автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы расчета неаддитивных функционалов в прикладных задачах радиационной физики

На правах рукописи

Цветков Егор Александрович

МЕТОДЫ РАСЧЕТА НЕАДДИТИВНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ В ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ РАДИАЦИОННОЙ ФИЗИКИ

Специальность: 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 8 МАР 2013

.Москва - 2013

005051180

005051180

Работа выполнена и Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)» г . ..,

Научный руководитель:

кандидат технических наук, заместитель начальника НИЦ нанотех-нологий ФГУП «ЦНИИХМ» по научной работе ^ .

Шаховский Валентин Владимирович,

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Физика» МГТУ «Станкин»

Кольчужкин Анатолий Михайлович,

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой статистического моделирования матема-Ьжо-мёхаНического факультета СПбГУ '■" Ермаков Сергей Михайлович,

Ведущая организация: :

Институт прикладной математики имени М.'/В/ Келдыша Российской академии наук. -'•

Защита состоится 29 марта 2013 года в"10' часов на заседании диссертационного совета Д 201.003.01 при ГНЦ'РФ - ФЭИ имени А. И. Лейпунского по адресу: 249033, Калужская' обл.; Н Обнинск, ил. Бондаренко. д. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РНЦ РФ - ФЭИ имени А. И. Лейпунского. :: .: :■ ( ■,

Автореферат разослан « 2 / » ^{'¿^с/Р 201^ Года. Ученый секретарь

диссертационного совета '' Верещагина Т. Н.

Общая характеристика работы

Актуальность

В настоящее время интерес к разработке приборов, регистрирующих ядерное излучение, постоянно растёт. Успехи в области создания новых сцинтилляциоиных материалов позволяют улучшить такие характеристики приборов, работающих по схемам совпадений, как отношение сигнал-шум и пространственное разрешение. Областями человеческой деятельности, в которых используются схемы совпадений, являются гамма-астрономия, обеспечение безопасности (досмотр грузов и контейнеров, экологическая безопасность), медицина и другие.

В сфере обеспечения безопасности особенно важным направлением является разработка технических средств, позволяющих производить досмотр грузов, не вскрывая контейнеры. При разработке подобных технических средств выбор принципа их работы всё чаще производится в пользу метода меченых нейтронов (ММН). В ММН инспектируемый объём облучается нейтронами с энергиями около 14 МэВ, неупругое рассеяние которых порождает вторичное гамма-излучение. По измерениям его амплитудно-временного спектра можно идентифицировать вещество, находящееся в инспектируемом объёме, путём сравнения спектра гамма-излучения с базовыми спектрами известных веществ. Интроскопы, работающие по методу меченых нейтронов, разрабатываются, например, в Радиевом институте им. Хлопина (г. Санкт-Петербург) и в НПЦ «Аспект» (г. Дубна). Проект стран Евросоюза ЕШ11Т11АСК является ещё одним примером реализации метода меченых нейтронов.

Комитоновский гамма-спектрометр позволяет определять направление прилёта и энергию гамма-квантов. Ярким примером такого прибора является гамма-телескоп СОМРТЕЬ, работающий по схеме двойных рассеяний. Приборы на основе комптоновских гамма-спектрометров позволяют получить трёхмерную картину распределения источников гамма-излучения с энергиями от 10 кэВ до 10 МэВ в некотором объёме, что делает их применение интересным в медицинской томографии и в сфере экологической безопасности. Параметры и условия работы прибора должны быть выбраны так, чтобы минимизировать количество ложных совпадений, регистрируемых прибором.

Разработка цовых приборов, как правило, включает в себя этап расчётно-теоретического обоснования их параметров и характеристик. Для этого обычно применяется метод Монте-Карло, в котором вычисляется среднее значение некоторого функционала на множестве ветвящихся траекторий. В зависимости от поставленной задачи функционал

может выражать ту или иную характеристику ноля излучения (например, ток или поток частиц через поверхность, количество столкновений в элементе объёма) или описывать отклик моделируемого прибора.

Основными: преимуществами метода Монте-Карло являются возможность работы со сложными геометрическими конфигурациями расположения объектов в задаче, возможность работы с наиболее полными ■ моделями переноса частиц и имитационными моделями приборов.

В методе Монте-Карло моделируются траектории частиц с учётом их рассеяния, размножения и поглощения. Если при моделировании траекторий частиц используется физическая плотность вероятности переходов в моделируемом процессе распространения частиц, то такой метод Монте-Карло называется аналоговым. . -

В некоторых случаях для достижения приемлемой статистической погрешности расчётов, проводимых аналоговыми методами Монте-Карло, требуется огромное количество испытаний. Это послужило причиной разработки весовых методов Монте-Карло, в которых моделирование траекторий частиц проводится с использованием модельной плотности вероятности, отличной от физической. Модельная плотность вероятности выбирается так, чтобы увеличить количество попаданий частиц в область детекторов. ;

Весовые методы хорошо проработаны для вычисления значения величин, описываемых так называемыми больцмановскими функционалами. Под больцмановским функционалом понимается функционал, который может быть вычислен при известной одночастнчной плотности распределения, являющейся решением интегрального уравнения переноса частиц. Если физическая величина зависит от совместного влияния нескольких частиц, то она не может бьггь представлена в виде больцмановского функционала. Например,, па отклик приборов, работающих по схемам совпадений, оказывают совместное. влияние частицы, находящиеся в разных областях пространства. Функционал, описывающий отклик таких приборов, должен , зависеть от совместной плотности распределения частиц в фазовом пространстве.

Современной тенденцией является построение сложных имитационных моделей приборов, учитывающих многие физические явления (например, распространение сцинтнлляционных фотонов, рождение и распространение электронов в фотоэлектронном -умножителе, нелинейность электронных усилителей сигналов), часть из которых задаётся эмпирическими зависимостями. Как правило, такие модели описываются небольцмановскими функционалами и при расчётах-требуют больших затрат машинного времени, измеряемых месяцами.1 .

Проблема ускорения расчётов,-связанных, с вычислением методом Монте-Карло, небольцмановских функционалов, является актуальной научной проблемой. .<Современное состояние проблемы

В классической; литературе весовые методы предлагаются для

вычисления аддитивных по столкновениям больцмановских величин,

равных среднему значению некоторого функционала, определённого

на множестве реализаций случайного процесса переноса излучения.

Значение такого функционала д(5) равно сумме вкладов от отдельных

столкновений, то есть

..... к

. . ч(Я) -^'¡(-^ (!)

. • .. 1-1 где 5 — случайная траектория частицы, — точки соударения частицы, движущейся по . этой траектории, г = 1,2,... /г. Примером такого функционала является, количество столкновений в выделенном объёме.

Ещё одним важным частным случаем больцмановских величин являются величины, представимые в виде среднего значения функционала, аддитивного в смысле ,-■•,

"••' ' ■'■" к-1 ^ = (2)

Подобным функционалом выражается, например, количество пересечений частицами выбранной поверхности.

Наиболее .известными весовыми методами, применяемыми при вычислении среднего.значения аддитивных в смысле (1) или (2) функционалов, являются метод существенной выборки, расщепление и русская рулетка. Весовой метод; БХТПАИ [4] является не столь известным, но в задачах с локализованным в небольшой области детектором является особенно полезным. ^ .

■ В большей части- литературы построение универсальных методов для вычисления небольцмановских величин ограничивается аналоговой схемой, а весовые: методы.строятся для различных частных случаев. В работах С. М, Ермакова особое.внимание уделяется случаю ветвящихся траекторий, :так. как он"всегда.представляет отдельную сложность при проведении доказательств; несмещённости весовых оценок. В трудах С. М. Ермакова и Л.1 Яноши рассмотрены весовые методы вычисления первых двух моментов от аддитивных по столкновениям функционалов

(дисперсия аддитивного функционала вычисляется как среднее квадрата, то есть неаддитивного функционала). В работах В. В. Учайкина и А. В. Лаппы рассмотрены функционалы «столкновительно-трекового» класса, обобщающего классы (1) и (2). В работах А. В. Лаппы построены неимитационные методы, вычисляющие любой момент от адаптивного по траекториям функционала. В работах Н. М. Борисова построены методы вычисления оставленной в детекторе энергии для случая нераз-множающей среды.

Предложенная в 1992 года' американским учёным Т. Бутом концепция супертреков является основополагающим универсальным подходом к вычислению небольцмановских величин весовыми методами. В пей предлагается приписывать статистический вес всей ветвящейся траектории целиком, а не каждой частице в отдельности, как это делается в схеме Неймана-Улама при вычислении среднего аддитивных по столкновениям функционалов. В рамках концепции суиертреков её автором сформулированы весовые методы существенной выборки, расщепления, русской рулетки и ВХТЯАМ.

Концепция суиертреков реализована во многих известных программах для расчёта различных функционалов от характеристик поля излучения, например, в МСКРХ и МСВЕКБ. Однако автор этой концепции ограничился обоснованием предложенных им весовых методов Монте-Карло на физическом уровне строгости.

При использовании концепции супертреков предполагается, что частицы, относящиеся к разным ветвящимся траекториям, делают независимые вклады в значение функционала. Другими словами, отклик детектора на траектории £>'1, 82, .. • • можно представить в виде

q(S1,52,..., 5/:) = д(50 + 5(52) + ... + (3)

Такие функционалы в настоящей работе предложено называть аддитивными по траекториям. Не все функционалы обладают этим свойством, например, иногда важно учитывать совпадения, вызванные фоновым излучением или отражёнными от удаленных предметов частицами. Необходимость вычисления среднего неаддитивных по. траекториям функционалов возникает при моделировании приборов в условиях большой загрузки или в условиях сильного фонового излучения.

В настоящей работе концепция супер-греков обоснована и обобщена на случай вычисления неаддитивных по траекториям функционалов.

Цель ; ' : = г

Целью настоящей гработы является разработка весовых методов Монте-Карло для .вычисления отклика приборов, описываемых неаддитивными функционалами.

Методы исследований

Методами исследований, использованными в настоящей работе, являются методы вычислительной математики, математического анализа, теории вероятностей и математической статистики, теории весовых методов Монте-Карло и.теории переноса излучения. Программный код выполнен на fl3biKax.Fortran-90, С++ и bash. Для расчётов использовался многопроцессорный вычислительный кластер с поддержкой HP-MPI и многопроцессорная рабочая станция.

Научная новизна

1. Концепция.супертреков обобщена на случай вычисления функционалов, учитывающих совпадения между частицами, принадлежащими разным ветвящимся траекториям.

2. Впервые получено доказательство несмещённости весовых оценок в рамках концепции супертреков посредством их осреднения на множестве всех ветвящихся траекторий.

3. Построено представление функций отклика физических приборов, работающих по схемам совпадений, в виде неаддитивных по траекториям функционалов. Введено новое свойство аддитивности по времени,.'.которым обладают функционалы q{Si, S2,..., S*.), описывающие работу физических приборов. Впервые доказано, что для оценки среднего значения таких функционалов достаточно единственной" реализации кортежа (Si, 52,..., S к) из ветвящихся траекторий. - ' +1 "■.

4. Впервые''для-учёта случайных совпадений применены весовые методы, разработанные автором и реализованные в виде комплекса программ:": -,

Практическая значимость работы

Основной практической ценностью полученных теоретических результатов является многократное ускорение расчётов в прикладных задачах радиационной физики.

Разработан универсальный программный комплекс, - позволяющий оптимизировать геометрические параметры приборов, работающих по схемам совпадений. Разработанные программы'использовались для теоретической оценки количества совпадений в работах [1, 2].

Показано, что для комптоновского гамма-спектрометра в интервале энергий 0,1—3 МэВ наиболее эффективной с точки зрения отношения количества истинных совпадений к полному количеству зарегистрированных совпадений является конфигурация при меньших расстояниях между слоями детекторов.

Проведен расчёт базовых спектров углерода, азота и кислорода в методе меченых нейтронов.

В ходе исследований эмпирически проверены статистические свойства некоторых популярных в настоящее время программных генераторов псевдослучайных чисел при помощи теста на равномерное заполнение единичного гиперкуба [3]. Тесты позволили обнаружить ошибку в реализации одного из генераторов библиотеки СЬНЕР, предназначенной для расчётов в задачах физики высоких энергий. Для остальных генераторов найдены участки генерируемых ими последовательностей с хорошими и плохими статистическими свойствами.

Достоверность

Достоверность полученных результатов обеспечивается их проверкой при помощи численного решения тестовых задач. Многократные сравнения результатов весового моделирования с результатами аналогового моделирования подтверждают несмещённость предлагаемой в настоящей работе оценки среднего значения функционала. Проведены проверки разработанных программных модулей ца задачах с известными теоретическими решениями.

Разработанная модель сцинтилляционного детектора получена обобщением известной и хорошо себя зарекомендовавшей в работах многих авторов модели детектора на случай пеа;;дптиипых но траекториям функционалов. Результаты оптимизации геометрической конфигурации комптоновского гамма-спектрометра имеют наглядный физический смысл. Для модели интроскопа, работающего по .методу меченых нейтронов, проведено сравнение расчётного спектра углерода с экспериментальным.

Положения, выносимые на защиту

1. Обобщение концепции супертреков на случай неаддитивных функционалов. ■ , , ,,

2. Обоснование концепции супертреков через доказательство несме-щёшюцти весовой оценки посредством усреднения по множеству ветвящихся траекторий.

3. Представление откликов приборов, работающих по схемам совпадений, в виде неаддитивных функционалов. В число приборов входит комптоновский гамма-спектрометр и интроскоп, работающий по методу меченых нейтронов.

4. Математическая модель комптоновского гамма-спектрометра, различающая истинные и ложные совпадения разных типов.

5. Комплекс программ, позволяющий вычислять среднее значение неаддитивных по траекториям функционалов.

Личный вклад соискателя

Личный вклад соискателя заключается в обосновании и обобщении концепции супертреков, разработке способов применения весовых методов Монте-Карло для вычисления неаддитивных функционалов, разработке моделей комптоновского гамма-спектрометра и прибора, работающего по методу меченых нейтронов, и их программной реализации, тестировании разработанного программного обеспечения. Все результаты, представленные в диссертации, получены соискателем самостоятельно или при непосредственном его участии.

Апробация работы" •

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:

, • 7тая, международная 1 конференция «Люминесцентные детекторы и .преобразователи ^ ионизирующего излучения» ЫШОЕТ11-2009 (Краков, Польша,.2009 г.);

• Пятая Всероссийская , конференция «Проблемы обеспечения взрывобезопасностн и противодействия терроризму» (Санкт-Петербург, 2010 г.);

• семинар кафедры компьютерного моделирования ФАЛТ МФТИ;

• семинар 11 отдела Института прикладной математики им. Келдыша «Вычислительные методы и математическое моделирование»;

• семинар кафедры статистического моделирования математико-механического факультета СПбГУ;

• научные конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», в. секциях кафедр автоматизированных биотехнических систем и высшей математики;

По теме проводимых исследований соискателем .опубликовано 16 работ, из них 3 — в изданиях из списка ВАК^. Семь работ выполнены без соавторов. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012613937. .

Объём работы

Диссертация состоит из списка условных обозначений, введения, 4 глав, заключения, списка использованных источников из 90 наименований и 5 приложений, изложенных на 180 страницах, содержит 45 рисунков.

1 Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность выбранной задачи, рассмотрено современное состояние проблемы, определены цели работы, методы достижения этих целей, а также показана практическая значимость получаемых результатов.

Первая глава посвящена разработке имитационных моделей физических приборов, учитывающих случайные совпадения. К рассмотренным физическим приборам относятся спектрометр на основе сцинтил-ляционного детектора, комптоновский гамма-спектрометр и иптроскоп, работающий по методу меченых нейтронов.

В первой главе показано, что функционалы, описывающие отклик детектора, могут быть аддитивными но столкновениям, аддитивными по траекториям или могут не быть аддитивными ни в одном из этих смыслов. Выполнение того или иного свойства аддитивности связано с тем, события каких типов должны быть учтены в математической модели прибора. Если прибор работает и услов11ях, когда вероятность одновременного прихода двух частиц мала, то .выполняется свойство аддитивности по траекториям (3). Если прибор работает в условиях большой загрузки, когда на события, вызванные прохождением одной частицы, накладываются события, вызванные другой 'частицей, то функционал уже не будет аддитивным в смысле (3). ' "

Неаддитивный функционал имеет самый общий вид

- - ■■ '/(Л'ь . .'.,

где 5г, ..., ¿ц, — случайные ветвящиеся траектории. Примером неаддитивного функционала является отклик прибора, работающего по схеме совпадений, когда важно учитывать случайные совпадения между частицами, относящимися к разным ветвящимся траекториям. Неаддитивным функционалом также представляется отклик сцинтил-ляционного детектора, если важно учесть возможность одновременного попадания нескольких частиц в детектор.

Если наложение событий от разных частиц является достаточно редким явлением, то неаддитивные функционалы 5*2,..., Бк), описывающие модели физических приборов, всё же можно разбить на сумму слагаемых .

¿>2, ■ • •, 5*) = <?(5х, Б2,. ■ ., Бкл) + <?(%+1, Бк1+2, ■■■, Як2)+

+ ... + 5'к|.1+2, • • •, 5*,), (4)

где < /с2 < ■ • • < М — к — некоторые числа. Значения величин ки /сг, .., /с;_1 определяются уже после того, как разыграны все траектории и, вообще говоря, являются случайными. Траектории, относящиеся к разным слагаемым, разделены между собой некоторым минимальным интервалом времени, достаточным для того, чтобы модель прибора при отсутствии частиц успела вернуться в исходное состояние. Такое свойство аддитивности названо аддитивностью по времени.

Показано, что все слагаемые в правой части (4) кроме последнего независимы в совокупности и одинаково распределены.

В качестве отклика сцинтилляционного детектора выбрана существующая модель, согласно которой отклик детектора принимается пропорциональным энергии, оставленной частицей в объёме сцинтилляционного детектора. Точности такой модели вполне достаточно для проводимых исследований.' Выбранная модель обобщена на случай неад-дитйвного функционала, когда за время измерения энергии сцинтилля-ционной вспышки может произойти вторая вспышка от другой частицы.

Модель "сцинтилляционного детектора расширена возможностью учёта типа реакций. Учёт типа реакций производится подсчётом количества входящих 'и выходящих частиц, а также количества столкновений за время интегрирования одного импульса ФЭУ. Пусть моделируется распространение гамма!-кваптов, и гамма-кванты подвержены только двум типам реакций - комптоновское рассеяние и фотопоглощение

(третий важный тип реакций — рождение элсктрои-позктронных пар — не играет значительной роли при энергиях гамма-квантов до 10 МэВ). В таком приближении определение типа реакций, произошедших внутри чувствительного объёма детектора, основывается на следующих двух утверждениях:

1. Если частица, попавшая в детектор, так нз него и не вышла, то при последнем столкновении произошло фотопоглощение, а при остальных соударениях произошло комптоновское рассеяние.

2. Если частица всё же вышла нз детектора, то внутри детектора происходило только комптоновское рассеяние.

Такой способ определения типа реакций показался автору наименее трудоёмким в реализации с использованием кода программы MCNP.

На основе модели сцинтилляциопного детектора построена модель спектрометра. Выходными данными является количество отчётов детектора, попадающих в каждый из заранее указанных интервалов энергий.

Отдельно рассмотрена модель электронной схемы совпадений. Из всех параметров схемы совпадений учитываются только разрешающее время и мёртвое время схемы совпадений, в остальном схема совпадений считается идеальной.

Модель комптоновского гамма-спектрометра, геометрическая конфигурация которого представлена на рис. 1, состоит из, модели сцинтил-ляционных детекторов и модели электронной схемы совпадений. Совпадения, вызванные одиночным комптоновскнм рассеянием в детекторе первого слоя и полным поглощением в детекторе второго слоя, считаются истинными. Все остальные совпадения считаются ложными. В разработанной модели ведётся отдельный подсчёт истинных и различного типа ложных совпадений.

Подсчитав число истинных совпадений, можно вычислить коэффициент г), равный •..'-■

^ _ ^Ьгие у ~ ^^

А',,„',,/' .•<■•."

где Моы — полное количество зарегистрированных; совпадений,. ЛГ<гие — количество зарегистрированных истинных совпадений; Коэффициент т; имеет смысл избирательности прибора. Геометрические параметры прибора должны быть выбраны так, чтобы максимизировать г] при определённых условиях работы прибора. : ;

При моделировании траекторий нейтронов методом Монте-Карло время и направление вылета нейтрона известно,-для их определения разыгрывать траекторию альфа-частицы нет • необходимости. Вместо этого каждый нейтрон, покинувший источник, считается меченым, а

траектории альфа-частиц не разыгрываются. Модель иитроскопа, работающего по методу меченых нейтронов, строится на основе модели сцинтилляционного детектора добавлением стробирования сигналов детектора по времени. Момент открытия временного окна и его ширина выбираются так, чтобы зарегистрировать индуцированное излучение, приходящее из интересуемой области пространства.

Предполагается, что функционал, описывающий отклик иитроскопа, аддитивен по траекториям. При этом выбрасываются из рассмотрения случайные совпадения, которые возникали бы в реальном приборе при неправильном сопоставлении альфа-частицы и испущенного нейтрона. Это предположение оправдывается тем, что эксплуатация прибора в условиях, когда указанные случайные совпадения будут играть существенную роль, не предполагается. В случае необходимости количество таких совпадений может быть оценено аналитически.

Все разработанные модели приведены к одному формату входных данных и могут быть'описаны функционалами вида <7(61, 5г,.. ■, вь). Это позволяет абстрагироваться от особенностей конкретной модели и построить общие универсальные весовые методы для вычисления среднего отклика детектора.

Вторая глава посвящена построению весовых методов Монте-Карло для вычисления среднего значения неаддитивных функционалов. В начале главы сформул'ирована суть весовых методов в концепции супертреков. Сунертрек —¡это ветвящаяся траектория, рассматриваемая как неделимая совокупность неветвящихся участков (треков). Супертреку приписывается статистический вес. Показано, что концепция супертреков получается естественным образом при применении классических весовых методов ¡Монте-Карло к вычислению среднего значения функционала д(Б) но множеству всех ветвящихся траекторий.

Концепция супертреков обобщена на случай функционала вида 9(5'ь •••! Зк)- Пусть при весовом моделировании г-ого супертрека он расщепился на тni супертреков Бц с весами Шу, I = 1,2,...,к,] = 1,2,..., ггц. Тогда весовая оценка

ГП\ ТП2 ТПк

¿1=1^2=1 jt = l

среднего значения функционала д(5х, ^г,..., 5'^)-будет'несмещённой. В частном случае при к = 1 указанная формула совпадает с весовой оценкой, предложенной в рамках концепции супертреков.

Ветвящаяся траектория задана деревом; (теория графов), каждой вершине которого ставится в соответствие точка из фазового пространства, задающая координаты частицы до столкновения. При ограничении максимального числа ветвей у каждой вершины множество всех деревьев будет счётным, то есть структура дерева может быть задана натуральным числом п. Итак, ветвящаяся траектория - это пара

(п,(х0,х1,...,хкп)),: ■ !.,■ .

где к„ - номер последней вершины дерева со структурой, заданной числом п, ц -элементы фазового пространства'(коОрдинаты, скорость). В нестационарном случае описание траектории'дополняется моментом времени рождения первичной частицы. ВершиНьГдер'ева 'соответствуют точкам столкновения частиц, а рёбра - свободному перемещению частиц без столкновений. Корень дерева соответствует'точке рожДения'пёрвич-ной частицы. К фазовым координатам частицы'относятся координаты в физическом пространстве, скорость и энергия. В нестационарном случае точке рождения первичной частицы (вершине дерева) "приписывается время.

Для усреднения но сунертрекам множество "всех" возможных супертреков 3 разбито на подмножества §„, количество которых счётно. В множество §п входят все супертреки со'структурой, ' задаваемой значением п. Пусть кп - количество вершин безу чета'корня у деревьев в подмножестве 8„, хо - точка рождения частицы','а Щ,'Х2,"■"■'■', х^ - точки, соответствующие последующим, столкновениям. Нумерация вершин произведена таким образом, что из условия г < /'следует, что вершина с номером ] принадлежит тому же'покЬлению "частиц, что и вершина номер г, или более позднему (см. рис. 2).!..... "•'' "'

Сформулированное свойство позволило записать' дифференциальную по Хо, XI, ..., Хкп плотность вероятности (в физическом смысле)

х7

Рис. 2. Нумерация .вершин в ветвящейся траектории (нумерация по .. ... .. поколениям).

реализации ветвящейся траектории 5 из множества §п в унифицированном (не зависящем рт структуры ветвящейся траектории) виде

'р(5): = р(х0) Дрп(^|х0,Х1,...,х^1), (7)

' ...... ¿=1

где р(хо) - ПЛОТНОСТЬ ИСТОЧНИКОВ, рп(х;\Х0,Х1, . . . , Х1-\) - условная плотность вероятности того, что вершина помер г будет иметь координаты х*, и в этой вершине произойдет реакция с нужным количеством выходящих частиц при условий,.,что все предыдущие координаты равны хо, х\, ..., £¡-1. Количество выходящих частиц определяется по известному номеру подмножества п и номеру вершины г.

Далее на множестве всех супертреков 8 строится а-алгебра. При помощи функции (7) на а-алгебре порождается вероятностная мера Р таким образом, что функция (7) действительно будет являться для неё плотностью вероятности.

Доказательство, несмещённости оценки (6), то есть равенство математических ожиданий весовой оценки <3* и аналоговой оценки <3 = <?(£), проводится сначала при,/?.= 1.

Обоснование метода существенной выборки, весового метода расщепления и русской рулетки проведено путём переноса классического доказательства несмещённости весовых оценок для этих методов для адаптивных по столкновениям функционалов и неветвящихся траекторий на случай, супертр.еков. Показано, что при использовании метода существенной выборкц .и, метода расщепления может быть достигнута меньшая дисперсия, чем,,нри аналоговом моделировании. При использовании метода русской рулетки дисперсия возрастает, но в этом случае об эффективности метода надо судить по общему времени, потраченному на вычисления. .:, , .., ,

Проведённое в работе доказательство несмещённости весовой оценки для метода DXTRAN позволяет отнести этот нетривиальный метод к методам расслоённой выборки. Показано, что при использовании DXTRAN всё множество траекторий разбивается на счётное количество подмножеств. Далее вычисляется среднее значение функционала по каждому из подмножеств. Среднее значение по всему множеству определяется как взвешенная сумма средних-значений по каждому из подмножеств.

Отдельно рассмотрен случай использования следующей комбинации весовых методов. В результате применения метода DXTRAN образуется один обычный супертрек и некоторое (вообще говоря, случайное) количество DXTRAN-супертреков. К каждому из DXTRAN-супертреков применяется весовой метод расщепления. Наконец, к любому из получившихся супертреков применяется метод русской рулетки. Доказательство для случая использования рассмотренной комбинации весовых методов по структуре похоже на доказательство для метода DXTRAN и опирается на основные шаги, сделанные для каждого- весового метода в отдельности. - : * ' - - -

При к > 1 рассматривается вероятностное пространство на § х § х ... х § (к раз), на котором задана случайная■ величина g(Si,;S2, Sk), а усреднение производится последовательно по всём к аргументам.

Количество слагаемых в (6) выражается огромным Числом, и расчёт по этой формуле может быть проблематичен даже на современных компьютерах. Если выполняется свойство аддитивности (4), и используются весовые методы, сохраняющие сумму весов частиц; то есть для любого

т„

v выполняется ^ wvjv — 1, то выражение (6) может быть записано в ¿„=1 " /:

виде ■ ■ i ... .. л

Q' = QI + Q2 + ■■ - + QÎ- : : . (8)

Величины Ql, v = 1,2,...,/ вычисляются'по формуле'(6), в которой вместо исходного набора супертреков {Sy} используется только его часть при г = 1 +1,kv-1 +2,...,kv. В работе указал алгоритм выбора индексов 0 = ко < к\ <...< ki = к. При использовании формулы (8) существенно сокращается количество рассматриваемых комбинаций при вычислении Q* по формуле (6). Доказательство 'заключается в применении свойства аддитивности по времени и' приведении подобных членов.

Вторая глава заканчивается обоснованием того, что вместо вычисления среднего значения функционала методом Монте-Карло по формуле

Л; к

1=1

в случае выполнения свойства (4) можно использовать формулу

= (9)

что и делается во многих работах. Для обоснования этого показано, что если детектор удовлетворяет свойству аддитивности по времени, то

где С для рассматриваемых приборов порядка единицы. К этому же результату можно прийти, заметив, что формула (9) при выполнении (4) уже представляет собой сумму большого количества независимых реализаций одной и той же случайной величины.

Третья глава посвящена программной реализации моделей и методов, предложенных в первой и второй главах. В качестве транспортного кода выбран код МСНР ввиду его популярности в научном сообществе, большого спектра возможностей и использовании наиболее полной библиотеки сечений .ядерных реакций. Подключение транспортного кода МС№ проведено через задействование предусмотренной разработчиками МСКР специальной функции Та11уХ. В предлагаемой программной реализации функция Та11уХ получает управление каждый раз, когда моделируемая частица пересекает поверхность детектора. Задачей функции ТаИуХ является отбор событий пересечения частицами поверхности детектора. , . ,

Недостатком, выбранного способа получения информации о супертреках является невозможность получения информации о суиертреках, которые не пересекли границы детектора. Этот недостаток является существенным, так как для вычисления (2* по формуле (6) необходимо знать хотя бы вес таких,супертреков, но выбранный способ допускает сравнительно простой метод восстановления информации о ветвящихся траекториях в двух частных случаях.

В первом случае требуется, чтобы функционал д^ь 5г,..., 5*) был равен нулю, если хотя бы одна из траекторий ¿г, З/с не пересекает детектор (схема совпадений). Тогда нет необходимости

восстановления информации о супертреках, не пересекающих границы детекторов. Под этот случай попадают аддитивные по траекториям функционалы 9(5), в частности, модель интроскоиа, работающего по методу меченых нейтронов, с использованием весового метода ОХТИАК.

Во втором случае весовые методы настраиваются так, чтобы была возможность отследить траектории всех частиц. Под этот случай попадает модель комптоновского гамма-спектрометра при использовании весового метода расщепления, когда расщепление происходит непосредственно перед попаданием частицы в детектор.

Сформулированные условия не являются принципиальными ограничениями предлагаемого общего алгоритма. Они введены только для того, чтобы можно было существенно упростить способ восстановления информации о ветвящихся траекториях по данным транспортного кода МСКР. -■—■-?

Изложенные в этой главе алгоритмы реализованы в виде комплекса программ. Для организации вычислительного процесса разработаны собственные программные средства, за счёт которых выполнено распараллеливание по входным данным. .....'".....

Четвёртая глава посвящена тестированию разработанного программного обеспечения. Основными целями главы являются проверка правильности программной реализации предложенных моделей и численных методов, численная проверка несмещённости оценок (6) и (8).

Численная проверка несмещённости оценок (б) и (8) проведена сравнением вычисленных аналоговым и весовым способами средних значений одних и тех же величин для серии задач'. В' тех задачах, где возможно сравнительно простое получение теоретической оценки среднего значения случайной величины (2, результаты" расчётов находятся в полном соответствии с теоретической оценкой. Во всех случаях демонстрируется, что в случае использования весовых'методов требуемое значение статистической погрешности достигается при меньшем числе разыгрываемых траекторий, чем в случае использования аналоговых методов (см. рис. 3). При использовании' весовых 'мётодов возможно сокращение требуемого числа разыгрываемых траекторий в 10-1000 раз.

Для модели интроскоиа, работающего но' Методу меченых'нейтронов, проведено сравнение расчётного спектра "углероДа 'с экспериментальным (см. рис. 4). При сравнении спектров "существенным является сохранение положений пиков и их относительных амплитуд. Дрожание экспериментального спектра в областях низких'амплитуд'обусловлено недостаточным временем сбора статистики.

В последней части главы приведён пример'применения разработанных программ для оптимизации геомётрических'параметров прибо-

Рис. 3. Зависимость вычисленного среднего количества отчётов в выбранном канале спектрометра от количества статистических испытаний при весовом и аналоговом моделировании.

ра, работающего по схеме двойных рассеяний (комптоновского гамма-спектрометра). Зависимость отношения числа истинных совпадений к общему числу совпадений (5) от расстояния между слоями детекторов Н и энергии испускаемых источником гамма-квантов Е приведена на рис. 5. На графике видно, что коэффициент (5) увеличивается с уменьшением расстояния Н во всём рассмотренном интервале энергий Е.

Полученные результаты имеют наглядную физическую интерпретацию. При уменьшении расстояния Н между слоями детекторов увеличивается количество зарегистрированных гамма-квантов, рассеянных в первом слое на больший угол, а значит, имеющих меньшую энергию. Вероятность поглощения во втором слое возрастает при уменьшении энергии. Увеличение относительного количества истинных совпадений происходит за счёт уменьшения количества гамма-квантов, не испытавших полного поглощения во втором слое детекторов. Этот же эффект достигается при переходе к более низким энергиям Е исходных гамма-квантов. Приведённые рассуждения подтверждаются численным определением количества ложных совпадений, вызванных такими гамма-квантами.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации. В настоящей работе концепция супертреков математически строго

40

2 30 ...........................1 . -- 1 д . ' _ —......—т

>>

1- *5 2 1 | . ■-■О.,-'/ ^¿ЛгА !

С < А / \

■ ) ........./ :...........---г-"---'^^.....•....... к , ч, -

0 1И1Я11 ^----тп----

1 г 3 4 5 6 7 8 9 10

Энергия, МэВ

Рис. 4. Сравнение экспериментального (серая ломаная линия) и расчётного (плавная линия) спектров углерода для метода меченых

нейтронов.

обоснована и обобщена на случай неаддитивных по траекториям функционалов. В ходе работы:

1. Модели сцинтилляционного детектора и комптоновского гамма-спектрометра расширены возможностью учёта типа реакций, что позволяет производить отдельный подсчёт истинных и ложных совпадений.

2. Модели спектрометра на основе сцинтилляционного детектора, комптоновского гамма-спектрометра и интроскопа. работающего по методу меченых нейтронов, описаны неаддитивными по траекториям функционалами.

3. Предложена весовая оценка среднего Значения неаддитивного по траекториям функционала, обобщающая концепцию супертреков. Обоснование несмещённости оценки ведётся через усреднение по

I-

всем ветвящимся траекториям. К рассмотренным весовым методам относятся метод разыгрывания со смещённой плотностью вероятности, расщепление, русская рулетка,

пхтклк и комбинация

перечисленных весовых методов.

4. Разработан комплекс программ, вычисляющий среднее значение неаддитивных функционалов предложенными методами.

■ Л МЬШ' УГЯЯГ'^Т К'1.'/

Рис. 5. Зависимость коэффициента 77 от энергии Е и расстояния между

слоями II.

5. Исследована зависимость относительного количества истинных совпадений от геометрической конфигурации комптоновского гамма-спектрометра.

6. Рассчитаны базовые спектры углерода, азота и кислорода с использованием модели прибора, работающего по методу меченых нейтронов.

Применённая при доказательстве несмещённости весовой оценки методика позволяет перенести на случай использования концепции супертреков не только рассмотренные весовые методы, но и большинство других, например, поглощение уменьшением веса (implicit capture) и форсирование столкновений (forced collision). Весовые методы, предлагаемые в работе, позволяют многократно ускорить расчёты при правильном их применении.

В Приложении А приведен способ строгого построения вероятностного пространства на множестве ветвящихся траекторий в виду явного недостатка информации в общедоступной литературе по этой теме.

В Приложении Б содержатся формулировки и доказательства таких свойств' используемой в настоящей работе операции усреднения но ветвящимся траекториям, как существование среднего, линейность и

возможность перестановки порядка усреднения по нескольким траекториям. J,,..„,Г>., -;.-.

В Приложении В содержится описание, способа подключения транспортного кода программы MCNP и изменённый исходный код подпрограммы TallyX из пакета MCNP с подробными комментариями.

В Приложении Г для справки приведено математическое.обоснование метода Монте-Карло.

В Приложении Д приведены результаты расчёта базовых амплитудно-временных спектров углерода, азота и кислорода для метода меченых нейтронов при помощи разработанной модели интроскопа.

Публикации по теме проводимых исследований .

В изданиях из списка ВАК

1. N. V. Eremin, A. A. Paskhalov, S. S. Markoehey,..E,';A. Tsvetkov et al. New experimental method of investigation ;the .rare nuclear transformations accompanying atomic processes: .bremsstrahlung emission in spontaneous fission of 252C/ //, International Journal of Modern Physics E (IJMPE). - 2010. - V. 19, Issues: 5-6(2010). - Pp. 1183-1188.

2. Еремин H.B., Маркочев С.С., Пасхалов. А.А., .Цветков Е.А. Измерение выхода высокоэнергетичных 7-кваитов, сопровождающих спонтанное деление ядер 252С/ // Известия РАН. Серия физическая. - 2011. - Т. 75, №4. - С. 57G-578.

3. Цветков Е.А. Эмпирическое исследование статистических свойств некоторых генераторов псевдослучайных чисел // Математическое моделирование. — 2011. — Т. 23, №5. — С. 81 — 94.

В других изданиях

4. Цветков Е.А., Шаховский В.В. Обоснование DXTRAN модификации метода Монте-Карло на основе соотношений взаимности для различающихся систем // Труды МФТИ. — 2009. — Т. 1, № 2. — С. 207 - 215.

5. Е. Tsvetkov, V. Shahovsky, Coincidence schemes performance estimator // Abstracts of the 7th International Conference on Luminescence Detectors and Transformers of Ionizing Radiation (LUMDETR-2009), Krakow (Poland), 2009. - Pp. 309.

6. Цветков Е.А., Шаховский В.В. Вычисление нелинейных функционалов поля излучения в методах Монте-Карло // Труды 51-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных п прикладных наук». — 2008. — Ч. 3. — С. 53-54.

7. Цветков Е.А./Шаховский В.В. Обзор методов моделирования схем совпадений '// Труды Пятой всероссийской конференции «Проблемы обеспечения взрывобезопасности и противодействия терроризму». Санкт-Петербург, 20-21 апреля 2010 г.

8. Цветков Е.А. Вычисление неаддитивных функционалов с использованием весовых методов Монте-Карло для разыгрывания траекторий частиц // Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII. Управление и прикладная математика. Том 1. — М.: МФТИ, 2010. - С. 35 - 37.

9. Tsvetkov Е.А. Empirical Tests for Statistical Properties of Some Pseudorandom Number Generators // Mathematical Models and Computer Simulations. — 2011. - Vol. 3, No. G. — Pp. 727-735. (C) Pleiades Publishing, Ltd., 2011. Original Russian Text © E.A. Tsvetkov, 2011, published in Matematicheskoe Modelirovanie. — 2011. - Vol. 23, X?. 5. - Pp. 81-94.

10. Обоснование концепции суиертреков для расчета небольцманов-ских функционалов" весовыми методами в прикладных задачах радиационной физики / Цветков Е.А.; МФТИ (ГУ). — М., 2011. — 14 е.: ил. - Библиогр.: 12 назв. — Рус. — Деп. в ВИНИТИ 23.09.2011 №410-В2011. • "

Подписано в печать: 19.02.2013 Тираж: 100 экз. Заказ № 216 Отпечатано в типографии "Реглет" 119526, г. Москва ул. Новослободская, д20, стр.4 8 (495) 971-77-88, www.reglet.ru

Введение

1 Математические модели многодетекторных приборов

1.1 Свойство аддитивности.

1.1.1 Аддитивность по столкновениям.

1.1.2 Аддитивность по траекториям.

1.1.3 Неаддитивные функционалы.

1.1.4 Аддитивность по времени.

1.1.4.1 Определение

1.1.4.2 Свойства.

1.2 Требования к разрабатываемым математическим моделям

1.3 Моделирование сцинтилляционного детектора.

1.3.1 Выбор модели сцинтилляционного детектора.

1.3.2 Вычисление потерянной энергии.

1.3.3 Входные и выходные данные моделей детектора.

1.3.4 Формулировка используемого алгоритма.

1.3.4.1 Выделение точек пересечения частицами границ детектора.

1.3.4.2 Случай (5 = 9(5).

1.3.4.3 Случай ф = д(8ъ 52,.,

1.4 Моделирование спектрометра

1.5 Моделирование электронной схемы совпадений.

1.6 Моделирование интроскопа, работающего по методу меченых нейтронов.

1.6.1 Метод меченых нейтронов

1.6.2 Моделирование прибора.

1.7 Моделирование комптоновского гамма-спектрометра

Актуальность

В настоящее время интерес к разработке приборов, регистрирующих ядерное излучение, постоянно возрастает. Областями человеческой деятельности, в которых используются схемы совпадений, являются гамма-астрономия, обеспечение безопасности [21, 22, 42, 46] (досмотр грузов и контейнеров, экологическая безопасность), медицина [35, 44, 62, 70, 78] и некоторые другие. Успехи в области создания новых сцинтилляцион-ных материалов позволяют улучшить такие характеристики приборов, работающих по схемам совпадений или антисовпадений, как отношение сигнал-шум и пространственное разрешение [43].

В сфере обеспечения безопасности важным направлением является разработка технических средств, позволяющих производить досмотр грузов, не вскрывая контейнеры. Наиболее перспективным в смысле высокой информативности и компактности является метод меченых нейтронов (ММН, в зарубежной терминологии - API, associated particle imaging). Эксперименты в лабораторных условиях показали возможность создания компактной системы измерения спектров гамма-излучения от неупругого взаимодействия нейтронов с высоким пространственным разрешением на базе портативных нейтронных (D,T) генераторов со встроенным многоэлементным детектором альфа-частиц. Важной отличительной чертой метода меченых нейтронов является возможность обнаружения взрывчатых веществ (ВВ) в герметичной, в том числе и металлической упаковке.

В настоящее время в ряде отечественных и зарубежных лабораторий разработаны или планируются к разработке макетные образцы систем обнаружения и идентификации ВВ. Так в Радиевом институте им. В.Г. Хлопина (г. С.-Петербург) по заказу дирекции программы НАТО «Наука для мира» для демонстрации возможностей метода меченых нейтронов создана серия приборов-интроскопов под общим названием SEXNA. Внешний вид приборов SENNA иллюстрирует рис. 1.

Рис. 1. Внешний вид приборов SENNA.

Вес прибора около 40 кг, однако все результаты по обнаружению получены с применением дополнительной коллимации детекторов железными конусами общим весом 10 кг. Для обнаружения ВВ весом около 400—500 грамм требуется время 5—10 минут, а весом 3 кг около минуты. Дальность управления 10—15 метров ограничена длиной сигнального кабеля; питание от сети 220 В. Сокращение предела обнаружения (вес ВВ) и времени обнаружения невозможно из-за перегрузки каналов оцифровки сигналов, хотя при замене нейтронного генератора можно было бы повысить мощность нейтронного потока и, соответственно, улучшить статистику отсчетов. Жёсткая компоновка общей конструкции, фиксирующая положение генератора, модуля гамма-детектора и защиты и ограничивает подход к обследуемому объекту. В НПЦ «Аспект» г. Дубна разработана возимая установка для досмотра автомобильной техники на основе метода меченых нейтронов. Вес установки (без автомобиля) 750 кг; порог обнаружения ВВ 10 кг за 10 минут. Внешний вид установки представлен на рис. 2.

Проект Евросоюза, названный ЕиШТИАСК, предназначается для обследования большегрузных контейнеров и находится в настоящее время в процессе проектирования. Предполагаемый объем - несколько кубометров. Внешний вид проектируемого терминального комплекса ЕиШТЫАСК представлен на рис. 3.

Рис. 2. Схематичный вид прибора Aspect.

Рис. 3. Схематичный вид установки ЕІЖІТРІАСК.

Комптоновский гамма-спектрометр позволяет определить направление прилёта гамма-квантов по измерениям потерянной ими энергии при последовательных рассеяниях. Ярким примером такого прибора является гамма-телескоп СОМРТЕЬ, работающий по схеме двойных рассеяний. Комптоновский гамма-спектрометр состоит из нескольких слоёв детекторов, параметры которых подбираются таким образом, чтобы во всех слоях кроме последнего гамма-кванты испытывали преимущественно одиночное комптоновское рассеяние, а в последнем - полное поглощение. Зная энергии, потерянные гамма-квантом в каждом слое и примерные координаты точек столкновения, можно определить конус возможных направлений прилёта гамма-кванта. Приборы на основе комптоновских гамма-спектрометров позволяют получить трёхмерную картину распределения источников гамма-излучения в некотором объёме, что делает его применение интересным в медицинской томографии [74] и в сфере безопасности [65].

Разработка новых приборов, как правило, включает в себя этап расчётно-теоретического обоснования их параметров и характеристик. Для этого наиболее часто используется метод Монте-Карло, в котором проводится большое количество статистических испытаний для определения среднего значения некоторого функционала, заданного на множестве случайных траекторий.

Если при моделировании траекторий частиц используется физическая плотность вероятности, то такой метод Монте-Карло называется аналоговым. В некоторых случаях для достижения приемлемой статистической погрешности расчётов, проводимых аналоговыми методами Монте-Карло, требуется огромное количество испытаний. Например, для набора базовых спектров, позволяющих идентифицировать вещество при использовании ММН, в работе [33] потребовалось по 4,85 • Ю10 статистических испытаний для каждого вещества. Это послужило причиной разработки весовых методов Монте-Карло, в которых статистические испытания проводятся с использованием модельной вероятности, отличной от физической. Модельная вероятность выбирается так, чтобы увеличить количество попаданий частиц в область детекторов. Как при аналоговом, так и при весовом моделировании, зависимость относительной статистической погрешности 5 от количества испытаний имеет вид с 1 о ос —==.

Для весовых методов коэффициент пропорциональности существенно меньше, чем для аналоговых. За счёт этого при использовании весовых методов требуемый уровень статистической погрешности достигается при меньшем количестве испытаний, чем при использовании аналоговых методов.

В настоящее время весовые методы хорошо проработаны для вычисления значения функционалов определённого класса, названных в работе [37] больцмановскими. Под больцмановским функционалом понимается функционал, который может быть вычислен при известной одно-частичной плотности распределения, являющейся решением уравнения Больцмана. Примером больцмановских функционалов являются среднее количество пересечений частицами некоторой поверхности или среднее количество столкновений внутри некоторого объёма. Если физическая величина зависит от совместного влияния нескольких частиц, то она не может быть представлена в виде больцмановского функционала[37]. Например, на отклик приборов, работающих по схемам совпадений, оказывают совместное влияние частицы, находящиеся в разных областях пространства. Функционал, описывающий отклик таких приборов, должен зависеть от совместной плотности распределения частиц. Большинство имитационных моделей приборов, регистрирующих ядерное излучение, не удаётся адекватно описать функционалом от плотности столкновений.

Современной тенденцией является построение сложных имитационных моделей приборов, учитывающих различные физические явления. Например, в работах [36, 43, 81, 85] используется модель сцинтилляци-онного детектора, имитирующая оптическое распространение фотонов внутри сцинтилляционного вещества. Испускание сцинтилляционных фотонов в точках столкновения гамма-квантов с элементами вещества ведётся по закону Пуассона с переменной интенсивностью [76, 86], что ещё больше усложняет модель. Для учёта более тонких явлений таких, как инертность ФЭУ, производится моделирование испускания электронов фотокатодом и прохождения их между электродами ФЭУ. В работе [75] приведена аналитическая модель, имитирующая поведение ФЭУ. Разработка универсальной программы, моделирующей движение сцинтилляционных фотонов, работу ФЭУ и учитывающей неидеальность электронной схемы, регистрирующей совпадения, проведена в [87].

В перечисленных работах модели детекторов не могут быть описаны больцмановскими функционалами, моделирование ведётся аналоговыми методами, а учёт различных физических явлений существенно снижает скорость расчётов. В программах МС^-ББР [89] и МУР [69], предназначенных для решения широкого круга задач, и в программе КЕ1МО

N11 [49], в случаях, когда важно учитывать совместное распределение частиц, также используются аналоговые методы расчёта траекторий частиц.

Проблема ускорения расчётов, проводимых по методу Монте-Карло, стоит очень остро и во многих других работах.

Современное состояние проблемы

В литературе [3, 7, 11, 15, 16, 24, 25] весовые методы предлагаются для вычисления аддитивных по столкновениям функционалов, определённых на множестве реализаций случайного процесса переноса излучения. Значение такого функционала q(S) равно сумме вкладов от отдельных столкновений, то есть где 5 — случайная траектория частицы, Xi — точки соударения частицы, движущейся по этой траектории, г — 1,2,.к. Примером такого функционала является количество столкновений в выделенном объёме. Очевидно, что аддитивные по столкновениям функционалы являются частным случаем больцмановских функционалов.

Ещё одним важным частным случаем больцмановских функционалов являются функционалы, пред ставимые в виде

Примером такого функционала является количество пересечений частицами выбранной поверхности.

Наиболее известными весовыми методами, применяемыми при вычислении среднего значения аддитивных по столкновениям функционалов, являются разыгрывание со смещённой плотностью вероятности, расщепление, русская рулетка и БХТ11А]М. При разыгрывании со смещённой к к-1 г=1 плотностью вероятности искусственно повышается вероятность попадания частиц в область сосредоточения детекторов. При использовании метода расщепления частица расщепляется на несколько новых частиц, что даёт возможность точнее оценить вклад в показания детекторов исходной частицы. Метод русской рулетки позволяет прервать моделирование траектории частицы, если известно, что ожидаемый вклад частицы в показания детектора слишком мал. В методе БХТ11/Ш при каждом столкновении частицы происходит оценка потока излучения внутрь выбранной сферы, окружающей область сосредоточения детекторов [28].

Если выполняется свойство аддитивности, то частицы вносят вклады независимо, друг от друга (каждое слагаемое зависит от фазовых координат только одной частицы). В случае небольцмановского функционала свойства аддитивности не выполняются.

В большей части литературы построение универсальных методов для вычисления небольцмановских функционалов ограничивается аналоговой схемой, а весовые методы строятся для различных частных случаев. В классических работах С. М. Ермакова и Л. Яноши рассмотрены весовые методы вычисления первых двух моментов от аддитивных по столкновениям функционалов (дисперсия аддитивного функционала вычисляется как среднее квадрата, то есть неаддитивного функционала). Также в работах С. М. Ермакова особое внимание уделяется случаю ветвящихся траекторий, так как он всегда представляет отдельную сложность при проведении доказательств несмещённости весовых оценок. В работах В. В. Учайкина и А. В. Лаппы рассмотрены функционалы «столкновительно-трекового» класса, обобщающего класс аддитивных по столкновениям функционалов. В работах А. В. Лаппы построены неимитационные методы, вычисляющие любой момент от аддитивного по траекториям функционала. В [1, 41] построение весового алгоритма вычисления небольцмановских функционалов ведётся на конкретном примере вычисления энергии, оставленной частицами в детекторе, а среда считается неразмножающей. В [25] рассмотрен способ вычисления произвольного функционала при помощи поливариантного разложения, но на практике этот способ применим, когда все члены разложения, начиная с некоторого номера, близки к нулю. Также известны способы для вычисления любого момента аддитивного функционала [12, 13].

Основополагающими работами, предлагающими универсальный подход к вычислению небольцмановских функционалов весовыми методами, являются работы [37, 38]. В них предлагается приписывать статистический вес всей ветвящейся траектории целиком, а не каждой частице в отдельности, как это делается в схеме Неймана-Улама при вычислении среднего аддитивных по столкновениям функционалов. Ветвящаяся траектория в этих работах названа супертреком, так как она рассматривается как неделимая коллекция отдельных неветвящихся траекторий частиц. В перечисленных работах предлагаются два способа получения супертреков.

В первом способе, названном способом развёртывания (deconvolution approach), результатом моделирования истории одной первичной частицы является ветвящаяся траектория, содержащая вершины двух типов. В вершинах первого типа происходит разветвление траектории естесвенным образом, то есть в результате моделирования реакции, происходящей при столкновении частицы. В вершинах второго типа разветвление происходит в результате применения какого-либо весового метода. Достигнув такой вершины, частица пошла бы дальше только по одной из ветвей. Выбирая в каждой вершине второго типа по одной ветви, получаем ветвящуюся траекторию, состоящую только из вершин первого типа, что и должно быть для физически осуществимой траектории. Вес этой траектории равен произведению весовых множителей выбранных ветвей. В работах [37, 38] описанный подход применяется для вычисления потерянной в чувствительном объёме детектора энергии частиц. В работах [82, 83] описанный подход предложен для вычисления отклика приборов, работающих по схемам совпадений. Стоит отметить, что в работах [82, 83] рассматриваются только совпадения, вызванные частицами, принадлежащими одной и той же ветвящейся траектории. Совпадения, вызванные частицами из разных ветвящихся траекторий, не учитываются.

Во втором способе, названным способом разыгрывания супертреков (supertrack approach) результатом статистического испытания является вся ветвящаяся траектория целиком. Весовые методы применяются не к отдельной частице, а ко всей траектории целиком. Например, при применении метода расщепления в некоторой вершине из одной траектории получаются несколько новых, совпадающих друг с другом до этой вершины.

Многие весовые методы, разработанные для вычисления аддитивных по столкновениям функционалов, очень легко переносятся на случай развёртывания или разыгрывания супертреков. В работах [37, 38] в рамках концепции супертреков сформулированы весовые методы разыгрывания со смещённой плотностью вероятности, расщепления, русской рулетки и DXTRAN.

Метод развёртывания нашел воплощение во многих работах, например, в программах MCNP5 [40, 67, 80, 82], MCNPX [58] и MCBEND [77]. Метод разыгрывания супертреков кажется простым, но он требует разработки нового или глубокой переработки существующего программного обеспечения для его реализации. В работах [39, 47] выполнена модификация программы MCNP для поддержки концепции супертреков. В работе [83] используется метод, очень похожий на метод разыгрывания супертреков.

В перечисленных работах, использующих концепцию супертреков, ведётся вычисление значений небольцмановских функционалов определённого класса, в которых частицы, относящиеся к разным ветвящимся траекториям, делают независимые вклады в значение функционала. Другими словами, отклик детектора на траектории Si, ¿2, ., Sk можно представить в виде q(Su 52,., Sk) = qiSi) + q(S2) + . + q{Sk).

Такие функционалы называются аддитивными по траекториям. Не все функционалы обладают этим свойством, например, иногда важно учитывать совпадения, вызванные фоновым излучением или отражёнными от удаленных предметов частицами. Такие совпадения могут быть учтены в математических моделях детекторов, не делающих различия между частицами, принадлежащими разным супертрекам, и частицами, принадлежащими одному и тому же супертреку.

В настоящей работе предложенная в [38] концепция супертреков обоснована и обобщена на случай вычисления неаддитивных по траекториям функционалов. Математическое обоснование несмещённости оценки среднего значения функционала ведётся традиционным способом через усреднение по всем возможным ветвящимся траекториям, в то время как в работе [37] акцент делается на обоснование предложенных способов через разбор большого количества примеров.

Цель

Целью настоящей работы является разработка весовых методов Монте-Карло для вычисления отклика приборов, описываемых неаддитивными функционалами.

Методы исследований

Методами исследований, использованными в настоящей работе, являются методы вычислительной математики, математического анализа, теории вероятностей и математической статистики, теории весовых методов Монте-Карло и теории переноса излучения. Программный код выполнен на языках Fortran-90, С++ и bash. Для расчётов использовался многопроцессорный вычислительный кластер с поддержкой HP-MPI и многопроцессорная рабочая станция.

Научная новизна

1. Концепция супертреков обобщена на случай вычисления функционалов, учитывающих совпадения между частицами, принадлежащими разным ветвящимся траекториям.

2. Впервые получено доказательство несмещённости весовых оценок в рамках концепции супертреков посредством их осреднения на множестве всех ветвящихся траекторий.

3. Построено представление функций отклика физических приборов, работающих по схемам совпадений, в виде неаддитивных по траекториям функционалов. Введено новое свойство аддитивности по времени, которым обладают функционалы (/(¿н, ¿2,., описывающие работу физических приборов. Впервые доказано, что для оценки среднего значения таких функционалов достаточно единственной реализации кортежа ., из ветвящихся траекторий.

4. Впервые для учёта случайных совпадений применены весовые методы, разработанные автором и реализованные в виде комплекса программ.

Практическая значимость работы

Основной практической ценностью полученных результатов является многократное ускорение расчётов в прикладных задачах радиационной физики.

Разработан универсальный программный комплекс, позволяющий оптимизировать геометрические параметры приборов, работающих по схемам совпадений.

Показано, что наиболее эффективной геометрической конфигурацией комптоновского гамма-спектрометра с точки зрения отношения количества истинных совпадений к полному количеству зарегистрированных совпадений является конфигурация при меньших расстояниях между слоями детекторов.

Проведен расчёт базовых спектров углерода, азота и кислорода в методе меченых нейтронов.

Разработанные программы использовались для теоретической оценки количества совпадений в работах [9, 61, 68, 71].

В ходе исследований эмпирически проверены статистические свойства некоторых популярных в настоящее время программных генераторов псевдослучайных чисел при помощи теста на равномерное заполнение единичного гиперкуба [30]. Тесты позволили обнаружить ошибку в реализации одного из генераторов библиотеки СЬНЕР. Для остальных генераторов найдены участки генерируемых ими последовательностей с хорошими и плохими статистическими свойствами.

Достоверность

Достоверность полученных теоретических результатов обеспечивается их проверкой при помощи численного решения тестовых задач. Многократные сравнения результатов весового моделирования с результатами аналогового моделирования подтверждают несмещённость предлагаемой в настоящей работе оценки среднего значения функционала. Проведены проверки разработанных программных модулей на задачах с известными теоретическими решениями.

Разработанная модель сцинтилляционного детектора получена обобщением известной и хорошо себя зарекомендовавшей в работах многих авторов модели детектора на случай неаддитивных по траекториям функционалов. Результаты оптимизации геометрической конфигурации комптоновского гамма-спектрометра имеют наглядный физический смысл. Для модели интроскопа, работающего по методу меченых нейтронов, проведено сравнение расчётного спектра углерода с экспериментальным.

Положения, выносимые на защиту

1. Обобщение концепции супертреков на случай неаддитивных функционалов.

2. Обоснование концепции супертреков через доказательство несмещённости весовой оценки посредством усреднения по множеству ветвящихся траекторий.

3. Представление откликов приборов, работающих по схемам совпадений, в виде неаддитивных функционалов. В число приборов входит комптоновский гамма-спектрометр и интроскоп, работающий по методу меченых нейтронов.

4. Математическая модель комптоновского гамма-спектрометра, различающая истинные и ложные совпадения разных типов.

5. Комплекс программ, позволяющий вычислять среднее значение неаддитивных по траекториям функционалов.

Личный вклад автора

Личный вклад соискателя заключается в обосновании и обобщении концепции супертреков, разработке способов применения весовых методов Монте-Карло для вычисления неаддитивных функционалов, разработке математических моделей комптоновского гамма-спектрометра и интроскопа, работающего по методу меченых нейтронов, и их программной реализации, тестировании разработанного программного обеспечения. Все результаты, представленные в диссертации, получены соискателем самостоятельно или при непосредственном его участии.

Апробация работы

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах

• 7-ая международная конференция «Люминесцентные детекторы и преобразователи ионизирующего излучения» Ы]МБЕТК-2009 (Краков, Польша, 2009 г.);

• Пятая Всероссийская конференция «Проблемы обеспечения взрывобезопасности и противодействия терроризму» (Санкт-Петербург, 2010 г.);

• семинар кафедры компьютерного моделирования ФАЛТ МФТИ;

• семинар 11 отдела Института прикладной математики им. Келдыша «Вычислительные методы и математическое моделирование»

• семинар кафедры статистического моделирования математико-механического факультета СПбГУ

• научные конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», в секциях кафедр Автоматизированных биотехнических систем и Высшей математики;

Разработанные программы были использованы для оценки количества случайных совпадений в работах [9, 61, 68, 71]

По теме проводимых исследований соискателем опубликовано 14 работ, из них 3 — в изданиях из списка ВАК. Две работы выполнены без соавторов.

Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012613937 «Программный комплекс для вычисления неаддитивных функционалов весовыми методами Монте-Карло».

Структура работы

Первая глава работы посвящена построению математических моделей приборов, работающих по схемам совпадений. Отклик прибора описывается функционалом ^¿ч, ¿>2, ■ • • > ¿>к), гДе $2, £к ~ реализации ветвящихся траекторий. Показано, что в зависимости от того, какие физические эффекты необходимо учитывать, функционал может быть аддитивным по столкновениям, по траекториям или не быть аддитивным вообще. Модели приборов, работающих по схемам совпадений, описываются неаддитивными функционалами.

Введено свойство аддитивности по времени. Пусть траектории разыгрываются в порядке увеличения момента времени рождения первичной частицы. Пусть в интервале времени (£1,^2) в системе не существует частиц. Пусть траектории, существующие до момента времени ¿1, имеют номера от 1 до к\ — 1, а траектории, существующие после ¿2 - от к\ до к. Пусть £2 ~ ¿1 > Т, где Т - некоторый параметр. Тогда, если

51, £2, ■■•,£*:) = 52,., 5^-1) + q(Sk1,Sk1+1, • • •, Бк), то будем говорить, что функционал д(5ь 52,., 5/с) удовлетворяет свойству аддитивности по времени с параметром Т.

Проведя разбиение на слагаемые по всем таким интервалам времени (¿1, ¿2), получаем, что ^(5х, 52,., равен сумме случайного количества слагаемых. Доказано, что все слагаемые, быть может, кроме последнего независимы в совокупности и одинаково распределены.

Выполнен обзор статей, посвящённых моделированию сцинтилляци-онных детекторов и приборов на их основе. Обоснован выбор простейшей модели сцинтилляционного детектора, в которой за отклик детектора принимается оставленная частицами в чувствительном объёме энергия.

Описаны математические модели электронного дифференциального спектрометра и электронной схемы совпадений, обрабатывающих сигналы сцинтилляционных детекторов.

На основе описанных моделей разработана модель интроскопа, работающего по методу меченых нейтронов, и комптоновского гамма-спектрометра. Модель интроскопа работает в приближении аддитивности по траекториям. Модель комптоновского гамма-спектрометра проводит раздельных подсчёт истинных событий и ложных событий разного типа. Предложен критерий для оптимизации геометрической конфигурации комптоновского гамма-спектрометра.

Модели приведены к одному формату входных данных и могут быть описаны функционалом q(Sl, ¿2,., Это позволит абстрагироваться от особенностей конкретной модели и построить общие универсальные весовые методы.

Вторая глава посвящена построению универсальных численных методов для вычисления среднего значения неаддитивных функционалов £2, • • •, с учётом ветвлений траекторий. Обзор литературы, проведённый в этой главе, показал, что наиболее универсальным имитационным способом вычисления неаддитивных функционалов является концепция супертреков.

Выписана предлагаемая в настоящей работе оценка среднего значения неаддитивного функционала. Обоснование несмещённости предлагаемой оценки проведено через доказательство равенства математического ожидания весовой оценки математическому ожиданию величины, полученной аналоговым моделированием. Вычисление математического ожидания в обоих случаях проведено путём усреднения по всем возможным ветвящимся траекториям.

Третья глава посвящена техническим аспектам построения вычислительных моделей приборов, работающих по схемам совпадений. В этой главе обоснован выбор кода программы МСИР в качестве транспортного кода. Особое внимание уделено подключению кода МС№ и сбору необходимой для развёртывания супертреков информации.

Показано, что задача восстановления необходимой информации о ветвящихся траекториях по данным кода МС№ может быть решена сравнительно просто в двух случаях - в схемах совпадений, и в задачах, в которых несущественна корреляция между супертреками. В соответствии с описанным в третьей главе способом подключения кода MCNP разработано программное обеспечение для генерации супертреков, которые являются входными данными подпрограмм, разработанных во второй главе.

Четвертая глава посвящена тестированию разработанного программного обеспечения. Тестирование проведено сначала для каждого модуля по отдельности, а затем для всего программного обеспечения в целом. Эмпирическая проверка несмещённости предлагаемой в настоящей работе оценки случайной величины проведена на задаче о бросании нескольких точек на единичный отрезок. Проверка правильности подключения кода МСИР проводилась путём сравнения получаемых от этого кода данных с данными трассировки траекторий частиц. Проверка правильности работы функций, имитирующих функционирование электронной схемы совпадений, проводилась на простой задаче, для которой известна аналитическая оценка количества совпадений в зависимости от количества испущенных источником частиц. Для комптоновского гамма-спектрометра предложен критерий, при помощи которого можно отделить смоделированные истинные совпадения от ложных. Показано, как предложенный критерий может быть применен для оптимизации геометрической конфигурации прибора, работающего по схеме двойных рассеяний. Расчёты показали, что использование предлагаемых весовых методов существенно ускоряет скорость расчётов по сравнению с аналоговыми методами.

Заключение содержит основные результаты работы.

Приложение А посвящено построению вероятностного пространства на множестве всех ветвящихся траекторий.

Приложение Б содержит формулировки и доказательства таких свойств используемой в настоящей работе операции усреднения по ветвящимся траекториям, как существование среднего, линейность и возможность перестановки порядка усреднения по нескольким траекториям.

Приложение В содержит описание способа подключения транспортного кода программы МСЫР.

Приложение Г для справки содержит строгое математическое обоснование метода Монте-Карло.

Приложение Д посвящено расчёту базовых спектров углерода, азота и кислорода при помощи разработанной модели интроскопа, работающего по методу меченых нейтронов.

Математические модели многодетекторных приборов

Заключение

В настоящей работе математически строго обоснована и обобщена на случай неаддитивных но траекториям функционалов концепция супертреков, предложенная в работах [37, 38]. В ходе работы:

1. Модели сцинтилляционного детектора и комптоновского гамма-спектрометра расширены возможностью учёта типа реакций, что позволяет производить отдельный подсчёт истинных и ложных совпадений.

2. Разработана модель интроскопа, работающего по методу меченых нейтронов.

3. Предложена весовая оценка среднего значения неаддитивного по траекториям функционала, обобщающая концепцию супертреков. Обоснование несмещённости оценки ведётся через усреднение по всем ветвящимся траекториям. К рассмотренным весовым методам относятся метод разыгрывания со смещённой плотностью вероятности, расщепление, русская рулетка, ОХТИ-АЫ и комбинация перечисленных весовых методов.

4. Разработан комплекс программ, вычисляющий среднее значение неаддитивных функционалов предложенными методами.

5. Исследована зависимость относительного количества истинных совпадений от геометрической конфигурации комптоновского гамма-спектрометра.

6. Рассчитаны базовые спектры углерода, азота и кислорода с использованием модели интроскопа, работающего по методу меченых нейтронов.

Применённая при доказательстве несмещённости оценки методика позволяет перенести на случай использования концепции супертреков не только рассмотренные весовые методы, но и большинство других, например, поглощение уменьшением веса (implicit capture, [66]) и форсирование столкновений (forced collision, [66]). Численные расчёты показали, что весовые методы позволяют многократно ускорить расчёты при правильном их применении.

1. Борисов, Н. М. Применение сопряжённых методов Монте-Карло в задачах переноса фотонов с учётом вторичного излучения. Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук: Кандидатская диссертация / МИФИ. — 1999.

2. Дынкин, Е. Б. Основания теории марковских процессов / Е. Б. Дын-кин.— М.: Физматгиз, 1959.

3. Ермаков, С. М. Курс статистического моделирования / С. М. Ермаков, Г. А. Михайлов, — М.: Наука, 1982.

4. Ермаков, С. М. Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики / С. М. Ермаков, В. В. Некрут-кин, А. С. Сипин. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984.

5. Ермаков, С. М. Метод Монте-Карло для итерации нелинейных операторов / С. М. Ермаков // ДАН СССР. 1972. - Т. 204, №2. -С. 271-274.

6. Ермаков, С. М. Об аналоге схемы Неймана-Улама в нелинейном случае / С. М. Ермаков // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1973. — Т. 13, №3. — С. 564-573.

7. Ермаков, С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы / С. М. Ермаков.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1975.

8. Ермаков, С. М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике. Вводный курс / С. М. Ермаков. — СПб.: Невский диалект; М: Бином. Лаборатория знаний, 2009.

9. Измерение выхода высокоэнергетичных 7-квантов, сопровождающих спонтанное деление ядер 252С/ / Н. В. Еремин, С. С. Маркочев,

10. А. А. Пасхалов, Е. А. Цветков // Известия РАН. Серия физическая. 2011. - Т. 75. - С. 580-582.

11. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, — М.: Физматлит, 2006.

12. Колъчужкип, А. М. Введение в теорию прохождения частиц через вещество / А. М. Кольчужкин, В. В. Учайкин. — М.: Атомиздат, 1978.

13. Лаппа, А. В. Новые флуктуационные весовые методы Монте-Карло и их применение к каскадным процессам переноса частиц сверхвысоких энергий / А. В. Лаппа, Д. С. Бурмистров // Математическое моделирование. 1995.- Т. 7, № 5.- С. 100-114.

14. Лаппа, А. В. Весовая оценка метода Монте-Карло для расчёта высших моментов аддитивных характеристик переноса частиц с размножением / А. В. Лаппа // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1990. — Т. 30. — С. 122-134.

15. Лаппа, А. В. Вероятностные модели для двухшаговых алгоритмов расчёта флуктуационных характеристик переноса излучения. / А. В. Лаппа // Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике. Часть 2. — Новосибирск, 1991. — С. 73-76.

16. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике / Г. И. Марчук, Г. А. Михайлов, М. А. Назарлиев и др.; Под ред. Г. И. Марчука. — Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1976.

17. Михайлов, Г. А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло / Г. А. Михайлов.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1987.

18. Нейтронно-радиационная система для обнаружения взрывчатых веществ в грузовых контейнерах / А. А. Ананьев, С. Г. Беличенко, Е. П. Боголюбов и др. // Научная сессия МИФИ-2008.- 2008.— С. 165-166.

19. Некруткин, В. В. Вычисление интегралов по пространству деревьев методом Монте-Карло / В. В. Некруткин // Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике (Сб.). — 1974. С. 94-102.

20. Некруткин, В. В. Прямая и сопряженная схема Неймана-Улама для решения нелинейных интегральных уравнений / В. В. Некруткин // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1974. - Т. 14, №6. - С. 1409-1415.

21. Петров, Э. Е. О применении билинейных функционалов для расчёта эффектов возмущения среды в задачах переноса излучения / Э. Е. Петров // Препринт ФЭИ. 1989. - Т. 2026.

22. Сборник материалов Международной научно-технической конференции «Портативные генераторы нейтронов и технологии на их основе» / ВНИИ А им. Н. Л. Духова. — 2004. 18-22 октября.

23. Сборник материалов межотраслевой научно-технической конференции «Портативные генераторы нейтронов и технологии на их основе» / ВНИИА им. Н. Л. Духова. — 2003.— 26—30 мая.

24. Севастьянов, Б. А. Ветвящиеся процессы / Б. А. Севастьянов; Под ред. В. П. Чистяков, — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1971.

25. Соболь, И. М. Численные методы Монте-Карло / И. М. Соболь. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973.

26. Учайкин, В. В. Стохастическая ценность / В. В. Учайкин, А. А. Лагутин. — М.: Энергоатомиздат, 1993.

27. Федорин, М. А. Метод радиального зондирования и расчленения среды по составу при каротаже скважин на основе время пролётной спектрометрии гамма-излучения неупругого рассеяния нейтронов /

28. М. А. Федорин, Б. Г. Титов // Геология и геофизика. — 2010.— Т. 51 №12. С. 1664-1674.

29. Халмош, П. Теория меры / П. Халмош; Под ред. С. В. Фомин. — М.: Издательство иностранной литературы, 1953.

30. Цветков, Е. А. Обоснование DXTRAN-модификации метода Монте-Карло на основе соотношений взаимности для различающихся систем / Е. А. Цветков, В. В. Шаховский // Труды МФТИ.- 2009,Т. 1, Ш. — С. 207-215.

31. Цветков, Е. А. — Разработка методов математического моделирования регистрации ядерных излучений в схемах двойных совпадений. — Магистерская диссертация, Московский физико-технический институт (государственный университет), 2008.

32. Цветков, Е. А. Эмпирическое исследование статистических свойств некоторых генераторов псевдослучайных чисел / Е. А. Цветков // Математическое моделирование. — 2011. — Т. 23. — С. 81-94.

33. Эффективность подавления фона при наносекундном нейтронном анализе / М. Д. Каретников, К. Н. Козлов, Г. В. Яковлев и др. //

34. Сборник материалов межотраслевой научно-технической конференции «Портативные генераторы нейтронов и технологии на их основе» / ВНИИА им. Н. JI. Духова. — 2004. — 18—22 октября.

35. Barz, H.-U. Monte-Carlo programm TRAMO Möglichkeiten und Anleitung zur Nutzung / H.-U. Barz, J. Konheiser.— FZR Bericht-245,Rossendorf, 1998.

36. Benefit of time-of-flight in PET: experimental and clinical results / J. S. Karp, S. Surti, M. Daube-Witherspoon, G. Muehllehner // The Journal of Nuclear Medecine. — 2008. Vol. 49. - Pp. 462-470.

37. Binkley, D. M. Optimization of scintillation-detector timing systems using Monte Carlo analysis / D. M. Binkley // IEEE Transactions on Nuclear Science. 1994. - Vol. 41. - Pp. 386-393.

38. Booth, T. Monte Carlo variance reduction approaches for non-Boltzmann tallies: Tech. Rep. LA-12433 / T. Booth: Los Alamos National Lab., NM (United States), 1992, —Dec.

39. Booth, T. A Monte Carlo variance reduction approach for non-Boltzmann tallies / T. Booth // Nuclear Science and Engineering.— 1994. Vol. 116. - Pp. 113-124.

40. Booth, T. A supertrack importance generator for pulse height tallies: Tech. Rep. LA-UR-94-2488; CONF-941102-9 / T. Booth: Los Alamos National Lab., NM (United States), 1994.

41. Booth, T. Pulse height tally variance reduction in MCNP 5: Tech. Rep. LA-13995 / T. Booth: Los Alamos National Laboratory, 2002.—June.

42. Borisov, N. M. Adjoint Monte Carlo calculations of pulse-height-spectrum / N. M. Borisov, M. P. Panin // Monte Carlo Methods and Applications. 1998. - Vol. 4, № 3. - Pp. 273-284.

43. Buffler, A. Contraband detection with fast neutrons / A. Buffler // Radiation Physics and Chemistry. ~ 2004. — Vol. 71. — Pp. 853-861.

44. Choong, W.-S. The timing resolution of scintillation-detector systems: Monte Carlo analysis / W.-S. Choong // Physics in Medicine and Biology. — 2009,— Vol. 54, no. 21,— P. 6495. http://stacks.iop.org/0031-9155/54/i=21/a=004.

45. Conti, M. Effect of randoms on signal-to-noise ration in TOF PET / M. Conti // IEEE Transactions on Nuclear Science.— 2006.— Vol. 53.-Pp. 1188-1193.

46. Development of the EURITRACK tagged neutron inspection system / B. Perot, C. Carasco, S. Bernard et al. // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research B. — 2007. Vol. 261. - Pp. 295-298.

47. Estes, G. Supertrack Monte Carlo variance reduction experience for non-Boltzmann tallies: Tech. rep. / G. Estes, T. Booth: Los Alamos National Laboratory, Los Alamos New Mexico 87545, 1995.

48. Fast neutron interrogation systems for detection of hazardous materials / K. P. Hong, C. M. Sim, V. Em et al. // Proceedings of the International Symposium on Research Reactor and Neutron Science. — Daejeon, Korea: 2005.— April.

49. Ficaro, E. KENO-NR: A Monte Carlo code simulating the 252C/-source-driven noise analysis experimental method for determining subcriticali-ty: Ph.D. thesis / University of Michigan. — 1991.

50. FLUKA: A multi-particle transport code: Tech. Rep. SLAC-R-773 / A. Ferrari, P. Sala, A. Fasso, J. Ranft: Stanford Linear Accelerator Center, Stanford University, Stanford, CA 94309, 2005.

51. Fredriksson, I. Forced detection Monte Carlo algorithms for accelerated blood vessel image simulations / I. Fredriksson, M. Larsson, T. Stromberg // Journal of Biophotonics. — 2008. — Vol. 2. — Pp. 178184.

52. Front-end electronics and DAQ for the EURITRACK tagged neutron inspection system / M. Lunardon, C. Bottoso, D. Fabris et al. // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research B. — 2007. — Vol. 261. — Pp. 391-395.

53. Han, X. CEARCPG: A Monte Carlo simulation code for normal and coincidence prompt gamma-ray neutron activation analysis (PGNAA) / X. Han, R. Gardner // Transactions of the American Nuclear Society. — 2006. Vol. 95. - Pp. 521-522.

54. Han, X. Development of Monte Carlo Code for coincidence prompt gamma neutron activation analysis: Ph.D. thesis / Graduate Faculty of North Carolina State University. — 2005.

55. Harris, T. E. The theory of branching processes / T. E. Harris. — Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Springer, Berlin, 1963.

56. Hendricks, J. Pulse-height tallies with variance reduction / J. Hendricks, G. W. McKinney // Proceedings of Monte Carlo 2005, Chattanooga, Tennessee, USA, April 17-21.- 2005.

57. Hyman, L. Time resolution of photomultiplier systems / L. Hyman // Review of Scientific Instruments. — 1965. — Vol. 36, no. 2. — Pp. 193— 196. http://link.aip.org/link/?RSI/36/193/l.

58. Identification of materials hidden inside a container by using the 14 MeV tagged neutron beam / D. Sudac, S. Pesente, G. Nebbia et al. // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research B. — 2007. — Vol. 261. — Pp. 321-325.

59. Investigation of time-of-flight benefit for fully 3-D PET / S. Surti, J. S. Karp, L. Popescu et al. // IEEE Transactions on Medical Imaging. 2006. - Vol. 25. - Pp. 529-538.

60. Kim, N. Y. Monte Carlo simulation study on medical imaging of a multiply stacked compton camera / N. Y. Kim, C. S. Lee // Journal of Korean Physical Society. 2008. - Vol. 53, №2. - Pp. 1201-1204.

61. Knoll, G. Radiation detection and measurement / G. Knoll.— 3 edition. New York: Wiley, 2000.

62. Large-volume Si(Li) orthogonal-strip detectors for compton-effect-based instruments / D. Protic, E. L. Hull, T. Krings, K. Vetter // IEEE Transactions on Nuclear Science. — 2005. — Vol. 52. — Pp. 3181-3185.

63. MCNP. A general Monte Carlo N-particle transport code. Version 4C: Manual LA-13709-M / Ed. by J. Briesmeister: Los Alamos National Lab., NM (United States), 2000.-April.

64. Measuring high-energy gamma-ray emission accompanying the spontaneous fission of 252Cf nuclei / N. V. Eremin, S. S. Markochev, A. A. Paskhalov, E. A. Tsvetkov // Bulletin of the Russian Academy of Sciences. Physics. 2011. - Vol. 75. - Pp. 544-546.

65. Mori, T. Development of the MVP Monte Carlo code at JAERI / T. Mori, K. Okumura, Y. Nagaya // Transactions of the ANS. — 2001. — Vol. 84. Pp. 45-46.

66. Moses, W. W. Time of flight in PET revisited / W. W. Moses // IEEE Transactions on Nuclear Science. — 2003. — Vol. 50. — Pp. 1325-1330.

67. Nonlinear response in the scintillation yield of Lu2SiO§ : Ce3+ / P. Dorenbos, J. de Haas, C. van Eijk, J. Melcher, C.L and. Schweitzer // IEEE Transactions on Nuclear Science. — 1994.— Vol. 41,— Pp. 735737.

68. Peterson, S. W. Optimizing a three-stage Compton camera for measuring prompt gamma rays emitted during proton radiotherapy / S. W. Peterson, D. Robertson, J. Polf // Physics in Medicine and Biology. 2010. - Vol. 55. - Pp. 6841-6856.

69. Post, R. F. Statistical limitations on the resolving time of a scintillation counter / R. F. Post, L. I. Schiff // Phys. Rev. 1950. - Dec. - Vol. 80, no. 6.-P. 1113.

70. Shao, Y. A new timing model for calculating the intrinsic timing resolution of a scintillator detector / Y. Shao // Physics in Medicine and Biology. — 2007. — Vol. 52, no. 4. — P. 1103. http://stacks.iop.org/0031-9155/52/i=4/a=016.

71. Shuttleworth, E. The pulse height distribution tally in MCBEND / E. Shuttleworth // Proceedings of International Conference on Radiation Schielding ICRS'9, Tsukuba, Japan, 17-22 October. — 1999.

72. Signal to noise ratio in simulations of time-of-flight positron emission tomography / R. Harrison, A. Alessio, P. Kinahan, T. Lewellen // Nuclear Science Symposium Conference Record, 2004 IEEE. — 2004.

73. Sood, A. Verification of the pulse height tally in MCNP 5 / A. Sood, et al. // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research B. — 2004. Vol. 213. - Pp. 167-171.

74. Spanoudaki, V. Investigating the temporal resolution limits of scintillation detection from pixellated elements: comparison between experiment and simulation / V. Spanoudaki, C. Levin // Phys. Med. Biol. — 2011. — Vol. 56. Pp. 735-756.

75. Szieberth, M. New methods for the Monte Carlo simulation of neutron noise experiments / M. Szieberth, J. Kloosterman // Gatlinburg, Tennessee, April 6-11, 2003, on CD-ROM, American Nuclear Society, LaGrange Park, IL. 2003.

76. The launch of MCBEND 10 / P. Cowan, E. Shuttleworth, A. Bird, A. Cooper // Proc. 10th International Conference on Radiation Shielding (ICRS-10) and 13th Topical Meeting on Radiation Protection and Shielding (RPS-2004). — 2004.

77. Tickner, J. PHOTON An optical Monte Carlo code for simulating scintillation detector responses / J. Tickner, G. Roach // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research B. — 2007. — Vol. 263. — Pp. 149-155.

78. Tomitani, T. A maximum likelihood approach to timing in scintillation counters / T. Tomitani // Proc. of the IEEE Workshop on Time-on-Flight Tomography. Vol. 1. - 1982. - Pp. 88-93.

79. Tsvetkov, E. A. Coincidence scheme performance estimator / E. A. Tsvetkov, V. Shahovsky // Abstracts of the 7th International Conference on Luminescence Detectors and Transformers of Ionizing Radiation. 2009.

80. Valentine, T. MCNP-DSP users manual: Tech. Rep. ORNL/TM-13334 / T. Valentine: Oak Ridge Nat. Lab., 1997.

81. Waters, L. S. Summary of the 2006 hadronic shower simulation workshop / L. S. Waters // AIP Conference Proceedings. — 2007. — Vol. 896, no. 1. —Pp. 235-249. http://link.aip.org/link/7APC/896/235/!.