автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез прогнозирующего управления в дискретных нестационарных системах в условиях неполной информации, ограничений и запаздываний

На правах рукописи

Приступа Марина Юрьевна

СИНТЕЗ ПРОГНОЗИРУЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ В ДИСКРЕТНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМАХ В УСЛОВИЯХ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ, ОГРАНИЧЕНИЙ И ЗАПАЗДЫВАНИЙ

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях автоматики, вычислительной техники и автоматизации)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

X 1 опт 2012

Томск —2012

005053263

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» на кафедре прикладной математики

Научный руководитель:

Смагин Валерий Иванович, доктор технических наук, профессор Официальные оппоненты:

Перепелкин Евгений Александрович, доктор технических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова», профессор кафедры прикладной математики

Воробейчиков Сергей Эрикович, доктор физико-математических наук, доцент, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», профессор кафедры высшей математики и математического моделирования

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники»

Защита диссертации состоится 31 октября 2012 года в 10:30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.12 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, II уч. корпус, ауд. 2126.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан 28 сентября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Тарасенко Петр Феликсович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. В последние годы в практике применения теории управления проявляется все больший интерес к методам автоматического управления многомерными процессами, позволяющим учитывать ограничения и запаздывания, присутствующие в модели, а также неопределенности при определении параметров модели. Одним из наиболее перспективных методов, получивших признание и широкое применение в практике управления сложными технологическими процессами, является метод управления с прогнозирующими моделями -Model Predictive Control (MPC). Основным достоинством данного метода, определяющим его успешное использование в практике систем управления, является относительная простота схемы формирования обратной связи и возможность учитывать прогнозируемую информацию, что позволяет управлять многомерными и многосвязными объектами со сложной структурой, проводить оптимизацию процессов в режиме реального времени с учетом ограничений и неопределенности в задании модели объектов и возмущений.

Начало исследований прогнозирующего управления положено А. И. Пропоем, который в 1963 году предложил принцип убывающего горизонта в контексте «разомкнутой оптимальной обратной связи», что стало одной из главных идей управления с прогнозирующими моделями. Идею синтеза прогнозирующего управления также использовал в своих работах А. А. Красовский при разработке универсальных алгоритмов оптимального управления по критерию обобщенной работы. С конца 70-х годов прошлого века начали появляться работы, отражающие интерес к применению управления на основе прогнозирующих моделей в промышленности. J. Richa-let, A. Rault, J. L. Testud, J. Papon предложили «эвристическое управление с прогнозирующими моделями» (1978), которое позже стало известно, как алгоритмическое управление моделями. В 1979 году С. R. Cutler, В. L. Ramaker рассмотрели метод динамического управления многомерными процессами. Формулировки, которые предложили ученые, были эвристическо-алгоритмическими и использовали возросший в то время вычислительный потенциал компьютеров.

В 90-х годах появился ряд работ, посвященных новым методам прогнозирующего управления. Независимо появились метод прогнозирующего управления с убывающим горизонтом при наличии ограничений (D. W. Clarke, R. Scattolini) и метод стабилизационного управления системой со многими входами-выходами с убывающим горизонтом (L. Chisci и Е. Mosca).

В настоящее время управление на основе прогнозирующих моделей продолжает находиться на стадии интенсивного развития, о чем свидетельствует обширная библиография опубликованных за последние годы научных работ, посвященных данной проблеме. Развитие идей прогнозирующего управления происходит в направлении использования нелинейных моделей, придания робастных свойств замкнутой системе управления, применения современных оптимизационных методов в режиме реального времени, рассмотрения систем при наличии разного рода возмущений, ограничений на объект и другие.

Однако не в полной мере рассмотрена задача синтеза прогнозирующего управления выходом объекта при наличии запаздываний и неопределенностей в описании модели объекта, а также при косвенных измерениях вектора состояния.

Объект исследования. Управляемые стохастические дискретные нестационарные динамические системы с возмущениями, функционирующие в условиях неполной информации о состоянии, параметрах, при неизвестном входе и с учетом возможных запаздываний в управлении и состоянии.

Предмет исследования. Алгоритмы слежения выходом системы за заданной траекторией, построенные на основе прогнозирующего управления.

Цель диссертационной работы заключается в разработке алгоритмов синтеза управления выходом дискретными линейными системами, функционирующих в условиях ограничений на основе прогнозирующих моделей; решение задачи прогнозирующего управления при наличии возмущений в системе, запаздываний по состоянию и управлению, а также решение задачи синтеза прогнозирующего управления в условиях неполной информации об объекте и векторе состояния.

Для заданной цели поставлены и решены следующие основные задачи исследования:

1. Разработать алгоритм синтеза прогнозирующего управления выходом дискретного нестационарного объекта с аддитивными возмущениями при косвенных наблюдениях в условиях ограничений на управляющие воздействия и состояние.

2. Синтезировать прогнозирующее управление объектом при наличии запаздываний по управлению и состоянию без расширения пространства состояний.

3. Решить задачу синтеза прогнозирующего управления дискретной системой при наличии неизвестного входного сигнала.

4. Разработать алгоритм управления дискретной системой с неопределенными параметрами с использованием прогнозирующей модели.

5. Выполнить апробацию алгоритмов с помощью вычислительных экспериментов.

Методы исследования. Для достижения поставленных в диссертационной работе целей были использованы аппарат теории управления, теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, методы имитационного моделирования. Численные расчеты и анализ результатов моделирования проведены с помощью системы МАТЬАВ.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем.

Найдены законы управления дискретными нестационарными объектами на основе использования прогнозирующих моделей, обеспечивающие отслеживание выходом объекта заданной траектории в условиях неполной информации о состоянии, возмущений, параметров модели и с учетом ограничений и запаздываний по управлению и состоянию. Задачи управления для объектов с запаздываниями решены без расширения пространства состояния.

Теоретическая значимость диссертационного исследования состоит в развитии теории прогнозирующего управления выходом дискретных линейных систем при ограничениях на управляющие воздействия и состояние с запаздываниями без расширения пространства состояний, а также развитие прогнозирующего управле-

ния для решения задач управления дискретными системами при наличии неопределенности в задании параметров модели.

Практическая ценность работы определяется тем, что разработанные и апробированные в рамках диссертационной работы методы и алгоритмы могут применяться в различных предметных областях, в которых модели управляемых объектов могут содержать запаздывания, ограничения, неизвестные возмущения и параметры, в частности, в производственных, технических и экономических системах (например, при решении задач производственно-складского типа).

Результаты исследований используются в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета.

Достоверность полученных результатов, содержащихся в диссертации, подтверждается тем, что математические выкладки проведены на строгом математическом уровне с использованием аппарата линейной алгебры, теории управления и теории вероятностей и математической статистики, а также результатами численных расчетов.

Личное участие автора заключается в получении результатов, изложенных в диссертации. Постановка указанных задач сделана научным руководителем, д.т.н., профессором В. И. Смагиным. Основные теоретические результаты, а также результаты численного моделирования, представленные в диссертации, получены лично автором.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 152 страницы, в том числе 45 рисунков, 2 таблицы; список литературы насчитывает 121 наименование.

На защиту выносятся:

1. Решение задачи синтеза прогнозирующего управления выходом дискретного нестационарного объекта со случайными возмущениями в условиях косвенных наблюдений за состоянием при ограничениях на управление и состояние объекта.

2. Алгоритмы прогнозирующего управления выходом объекта для дискретных систем с запаздыванием по управлению и состоянию, не использующие расширение пространства состояний.

3. Алгоритмы прогнозирующего управления выходом объекта для дискретных систем с неизвестным входом.

4. Алгоритмы прогнозирующего управления выходом дискретного объекта в условиях неполной информации о параметрах модели.

5. Решение задач управления производством и поставками с использованием методов, разработанных в диссертации.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

-XII и XIII Международная научно-техническая конференция «Измерение, контроль, информатизация» - «ИКИ-2011», «ИКИ-2012» (Барнаул, 2011, 2012);

-VIII, IX и X Всероссийские научно-практические конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» - «ИТММ-2009», «ИТММ-2010», «ИТММ-2011» (Анжеро-Судженск, 2009, 2010, 2011);

- VII Российская конференция с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных систем» (Томск, 2010);

- XVI Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи» (Анжеро-Судженск, 2012);

— Всероссийская научно-техлическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР - 2009» (Томск, 2009).

Публикации. По результатам проведенных в рамках диссертации исследований опубликовано 12 работ, из них работы [1-3] опубликованы в журналах из перечня ВАК.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика диссертационной работы, сформулирована цель исследования, обоснована актуальность темы диссертации, представлены научная новизна, теоретическое значение и практическая ценность исследования, изложены основные задачи и научные результаты, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации представлен алгоритм синтеза прогнозирующего управления, разработанный для дискретной нестационарной системы в условиях косвенных наблюдений за состоянием с учетом ограничений на состояние и управление.

В разделе 1.1 дана общая постановки задачи, в рамках которой определены модель, все входящие параметры и ограничения, наложенные на объект.

Модели нестационарного объекта, канала наблюдений и управляемого выхода описываются следующими соотношениями:

х^^А^^В^^ + к,, у,=Н,х, у, *(1,=0 =дг0, (1)

где х, £ Я" - состояние объекта, и, е /?т - управляющее воздействие, у, е к' -наблюдения, выход системы контроля, у, е Яр - управляемый выход. Случайные возмущения и шумы измерения V, не коррелированны между собой и подчиняются гауссовскому распределению со следующими характеристиками:

М{м-,} = 0, М{г,} = 0, М{и^т} = 1Г,5а, М{уУк} = У,81к, М{^т} = 0. (2) Вектор начальных условий х0 является случайным, некоррелированным с величинами »с, и V, и определяется характеристиками:

М{*0} = Зс0, М{(*0 - *0)(*0 -*о)Т> = Рх0 • (3)

Ограничения представляются в виде неравенств вида:

а,(0<5>г (4)

где 5] и 82 — структурные матрицы полного ранга, состоящие из нулей и единиц, определяющие компоненты векторов х, и и,, на которые накладываются ограничения; я,(0, а2и), ф2- заданные векторы и вектор-функции соответствующих размерностей. В большинстве работ по синтезу прогнозирующего управления нижние и верхние границы ограничений на управление, как правило, задаются функциями, зависящими только от времени. В настоящей работе такое ограничение снято, и приведены примеры, в которых задача решается для ограничений, в которых верхняя и нижняя границы зависят от компонент вектора состояния. Задача состоит в том, чтобы по наблюдениям \]/г определить стратегию управления, при которой вектор выхода системы^, будет близок к заданному вектору у:.

С помощью экстраполятора Капмана осуществляется прогнозирование поведения объекта и управляемого выхода (раздел 1.2) на основе оценок вектора состояния (х,+1,) и выхода (уиГ,) объекта, построенных с применением калмановской фильтрации:

С ¡-1 ^ ¡-\fk-l

П ^ -* +Е П

У *=]\,М

V*=l

(5)

У1+,},

Bl-H-kUl+i-k]l > ' = 2>N >

(б)

'i-1 "S /-1 (к-1

и ГК,-* Fm!, ГК-,

V*=l J к=1 \1=1

где х1+1у, у,+п - оценки состояния и вектора выхода в момент времени t + i, дающие информацию с момента времени /, ut+f! - управление, используемое с целью прогнозирования, N - горизонт прогнозирования. Для прогнозирующей модели преобразовываются соответственно ограничения на управление и состояние.

На основе прогнозирующей модели осуществляется синтез управления (раздел 1.3) исходя из минимизации квадратичного критерия вида:

1 N 2 1М 2

+ о Zh+tk-M'+*-if IL > w i ' ¿ *=i '

где С, и Dt— симметричные положительно определенные матрицы, М - горизонт управления.

Оптимальное решение поставленной задачи находится путем аналитического преобразования прогнозирующей модели, ограничений и критерия в векторно-матричный вид, что позволяет учитывать ограничения при определении оптимального управления с помощью функции quadprog системы MATLAB.

Прогнозирующая модель (5)-(6) в векторно-матричной форме имеет вид:

где под Хп Уп U,, Ч', А, понимаются следующие векторы и матрицы:

(8)

/+1

yJ+N I

J1, U, - [uj+]ll ■ ■ ■ »,+ .v¡/ j17

Еп

А+1 Gl+2Al+l

.Л( =

N-1 JV—1

т+м-к

.*=i

(9)

При М < N блочные матрицы Р, и Ф, в (8) вводятся следующим образом:

р, =

в,+1

Л+2^1+1

ГМ-1

П Л1+М-к+1

V ¿=1 У

л/

Г1 А,+М_к+ 2

Кк= 1 у

О О

В,+2

'М-2

ГТ

V ¿=1 А/-1

В,.

В,.

О А(+М-к+1

Ч У

'/+2

ф,=

(N-2 Л Гм-ъ > 'Ы-М-\ р ^

О ^1+Ы-к В» 1 ГТ Л:+ы-к В,+2 В1+М

V *=1 \ *=1 < р 4=1

0 0 0

С1+2В(+1 0 0

^1+3^1+1^1+1

0

\ (м-г

П4«-. Рг+1 Ш

'м > Г м-1

-^н-лг+г! ^г+м+2 ГТЛн

1+М-к 11+2

П4

с,П^-* к

*-1

к=> N-1

^-М-1 р

)

В диссертации также представлен вид матриц Р, и Ф, в случае равенства горизонта прогнозирования и горизонта управления.

Ограничения (4) для прогнозирующей модели в векторно-матричной форме имеют вид:

г,(г)<ЁхХ, <аг{I), Ф,(Х„0<Ф2(Х„0, (10)

где

ак(() = [а1к(( + 1) - «?(/_+Л0Г»Ф*(*«.0 = к(' + 1) - + =

5, =с!1а8(51,...,51), 52 =<Иав(52,...,52). (11)

N М

Так как синтезированное управление обеспечивает выполнение ограничений для оцениваемых переменных, а не для истинных значений вектора состояний, которые являются неизвестными, в некоторые моменты времени ограничения на состояние могут быть нарушены. Степень нарушения ограничений зависит от величины ошибки оценивания состояния. Если среднеквадратические ошибки модели экстраполяции малы, то этим фактом при моделировании можно пренебречь и отнести к погрешностям расчетов. В случаях, когда пренебрежение нежелательно, в диссертации предложено выполнить корректировку ограничений, используя

доверительные интервалы. При нарушении ограничений на управление, зависящего от состояния, предлагается использовать метод проецирования (усечения).

Для преобразования целевой функции (7) в векторно-матричный вид вводятся следующие блочные матрицы и векторы:

ГА Щ

FI=ФJCIФI + Dt,fl=гl

У, = Ь.

у,

О

,Г,=[ф,тС,Л( -Ф(тс,|,

]г, С,=сНа8(С„...,С,),

(12)

£>, - блочная трехдиагональная матрица с элементами - Д на побочной диагонали и Ю, - на основной.

Тогда критерий качества (7) в векторно-матричной записи имеет вид:

Л^„и1)=^Р,и1+и!/1+а„ (13)

где а, - постоянная, не зависящая от управляющих воздействий и оценок вектора состояния.

Таким образом, поиск оптимальных управляющих воздействий сводится к решению задачи квадратичного программирования.

В разделе 1.4 приведены результаты синтеза прогнозирующего управления для объектов с постоянными параметрами.

Разработанные алгоритмы реализованы на примерах прикладных задач, результаты которых приведены в разделе 1.5. Также показано, как модели прикладных задач могут быть сведены к общей модели и как может быть осуществлен синтез прогнозирующего управления. На примере задачи управления производством, хранением и поставками товара потребителям показана возможность учета ограничений на переменные управления и состояния. На примере решения задачи управления клапанами смесительной колонны проведен анализ влияния ограничений на поведение системы.

Во второй главе разработаны алгоритмы синтеза прогнозирующего управления дискретным объектом, в модели поведения которого присутствуют запаздывания.

В разделе 2.1 рассмотрен объект с запаздыванием по управлению, модель которого представлена следующими соотношениями:

•*/+1 = Ах, + Ви,_и + »;, ха=0 = , и, = — И,-1), (14)

V, = Их, у, = Сдг,, (15)

где А - величина запаздывания, ¡7, - заданные величины при Г = -й,-й+1,...,-1, с ограничениями вида:

а,(0<5,дс( <а2(/), ^(х1,1)<32и1_н<(р2(х„0. (16)

В отличие от известных методов решения в диссертации предлагается осуществлять синтез прогнозирующего управления без расширения пространства состоя-

ний. Для этого строится прогнозирующая модель, которая учитывает запаздывание, входящее в исходную модель:

ы ¡-1

__4=1 к=\

где ¡ = 2,М. Прогнозирующая модель может быть представлена в векторно-матричном виде:

X, = Ч>х1П1 + Р[/,_„ , Г, = Л*,+1|, + Ф1/,_А, (18)

где векторы X,, Уп и,_к состоят соответственно из прогнозируемых векторов состояния, выхода и управления (9), а блочные матрицы Ч', Л, Р, Ф сформированы из матриц Л, В и С.

Ограничения также записываются для прогнозирующей модели и приводятся в векторно-матричный вид:

«,(0*5,*, £А2(/), Ф,(Х„0 <ф2(1„0, (19)

где я,(?), д2(0> (*/»'). ФгС-^оО. определены в (11).

Синтез прогнозирующего управления осуществляется исходя из минимизации критерия, в который управление входит с запаздыванием:

1 2 I М 2

У'+кЧ "й+Х -"/-А+^Цд • (2°)

Л к=1 1 *=1 Данная целевая функция, представленная в векгорно-матричном виде, записывается следующим образом:

= + и1„/ + а,. (21)

где а, - постоянная, не зависящая от управляющих воздействий и оценок вектора состояния,

, Г = [фтСЛ -Фтс], (22) С = diag(C,...,C), О - блочная трехдиагональная матрица с элементами -О на

N

побочной диагонали и 2£> - на основной.

В результате получен критерий, квадратичный относительно управления с запаздыванием. Таким образом, решая задачу квадратичного программирования относительно вектора управления с учетом приведенных в векторно-матричный вид ограничений, определяются оптимальные управляющие воздействия без расширения пространства состояний.

В п. 2.1.5 рассмотрена задача управления экономической системой, предназначенной для производства, хранения и поставок товаров потребителям с включенными запаздываниями по управлению, для решения которой применен алгоритм синтеза прогнозирующего управления, предложенный в разделе 2.1.

^ = Ф СФ + £>,/ = Г

*<+1]/ У,

0 0

Синтезу прогнозирующего управления с учетом запаздывания по состоянию посвящен раздел 2.2, в котором исследовано два способа формирования прогнозирующей модели. Предполагается, что модель поведения объекта задана в виде:

= А + Е + в", + , д:,;,=, = х,., / = - г,0,

(23)

где г - величина запаздывания, х! считаются заданными при / = -/-,...,-1,0.

В п.п. 2.2.1 - 2.2.3 представлена методика учета запаздывания по состоянию на основе субоптимального экстраполятора. В данном случае при построении прогнозирующей модели в момент времени 7 векторы х, при / = / — г,/ — 1 считаются известными и рассматриваются как известные входящие сигналы. Таким образом, прогнозирующая модель описывается следующими линейно-разностными соотношениями:

к=1

>1

/-1

¿Ы1

(24)

к=1

у1+!, = С,Л>лх,^ + £ + ЛмВи„к[,,1 = 2, И, (25)

7=1 к=1

которые в векторно-матричной записи имеют вид:

/=1 /=1 где Х°ч = [£,_„, • • • х,т+,у_,к , - треугольная блочная матрица, состоящая из матрицЛ и А,, Л° = О1!',0.

Оптимальное решение задачи предлагается искать исходя из минимизации критерия, представленного в первой главе, который с учетом вида прогнозирующей модели может быть представлен квадратичной функцией следующего вида:

Л'х.ш = \ и?™, + и?/ + а,,

(27)

где а, - постоянная составляющая, не зависящая от V, и х1+],,, Г определена в (22),

/ = Г

Л<+1|(

У,

Пи,

о о

, Г=

ФТСЛ ФТС

ФТС -ФТС

(28)

По аналогии с предыдущими алгоритмами нахождение оптимальной последовательности управляющих воздействий с учетом ограничений на управление и состояние предложено реализовать с помощью процедуры quadpгog пакета прикладных программ МАТЬАВ.

В п. 2.2.4 приведено решение задачи синтеза прогнозирующего управления с запаздыванием по состоянию на основе оптимального экстраполятора. Для этого, применив подход расширения пространства состояний, исходная модель сводится к модели без запаздывания по состоянию. С помощью фильтра Калмана определяются оптимальные оценки вектора состояния и вектора выхода, на основе которых строится расширенная прогнозирующая модель, и осуществляется синтез управления. Данный подход может привести к значительному увеличению размерности прогнозирующей модели.

В п. 2.2.5 дано применение алгоритма синтеза прогнозирующего управления к решению задачи управления объектом второго порядка с запаздыванием на один такт с использованием оптимального и субоптимального экстраполяторов. В качестве исходной модели взята модель вида:

"0,85 0 " 0 0" "0,15"

х, + х1-1 +

0,8 0,95 - 0,9 0 «1 <ч о"

"0" "1 о"

0 , V, = 0 1 X, + V,,

У,

= [1 0>,,(/ = 0,...,100),

с ограничениями: -0,5< и, <0,5. Цель моделирования — определить такую последовательность управлений, при которой будет отслеживаться следующая траектория:

0,3 при / ^ 31,70;

-0,3 при /=31,70.

Моделирование проведено с использованием горизонтов управления и прогнозирования, равных 10. В качестве весовых коэффициентов выбраны С = £> = 1.

На рис. 1.1 представлена динамика поведения первой (отслеживаемой) компоненты вектора состояния. На рис. 1.2 приведен график динамики управляющих воздействий на объект.

О 10 20 30 40 50 60 70 30 50 Рисунок - 1. Динамика первой компоненты состояния

______— заданная траектория (желаемая);

_- первая компонента состояния.

« 10 20 30ТО50Ю70Я)90г

Рисунок - 2. Динамика управления объектом

______— ограничения на управление;

_______—управление с использованием субоптимального экстраполятора;_-управление с

использованием оптимачьного экстраполятора.

Из рис. 1 видно, что в условии запаздывания по состоянию желаемая траектория отслеживается как в случае использования оптимального, так и субоптимального экстраполятора, при этом ограничения на управление соблюдаются в обоих случаях (рис. 2). Результаты моделирования показали, что в рамках данной задачи результат применения оптимального экстраполятора практически совпадает с результатом, полученным с применением субоптимального экстраполятора, отличаясь не более, чем на 0,7%. На основе данного примера проведен анализ средних значений среднеквадратических ошибок оценивания и средних значений средне-квадратических ошибок слежения за выходом объекта для двух вариантов прогнозирующего управления и сделан вывод о том, что в условии запаздывания по состоянию желаемая траектория отслеживается как в случае использования оптимального, так и субоптимального экстраполятора.

В третьей главе решена задача синтеза прогнозирующего управления дискретной системой в условиях неполной информации о входах системы. Управление синтезировано с использованием оценок неизвестного входа. Предложено два варианта решения задачи в зависимости от уровня априорной информации.

Модель объекта с неизвестным входом, представленная в разделе 3.1, имеет

вид:

■*,+! = Ах, + Ви, + Ir, + И',,^,=Hx,+vl,y,=Gx,, х,|;=0 = х0, (29)

где rt <= R'1 - неизвестный входящий сигнал. В качестве неизвестного входа может быть принята погрешность линеаризации, возникающая при переходе от нелинейной модели к линейной, а также из-за возможных ошибок при определении матриц А и В.

Для построения прогнозирующей модели необходимо знать оценки неизвестного входа, для вычисления которых предложено использовать два алгоритма. Первый алгоритм, рассмотренный в п. 3.2.1, основан на применении калмановской фильтрации и требует иметь определенный уровень априорной информации о неизвестном входе г,, например, знать модель поведения неизвестного входа. Предполагается, что закон его поведения задается уравнением вида:

г,+1 rtt=0=r0> (30)

где R( - матрица, определяющая динамику в момент времени I, т, - случайная гауссовская величина с нулевым средним и ковариацией Т, г0 - случайный вектор начальных условий с известными характеристиками M{r0} = F0, M{(r0-r0)(r0-r0)T} = ^.

Применяя капмановскую фильтрацию, получаем выражения для определения оценок неизвестного входа:

I = RS, + К, (Vr+i - НАх,^ - НВи, - HIP,), г0 = г0, (31)

к, = р,Нт{НР,Нт + HWH1 + v)Р,+,={Еп-К,Н)Рп = (32)

Второй алгоритм оценивания неизвестного входа, рассмотренный в п. 3.2.2, базируется на применении модифицированного метода наименьших квадратов, который не требует знания модели неизвестного входа. Суть данного подхода

заключается в следующем. Вычисление значений прогноза состояния осуществляется как решение некоторой новой задачи оптимального управления, понимая под управлением значения неизвестного входа Р,. Критерий оптимальности строится исходя из минимума ошибок прогнозируемых оценок вектора состояния:

/=1 *

где Ск и Ок - симметричные, положительно определенные матрицы. Оптимизация критерия до текущего момента времени / сводится к минимизации критерия в каждый момент времени ¿ = 1,г. Получив оценки г0, г, и применив принцип Белл-мана для последующих шагов и метод математической индукции, получаем оценку неизвестного входа в момент времени /:

П \>м-НЛх^х-НВи,), ={1ТНТСКН1+ й^111 Нт С я. (34) Учитывая динамику оценок неизвестного входа, осуществляется прогнозирование поведения объекта и выхода системы:

хм,, = Амх1+1[, ^А-к-{Ви„к1+^А'-к-Чгпк , у,н, =&Ч„, ^ = (35)

к=I

где гпк - прогнозируемые величины неизвестного входа, которые строятся исходя из того, какой метод оценивания был выбран. В случае отсутствия априорной информации о поведении неизвестного входа его прогнозируемые величины могут быть построены на основе методов прогнозирования временных рядов. В случае, когда модель поведения неизвестного входа известна, целесообразно строить прогноз на основе уравнения динамики (30):

к = 2,И-\. (36)

На основе построенной прогнозирующей модели осуществляется синтез прогнозирующего управления, рассмотренный в разделе 3.3.

В разделе 3.4 дано применение результатов главы к решению задачи управления производством, хранением и поставками товаров потребителям с неизвестным входом в модели объекта:

Чм % = (37)

-0=^0, (38) где <7, е Л1, (/,_, - количество товара /-го типа у потребителя в момент времени / (1 = 1,7", /' = 1,5); г, , - количество товаров г'-го типа на складе производителя; со, , -объем производства товаров /-го типа; ф,,, — объем поставок товаров /-го типа; Ь,, (1, -неизвестные составляющие возмущений; векторные гауссовские случайные

последовательности (М{£,} = 0, = 0, = = ,

= 0); А и В — матрицы, определяющие динамику производства и потребления. В каждый момент времени / должны выполняться ограничения:

-т,„ < < -„ах, о < Ю, < С0тах, 0 < ф, < Г, . (39)

Задача состоит в том, чтобы по наблюдениям определить стратегию управления производством, хранением и поставками товара, обеспечивающей количество товаров у потребителя близкое к заданному вектору д, соблюдая ограничения.

Моделирование проведено для двух вариантов нахождения оценок неизвестного входа при постоянных неизвестных возмущениях для следующих исходных данных:

" 0,75 0 " , в = "0,3 0,1" "0,1" "1.5"

-0,25 0,9 0,2 0,8 > "шт од » Атах Л5.

0,8 0,2 0 1

Шп,ах = о,7. > "0 - 0,2 > Чо = 0 . <7 = _2_

, ю0 = ф0 =

0,1 0,1

¿ = [0,05 0,03]т, ¿/ = [0,04 0,02]т, Ь0 = (¿0= [о О]1, Е2, б = Е4,М = N = 10, Г = 30, РХо =

V/ = О, V = <^{0,0005; 0,0005; 0,0005; 0,0005}.

По результатам моделирования проведено сравнение разработанных алгоритмов.

Результаты численного моделирования с применением модифицированного МНК для построения оценок неизвестного входа приведены на рис. 3-6. Прогнозирование оценок неизвестного входа осуществлено с помощью линейной экстраполяции. Для улучшения качества оценок прогноза использован метод экспоненциального сглаживания.

<?2

Рисунок - 3. Динамика изменения количества товаров у потребителя

------- заданный уровень количество товара у потребителя;

_- количество товара у потребителя.

о

/ ' , 9:

...... ..........

О 10 20 30 "о 10 20 ЭЭ

Рисунок — 4. Динамика изменения количества товаров на складе и объемов поставок

_— количество товара на складе производителя;

------- объем поставок товаров;____- ограничения.

Фпш2

30 О 10 20

Рисунок - 5. Процессы изменения объемов производства товаров _- объем производства товара;____— ограничения

30

о 10 20 30 0 10 20 30 Рисунок - 6. Процессы изменения оценок неизвестных входных сигналов _- оценки входных сигналов;____- входные сигналы.

В четвертой главе предложены алгоритмы синтеза прогнозирующего управления дискретным объектом в условиях неполной информации о параметрах модели, уравнение которой может быть записано следующим образом:

х1+1 = А{0, )х, + В(в, )и, + IV,, х1}1=0 = х0, (40)

где 0,- неизвестный вектор; Л(0,) и Я(9,) - матрицы, определяющие динамику системы, линейно зависящие от вектора 0(. Задача состоит в том, чтобы по наблюдениям у, определить стратегию управления в условиях неполной информации о модели, при которой вектор выхода системы у, будет близок к заданному вектору

У,-

В разделе 4.2 показано, как осуществляется прогнозирование поведения объекта в условиях неполной информации о модели с использованием экстраполятора Капмана и оценок вектора состояния и вектора выхода:

х,+и< = А,х,,н + В,и, + К, (V, - //х,|м), у1+Ц, = Сх,

/+1|/> -Ч>|-1

(41)

К, = Л,Р,НТ {НРНт + К)"', (42)

Ры=»г+Л,Р1А^-А,Р,Нт[НР1Нт + У)-1НР1А^,Р0 = Рхо, (43)

где 4 = Л(в,) и = 5(0,) - матрицы, полученные в результате идентификации модели. Идентификацию модели (40) предложено осуществить с помощью фильтра Калмана или модифицированного метода наименьших квадратов. В случае, когда закон поведения неизвестного вектора может быть представлен уравнением вида: 0/+1=©<6, +т(, 0(М>=0о (®( - матрица, определяющая динамику неизвестного вектора в момент времени /, т, - случайная гауссовская величина с нулевым средним и ковариацией Т, 0О - случайный вектор начальных условий с известными характеристиками М{6О}=0О, М{(0О-0О)(0О-0о)т} = Р9о), оценка вектора

неизвестных параметров может быть построена с помощью фильтра Калмана (п 4.2.1): -ту к ■

0,+1 =©Л+^|(Ч/|+1-ДЙ,в,-Др<), 60=ё0, (44)

к, = 7>й7(й,]»пГ+ лж//т + г)~', Р^Щ+Т, 1> = (Е„-КД)РГ, =

где О, =0(*,м,М(), р( = р(*,|,_,,ы,), 0(х,,1',) и р(х,,и,) - матрица и вектор, полученные в результате представления вектора состояния в виде линейной зависимости от неизвестного вектора 0,:

хш=А(в!)х, +В(в,)и, =П(*„И,)9, +Р(х1,и,)+п,. (45)

В случае, когда определение модели поведения неизвестного вектора вызывает трудности, предлагается использовать модифицированный метод наименьших квадратов для идентификации параметров модели, который рассмотрен в п. 4.2.2. Оценки вектора неизвестных составляющих предлагается строить исходя из минимизации критерия вида:

= (46)

где С0 и Дэ - симметричные, положительно определенные матрицы. Таким образом, оценки неизвестного вектора определяются из следующего выражения:

9, = - Яр,). = (о,тЯтСв/Ю, (47)

Получив оценки неизвестного входа, строится прогнозирующая модель, и осуществляется синтез прогнозирующего управления, чему посвящен п. 4.2.3.

В разделе 4.3 дано применение разработанного алгоритма к решению задачи управления производством, хранением и поставками товаров.

В заключении диссертации приведены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработаны алгоритмы синтеза прогнозирующего управления выходом дискретных нестационарных объектов со случайными возмущениями и ошибками наблюдений при ограничениях на управляющие воздействия и состояния.

2. Разработаны алгоритмы синтеза прогнозирующего управления дискретными объектами с запаздываниями по управлению и состоянию, реализованные без расширения пространства состояний.

3. Решена задача синтеза прогнозирующего управления дискретной системой в условиях неполной информации о входах системы с использованием алгоритмов вычисления оценок неизвестного входа на основе фильтра Калмана и на основе модифицированного метода наименьших квадратов.

4. Разработаны алгоритмы синтеза прогнозирующего управления дискретными объектами при неполной информации о параметрах модели.

5. Алгоритмы апробированы при решении задач управления клапанами смесительной колонны и управления производством, хранением и поставками товаров потребителям.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Киселева (Приступа) М. Ю. Управление с прогнозирующей моделью с учетом запаздывания по управлению / М. Ю. Киселева (Приступа), В. И. Сма-гин // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2010. - № 2 (11). - С. 5-12.

2. Kiseleva (Pristupa) М. Y. Model predictive control of discrete systems with state and input delays / M. Y. Kiseleva (Pristupa), V. I. Smagin // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2011. - № 1 (14). - С. 5-12.

3. Приступа М. Ю. Прогнозирующее управление дискретными системами с неизвестным входом и его применение к задаче управления экономическим объектом / М. Ю. Приступа, В. И. Смагин // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. -2012.-№1(18).-С. 5-15.

4. Киселева (Приступа) М. Ю. Прогнозирующее управление производством, хранением и поставками товаров с учетом случайных факторов / М. Ю. Киселева (Приступа) // Научная сессия ТУСУР - 2009 : материалы докладов Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. -Томск: В-Спектр, 2009. - Ч. 4. - С. 273-275.

5. Киселева (Приступа) М. Ю. Управление производством, хранением и поставками товаров на основе прогнозирующей модели выхода системы / М. Ю. Киселева (Приступа), В. И. Смагин // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2009. -№2 (7).-С. 24-31.

6. Киселева (Приступа) М. Ю. Управление производством и поставками товаров с учетом запаздываний / М. Ю. Киселева (Приступа), В. И. Смагин // Инфор-

мационные технологии и математическое моделирование : материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием. - Томск : Изд-во Том. гос. ун-та, 2009. - С. 272-276.

7. Смагин В. И. Управление с прогнозирующей моделью с запаздыванием по состоянию / В. И. Смагин, М. Ю. Киселева (Приступа) // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ - 2010) : материалы IX Всероссийской научно-практической конференции с международным участием. - Томск : Изд-во Том. гос. ун-та, 2010. - С. 140-145.

8. Киселева (Приступа) М. Ю. Управление с прогнозирующей моделью с учетом запаздываний / М. Ю. Киселева (Приступа), В. И. Смагин // Новые информационные технологии в исследовании сложных систем : материалы VIII Российской конференции с международным участием. - Томск : Изд-во HTJI, 2010. - С. 74.

9. Киселева (Приступа) М. Ю. Прогнозирующее управление системой производства, хранения и поставками товаров с учетом случайных факторов и запаздываний / М. Ю. Киселева (Приступа), В. И. Смагин // Измерение, контроль, информатизация. (ИКИ - 2011): материалы XII Международной научно-технической конференции. - Барнаул : Изд-во АлтГТУ, 2011. - С. 177-179.

10. Приступа М. Ю. Дискретное прогнозирующее управление с запаздыванием по управлению и неизвестными возмущениями / М. Ю. Приступа, В. И. Смагин // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ - 2011) : материалы X Всероссийской научно- практической конференции с международным участием. - Томск: Изд-во Том. гос. ун-та, 2011. - С. 53-57.

11. Приступа М. Ю. Адаптивное управление системой производства, хранения и поставок товаров / М. Ю. Приступа, В. И. Смагин, Н. В. Смагина // Измерение, контроль, информатизация. (ИКИ - 2012) : материалы XIII Международной научно-технической конференции. - Барнаул : Изд-во АлтГТУ, 2012. - Т. 2. - С. 111-113.

12. Приступа М. Ю. Адаптация в дискретных системах с запаздыванием по управлению на основе прогнозирующей модели / М. Ю. Приступа // Научное творчество молодежи : материалы XVI Всероссийской научно-практической конференции. - Томск : Изд-во Том. гос. ун-та, 2012. - С. 116-119.

Подписано в печать 26.09.2012 г. Формат А4/2. Ризография Печ. л. 0,9. Тираж 100 экз. Заказ № 09/09-12 Отпечатано в ООО «Позитив-НБ» 634050 г. Томск, пр. Ленина 34а

ВВЕДЕНИЕ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ГЛАВА 1. ПРОГНОЗИРУЮЩЕЕ УПРАВЛЕНИЕ ВЫХОДОМ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА СОСТОЯНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ.

1.1. Постановка задачи для нестационарной системы.

1.2. Построение прогнозирующей модели для нестационарной системы.

1.3. Синтез прогнозирующего управления.

1.4. Прогнозирующее управление системой с постоянными параметрами

1.5. Применение алгоритма прогнозирующего управления к прикладным задачам.

1.5.1. Управление объектом второго порядка.

1.5.2. Управление смесительной колонной.

1.5.3. Моделирование системы производства, хранения и поставок товара потребителям.

1.6. Выводы по главе 1.

ГЛАВА 2. ПРОГНОЗИРУЮЩЕЕ УПРАВЛЕНИЕ ДИСКРЕТНЫМИ СИСТЕМАМИ С ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ ПО УПРАВЛЕНИЮ И СОСТОЯНИЮ.

2.1. Управление системами с запаздыванием по управлению.

2.1.1. Постановка задачи.

2.1.2. Прогнозирующая модель.

2.1.3. Синтез прогнозирующего управления.

2.1.4. Применение алгоритма прогнозирующего управления с запаздыванием по управлению к прикладным задачам. Управление объектом второго порядка.

2.1.5. Моделирование системы производства, хранения и поставок товара потребителям.

2.2. Управление системами с запаздыванием по состоянию.

2.2.1. Постановка задачи.

2.2.2. Прогнозирующая модель.

2.2.3. Синтез прогнозирующего управления.

2.2.4. Прогнозирующее управление с запаздыванием на основе оптимального экстраполятора.

2.2.5. Моделирование алгоритма прогнозирующего управления с запаздыванием по состоянию.

2.3. Управление системами с запаздыванием по управлению и состоянию.

2.3.1. Постановка задачи.

2.3.2. Применение субоптимального экстраполятора в задаче управления экономическим объектом.

2.4. Выводы по главе 2.

ГЛАВА 3. ПРОГНОЗИРУЮЩЕЕ УПРАВЛЕНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ О ВХОДЕ СИСТЕМЫ.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Прогнозирование поведения объекта.

3.2.1. Оценка неизвестного входа с использованием фильтра Калмана.

3.2.2. Оценка неизвестного входа с использованием модифицированного метода наименьших квадратов.

3.2.3. Реализация прогноза при неизвестном входе.

3.3. Синтез прогнозирующего управления при неизвестном входе.

3.4. Применение алгоритма к задаче управления системой производства, хранения и поставок товара потребителям.

3.5. Выводы по главе 3.

ГЛАВА 4. ПРОГНОЗИРУЮЩЕЕ УПРАВЛЕНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ О ПАРАМЕТРАХ МОДЕЛИ.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Прогнозирование поведения объекта в условиях неполной информации о модели.

4.2.1. Идентификация модели с использованием фильтра Калмана.

4.2.2. Идентификация модели с использованием модифицированного метода наименьших квадратов.

4.2.3. Реализация прогноза с учетом оцененных параметров модели.

4.3. Применение алгоритма к задаче управления системой производства, хранения и поставок товара потребителям.

4.4. Выводы по главе 4.

Актуальность исследования

Важной задачей, возникающей при синтезе систем управления, является проблема учета ограничений на компоненты вектора состояний и управления. В литературе по теории управления описано не так много методов, которые могут быть использованы при решении задач управления системами, функционирующих в условиях ограничений [4, 15, 17, 22, 52, 115 - 117].

Известно, что применение традиционных подходов к синтезу управления с обратной связью при ограничениях приводит к проблеме, названной Беллманом «проклятием размерности» [64], которая существенно затрудняет численное решение задачи. В связи с этим разработаны различные подходы к учету ограничений в динамических моделях, такие как включение в критерий качества штрафов за нарушение ограничений [63]; построение локально-оптимального управления [13, 21, 30, 36, 39], в которых вместо нахождения управления, оптимального в глобальном смысле, определяется управление для локального критерия, для которого учет ограничений упрощается.

Следует отметить, что управление на основе локальных критериев по своей сути является прогнозирующим управлением с горизонтом прогнозированием в один такт. Синтез локально-оптимального управления осуществляется на основе минимизации критериев в текущий момент времени либо исходя из условий минимума скорости изменения этого критерия.

Близкими к задачам локальной оптимизации являются также методы, рассмотренные в работах [18, 19, 35, 49, 55]. Однако наиболее перспективным методом, позволяющим учитывать ограничения, является метод управления с прогнозирующими моделями - Model Predictive Control (MPC) [15-17, 40, 59,

63, 65 -67, 69-71, 75, 77, 93, 95, 96, 102, 103, 108, 110, 111, 113- 117, 119], 5 который и рассматривается в настоящей диссертации. Учет ограничений при синтезе прогнозирующего управления осуществляется за счет сведения исходной задачи к задачам линейного или квадратичного программирования [45, 64, 73], для решения которых разработаны эффективные численные методы [12].

Важной проблемой в теории управления является также задача синтеза адаптивного управления. Первые идеи адаптации возникли в 30-е годы прошлого века при решении задач автоматической оптимизации производительности промышленных установок и задачи увеличения мощности двигателей внутреннего сгорания. Основной принцип автоматической оптимизации заключался в поиске и удержании системы на экстремуме ее статической характеристики. Отсюда и название класса систем с адаптацией в то время - «экстремальные системы». Значительный вклад в развитие теории систем с алгоритмами адаптивного управления внесли как зарубежные ученые: I.D.Landau [99], R. V. Monopoli [106], К. S. Narendra [107], В. Widrow, так и российские: Я. 3. Цыпкин [58], Б. Т. Поляк, А. А. Красовский [33, 34], В. А. Якубович, В. Н. Фомин, А. Л. Фрадков [14, 53, 54].

В последние десятилетия разработан ряд подходов к решению задач адаптивного управления по выходу, основанных на применении идей робастного управления (Я"-теория управления, Я00-управление) [66, 81, 103,

104, 115, 119], которое является одной из интенсивно развивающихся ветвей теории управления. Теория робастного управления является сравнительно молодой (первые работы появились в начале 80-х гг.) и возникла из насущных практических проблем синтеза многомерных линейных систем управления, функционирующих в условиях различного рода возмущений и изменений параметров. Одним из основных понятий в теории робастного управления является понятие неопределенности. Неопределенность объекта отражает неточность модели объекта, причем как параметрическую, так и структурную.

Важные результаты по теории робастного управления получены в работах

57, 58] и др. Для объектов с неопределенным описанием могут быть б применены также алгоритмы, использующие методы нечеткой логики и нейронные сети [1, 121], методы синтеза самоорганизующего оптимального регулятора [52], метод скоростного градиента [54]. Однако для всех рассмотренных методов серьезной проблемой является учет ограничений на состояние и управление объекта.

Управление на основе прогнозирующих моделей позволяет в полной мере осуществлять синтез систем управления с учетом ограничений на управляющие и управляемые переменные и, в то же время, учитывать неопределенности в задании моделей объектов и возмущений. Отметим также, что в условиях неопределенности для прогнозирования могут использоваться методы непараметрической статистики [11]. Такой подход, в частности, рассматривался при синтезе прогнозирующего управления в работе [20]. Интересными также являются результаты по применению метода АКАР (аналитическое конструирование агрегированных регуляторов) [31, 32], который может использоваться для решения задач управления в условиях неопределенности.

Метод прогнозирующего управления получил признание и широкое применение в практике управления сложными технологическими процессами. Основным достоинством данного метода, определяющим его успешное использование в практике систем управления, является относительная простота схемы формирования обратной связи и возможность учитывать прогнозируемую информацию, что позволяет управлять многомерными и многосвязными объектами со сложной структурой, проводить оптимизацию процессов в режиме реального времени с учетом ограничений на управляющие и управляемые переменные, а также учитывать неопределенности в задании модели объектов и возмущений.

Происхождение управления с прогнозирующими моделями связано с попытками создать метод управления, который отвечал бы требованиям ограничений и смог бы решить такие проблемы, как нелинейность и неопределенность параметров в модели объекта. С конца 70-х годов прошлого века начали появляться различные работы, отражающие интерес к применению 7 прогнозирующих управлений в промышленности. К этим работам можно отнести статью J. Richalet и др. [114] под названием «Эвристическое управление с прогнозирующими моделями», которое позже стало известно как «Алгоритмическое управление моделями», а также работу С. R. Cutler, В. L. Ramaker [76] о динамическом управлении. Формулировки, которые предложили J. Richalet, С. R. Cutler и В. L. Ramaker, были эвристическо-алгоритмическими и использовали возросший в то время вычислительный потенциал компьютеров.

Эти методы управления были тесно связаны с задачей оптимального управления за минимальное время и с линейным программированием. А. И. Пропой еще в 1963 году предложил принцип убывающего горизонта [45], одну из главных идей управления с прогнозирующими моделями в контексте «разомкнутой оптимальной обратной связи», который широко использовался в 70-х годах, в частности, при разработке универсальных алгоритмов оптимального управления, идея которых была сформулирована академиком АН СССР А. А. Красовским [33]. Универсальные алгоритмы оптимального управления формально получены в рамках теории аналитического конструирования оптимальных регуляторов с использованием критерия обобщенной работы.

Отметим также работы [73, 78, 109, 120], в которых выполнено дальнейшее развитие идеи прогнозирующего управления. В работе [109] «Саморегулирующееся управление на основе прогнозирования» был разработан алгоритм синтеза прогнозирующего управления на основе минимизации математического ожидания квадратичного критерия на заданном горизонте управления (конечный или асимптотически бесконечный), в работе [120] разработано адаптивное управление с расширенным горизонтом. R. М. С. De Keyser и A. R. Van Cauwenberghe предложили «самоадаптируемое управление с расширенным прогнозом» с подачей сигнала управления в текущий момент времени и проведением субоптимальной оптимизации [78]. В

73] D. W. Clarke и др. рассмотрели обобщенное прогнозирующее управление. 8

В 90-х годах появился ряд работ, посвященных новым методам прогнозирующего управления. Независимо появились метод «прогнозирующего управления с убывающим горизонтом при наличии ограничений» (D. W. Clarke, R. Scattolini) [74] и метод стабилизационного управления системой, имеющей входы-выходы, с убывающим горизонтом (L. Chisci и Е. Mosca) [72]. В. Kouvaritakis в 1992 году представил «эффективное робастное прогнозирующее управление» [97].

К настоящему времени выполнено достаточно много работ, так или иначе относящихся к проблеме оптимального управления с использованием прогнозирующих моделей. Метод прогнозирующего управления теперь применяется не только для систем с ограничениями. Его развивают в различных направлениях, например, В. W. Bequette [67], N. Poursafar, Н. D. Taghirad, М. Haeri [111], L. Magni и др. [103] разработали теорию управления с прогнозирующими моделями для нелинейных систем. A.G.Richards [115] рассмотрел метод МРС для систем с неопределенным описанием с учетом влияния запаздывания. В своей работе A. G. Richards разработал алгоритмы децентрализованного прогнозирующего управления (Decentralized МРС) для групп связанных подзадач, имеющих общие ограничения. Результаты экспериментов показали, что новый алгоритм децентрализованного прогнозирующего управления обеспечивает значительные вычислительные упрощения по сравнению с аналогичным централизованным управлением.

Большое внимание уделяется также задаче синтеза управления с прогнозированием для систем со случайными параметрами и мультипликативными возмущениями, в частности, важные результаты получены В. В. Домбровским, Д. В. Домбровским, Е. А. Ляшенко [15, 16].

В последние годы прогнозирующее управление стали применять и для систем с учетом запаздываний. В работах В. Marinescu, Н. Bourles [104] предложена стратегия управления системой со многими входами/выходами, функционирующей в дискретном времени, которая основана на свойстве 9

разделения управления и прогнозов. При синтезе управления учтены разного рода запаздывания по управлению и выходу системы. Управление системой осуществляется путем расширения пространства состояний. В. Marinescu и H. Bourles показали, что путем построения прогнозов на основе условно смещенного состояния затраты вычислительных ресурсов не зависят от величины запаздывания, а также можно избежать проблемы вырожденности матрицы, составленной из прогнозов состояний.

В настоящее время сфера практического применения методов управления с прогнозирующими моделями существенно расширилась, охватывая не только разнообразные технологические процессы в химической и нефтяной индустрии [63], целлюлозно-бумажной промышленности, в современных системах энергетики [104], в управлении водными ресурсами и т.д., но и нейронные сети [69], автоматическое управление движущимися объектами, роботами [98] и экономические процессы. К последним относятся управление портфелем ценных бумаг [15-17] и управление складскими запасами [40, 59, 75, 77, 79, 92, 100, 108, 112, 119]. Развитие автоматического управления движущимися объектами ведется в направлении разработки навигационных систем для сельскохозяйственной техники [62], автоматического управления летательными аппаратами [37, 47, 71, 93].

Основной принцип метода прогнозирующего управления представлен на рис. 0.1.

Рисунок - 0.1. Основная структура прогнозирующего управления.

В настоящее время существует много подходов к синтезу управления с прогнозирующими моделями, но все они имеют общие составляющие. Первая из них - это модель для прогнозирования будущего поведения объекта на основе имеющейся информации о системе и предложенном оптимальном управлении. Управляющие сигналы ищутся на так называемом горизонте управления М в блоке управления (оптимизации), учитывая целевую функцию (предполагается, что в нее включены будущие погрешности отслеживания) и ограничения, в рамках которых функционирует система. Модель играет важную роль в управлении - она должна как можно корректнее описывать динамику процесса, чтобы спрогнозированное поведение объекта было максимально точным, и в то же время быть простой в использовании. Прогнозирование выполняется на протяжении ограниченного временного промежутка, начиная с текущего момента времени и продолжая до некоторого момента времени в будущем, который называется горизонтом прогнозирования

Оптимизатор является другой фундаментальной составляющей стратегии управления, поскольку он, решая оптимизационную задачу, определяет последовательность управляющих воздействий на протяжении всего горизонта управления, минимизируя при этом затраты и соблюдая ограничения на входящие сигналы и на состояние. При использовании управления с прогнозирующими моделями описанная выше оптимизация выполняется на каждом временном шаге, но только первый элемент последовательности оптимальных управляющих воздействий подается на объект. На следующем шаге фиксируются новые измерения, проводится оптимизация и прогнозирование на новых горизонтах, увеличенных на один шаг (рис. 0.2). прошлое прогнозируемое повеление объекта вычисленное в момент времени ! выходы системы о уду шее заданный сн1 на! прогнозируемое поведение объекта. вычисленное в момент времени Л , V

I оризонт прогнозирования шах гшп правление в прошлом горизонт управления

Рисунок - 0.2. Временная диаграмма управления с прогнозирующими моделями.

Если целевая функция квадратичная, то минимум определяется в виде явной функции от прошлых управляющих сигналов, выходов и заданной траектории. При наличии ограничений в виде неравенств решение находится более затратными в вычислительном смысле алгоритмами. Сложность оптимизационной задачи зависит от количества переменных и используемых горизонтов прогнозирования и управления и обычно сводится к упрощенной оптимизационной задаче, не требующей изощренного написания кода. Однако время, необходимое для решения задачи в случаях робастности и ограничений, может значительно превышать время, необходимое при управлении системой с отсутствием ограничений. Соответственно существенно сокращается ширина полосы пропускания процесса, к которому применяется прогнозирующее управление.

Выводы по обзору:

Основным достоинством прогнозирующего управления, определяющим его успешное использование в практике систем управления, является относительная простота схемы формирования обратной связи в сочетании с высокими адаптивными свойствами. Благодаря высоким адаптивным свойствам, используя данный подход, можно управлять многомерными и многосвязными объектами со сложной структурой, проводить оптимизацию процессов в режиме реального времени с учетом ограничений на управляющие и управляемые переменные, а также учитывать неопределенности в задании моделей объектов и возмущений.

В настоящее время управление на основе прогнозирующих моделей продолжает находиться на стадии интенсивного развития, о чем свидетельствует обширная библиография опубликованных за последние годы научных работ, посвященных данной проблеме. Развитие идей прогнозирующего управления происходит в направлении использования нелинейных моделей, придания робастных свойств замкнутой системе управления, применения современных оптимизационных методов в режиме реального времени, рассмотрения систем при наличии разного рода возмущений, ограничений на объект и другие. Однако следует отметить, что недостаточно внимания уделяется задачам синтеза прогнозирующего управления выходом объекта при наличии запаздываний и неопределенностей в описании модели объекта, а также при косвенных измерениях вектора состояния.

Также проведенный обзор литературы позволяет сделать вывод о том, что управление с прогнозирующими моделями широко используется при управлении технологическими процессами в промышленности. В последние годы наблюдается возросший интерес к задачам производственно-складского типа и методам их решения. Одним из самых распространенных методов при решении подобных задач является управление с прогнозирующими моделями. В этих задачах также остаются нерешенные проблемы управления производством при наличии возмущений, действующих на систему, запаздываний и неопределенностей при описании модели.

Объект исследования. Управляемые стохастические дискретные нестационарные динамические системы с возмущениями, функционирующие в условиях неполной информации о состоянии, параметрах, при неизвестном входе и с учетом возможных запаздываний в управлении и состоянии.

Предмет исследования. Алгоритмы слежения выходом системы за заданной траекторией, построенные на основе прогнозирующего управления.

Цель диссертационной работы заключается в разработке алгоритмов синтеза управления выходом дискретными линейными системами, функционирующих в условиях ограничений на основе прогнозирующих моделей; решение задачи прогнозирующего управления при наличии возмущений в системе, запаздываний по состоянию и управлению, а также решение задачи синтеза прогнозирующего управления в условиях неполной информации об объекте.

Для заданной цели поставлены и решены следующие основные задачи исследования:

1. Разработать алгоритм синтеза прогнозирующего управления выходом дискретного нестационарного объекта с аддитивными возмущениями при косвенных наблюдениях в условиях ограничений на управляющие воздействия и состояние.

2. Синтезировать прогнозирующее управление объектом при наличии запаздываний по управлению и состоянию без расширения пространства состояний.

3. Решить задачу синтеза прогнозирующего управления дискретной системой при наличии неизвестного входного сигнала.

4. Разработать алгоритм управления дискретной системой с неопределенными параметрами с использованием прогнозирующей модели.

5. Выполнить апробацию алгоритмов с помощью вычислительных экспериментов.

Методы исследования

Для достижения поставленных в диссертационной работе целей были использованы аппарат теории управления, теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, методы имитационного моделирования. Численные расчеты и анализ результатов моделирования проведены с помощью системы МАТЬАВ.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем:

Найдены законы управления дискретными нестационарными объектами на основе использования прогнозирующих моделей, обеспечивающие отслеживание выходом объекта заданной траектории в условиях неполной информации о состоянии, возмущениях, параметрах модели и с учетом ограничений и запаздываний по управлению и состоянию. Задачи управления для объектов с запаздываниями решены без расширения пространства состояний.

Теоретическая значимость диссертационного исследования состоит в развитии теории прогнозирующего управления выходом дискретных линейных систем при ограничениях на управляющие воздействия и состояние с запаздываниями без расширения пространства состояний, а также развитие адаптивных методов решения задач управления.

Практическая ценность работы определяется тем, что разработанные и апробированные в рамках диссертационной работы методы и алгоритмы могут

15 применяться в различных предметных областях, в которых модели управляемых объектов могут содержать запаздывания, ограничения, неизвестные возмущения и параметры, в частности, в производственных, технических и экономических системах (например, при решении задач производственно-складского типа).

Результаты исследований используются в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета.

Достоверность полученных результатов, содержащихся в диссертации, подтверждается тем, что математические выкладки проведены на строгом математическом уровне с использованием аппарата линейной алгебры, теории управления и теории вероятностей и математической статистики, а также результатами численных расчетов.

Личное участие автора заключается в получении результатов, изложенных в диссертации. Постановка указанных задач сделана научным руководителем, д.т.н., профессором В. И. Смагиным. Основные теоретические результаты, а также результаты численного моделирования, представленные в диссертации, получены лично автором.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 152 страницы, в том числе 45 рисунков, 2 таблицы; список литературы насчитывает 121 наименование.

Основные результаты диссертационной работы:

1. Разработаны алгоритмы синтеза прогнозирующего управления выходом дискретных нестационарных объектов со случайными возмущениями и ошибками наблюдений при ограничениях на управляющие воздействия и состояния.

2. Разработаны алгоритмы синтеза прогнозирующего управления дискретными объектами с запаздываниями по управлению и состоянию, реализованные без расширения пространства состояний.

3. Решена задача синтеза прогнозирующего управления дискретной системой в условиях неполной информации о входах системы с использованием алгоритмов вычисления оценок неизвестного входа на основе фильтра Калмана и на основе модифицированного метода наименьших квадратов.

4. Разработаны алгоритмы синтеза прогнозирующего управления дискретными объектами при неполной информации о параметрах модели.

5. Алгоритмы апробированы при решении задач управления клапанами смесительной колонны и управления производством, хранением и поставками товаров потребителям.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Аверкин А. Н., Батыршин И. 3., Блишун А. Ф. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. М.: Наука, 1986.

2. Амосов А. А., Колпаков В. В. Скалярно-матричное дифференцирование и его применение к конструктивным задачам теории связи // Проблемы передачи информации. 1972. - № 1. - С. 3-15.

3. Баландин Д. В., Коган М. М. Линейно-квадратичные и у-оптимальные законы управления по выходу // Автоматика и телемеханика. 2008. -№ 6. - С. 5-14.

4. Баландин Д. В., Коган М. М. Синтез линейных законов управления при фазовых ограничениях // Автоматика и телемеханика. 2009. - № 6. -С. 48-57.

5. Баландин Д. В., Коган М. М. Синтез субоптимального регулятора по выходу для гашения ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. 2011. - № 4, - С. 3-10.

6. Барабанов А. Е., Лукомский Ю. А., Мирошниченков А. Н. Адаптивная фильтрация при неизвестной интенсивности возмущений и шумов измерений // Автоматика и телемеханика. 1992. - № 11, - С. 93-101.

7. Бобцов А. А. Алгоритм управления по выходу с компенсацией гармонического возмущения со смещением // Автоматика и телемеханика. 2008. - № 8. - С. 25-32.

8. Бобцов А. А., Капитонов А. А., Николаев Н. А. Управление по выходу нелинейными системами с неучтенной динамикой // Автоматика и телемеханика. 2010. - № 12, - С. 3-10.

9. Бронников А. М., Буков В. Н. Условия точного слежения выхода линейной системы за эталонной моделью пониженного порядка // Автоматика и телемеханика. 2008. - № 3, - С. 60-69.

10. Бунич A. JI. Минимаксная прогнозирующая модель в системе управления с идентификатором // Автоматика и телемеханика. 2006. -№ 7,-С. 120-132.

11. Васильев В. А., Добровидов A.B., Кошкин Г. М. Непараметрическое оценивание функционалов от распределений стационарных последовательностей. М.: Наука, 2004. - 508 с.

12. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985.-509 с.

13. Дегтярев Г. JL, Ризаев И. С. Синтез локально-оптимальных алгоритмов управления летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1991. -304 с.

14. Деревицкий Д. П., Фрадков А. Л. Прикладная теория дискретных систем управления. М.: Наука, 1981. - 216 с.

15. Домбровский В. В., Домбровский Д. В., Ляшенко Е. А. Управление с прогнозированием системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами и применение к оптимизации инвестиционного портфеля // Автоматика и телемеханика. 2005. -№ 5. С. 84-97.

16. Домбровский В. В., Объедко Т. Ю. Управление с прогнозированием системами с марковскими скачками при ограничениях и применение к оптимизации инвестиционного портфеля // Автоматика ителемеханика. -2011. № 5, - С. 96-112.139

17. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. - 495 с.

18. Изерман Р. Цифровые системы управления. -М.: Мир, 1984. 175 с.

19. Кабанов С. А. Управление системами на прогнозирующих моделях. -СПб.: Изд-во С.-Пб. ун-та, 1997.-200 с.

20. Казаков И. Е. Оптимизация управления в нелинейной стохастической системе по локальному критерию // Изв. РАН Теория и системы управления. 1996. - № 6. - С. 102-109.

21. Карамзин Д. Ю. Принцип максимума в задаче управления при ограниченных фазовых координатах // Автоматика и телемеханика. -2007,-№2.-С. 26-38.

22. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.-65 с.

23. Киселева М. Ю., Смагин В. И. Управление производством ипоставками товаров с учетом запаздываний // Материалы VIII

24. Всероссийской научно-практической конференции с международным140участием "Информационные технологии и математическое моделирование". Изд-во ТГУ, 2009. -С. 272-276.

25. Киселева М. Ю., Смагин В. И. Управление с прогнозирующей моделью с учетом запаздывания по управлению // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. - №2(11). - С. 5-12.

26. Киселева М. Ю., Смагин В. И. Управление с прогнозирующей моделью с учетом запаздываний // Материалы VIII Российской конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных систем». Томск: Изд-во НТЛ, 2010. С. 74.

27. Коган М. М., Неймарк Ю. И. Об оптимальности локально-оптимальных решений линейно-квадратичных задач управления и фильтрации // Автоматика и телемеханика. -1992. -№ 4. С. 101-1 10.

28. Колесников A.A. Синергетические методы управления сложными системами: теория системного синтеза. М.: Едиториал УРСС, 2005. -230 с.

29. Колесникова С. И. Использование апостериорной информации для управления слабоформализованным динамическим объектом // Автометрия. 2010. - Т.46. - № 6. - С. 78-89.

30. Красовский А. А. Динамика непрерывных самонастраивающихся систем. М.: Физматтиз, 1963. - 468 с.

31. Красовский А. А., Буков В. Н., Шендрик В. С. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами. М.: Наука, 1977.-272 с.

32. Кунцевич В. М., Лычак М. М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: Наука, 1977. - 400 с.

33. Моисеев Н. Н. Численные методы в теории оптимальных систем. -М.: Наука, 1971.-448 с.

34. Наумов А. И. Применение аналитических прогнозирующих моделей в системе управления летательных аппаратов и в авиационных тренажерах // Автоматика и телемеханика. 2001. - № 7, - С. 93-101.

35. Параев Ю. П., Перепелкин Е. А. Линейные матричные уравнения в задачах анализа и синтеза многосвязных динамических систем // Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2000. -120 с.

36. Параев Ю. И., Перепелкин Е. А. Локально-оптимальное управление системами с переменной структурой // Известия РАН. Теория и системы управления. 2000. - № 1. - С. 91-94.

37. Перепелкин Е. А. Прогнозирующее управление экономической системой производства, хранения и поставок товара потребителям // Экономика и математические методы. 2004. Т. 40. - № 1. -С 125-128.

38. Приступа М. Ю. Адаптация в дискретных системах с запаздыванием по управлению на основе прогнозирующей модели. // Материалы XVI Всероссийской научно-практической конференции "Научное творчество молодежи". Изд-во ТГУ, 2012. - С. 116-119.

39. Пропой А. И. Применение методов линейного программирования для синтеза импульсных автоматических систем // Автоматика и телемеханика. 1963. -№ 7. - С. 912-920.

40. Рубан А. И. Идентификация и чувствительность сложных систем. -Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1982. - 302 с.

41. Сизых В. Н. Методы и алгоритмы оптимизации интегрированной системы управления летательного аппарата на основе прогнозирующих моделей: Автореф. дис. докт. тех. наук. Иркутск, 2012. 42 с.

42. Смагин В. И., Параев Ю. И. Синтез следящих систем управления по квадратичным критериям. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1996. - 171 с.

43. Смагин C.B. Фильтрация в линейных дискретных системах с неизвестными возмущениями // Автометрия. 2009. - Т. 45, N 6. -С. 29-37.

44. Справочник по теории автоматического управления / Под редакцией А. А. Красовского. М.: Наука, 1987. - 712 с.

45. Фомин В. Н., Фрадков А. Л., Якубович В. А. Адаптивное управление динамическими объектами. -М: Наука, 1981. 448 с.

46. Фрадков А. Л. Адаптивное управление в сложных системах. -М: Наука, 1990.-296 с.

47. Фурасов В. Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов. -М.: Наука, 1975.-495 с.

48. Хартовский В. Е. Задачи идентификации и управления выходом для систем с запаздываниями // Автоматика и телемеханика. 2011. - № 5. -С. 17-31.

49. Хлебников М. В. Подавление ограниченных внешних возмущений: линейный динамический регулятор по выходу // Автоматика и телемеханика. 2011. - № 4. - С. 27-42.

50. Цыгжин Я. 3. Синтез робастно оптимальных систем управления объектами в условиях ограниченной неопределенности // Автоматика и телемеханика. 1992. -№ 9.-С. 139-159.

51. Aggelogiannaki Е., Doganis Ph., Sarimveis Н. An Adaptive Model Predictive Control configuration for Production-Inventory Systems // International Journal of Production Economics. 2008. - Vol. 114. -P. 165-178.

52. Astrom K., Eykhoff P. System identification. A survey // Automatica. -1971. Vol. 7.-P. 123-162.

53. Athans M. The matrix minimum principle. Information and Control, 1968. - Vol. 11. - N. 5/6. - P. 592-606.

54. Вас km an J., Oksanen Т., Visala A. Navigation system for agricultural machines: Nonlinear Model Predictive path tracking Original Research Article // Computers and Electronics in Agriculture, Volume 82, March -2012. P. 32-43.

55. Batina I. Model predictive control for stochastic systems by randomized algorithms: thesis Ph.D. Dutch Institute of Systems and Control. -Eindhoven.-2004,- 146 p.

56. Bellman R. E. Adaptive control processes. A guided tour // Princeton University Press, Princeton, NJ. 1961. - 255 p.

57. Bemporad A., Borrclli F., Morari M. Model predictive control based on linear programming. The explicit solution // IEEE Trans, on Automat. Contr.2002.-Vol. 47,-N 12.-P. 1974-1985.

58. Bequette B. W. Non-Linear model predictive control: A personal retrospective // Journal of Chemical Engineering. 2007. - Vol. 85, - N 4. -P. 408-415.

59. Brammer K., Siffling G. Kalman-Bucy Filters // Norwood, MA. Artech House, Inc. 1989.- 391 p.

60. Braun M. W., Rivera D. E., Flores M. E., Carlyle W. M., Kempf K. G. A model predictive control framework for robust management of multi-product, multi-echelon demand networks // Annual Reviews in Control.2003. Vol. 27, N 2. - P. 229-245.

61. Camacho E. F., Bordons C. Model predictive control. London: SpringerVerlag, 2004. - 405 p.

62. Castillo C. L., Moreno W., Valavanis K. P. Unmanned helicopter waypoint trajectory tracking using model predictive control // Proc. of the 15lh Mediterranean Conference on Control & Automation. Athens-Greece. July 27-29, 2007. -T27-018.

63. Chisci L. and Mosca E. Stabilizing input-output receding horizon control of CARMA plants // IEEE Trans. Automat. Contr. 1994. - Vol. 39, N 3. -P. 614-618.

64. Clarke D. W., Mohtadi C., Tuffs P.S. Generalized predictive control: I The basic algorithm and II - Extensions and interpretations // Automatica. -1987. - Vol. 23, N 2. - P. 137-160.

65. Clarke D. W., Scattolini R. Constrained receding-horizon predictive control // Proc. I EE-Part D, Control Theory and Applications. 1991. - Vol. 138, N 4. - P. 347-354.

66. Conte P., Pennesi P. Inventory control by model predictive control methods // Proc. 16th IFAC World Congress. Prague. 2005. - P. 1-6.

67. Cutler C.R., Ramaker B. L. Dynamic Matrix Control a Computer Control Algorithm. AIChE 86th National Mtg, Houston, TX, Apr. - 1979.

68. Darouach M., Zasadzinski M., Xu S. J. Full-order observers for linear systems with unknown inputs // IEEE Trans. Automat. Contr. -1999. -Vol. AC-39. -P. 606.

69. De Keyser R. M. C., Van Cauwenberghe A. R. Extended prediction self-adaptive control // IFAC Symp. on Identification and System Parameter Estimation, York. 1985. - P. 1255-1260.

70. Doganis Ph., Aggelogiannaki E., Sarimveis H. A Model Predictive Control and Time Series Forecasting Framework for Supply Chain Management // World Academy of Science, Engineering and Technology. 2006. - N 15. -P.70-74.

71. Friedland B. Treatment of bias in recursive filtering // IEEE Trans. Automat. Contr. 1969. V.AC-14. P. 359-367.

72. Furqan Tahir F., Jaimoukha I. M. Robust model predictive control through dynamic state-feedback: An LMI Approach // Proc. 18th IFAC World Congress Milano. 2011. - P. 3672-3677.

73. Gillijns S., Moor B. Unbiased minimum-variance input and state estimation for linear discrete-time systems // Automatica. 2007. -Vol. 43. - P. 111116.

74. Guo L. Self-convergence of weighted least-squares with applications to stochastic adaptive control // IEEE Trans. Automat. Contr. 1996. -V. AC-41.-P. 79-89.

75. Hou M., Patton R. Optimal filtering for systems with unknown inputs // IEEE Trans. Automat. Contr. -1998. Vol. AC-43. - P. 445-449.

76. Hsieh C.-S. A unified solution to unbiased minimum-variance estimation for systems with unknown inputs // Proc.l 7th World Congress The International Federation of Automatic Control. Seoul. Korea. July 6-11, 2008. -P. 14502-14509.

77. Hsieh C.-S. Extension of the optimal unbiased minimum-variance filter for systems with unknown inputs // Proc. 15th IEEE International Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems. Tokushima. Japan. 2007. -P. 217-220.

78. Hsieh C.-S. Robust parameterized minimum variance filtering for uncertain systems with unknown inputs // Proc. American control conference. New York.-2007.-P. 5118-5123.

79. Hsieh C.-S. Robust two-stage Kalman filters for systems with unknown inputs // IEEE Trans. Automat. Contr. -2000. -Vol. AC-45. P. 2374-2378.

80. Janczak D., Grishin Y. State estimation of linear dynamic system with unknown input and uncertain observation using dynamic programming // Control and Cibernetics. 2006. - Vol. 35(4), - P. 851-862.

81. Kalman R. E., Busy R. A new results in linear filtering and prediction theory // Trans. ASME J. Basic Engr. 1961,-Vol. 83.-P. 95-108.

82. Kanev S. Verhaegen M. Robust Output-Feedback Integral MPC: A Probabilistic Approach // Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control. 2003. - P. 1914-1919.

83. Kapsiotis G., Tzafestas S. Decision making for inventory/production planning using model-based predictive control // Parallel and distributed computing in engineering systems. Elsevier Science Inc., NY, 1992. -P. 551-556.

84. Kashiwagi H., Li Y. Nonparametric nonlinear model predictive control // Korean Journal of Chemical Engineering, 2004. Vol. 21. - N. 2. - P. 329337.

85. Kiseleva M. Y., Smagin V. I. Model predictive control of discrete systems with state and input delays // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. -2011.-№ 1(14). С. 5-12.

86. Kobayashi К, Imura J. Modeling of discrete dynamics for computational time reduction of model predictive control // Proc. of 17th International Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems, Kyoto, Japan.-2006.-P. 628-633.

87. Kobayashi K., Imura J., Hiraishi K. Stabilizing model predictive control of hybrid systems with discrete dynamics // Proc. of the ICROS-SICE International Joint Conference. 2009. - P. 4831-4836.

88. Kouvaritakis В., Rossiter J. A., Schuurmans J. Efficient robust predictive control // Proc. of American Control Conference. San Diego, California, -1999. P. 4283-4287.

89. Kuhne F., Lages W. F., Gomes da Silva Jr. J. M. Mobile robot trajectory tracking using model predictive // VII SBAI / II IEEE LARS. Sao Luis, setembro de 2005.

90. Landau I.D. A survey of model reference adaptive techniques theory and applications//Automatica. 1974.-Vol. 10. - P. 353-379.

91. Lin P. H., Jang S.S., Wong D.S.H. Predictive control of a decentralized supply chain unit // Industrial Engineering & Chemistry Research. 2005. -Vol. 44,- P. 9120-9128.

92. Ling X., Haldar A. Element level system identification with unknown input with Rayleigh damping // Journal of Engineering Mechanics. 2004. -Vol. 130. -N. 8.-P. 877-885.

93. Maciejowski J.M. Predictive control with constraints // Prentice Hall. -2002. -331 p.

94. Magni L., De Nicolao G., Scattolini, R. and Allgower F. Robust model predictive control for nonlinear discrete-time systems // Int. J. Robust Nonlinear Control, 2003. Vol. 13. - P. 229-246.

95. Marinescu В., Bourles H. Robust state-predictive control with separation property: A reduced-state design for control systems with non-equal time delays // Automatica. 2000. - Vol. 36. - P. 555-562.

96. Matlab 7. Основы работы и программирования. Учебник. // Под редакцией Поршнева С. В. Издательство «Бином. Лаборатория знаний», -2006. -320 с.

97. Monopoli R. V. Model reference adaptive control with an augmented error signal // IEEE Trans. Automat. Contr. 1974. - Vol. AC-19. - P. 474-484.

98. Narendra K. S., Valavani L. S. Direct and indirect model reference adaptive control // Automatica. -1979. Vol. 5(6). P. 653-664.

99. Perea Lopez E., Ydstie В. E., Grossmann I. A model predictive control strategy for supply chain management // Computers & Chemical Engineering. -2003,- Vol. 27, N. 8. P. 1201-1218.

100. Peterka V. Predictor-based self-tuning control // Automatica. 1984. -Vol. 20.-P. 39-50.

101. Potocnik В., Music G., Zupancic B. Model predictive control of discrete-time hybrid systems with discrete inputs // ISA Transactions. 2005. Vol. 44(2)-P. 199-211.

102. Richards A. G. Robust constrained model predictive control: thesis Ph.D. Massachusetts Institute of Technology, Dept. of Aeronautics and Astronautics. Massachusetts. - 2005. - 209 p.

103. Sin K. S. Goodwin G. C. Stochastic adaptive control using a modified least squares algorithm // Automatica. 1982. -Vol. 18. - P. 315-321.

104. Wang W., Rivera D. E., Kempf K. G. A novel model predictive control algorithm for supply chain management in semiconductor manufacturing // Proc. of American Control Conference. Portland, OR. - 2005. - P. 208213.

105. Ydstie B. E. Extended horizon adaptive control // 9th IPAC World Congress, Budapest. 1984. - P. 91 1-915.

106. Zadeh L. A. Toward a theory of fuzzy information granulation and its centrality in human reasoning and fuzzy logic // Fuzzy Sets and Systems. -1997. September. - Vol. 90. -N. 2. - P. 1 1 1-127.