)

115. Bensoussan, A., Perturbation Methods in Optimal Control. New York, Chichester: Wiley-Gautier, 1988. 574 P.

116. Berkovitz, L.D., Optimal feedback control // SIAM J. Contr. Optim., 1989. Vol. 27. No. 5. P. 991-1006.

117. Breitner, M.H., Koslik, B., von Stryk, O., Pesch, H.J., Iterative design of economic models via simulation, optimization and modeling // Mathematics and Computers in Simulation, 1995. Vol. 39, No. 5-6. P. 527-532.

118. Cannarsa, P., Frankowska, H., Some characterization of optimal trajectories in control theory // SIAM J. Contr. Optim., 1991. Vol. 29. P. 1322-1347.

119. Casti, J., Alternate Realities: Mathematical Models of Nature and Man. New York: Wiley-Interscience, 1989. 493 P.

120. Cesari, L., Optimization—Theory and Applications. Problems with Ordinary Differential Equations. Springer, New York, 1983.

121. Clarke, F.H., Ledyaev, Yu.S., Stern, R.J., Wolenski, P.R., Nonsmooth Analysis and Control Theory. New York: Springer-Verlag, 1998. 278 P.

122. Colonius, F., Optimal Periodic Control. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1313. Berlin: Springer-Verlag, 1988.

123. Crandall, M.G., Lions PL., Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations // Trans. Amer. Math. Society, 1983. Vol. 277, No. 1. P. 1-42.

124. Deissenberg, Ch., and Hartl, R., eds., Optimal Control and Dynamic Games: Applications in Finance, Management Science, and Economics, Springer, 2005.

125. Dosi, G., Ermoliev, Y.M., Kaniovslci Y.M., Generalized urn schemes and technological dynamics // Journal of Mathematical Economics, 1994. No. 23. P. 1-19.

126. Evans, L.C., Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics, Vol. 19. Amer. Math. Society: Providence, Rhode Island, 1998. 662 P.

127. Feichtenger, G., Wirl, F., Intrafamiliar consumption and saving under altruism and wealth considerations // Economica, 2002. Vol. 69, P. 93-111.

128. Fleming, W.H., Soner H.M., Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions. New York: Springer-Verlag, 1993.

129. Friedman, A., Differential Games. New York: Wiley Interscience, 1971.t

130. Greene, W.H., Econometric Analysis, 3rd Edition, Prentice-Hall, 1997.

131. Griliches, ZR&D, Patents, and Productivity. The University of Chicago Press, Chicago, London, 1984.

132. Grossman, G.M., Helpman, E., Innovation and Growth in-the Global * Economy. MIT Press, Cambridge, MA, 1991.

133. Haddad, G., Monotone trajectories of differential inclusions and ■ functional differential inclusions with memory // Israel J. Math., 1981. Vol. 39. P. 83-100.

134. Hartl, R.F., Kort, P.M., Optimal investments with convex-concave revenue: a focus-node distinction // Optimal Control Applications and Methods, 2004. Vol. 25. P. 147-163.

135. Hartman Ph. Ordinary Differential Equations. N.Y., London, Sydney: J. Wiley and Sons, 1964.

136. Haurie, A., Zaccour, G., Differential game models of global enviroment management // Annals of the Interational Society of Dynamic Games, 1995. Vol. 2. P. 3-24.

137. Helpman, E., Krugman, P., Market Structure and Foreign Trade: Increasing Returns, Imperfect Competition, and the International Economy, Cambrige, MA: MIT Press, 1985.

138. Inada, K, On a Two-Sector Model of Economic Growth: Comments and a Generalization // Rev. Econ. Stud., 1963. Vol. 30, No. 2, P. 119-127.

139. Isidori, A., Nonlinear Control Systems. New York: Springer-Verlag, 1995. (3rd edition).

140. Jones, C.I., Introduction to Economic Growth, W.W. Norton & Company Ltd., New York, N.Y., 1997.

141. Kaiman, R.E., Contribution to the theory of optimal control // Bullet. Soc. Math. Mech., 1960. Vol. 5. P. 102-119.

142. Kantorovich, L.V., Makarov, V.L., Growth Models and their Application to Long-term Planning and Forcasting // In: Long-term Planning and Forcasting, Proc. Conf. Macmillan Press, 1976.

143. Koopmans, T.C., Objectives, Constraints, and Outcomes in Optimal Growth Models // Econometrica, 1967. Vol. 35. No. 1. P. 1-15.

144. Krasovskii, A.A., Assessment of the Impact of Aggregated Economic Factors on Optimal Consumption in Models of Economic Growth // IIASA Working Paper IR-06-050, Laxenburg: IIASA, 2006. 46 P.

145. Krasovskii, A., Tarasyev, A., Modeling of Optimal Trends for Dynamic Systems on Infinite Horizon // Abstracts of the 22nd European Conference on Operational Research EURO'XXII, University of Economics, Prague, 2007. P. 167.

146. Krasovskii, A., Kryazhimskiy, A., Tarasyev, A., Optimal Control Design in Models of Economic Growth // Evolutionary Methods for Design, Optimization and Control (P. Neittaanmaki, J. Periaux and T. Tuovinen, Eds.), CIMNE, Barcelona, Spain, 2007.

147. Krasovskii, A., Tarasyev, A., Watanabe, C., Assessment of,the Market Development Trajectory for Optimal Timing of Technological Innovation //II ASA Working Paper IR-08-007, Laxenburg: HAS A, 2008. 36 P.

148. Krasovskii, A.N., Krasovskii, N.N., Control under Lack of Information. Birkhauser, Boston, Massachusetts, 1995. 322 P.

149. Krasovskii, N.N., Subbotin A.I., Game-Theoretical Control Problems. New York: Springer-Verlag, 1988. 518 P.

150. Krstic, M., Kokotovic, P.V., Canellakoupoulos, I., Nonlinear and Adaptive Control Design, John Wiley & Sons, New York, 1995. 576 P.

151. Kryazhimskii, A., Nentjes, A., Shibayev, S., Tarasyev, A., Modelling market equilibrium for transboundary environmental problem // Nonlinear Analysis, 2001. Vol. 47. P. 991-1002.

152. Kryazhimskii, A.V., Watanabe, C., Optimization of Technological Growth, GENDAITOSHO, Kanagawa, 2004.

153. Kurzhanski, A.B., Valyi, I., Elipsoidal Calculus for Estimation and Control. Boston (ser. SCFA): Birkhauser, 1996.

154. Lakshmikantham, V., Leela, S., Differential and Integral Inequalities. V. 2. New York: Academic Press, 1969.

155. Lions, P.L., Generalized Solutions of Hamilton-Jacobi Equations. Research Notes in Mathematics, Vol. 69. Boston: Pitman, 1982. 318 P.

156. Maurer, H., Pesch, H.J., Solution differentiability for parametric nonlinear control problems with control-state constraints // Journal of Optimization Theory and Applications, 1995. Vol. 86, No. 2. P. 285-309.

157. Neck, R., Schneider, F., The Political Economy of Fiscal Policies // Public Choice, 2001. Vol. 109. P. 217-220.

158. Nordhaus, W.D., Managing the Global Commons. The Economics of Climate Change. MIT Press, Cambridge, MA, 1994.

159. Olsder, G.J., Differential game-theoretic thoughts on option pricing and transaction costs // International game theory review, 2000. Vol. 2. No. 2. P. 209-228.

160. Osipov, Yu.S., Kryazhimskii A.V., Inverse Problems of. Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions. Amsterdam: Gordon and Breach, 1995. 625 P.

161. Palokangas, T., Labour Unions, Public Policy and Economic Growth. Cambridge: Cambridge University Press, 2000. 238 P.

162. Petrosjan, L., Zaccour, G., Time-consistent Shapley value allocation of polluton cost reduction // Journal of Economic Dynamics and Control, 2003. Vol. 27. P. 381-398.

163. Krabs, W.; Pickl, S.W., Pickl, S., Analysis, Controllability and Optimization of Time-Discrete Systems and Dynamical Games, New York: Springer-Verlag Inc., 2003. 186 P.

164. Ramsey, F.P., A Mathematical Theory of Saving // The Economic Journal, 1928. Vol. 38. No. 152. P. 543-559.

165. Rockafellar, R.T., Wets, R.J-B., Variational Analysis. Berlin: SpringerVerlag, 1998. 735 P.

166. Romer, P.M., Advanced Macroeconomics, 3rd Edition. McGraw-Hill, New York, N.Y., 2006.

167. Schelling, T.C., The Strategy of Conflict. Harvard University Press, 1980.

168. Schumpeter, J., The Theory of Economic Development: An Inquiry into Profits, Capital, Credit, Interest, and the Business Cycle, 1983.

169. Shell K. Applications of Pontryagin's Maximum Principle to Economics // Mathematical Systems Theory and Economics, 1969. Vol. 1. P. 241-292.

170. Solow R.M. Growth Theory: An Exposition. New York: Oxford University Press, 1970.

171. Souganidis, P.E., Approximation schemes for viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations //J. Differen. Equat. 1985. Vol. 59. P. 1-43.

172. Subbotin, A.I., Generalized Solutions for First-Order PDE, Birkhauser, Boston, Massachusetts, 1995.

173. Subbotin, A.I., Taras'ev A.M., UshakovV.N., Generalized characteristics of Hamilton-Jacobi equations //J. Comput. Systems Sci. Intern., 1994. Vol. 32. No. 2. P. 157-163.

174. Tarasyev, A.M., Watanabe, C., Dynamic Optimality Principles and Sensitivity Analysis in Models of Economic Growth // Nonlinear Analysis, 2001. Vol. 47, No. 4, P. 2309-2320.

175. Udwadia, F. E., Boundary Control, Quiet Boundaries, Super-stability and Super-instability // Applied Mathematics and Computation, 2005. Vol. 164, P. 327-349.

176. Verkama, M., Ehtamo, H., Hamalainen, R.P., Distributed computation of Pareto solutions in n-player games // Systems analysis laboratory Research report A53, Helsinki University of Technology, 1994.

177. Verhulst, P.F., Notice sur la loi que la population pursuit dans son accroissement // Correspondance mathématique et physique, 1838. Vol. 10. P. 113-121.

178. Vinter, R., Optimal Control. Boston: Birkhiiser, 2000. 507 P.

179. Walras, L., Elements of Pure Economics. Allen and Unwin, 1954. (English translation by William Jaffe, originallv published in 1874).